parte 3 apostila

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1. Equação Geral do Balanço
O campo dos Fenômenos de Transporte ocupa-se basicamente com a predição das variações de temperatura, concentração e velocidade dentro de um meio. Para obter estes perfis, empregam-se dois conjuntos de equações.
Equações de Balanços (ou de conservação)
Equações de Taxas ou Leis de Fluxo
A equação geral do balanço para um determinado sistema é:
Taxa de entrada - Fluxo que entra no sistema através de suas fronteiras.
Taxa de saída - Fluxo que sai do sistema através de suas fronteiras.
Taxa de transformação - Toda produção ou consumo no interior do sistema.
Taxa de variação - Taxa de variação da quantidade total de massa, energia ou quantidade de movimento do sistema.
1.1Equação Geral do Balanço na Forma Integral:
 (Balanço Geral, Balanço Macroscópico)
Considerando-se no sistema um volume de controle fixo no espaço (sistema aberto, método Euleriano) e que 
( = Fluxo de uma quantidade (QM, Massa ou Energia) [Quantidade/Área.Tempo]
( = Concentração de uma quantidade (QM, Massa ou Energia) [Quantidade/Volume]
(t = Geração de uma quantidade (QM, Massa ou Energia) [Quantidade/Tempo.Volume]
Então, para a figura a seguir,
A taxa de transferência de quantidade de movimento, energia ou massa através de dA é dada por:
 é o vetor normal que aponta para fora da superfície de controle
 é a componente de 
 perpendicular a dA
��EMBED Equation.3
Integrando-se sobre a área, obtém-se o fluxo líquido de quantidade de movimento, energia ou massa que atravessa a superfície de controle.
O elemento de volume dV contém 
unidades de quantidade de movimento, calor ou matéria. Portanto, o volume de controle contém 
unidades de quantidade de movimento. A taxa de variação de uma dessas quantidades no volume de controle, será portanto:
para um volume de controle fixo no espaço, pode-se escrever também que
Desta forma,
Para o elemento de volume dV a taxa de transformação é 
. Conseqüentemente para o volume de controle esta taxa será:
Substituindo as equações (2), (5) e (6) em (1) obtém-se a equação geral do balanço na forma integral, a volume de controle fixo.
1.2 Equação Geral do Balanço na Forma Diferencial:
 (Balanço Microscópico)
Pelo teorema da divergência de Gauss, sabe-se que 
Substituindo a equação (8) na (7) tem-se:
Como o volume de controle é arbitrário e as funções são contínuas, pode-se escrever:
A equação obtida é a equação geral do balanço na forma diferencial.
2. Equações de Fluxo
As equações que descrevem os fluxos moleculares e convectivos são respectivamente:
Obs.: 
Se considerarmos que 
onde 
é o fluxo total da propriedade ( e 
 o fluxo devido a outros mecanismos além de difusivo e convectivo (ex.: radiação), pode-se escrever que:
3. Combinação entre as Equações de Balanço e as de Fluxo
3.1 Forma Integral:
Substituindo-se a equação para o fluxo total (14) na equação geral EGBI (7) obtém-se:
onde 
 é mantido na notação original para facilitar a análise integral.
3.2 Forma Diferencial
Substituindo-se a equação para o fluxo total (14) na EGBD (10) obtém-se:
desenvolvendo,
Como 
e para ( constante
então, pode-se escrever a equação (17) na seguinte forma:
As equações (15) e (20) são básicas no estudo dos fenômenos de transporte conforme veremos a seguir.
Obs.: O produto escalar de 
4. Balanço Integral (Global, Macroscópico) de Massa:
Aplicaremos agora a equação (15) para conservação global de massa. Neste caso ( = ( = [massa total/volume] e portanto,
O primeiro termo desta equação representa a taxa de variação temporal da massa total contida no volume de controle e será representado por 
. O segundo termo desta equação representa a taxa líquida de massa que atravessa a superfície de controle por convecção. Para sistemas de um único componente ou com contradifusão mássica (fluxo mássico da espécie A = - fluxo mássico da espécia B) não há fluxo líquido de massa devido ao transporte molecular (
) e portanto o terceiro termo é nulo.
Se não existirem outros mecanismos no balanço de massa integral, 
 e o quarto termo é nulo, o quinto termo é nulo independentemente da presença de qualquer reação química. O termo (t é diferente de zero apenas na presença de raeções nucleares que convertem massa em energia.
Se tanto 
 e 
 forem nulos, então a equação (21) assume a seguinte forma:
Para escoamento incompressível (( ( constante), tem-se 
Exemplo 1: Considerando escoamento em regime permanente através do seguinte reservatório, realize um balanço global de massa no volume de controle indicado pelas linhas tracejadas. O restante da superfície de controle chamamos de A3.
Em regime permanente o BGM é dado pela equação (23).
para fluidos incompressíveis, resulta que
Exemplo 2: Considere o caso do escoamento incompressível no qual a área do escoamento é circular e o perfil de velocidade parabólico, variando de acordo com a expressão:
vmáx ( velocidade no centro do tubo
r ( raio qualquer
R ( raio do tubo
Através de um BGM determine a velocidade média do fluido escoando no tubo.
5. Balanço Global de Quantidade de Movimento
O balanço global de quantidade de movimento BGQM é obtido pela substituição da concentração ( da equação (15) por 
. Observe que neste caso ( e que 
é um tensor de 2a ordem.
Analisa-se a seguir cada termo da equação (15).
Sistema para BGQM
( fluxo ; ( ( concentração (
)
O primeiro termo desta equação representa a taxa de variação temporal da quantidade de movimento no interior do volume de controle que será representado por P. Observe que P tem as unidades de [QM/tempo] que são equivalentes a unidades de força.
O segundo termo da equação (25) é separado em duas integrais. Uma sobre A1 e outra sobre A2 (a integração sobre A3 resultar em fluxo nulo). Portanto,
O terceiro termo da equação (25) surge devido as entradas e saídas de quantidade de movimento do sistema por transporte molecular. Existem três contribuições para este termo: a primeira é devida ao atrito entre as paredes estacionárias e o fluido em movimento(conhecida como atrito viscoso); é a parcela mais significativa do fluxo molecular líquido que será representada por 
.
Nesta análise 
 é a força que o fluido exerce sobre a superfície sólida. A segunda contribuição ao fluxo molecular é devida a pressão na entrada e saída do sistema. Ela é expressa na seguinte forma.
A pressão também contribui com um tipo de atrito (conhecido como arraste de forma) nas superfícies internas do sistema, este atrito será incluído em 
.
A terceira contribuição no transporte molecular está associada as forças viscosas na entrada e saída do volume de controle. Esta contribuição é normalmente desprezível, então o terceiro termo da equação (25) torna-se:
Nesta equação 
é a tensão cisalhante 
 (tensor de segunda ordem). O produto escalar de 
 resulta em um vetor como os demais termos da equação.
O quarto termo da equação (25) é nulo porque não existem outras formas de transporte de quantidade de movimento para o sistema em questão.
O quinto termo, a transformação de quantidade de movimento, é causada pela ação de forças externas sobre o fluido como por exemplo a força da gravidade (neste caso, o campo gravitacional age como gerador de quantidade de movimento). Estes efeitos serão designados por 
. Se apenas forças gravitacionais são consideradas, 
.
Substituindo os resultados anteriores no Balanço Global de Movimento a equação (25), obtém-se finalmente:
Realizando as integrações como no balanço de massa, tem-se:
Obs.:
e
Observando-se o volume de controle as seguintes relações são válidas para a direção x.
n1x = cos (180( - (1) = -cos (1 
n2x = cos (2 
v1x = v1cos (1 
v2x = v2cos (2 
Portanto, para a direção x o BGQM assume a seguinte forma:
O balanço global de quantidade de movimento na direção y é obtido diretamente da equação anterior substituindo os cosenos pelos senos dos ângulos em questão.
6. Balanço Global de Energia
(Integral, Macroscópico)
Considere o seguinte sistema:
A energia total desse sistema consiste de 3 contribuições:
��EMBED Equation.3��EMBED Equation.3
Onde cada termo está dado em energia por unidade de massa. Desta forma, ((.E) é energia/volume ou uma “concentração de energia”. O balanço global de energia é obtido fazendo-se ( = ( E , na equação (15):
O primeiro termo desta equação é a taxa de variação de energia E, dado em unidades de Joules/s no volume de controle.
O segundo termo é
(não há fluxo convectivo através de outras áreas)
O terceiro termo (entrada – saída por transporte molecular) está associado ao fluxo líquido de energia ( q/A = [J/m2s]; 
) que entra no sistema através da superfície de controle. Quando integrado, este termo é equivalente a taxa de variação de energia devido ao fluxo de calor e será representado por Q [J/s].
O quarto termo representa o transporte de energia por outros meios através da superfície de controle, ou seja, o trabalho que será positivo se realizado pelo sistema.
O sistema recebe calor e realiza trabalho. Pela 1a lei da Termodinâmica, a energia do universo é constante. Portanto, 
Existem três tipos de trabalho que devem ser considerados: o primeiro é o trabalho de eixo WS (ex.: bomba centrífuga atando sobre o volume de controle). O segundo tipo é o trabalho de escoamento, W( que é o trabalho feito sobre as vizinhanças para superar os esforços normais na superfície de controle onde há escoamento. O terceiro tipo de trabalho é um trabalho realizado para superar os esforços cisalhantes na superfície de controle, é designado como W(. Portanto, a taxa líquida de trabalho, W é dada por:
Os esforços normais são causados por efeitos devido a pressão e esforços viscosos:
Tanto o trabalho viscoso devido a tensões normais como o devido à tensões cisalhantes representam uma perda de energia mecânica do sistema para superar os efeitos do atrito viscoso e serão agrupados em um único termo, W(. Desta forma, W é composto por:
que para o sistema em análise, assume a seguinte forma:
O quinto termo, a transformação de energia, pode ser desprezado a menos que contribuições “elétricas” ou nucleares existam. A energia associada a reações químicas é incluída como uma variação da energia interna u que é uma parte da energia total.
Da substituição dos resultados anteriores na equação (33) obtém-se:
A equação (32) é utilizada para eliminar E na equação (34). Após realizarmos as integrações, o resultado é :
Em termos de vazão mássica 
, a equação anterior torna-se:
para o estado estacionário 
 e 
; também da termodinâmica sabe-se que:
Desta forma a equação (36) é reescrita como:
A equação acima é o balanço global de energia para o sistema no estado estacionário. O termo 
 equação (37) pode ser substituído por 
, onde ( é o termo de correção da energia cinética, definido como:
então, a equação (37) assume a seguinte forma:
Usualmente assume-se que ( = 1. No entanto isto nem sempre é verdade. A figura abaixo mostra o gráfico de ( X Re para o escoamento em um tubo. Observe que para escoamento laminar ( = ½. Enquanto que para escoamento turbulento ( = 0,88 em baixos Reynolds e aproxima-se de 0,96 a medida que o perfil de velocidade se “achata” em altos Reynolds.
Exemplo 1: Calcule o coeficiente de correção da energia cinética (, para o escoamento de água entre duas placas paralelas quando a placa superior se move a velocidade de 1 m/s e a placa inferior é estacionária. Admita regime permanente.
Solução: para este escoamento o perfil de velocidade é dado por v/v0 = y/y0 onde v0 ( velocidade da placa superior.
��EMBED Equation.3
Também,
��EMBED Equation.3
Portanto, da equação (38) tem-se que
Exemplo 2: Um eixo está girando com uma velocidade angular constante ( no mancal apresentado na figura a seguir. O diâmetro do eixo é d e a tensão cisalhante é (. Obtenha a taxa na qual a energia deva ser removida do mancal para o óleo lubrificante entre o eixo e a superfície estacionária no mancal permaneça a temperatura constante.
Solução: o volume de controle escolhido consiste de uma unidade de comprimento de fluido envolvendo o eixo como mostra a figura acima. O BGE para o volume de controle é:
A partir da figura observa-se o seguinte:
o fluido não atravessa a superfície de controle.
Nenhum trabalho de eixo atravessa a superfície de controle
O escoamento é estacionário.
Então,
(Todo o trabalho viscoso é usado para superar as tensões cisalhantes)
Onde er e e( são os vetores unitários nas direções r e ( respectivamente. O sinal resultante é consistente com o conceito de trabalho positivo quando realizado pelo sistema sobre as vizinhanças. Como v( = (d/2, então:
Que é a taxa de transferência de calor necessária para manter o óleo a temperatura constante. Se o calor não é removido do sistema então Q = 0 e portanto:
Como somente a energia interna do óleo aumenta com o tempo, então
e portanto,
ou com o calor específico a volume constante, 
Integrando obtém-se a variação da temperatura com o tempo. Observe que:
o termo de trabalho viscoso envolve grandezas apenas na superfície de controle.
Quando a velocidade na superfície de controle é zero o termo de trabalho viscoso é nulo (W( = 0)
Exemplo 3: Na expansão brusca apresentada na próxima figura a pressão que atua na seção1 é considerada uniforme com o valor p1. Obtenha a variação da energia interna entre as seções 1 e 2 para um escoamento estacionário e incompressível. Despreze as perdas por atrito nas paredes e expresse U2 e U1 em termo de v1, A1 e v2. O volume de controle está indicado pela linha tracejada.
(Escoamento através de uma expansão brusca)
Solução:
a)BGM:
Se a seção 2 é escolhida numa distância relativamente afastada a jusante, então o balanço global de massa para o escoamento estacionário e fluido incompressível assume a seguinte forma:
Como ( é constante então, 
b) BGQM:
Admitindo-se ( = 1, resulta:
Para a direção x: 
Também, 
Desta forma:
ou 
c) BGE:
A partir da equação (36), tem-se:
Admitindo-se ( = 1, essa equação assume a seguinte forma para regime permanente e escoamento incompressível:
Os resultados dos 3 balanços (equações (i), (ii) e (iii)), podem ser combinados para determinar-se (U; substituindo-se a equação (ii) para (p/( e a equação (i) para v2 e observando que z1 = z2, obtém-se:
A equação (39-a) fornece a variação da energia interna em uma expansão brusca. A variação de temperatura que corresponde a essa variação de energia interna é insignificante, mas da equação (iii) pode-se observar que a variação na carga total 
 é igual a variação de energia interna. Portanto a variação da energia interna em um escoamento incompressível é designada como uma perda de carga hL e a equação da energia em escoamento estacionário, adiabático e incompressível em um tubo é escrita como:
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