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UNIVERSIDADE FEDERAL DE SÃO PAULO CURSO: Engenharia Química Disciplina: Eletrotécnica Geral Profa. Rosimeire Aparecida Jerônimo Profa. Rosimeire Aparecida Jerônimo ELETROTÉCNICA GERAL ANÁLISE DE CIRCUITOS E CIRCUITOS DE CORRENTE CONTÍNUA (CC) Profa. Rosimeire Aparecida Jerônimo. 2012 UNIFESP – Campus Diadema UNIVERSIDADE FEDERAL DE SÃO PAULO CURSO: Engenharia Química Disciplina: Eletrotécnica Geral Profa. Rosimeire Aparecida Jerônimo Profa. Rosimeire Aparecida Jerônimo APRESENTAÇÃO Este material aborda o tema “Análise de Circuitos e Circuitos de Corrente Contínua (CC)”. Trata-se apenas de um material de referência que visa facilitar o acesso a informação e com uso exclusivo para a disciplina de graduação “Eletrotécnica Geral” do curso de Engenharia Química da Universidade Federal de São Paulo (UNIFESP) – Campus Diadema. Alguns trechos dos textos ou ilustrações aqui apresentadas, não são originais e não se faz citação de autoria específica das frases ou fontes das ilustrações, por se tratar de notas compiladas e por ser um material com o intuito de auxiliar no suporte aos estudos da disciplina de Eletrotécnica Geral, e não uma publicação com intenções de divulgação. A relação das obras consultadas encontra-se nas referências bibliográficas e sugere-se que sejam consultadas para um estudo mais aprofundado do tema. iii UNIVERSIDADE FEDERAL DE SÃO PAULO CURSO: Engenharia Química Disciplina: Eletrotécnica Geral Profa. Rosimeire Aparecida Jerônimo Profa. Rosimeire Aparecida Jerônimo Sumário ANÁLISE DE CIRCUITOS E CIRCUITOS DE CORRENTE CONTÍNUA (CC) .................................................................................... 1 1. INTRODUÇÃO E CONCEITOS FUNDAMENTAIS ......................... 1 2. COMPONENTES DE CIRCUITOS ELÉTRICOS............................. 3 3. CIRCUITOS DE CORRENTE CONTÍNUA (CC) .............................. 9 3.1. LEI DE KIRCHHOFF DAS TENSÕES OU LEI DAS MALHAS (LKT) E CIRCUITOS CC SÉRIE ....................................................... 9 3.1.1 DIVISORES DE TENSÃO .............................................................. 12 3.1.2 RESISTORES EM SÉRIE E DIVISÃO DE TENSÃO................ 12 3.2 LEI DE KIRCHHOFF DAS CORRENTES OU LEI DOS NÓS (LKC) E CIRCUITOS CC PARALELO ............................................. 15 3.2.1 DIVISOR DE CORRENTE ............................................................. 19 3.2.2 RESISTORES EM PARALELO E DIVISÃO DE CORRENTE 21 3.3 FONTES DE TENSÃO EM SÉRIE E FONTES DE CORRENTE EM PARALELO .................................................................................... 23 3.4 MÉTODOS PARA ANÁLISE DE CIRCUITOS – MÉTODO DAS MALHAS OU MÉTODO DAS CORRENTES DE MALHA ........... 34 3.4.1 SUPER MALHAS – CIRCUITOS CONTENDO FONTES DE CORRENTE ........................................................................42 3.5 MÉTODOS PARA ANÁLISE DE CIRCUITOS – MÉTODO DOS NÓS OU MÉTODO DAS TENSÕES DE NÓS ............................... 45 3.5.1 MÉTODOS PARA ANÁLISE DE CIRCUITOS – MÉTODO DO SUPERNÓ ............................................................................................. 51 4. REFERÊNCIA BIBLIOGRÁFICA ........................................................ 54 1 UNIVERSIDADE FEDERAL DE SÃO PAULO CURSO: Engenharia Química Disciplina: Eletrotécnica Geral Profa. Rosimeire Aparecida Jerônimo Profa. Rosimeire Aparecida Jerônimo ANÁLISE DE CIRCUITOS E CIRCUITOS DE CORRENTE CONTÍNUA (CC) 1. INTRODUÇÃO E CONCEITOS FUNDAMENTAIS Em análise de circuitos estamos interessados em determinar as correntes que atravessam os elementos que compõem os circuitos. É possível fazer a análise de circuitos em corrente contínua – CC (direct current –DC, em inglês) ou em corrente alternada – CA (alternative current – AC, em inglês), em regime estacionário (após decorrido um longo intervalo de tempo desde a ligação do circuito) ou em regime transiente (comportamento que se segue à ligação do circuito e que desaparece com o tempo). A corrente que flui em apenas uma direção por todo o tempo é uma corrente contínua (CC), enquanto uma corrente que alterna a direção do fluxo é uma corrente alternada (CA). Usualmente, entretanto, corrente contínua se refere apenas a correntes constantes, e corrente alternada se refere apenas a correntes que variam senoidalmente com o tempo. Em qualquer dos casos, os conceitos de Ramo, Nó, Malha, Laço são aplicáveis. Na análise de circuitos são usadas as Leis de Kirchhoff para a Eletricidade. Elas são as chamadas Lei dos Nós e Lei das Malhas. Vamos, então tratar dos conceitos básicos: Ramo: Especificamente falando, um ramo de circuito é um componente simples como um resistor ou uma fonte. Ocasionalmente, entretanto, esse termo é aplicado a um grupo de componentes que é percorrido pela mesma corrente. Nó: Um nó é um ponto de conexão entre dois ou mais ramos. Em um diagrama de circuitos, um nó é algumas vezes indicado por um ponto, que pode ser um ponto de solda no circuito real. O nó também inclui todos os condutores conectados ao ponto. Em outras palavras, ele engloba todos os pontos de mesmo potencial. Se um curto-circuito conecta dois nós, esses dois nós são equivalentes e representam, na verdade, um único nó, mesmo quando existe a indicação de dois pontos distintos. 2 UNIVERSIDADE FEDERAL DE SÃO PAULO CURSO: Engenharia Química Disciplina: Eletrotécnica Geral Profa. Rosimeire Aparecida Jerônimo Profa. Rosimeire Aparecida Jerônimo Laço: Um laço é qualquer caminho fechado em um circuito. Malha: Uma malha é um laço que não possui caminhos fechados em seu interior. Não existem componentes dentro de uma malha. Além destas definições também são úteis as seguintes definições: Conexão série: Dois ou mais componentes estão conectados em série se eles estiverem conectados em seqüência e são percorridos pela mesma corrente. Conexão paralela: Dois ou mais componentes estão conectados em paralelo se eles estiverem conectados aos mesmos dois nós e estão submetidos à mesma tensão. 3 UNIVERSIDADE FEDERAL DE SÃO PAULO CURSO: Engenharia Química Disciplina: Eletrotécnica Geral Profa. Rosimeire Aparecida Jerônimo Profa. Rosimeire Aparecida Jerônimo 2. COMPONENTES DE CIRCUITOS ELÉTRICOS Consideraremos aqui, os circuitos elétricos compostos por resistores, indutores e capacitores, alimentados por fontes de corrente ou de tensão. Estas fontes podem ser independentes ou fontes controladas. Todos estes elementos estão mostrados na Figura 1. Figura 1 – Componentes de circuitos elétricos. 4 UNIVERSIDADE FEDERAL DE SÃO PAULO CURSO: Engenharia Química Disciplina: Eletrotécnica Geral Profa. Rosimeire Aparecida Jerônimo Profa. Rosimeire Aparecida Jerônimo Adotaremos, ainda, as polaridades apresentadas na Figura 2. A corrente elétrica entra no dispositivo (R (resistor), L (indutor), ou C (capacitor)) em seu pólo positivo e sai de uma fonte pelo seu pólo positivo. Figura 2 – Polaridade Em um diagrama de circuito, cada I (ou i) vem associado a uma seta para indicar a referência da direção da corrente. A seta especifica a direção do fluxo positivo de corrente, mas não necessariamente a direção do fluxo atual. Se, após cálculos, a corrente I encontrada é positiva, o atual fluxo de corrente é na direção da seta. Mas se I (corrente) é negativa, o fluxo é em direção oposta. Resistência: É a propriedade física de um componente ou dispositivo que se opõe à passagem de corrente elétrica. É representada pelo símbolo R e sua unidade de medida é o ohm (Ω). É uma medida da capacidade de um componente de dissipar energia de forma irreversível. Fonte: É um gerador de tensão ou de corrente capaz de fornecer energia a um circuito. Fonte independente: É um gerador de tensão ou de corrente que não depende de outras variáveis do circuito. + Fonte elemento i + 5 UNIVERSIDADE FEDERAL DE SÃO PAULO CURSO: Engenharia Química Disciplina: Eletrotécnica Geral Profa. Rosimeire Aparecida Jerônimo Profa. Rosimeire Aparecida Jerônimo Capacitor: O capacitor é um componente de dois terminais usado para modelar um dispositivo constituído por duas placas condutoras separadas por um material isolante. Cargas elétricas são armazenadas nas placas, e a região entre as placas é preenchida por um material isolante. Um capacitor armazena uma carga +q em uma das placas e uma carga de mesmo valor absoluto, -q na outra placa. A energia necessária para transportar a carga q da placa negativa para a placa positiva é fornecida pela tensão v da bateria. A carga q do capacitor é proporcional à tensão v usada para carregá- lo. O capacitor é um componente usado em quase topo tipo de dispositivo eletrônico. Ele permite armazenar cargas elétricas na forma de um campo eletrostático e mantê-la durante um certo período, mesmo que a alimentação elétrica seja cortada. Os capacitores são usados nas fontes de alimentação, nas placas mãe e em inúmeros outros componentes. A função mais comum é retificar e estabilizar a corrente elétrica, evitando que variações possam danificar qualquer dispositivo. É justamente por causa dos capacitores que nunca devemos tocar nos componentes internos da fonte de alimentação sem os cuidados adequados. Você pode levar um choque considerável mesmo que a fonte esteja desligada da tomada. Os capacitores são também a base da memória RAM, onde para cada bit (BInary digiT) de dados temos um capacitor e um transístor. O transístor se encarrega de ler e gravar o bit, enquanto o capacitor armazena-o. Quando o capacitor está descarregado temos um bit 0 e quando está carregado temos um bit 1. Como no caso da memória o capacitor mantém sua carga por apenas alguns milésimos de segundo, os dados precisam ser reescritos continuamente. É por isso que a memória RAM (Random-Access Memory) é volátil. A tensão em um capacitor não pode variar instantaneamente. Indutor: Um indutor é definido como um componente de dois terminais formado por uma bobina de N espiras, usado para introduzir indutância nos circuitos elétricos. A indutância é definida 6 UNIVERSIDADE FEDERAL DE SÃO PAULO CURSO: Engenharia Química Disciplina: Eletrotécnica Geral Profa. Rosimeire Aparecida Jerônimo Profa. Rosimeire Aparecida Jerônimo como a propriedade de um dispositivo elétrico pela qual uma corrente variável no tempo produz uma tensão. A corrente em um indutor não pode variar instantaneamente. Outras definições importantes são: Bipolo Elétrico: Um bipolo elétrico é, por definição, um dispositivo elétrico com dois terminais acessíveis, através do qual pode circular corrente elétrica. Toda a interação elétrica do bipolo com o mundo exterior só se faz através desses dois terminais. Em qualquer instante a corrente que entrar por um dos terminais deve ser igual à que sai pelo outro terminal. Alguns exemplos de bipolos elétricos; resistores, capacitores, indutores, etc. Os Geradores (ou Fontes) Ideais: Vamos definir aqui uma classe de bipolos ideais cuja função precípua é introduzir energia de forma continuada nas redes elétricas. Duas situações distintas são consideradas: os geradores independentes, cujos parâmetros não dependem das tensões ou correntes da rede, e os geradores controlados ou vinculados, que têm seus parâmetros ligados diretamente a alguma corrente ou tensão da rede. Comecemos pelos geradores independentes. Gerador Ideal de Tensão: O gerador ideal de tensão é um bipolo cuja tensão entre seus terminais é constantemente igual a uma dada função do tempo, independentemente da corrente que o atravessa. Esta função será designada por uma função de excitação. Um caso particular deste gerador é interessante: aquele em que a função de excitação reduz-se à função nula e diz-se então que o gerador está inativado ou desativado. Neste caso o gerador de tensão reduz-se a um curto-circuito. 7 UNIVERSIDADE FEDERAL DE SÃO PAULO CURSO: Engenharia Química Disciplina: Eletrotécnica Geral Profa. Rosimeire Aparecida Jerônimo Profa. Rosimeire Aparecida Jerônimo Finalmente, convém ressaltar que a corrente através de um gerador de tensão é determinada pelo circuito externo ao gerador. Gerador Ideal de Corrente: Um gerador ideal de corrente é um bipolo que fornece, por seus terminais, uma corrente de valor fixado por uma dada função do tempo, independentemente do valor da tensão entre seus terminais. Como caso particular, podemos ter a corrente em função do tempo identicamente nula. O gerador diz-se então inativado e corresponde, efetivamente, a um curto-circuito. Duas operações não devem ser feitas com estes geradores; colocar os geradores de tensão em curto-circuito ou colocar os geradores de corrente em circuito aberto. No primeiro caso teríamos uma corrente infinita no curto, ao passo que no segundo caso apareceria uma tensão infinita entre os terminais do gerador. Geradores vinculados (ou Fontes Controladas): Além dos geradores independentes, em que a função de excitação é dada a priori, convém também introduzir geradores em que a função de excitação é controlada por alguma tensão ou corrente do circuito. Com isso, a introdução de energia no circuito pode ser controlada pelo próprio circuito, criando possibilidades interessantes. Tais fontes serão úteis, entre outras coisas, para a construção de modelos de transistores e outros dispositivos semicondutores, ou mesmo de dispositivos eletromecânicos, como máquinas elétricas. Podemos considerar geradores de tensão ou de corrente, controlados por outras tensões ou correntes. Há quatro possibilidades: - fonte (ideal) de tensão controlada por tensão; 8 UNIVERSIDADE FEDERAL DE SÃO PAULO CURSO: Engenharia Química Disciplina: Eletrotécnica Geral Profa. Rosimeire Aparecida Jerônimo Profa. Rosimeire Aparecida Jerônimo - fonte (ideal) de tensão controlada por corrente; - fonte (ideal) de corrente controlada por tensão; - fonte (ideal) de corrente controlada por corrente. Funções de Excitação: As correntes ou tensões associadas às fontes independentes serão descritas por funções de excitação. Esta designação provém do fato que os geradores independentes excitam as redes elétricas, causando tensões ou correntes que serão consideradas respostas a essas excitações. Alguns tipos de funções de excitação mais usados, são: excitação contínua, excitação em degrau, excitação impulsiva, excitação exponencial, excitação co-senoidal (ou senoidal), excitações exponenciais complexas. 9 UNIVERSIDADE FEDERAL DE SÃO PAULO CURSO: Engenharia Química Disciplina: Eletrotécnica Geral Profa. Rosimeire Aparecida Jerônimo Profa. Rosimeire Aparecida Jerônimo 3. CIRCUITOS DE CORRENTE CONTÍNUA (CC) A corrente contínua CC (DC) é um fluxo constante das cargas elétricas de um potencial alto para baixo. Na historia da ciência da eletricidade, uma corrente convencional é definida como um fluxo de cargas positivas. O circuito de corrente continua é um circuito cuja corrente elétrica flui apenas numa só direção. O CC encontra-se em muitas aplicações de tensão baixa, especialmente nas aplicações que utilizam Bateria. A maioria dos circuitos eletrônicos requer uma fonte de alimentação CC. Uma corrente elétrica contínua flui somente quando o circuito elétrico está fechado, mas deixa completamente de fluir quando o circuito está aberto. Corrente contínua é constante com o tempo (exemplo: pilhas, acumuladores, circuitos eletrônicos e outros). 3.1. LEI DE KIRCHHOFF DAS TENSÕES OU LEI DAS MALHAS (LKT) E CIRCUITOS CC SÉRIE A Lei de Kirchhoff das Tensões ou Lei das Malhas, abreviada por LKT, possui três versões equivalentes: A qualquer instante em um laço, tanto no sentido horário quanto no anti- horário, 1. A soma algébrica das quedas de tensão é igual a zero. 2. A soma algébrica das elevações de tensão é igual a zero. 3. A soma algébrica das quedas de tensão é igual à soma algébrica das elevações de tensão. Em todas as versões; a palavra “algébrica” significa que os sinais das quedas ou das elevações de tensão devem ser considerados na adição, lembrando que uma elevação de tensão é uma queda de tensão negativa e uma queda de tensão é uma elevação negativa. Para laços que não possuem fontes de corrente, a versão mais conveniente é a terceira, sendo que 10 UNIVERSIDADE FEDERAL DE SÃO PAULO CURSO: Engenharia Química Disciplina: Eletrotécnica Geral Profa. Rosimeire Aparecida Jerônimo Profa. Rosimeire Aparecida Jerônimo as quedas de tensão são somente sobre resistores e as elevações são fontes de tensão. Na aplicação da LKT, normalmente considera-se o sentido horário de corrente como referência, conforme mostrado na Figura 3, e então a LKT é aplicada na direção da corrente (este é um circuito série porque a mesma corrente I circula em todos os componentes). A soma das quedas de tensão sobre os resistores, 321 VVV , é igual à elevação de tensão sV sobre a fonte de tensão: sVVVV 321 . Figura 3 – Circuito CC em série. Então a Lei de Ohm RI é substituída para as tensões nos resistores: TRIsV RRRIsV IRIRIRsV VVVsV 321 321 321 sendo que: T R sVI e 321 RRR T R , que é a resistência total dos resistores, com símbolo TR , ou resistência equivalente, com símbolo eqR . 11 UNIVERSIDADE FEDERAL DE SÃO PAULO CURSO: Engenharia Química Disciplina: Eletrotécnica Geral Profa. Rosimeire Aparecida Jerônimo Profa. Rosimeire Aparecida Jerônimo A partir desse resultado fica evidente que a resistência equivalente de resistores conectados em série é a soma das resistências individuais: N RRRR T R ... 321 Da mesma forma, se todas as resistências são iguais a R e se existem N resistores, então RN T R Encontrando-se a corrente total em um circuito série, é mais fácil aplicar a LKT após o cálculo da resistência equivalente. Se um circuito série possui mais que uma fonte de tensão, então NN sVsVsVsVRRRRI 321321 onde cada termo sV é positivo para uma elevação de potencial e negativo para uma queda de potencial na direção de I . A LKT é raramente aplicada para um laço contendo fontes de corrente, porque a tensão sobre uma fonte de corrente não é conhecida. Sobre a Lei de Kirchhoff para Tensões ou Lei das Malhas (LKT), podemos resumir que: 0 1 N k k V Lei de Kirchhoff para Tensões ou Lei das Malhas (LKT): A soma algébrica das tensões ao longo de uma malha em qualquer instante é zero. 12 UNIVERSIDADE FEDERAL DE SÃO PAULO CURSO: Engenharia Química Disciplina: Eletrotécnica Geral Profa. Rosimeire Aparecida Jerônimo Profa. Rosimeire Aparecida Jerônimo 3.1.1 DIVISORES DE TENSÃO Um divisor de tensão ou a regra para a divisão de tensão se aplica para resistores série. Essa lei fornece a tensão sobre qualquer resistor em função da resistência e da tensão sobre todos os resistores em série – a etapa de se encontrar a corrente no resistor é eliminada. A fórmula de divisores de tensão é fácil de ser encontrada a partir do circuito mostrado na Figura 3. Considere que se deseja encontrar a tensão 2V . Pela Lei de Ohm, 22 IRV e 321 RRR V I s . Substituindo-se o valor de I (corrente) na equação de 2 V , obtida pela Lei de Ohm, temos que: sV RRR R V 321 2 2 Geralmente, para qualquer número de resistores em série com uma resistência total T R e com uma tensão sV sobre a combinação série, a tensão xV sobre o resistor xR é: sV N RRRR xR xV 321 Ou seja: sV T R xR xV 3.1.2 RESISTORES EM SÉRIE E DIVISÃO DE TENSÃO Exemplo 1: Seja o circuito da Figura 4. Este exemplo reflete basicamente no circuito apresentado na Figura 3 e suas respectivas equações: 13 UNIVERSIDADE FEDERAL DE SÃO PAULO CURSO: Engenharia Química Disciplina: Eletrotécnica Geral Profa. Rosimeire Aparecida Jerônimo Profa. Rosimeire Aparecida Jerônimo Figura 4 – Circuito série – Aplicação de Divisão de Tensão. Observe por exemplo: 1R e 2R estão ligados ao nó “b”, e que nenhum outro componente do circuito está ligado a este nó. Isto significa que: a: 1 IIs b: 21 II c: 32 II d: 13 II E, portanto: 321 IIs II Qual é o valor de 1 I ? 321 3211 131211 321 ).( RRR V I RRRIV IRIRIR VV s s s V VVs 14 UNIVERSIDADE FEDERAL DE SÃO PAULO CURSO: Engenharia Química Disciplina: Eletrotécnica Geral Profa. Rosimeire Aparecida Jerônimo Profa. Rosimeire Aparecida Jerônimo Qual o valor de 2 V ? sV RRR R V IRV 321 2 122 2 . Exemplo 2: Dado o circuito da Figura 5: a) Determine qual deve ser o valor da resistência 2 R no circuito para que a tensão em 2 R seja 4 1 da tensão da fonte para 9 1 R . b) Determine também a corrente no circuito para VVs 12 . Figura 5 – Circuito divisor de tensão com 9 1 R . SOLUÇÃO: a) A tensão no resistor 2 R é: s V RR R V 21 2 2 Como queremos que 4 12 s V V , temos: 15 UNIVERSIDADE FEDERAL DE SÃO PAULO CURSO: Engenharia Química Disciplina: Eletrotécnica Geral Profa. Rosimeire Aparecida Jerônimo Profa. Rosimeire Aparecida Jerônimo 32 923 2429 29 2 4 1 :tan),( 29 2 4 1 R R RR R R toporesVsecancelasVR R sV b) Aplicando a LKT à única malha, temos: 21 21 0 RiRiV VVV s s 21 RR V i s Ai i i 1 12 12 39 12 3.2 LEI DE KIRCHHOFF DAS CORRENTES OU LEI DOS NÓS (LKC) E CIRCUITOS CC PARALELO A Lei de Kirchhoff das Correntes, abreviada por LKC, possui três diferentes versões: Em qualquer instante em um circuito, 1. A soma algébrica das correntes que chegam em uma superfície fechada é zero. 16 UNIVERSIDADE FEDERAL DE SÃO PAULO CURSO: Engenharia Química Disciplina: Eletrotécnica Geral Profa. Rosimeire Aparecida Jerônimo Profa. Rosimeire Aparecida Jerônimo 2. A soma algébrica das correntes que saem de uma superfície fechada é zero. 3. A soma algébrica das correntes que chegam em uma superfície fechada é igual à soma algébrica das correntes que saem de uma superfície fechada. A palavra “algébrica” significa que os sinais das correntes devem ser considerados na soma, lembrando que uma corrente que entra é uma corrente negativa que sai e que uma corrente que sai é uma corrente negativa que entra. Em quase todas as aplicações de circuitos, as superfícies fechadas são os nós citados anteriormente; por isso em geral é usada a palavra “nó” no lugar de “superfície fechada” nas versões LKC. Além disso, para cada nó no qual não existem fontes de tensão conectadas, a mais adequada é a terceira versão, onde as correntes que chegam vêm de fontes de corrente e as correntes que saem o fazem através de resistores. Na aplicação da LKC, um nó é escolhido como referência, ou terra, e indicado pelo símbolo ( ). Normalmente o nó mais inferior do diagrama do circuito é o nó de referência, como mostrado no circuito paralelo da Figura 6. (Esse é um circuito paralelo porque a mesma tensão V está sobre todos os componentes do circuito). Figura 6 – Circuito CC em paralelo. 17 UNIVERSIDADE FEDERAL DE SÃO PAULO CURSO: Engenharia Química Disciplina: Eletrotécnica Geral Profa. Rosimeire Aparecida Jerônimo Profa. Rosimeire Aparecida Jerônimo As tensões nos outros nós são sempre consideradas positivas em relação ao nó de referência. Para o nó que não é considerado como referência no circuito mostrado na Figura 6, a soma das correntes que saem pelos resistores, 321 III é igual à corrente sI que chega nesse nó vinda da fonte de corrente: sIIII 321 . Substituindo GVI , que é a Lei de Ohm, temos que: 321 IIIIs VGVGVGIs 321 VGGGIs )( 321 VGI Ts Sendo que TG I V s e 321 GGGGT . Logo, 321 111 RRR V . A condutância TG é a condutância total, ou condutância equivalente, do circuito, também escrita como eqG . A partir desse resultado é evidente que a condutância total de resistores conectados em paralelo é igual à soma das condutâncias individuais: NGGGGGT 321 NGGGGGG N n nT 321 1 Se as condutâncias forem iguais ( G ), e se existirem N condutâncias, então GNGT e N R GNGT TR 11 . Encontrando-se a tensão em um circuito paralelo é mais fácil utilizar a condutância total do que aplicar a LKC diretamente. Condutância elétrica é o recíproco da resistência elétrica. A unidade derivada do SI (Sistema Internacional de Unidades) de condutância é o siemens (símbolo S, igual a Ω-1). 18 UNIVERSIDADE FEDERAL DE SÃO PAULO CURSO: Engenharia Química Disciplina: Eletrotécnica Geral Profa. Rosimeire Aparecida Jerônimo Profa. Rosimeire Aparecida Jerônimo Às vezes é preferível trabalhar com resistência em vez de condutâncias. Assim, de NGGGGGT TR 321 11 . Portanto: NRRRR TR 1111 1 321 Um dado importante para se verificar o valor encontrado para TR é que o valor deve ser sempre menor que o menor dos resistores do circuito em paralelo. Para o caso especial de apenas dois resistores em paralelo, temos: 21 21 21 11 1 RR RR RR TR Assim a resistência equivalente de dois resistores em paralelo é o produto das resistências dividido pela soma. O símbolo ║, como em 1R ║ 2R , indica a resistência de dois resistores em paralelo: 1R ║ 2R = 21 21 RR RR . Se um circuito paralelo possui mais de uma fonte de corrente, temos que: Nssss IIIIVGGGG N 321321 onde cada termo sI é positivo para fontes de corrente que chegam ao nó (que não seja o de referência) e negativo para fontes de corrente que saem desse nó. A LKC é raramente aplicada para nós que possuem fontes de tensão conectadas, porque a corrente através de uma fonte de tensão não é conhecida. Em síntese, a Lei de Kirchhoff para Correntes ou Lei dos Nós (LKC), pode ser enunciada, como: 19 UNIVERSIDADE FEDERAL DE SÃO PAULO CURSO: Engenharia Química Disciplina: Eletrotécnica Geral Profa. Rosimeire Aparecida Jerônimo Profa. Rosimeire Aparecida Jerônimo 0 1 N k ki , sendo que a corrente elétrica dt dq i 3.2.1 DIVISOR DE CORRENTE Um divisor de corrente ou a regra para a divisão de corrente aplica-se a resistores em paralelo. Essa lei fornece a corrente através de qualquer resistor em função da condutância e da corrente na combinação paralela – a etapa de se encontrar a tensão sobre o resistor é eliminada. A fórmula de divisores de corrente é fácil de ser encontrada a partir do circuito da Figura 6 Considerando-se que se deseja encontrar a corrente 2I , pela Lei de Ohm VGI 22 . Da mesma forma, 321 GGG I V s . Substituindo- se o valor de V , na equação de 2I (dada pela Lei de Ohm), temos: sI GGG G I 321 2 2 Geralmente, para qualquer número de resistores em paralelo com uma condutância total TG e com uma corrente sI entrando na combinação paralela, a corrente sI através de um dos resistores com condutância xG é: s T x x I G G I Essa é a fórmula para divisores de corrente. Para essa fórmula sI e xI devem ter como referência a mesma direção, com xI saindo do nó dos resistores paralelo e sI entrando. Se ambas as correntes estiverem entrando nesse nó, a fórmula deverá ter um sinal negativo. A corrente sI não deve ser uma fonte, mas apenas a corrente total dos resistores em paralelo. Lei de Kirchhoff para correntes ou Lei dos Nós (LKC): A soma algébrica das correntes em um nó em qualquer instante é zero. 20 UNIVERSIDADE FEDERAL DE SÃO PAULO CURSO: Engenharia Química Disciplina: Eletrotécnica Geral Profa. Rosimeire Aparecida Jerônimo Profa. Rosimeire Aparecida Jerônimo Para um caso especial de dois resistores em paralelo, a fórmula é normalmente expressa em função de resistências em vez de condutâncias. Se duas resistências são 1R e 2R , a corrente a corrente 1I no resistor de resistência 1R é: sI GG G I 21 1 1 sI RR R I 21 1 1 11 1 sI RR R I 21 2 1 Para o caso de dois resistores em paralelo, a equação de 1I obtida acima, pode ser verificada na resolução do circuito, dado a seguir: Figura 7 – Circuito paralelo com uma fonte de corrente. Como indicado pela fórmula, a corrente que circula em um dos resistores paralelos é igual à resistência do outro resistor dividida pela soma das resistências, com o resultado multiplicado pela corrente que circula na combinação paralela. 21 UNIVERSIDADE FEDERAL DE SÃO PAULO CURSO: Engenharia Química Disciplina: Eletrotécnica Geral Profa. Rosimeire Aparecida Jerônimo Profa. Rosimeire Aparecida Jerônimo 3.2.2 RESISTORES EM PARALELO E DIVISÃO DE CORRENTE Exemplo 3: Para o circuito dado a seguir: Figura 8 – Circuito paralelo do exemplo de divisor de corrente. Sabendo-se que: 2 1 1R , 4 1 2R , 8 1 3R Determine: a) A corrente em cada ramo. b) O circuito equivalente. c) A tensão V . SOLUÇÃO: a) O divisor de corrente obedece à equação: s T x x I G G I 22 UNIVERSIDADE FEDERAL DE SÃO PAULO CURSO: Engenharia Química Disciplina: Eletrotécnica Geral Profa. Rosimeire Aparecida Jerônimo Profa. Rosimeire Aparecida Jerônimo NGGGGGG N n nT 321 1 SGT 14842 Logo: s T I G G I 11 28 14 2 1 I AI 41 s T I G G I 22 28 14 4 2 I AI 82 s T I G G I 33 28 14 8 3 I AI 163 b) O circuito equivalente é: 23 UNIVERSIDADE FEDERAL DE SÃO PAULO CURSO: Engenharia Química Disciplina: Eletrotécnica Geral Profa. Rosimeire Aparecida Jerônimo Profa. Rosimeire Aparecida Jerônimo c) TG I V 14 28 V VV 2 3.3 FONTES DE TENSÃO EM SÉRIE E FONTES DE CORRENTE EM PARALELO Fontes de tensão ligadas em série são equivalentes a uma única fonte de tensão. A tensão da fonte de tensão equivalente é igual à soma das tensões das fontes de tensão em série. Substituir fontes de tensão em série por uma única fonte de tensão equivalente não muda a tensão e a corrente nos outros componentes do circuito. A corrente da fonte de corrente equivalente é igual à soma das correntes das fontes de corrente em paralelo. Não podemos ligar fontes de corrente independentes em série. Componentes em série têm a mesma corrente. Esta restrição impede que fontes de corrente em série sejam independentes. Da mesma forma, fontes de tensão independentes não podem ser ligadas em paralelo. A Tabela 1 mostra as ligações em série e em paralelo de fontes de tensão e de corrente. 24 UNIVERSIDADE FEDERAL DE SÃO PAULO CURSO: Engenharia Química Disciplina: Eletrotécnica Geral Profa. Rosimeire Aparecida Jerônimo Profa. Rosimeire Aparecida Jerônimo Tabela 1 - Fontes de Tensão e Corrente em Série e em Paralelo CIRCUITO CIRCUITO EQUIVALENTE Impossível 25 UNIVERSIDADE FEDERAL DE SÃO PAULO CURSO: Engenharia Química Disciplina: Eletrotécnica Geral Profa. Rosimeire Aparecida Jerônimo Profa. Rosimeire Aparecida Jerônimo Impossível 26 UNIVERSIDADE FEDERAL DE SÃO PAULO CURSO: Engenharia Química Disciplina: Eletrotécnica Geral Profa. Rosimeire Aparecida Jerônimo Profa. Rosimeire Aparecida Jerônimo Exemplo 4: Dado o seguinte circuito: Figura 9 – Circuito do exemplo 4. Suponha que: AI c 4 , 21R , 62R , 33R VVa 1 , VVb 3 Calcule: aI , bI , 1I , 2I , 3I , 1V , 2V , 3V e cV SOLUÇÃO: Fazendo-se a equivalência das fontes de tensão, temos o seguinte circuito elétrico: 27 UNIVERSIDADE FEDERAL DE SÃO PAULO CURSO: Engenharia Química Disciplina: Eletrotécnica Geral Profa. Rosimeire Aparecida Jerônimo Profa. Rosimeire Aparecida Jerônimo Figura 10 – Circuito de equivalência das fontes de tensão dado no exemplo 4. bas III (ex. 4–1) bas VVV (ex. 4-2) sc III 1 (ex. 4-3) 1 1 1 R V I (ex. 4-4) sc I R V I 1 1 sI V 2 4 1 sIV 28 1 (ex. 4-5) 32 IIIs (ex. 4-6) 3 2 2 I R V I s 3 2 6 I V I s (ex. 4–7) 1VVc (ex. 4-8) 28 UNIVERSIDADE FEDERAL DE SÃO PAULO CURSO: Engenharia Química Disciplina: Eletrotécnica Geral Profa. Rosimeire Aparecida Jerônimo Profa. Rosimeire Aparecida Jerônimo 21 VVV s (ex. 4-9) 32 VV (ex. 4-10) 332 IRV 32 3IV (ex. 4-11) Substituindo-se a equação (ex. 4-11) na equação (ex. 4-7), temos: 3 2 6 I V I s 3 3 6 3 I I I s 335,0 IIIs 35,1 IsI (ex.4-12) Como: bas VVV 31sV VVs 4 Da equação (ex. 4-9), temos: 21 VVV s Substituindo-se a equação (ex. 4-11) e o valor obtido de sV , na equação acima, temos: 31 34 IV (ex. 4-13) Substituindo-se as equações (ex. 4-13) e (ex. 4-12) na equação (ex. 4-5), temos: sIV 28 1 35,123348 II 33 334 II 29 UNIVERSIDADE FEDERAL DE SÃO PAULO CURSO: Engenharia Química Disciplina: Eletrotécnica Geral Profa. Rosimeire Aparecida Jerônimo Profa. Rosimeire Aparecida Jerônimo 364 I 6 4 3 I AI 67,03 Da equação (ex. 4-12), temos que: 35,1 II s 67,05,1 sI AI s 1 Da equação (ex. 4-1), temos: bas III AIII bas 1 Da equação (ex. 4-5), temos: sIV 28 1 128 1 V VV 61 Da equação (ex. 4-11), temos: 32 3IV 67,03 2 V VV 2 2 30 UNIVERSIDADE FEDERAL DE SÃO PAULO CURSO: Engenharia Química Disciplina: Eletrotécnica Geral Profa. Rosimeire Aparecida Jerônimo Profa. Rosimeire Aparecida Jerônimo Da equação (ex. 4-10), temos: 32 VV VV 2 3 Da equação (ex. 4-9), temos: (Obs.: Outra opção de se calcular 1V ). 21 VVV s 241 V VV 61 Da equação (ex. 4- 8), temos que: 1VVc . Logo: VcV 6 Da equação (ex. 4-3), temos: sc III 1 1 1 1 R V Ic 1 2 6 cI AIc 4 Conseqüentemente, da equação (ex. 4-4), temos: 1 1 1 R V I 31 UNIVERSIDADE FEDERAL DE SÃO PAULO CURSO: Engenharia Química Disciplina: Eletrotécnica Geral Profa. Rosimeire Aparecida Jerônimo Profa. Rosimeire Aparecida Jerônimo 2 6 1 I AI 31 Da equação (ex. 4-6), temos: 32 IIIs 67,01 2 I AI 33,02 Portanto, temos que: AaI 1 ; AbI 1 ; AI 31 ; AI 33,02 ; AI 67,03 ; VV 61 ; VV 22 ; VV 23 e VcV 6 Exercício 1: Considere o circuito da figura dada a seguir. Sabendo-se que: 31R , 92R , 23R , 84R , 85R e 186R . Determine a corrente 1I . Figura 11 – Circuito do exercício 1. 32 UNIVERSIDADE FEDERAL DE SÃO PAULO CURSO: Engenharia Química Disciplina: Eletrotécnica Geral Profa. Rosimeire Aparecida Jerônimo Profa. Rosimeire Aparecida Jerônimo SOLUÇÃO: Fazendo-se a resistência equivalente entre 4R e 5R , temos: 5//4 RR 54 54 RR RR pR 88 88 pR 16 64 pR 4pR Portanto, 3R fica em série com pR , sendo que: pp RRR 31 42 1 pR 6 1p R Redesenhando o circuito, temos: Figura 11(a) – Resolvendo as resistências paralelas do circuito da figura 11. 33 UNIVERSIDADE FEDERAL DE SÃO PAULO CURSO: Engenharia Química Disciplina: Eletrotécnica Geral Profa. Rosimeire Aparecida Jerônimo Profa. Rosimeire Aparecida Jerônimo Fazendo-se as condutâncias do circuito, temos: SpG pG pG pG 3 1 18 6 18 231 9 1 6 1 18 1 Portanto, a simplificação do circuito fica da seguinte forma: Figura 11(b) – Simplificação do circuito da figura 11. A resistência de 3 , pode se escrita na forma de condutância ( 1G ), sendo que neste caso, temos: 1GpGTG 3 1 3 1 TG 34 UNIVERSIDADE FEDERAL DE SÃO PAULO CURSO: Engenharia Química Disciplina: Eletrotécnica Geral Profa. Rosimeire Aparecida Jerônimo Profa. Rosimeire Aparecida Jerônimo STG 3 2 sI TG xGI 1 sII 2 3 3 1 1 sII 2 1 1 Resp.: sII 2 1 1 3.4 MÉTODOS PARA ANÁLISE DE CIRCUITOS – MÉTODO DAS MALHAS OU MÉTODO DAS CORRENTES DE MALHA Em análise de circuitos, a excitação e o circuito são conhecidos. A resposta é a tensão ou a corrente em um ou em vários elementos do circuito. Apresentaremos aqui a método das malhas para a análise de circuitos elétricos. Vamos considerar o circuito elétrico mostrado na Figura 12. Este circuito é composto por três resistores, 1R , 2R , 3R e é alimentado por duas fontes de tensão, 1v e 2v . 35 UNIVERSIDADE FEDERAL DE SÃO PAULO CURSO: Engenharia Química Disciplina: Eletrotécnica Geral Profa. Rosimeire Aparecida Jerônimo Profa. Rosimeire Aparecida Jerônimo Figura 12 – Correntes de malhas. Para cada malha, há uma equação de malha correspondente. As equações de malha são obtidas usando-se os seguintes procedimentos : Com relação a primeira malha : O coeficiente da primeira corrente, 1i é a soma dos valores das resistências que pertencem a sua malha. Então, a corrente 1i será multiplicada por ( 31 RR ) já que são estes os valores das resistências que pertencem a sua malha. O coeficiente das correntes de qualquer outra malha é o negativo da soma dos valores das resistências comuns a primeira e a malha considerada. Assim, a corrente da outra malha, 2i , será multiplicada por 3R , pois 3R é o valor da resistência comum as duas malhas. O lado direito da equação é formado pela soma algébrica das fontes de tensão que pertencem à malha. Desta forma, para esta malha, temos a equação: 123131 viRiRR Com relação à segunda malha: O coeficiente da segunda corrente, 2i , é a soma dos valores das resistências que pertencem à sua malha. Então, a corrente 2i será multiplicada por 32 RR já que são estes os valores das resistências que pertencem à sua malha. O coeficiente das correntes de qualquer outra malha é o negativo da soma dos valores das resistências comuns à segunda e a malha considerada. Assim, a Malha 1 Malha 2 36 UNIVERSIDADE FEDERAL DE SÃO PAULO CURSO: Engenharia Química Disciplina: Eletrotécnica Geral Profa. Rosimeire Aparecida Jerônimo Profa. Rosimeire Aparecida Jerônimo corrente da outra malha 1i , será multiplicada por 3R , pois 3R é o valor da resistência comum às duas malhas. O lado direito da equação é formado pela soma algébrica das fontes de tensão que pertencem à malha. Assim, para esta malha, temos a equação: 223213 viRRiR Caso existam outras malhas e, conseqüentemente, outras correntes de malhas, repete-se estes procedimentos para cada uma delas. Para o circuito apresentado, o sistema de equações é, então: 123131 viRiRR 223213 viRRiR Ou, na forma matricial: 2 1 2 1 323 331 v v i i RRR RRR Exemplo 5: Utilizando as equações de malha obtidas para o circuito mostrado na Figura 12, e considerando 21R , 12R , 43R , Vv 21 e Vv 62 , calcular os valores de 1i e 2i . SOLUÇÃO: Do desenvolvimento das equações realizadas anteriormente, e substituindo-se os valores dos resistores e tensões dadas, podemos escrever as equações de malha: 37 UNIVERSIDADE FEDERAL DE SÃO PAULO CURSO: Engenharia Química Disciplina: Eletrotécnica Geral Profa. Rosimeire Aparecida Jerônimo Profa. Rosimeire Aparecida Jerônimo Equações de malha: 6414 2442 21 21 ii ii Ou na forma matricial: 6 2 54 46 2 1 i i Daí resolvendo-se o sistema de equações ou a forma matricial, encontramos: Ai Ai 22 11 Nota: Como os cálculos das correntes deram negativos, isto indica que o fluxo de cada corrente de malha definido no circuito é em direção oposta. Observação: Para equações de malha mais complexas (“ resolvendo analiticamente, sem o uso de uma calculadora científica”), normalmente usa-se a “Regra de Cramer” para a solução do problema. Algum conhecimento de determinantes é necessário para a utilização da Regra de Cramer, que é um método popular para a resolução de equações simultâneas na análise de circuitos. 38 UNIVERSIDADE FEDERAL DE SÃO PAULO CURSO: Engenharia Química Disciplina: Eletrotécnica Geral Profa. Rosimeire Aparecida Jerônimo Profa. Rosimeire Aparecida Jerônimo Exercício 2: Obter, usando as equações de malha, os valores das correntes elétricas que circulam no circuito, ou seja, 1i , 2i , 3i conforme mostrado na Figura 13. Figura 13 – Obtenção da corrente sobre o resistor de .105 R Admite-se que: V1 = 15 V; ;81 R ;52 R ;33 R ;24 R .105 R SOLUÇÃO: Obtemos as seguintes equações de malha: 02211323531:3 03213242223:2 131231311:1 iRiRiRiRiRMalha iRiRiRiRiRMalha viRiRiRiRMalha 39 UNIVERSIDADE FEDERAL DE SÃO PAULO CURSO: Engenharia Química Disciplina: Eletrotécnica Geral Profa. Rosimeire Aparecida Jerônimo Profa. Rosimeire Aparecida Jerônimo Substituindo os valores dos resistores e das tensões, temos: 025183531038:3 03513222523:2 1538231318:1 iiiiiMalha iiiiiMalha iiiiMalha Das equações de malha, descritas anteriormente, temos: 03232518:3 03521013:2 153823111:1 iiiMalha iiiMalha iiiMalha Escrevendo as equações de malha, na forma matricial, temos: Forma matricial: 0 0 15 3 2 1 2358 5103 8311 i i i O sistema linear descrito anteriormente, pode ser representado da seguinte forma: 0 BAX ou seja: BAX 1 A X B 40 UNIVERSIDADE FEDERAL DE SÃO PAULO CURSO: Engenharia Química Disciplina: Eletrotécnica Geral Profa. Rosimeire Aparecida Jerônimo Profa. Rosimeire Aparecida Jerônimo Sendo que A é a matriz dos coeficientes, B é o vetor dos termos independentes e X é o vetor das incógnitas. O vetor X , no nosso caso, é o vetor das correntes. Para a resolução das variáveis das equações encontradas, utilizaremos a Regra de Cramer, que será apresentada a seguir. Observação: Antes de a Regra de Cramer poder ser aplicada na solução de equações, elas devem ser arranjadas com as incógnitas do lado esquerdo do sinal de igualdade e as variáveis conhecidas do lado direito (o qual isso pode ser visto nitidamente, na colocação das equações de malha na sua forma matricial, conforme foi apresentado anteriormente). As incógnitas devem estar na mesma ordem em todas as equações. Por exemplo, no nosso caso, 1i deve ser a primeira incógnita em todas as equações, 2i deve ser a segunda incógnita e assim por diante. Dessa forma, pela Regra de Cramer, cada incógnita é encontrada pela relação entre duas determinantes. A determinante do denominador é sempre a mesma, sendo formada pelos coeficientes das incógnitas. Cada determinante do numerador difere do denominador apenas em uma coluna. Para a 1ª. incógnita, a determinante do numerador tem a primeira coluna substituída pelos termos que estão à direita do sinal de igualdade das equações; para a 2ª. incógnita, tem a segunda coluna, e assim sucessivamente. Portanto, para a resolução do exercício dado, teremos: 2358 5103 8311 A , 3 2 1 i i i X , 0 0 15 B 1168 )det( A 41 UNIVERSIDADE FEDERAL DE SÃO PAULO CURSO: Engenharia Química Disciplina: Eletrotécnica Geral Profa. Rosimeire Aparecida Jerônimo Profa. Rosimeire Aparecida Jerônimo 2350 5100 8315 1X ; 3075)1det( X 2308 503 81511 2X ; 1635)2det( X 058 0103 15311 3X ; 1425)3det( X Logo: A X iX det 1det 11 1168 3075 1 i Ai 6327,21 A X iX det 2det 22 1168 1635 2 i Ai 3998,12 A X iX det 3det 33 1168 1425 3 i Ai 22,13 42 UNIVERSIDADE FEDERAL DE SÃO PAULO CURSO: Engenharia Química Disciplina: Eletrotécnica Geral Profa. Rosimeire Aparecida Jerônimo Profa. Rosimeire Aparecida Jerônimo 3.4.1. SUPER MALHAS – CIRCUITOS CONTENDO FONTES DE CORRENTE Exemplo 6: Analise o circuito da Figura 14 que tem duas fontes de corrente e uma fonte de tensão. Figura 14 – Circuito com duas fontes de corrente e uma de tensão. SOLUÇÃO: Com as correntes de malha, 1 i , 2 i e 3 i escolhidas como indicado, é claro que necessitamos de três equações independentes. Entretanto, nem todas estas precisam ser equações de malha. A presença de duas fontes de corrente nos dá duas restrições que podem ser obtidas por inspeção, ou seja: 213 12 g g iii ii (ex. 6-1) Portanto, só necessitamos de mais uma equação. Desde que ela terá que vir da LKT, precisamos selecionar um percurso fechado no qual todas as tensões sejam facilmente obtidas. Isto é, devemos evitar as fontes de corrente visto que suas tensões não são facilmente encontradas. Se imaginarmos por um instante que as duas fontes de corrente são removidas, isto é, abertas, então teremos duas malhas a menos. Mas já temos duas equações, então ainda existem malhas suficientes para o número de equações necessário. Além disto, os laços que sobram (eles não podem ser malhas) terão somente resistores e fontes de tensão e, portanto, a LKT é 43 UNIVERSIDADE FEDERAL DE SÃO PAULO CURSO: Engenharia Química Disciplina: Eletrotécnica Geral Profa. Rosimeire Aparecida Jerônimo Profa. Rosimeire Aparecida Jerônimo facilmente aplicável. Ressalte que não estamos retirando as fontes de corrente. Apenas as imaginamos fora por um instante para localizar os laços onde a LKT será aplicada. Retornando à Figura 14 e imaginando por um momento que as fontes de corrente estejam abertas, observamos que temos apenas uma malha, a saber, a malha que contém 3gv , 1R , 2R e 3R . Aplicando a LKT a esta malha, obtemos a nossa terceira equação. 333232211 )()( gviRiiRiiR (ex. 6-2) A análise do circuito pode agora ser completada pela solução de (ex. 5-1) e (ex. 5-2). A aplicação numérica do circuito será apresentada no exemplo 7. Exemplo 7: Como um exemplo, vamos completar a análise da Figura 14, fazendo 41R , 12R , 33R , Aig 21 , Aig 52 , 383 gv volts, conforme mostra a Figura 15. Figura 15 – Circuito com duas fontes de corrente e uma de tensão. 44 UNIVERSIDADE FEDERAL DE SÃO PAULO CURSO: Engenharia Química Disciplina: Eletrotécnica Geral Profa. Rosimeire Aparecida Jerônimo Profa. Rosimeire Aparecida Jerônimo SOLUÇÃO: Resolvendo a partir das equações (ex. 6-1) e (ex. 6-2) vem: 5 2 13 2 ii i 383)(1)(4 32321 iiiii De onde obtém-se 11 i , 22 i e Ai 63 . Neste exemplo, podemos simplificar o processo pelo uso de corrente de laço, em vez de correntes de malha. Suponha que o problema é encontrar a corrente que desce sobre 3R , que é evidente, Ai 63 . Vamos usar as correntes de laço ai , bi e ci , como na Figura 15, onde ci é agora a corrente que desce sobre 33R , e nos será útil tomar somente uma corrente de laço, que é a mesma da fonte de corrente. Por inspeção temos: Aia 2 e pela LKT em volta do laço de ci : 383)(1)(4 ccacba iiiiii ou, 383)2(1)52(4 ccc iii Logo: Ai i i i iii c c c c ccc 6 488 10388 38108 3832412 45 UNIVERSIDADE FEDERAL DE SÃO PAULO CURSO: Engenharia Química Disciplina: Eletrotécnica Geral Profa. Rosimeire Aparecida Jerônimo Profa. Rosimeire Aparecida Jerônimo Como anteriormente. 3.5 MÉTODOS PARA ANÁLISE DE CIRCUITOS – MÉTODO DOS NÓS OU MÉTODO DAS TENSÕES DE NÓS Conforme já foi apresentado, sabemos que um nó, por definição, é um ponto de interconexão de elementos. Para a análise de nós, é conveniente a transformação de todas as fontes de tensão em fontes de corrente e de todas as resistências em condutâncias. A LKC (Lei de Kirchhoff das Correntes) é aplicada a todos os nós, exceto ao de referência, que é sempre indicado pelo sinal de “terra”, como mostrado na Figura 14. Geralmente o nó de referência é o nó mais inferior do circuito, mas qualquer outro pode ser selecionado. Por convenção, a tensão em todos os nós é considerada positiva em relação ao nó de referência. Como conseqüência, a polaridade dos nós não precisa ser indicada. O circuito está representado a seguir. Figura 14 – Análise pelo método dos Nós. Nó de referência 46 UNIVERSIDADE FEDERAL DE SÃO PAULO CURSO: Engenharia Química Disciplina: Eletrotécnica Geral Profa. Rosimeire Aparecida Jerônimo Profa. Rosimeire Aparecida Jerônimo Na análise de nós, a LKC é aplicada a cada nó, exceto ao de referência, um de cada vez, considerando que, na direção da queda de tensão V, a corrente em um resistor é GV, conforme mostrado na Figura 15. Figura 15 – Representação da corrente em um resistor (GV) – Análise de Nós. O procedimento para análise de circuitos pelo método nós: 1. Determinar o número de nós (N) do circuito. O número de equações será igual ao número de nós menos um (N – 1). No caso, considerando-se (como indicado o nó de referência) temos três nós e, portanto, duas equações. 2. Eleger um nó como o nó de referência. Geralmente, este nó é o que possui o maior número de elementos conectados. Nó de referência ou ponto com potencial zero. No circuito mostrado na Figura 14, o nó de referência está destacado. Ao nó de referência é atribuído sinal negativo e aos outros, sinal positivo. 3. As equações de nós são escritas considerando condutâncias. No caso, temos três condutâncias: 2 1 3, 2 1 2, 1 1 1 R G R G R G 4. Cada nó tem uma tensão em relação ao nó de referência. Daí, a tensão no nó 1 é 1v e a tensão nó 2 é 2v . A lei dos nós estabelece o seguinte procedimento: o coeficiente da tensão no nó 1, 1v , é a soma das condutâncias conectadas à ele. Os coeficientes das outras tensões de nó são o negativo das somas das condutâncias entre esses nós e o nó 1. O lado direito da equação é a soma algébrica das correntes que entram no nó 1 devido a presença das fontes de corrente. Para os outros nós, o procedimento é semelhante. 47 UNIVERSIDADE FEDERAL DE SÃO PAULO CURSO: Engenharia Química Disciplina: Eletrotécnica Geral Profa. Rosimeire Aparecida Jerônimo Profa. Rosimeire Aparecida Jerônimo Exercício 3: Obter, para o circuito dado na Figura 14, as equações dos nós. SOLUÇÃO: Temos que: A corrente que circula de cima para baixo pelo resistor de condutância 1G é 11vG . A corrente para a direita através do resistor de condutância 2G é 212 vvG . Essa corrente é igual à condutância vezes a tensão do nó pelo qual sai a corrente que circula no resistor menos a tensão do nó pelo qual chega a a corrente que circula no resistor. O valor 21 vv é a tensão sobre o resistor, considerando positiva a tensão do nó pelo qual a corrente entra no resistor e negativa a tensão do nó pelo qual a corrente deixa o resistor, como é necessário para referências associadas. A corrente que chega ao nó 1 vinda de fonte de corrente é 1i . Assim, a equação para o nó 1 é: 121211 ivvGvG ou 1221)21( ivGvGG Observe que o coeficiente de 1v é a soma das condutâncias dos resistores conectados ao nó 1. Essa soma é chamada de autocondutância do nó 1. O coeficiente de 2v é 2G , o negativo da condutância do resistor conectado entre os nós 1 e 2. 2G é chamada de condutância mútua dos nós 1 e 2. Os termos de condutância mútua têm sempre sinal negativo, porque todos os nós que não são de referência tem a mesma referência de polaridade, ou seja, todos são positivos. É mais fácil escrever as equações nodais usando autocondutâncias e condutâncias mútuas do que aplicar a LKC (Lei de Kircchoff das Correntes) diretamente. Fazendo isso, para o nó 2 temos: 22)32(12 ivGGvG 48 UNIVERSIDADE FEDERAL DE SÃO PAULO CURSO: Engenharia Química Disciplina: Eletrotécnica Geral Profa. Rosimeire Aparecida Jerônimo Profa. Rosimeire Aparecida Jerônimo Portanto, podemos escrever as equações dos nós para o circuito da Figura 14, como: 1221)21( ivGvGG 22)32(12 ivGGvG Estas equações podem ser escritas na forma matricial: 2 1 2 1 322 221 i i v v GGG GGG Exercício 4: Utilizando a lei dos nós, obter os valores de 1v , 2v e i para o circuito mostrado na Figura 16. Figura 16 – Análise pelo método dos nós. 49 UNIVERSIDADE FEDERAL DE SÃO PAULO CURSO: Engenharia Química Disciplina: Eletrotécnica Geral Profa. Rosimeire Aparecida Jerônimo Profa. Rosimeire Aparecida Jerônimo SOLUÇÃO: Fazendo-se as resistências em condutâncias, temos: SGSGSG 12 1 3, 8 1 2, 4 1 1 Temos duas equações, ou seja: 742 8 1 1 8 1 4 1 vv 72 12 1 8 1 1 8 1 vv Resolvendo as equações temos: 8 24 2 8 1 1 8 12 vv 24 168 2 24 23 1 24 3 vv Portanto: 242113 vv 1682513 vv Logo, resolvendo o sistema das equações acima, temos: 362 14424 v v Substituindo-se o valor de 2v , em das equações do sistema, temos: 41 1213 243613 242113 v v v vv 50 UNIVERSIDADE FEDERAL DE SÃO PAULO CURSO: Engenharia Química Disciplina: Eletrotécnica Geral Profa. Rosimeire Aparecida Jerônimo Profa. Rosimeire Aparecida Jerônimo Então: Vv 41 e Vv 362 . Utilizando o diagrama mostrado na Figura 17, obtemos o valor da corrente, Ai 4 , pois, chamando-se que a corrente que circula no resistor de ,12 de xi , temos: xivG SG 13 12 1 3 xi36 12 1 Axi 3 Logo: 37 7 i xii Ai 4 Figura 17 – Representação esquemática do circuito para obtenção do valor da corrente i . 51 UNIVERSIDADE FEDERAL DE SÃO PAULO CURSO: Engenharia Química Disciplina: Eletrotécnica Geral Profa. Rosimeire Aparecida Jerônimo Profa. Rosimeire Aparecida Jerônimo 3.5.1 MÉTODOS PARA ANÁLISE DE CIRCUITOS – MÉTODO DO SUPERNÓ Quando uma fonte de tensão está entre dois nós essenciais, podemos combinar esses nós para formar um supernó, o qual esta abordagem, facilita a análise de circuitos desse tipo. Veja a Figura 18. Figura 18 – Circuito com as tensões e percorrendo de nós selecionadas. É óbvio que a lei das correntes de Kirchhoff deve ser válida para o supernó. Para fazer isso, considere os nós 2 e 3 do circuito da Figura 18, como um único nó e simplesmente some as correntes que saem do nó em termos de nó 2v e 3v . A Figura 19 ilustra essa abordagem. Figura 19 – Nós 2 e 3 considerados um supernó. Na Figura 19, começando com o ramo de 5 o supernó no sentido anti-horário, geramos a equação: 04 100505 3212 vvvv (ex. 7 -1) 52 UNIVERSIDADE FEDERAL DE SÃO PAULO CURSO: Engenharia Química Disciplina: Eletrotécnica Geral Profa. Rosimeire Aparecida Jerônimo Profa. Rosimeire Aparecida Jerônimo A criação de um supernó nos nós 2 e 3 facilitou a análise desse circuito. Portanto, sempre vale a pena dedicar algum tempo à procura desse tipo de atalho antes de escrever quaisquer equações. Depois de a Equação (ex. 7-1) ter sido deduzida, a etapa seguinte é reduzir a expressão a uma única tensão de nó desconhecida. Em primeiro lugar, eliminamos 1v da equação porque sabemos que Vv 501 . Em seguida expressamos 3v em função de 2v : ivv 1023 (ex. 7-2) Agora, expressamos a corrente de controle da fonte de tensão dependente em função das tensões de nó: 5 502 v i (ex. 7-3) Usar as equações (ex. 7-2) e (ex. 7-3) e Vv 501 reduz a equação (ex. 7 -1) a: 1410 500 10 100 1 5 1 50 1 2 v 15)25,0(2 v Vv 602 Pelas equações (ex. 7-2) e (ex. 7-3): Ai i v i 2 5 5060 5 502 53 UNIVERSIDADE FEDERAL DE SÃO PAULO CURSO: Engenharia Química Disciplina: Eletrotécnica Geral Profa. Rosimeire Aparecida Jerônimo Profa. Rosimeire Aparecida Jerônimo Vv v v ivv 80 2060 )2.(1060 10 3 3 3 23 54 UNIVERSIDADE FEDERAL DE SÃO PAULO CURSO: Engenharia Química Disciplina: Eletrotécnica Geral Profa. Rosimeire Aparecida Jerônimo Profa. Rosimeire Aparecida Jerônimo 4. REFERÊNCIA BIBLIOGRÁFICA 1. Análise de Circuitos. O’Maley, John. Coleção: Schaum, Editora Makron Books, 2ª. Edição, 1994, ISBN: 8534601194. 2. Introdução aos Circuitos Elétricos. Dorf, Richard C.; Svoboda, James A. Editora LTC, 7ª. Edição, 2008, ISBN: 8521615825. 3. Curso de Circuitos Elétricos. Orsini, L. Q.; Consonni, Denise. Editora Edgard Blücher Ltda, 2ª. Edição, Vol. 1, 2002, ISBN: 852120308x. 4. Curso de Circuitos Elétricos. Orsini, L. Q.; Consonni, Denise. Editora Edgard Blücher Ltda, 2ª. Edição, Vol. 2, 2004, ISBN: 8521203322.
