Lista_de_Exercicios_Analise_de_Sistemas_Transformada_de_Laplace_2011_2_Revisado

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UNIVERSIDADE FEDERAL DE SÃO PAULO – CAMPUS DIADEMA 
DISCIPLINA: ANÁLISE DE SISTEMAS 
 CURSO: ENG. QUÍMICA - Profa. Rosimeire Aparecida Jerônimo 
Profa. Rosimeire Aparecida Jerônimo. 
LISTA DE EXERCÍCIOS – TRANSFORMADA DE LAPLACE 
 
1) Resolva os seguintes PVI’s utilizando Transformada de Laplace: 
 a) 
teyy 
 
5)0( y
 
 b) 
,632 teyyy 
 
1)0( y
 , 
3)0( y
 
 c) 
tteyyy 2332 
 
1)0( y
, 
0)0( y
 
 d) 
),(tfyy 
 
0)0( y
, 
1)0( y
 
 em que 








2
,0
2
0,1
)(


tpara
tpara
tf 
Solução: 
Inicialmente iremos resolver a transformada de Laplace de 
)(tf
, 
considerando-se as condições atribuídas. 
Portanto, a transformada de Laplace de 
1)( tf
, e com as limitações impostas 
é: 
 
 
 
 
Notar que foi dado que para 
2
t
, 
0)( tf
 
Logo, resolvendo a equação, termos: 
L 
  yy
 L 
 )(tf
 
L
 y
 L
 y
 L
 )(tf
 
s
e
ss
e
s
e
s
e
dtesF
sssst
st
202
2
0
2
0
1
1)(




 













 
 
 
2 
 
UNIVERSIDADE FEDERAL DE SÃO PAULO – CAMPUS DIADEMA 
DISCIPLINA: ANÁLISE DE SISTEMAS 
 CURSO: ENG. QUÍMICA - Profa. Rosimeire Aparecida Jerônimo 
Profa. Rosimeire Aparecida Jerônimo. 
Obs.: L
 y
 
)(sY
 
   )()0()0()(2 sYysysYs
 
s
e
s
s 21 

 
Substituindo-se os valores das condições iniciais, ou seja, 
0)0( y
, 
1)0( y
, obtemos: 
  11)(1
2
2 

s
e
s
sYs
s 
)1(
1
)1()1(
1
)(
22
2
2 






sss
e
ss
sY
s 
Fazendo-se 
)1(
1
)(
2 

ss
sH
, temos: 
)1(
1
)()()(
2
2

 
s
sHesHsY s
 
Então: 
  senttuththty  )(.2)()( 2 
Retomando para resolvermos H(s), temos: 
)1(
1
)(
2 

ss
sH
 
Expandindo 
)(sH
em frações parciais, temos: 
1)1(
1
22 


 s
CBs
s
A
ss
 
Resolvendo, obtemos: 
 
CsBsAAs  221
 
).()1(1 2 CBsssA 
 
 
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DISCIPLINA: ANÁLISE DE SISTEMAS 
 CURSO: ENG. QUÍMICA - Profa. Rosimeire Aparecida Jerônimo 
Profa. Rosimeire Aparecida Jerônimo. 
ACsBAs  )(1 2
 
Portanto, obtemos o seguinte sistema: 








1
0
0
A
C
BA
 
Portanto, 
1,1  BA
 e 
0C
. Assim, 
1
1
)(
2 

s
s
s
sH
 
De onde obtemos que a função cuja transformada de Laplace é 
)(sH
 é: 
tth cos1)( 
 
Desta forma, a solução do problema de valor inicial é dada por: 
  senttuththty  )(.2)()( 2 
Substituindo-se 
tth cos1)( 
 na equação acima temos: 
 senttusenttty  1)(cos1)( 2 
 e) 
),(22 tfyyy 
 
0)0( y
, 
1)0( y
 
 em que 
















2,0
2,2
0,0
)(
tpara
tpara
tpara
tf
 
 f) 
)(4 tfyy 
 
0)0( y
, 
0)0( y
 
 em que 










2,0
20,
)(
tpara
tparasent
tf 
 
 
4 
 
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DISCIPLINA: ANÁLISE DE SISTEMAS 
 CURSO: ENG. QUÍMICA - Profa. Rosimeire Aparecida Jerônimo 
Profa. Rosimeire Aparecida Jerônimo. 
 g) 
)(23 tfyyy 
 
0)0( y
, 
0)0( y
 
 em que 








10,0
100,1
)(
tpara
tpara
tf 
 h) 
)(
4
5
tfyyy 
 
0)0( y
, 
0)0( y
 
 em que 










tpara
tparasent
tf
,0
0,
)( 
 i) 
ttyy cos)2(   0)0( y , 1)0( y 
 j) 
)(44 tfyyy 
 
2)0( y
, 
3)0( y
 
Solução: 
L 
  yyy 44
 L 
 )(tf
 
L
 y
 4L
 y
 4L
 y
 L
 )(tf
 
 Fazendo-se a transformada de Laplace: L 
 )(tf
 = 
)(sG
, e aplicando-a 
na equação anterior, obtemos: 
     )(4)0()(4)0()0()(2 sYyssYysysYs
 
)(sG
 
Substituindo-se os valores 
2)0( y
 e 
3)0( y
 obtemos: 
)(48)(432)(2 sYssYssYs 
 
)(sG
 
  ssGsssY 25)(44)( 2 
 
Assim, 
44
25)(
)(
2 


ss
ssG
sY
 
 
 
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Profa. Rosimeire Aparecida Jerônimo. 
44
25
44
)(
)(
22 




ss
s
ss
sG
sY
 
22 )2(
25
)2(
)(
)(





s
s
s
sG
sY
 
Expandindo 
2)2(
25


s
s em frações parciais, temos: 
22 )2(2)2(
25






s
B
s
A
s
s 
BsAs  )2(25
 
BAAss  225
 
Comparando-se os termos de mesmo grau obtemos o seguinte sistema: 





52
2
BA
A 
cuja a solução do sistema é: 
2A
 e 
1B
. Assim, 
22 )2(
1
2
2
)2(
)(
)(






sss
sG
sY
 
Portanto: 
ttt teetgety 222 2))(*()(  
 
tt
t
t teedgtety 22
0
)(2 2)()()(   
 
 k) 
2..2 sentyy 
 
10)0( y
, 
0)0( y
 
 l) 
1 y
dt
dy 
0)0( y
 
 
 
 
6 
 
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 m) 
02  y
dt
dy 
3)0( y
 
2) Resolva o problema: 
 
sentyyy  86
 
0)0( y
, 
0)0( y
 
a) Sem usar transformada de Laplace 
b) Usando transformada de Laplace 
3) Determine a transformada inversa de Laplace dos exercícios a seguir: 
 a) L-1 








4
62
2s
s b) L
-1 








)4)(2)(1(
962
sss
ss 
 c) L-1 







32
481
ss
 d) L-1 
  







33
3
ss
s 
 e) L-1 








)2)(1)(1(
12
ssss
s f) L-1 








45
36
24 ss
s 
RESPOSTAS 
 
a) 
ttt etetety   )5(5)(
 b) 
ttt eeety 3
4
7
4
3
2
3
)(  
 
c) 
tttt teeeety 223
3
2
3
2
)(  
 
e) 
senteteth tt   cos1)(
 
sentetuthtuthty t )()2()()()( 2  
 f) 
tsensentth 2
6
1
3
1
)( 






 tsensenttutsensentthtuthty 2
6
1
3
1
)(2
6
1
3
1
)2()()()( 22  
 
 
 
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Profa. Rosimeire Aparecida Jerônimo. 
g) 
tt eeth 2
2
1
2
1
)(  
)10()()()( 10  thtuthty
 
h) 
 sentetesenttth tt 22 cos4cos4
17
4
)(  
 
 
)()()()(   thtuthty
 
i) 
 senttusenttsentuth 1)()2()()( 22    
k) 
tsensenttty 222cos10)( 
 
l) 
tety  1)(
 m) 
23)( tety 
 
2) a) 
tt eesenttty 42
34
1
10
1
85
7
cos
85
6
)( 
 
 b) 
sentteety tt
85
7
cos
85
6
34
1
10
1
)( 42 
 
3) a) 
tsentty 23cos2)( 
 
 b) 
ttt eeety 42
30
1
6
25
5
16
)( 
 
 c) 
224)( ttty 
 
 d) 
tsenhtty 333cosh)( 
 
 e) 
ttt eeety 2
6
5
3
1
2
1
)(  
 
 f) 
tsentsenttty 2
2
1
2cos2cos2)( 