Física 3-06

Esta é uma pré-visualização de arquivo. Entre para ver o arquivo original

www.profafguimaraes.net 
1 
 Prof. A.F.Guimarães 
Física 3 – Questões 6 
 Questão 1
A carga que atravessa a seção reta de um 
condutor é dada por: ݍ ൌ ݍ଴ ൅ ܽݐଶ 
 
onde ݍ଴ ൌ ͲǡͲͷ�ܥǡ ܽ ൌ ͲǡͲʹ�ܥ ή ݏିଶ e t é dado em 
segundo. Determine: (a) a expressão da corrente 
em função do tempo, (b) o valor da corrente para 
t=2s. 
Resolução: 
a) Para a expressão da corrente teremos: ݅ ൌ ݀ݍ݀ݐ �� ׵ ݅ ൌ ʹܽݐ 
(1.1) 
b) ݅ ൌ ʹ ή ͲǡͲʹ ή ʹ ൌ ͲǡͲͺ�ܣ 
(1.2) 
 Questão 2
Quando um certo capacitor é descarregado sua 
carga varia em função do tempo de acordo com a 
relação: ݍ ൌ ݍ଴݁ି௕௧ 
(2.1) 
onde ݍ଴ ൌ ͲǡͲʹ�ܥǡ ܾ ൌ Ͷݏିଵ e t é dado em 
segundos. Determine: (a) a expressão da corrente 
em função do tempo, (b) o módulo da corrente 
para t = 0, t = 0,25 s, t = 10 s e t = 1 hora. 
Resolução: 
a) Para a corrente teremos: ݅ ൌ ݀ݍ݀ݐ� ׵ ݅ ൌ െܾ ή ݍ଴݁ି௕௧ 
(2.2) 
b) Utilizando a expressão (2.2), teremos: 
ȁ݅ሺͲሻȁ ൌ ͲǡͲͺܣǢ� ȁ݅ሺͲǡʹͷሻȁ ൌ ͲǡͲʹͻ�ܣǢ� ȁ݅ሺͳͲሻȁ ൌ ͵ǡͶ ή ͳͲିଵଽܣǢ� ȁ݅ሺ͵͸ͲͲሻȁ ؆ Ͳ 
(2.3) 
 
 Questão 3
 
A corrente que flui através da seção reta de um 
condutor é dada por: 
 ݅ ൌ ݅଴ ൅ ܽݐ 
 
onde ݅଴ ൌ ʹ�ܣǡ ܽ ൌ ͲǡͲͶ�ݏିଵ e t é dado em 
segundos. Determine: (a) a expressão da carga 
que atravessa a seção reta, (b) o valor da carga 
para ݐ ൌ ͳ�ݏ e para ݐ ൌ ͳͲ�ݏ. 
Resolução: 
a) A carga que atravessa a seção reta será dada 
por: 
 οݍ ൌ න ݅�݀ݐ ��οݍ ൌ නሺ݅଴ ൅ ܽݐሻ݀ݐ�� ׵ οݍ ൌ ݅଴ݐ ൅ ܽݐଶʹ 
(3.1) 
 
b) Utilizando a expressão (3.1), teremos: 
 οݍሺͳሻ ൌ ʹǡͲʹܥǢ�οݍሺͳͲሻ ൌ ʹʹܥ 
(3.2) 
 
 Questão 4
 
A correia de um gerador eletrostático tem ͷͲ�ܿ݉ de largura e move-se com uma velocidade 
de ͵Ͳ�݉ ή ݏିଵ, transportando cargas à razão de ͳͲିସ Coulombs por segundo. Qual é a densidade 
superficial de carga na correia? 
Resolução: 
A quantidade de carga é dada por: 
 οݍ ൌ ߪܣ ֜ οݍ ൌ ߪ݈ݔ 
(4.1) 
 
 
www.profafguimaraes.net 
2 
Agora, tomando a taxa de variação no tempo, 
teremos: οݍοݐ ൌ ߪ ή ݈ ή οݔοݐ�� ݅ ൌ ߪ݈ݒ 
(4.2) 
Da expressão anterior, teremos: ߪ ൌ ݈݅ݒ ൌ ͳͲିସ͵Ͳ ή Ͳǡͷ ൌ ͸ǡ͸͹ ή ͳͲି଺ܥ ή ݉ିଶ 
(4.3) 
 Questão 5
A resistência de um fio de ferro é 5,9 vezes a de 
um fio de cobre com as mesmas dimensões. Qual 
deve ser o diâmetro de um fio de ferro para que 
tenha a mesma resistência de um fio de cobre de 
0,12 cm de diâmetro, admitindo que ambos os fios 
tenham o mesmo comprimento? 
Resolução: 
Tomando a relação: ܴ ൌ ߩ݈ܣ 
(5.1) 
Poderemos escrever: ߩி௘ ൌ ͷǡͻߩ஼௨ 
(5.2) 
Logo, para ter a mesma resistência, teremos: ߩி௘݈ߨ ή ݀ி௘ଶͶ ൌ ߩ஼௨݈ߨ ή ݀஼௨ଶͶ � ߩி௘݀ி௘ଶ ൌ ߩ஼௨݀஼௨ଶ � ׵ ݀ி௘ ൌ Ͳǡʹͻ�ܿ݉ 
(5.3) 
 Questão 6
Numa linha de transmissão utiliza-se uma 
quantidade total de fios de cobre equivalente a um 
fio único de 100 km de comprimento. Suponha 
que os fios possuam o mesmo diâmetro (igual a 
2,0 mm). (a) Encontre o diâmetro do fio de 
alumínio, sem alterar a resistência total dos 100 
km de fio. (b) Sabemos que ݀஼௨ ൌ ͵ǡ͵݀஺௟, onde ݀஼௨ 
é a massa específica do cobre e ݀஺௟ é a massa 
específica do alumínio. Seja x o preço do kg do 
alumínio. Suponha que o preço do kg do cobre seja 
igual a 1,3x; verifique se é mais econômico utilizar 
fios de cobre ou fios de alumínio na referida linha 
de transmissão. Suponha que os fios sejam 
cilindros maciços. (c) A resposta obtida em (a) e 
em (b) é independente, ou depende, da extensão 
total da linha de transmissão? 
Resolução: 
a) Utilizando a relação (5.1), teremos: 
 ߩ஼௨݈ߨܦ஼௨ଶ ൌ ߩ஺௟݈ߨܦ஺௟ଶ � � ͳǡ͹ ή ͳͲି଼ሺʹ ή ͳͲିଷሻଶ ൌ ʹǡͺ ή ͳͲି଼ܦ஺௟ଶ �� ׵ ܦ஺௟ ൌ ʹǡͷ͹�݉݉ 
(6.1) 
 
Sendo: 
 ߩ஼௨ ൌ ͳǡ͹ ή ͳͲି଼�ȳ ή ݉ e ߩ஺௟ ൌ ʹǡͺ ή ͳͲି଼ȳ ή ݉. 
 
b) Utilizando as massas específicas, teremos: 
 ݉஼௨஼ܸ௨ ൌ ͵ǡ͵݉஺௟஺ܸ௟ 
(6.2) 
 
Os fios possuem a mesma extensão, mas não os 
mesmos diâmetros, conforme indica o resultado 
de (6.1). Assim, de (6.2), teremos: 
 ݉஼௨ ൌ ͵ǡ͵݉஺௟ ൬ܦ஼௨ܦ஺௟ ൰ଶ �� ׵ ݉஼௨ ؆ ʹ݉஺௟ 
(6.3) 
 
Dessa forma, para qualquer trecho de 
transmissão, ao se substituir cobre por igual 
extensão de alumínio, deve-se utilizar o dobro de 
massa do alumínio. Dessa forma é mais econômico 
a utilização de cobre. 
 
 Questão 7
 
Ligam-se em série dois condutores A e B, tendo 
comprimentos iguais a 40 m e as áreas de seção 
 
www.profafguimaraes.net 
3 
transversal de 0,10 ݉ଶ. Um potencial de 60 V é 
aplicado através dos extemos de ligação dos dois 
condutores. As resistências dos condutores são 40 
e 20 ȳ, respectivamente. Determinar: (a) as 
resistividades dos dois condutores; (b) a 
intensidade do campo elétrico em cada condutor; 
(c) a densidade de corrente em cada condutor; (d) 
a diferença de potencial aplicada entre os 
extremos de cada condutor. 
Resolução: 
a) Utilizando a relação (5.1), podemos escrever 
para os condutores A e B, a seguinte relação: ߩ ൌ ܴ ή ܣ݈ 
(7.1) 
Logo, teremos: ߩ஺ ൌ ͲǡͳͲ�ȳ ή ݉�݁�ߩ஻ ൌ ͲǡͲͷȳ ή ݉ 
(7.2) 
b) Levando em consideração que a ligação dos 
condutores é sem série, teremos: 
஺ܴܸ஺ ൌ ஻ܸܴ஻ ֜ ஺ܸ ൌ ʹ ஻ܸ 
(7.3) 
E também, com relação ao potencial, podemos 
escrever: 
஺ܸ ൅ ஻ܸ ൌ ͸Ͳ 
(7.4) 
Agora, utilizando (7.3) e (7.4), teremos: 
஺ܸ ൌ ͶͲ�ܸ�݁� ஻ܸ ൌ ʹͲ�ܸ 
(7.5) 
Pode-se considerar que o campo elétrico no 
interior do condutor é praticamente uniforme. 
Assim, para os respectivos condutores, teremos 
para o campo elétrico: ܧ஺ ൌ ஺ܸ݈஺ ൌ ͳܸ ή ݉ିଵ ܧ஻ ൌ ஻ܸ݈஻ ൌ Ͳǡͷܸ ή ݉ିଵ 
(7.6) 
c) Como a ligação é em série, teremos: 
 ݆஺ ൌ ݆஻ ൌ ܧ஻ߩ஻ ൌ ͳͲ�ܣ ή ݉ିଶ 
(7.7) 
 
Em que foram utilizados os resultados de (7.2) e 
(7.6). 
 
d) Vide os resultados de (7.5). 
 
 Questão 8
 
Um resistor tem a forma de um tronco de cone 
circular reto, como mostra a figura 8.1. Os raios 
das bases são a e b, e a altura l. Se a inclinação for 
suficientemente pequena, podemos supor que a 
densidade de corrente é uniforme através de 
qualquer seção transversal. (a) Calcular a 
resistência deste sistema. (b) Mostrar que o 
resultado de (a) se reduz a ߩ݈ ܣΤ para o caso 
especial onde a = b, ou seja, para um cilindro. 
 
Figura 8.1 
 
Resolução: 
Considerando a densidade de corrente uniforme, 
então podemos utilizar a relação (5.1), porém, na 
sua forma infinitesimal. Considere a figura 8.2: 
 
Figura 8.2 
 
O elemento infinitesimal representado em verde 
possui uma resistência dada por: 
 
 a b 
i i 
 
l 
y ya 
b dx 
x 
 
www.profafguimaraes.net 
4 
ܴ݀ ൌ ߩ݀ݔߨݕଶ 
(8.1) 
No entanto, precisamos de uma relação entre x e y, 
que são a posição e o raio do elemento infinitesial 
respectivamente. Observando a figura 8.2, 
podemos utilizar os dois triângulos (o vermelho e 
o azul) e aplicar a semelhança de triângulo. Assim, 
teremos: ܾ െ ݈ܽ ൌ ݕ െ ܽݔ 
(8.2) 
Utilizando (8.2), a expressão (8.1) toma a seguinte 
forma: ܴ݀ ൌ ߩ݈ଶߨሾݔሺܾ െ ܽሻ ൅ ݈ܽሿଶ ݀ݔ 
(8.3) 
Em seguinda, podemos integrar para os limites 
x = 0 até x = l. No entanto, pode-se utilizar a 
variável y em vez de x. Utilizando (8.2), teremos: ݀ݕ݀ݔ ൌ ܾ െ ݈ܽ ֜ ݀ݔ ൌ ݈ܾ െ ܽ ݀ݕ 
(8.4) 
Assim, a expressão (8.1) fica: ܴ݀ ൌ ߩ݈ܾ െ ܽ ή ݀ݕߨݕଶ 
(8.5) 
Quando x varia de 0 até l, y varia de a até b. Assim, 
efetuando a integração, teremos: 
ܴ ൌ ߩ݈ሺܾ െ ܽሻߨන ݀ݕݕଶ௕௔ �� ܴ ൌ ߩ݈ሺܾ െ ܽሻߨ ൤െͳݕ൨௔௕ � ׵ ܴ ൌ ߩ݈ߨܾܽ 
(8.6) 
Para a = b o resultado de (8.6), se resume a 
expressão de (5.1). 
 Questão 9
 
Seja ߙԢ o coeficiente de temperatura da 
resistência. (a) Por analogia com a equação: ߙ ൌ ଵఘ ή ௗఘௗ், escreva uma relação para ߙԢ. (b) 
Obtenha uma relação entre o coeficiente de 
temperatura da resistência ߙᇱ e o coeficiente de 
temperatura da resistividade ߙ. (c) Em que 
condições podemos considerar ߙᇱ ൌ ߙ. 
Resolução: 
a) 
 ߙᇱ ൌ ͳܴ ή ܴ݀݀ܶ 
(9.1) 
 
b) Utilizando a expressão (5.1), temos: 
 ܴ݀݀ܶ ൌ ݀ߩ݀ܶ ή ݈ܣ ൅ ߩ ή ݀݀ܶ ൬݈ܣ൰ 
(9.2)
Utilizando (9.1), teremos: 
 ߙᇱ ൌ ߙ ൅ ܴߩ ή ݀݀ܶ ൬݈ܣ൰ 
(9.3) 
 
c) Se a variação das dimensões do resistor, com 
relação à temperatura, for desprezível, ou seja, ௗௗ் ቀ ௟஺ቁ ൌ Ͳ, então ߙᇱ ൌ ߙ. 
 
 Questão 10
 
Seja ߩ଴ a resistividade de um material quando a 
temperatura é dada por ଴ܶ ൌ ʹͲԨ. (a) Use a 
relação ߙ ൌ ଵఘ ή ௗఘௗ் para obter uma expressão da 
resistividade ߩ em função da temperatura T (em Ԩ). Suponha que o coeficiente ߙ não se altere com 
a variação da temperatura. (b) Deduza uma 
expressão aproximada para a determinação da 
resistividade em função da temperatura. 
Resolução: 
a) Utilizando a relação dada na questão 10, e 
considerando que o coeficiente ߙ não sofra 
variações, podemos escrever: 
 
 
www.profafguimaraes.net 
5 
ߙන ்்݀ܶబ ൌ න ݀ߩߩఘఘబ � �ߙοܶ ൌ Ž ߩ െ Ž ߩ଴ � ׵ ߩ ൌ ߩ଴݁ఈሺ்ି బ்ሻ 
(10.1) 
b) Seja a seguinte aproximação: ݁ఈሺ்ି బ்ሻ ؆ ͳ ൅ ߙሺܶ െ ଴ܶሻ ൅ ڮ 
(10.2) 
Utilizando (10.2) no resultado de (10.1), teremos: ߩ ؆ ߩ଴ሾͳ ൅ ߙሺܶ െ ଴ܶሻሿ 
(10.3) 
 Questão 11
Quado se aquece uma barra de metal, varia não 
somente a sua resistência, mas também o seu 
comprimento e a área de sua seção reta. A relação ܴ ൌ ߩ݈ ܣΤ sugere que todos os três fatores devem 
ser levados em conta, na medida de ߩ em 
temperaturas diferentes. Determinar a variação 
percentual da resistência R em função das 
variações percentuais de ߩ, de l e de A. O 
coeficiente de expansão linear do cobre é igual a ͳǡ͹ ή ͳͲିଷԨିଵ. Verifique se para o cobre é 
razoável faze a aproximação ߙᇱ ൌ ߙ. Ver a questão 
9. 
Resolução: 
Seja a expressão dada por (9.2). Tomando a 
variação para o termo da segunda parcela, 
teremos: ݀݀ܶ ൬݈ܣ൰ ൌ ͳܣଶ ൤ܣ ݈݀݀ܶ െ ݈ ݀ܣ݀ܶ൨ 
(11.1) 
Substituindo em (9.2), teremos: ܴ݀݀ܶ ൌ ݈ܣ ή ݀ߩ݀ܶ ൅ ߩܣ ή ݈݀݀ܶ െ ߩ݈ܣ ή ͳܣ ή ݀ܣ݀ܶ� �ܴ݀݀ܶ ൌ ߩ݈ܣ ή ͳߩ ή ݀ߩ݀ܶ ൅ ߩ݈ܣ ή ͳ݈ ή ݈݀݀ܶ െ ߩ݈ܣ ή ͳܣ ή ݀ܣ݀ܶ 
(11.2) 
Em que 
ଵఘ ή ௗఘௗ் ൌ ߙǢ�ଵ௟ ή ௗ௟ௗ் ൌ ߙ௟௜௡�݁� ଵ஺ ή ௗ஺ௗ் ൌ ʹߙ௟௜௡. 
Assim, a expressão (11.2), assume a seguinte 
forma: 
 ܴ݀݀ܶ ൌ ܴሾߙ െ ߙ௟௜௡ሿ 
(11.3) 
 
Assim, utilizando os dados teremos: 
 ͳܴ ή ܴ݀݀ܶ ൌ ʹǡʹ ή ͳͲିଷԨିଵ 
(11.4) 
 
Em que ߙ஼௨ ൌ ͵ǡͻ ή ͳͲିଷԨିଵ. 
 
 Questão 12
 
Um aquecedor elétrico de nicromo dissipa ͷͲͲ�ܹ quando submetido a uma diferença de 
potencial de 110 V, sendo a temperatura do fio 
então igual a ͺͲͲ�Ԩ. Qual será o valor da potência 
dissipada se a temperatura do fio for mantida a ʹͲͲ�Ԩ pela imersão num banho de óleo? A 
diferença de potencial é a mesma nos dois casos; o 
valor de ߙ para o Nicromo é cerca de Ͷ ή ͳͲିସ�Ԩିଵ. 
Resolução: 
Para a resistência do aquecedor a temperatura de ͺͲͲ�Ԩ, teremos: 
 ܴ ൌ ܸଶܲ�� ׵ ܴ ൌ ͳͳͲଶͷͲͲ ൌ ʹͶǡʹȳ 
(12.1) 
 
Utilizando a relação ܴ ൌ ܴ଴ሾͳ ൅ ߙοܶሿ, teremos, 
para a resistência à temperatura de ʹͲͲ�Ԩ: 
 ʹͶǡʹ ൌ ܴ଴ሾͳ ൅ Ͷ ή ͳͲିସ ή ͸ͲͲሿ� ׵ ܴ଴ ൌ ͳͻǡͷʹȳ 
(12.2) 
 
Assim, para ʹͲͲ�Ԩ, a potência dissipada será: 
 ଶܲ଴଴ ൌ ͳͳͲଶͳͻǡͷʹ ൌ ͸ͳͻǡͻ�ܹ 
(12.3) 
 
 
 
 
www.profafguimaraes.net 
6 
 Questão 13
(a) Mostre que a potência por unidade de 
volume p, transformada em calor num resistor 
pelo efeito Joule, pode ser escrita como ݌ ൌ ߩ݆ଶ ou ݌ ൌ ܧଶ ߩΤ . (b) Um resistor cilíndrico de raio ͲǡͷͲ�ܿ݉ e comprimento ʹǡͲ�ܿ݉ tem uma 
resistividade de ͵ǡͷ ή ͳͲିହȳ ή ݉. Quanto valem a 
densidade de corrente e a diferença de potencial, 
quando a potência dissipada é igual a ͳǡͲ�ܹ? 
Resolução: 
a) Sabemos que a potência é dada por ܲ ൌ ܸ ή ݅, 
assim, para um condutor cilíndrico, a potência 
pelo volume será: ݌ ൌ ܸܲ௢௟ ൌ ܧ ή ݈ ή ݆ ή ܣܣ ή ݈ � ׵ ݌ ൌ ܧ ή ݆ 
(13.1) 
Utilizando ܧ ൌ ߩ ή ݆, teremos: ݌ ൌ ߩ ή ݆ଶ�݋ݑ�݌ ൌ ܧଶߩ 
(13.2) 
b) O volume desse condutor cilíndrico será: 
௢ܸ௟ ൌ ܣ ή ݈ ൌ ͳǡͷͺ ή ͳͲି଺�݉ଷ 
(13.3) 
Utilizando os resultados de (13.2) e (13.3), 
teremos para densidade de corrente: 
݆ ൌ ඨ ܲߩ ή ௢ܸ௟ ؆ ͳǡ͵Ͷ ή ͳͲହܣ ή ݉ିଶ 
(13.4) 
E para a diferença de potencial: ܸ ൌ ߩ ή ݆ ή ݈ ൌ ͲǡͲͻͳܸ 
(13.5) 
 Questão 14
A corrente através de um resistor de 
resistência igual a ʹȳ varia com o tempo de 
acordo com a relação: 
݅ ൌ ܽ ൅ ܾݐ െ ܿݐଶ 
 
em que ܽ ൌ ͳܣǡ ܾ ൌ Ͳǡʹܣ ή ݏିଵ�݁�ܿ ൌ ͲǡͲͺܣ ή ݏିଶ. 
Determine: (a) a potência instantânea para ݐ ൌ ʹݏ, 
(b) a energia dissipada no resistor no intervalo de 
tempo de ݐ ൌ Ͳ até ݐ ൌ ͳݏ. 
Resolução: 
a) Para a corrente instantânea, teremos: 
 ݅ሺʹሻ ൌ ͳǡͲͺܣ 
(14.1) 
 
Assim, a potência instantânea terá o valor dado 
por: 
 ܲ ൌ ʹ ή ሺͳǡͲͺሻଶ ൌ ʹǡ͵͵ʹͺ�ܹ 
(14.2) 
 
b) Para a energia dissipada no intervalo de tempo, 
teremos: 
 Ԫ ൌ නܴ݅ଶ݀ݐ 
(14.3) 
 
Substituindo as relações em (14.3), teremos: 
 Ԫ ൌ න ሺʹ ൅ Ͳǡͺݐ െ ͲǡʹͶݐଶ െ ͲǡͲ͸Ͷݐଷ ൅ ͲǡͲͳʹͺݐସሻ݀ݐଵ଴ Ԫ ൌ ʹݐ ൅ ͲǡͶݐଶ െ ͲǡͲͺݐଷ െ ͲǡͲͳ͸ݐସ ൅ ͲǡͲͲʹͷ͸ݐହอ଴
ଵ
 ׵ Ԫ ؆ ʹǡ͵ͳ�ܬ 
(14.4) 
 
 Questão 15
 
A região entre duas esferas concêntricas 
condutoras com raios a e b está preenchida por 
um material condutor com resistividade ߩ. A) 
Mostre que a resistência entre as esferas é dada 
por: 
 ܴ ൌ ఘସగ ቀଵ௔ െ ଵ௕ቁ. 
 
B) Deduza uma expressão para a densidade de 
corrente em função do raio em termos da 
diferença de potencial ௔ܸ௕ entre as esferas. 
Resolução: 
 
 
www.profafguimaraes.net 
7 
a) Conforme foi feito na questão 8, o elemento 
infinitesimal de resistência assume a forma: ܴ݀ ൌ ߩ݀ݎͶߨݎଶ 
(15.1) 
Assim, integrando (15.1), teremos: 
ܴ ൌ ߩͶߨන ݀ݎݎଶ௕௔ �� ܴ ൌ െߩͶߨݎቚ௔௕ �� ׵ ܴ ൌ ߩͶߨ ൬ͳܽ െ ͳܾ൰ 
(15.2) 
b) Para a densidade de corrente, teremos: ݆ ൌ ௔ܸ௕ܴ ή ܣ Ǣ ܣ ൌ ߨݎଶ 
(15.3) 
Utilizando o resultado de (15.2) em (15.3), temos: ݆ ൌ ௔ܸ௕ ή ܽ ή ܾߩݎଶሺܾ െ ܽሻ 
(15.4) 
Agora, utilizando o resultado de (15.3), temos 
também: ܴ ൌ ߩͶߨ ൬ܾ െ ܾܽܽ ൰ ௔՜௕ሱۛሮ ܴ ൌ ߩ݈ܣ 
(15.5) 
Em que ݈ ൌ ܾ െ ܽ e ܣ ൌ Ͷߨܾଶ. 
 Questão 16
Um raio atinge a extremidade da barra de um 
pára-raios de aço, produzindo uma corrente 
transiente de ͳͷͲͲͲ�ܣ que dura ͸ͷ�ߤݏ. A barra 
possui ʹǡͲ�݉ de comprimento e diâmetro igual a ͳǡͺ�ܿ݉ e sua outra extremidade está conectada ao 
solo por meio de um fio de cobre com 
comprimento de ͵ͷ�݉ e diâmetro igual a ͺǡͲ�݉݉. 
A) Calcule a diferença de potencial entre o topo da 
barra de aço e a extremidade inferior do fio de 
cobre durante a passagem da corrente transiente. 
B) Calcule a energia total transferida para a barra 
e para o fio durante a passagem da corrente 
transiente. 
Resolução: 
a) As resistividades do aço e do cobre são dadas 
respectivamente por: ߩ௔­௢ ൌ ʹͲ ή ͳͲି଼ȳ ή ݉ e ߩ஼௨ ൌ ͳǡ͹ʹ ή ͳͲି଼ȳ ή . Assim, as respectivas 
resistências valem: 
 ܴ௔­௢ ൌ ߩ௔­௢݈௔­௢ߨݎ௔­௢ଶ � ׵ ܴ௔­௢ ൌ ͳǡ͸ ή ͳͲିଷȳ 
(16.1) 
 ܴ஼௨ ൌ ߩ஼௨݈஼௨ߨݎ஼௨ଶ � ׵ ܴ஼௨ ൌ ͳǡʹ ή ͳͲିଶȳ 
(16.2) 
 
Utilizando o resultado de (16.1), concluimos que a 
diferença de potencial nos terminais do fio de aço 
vale: 
 ௔ܸ­௢ ൌ ܴ௔­௢ ή ݅ ׵ ௔ܸ­௢ ൌ ʹͶ�ܸ 
(16.3) 
 
Utilizando o resultado de (16.2), podemos 
concluir que a diferença de potencial nos 
terminais do fio de cobre vale: 
 ஼ܸ௨ ൌ ܴ஼௨ ή ݅ ׵ ஼ܸ௨ ൌ ͳͺͲ�ܸ 
(16.4) 
 
Assim, utilizando os resultados de (16.3) e (16.4), 
teremos como diferença de potencial total, para a 
composição dos dois fios: 
 ்ܸ ൌ ௔ܸ­௢ ൅ ஼ܸ௨ ൌ ʹͲͶ�ܸ 
(16.5) 
 
b) Para as energias: 
 Ԫ௔­௢ ൌ ௔ܸ­௢ ή ݅ ή οݐ ൌ ʹͶ ή ͳͷͲͲͲ ή ͸ͷ ή ͳͲି଺ ׵ Ԫ௔­௢ ൌ ʹ͵ǡͶ�ܬ 
(16.6) 
 Ԫ஼௨ ൌ ஼ܸ௨ ή ݅ ή οݐ ൌ ͳͺͲ ή ͳͷͲͲͲ ή ͸ͷ ή ͳͲି଺ ׵ Ԫ஼௨ ൌ ͳ͹ͷǡͷ�ܬ 
(16.7) 
 
 
 
 
www.profafguimaraes.net 
8 
 Questão 17
O coeficiente de temperatura da resistividade ߙ 
é dado por ߙ ൌ ଵఘ ௗఘௗ், onde ߩ é a resistividade na 
temperatura T. A equação ߩ ൌ ߩ଴ሾͳ ൅ ߙοܶሿ é 
obtida então, supondo-se que ߙ seja constante e 
muito menor do que ሺܶ െ ଴ܶሻିଵ. A) Se ߙ não é 
constante, porém é dado por ߙ ൌ െ݊ ܶΤ onde T é 
a temperatura em Kelvin e n é uma constante, 
mostre que a resistividade é dada por ߩ ൌ െܽ ܶ௡Τ , 
onde a é uma constante. B) Usando os valores de ߩ 
e de ߙ referentes ao carbono, determine b e n. 
Considere a temperatura ambiente
igual a ʹͻ͵�ܭ. 
C) Usando o resultado de (B), determine a 
resistividade do carbono para െͳͻ͸Ԩ para ͵ͲͲԨ. 
Resolução: 
a) Utilizando as relações fornecidas na questão, 
teremos: െ݊ܶ ൌ ͳߩ ݀ߩ݀ܶ െ݊න݀ܶܶ ൌ න݀ߩߩ � Ž ܶି௡ ൌ Ž ߩ ൅ ܿ݋݊ݏݐǤ� ߩ ൌ ݁୪୬்ష೙ା௖௢௡௦௧Ǥ ׵ ߩ ൌ ܽܶି௡Ǣ �݁௖௢௡௦௧Ǥ ൌ ܽ 
(17.1) 
b) Acredito que a questão queira a e não b. Para o 
carbono temos ߩ ൌ ͵ǡͷ ή ͳͲିହȳ ή ݉ e ߙ ൌെͲǡͲͲͲͷԨିଵ. Para n, teremos: െͲǡͲͲͲͷ ൌ െ݊ʹͻ͵ ׵ ݊ ൌ ͲǡͳͶ͸ͷ 
(17.2) 
Para ͳԨ de variação, temos 1K de variação. Agora 
para a, teremos: ͵ǡͷ ή ͳͲିହ ൌ ܽ ή ʹͻ͵ି଴ǡଵସ଺ହ ׵ ܽ ൌ ͹ǡͻͷ ή ͳͲିହȳ ή ݉ ή ܭ௡ 
(17.3) 
c) As temperaturas na escala kelvin são 
respectivamente 77 K e 573 K. Assim, utilizando 
(17.1)-(17.3), teremos: ߩ଻଻ ൌ Ͷǡʹͳ ή ͳͲିହȳ ή ݉ǡ� ߩହ଻ଷ ൌ ͵ǡͳͶ ή ͳͲିହȳ ή ݉ 
(17.4) 
 Questão 18
 
A resistividade de um semicondutor pode ser 
alterada adicionando-se diferentes quantidades 
de impurezas. Uma barra de um semicondutor de 
comprimento L e seção reta com área A está ao 
longo do eixo Ox entre x = 0 e x = L. O material 
obedece à lei de Ohm e sua resistividade varia ao 
longo da barra de acordo com a relação ߩ ൌ ݁ି௫ ௅Τ . 
A extremidade da barra para x = 0 está a um 
potencial ଴ܸ mais elevado do que o potencial da 
extremidade x = L. A) Calcule a resistência total da 
barra e a corrente que flui através dela. B) 
Determine o módulo do campo elétrico E(x) na 
barra em função de x. C) Faça um gráfico das 
funções ߩሺݔሻǡ ܧሺݔሻ�݁�ܸሺݔሻ para valores de x 
compreendidos entre x = 0 e x = L. 
Resolução: 
a) O elemento infinitesimal de resistência é dado 
por: 
 ܴ݀ ൌ ߩ݀ݔܣ 
(18.1) 
 
Integrando (18.1), teremos: 
 ܴ ൌ ߩ଴ܣ න ݁ି௫ ௅Τ ݀ݔ௅଴ � ׵ ܴ ൌ ߩ଴ܮܣ ൬ͳ െ ͳ݁൰ 
(18.2) 
 
Para a intensidade de corrente, teremos: 
 ݅ ൌ ܸܴ ൌ ଴ܸܣ݁ߩ଴ܮሺ݁ െ ͳሻ 
(18.3) 
 
b) Para o campo elétrico, teremos: 
 ܧ ൌ ߩ݆ ൌ ଴ܸ݁ቀଵି௫௅ቁܮሺ݁ െ ͳሻ 
(18.4) 
 
c) Para a diferença de potencial utilizaremos: 
 ௔ܸ െ ௕ܸ ൌ න ܧሬԦ ή ݀Ԧ݈௕௔ 
(18.5) 
 
 
www.profafguimaraes.net 
9 
De (18.5), temos: 
଴ܸ െ ௑ܸ ൌ න ܧ݀ݔ௑଴ 
(18.6) 
Utilizando (18.4) em (18.6): 
଴ܸ െ ௑ܸ ൌ ଴ܸ݁ܮሺ݁ െ ͳሻන ݁ିಽೣ�݀ݔ௑଴ �� ׵ ௑ܸ ൌ ଴ܸ ቎݁ି೉ಽ െ ͳ݁ͳ െ ͳ݁ ቏ 
(18.7) 
d) Os gráficos foram plotados com todas as 
grandezas calibradas na unidade. 
 
 
 
0
0,5
1
1,5
2
0 0,2 0,4 0,6 0,8 1
Resistividade
Campo Elétrico
Potencial