2 lista exercícios

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Segunda lista de exerc´ıcios
1.Determine o maior intervalo no qual o problema de valor inicial dado certa-
mente tem uma u´nica soluc¸a˜o duas vezes diferencia´vel.
Sugesta˜o: Na˜o tente encontrar a soluc¸a˜o.
a)
 ty′′ + 3y = ty(1) = 1, y′(1) = 2 b)
 t(t− 4)y′′ + 3ty′ + 4y = 2y(3) = 0, y′(3) = −1
c)
 (t− 3)y′′ + ty′ + (ln|t|)y = 0y(1) = 0, y′(1) = 1
2. Se o wronskiano de f e g e´ 3e4t e se f(t) = e2t, encontre g(t).
3. Se o wronskiano de f e g e´ tcos(t) − sen(t) e se u = f + 3g, v = f − g,
encontre o wronskiano de u e v.
4.Verifique que as func¸o˜es y1 e y2 sa˜o soluc¸o˜es da equac¸a˜o diferencial dada.
Elas constituem um conjunto fundamental de soluc¸o˜es?
a) y′′ + 4y = 0; y1(t) = cos(2t), y2(t) = sen(2t)
b) x2y′′ − x(x+ 2)y′ + (x+ 2)y = 0, x > 0; y1(x) = x, y2(x) = xex
5.Encontre a soluc¸a˜o do problema de valor inicial dado. Esboce o gra´fico da
soluc¸a˜o e descreva seu comportamento quando t aumenta.
a) y′′ + y′ − 2y = 0, y(0) = 1, y′(0) = 1
b) 6y′′ − 5y′ + y = 0, y(0) = 4, y′(0) = 0
c) 2y′′ + y′ − 4y = 0, y(0) = 0, y′(0) = 1
d) y′′ + 4y′ + 5y = 0, y(0) = 1, y′(0) = 0
e) y′′ − 2y′ + 5y = 0, y(pi
2
) = 0, y′(pi
2
) = 2
f) y′′ + 2y′ + 2y = 0, y(pi
4
) = 2, y′(pi
4
) = −2
g) 9y′′ − 12y′ + 4y = 0, y(0) = 2, y′(0) = −1
2
h) y′′ − 6y′ + 9y = 0, y(0) = 0, y′(0) = 2
i) y′′ + 4y′ + 4y = 0, y(−1) = 2, y′(−1) = 1
6.Encontre uma equac¸a˜o diferencial cuja soluc¸a˜o geral e´ y = c1e
2t + c2e
−3t.
7.Resolva o problema de valor inicial
y′′ − y′ − 2y = 0, y(0) = α, y′(0) = 2.
Depois encontre α de modo que a soluc¸a˜o tenda a zero quando t → ∞.
8.Resolva o problema de valor inicial
4y′′ − y = 0, y(0) = 2, y′(0) = β.
Depois encontre β de modo que a soluc¸a˜o tenda a zero quando t→∞.
9.Use o me´todo de reduc¸a˜o de ordem para encontrar uma segunda soluc¸a˜o da
equac¸a˜o diferencial dada, sendo y1 uma soluc¸a˜o da equac¸a˜o.
a) t2y′′ − 4ty′ + 6y = 0, t > 0; y1(t) = t2
b) (t− 1)y′′ − ty′ + y = 0, t > 1; y1(t) = et
10.Considere a equac¸a˜o ay′′ + by′ + cy = 0.
a) Se a > 0 e c > 0, mas b = 0, mostre que todas as soluc¸o˜es permanecem
limitadas quando t→∞.
b) Se a > 0 e b > 0, mas c = 0, mostre que todas as soluc¸o˜es tendem a uma
constante, que depende da condic¸a˜o inicial, quando t → ∞. Determine
essa constante para as condic¸o˜es iniciais y(0) = y0 e y
′(0) = y′0
11.Resolva as seguintes equac¸o˜es de Euler:
a) 2t2y′′ − 5ty′ + 5y = 0, t > 0
b) t2y′′ + 5ty′ + 13y = 0, t > 0
3
Gabarito da Segunda lista
1.a) 0 < t <∞ b)(0, 4) c)(0, 3).
2. g(t) = 3te2t + ce2t.
3.W (u, v)(t) = −4(tcos(t)− sen(t))
4.a) Sim. b)Sim
5.a) y(t) = et, y →∞ quando t→∞.
b) y(t) = 12e
t
3 − 8e t2 , y → −∞ quando t→∞.
c) y(t) = 2√
33
e
(−1+√33)t
4 − 2√
33
e
(−1−√33)t
4 , y →∞ quando t→∞.
d) y(t) = e−2tcos(t) + 2e−2tsen(t), oscilac¸a˜o decrescente.
e) y(t) = −et−pi2 sen(2t), oscilac¸a˜o crescente.
f) y(t) =
√
2e−(t−
pi
4
)cos(t) +
√
2e−(t−
pi
4
)sen(t), oscilac¸a˜o decrescente.
g) y(t) = 2e
2t
3 − 7
3
te
2t
3 , y → −∞ quando t→∞.
h) y(t) = 2te3t, y →∞ quando t→∞.
i) y(t) = 7e−2(t+1) + 5te−2(t+1), y → 0 quando t→∞.
6. y′′ + y′ − 6y = 0 7. α = −2 8. β = −1
9.a) y2(t) = t
3 b)y2(t) = t
10.b) y0 + (
a
b
)y′0
11.a) y(t) = c1t+ c2t
5
2
b) y(t) = c1t
−2cos(3ln(t)) + c2t−2sen(3ln(t))