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unesp Faculdade de Engenharia - Câmpus de Ilha Solteira Departamento de Matemática UNIVERSIDADE ESTADUAL PAULISTA "Júlio de Mesquita Filho" Cálculo Diferencial e Integral II: 2 O Semestre de 2013 - Mecânica Roteiro 3: A Diferencial de Uma Função Objetivo: Introduzir o conceito de diferencial de uma função e apresentar aplicações desse conceito. (1) Acréscimos e Diferencial Seja y = f(x) uma função real. Sempre podem ser consideradas variações da variável independente x. Se x varia de x1 a x2, define-se o acréscimo de x, denotado por x, como sendo: x = x2 – x1. A variação em x gera uma variação em y, denotada por y, dada por: y = y2 – y1 = f(x2) – f(x1) Como x2 = x1 + x, tem-se que: y = f(x2) – f(x1) = f(x1 + x) – f(x1). Figura 1: Acréscimos no gráfico de uma função. Considere uma função y = f(x) derivável no ponto x e x um acréscimo de x. Até aqui a notação dx dy tem sido usada como uma simples notação para a derivada de y = f(x), isto é: )x(f dx dy . x y x2 x1 f(x2) f(x1) y 2 1.1 A Derivada como quociente de acréscimos. Pretende-se interpretar dx dy como um quociente entre acréscimos. Com este objetivo, inicialmente, defina dx como o incremento em x, isto é: dx = x. Procura-se uma interpretação para dy. Na figura 1, a seguir, tem-se que: A reta PT é tangente a curva em P; dx = x = med(PM) = PM; a declividade de PT é tg dx MR PM MR )x(f ; y = f(x + x) – f(x) = f(x+ dx) – f(x); Figura 2: A reta tangente ao gráfico de uma função. Quando se observa o acréscimo em x, isto é: x + x = x + dx, esse acréscimo atua na ordenada da reta tangente e na ordenada da função f(x), em f(x + x). Denote dy como o acréscimo na ordenada da reta tangente T, correspondente ao acréscimo dx em x. Então, tem-se que: dx dy tg dx MR PM MR )x(f . Portanto, )x(ftg dx dy ou dx)x(fdy . (1) x f(x+x) y Q x x + x dy f(x) P M R PT 3 Portanto, a derivada de f(x) em x pode ser então vista como um quociente de acréscimos como se pretendia mostrar, isto é: )x(ftg dx dy . (2) Além disso, os acréscimos dx e dy se relacionam através da derivada de f(x), isto é: dx)x(fdy . (3) 1.2 A Relação entre os acréscimos y e dy. Quando se passa de x para x + dx, o acréscimo que a função sofre é dado por: y = f(x + x) – f(x) = f(x + dx) – f(x). Por outro lado, tem-se que: )x(f = x y lim 0x . Problema 1: Mostre que 0 = x)(x)' f -y ( lim 0x observando que x(x)' f -y = (x)' f x y x . Como conseqüência direta do Problema 1 tem-se que: y x(x)' f (4) para x suficientemente pequeno. Mas por (3), tem-se que dx)x(fdy . Assim, de (4) tem-se que: y dx)x(fdy . (5) Dessa forma, o acréscimo dy pode ser olhado como um valor aproximado para y. Figura 3: Os acréscimos dy e y. x y f(x+x) Q x x + x dy f(x) P M R 4 Questão: Quando a aproximação y dx)x(fdy é uma boa aproximação? Para esta análise, observando a figura anterior, tem-se que: y = MR + RQ = dy + RQ. Assim, tem-se que: RQ = y – dy = erro (6) Assim, de (5), RQ mede o erro que se comete na aproximação de y e dy. Note que se dx 0, o ponto Q aproxima-se do ponto P e então, RQ 0. De (6), o erro que se comete nessa aproximação, isto é, y – dy = RQ será tanto menor quanto menor for dx. Figura 4: Os acréscimos dy e y. 1.3 A Diferencial da função f(x). Fixado x, podemos olhar para a função linear que a cada dx , associa dy , sendo dx)x(fdy , isto é: (x)dxfdy dx :df . x y f(x+x) Q x x + x dy f(x) P M R Q1 5 Definição: A função linear que a cada dx , associa dy , sendo dx)x(fdy , é dita diferencial de f em x ou diferencial de y = f(x). Notação: Se y = f(x), então a diferencial de f é df. Exemplos: (a) Mostre que a diferencial de A(r) = r2 é dA = 2rdr.Interprete esse resultado. Solução: Segue diretamente da definição que: dA = 2rdr. A(r) = r2 fornece a área de um círculo em função de seu raio. dA = 2rdr fornece um valor aproximado para o acréscimo A na área A, quando o raio r sofre um acréscimo dr. (b) Seja y = x 2 . Relacione y com dy. Solução: Tem-se que )x(f dx dy = 2x. Assim, a diferencial de y = x 2 é dada por: dy = 2x dx. (5) Por outro lado, y = f(x + x) – f(x) = f(x+ dx) – f(x) = (x + dx) 2 – x2, ou seja: y = 2xdx + (dx)2. (6) Assim, de (5) e (6), tem-se que: y – dy = (dx)2. (c) Se y = 6x 2 – 4, x = 2 e x = 0, 001, então: (i) Encontre y = f(x1 + x ) – f(x1), exatamente; (ii) Fazer uma estimativa de y, usando dy = f ’(x1)dx; (iii) Determinar o erro dyΔy ; Solução: (i) y = f(x1 + x) – f(x1) = f(2 + 0, 001) – f(2) = 0, 024006. (ii) dy = f ’(x)dx = 12x x = 12. 2. 0, 001 = 0, 024. (iii) y – dy = 0, 000006. Note que esse valor seria menor caso usássemos um valor menor que 0,001 para x. 6 Problema 2: Dados y = x 2 , x1 = 2 e x= 0,01. (a) Encontre y = f(x1 + x ) – f(x1), exatamente; (b) Fazer uma estimativa de y, usando dy = f ’(x1)dx; (c) Determinar o erro dyΔy ; (d) Idem, considerando x1 = 2 e x = 0,001. Problema 3: Calcular um valor aproximado e avalie o erro para: (a) 1.01 (b) 49,1 (c) 3 5,65 (d) (4,012)2. Problema 4: (a) Encontre dy para y = 2senx xe log 10 ; (b) Encontre um valor aproximado para o volume de uma fina coroa cilíndrica de altura 12m, raio interior 7m e espessura 0,05m. Qual o erro decorrente se a solução é obtida usando-se diferenciais? Teorema: (a) d(c) = 0, se c é função constante; (b) d(x n ) n x n-1 dx; (c) d(cu) = cdu; (d) d(u + v) = du + dv; (e) d(uv) = udv + vdu; (f) 2v udvvdu v u d ; (g) d(u n ) = nu n-1 du. Problema 4: Calcule as diferenciais de 1x2 1x y 2 . Problema 5: Dado 2x 2 y 2 – 3x3 + 5y3 + 6xy2 = 5, encontre dy/dx, encontrando a diferencial termo a termo.
