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PLANEJAMENTO ESTRATÉGICO DE MINA
UTILIZANDO O WHITTLE
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i
Título original:
Whittle Strategic Mine Planning Course Notes
Tradução:
Humberto de Oliveira Machado
Engenheiro de Minas - Consultor Técnico - Gemcom do Brasil LTDA
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Outros (específico):
Versão Autor/Editor Data Comentário
101 Jacqueline Nelsen Fevereiro/2005 Preparation for UBC Mining 410 Class
102 David Whittle Setembro/2005
Preparation for Strategic Risk Management
Course, Perth (Nov 2005)
103 Vivien Hui Março/2005 Various Corrections (Seventh Edition)
104
Karen Woo
Jaime Awmack
David Whittle
30 de Maio de 2006
Added DC method & various other additions
(Eighth Edition)
ii
Whittle Strategic Mine Planning
First Edition 1999
Eighth Edition 2006
Editor: David Whittle
Main Contributors:
David Whittle
Jeff Whittle
Chris Wharton
Geoff Hall
Darren McRostie
Desktop Publishing:
Jacqueline Nelsen
Vivien Hui
Jaime Awmack
Karen Woo
Copyright 2006 Gemcom Software International Inc. All rights reserved
iii
ÍNDICE
1 PLANEJAMENTO ESTRATÉGICO DE MINA ........................................................................................ 1
1.1 Introdução ....................................................................................................................................... 1
1.2 Planejamento estratégico empresarial ............................................................................................ 1
1.2.1 Estratégia Militar ......................................................................................................................... 1
1.2.2 Estratégia empresarial ................................................................................................................ 2
1.3 Análise situacional .......................................................................................................................... 2
1.3.1 Modelo Contemporâneo para um planejamento estratégico ....................................................... 2
1.4 Análise de Mercado ........................................................................................................................ 3
1.4.1 Mercado de Commodities............................................................................................................ 4
1.4.2 Mercado de Ações ...................................................................................................................... 8
1.5 Evolução Econômica ....................................................................................................................... 8
1.6 Comportamento de Tomada de Decisão ....................................................................................... 15
1.6.1 Risco Neutro ............................................................................................................................. 15
1.6.2 Risco Oposto ............................................................................................................................. 16
1.6.3 Satisfazendo a Vontade do Mercado......................................................................................... 16
1.6.4 Tomando um Posicionamento de Custo no Mercado ................................................................ 17
1.6.5 Mudando a estrutura e o comportamento do mercado .............................................................. 17
1.6.6 Outro Comportamento de Tomada de Decisão ......................................................................... 18
1.6.7 Comportamento ruim! ................................................................................................................ 18
1.6.8 Representando o comportamento de tomada de decisão sobre uma curva Reserva/NPV ....... 19
1.6.9 Aplicação do modelo de comportamento de tomada de decisão ............................................... 22
2 O PROCESSO DO PROJETO .............................................................................................................. 23
2.1 Visão geral de um processo simples de planejamento .................................................................. 23
2.1.1 Criando um modelo seletivo de lavra ........................................................................................ 24
2.1.2 Criando um modelo de sensibilidade......................................................................................... 25
2.1.3 Estimar o tamanho geral da cava final ...................................................................................... 26
2.1.4 Introduzindo pushbacks ............................................................................................................ 27
2.1.5 Confira o trabalho com o modelo seletivo ................................................................................. 28
2.1.6 Ajuste as larguras mínimas de cava .......................................................................................... 29
2.1.7 Faça o projeto da cava final ...................................................................................................... 29
2.2 Análise de sensibilidade e análise What-if .................................................................................... 29
iv
2.2.1 A otimização é importante no trabalho de sensibilidade ............................................................ 29
2.2.2 A sensibilidade principal é a incerteza econômica .................................................................... 30
2.2.3 Análise What-if .......................................................................................................................... 30
3 ANÁLISE DE SENSIBILIDADE NO PLANEJAMENTO ESTRATÉGICO DE MINA ............................. 31
3.1 Resumo ......................................................................................................................................... 31
3.2 Medindo o impacto da incerteza do imput no projeto .................................................................... 31
3.2.1 Diagrama Spider ....................................................................................................................... 32
3.2.2 Análise de sensibilidade simples ou mult-variável ..................................................................... 32
3.2.3 O método McRostie/Whittle determina distribuições de probabilidade do NPV do Projeto ........ 33
3.3 Estratégia para lidar com a incerteza ............................................................................................
36
3.4 Tomando providências para reduzir a incerteza ............................................................................ 37
3.5 Projeto para reduzir o impacto da incerteza .................................................................................. 39
3.6 Tolerancia da incerteza e aceitação do risco associado ............................................................... 39
4 INTRODUÇÃO A OTIMIZAÇÃO ........................................................................................................... 41
4.1 Qual é o significado de otimização? .............................................................................................. 41
4.2 Modelo de otimização ................................................................................................................... 41
4.3 Exemplo simples de otimização .................................................................................................... 42
4.4 Conclusões ................................................................................................................................... 45
5 OTIMIZAÇÃO DE CAVA A CÉU ABERTO ........................................................................................... 47
5.1 O que significa otimização de cava a céu aberto? ........................................................................ 47
5.1.1 Definição de cava ótima ............................................................................................................ 47
5.1.2 O que afeta uma cava ótima para um determinado corpo de minério? ..................................... 48
5.1.3 A cava é ótima uma vez que fatores anteriores são fixos .......................................................... 48
5.2 Exemplo de uma simples otimização de cava ............................................................................... 49
5.3 Quais métodos de otimização de cava final estão disponíveis? .................................................... 51
5.3.1 Enumeração .............................................................................................................................. 51
5.3.2 Cone flutuante ........................................................................................................................... 52
5.3.3 Modelo bidimensional de Lerchs-Grossmann ............................................................................ 54
5.3.4 Método de Lerchs-Grossmann 2½D .......................................................................................... 55
5.3.5 Ernest Koenigsberg - 17ª APCOM ............................................................................................ 55
5.3.6 Lerchs-Grossmann em 3D e Network flow ................................................................................ 55
6 MODELO ECONÔMICO PARA OTIMIZAÇÃO DE CAVA .................................................................... 63
6.1 Objetivo do Dinheiro ...................................................................................................................... 63
v
6.2 Cash Pit ........................................................................................................................................ 63
6.3 NPV Pit ......................................................................................................................................... 63
6.4 Otimizando uma cava para maximização do NPV ......................................................................... 63
6.5 Técnicas de cava descontada ....................................................................................................... 63
6.5.1 Técnica DBD ............................................................................................................................. 64
6.5.2 Técnica NPVS ........................................................................................................................... 64
6.5.3 Técnica DPS ............................................................................................................................. 65
6.6 Técnica Convencional do Whittle para encontrar o Objetivo do NPV ............................................ 65
7 GERAÇÃO DE FAMÍLIA DE CAVAS ANINHADAS ............................................................................. 67
7.1 Parametrização de Cava pelo Fator de Receita (Revenue Factor - RF) ....................................... 67
7.2 Fases da Mina ............................................................................................................................... 68
7.3 Mine Direction ............................................................................................................................... 68
8 CALCULANDO VALORES DO BLOCO ............................................................................................... 71
8.1 A Fórmula para o Valor de um Bloco ............................................................................................ 71
8.2 Calculando Custos ........................................................................................................................ 72
8.2.1 Que custos incluir ...................................................................................................................... 72
8.2.2 Exemplos .................................................................................................................................. 73
8.2.3 Exemplo de cálculo de custo ..................................................................................................... 76
9 OPERACIONALIZAÇÃO DA CAVA FINAL A PARTIR DA CAVA MATEMÁTICA .............................. 77
9.1 Introdução ..................................................................................................................................... 77
9.2 Livrando-se dos artefatos do modelo de bloco .............................................................................. 78
9.3 Escolhendo cavas nos quais serão Pushbacks ............................................................................. 78
9.4 Assegurando as restrições requeridas de largura da mina que são conhecidas ........................... 79
9.5 Mining Direction ............................................................................................................................ 79
9.5.1 Introdução ................................................................................................................................. 79
9.5.2 Exemplo .................................................................................................................................... 80
9.5.3 Efeitos Econômicos e Práticos da Técnica ................................................................................ 81
9.5.4 Como Aplicar a Técnica ............................................................................................................ 82
9.5.5 Expressão DST ......................................................................................................................... 82
9.5.6 Expressões de preço ................................................................................................................. 82
9.5.7 Revenue Factors ....................................................................................................................... 83
9.5.8 Notas sobre as técnicas ............................................................................................................ 83
9.6 Permitindo ângulo de talude funcional .......................................................................................... 84
vi
9.7 Considerando Estradas de Transporte e Bermas de Segurança .................................................. 85
10 EFEITOS DE UMA LAVRA SUBTERRÂNEA ..................................................................................
87
10.1 Visão Geral ................................................................................................................................... 87
10.2 Qual minério deveria ser lavrado pela lavra a céu aberto? ............................................................ 87
10.3 Quando a Cava Contribui ao Desenvolvimento da Lavra Subterrânea ......................................... 90
11 MÚLTIPLAS MINAS ......................................................................................................................... 93
11.1 Resumo ......................................................................................................................................... 93
11.2 Introdução ..................................................................................................................................... 93
11.3 Múltiplas minas - O background .................................................................................................... 94
11.4 A solução Whittle Multi-Mine ......................................................................................................... 94
11.5 Exemplo de estudo de caso .......................................................................................................... 95
11.5.1 Exemplo de dados ................................................................................................................. 95
11.5.2 Tratar como uma mina simples ............................................................................................. 95
11.5.3 Tratar como multi-mine .......................................................................................................... 96
11.5.4 Modificando restrições ........................................................................................................... 98
11.5.5 Algoritmo Milawa ................................................................................................................... 99
11.5.6 Conclusões ......................................................................................................................... 101
12 EFEITOS DA PROGRAMAÇÃO E SEQÜENCIAMENTO DE LAVRA ........................................... 103
12.1 Efeitos da programação e seqüenciamento de lavra ................................................................... 103
12.1.1 O efeito do tempo no valor do dinheiro ................................................................................ 103
12.1.2 O efeito da seqüência de lavra sobre o contorno da cava ótima ......................................... 103
12.1.3 A interação entre taxa de produção e seqüência de lavra ................................................... 104
12.2 Usando a família de cavas aninhadas para simulação de lavra. ................................................. 105
13 MODELO ECONÔMICO PARA O SEQÜENCIAMENTO ÓTIMO ................................................... 107
13.1 Introdução ................................................................................................................................... 107
13.2 Inclusão de Gastos de Capital Inicial .......................................................................................... 107
13.3 Gastos Baseado no Tempo ......................................................................................................... 107
13.4 Mudando Preços e Custos ao longo do tempo ............................................................................ 107
13.5 Detalhes do Modelamento de Custo para Análise de FCD ......................................................... 107
14 OTIMIZAÇÃO DO SEQÜENCIAMENTO DE LAVRA ..................................................................... 109
14.1 Definição de um problema de otimização do seqüenciamento de lavra ...................................... 109
14.2 Algoritmo Milawa para Otimização de Seqüenciamento de lava ................................................. 109
14.3 Modelos de Custo apropriados para Otimização de Seqüenciamento de Lavra ......................... 110
14.3.1 Solução 1 (usando equações simultâneas) ......................................................................... 111
vii
14.3.2 Solução 2 - (usando uma razão de custo permanente) ....................................................... 112
14.3.3 Notas ................................................................................................................................... 113
14.3.4 Efeito de aplicar a solução .................................................................................................. 113
14.3.5 Equações Simultâneas ........................................................................................................ 113
15 STOCKPILES ................................................................................................................................. 115
15.1 Grade Stockpile ........................................................................................................................... 115
15.2 Blending Stockpile ....................................................................................................................... 115
15.3 Buffer Stockpiles ......................................................................................................................... 116
15.4 Planejamento de Stockpile .......................................................................................................... 116
15.4.1 Projeto de Stockpile ............................................................................................................ 116
15.4.2 Operação de Stockpile ........................................................................................................ 116
16 Blending ......................................................................................................................................... 117
16.1 Introdução ................................................................................................................................... 117
16.2 Type 1 Blending (Ordem única de blending) ............................................................................... 117
16.3 Type 2 Blending (ordem múltipla de blending) ............................................................................ 117
16.4 Type 3 Blending (Seqüenciamento de blending LOM) ................................................................ 118
16.5 Type 4 Blending (Otimização combinada de cava e blend) ......................................................... 118
16.6 Type 4 Blening: Otimização Combinada de Cava e Blend .......................................................... 119
16.6.1 Resumo ............................................................................................................................... 119
16.6.2 Introdução ........................................................................................................................... 119
16.6.3 Suposições .......................................................................................................................... 120
16.6.4 Técnicas para combinar otimização de cava e blend .......................................................... 121
16.6.5 Seqüenciamento ................................................................................................................. 127
16.6.6 Conclusão ........................................................................................................................... 127
17 MODELO DE CUSTO PARA DIFERENTES FINALIDADES .......................................................... 129
17.1 Introdução ................................................................................................................................... 129
17.2 A expansão dos conceitos
de contabilidade ................................................................................ 129
17.3 Uso inadequado de conceitos de contabilidade - um exemplo .................................................... 130
17.4 Princípios e Suposições da Contabilidade, Otimização de Cava e Análise de FCD .................... 130
17.4.1 O Padrão de Contabilidade Australiana v. Requerimento de Otimização de Cava e Análise de
FCD 131
17.5 Glossário dos termos Accrual Accounting ................................................................................... 135
18 CUT-OFFS ...................................................................................................................................... 139
18.1 Cut-offs Marginal ......................................................................................................................... 139
viii
18.1.1 O Caso Normal .................................................................................................................... 139
18.1.2 Recuperação de processo não linear .................................................................................. 140
18.1.3 Custo de reabilitação (Rehabilitation Cost) .......................................................................... 141
18.2 Múltiplos métodos de processo ................................................................................................... 141
18.3 Equilíbrio de lavra e processo ..................................................................................................... 142
18.4 Cut-offs com múltiplos produtos .................................................................................................. 144
18.5 Mudando os Cut-offs com o Tempo ............................................................................................ 145
19 OTIMIZAÇÃO DO CUT-OFF .......................................................................................................... 147
19.1 Teoria de Lane para a otimização de cut-off ............................................................................... 147
19.2 Método do Whittle de otimização do Cut-off ................................................................................ 150
20 O MODELO DC PARA CLASSIFICAÇÃO DE MATERIAL E MAXIMIZAÇÃO DE NPV ................ 153
20.1 Visão Geral ................................................................................................................................. 153
20.2 Distribuição de Material pelo Fluxo de Caixa .............................................................................. 154
20.2.1 Definições ........................................................................................................................... 154
20.2.2 Cut-Offs Marginal ................................................................................................................ 155
20.2.3 Cut-Offs Marginal num Diagrama DC .................................................................................. 155
20.2.4 Mudança de Classificação de Material para maximizar NPV ............................................... 156
20.2.5 Dois processos, um com um limite de produção ................................................................. 156
20.2.6 Regra generalizada (dois processos) .................................................................................. 159
20.2.7 Regra Generalizada (múltiplos processos) .......................................................................... 160
20.2.8 Regra Generalizada (Estéril definido como um processo adicional) .................................... 160
21 REFERÊNCIAS .............................................................................................................................. 163
WHITTLE - Planejamento Estratégico de Mina
~ 1 ~
1 PLANEJAMENTO ESTRATÉGICO DE MINA
1.1 Introdução
Planejamento Estratégico de Mina é a arte e a ciência na administração de negócios envolvendo
aproveitamento de recursos. É a convergência de estratégia de negócio por um lado e otimização de mina
por outro. Conseqüentemente admite-se a idéia natural da mina como um negócio tão bom como a natureza
especial da mina como uma aplicação da geologia e engenharia econômica. A força que conduz por detrás
desta convergência foi a informação tecnológica, em particular, a totalidade da cadeia de valores dos
sistemas de modelamento tal como esses que foram desenvolvidos em torno da “otimização de cava,
otimização de teor de corte e otimização de seqüenciamento”.
O modelo de tomada de decisão apresentado aqui procura unir estratégia de negócio e otimização de modo
relativo sofisticado, mas de modo fácil de usar. O modelo foi desenvolvido primeiro numa apresentação para
uma conferência de AusIMM sobre o tema “The Relationship between Economic Design Objectives and
Reserve Estimates (Whittle 1997) - (A Relação entre Objetivos de Projetos Econômicos e Estimativas de
Reserva)”. O modelo desde então foi refinado e apresentado em pequenos cursos na Universidade de
Queensland e treinamentos em eventos no Canadá, Chile, Brasil e outros países.
A fim de explicar corretamente o modelo é útil articular uma gama de conceitos numa variedade de campos
antes de extraí-los no argumento final.
Os campos abaixo são organizados com os seguintes títulos:
9 Planejamento Estratégico Empresarial
9 Análise Situacional
9 Análise de Mercado
9 Avaliação Econômica
Estas seções que conduzem em direção à explicação do modelo foram cobertas a uma extensão maior que
é estritamente necessário para auxiliar o comportamento de tomada de decisão. Isto foi feito na esperança
de que a informação extra será interessante e útil aos leitores que não tiveram um aprendizado na área
comercial, mas que não obstante estão envolvidos diretamente através da sua contribuição geológica ou de
engenharia para o processo de planejamento estratégico de mina.
1.2 Planejamento estratégico empresarial
1.2.1 Estratégia Militar
Cleisthenes tornou-se líder de Atenas aproximadamente 500 A.C, e introduziu um sistema político
democrático que incluiu dez Strategi. Cada Strategus era líder e representante militar de uma das tribos de
Atenas. A maneira em que Cleisthenes e seus Strategi organizaram e dirigiram as forças militares é
WHITTLE - Planejamento Estratégico de Mina
~ 2 ~
creditada com o sucesso dos Atenienses na derrota dos Espartas. Eles alcançaram esta vitória apesar do
fato de que os Espartas eram em maior número, e eram considerados individualmente os melhores
guerreiros.
Strategi eram lideres no sentido militar, mas também de forma mais ampla eles eram os líderes da
comunidade. Eles utilizaram uma gama inteira de diferentes recursos para alcançar um resultado militar.
No grego, Estratégia significa “A arte de Strategi”.
Citação da Enciclopédia Britânica na parte de assuntos “Estratégias militares contemporâneas (1700 em diante)”:
O estrategista trabalha muito com incertezas e imponderabilidades. De fato, a arte do estrategista é a arte de “calcular o risco”.
1.2.2 Estratégia empresarial
1971 - Kenneth Andrews publicou “Business Strategy”:
• Olhe para as oportunidades fora no mundo e combine-as com nossas potencialidades;
• SWOT Analysis (Forças, Fraquezas, Oportunidades, Ameaças).
1980 - Michael Porter publicou “Competitive Strategy - Techniques for Analyzing Industries and
Competitors”:
• A compreensão do ambiente econômico e do negócio é a chave para a gerência estratégica;
• Fatores críticos do sucesso;
• Forças que guiam a mudança.
Dr Jim Landau - Julho de 1998:
• “Olhe para o centro das suas competências ao tentar determinar sua direção estratégica”;
• “Para
ser estratégico, você precisa de uma janela para o futuro”;
• “Otimize a utilização dos seus recursos para obter uma vantagem no futuro”.
1.3 Análise situacional
1.3.1 Modelo Contemporâneo para um planejamento estratégico
Análise da situação
• Tamanho e estrutura do mercado - consulte à seção da análise de mercado abaixo;
• Forças - Aquelas qualidades que a companhia possui no qual podem contribuir para seu sucesso;
• As fraquezas - As qualidades que poderiam contribuir para o sucesso da companhia, mas que falta a
companhia;
• Oportunidades - Fatores, eventos ou circunstâncias no mercado que a companhia pode usar para a
sua vantagem;
• Ameaças - Fatores, eventos ou circunstâncias no mercado que poderiam impedir o sucesso da
companhia;
WHITTLE - Planejamento Estratégico de Mina
~ 3 ~
• Forças que dirigem a mudança - Fatores que influenciarão o mercado no futuro, incluindo mudanças
na estrutura dos concorrentes, a emergência ou o desaparecimento de substitutos ou concorrentes no
mercado, ou outros fatores que afetem a demanda;
• Fatores críticos do sucesso - Aquelas qualidades, atributos e vantagens que uma companhia
necessita a fim de ter sucesso no seu mercado escolhido;
• Análise da concorrência - Todos acima analisados na perspectiva dos concorrentes da companhia,
assim que as ações deles no mercado possam ser antecipadas.
O plano estratégico
Abaixo está uma lista dos componentes comuns de um plano estratégicos para qualquer companhia:
• Visão - uma visão do futuro que é importante para a organização;
• Missão - declaração fundamental do propósito da organização;
• Valores - responsabilidades mais amplas e guiando princípios;
• Vantagem sustentável competitiva - Uma combinação das forças e dos fatores críticos do sucesso
que a companhia compreende para ser vital ao sucesso futuro, e que devem ser preservado ou
promovido;
• Estratégia Impulsiva - Há três escolhas. Primeiro uma companhia poderia escolher ser um
concorrente por custo. Esta seria uma estratégia impulsiva adequada onde um volume elevado (e/ou
valor elevado) não diferenciado de commodity está sendo vendido. Segundo, uma companhia poderia
escolher ser um diferenciador. Um ou outro diferencial custa dinheiro para ser alcançado, ou explora
uma das vantagens competitivas da companhia. De qualquer modo, desde que é positivo uma
diferenciação útil na visão ou alguns ou todos os compradores, então o vendedor pode comandar um
preço mais alto. A terceira alternativa é ter um nicho de impulso estratégico. Esta é apropriada se o
produto é um produto de baixo volume com poucos compradores e poucos concorrentes;
• Objetivos - Principais marcos miliários (Major Milestones1);
• Estratégias - Quais coisas serão feitas em ordem para alcançar os objetivos.
1.4 Análise de Mercado
Análise de Mercado é uma parte importante da Análise de Situação.
Há dois mercados que são do interesse das companhias de mineração: o mercado de commodities para
qualquer um dos produtos da mina, e o mercado de ações onde o capital é levantado e o valor das ações é
determinado. O mercado de commodity determina o rendimento do negócio. O mercado de ações determina
a riqueza dos acionistas. O desempenho no mercado anterior certamente tem um grande impacto no
desempenho do posterior.
1 Milestone: técnica de gestão de projetos que permite o teste da funcionalidade de um novo produto ao longo do projeto, através da definição de pontos
de checagem ou marcos de desenvolvimento - fonte: Wikipédia.
WHITTLE - Planejamento Estratégico de Mina
~ 4 ~
1.4.1 Mercado de Commodities
Na teoria de mercado há o conceito de um Mercado Perfeito. Este é um modelo de mercado, que definiu
características e comportamento. Fornece uma referência para discussão e análise de mercados reais.
Comportamento de um Mercado Perfeito
O preço e volume comercializado num mercado são determinados pela interseção da curva de oferta e
procura como mostra a figura 1. Se o preço de mercado deve subir, então os fornecedores serão
encorajados a produzirem em maiores quantidades, mesmo se seu custo marginal de produção aumentar
como conseqüência. Num longo prazo, fornecedores adicionais serão encorajados a iniciar a produção.
Esta potencial oferta adicional é representada pela seção da curva de oferta à direita da interseção. A seção
da curva de oferta à esquerda da interseção representa a contração de oferta que aconteceria se o preço
tiver uma queda. Fornecedores que não conseguem mais ter lucro serão forçados a sair do mercado,
reduzindo a quantidade de commodity disponível para a venda no mercado. A quantidade de commodity
procurada pelo mercado é determinada pela procura da utilidade concedida pela commodity e pela
disponibilidade de substitutos.
Figura 1 - Determinação do preço estável no longo prazo num mercado perfeito.
Característica de um Mercado Perfeito
Característica chave de um Mercado Perfeito:
• Produto homogêneo (produto de fornecedor “X” é igual ao produto do fornecedor “Y”).
• Substitutos são disponíveis - Se o preço de uma commodity subir muito, os compradores deixarão de
comprar aquela commodity, e em lugar compram um substituto.
• Grande número de vendedores - Nenhum vendedor individual tem influência independente sobre o
preço de mercado.
• Grande número de compradores - Nenhum comprador individual tem influência independente sobre o
preço de mercado.
• Informação perfeita - Todos os compradores e vendedores sabem o que os outros compradores e
vendedores estão comercializando, e o preço que eles praticam.
WHITTLE - Planejamento Estratégico de Mina
~ 5 ~
Se estas condições são encontradas, então acredita-se que o mercado está operando eficazmente no longo
prazo. Os vendedores não podem ter lucros excessivos e eles são forçados a manter o mais baixo possível
o custo de produção. Excesso de procura ou excesso de oferta é remediado por um movimento em uma ou
outra curva de procura ou de oferta que conduz a um retorno ao equilíbrio.
Outros Modelos de Mercado
Outros modelos de mercado incluem:
• Monopólio - um vendedor dominante. Num monopólio, o vendedor tem uma influência significativa
sobre o preço no qual sua commodity é vendida. Geralmente monopólios conduzem a preços mais
altos que poderia prevalecer em um Mercado Perfeito. O vendedor tem o poder para ajustar seu
preço para maximizar os lucros2.
• Duopólio - dois vendedores dominantes. Duopólios, como monopólios, dão poder de mercado
significativo aos vendedores. Não é incomum para os dois fornecedores em um duopólio
comportarem-se como se eles estão colaborando para explorar o mercado. Este é o mesmo caso
quando nenhuma colaboração ocorre.
• Oligopólio - alguns fornecedores dominantes. Mercados tendem a operar como oligopólios quando a
porcentagem de oferta fornecida por três ou quatro fornecedores atingem em torno de 40%. A Figura
2 ilustra isto. Como a concentração de mercado aumenta, o lucro dos vendedores aumenta, porque,
como um grupo (até mesmo se nenhuma colaboração ocorre), eles têm mais influência sobre o preço
o qual vendem os produtos que em um mercado perfeito. Monopólios, Duopólio e Oligopólios
representam graus diferentes de poder do vendedor. Tal poder é vantajoso para os vendedores e em
alguns casos, os vendedores cooperarão, em lugar de competir, para alcançar maior poder
coletivamente. Um exemplo deste fenômeno é a OPEC, o cartel de produtores de petróleo. O grupo
tem significativamente mais influência no mercado do que a soma dos outros, devendo eles agir
independentemente.
• Monopsônio - um comprador dominante. O poder de mercado
está com este comprador.
• Oligopsônio - alguns compradores dominantes. Compradores podem cooperar através de cartéis para
criar oligopólios.
2 Recorra à seção Introdução a Otimização. O exemplo do problema de otimização naquela seção é um no qual o vendedor tem poder considerável de
estabelecer preços e utiliza uma aproximação de otimização para determinar o preço no qual o lucro é maximizado.
WHITTLE - Planejamento Estratégico de Mina
~ 6 ~
Figura 2 - A relação entre concentração de mercado e rentabilidade (Retorno sobre o Capital Empregado) J
B Were aproximadamente 2001.
Como é “Perfeito” o Mercado de Cobre?
Característica Escore Notas
Produtos Homogêneos 9
Substitutos estão
disponíveis
9 Alumínio para uso elétrico e radiador de carro, fibra ótica em
telecomunicações, plásticos em soldagem.3
Grande número de
vendedores
?
400 minas operando, mas com menos companhias. Alguns
fornecedores são bastante grandes para ter uma influência no
mercado.4
Grande número de
compradores
9
Informação perfeita 9 Preço excelente e informação comercial disponível sobre mercados
de commodities, internet, etc.
O cobre é um exemplo de um mercado que tem muitas características em comum com o mercado perfeito.
Há, entretanto um grau moderado de concentração de mercado, o qual contribui ligeiramente para a
tendência de mercado em direção ao comportamento oligopolista.
3 Origem: Crowson, P., Minerals Handbook 1996-97, Stockton Press, New York, p.115
4
Ibid.
WHITTLE - Planejamento Estratégico de Mina
~ 7 ~
Como é “Perfeito” o Mercado de Minério de Ferro?
Característica Escore Notas
Produtos
Homogêneos
9 / x O minério de ferro é diferenciado pelo seu teor, pelo teor de vários
contaminantes e por sua textura. Nunca o menor.
Substitutos estão
disponíveis
9 Alumínio, madeira, plástico.
Grande número de
vendedores
x
A produção é dominada pela Rio Tinto, BHP Billiton e CVRD. O
mercado tem características oligopolistas.
Grande número de
compradores
9
Informação perfeita 9 / x
O nível de preços em geral é conhecido, mas as informações
individuais de contrato não estão disponíveis. Reservas, taxas de
produção e custo de produção são geralmente conhecidos.
O Mercado de minério de ferro tem características de um oligopólio. O poder do vendedor no mercado foi
ilustrado pela habilidade da CVRD em antecipar para 2005 a negociação de um aumento de 71,5% com um
importante cliente. O efeito disto foi aumentar as fortunas de todos os vendedores.5
Como é “Perfeito” o Mercado de Ouro?
Característica Escore Notas
Produtos
Homogêneos
9
Substitutos estão
disponíveis
9 Platina, paládio, prata, titânio, cromo baseado em ligas. Dólares e outras
moedas correntes, moeda corrente que restringe instrumentos, estoque.
Grande número de
vendedores
9
Grande número de
compradores
9
Informação perfeita 9 Preço excelente e informação comercial disponível dos mercados de
commodities, internet, etc.
Apesar de tudo acima mencionado, o mercado de ouro não trabalha como um mercado perfeito. Isto
acontece porque o ouro não é usado somente como matéria prima, mas também é usado para acumulação
de riqueza (jóias e/ou barras de ouro). Este ouro pode e encontra distante no mercado destes estoques
acima da superfície. Este segundo mercado é maior do que o primeiro para ouro.
“Estoques de ouro acima da superfície são muito grande, a disposição para adicioná-los ou liberá-los
5 MiningNews.net 23 February 2005 “IRON ore majors BHP Billiton and Rio Tinto led the charge on the Australian Stock Exchange this morning with iron
ore explorers in their wake as Brazilian giant CVRD announced a price hike of 71.5% overnight after finalizing negotiations with long term partner,
Japanese giant Nippon Steel Corporation.”
WHITTLE - Planejamento Estratégico de Mina
~ 8 ~
determinam largamente o estado de mercado”.6
1.4.2 Mercado de Ações
Que fatores guiam o preço das ações?
O produto não é ouro, prata, carvão, etc. O produto é ações da empresa, que precisam satisfazer uma ou
mais das seguintes necessidades dos compradores:
• Fluxo de Caixa Potencial (dividendos): Compra de ações na expectativa (ou esperança) que a
empresa pagará os dividendos no futuro;
• Fluxo de Caixa Potencial (realização dos lucros de capital): Compra de ações na expectativa (ou
esperança) que o valor de mercado aumentará e que o aumento pode ser realizado;
• Lucros de Capital Potenciais não realizados: compra ações na expectativa (ou esperança) que o valor
de mercado aumentará e usará o valor adicional como segurança;
• Exposição/Diversificação: Compra de ações em várias empresas diferentes, em várias indústrias
diferentes, assim como propagar o risco de investimento.
Como é “Perfeito” o Mercado de Ações?
Característica Escore Notas
Produtos
Homogêneos
x Ações são fortemente diferenciadas
Substitutos estão
disponíveis
9
Por causa das ações serem assim fortemente diferenciadas, ações numa
companhia são um substituto por outras de outras companhias.
Substituições também incluem todas as formas de instrumentos
financeiros.
Grande número de
vendedores
9
Grande número de
compradores
9
Informação perfeita 9 / x Preços e mercados são públicos. “Informações internas” não.
O mercado primário de ações se aplica ao capital recentemente emitido. Um grande mercado secundário
existe para ações re-comerciadas.
1.5 Evolução Econômica
Planejamento estratégico não pode prosseguir a não ser que tenha um método para determinar o valor das
várias opções estratégicas que serão consideradas. Se você não puder medir o valor de um plano/projeto,
você não pode saber se ou não uma mudança melhorará ou fará piorar. Em uma economia de mercado, e
6 Source: Crowson, P., Minerals Handbook 1996-97, Stockton Press, New York, p.147
WHITTLE - Planejamento Estratégico de Mina
~ 9 ~
em relação a assuntos econômicos, é usual representar todas as coisas em termos de impacto ou impacto
potencial em fluxos de caixa. Fazendo assim dá uma medida de único-valor no plano/projeto, o que permite
comparação fácil com todos os outros.
Análise de Fluxo de Caixa Simples
Análise de fluxo de caixa simples ou não descontado envolve adicionar o fluxo de caixa negativo e positivo
que são previstos por um projeto, obtendo o fluxo de caixa líquido. Por convenção, análise simples de fluxo
de caixa é executada com valores monetários reais7 ao invés de valores monetários nominais.8
As regras mais simples possíveis que poderiam ser aplicadas para análise baseado no fluxo de caixa
simples são as seguintes:
• Se o fluxo de caixa líquido for positivo, o plano/projeto é lucrativo. Se o fluxo de caixa líquido for
negativo, o plano/projeto não é lucrativo;
• Escolhendo entre dois ou mais planos, você deveria escolher um com o fluxo de caixa líquido mais
alto.
Algumas das desvantagens desta aproximação são imediatamente óbvias:
• A aproximação não leva em conta o custo de capital ou valor do dinheiro no tempo;
• Não há cálculo de incerteza ou risco do fluxo de caixa previsto;
• Análise de fluxo de caixa simples é uma plataforma pobre para calcular/predizer futuras cargas
tributárias já que estas são principalmente baseadas em cálculos de acumulação de conta (veja
abaixo).
Apesar de suas desvantagens, tem a vantagem de ser muito simples,
e é geralmente usado para planejar
funções tal como otimização de cava.
Análise de Fluxo de Caixa Descontado (FCD)
Análise de FCD leva em conta o fato de que um valor monetário que nós recebemos hoje é mais valioso
que um valor monetário que nós poderíamos receber em alguns anos, e os fluxos de caixa esperados são
descontados por uma quantia que aumenta com o tempo. A taxa de aumento é expressa como uma taxa de
desconto, tal como dez por cento por ano. É a “aplicação da taxa de desconto” que diferencia Análise de
FCD para análise simples de fluxo caixa.
A taxa de desconto pode ser definida ou determinada de vários modos, incluindo:
• Tipo 1 - Taxa de desconto de ajuste de risco consiste em dois componentes: custo de oportunidade e
ajuste de risco. Assumindo que é o seu próprio dinheiro que você investirá, o custo de oportunidade é
7 Valores monetários reais são Valores monetários com poder de compra constante.
8 Valores monetários nominais são Valores monetários ao valor de face, com poder de compra que muda com o passar do tempo sujeito a inflação ou
deflação.
WHITTLE - Planejamento Estratégico de Mina
~ 10 ~
a taxa que você poderia ganhar (livre de risco) com o capital em outro lugar. O ajuste de risco é uma
quantia adicional para dar satisfações ao risco associado no modelo geológico, geotécnico,
econômico e político com o projeto. O ajuste de risco deve refletir todo o risco associado com o
projeto;
• Tipo 2 - Taxa de desconto de ajuste de risco consiste em dois componentes: o custo de capital e
ajuste de risco. O custo de capital é a taxa de juros que você tem que pagar para tomar emprestado o
dinheiro. Os investidores podem assumir algum risco fornecendo os fundos e à extensão que eles
fazem será refletido na taxa que eles fixaram. O devedor (você) também assume o risco restante
associado com o projeto e isto é refletido no ajuste de risco. No entanto o risco é compartilhado e a
taxa de desconto total tem que refletir todo o risco associado com o projeto;
• O custo de capital (no contexto desta discussão) é a taxa de retorno requerida pelos investidores para
oferecer os fundos para o projeto, onde eles estão assumindo todo o risco associado com o projeto. É
comum para um custo de capital aproximado ser tomado quando financiamento é fornecido
internamente, por exemplo, de uma matriz para um projeto de escritório.
A fórmula para o calculo do NPV para um projeto é:
( ) Ck
RNPV
n
t
t
t −+=∑=1 1
Onde:
Rt = Fluxo de caixa por um período de tempo t.
k = Taxa de desconto
C = Custo de capital inicial
A Taxa Interna de Retorno (Internal Rate Return - IRR) é calculada resolvendo a seguinte equação por k:
( )∑= −+=
n
t
t
t C
k
R
1 1
0
Para explicar a aplicação da Análise de FCD é útil passar por um exemplo. Considere um projeto de cinco
anos, com um fluxo de caixa esperado de um milhão de dólares por ano e uma taxa de desconto de 10%.
Os cálculos de fluxo de caixa são mostrados abaixo.
Ano Dinheiro Fração de desconto Valor monetário de hoje
1 $ 1.000.000 1/1,1 $ 909.091
2 $ 1.000.000 1/1,21 $ 826.446
3 $ 1.000.000 1/1,331 $ 751.315
4 $ 1.000.000 1/1,4641 $ 683.013
5 $ 1.000.000 1/1,61051 $ 620.921
Isto dá um valor total hoje do Valor Presente Líquido (NPV) de $ 3.790.787.
WHITTLE - Planejamento Estratégico de Mina
~ 11 ~
Se o projeto tivesse fluxos de caixa de $1,5M, $1,5M, $1M, $0,5M e $0,5M que dão o mesmo total de fluxo
de caixa não descontado de $ 5M, seria como o mostrado abaixo.
Ano Dinheiro Fração de diconto Valor monetário de hoje
1 $ 1.500.000 1/1,1 $ 1.363.636
2 $ 1.500.000 1/1,21 $ 1.239.669
3 $ 1.000.000 1/1,331 $ 751.315
4 $ 500.000 1/1,4641 $ 341.507
5 $ 500.000 1/1,61051 $ 310.461
O NPV seria então de $ 4.006.588. O aumento de $ 215.801 (5,7%) é causado pelo $ 1M do fluxo de caixa
que foi antecipado dos anos 4 e 5 para os anos 1 e 2.
As regras mais simples possíveis que poderiam ser aplicadas para análise baseado em fluxos de caixa
simples são as seguintes:
• Se o NPV é positivo, o plano/projeto é lucrativo e a decisão deveria ser investir no projeto. Se o NPV
é negativo, o plano/projeto não é lucrativo e a decisão deveria será a de não investir no projeto;
• Escolhendo entre dois ou mais planos (alternativas mutuamente exclusivas), você deveria escolher
um com o fluxo de caixa líquido mais alto.
Vantagens na Análise de FCD incluem:
• A Análise FCD diferencia entre projetos com fluxos de caixa totais idênticos, mas com cronogramas
de fluxos de caixa diferentes;
• É muito simples calcular e entender;
• Método de avaliação independente dos métodos de geração de cenários;
• Conta com o risco;
• Permite comparação de projetos diferentes com perfis de riscos diferentes;
• Independente da inflação.
Desvantagens
• Não considera a habilidade de um gerente de projeto para adaptar a mudanças futuras como
geralmente ocorre. Alguns discutem adequadamente que a análise FCD subestimará o ‘verdadeiro’
valor;
• A contabilidade do risco é um mecanismo extremamente imaturo e o processo rende um único valor
de risco-equilibrado, sem indicação do grau de incerteza sobre o resultado (quer dizer, não há
distribuição de probabilidade associada com o resultado);
• Análise simples do FCD é uma plataforma pobre para calcular/predizer futuras cargas tributárias já
que estas são principalmente baseadas em cálculos da conta de resultados (veja abaixo).
Análise de FCD é a base na qual a otimização de seqüenciamento e de cut-off é baseado no Whittle. FCD
também faz um papel vital na otimização de cava porque apesar do fato de que a otimização de cava
WHITTLE - Planejamento Estratégico de Mina
~ 12 ~
convencional procede sobre a base da análise simples de fluxo de caixa, é a análise de FCD que é aplicada
na avaliação e seleção entre várias cavas finais produzidas pelo otimizador.
Embora a Análise de FCD seja uma plataforma pobre para calcular futuras caras tributárias, no contexto do
Planejamento Estratégico de Mina, geralmente é suficiente trabalhar em direção a maximização do NPV
pré-tributário, com o conhecimento de que com poucas exceções há uma relação positiva entre NPV pré-
tributário e pós-tributário. Conforme se maximiza o NPV pré-tributário, deveria conduzir indiretamente à
maximização do NPV pós-tributário.
Accrual Accounts Projetado
Accrual Accounting é o método normal para calcular o desempenho financeiro passado e situação financeira
do presente. É possível usar accrual accounting, com os fluxos de caixa previstos usados como inputs, para
calcular rentabilidade futura. O processo de accrual accounting procede na base de valores monetários
nominais.
Vantagens:
• Melhor que análise de fluxo de caixa simples, da análise do fluxo de caixa descontado, por projetar
relatórios financeiros futuros e obrigações com cargas tributárias.
Desvantagens:
• Transações muito pobres com conceitos de risco;
• Sujeito a inflação.
No contexto do Planejamento Estratégico de Mina, accrual accounts projetado é melhor aplicado puramente
com a finalidade de projetar relatórios financeiros futuros e obrigações com cargas tributárias.
Técnicas de Opções de Preço
Opções de Preço é um método segundo o qual a habilidade para tomar decisões futuras é levada em conta.
Requer a determinação da probabilidade de certos eventos acontecerem no futuro, e também a
resposta/decisão que seria associada com essas condições no futuro. O método trata com múltiplas
condições/decisões futuras. O resultado é uma distribuição
de probabilidade do NPV.
Vantagens:
• Pode considerar por um gerente de projeto e habilidade para adaptar as mudanças
futuras/informações futuras.
Desvantagens:
• Requer mais dado;
• A aplicação é uma ordem de magnitude mais complexa que a Análise de FCD;
WHITTLE - Planejamento Estratégico de Mina
~ 13 ~
• A técnica de avaliação é quase amarrada ao método de geração de cenários, o que torna isto difícil
de implementar dinamicamente com outras ferramentas de planejamento estratégico tal como cavas
e otimizadores de seqüenciamento;
• Requer a geração de um grande número de cenários.
Opções de preço é um assunto de muito interesse na indústria mineira, contudo, geralmente não é aplicado.
Além de sua complexidade se comparado com a análise de FCD, a principal razão de não ser normalmente
aplicado é o fato de não poder ser aplicado dinamicamente com outras ferramentas de planejamento
estratégico de mina, o que é ganho na análise, é perdido no modelamento de precisão e otimização.
Análise de Monte-Carlo
A análise de Monte-Carlo usa distribuições de probabilidades como inputs dos principais parâmetros
econômicos e produz uma distribuição de probabilidade de resultados de valores.
Vantagens:
• Fornece uma distribuição de probabilidade para resultados de valor.
Desvantagens:
• Requer mais dado;
• Sistemas existentes não podem incorporar otimização de cava, de seqüenciamento e de cut-off;
• Requer a geração de um grande número de cenários.
Análise de Monte Carlo é implementada freqüentemente em programas de planilha eletrônica com fatores
tal como discriminação de minério/estéril, cava ótima e seqüenciamento fixado e/ou totalmente simplificado.
Como tal é geralmente usado como um suplemento do processo analítico para a função de planejamento
estratégico, melhor que como uma função núcleo.
Análise de probabilidade discreta
Análise de probabilidade discreta usa distribuições de probabilidade simplificada para parâmetros principais.
Por exemplo, pode haver três modelos geológicos representativos, cada um atribuído com sua
probabilidade de ser mais representativo. Referência de McRostie e Whittle (1999).
Vantagens:
• Fornece uma distribuição de probabilidade de resultados de valor;
• Análise de Monte Carlo distinta e Análise de Probabilidade Discreta podem ser implementadas em
uma otimização de cava/estrutura de otimização de seqüenciamento, permitindo interações mais
complexas entre variáveis de input principais.
WHITTLE - Planejamento Estratégico de Mina
~ 14 ~
Desvantagens:
• Requer mais dado;
• Requer a geração de um grande número de cenários.
Práticas comuns
Uma pesquisa das práticas de avaliação de projetos da indústria mineral foi conduzida pela Canadian
Institute of Mining Management & Economics Society (CIM MES) em 2005. Veja na figura 3 os resultados
da pesquisa. Este estudo indica que a análise de FDC é o método preferido para avaliação de estudos de
viabilidade, com NPV e IRR cobrindo a enorme lista de avaliações9. Contabilidade e métodos baseados no
mercado são vistos para ser significativamente menos importante no processo de avaliação.
Figura 3 - Métodos de avaliação de Projetos Minerais na Fase de Estudo de Viabilidade (CIM MES Survey
of Evaluation Practices 2005)
Contraponto
Nós iniciamos esta seção declarando que planejamento estratégico não pode proceder a não ser que tenha
um método para determinar o valor das várias alternativas que serão consideradas. Nós procuramos por
vários sistemas para medir valor, que proporcionem variações de fatores tal como custo de oportunidade,
custo de capital, inflação, tributação e risco. Porém, nenhum destes sistemas são perfeitos e nenhum
poderia ser considerado “completo”, onde “completo” significa que todos os fatores de influência de decisão
são considerados. Apesar da sofisticação aparente de alguns dos métodos, eles são tão bons como os
dados que são introduzidos dentro deles e eles são pobres quando leva-se em conta fatores mais
qualitativos.
A história forneceu alguns fracassos espetaculares na análise econômica que é aplicada a fatores
9 Source: Smith, L.D., 2005 Survey of evaluation practices in the mineral industry, CIM Management and Economic Society.
WHITTLE - Planejamento Estratégico de Mina
~ 15 ~
qualitativos. Por exemplo, no ano de 1970, Ralph Nader chamou a atenção do mundo para um vazamento
de um relatório da Ford Motor Company que mostrou que o local do tanque de gasolina no Ford Pinto
estava propenso a explodir em acidentes comuns. O relatório calculou o custo de mudar o tanque para outro
lugar numa produção futura (alguns dólares por veículo) e comparou isto ao custo de ação legal contra a
companhia como resultado das mortes futuras dos proprietários do Ford Pinto, se o tanque não fosse re-
localizado. O relatório concluiu que o custo líquido para Ford seria inferior se não mudasse o projeto, assim
condenando inúmeros futuros ocupantes do Ford Pinto a morte. Pessoas morreram como conseqüência e
quando novas notícias vazaram, a boa reputação da Ford foi corroída seriamente.
Uma pessoa poderia discutir que o modelo econômico que a Ford empregou poderia ter sido corrigido
levando em conta (em termos de dólar) a perda potencial da boa reputação associada com as mortes,
deveria as notícias ter sido vazada. Poderia ter conduzido a mudança do tanque de gasolina, com
conseqüência, salvando vidas e a boa reputação. Porém há algumas coisas que devem ser omitidas em
processos frios de cálculos analíticos, inclusive vidas humanas, talvez.
1.6 Comportamento de Tomada de Decisão
Comportamento de tomada de decisão afeta o desempenho em termos de mercados de commodities e
mercado de ações, e é muito influenciado por um desejo de evitar ou buscar exposição ao risco. É um fator
chave na determinação de estratégias.
1.6.1 Risco Neutro
Ao comandar uma corporação, é confiado ao CEO da responsabilidade de maximizar o valor dos acionistas
e geralmente é aceito que a maximização do Valor Presente Líquido (NPV) é consistente com este objetivo.
Onde uma decisão é requerida sobre se investir ou não em um projeto, o NPV é calculado. Se o NPV for
positivo, então isto indica que o investimento deve ser feito.
Escolhendo a configuração exata de uma operação de mina para um determinado recurso, o projetista está
efetivamente escolhendo entre um grande número de projetos mutuamente exclusivos. Stermole (1993)
declara que em decisões entre projetos mutuamente exclusivos, você deveria escolher a alternativa com o
maior NPV. Fazendo assim, você estaria exibindo um comportamento de risco neutro. Você pode estar
proporcionando o risco neutro se o projeto inferior em consideração for só uma parte de sua exposição de
risco. Se você tem muitos projetos e uma falha, não é uma catástrofe. Você pode, de fato, diversificar de
fora o risco.
Até mesmo se você não tiver um portfólio diversificado, o comportamento de risco neutro pode ser
apropriado. Um exemplo disto pode ser encontrado no Chairman’s Statement of the Homestake Gold
Annual Report 1994, que declara isso: “A política da companhia de não restringir o preço de ouro continua
para fornecer a exposição completa dos acionistas às flutuações”.
WHITTLE - Planejamento Estratégico de Mina
~ 16 ~
Newmont Mining Company e muitas outras têm políticas similares.
Esta companhia está se fazendo atraente para investidores potenciais se expondo ao risco (e upside - lucro)
associado às flutuações no preço de commodities. As vantagens de se fazer mais atraente
para os
investidores têm que exceder em valor qualquer tendência das companhias para evitar risco.
1.6.2 Risco Oposto
Walls (1996) executou algumas pesquisas sobre o comportamento de mercado dos CEOs de mineração e
descobriram que eles geralmente não decidem pelo maior NPV, sendo decisões ponderadas por um
comportamento com risco oposto. Ele descobriu que os CEOs de pequenas empresas de mineração
tendem a ser mais oposto ao risco, e sugeriu que isto é porque os projetos de maior risco carregam com
eles uma grande possibilidade de falência das pequenas empresas de mineração. De maneira interessante,
Walls também descobriu que os CEOs de pequenas empresas da Austrália eram mais opostos ao risco que
seus colegas Americanos, mas não oferece nenhuma explicação para isto.
Uma aproximação alternativa para ajustar os objetivos do NPV com comportamento de risco oposto é
determinado por Smith (1997), que sugere que ao invés de escolher uma taxa máxima de produção do
NPV, esta taxa deveria ser vista como a taxa máxima e que a taxa atual deveria ser menor que isto. Parte
das razões por trás da atenuação é que uma taxa máxima de produção do NPV tende a conduzir a uma
menor vida da mina, deixando um tempo mínimo para recuperação de dificuldades iniciais.
1.6.3 Satisfazendo a Vontade do Mercado
É o propósito fundamental da maioria das companhias maximizarem a riqueza dos acionistas. Para os
acionistas de uma companhia, é vantajoso ter ação de mercado para determinar um alto valor para as
ações. O mercado determina o valor das ações usando uma quantidade de critérios subjetivos e
estratégicos, mas também usa uma seleção de medidas quantitativas. Estas medidas não são
necessariamente o melhor caminho para medir o valor de uma empresa de mineração, mas estando
baseados na informação prontamente disponível, eles são práticos. Os métodos incluem10:
• Lucro por ação (Earnings per share - EPS) e Índice de capitalização de benefícios (Price Earnings
Ratio - PER);
• Fluxo de Caixa e Valor da taxa de Fluxo de Caixa (Price to Cash Flow Ratios - PCFR);
• Rendimento de Dividendo;
• Commodities e Exposição de Reservas;
• Valor de Mercado;
Se estes métodos estão sendo usados para avaliar as ações, então um plano estratégico de mina pode ser
influenciado pela necessidade de satisfazer a vontade do mercado para um valor mensurável. Por exemplo,
10 Referência a Rudenno (1998) para uma discussão mais inclusiva de como os investidores avalia a mineração.
WHITTLE - Planejamento Estratégico de Mina
~ 17 ~
pode ser melhor estruturar um projeto de forma que conduz ao pagamento antecipado de dividendos,
mesmo que isso signifique um sacrifício do NPV.
Uma medida não-financeira principal usada na avaliação das ações é a Reserva.
Appleyard (1997) escreve: “... a reserva provavelmente é o principal input numa habilidade da companhia
para elevar a dívida ou equilibrar finança, e, se listado, em sua avaliação no mercado de ações”.
Burmeister (1997) declara que:
“Um dos parâmetros mais simples para comparar companhias de ouro é a capitalização de mercado por
reserva ou recurso de onça. Desde a adoção do Código de AUSIMM para informar sobre Reservas ou
Recursos de todas as empresas de ouro australianas, a qualidade das descobertas melhorou até esse
ponto que esta ferramenta comparativa pode agora ser levada a sério. É usado extensamente nos Estados
Unidos”.
Se estas visões forem verdadeiramente representativas do comportamento do investidor, ele poderia
concluir que o CEO de uma companhia de mineração estará inclinado a citar as reservas mais altas das que
ele atribui.
1.6.4 Tomando um Posicionamento de Custo no Mercado
Reduzir despesas é sempre um objetivo secundário para maximizar lucro, mas por razões estratégicas,
custos baixos podem ultrapassar o objetivo de maximizar lucro. Este é o caso se uma companhia tem um
objetivo de custo relativo - por exemplo, só produzir cobre se pode ser produzido a um custo marginal num
meio inferior ou quartil dos custos marginais para a indústria. Produtores com altos custos de produção
serão o primeiro a cair devido à queda de preço. Por causa do comportamento do mercado, a menos que
mudanças volumosas ocorram na demanda para a commodity, produtores com custo baixos têm
assegurado sua sobrevivência.
Exemplo - Cobre
Inclinando-se a curva de demanda negativamente assegurará o equilíbrio de oferta e demanda que é
alcançado se reduz a oferta.
Contra exemplo - Ouro
Uma queda na oferta primária será facilmente levantada pela oferta do mercado secundário.
1.6.5 Mudando a estrutura e o comportamento do mercado
Quando uma companhia funde com uma concorrente ou adquire esta concorrente, ou através do início do
WHITTLE - Planejamento Estratégico de Mina
~ 18 ~
projeto ganha uma porcentagem grande das ações do mercado, isto conduz de modo crescente a uma
maior concentração do mercado. Em outras palavras, o mercado comporta-se próximo de um oligopólio,
duopólio ou monopólio. Com isso vem o aumento potencial nos preços das commodities e mudança
potencialmente benéficas no ciclo de preços (amplitude e freqüência) para todos os fornecedores da
indústria. Seria rara a fusão para um único projeto inicial ou de pequena escala ter um efeito mensurável,
entretanto, pode ser a estratégia da companhia perseguir a consolidação de mercado, e este objetivo
poderia até certo ponto, de forma estratégica maximizar o NPV.
1.6.6 Outro Comportamento de Tomada de Decisão
Walls & Eggert (1996) sugeriu razões pelas quais CEOs da mineração não seguem os padrões de tomada
de decisão clássica do NPV mais alto. Aversão ao risco associado com potencial falência da empresa já
foram discutidos. Outras razões são:
1. Com o desejo de evitar perdas do lucro num curto prazo. Os empregos continuados dos CEOs podem
estar vinculados às suas habilidades de consistentemente dar um lucro (até mesmo se este NPV
custa caro);
2. Tentativas para reconciliar os interesses da parte interessada a não ser dos acionistas, incluindo os
dos CEOs, os empregados e a comunidade afetada pelo projeto.
A fim de delinear mais as bases das decisões dos CEOs, foram estudados 20 Relatórios Anuais para uma
variedade de empresas de minerações Australianas dos anos de 1994, 1995 e 1996 (não necessariamente
uma amostra representativa, mas útil apesar disso). Muitas companhias não declararam objetivas. Desses
que fizeram, o objetivo mais comum era maximizar o valor dos acionistas. Um bom exemplo é o relatado por
Posgold e companhias relacionadas:
“... maximizar rendimentos aos acionistas na forma de dividendos e valorização de capital pela criação
de riqueza através do crescimento no longo prazo nos lucros e ativos”.
Os objetivos declarados por outras companhias incluem o seguinte:
1. Maximizar a riqueza dos acionistas através do crescimento conforme uma empresa de recurso
australiana em primeiro lugar no ranking;
2. Conseguir economias de escala através de expansões internacionais;
3. Ser um produtor de ouro a baixo custo;
4. Operar lucrativamente e aumentar a base de recursos.
1.6.7 Comportamento ruim!
Os objetivos estratégicos e econômicos às vezes são impropriamente sobrepostos por objetivos técnicos.
Por exemplo:
1. Lavrar até um teor de corte pré-determinado;
2. Lavrar até uma relação estéril/minério pré-determinado.
WHITTLE - Planejamento Estratégico de Mina
~ 19 ~
Existem antigas técnicas heurísticas para alcançar resultados econômicos satisfatórios. Elas estão
completamente ultrapassadas por técnicas modernas
de otimização discutidas neste livro.
1.6.8 Representando o comportamento de tomada de decisão sobre uma curva
Reserva/NPV
É possível entender um conjunto de projetos de lavra possíveis, cada um com um valor diferente de um
parâmetro principal, e cada um dos quais é ótimo desde que todos os outros parâmetros são otimizados
para maximizar o NPV. O próprio parâmetro principal afeta o NPV, e, se você fosse representar por meio de
um gráfico o NPV contra os valores de parâmetro, você teria um gráfico que ilustra a relação.
As principais variáveis de projeto que nós temos em mente inclui o tamanho da cava final, o teor de corte e
o investimento na planta de beneficiamento ou tratamento (e conseqüentemente sua taxa de produção). A
curva será tipicamente convexa, com um único máximo. A figura 4 mostra um exemplo de tal curva para a
tonelagem da cava de uma mina.
Figura 4 - A forma típica de um gráfico de Pit Tonnage/NPV.
Tais curvas foram produzidas em documentos incontáveis. Hanson (1997), por exemplo, como a maioria
das pessoas que reproduzem tais gráficos, mostra somente a metade da curva. Porque somente a área
próxima ao máximo que é considerada mais interessante. Smith (1997) apresenta vários gráficos
visualmente similares, mas comparando NPV versos Produção - Taxa.
A figura 5 é um exemplo idealizado de uma curva de NPV/Minério-Toneladas-Processado. É possível criar
tais curvas para dados reais usando um de diferentes softwares tais como o Whittle. Estes softwares
projetam a cava ótima e o total de toneladas de minério lavrável em função da cava final e de alguns outros
parâmetros. O minério total é equivalente à reserva.
WHITTLE - Planejamento Estratégico de Mina
~ 20 ~
Figura 5 - Forma típica do gráfico de Toneladas de Minério (reserva)/NPV.
É útil descrever em detalhe a natureza da curva:
• O máximo da curva representa uma cava ótima do ponto de vista da maximização do NPV;
• Cada ponto da curva representa uma cava ótima dado à tonelagem correspondente do minério na
linha horizontal do eixo;
• Há infinitas cavas viáveis que poderiam ser representados como pontos no gráfico, mas nenhum
destes pontos poderia ocorrer acima da curva. Essas cavas que são representadas por pontos sob a
curva são cavas sub-ótimas em um ou mais dos outros critérios do projeto não representados
graficamente.
• A área sob a curva, mas acima do ‘eixo x’ representa o domínio viável de cavas que tem um NPV
positivo e que são conseqüentemente economicamente viáveis.
A figura 6 é similar a figura 5, exceto que nós ocultamos nossos comentários em relação a tomada de
decisão que será discutida na seção posterior.
Figura 6 - Representação gráfica da tomada de decisão sobre tonelagem de minério/NPV.
Um projeto de risco neutro procura maximizar o NPV. Um projeto oposto ao risco não sucederá em
maximizar o NPV porque empregará um capital menor que é requerido. Isto conduzirá a uma capacidade de
processo menor que o ótimo, menos eficiente e provavelmente um projeto de mina menos ambicioso. A
WHITTLE - Planejamento Estratégico de Mina
~ 21 ~
parte direita do gráfico é o projeto da mina que maximiza a reserva, até que tenha um NPV positivo. Uma
companhia que é motivada primeiramente pela necessidade de elevar o capital poderia apresentar um
projeto de mina como evidência que a reserva é economicamente viável.
Uma companhia que toma uma posição do custo no mercado pode escolher um projeto a não ser aquele
que fornece o NPV mais elevado. O mesmo pode ser dito para uma companhia que está procurando efetuar
a consolidação de mercado - que objetivo pode lhe conduzir para escolher alternativas a não serem aquelas
que são indicadas através da análise de FCD para alcançar o NPV mais elevado.
Um exemplo de tal comportamento de tomada de decisão de domínio viável foi dobrado usando o Whittle e
um conjunto de dados de treinamento chamado de “Monte Bojo”. Isto é apresentado abaixo. Algumas
centenas de simulações de vida da mina foram executadas para uma extensa configuração de plantas de
processo e tamanhos alternativos de cava. No total, 588 programações de vida da mina foram criadas e
analisadas. Os resultados são mostrados na figura 7. Neste exemplo o tamanho da planta de processo e
das cavas foi variado, mas resultados similares poderiam ser atingidos variando algum dos principais
parâmetros de lavra. Uma das características interessantes deste exemplo é o nivelamento da curva no seu
máximo. O NPV máximo do projeto é 67 milhões de toneladas, mas a curva do NPV é muito plana entre os
valores de 55 e 75 milhões de toneladas de minério.
No exemplo, a cava ótima e o seqüenciamento envolveram um tempo de vida da mina de apenas 2,3 anos
com um processo melhor a uma taxa de produção de 29 milhões de toneladas por ano. Nós imaginaríamos
que a maioria dos mineradores seria relutante para empenhar em tal seqüenciamento. Os riscos são
extremamente altos, se, por exemplo, a mineração devia começar em um período cíclico de preço baixo, ou
se houve dificuldades em conseguir que a planta de processo desempenhe a recuperação padronizada11.
Neste caso o máximo do NPV teórico é de modo não realista elevado, e o melhor NPV alcançável será um
pouco mais baixo. O máximo do NPV teórico é, de qualquer forma, ainda muito útil como um ponto de
referência para a evolução econômica de diferentes práticas alternativas que o engenheiro idealiza.
Figura 7 - Exemplo de um possível domínio. Os pontos representam um total de aproximadamente 600
projetos de mina completo e seqüenciamentos produzidos pelo Whittle.
11 Smith (1997) Smith analisa este assunto particular, e em relação às taxas de produção, conclui que a “melhor” taxa de produção deve ser realmente
considerada como a taxa máxima. A taxa mais sensível pode ser um pouco mais baixa.
WHITTLE - Planejamento Estratégico de Mina
~ 22 ~
1.6.9 Aplicação do modelo de comportamento de tomada de decisão
O propósito do modelo de tomada de decisão é fornecer um mecanismo pelo qual o valor de uma ampla
escala de opções estratégicas pode ser comparado e contrastado. A análise de FCD é uma unidade
dimensional e quantitativa. O modelo de comportamento de tomada de decisão fornece uma estrutura para
algumas análises do qualitativo ou difícil de quantificar e objetivos que influenciam planejamento estratégico
de mina para ser considerado numa estrutura quantitativa.
Por exemplo, é possível ver através do modelo de comportamento de tomada de decisão que o sacrifício no
NPV está sendo feito a fim de alcançar a Maximização da Reserva ou para alcançar alguns graus de
Aversão ao Risco. É melhor perseguir a Maximização da Reserva e fazer um sacrifício significante no NPV,
ou é melhor atingir um equilíbrio?
Se um projeto deve ser aproximado a um comportamento de Aversão ao Risco, devido aos recursos ou
estrutura de operação da companhia, pôde ser mais valioso (e valor que venda) para uma grande
companhia, que puder operar com comportamento de Risco Neutro e conseqüentemente alcançar um NPV
mais elevado?
WHITTLE - Planejamento Estratégico de Mina
~ 23 ~
2 O PROCESSO DO PROJETO
2.1 Visão geral de um processo simples de planejamento
Todo depósito de minério é diferente, mas nós passaremos agora pelos passos principais envolvidos no
projeto de uma cava a céu aberto quando ferramentas de otimização estiverem disponíveis para você e
onde a maximização do NPV é o objetivo principal. Os passos são apresentados de forma linear para maior
clareza. O processo atual do projeto é iterativo, com alguns passos ou combinações de passos que
são
repetidos muitas vezes, e com análise de sensibilidade, análise what-if (o que acontece se-, hipótese) e
auditoria estando misturado com os passos simples.
O planejamento de lavra a céu aberto pode ser quebrado em uma série de passos, aonde cada orientação
conduz ao próximo passo. Nós produzimos cada um dos itens mostrado na figura 8.
1 Modelo do depósito de minério
2
Projeto de cava final
Programação de longo prazo
Programação de teor de corte
3 Programação de curto prazo
Figura 8 - Passos do planejamento de lavra a céu aberto
Enquanto cada item tem um efeito real sobre qualquer um dos itens seguintes, o contrário não é
necessariamente verdadeiro e eles se agrupam adequadamente. Por exemplo, enquanto o modelo do
depósito de minério é raramente afetado pelo que segue o projeto de cava, seqüenciamento de longo prazo
e seqüenciamento de cut-off pode afetar um ao outro numa grande quantidade.
Os objetivos são também diferentes para os três itens mostrados acima.
Criando o modelo do depósito de minério, o objetivo é ser tão preciso quanto possível e registrar dados que
serão importantes para o planejamento e subseqüente a lavra do depósito de minério.
No segundo item, o objetivo é maximizar o valor da mina decidindo aproximadamente o que será lavrado e
processado por cada ano da vida da mina. Aqui, o ano no qual um fluxo de caixa ocorre pode ter um efeito
significante no valor da cava. A ênfase está em adquirir a escala completa e a correta seqüência de lavra.
No seqüenciamento de curto prazo, nós apontamos para o uso suave e eficiente do equipamento numa
base cotidiana. Isto afeta o valor da mina por seu efeito diário no fluxo de caixa. Note que, em
seqüenciamento de curto prazo, nós freqüentemente temos informações mais detalhadas sobre o depósito
de minério que está disponível quando fazemos o seqüenciamento de longo prazo.
WHITTLE - Planejamento Estratégico de Mina
~ 24 ~
Sobre isto nós focalizaremos nas duas primeiras atividades do segundo item: projeto de cava final e
seqüenciamento de longo prazo. O seqüenciamento de cut-off será discutida na seção “Otimização de Cut-
Off”.
Nós assumiremos que um modelo de bloco foi preparado. Cada bloco terá uma tonelagem total e pode ter
uma ou mais “parcelas”. Cada parcela terá uma tonelagem e uma quantidade de cada elemento de
interesse.
Os principais passos:
1 - Criar um modelo seletivo de lavra;
2 - Criar um modelo sensitivo de trabalho;
3 - Estimar o tamanho geral da cava final;
4 - Introduzir pushbacks;
5 - Conferir o trabalho com o modelo do projeto de cava (cava operacional);
6 - Ajustar a largura mínima da cava;
7 - Operacionalizar a cava e seqüenciar.
Estes passos serão discutidos em maior detalhe nos itens abaixo.
2.1.1 Criando um modelo seletivo de lavra
Há dois problemas a considerar com respeito a seletividade:
• Seletividade de Lavra - Em um modelo seletivo de lavra, a forma e largura dos blocos são
representativas do grau de seletividade que pode ser executado na operação de lavra, mais
particularmente aquela seletividade que pode ser executada na praça e nas paredes da cava. Não é
crítico que isto seja diretamente representativo (isto na realidade seria de fato difícil de executar),
como as conseqüências de imprecisão são menores. Assim em termos práticos, significa que os
blocos deveriam ter a mesma altura de um banco, e que a largura deve ser apropriada para
modelagem precisa do ângulo de talude. Como uma diretriz geral, é melhor possuir um bloco onde a
largura não exceda a 1,5 vezes a altura do bloco, entretanto esta não é uma regra rígida e constante.
Formato Geoestatístico do bloco, otimização da cava e formato da cava
Note que esta relação de aspecto (entre 1,5:1 e 1:1) pode diferir consideravelmente daquele usado na
geração original do modelo. Muitos processos geoestatísticos conduzem a blocos que são
consideravelmente mais largo que sua altura. Eles podem ser mais longos em uma direção (ao longo do
strike) que o outro. Há argumentos geoestatísticos válido por que isto deveria ser assim, e argumento
igualmente válido por que tal modelo deve ser modificado para ter blocos que são muito mais próximos ao
quadrado, com a finalidade de otimização de cava.
No Whittle, blocos grandes podem ser divididos em blocos menores. Quando isto é feito, os conteúdos do
bloco original são distribuídos uniformemente entre os novos blocos menores.
WHITTLE - Planejamento Estratégico de Mina
~ 25 ~
• Processo de Seletividade - O tamanho da unidade a ser considerado ao determinar qual material
pode ser enviado para processos alternados ou depósito de estéril. Na otimização da cava e
seqüenciamento é a parcela que representa a seletividade do processo. Adequadamente, se há uma
capacidade para separar algum material dentro de um bloco para direcionar para um processo, então
este pode ser representado pelo uso de múltiplas parcelas por bloco.
Multiplas Parcelas - De onde elas vêm
Dentro de cada bloco de um modelo pode existir uma ou mais parcelas. Cada parcela tem sua própria
tonelagem, tipo de rocha e teores característicos. Em otimização de cava e depois em simulação da vida
da mina (life-of-mine - LOM) e seqüenciamento, as parcelas representam a seletividade do processo.
Primeiro: se um modelo inicia como um modelo sub-blocado12 (um modelo parcial), então o este modelo é
convertido para um modelo de bloco regular13 e os sub-blocos podem acabar sendo representado como
parcelas. Os sub-blocos neste caso são uma parte de uma representação aproximada de uma superfície
no modelo, ao invés de uma representação de seletividade.
Segundo: algumas técnicas de geoestatística geram múltiplas parcelas (às vezes mais de 100) em cada
bloco. Cada grupo de parcelas representa uma distribuição de teor para o bloco ou uma probabilidade de
distribuição de teor para o bloco. Este é um uso diferente de parcelas que podem sustentar uma pequena
relação para processar a seletividade.
Seja qual for a razão original para a existência destas múltiplas parcelas, é importante lembrar que na
otimização da cava e mais tarde, na simulação da vida da mina (LOM), cada parcela individual será
designada em direção a um processo particular ou será designado como estéril como se pudesse ser
completamente separado do resto do material no bloco. Se as parcelas no modelo não representam
apropriadamente a progressão de seletividade, então o resultado pode ser que quando você chega a lavrar
o plano que estava baseado na cava otimizada e no seqüenciamento da vida da mina, você descobre que
está alcançando teores inferiores e tonelagens mais altas que esperava. O resultado será economicamente
pior que o esperado.
Uma solução para este problema é reduzir o número de parcelas. Isto pode ser alcançado usando um
software como o Whittle para operar em um modelo para combinar parcelas, de forma que cada bloco
finaliza com um menor número de parcelas maiores. O usuário controla a combinação de parcelas
definindo uma quantidade máxima de parcelas que serão permitidos em qualquer bloco do modelo
resultante. Uma solução melhor é usar um modelo no qual as parcelas foram criadas pelo método
geoestatístico para representar corretamente a unidade individualmente selecionável do material, com a
finalidade de otimização da cava e seqüenciamento da vida da mina.
2.1.2 Criando um modelo de sensibilidade
Se o modelo seletivo de lavra é muito grande, o tempo de processamento pode ser muito longo e análise
12 Modelo de Sub-bloco - Um modelo no qual alguns blocos são dividido
em blocos menores, freqüentemente para fornecer maior precisão em contatos.
13 Modelo Regular - Um modelo em que todos os blocos têm exatamente a mesma forma e com o mesmo comprimento, sem sub-blocos.
WHITTLE - Planejamento Estratégico de Mina
~ 26 ~
lenta. Se este é o caso, então com a finalidade de executar análise de alto nível e análise de sensibilidade,
um modelo menor deveria ser produzido, pois o tempo de processamento será menor. Isto pode ser
executado no Whittle “re-blocando” o modelo seletivo da mina, combinando blocos por um fator de 2 (ou
mais) em cada direção.
A maioria do trabalho de análise pode ser feita usando este modelo, que faz isto muito rápido. Durante este
trabalho você retornará dentro de um projeto que encontra melhor seus alvos comuns. Você pode então
fazer uma verificação final no projeto repetindo as simulações finais no modelo do projeto. É improvável que
você encontrará que há qualquer mudança significativa.
2.1.3 Estimar o tamanho geral da cava final
Configurando premissas econômicas
Você necessita de um ponto de partida para preços, custos e recuperações. Estes não precisam ser neste
momento muito preciso ou detalhado. Por exemplo, se é esperada que a recuperação não seja linear, você
pode usar um ou outro valor comum ou usar um teor inicial para simular aproximadamente a não-
linearidade.
Estabelecendo custos, algumas suposições terão que ser feitas sobre o tamanho eventual da cava.
Configurando parâmetros geotécnicos
Use os ângulos médios de talude, inclusive berma de segurança, mas não inserir estradas nesta fase,
porque você ainda não sabe onde as estradas serão inseridas.
Gerar famílias de cava
Ao invés de gerar uma cava ótima, gere uma família de cavas (pit shells) usando um fator de receita
(Revenue factor - RF) como parametrização técnica (será bem mais detalhado na seção de Otimização de
Cava). Este processo fornece um banco de dados de cavas que são usadas para escolher cavas finais e
pushbacks para uma ampla escala de condições econômicas. Use um fator de receita dentro numa escala
de 0,2 a 1,5 com 100 passos. O fator muito baixo é requerido para gerar famílias de cavas internas
pequenas que podem ser usadas para o seqüenciamento. Todas as famílias de cavas são úteis para
executar vários tipos de análise de sensibilidade e como referência para a geração de seqüenciamento.
Simular Melhor Caso (Best Case) e Pior Caso (Worst Case)
Representar graficamente os gráficos dos NPVs para simulações de Melhor e Pior Caso de todas as
famílias de cava e vê como diferem as duas curvas. Se eles não diferirem por mais de dois ou três por
cento, então a seqüência de lavra é sem importância e muito do que segue pode ser ignorado. Nos casos
mais normais onde eles diferem de vinte por cento ou mais, as duas curvas chegam ao máximo em
tamanhos de cavas diferentes. Embora você não seja capaz de lavrar na simulação do Melhor Caso, você
pode esperar adquirir razoavelmente perto do seu NPV com seqüenciamento satisfatório.
WHITTLE - Planejamento Estratégico de Mina
~ 27 ~
Escolha uma cava ótima que posicione entre os dois picos. Mas é melhor que esteja próximo do pico do
Melhor Caso. Deixe-nos chamar esta cava de “cava de funcionamento - (working Shell)” ou simplesmente
“cava”.
Se esta cava é significativamente diferente do tamanho da cava que você assumiu ao configurar as
premissas econômicas, ajuste as premissas econômicas e repita o trabalho anterior.
Análise da sensibilidade dos ângulos de taludes
Em uma fase antecipada de análise, você pode ter só uma idéia grosseira da inclinação que os ângulos de
talude podem estar. É útil saber com antecedência como são sensíveis as operações econômicas dos
ângulos de talude da cava. Você pode verificar o efeito aproximado sobre as mudanças do NPV nos
ângulos de talude da cava, re-executando várias vezes a otimização da cava, colocando a cada vez um
ângulo de talude diferente. Re-executando os gráficos para as simulações do Melhor e Pior Caso e
comparando os resultados com os dos ângulos de taludes originais, você poderá determinar a sensibilidade
do NPV aos ângulos de taludes da cava.
Você também pode ter alternativas disponíveis sobre os ângulos de taludes da cava. Por exemplo, às vezes
é possível, usando técnicas como “cable bolting”, para aumentar o ângulo de talude da cava de forma
segura.
Você pode verificar o efeito aproximado do NPV aumentando o ângulo de talude da cava, ou seja,
aumentando cinco graus e aumentando o custo de mina por uma quantia comensurável com os custos do
rock-bolting, e re-correndo aos gráficos anteriores. Isto lhe permitirá decidir se é econômico usar o “cable
bolting”.
Considerando parâmetros de acesso
Examine a forma da cava e decida onde as estradas de transporte passarão.
Configure os parâmetros de ângulo de talude com maior precisão, com desconto para as estradas de
transporte quando requerido.
Repita a geração de família de cavas, a simulação e produção de gráficos.
Novamente escolha uma cava.
2.1.4 Introduzindo pushbacks
Se a expectativa de vida da mina está partindo para ser maior que 2 ou 3 anos, e a cava é fisicamente
bastante grande, o uso de pushbacks provavelmente aumentará o valor da cava e permitirá uma relação
estéril/minério mais constante.
WHITTLE - Planejamento Estratégico de Mina
~ 28 ~
Examine o layout da cava e as cavas no interior desta. Escolha uma, duas ou três cavas que poderiam
tornar-se razoáveis pushbacks intermediários. Aqui a preocupação está na largura da mina. Fornecendo as
cavas separadas em círculo é suficiente, ou seja, oitenta por cento das circunferências, não se preocupando
neste momento se for muito estreita em outro lugar, pois, isto pode ser fixado depois.
Através das simulações represente um gráfico dos NPVs para o Melhor Caso, Caso Específico (com o
pushbacks que você escolheu) e Pior Caso para várias famílias de cava mostrando ambos os lados da cava
final atual.
Faça isto, ambos com a otimização do seqüenciamento para o NPV melhorado e para o equilíbrio do
seqüenciamento melhorado. Quão próximos são os valores do NPV para os valores de NPV do Melhor
Caso?
Esta ainda é a melhor cava?
Se não é, re-projetar os pushbacks para uma nova cava, e gerar também o gráfico.
Experimente com diferentes números de pushbacks. Se aumentando o número de pushbacks, aumenta
somente um pouco o NPV, pode ser compreensivo usar um número menor de pushbacks. Isto porque:
• Pushbacks mais largo requerem menos ajuste posteriormente, e ajuste sempre reduz o valor
aparente da cava;
• Custa dinheiro para efetuar um pushback, e a menos que você ajustou cuidadosamente o modelo de
custo para refletir isto, haverá um diferencial não medido nos valores dos cenários com menos
pushbacks comparados com estes com mais pushbacks.
Alguns problemas a serem considerados neste momento:
• A capacidade de processo ou capacidade de lavrar está de forma constante subutilizada? Nesse
caso, há uma desigualdade de capacidades e você deveria reconsiderar suas concepções/projetos;
• Há alguns períodos no qual a capacidade de processo não é utilizada completamente? Nesse caso,
você pode submeter isto aumentando temporariamente a taxa de lavra (contrato de lavra, por
exemplo) ou escolhendo pushbacks diferentes ou introduzindo buffer stockpiles (pilhas de estoque
temporário);
• As taxas de lavra variam de modo desordenado de um período ao outro? Isto é raramente desejável,
pois significa que uma grande frota de equipamento lavra é freqüentemente subutilizada, e o custo de
subutilização pode não ser modelado
adequadamente na simulação. O problema pode ser resolvido
escolhendo pushbacks diferente, ou fazendo ajustes apropriados ao modelo de custo de modo que o
otimizador de seqüenciamento produza um seqüenciamento mais apropriado.
2.1.5 Confira o trabalho com o modelo seletivo
Re-execute sua versão final do trabalho anterior usando o modelo de projeto de cava ao invés do modelo de
WHITTLE - Planejamento Estratégico de Mina
~ 29 ~
sensibilidade. Normalmente haverá uma mudança muito pequena (1% a 2%) a qualquer uma das cavas.
2.1.6 Ajuste as larguras mínimas de cava
Usando o modelo seletivo de lavra e os pushbacks que você estabeleceu, execute o Mining Width do
Whittle para ajustar as larguras de mina após re-executar novamente. Haverá uma perda em valor, mas não
deveria ser nada tão grande quanto o ganho feito usando pushbacks em primeiro lugar.
2.1.7 Faça o projeto da cava final
Você agora tem uma cava final e um ou mais pushbacks que você pode usar com guias no uso do projeto
de cava final. Isto usualmente será feito por um software GMP.
2.2 Análise de sensibilidade e análise What-if
A necessidade para análise de sensibilidade e análise de What-if não podem ser super enfatizada. Quanto
mais você faz, melhor será o seu projeto e seqüenciamento de longo prazo.
Análise de sensibilidade é executada de forma adequada para determinar o impacto global da variância nas
principais variáveis de entrada, tal como teor, preço de commodity e custos. A análise What-if é usada para
examinar alternativas operacionais e cenários de investimento.
O processo inteiro do projeto é iterativo. Você não imagina que cria um modelo geológico, cria um modelo
de valor, otimiza e então faz o projeto final.
Muito do que nós discutimos, de agora em diante relacionará ao trabalho de sensibilidade, mas, antes de
nós começarmos, há dois aspectos do trabalho de sensibilidade que são muito enfatizados.
2.2.1 A otimização é importante no trabalho de sensibilidade
Embora uma cava final otimizada e o detalhe correspondente do projeto de cava não serem os mesmos,
eles têm um relacionamento próximo. Conseqüentemente, contando que você esteja usando um otimizador
matemático ao invés de uma aproximação, não é necessário fazer dois projetos de cava detalhados para
comparar os valores de duas cavas ótimas em condições diferentes. Isto porque, a verdadeira otimização é
objetiva e evidente. É totalmente razoável tomar nota devido as diferenças de pequenos valores, ou seja,
mudando os ângulos de talude por uns poucos graus ou mudando o preço do ouro por $5. Isto não é
verdade quando projetos são feito a mão, porque um engenheiro produziria provavelmente diferentes
projetos em dias diferentes, sem qualquer mudança dos ângulos de talude ou do preço. Dois engenheiros
certamente produziriam projetos diferentes para as mesmas condições.
WHITTLE - Planejamento Estratégico de Mina
~ 30 ~
2.2.2 A sensibilidade principal é a incerteza econômica
O tamanho e forma da cava final ótima é mais afetada pelas condições econômicas quando finaliza a lavra
do que nas condições econômicas de quando a lavra inicia. Se a vida de mina é para ser apenas um ou
dois anos, então nós provavelmente podemos predizer razoavelmente bem as condições econômicas. Caso
contrário nós temos um problema.
Nós podemos ver a fórmula do valor de um bloco14:
ܸܣܮܷܧ ൌ ሺܯܧܶܣܮ ൈ ܴܧܥܱܸܧܴܻ ൈ ܴܲܫܥܧ െ ܱܴܧ ൈ ܥܱܵܶܲሻ െ ܴܱܥܭ ൈ ܥܱܵܶܯ
Nessa fórmula há três variáveis econômicas pertinentes. Estas variáveis são: PRICE, COSTP e COSTM. A
sensibilidade para todas estas variáveis devem ser exploradas.
2.2.3 Análise What-if
Há muitas operações alternativas que podem ser verificadas executando a análise What-if. Aqui nós damos
justamente três exemplos.
A capacidade da planta de processamento está correta?
Você pode conferir rapidamente o efeito dos diferentes tamanhos das plantas de processo re-executando
simulações com diferentes produções e custos de processos. Isto sempre deveria ser feito com otimização
de seqüenciamento. Claro que você tem que permitir a construção dos diferentes custos de diferentes
tamanhos da planta de processamento.
Se a mudança mostra que tem futuro, você deveria conferir se tivesse um efeito melhor no tamanho da
cava.
Nós deveríamos construir uma segunda planta de processo mais tarde?
Isto é bem similar a uma verificação prévia.
A cava está restringida por alguma infra-estrutura - nós deveríamos removê-la?
Isto é um pouco mais complicado conferir porque você tem que produzir uma nova família de cavas sem a
restrição, mas a maioria do trabalho pode ser feito repetindo execuções prévias, que é muito fácil.
Se, nesta fase você achou que tem que acrescentar uma quantia significativa de estéril na cava, então o
valor que você pôs antes nos ângulos de talude foi insuficiente e você deveria voltar novamente e repetir
alguns dos trabalhos anteriores, caso contrário a cava será mais funda do que deveria ser.
14 Recorra à seção “Calculando o Valor do Bloco para a Otimização de Cava” para uma explicação da equação e condições.
WHITTLE - Planejamento Estratégico de Mina
~ 31 ~
3 ANÁLISE DE SENSIBILIDADE NO PLANEJAMENTO ESTRATÉGICO
DE MINA
Originalmente apresentado como:
Whittle, D, 2000, Proteus Environment: Sensitivity Work Made Easy, in proceedings Whittle North American
Strategic Mine Planning Conference, (Breckenridge, Colorado)
3.1 Resumo
Há muitos inputs para o processo de planejamento de lavra a céu aberto e incerteza no valor de quaisquer
destes inputs conduz a incerteza nos resultados econômicos. Por exemplo, uma mudança num input, tal
como o preço de commodity, pode ter uma influência direta nas economias de aproveitamento do recurso.
Este papel fornece uma discussão geral de como o software Whittle pode ser usado para dirigir-se as duas
questões:
• Qual é o impacto da incerteza do input no projeto?
• O que, se é que, deveria ser feito sobre isto?
A primeira questão é respondida executando uma de várias formas de análise de sensibilidade. Isto envolve
variando os inputs para o processo do projeto e medindo o impacto sobre o valor do projeto. Este tipo de
análise é alcançado facilmente usando o software Whittle e várias técnicas são apresentadas.
A segunda questão é dada com o planejamento e testando uma quantidade de diferentes cenários, que
envolve uma das seguintes estratégias:
• Adote passos para reduzir a incerteza;
• Projete de tal modo a reduzir o impacto da incerteza;
• Tolere a incerteza e aceite os riscos associados.
3.2 Medindo o impacto da incerteza do imput no projeto
Várias formas de análise de sensibilidade podem ser executadas de forma adequada para medir o impacto
da incerteza do input. Incluem:
• Diagrama Spider;
• Análise de sensibilidade simples ou multivariada.
O método McRostie/Whittle determina distribuições de probabilidade para o Valor Presente Líquido (NPV)
do projeto.
Exemplos destas formas de análise são determinados abaixo.
WHITTLE - Planejamento Estratégico de Mina
~ 32 ~
3.2.1 Diagrama Spider
Um diagrama spider permite o teste rápido de uma variedade de inputs, para determinar qual das variáveis
do projeto é mais sensível. O exemplo mostrado na figura 9 testa a sensibilidade de uma variável de input.
O caso básico é o centro do gráfico e cada uma das pernas representa uma simulação na qual uma variável
é alterada mais ou menos em uma porcentagem fixa. Neste exemplo, as informações eram variadas em
mais e ou menos 10%
(±10%). O diagrama mostra claramente que, neste exemplo, o Processing throughput
limit (limite do processo de produção) para a planta de processo é o input para o qual valor do projeto é
mais sensível.
Figura 9 - Diagrama spider, criado pelo Whittle. Para criar este gráfico, é necessário produzir 15
seqüenciamentos de vida da mina e resultados gráficos selecionados. Estas operações são transmitidas
pelo Whittle. Quando o cenário básico operacional foi construído, o usuário necessita especificar somente
os parâmetros que serão verificados no diagrama spider.
3.2.2 Análise de sensibilidade simples ou mult-variável
Estes inputs que estão merecendo uma investigação adicional podem ser testados em detalhes executando
múltiplos cenários, para uma escala de diferentes valores de informações. Um exemplo disto é mostrado na
figura 10.
WHITTLE - Planejamento Estratégico de Mina
~ 33 ~
Figura 10 - Análise de sensibilidade para a recuperação do sulfeto na planta de processo. A recuperação foi
variada nas etapas de 70% a 96%. Para cada um dos 14 cenários, o Whittle produziu um seqüenciamento
de vida útil da mina, completo com o recálculo do cut-off e do fluxo de caixa descontado. O gráfico, que foi
produzido pelo Whittle, mostra o resultado em termos do total de toneladas de minério e NPV para a mina.
3.2.3 O método McRostie/Whittle determina distribuições de probabilidade do NPV do
Projeto
McRostie e Whittle (1999) determinaram um método que utilizou as capacidades de ramificação dos
cenários do Whittle para produzir resultados que poderiam ser representados graficamente para mostrar a
distribuição de probabilidade de valores do projeto, dependendo de vários inputs incertos. Os conceitos
estatísticos confiados por McRostie e Whittle são compreensivamente descrito por Gentry & O’Neil (1984).
Um resumo de McRostie e Whittle (1999) é dado abaixo.
Esta aproximação probabilística para análise de risco é extremamente útil como não só dá uma estimativa
central do NPV, mas também fornece uma gama de NPV e a possibilidade de queda do projeto dentro
daquela estimativa. Esta aproximação é preferível para produzir um ponto de estimativa do valor de um
projeto, e, usando a estrutura de árvore no Whittle, o risco que é associado com o assumido na geologia,
geotecnia e as limitações operacionais e ambientes podem ser avaliadas simultaneamente.
Para estudar o conceito, nós usaremos um exemplo simples que é derivado de um conjunto de dados do
tutorial do Whittle. O exemplo simples apresentado aqui usa somente 27 testes, e assim fornece resultados
mais grosseiros. Testes de 125 ou mais são recomendados se uma estimativa razoável da distribuição final
é para ser feita.
A primeira etapa na determinação do risco associado com a operação é para determinar a distribuição da
probabilidade subjetiva de cada fator de risco principal, incluindo a geologia, a geotecnia e
limitações/ambientes operacionais.
WHITTLE - Planejamento Estratégico de Mina
~ 34 ~
Tabela 1 - Distribuição da probabilidade subjetiva do modelo de recurso.
Nome do Modelo Probabilidade Notas
Modelo A 20% Simulado removendo os 12 últimos bancos do modelo
Modelo B 60% Simulado removendo os 6 últimos bancos do modelo
Modelo C 20% Modelo Completo
Soma 100%
Tabela 2 - Distribuição da probabilidade subjetiva do modelo geotécnico.
Nome do Modelo Probabilidade Notas
Geotécnico A 15% Ângulo de talude superficial, 41º
Geotécnico B 70% Ângulo de talude normal, 45º
Geotécnico C 10% Ângulo de talude íngreme, 49º
Soma 100%
Tabela 3 - Distribuição da probabilidade subjetiva da limitação operacional/ambiente de fator de risco.
Nome do Modelo Probabilidade Notas
Operacional A 25% Baixo preço do ouro (US$ 300/oz.)
Operacional B 50% Preço atual do ouro15 (US$ 400/oz.)
Operacional C 25% Alto preço do ouro (US$ 500/oz.)
Soma 100%
A probabilidade de cada resultado é calculada multiplicando junto as probabilidades subjetivas de cada
nodo que contribuiu para os resultados. Por exemplo, o primeiro ramo mostrado na figura 11 consiste sobre
o Block Model (20%), um Slope Set (15%) e a combinação de Pit Shells/Scenario/Analysis dando uma
probabilidade do resultado de 0,75%.
Figura 11 - Análise de probabilidade de risco usando o Whittle. Esta figura mostra alguns ramos da árvore
de análise expandidos e alguns contraídos. No total há 27 análises (nem todos visíveis aqui), representando
todas as possíveis combinações dos três inputs incertos.
15 O preço do ouro atual indica o preço na ocasião em que os dados do tutorial do Whittle foi criado, não o preço de ouro atual na hora de escrever.
WHITTLE - Planejamento Estratégico de Mina
~ 35 ~
A probabilidade de cada resultado e o resultado propriamente dito do NPV foi inserida numa planilha
eletrônica no qual a média ponderada e o desvio padrão podem ser calculados.
A média ponderada foi calculada somando o produto de cada resultado do NPV e associada a probabilidade
calculada. O desvio padrão foi calculado usando a equação 1.
Equação 1 - Desvio padrão para uma população infinita
ߪ ൌ ට൫ܺଶሺܺሻ൯ െ തܺଶ
Representação gráfica da probabilidade cumulativa versus NPV produz uma curva incomum (veja a figura
12) que não se parece muito com a clássica curva em S para distribuições normais cumulativas. A forma
estranha da curva é devido ao pequeno número de resultados do NPV e por causa da forma discreta das
variáveis de input.
Figura 12 - Curva de probabilidade cumulativa por simples 3x3x3 conjunto de dados (27 dados).
Um teste mais avançado foi conduzido no qual consistiu em cinco modelos de blocos, em cinco diferentes
ângulos de talude e em cinco diferentes preços do ouro, produzindo um resultado total de 125 NPV. Este
teste produziu uma curva de probabilidade cumulativa muito interessante (figura 13) que claramente tem
cinco curvas menores combinadas com uma curva cumulativa inclinada em S. Para destacar a curva S
realçada, os dados foram suavizados extraindo o ponto médio de cada sub curva e ajustando uma curva ao
resultado (veja a figura 14).
WHITTLE - Planejamento Estratégico de Mina
~ 36 ~
Figura 13 - Probabilidade cumulativa para um conjunto de dados 5x5x5 (125 dados) mais complicado
Figure 14 - Curva de probabilidade cumulativa suavizada de 5x5x5 conjunto de dados.
Uma vez que uma curva como a apresentada na figura 12 foi esboçada, estimativas grosseiras como a do
risco envolvido no projeto podem ser feitas. Nosso exemplo mostra um modo de aproximadamente $9m,
com NPV avaliado em 25% em ambos os lados do modo de $6m e $13m.
Do mesmo modo uma escala é muito mais útil que uma estimativa de ponto ao avaliar projetos.
3.3 Estratégia para lidar com a incerteza
Quando você determinou o impacto das incertas dos inputs no valor do projeto, você pode determinar uma
estratégia para lidar com isto. As alternativas são:
WHITTLE - Planejamento Estratégico de Mina
~ 37 ~
• Adotar passos para reduzir a incerteza.
• Projetar de tal modo a reduzir o impacto da incerteza.
• Tolerar a incerteza e aceitar os riscos associados.
Estes são discutidos abaixo.
3.4 Tomando providências para reduzir a incerteza
A figura 15 mostra um modelo de relacionamento entre os inputs de incerteza, os resultados econômicos, e
as decisões/investimento que podem ser feitos para reduzir incertezas de informações.
Detalhes do modelo são como segue:
• Elipses representam inputs de incertas para o processo do projeto. Por exemplo, o modelo geológico
é uma estimativa estatística real da mineralização, baseado
em dados simples.
• Retângulos representam decisões ou investimentos que podem ser feitos para reduzir incertezas
associadas com os inputs para o processo do projeto. Por exemplo, a incerteza do modelo geológico
pode ser reduzida investindo em mais sondagens (pesquisa geológica).
• Retângulos arredondados são intermediários e últimos resultados de vários elementos no modelo.
Por exemplo, um aumento na pesquisa geológica (sondagem) aumentará custos no projeto.
Figura 15 - Diagrama de influência mostrando valores incertos (elipses) e decisões (retângulos) que
influenciam os valores de incertezas e conduzem a resultados (retângulos arredondados). Indica, por
exemplo, que a incerteza do modelo geológico pode ser reduzida aumentando os gastos em pesquisa
geológica.
Quatro categorias das incertezas dos inputs foram escolhidas para o modelo:
WHITTLE - Planejamento Estratégico de Mina
~ 38 ~
• Geologia
• Geotecnia
• Operacional, e
• Preço do produto
Além de serem categorias geralmente úteis, elas acontecem também com o intuito de mapear bem o
processo inerente do projeto no Whittle. Este relacionamento é representado nas figuras 16 e 17.
Figura 16 - Mapeamento das incertas dos inputs do processo do projeto para os artefatos do processo de
planejamento.
Figura 17 - Os artefatos do processo de planejamento de como eles são representados no Whittle.
Com a exceção do preço do produto, a incerteza de todos os inputs pode ser influenciada pelo grau de
pesquisa no campo. Tomado ao seu extremo lógico, é possível eliminar virtualmente a incerteza de todos os
inputs, exceto o preço, investindo mais dinheiro na pesquisa apropriada. Preço é a exceção, porque é algo
que ainda não existe. Não importa quanto dinheiro é investido na pesquisa de preços futuros, muito das
incertezas permanecerá com você.
Com este modelo em mente, é possível testar casos no Whittle segundo o qual o impacto estratégico de
uma redução da incerteza pode ser testado.
Por exemplo, você poderia criar um modelo hipotético de campanha de sondagem. Os elementos
fundamentais do modelo para a finalidade de análise são o custo da campanha e uma compreensão do que
a campanha alcançará em termos de reduzir a incerteza do modelo geológico. Construindo a campanha
hipotética de sondagem no modelo Whittle, é possível avaliar as despesas e benefícios da estratégia.
WHITTLE - Planejamento Estratégico de Mina
~ 39 ~
3.5 Projeto para reduzir o impacto da incerteza
O projeto estratégico pode ser usado para reduzir o impacto da incerteza. Os exemplos são:
• O uso de pushbacks estratégico16. No esboço dos pushbacks, há três itens gerais a serem
considerados: operacional, tático e estratégico. Considerações estratégicas incluem o
estabelecimento de opções no futuro. Por exemplo, pode ser muito bom que o modo mais eficiente
para lavrar de um ponto de vista operacional é lavrar banco a banco até a última cava. No entanto,
por razões estratégicas, pode ser bem criterioso construir pushbacks que, quando completado, dê
para o projetista de lavra a opção de redesenhar a última cava, com o benefício da informação mais
atualizada.
• O uso do contrato de lavra. Se a lavra é administrada diretamente pelo proprietário da mina, então a
própria empresa estará sujeita a todas as incertezas e riscos associados com a própria frota,
administração e problemas de trabalho. O contrato de lavra externaliza estes fatores e reduz
potencialmente a incerteza associada com despesas futuras (dependendo da estrutura do contrato).
• O uso do hedging. Hedging pode ser usado para reduzir a incerteza associada com o preço que
será obtido para o produto da mina. Hedging é a técnica ou estratégia de cobertura de risco, utilizada
pelos gestores, que visa a proteção de uma determinada posição (atual ou futura) num ativo (moeda,
obrigação, ação, mercadoria), contrato (de futuros ou opções) ou índice em relação ao risco de perda
do seu valor (fonte: © ISPV 2004 - Instituto Superior Politécnico de Viseu, Portugal).
Em todos os casos, é possível simular estes cenários usando o Whittle e medir o impacto sobre o valor do
projeto e o risco. Isto é alcançado usando as capacidades de ramificações de cenários do Whittle.
3.6 Tolerancia da incerteza e aceitação do risco associado
Não deveria ser assumido que a eliminação do risco (à custa do valor do projeto) é a última meta. O grau de
risco que a companhia está preparada para se expor dependerá de uma grande extensão do
comportamento da tomada de decisão (Whittle 1997).
Tendo medido o risco do projeto usando a análise de sensibilidade e tendo determinado os custos de
redução daquele risco, pode ser muito bom que a melhor estratégia é tolerar o risco.
16 Alternativamente, isto pode ser pensado conforme a consideração de problemas estratégicos ao escolher pushbacks.
WHITTLE - Planejamento Estratégico de Mina
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WHITTLE - Planejamento Estratégico de Mina
~ 41 ~
4 INTRODUÇÃO A OTIMIZAÇÃO
4.1 Qual é o significado de otimização?
“Otimização” é um processo no qual algo é feito como efetivo, perfeito ou útil quanto possível. O termo pode
ser usado num senso geral para ter em vista um processo através do qual um resultado é otimizado através
dos ajustes dos inputs, estruturas ou métodos. Você ouvirá freqüentemente o termo usado no domínio da
mineração. Por exemplo, uma otimização pode ser executada sobre um Ciclone: Num tal processo, o
investigador busca determinar como o Ciclone pode ser operado para facilitar a melhor separação possível
de materiais, a custo mínimo.
Geralmente pense em “Otimização” como um processo para “fazer algo melhor”.
O termo também tem uma definição matemática: que significa encontrar o valor ótimo de uma função,
freqüentemente sujeito a restrições.
O termo matemático “Ótimo” significa um dos seguintes:
• Mínimo - O menor valor possível. Se você fosse otimizar o custo total, você estaria buscando
minimizá-lo.
• Máximo - O maior valor possível. Se você fosse otimizar o lucro total, você estaria buscando
maximizá-lo.
4.2 Modelo de otimização
Um modelo matemático para otimização tem os seguintes componentes:
1. Uma função objetivo - A função objetivo é uma expressão matemática, ou algum outro tipo de modelo
matemático que calcula aquele objeto que é para ser otimizado. Se a função objetivo calcula lucro,
então o processo de otimização encontrará o lucro máximo através da função objetivo. Há somente
uma função objetivo num problema de otimização.
2. Variáveis de decisão - Para otimizar a função objetivo, um processo de otimização deve encontrar as
colocações apropriadas para uma ou mais variáveis de decisão. Em termos algébricos, as variáveis
de decisão são independentes. O objetivo é uma variável dependente. Pode haver uma ou mais
variáveis de decisão em um problema de otimização.
3. Restrições - As colocações das variáveis de decisão estão sujeitas as restrições, ambos nas variáveis
de decisão deles mesmos, e sobre as funções das variáveis de decisão.
Isso é uma descrição geral que poderia parecer um pouco obscura. Abaixo está um exemplo simples que
será usado para ilustrar os conceitos.
WHITTLE - Planejamento Estratégico de Mina
~ 42 ~
4.3 Exemplo simples de otimização
Muitos problemas de otimização são extremamente complexos. Otimização de cava e seqüenciamento
emprega técnicas avançadas e modelos complexos para alcançar um resultado. Porém, todos os problemas
de otimização têm algumas características em comum. Para ilustrar estas características, é útil trabalhar
num exemplo simples. O exemplo exibido abaixo usa somente álgebra secundária para encontrar uma
solução.
Considere que você é um fabricante de algum objeto (por exemplo, descascador de vegetais), que você
vende para atacadistas. A quantidade que você vende é dependente do preço que você estabelece. Se seu
preço subir, a quantidade que você poderá vender diminuirá. Por um preço de $0,20 você pode vender
13.000 unidades por semana. Por um preço de $0,50 centavos você pode vender somente 4.000 unidades
por semana. Deixe-nos presumir que este relacionamento entre preço e volume é linear, assim você pode
calcular as unidades vendidas com a seguinte equação: Unidades = 19.000 - Preço*30.00017.
Seus custos são $0,01 por unidade mais $1.000 por semana.
C (custo) = 1.000 + 0,01*U (unidades).
R (receita) = P(preço)*U
L (lucro) = R - C
U = 19.000 - 30.000*P
A questão é: qual preço você deveria estabelecer para maximizar o lucro semanal?
A função objetivo para maximizar é:
L = R - C
L = P*U - (1.000+0,01*U)
L = P*(19.000 - 30.000*P) - (1.000 + 0,01*(19.000 - 30.000*P))
L = -30.000*P2 + 19.300*P - 1.190
O lucro (L) é o objeto que é para ser otimizado (maximizado neste caso).
A variável de decisão (somente um neste caso) é o Preço (P).
Restrições incluem tais coisas como o fato de que você não pode fixar um preço negativo, e você não pode
produzir uma quantidade negativa. De qualquer forma, neste caso simples, tais restrições são supérfluos.
Você pode identificar a estrutura da função objetivo como um trinômio quadrático. Isso é uma coincidência,
pois acontece para descrever a relação entre a variável de decisão e a função objetivo neste caso.
Problemas de otimização podem tomar muitas formas, mas todos eles têm uma função objetivo, variáveis
17 Você pode calcular isto usando equações simultâneas e a forma da expressão linear Y=aX+c onde Y é o número de unidades vendidas e X é o Preço.
WHITTLE - Planejamento Estratégico de Mina
~ 43 ~
de decisão e restrições.
Agora, deixe-nos resolver este simples problema de otimização. Este aqui é tão simples, que nós podemos
enumerar para trabalhar numa resposta aproximada. Enumeração significa tentar todos possíveis valores
da(s) variável(s) de decisão e encontrar um(s) que produza um resultado ótimo.
Observando a tabela 4 e a figura 18 você pode ver que um preço de aproximadamente $0,30 rende um
lucro maior.
Tabela 4 - Enumeração do problema de maximização do lucro.
Preço Unidades Receita Custo Lucro
0,00 19.000 0 1.190 -1.190
0,05 17.500 875 1.175 -300
0,10 16.000 1.600 1.160 440
0,15 14.500 2.175 1.145 1.030
0,20 13.000 2.600 1.130 1.470
0,25 11.500 2.875 1.115 1.760
0,30 10.000 3.000 1.100 1.900
0,35 8.500 2.975 1.085 1.890
0,40 7.000 2.800 1.070 1.730
0,45 5.500 2.475 1.055 1.420
0,50 4.000 2.000 1.040 960
0,55 2.500 1.375 1.025 350
0,60 1.000 600 1.010 -410
0,65 -500 -325 995 -1.320
Figura 18 - Lucro projetado em relação ao preço.
Pode haver mais de um modo para encontrar uma solução ótima. Neste caso simples, nós podemos aplicar
alguma álgebra para resolver isto, encontrando o valor de P no qual a derivada da função objetivo é igual a
zero. Isso dá uma resposta precisa de 0,32617.
WHITTLE - Planejamento Estratégico de Mina
~ 44 ~
0 = -2*30.000*P + 19.300
P = 0,32617
O Lucro (L) por P = 0,32617 é:
L = -30.000*(0,32617)2 + 19.300*0,32617 - 1.190
L = 1.913,47
Nós também poderíamos aplicar uma rotina step and stride, para tentar valores diferentes de P para achar o
cume do gráfico que corresponde ao valor mais alto de L.
Algumas observações adicionais baseadas em parte neste exemplo de otimização:
1. Nós fizemos algumas suposições sobre o comportamento do volume de vendas (Unidades) com
respeito a preço. Na realidade, provavelmente nós não podemos esperar tal comportamento de
mercado altamente previsível. A expressão [U = 19.000 - 30.000*P] é simplesmente um modelo que
aproxima da realidade.
Você realmente esperaria vender exatamente 19.000 unidades se você estabelecer o preço para
zerar?
Volume de vendas se tornaria zero a um preço exato de 0,6333?
Pode ser dito para todos os modelos - que eles são representações simplificadas da realidade. Na
realidade nós não podemos esperar que este modelo comporte-se precisamente como um modelo
especial quando você adquire valores extremos. Nós podemos usar modelos desse modo para nosso
benefício, mas já deveríamos estar atento das limitações do modelo.
2. Neste exemplo, há apenas uma resposta correta: 0,32617. Não há outra colocação de P que dará o
lucro máximo de 1.913,47. Como você provavelmente sabe, se você fosse estabelecer qualquer
preço inferior ou mais alto que o mostrado na tabela 4, os lucros cairiam. A figura 18 ilustra bem isto.
No domínio do planejamento estratégico de mina, em otimização de cava, usando o método de
Lerchs Grossmann, é um exemplo de um problema de otimização no qual naquele lugar há somente
uma resposta correta.
Para outros tipos de problemas de otimização pode haver mais de uma solução ótima. Isto é, dois ou
mais cenários de variáveis de decisão que rendem exatamente a mesma função objetivo ótima. No
domínio de planejamento estratégico de mina, a otimização de blend é um exemplo de um problema
de otimização para o qual é possível dois ou mais cenário de variáveis de decisão para render
exatamente a mesma função objetivo ótima.
3. Uma vez que nós temos uma função objetivo definida, nós podemos talvez aplicar mais de um
método para encontrar uma solução ótima. Nós fornecemos exemplos de enumeração, utilizando
uma derivada e nós discutimos brevemente o step and stride. Estes são alguns de muitas
WHITTLE - Planejamento Estratégico de Mina
~ 45 ~
aproximações para a otimização que pode ser aplicável a diferentes tipos de problemas de
otimização.
4.4 Conclusões
Nós resolvemos um problema de otimização muito simples. Nós consideraremos casos muito mais
complexos nas seções seguintes, mas eles compartilharão em comum o seguinte:
1. Uma função objetivo, que calcula a variável que é para ser otimizada (minimizada ou maximizada).
2. Variáveis de decisão - que são variáveis que influenciam a função objetivo, ou situar isto de outro
modo. O objetivo é uma função da variável de decisão.
3. Restrições - Variáveis de decisão e funções de variáveis de decisão geralmente podem trabalhar
somente dentro de certas extensões. Por exemplo, você não deveria ter preços negativos e você não
pode fabricar quantidades negativas de bens.
Neste caso, o problema é simples e nós podemos aplicar algumas técnicas simples para encontrar a
solução ótima:
1. Enumeração
2. Resolvendo P quando a derivada é zero
3. Pela rotina step and stride.
Nós discutiremos outras aproximações para a otimização nas seções seguintes deste livro.
WHITTLE - Planejamento Estratégico de Mina
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WHITTLE - Planejamento Estratégico de Mina
~ 47 ~
5 OTIMIZAÇÃO DE CAVA A CÉU ABERTO
5.1 O que significa otimização de cava a céu aberto?
Deixe-nos agora ver com mais detalhes o problema do contorno da cava otimizada. Uma definição do
problema é como segue:
1. Função objetivo - maximização do lucro obtido pela cava, calculado como o valor cumulativo de todo
o material (minério e estéril) que está dentro da cava.
2. Variáveis de decisão - a inclusão ou exclusão do material na cava (e conseqüentemente, o contorno
da cava).
3. Restrições - devem ser obedecidos os ângulos
de taludes da cava.
Estas definições não são matematicamente precisas, e eles devem tornar-se tão antes de eles
provavelmente usarem para formular uma solução matemática. No entanto, para o momento, faremos estas
definições gerais. Por favor, tenha os em mente quando você ler as seções seguintes.
5.1.1 Definição de cava ótima
Considere a figura 19.
Figura 19 - Típico depósito de minério.
Para qualquer modelo de depósito de minério há muitas cavas finais possíveis. Na realidade o número de
cavas tecnicamente possíveis normalmente é muito grande.
Qualquer cava possível tem um valor.
Neste contexto “provável” significa que obedece a uma exigência segura de ângulo de talude. (Nós
discutiremos estradas de transporte mais tarde)
Valor = Receita - Custos
Receita pode ser calculada da massa de minério, teores, recuperações e preço do produto. Preço é
freqüentemente o principal fator desconhecido, mas, para todo o projeto, alguns preços devem ser
WHITTLE - Planejamento Estratégico de Mina
~ 48 ~
assumidos.
Custos são muito mais complicados, e nós gastaremos mais tempo sobre eles mais tarde. No momento, nós
assumiremos que os custos de mina e processo são conhecidos.
O valor de qualquer cava provável, teoricamente, pode ser calculado totalizando receita menos custo para
cada metro cúbico ou cada bloco, dentro da cava.
Note que, assim como toda a cava tem um valor, qualquer porção da cava tem um valor.
A cava ótima é definida como a de maior valor.
Nada pode ser acrescentado de tal forma a aumentar o valor respeitando as restrições dos ângulos de
talude. Nada pode ser removido de forma a aumentar o valor considerando as restrições dos ângulos de
talude.
Em outras palavras, nós devemos lavrar tudo que “agrega valor”.
5.1.2 O que afeta uma cava ótima para um determinado corpo de minério?
Preços e custos
Em geral - se o preço do produto subir, a cava ótima fica maior.
Em geral - se os custos sobem, a cava ótima fica menor.
Ângulo de talude
Em geral - se nós usamos ângulos de taludes íngremes, a cava ótima fica profunda.
5.1.3 A cava é ótima uma vez que fatores anteriores são fixos
Nós podemos não saber qual é a cava, mas ela é fixada, e, se nós excluirmos extensões de cava de valor
exatamente igual a zero, há só uma cava ótima.
Para provar isso, vamos supor que existem duas cavas ótimas para o mesmo depósito de minério. Ou seja,
existem duas cavas diferentes que satisfaz as restrições dos ângulos de taludes e que ambas têm o mesmo
valor total, o que é o valor total máximo possível. Se conseguirmos provar que esta é uma impossibilidade,
então, temos prova que só existe uma cava ótima. Existem dois casos possíveis.
A figura 20 representa o primeiro caso. Aqui as duas cavas estão separadas, ou seja, não estão
intersectadas. Trata-se claramente de um absurdo porque, se lavramos ambas as cavas, nós adquiriremos
duas vezes o valor de qualquer uma das duas cavas, de modo que uma das duas poderia ter sido de valor
máximo (isto é ideal).
WHITTLE - Planejamento Estratégico de Mina
~ 49 ~
Figura 20 - Cavas separadas.
No segundo caso, quando duas cavas sobrepõem como mostra a figura 21, notamos que cada uma das
três regiões A, B e C tem um valor, e o valor da cava combinada é:
A + B + C
Figura 21 - Cavas sobrepostas.
Se as duas cavas são de mesmo valor, então:
A + B = B + C
ou A + B + C = B + C + C
Mas C deve ser positivo, caso contrário, não poderia ser incluída em qualquer cava ótima, de modo que a
cava combinada tem um valor maior que B + C. Conseqüentemente, a hipótese de que duas cavas ótimas
têm o mesmo valor é falsa.
5.2 Exemplo de uma simples otimização de cava
Vamos considerar um depósito de minério muito simples e que tem uma forma retangular, de teor
constante, e localizado abaixo de uma topografia horizontal. Vamos mais adiante assumindo que o
comprimento é infinito, de modo que não temos que admitir os efeitos finais, e precisamos considerar
apenas um ponto. A figura 22 mostra tal depósito de minério.
Figura 22 - Depósito simples de minério.
WHITTLE - Planejamento Estratégico de Mina
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Usando a quantidade indicada no diagrama, nós podemos calcular a massa de oito cavas ótimas possíveis,
e a tabela 5 mostra isto.
Tabela 5 - Tonelagens das possíveis cavas
Cava 1 2 3 4 5 6 7 8
Minério 500 1.000 1.500 2.000 2.500 3.000 3.500 4.000
Estéril 100 400 900 1.600 2.500 3.600 4.900 6.400
Total 600 1.400 2.400 3.600 5.000 6.600 8.400 10.400
Note que, embora a tonelagem de minério aumente linearmente com o número da cava, o aumento da
tonelagem de estéril é o quadrado do número da cava.
Se nós assumimos que o valor do minério é de $2,00 por tonelada e que o custo do estéril é de $1,00 por
tonelada para lavrar e transpostar, então a tabela 6 mostra o valor de cada cava.
Tabela 6 - Valores das cavas para o minério a $2,00/T e estéril a $1,00/T
Cava 1 2 3 4 5 6 7 8
Valor 900 1.600 2.100 2.400 2.500 2.400 2.100 1.600
Evidentemente, a cava 5 tem o valor mais alto, mas note também que os valores das cavas 4 e 6 diferem
somente de uma pequena quantidade da cava 5. É muito importante compreender isto, e é mostrado
graficamente na figura 23.
Figura 23 - Valor da cava em relação ao tamanho da cava.
Note que o gráfico vai até um máximo na curva. Embora este seja um exemplo artificial, o máximo de uma
curva é normal para um depósito de minério real. Na minha experiência, uma gama de dez por cento na
massa da cava normalmente envolve uma gama de menos de dois por cento no valor da cava. Isto tem um
efeito profundo no processo de desenho das cavas.
Como você pode ver na figura 24, pequeno desvio de um projeto que não é ótimo (A) pode ter efeito
significativo no valor da cava. Desse modo, gerações de engenheiro de minas têm experimentado, com
WHITTLE - Planejamento Estratégico de Mina
~ 51 ~
pequenas modificações, tentar melhorar seus projetos. Isto é absolutamente desnecessário se você
começar de uma cava ótima (B) onde pequenos desvios têm somente um efeito de segunda ordem no valor
da cava.
Figura 24 - O pequeno efeito da mudança do projeto próximo do máximo
Não importa qual o valor que você aponta para maximizar, se você trabalha próximo do máximo, o valor que
você alcança torna-se insensível a cava final.
Este fato é um do mais importante na área de projeto de cava.
5.3 Quais métodos de otimização de cava final estão disponíveis?
Todos os métodos disponíveis atualmente tentam encontrar a cava ótima nas condições de um modelo de
bloco que consiste em uma matriz regular de blocos em três dimensões. Os diferentes métodos tentam
encontrar a lista de blocos que tem o valor total máximo possível, embora ainda obedeçam as restrições dos
ângulos de talude.
A grandeza deste problema raramente é apreciada.
5.3.1 Enumeração
Considere um modelo trivial com apenas uma seção e dez bancos de dez blocos, como é mostrado na
figura 25.
Figura 25 - Um modelo trivial
WHITTLE - Planejamento Estratégico de Mina
~ 52 ~
Neste exemplo, considerando um método de lavra muito simples, há 100 blocos e cada um pode ser lavrado
ou não. Isto dá 2100 ou 1030 alternativas! Mesmo se um computador pudesse investigar uma alternativa a
cada microssegundo, ainda tomaria três milhões de vezes a idade do universo para verificar todos eles! Se
nós iniciamos em qualquer posição em direção a uma final e então subir uma, descer uma, ou permanecer
no mesmo nível, então existem cerca de
10x39, ou 200.000, alternativas. Na realidade, isto é 156.629 como
indica a tabela 7. Isto é porque o número de alternativas no topo e base não é 3.
Tabela 7 - Número de diferentes maneiras de chegar a uma profundidade suficiente em cada coluna.
Depth 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
0 1 2 5 13 35 96 267 750 2123 6046
1 1 3 8 22 61 171 483 1373 3923 11257
2 1 3 9 26 75 216 623 1800 5211 15114
3 1 3 9 27 80 236 694 2038 5980 17540
4 1 3 9 27 81 242 721 2142 6349 18782
5 1 3 9 27 81 243 727 2169 6453 19151
6 1 3 9 27 81 242 721 2142 6349 18782
7 1 3 9 27 80 23 694 2038 5980 17540
8 1 3 9 26 75 216 623 1800 5211 15114
9 1 3 8 22 61 171 483 1373 3923 11257
10 1 2 5 13 35 96 267 750 2123 6046
156.629 podem ser manipuladas por um computador - mas, se nós estendemos o modelo para 10 seções,
como mostra na figura 26, então temos cerca de 10x299 ou 1030 alternativas e três milhões de vezes a idade
do universo novamente, e isso ainda é um modelo muito pequeno com apenas mil blocos.
Figura 26 - Um modelo muito pequeno
Conclusão: Enumeração é desnecessário.
5.3.2 Cone flutuante
Este é um aprimoramento de pura enumeração - um “heurístico” melhor descrito como um guia de tentativa
e erro.
Cone flutuante trabalha buscando repetidamente por blocos de minério e então verifica se os blocos na
inclinação inversa do cone o qual fixa sobre o bloco de minério tem um valor total que é positivo. Se for
positivo, o cone é “lavrado” e a busca continua. Quando cones positivos não podem ser mais encontrados,
os blocos “lavrados” constituem uma cava ótima. Infelizmente, programas que utilizam esta abordagem
WHITTLE - Planejamento Estratégico de Mina
~ 53 ~
podem enfrentar problemas.
Ignorando co-operação - muito pouco mineiro
Figura 27 - Depósitos de minério e cones de extração.
Com os valores do minério e estéril mostrado na figura 27, um programa de cone flutuante examinaria o
minério do lado esquerdo e decide que o valor do cone era de 100 - 80 - 30 = -10. A decisão seria a de não
lavrar o minério. Então tomaria uma decisão semelhante para o lado direito do depósito de minério e
concluiria que não havia nada para lavrar. Na realidade, nós podemos ver que, se nós lavramos ambos os
depósitos de minério, a mina tem um valor total de +10. Embora todos os tipos de artifícios que são
recorridos, programas de cone flutuantes realmente não podem ir ao redor deste problema sem usar
enumeração e nós sabemos que é inútil.
Agora, os depósitos de minério totalmente separados não são comuns. No entanto, co-operação deste tipo
entre diferentes protuberâncias de um depósito de minério freqüentemente fará uma diferença significativa
para a cava e o valor de uma cava.
Lavrando muito - alcançando o estéril
Figura 28 - Depósitos de minério e cones de extração.
Com os depósitos de minério mostrado na figura 28, a programa de cone flutuante examinará primeiro o
depósito de minério +40 e decide que não vale apena lavrar. Então ele examinará o depósito de minério
+200 e decidirá que é um valor muito bom para lavrar (200-80-30=+90). Ele removerá do modelo,
juntamente com o estéril que devem ser removidos para expô-lo.
A situação é então como mostra a figura 29.
WHITTLE - Planejamento Estratégico de Mina
~ 54 ~
Figura 29 - Situação após o primeiro depósito de minério ser removido.
Se o programa vai voltar ao topo do modelo e iniciar a busca do minério mais uma vez, então, o resultado
final será que, os depósitos de minério + 40 e + 200 serão lavrados e o depósito de minério + 60 não será
lavrado. Isto seria correto.
Porém, em termos computacionais, pode ser muito caro voltar para o topo do modelo cada vez que
qualquer minério é removido e alguns programas de cone flutuantes continuam para baixo na procura para
ganhar tempo.
Neste caso, o próximo depósito de minério examinado é o +60. O conteúdo atual dos cones são 60 - 70 +
40 -20 = + 10, por isso, o programa lavra este cone, que está errado. O depósito de minério + 60 nunca
deveria ser lavrado porque o -70 de estéril tem que ser removido para expô-lo.
A vantagem principal do método do cone flutuante é que é fácil de entender. Porém, pode negligenciar co-
operação e pode usar o valor de minério para pagar pela lavra de estéril abaixo daquele minério.
5.3.3 Modelo bidimensional de Lerchs-Grossmann
Lerchs e Grossmann publicou 2 (dois) algoritmos para otimização de cava. Um era um método muito
simples para a otimização de uma seção simples.
Ele tem duas grandes limitações, e eles são fatais.
A primeira é que ele só pode manipular ângulo de talude que podem ser produzidos repetidamente
movendo um bloco para cima e transversalmente. Assim, para mudar o ângulo de talude, você tem que
mudar as dimensões do bloco. Na publicação original, os ângulos de talude tiveram de ser o mesmo em
ambos as direções. Embora, desde que uma variante fosse publicada no qual permite um acima e dois
transversalmente sobre um lado, o modelamento do ângulo de talude é ainda muito pobre, mesmo se você
tenha um completo controle das proporções do bloco.
A segunda restrição é que os trabalhos de otimização sobre cada seção independente e seções adjacentes
normalmente não adere. Isto conduz a um ajuste manual considerável quando fazemos um projeto
detalhado. Em qualquer sentido não se chega a uma cava ótima completa.
WHITTLE - Planejamento Estratégico de Mina
~ 55 ~
5.3.4 Método de Lerchs-Grossmann 2½D
Muitas pessoas têm estendido o método bidimensional executando no sentido Norte-Sul e Leste-Oeste e
tentando unir as seções acima desta maneira. Isto só foi bem sucedido parcialmente. Mesmo assim ainda
não chega a uma solução ótima, e o modelo do ângulo de talude sofre as mesmas restrições como faz o
original do método bidimensional.
Além disso, ângulos de talude são sempre muito íngremes na direção NW-SE e NE-SW. Como pode ser
visto abaixo, um bloco acima e um transversal na direção Norte, Sul, Leste e Oeste de um único bloco
valioso produz preferencialmente uma cava num formato de diamante do que uma cava circular. Se os
ângulos de talude E-W e N-S são de 45 graus, então o ângulo de talude NW-SE e NE-SW são de
aproximadamente 55 graus. Este representado na figura 30.
Figura 30 - Este diagrama mostra o contorno de uma cava gerado pelo passo de um acima e um
transversal, iniciando de um bloco de minério simples e caminhando cinco bancos acima. Os números
mostram os níveis em que cada passo ocorre.
5.3.5 Ernest Koenigsberg - 17ª APCOM
Este método é similar ao método de Lerchs-Grossmann 2½D, mas trabalha sobre ambos os eixos
simultaneamente e encontra as melhores ligações entre as seções.
Ele sofre exatamente as mesmas restrições dos ângulos de talude como o método Lerchs-Grossmann 2½D.
5.3.6 Lerchs-Grossmann em 3D e Network flow
Em 1960, Lerchs e Grossmann publicou um método teórico gráfico, e T.B. Johnson publicou um método
network flow para a otimização em 3D.
Ambos os métodos garante encontrar a cava ótima em 3D. Ambos - naturalmente - dão alguns resultados.
WHITTLE - Planejamento Estratégico de Mina
~ 56 ~
Ambos selecionam um subconjunto de blocos que dá o valor total máximo absoluto enquanto que obedece
as restrições dos ângulos de talude. Ambos são difíceis de programar para um ambiente de produção onde
há um grande número de blocos e ângulos de taludes variáveis.
O método Lerchs-Grossmann é o mais usado, e foi programado comercialmente por cerca de quatro grupos
diferentes. Os programas produzidos diferem na sua capacidade de lidar com variações de ângulos de
talude e diferem
nas máquinas em que eles executarão.
Apesar de ser difícil programar, o método de Lerchs-Grossman é relativamente fácil de explicar e
demonstrar, pelo menos em termos gerais.
O método trabalha somente com dois tipos de informações. Há os valores do bloco e o que Lerchs e
Grossmann chamam de “arcos”.
Um arco é um relacionamento entre dois blocos. Um arco de um bloco A para um bloco B indica que, se A é
para ser lavrado, então B deve ser lavrado para expor A. O reverso não é verdade. Se B é para ser lavrado,
o bloco A pode ou não ser lavrado. Veja a figura 31.
Figura 31 - Um arco
Na maioria dos softwares de otimização, todos os requisitos dos ângulos de talude são interpretados dentro
de um (grande) número de blocos relacionados na forma de arco. Poderia parecer que nós requeremos um
arco de cada bloco para todo bloco que está “acima” em um senso de mineração, mas não há necessidade
para ter tantos, porque arcos podem “encadear”. Ou seja, um arco de A a B e um arco de B a C assegura
que C é lavrado se A é lavrado, apesar de não existir arco de A a C, como é mostrado na figura 32.
Figura 32 - Encadeamento de arcos
WHITTLE - Planejamento Estratégico de Mina
~ 57 ~
Na figura 33, três arcos utilizados repetidamente podem assegurar a lavra de todos os blocos para o ângulo
de talude indicado quando o bloco inferior do lado esquerdo é lavrado.
Figura 33 - Arcos requeridos para um ângulo de talude desejado.
Quando esta idéia é entendida para ambos os lados, e para as três dimensões, nós tipicamente
necessitamos da ordem de 50 arcos para cada bloco, para assegurar uma exatidão no ângulo de talude
sobre um grau. Precisão exata do ângulo de talude nunca pode ser alcançada, porque a otimização não
pode “lavrar” parte de um bloco.
O método de otimização tridimensional de Lerchs-Grossmann alcança seu objetivo por manipular o valor do
bloco e os arcos. Ele não utiliza outra informação. Em outras palavras, exceto para a informação dada pelos
arcos, nada “sabe” sobre as posições dos blocos - nem mesmo sobre lavra.
Então, a fim de demonstrar como o método funciona, é necessário apenas trabalhar com uma lista de
blocos e uma lista de arcos. Se estes estão dispostos em uma, duas ou três dimensões, e quantos arcos
por bloco são utilizados, é insignificante.
A fim de demonstrar o quanto o método tridimensional de Lerchs-Grossmann trabalha, nós escolheremos
trabalhar em duas dimensões, porque isso é muito mais fácil no papel. Também pela simplicidade, vamos
utilizar blocos quadrados e ângulos de talude de 45 graus, embora este não seja um requisito para Lerchs-
Grossmann, como foi demonstrado pelo diagrama anterior. O que nos permite trabalhar com apenas três
arcos por bloco, com mostra a figura 34.
Figura 34 - O efeito do encadeamento com três arcos por bloco.
WHITTLE - Planejamento Estratégico de Mina
~ 58 ~
O método de Lerchs-Grossmann assiná-la cada bloco que nós atualmente programamos lavrar. Durante o
processo de otimização, esses blocos assinalados podem ser ativados ou desativados muitas vezes. O
bloco é assinalado para ser lavrado se ele pertence atualmente a um grupo acoplado de blocos que tenha
um valor total que seja positivo. Estes grupos são os chamados de “ramos”.
O método mapeia repetidamente através dos blocos olhando para o bloco que é assinalado para ser lavrado
e que tem um arco apontando para um bloco que não é assinalado para ser lavrado. Evidentemente, isto
não é uma solução viável. Este modo soluciona estas formas de situações do núcleo do método de Lerchs-
Grossmann.
Os diagramas seguintes o conduzem através dessa pesquisa.
Nós iniciamos com um modelo bidimensional, 17 blocos no comprimento e 5 blocos na altura. Somente três blocos contêm minério em
potencial, e eles têm os valores mostrados. Todos os outros blocos são estéreis e tem o valor de -1,0.
Passo 1: O primeiro arco de um bloco “assinalado” que nós encontramos é de um bloco que não é assinalado.
Passo 2 - Para resolver isto, nós ligamos os dois blocos juntos. O valor total dos dois blocos é 22,9.
Passo 3: Nós lidamos com os outros dois arcos deste bloco da mesma forma.
O valor total dos quatro blocos é 20,9.
WHITTLE - Planejamento Estratégico de Mina
~ 59 ~
Passo 4: Nós continuamos no mesmo caminho ao longo do fundo do banco, e depois, ao longo dos próximos bancos.
(Nota que os blocos de estéril são assinalados se eles pertencem a uma ramificação positiva)
Passo 5: O próximo bloco assinalado tem um arco para um bloco que é também assinalado.
Nós não criamos uma ligação para este arco ou para a vertical do mesmo bloco, porque nada tem para ser solucionado.
Passo 6: O próximo arco de um bloco assinalado para outro bloco assinalado está entre duas ramificações.
O procedimento é inalterado - nós não inserimos uma ligação.
Passo 7: Nós continuamos a adicionar ligações até chegarmos a um bloco exposto.
Quando nós adicionamos esta ligação, o ramo tornar-se-á -0,1.
Por causa disto TODOS os blocos nesta ramificação têm suas ligações desativadas.
Passo 8: o próximo arco de interesse é de um bloco assinalado que é parte de um ramo que não é assinalado. Efetivamente o centro e
o lado direito do ramo pode cooperar no pagamento para a lavra do bloco de estéril comum, que está circulado.
WHITTLE - Planejamento Estratégico de Mina
~ 60 ~
Passo 9: O método de Lerchs-Grossmann inclui um procedimento para combinar os dois ramos ligados dentro de um ramo com
apenas um valor total. (Note que não há nenhuma exigência para ramificar-se sempre acima da raiz).
Passo 10: O próximo arco de interesse é de um bloco sinalizado a um bloco de estéril. Lerchs-Grossmann detecta que este estéril extra
removerá a capacidade do centro do ramo de cooperar com o ramo do lado direito em pagar pela lavra do bloco circulado.
Passo 11: Lerchs-Grossmann inclui um procedimento para interromper o ramo único entre dois ramos para remover uma ligação.
Passo 12: Nós continuamos adicionando ligações e, eventualmente, o valor total do ramo do lado esquerdo torna-se negativo. O
próximo arco depois deste é novamente entre um ramo positivo e um negativo.
Passo 13: Isto é negociado do mesmo modo como antes, e o ramo do lado esquerdo e direito são combinados em um, com um valor
total.
WHITTLE - Planejamento Estratégico de Mina
~ 61 ~
Passo 14: Nós continuamos a adicionar arcos até que nós alcançamos a situação mostrada acima. O programa faria então outra
varredura para arcos dos blocos que são sinalizados a blocos que não estão sinalizados. Nós podemos ver que não encontrará
nenhum, e a otimização está completa
Lerchs e Grossmann provaram que, quando nenhum arco adicional pode ser encontrado que são de um
bloco sinalizado a um bloco que não é sinalizado, então os blocos sinalizados constituem a cava ótima. Em
uma otimização real, nós começaríamos a rastrear novamente, mas a inspeção visual nos mostra que isto é
desnecessário porque está claro que não pode haver nenhum bloco sinalizado com arcos para blocos que
não são sinalizados.
Neste caso nós temos uma cava na forma de W que contém dois blocos de minério com um valor total de
47,8 e 47 blocos de estéril com um custo total de 47. A cava dessa forma está valendo 0,8 e nós podemos
ver que esta realmente é a cava com o máximo valor possível. Note que há 7 blocos extras que teriam que
ser removido para liberar o bloco de minério do centro que tem um valor de apenas 6,9, mas não vale a
pena lavrar.
Em otimizações reais tridimensionais, haverá normalmente
muitos rastreamentos dos blocos verificando por
arcos que têm que ser solucionados. Estes continuam até que ocorre um rastreamento em que nenhum seja
solucionado, e nós sabemos que a otimização está completa.
Desde 1965, quando foram publicados os trabalhos de Lerchs e Grossmann, outros algoritmos foram
publicados no qual alcançam o mesmo resultado. Em geral, eles exigem um número menor de passos para
obter a cava ótima, mas os passos são mais complicados.
Usando o método de Lerchs-Grossmann em PCs e softwares modernos, o tempo necessário para fazer
uma otimização freqüentemente será menor que um minuto, e nunca deverá ser maior que uma ou duas
horas.
WHITTLE - Planejamento Estratégico de Mina
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WHITTLE - Planejamento Estratégico de Mina
~ 63 ~
6 MODELO ECONÔMICO PARA OTIMIZAÇÃO DE CAVA
6.1 Objetivo do Dinheiro
Se seu objetivo é maximizar o fluxo de caixa não descontado sobre a vida da mina, então a aplicação de
Lerchs-Grossmann na otimização de cava é perfeita - alcança a maximização do fluxo de caixa não
descontado. Maximização se o fluxo de caixa não descontado é relativamente simples, desde que o
exercício é completamente independente do seqüenciamento da mina e da vida da mina.
6.2 Cash Pit
Esta é a cava ótima que renderá o valor mais alto do dinheiro não descontado. O resultado é independente
da programação da mina.
6.3 NPV Pit
A cava ótima que, combinada com um seqüenciamento específico, renderá o NPV máximo.
6.4 Otimizando uma cava para maximização do NPV
Se seu objetivo é maximizar o fluxo de caixa descontado, o que você pode dizer é que você tem um objetivo
do NPV. Otimizando um projeto de cava para um objetivo do NPV é muito mais complicado que a
otimização de um Objetivo do Dinheiro.
O método de Lerchs-Grossmann determina a cava ótima que maximiza o valor não descontado. Na
otimização do NPV, não deve determinar somente a cava ótima, mas também o seqüenciamento da mina.
Isto dá origem ao que é conhecido como Problema Circular:
1. Para otimizar a cava ótima para um objetivo do NPV, você necessita saber o NPV dos blocos
individuais.
2. Para saber os NPV’s dos blocos individuais, você necessita saber que uns são incluídos na cava
ótima e quando eles serão lavrados e processados (ou seja, você necessita de uma seqüência de
lavra). Você não pode produzir um seqüenciamento de lavra a não ser que tenha primeiro a cava
ótima. Veja o passo 1.
6.5 Técnicas de cava descontada
Esta é uma classe de técnicas de otimização que procura superar o Problema Circular. Ele inclui as técnicas
DPS, DBD e NPVS. Cada busca modifica a Técnica de Otimização de Cava Convencional para procurar um
objetivo do NPV. Eles fazem isto (essencialmente) provendo aproximações/estimativas dos NPV’s do bloco.
WHITTLE - Planejamento Estratégico de Mina
~ 64 ~
6.5.1 Técnica DBD
A aproximação do Desconto por Profundidade (DBD - Discountin by Depth) é baseado na premissa de que
material a uma profundidade leva muito mais tempo para alcançar, e o desconto é baseado na posição
vertical do material no modelo. As opções são:
1. Desconto aplicado banco a banco para o modelo de bloco, assumindo uma taxa fixada do avanço
vertical. Note que a taxa fixada do avanço vertical é uma aproximação extremamente grosseira da
realidade, como a presunção de que todo bloco num banco será negociado no mesmo período.
2. Desconto aplicado banco a banco, assumindo uma taxa variável do avanço vertical. Isto é uma
melhoria na taxa fixada no método do avanço vertical, mas ainda confia na presunção que todos os
blocos em um banco são negociados no mesmo período.
Certamente é possível desenvolver um método matemático simples para calcular uma taxa de avanço
vertical, mas a evidência é que na indústria, a taxa é determinada experimentalmente, tentando uma gama
de valores diferentes, e observando que alguns produzem os resultados melhores de NPV.
A técnica DBD está disponível no Software Whittle.
6.5.2 Técnica NPVS
Esta é a técnica aplicada no Earthworks NPV Scheduler. As informações seguintes foram interpretadas dos
arquivos de ajuda do NPV Scheduler. Os passos são:
1. Aplica em técnica convencional de otimização de cava. A cava produzida deste modo fornece um
limite externo à solução final;
2. Dentro da cava convencional e baseada em um limite de processo de lavra definido pelo usuário,
calcula valores antecipados de todo bloco;
3. Produz uma seqüência bloco a bloco que “lavra” cada bloco em curso, na ordem descendente de
antecipar valor. A seqüência de bloco a bloco é na realidade uma série de cava aninhada, cada um
incrementalmente maior que só difere na adição de um bloco;
4. Avalia aquela seqüência para calcular o NPV de cada cava aninhada;
5. Encontra a cava que maximiza o NPV.
Esta técnica produzirá um conjunto de cavas aninhadas, igual em número à quantidade de blocos na última
cava.
A aproximação é complicada e há algumas armadilhas aparente:
1. O cálculo do NPV é feito sobre uma taxa média assumida de lavra. Este é raramente o fator de
controle numa abertura de lavra;
2. Não garante de qualquer forma que os valores de NPV usados para avaliar os blocos na geração da
seqüência (e conseqüentemente na geração da forma da última cava) conduzem relação para os
atuais valores de NPV que os blocos têm uma vez que foram aplicadas restrições praticas de
WHITTLE - Planejamento Estratégico de Mina
~ 65 ~
seqüenciamento. Como uma conseqüência, poderia ser que a cava produzida por este método está
OK se seu seqüenciamento final tende para o Melhor Caso real, mas é inapropriado se seu
seqüenciamento tender para o Pior Caso real.
6.5.3 Técnica DPS
A técnica DPS (Discounted Pit Shells - Desconto por Família de Cavas) foi desenvolvido pelo Whittle. O
processo envolve o seguinte:
1. Aplica a Técnica Convencional do Whittle (veja abaixo). Deste modo produz uma seqüência de lavra
realística.
2. Usa a seqüência de lavra para determinar períodos de lavra para cada bloco no modelo.
3. Baseado no período de lavra, esta técnica modifica o modelo de bloco original assim que contém
estimativa do NPV do bloco.
4. Reprisa a Técnica Convencional do Whittle novamente para gerar um novo conjunto de família de
cavas.
Note que o valor do NPV do bloco calculado no passo 3 são usados apenas na fase de otimização de cava.
Procedimentos normais de descontos são aplicados durante a fase de simulação e seqüenciamento da
Técnica Whittle.
A técnica de DPS deveria conduzir à geração do NPV estimado no bloco que são mais distante que esses
gerados pela técnica do DBD ou a técnica do NPVS, como leva em conta que o estilo atual de
seqüenciamento que é aplicável para a lavra (como aplicado pelo operador de software) ao invés de um
hipotético.
A técnica DPS está disponível no software Whittle.
6.6 Técnica Convencional do Whittle para encontrar o Objetivo do NPV
Uma técnica foi desenvolvida no software Whittle durante muitos anos no qual foi mostrado para entregar
bons resultados. Aplica Lerchs-Grossmann na otimização de cava numa estrutura modificada:
1. Otimização de Cava Convencional é combinada com as técnicas de parametrização de cava (RF:
Revenue Factors - Fator de Receita) para produzir uma gama de cavas com diferentes taxas de
custo/receita. As cavas aninham, e são úteis para serem usadas como base nos projetos de “push
back”, e para análise de sensibilidade. Embora o processo de parametrização de cava modifique os
valores do bloco, o cálculo está baseado em valores de caixa descontado.
2. São executadas
simulação e Análise de FCD numa grande gama de ponto de referência e
seqüenciamento definido pelo usuário. Há freqüentemente centenas de seqüenciamentos diferentes
executados em uma única execução, cada um com uma cava final diferente, e um método de
seqüenciamento diferente. Com isto é fácil determinar qual cava final do banco de dados fornece o
NPV mais alto para algum método de seqüenciamento determinado.
WHITTLE - Planejamento Estratégico de Mina
~ 66 ~
Esta técnica trata-se efetivamente do problema de um NPV de uma cava que tem um tamanho diferente de
um Cash Pit. Ele faz assim, fornecendo avaliações de NPV de uma gama de Cash Pits, cada um ótimo para
uma taxa diferente de custo-preço e cada um com uma tonelagem diferente. O usuário é capaz de escolher
a cava que rende o maior NPV, para o método de seqüenciamento escolhido.
A técnica não se trata do problema de alguma diferença na forma entre a Cava de um NPV e o Cash Pit.
WHITTLE - Planejamento Estratégico de Mina
~ 67 ~
7 GERAÇÃO DE FAMÍLIA DE CAVAS ANINHADAS
7.1 Parametrização de Cava pelo Fator de Receita (Revenue Factor - RF)
Uma série de modelos de valores podem ser preparados por uma gama de preços de produtos. As cavas
obtidas colocando estes em um otimizador de cava formariam um conjunto de cavas aninhadas.
No software Whittle nós otimizamos primeiro para um preço infinito. Normalmente isto pode ser feito num
passo da estrutura de arcos com um código especial do programa, e conseqüentemente nós podemos
excluir todos os blocos fora desta cava por consideração adicional. Em seguida nós otimizamos para o
preço mais baixo especificado no qual nos dá uma cava menor e nos permite excluir todos os blocos no
interior da cava por consideração adicional.
Depois destas duas otimizações iniciais, nós otimizamos repetidamente para o preço que está na média da
lista de preços para uma quantidade maior de blocos não divididos. Nós fazemos isto até que todos os
preços tenham sido tratados. Para cada otimização nós consideramos apenas aqueles blocos no qual
encontram-se entre as cavas próximos dos preços acima e abaixo do preço pretendido para o qual as cavas
existem. Nós ajustamos os valores destes blocos para permitir o novo preço e então fazer o rastreamento
através dos arcos que aplicam a estes blocos até não existir mudança adicional.
A Figura 35 ilustra esta seqüência.
Figura 35 - Seqüência da otimização de família de cavas.
Com esta aproximação, cada otimização está sucessivamente com menos blocos e envolve menos blocos e
menos ajuste para a ramificação de Lerchs-Grossmann. Note também que, como nenhuma ligação na
ramificação cruza uma família de cava existente, as ligações tendem a tornar-se mais e mais paralelas às
famílias de cavas e deste modo mais fácil de otimizar.
As combinações destes efeitos fazem sucessivas otimizações mais e mais rápidas. Na prática 100 famílias
de cavas podem ser geradas aproximadamente no tempo que tomaria para fazer aproximadamente cinco
otimizações simples.
WHITTLE - Planejamento Estratégico de Mina
~ 68 ~
Note que, desde que nós estamos lidando com blocos de tamanho finito, é completamente possível um ou
mais preços adjacentes produzir exatamente a mesma cava final. Na realidade isto freqüentemente
acontece e o resultado é que menos famílias de cava são geradas do que a lista de preços fornecida
sugeriria.
No Whittle nós temos que lidar com mais de um produto e dessa forma mais de um preço, assim nós
trabalhamos com o que nós chamamos de Revenue Factor (RF - fator de receita). Nós geramos famílias de
cavas para uma gama de Revenue Factors pelos quais todos os preços são multiplicados.
7.2 Fases da Mina
A técnica de fases da mina aplica limite vertical para fornecer um conjunto de cavas aninhadas. A técnica
está disponível no nodo do Pit Shells do Whittle e é descrito completamente nos arquivos de ajuda.
7.3 Mine Direction
A técnica de lavra direcional foi desenvolvida pelo Whittle e gera um conjunto de cavas aninhadas enquanto
impõe uma direção horizontal de lavra. Em muitas circunstâncias as cavas aninhadas produzidas por esta
técnica são mais práticas que as produzidas por outras técnicas.
Esta técnica está baseada no uso de expressões definidas pelo usuário, para guiar a Parametrização da
Cava de um modo diferente. Ao invés de cavas geradas na base de uma mudança da relação preço/custo
(uma aproximação normal do Revenue Factor), esta técnica inclui de modo crescente mais minério no bloco
na otimização de cada incremento de um fator que relaciona à distancia do bloco a uma posição de origem.
A figura 36 mostra o efeito da aplicação desta técnica.
Figura 36 - Efeito da aplicação da técnica Mining Direction. O Mining Direction foi fixado para proceder na
direção radial Sul - Leste.
WHITTLE - Planejamento Estratégico de Mina
~ 69 ~
Os passos incluem o seguinte:
1. Escolha a cava final
que você quer usar.
Usando a técnica convencional, escolha uma cava que você quer usar como sua cava final.
Ajuste os dados econômicos no seu nodo Pit Shells de modo que a cava final desejada
corresponda ao Revenue Factor de 1,00.
Copie e cole este nodo de Pit Shells sobre o nodo de Pit Shells de origem. Este novo nodo
será um daqueles que você cria a técnica do Mining Direction. Tenha certeza que você está
no Modo Cash Flow. A técnica não trabalha se você está no Modo Cut-off.
2. Definir a Expressão
a ser utilizada
Na Aba Expressions, crie uma expressão chamada “DST”:
D(X,0,0,0,0,0)/MX
Esta expressão conduzirá o desenvolvimento direto para o lado Ocidental do modelo.
Existem muitas expressões diferentes que você pode usar para conduzir a direção de lavra.
Por exemplo, “D(X,Y,0,(0.5*MX),MY,0)/D((0.5*MX),MY,0,0,0,0)” conduz o desenvolvimento
radial para fora do centro do lado Norte do modelo.
3. Acrescentar
expressões de preços
e custos de venda
Na Aba Selling, entre em in-line function expressions para cada um dos preços como segue:
[price]*IF(REVFAC>=DST,1,0)/REVFAC
Aqui [price] é o valor numérico($) dado para cada mineral.
4. Definição dos
Revenue Factors
Você deveria usar:
Start Factor: 0,01
End Factor: 1,00
Step Size: 0,01
5. Compare os
resultados
Você deveria comparar os resultados destas técnicas com as técnicas de famílias de cava
padrão:
a) É o conjunto novo de família de cavas mais prático para lavrar?
b) Quanto muda isto no NPV?
c) Direções diferentes de lavra rendem diferentes resultados de viabilidade/NPV?
Por que isto é melhor que projetar manualmente pushbacks com mining direction?
A primeira vantagem desta técnica é que ainda é influenciado fortemente pelas economias e distribuição de
minério do modelo. Isso significa que enquanto você está introduzindo uma tendência para desenvolvimento
prático, os resultados também são influenciados em direção as formas que rendem NPV alto.
A segunda vantagem - você pode gerar e analisar uma gama de diferentes direções de lavra muito
rapidamente, e tamanho real deles contra o alto NPV de cavas do tipo “onio skin”.
Informação adicional sobre esta técnica está incluído na seção “Operacionalização da cava final a partir da
cava matemática”.
WHITTLE - Planejamento Estratégico de Mina
~ 70 ~
WHITTLE - Planejamento Estratégico de Mina
~ 71 ~
8 CALCULANDO VALORES DO BLOCO
Esta seção trata exclusivamente do cálculo do valor do bloco não descontado.
Antes de nós fazermos uma otimização da cava matemática, nós devemos calcular primeiro os valores dos
blocos, e existem três regras básicas
para seguir:
Primeira regra
O valor do bloco deve ser calculado supondo que o bloco já foi exposto. Em outras palavras, nenhuma
compensação deveria ser feita para o custo do desmonte exigido para alcançar acesso ao bloco, porque
isso é precisamente o que o otimizador calcula. Em particular, qualquer cut-off usado para definir minério
deveria refletir o custo de processo e qualquer custo extra de lavra do bloco como minério ao invés de
estéril, mas não o custo de desmonte. Se uma compensação para o desmonte é incluído no custo, o
desmonte será pago duas vezes!
Segunda regra
O valor do bloco deve ser calculado supondo que o bloco será lavrado. Deste modo, se o bloco contém
algum minério que poderia ser processado lucrativamente como algum estéril, o valor do minério deveria ser
somado, até mesmo se o valor total resultante do bloco ainda é negativo. O otimizador não escolherá lavrar
tal bloco, mas se tiver que lavrar isto para chegar a algo mais valioso, o minério ajudará pagar pelo
desmonte, como é feito na prática.
Terceira Regra
Qualquer despesa que deixaria de existir caso a mina seja paralisada deveria ser incluído no custo de lavra,
processando ou vendendo. Reciprocamente, qualquer despesa que não deixaria de existir se a mina
paralisasse deve ser excluída. Isto é discutido abaixo com mais detalhe.
8.1 A Fórmula para o Valor de um Bloco
Há vários modos de escrever uma expressão para o valor de um bloco.
O que nós usamos é como segue:
VALUE = (METAL*RECOVERY*PRICE - ORE*COSTP) - ROCK*COSTM
Onde a parte em parênteses é repedida para cada parcela de minério capaz de ser lavrada separadamente
no bloco, e onde:
WHITTLE - Planejamento Estratégico de Mina
~ 72 ~
METAL = Unidades de produto na parcela de minério, ou seja, toneladas de minério multiplicado pelo teor.
RECOVERY = A proporção do produto recuperado no processamento do minério.
PRICE = O preço obtido por unidade do produto vendido.
ORE = Toneladas do minério na parcela do minério.
COSTP = O custo EXTRA por tonelada de material lavrado como minério e processado, ao invés de tratar
como estéril.
ROCK = A quantia total de rocha (minério e estéril) no bloco.
COSTM = O custo de lavrar uma tonelada de estéril (MCAF).
Uma “parcela de minério” é uma região dentro do bloco de um tipo de rocha definido, contendo tonelagem e
metal contido, que poderia ser lavrado seletivamente. Sua posição dentro do bloco não está definida. Alguns
generalizaram pacotes de lavra tratando um bloco como uma entidade homogênea. Neste caso, há somente
uma parcela por bloco.
Note que para blocos de ar também devem ser dados um valor de forma que o programa de otimização
possa diferenciá-los dos de estéril. Blocos de ar têm um valor de zero. Blocos que são parcialmente ar têm
seus valores de bloco reduzido sobre uma base proporcional (pró-rata).
8.2 Calculando Custos
Ao preparar para uma otimização de cava, você tem que calcular o custo previsto de lavra, de
processamento, de reabilitação e de venda. Porém, a otimização de cava tem muitas exigências específicas
com respeito ao cálculo destes custos e é importante que estes sejam entendidos completamente.
Todos os custos devem ser expressos como custo por tonelada de lavra, de processamento, de reabilitação
ou como custo de venda por unidade do produto produzido.
Para reduzir custo no tempo por tonelada ou por unidade base, você tem que fazer suposições sobre a taxa
de produção. Se o tamanho da cava produzida pela otimização faz estas suposições inapropriadas, então
os custos deveriam ser recalculados e a otimização feita novamente. Muitas pessoas montaram todos seus
cálculos de custo em uma planilha eletrônica de computador. Isto faz o re-cálculo de modo muito mais fácil
e uma amostra é depois determinada.
8.2.1 Que custos incluir
Custos incremental tais como salários e custo de combustível devem obviamente ser incluídos no cálculo do
custo da atividade com que eles são associados.
Despesas que são relacionadas no tempo ao invés de tonelagem ou produção requerem pensamento
cuidadoso, mas, como mencionado antes, há uma regra clara que lhe permite você decidir o que deveria ser
incluído:
WHITTLE - Planejamento Estratégico de Mina
~ 73 ~
“Qualquer despesa que deixaria de existir caso a mina seja paralisada deveria ser incluído no custo de
lavra, processo ou venda. Reciprocamente, qualquer custo que não deixaria de existir se a mina paralisasse
deve ser excluída”.
O raciocínio por trás disto é que, quando o otimizador acrescentar um bloco para a cava final, pode estender
a vida da mina efetivamente. Se fizer, os custos extras que ocorreriam devem ser pagos como resultado
desta vida estendida. Caso contrário o otimizador pode acrescentar blocos para a cava que reduz seu valor
real ao invés de aumentar.
Desde então, o otimizador só pode tomar nota de custos expressados através dos valores do bloco. É
necessário compartilhar estes custos relacionados no tempo entre os blocos de algum modo. Como eles
deveriam ser compartilhados depende se a produção está limitada pela lavra, pelo processo ou pelo
mercado. Usualmente o custo é limitado pelo processo, e, neste caso, somente a lavra de um bloco de
minério estende a vida da mina. O valor do bloco de minério deveria incluir então uma concessão para o
custo no tempo. Isso é feito adicionando uma quantia apropriada para o custo de processo por tonelada. Se
a produção é limitada pela lavra, como em algumas operações de “heap leach”, cada bloco que é lavrado
estende a vida da mina, de modo que custo no tempo deveria se acrescentado ao custo de mina. Um limite
de mercado significa que o custo no tempo deveria ser adicionado ao custo de venda. Em cada caso, a
quantia adicionada é o total de todos os custos no tempo por ano dividido pelo limite de processo por ano.
8.2.2 Exemplos
Alguns exemplos da manipulação de vários custos que podem ser úteis.
Processo de moagem
Considere um processo de moagem que custa $6m para construir e comissionar.
Se a lavra fosse paralisada, por qualquer razão, em 2 dias de operação, o moinho teria uma certa
recuperação de valor, ou seja, $4m. Neste caso $2m já foi. É um custo “direto” ou “irrecuperável” que deve
ser subtraído de qualquer valor otimizado da própria cava. Não é um custo para o propósito de uma cava
ótima.
Nós podemos lidar com o restante dos $4m em um dos dois modos.
Se nós assumimos que haverá um programa progressivo de manutenção e substituição de capital que
conservará o valor de recuperação do moinho perto de $4m no valor do dinheiro de hoje. Então os $4m são
teoricamente recuperáveis quando a mina é fechada, e assim não é um custo. Porém a manutenção e
custos periódicos de substituição de capital são custos para estes propósitos, porque eles parariam se a
lavra paralisasse. Deveriam ser calculados a média e tratados como um custo no tempo.
Alternativamente, nós podemos assumir que somente manutenção essencial será feita, e que o valor de
WHITTLE - Planejamento Estratégico de Mina
~ 74 ~
recuperação da moagem tornar-se-á progressivamente menor, como é mostrado na figura 37. Neste caso,
a taxa esperada desta redução deveria ser tratada como um custo no tempo. Note que a taxa de redução
não é necessariamente igual à taxa de depreciação que é usada por contadores. Na maioria dos casos a
taxa de depreciação é fixa por considerações de tributação, e pode reduzir o valor do bloco a zero quando o
valor de recuperação evidentemente não é zero. Note que a vida do moinho (10 anos neste exemplo)
necessariamente não
é igual a vida da mina.
Figura 37 - Cálculo da taxa de redução do valor de re-venda.
Nós discutimos o interesse no valor de recuperação abaixo.
Note que, se a capacidade de lavra da mina é limitada, até mesmo custos associados no tempo com a
moagem devem ser fatorados dentro do custo de mina.
Caminhões
Se a expectativa de vida da mina é mais curta que a vida de operação de um caminhão, então adquirir
caminhão pode ser tratado da mesma maneira como o custo do moinho.
Se a vida da mina é mais longa que a vida de um caminhão, então caminhões terão de ser adquiridos
progressivamente para manter a frota, e tais aquisições serão suspensas se a mina é paralisada.
Conseqüentemente o custo de aquisição de caminhões deveria ser calculado em cima da média da vida útil
da mina e tratado como um custo no tempo.
A menos que a expectativa de vida da mina seja muito longa, algum acordo entre as duas aproximações
anteriores usualmente é requerida.
Contratos de companhias de mineração devem levar em conta estes fatores ao determinar um preço para
um trabalho e às vezes é útil pensar como eles fazem quando você está executando os custos para sua
própria frota. Você deveria incluir tudo o que eles fazem com exceção da concessão para o lucro.
Custos de administração
Custos de administração no local normalmente pararão se a mina é paralisada. Eles devem ser tratados
então como um custo no tempo.
WHITTLE - Planejamento Estratégico de Mina
~ 75 ~
Custos de administração da matriz podem ou não paralisar se uma mina em particular paralisa as atividades
e assim pode ou não ser incluído.
Empréstimos bancários para custos iniciais
Reembolso (principal e interesse) de um empréstimo bancário tirado para cobrir custos iniciais de fundação
terá que continuar se a lavra continua ou não. Não deveria então ser incluído nos custos usados quando
calcula os valores do bloco.
Claro que, estes reembolsos terão que vir do fluxo de caixa da mina. Se a mina não vai produzir um fluxo de
caixa bastante para cobri-los, então o projeto não deveria proceder. Você não deveria introduzir estes
reembolsos como custos em uma tentativa de "melhorar" a otimização. O resultado será totalmente o
oposto. Você adquirirá uma cava menor com um fluxo de caixa total menor e nós nos ampliaremos sobre
isto mais tarde.
Embora os reembolsos de empréstimo bancário deles não são incluídos, alguns dos itens que o empréstimo
foi usado para pagar podem ser incluídos, como você verá abaixo.
Empréstimos bancários para despesas recuperáveis
Se você pede dinheiro emprestado ao banco para um capital de giro cotidiano ou então para verbas, tal
como os $4m do valor de recuperação discutido no exemplo do moinho acima, então você pode esperar
reembolsar o empréstimo razoavelmente se a mina pára. Conseqüentemente os juros pago como um
empréstimo é um custo que interrompe se a lavra paralisa. Deveria ser tratado então como um custo no
tempo. Note que nós trabalhamos ao longo da moeda corrente de hoje, assim a taxa de juros usada deveria
ser a taxa de juro “real”e não deveria incluir um desconto para inflação.
Custo de controle de teor
Freqüentemente é necessário fazer o trabalho de controle de teor tanto no estéril quanto no minério. Neste
caso, os custos de controle do teor aplicam-se aos custos de estéril também. Se somente algum teor do
estéril é controlado, então o modo correto para controlar isto é acumular o custo particular desses blocos de
estéril. Porém, muitos usuários fazem uma estimativa das tonelagens de tal estéril por tonelada de minério e
acumula o custo de lavra do minério.
Suporte - cable bolts
Se o ângulo permitido de bancada da cava é para ser acrescentado com o uso de cable bolts, o custo por
tonelada é relatado para o tamanho da cava, que tem de ser estimado. Então um custo por metro quadrado
da parede do banco pode ser transformado em um custo por tonelada de estéril. Esta é uma estimativa
iterativa, mas felizmente custos por toneladas são geralmente baixos.
Estes exemplos não cobrem todos os custos possíveis, mas deveriam indicar como tratar a maioria dos
custos.
WHITTLE - Planejamento Estratégico de Mina
~ 76 ~
8.2.3 Exemplo de cálculo de custo
A planilha na figura 38 mostra como os custos no tempo seriam controlados nos dois diferentes casos de
uma operação que poderia ser moagem ou lavra limitada.
Cálculo do Custo no Tempo:
Custo no tempo por ano 980000
Expectativa anual de produção do moinho 1000000
Custo no tempo por tonelada processada 0,98
Expectativa anual de capacidade de lavra 4000000
Custo no tempo por tonelada lavrada 0,24
Acréscimo dos custos por tonelada:
Banco Lavra de
Estéril
Lavra de
Minério
Lavra
Extra de
Minério
Minério
Processado
5 1,05 1,87 0,82 8,25
4 1,17 2,15 0,98 8,25
3 1,29 2,47 1,18 8,25
2 1,41 2,84 1,43 8,25
1 1,53 3,26 1,73 8,25
Com limite de produção no processo:
Banco Lavra de
Estéril
Minério
Processado
Lavra
Extra de
Minério
Custos no
Tempo
Custo de
Processo
por Opt.
5 1,05 8,25 0,82 0,98 10,05
4 1,17 8,25 0,98 0,98 10,21
3 1,29 8,25 1,18 0,98 10,41
2 1,41 8,25 1,43 0,98 10,66
1 1,53 8,25 1,73 0,98 10,96
Com limite de produção na lavra:
Banco Lavra de
Estéril
Custos no
Tempo
Custo de
Mina por
Opt.
Minério
Processado
Lavra
Extra de
Minério
Custo de
Processo
por Opt.
5 1,05 0,24 1,29 8,25 0,82 9,07
4 1,17 0,24 1,41 8,25 0,98 9,23
3 1,29 0,24 1,53 8,25 1,18 9,43
2 1,41 0,24 1,65 8,25 1,43 9,68
1 1,53 0,24 1,77 8,25 1,73 9,98
Figura 38 - Planilha de cálculo de custo.
WHITTLE - Planejamento Estratégico de Mina
~ 77 ~
9 OPERACIONALIZAÇÃO DA CAVA FINAL A PARTIR DA CAVA
MATEMÁTICA
9.1 Introdução
Nesta seção nós consideraremos os seguintes problemas:
1. Artefatos do modelo de bloco - Desde que um otimizador usa um modelo de bloco e lavra cada
bloco completamente ou de forma alguma, a cava ótima é apresentada inicialmente como uma linha
denteada definida pelas extremidades do bloco. Porém, é importante lembrar que os blocos são
artefatos. O próprio corpo de minério não consiste naturalmente em blocos retangulares. Então não é
relevante tentar seguir a cava denteada em detalhe ou lavrar blocos individuais como se eles fossem
entidades significantes.
2. Escolhendo cavas nos quais serão Pushbacks.
3. Considerações das larguras da mina (Mining Width) - Dependendo do tipo de equipamento
selecionado para a lavra, uma quantidade maior ou menor da área de trabalho é requerida. O termo
convencional para esta área de trabalho é “mining with”. Lerchs-Grossmann não tem um mecanismo
direto para permitir restrições de largura da mina, nem faz parametrização de cava. Em ambos os
casos, os blocos do modelo de bloco são a representação única das unidades mínimas selecionáveis
da mina. O efeito da largura da mina manifesta principalmente nas seguintes áreas:
a. A base da cava final.
b. A base do pushback.
c. Na separação horizontal entre um pushback e o próximo.
4. Mining Direction - Na adição das técnicas para modificar pushbacks para permitir largura da mina, é
possível empregar uma técnica especial de parametrização de cava que gera pushback que tem uma
tendência alta de ser prática para lavra. Utiliza-se quando o custo de lavra é muito baixo.
5. Trabalhando com ângulos de talude - Em algumas minas, embora trabalhando com pushbacks,
ângulos de taludes superficiais serão usados em fases intermediárias e ângulos de taludes íngremes
serão usados nas paredes da cava final. A razão é
a seguinte:
a. Ângulos de taludes superficiais da cava são mais fáceis de ajustar e mais seguro. Então faz
sentido usar ângulos de talude superficiais da cava como ângulos de talude funcional.
b. Ângulos de talude íngremes da cava são mais difíceis de ajustar (para manter segurança), mas
contribuem para uma taxa de desmonte menor. Então faz sentido usar ângulos de talude mais
íngremes para paredes da cava final.
6. Estradas de Transporte e Bermas de Segurança - Estrada de transporte e Bermas de segurança
têm o efeito de aplainamento do ângulo de talude por toda a parte.
WHITTLE - Planejamento Estratégico de Mina
~ 78 ~
9.2 Livrando-se dos artefatos do modelo de bloco
O método preciso pelo qual você faz isto depende das ferramentas que estão disponíveis para você em seu
Generalized Mining Package (GMP). Você pode fazer isto completamente à mão, ou com graus variados de
ajuda do computador.
Figura 39 - Incluindo uma curva suave em um plano.
Em planta, só é necessário desenhar uma linha suave através do zigzag, como é mostrado na figura 39.
Figura 40 - Unindo os pontos centrais das bases de cada coluna dos blocos na cava.
Em seção, o método simples é unir os pontos centrais da base de cada coluna dos blocos que é para ser
lavrado, como mostra a figura 40.
9.3 Escolhendo cavas nos quais serão Pushbacks
A principal razão econômica para executar um pushback é maximizar o NPV. Em outras partes nestas
notas, dois pontos de referência de seqüenciamento são definidos: Best Case (melhor caso) e Worst Case
(pior caso). O Seqüenciamento do Best Case tem um grande número de pushbacks e tem um NPV alto. O
trade-off18 é viabilidade. Especificamente, muitos pushbacks podem conduzir ao seguinte:
1. Despesa excessiva mantém em funcionamento múltiplos ângulos de talude.
2. Taxa de avanço vertical em cada pushback que são difíceis ou impossíveis de alcançar.
3. Problemas operacionais associados com movimento de equipamentos em torno das múltiplas faces
18 trade-off se refere, geralmente, em perder uma qualidade ou aspecto de algo, mas ganhando em troca outra qualidade ou aspecto. Isso implica que uma
decisão seja feita com completa compreensão tanto do lado bom, quanto do lado ruim de uma escolha em particular (fonte: Wikipédia®).
WHITTLE - Planejamento Estratégico de Mina
~ 79 ~
de funcionamento.
4. Falta de adequação da largura da mina.
5. Custo extra associado com retrabalho das estradas de transportes.
Se você experimenta estes problemas com um projeto que tem um grande número de pushbacks, poderia
ser que o NPV calculado para esse cenário particular é inatingível. Por outro lado, se você fosse eliminar
todos os pushbacks, você provavelmente assegurou a viabilidade, mas pode sacrificar o NPV.
A pergunta surge como chegar a um acordo entre viabilidade e Maximização do NPV. A resposta para a
pergunta depende muito dos detalhes do caso. Um fator significante é o grau de disseminação do depósito
de minério. Depósito de minério disseminado com pequeno desmonte requerido não beneficiará de uma
quantidade maior pushbacks. No caso extremo, a introdução de pushbacks não fará diferença para o NPV.
Depósitos nos quais alvos minerais estão concentrados em áreas menores como jazidas, beneficiará mais
da adição de pushbacks.
O método recomendado para determinar a quantidade de pushbacks é tentar opções diferentes e comparar
a viabilidade e o NPV destas diferentes opções. O modo mais eficiente para tentar diferentes opções é
utilizar o “pushback chooser” do Whittle, que, dado a quantidade requerida de pushbacks, podemos
escolher cavas para usar como pushbacks, que maximiza o NPV.
9.4 Assegurando as restrições requeridas de largura da mina que são conhecidas
Há duas fases para permitir largura mínima de lavra:
1. Seleção das cavas - Na seleção das cavas aninhadas para usar como as bases os pushbacks e
projeto de cava final, considerações deveriam ser dados aos requisitos de Largura da Mina sobre a
separação horizontal entre um pushback e o próximo. É comum estar apto apenas para satisfazer
aproximadamente esta restrição pela seleção das cavas aninhadas. Ajustes finais são feitos durante a
segunda fase (abaixo).
2. O módulo Mining Width do Whittle - Este módulo permite a aplicação das restrições da largura da
mina com base na cava final e nos pushbacks, e também aplica as restrições sobre a separação
horizontal entre um pushback e o próximo.
9.5 Mining Direction
9.5.1 Introdução
Esta técnica é baseada no uso de expressões definidas pelo usuário no Whittle, para guiar a
Parametrização do Fator de Receita da Cava de um modo diferente. Ao invés de gerar cavas baseadas nas
mudanças das taxas de preço/custo (a aproximação normal do Revenue Factor), esta técnica inclui
crescentemente mais bloco de minério na otimização de cada incremento de um fator que relata à distância
do bloco a uma posição de origem.
WHITTLE - Planejamento Estratégico de Mina
~ 80 ~
9.5.2 Exemplo
Um projeto exemplo foi criado para:
a. Ilustrar a técnica;
b. Testar as expressões.
Este é baseado na demonstração do modelo chamado de Marvin, mas inclui somente os 9 bancos do topo,
conduzindo para um amplo depósito plano. As variáveis econômicas e recuperações foram modificadas
para alcançar uma cava ampla a um Revenue Factor de 1, para fazer uma ilustração desta técnica.
Figura 41 - Visão geral de um projeto exemplo, mostrando os nodos de validação das expressões e alguns
exemplos de nodos de Pit Shells.
Figura 42 - Otimização padrão de cava mostrando cavas do tipo “Onion Skin” - Casca de Cebola (número
reduzido de pushbacks).
WHITTLE - Planejamento Estratégico de Mina
~ 81 ~
Figura 43 - Mesma cava final, mas com o Mining Direction aplicado (From South East Radial)
Figura 44 - Outra aplicação do Mining Direction (From West Straight)
9.5.3 Efeitos Econômicos e Práticos da Técnica
Examinando as figuras 42 a 44, você verá que há uma diferença real na maneira na qual as cavas são
geradas, entretanto a cava final é exatamente a mesma em cada caso. As cavas originais (onion skins)
deveriam render sempre o NPV mais alto, mas com viabilidade pobre. Introduzindo uma direção de lavra
aumenta a viabilidade, mas sacrifica o NPV.
Muitas pessoas queixam-se das cavas do tipo “onion skin” como sendo “não-lavrável”. “Não-lavrável”
significa que o NPV informado é inalcançável.
A tabela 8 inclui uma comparação dos NPVs para uma gama de diferentes direções de lavra, comparando
com a cava padrão.
WHITTLE - Planejamento Estratégico de Mina
~ 82 ~
Tabela 8 - Comparação de diferentes direções de lavra com os Pit Shells padrão.
Direção Número da cava NPV Mudança
Padrão (onion skins)19 39 1.091m -
From South East Radial (SER) 36 966m -11%
From North East Radial (NER) 42 955m -12%
From West Straight (WS) 42 996m -9%
9.5.4 Como Aplicar a Técnica
A técnica normal de parametrização de cava produz progressivamente grandes cavas para cada acréscimo
no Revenue Factor. Isto é efetuado através do uso do multiplicar do Revenue Factor pelo preço líquido para
cada cava sucessiva.
9.5.5 Expressão DST
Na aba Expressions, você pode definir uma expressão chamada DST. A fórmula da expressão depende da
direção de lavra que você deseja tomar. Os doze exemplos usados no projeto exemplo são mostrados na
tabela 9.
Tabela 9 - Exemplo de expressões do Mining Direction
Nome Descrição Expressão
From South East Radiating from the South East Corner to the North West Corner
D(X,Y,0,MX,0,0)/D(MX,0,0,0,MY,0)
From North East Radiating from the North East Corner to the South West Corner D(X,Y,0,MX,MY,0)/D(MX,MY,0,0,0,0)
From South West Radiating from the South West Corner to the North East Corner D(X,Y,0,0,0,0)/D(0,0,0,MX,MY,0)
From North West Radiating from the North West Corner to the South East Corner D(X,Y,0,0,MY,0)/D(0,MY,0,MX,0,0)
From North Radial Radiating from the centre of the North side D(X,Y,0,(0.5*MX),MY,0)/D((0.5*MX),MY,0,0,0,0)
From North Straight From North to South D(0,Y,0,0,MY,0)/MY
From East Radial Radiating from the centre of the East side D(X,Y,0,MX,(0.5*MY),0)/D(MX,(0.5*MY),0,0,0,0)
From East Straight From East to West D(X,0,0,MX,0,0)/MX
From South Radial Radiating from the centre of the South side D(X,Y,0,(0.5*MX),0,0)/D((0.5*MX),0,0,0,MY,0)
From South Straight From South to North D(0,Y,0,0,0,0)/MY
From West Radial Radiating from the centre of the West side D(X,Y,0,0,(0.5*MY),0)/D(0,(0.5*MY),0,MX,0,0)
From West Straight From West to East D(X,0,0,0,0,0)/MX
9.5.6 Expressões de preço
Para aplicar a técnica do Mining Direction, nós temos que explorar o Revenue Factor, mas ao mesmo
19 Note que o número de Pit Shells é um artefato do processo. Mais Pit Shells geralmente conduzirão a um alto NPV no Melhor Caso. A fim de tentar
negar esse efeito, o Revenue Factor para os Pit Shells padrão foi mudada para produzir o mesmo número de cavas como os casos de direção de lavra.
WHITTLE - Planejamento Estratégico de Mina
~ 83 ~
tempo, interrompemos a mudança do preço efetivo. Nós fazemos isto para dividir o preço pela variável
REVFAC. Em outras palavras:
REVFAC*PRICE/REVFAC=PRICE
Nós usamos então o REVFAC para comparar a um valor de DST que calcula a distância padronizada de um
bloco a uma posição de origem no modelo. Se o REVFAC é maior ou igual ao valor do DST, então nós
multiplicamos o preço por 1 (um). Se o REVFAC é menor que o valor de DST, então nós multiplicamos o
preço por 0 (zero).
A função do preço atual é como segue:
[price]*IF(REVFAC≥DST,1,0)/REVFAC
Note que estas expressões só são aplicadas para os nodos de Pit Shells, nunca para um nodo de Scenario.
9.5.7 Revenue Factors
Os exemplos neste documento são ajustados para trabalhar com um Revenue Factor máximo de 1,0.
Você deveria usar:
Fator Inicial: 0,01
Fator Final: 1,00
Step Size: 0,01
9.5.8 Notas sobre as técnicas
1. Você deveria olhar para o conjunto original de cavas para ver se há alguma direção “natural” aparente
que você pode explorar. Por Exemplo, se pequenas cavas tendem a ser no oeste, então uma direção
de lavra que trabalha a Oeste alcançará prováveis resultados agradáveis.
2. Você deveria tentar diferentes direções de lavra e fazer uma comparação dos NPV’s.
3. Você tem que executar no modo Cash Flow no nodo Pit Shells. A técnica não funcionará se você
estiver com o modo Cut-Off selecionado no nodo Pit Shells.
4. Estas expressões apenas são aplicadas para o propósito da otimização de cava. Você não deve usar
nenhuma destas expressões num nodo Economic Scenario.
5. Estas expressões são generalizadas. Eles deveriam trabalhar com qualquer modelo.
6. A técnica fornece uma cava final com sendo a cava de Revenue Factor 1,00 para a condição
econômica específica. Se você deseja usar uma cava a não ser uma cava de Revenue Factor 1,00,
então você deveria fazer o seguinte:
a. Multiplica a expressão DST pelo Revenue Factor que você deseja usar. Por exemplo, se você
quiser executar “From South East”e um Revenue Factor de 0,95, você especificaria a expressão
de DST como “D(X,Y,0,MX,0,0)/D(MX,0,0,0,MY,0*0.95)”.
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~ 84 ~
b. Mude o End Factor do Revenue Factor para o valor desejado.
9.6 Permitindo ângulo de talude funcional
O processo envolve:
1. Determinando a forma do contorno da cava final com a aplicação da última restrição de ângulo de
talude.
2. Convertendo a forma da cava final em um novo modelo delimitado pela nova forma da cava.
3. Re-otimizando o novo modelo com funcionamento das restrições de ângulo de talude enquanto
aplica uma das técnicas de parametrização de cava.
Figura 45 - Um depósito de minério, com a cava final mostrada. A forma do contorno da cava final é
determinado com a aplicação da restrição do último ângulo de talude.
Figura 46 - A forma da cava final convertida num novo modelo delimitado pela nova forma da cava. Todo o
minério e estéril foi retirado para fora do modelo abaixo da cava.
WHITTLE - Planejamento Estratégico de Mina
~ 85 ~
Figura 47 - Re-otimizando o novo modelo com restrições de ângulos de talude funcional aplicando uma das
técnicas de parametrização de cava. Os ângulos de talude funcionais são mais rasos que os últimos
ângulos de talude.
9.7 Considerando Estradas de Transporte e Bermas de Segurança
Se as estradas de transporte e bermas de segurança estão para serem incorporadas corretamente, é
essencial que os ângulos de taludes usados durante a otimização do contorno da cava sejam colocados
para permiti-los posteriormente. Dado isto, não deveria haver nenhuma dificuldade particular, como é
ilustrado na figura 48.
Figura 48 - Considerando estradas de transporte e bermas de segurança no ângulo médio de talude yº.
Nós queremos trabalhar com o ângulo yº, que é o ângulo médio de talude para uso na otimização da cava.
Introduzindo Variáveis
xº é o ângulo de talude entre rampa.
D é a largura da estrada. Neste exemplo, uma estrada cruza a parede. Se duas ou mais estradas cruzam a
parede, então D é a largura combinada da estrada.
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C é a altura da cava (esta é uma aproximação - o valor atual é dependente em parte do ângulo de talude da
cava que mudará certamente como nós ajustamos para a estrada).
Variáveis derivadas
y° = Arctan(C/(B+D))
B=(C/Tan(x))
Substituindo B
y° = Arctan(C/((C/Tan(x))+D))
WHITTLE - Planejamento Estratégico de Mina
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10 EFEITOS DE UMA LAVRA SUBTERRÂNEA
10.1 Visão Geral
Se for economicamente viável lavrar minério através do método de lavra subterrânea ou céu aberto, então o
software de otimização de cava pode ser usado para determinar qual é a melhor alternativa.
Com a finalidade da otimização da cava, o valor atribuído aos blocos deveria ser o valor para a companhia
lavrar pelo método de lavra a céu aberto. Se um bloco valer $1.000 se lavrado pelo método de lavra a céu
aberto, e $800 se lavrado pelo método de lavra subterrânea, então o valor usado para a finalidade da
otimização da cava deveria ser $200.
Quando implementar isto usando o Whittle, o usuário deve especificar um método de processo subterrâneo,
incluindo todos os custos associados com a lavra e processamento pelo método subterrâneo. O software
calcula o valor do bloco se lavrado pelo método subterrâneo e subtrai este do valor normal da lavra a céu
aberto.
Freqüentemente, o resultado da implementação deste método é uma cava bem menor, com um valor
menor, mas o valor combinado da cava a céu aberto e da mina subterrânea será maximizada.
10.2 Qual minério deveria ser lavrado pela lavra a céu aberto?
Considere uma mina subterrânea existente como mostra a figura 49. O desenvolvimento é representado
por uma linha vertical (shaft) e linhas horizontais (drive). Stoping é representado pelas linhas oblíquas. O
desenvolvimento e o stoping mostrado já foram executados.
Figura 49 - Existência de uma mina subterrânea
O desenvolvimento subterrâneo
adicional é planejado. Isto é mostrado como linhas mais finas a leste do
shaft como mostra a figura 50. Não seria possível lavrar o minério pelo método de lavra a céu aberto e este
desenvolvimento subterrâneo acontecerá se uma lavra a céu aberto ocorrer ou não.
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Figura 50 - Existência da mina com desenvolvimento planejado sendo mostrado.
Um corpo de minério adicional foi identificado a leste como mostra a figura 51.
Seria possível lavrar o depósito de minério A pelo método de lavra subterrânea, mas o depósito de minério
B não. Esta possibilidade de desenvolvimento de lavra subterrânea é mostrada como linhas pontilhadas.
Assumimos que todo o minério acima do Drive-1 é incluído no Stop-1; que todo o minério entre Drive-2 e
Drive-1 é incluído no Stope-2, etc. Para lavrar cada stope, o único desenvolvimento necessário é a
escavação do drive associado. Contanto que a receita gerada da lavra e processo do minério em cada
stope seja maior que o custo do drive associado, então é econômico lavrá-lo.
Figura 51 - Depósitos de minério recentemente descoberto e possível desenvolvimento subterrâneo.
Se somente o método de lavra a céu aberto é considerado, então, neste exemplo, o otimizador pode render
os resultados como mostra a figura 52.
Parte do depósito de minério A poderia ser lavrado ou pelo método de lavra a céu aberto ou pelo método de
lavra subterrânea. Se não é lavrado pelo método de lavra a céu aberto, então será lavrado pelo método de
lavra subterrânea.
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Figura 52 - Esta cava é ótima se somente os métodos de lavra a céu aberto são possíveis.
Considere qualquer um dos blocos dentro da região coberta pela cava e stopes da mina subterrânea. Será
lavrado de uma maneira ou de outra. Então existem dois possíveis resultados econômicos:
Se for lavrado pelo método de lavra a céu aberto:
Valor Líquido = (receita do bloco) - (custo de mina & processo pelo método de lavra a céu aberto)
Digamos que neste caso o valor líquido do bloco é $1.000.
Se não for lavrado pelo método de lavra a céu aberto:
Valor líquido = (receita do bloco) - (custo de mina & processo pelo método de lavra subterrânea)
Digamos que neste caso o valor líquido do bloco é $800.
Se o bloco é incluído na cava a céu aberto, valerá $1000, e se não é incluído na cava a céu aberto valerá
$800. Então, o valor para a companhia incluir na cava é de $200.
Otimizador de cava tal como o Whittle pode calcular o valor para a companhia, deduzindo o valor da mina
subterrânea do valor da cava a céu aberto. Usando este sistema de avaliação do bloco neste exemplo, uma
otimização de cava é executada e produz uma cava como mostra a figura 53.
Figura 53 - A cava é menor se o valor do bloco da lavra subterrânea é deduzido do valor da cava a céu
aberto.
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Note que a cava na figura 53 toma parte do Stope-1. O Stope-1 só é economicamente viável pelo método
de lavra subterrânea se todo o Stope-1 for lavrado. Se a cava toma parte do Stope-1, não será econômico
lavrar o restante pelo método de lavra subterrânea.
Uma nova otimização deveria ser executada, no qual exclui o minério disponível para o Stope-1
considerando a lavra subterrânea. Os resultados são mostrados na figura 54.
Figura 54 - Já não é mais disponível fazer a lavra pelo método de lavra subterrânea no stope-1, assim a
cava final é maior.
A cava agora absorve mais do Stope-1 como esperado. Stope-2 e Stope-3 permanecem inalterados e
deveriam ser lavrados pelo método de lavra subterrânea.
10.3 Quando a Cava Contribui ao Desenvolvimento da Lavra Subterrânea
Em alguns casos, a mina de lavra a céu aberto precede a lavra de mina subterrânea e é possível iniciar o
desenvolvimento da lavra subterrânea na base da cava. Neste caso, uma cava profunda pode conduzir a
uma redução na despesa associada com desenvolvimento da lavra subterrânea e é possível construir este
benefício no modelo de bloco. O método esquematizado abaixo deveria ser aplicado junto com o método
mostrado acima na seção - “Qual minério deveria ser lavrado pelo método de lavra a céu aberto?”
Passo 1 - Identificar os custos de desenvolvimento da lavra subterrânea
Você necessita estabelecer o custo por metro de desenvolvimento vertical na ausência de cava. Multiplique
isto pela altura de seus blocos para adquirir um valor benefício por bloco.
Por exemplo, se o custo por metro vertical de desenvolvimento da lavra subterrânea é $2.000 e os blocos
no seu modelo de bloco tem uma altura de 10 metros, então o custo por bloco seria de $20.000.
Passo 2 - Modificar o Modelo de Bloco
Execute uma otimização com um modelo de bloco normal.
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Identifique um conjunto de blocos, um por banco para o qual você atribuirá o benefício por bloco. Você quer
influenciar a profundidade da cava, não a posição horizontal da base.
No caso do Whittle, o conjunto de blocos deveria seguir as bases das cavas geradas de diferentes fatores
de Receita. Estes naturalmente seguirão o centro do depósito de minério ou o footwall.
Editar o modelo de bloco para adicionar o benefício por bloco para os seus conjuntos de blocos escolhidos.
No caso do Whittle (elemento único) você precisa criar uma parcela contendo uma quantidade de metal,
que, ao preço de referência, renderia uma receita igual ao seu custo por bloco. Por exemplo, se o benefício
por bloco era $20.000, o produto era Ouro e o preço era $10 por grama, você criaria uma parcela contendo
2.000 gramas de Ouro20. A tonelagem da parcela deveria seguir nominalmente um número abaixo para
reduzir outras tendências. O tipo de rocha deveria ser um especialmente criado de forma que o efeito destas
parcelas pode ser localizado em relatórios.
Por exemplo:
Assuma que o bloco 15, 7, 23 originalmente continha uma parcela. Para adicionar outra parcela, você tem
que incrementar o valor do número de parcelas na linha header e anexar a nova linha parcial.
Número de colunas:
0 1 2 3 4
123456789012345678901234567890123456789012345678
Registro original do bloco:
15 7 23 1 1.000 1.000 1.000
15 7 23 OXID 500 1000
Registro modificado do bloco:
15 7 23 2 1.000 1.000 1.000
15 7 23 OXID 500 1.000
15 7 23 UGDV 1 2.000
Passo 3 - Adicionar um Método Especial de Processamento
Na importação do modelo modificado, monte um rock-type UGDV (UnderGround DeVelopment -
Desenvolvimento de Lavra Subterrânea) com os seguintes parâmetros:
Rock-type mining CAF = 1.000
Rehab. cost ratio = 0.0
Processing throughput factor = 1.000
20 Se você está usando um pacote tal como o Whittle (mult-element) você pode definir um novo elemento chamado “DOLL” para “dollars”. O preço de um
DOLL sempre é $1. Isto simplifica muito nos cálculos.
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Adicionar um método de processamento que é exclusivamente usado para a rocha UGCV, chamado de
DVPR (DeVelopment PRocess - Desenvolvimento de Processo). Fixe os parâmetros como segue:
Method Code = DVPR
Rock-type Code = UGDV
Processing Cost $0,01
Processing recovery fraction = 1.000
Processing Recovery Threshold = (blank)
Minimum cut-off = (blank)
Maximum cut-off = (blank)
Passo 4 - Otimização
Re-otimizar com o novo arquivo do Modelo e Método de Processo
adicional. Você deveria descobrir que,
para os mesmos Revenue Factors, as novas cavas são maiores que ou iguais as cavas geradas do modelo
original.
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11 MÚLTIPLAS MINAS
Originalmente apresentado como:
Hall, G, 2004, Multi-mine Better than Multiple Mines, in Orebody Modelling and Strategic Mine Planning
Symposium (Perth)
11.1 Resumo
Não é incomum para uma quantidade de minas de lavra a céu aberto compartilhar uma infra-estrutura na
cadeia de valor mineral. Esta divisão oferece economias de escala e apresenta opções adicionais de
seqüenciamento, mas também aumenta a complexidade do projeto e do seqüenciamento. Como você
investiga e otimiza melhor este tipo de cenário para render o máximo de benefício econômico?
Como um desenvolvedor sênior no time do Whittle, o autor foi envolvido na criação de um modelo e sistema
de otimização o qual satisfaz múltiplas minas integradas. Os objetivos do projeto eram:
• Fornecer um processo, suportado por ferramentas efetivas no qual habilitam planejadores de mina
para maximizar o benefício econômico das operações de multi-mine.
• Fornecer um modelo e ambiente de otimização que permite múltiplas minas integradas para ser
efetivamente planejada e seqüenciada, incluindo adaptações de mecanismo de otimização para a
situação de multi-mine.
Este papel descreve o benefício que a opção do Multi-mine do Whittle pode trazer para uma operação
complexa e as características que habilitam esse benefício.
11.2 Introdução
Não é incomum para uma quantidade de minas de lavra a céu aberto compartilhar uma infra-estrutura na
cadeia de valor mineral. Esta divisão oferece economias de escala e apresenta opções adicionais de
seqüenciamento, mas também aumenta a complexidade do projeto e do seqüenciamento. Como você
investiga e otimiza melhor este tipo de cenário para render o máximo de benefício econômico?
Múltiplas minas poderiam ser tratadas no Whittle, até certo ponto, antes da opção Multi-mine do Whittle ter
sido introduzida. A simples aproximação era modelar cada mina isolada e então produzir um
seqüenciamento manual.
Várias pessoas, Tom Tulp (Tulp, 1997), David Whittle (Whittle, 2001) e Cris Desoe da AMDAD
desenvolveram técnicas que removeram algumas das restrições associadas com relacionamento de
múltiplas minas como um modelo único dentro do ambiente Whittle. Nenhum destes processos poderia
remover completamente as restrições e eles requereram todos os procedimentos de estruturas complexas.
Dentro destes limites, porém, eles trabalharam e todos eles desfrutaram sucessos em um número
restringido de situações.
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A opção Multi-mine permite a flexibilidade de escolha da cava ótima e pushbacks para cada mina
independente das outras minas no modelo, enquanto produz ainda um seqüenciamento automático por
todas as minas.
11.3 Múltiplas minas - O background
Uma operação de múltipla mina tem suficientemente mais de uma mina para que juntas compartilhem a
mesma infra-estrutura e são planejadas como um único estudo. As aproximações passadas para modelar
esta situação identificada na introdução, uma ou outra falharam ao endereçar os benefícios de produção de
um seqüenciamento ou a definição dos limites individuais das minas de forma que eles não usam a cava
ótima ou pushbacks adaptados para aquela mina.
Planejando o seqüenciamento da mina de uma mina única é razoavelmente bem entendido. Enquanto o
processo é complexo, existem ferramentas para acompanhar o usuário na criação de uma forma de cava
ótima de um modelo de um corpo de minério. Existem também ferramentas para ajudar a planejar o
seqüenciamento de uma mina de uma cava selecionada. A dificuldade na situação de múltipla mina em
particular, está em definir os melhores pushbacks e encontrar o melhor seqüenciamento de lavra.
O Whittle usa o Valor Presente Líquido (NPV) de uma mina para guiar ambas as identificações de cava
ótima e a criação do seqüenciamento de lavra.
A cava ótima é criada usando o algoritmo de Lerchs-Grossmann (LG) (Lerchs & Gorssmann, 1965). O
método para determinar as cavas ótimas é o mesmo para uma única mina ou um conjunto de minas. Isto,
porém, é o início de uma solução. O material a ser removido de cada mina pode ser extraído em qualquer
um dos vários modos, todos os que podem resultar num NPV dramaticamente diferente para cada mina.
A criação de um seqüenciamento de lavra envolve definições de alguns pushbacks úteis para essas minas
que lavra esses pushbacks de tal modo que maximiza o valor potencial de uma operação.
11.4 A solução Whittle Multi-Mine
O arquivo do modelo da opção Multi-mine usa uma definição simples do modelo de bloco que identifica
cada mina em um modelo de bloco separadamente. Você é capaz de definir os pushbacks e escolher a
cava ótima para cada mina separadamente, e então criar um seqüenciamento que considera todas as minas
juntas. Esta técnica permite cada mina ser projetada no seu completo potencial porque sua cava ótima é
independente de qualquer outra mina. Porém, durante o processo de seqüenciamento há benefícios a
serem considerados para as minas como fontes múltiplas de minério. O planejador é capaz de decidir
quando escolher o material das minas de tal modo que o valor da operação é maximizado.
Os benefícios fundamentais da opção Multi-mine são que, ele dá independência entre minas:
• Podem ser determinados pushbacks que é ideal para uma mina individual;
WHITTLE - Planejamento Estratégico de Mina
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• A cava final de cada mina é separada;
• A ordem de processamento das minas pode ser mudada facilmente, e
• Limites de lavra podem ser adaptados para mina individual.
Além disso, o material movimentado em cada mina pode ser localizado separadamente e controles extras
foram somados para permitir restrições por mina.
Usando o Whittle para encontrar o valor máximo teórico da operação, é possível determinar os custos das
decisões que são feitas ao longo do caminho como progresso e é feito um projeto final para a operação. Às
vezes, isto significa que o Whittle apresenta informação que justifica uma mudança em aproximação por
causa do valor aumentado que é realizável quando aquela mudança é implementada.
11.5 Exemplo de estudo de caso
11.5.1 Exemplo de dados
Os dados vêm do projeto “BlueSky” que era originalmente desenvolvido como um exemplo multi-mine por
Chris Wharton e é baseado nos dados “Marvin”desenvolvido por Norm Hanson para os seus estudantes da
RMIT University e usado no “Whittle Challenge”, um dia após a conferência “Optimizing With Whittle” em
1999. Tem duas minas, chamadas de NorthPark (mina 1) e SouthBorder (mina 2). South Border é a mina
Marvin padrão com três rock-types: OX (uma superfície oxidada), MX (um minério misto) e PM (o minério
primário). NorthPark foi modificado do Marvin original com a tonelagem do rock-type OX e PM sendo
somados juntos (chamado SL) e MX que é renomeado a RF. Os rock types do SouthBorder tem o Fator de
Ajuste de Custo (CAF) maior que “um” para indicar uma dureza da rocha que no Marvin original. Os ângulos
de taludes de ambas as minas foram modificado do original do Marvim e também feito diferente um do
outro. Todos os rock-types têm elementos de ouro e cobre.
11.5.2 Tratar como uma mina simples
Cava ótima
A criação da cava ótima para cada mina procede como num caso de uma mina única porque o algoritmo de
LG (em um modelo de arquivo único) tratará as minas como entidades independentes (desde que os
resultados das cavas não toquem).
Pushbacks
e seqüenciamento de lavra
Antes de nós explorarmos os projetos para um projeto de lavra e seqüenciamento prático e realista, é útil
olhar para a operação como um caso de mina única para fornecer algum indicador de valores. A execução
inicial introduz a tonelagem do período envolvido e forma uma estrutura para desenvolvimento além de
refinamentos. Aspectos fundamentais desta execução são:
• Taxa de minério liberado (nunca é escolhido para assegurar o limite de lavra, ou raramente um fator
limitante. Neste exemplo 80 milhão toneladas (Mt) por ano (pa));
WHITTLE - Planejamento Estratégico de Mina
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• Processo conservador de produção (isto é escolhido para assegurar o fator limitante e reflete
“razoavelmente” na vida da mina - 20 Mt/pa).
Com os limites anteriores e as estimativas razoáveis dos custos requeridos para manter as taxas anteriores,
o nodo Pit by Pit Graph indica que o NPV máximo do “Best Case” que pode ser alcançado é de $272m. Esta
é a cava contendo um total de 693m toneladas e com uma vida útil da mina de 24 anos (tabela 10, linha 1).
Nós temos escolhido arbitrariamente desenvolver com quatro pushbacks. Esta é uma decisão que pode ser
explorada adiante quando há custos definidos para iniciar um novo pushbacks. Quanto mais pushpacks
você tem, mais você pode aproximar do cenário “Best Case” do Whittle. Quando os custos de um pushback
são incluídos nas análises, você pode ver muito rapidamente quando o custo de adicionar um pushback
exceder em valor o retorno. Quando nós adicionamos quatro pushbacks (deixando o Pushback Chooser
(Whittle 2004a) decidir por nós), a cava ótima é de 488 Mt com um valor de $186m e uma vida da mina
próxima de 19 anos (tabela 10, linha 2).
Tabela 10 - Sumário dos resultados
Descrição NPV ($m) Tonnage (mt)
1: Primeiro passo - Best Case 272 693
2: Primeiro passo - 4 pushbacks (como única mina) 186 488
3: Pushbacks independentes (4 cada) 197 569
4: Capacidade de aumento do processamento 280 ”
5: Diminuição da capacidade de lavra 306 ”
6: Milawa NPV 336 ”
7: Milawa Balanced (não ajustado) 246 ”
8: Milawa Balanced (ajustado) 328 ”
Três apartes
1. O uso do “Geometric Values”21 na definição de uma gama de fator de receita gera um bom conjunto
de cavas, dando boas cavas iniciais e ainda mantém o número global de cavas para considerar um
mínimo.
2. Incluindo o custo atual de estabelecer pushbacks numa operação, uma pessoa pode determinar se
usar mais pushbacks melhoraria o valor da operação.
3. Os ângulos de taludes de cada mina numa operação poderiam ser bastante diferentes. Desde então
o Whittle tem a capacidade para modelar esses sem o uso da opção Multi-mine. Eles não serão
discutidos mais adiante neste livro.
11.5.3 Tratar como multi-mine
Sem a opção de Multi-mine acima, a escolha dos pushbacks são os mesmos para toda mina. A cava ótima
é escolhida pelo seu número de cava e isso também é o mesmo para toda mina.
21 “Geometric Values” é uma técnica para definir fatores de receita que produz um grande número de cavas quando há uma grande diferença de
tonelagem de um pushback para o próximo quando feito pelo método “Fixed Intervals” (Whittle 2004b). É útil para definir a cava inicial e pushback desde o
início.
WHITTLE - Planejamento Estratégico de Mina
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Cada mina é diferente, então um aguardaria o pushback ideal para cada mina ser diferente. Usando o
modelo Multi-mine nós podemos executar o Pushback Chooser separadamente para cada mina. Esta
aproximação pode ser usada porque somente o Pushback Chooser usa diferenças relativas entre NPVs
decidindo onde pôr os limites de pushbacks.
Sempre que nós temos os pushbacks para cada mina, nós podemos explorar seqüenciamentos usando
input de ambas as minas (cada um com seus próprios pushbacks) e estimação de custos e limites que
podem ser uma combinação global e atributos por mina. Note que restrições individuais das minas só são
disponíveis na opção Multi-mine.
O usuário pode agora explorar as oportunidades disponíveis para variar o seqüenciamento baseado na
ordem em que tanto as minas são consideradas como as variáveis prévias associadas com pushbacks em
uma mina única.
Neste momento é útil notar quais minas são as maiores contribuintes. Isto ajudará a conduzir a decisão
sobre a ordem na qual nós deveríamos lavrar as minas. Neste exemplo, a grande contribuição significativa
vem da mina NorthPark, assim nós consideraremos isto primeiro na ordem (figura 55). Usando o algoritmo
Milawa melhorará o NPV se uma ordem inapropriada de minas é escolhida, mas não pode necessariamente
encontrar o melhor NPV.
Figura 55 - Contribuição do fluxo de caixa de cada mina.
Com cada mina tendo seus próprios pushbacks (quatro independente) e considerando primeiro a mina
NorthPark, nós terminamos com um seqüenciamento (Figura 56) desenvolvendo um NPV de $197m de
uma tonelagem combinada de 569 Mt (tabela 10, linha 3). Este é um aumento de $11m com acréscimo de
81Mt acima do resultado previsto que é um resultado direto para ser capaz de iniciar com minas
WHITTLE - Planejamento Estratégico de Mina
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individualmente otimizadas.
Os seguintes passos não são específicos para a opção Multi-mine quando apenas limites globais são
aplicados, mas lucros significantes no NPV podem ser disponíveis explorando variações no processo e
limites de lavra.
11.5.4 Modificando restrições
Ao analisar os efeitos das restrições, você deve assegurar-se de que uma parte anterior adicional das
restrições no processo não esteja fazendo um impacto adverso sobre os processos posteriores. Para os
propósitos ilustrativos deste livro, limites de venda são ignorados (o último passo na aba “Limits” no Whittle)
e nós lidaremos com os dois principais limites de ajuda do processo corrente: a capacidade de processo e a
capacidade de lavra.
Capacidade de processo
Nós começamos com um generoso limite de lavra. Desse modo o impacto de estender a capacidade de
processo pode ser considerado se um limite apertado de lavra confunde os resultados.
Nós consideramos a situação segundo o qual gastando um extra de $55m nós podemos adicionar 10
Mt/ano para a capacidade de processo, aumentando para 30 Mt/ano22.
O resultado desta análise é que nós podemos aumentar o NPV das análises prévias para $280m com a
mesma tonelagem (Tabela 10, linha 4). A mudança é que a vida da mina agora é menor que 14 anos em
comparação como a de mais de 20 anos feita previamente. O aumento no NPV é devido capacidade de
ganhar o dinheiro mais cedo. Note que neste momento, limites de lavra não foram alterados e assim o custo
de mina (citado por tonelada) está inalterado.
Capacidade de lavra
Na figura 56 nós podemos ver que há alguns períodos que lavrou mais material consideravelmente que é o
requerido naquele período. O padrão é similar depois que a capacidade de processo é aumentada.
Deixe-nos considerar o que aconteceria se nós reduzíssemos nossa capacidade de lavra para 60 Mt o qual
nos permite economizar $30m.23
Nós vemos que podemos adicionar $26m ao valor da mina, aumentando o NPV para $306m (Tabela 10,
linha 5) mesmo que não preenchemos o moinho nos períodos 5 e 12 (por uma pequena quantia). Figura 57.
22 Em um estudo real, vários cenários seriam considerados para explorar os benéficos do aumento da produção. Algumas questões que necessitariam de
respostas são: “Nós deveríamos aumentar a produção? “Se nós fazemos, por quanto?” “Quais são os riscos envolvidos?” Este exemplo é escolhido para
ilustrar um determinado cenário.
23 Igual a capacidade de processo, este é um exemplo de uma única variação, que na prática seria uma de várias variações estudada.
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Figura 56 - Duas minas com pushbacks independentes.
Figura 57 - Processamento aumentado, lavra diminuída.
11.5.5 Algoritmo Milawa
O estudo até agora só usou “fixed lead”. Isto foi por algumas razões. A aproximação do “fixed lead” dá
resultados muito rápido que nos permite explorar muitos cenários possíveis de “what if” e dá uma boa
sensação de performance da mina sujeito a diferentes condições. Como nós nos aproximamos do que
pensamos, poderia ser uma solução final, nós usamos o algoritmo de Milawa24 para ver que benefícios
extras nós podemos perceber fora desta operação de lavra.
24 O algoritmo Milawa é um algoritmo proprietário que modifica a seleção de material disponível de todo pushback aberto para produzir um
seqüenciamento que melhora o NPV. "Milawa NPV" focaliza em melhorar NPV, "Milawa Balanced" foca em manter a taxa de lavra equilibrada.
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O resultado usando o Milawa NPV eleva o outro valor de $306m para $336m (Tabela 10, linha 6). Agora o
moinho é mantido ocupado (até o final da mina). O Milawa agora está mudando a ordem de processo na
mina para alcançar um NPV maior. Isto fica mais óbvio quando o limite de lavra é reduzido até mesmo mais
adiante para 50 Mt/ano (figura 58).
Figura 58 - Milawa NPV.
O próximo resultado, de um Milawa Balanced executado, mostra que nós podemos equilibrar nossa lavra (e
manter o moinho completo) a um custo de queda de valor da operação para $246m (Tabela 10, linha 7;
Figura 59).
Figura 59 - Milawa Balanced.
Das Figuras 58 e 59, por inspeção, se assemelha a lavra aumentada nos anos antecipados da solução
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Milawa Balanced que está contribuindo com alguns custos anteriores de lavra e que não acorrem na
solução Milawa NPV.
Nós podemos considerar agora o “ajuste” da capacidade da lavra melhorar o resultado do Milawa Balanced.
Neste exemplo nós podemos alcançar um seqüenciamento no Milawa Balanced (figura 60) que é uma
melhoria significante sobre o resultado do “não ajustado” que rende um valor de $328m (Tabela 10, linha 8).
Figura 60 - Milawa Balanced “ajustado”.
11.5.6 Conclusões
Podem ser determinadas as cavas ótimas para minas individuais sem a opção de Multi-mine dentro do
Whittle. O algoritmo de LG desenvolverá cada mina independentemente.
A aproximação básica para um estudo de Multi-mine é semelhante a um único estudo de mina com todas as
características de mina única sendo disponível na situação multi-mine.
As diferenças surgem quando os benefícios fundamentais da opção de Multi-mine forem usados:
• Podem ser determinados pushbacks que são ideais para uma mina individual;
• A cava final de cada mina é separada;
• A ordem de processo das minas pode ser mudada facilmente, e
• Limites de lavra podem ser adaptados para minas individuais.
A opção Multi-mine pode adicionar valores significativos para uma operação de múltiplas minas.
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WHITTLE - Planejamento Estratégico de Mina
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12 EFEITOS DA PROGRAMAÇÃO E SEQÜENCIAMENTO DE LAVRA
12.1 Efeitos da programação e seqüenciamento de lavra
Um “seqüenciamento” de lavra é a ordem em que partes diferentes da cava são lavradas. Um “programa”
de lavra, que nos diz quando as coisas ocorrem, pode ser construído aplicando as restrições de produção à
seqüência de lavra.
Assim como determina quando são lavradas partes diferentes da cava, uma programação determina
quando os fluxos de caixa associado com a mina são produzidos. Isto é importante porque todas as
Unidades Monetárias ($) não são iguais.
12.1.1 O efeito do tempo no valor do dinheiro
Nós discutimos isto antes, mas agora nós veremos isto com mais detalhes.
Uma Unidade Monetária ($) que recebemos hoje vale mais que uma Unidade Monetária
($) que podemos receber no período de um ano.
Há varias razões para isto:
• Inflação pode reduzir o valor do dinheiro ($) no próximo ano;
• Se nós temos o dinheiro agora, não há risco de algo dar errado e não adquirimos isto;
• Se nós não temos o dinheiro, nós não podemos adquirir interesse nisto, ou nós temos que pedir
dinheiro emprestado para substituir isto.
O modo padrão para permitir isto é “descontar” a unidade monetária ($) do próximo por uma determinada
quantia e aplicar aquela idéia de forma cumulativa no futuro.
Assim nós descontamos receitas e despesas futuras por uma taxa de desconto particular e os reduzimos
tudo para um “Valor Presente Líquido" ou NPV.
12.1.2 O efeito da seqüência de lavra sobre o contorno da cava ótima
Deixe-nos revisar um exemplo muito simples mostrado na figura 61.
Lavra do Pior Caso
O modo mais simples para lavrar uma cava é lavrar todo o primeiro banco, e depois todo o próximo banco,
etc. Nós chamamos isto de “lavra do pior caso” (worst case mining) porque produz o menor NPV. Porém,
tem a vantagem de quase sempre ser prático.
Se nós considerarmos novamente o exemplo simples, o estéril ao topo das cavas exteriores é lavrado antes
WHITTLE - Planejamento Estratégico de Mina
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e o custo é descontado numa quantidade menor que a renda do minério correspondente ao que é lavrado
muito tempo depois.
A cava ótima para a lavra do “worst case” é geralmente dessa forma menor que a indicada pela otimização
simples de cava usando custos e receitas de hoje.
Lavra do melhor caso
Cada cava é lavrada uma após a outra e dessa forma o minério e estéril próximo é lavrado
aproximadamente no mesmo período de tempo. Nós chamamos isto de “lavra do melhor caso” (best case
mining) porque produz o mais alto NPV. Quase nunca é prático, mas fixa uma meta de NPV para que nós
possamos apontar.
Figura 61 - Um depósito simples de minério
12.1.3 A interação entre taxa de produção e seqüência de lavra
Tabela 11: Valores de cavas para diferentes seqüências de lavra e taxa de produção.
Pit 1 2 3 4 5 6 7 8
Worst Mill <500 900 1.530 1.917 2.085 2.057 1.851 1.486 978
Best Mill <500 900 1.530 1.935 2.154 2.220 2.161 2.002 1.763
Worst Mine <1.000 900 1.520 1.868 2.011 1.956 1.552 1.049 449
Best Mine <1.000 900 1.520 1.898 2.068 2.105 1.993 1.790 1.540
Esta tabela, que foi derivada através do seqüenciamento de lavra deste modelo muito simples pela lavra do
pior e melhor caso foi programado com um limite do processo e com um limite de lavra. Em ambos os
casos, uma taxa de desconto de 10% foi aplicada.
As figuras 62 e 63 mostram os dados anteriores em forma gráfica.
Em ambos os casos pode ser visto que não é só o NPV máximo que é menor para o pior caso, mas a cava
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~ 105 ~
com o valor mais alto é menor para a lavra do pior caso.
Figura 62 - Caso limitado pelo moinho.
Figura 63 - Caso limitado pela lavra.
Neste caso muito simples, as famílias de cava são fáceis de construir à mão. Porém, em casos reais onde
ambas as formas e a distribuição de teor do depósito de minério são irregulares, nós podemos ainda
construir cavas aninhadas fazendo uma série de otimização pelo uso de uma técnica de parametrização de
cava.
No caso simples anterior, as famílias de cavas internas indicam lavra com a mais baixa taxa de desmonte,
porque o teor é constante. Em casos reais, as cavas internas
indicam a região com uma boa combinação de
teor e taxa de retirada.
Famílias de cavas reais, juntos com os bancos, podem então ser usadas no projeto de fases de lavra ou
pushbacks que renderá antecipado um fluxo de caixa maior e assim o melhor NPV para a cava.
12.2 Usando a família de cavas aninhadas para simulação de lavra.
A figura 64 é um pequeno conjunto esquemático de família de cavas e bancos. Na prática, é comum
produzir cinqüenta a cem cavas, de forma que eles são muito mais próximos que o indicado aqui. Não
obstante, os mesmos princípios aplicam.
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~ 106 ~
As seqüências em que quaisquer das oito cavas podem ser lavradas sem quebrar as restrições estão
claramente definidas pelas famílias de cavas. Por exemplo, nós temos que lavrar “a” antes de lavrar “f”. Nós
temos que lavrar “a”, “f”, “b” e “g” antes de lavrar “k”.
Figura 64 - Um pequeno conjunto de famílias de cavas e bancos.
Visto que nós sabemos de todos os detalhes atuais dos blocos que são a interseção em cada banco/cava,
nós podemos aplicar o cut-off e podemos calcular a tonelagem, teores e fluxo de caixa para cada
interseção. Então, se nós especificamos um seqüenciamento particular em que nós partindo para lavrar as
interseções, o programa pode calcular uma programação da vida da mina com tonelagens, teores, fluxo de
caixa e fluxo de caixa descontando completo de acordo com os limites de produção especificado pelo
usuário. Nós recorremos a isto como simulação da vida da mina.
WHITTLE - Planejamento Estratégico de Mina
~ 107 ~
13 MODELO ECONÔMICO PARA O SEQÜENCIAMENTO ÓTIMO
13.1 Introdução
Simulação e seqüenciamento ótimo operam em um ambiente de análise de FCD (fluxo de caixa
descontado) que é mais rico, mais complexo e mais flexível que o ambiente de modelagem econômica para
otimização de cava. O posterior nunca é o menor para a base anterior. Adequadamente, o Modelo
Econômico para o Seqüenciamento Ótimo é descrito explicando a diferença entre isto ao Modelo
Econômico para Otimização de Cava. As principais diferenças são:
1. Inclusão de Gastos de Capital Inicial no modelo;
2. A inclusão de gastos baseado no tempo;
3. A habilidade para mudar custos e preços com o passar do tempo.
13.2 Inclusão de Gastos de Capital Inicial
No modelo econômico de otimização de cava não há nenhum lugar para um gasto de capital inicial. No
ambiente de modelo de FCD para seqüenciamento, gasto de capital inicial pode ser fornecido e deveria ser
fornecido para calcular o NPV e IRR corretamente.
13.3 Gastos Baseado no Tempo
No capítulo “Modelo Econômico para Otimização de Cava” o método para incluir custo no tempo como um
custo por tonelada de estéril, ou por tonelada de minério, ou por unidade de produto foi descrito. Este
tratamento de custo no tempo é referido como “custo implícito no tempo” para contrastar isto à maneira
explícita nos quais custos no tempo são controlados no ambiente do modelo FCD. Os detalhes de como
tratar os custos no tempo implícito e explícito no Whittle é descrito no Help do Whittle.
13.4 Mudando Preços e Custos ao longo do tempo
No modelo econômico de otimização de cava não há condição para mudar os custos ou preços ao longo do
tempo. No ambiente de análise do FCD, custos e preços podem ser mudados em cada período de tempo da
simulação.
13.5 Detalhes do Modelamento de Custo para Análise de FCD
Refere-se a seção Modelo de Custo para Diferentes Propósitos para discussão detalhada sobre as regras
para distribuição de custo em Análise de FCD.
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14 OTIMIZAÇÃO DO SEQÜENCIAMENTO DE LAVRA
14.1 Definição de um problema de otimização do seqüenciamento de lavra
Até aqui nestas notas nós abrangemos os fundamentos de otimização (Introdução a Otimização), e
discutimos Otimização de Cava em detalhe. Agora nós introduziremos mais um problema de otimização, a
fim de que melhore o seqüenciamento de uma mina para maximizar o NPV.
Antes de começar a otimizar o seqüenciamento, nós temos que estabelecer o que o modelo é. O processo
de seqüenciamento de longo prazo ocorre após o Projeto da Cava Final (refere-se à seção “Processo de
Avaliação de Planejamento de Lavra a Céu Aberto”). Assim por muito menos, nós temos disponível um
modelo de bloco com uma cava final definida. É também necessário um conjunto de projetos de cavas
intermediárias chamada de “pushbacks”.
Objetivo principal: Maximizar o NPV do projeto.
Variáveis de Decisões: O material que é lavrado de cada pushback da mina em cada período. Você
recordará da seção “Desconto” que a ordem em que ocorre o fluxo de caixa afeta o NPV. Determinando
qual material é lavrado de cada pushback em cada período afeta a ordem do fluxo de caixa e isto é como o
objetivo principal varia com as variáveis de decisão neste caso. O número de variáveis de decisões
depende da quantidade de pushbacks no modelo, da quantidade de períodos de tempo na vida da mina e
do número de bancos na cava.
Restrições:
1. A profundidade de lavra de um pushback não deve ser maior que a profundidade do pushback
precedente;
2. Limites de produção (lavra, processo; venda) não deve ser excedido.
Restrições adicionais: Restrições adicionais podem ser adicionadas e variarão de caso a caso.
14.2 Algoritmo Milawa para Otimização de Seqüenciamento de lava
O algoritmo Milawa é parte do Whittle. Pode operar em um ou outro modo do NPV onde buscará maximizar
o NPV ou o modo balancing onde buscará antecipadamente maximizar o uso das instalações de produção
na vida da mina. O posterior é uma otimização incomum, além da extensão deste documento. Nós
focalizaremos sobre isto no modo NPV.
O algoritmo Milawa utiliza três rotinas. A primeira rotina toma um conjunto de variáveis de decisões e gera
um possível seqüenciamento. O número de variáveis requeridas depende do número de:
• Bancos na última cava,
• Pushbacks, e
WHITTLE - Planejamento Estratégico de Mina
~ 110 ~
• Períodos de tempo na vida da mina (taxas de produção).
A segunda rotina é uma rotina de avaliação que calcula o NPV para um seqüenciamento individual.
A terceira rotina procura o domínio de seqüenciamentos possíveis para o que tem o NPV mais alto. A rotina
também tem uma lógica construída para decidir quando deixar de procurar. Esta terceira rotina é uma forma
de rotina step and stride (iteração).
O algoritmo Milawa não gera e nem avalia todos possíveis seqüenciamentos (ou seja, não enumera o
problema), de modo que o número de possíveis seqüenciamentos em qualquer análise é extremamente
grande. Especialmente prova estrategicamente os possíveis domínios e focaliza gradualmente a procura
(sem necessariamente estreitar isto) até que converge em sua solução.
O número de avaliações exigidas para convergir numa solução varia, mas 5.000 é típico, e isto usualmente
leva menos que um minuto.
O domínio possível pode ser visto como um volume multidimensional, onde cada ponto no volume tem um
NPV correspondente. A solução ótima é o ponto no qual tem o NPV alto, mas é possível existir mais de um
ponto com o NPV máximo. Também é possível existir uma gama de outras soluções na qual tem NPVs que
são muito próximos do máximo. O Milawa não pode garantir encontrar um seqüenciamento com o NPV
máximo absoluto, particularmente se o mais alto acontece para ocorrer num cume muito afiado. Porém,
experiência mostrou que achará uma solução com um NPV muito alto.
14.3 Modelos de Custo apropriados para Otimização
de Seqüenciamento de Lavra
Além de obedecer às regras estabelecidas para determinar os modelos de custo para Análises de FCD
(refere-se à seção “Modelos de Custo para Propósitos Diferentes”), há sutilezas no modelo para otimização
de seqüenciamento que são merecedoras de discussão.
Algumas vezes o Milawa produzirá um seqüenciamento que não usa toda a capacidade de lavra e/ou
processo. Pode ser que o otimizador esteja fazendo exatamente o que deveria fazer com o modelo de custo
que você forneceu, mas os resultados são absurdos e irreais. É provável que o problema esteja na maneira
no qual o modelo de custo foi construído. A solução é construir um modelo de custo mais apropriado que
conduz a estimativa e seqüenciamento do NPV mais realístico.
De vez em quando, usuários Whittle estarão frente a frente em situações onde o seqüenciamento no Milawa
NPV não parece bastante certo. Alguns problemas típicos:
1. Há períodos em que a capacidade de lavra não é completamente usada;
2. Há períodos em que a capacidade de processo não é completamente usada.
O caso mais frustrante é o único no qual ocorre na condição 1, seguido 5 anos mais tarde pela condição 2.
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Aqui está o que muitas pessoas pensam:
1. A capacidade de lavra excedente poderia ser usada para fazer algum pre-desmonte, dessa forma
evitando mais tarde o déficit de minério, mas o Milawa NPV não faz isto;
2. Se a capacidade de lavra excedente está acomodando em torno de ociosa, isto vai custar dinheiro e
isso não é refletido na otimização. Igualmente para a capacidade de processo excedente.
Isto representa um problema no modelo de custo. O sistema de otimização está fazendo exatamente o que
deveria fazer, determinando os dados de input que foi fornecido. Deixe o foco na lavra por enquanto e use
um exemplo.
Digamos que você definiu a capacidade de lavra em 5mT e o custo de lavra em $1,10 por tonelada. O
Milawa usa estes dados como segue:
• O custo de mina no período total é exatamente proporcional à atual tonelagem lavrada, a uma taxa de
$1,10 por tonelada;
• A capacidade máxima de tonelagem da mina num período é de 5mT.
Isso conduz a um custo de mina de $5,5m para um período total, se a taxa de lavra é realmente de 5mT.
Agora, supondo que você lavra apenas 3mT em um ano, 60% do máximo. O Whittle calcularia o custo total
de lavra para o período como sendo 60% de $5,5m.
Isto é realístico? Provavelmente não.
Diminuindo a taxa de lavra para 3mT durante 12 meses provavelmente você economiza despesas com óleo
combustível e alguns custos em manutenção, mas isso é tudo. Você provavelmente não desejará demitir os
motoristas e renovar o acordo em 12 meses, assim você não economizará muito nos salários. Você
provavelmente não economizará muito dinheiro na administração, segurança ou supressão de poeira. Por
exemplo, poderia ser que para lavrar 3mT, te custa $4,5m por ano - uma economia de apenas $1m.
Mas, isto não é a informação que você forneceu ao Milawa. O Milawa pensa que o custo de mina é $1,10
por tonelada, não importa qual a taxa de lavra.
Isto produz tendência, que contribui para o Problema detalhado acima.
14.3.1 Solução 1 (usando equações simultâneas)
Esta versão da solução atrairá aos considerados matemáticos. Se você não é considerado um matemático,
então há pouco salto por esta seção para a “Solução-2” que é um pouco mais intuitiva.
Você pode modelar custos de mina que varia com a taxa de produção. É mais simples do que você poderia
pensar. Se você considerar o exemplo anterior que nós estamos dizendo:
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• A 5mT por ano, o custo de mina é de $5,5m para o período total.
• A 3mT por ano, o custo de mina é de $4,5m para o período total.
Se nós presumimos uma relação linear, nós podemos modelar isto facilmente utilizado a seguinte fórmula:
MC = ax + c
Onde:
‘MC’ é o custo de mina ($m) no período total
‘x’ é a taxa (mT) atual de lavra
‘a’ e ‘c’ são fatores e constante para definir a função custo de mina. As unidades são como segue:
‘a’ ($)
‘c’ ($m)
Se você desenvolve os valores de ‘a’ e ‘c’ usando equações simultâneas, você adquire:
a = 0,5
c = 3,0
O cálculo completo usando equações simultâneas é demonstrado abaixo na seção “Equações
Simultâneas”.
O modo de usar estes dois parâmetros é o seguinte:
• Use $0,50 como custo de mina por tonelada.
• Adicione $3m para o Custo no Tempo Por Período. Recorra aos arquivos de ajuda para informação
de como lidar corretamente com custos no tempo.
Isso parece muito diferente para um custo de mina de $1,10, mas será modelado corretamente à 5mT e à
3mT.
14.3.2 Solução 2 - (usando uma razão de custo permanente)
A Solução 1 realmente trabalhou por trás de alguns dados empíricos ao que é, em vigor, um custo
permanente para a frota de lavra e num custo marginal de lavra:
Custo permanente: $3m por período (Adiciona $3m para o Custo no Tempo Por Período).
Recorra aos arquivos de ajuda para informação de como lidar corretamente com custos no tempo ou
consulte com o seu Provedor de Serviço do Whittle.
Custo marginal de lavra numa tonelagem extra: $0,50 (Use $0,50 como o custo de mina por tonelada).
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Mesma solução, modo diferente de pensar nisto.
14.3.3 Notas
Este método de modelamento pode ser aplicado para custo de processo do mesmo modo exatamente.
Você aplica somente este modelo de custo no Operational Scenario no Whittle. Você não pode aplicar no
nodo Pit Shells.
Este método de modelamento realmente é projetado para controlar flutuações de curto prazo (1-2 anos) em
taxa de lavra (ou processo). É assumido que, se há um período prolongado no qual a taxa de lavra estava
reduzida, então você poderia ajustar sua frota e administrar seus custos de um modo diferente.
Este método de modelamento relaciona ao modo no qual custos no tempo são negociados. Você deveria
examinar este método no contexto de seu custo no tempo numa aproximação global e tenha certeza que
você não está com duplos resultado no custo do tempo.
14.3.4 Efeito de aplicar a solução
Considerando que a taxa de lavra por tonelada agora é inferior, o Milawa terá uma tendência menor de
evitar um pré-desmonte.
Considerando que o custo no tempo é aumentado, o Milawa terá uma tendência mais alta para pré-extrair,
se isto evita déficits de minério posteriores (pequena queda no minério estende a vida da mina, assim
aumenta o custo total no tempo).
O NPV informado pelo Milawa será provavelmente inferior do que o informado pela pré-solução, mas a pré-
solução do NPV não era realística.
14.3.5 Equações Simultâneas
Nós podemos calcular que ‘a’ e ‘c’ estão usando equações simultâneas:
(1) 5,5 = a*5 + c
c = 5,5 - 5*a
(2) 4,5 = a*3 + c
Substitua por c
4,5 = 3*a + 5,5 - 5*a
4,5 - 5,5 = 3*a - 5*a
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-1 = - 2*a
a = 0,5
Substitua em (1)
5,5 = 0,5*5 + c
c = 5,5 - 2,5
c = 3,0
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15 STOCKPILES
As definições seguintes relacionam direto ao assunto do stockpile e são representadas por três tipos
diferentes. Apesar de que qualquer stockpile dado normalmente é de um único tipo. Certamente é possível
um único stockpile servir mais de um propósito.
15.1 Grade Stockpile
Um “grade stockpile” é um estoque mantido com a finalidade de postergar
o processo do material de baixo
teor até mais tarde na vida da mina. Isto é feito principalmente para aumentar o NPV do projeto, através da
aplicação da teoria de Lane da discriminação do minério/estéril. Recorra a seção Cut-offs abaixo.
Quando “grade stockpiles” são usados, pode haver um de alguns deles, sendo que cada um deles de
tamanho significante (sobre a escala de produção anual).
A deposição e recuperação do material acontecem durante muitos anos.
Eles normalmente são modelados com WAG, mas em alguns casos, deposição/recuperação atual podem
seguir um padrão LIFO.
Estes estoques podem ser mantidos por longos períodos, freqüentemente por uma proporção significante
da vida da mina. O planejamento dos “grade Stockpiles” é acomodado no módulo Stockpile & Cut-offs do
Whittle, aplicável para ambos as operações de lavra a céu aberto e lavra subterrânea.
Os “Grade stockpiles” normalmente são associados com minas de metais preciosos e metais base. Eles
raramente são se já associado com outros produtos (por exemplo: carvão, minério de ferro, bauxita) ou
minerais industriais (por exemplo. calcário; areias minerais; fosfato).
15.2 Blending Stockpile
Um blending stockpile é um estoque mantido com a finalidade de armazenar material com características de
teores particulares, até que num determinado tempo possa ser blendado com outro material (ou de estoque
ou ROM) para alcançar uma mistura com a característica desejada. Há duas subclasses do processo de
blendagem que serve ao blending stockpile.
Extractive Blending - É quando o ROM e o material estocado em pilha é blendado para produzir um input
adequado para um processo extrativo (assim como para muitos metais preciosos e metais base). O objetivo
do controle da mistura é apresentar o material ao processo que tem teores característicos que são
conducentes a eficiência de alta extração.
Bulk Blending - É quando o material ROM e stockpile é blendado para produzir um produto vendável, como
WHITTLE - Planejamento Estratégico de Mina
~ 116 ~
carvão metalúrgico, carvão para energia e minério de ferro.
Há também “tipos”de planejamento/otimização de blend, relativo ao período de tempo, modelo e variáveis
de decisão de otimização. Recorra à seção Blending.
15.3 Buffer Stockpiles
Buffer stockpile são projetados para lidar com desigualdades em curto prazo entre a produção de um
processo e a contribuição para outro.
15.4 Planejamento de Stockpile
15.4.1 Projeto de Stockpile
Projeto Econômico - Determinando a função, critérios de entrada/saída e tamanho geral. Isto é feito num
domínio de planejamento estratégico (Whittle) para o Grade Stockpile, Blend de médio/longo prazo e Buffer
Stockpile. O projeto econômico é feito num domínio de otimização de processo contínuo (assim como a
aplicação da teoria de restrições) para buffer stockpile no curto prazo.
Projeto de Engenharia - Determina a natureza exata da deposição/recuperação para alcançar a
integridade estrutural e gerenciamento do teor (LIFO, FIFO, WAG). Também fortemente relacionado -
seleção de equipamento para deposição/recuperação para alcançar a mistura desejada (ou evitar mistura).
O projeto de engenharia é alcançado no processo de Planejamento de Lavra, associado com, mas não
diretamente apoiado com a aplicação do Whittle.
15.4.2 Operação de Stockpile
Sujeito ao projeto econômico e de engenharia, a operação de stockpile é o planejamento da deposição e
recuperação atual, como também o encalço de movimentos atuais de estoque e tonelagens ou volumes.
Planejamento de operações de stockpile é alcançado como uma parte do seqüenciamento global
operacional. Isto está fora da extensão de Planejamento Estratégico de Mina.
WHITTLE - Planejamento Estratégico de Mina
~ 117 ~
16 Blending
16.1 Introdução
Nós definimos quatro tipos de blending aqui. Somente dois destes quatro tipos de blending definidos são
diretamente relevantes para o campo de Planejamento Estratégico de Mina, mas o conjunto completo de
definições é fornecido no interesse da integridade. Exemplos de aplicações de Blending do Type-1 e Type-2
são dados para uma operação de mina de talco na Noble & Sier (1996).
16.2 Type 1 Blending (Ordem única de blending)
O modelo consiste da existência de stockpiles e definições de tipos de material disponível como ROM. Há
alguns variantes neste modelo, dependendo principalmente da maneira na qual o material ROM é
modelado. O modelo mais simples define meramente tipos de material disponível. O tipo mais complexo
define o material ROM pelo tipo de material e tonelagem, com disponibilidade seqüencial quando aplicável.
O objetivo principal é satisfazer a ordenação simples do material a ser homogeneizado através do uso de
pilhas e ordenação do material ROM da mina.
Type 1 Blending é usualmente alcançado usando de certa forma um pouco do mecanismo LP (disponível no
Excel, Lindo, CPLEX). Type 1 Blending também pode estar disponível/alcançável no software de geração de
seqüenciamento tal como o GEMS Production Scheduler.
Pode haver múltiplos pontos de blending (blending seqüencial) a considerar. Por exemplo:
1. Como o material ROM é alimentado dentro de um funil de um britador ou britador;
2. Como o material é beneficiado (como é lavado, separação);
3. Como o material é carregado sobre os trens;
4. Como o material é descarregado dos trens;
5. Como o material é estocado num porto;
6. Como o material é recuperado da pilha de estoque.
16.3 Type 2 Blending (ordem múltipla de blending)
Semelhante ao Type 1 Blending, mas a seqüência de ordenação está presente. O Objetivo principal é
satisfazer a seqüência de ordenação para o material homogeneizado através do uso de pilhas e esta
ordenação doa material da mina ROM.
Type 2 Blending é usualmente alcançado usando algum tipo de mecanismo LP, mas usualmente é
complexo também para ser capaz de aplicar uma solução baseada na planilha eletrônica, assim usualmente
seria tratado através de aplicações de sistemas LP especializado (por exemplo Lindo, CEPLEX). Type 2
Blending também pode estar disponível/alcançável no software de geração de seqüenciamento tal como o
GEMS Production Scheduler.
WHITTLE - Planejamento Estratégico de Mina
~ 118 ~
16.4 Type 3 Blending (Seqüenciamento de blending LOM)
O objetivo principal é maximizar o desempenho financeiro (fluxo de caixa líquido ou NPV) enquanto satisfaz
as exigências de qualidade requeridas do produto homogeneizado.
Type 3 Blending para abertura de minas é fornecido pelo Whittle.
No Type 3 Blending, Blending é considerado como um estágio único de operação (ou seja blending
seqüencial pode ser modelado como estágio único).
Figura 65 - Bulk Blend esquemático.
Figura 66 - Extractive Blend esquemático
16.5 Type 4 Blending (Otimização combinada de cava e blend)
O objetivo principal é determinar a forma da cava (geometria) e a mistura ótima que maximiza o
desempenho econômico do projeto ao longo de sua vida útil.
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Type 4 Blending pode ser aplicado no Whittle como uma técnica avançada. Uma quantidade de avanços
nas ferramentas Whittle nos últimos anos fez desta técnica avançada mais fácil de ser alcançável.
No Type 4 Blending, Blending é considerado como um estágio único de operação (ou seja blending
seqüencial pode ser modelado como estágio único).
Refere a Srinvasan & Whittle (1996).
16.6 Type 4 Blening: Otimização Combinada de Cava e Blend
Originalmente apresentado como: Srinivasan, S., Whittle, D., 1996,
Combined Pit and Blend Optimization, in
SME Annual Meeting Phoenix, AZ., Society for Mining Metallurgy and Exploration, Inc. Reprint No. 96-69.
16.6.1 Resumo
Técnicas tradicionais de otimização de cava não podem levar em conta a exigência da homogeneização de
minério para produzir um produto possível de ser vendido, como é o caso do minério de ferro, carvão, rocha
calcária e outros minerais industriais. Várias técnicas são sugeridas para submeter às deficiências, muitas
das quais foram testadas. As técnicas em geral envolvem a aplicação combinada da otimização de cava e
técnicas de otimização de blend.
16.6.2 Introdução
As técnicas de otimização de cava são freqüentemente aplicadas para ouro, cobre, diamante e outros
minerais, mas raramente para minério de ferro, carvão, rocha calcária e alguns minerais industriais. Um das
razões é que, para mineradores do segundo grupo de minerais, o problema de seqüenciar uma mina para
alcançar uma mistura desejada dos minérios, é mais urgente que aperfeiçoar a forma e tamanho da própria
mina.
As técnicas de otimização de cava poderiam ser usadas talvez se um ninho de cavas fosse usado para
guiar o planejamento de longo prazo da lavra, e onde cada fase assim definida conteve uma mistura de
tipos de minério que podem ser eficientemente homogeneizados. Porém, técnicas de otimização de cava
não têm um modo de lidar explicitamente com o problema da homogeneização e a solução deste problema
é o foco deste papel.
Mol e Gillies (1984) sugeriram usar curvas de tonelagem e teor e curvas de cut-off de ferro versus média do
ferro, alumina e sílica para determinar o teor do cut-off de ferro que deixa a média contendo ferro, alumina e
sílica no depósito em concordância com a mistura exigida. Minas de minério de ferro ainda empregam uma
aproximação semelhante para determinar minério e estéril. A desvantagem desta aproximação é que não
permite a otimização do projeto de cava (uma cava otimizada definiria um subconjunto do depósito original,
enquanto desordena os teores médios). A técnica também conduz ao abandono de alguns blocos de baixo
WHITTLE - Planejamento Estratégico de Mina
~ 120 ~
teor, que poderia de outra forma ser incluído na mistura, ou seja, contendo baixa impureza.
A solução para o problema de como gerar uma cava ótima que contém uma mistura ótima de minérios,
parece consistir na operação combinada do otimizador de cava e blend.
16.6.3 Suposições
Princípio Geral
Nós estamos lidando com um recurso finito consistindo de vários tipos de minério que pode ser
homogeneizado para produzir um produto comercializável. Tipos de minério são determinados sobre a base
de teor primário e radical ou contaminante. Todos os exemplos de um tipo de minério particular terão os
mesmo teores primários e radicais característicos. Não há limite para a quantidade de tipos de minério que
pode ser definido para descrever efetivamente um corpo de minério.
O preço obtido para o minério homogeneizado é constante. Não é a finalidade deste livro focar para o lado
da demanda de mercado de minério homogeneizado.
Para a discussão das técnicas para combinar otimização de cava e blend, nenhuma conta é feita de tempo,
seqüenciamento ou estoque. O alvo é produzir uma cava (ou cavas) no qual renderá os diferentes tipos de
minério em tal quantidade assim como maximizar a soma dos benefícios da operação da lavra e
homogeneização.
Otimização de Cava
Um otimizador projeta uma cava no qual tem as seguintes características:
• As restrições de ângulo de talude são obedecidas;
• O valor total da cava é maximizado.
Para alcançar isto, deve ser dado no programa de otimização de cava:
• Informação das restrições de ângulo de talude;
• O custo de mina por unidade de estéril;
• O valor de uma unidade de minério;
• Um modelo que descreve a posição do minério e estéril em três dimensões.
Se há diferentes tipos de minério, o valor do minério pode ser diferente para cada tipo de minério.
Otimização de Blend
Há vários modos diferentes de definir o objetivo principal da otimização de blend. Alguns exemplos são
como segue:
• Maximizar a tonelagem de minério homogeneizado determinando quais minérios estocados
homogeneizar, enquanto satisfaz restrições de teor;
• Minimizar o custo de produção de uma unidade de minério homogeneizado determinando a taxa em
WHITTLE - Planejamento Estratégico de Mina
~ 121 ~
quais tipos de minério deveria ser usado, dado o custo de uma unidade para cada tipo de minério,
enquanto satisfaz restrições de teores.
Em cada caso discutido abaixo, será especificado o objetivo principal do otimizador de blend.
16.6.4 Técnicas para combinar otimização de cava e blend
Método Heurístico
O método heurístico básico em quatro variantes foi desenvolvido e testado em um modelo de minério de
ferro. O modelo era de um depósito de minério de ferro na Índia oriental, com reservas em torno de 290
milhões de toneladas de Hematita com um teor médio de 63,5% de ferro, 4,0% de alumina e 2.405 de sílica.
Blocos de 25m x 25m x 12m foram estimados com modelamento de variograma e krigagem usando o
Surpac como software de planejamento de mina. O modelo contém blocos do qual cada um são definidos
como ar, estéril ou minério em potencial e teores característicos do minério em potencial é incluído no
modelo.
O Surpac também era usado para manipular o modelo e conectar por meio de interface com o Whittle 3D,
que é uma implementação do algoritmo de Lerchs-Grossmann na otimização de cava. O blend optimizer foi
criado usando a programação linear do pacote ORSYS da ESP inc. com o objetivo principal de maximizar a
tonelagem da mistura abaixo das restrições em que o blend não deve violar o teor alvo para começar a
mistura. Alguma manipulação e interface do modelo de bloco entre o pacote de programação linear e o
Surpac foram feitas usando software escrito por Srinivasan em Pascal.
Fluxograma
Heurístico Tipo 1
Os números em parênteses na discussão abaixo refere-se ao fluxograma acima.
As otimizações alvos de blend são inicialmente fixa (1) como sendo igual às reais restrições de teor. Uma
WHITTLE - Planejamento Estratégico de Mina
~ 122 ~
otimização de blend (2) é executada no modelo de bloco original para encontrar o máximo possível de
subconjunto máximo de blocos de minério potenciais que podem ser incluídos em um blend que satisfará as
restrições de teores. O minério potencial no subgrupo de blend ótimo é sinalizado como minério. A
otimização da cava (3) é então executada, no qual define um subgrupo de cavas ótimas do modelo original
(consiste em tudo que está dentro da cava ótima final). Os mesmos valores são atribuídos para os
diferentes tipos de minério, sendo igual ao valor do minério que encontra justamente o critério real de teor.
O valor da cava é recalculado (4) como se todo o minério potencial no subgrupo de cavas ótimas seja de
fato minério. Uma comparação é feita (5) para ver se todo o minério potencial no subgrupo da cava ótima é
homogeneizado e se encontrará a restrição real de teor. Se não, as otimizações alvos de blend são
ajustadas, e o processo repedido até que uma iteração é executada no qual o teste de comparação (5) é
passado.
Heurístico Tipo 2
Em sua maioria este é igual ao Heurístico Tipo 1, com exceção do seguinte: Quando o valor da cava é
recalculado (4), somente minério assinalado (minério potencial no subgrupo de blend ótimo) é incluído no
cálculo.
A comparação (5) é executada para determinar, se todo minério assinalado no subgrupo de cava ótima é
homogeneizado e se o teor resultante encontrará
a restrição real do teor.
Heurístico Tipo 3
Em sua maioria este é igual ao Heurístico Tipo 2, com exceção do seguinte: Uma segunda otimização de
blend (6) é executada em cada iteração sobre todos os blocos de minério potencial no subgrupo de cava
ótima e então o valor da cava é recalculado (7).
Heurístico Tipo 4
Em sua maioria este é igual ao Heurístico Tipo 3, com exceção do seguinte: Para a finalidade da otimização
da cava (3), preços diferentes são aplicados para os minérios assinalados, dependendo das características
do teor do minério. Em geral, baixo teor de minério tem um preço mais baixo, alto teor de minério tem um
preço maior. O efeito disto é fazer o otimizador de cava favorecer a lavra de minério de alto teor.
Resultados de tentativas Heurísticas
Todos os métodos heurísticos foram capazes de produzir uma cava com características de teores
desejados, com apenas algumas iterações, embora as tonelagens e valores da cava variassem
consideravelmente. A cava de melhor valor foi alcançada com o heurístico tipo 4, onde o valor assinalado
WHITTLE - Planejamento Estratégico de Mina
~ 123 ~
aos bloco é relacionado ao seu teor. O problema com o uso constante do valor apesar do teor como é o
caso do heurístico tipos 1-3, é que, o otimizador de cava trata cada bloco com igual prioridade. Mas quando
o subconjunto total de blocos precisa ser selecionado, baseado nas restrições do ângulo de talude, para
maximizar o valor, nós preferiríamos ter blocos mais ricos incluídos na cava que o mais pobre. Esta
distinção poderia ser alcançada somente unindo o valor do bloco a seu conteúdo de teor.
O resultado do heurístico tipo 1 é de interesse, mesmo que o valor da cava fosse menor. O heurístico tipo 1
produziu uma cava menor com uma taxa muito baixa de desmonte. Isto poderia fornecer um ponto de
partida satisfatório para abrir um depósito quando minimizar a escavação de estéril é uma das prioridades.
Modelo e método de transferência de preço
Um modelo e método são propostos no qual preservarão o grau de ótimos resultados produzidos pela cava
e blend otimizados. Em vigor, permite as restrições e variável de decisão de dois otimizadores serem
combinados para alcançar a única função objetivo de maximizar lucro.
O termo ‘transferência de preço’ (transfer pricing) é usado para representar os preços aplicados para
diferentes tipos de minério transferidos entre a operação de lavra e a operação de blend, no qual neste
modelo são presumidos para serem entidades totalmente separadas ou centros de lucros.
Você pode querer pensar neste modelo como tentativa para reproduzir um mecanismo de mercado, onde,
cada tipo de minério fornecido pela mina é fornecido a um preço, se pelos vendedores no mercado, e os
tipos de minério são processados pela operação de mistura se pelos compradores no mercado. Um
aumento no preço de mercado tenderá a aumentar o desejo dos fornecedores a produzir, mas diminuindo
os compradores desejam obtê-los. Um preço tem que existir no qual a quantia fornecida iguala a quantia
processada. Adam Smith (1776-78) possivelmente produziu a mais famosa cristalização da teoria de
mercado, com os conceitos de ‘curva de demanda negativamente inclinada’ e a ‘mão invisível’ e, fazendo
assim, mostrou como um mercado conduziu a alta eficiência.
Há três componentes para o modelo: a função oferta, a função de preço (o mercado) e a função de
demanda. A função oferta em nosso modelo é levada pelo otimizador de cava, enquanto a função de
demanda é controlada pelo otimizador de blend. Uma função de preço deve ser criada o qual atuará um
mercado, aumentando preços quando há demanda em excesso e preços decrescentes quando há
fornecimento em excesso. Nós estamos buscando preços estáveis a longo prazo para os diferentes tipos de
minério e uma série de tentativas tem que ser executada para tentar estabelecer o que estes são. Se o teste
para um conjunto completo de preços estáveis a longo prazo foi encontrado, é que a razão de minério
rendida pela mina igualará a taxa processada pela operação de blend. Pode ser mostrado que condições de
grau ótimo para ambas as otimizações de blend e cava não são arriscados desde que este teste é
permitido.
Transferência de preço - Taxa de Blend Fixado
Para explicar como transferir preço que pode ser usado em relação as taxas dinâmicas de blend (taxas que
WHITTLE - Planejamento Estratégico de Mina
~ 124 ~
mudam com mudanças no custo unitário para os diferentes tipos de minério), é útil considerar primeiro o
caso simples nos quais taxas de blend não mudam e onde só necessita estar preocupado com um critério
de teor, neste caso o conteúdo da sílica.
Imagine você projetando uma mina usando um software de otimização de cava para um pequeno depósito
de minério de ferro. O depósito contém dois tipos de minério de ferro e estéril. Os de minérios de ferro estão
espalhados e misturados. Ambos os tipos de minério tem um teor de 65% de ferro, que sucede para
corresponder exatamente com as exigências de seu comprador. Um tipo tem um alto conteúdo de sílica, o
outro tem um baixo conteúdo de sílica.
O comprador está preparado para pagar $10 por unidade de minério. O minério de baixa sílica satisfaz
facilmente os requerimentos de seus compradores, o minério de alta sílica não. Como o minério de alta
sílica não é comercializável, você decide fixar o valor para zero com a finalidade de otimização da cava. O
software faz este trabalho e fazendo assim, rende 1.000 unidades de minério de baixa sílica, 1.000 unidades
de minério de alta sílica e algum estéril. Se você fosse vender 1.000 unidades de minério de baixa sílica,
você geraria uma receita de $10.000. Isto corresponde exatamente com a renda calculada pelo software de
otimização de cava. O minério de alta sílica seria enviado para o depósito de estéril.
É trazido a sua atenção que seria possível misturar minério de alta sílica e minério de baixa sílica numa taxa
de 1:2 e o minério homogeneizado satisfaria por um pouco a exigência de seus compradores. Fazendo
assim, você está apto a vender 1.500 unidades de minério homogeneizado a $10 por unidade, assim
aumentando sua receita para $15.000. Você ganhou $5.000 a mais no minério do que seu otimizador de
cava calculou. O problema é que dando ao otimizador um preço de $0 para o de alta sílica, você indicou que
o minério não tem nenhum valor, contudo claramente faz ter um pouco de valor porque pode ser vendido
por $10, contanto que é misturado com algum minério de baixa sílica. É extremamente provável que o
otimizador de cava terá alcançado um resultado sub-ótimo, porque você não deu valores apropriados pelo
minério.
Você executa várias tentativas para tentar adquirir a receita no projeto e a real receita do mesmo.
Primeiramente você estabelece o preço do minério de alta sílica em $10. O otimizador de cava faz o
trabalho e agora rende 1.200 unidades de minério de baixa sílica e 2.000 unidades de minério de alta sílica.
O otimizador calcula a receita para ser 1.200*$10+2.000*$10 = $32.000. Porém, você ainda só pode
homogeneizar minério de alta e baixa sílica numa taxa de 1:2, assim a quantidade de minério que você
pode vender é limitada a (600+1.200) = 1.800. Sua receita real é só $18.000, bem menor que o calculado
pelo seu otimizador de cava. O otimizador calculou uma receita de $20.000 para o minério de alta sílica,
considerando que você só concretizou $6.000 pelo uso de algum minério. Novamente o resultado é sub-
ótimo, mas neste tempo a cava é otimista ao invés de pessimista. O otimizador de cava tratou algum
minério como sendo valioso quando na realidade é inútil.
Você considera aplicando
o preço de $10 a apenas algum minério de alta sílica, mas percebe que fazendo
assim, você estaria direcionando o otimizador para o minério de alta sílica que você favorece ao invés de
WHITTLE - Planejamento Estratégico de Mina
~ 125 ~
permitir o software tomar uma decisão econômica própria.
São executadas numerosas tentativas subseqüentes e torna-se aparente que você não pode fazer a receita
do projeto igualar a real receita modificando apenas o preço de alta sílica. Você tem que mudar ambos os
preços. Na realidade as regras que você tem que seguir é:
1. A soma dos preços unitários por tipos de minérios (preços de transferência) multiplicados pelas
razões de rendimento tem que igualar ao preço unitário final do minério homogeneizado.
2. As razões de rendimento dos tipos de minério pela cava pode igualar as razões de demanda no
blend, neste caso (alta sílica : baixa sílica) = (1:2). Há uma exceção nesta regra. É possível para um
tipo de minério ter um preço de transferência de $0, em cada caso, é aceitável para o otimizador de
cava render uma grande quantidade de minério que pode se usado no blend.
As regras declaradas acima mantêm para qualquer quantidade de tipos de minério. Aritmética simples pode
ser usada para determinar um conjunto de transferência de preços que cumpre com a primeira condição,
mas somente executando o otimizador de cava com aquele conjunto de transferência de preços, pode ser
ou não determinado se a segunda condição é encontrada. Então é necessário executar múltiplas
otimizações de cava, alterando o conjunto de transferência de preços diligentemente (este é o mecanismo
de transferência de preço em ação) entre cada execução, para encontrar um conjunto que satisfaz ambas
as condições.
Transferência de Preço - Razão Dinâmica de Blend
Se uma grande quantidade de tipos de minério são avaliadas e/ou há mais de um critério de teor (por
exemplo: ferro, sílica e alumina), então pode tornar-se possível homogeneizar os minérios numa variedade
de diferentes modos para encontrar o teor alvo. Evidentemente, se custos diferentes forem associadas com
diferentes tipos de minério, então algumas homogeneizações serão mais atraentes economicamente que
outros. Um otimizador de blend olhará para o custo unitário de cada tipo de minério e determinará qual
blend produz uma unidade de minério de teor alvo homogeneizado a custo mínimo (o objetivo principal).
Na seção acima, a metodologia é esquematizada no qual envolve a execução de um otimizador de cava
para determinar a razão nas quais minérios são rendidos. Se um otimizador de blend está sendo usado,
então a taxa de blend torna-se variável e é dependente sobre os valores dos preços de transferência. Por
causa disto, o otimizador de blend pode ser executado ao mesmo tempo em que o otimizador de cava
determina a razão de demanda, para que a taxa de rendimento do otimizador de cova tenha que estar
compatível.
Modelo matemático
Abaixo está a definição matemática do problema. A função Cava e Belnd mostradas abaixo representam as
operações de um otimizador de cava e blend, porém neste modelo, eles servem com a finalidade de
fornecer restrições para a otimização de preço. O objetivo principal é fazer com que as taxas de
fornecimento igualem com as taxas de demanda, manipulando os preços de transferência (as variáveis de
decisão), sujeito a várias restrições.
WHITTLE - Planejamento Estratégico de Mina
~ 126 ~
݉ ൌ ݂ሺଵ, … , ሻ
(Função Cava dos preços dos tipos de minério que determina a taxa dos tipos de minério i lavrado)
ܾ ൌ ݂ሺଵ,… , ሻ
(Função Blend dos preços dos tipos de minério que determina a taxa dos tipos de minério i demandado para
homogeneização)
Minimizar:
ݔ ൌ ݂ሺଵ,… , ሻ
(encontrar o conjunto de valores para pi que minimizará x0)
Onde:
݂ሺଵ,… , ሻ ൌሺ|݉ െ ܾ|ሻ
ୀଵ
(a função retorna a soma das diferenças absolutas entre fornecimento e demanda de todos os tipos de
minério)
Submetido a:
݉ ൌ 1
ୀଵ
ܽ݊݀ ܾ ൌ 1
ୀଵ
(a soma das razões deveria igualar a 1)
0, ݉ 0, ܾ 0, ݅ ൌ 1,… , ݊
(razões não devem ser negativas)
Método
Conjunto de variáveis pi para valores iniciais
Faça até que x0=0
{
execução única de otimização de cava
݉ ൌ ݂ሺ, … , ሻ, ݅ ൌ 1,… , ݊
execução única de otimização de blend
ܾ ൌ ݂ሺ, … , ሻ, ݅ ൌ 1, … , ݊
Fazer para todos os valores de i
{
mecanismo de ajuste de preço
If mi>bi, then diminuir pi, else
If mi<bi, then aumentar pi
WHITTLE - Planejamento Estratégico de Mina
~ 127 ~
}
}
16.6.5 Seqüenciamento
Com êxito, combinando otimização de cava e blend não produz imediatamente algum benefício prático,
porque o problema de homogeneização do minério lavrado por um minerador depende de e são
influenciados pela seqüência na qual minério é extraído. A otimização cava/blend deve ser feita, não só para
a vida da mina, mas para um período operacional de médio prazo. Há uma grande quantidade de variações
básicas de otimização de cava que conduz para um muito bom, se não a uma seqüência de extração
verdadeiramente ótima. Exemplos práticos comerciais disto incluem o Whittle (1988). O Whittle gera as
cavas aninhadas que são usadas para guiar o seqüenciamento de lavra a longo prazo. Tolwinski &
Underwood (1992) e Halatchev (1993) propuseram esquemas que, iniciando de um ninho de cavas produz
seqüenciamentos mais detalhados que levam em conta larguras mínima de cava, suavizações variadas na
mina e taxas de produção assim como tendo outros objetivos. Seria possível gerar cavas aninhadas onde
cada cava teve as características de cavas/blend ótimas. Deveria então ser possível satisfazer isto na
tecnologia sendo desenvolvida pelo J. Whittle, Halatchev, Tolwinski e Underwood para fornecer uma
ferramenta de otimização extremamente útil.
16.6.6 Conclusão
Os métodos heurísticos esboçados deveriam ser de interesse dos mineradores porque a maior parte deles
utiliza ferramentas prontamente disponíveis e podem produzir resultados úteis com apenas algumas
iterações. Pode ser possível estender os métodos manipulando as taxas de preço de custo para lavrar
efetivamente um depósito um pouco de cada vez, com cada parte obedecendo às restrições de teor.
O método de transferência de preço promete produzir resultados que são constantemente melhores que os
métodos heurísticos, porém a implementação será mais difícil e, os autores suspeitam, o tempo de processo
para produzir uma única cava será bem maior.
WHITTLE - Planejamento Estratégico de Mina
~ 128 ~
WHITTLE - Planejamento Estratégico de Mina
~ 129 ~
17 MODELO DE CUSTO PARA DIFERENTES FINALIDADES
17.1 Introdução
Na seção Análise Econômica, Projected Accrual Accounts foi apresentado com uma alternativa técnica de
análise econômica para planejamento estratégico de mina, com a vantagem de ser bom para encargos de
imposto projetado para o futuro, mas com outro pequeno modo de vantagens. Nunca é o menor, a
modelagem do sistema financeiro dominante em todos os negócios, mas para informar o desempenho
financeiro passado e a situação financeira atual. Todavia como um modelo dominante, as regras associadas
a isto são bem mais conhecidas para muitos que as regras que se aplicam a simples análise de fluxo de
caixa e análise de FCD, e há tempos no qual as regras do anterior são confundidas com as regras do
posterior. É por esta razão, que algum espaço é dedicado aqui para comparar e contrastar as regras, de
forma que o Planejador Estratégico de Mina pode apreciar mais os problemas
completamente e com êxito
evitar confundir as regras.
Accrual Accounting (contabilidade de exercício) é universalmente usado como o sistema de informação
financeira empresarial básica. A idéia por trás do sistema é corresponder os custos com receitas para
atividades particulares, de forma que um verdadeiro quadro da rentabilidade das atividades pode ser obtido.
Os resultados do Accrual Accounting manifestam em si mesmo como o Balanço Geral, a Declaração de
Lucro/Perda e uma variedade de outros relatórios de negócio históricos. A informação de custo e receita
exigida para executar a otimização de cava é diferente para aquele exigido para o Accrual Accounting e a
exigência para Análise de FCD é diferente novamente. Aqui, nós buscamos esclarecer a diferença, com
referência particular para um Padrão de Contabilidade Australiano para as indústrias extrativas.
17.2 A expansão dos conceitos de contabilidade
O histórico custo baseado no sistema de contabilidade por dupla entrada foi desenvolvido na Itália no século
XII e XIII. O sistema, às vezes chamado de “Sistema de Veneza”, foi difundido por comerciantes italianos ao
restante da Europa e para a Inglaterra e ao final do século XV, seu uso era muito difundido. Registros do
tempo mostraram práticas incluindo adiamentos e acréscimos, jornais especializados e o livro principal de
contabilidade subsidiário, pouco diferente do que os contadores fazem hoje. Embora houvesse mudanças
no sistema desde o século XV, as mudanças foram no detalhe ao invés de no princípio. Accrual Accounting
se tornou a variante dominante do sistema.25
Accrual Accounting é agora tão dominante em todos os dias da vida comercial que algumas das regras e
convenções assumiram o status de verdades óbvias (self-evident truths), mais particularmente entre esses
que não são completamente treinados em conceitos de contabilidade.
25 Refere-se ao Glossário da seção Accrual Accounting Terms para a explicação destes termos.
WHITTLE - Planejamento Estratégico de Mina
~ 130 ~
17.3 Uso inadequado de conceitos de contabilidade - um exemplo
Referindo-se a figura 67, que é reproduzido da edição de 1990 do “Surface Mining” publicado pela SMME
(Society of Mining, Metallurgy, and Exploration). Armstron, D., (1990) discute que depreciação deveria ser
calculada e que fazendo assim o tamanho da cava diminuiria. Ele vai dizer que o incremento C torna-se o
valor da mina uma vez que a planta foi completamente depreciada.
Figura 67 - Uso inadequado dos conceitos de accrual accounting na determinação da cava final.
A suposição subjacente é que a planta ainda está operando, enquanto que tudo do custo original foi trazido
para computar como uma despesa. Isto muda o custo de mina sujeito as regras do accrual accounting e
então parece tornar-se lucrativo lavrar C, quando previamente parecia não ser lucrativo. Porém, a real
contribuição que C faz ao valor da cava só depende das despesas de caixa e receita que gera. O problema
sobre se o custo da planta foi ou não depreciado completamente é irrelevante.
A aproximação correta para este problema particular é determinar qual cava rende o valor mais alto, não
contando de qualquer modo o custo de capital da planta de processo. Uma vez que você determinou a cava
de valor mais alto, subtraia o custo de capital da planta de processo para adquirir o valor correto do projeto.
Este tipo de confusão é comum de acordo com registros de suporte do software Whittle, até mesmo os
consultores amadurecidos com reputações internacionais entendem isto erradamente. Nós acreditamos que
a maioria ou toda a confusão pode ser esclarecida examinando os princípios básicos do accrual accounting,
Análise de FCD e otimização de cava.
17.4 Princípios e Suposições da Contabilidade, Otimização de Cava e Análise de FCD
Accrual Accounting é um método histórico da contabilidade. Em contraste, Análise de FCD e otimização de
cava, ambas são ferramentas de planejamento. Algumas características básicas dos métodos são
demonstradas na Tabela 12.
WHITTLE - Planejamento Estratégico de Mina
~ 131 ~
Tabela 12 - Características dos diferentes métodos
Características Accrual Accounting Otimização de Cava Análise de FCD
Objetivo
Informar sobre o desempenho
no passado e situações
financeiras atuais de um
negócio
Encontrar a cava com o valor
máximo, dado um modelo de
depósito de minério, alguns
prevêem fatores econômicos e
um conjunto de restrições
técnicas de mina.
Analise e compare projetos de
investimento, falando em conta
das habilidades de ganhos
futuros de dinheiro e o risco
associado com o projeto.
Suposições do
período de vida O negócio está avançando
Pela razão do algoritmo de
otimização de cava não pode
tomar conta do tempo ou
seqüência, o projeto é tratado
como se tudo fosse lavrado e
processado e vendido em um
único dia.
O negócio poderia ser contínuo
ou de comprimento fixo. Se é
contínuo, o valor do negócio
futuro é concedido em menos
peso, assim o negócio a uma
grande distância torna-se
virtualmente irrelevante.
Inflação
Todos os fluxos de caixa são
medidos em valores monetários
nominais. Fatores inflacionários
se mostram nos registros
históricos de um negócio.
Todos os fluxos de caixa são
medidos em valores monetários
de hoje (ou seja, independente
da inflação)
Todos os fluxos de caixa são
medidos em valores monetários
de hoje (ou seja, independente
da inflação)
Valor do dinheiro
(mudança pelo
tempo a não ser
devido à inflação)
Valores monetários no passado
e presente são considerados. O
valor monetário passado é em
igual valor ao valor monetário no
presente nos registros
financeiros.
Valores monetários no presente
e futuro são considerados. O
algoritmo de otimização de cava
não pode tomar conta do tempo,
assim todos os valores
monetários são atribuídos ao
mesmo valor.
Valores monetários no presente
e futuro são considerados.
Valores monetários futuros são
atribuídos a um valor menor que
os valores monetários no
presente.
Custos fixos e
variáveis
Custos fixos e variáveis são
incluídos.
Somente custos variáveis são
considerados na otimização da
cava.
Custos fixos e variáveis são
incluídos.
Custos do Passado,
Presente e Futuro e
fluxo de caixa
Custos do Passado e Presente
são incluídos. Fluxos de caixa
do passado e presente que
representam custos futuros
podem ser acumulado para
períodos futuros através do uso
de amortização.
Somente custos futuros são
considerados.
Somente custos futuros são
considerados.
Doutrina do
conservadorismo
Análogo ao fator de segurança
do engenheiro no projeto, em
face de incerteza, contadores
são inclinados a subestimar
rendimento e superestimar
custos para proteger os
acionistas da própria ganância
em dividendos. Gilman, S.,
(1939).
Conservadorismo pode ser
construído em parâmetros
técnicos, como estimativas de
recurso, restrições de ângulos
de taludes e custos, tudo dos
quais afetarão o projeto da cava,
mas não há nada inerente no
algoritmo de otimização de cava
que gera qualquer tipo de
tendência.
Conservadorismo é negociado
explicitamente com Risco
Ajustado na Taxa de Desconto.
17.4.1 O Padrão de Contabilidade Australiana v. Requerimento de Otimização de Cava e
Análise de FCD
O Padrão Contabilidade Australiana - AAS 7 (11/89), que é documentado na AARF (1989), começa a
maneira na qual o Accrual Accounting deveria ser aplicado em relação a uma operação de mina. É
semelhante a outros padrões de contabilidade da indústria extrativa que aplicam ao redor
do mundo e é
usado aqui como um exemplo.
O objetivo é alcançar o próprio equilíbrio de receitas e gastos que usam o “método de área de interesse” e
de uma perspectiva histórica. Gastos podem ser cancelados, levados adiante e/ou amortizados sobre uma
produção ou tempo base. No caso de fluxos de caixa antecipados, por exemplo, o custo de restaurar uma
WHITTLE - Planejamento Estratégico de Mina
~ 132 ~
área com lavra em suspensão, o fluxo de caixa pode ser determinado na ocasião em que o gasto é citado
para ser comprometido.
As regras que governam quais custos deveriam ser incluídos na otimização da cava, e como eles deveriam
ser incluídos são bastante diferentes. Recorra à seção Calculando Valores do Bloco; Uma Fórmula Para um
Valor do Bloco e Calculando Custos para uma discussão das regras.
As regras que governam quais custos deveriam ser incluídas na análise de FCD são similares àquelas da
otimização da cava, com a exceção de que:
1. Custos no tempo podem ser negociados explicitamente.
2. Desconto é aplicado para fluxos de caixa na análise de FCD sobre a base do período de tempo nos
quais os fluxos de caixa acontecem.
Os itens abaixo é um resumo das categorias de custo e o tratamento preferido sujeito a AA 7, junto com o
tratamento preferido para Otimização de Cava e Análise de FCD.
Custos de exploração e avaliação quando nenhuma descoberta é feita.
AAS 7 Accounting
Cancelar (Write off)
Otimização de Cava
Não Aplicável - não varia conforme a quantia de estéril ou minério que é removido ou processado.
Análise de FCD
Não Aplicável - Está comprometido e irreversível.
Custos de exploração e avaliação onde está obscuro o término do período relatado como se a mina
será ou não desenvolvida.
AAS 7 Accounting
Leve adiante
Otimização de Cava
Mesmo tratamento quanto ao custo de exploração e avaliação quando nenhuma descoberta é feita.
Análise de FCD
Mesmo tratamento quanto ao custo de exploração e avaliação quando nenhuma descoberta é feita.
Custos de exploração onde se tornou aparente que a mina procederá.
AAS 7 Accounting
Leve adiante / Amortize26
Otimização de Cava
Mesmo tratamento quanto ao custo de exploração e avaliação quando nenhuma descoberta é feita.
Análise de FCD
Mesmo tratamento quanto ao custo de exploração e avaliação quando nenhuma descoberta é feita.
26 Sujeito a AAS 7 amortização deveria ser feita em uma base de rendimento de produção (ex. $/g de ouro produzido), a menos que, dado as
circunstâncias, uma base de tempo é mais apropriada. Amortização faz parte do custo de produção.
WHITTLE - Planejamento Estratégico de Mina
~ 133 ~
Custo de aquisição de arrendamentos ou outros direitos de posse
AAS 7 Accounting
Classifica como custos de exploração, avaliação ou desenvolvimento dependendo das circunstâncias
Otimização de Cava
Não Aplicável - não varia conforme a quantia de estéril ou minério que é removido ou processado.
Análise de FCD
Se o custo estiver dependente do início do projeto, então deveria ser incluído. Se o custo já foi
comprometido, então até que ponto o custo deveria ser incluído que dependerá do valor de revenda provável
do arrendamento, se você decidir não proceder com o projeto de mina. O valor de revenda provável
representa um custo de oportunidade; se o projeto procede, você antecederá o valor de revenda.
Inclusão das despesas de aquisição de arrendamento contingentes no modelo de FCD é importante se você
estiver usando a análise para decidir se procede ou não com o projeto. Porém, se você estiver usando
Análise de FCD para comparar projetos alternativos e seqüenciamento de longo prazo, então a inclusão do
custo no modelo não é importante, porque não afetará a posição das alternativas.
Custos de desenvolvimento
AAS 7 Accounting
Leve adiante / Amortize
Otimização de Cava
Não Aplicável - não varia conforme a quantia de estéril ou minério que é removido ou processado.
Análise de FCD
Se o custo é comprometido e irreversível, não deveria ser incluído
Custo de Construção - Na natureza de ativos depreciáveis
AAS 7 Accounting
Depreciar de acordo com a AAS 4.
Otimização de Cava
Se uma das seguintes condições prevalecer, então pode ser dito que o custo varia conforme a quantia de
estéril ou minério que é removido ou processado:
1. O recurso precisará ser substituído durante a vida da mina.
2. O valor de revenda do recurso diminui em relação ao tempo ou para produção em toneladas.
O custo por tonelada de estéril ou de minério deveria ser calculado e incluído no modelo.
Análise de FCD
Se o custo foi controlado explicitamente na otimização da cava, o custo será trasladado automaticamente do
modelo de Análise de FCD, assim o custo não entra novamente. A única exceção para esta regra é que, se
você teve que modelar os custos baseado no tempo na otimização da cava como custos de produção, então
para Análise de FCD você deveria aplicar explicitamente custos baseado no tempo e reverter fora os custos
construídos no modelo de otimização da cava.
Se o custo não foi incluído no modelo de otimização da cava, sua inclusão no modelo de Análise de FCD
dependerá da maneira na qual o valor de revenda do recurso muda ao longo do tempo
Se o valor de revenda é zero em qualquer tempo (como seria o caso para as fundações concretas para uma
planta de processo) então o custo deveria ser incluído como um único fluxo de caixa negativo, mas só se a
despesa ainda não foi comprometida.
Se o valor de revenda diminuir ao longo do tempo, então a quantia pela qual o valor diminui em cada período
deveria ser aplicada em cada período.
WHITTLE - Planejamento Estratégico de Mina
~ 134 ~
Custos de Construção - Não na natureza de ativos depreciáveis
AAS 7 Accounting
Trate da mesma maneira como despesas de desenvolvimento. Isto é, leve adiante / amortize
Otimização de Cava
Mesmo tratamento quanto aos Custos de Construção - na natureza de ativos depreciáveis
Análise de FCD
Mesmo tratamento quanto aos Custos de Construção - na natureza de ativos depreciáveis
Desenvolvimento contínuo (o Padrão não discrimina entre desenvolvimento de novos
recursos/reservas e a atualização de categorias de recursos/reservas existentes).
AAS 7 Accounting
Amortize
Otimização de Cava
Se o desenvolvimento contínuo relaciona a novos recursos em potencial na área de interesse, então o custo
deveria ser excluído.
Se o desenvolvimento contínuo relaciona a atualizar as categorias de recursos existentes, o custo também
deveria ser excluído, embora este problema esteja menos longe de ser bem definido. Poderia ser discutido,
por exemplo, que se a cava produzida através da otimização da cava inclui alguns Recursos Indicados, então
custos extras serão comprometidos em relação àquele minério para melhorar a categoria de estimativa do
Recurso Medido. Porém, nós não acreditamos que isto seria um tratamento apropriado da incerteza
associada com estimativas de Recurso e Reserva e está além da extensão deste documento discutir este
problema em detalhe. Leitores interessados deveriam se referir a Hanson, N. (1995).
Análise de FCD
Como na Otimização da Cava.
Custo de Operação
AAS 7 Accounting
Cancelar (Write off)
Otimização de Cava
Custos deveriam ser categorizados como custo de mina, processo ou venda. Dentro dessas categorias, os
custos deveriam ser categorizados como qualquer custo baseado na produção ou custo baseado no tempo.
Custos baseado na produção podem ser aplicados diretamente. Custos baseados no tempo devem ser
convertidos para custos baseado na produção dividindo o custo pelo período de produção com limites da vida
da mina.
Se o fator limitante na produção da mina é a produção do processo, então todos os custos baseado no tempo
deveriam ser divididos pelo período limite de produção do processo e ser nomeadas como um custo de
processo. Semelhantemente, se o fator limitante é a capacidade de lavra, então todos os custos baseado no
tempo deveriam ser convertidos para custos de mina. Se o fator limitante é a quantidade de produto que
pode ser vendida em cada período, então os custos no tempo deveriam ser convertidos para custos de
venda.
Análise de FCD
Se o custo foi controlado explicitamente na otimização da cava, o custo será trasladado automaticamente do
modelo de Análise de FCD, assim o custo não entra novamente. A única exceção para esta regra é que, se
você teve que modelar os custos baseado no tempo na otimização da cava como custos de produção, então
para Análise de FCD você deveria aplicar explicitamente custos baseado no tempo e reverter fora os custos
construídos no modelo de otimização da cava.
WHITTLE - Planejamento Estratégico de Mina
~ 135 ~
Custos gerais e administrativos
AAS 7 Accounting
Só aloquem à medida que os custos podem ser relacionados a atividades operacionais na área.
Otimização de Cava
Se os custos não forem dependentes no começo ou término do projeto, então eles não deveriam ser
incluídos.
Custos gerais e administrativos que param se a mina, o processo e a venda param, deveria ser convertida
para custos de produção baseado na mina, processo e venda. Se os custos não forem dependentes no
começo ou término do projeto, então eles não deveriam ser incluídos.
Análise de FCD
Se os custos não forem dependentes no começo ou término do projeto, então eles não deveriam ser
incluídos.
Custos gerais e administrativos geralmente são baseados no tempo ao invés de baseado na produção. Se
você teve que modelar custos baseado no tempo na otimização da cava como custos de produção, então
para a Análise de FCD você deveria reentrar explicitamente os custos baseados no tempo e reverter fora os
custos construídos no modelo de otimização da cava.
Quantias recebidas e subsídios em relação à exploração, avaliação, desenvolvimento ou produção
AAS 7 Accounting
Compensação contra a despesa para a qual os pagamentos ou subsídios aplicam
Otimização de Cava
Compensação contra a despesa para a qual os pagamentos ou subsídios aplicam
Análise de FCD
Compensação contra a despesa para a qual os pagamentos ou subsídios aplicam
Custo de Restauração
AAS 7 Accounting
Será estabelecido na ocasião das atividades para as quais a restauração está relacionada e fará parte do
custo da fase respectiva de operação.
Otimização de Cava
Como no caso AAS 7, custos de restauração deveriam ser atribuídos a exploração, avaliação,
desenvolvimento, construção ou operação. Se atribuído a exploração, avaliação, construção ou
desenvolvimento (cava final) eles deveriam ser tratados como mostrado acima para estas categorias. Se os
custos relacionam a operação, e o custo é relacionado ao processo de estéril ou minério, então o custo
deveria ser incluído em uma base de produção.
Análise de FCD
Se o custo foi controlado explicitamente na otimização da cava, o custo será trasladado automaticamente do
modelo de Análise de FCD, assim o custo não entra novamente. A única exceção para esta regra é que, se
você teve que modelar os custos baseado no tempo na otimização da cava como custos de produção, então
para Análise de FCD você deveria aplicar explicitamente custos baseado no tempo e reverter fora os custos
construídos no modelo de otimização da cava.
17.5 Glossário dos termos Accrual Accounting
Existem incontáveis livros disponíveis que contem excelentes explicações dos termos do Accrual
Accounting e de contabilidade, abrangendo livros textos das escolas secundárias e universidades, a
enciclopédias. Porém, supondo que muitos dos leitores deste livro não teriam acesso a tais textos, nós
incluímos nossa breve explicação.
WHITTLE - Planejamento Estratégico de Mina
~ 136 ~
Contas
As contas de um negócio são um registro do desempenho financeiro passado e posição financeira presente
da companhia. As palavras Contas ou Contabilidade freqüentemente são assinaladas pelas palavras:
Histórico, Accrual, Double-Entry (dupla renda) e Cost-Based (custo base). Estes não são métodos
representativos de contabilidade mutuamente exclusivos. Cada termo descreve um aspecto da
contabilidade que necessita ser enfatizado dependendo do contexto no qual o termo é usado. A vasta
maioria dos negócios nos países de primeiro mundo usa o sistema de contabilidade histórica que emprega
os métodos de contabilidade Accrual, Doule-Entry e Cost-Based.
Balanço Geral
O Balanço Geral é um relatório que mostra a posição financeira de um negócio a um determinado ponto no
tempo. O relatório lista os totais de todas as Contas de Ativos, Encargos e Capital e tem que demonstrar
que a equação básica “Ativos = Encargos + Capital” é obedecida.
Contas Baseadas no Custo
O valor de itens está baseado no custo dos itens. Por exemplo, uma loja pode comprar ação no valor de
$100 e desse modo espera eventualmente vender por $150. A ação é registrada nas contas tendo um valor
de $100, sendo o custo, ao invés do valor esperado de venda de $150. Somente no item é realmente
vendido no valor de $150 absorvido nas contas, sendo atribuível como $100 para o custo de bens vendido,
e $50 de lucro.
Depreciação e Amortização
Depreciação é um das ferramentas disponível para o contador aumentar os custos. Se um ativo fixado, ou
seja, um caminhão com uma vida útil de 5 anos, é adquirido por uma companhia, a aquisição é trazida
primeiro para considerar como um ativo. Então, todos os anos, um lançamento contábil é feito para reduzir o
valor do ativo e alocar a redução como uma despesa de depreciação. Por este método, o custo do ativo é
distribuído sobre a vida útil do ativo e a qualquer ponto no tempo, o Balancete mostra o valor contábil do
ativo. O valor contábil de um ativo é realmente definido pelo método pelo qual é calculado e não estaria
correto dizer que representa o valor de revenda do ativo. Uma analogia útil é determinada em Colditz,
Bernard T., Gibbins, Ronald, W., et. al, (1976, P.407): “É conveniente pensar em um ativo fixo como um
pacote de serviços a ser recebido pelo proprietário acima de um período de anos. Propriedade de um
caminhão de entrega, por exemplo, pode fornecer aproximadamente 100.000 quilômetros de transporte. O
custo do caminhão de entrega habitualmente é introduzido em uma conta de um ativo fixado intitulado
Caminhão de Entrega ou Veículo de Entrega no qual, em essência, representa pagamentos com
antecipação durante vários anos de serviços de transporte... Como os anos passam, estes serviços são
usados pela empresa e o custo do ativo fixado é transferido gradualmente em despesa de depreciação”.
Amortização é similar a depreciação, mas geralmente é aplicado a ativos intangíveis tal como benevolência,
ou para gastos pagos antecipadamente. Um exemplo de uma despesa paga antecipadamente seria o custo
de construir uma estrada de transporte. A despesa de construir a estrada de transporte é incorrida em anos
anteriores, mas utilidade da estrada é desfrutada ao longo da vida da mina. Porém, construindo a estrada
WHITTLE - Planejamento Estratégico de Mina
~ 137 ~
de transporte geralmente não seria considerada como um ativo da mesma maneira como um caminhão é
considerado como um ativo. O custo de construir a estrada de transporte é trazido para considerar como um
tipo especial de ativo e todos os anos um lançamento contábil é feito para reduzir a quantia de despesa
paga antecipadamente que
permanece e para alocar isto à conta de despesa de amortização naquele
período.
O conceito “avançado de negócio” tem importante implicação na relação para a depreciação e amortização.
Quer dizer, que o período acima no qual a depreciação e amortização são declaradas, podem ser fixados
independentemente da vida do negócio. O conceito “conservador” também tem implicações. Ninguém pode
estar seguro da vida útil exata de uma peça do equipamento. Se, por exemplo, a vida útil esperada de uma
peça do equipamento variasse entre 5 - 8 anos, a maioria dos contadores tenderiam depreciar acima de 5
anos. Isto significa que o negócio quer despesas do item acima de cinco anos. Se a vida do item torna-se a
ser mais longo que 5 anos, então o contador terá superestimado o custo nos primeiros 5 anos. Porém, isto é
consistente com o conceito de conservantismo da contabilidade.
Contabilidade de Dupla Renda/Contadoria
O Sistema de Contabilidade de dupla renda está baseado nos seguintes princípios básicos:
1. As contas são mantidas do ponto de vista do negócio como uma entidade separada dos proprietários
do negócio.
2. O valor líquido do negócio iguala os ativos da companhia, menos os encargos da companhia, e o
valor líquido é igual ao capital dos proprietários. A equação básica é Ativos = Encargos + Capital.
Para manter a equação básica, um aumento nos Ativos deve ser associado com um aumento igual nos
Encargos ou no Capital, e uma diminuição nos Ativos deve ser associada com uma diminuição igual nos
Encargos ou no Capital. Pela convenção, a equação é mantida pelo uso de duas colunas para toda conta, a
esquerda sendo classificada de Débito ou Dr. (do latim ‘ele deve’) e a direita sendo classificada de Crédito
ou Cr. (do latim ‘ele confia’). Se alguma vez uma entrada for feita em uma coluna de Débito de uma conta,
também deve haver uma entrada feita na coluna de Crédito de outra conta. Por exemplo, cash at bank em
banco é um ativo, segundo o qual o banco deve dinheiro ao negócio. Se uma entrada de Débito é feita para
a conta de Ativo chamado cash at bank, isto indica que houve um aumento na quantia que o banco deve ao
negócio; um aumento no ativo do negócio27. Uma entrada de Crédito correspondente deve ser feita para
outra conta para manter a equação básica. Esta conta de entrada de Crédito é feita para querer depender
da natureza da transação. Alguns exemplos simples são dados abaixo:
1. O dinheiro foi recebido como capital inicial do proprietário do negócio.
Dr. Assets (Cash at Bank)
Cr. Capital
27 Note que quando um negócio recebe uma declaração de conta do Banco, o Banco está apresentando o estado da conta do ponto de vista do Banco,
assim se a conta está em Crédito, do ponto de vista de Bancos, que isto indica que ele confia (ele que é o Negócio) no Banco com o dinheiro. Se as
contas estiverem em Débito, isto indica que ele deve o dinheiro para o Banco. Quando o dinheiro é visto do ponto de vista do Negócio, são invertidos os
Débitos e Créditos.
WHITTLE - Planejamento Estratégico de Mina
~ 138 ~
2. O dinheiro foi emprestado de um amigo para financiar o negócio e depositou na conta bancária.
Dr. Assets (Cash at Bank)
Cr. Liabilities (Loan from Friend)
3. Um caminhão é vendido (ao valor contábil) e os lucros da venda são depositados na conta bancária.
Dr. Assets (Cash at Bank)
Cr. Assets (Trucks)
Todas as contas discutidas até aqui estão presentes no Balanço Geral, que é um relatório que representa a
situação financeira do negócio a um determinado ponto no tempo. Porém, o Balanço Geral não diz nada
sobre como o negócio chegou até onde está. Para isso, um relatório diferente e um pouco mais de contas
são requeridas. O Lucro e Declaração de Perda resumem dois outros tipos de contas: Receitas e Despesas.
Pode ser útil para pensar em Receitas e Contas de Despesas como subsidiária para a conta de capital,
porque ao término de cada período financeiro, eles são somados para determinar o lucro ou perda para o
período e alocado à conta de capital. Ganhando rendimento corresponde a um aumento no Capital, assim
rendimento é representado nas contas com uma entrada de Crédito para a Conta de Receita. Incorrendo um
custo corresponde a uma diminuição no Capital, assim um custo seria representado nas contas por uma
entrada de Débito para a Conta de Despesa.
Na prática, um negócio pode manter centenas de contas em sua Razão Geral, cada um alocado para tipos
particulares de transações. Porém, cada e toda conta entrarão numa das categorias: Ativos, Encargos,
Capital, Receita ou Despesas. Sua posição na Razão Geral e sua posição no Balaço Geral ou Lucro e
Declaração de Perda, será determinado adequadamente.
Contas Históricas
Registros que mostram o desempenho histórico de um negócio e sua situação financeira a um dado ponto
no tempo.
Lucro e Declaração de Perda
O Lucro e Declaração de Perda lista e totaliza todas as Receitas e Contas de Despesas. A diferença entre
Receita e Despesa é o Lucro (ou Perda) que é alocado para a Conta de Capital.
WHITTLE - Planejamento Estratégico de Mina
~ 139 ~
18 CUT-OFFS
18.1 Cut-offs Marginal
Cut-offs são teores acima dos quais nós executamos uma coisa e abaixo do qual nós executamos diferente.
O material pode ser enviado para a planta de beneficiamento ou o depósito de estéril dependendo se o teor
está acima ou não de um teor em particular.
Semelhantemente, um cut-off pode ser usado para decidir se o material é enviado para a planta de
beneficiamento ou para a pilha de lixiviação.
Há uma longa tradição na indústria mineira de fixar cut-offs ao teor onde o fluxo de caixa produzido por
tonelada é a mesma, seja qual for a decisão que você tomar. Nós chamamos isto de cut-offs marginal. Eles
não devem ser confundidos com o “ponto de equilíbrio” dos cut-offs, que incluem um desconto para o custo
de remoção.
18.1.1 O Caso Normal
Se somente um método de processo é aplicado para um tipo particular de rocha, o cut-off usado para
decidir se processa ou não o material é que o teor no qual o metal recuperado paga para processar o
material (mais alguma lavra extra e o custo de transporte do minério). Isto é:
Cut-off x Recuperação x Preço = Custo de Processo
ou:
Cut-off = Custo de Processo/(Recuperação x Preço)
Isto é mostrado graficamente na figura 68. Nós referimos à linha grossa como a linha de processo. Se a
recuperação do processo para o preço aumenta, a linha fica mais inclinada e o cut-off diminui.
Figura 68 - Gráfico de Receita v. Teor.
WHITTLE - Planejamento Estratégico de Mina
~ 140 ~
Nós assumimos que a decisão de processar ou não é feito enquanto o material ainda estiver in situ. Assim,
material que não é processado incorre somente no custo de mina como estéril. O material que é para ser
processado será controlado freqüentemente com equipamentos diferentes a um custo maior e este custo
extra deveria ser adicionado ao custo de processo.
18.1.2 Recuperação de processo não linear
Fração de recuperação nem sempre é independente do teor do material processado. O Whittle tem uma
facilidade segundo o qual você pode simular recuperação não linear subtraindo um teor “limiar” (limiar ou
threshold - valor mínimo de alguma quantidade) do teor atual do material antes de aplicar a fração de
recuperação.
Os tipos de curvas da fração de recuperação efetiva que são o resultado disto são ilustrados na Figura 69.
Figura 69 - Gráfico de recuperação v. teor com diferentes limiares.
Se um processo de beneficiamento tem um resíduo constante de teor embora o teor
principal, e todo o outro
produto é recuperado, isto é facilmente simulado fixando o limiar de recuperação para o resíduo de teor
esperado e a recuperação de 100%.
O efeito de um limiar de recuperação que tem no gráfico de Receita x Teor pode ser visto abaixo
Figura 70 - Gráfico de Receita x Teor com um limiar.
WHITTLE - Planejamento Estratégico de Mina
~ 141 ~
O Whittle também permite você usar uma expressão algébrica baseado em teor, que é o mais geral.
18.1.3 Custo de reabilitação (Rehabilitation Cost)
Se há custos de reabilitação incluídos quando um tipo particular de rocha é lavrado e depositado, pode ser
mais econômico processar algum material tendo uma perda ao invés de lavrar como estéril. É, em efeito,
mais econômico purificar o material processando-o que lavrá-lo como estéril e ter que reabilitá-lo.
Isto tem o efeito de reduzir o cut-off calculado, como pode ser visto na Figura 71. No caso extremo onde o
custo de reabilitação é maior que o custo de processo, o cut-off cairá para zero e todo o material será
processado.
Figura 71 - Cálculo do cut-off quando há o custo de reabilitação.
18.2 Múltiplos métodos de processo
Se mais de um método de processo for aplicável a um tipo particular de rocha, é normal escolher o método
para cada teor que produzirá a receita mais alta. Graficamente, as “linhas de processo” são postas em cima
de um ao outro e o mais alto a cada ponto é usado. Aonde este processo conduz a um teor ao qual nós
mudamos de um método de processo a outro, nós referimos a este teor como um cut-over ao invés de um
cut-off.
A figura 72 mostra o efeito de um processo de beneficiamento e uma operação em pilha de lixiviação, onde
é mais barato lixiviar o material em pilha, mas a fração de recuperação é menor. Com este arranjo, nós
colocamos material que está acima do cut-over através do processo de beneficiamento. Nós lixiviamos o
material em pilha que está entre o cut-over e o cut-off, e nós lavramos o material que está baixo do teor de
corte como estéril. A linha grossa de processo combinado reflete isto.
Um erro comum é executar os cut-offs do processo de beneficiamento e da pilha de lixiviação
independentemente um do outro e então usar o cut-off do processo de beneficiamento como um cut-over.
Isto não maximiza fluxo de caixa por tonelada.
WHITTLE - Planejamento Estratégico de Mina
~ 142 ~
Figura 72 - Linha de cut-off com dois métodos de processo.
18.3 Equilíbrio de lavra e processo
Até este ponto nós tomamos aproximações do Whittle para lidar com custos no tempo. Quer dizer, nós
fatoramos o custo no tempo dentro da atividade no qual limita a produção da mina.
Porém, quando nós chegamos a considerar o equilíbrio de produção de lavra e processo, isto não é mais
possível, porque nós não sabemos qual atividade vai limitar. Então nós temos que controlar separadamente
o aumento dos custos de processo e lavra dos custos no tempo.
Considere um simples aumento de lavra em 1MT com uma distribuição de teor na plana de 0,0 a 1,0.
Assumimos que nós estamos para lavrar abaixo das condições econômicas seguintes:
Custo de Mina/T $ 1,00
Custo de processo/T $ 18,00
Fração de recuperação 0,90
Preço $ 100,00
Limite de processo/Ano 500,00T
Limite de lavra/Ano 1.000.000T
Custos no tempo/Ano $ 15.000.000
Se o cut-off é “C”, nós podemos calcular os fluxos de caixa para todo o aumento de lavra como segue:
Receita: 1M*(1-C)*((1+C)/2)*0,9*100
Custo de mina: 1M*1,00
Custo de processo: 1M*(1-C)*18
Custo no tempo do limite total de lavra: (1M/1M)*15M
Custo no tempo do limite total de processo: ((1M*(1-C))/0,5M)*15M
Note que, quando nós estamos limitando a lavra, o total do custo no tempo não depende do cut-off.
Reciprocamente, o custo no tempo por ano não influencia no cut-off que nós escolhemos.
Se nós esboçamos curvas do fluxo de caixa total para dois casos, nós obtemos na figura 73.
WHITTLE - Planejamento Estratégico de Mina
~ 143 ~
Figura 73 - Fluxo de caixa total v. cut-off para unidades de processo e operações de lavra limitada.
Considere o lado esquerdo da curva na figura 73, que mostra o fluxo de caixa total de lavra da a lavra e
processo de 1MT se a mina está inteiramente limitada pela lavra. Tem um cut-off máximo de 0,20, o qual é
precisamente o cut-off marginal, que nós calcularíamos equacionando a receita e custo de processo
[18,00/(100,00*0,9) = 0,20]. O custo no tempo não tem efeito no melhor cut-off neste caso, porque, com a
nossa previsão aproximada o custo no tempo seria fatorado dentro do custo de mina (1,00 + 15M/1M) ao
invés de custo de processo.
A curva que mostra o fluxo de caixa por ano se a mina está inteiramente limitada pelo processo chega ao
máximo de 0,53, que é o que o cut-off marginal seria se o custo no tempo estivesse fatorado dentro do
custo de processo.
(18,00+15M/0,5M)/(100,00*0,90) = 0,53
Desde então ambos os limites de produção de lavra e processo devem ser honrado. Nós podemos operar
somente sobre ou abaixo das curvas, assim que nós estamos limitados pela curva “maximum feasible”.
Neste caso o cut-off o qual dá o ponto mais alto sobre esta curva (0,50) é também o ponto o qual taxas de
lavra e processo são ambos os limites. Porém, com valores econômicos diferentes, isto não é sempre o
caso.
Se nós dividimos em dois o custo no tempo para $7,5M por ano, nós obtemos a figura 74. Agora o melhor
cut-off é 0,37.
Figura 74 - Fluxos de caixa limitados pela unidade de processo e lavra com custo no tempo mais baixo.
WHITTLE - Planejamento Estratégico de Mina
~ 144 ~
A diferença entre o total dos dois fluxos de caixa no gráfico demonstra claramente que os custos no tempo
podem afetar o cut-off ótimo.
Note que, se não há custos no tempo, as duas curvas do fluxo de caixa total num gráfico coincidirá.
Um aspecto importante da interação ente o cut-off e a operação de lavra é que o tempo tomado para lavrar
milhões de toneladas também muda quando nós mudamos o cut-off, como é mostrado na figura 75. Abaixo
de 0,50, a mina é limitada pela capacidade de processo. Desde então o cut-off controla a proporção de
material que é transferido ao processo e o tempo varia com o cut-off. Acima de 0,50, a mina é limitada pela
capacidade de lavra, e, desde então tudo é lavrado e o tempo tomado não muda com o cut-off.
Figura 75 - Tempo para lavrar um incremento para diferentes cut-off.
18.4 Cut-offs com múltiplos produtos
Se há dois produtos em nosso minério, ou seja, PR1 e PR2, então nós podemos ter bastante PR1 e pouco
PR2 em algum minério e o oposto em outro minério. Nós temos que ter alguns caminhos de aplicar cut-offs
que tomam conta disto.
Para recuperar os custos do processo nós necessitamos:
GRADE1*REC1*PRICE1 + GRADE2*REC2*PRICE2 ≥ PRCOST
Porém, se o custo do processo é um ou outro:
independente dos teores de PR1 e PR2, ou
varia linearmente com os teores
e a fração de recuperação de cada é independe do teor, então um “metal equivalente” aproximado pode ser
usado.
WHITTLE - Planejamento Estratégico de Mina
~ 145 ~
Nós multiplicamos o teor de PR2 por um fator para criar este valor comparável com PR1 e adicionar o valor
para o teor de PR1. Quando lavrar, nós aplicamos o cut-off do PR1 para combinar o “metal equivalente”.
Nós podemos calcular um ou outro teor equivalente de PR1 ou de PR2.
Equivalent GRADE1 = GRADE1 + K2*GRADE2
Onde: K2 = (REC2*PRICE2)/(REC1*PRICE1)
Equivalent GRADE2 = GRADE2 + K1*GRADE1
Onde: K1 = (REC1*PRICE1)/(REC2*PRICE2)
Alternativamente, nós podemos executar o fator para aplicar executando primeiro o cut-off o qual aplicaria
para cada produto em isolamento e então dividindo CUTOFF1 por CUTOFF2.
Então, a fórmula de um metal equivalente PR1 é:
GRADE1 + GRADE2 x (CUTOFF1/CUTOFF2)
Outro caminho para analisar é dividir cada teor pelo seu cut-off correspondente e adicionar os valores
resultantes juntos. Você então aplica um cut-off de 1,00 para a soma. Este é mostrado graficamente na
figura 76. Material a direita da linha de inclinação é processado, material à esquerda não.
Figura 76 - Ilustração gráfica do cut-off usando metal equivalente aproximado.
Se o custo do processo não é linear com o teor, ou a fração de recuperação não é independente do teor,
então, estritamente, você não deveria usar um metal equivalente. Você deveria calcular a receita e o custo
de processo de cada exemplo, e somente processo se a receita é maior que o custo.
Todavia, teores equivalentes são freqüentemente usados nestas circunstancias por conveniência
operacional.
18.5 Mudando os Cut-offs com o Tempo
Considerando uma seqüência de lavra no qual consiste em dez incrementos de 1MT como nosso exemplo
WHITTLE - Planejamento Estratégico de Mina
~ 146 ~
anterior, mas, para simplificar, com nenhum custos no tempo e nenhum limite de lavra, de forma que o cut-
off marginal é de 0,20. Isto dá um fluxo de caixa total de $27,8M e um tempo de 1,6 anos para cada
incremento.
Se agora nós variamos o cut-off, somente para o primeiro incremento, o que acontece como NPV no projeto
por inteiro?
O efeito pode ser visto na figura 77. Porque é o melhor cut-off para o primeiro incremento mais do que 0,5,
enquanto que nós sabemos que 0,2 dá o maior fluxo de caixa?
Figura 77 - O efeito de variar o cut-off usado para o primeiro incremento.
WHITTLE - Planejamento Estratégico de Mina
~ 147 ~
19 OTIMIZAÇÃO DO CUT-OFF
19.1 Teoria de Lane para a otimização de cut-off
Kenneth F. Lane explicou que, em adição aos custos normais de caixa o qual deve ser considerado no
custo de processo quando calcula cut-offs, há dois pseudo custos que são também importantes. Nós
referimos a estes como o “custo de atraso” e o “custo de mudança”.
Ambos destes custos levam em conta do fato de que qualquer atividade da mina ou processo toma tempo e
então demora a explotação do resto do projeto.
Por exemplo, considere o cenário de dez milhão de tonelada mencionado anteriormente, com o cut-off que
nós usaremos para explotar os últimos nove milhões de toneladas fixado a 0,20. Como uma conseqüência
os fluxos de caixa para os últimos nove milhões de toneladas da unidade monetária de hoje são fixos.
Deixe-nos ver agora os efeitos de usar três cut-offs diferentes para o primeiro milhão de tonelada.
Cut-off para o
primeiro 1mT
Tempo para o
primeiro 1mT
Fluxo de caixa para
o primeiro 1mT
NPV do primeiro
1mT
0,20 1,6 anos $ 27,8M $ 25,4M
0,45 1,1 anos $ 25,0M $ 23,5M
0,70 0,6 anos $ 16,6M $ 16,0M
Como o cut-off é aumentado, o fluxo de caixa para o primeiro milhão de tonelada diminui, como nós
esperaríamos, desde que nós sabemos que o cut-off marginal de 0,20 maximiza o fluxo de caixa. O NPV do
primeiro milhão de tonelada também diminui, mas não exatamente rapidamente, porque o desconto é
reduzido devido ao reduzido tempo decorrido.
Porém, o NPV dos nove milhões de toneladas restantes aumenta porque a explotação é iniciada em pouco
tempo e todos os fluxos de caixa alcançam mais cedo.
Cut-off para o
primeiro 1mT
Tempo para o
primeiro 1mT
NPV dos últimos
9mT
NPV total do
projeto
0,20 1,6 anos $ 102,9M $ 128,3M
0,45 1,1 anos $ 108,9M $ 132,4M
0,70 0,6 anos $ 115,2M $ 131,2M
O NPV dos últimos 9mT muda aproximadamente 6% com cada passo no cut-off, que é o que você esperaria
com uma taxa de desconto de 12%, se o tempo de iniciar muda por meio ano.
Evidentemente, dos três cut-offs que nós tentamos, 0,45 dá o melhor NPV total e isto corresponde ao
WHITTLE - Planejamento Estratégico de Mina
~ 148 ~
gráfico que nós vimos anteriormente. Nós podemos calcular o cut-off que maximiza o NPV total?
Desde que o NPV dos últimos 9mT varia com o tempo tomado para explotar o primeiro 1mT, nós podemos
tratar isto como um custo no tempo, aqui chamado de custo de atraso. A diferença entre começar depois 0,6
anos e depois de 1,6 anos é $12,3M. Se nós dividirmos isto pela capacidade de processo, nós adquirimos
um custo de atraso de $24,6/T. É então fácil executar o melhor cut-off.
(18,00+24,6)/(100,00*0,90) = 0,47
Isto não corresponde totalmente ao gráfico onde o máximo é obviamente maior que 0,5. A razão para isto é
que esta fórmula simples não faz nenhuma concessão para o desconto do fluxo de caixa para o primeiro
1mT.
Vale à pena fazer este ponto aqui afim de que os métodos de desconto normalmente usados em
contabilidade, onde todos os fluxos de caixa para um calendário de um ano particular são descontados pela
mesma quantia, não refletem o valor real dos fluxos de caixa, desde que eles não distinguem entre uma
quantia recebida no dia 1 de janeiro e uma recebida no dia 31 de dezembro.
Estes métodos foram desenvolvidos como aproximações convenientes na época antes dos computadores e
agora são fortificados completamente.
Para propósitos de otimização do cut-off é essencial descontar sobre uma base contínua (quer dizer,
diariamente). Isto muda ligeiramente o declive da curva do cut-off/NPV e move o máximo. Neste caso move
de 0,47 para 0,52. Note que isto não faz nenhuma diferença de material para o NPV que só é 0,09% menor
com um cut-off de 0,47. Este é outro exemplo de como sistemas insensíveis tornam-se quando eles
estiverem próximos de um máximo.
Para o registro, o multiplicador de desconto para aplicar a um total de um fluxo caixa diário constante,
iniciando no tempo T1 e finalizando no tempo T2, pode ser calculado como segue:
Porcentagem de Desconto/Ano: P
Fração de Desconto/Ano: F = 100/(100+P)
Multiplicador de Desconto: F^T1*(F^(T2-T1)-1)/(Ln(F)*(T2-T1)) ou FT1*(F(T2-T1)-1)/(Ln(F)*(T2-T1))
Onde Ln() é log da base “e”
Nós discutimos o custo de atraso detalhadamente, mas nós mencionamos anteriormente que há dois
pseudo custos.
WHITTLE - Planejamento Estratégico de Mina
~ 149 ~
Todo mundo sabe que fluxos de caixa são mais altos se nós explotamos nosso recurso quando o preço do
produto é alto, e vice-versa. Usando o exemplo anterior, se nós atrasamos a explotação dos últimos nove
milhões de toneladas para um período de preços baixos, nós reduzimos os fluxos de caixa para os nove
milhões de toneladas, e conseqüentemente o NPV destes nove milhões de toneladas. Visto que este efeito
geralmente ficará maior com crescente atraso, nós tratamos isto novamente como um tipo de custo no
tempo e nós chamamos isto de “mudança de custo”. É diferente de todos os outros custos no tempo porque,
se o preço do produto aumenta com tempo, ou os custos diminuem com tempo, isto pode ser negativo.
Note que, se as circunstâncias econômicas são constantes na unidade monetária de hoje, o custo de
mudança é, por definição, zero.
Se o projeto de beneficiamento é limitado, tanto o custo de atraso quanto os custos de mudança deveriam
ser divididos pelo limite de produção do beneficiamento e adicionados ao custo de processo quando calcular
o cut-off. Conseqüentemente, o custo de atraso, que sempre é positivo, aumenta o cut-off. O custo de
mudança pode aumentar ou diminuir o cut-off, dependendo das circunstâncias econômicas se estão
piorando
ou estão melhorando, respectivamente. Porém, sua magnitude geral ainda é relacionada ao NPV
restante.
Até aqui nós discutimos só a possibilidade de variar o cut-off para o primeiro incremento. Por que nós não
deveríamos variar também os cut-offs para o segundo incremento e subseqüentes? Nós podemos
certamente, mas quando nós fazemos, nós mudamos o NPV dos últimos 9mT, o qual, através dos custos de
atraso e mudança, muda o cut-off ótimo para o primeiro 1mT. Isto conduz a um arranjo circular onde nós
voltamos repetidamente e re-otimizamos cut-offs previamente até que o seqüenciamento de cut-off para a
explotação completa dos 10mT se estabeleça.
Como o recurso está esgotado, o NPV do restante do recurso tende a cair e é zero quando nenhum recurso
adicional resta. Desde que ambos os custos de atraso e mudança são dependentes do NPV restante, eles
também tendem a cair. Então, em geral, cut-offs otimizados começam alto e progressivamente diminuem ao
longo da vida do projeto.
Para o caso onde as condições econômicas não mudam, e para o qual, conseqüentemente, o custo de
mudança é zero, Lane propôs uma aproximação à otimização no qual você começa com uma estimativa do
NPV total, otimiza cada incremento usando um custo de atraso derivado do NPV restante e então atualiza o
NPV restante. Quando todo o recurso é explotado deste modo, você normalmente descobre que o NPV
restante final não é zero como deveria ser. Você então ajusta a estimativa para o NPV inicial e tenta
novamente. Este processo é repetido até que o NPV restante final seja zero.
Se nós seguimos esta aproximação com o caso que nós estávamos olhando antes, nós adquirimos cut-offs
como mostrado na Figura 78 e um NPV total de $144,3M, dos quais sao uma melhoria de 12,5% sobre
$128,3M obtidos com cut-offs marginais.
WHITTLE - Planejamento Estratégico de Mina
~ 150 ~
Quando custos de mudança têm que ser considerado, Lane propôs iniciar dois ciclos de otimização sendo o
primeiro acima, com o segundo iniciando um ano depois que o primeiro. As otimizações seriam executadas
lado a lado e a diferença entre o dois NPVs seria usada para calcular o custo de mudança.
Figura 78 - Curva de cut-off para incrementos simples usando o método de Lane.
Nós entendemos que o programa “OGRE”, que era desenvolvido pela RTZ usa este algoritmo.
Até aqui assumimos que o material abaixo do cut-off era para ser descartado. Porém, desde que os cut-offs
tendem a ser alto durante os primeiros anos, é freqüentemente compensador estocar algum material deste
material para processar mais tarde. Nós discutiremos esta possibilidade depois.
19.2 Método do Whittle de otimização do Cut-off
Quando o Programa Whittle começou a desenvolver um pacote de otimização do cut-off, nós decidimos que
tinha capacidade para controlar múltiplos tipos de rocha, múltiplos métodos de processo por tipo de rocha e
múltiplos limites de produção, como o Whittle.
Conseqüentemente teve que calcular vários cut-offs para cada incremento ou período de tempo. Desde que
os cut-offs normalmente interagiriam entre si pelos limites de produção, nós tivemos que usar um
mecanismo multi-variável de otimização que poderia lidar com uma função não linear. Depois de testar um
otimizador próprio, que era desigual à tarefa, nós desenvolvemos nosso próprio.
Isto nos permitiu seguir os princípios de otimização de Lane, nisso nós começamos de um NPV estimado,
otimizamos o fluxo de caixa por tonelada, incluindo os pseudo custos para cada incremento, e então
iteramos todas as coisas até que o NPV final fosse zero.
Isto pode ser expresso como é mostrado abaixo quando não há custos de mudança. É muito mais
complicado quando houver.
WHITTLE - Planejamento Estratégico de Mina
~ 151 ~
Fixe um NPV inicial
Itere até que o NPV final esteja suficientemente próximo de zero:
Fixe o NPV final ao NPV inicial
Para cada incremento:
Encontre os cut-offs para este incremento que maximize o fluxo de caixa por tonelada incluindo o
custo de atraso
Calcular o NPV do incremento
Subtrair este NPV do NPV final
Próximo incremento
Se o NPV final não é próximo de zero:
Ajuste o NPV inicial
End IF
Próxima iteração
Isto trabalhou - mostly (principalmente).
Porém, “mostly” não era bom o bastante para um pacote comercial e nós mudamos o método para o
seguinte:
Itere até que o NPV total estabilize:
Para cada incremento:
Encontre os cut-offs para este incremento que maximize o NPV total enquanto mantêm os cut-offs
para os outros incrementos constantes
Próximo incremento
Próxima iteração
Isto se concentra para convergir de forma confiante. Em particular, parece controlar muito melhor os efeitos
dos custos de mudança. Sempre produz uma resposta, mas nós sabemos que com certos dados muito
estranhos pode ser enganado em convergir em um máximo local que não é o máximo global.
Desde que avalia todo o NPV ao invés do NPV de um único incremento quando otimizar os cut-offs para um
incremento, pareceria fazer muito mais cálculo que o método de Lane. Na prática, com uso inteligente de
um estoque de cálculos anteriores, isto faz só um pouco mais.
Esta aproximação produz os cut-offs mostrado na figura 79.
O NPV total é $145,1M que é uma melhoria de $0,8M no método de Lane. O que é interessante é que se
nós usarmos um otimizador generalizado (O Excel Solver) que não “sabe” nada sobre cut-offs ou qualquer
teoria relacionada a eles, nós adquirimos cut-offs que só diferem na quarta casa decimal e um NPV que
diferem somente 36 centavos.
WHITTLE - Planejamento Estratégico de Mina
~ 152 ~
Figura 79 - Curva de cut-off para incrementos simples usando o método Whittle.
Note que a curva de cut-off está convexa para acima ao invés de ser para baixo, como é inerente no método
de Lane.
Por que a aproximação de Lane produz um resultado que não é tão bom? Há duas razões.
Primeiro: Lane usa o incremento do NPV no início da lavra para calcular o custo de atraso, enquanto que é
o NPV do material após o incremento corrente que está atrasado.
Segundo: Lane maximiza o fluxo de caixa para o incremento ao invés do fluxo de caixa descontado. Ou
seja, ele não permite o fato de que cut-offs inferiores atrasem a explotação de algum do incremento
corrente.
Quando nós corrigirmos qualquer um destes separadamente, nós obtemos um NPV inferior. Porém, quando
nós corrigimos ambos nós obtemos um NPV que só é 0,035% menor que o melhor que nós obtivemos. É
incidentemente o uso do fluxo de caixa descontado que faz a curva de cut-off estar convexo para cima.
WHITTLE - Planejamento Estratégico de Mina
~ 153 ~
20 O MODELO DC PARA CLASSIFICAÇÃO DE MATERIAL E
MAXIMIZAÇÃO DE NPV
20.1 Visão Geral
O método DC (Discrimination Control - Controle de Discriminação) é uma aproximação para discriminação
de minério estéril no qual utiliza uma nova aproximação de fluxo de caixa. Difere de Lane que procede na
base dos teores de cut-offs e difere para métodos de fluxo de caixa existentes em que pode ser usado em
otimização de Cut-Off para múltiplos processos.
Comparado a aproximações baseada em Lane:
• Variáveis de decisão menos distante precisam ser otimizadas - Em um caso simples (nenhum
stockpiles) Lane tem uma variável de decisão por elemento; por tipo de rocha; por processo, por
período. Por exemplo, em um depósito de dois elementos, com três tipos de rocha, três processos e
10 períodos, há 180 variáveis de decisão. Para o mesmo problema, a aproximação de DC requer
somente 30 variáveis de decisão (um por processo; por período).
• Processos não precisam ser classificados - O modelo é simétrico - Não há necessidade para
classificar processos.
• Balanceamento de processo - O método DC fornece uma estrutura muito sólida para
balanceamento de processo, algo que as aproximações baseadas de Lane, com processos
classificados, não podem fazer.
• Modelagem melhor de economias e recuperações complexas - O método DC opera no modo
“cash flow”, que é muito mais flexível que a aproximação de Lane, que opera no modo “cut-off”. No
modo cut-off há severas limitações sobre a precisão de seletividade nos casos de economias e
recuperações complexas. No modo cash flow não há limitações conhecidas.
• Não precisa re-executar o caso do Cut-off Marginal - O caso do cut-off marginal é idêntico ao cut-
off marginal gerado no modo cash flow pelo Whittle. Não há necessidade de gerar uma seleção de
minério pelo cut-off equivalente, e conseqüentemente nenhum problema de reconciliação associado.
• Nenhum aumento em complexidade - O método DC não é mais complexo que a aproximação de
Lane, se algo, é mais simples, com poucas variáveis de decisões, e nenhum problema de
discriminação de minério/estéril normalmente associado com discriminação de minério/estéril
baseado no cut-off e custos e recuperações de teores dependentes.
Comparado ao modelo de Fluxo de Caixa de Teor de King:
WHITTLE - Planejamento Estratégico de Mina
~ 154 ~
Pode lidar com múltiplos processo não classificados com limites de produção - O modelo
implementado por Brett King lida somente com processos classificados. Ele declara: “Uma observação a
seguir desta aproximação é que a taxa de produção da Pilha de Lixiviação não caracteriza dentro da ...
equação. Isto sugere que potencial exista para encontrar um melhor sistema de classificação para separar o
processo de alimentação. Respondendo esta pergunta é um tópico para pesquisa e investigação adicional”.
Eu fiz uma revisão de documentos subseqüentes e não achei evidência que ele publicou qualquer avanço
no supracitado tópico. O modelo DC lida com qualquer número de processos não classificados, com cada
um dos limites de produção.
20.2 Distribuição de Material pelo Fluxo de Caixa
Nós começamos aqui com “Beneficiamento” e “Pilhas” como o exemplo de processos, mas como
desenvolve a lógica, será resumido a qualquer processo e qualquer quantidade de processos.
É possível calcular para qualquer parcela de material o lucro associado com designação para um processo.
Para cada parcela, você pode calcular o lucro para todo processo definido. Contra estes valores calculados,
nós podemos aplicar um conjunto de Controles de Discriminações (DCs) de um modo estruturado para
alocar material para a localização apropriada (um processo ou depósito de estéril).
20.2.1 Definições
• Toneladas métricas - Usado neste documento para representar massa de material (minério, estéril).
É menos complicado que as “unidades de massa” mais genérica. Substitua toneladas, toneladas
longas ou toneladas curtas como exigido.
• Diagrama DC - Um diagrama DC é definido aqui para mostrar os valores de dois processos
alternativos sobre um eixo X e Y para uma população de parcelas de material.
• Incremento - Um agrupamento de material que torna-se disponível para lavra. Contém uma
quantidade de Parcelas, cada unidade de material que pode ser processado seletivamente.
• Material - Rocha que vem da mina que pode ser estéril ou minério.
• Seqüência de Mina - Composto de uma série de Incrementos. Uma seqüência de lavra completa
representa todo o material numa mina definida, no qual pode ser acessado.
• Parcela - Um pacote distinto de material, com uma tonelagem, e vários atributos tal como teores, tipo
de rocha, etc.
WHITTLE - Planejamento Estratégico de Mina
~ 155 ~
20.2.2 Cut-Offs Marginal
O cut-off marginal é o cut-off o qual maximiza o fluxo de caixa líquido não descontado. Veja a figura 80.
Figura 80 - Distribuição do processo no modo fluxo de caixa
As regras gerais são as seguintes:
1. Se o valor é positivo isto será processado;
2. Dado 1, então a parcela será designado ao processo que fornece a receita mais alta.
Parcelas nas áreas A e B são designadas para o Processo porque não há alternativas que renderá lucros
mais altos. C e D são designadas para a Pilha porque não há alternativa que renderá lucros mais altos.
20.2.3 Cut-Offs Marginal num Diagrama DC
O cut-off marginal é o cut-off o qual maximiza o fluxo de caixa líquido não descontado (quanto ao Whittle
seleção de minério através do modo “cash flow”). Veja a figura 81.
As regras gerais são as seguintes:
1. Se o valor é positivo isto será processado;
2. Dado 1, então a parcela será designado ao processo que fornece a renda mais alta.
Os eixos dos vértices -X e -Y e uma linha diagonal na direção entre os eixos dos vértices +X e +Y fornecem
os delineadores para a designação do processo no caso normal. O caso normal é equivalente a uma
WHITTLE - Planejamento Estratégico de Mina
~ 156 ~
seleção de minério no Whittle pelo caso do cash flow, onde material é designado para o processo no qual
faz o lucro maior, ou se nenhum processo faz um lucro, o material é designado como estéril.
Parcelas nas áreas A e B são designadas para o Processo porque não há alternativas que renderá lucros
mais altos. C e D são designadas para a Pilha porque não há alternativa que renderá lucros mais altos.
Figura 81 - Diagrama de dispersão DC para o primeiro Pushback no Marvin.
20.2.4 Mudança de Classificação de Material para maximizar NPV
Os seguintes itens são baseados nos princípios gerais estabelecido por Lane:
• Para um determinado incremento, se você reduz o tempo tomado para processar o incremento, então
você aumentará o NPV da soma de todos os incrementos subseqüentes;
• O tempo tomado para processar um incremento depende da quantidade de material designado para
processar no qual tem limites de produção (toneladas/ano) aplicados a eles;
• Designando novamente material que teria sido processado pelos processos de restrição, para outros
processos ou para estéril, o tempo tomado para processar o incremento será reduzido e o incremento
de NPV será reduzido. O correto ou “ótimo” designado novamente é esse que maximiza o NPV total
para todos os incrementos.
20.2.5 Dois processos, um com um limite de produção
No evento em que um processo tem um limite de produção sobre isto, então uma diminuição na tonelagem
de material enviada àquele processo reduzirá a duração do tempo requerido para processar o incremento. A
redução a tempo tomado para processar este incremento, diminui o NPV do incremento, mas aumenta o
NPV de incrementos subseqüentes.
WHITTLE - Planejamento Estratégico de Mina
~ 157 ~
Dado que poderia ser desejável diminuir na tonelagem complementar limitando o processo, a pergunta é: a
que tipo de material deveria ser aplicado a diminuição?
A resposta: deveria ser aplicado ao material que, se reclassificado, terá o mais baixo impacto no NPV do
incremento.
Figura 82 - O material que deveria ser realocado para o Processo é esse que, se reclassificado, terá o mais
baixo impacto no valor do incremento.
Conclui-se que material que deveria ser realocado é esse que tem o mais baixo lucro por tonelada, ou a
menor diferença no lucro. Veja a figura 82.
Na figura 83, um conjunto de linhas vermelha foi adicionado. A posição das novas linhas vermelha é
definida pelo eixo vertical original, e a variável DCm (mostrado com Dm na figura) - Controle de
discriminação para o Processo.
A re-designação procede até
certo ponto no qual tem o menor impacto sobre o incremento do NPV. Isto
significa re-designar o material F e G para a próxima alternativa melhor:
• E é re-designado para estéril. Este valor como estéril é $0. Se forem re-designado para Pilha, este
valor seria negativo, assim Estéril é a melhor escolha;
• F é re-designado para Pilha. Este valor designado para Pilha é mais baixo que o valor designado para
o Processo, mas o valor da Pilha é maior que zero. Este valor como estéril é zero, desse modo a
Pilha é a melhor escolha.
WHITTLE - Planejamento Estratégico de Mina
~ 158 ~
Figura 83 - Processo de realocação que reduzirá o tempo tomado para o incremento a ser processado
(presumindo um limite de produção do processo).
Dois processos, ambos com limites de produção.
Se um limite é introduzido também sobre o processo de Pilha, então imaginariamente, uma redução na
tonelagem designada para Pilha, poderia aumentar a soma de NPVs para isto e todos os incrementos
subseqüentes. Quanto à reclassificação para o Processo, a reclassificação da Pilha deveria ser feita até
certo ponto no qual tem o impacto mínimo no NPV do incremento.
A figura 84 mostra o resultado. Um novo conjunto de linhas azuis é introduzido, definidos pelas variáveis
DCm e DCh (mostrado como Dh na figura) - Controle de discriminação para Pilha.
• G é re-designado da Pilha para Estéril;
• H é re-designado para o Processo. Isto é o menor custo de realocação (na realidade, esta realocação
na verdade ganha novamente um pouco de valor).
Se a restrição da Pilha é aumentada (para reduzir mais adiante a produção da pilha) de Dh1 a Dh2
(mostrado na figura 85) então o material é re-designado novamente.
WHITTLE - Planejamento Estratégico de Mina
~ 159 ~
Figura 84 - Realocação do processo que reduzirá o tempo tomado para o incremento a ser processado
(presumindo um limite de produção do processo e um limite de produção na Pilha aplicado a ambos).
Figura 85 - Se a alocação do processo mais adiante para a Pilha... As duas variáveis de decisão DCm e
DCh e implementação deles (classificação de material para DCh1 e DCh2 mostrados).
20.2.6 Regra generalizada (dois processos)
Os processos usados acima são “Processo” e “Pilha” - familiar para mineradores, mas desnecessário para
WHITTLE - Planejamento Estratégico de Mina
~ 160 ~
trabalhar o modelo. Não há necessidade dos dois processos terem qualquer classificação de precedência
ou valor. O modelo é inteiramente simétrico. Para as regras generalizadas nós precisamos só referir ao
processo 1 e 2.
=If(And((P1-DC1)>0, (P1-DC1)>=(P2-DC2)), “Pa1”, If(And((P2-DC2)>0, (P2-DC2)>=(P1-DC1)), “Pa2”, “W”))
Onde:
Pa1 = Designação do Processo 1
Pa2 = Designação do Processo 2
W = Designação de estéril
P1 = Lucro através do Processo 1
P2 = Processo através do Processo 2
DC1 = Controle de discriminação do Processo 1
DC2 = Controle de discriminação do Processo 2
20.2.7 Regra Generalizada (múltiplos processos)
Para o processo n de m processos
=If(And((Pn-DCn)>0, (P1-DC1)>=max((P1-DC1), (P2-DC2), (P3-DC3), … (Pm-DCm)),), “Pan”, [próximo
teste])
O teste acima é conduzido sobre cada parcela para cada um dos m processos.
Material que não é selecionado para qualquer processo, é classificado como estéril.
Onde:
Pan = Designação do processo n
Pn = Lucro através o Processo n
DCn = Controle de discriminação para Processo n
Há uma ordem para os testes, mas a ordem é arbitrária, como só um teste pode ter um resultado positivo,
exceto no caso onde os econômicos de dois processos são idênticos. Neste caso, a parcela será
determinada para o primeiro processo idêntico que retorna um resultado positivo.
20.2.8 Regra Generalizada (Estéril definido como um processo adicional)
Note que a aproximação descrita abaixo não foi testada.
Deveria ser possível definir destinos de estéril como processo, cada um com conjunto de restrições e
modelos econômicos quanto aos processos regulares. Por este método, deveria ser possível fornecer uma
designação ótima de estéril para um de uma gama de possíveis depósitos de estéril. Haveria uma
necessidade para um processo default de estéril a ser definido, com custos extremamente altos associado
WHITTLE - Planejamento Estratégico de Mina
~ 161 ~
com isto para fazer a matemática trabalhar. Por isso uma qualificação em mente da matemática na verdade
tornam-se um pouco mais simples.
Para o Processo n de m processos:
=If((P1-DC1)>=max((P1-DC1), (P2-DC2), (P3-DC3), … (Pm-DCm)), “Pan”, [próximo teste])
O teste acima é conduzido sobre cada parcela para cada um dos m processos.
Material que não é selecionado para qualquer processo, é classificado como estéril.
Onde:
Pan = Designação do processo n
Pn = Lucro através o Processo n
DCn = Controle de discriminação para Processo n
WHITTLE - Planejamento Estratégico de Mina
~ 162 ~
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