Apostila - Calor

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Notas de aula – Física II; Profs Ricardo e Amauri 
Calor e Primeira Lei 
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CALOR E PRIMEIRA LEI DA TERMODINÂMICA 
 
Calor – é a energia transferida de um corpo para outro em virtude, basicamente, de uma 
diferença de temperatura. 
 
1 – Capacidade Calorífica e Calor Específico 
 
A quantidade de calor necessário para alterar a temperatura de um corpo de massa m é dada 
por: 
 
Q = m c ∆t , (1) 
 
onde c é o calor específico e ∆t é a variação de temperatura sofrida pelo corpo e cuja unidade é 
o Joule (SI), representada pela letra J. 
 
Da Eq. (1) podemos concluir que o calor Q é negativo se o corpo esfria ou positivo se aquece. 
Para isto é necessário que calor saia do corpo ou entre nele. 
 
A capacidade calorífica, que significa a quantidade de calor necessária para elevar de um grau 
é definida da seguinte maneira: 
 
C = m c . (2) 
 
Levando (2) em (1), obtemos que Q = C∆t. 
 
A unidade de capacidade calorífica é J/K ou J/°C. E o calor específico é J/kg.K. 
 
Em muitos livros é comum a utilização da caloria (cal) como unidade de medida para o calor. 
 
1 cal = 4,184 J. 
 
Por último temos a capacidade calorífica por mol, denominada de Capacidade Calorífica 
Molar, definida da seguinte maneira: 
 
Cm = M c , (3) 
 
onde M é a massa molecular da substância. 
 
Sendo cagua > careia, explique porque durante o dia o vento vem do oceano para o continente e a 
noite faz o caminho inverso. 
 
A Tabela 1 mostra algumas substâncias com seus respectivos calores específicos. 
 
Substância c (kJ/kg.K) Substância c (kJ/kg.K) 
Alumínio 0,900 Prata 0,233 
Chumbo 0,128 Tungstênio 0,134 
Cobre 0,386 Água 4,18 
Gelo 2,05 Álcool etílico 2,4 
Ouro 0,126 Mercúrio 0,14 
 
 
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Calorímetro – é um equipamento utilizado para determinar o calor específico de uma 
substância. Ele consiste simplesmente de recipiente isolado termicamente. 
 
Considere um corpo de massa m e temperatura inicial Ti. Um corpo é colocado num calorímetro 
(Figura 1) de massa mc e temperatura inicial Tci contendo uma quantidade de água de massa ma 
a uma temperatura inicial Tai. Vamos calcular a temperatura final que todos os corpos ficam 
após atingir o equilíbrio termodinâmico considerando que Ti > Tci = Tai. 
 
 
 
 
 
 
 
 
Fig. 1 – Corpo de massa m numa temperatura Ti é colocado dentro de um calorímetro com uma 
temperatura menor. O corpo cederá calor ao calorímetro até que estes fiquem com uma 
temperatura final de equilíbrio Tf. 
 
O calor que o corpo cede a água e ao calorímetro até atingir a temperatura final Tf é: 
 
Qc = mc(Ti – Tf). 
 
Este calor é igual aquele que o sistema calorímetro + água recebe, ou seja: 
 
Qr = maca(Tf - Tai) + mccc(Tf - Tci). 
 
Como Qc = Qr, obtemos: 
 
)()()( cifccaifaafi TTcmTTcmTTmc −+−=− . (4) 
 
Da Eq. (4) podemos obter o valor de c. 
 
Nota: Mais precisamente podemos dizer que Qr + Qc = 0. Daqui, podemos fazer sempre a 
temperatura final – temperatura inicial. O resultado é também a equação (4). 
 
2 – Mudança de fase e calor latente. 
 
Mudança de fase – é a mudança de um estado físico de uma substância para outra. Nesta 
mudança, o corpo não altera sua temperatura pois toda energia recebida pelo corpo está sendo 
utilizada para separar as moléculas entre si (caso ele esteja recebendo calor). Isto equivale a 
aumentar a energia potencial de interação entre elas. 
 
Calor latente – é o calor necessário para que ocorra a mudança de fase. 
 
Qf, v =m.Lf, v . (5) 
 
f e v estão relacionados com o calor latente de fusão e de vaporização, respectivamente. 
 
→água
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Exemplo clássico: Um pedaço de gelo de 200g a 0°C foi colocado em 500g de água a 20°C. O 
sistema está num vaso que tem capacidade calorífica desprezível e está termicamente isolado. 
(a) qual a temperatura final de equilíbrio e (b) quanto gelo foi derretido? 
 
Solução: Antes é necessário saber se a quantidade de gelo é capaz de derreter completamente. 
Se sim, então ele chegou a 0°C, pelo menos! 
 
Quantidade de calor necessário para o gelo derreter a 0°C. 
 
Q1 = m.Lf = 0,2.333,5x103 = 66700J 
O calor recebido pelo gelo foi fornecido pela água. Se este não for suficiente para derreter todo 
gelo, então, já podemos dizer que a temperatura final é 0°C. 
 
 Quantidade de calor necessário para a água chegar a 0°C. 
 
Q2 = ma.ca(Ti – Tf) = 0,5.4180.(20 – 0) = 41800 J. 
 
Como Q2 < Q1, então o gelo não será completamente derretido e a temperatura de equilíbrio é 
0°C! Então 
 
41800 = m.Lf ⇒ m = 41800/333500 = 0,125 kg ou 125 g é a quantidade de gelo derretido. 
 
Quais as outras possibilidades que poderíamos ter para este tipo de problema? 
 
 
 
 
3 – A Primeira Lei da Termodinâmica 
 
O calor líquido (Q) adicionado a um sistema é igual a variação de energia interna (∆U) do 
sistema somada ao trabalho (W) realizado pelo sistema. Esta Lei é uma lei de conservação de 
energia. Matematicamente ela é dada por: 
 
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Q = ∆U + W . (6) 
 
∆U > 0 → normalmente está relacionada com o aumento de temperatura e/ou mudança de fase. 
∆U < 0 → decréscimo de temperatura. 
 
W > 0 → o sistema realiza trabalho – um gás se expandindo e empurrando um pistão é um 
ótimo exemplo. 
W < 0 trabalho realizado sobre o sistema – um gás sendo comprimido. 
 
Q > 0 → calor entra no sistema. 
Q < 0 → calor sai do sistema. 
 
A variação de energia interna só depende do estado final e do estado inicial (por isto é 
considerada uma função de estado assim como P, VP e T), porém, Q e W dependem do caminho 
tomado para sair de um estado e ir para outro, logo não são consideradas funções de estado. 
 
Se escrevermos 
 
dQ = dU + dW , (7) 
 
podemos dizer que dU é uma diferencial mas dQ e dW são apenas quantidades infinitesimais 
adicionadas ao sistema. 
 
4 – A Energia Interna de um Gás 
 
A energia cinética total de um gás é: 
 
K = 3nRT/2. 
 
Se esta é a única energia do gás, então 
 
U = 3nRT/2. 
 
Isto só é possível se considerarmos que o gás é ´formado por átomos. Caso o gás seja composto 
por moléculas, então a rotação destas deve ser considera no cálculo da energia cinética. 
Devemos ter em mente que a energia interna só depende da temperatura que o gás se encontra. 
Assim, se existe uma variação de temperatura, a variação da energia interna só depende destas 
temperaturas e não do caminho como estas temperaturas foram variadas. 
 
Expansão livre adiabática 
 
A energia interna depende ou não do volume que ele ocupa? 
 
Na expansão livre, o gás não troca calor com o ambiente, logo Q = 0. Também, como o vácuo 
no lado direito (Figura 2) não oferece qualquer resistência a sua expansão, temos W = 0. Logo, 
∆U = 0, ou seja, não ocorre qualquer variação de temperatura. Isto vale quando a pressão 
dentro do vasilhame é pequena. 
 
 
 
 
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Fig. 2 – Quando a torneira for aberta o gás se expandirá rapidamente até ocupar os dois 
compartimentos. 
 
Na expansão, espera-se que a energia potencial de interação aumente pois a distância entre as 
moléculas aumentam, conseqüentemente, a energia cinètica diminui, logo a temperatura 
também. Para um gás ideal, isto não foi verificado. 
 
5 – Trabalho e Diagrama PV de um Gás 
 
Aplicações da 1a Lei da Termodinâmica. 
 
Suponha um gás confinado num cilindro. Se o gás se expande, o trabalho realizado por ele 
sobre o pistão de área A é: 
 
dW = F.dx = PA.dx = PdV. (8) 
 
 
 
Nota: o trabalho é o produto interno entre a força e o deslocamento de um corpo F.dx. Se o 
deslocamento não está no mesmo sentido da força,
então o trabalho é negativo. 
 
Da Eq. (8), podemos escrever que o trabalho é dado por: 
 
∫=
f
i
V
V
PdVW (9). 
 
O que é fundamental para se calcular o trabalho a partir da Eq. (9) é saber como a pressão 
varia com V! Veja também que o trabalho é igual a área sob a curva de P contra V. 
 
Exemplos: 
 
 
VácuoGás 
parede abiabática 
Fig. 3 – Quando o pistão se move 
para direita, o volume aumenta de 
um valor dV = A dx, onde dx é o 
deslocamento infinitesil do pistão e 
A é a sua área 
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 VOLUME
P
R
E
S
S
Ã
O
 
 
 
 Processo isobárico (Figura 4, caminho 1 → 2 ou 4 → 3): Se o volume do gás aumenta a 
pressão constante de um volume V1 para um volume V2, a temperatura aumenta pois saímos o 
gás sai de uma isotérmica para outra e para que isto ocorra, calor é adicionado. Então 
 
Q > 0 e ∆U > 0. 
 
).( 12
2
1
VVPPdVW
V
V
−== ∫ > 0. 
 
Processo isocórico (Figura 4, caminho 1 → 4 ou 2 → 3): 
 
Como V é constante, dV = 0 e conseqüentemente o trabalho também o é. Outro motivo é que não 
existe qualquer área sob esta curva. (Figura 4). Assim, pela 1a Lei, Q = ∆U. 
 
W = 0 J; 
Q = ∆U. 
 
Processo isotérmico (Figura 4, caminho 1 → 3): T constante. 
 
.ln
1
2
1
2
1 V
V
nRTdV
V
nRTPdVW f
V
V
V
V
=== ∫∫ 
 
W = Q, pois Uf – Ui = 0. 
 
Ciclo Completo 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Se o ciclo for inverso, o W < 0. 
Fig. 4 – O gráfico mostra 3 situações 
distintas para um gás sair do estado 1 
para o estado 3 diretamente (processo 
isotérmico) ou via os estados 2 ou 4. 
Como o trabalho é igual a área sob a 
curva, então em cada um dos caminhos, 
o trabalho é diferente. 
WT = W12 + W23 + W34 + W41 
 
WT = P1.(V2 – V1) + 0 + P3.(V4 – V3) + 0 
 
WT = (P1 – P3).(V2 – V1). 
 
Que é a área do retângulo. Aqui, usamos do 
fato que V4 = V1, V2 = V3, P4 = P3 e P2 = P1.
1 
WT 
V 
P 
2 
3 4
P1 
P3 
V2 V1 
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No caso se tem uma variação que não esteja incluído nos processos acima, faz-se necessário 
determinar como é a função de P em relação à V e aplicar na Eq. 8. Outra maneira, é calcular a 
área sob a curva se o ciclo não é completo ou a área da figura que é limitada pelas curvas para 
um ciclo completo. 
 
6 – Capacidades Calorifícas e Teorema da Equipartição da Energia 
 
Até agora não fizemos qualquer menção com relação à capacidade calorífica de um corpo. Se 
um gás é aquecido até uma temperatura T a volume constante, todo calor fornecido a este gás é 
transformado em energia interna, pois o trabalho realizado pelo gás é zero. Porém, ao ser 
aquecido até T isobaricamente, mais calor é necessário pois, simultaneamente, será realizado 
trabalho. Logo, podemos dizer que C a volume constante (CV) é menor que C a pressão 
constante (CP). 
 
CP > CV. 
 
Matematicamente podemos escrever que: 
 
QV = CV ∆T = ∆U (10) 
 
ou 
 
dU = CV dT ⇒ CV = dU/dT (11) 
 
Para P constante, temos: 
 
VPUTCQ PP ∆+∆=∆= 
 
ou 
 
PdVdUdTCP += (12) 
 
da Eq. (4), temos que V = nRT/P e consequentemente (Supondo P e n constantes) podemos 
derivar a seguinte equação: 
 
dV/dT = nR/P. (13) 
 
Levando Eq. (13) na Eq. (12) e usando a Eq. (11), obtemos: 
 
nRCCnRdTdTCdTC VPVP +=⇒+= . (14) 
 
A Eq. (14) relaciona as duas capacidades caloríficas. Veja, que CP – CV = nR . 
 
 
Para um gás monoatômico, 
 
U = 3nRT/2. 
 
Utilizando Eq. (11) e (14), obtemos: 
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CV = 3nR/2 e CP = 5nR/2. 
 
Teorema da Eqüipartição da Energia 
 
Quando uma substância estiver em equilíbrio, a energia média associada a cada grau de 
liberdade da molécula é kT/2 por molécula ou RT/2 por mol. 
 
No caso de um gás formado por uma molécula diatômica, podemos dizer que, além dos três 
graus de liberdade (translacional em x, y e z) que ela tem, podemos agora acrescentar mais 2 
relacionados com a rotação da molécula em torno de dois eixos (x´ e y´) perpendiculares ao 
eixo da molécula z´. 
 
y´
x´
z´
Centro de massa
 
 
Fig. 5 – Modelo de um halter rígido de uma molécula diatômica de um gás. Não é considerada 
rotação em torno do eixo da molécula, pois, para isto seria necessário considera-la rugosa para 
que num choque com outra molécula, acontecer a rotação. 
 
Para 5 graus de liberdade, temos: 
 
CV = 5nR/2 e CP = 7nR/2 
 
Para um sólido, na maior parte deles, a capacidade calorífica molar (Cm = C/n) obedece a Lei 
de Dulong-Pepit, ou seja: 
 
Cm = 3R = 24,9 J/mol.K 
Isto equivale a 6 graus de liberdade! 
 
7 – A Expansão Adiabática Quase-Estática de um Gás 
 
Neste caso o gás se expande adiabaticamente de um ponto (P1, V1) até um ponto (P2, V2) sem 
realizar troca de calor com a vizinhança. Neste processo o gás esfria ao transformar sua 
energia interna ∆U completamente em trabalho, pois o Q = 0. Este processo está representado 
na Figura 6. O cálculo do trabalho realizado pelo gás é obtido a partir da Eq. (9). 
 
Da 1a Lei da Termodinâmica, temos: 
 
dQ = CV dT + PdV, ou 
 
V
dV
C
nR
T
dT
V
dVnRTdTC
V
V +⇒+=0 . (15) 
 
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Levando CP – CV = nR na Eq. (15). obtemos: 
 
010 =





−+⇒=
−
+
V
dV
C
C
T
dT
V
dV
C
CC
T
dT
V
P
V
VP . (16) 
 
Integrando a Eq. (16), obtemos: 
 
cteVTcteVT =⇒=−+ − ).ln(ln)1(ln 1γγ , (17) 
 
onde γ = CP/CV.. Podemos reescrever a Eq. (17) da seguinte maneira: 
 
TV γ-1=cte . (18) 
 
mas, 
ctePVcteV
nR
PV
=⇒=
− γγ 1 . (19) 
 
Com relação a cte da Eq. (19), podemos dizer que ela é igual a: 
 
...2211 ===
γγγ VPVPPV = cte 
 
 
Fig. 6 – As linhas mais finas representam as isotermas T1 e T2. A curva mais grossa 
representa o processo adiabático. O trabalho no processo adiabático é igual a área sob a curva 
adiabática que liga 1 a 2. 
 
 
 
 
Exercício: obter a equação envolvendo a temperatura e a pressão. 
 
Uma maneira de obter o trabalho adiabático é levar a Eq. (19) na Eq. (9) e resolver a integral. 
Outra maneira é resolver a seguinte equação: 
 
dW = PdV = -CVdT, pois dQ = 0, 
 
VOLUME
PR
ES
S
O
T1
T2
(P , V )
(P , V )W
Adiab tica entre 
os pontos 1 e 2
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ou 
 
∫ ∫ ∆−=⇒−== TCWdTCPdVW VadVad , (20) 
 
onde admitimos que a capacidade calorífica a volume constante é constante. 
 
Um detalhe sobre a Eq. (20) é que, numa expansão adiabática, Tfinal < Tinicial o que resulta num 
trabalho positivo e um conseqüente esfriamento deste. 
 
Podemos abrir a Eq. (20) para obter o Wad em função de P e V. Da Lei dos Gases Ideais e da 
Eq. (20), temos: 
 
( ) ( )2211221112 VPVPCC
C
nR
VP
nR
VPCTTCW
VP
V
VVad −
−
=





−=−−= 
 
( ) ( )
1
1 2211
2211
−
−
=⇒−
−
=
γ
VPVPWVPVP
C
CCW ad
V
VP
ad (21) 
 
 
 
Exercícios: 
 
1) Um grama de água se transforma em 1671 cm3 quando ocorre o processo de ebulição a uma 
pressão constante de 1 atm. Calcule a) o trabalho realizado pela água quando ela se transforma 
em vapor e b) o aumento da sua energia interna. 
Resposta: a) 169 J; b) 2087 J. 
 
2) Um gás realiza dois processos. No primeiro, o volume permanece constante a 0,200 m3 e a 
pressão cresce de 2,00 x105 Pa até 5,00 x105 Pa. O segundo processo é uma compressão até o 
volume 0,120 m3 sob pressão constante de 5,00 x105 Pa. a) Desenhe um diagrama PV 
mostrando estes dois processos e b) calcule o trabalho total realizado pelo
gás nos dois 
processos. 
Resposta: a) 0 J; b) –4,00 x 104 J. 
 
3) Um mol de um gás ideal inicialmente a 4,00 atm e 350 K sofre uma expansão adiabática até 
1,50 vez seu volume inicial. Calcule a temperatura e a pressão no estado final sabendo que o 
gás é a) monoatômico; b) diatômico com CV = 2,5R. 
Resposta: a) 178 K e 2,03 atm; b) 298 K e 2,27 K. 
 
4) Qual a variação da energia interna do gás monoatômico e o trabalho para o exercício 
acima? 
Resposta: -2145 J e 2145 J. 
 
 
Exercício para casa: Física - Tipler, Volume 2, 3 edição 
 
De 1 a 7; de 14 a 30; 33 – 35; 67.