Sistemas_Polisaficos_Circuitos_Trifasicos_2012_1

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UNIVERSIDADE FEDERAL DE SÃO PAULO – CAMPUS DIADEMA 
DISCIPLINA: ELETROTÉCNICA GERAL / CURSO: ENG. QUÍMICA 
Profa. Rosimeire Aparecida Jerônimo. 
 
SISTEMAS POLIFÁSICOS 
CIRCUITOS TRIFÁSICOS 
 
1. INTRODUÇÃO 
 
1.1. PREÂMBULO 
 
 As primeiras linhas de transmissão de energia elétrica surgiram no final do 
século XIX, e inicialmente, destinavam-se exclusivamente ao suprimento de 
sistemas de iluminação. A utilização destes sistemas para o acionamento de 
motores elétricos fez com que as "companhias de luz" se transformassem em 
"companhias de força e luz". Estes sistemas operavam em baixa tensão e em 
corrente contínua, e foram rapidamente substituídos por linhas monofásicas em 
corrente alternada. Dentre os motivos que propiciaram essa mudança, 
podemos citar: 
(i) o uso dos transformadores, que possibilitou a transmissão de energia 
elétrica em níveis de tensão muito maiores do que aqueles utilizados na 
geração e na carga, reduzindo as perdas no sistema, permitindo a 
transmissão em longas distâncias; e 
(ii) o surgimento dos geradores e motores em corrente alternada, 
construtivamente mais simples e mais baratos que as máquinas em 
corrente contínua. 
 Dentre os sistemas em corrente alternada, o trifásico tornou-se o mais 
conveniente, por razões técnicas e econômicas (como a transmissão de 
potência com menor custo e a utilização dos motores de indução trifásicos), e 
passou a ser o padrão para a geração, transmissão e distribuição de energia 
em corrente alternada. Por outro lado, as cargas ligadas aos sistemas trifásicos 
podem ser trifásicas ou monofásicas. As cargas trifásicas normalmente são 
equilibradas, ou seja, são constituídas por três impedâncias iguais, ligadas em 
estrela ou em triângulo. As cargas monofásicas, como por exemplo, as cargas 
de instalações residenciais, por sua vez, podem introduzir desequilíbrios no 
sistema, resultando em cargas trifásicas equivalentes desequilibradas. 
 
 
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Profa. Rosimeire Aparecida Jerônimo. 
 
 Neste texto vamos definir os sistemas polifásicos e estudar em particular os 
sistemas trifásicos. 
 
1.2. OS SISTEMAS ELÉTRICOS DE POTÊNCIA 
 
 Os sistemas elétricos de potência têm a finalidade de produzir energia 
elétrica em grande quantidade e distribuí-la aos utilizadores finais. A maioria 
desses sistemas opera com circuitos trifásicos. Por isso, precederemos o 
estudo das redes trifásicas por uma breve descrição dos sistemas elétricos de 
potência. 
 Os sistemas elétricos de potência compõem-se de três subsistemas, 
dedicados a: 
1. Geração da energia elétrica; 
2. Transmissão da energia elétrica; 
3. Distribuição da energia elétrica. 
 
Ao subsistema de geração compete a produção de energia elétrica, a 
partir de outras fontes de energia, nas usinas geradoras. As grandes usinas 
geradoras podem ser hidroelétricas, termoelétricas ou nucleares. Em 
instalações de menor porte também são utilizadas as energia eólica, das 
marés, geotérmica, solar e outras. 
Nas instalações de grande porte, normalmente a energia é gerado em 
trifásico, em tensões da ordem de centenas de volts até dezenas de quilovolts. 
O subsistema de transmissão transporta energia das usinas até os 
centros de consumo, ou centros de carga, por meio de linhas de transmissão. 
Em sua maioria, as linhas de transmissão operam em corrente alternativa 
(alternada) trifásica, com tensões que podem chegar até centenas de kV. 
Excepcionalmente, para vencer grandes distâncias ou para 
compatibilizar diferentes freqüências de geração e utilização, são usadas linhas 
de transmissão de corrente contínua, operando com tensões muito elevadas, 
da ordem de megavolts. No Brasil existe uma linha de transmissão em corrente 
contínua, ligando a usina de Itaipu a São Paulo, operando a 

 600 kV, com 
 
 
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cerca de 800 km de comprimento. Por essa linha se transmite parte da energia 
de Itaipu, gerada a 50 Hz (Orsini & Consonni, 2004). 
Finalmente, o subsistema de distribuição recebe a energia das linhas de 
transmissão e a encaminha aos consumidores, em níveis de tensão 
adequados. Esse subsistema se divide em dois: 
 Sistema de distribuição primária, que fornece a energia a grandes 
consumidores, com tensões da ordem de dezenas a centenas de 
kV; 
 Sistema de distribuição secundária, que leva a energia elétrica 
aos pequenos consumidores com tensões da ordem de centenas 
de volts (V). 
Como já notamos, a maioria dos sistemas opera em trifásico. Como 
exceções, temos as grandes linhas de transmissão em corrente contínua e as 
“pontas” do sistema de distribuição secundária, que operam em monofásico a 
dois fios ou monofásico a três fios. 
Os três tipos de subsistemas, operando em níveis diferentes de tensão, 
devem ser conectados por interfaces, constituídas por: 
 Subestações transformadoras, que operam em corrente alternada 
(CA) e mudam o nível de tensão entre dois subsistemas, 
elevando-o (subestações elevadoras) ou abaixando-o 
(subestações abaixadoras); 
 Subestações retificadoras ou conversoras, que transformam 
corrente alternada (CA) em corrente contínua (CC) ou vice-versa. 
Subestações desses tipos, por exemplo, são instaladas nas duas 
pontas de uma linha de transmissão em tensão contínua. 
Nas subestações realizam-se também as medições do sistema e efetua-
se o controle de sua operação. 
Os sistemas elétricos de potência, por suas grandes dimensões, pela 
sua complexidade e pela sua grande importância em nossa civilização, 
constituem um vasto campo de estudos, e a eles são dedicadas muitas 
disciplinas dos cursos de Engenharia Elétrica, abrangendo disciplinas em 
outras áreas da Engenharia. 
 
 
 
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A geração, transmissão e utilização de potências elevadas de energia 
elétrica CA envolve quase invariavelmente um tipo de sistema ou circuito 
chamado sistema ou circuito polifásico. Nesse sistema, cada fonte consiste em 
um grupo de tensões que têm magnitudes e ângulos de fase relacionados entre 
si. Assim, um sistema de 
n
 fases emprega fontes de tensão que constituem 
tipicamente em 
n
 tensões substancialmente iguais em módulo e deslocadas 
entre si por um ângulo de fase de 
no360
. 
Um sistema trifásico emprega fontes de tensão que constituem 
tipicamente em três tensões substancialmente iguais em módulo e deslocadas 
entre si por ângulos de fase de 120º. Como possui importantes vantagens 
econômicas e operacionais, o sistema trifásico é de longe o mais comum e, 
conseqüentemente, neste estudo, a ênfase será dada aos circuitos trifásicos. 
As três tensões individuais de uma fonte trifásica podem ser ligadas 
cada uma ao seu próprio circuito independente. Teríamos, então, três sistemas 
monofásicos separados. Alternativamente, ligações elétricas simétricas podem 
ser feitas entre as três tensões e circuitos associados para formar um sistema 
trifásico. É com essa última alternativa que estaremos preocupados nesse 
estudo. Por se referir a uma porção de um sistema ou circuito polifásico, ou, 
como na teoria familiar de circuitos de regime permanente (senoidais), pode ser 
usada em relação ao deslocamento angular entre fasores
de tensão ou 
corrente. Há pouca possibilidade de se confundir os dois significados. 
Portanto, como já mencionado os circuitos trifásicos são importantes 
porque quase toda a potência elétrica é gerada e distribuída em três fases. Um 
circuito trifásico tem um gerador de tensão CA, também chamado de 
alternador, que produz três tensões senoidais que são idênticas, exceto por 
uma diferença de fase de 120º. A energia elétrica é transmitida por três dos 
quatro condutores, mais comumente chamados de linhas. Os circuitos trifásicos 
apresentados neste estudo são, em sua maioria, equilibrados. Neles, três das 
quatro correntes de linha são idênticas, exceto por uma diferença de fase de 
120º. 
 
 
 
 
 
 
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1.3. GERAÇÃO DE TENSÃO TRIFÁSICA 
 
A Figura 1(a) mostra uma seção reta de um alternador trifásico que tem 
um estator fixo e um rotor girante no sentido anti-horário. Fisicamente 
distribuídos a cada 120º da periferia interna do estator estão os três conjuntos 
de enrolamentos da armadura com terminais 
A
 e 
A
, 
B
 e 
B
, e 
C
 e 
C
. É 
nesses enrolamentos que as três tensões senoidais são geradas. O rotor tem 
um enrolamento de campo no qual a circulação de uma corrente CC produz um 
campo magnético. 
 
Figura 1 – Geração de Tensão Trifásica. 
Como o rotor gira no sentido anti-horário a 3600 r/min (rotações por 
minuto), seu campo magnético corta os enrolamentos da armadura, induzindo 
neles as tensões senoidais mostradas na Figura 1(b). Essas tensões têm um 
valor de pico separados de um terço do período, ou separados de 120º, em 
virtude da disposição espacial de 120º dos enrolamentos de armadura. Como 
resultado, o alternador produz três tensões de mesmo valor rms, que podem 
ser tão grandes quanto 30 kV, e de mesma freqüência (60 Hz), mas 
deslocadas de um ângulo de fase de 120º. Essas tensões podem ser, por 
exemplo: 
 
 
 
 
 
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Vtsenv
ouVtsenv
Vtsenv
Vtsenv
o
CC
o
CC
o
BB
AA
)240377(000.25
)120377(000.25
)120377(000.25
377000.25








 
Se as tensões mostradas na Figura 1(b) são determinadas em qualquer 
instante de tempo, pode-se observar que a soma das tensões é zero. Esse 
zero como resultado pode também ser verificado pela adição vetorial gráfica 
dos fasores correspondentes a tais tensões. A Figura 2(a) é o diagrama dos 
fasores 
AAV 
ˆ
, 
BBV 
ˆ
 e 
CCV 
ˆ
, correspondentes às tensões geradas. Esses três 
fasores são somados na Figura 2(b) conectando o início de 
BBV 
ˆ
, à ponta de 
AAV 
ˆ
, e o início de 
CCV 
ˆ
, à ponta de 
BBV 
ˆ
. Sendo que a soma de 
CCV 
ˆ
, toca o 
início de 
AAV 
ˆ
, a soma é zero. E, como a soma dos fasores de tensão é zero, a 
soma dos valores instantâneos de tensão correspondentes é zero para 
qualquer instante. 
De uma forma geral, três senóides têm uma soma zero se elas têm a 
mesma freqüência e mesmo valor de pico, mas são defasadas de 120º. Em 
particular, isto é verdadeiro para correntes. 
 
Figura 2 – Diagrama Fasorial dos fasores 
AAV 

, 
BBV 

 e 
CCV 

 das tensões 
senoidais da Figura 1. 
 
 
 
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1.4. DEFINIÇÕES GERAIS 
 
 Definimos como “sistema de tensões polifásico e simétrico” (a 
n
 fases) 
um sistema de tensões do tipo: 
 





 
















n
n
tEe
n
tEe
n
tEe
tEe
Mn
M
M
M
1
2cos
2
2cos
1
2cos
cos
3
2
1





 (1) 
sendo que 
n
é um número inteiro qualquer não menor que três. Em particular, 
quando 
3n
, dizemos que o sistema é trifásico. “
e
” representa o valor 
instantâneo da tensão e “
ME
” o valor máximo da tensão. 
 Da definição de sistema polifásico, observamos que tais sistemas são 
constituídos por um conjunto de 
n
 cossenóides de mesmo valor máximo, 
ME
, 
e com uma defasagem de 
rad
n
2
 entre duas tensões sucessivas quaisquer. 
 As tensões e correntes nos sistemas trifásicos são representadas por 
fasores. Isto é, podemos representar o sistema trifásico: 
 
 
 
    

















tjj
MMM
tj
j
MM
tj
MM
eeEetEtEe
eeEetEe
eEetEe







3
2
3
3
2
2
1
3
2cos
3
4cos
3
2cos
cos
 
 (2) 
 
 
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Pelos fasores: 
 0|0ˆ1 EjEE
 
 
    















 120|
2
3
2
1
3
2
3
2cosˆ2 EjEsenjEE
 
 
    















 120|
2
3
2
1
3
2
3
2cosˆ3 EjEsenjEE
 
 (3) 
em que 
2MEE 
 representa o valor eficaz da tensão. 
 Ao longo deste texto iremos apresentar métodos para a solução de 
circuitos trifásicos em diversas condições, envolvendo as tensões no início do 
sistema (nos terminais dos geradores), as linhas utilizadas para a transmissão 
da energia até a carga, e a carga conectada no final da linha. Para tanto, 
definimos: 
(1-a) - Sistema de tensões trifásico simétrico: sistema trifásico em que as 
tensões nos terminais dos geradores são senoidais, de mesmo valor 
máximo, e defasadas entre si de 
rad
3
2 ou 120 elétricos; 
(1-b) - Sistema de tensões trifásico assimétrico: sistema trifásico em que as 
tensões nos terminais dos geradores não atendem a pelo menos uma 
das condições apresentadas em (1-a); 
(2-a) – Carga trifásica equilibrada: carga trifásica constituída por 3 impedâncias 
complexas iguais, ligadas em estrela ou em triângulo; 
(2-b) – Carga trifásica desequilibrada: carga trifásica na qual não se verifica a 
condição descrita em (2-a). 
 
 
 
 
 
 
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1.5. OBTENÇÃO DE SISTEMAS POLIFÁSICOS – SEQÜÊNCIA DE 
FASE 
 
 Nos terminais de uma bobina que gira com velocidade angular 
constante, no interior de um campo magnético uniforme, surge uma tensão 
senoidal cuja expressão é 
 
   tEe M cos
, (4) 
em que 

 representa o ângulo inicial da bobina. Ou melhor, adotando-se a 
origem dos tempos coincidente com a direção do vetor indução, 

 representa 
o ângulo formado pela direção da bobina com a origem dos tempos no instante 
0t
. 
 Assim, é óbvio que, se dispusermos sobre o mesmo eixo três bobinas 
deslocadas entre si de 
rad
3
2
 e girarmos o conjunto com velocidade
angular 
constante, no interior de um campo magnético uniforme, obteremos nos seus 
terminais um sistema de tensões de mesmo valor máximo e defasadas entre si 
de 
rad
3
2
, conforme Figura 3. 
 
(a) - Bobinas do gerador (b) - Valores instantâneos das tensões 
Figura 3 - Obtenção de um sistema trifásico de tensões. 
 
 
 
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A Figura 4 ilustra o diagrama fasorial das tensões geradas na Figura 3(b). 
 
Figura 4 – Diagrama fasorial das tensões geradas na Figura 3(b). 
 
 Definimos, para um sistema polifásico simétrico, “seqüência de fase” 
como sendo a ordem pela qual as tensões das fases passam pelo seu valor 
máximo. Por exemplo, no sistema trifásico da Figura 3, a seqüência de fase é 
A-B-C, uma vez que as tensões passam consecutivamente pelo valor máximo 
na ordem A-B-C. Evidentemente, uma alteração cíclica não altera a seqüência 
de fase, isto é, a seqüência A-B-C é a mesma que B-C-A e que C-A-B. À 
seqüência A-B-C é dado o nome “seqüência direta” ou “seqüência positiva”, e à 
seqüência A-C-B, que coincide com C-B-A e B-A-C, dá-se o nome de 
“seqüência inversa” ou “seqüência negativa”. 
 
 
EXEMPLO 1 
 
 Um sistema trifásico simétrico tem seqüência de fase B-A-C e 
VCV  40|220
ˆ . Determinar as tensões 
AVˆ
 e 
BVˆ
. 
SOLUÇÃO: 
 Sendo a seqüência de fase B-A-C, a primeira tensão a passar pelo valor 
máximo será 
Bv
, a qual será seguida, na ordem, por 
Av
 e 
Cv
 . Portanto, 
deverá ser: 
 
 
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 
 
3
4cos
,
3
2cos
,)(cos






tVv
tVv
tVv
MC
MA
MB
 
 (4) 
em que 

 representa o ângulo inicial ou a rotação de fase em relação à 
origem. No instante 
0t
, teremos: 
 
 
3
4cos
,
3
2cos
,cos






MC
MA
MB
Vv
Vv
Vv
 
 (5) 
Sendo 
2
MVV 
, fasorialmente teremos: 
3
4|ˆ
,
3
2|ˆ
,|ˆ






VV
VV
VV
C
A
B
 
 (6) 
Por outro lado, sendo dado 
VVC  40|220
ˆ
, resulta: 
 8040120;220 ou VV , 
e portanto: 
 
VVVVVV CAB  40|220
ˆ,200|220ˆ,80|220ˆ
 
 
 
 
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 Chegaríamos ao mesmo resultado raciocinando com o diagrama 
fasorial. De fato, lembramos que o valor instantâneo de uma grandeza 
cossenoidal é dado pela projeção do fasor que a representa (utilizando como 
módulo o valor máximo) sobre o eixo real, fazendo com que os fasores girem 
no sentido anti-horário com velocidade angular 

 (vetores girantes). 
Evidentemente, poderemos imaginar os vetores girantes fixos e o eixo real 
girando com velocidade angular 

 no sentido horário. Em tais condições, a 
origem deverá sobrepor-se consecutivamente a 
AB VV
ˆ,ˆ
 e 
CVˆ
 (Figura 5), ou 
seja, 
BVˆ
 está adiantado de 
120
 sobre 
AVˆ
 , e este está adiantado de 
120
 
sobre 
CVˆ
 . Portanto deverá ser: 
 
VVA  200|220160|22040120|220
ˆ
 
 
VVB  80|220120200|220
ˆ
 
 
 
Figura 5 - Diagrama de fasores para o Exemplo 1. 
 
 
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2. SISTEMAS TRIFÁSICOS SIMÉTRICOS E 
EQUILIBRADOS COM CARGA EQUILIBRADA - 
LIGAÇÕES 
 
2.1. INTRODUÇÃO 
 
 Nos sistemas trifásicos são utilizadas linhas a três ou quatro fios para a 
alimentação das cargas a partir dos geradores. Ora, do eletromagnetismo 
sabemos que haverá um acoplamento magnético entre estes fios quando um 
ou mais forem percorridos por corrente. Assim, a passagem de corrente 
senoidal em qualquer um destes fios irá induzir tensões também senoidais nos 
demais. Para a resolução de circuitos, em sistemas de potência, este efeito é 
representado através da definição de indutâncias mútuas entre os fios. No caso 
geral, a resolução de circuitos trifásicos com indutâncias mútuas é 
relativamente complexa, pois o sistema pode tornar-se desequilibrado. Para 
facilitar o entendimento dos métodos de cálculo, neste texto vamos 
desconsiderar a existência de indutâncias mútuas, ressaltando que no caso 
particular em que tais indutâncias sejam iguais tudo o que se apresentará 
continua válido, pois o sistema mantém-se equilibrado. 
 Os sistemas trifásicos de tensões que alimentam os circuitos trifásicos 
são obtidos de geradores trifásicos (ou alternadores trifásicos). 
 Esses geradores são máquinas elétricas que contêm três enrolamentos, 
dispostos de modo que três tensões alternativas (alternadas), de mesmo valor 
eficaz e sucessivamente defasadas de o120 , são neles induzidas. Os 
enrolamentos são chamados fases do gerador. Essencialmente, portanto, um 
gerador trifásico contém três geradores de tensão, sincronizados e com seis 
terminais disponíveis para ligações externas. 
 Admitamos que os fasores das três tensões do gerador sejam, 
respectivamente: 
 
 
 
 
 
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 











120|240|ˆ
120|ˆ
0|ˆ
3
2
1
EEE
EE
EE
 (7) 
 Normalmente, a carga do nosso sistema trifásico, constituída por três 
bipolos iguais, ou por alguma máquina trifásica com três fases iguais (carga 
equilibrada ou balanceada), será ligada ao gerador por meio de uma linha 
trifásica. As fases da carga poderão também ser ligadas em estrela ou em 
triângulo, possibilitando assim as seguintes combinações: 





























)(arg
)(arg
)(arg
)(arg
triânguloemac
estrelaemac
emGerador
estrelaemac
triânguloemac
emGerador
 
 Antes de examinarmos as relações entre correntes e tensões de linha e 
de fase nessas, iremos quebrar o texto para introduzirmos os conceitos 
fundamentais da transformação 

 e 

. 
 
 
Transformação 

 e 

 
 Numa rede de bipolos, dizemos que três bipolos estão ligados em 
estrela quando três terminais dos bipolos estão reunidos num único nó. Os 
 
 
 
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bipolos estão ligados em triângulo quando os terminais estão reunidos dois a
dois de modo que os bipolos constituam uma malha com três lados. 
 Em muitos casos de resolução de circuitos é útil podermos transformar 
uma estrela de bipolos passivos (resistores) num triângulo equivalente, ou vice-
versa (vide Figura 5). 
 
Figura 5 - Transformação Estrela-Triângulo 
 Os circuitos correspondentes são equivalentes apenas para tensões e 
correntes externas aos circuitos 

 e 

. Internamente, as tensões e correntes 
são diferentes. 
 Fórmulas para a transformação podem ser encontradas a partir da 
comparação de resistências entre duas linhas de um circuito 

 e outro

, 
quando a terceira linha, em cada um deles, está aberta. Essa comparação é 
feita três vezes, com uma linha diferente aberta de cada vez. Com algumas 
manipulações algébricas são obtidas as seguintes fórmulas para transformação 

 e 

: 
321
21
RRR
RR
RA


 
321
32
RRR
RR
RB


 
321
31
RRR
RR
RC


 (8) 
 
 
 
 
 
16 
 
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 Da mesma forma, são obtidas as equações para a transformação 

 
para 

: 
B
CBCABA
R
RRRRRR
R

1
 
C
CBCABA
R
RRRRRR
R

2
 
 
A
CBCABA
R
RRRRRR
R

3
 (9) 
 Observe que, nas fórmulas de transformação 

 para 

, os 
denominadores são os mesmos: 
321 RRR 
, a soma das resistências 

. 
Nas fórmulas de transformação 

para 

, os numeradores são os mesmos: 
CBCABA RRRRRR 
, a soma dos produtos das resistências 

tomando 
duas a duas. 
 Desenhando o circuito 

dentro do 

, como na Figura 6, temos uma 
maneira de saber os numeradores das duas fórmulas de transformação. Para 
cada resistor 

das fórmulas de transformação 

, as duas resistências do 
produto de cada numerador são as duas resistências 

 adjacentes do resistor 

 que está sendo encontrado. Nas fórmulas de transformação 

, a 
resistências 

 em cada denominador é o resistor 

oposto ao resistor 

 que 
está sendo encontrado. 
 Se cada resistor 

 tiver o mesmo valor 
R
, então cada resistência 

 
correspondente será 
R3
, como dado nas fórmulas. E se cada resistência 

 
for 
R
, então cada resistência 

correspondente será 
3
R
. Assim, nesse 
caso especial, mas bastante comum, 
  RR 3
e, é claro, 
3

 
R
R
. 
 
 
 
 
17 
 
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Figura 6 – Representação do circuito 

dentro do 

. 
 
2.2. CIRCUITO 

EQUILIBRADO 
 
 A Figura 7 mostra um circuito 

equilibrado que tem uma carga 

 
equilibrada (uma carga 

de impedâncias idênticas) alimentada por um 
gerador com os enrolamentos conectados em 

. Em vez dos enrolamentos de 
um gerador, os enrolamentos podem ser o secundário de um transformador 
trifásico. A linha de neutro conecta os dois nós neutros. 
 Um circuito trifásico equilibrado e fácil de ser analisado porque ele 
consiste, na verdade, em três circuitos distintos interconectados, onde a única 
diferença na resposta são os ângulos de defasagem de 120º. Um procedimento 
geral na análise é encontrar a tensão ou corrente desejada de uma fase e usar 
o resultado com a seqüência de fase para a obtenção das correspondentes 
tensões ou correntes das outras duas fases. Por exemplo, no circuito mostrado 
na Figura 7, a corrente de linha 
AIˆ
 pode ser encontrada a partir de: 
 
Y
AN
A
Z
V
I
ˆ
ˆ 
 (10) 
 Então 
BIˆ
 e 
CIˆ
 podem ser encontradas a partir de 
AIˆ
 seqüência de 
fase: elas têm o mesmo módulo de 
AIˆ
, mas adiantadas e atrasadas de 
AIˆ
 de 
120º, conforme determinado pela seqüência de fase. 
 Sendo que as correntes 
AIˆ
, 
BIˆ
 e 
CIˆ
 têm o mesmo módulo e uma 
 
 
18 
 
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diferença de fase de 120º, suma soma é zero: 
0ˆˆˆ  CBA III
. E a partir da 
LKC (Lei de Kirchhoff das Correntes),   0ˆˆˆˆ  CBAN IIII . Pelo fato de o 
condutor do neutro não conduzir corrente, ele pode ser eliminado para 
transformar o circuito de quatro condutores em um circuito de três condutores. 
A mais importante conseqüência da corrente zero no neutro é que dois nós 
neutros estão em mesmo potencial, mesmo na ausência do condutor neutro. 
Na prática, entretanto, é conveniente a presença de um condutor de neutro 
para assegurar o equilíbrio das tensões nas fases no caso de as impedâncias 
de carga não serem exatamente iguais. 
 
Figura 7 – Circuito 

equilibrado. 
 
 Os conjuntos de tensões de fase e de tensões de linha para uma carga 

equilibrada têm determinadas relações que são independentes da 
impedância de carga. Essas relações podem ser obtidas por um triângulo . O 
maior ângulo é 120º , deixando 180º - 120º = 60º para os outros dois ângulos. 
Sendo que esses dois ângulos são opostos a lados de igual comprimento, eles 
devem ser iguais e, portanto, de 30º, como está ilustrado na Figura 8(a). Isto 
mostra que existe um ângulo de 30º entre a tensão de linha 
BCVˆ
 e a tensão de 
 
 
19 
 
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fase 
BNVˆ
 (Figura 8(b)). Como podemos ver a partir da Figura 8(a), existe 
também uma diferença de 30º entre 
ABVˆ
 e 
ANVˆ
 e entre 
CAVˆ
 e 
CNVˆ
. Em geral, 
no diagrama fasorial de tensões para uma carga 

 equilibrada, existe ângulo 
de 30º entre cada tensão de fase e a mais próxima tensão de linha. Esses 30º 
podem ser um adiantamento ou um atraso, dependendo do conjunto de 
tensões específico e da seqüência de fase. 
 
Figura 8 – Diagrama fasorial do circuito 

equilibrado. 
 
 Existe também uma relação entre os módulos das tensões de linha e de 
fase. A partir da Figura 8(a) e a lei dos senos: 
3
2
1
2
3
30
120
ˆ
ˆ

o
o
BN
BC
sen
sen
V
V 
ou 
BNBC VV
ˆ3ˆ 
. Em geral, para uma carga 

equilibrada, o módulo da 
tensão de linha 
LV
 é 
3
 vezes 
fV
, o módulo da tensão de fase: 
fL VV  3
. 
 Na descrição de um circuito trifásico, a tensão especificada pode ser 
assumida como a tensão rms de linha para linha. 
 
 
 
 
 
 
20 
 
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2.3. CARGA 

 EQUILIBRADA 
 
 A Figura 9 mostra uma carga 

 equilibrada conectada por três 
condutores a uma fonte trifásica. Para um método prático, essa fonte é um 
alternador conectado em 

, ou, mais provavelmente, o secundário de um 
transformador trifásico conectado em 

 ou 

. Não existe, é claro,
um condutor 
de neutro, porque uma carga 

 tem apenas três terminais. 
 
Figura 9 – Carga 

 equilibrada. 
 
 O procedimento geral para encontrar as correntes de fases é primeiro 
encontrar uma das correntes de fase e então usá-la com a seqüência de fase 
para encontrar as outras duas. Por exemplo, a corrente de fase 
ABIˆ
 pode ser 
encontrada por 


Z
V
I ABAB ˆ
ˆ
ˆ
 e então 
BCIˆ
 e 
CAIˆ
 podem ser encontradas a partir 
de 
ABIˆ
e da seqüência de fase: elas têm o mesmo módulo de 
ABIˆ
, mas são 
atrasadas ou adiantadas de 
ABIˆ
de 120º, conforme determinado pela 
seqüência de fase. 
 
 
 
 
 
 
21 
 
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Figura 10 – Diagrama fasorial do circuito 

 equilibrado. 
 
 O conjunto de correntes de linha e de correntes de fase para uma carga 

 equilibrada tem algumas relações de módulos e ângulos que são 
independentes da impedância da carga. Essas relações podem ser 
encontradas aplicando a LKC (Lei de Kirchhoff das Correntes) a qualquer 
terminal do circuito mostrado na Figura 9. Feito isso para o terminal 
A
, o 
resultado é 
CAABA III
ˆˆˆ 
. A Figura 10(a) é uma representação gráfica dessa 
subtração para uma seqüência de fase ABC. Sendo que esta é a mesma forma 
do triângulo para tensões de linha e de fase para uma carga 

equilibrada, os 
resultados são similares: em um diagrama fasorial existe a diferença de 30º 
entre cada corrente de fase e a corrente e a corrente de linha mais próxima, 
como mostrado na Figura 10(b). 
 
2.4. CARGAS EM PARALELO 
 
 Se um circuito trifásico tem várias cargas conectadas em paralelo, uma 
boa forma de se começar uma análise é combinar as cargas até um simples 

ou 

. Então, o método de análise para cargas 

ou 

 pode ser usado. Essa 
combinação talvez seja mais óbvia para duas cargas em 

, como mostrado na 
Figura 11(a). Estando em paralelo, as impedâncias de fases correspondentes 
dos dois 
s
 podem ser combinadas para produzir um simples 

 equivalente. 
 
 
 
 
 
22 
 
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Figura 11 – Cargas Trifásicas em Paralelo. 
 
 Se existem duas cargas 

, como mostrado na Figura 11(b), e se elas 
têm um terminal neutro (não mostrado) conectando os dois neutros, as 
impedâncias de fases correspondentes dos dois 
s
 estão em paralelo e 
podem ser combinadas para produzir um simples 

equivalente. Mesmo que 
não exista conexão de neutro, as impedâncias de fases correspondentes estão 
em paralelo, partindo do princípio de que ambas as cargas são equilibradas e 
que então os nós de neutro estão no mesmo potencial. Se as cargas são 
desequilibradas e não existe conexão de neutro,as impedâncias dos dois 
s
 
não estão em paralelo. Então, os dois 
s
 podem ser transformados em 

 e 
então os dois 
s
 combinados para resultar em m único 

 equivalente. 
 Algumas vezes um circuito trifásico possui em carga em 

e uma em 

, 
com mostrado na Figura 11(c). Se as cargas forem equilibradas, o 

pode ser 
transformado em 

e então os dois 
s
 são combinados. Se as cargas forem 
desequilibradas, o 

pode ser transformado em um 

 e então os dois 
s
 
reduzidos a um único 

 equivalente. 
 
 
23 
 
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3. TENSÕES E CORRENTES EM SISTEMAS TRIFÁSICOS 
 
 A geração e transmissão de energia elétrica são mais eficientes em 
sistemas polifásicos que usam combinações de duas, tr6es ou mais tensões 
senoidais. Além disso, os circuitos e máquinas senoidais apresentam certas 
vantagens. Assim, por exemplo, a potência transmitida em um circuito trifásico 
é constante e independente do tempo e não-pulsante, como em circuito 
monofásico. Além disso, os motores trifásicos funcionam muito melhor que os 
motores monofásicos, tanto na partida quanto no regime estacionário (os 
circuitos lineares com entradas senoidais que se encontram no estado 
estacionário são chamados de circuitos de corrente alternada ou circuitos de 
CA). A forma mais comum de sistema polifásico utiliza três tensões 
equilibradas, de mesma amplitude e fases diferindo de 360º/3 = 120º, conforme 
foi mostrado na Figura 3(b). 
 
Os circuitos trifásicos são usados para gerar, distribuir e utilizar energia na 
forma de três tensões de mesma amplitude, defasadas de 120º. 
 
 Conforme ilustrado na Figura 3(b), as três partes semelhantes de um 
sistema trifásico são chamadas de fases. Como a tensão da fase AA’ chega 
primeiro ao valor máximo, seguida pela fase BB’ e depois pela fase CC’, 
dizemos que a rotação de fase á ABC. Trata-se de uma convenção arbitrária, 
em qualquer gerador, a rotação de fase pode ser invertida invertendo o sentido 
da rotação. 
 Dizemos que as três tensões são tensões equilibradas porque têm a 
mesma amplitude, a mesma freqüência e estão defasadas de exatamente 
120º. 
 A seqüência de fases positiva é ABC, como mostra a Figura 12. A 
seqüência ACB, representada na Figura 13, é chamada de fases negativa. 
 
 
 
 
 
24 
 
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Figura 12 – Representação fasorial da seqüência de fases positiva das tensões de um 
sistema trifásico equilibrado. 
 
Figura 13 – Seqüência de fases negativa em uma ligação em 

. 
 
 
25 
 
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 As três fases dos enrolamentos da Figura 1(a) podem ser interligadas de 
duas maneiras possíveis, conforme mostrado na Figura 14 e Figura 15. Os 
terminais 
A
, 
B
 e 
C
 podem ser ligados para formar o neutro “N”, conforme 
Figura 14, resultando uma conexão em 

 , ou os terminais 
A
 e 
B
, 
B
 e 
C 
, e 
C
 e 
A
 podem ser ligados individualmente, resultando em uma conexão em 

. Na conexão em 

, um condutor neutro, mostrado na linha tracejada da 
Figura 14, pode ou não ser trazido de fora. Se existir um condutor neutro, o 
sistema é trifásico a quatro fios; se não, é um sistema trifásico a três fios. 
 
Figura 14 – Conexão Trifásica – Conexão em 

. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
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Figura 15 – Conexão Trifásica – Conexão em 

. 
 
 Na conexão em 

, conforme a Figura 15, não há neutro e apenas um 
sistema trifásico a três fios pode ser formado. 
 O sistema trifásico com neutro, ou a quatro fios, é largamente utilizado 
em distribuição por permitir a obtenção de um trifásico e de monofásico a três 
fios, como indicado na Figura 16. 
 
Figura 16 – Utilização de trifásico a quatro fios, para distribuição em duas tensões 
diferentes. 
 
 
27 
 
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 Nessa situação, existe a possibilidade de alimentar cargas monofásicos 
de 220 V e de 
3
220
 = 127 V. Como sempre o fio neutro vai ligado em terra, e 
as cargas monofásicas são distribuídas pelas três fases do circuito, de modo a 
mantê-lo equilibrado (ao menos estatisticamente). 
 As três tensões de fase da Figura 3(a) e Figura (4), são iguais e 
defasadas de 120º graus, o que é uma característica geral de um sistema 
trifásico equilibrado. Além disso, em um sistema trifásico equilibrado, a 
impedância de qualquer uma das fases é igual a de qualquer outra das duas 
outras fases, de modo que as correntes de fase resultantes são iguais e 
defasadas entre si de 120 graus. Do mesmo modo, potências ativas iguais e 
potências reativas iguais circulam em cada fase. Um sistema trifásico 
desequilibrado, no entanto, pode estar desequilibrado de uma ou mais formas. 
As tensões de fonte podem estar desequilibradas em magnitude ou em fase ou 
as impedâncias de fase podem não ser iguais. Apenas sistemas equilibrados 
serão tratados neste estudo, e nenhum dos métodos desenvolvidos ou as 
conclusões obtidas aplicam-se a sistemas desequilibrados. A maioria das 
análises são conduzidas supondo que o sistema esteja equilibrado. Muitas 
cargas industriais são trifásicas e, portanto, inerentemente equilibradas. 
Quando cargas monofásicas são alimentadas a partir de uma fonte trifásica, 
esforços bem definidos são realizados para manter o sistema trifásico em 
equilíbrio, atribuindo cargas monofásicas aproximadamente iguais a cada uma 
das três fases. 
Considerando-se a Figura 14, temos: 
AVˆ
, 
BVˆ
 e 
CVˆ
: Tensões de fase. 
ABVˆ
, 
BCVˆ
 e 
CAVˆ
: Tensões de linha. 
 
 Tensão de Fase: Tensão medida entre o centro-estrela e 
qualquer um dos terminais do gerador ou da carga. 
 Tensão de Linha: Tensão medida entre dois terminais (nenhum 
deles sendo o “centro-estrela”) do gerador ou da carga. 
Evidentemente, podemos definir a tensão de linha como sendo a 
tensão medida entre os condutores que ligam o gerador à carga. 
 
 
 
28 
 
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 Corrente de Fase: Corrente que percorre cada uma das bobinas 
do gerador ou que é o mesmo, corrente que percorre cada uma 
das impedâncias da carga. 
 Corrente de Linha: Corrente que percorre os condutores que 
interligam o gerador à carga (exclusive o neutro). 
 
Por exemplo, como calcular analisando a Figura 14, a tensão 
ABVˆ
? 
Temos que: 
oEE 0|ˆ1 
 
oEE 120|ˆ2 
 
oEE 120|ˆ3 
 
Pela Lei de Kirchhoff, temos: 
 
BAAB VVV
ˆˆˆ 
 (11) 
o
A EV 0|
ˆ 
 e 
o
BV 120|
ˆ 
 
Então: 
oo
AB
EEV 120|0|ˆ 
 
)87,05,0(ˆ jEEEV
AB

 
87,05,1ˆ EjEV
AB

 
 87,05,1ˆ jEV
AB

 
o
AB
EV 30|3ˆ 
 
 
 
 
29 
 
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Logo: 
 
rmsVV oAAB 30|
ˆ3ˆ 
 (12) 
 
rmsVV oABC 30|
ˆ3ˆ 
 (13) 
 
rmsVV oCCB 30|
ˆ3ˆ 
 (14) 
Conclusão: 
 As três tensões de linha constituem um sistema trifásico simétrico; seu 
valor eficaz é 
3
 vezes o valor eficaz da tensão de fase. E cada uma delas 
está adiantada 30º em relação à correspondente tensão de fase. 
 Logo, podemos reescrever as tensões de linha, como: 
 
fL VV  3
ˆ
 (15) 
 Em geral, para uma carga 

equilibrada, o módulo da tensão de linha 
LVˆ
 é 
3
 vezes 
fV
, o módulo da tensão de fase: 
fL VV  3
ˆ
. 
 
 Na descrição de um circuito trifásico, a tensão especificada pode ser 
assumida como a tensão rms de linha para linha. 
Portanto: 
oo
AB EV 30|0|3
ˆ 
 
 
o
AB EV 30|3
ˆ 
 (16) 
oo
BC EV 30|120|3
ˆ 
 
 
o
BC EV 90|3
ˆ 
 (17) 
oo
CA EV 30|120|3
ˆ 
 
 
o
CA EV 150|3
ˆ 
 (18) 
 
 
30 
 
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 Quando as três fases são ligadas em 

, conforme a Figura 15, as 
correntes 

, são: 
ABIˆ
, 
BCIˆ
 e 
CAIˆ
 
 Pela Lei das Correntes de Kirchhoff, por exemplo, a corrente de linha 
AIˆ
, 
é: 
 
CBABA III
ˆˆˆ 
 (19) 
 
o
ABA II 30|
ˆ3ˆ 
 (20) 
 De modo semelhante: 
 
o
BCB II 30|
ˆ3ˆ 
 (21) 
 
o
CAC II 30|
ˆ3ˆ 
 (22) 
Conclusão: 
 O módulo da corrente de linha 
LI
é 
3
vezes o módulo da 
corrente de fase 
:fI
 
fL II  3
. Evidentemente, as relações entre as 
correntes 

 e as correntes de linha de uma conexão 

 são similares àquelas 
entre as tensões de fase e de linha de uma conexão em 

. 
Tomando para a origem do tempo o ponto positivo máximo da onda de 
tensão de fase 
A
, as tensões de fase instantâneas das 3 fases são: 
 
tVtv efA cos2)( 
 (23) 
  oefB tVtv 120cos2)(  
 (24) 
 
)120(cos2)( oefC tVtv  
 (25) 
efV
é o valor eficaz da tensão de fase. Quando as correntes de fase 
estão deslocadas de um ângulo 

 das respectivas tensões de fase, as 
correntes de fase instantâneas, são: 
 
 
 
31 
 
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)(cos2)(   tIti efA
 (26) 
 
)120(cos2)( oefB tIti  
 (27) 
 
)120(cos2)( oefC tIti  
 (28) 
efI
 é o valor eficaz da corrente de fase. 
 
 SÍNTESE GERAL 
 
a) Ligação Estrela – Estrela (ou 

- 

): 
 
 A Figura 17 ilustra
o esquema de ligação estrela – estrela. 
 
Figura 17 – Esquema de ligação estrela – estrela. 
 Analisando a Figura 17, temos: 
 
21
ˆˆˆ EEVAB 
 (29) 
oEE 0|ˆ1 
, oEE 120|ˆ2  , oEE 120|ˆ3  
 
 
 
32 
 
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 











o
CA
o
BC
o
AB
EV
EV
EV
150|3ˆ
90|3ˆ
30|3ˆ
 (30) 
 As três correntes de linha (Figura 17), das por: 
 
Z
E
I 11
ˆ
ˆ 
, 
Z
E
I 22
ˆ
ˆ 
, 
Z
E
I 33
ˆ
ˆ 
 (31) 
 
0ˆˆˆˆ 321  IIIIn
 (32) 
 Resumindo, numa ligação estrela – estrela, ou 

, de um circuito 
trifásico simétrico e equilibrado temos as seguintes relações entre os valores 
eficazes das grandezas de linha e de fase: 












0
3
neutrodecorrente
fasedecorrentelinhadecorrente
fasedetensãolinhadetensão
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
33 
 
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b) Ligação Triângulo – Estrela (ou 

- 

): 
 
A Figura 18 ilustra o esquema de ligação triângulo – estrela. 
 
Figura 18 – Esquema de ligação triângulo – estrela (ou 

- 

). 
 
Analisando a Figura 18, temos: 
 
1
ˆˆ EVAB 
, 
1
ˆˆ EVAB 
, 
3
ˆˆ EVCA 
 (33) 
Do lado da carga, a aplicação da 2ª. Lei de Kirchhoff fornece: 
 












ANCNCA
CNBNBC
BNANAB
VVV
VVV
VVV
ˆˆˆ
ˆˆˆ
ˆˆˆ
 (34) 
Por simetria, as tensões de fase na carga 
BNAN VV
ˆ,ˆ
 e 
CNVˆ
 constituem 
também um trifásico simétrico, sempre com a mesma seqüência de fase do 
gerador. As tensões de fase na carga são dadas por: 
 
 
 
 
 
34 
 
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














oj
CACN
oj
BCBN
oj
ABAN
eVV
eVV
eVV
30
30
30
ˆ
3
1ˆ
ˆ
3
1ˆ
ˆ
3
1ˆ
 (35) 
ou seja, as tensões de fase na carga têm módulos (ou valores eficazes) iguais 
aos das respectivas tensões de linha, divididos por raiz de três e estão 
respectivamente atrasadas de 30º em relação às tensões de linha. 
 As correntes de linha são iguais, respectivamente, às correntes de fase na 
carga e, sendo 

 o ângulo da impedância da fase, calculam-se por: 
 













































jNCCN
c
jBNBN
b
jANAN
a
e
Z
V
Z
V
I
e
Z
V
Z
V
I
e
Z
V
Z
V
I
ˆˆ
ˆ
ˆˆ
ˆ
ˆˆ
ˆ
 (36) 
e, obviamente, constituem um sistema trifásico simétrico de correntes. 
 Resta determinar as três correntes 
1Iˆ
, 
2Iˆ
 e 
3Iˆ
, nas fases do gerador. 
Essas correntes relacionam-se com as correntes de linha pelas relações: 
 









23
12
31
ˆˆˆ
ˆˆˆ
ˆˆˆ
III
III
III
c
b
a
 (37) 
e conseqüentemente, constituem também um trifásico simétrico. As correntes 
nas fases do gerador têm valor eficaz igual a 
3
1 dos valores eficazes das 
correntes de linha e estão adiantadas 30º em relação a estas. 
 
 
35 
 
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 Mais uma vez, verificamos que basta fazer os cálculos para uma das 
grandezas de um trifásico equilibrado. As outras duas obtêm-se, simplesmente, 
por simetria. 
 Notemos também, que neste caso, os cálculos foram feitos para a 
seqüência de fases positiva. Para passar à seqüência negativa, basta inverter a 
ordem dos fasores. 
 
c) Ligações Triângulo – Triângulo e Estrela – Estrela: 
 
 As relações entre grandezas de fase e de linha nessas ligações obtêm-
se sem dificuldade, de maneira análoga aos casos anteriores e sempre usando 
a simetria do trifásico. Na Figura 19, indicamos essas relações para os quatro 
tipos de ligações. 
 Notemos que algumas vezes as cargas trifásicas são passadas da 
ligação em estrela para a ligação em triângulo, ou vice-versa, durante a 
operação do circuito. Essa modificação, feita por meio de uma chave estrela – 
triângulo, é usada, por exemplo, na partida de alguns motores trifásicos. 
 
Figura 19 – Relações entre grandezas de linha e de fase nos vários tipos de ligações 
trifásicas. 
 
 
36 
 
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3. POTÊNCIA EM SISTEMAS TRIFÁSICOS: 
 
 Sabemos que a potência instantânea, absorvida por uma carga, é dada 
pelo produto dos valores instantâneos da tensão pela corrente; isto é, sendo: 
 ,cos   tVv M
 valor instantâneo da tensão, em que 

 é o ângulo inicial da 
tensão; 
 ,cos   tIi M
valor instantâneo da corrente, em que 

 é o ângulo inicial da 
corrente, 
Será: 
 
     ttIVivp MM coscos (38) 
 
Por outro lado, temos que: 
 
     coscos2coscos  (39) 
Fazendo 
  tt e
, será: 
 
      ttttIVp MM coscos
2
 (40) 
Lembrando que os valores eficazes estão relacionados com os máximos por 
2
: 
2
MVV 
 (valor eficaz da tensão), 
2
MII 
 (valor eficaz da corrente), 
e adotando-se: 
 
 : defasagem entre a tensão e a corrente na carga, 
 
 
 
 
37 
 
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resulta: 
 
   tIVIVp 2coscos (41) 
 
 A Equação (41) mostra que a potência fornecida à carga é constituída por 
duas parcelas, uma 
V I cos 
, constante no tempo, e a outra, 
 V I tcos 2   
, variável no tempo com uma freqüência igual a duas vezes a 
freqüência da rede. 
 A primeira parcela dada pelo produto dos valores eficazes da tensão e 
corrente pelo
cosseno do ângulo de rotação de fase entre ambas (designado 
por fator de potência da carga) representa a potência que é absorvida pela 
carga sendo transformada em calor ou em trabalho, isto é, a potência ativa. A 
segunda parcela, variando cossenoidalmente no tempo, representa uma 
potência que ora é absorvida pela carga, ora é fornecida pela carga; seu valor 
médio nulo representa uma energia que, durante um quarto de período, é 
absorvida pela carga e armazenada no campo magnético ou elétrico ligado ao 
circuito e, no quarto de período seguinte, é devolvida à rede. É designada por 
potência flutuante. 
 
Carga Equilibrada 

 como 

 
Potência Média absorvida: 
 
cos..3 ff IVP 
 
(38) 
A fórmula de potência é normalmente expressa em termos rms de linha 
LV
 e de corrente rms de linha 
LI
. 
 Para uma carga 

: 
 
3
L
f
V
V 
 (39) 
 
Lf II 
 (40) 
 
 
 
38 
 
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 Para uma carga 

: 
Lf VV 
 
3
L
f
I
I 
 
Para as duas subsituições o resultado é o mesmo, obtendo a potência 
média consumida tanto para uma carga 

como por uma carga 

equilibrada. 
 
cos3  LL IVP
 (watts) (41) 
 
 É importante lembrar que 
 
 é a defasagem é o ângulo da 
impedância de carga e não o ângulo entre a corrente de linha e a tensão 
de linha. 
Fórmulas para potências complexas 
S
(aparente) e potências reativas 
Q
podem ser deduzidas, usando-se as relações com a potência média 
apresentada na apostila de Circuitos de Corrente Alternada (CA). 
A potência reativa na carga trifásica equilibrada é: 
 
senIVQ ff  3
 (VAr) (42) 
ou, em termos de grandezas de linhas, 
 senIVQ LL  3 (VAr) (43) 
 A potência reativa fornecida a uma carga pode ser positiva 
)0( 
ou 
negativa 
)0( 
. Pela convenção adotada, ou seja, sendo 

 a rotação de fase 
entre a tensão e a corrente 
  
, resulta: 
- potência reativa absorvida por uma carga indutiva: positiva 
 0 
; 
- potência reativa absorvida por uma carga capacitiva: negativa 
      0
, 
que está de acordo com a convenção geralmente adotada em sistemas 
elétricos de potência. 
 Em termos das grandezas de linha, a potência aparente complexa 
resulta então: 
 
 
39 
 
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 j
LL eIVS  3
 (VA) (44) 
com o módulo: 
 
22 QPS 
 (VA) (45) 
 
LL IVS  3
 (VA) (46) 
 Portanto, podemos definir a potência complexa por: 
 
|ˆ SjQPS 
 (47) 
  senIjVIVS  cosˆ (48) 
 
Evidentemente o ângulo 
 
 será positivo quando a carga for indutiva, e 
negativo quando a carga for capacitiva. Logo, essa relação está concorde com 
a convenção adotada para a potência reativa. 
 Por outro lado, conhecendo-se os fasores representativos da tensão e 
da corrente numa dada carga, a potência complexa pode ser calculada pelo 
produto do fasor 
Vˆ
 pelo complexo conjugado da corrente 
)ˆ( *I
, ou seja: 
 *ˆˆˆ IVS  (49) 
 De fato, sendo: 
VVˆ ,  IIˆ 
Resulta: 
 
SjQPIsenjVIV
senIjVIVIVIVIV
ˆcos
)(cosˆˆ *



 
 Evidentemente o ângulo 
 
 será positivo quando a carga for 
indutiva, e negativo quando a carga for capacitiva. Logo, essa relação está 
concorde com a convenção adotada para a potência reativa. 
 O fator de potência do trifásico simétrico e equilibrado é igual ao fator de 
potência da carga. Pode ser calculado por: 
 
 
40 
 
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S
P
FP  cos
 (50) 
 Outra maneira de se obter o fator de potência, é: 
 
p
p
R
X
arctg
 (51) 
sendo que: 
 ppp jXRZ
. 
 
pZ
: É a impedância da carga trifásica equilibrada. 
:pR
 É a resistência por fase. 
:pX
 É a reatância por fase. 
 O fator de potência de um sistema trifásico equilibrado é, portanto igual 
ao de qualquer sistema monofásico. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
41 
 
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4. REFERÊNCIAS BIBLIOGRÁFICAS: 
 
1. Máquinas Elétricas. Umans, Stephen D.; Fitzgerald, A.E.; Kingsley Jr., 
Charles. Editora Bookman Companhia Ed., 6a Edição, 2006, ISBN: 
8560031049. 
2. Análise de Circuitos. O’Maley, John. Coleção: Schaum, Editora Makron 
Books, 2ª. Edição, 1994, ISBN: 8534601194. 
3. Introdução aos Circuitos Elétricos. Dorf, Richard C.; Svoboda, James A. 
Editora LTC, 7ª. Edição, 2008, ISBN: 8521615825. 
4. Curso de Circuitos Elétricos. Orsini, L. Q.; Consonni, Denise. Editora 
Edgard Blücher Ltda, 2ª. Edição, Vol. 2, 2004, ISBN: 8521203322.