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CAPÍTULO 1 EDITORA
NÚMEROS REAIS
Tudo o que vamos estudar no curso de Cálculo se referirá a conjuntos de
números reais. Estudaremos funções que são definidas e assumem valores nesses con-
juntos. Assim, ao estudarmos limite, continuidade, derivadas e integrais dessas funções,
usaremos os fatos elementares a respeito dos números reais.
Neste 1 2 capítulo, vamos analisar o conjunto dos números reais. Enunciaremos
os axiomas básicos, deduziremos propriedades, e apresentaremos exemplos envolvendo
estas propriedades.
1.1 CONJUNTOS NUMÉRICOS
Os primeiros números conhecidos pela humanidade são os chamados inteiros
positivos ou naturais. Temos então o conjunto
N = {1, 2, 3, ...}.
Os números —1, —2, —3, ... são chamados inteiros negativos. A união do conjunto dos
números naturais com os inteiros negativos e o zero (0) define o conjunto dos números
inteiros que denotamos por
Z={0,±1,±2,±3,...}.
2 Cálculo A — Funções, Limite, Derivação, Integração
Os números da forma mln, n O, m, n E Z, são chamados de frações e formam o
conjunto dos números racionais. Denotamos:
Q= {x I x mln , m, n e Z, n O}.
Finalmente encontramos números que não podem ser representados na forma mln,
n O, m, n e Z, tais como -& = 1,414 ..., n = 3,14159 ..., e = 2,71 ... . Estes números
formam o conjunto dos números irracionais que denotaremos por Q'.
Da união do conjunto dos números racionais com o conjunto dos números
irracionais resulta o conjunto dos números reais, que denotamos por
1? = Qu Q'
A seguir apresentaremos os axiomas, definições e propriedades referentes ao
conjunto dos números reais.
No conjunto dos números reais introduzimos duas operações, chamadas adi-
ção e multiplicação que satisfazem os axiomas abaixo:
1.1.1 Fechamento. Se a e b e 1?, existe um e somente um número real denotado
por a + b, chamado soma e existe um e somente um número real, denotado por
ab (ou a x b, ou a - b) chamado produto.
1.1.2 Comutatividade. Se a, b e R entãoa+b=b+a e a-b=b-a.
1.1.3 Associatividade. Se a, b e c e R então
a + (b + c) = (a + b) + c e a (b - c) = (a•b) • c.
1.1.4 Distributividade. Se a, b, c E 1? então
a• (b + c) = ab + ac.
1.1.5 Existência de Elementos Neutros. Existem O e 1 e R tais que a + O = a
e a • 1= a, para qualquer a E R.
Números reais 3
1.1.6 Existência de Simétricos. Todo a E R tem um simétrico, denotado por —a,
tal que a + (—a) = O.
1.1.7 Existência de Inversos. Todo a E IR, a � O tem um inverso, denotado por
1/a, tal que a • 1—
a
= 1.
Usando 1.1.6 e 1.1.7 podemos definir a subtração e a divisão de números reais.
1.1.8 Subtração. Se a, b E IR, a diferença entre a e b, denotada por a — b, é definida
por a — b = a + (—b).
1.1.9 Divisão. Se a,bEIReb � O, o quociente de a e b é definido por —a = a
b•
1.2 DESIGUALDADES
Para podermos dizer que um número real é maior ou menor que outro, deve-
mos introduzir o conceito de número real positivo e uma relação de ordem.
1.2.1 Axioma de Ordem. No conjunto dos números reais existe um subconjunto
denominado de números positivos, tal que:
(i) se a E E, exatamente uma das três afirmações ocorre: a -= O; a é positivo;
— a é positivo;
(ii) a soma de dois números positivos é positiva;
(iii) o produto de dois números positivos é . positivo.
1.2.2 Definição. O número real a é negativo se e somente se — a é positivo.
1.2.3 Os símbolos < (menor que) e > (maior que) são definidos:
(i) a < b <=> b — a é positivo;
(ii) a > b .:;=> a — b é positivo.
4 Cálculo A — Funções, Limite, Derivação, Integração
1.2.4 Os símbolos 5_ (menor ou igual que) e (maior ou igual que) são definidos:
(i) a 5_ b <=> a < b ou a =-- b;
(ii) a � b<=>a>boua=b.
Expressões envolvendo os símbolos definidos acima são chamadas de DESI-
GUALDADES. a<bea>b são desigualdades estritas enquanto a ^ bea � b são
desigualdades não estritas.
1.2.5 Propriedades. Sejam a, b, c, d e N.
(i) Sea>b eb>c, então a > c.
(ii) Se a>bec> O, então ac > bc.
(iii) Se a>be c< O, então ac < bc.
(iv) Se a > b, então a+c>b+c para todo real c.
(v) Sea>bec> d, entãoa+c>b+ d.
(vi) Sea>b>Oec>d> O, então ac>bd.
As propriedades enunciadas podem ser facilmente provadas usando-se as
definições anteriores. Por exemplo:
Prova da Propriedade i). (Sea>beb> c, então a > c).
(def)
Se a > b (a — b) > O.
(def)
Se b > c (b — c) > O.
Usando 1.2.1 (ii), temos (a — b) + (b — c) > O
(def)
ou a—c>0a>c.
Números reais 5
Prova da Propriedade ii). (Se a > b e c > O, então ac > bc).
(def.)
Se a > b (a — b) > O.
Usando 1.2.1 (iii) temos (a — b) • c > O ou (ac — bc) > O e finalmente, pela
definição, ac > bc.
1.3 VALOR ABSOLUTO
1.3.1 Definição. O valor absoluto de a, denotado por lal, é definido como
lal = a, se a O
lal = — a, se a < O.
1.3.2 Interpretação Geométrica. Geometricamente o valor absoluto de a, também
chamado módulo de a, representa a distância entre a e O. Escreve-se então
lal = .
1.3.3 Propriedades.
(i) lxl < a <=> —a < x < a, onde a > O.
(ii) >a<=>x>aoux<—a, onde a > O.
(iii) Se a, b E IR, então la • bl = Ia! • Ibl.
(iv) Se a,bEReb � O, então ab
lal
Ibl •
(v) (Desigualdade triangular)
Se a, b e IR, então la + bl lal +
(vi) Se a, b E R, então la — bl 5 lal + Ibl.
(vii) Se a, b E IR, então Ia! — Ibl .5 Ia — bl.
la 1 ).lb 1
a
b
6 Cálculo A — Funções, Limite, Derivação, Integração
Vamos provar algumas das propriedades citadas.
Prova da Propriedade i). (Ix1 < a <=> — a < x < a, onde a > 0).
Provaremos por partes:
Parte 1: — a < x < a, com a > O Ixl < a.
Se x �_ 0, lx1 = x. Como, por hipótese, x < a, vem que Ixl < a.
Se x < O, lxl = — x. Como — a < x, aplicando a propriedade 1.2.5 iii) concluí-
mos que — x < a.
Assim, lx1 = — x < a ou seja Ixl < a.
Parte 2: lxl < a onde a > O — a < x < a.
Se x .� 0, então Ixl = x. Como lx1 < a, concluímos que x < a. Como a > 0,
segue que — a < O e então — a < O x < a ou seja —a<x<a.
Se x < O, lxl = — x. Como por hipótese Ixl < a, temos que —x < a. Como x < 0,
segue que — x > 0. Portanto, — a < 0 < — x < a ou de forma equivalente — a < x < a.
Prova da Propriedade iii). (Se a, b E I? então Ia • bl = lal . lbl).
Usando 1.3.2, vem
labl = I(ab)2 = 'Va2 • b2 = .Va2 • 'NFTo lal • Ibl.
Prova da Propriedade iv). (Se a, b E R e b t O então
Usando 1.3.2, vem
= "\I = — — b O.
*NW 1 a 1
b2 I b 1
a
b
Números reais 7
Prova da Propriedade v). (Se a, b E I?, então la + bl 5_ lal + lb1).
Como a, b E R, de 1.2.1(i) vem que ab é positivo, negativo ou zero. Em
qualquer caso vale,
ab labl = tal Ibl. (1)
Multiplicando (1) por 2, temos
2ab 2 lal IbI. (2)
Da igualdade (a + b)2 a2 + 2ab + b2 e de (2)
vem que
(a + b)2 a2 + 2 lal Ibl +b2
(a + b)2 la12 + 2 lal Ibl + Ib12
(a + b)2 5_ (Ial + 1b1)2 . (3)
Tomamos a raiz quadrada de (3) e obtemos
la + bl 5_ lal + Ibl.
Prova da Propriedade vi). (Se a, b e 1?, então la — bl 5 lal + 1b1).
Basta escrever a — b = a + (—b) e aplicar a propriedade v).
Ia — bl = la + (—b)I lal + I —bl
lal + Ibl.
Prova da Propriedade vii). (Se a, b E R, então lal — Ibl la — b1).
Vamos fazer a — b = c. Aplicando a propriedade v, vem
lal = Ic + bl
Icl + 1bl
lal — Ibl Icl
lal — Ibl la — bl .
8 Cálculo A — Funções, Limite, Derivação, Integração
1.4 INTERVALOS
Intervalos são conjuntos infinitos de números reais como segue:
1.4.1 Intervalo Aberto. {xl a < x < b} denota-se (a, b) ou ]a, b[.
1.4.2 Intervalo Fechado. fx1 a x b) denota-se [a, b].
1.4.3 Intervalo Fechado à Direita e Aberto à Esquerda. {xl a < x b} de-
nota-se (a, b] ou ]a, b].
1.4.4 Intervalo Aberto à Direita e Fechado à Esquerda. {xl a x < b} de-
nota-se [a, b) ou [a, b[.
1.4.5 Intervalos Infinitos.
(i) {x I x > a} denota-se (a, + oo) ou ] a, + oo[;
(ii) {x 1 x a} denota-se [a, + o.) ou [a, + oo [;
(iii)
{x 1 x < b} denota-se (-00, b) ou ]— ao, b{;
(iv) {x 1 x b} denota-se (— co, b] ou ]- .0, b].
Podemos fazer uma representação gráfica dos intervalos como nos exemplos
que seguem:
ex. 1.4.1 — (2, 3)
ex. 1.4.2 — [O, 3]
ex. 1.4.3 — (1, 4]
ex. 1.4.4 — [O, 4)
O 1 2 3 4
E
O 1 2 3 4
O 1 2 3 4
O 1 2 3 4
Números reais 9
ex. 1.4.5 —
(i) (O, + ao) O 1 2 3 4
(ii) [1, +
O 1 2 3 4
(iii) (-0., 3) 4
O 1 2 3 4
(iv) (-00, 4] 4 3--
0 1 2 3 4
1.5 EXEMPLOS
1. Determinar todos os intervalos de números que satisfazem as desigualdades abaixo.
Fazer a representação gráfica.
3+7x < 8x+9
3+7x-3 < 8x+9-3
7x < 8x + 6
7x-8x < 8x + 6 — 8x
—x < 6
x >
(propriedade 1.2.5 iv)
(propriedade 1.2.5 iv)
(propriedade 1.2.5 iii)
Portanto, {x I x > —6} = (— 6, + 00) é a solução,
e graficamente
6
10 Cálculo A — Funções, Limite, Derivação, Integração
7 < 5x+35.9
7-3 < 5x+3-3 ^ 9-3
4 < 5x<_6
4
6< x5 5
(propriedade 1.2.5 iv)
(propriedade 1.2.5 ii)
Portanto, {x 1 4/5 < x 6/5} = (4/5, 6/5] é a solução,
e graficamente
4/5 6/5
(iii) x + 7 < 5 , x � —7.
Vamos multiplicar ambos os membros da desigualdade por x + 7. Devemos.
então, considerar dois casos:
Caso].
Então,
x + 7 > O ou x>-7 (propriedade 1.2.5 iv)
x < 5 (x + 7) (propriedade 1.2.5
x < 5x + 35
x — 5x < 5x + 35 — 5x (propriedade 1.2.5 iv)
— 4 x < 35
x > — 35/4 (propriedade 1.2.5 iii)
Portanto, {x I x > —7} n {xl x > —35/4} = (-7, + 00) é a solução do 4:354? 1.
Caso 2.
Então,
x+7 < O ou x< —7.
5(x + 7)
x > 5x + 35
x < —35/4
Portanto, {x I x < —7} n {x 1 x < —35/4} = (— 00, —35/4) é a solução do caso 2.
Números reais 11
A solução final é a união de (-7, + o.) e (— 00, —35/4) ou seja (— oo , —35/4) u (-7, + co)
ou ainda x e [-35/4, —7].
Graficamente,
-35/4
(iv) (x + 5) (x — 3) > O.
A desigualdade será satisfeita quando ambos os fatores tiverem o mesmo sinal:
Caso 1. (x + 5) > O e (x — 3) > O ou
x > — 5 e x> 3
ou
x >
Caso 2. x + 5 < Oex-3<0
ou
x < —5 e x < 3
ou
x < — 5.
A solução final será a união entre (3, + e (— co, —5) ou seja todos os x [-5, 3].
Geometricamente,
4
-5
2. Resolva as equações:
(i) I5x — 31 = 7.
Esta equação é verdadeira quando 5x — 3 = 7 ou 5x — 3 = — 7, ou seja, x = 2
ou x = — 4/5.
12 Cálculo A — Funções, Limite, Derivação, Integração
Portanto, as duas soluções da equação dada são:
x = 2 e x = - 4/5.
(ii) I7x - 11 = I2x + 51.
Esta equação será satisfeita se:
Caso 1. 7x-1 = 2x + 5
7x-2x = 5 +1
5x = 6
x = 6/5.
Caso 2. 7x -1 = -(2x +5)
7x -1
-2x-5
7x +2x = -5 +1
9x -4
x = - 4/9.
Portanto, a solução final é x = 6/5 e x = - 4/9.
(iii) 1 9x + 71 = -7.
Esta equação não tem solução pois o valor absoluto de um número nunca pode
ser negativo.
3. Encontre os números reais que satisfaçam as seguintes desigualdades:
(i) 17x- 21<4.
Aplicando a propriedade 1.3.3 (i),
-4 < 7x-2<4
-4+2 < 7x-2+2<4+2
Números reais 13
-2 < 7x < 6
2 6
7
x < .
Portanto, x E (-2/7, 6/7).
7 - 2x
4 + x
s 2, x o - 4.
Aplicando a propriedade 1.3.3 (iv),
17 - 2x1
14 + ^
2.
17 - 2x1 s 214 + xl.
Elevando ambos os lados da desigualdade ao quadrado, vem
49-28x+4x2 s4(16+8x:Fx2)
49-28x+ 4x2 s64+32x+4x2
49 -28x + 4x2 - 64 -32x - 4x2 s 0
- 60x - 15 s O
- 60x 5 15
60x - 15
- 15/60
x z - 1/4 ou x E [-1/4, +
(iii) 3 - 2x s 4, x -2.
2 + x
1 3 - 2x1 s 4 12 + xl
9 - 12x + 4x2 s 16(4+ 4x+x2)
9 - 12x + 4x2 s 64 + 64x + 16x2
-12x2 - 76x -55 s O
14 Cálculo A — Funções, Limite, Derivação, Integração
12x2 +76x+55 O
12(x + 5/6) (x + 11/2) .� O
(x + 5/6) (x + 11/2) � O.
Procedendo como no exemplo 1 (iv) concluímos que a solução final será a
união de (— 00 , —11/2] e [-5/6, + o.), ou seja, x (-11/2, —5/6).
4. Mostre que, se a,bERea<b, então
(i) (x — a) (x — b) > O x [a, b].
(ii) (x — a) (x — b) O x (a, b).
(iii) (x — a) (x — b) <O x E (a, b).
(iv) (x — a) (x — b) < O x E [a, b].
Prova de (i). ((x — a) (x — b) > O x [a, b]).
Os dois fatores (x — a) e (x — b) devem ter o mesmo sinal. Temos dois casos:
Caso 1. x — a > O e x — b > O
ou
x > a e x > b.
A solução deste caso será x > b ou (b, + 00).
Caso 2. x—a < O e x—b<0
ou
x < a e x < b.
A solução deste caso será x < a ou (— 0 , a).
Portanto, a solução final é a união entre (— co, a) e (b, + 00) ou seja x g [a. b]
Números reais 15
De maneira análoga pode-se provar as demais relações.
1.6 EXERCÍCIOS
1. Determinar todos os intervalos de números que
representação gráfica.
a) 3 —x < 5 + 3x b)
c) 2 > — 3 — 3x � —7
satisfaçam as desigualdades abaixo. Fazer a
1 3x —2x 5 1 x— < — + +
3 4 3
5 3
x
< —4
e) x2 _^ 9 1) x2 -3x+2>0
g) 1— x — 2x2
O h) x + 1 x2 — x 3 + x
i) x3 +1>x2 +x (x2— 1) (x +4) 5_ O
k) 2 x + 2 1) x4 > x2< 1x — 2 — x — 2
x 4<4 n) 1/2 x —rn) x — 3 > 14 + x
o) 3 p) x3 — x2 — x —2>0<2x — 5
q) x3 -3x+ 2 50 r) 1 3
x + 1
x — 2
s) 8x3 — 4x2 — 2x + 1 < O t) 12x3 — 20x2 _� — 11x + 2.
2. Resolver as equações em R.
a) 15x — 3 I = 12
c) I 2x — 3 I = I 7x — 5 I
b) I —4+12x1=7
d) x + 2
x — 2
=5
16 Cálculo A — Funções, Limite, Derivação, Integração
3x + 8
e) — 4 f) 13x+2I=5—x2x — 3
g) I9x1-11 = x h) 2x-7=Ix1+1.
3. Resolver as inequações em R.
a) I x + 121<7 b) 13x-41.<2
c) 15-6x1 � 9 d) 12x-51>3
e) 16+2x1<14—xl f) lx+415.12x-61
• g) 13x1>15-2x1 h) 7 — 2x <
5 + 3x — 2
i) lx-11+1x+21>4 j) _1<lx+21<4
k) 2 +x
3 —x
> 4 1) 5 2x— 1
1
x — 2
m) lx1+1<x
n). 31x-11+1xl<1
o) 12x2 +3x+3I ^ 3 p) lx-11+1x-31<14x1
1
1
lx+ 111x — 31 — 5 r)
x— 1/2
x + 1/2 <1
s) 3 — 2x
1 +x
<4
Números reais
17
4. Demonstrar:
a) Se a � Oeb � O, então a2 = b2 se e somente se a = b.
1b) Se x < y, então x < —
2
(x+ y)< y.
c) 1 xl > a se e somente se x > a ou x < — a, onde a> O.
d) Se O < a < b, então "■,/, < a ± 12
2
CAPÍTULO 2 EDITORA
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FUNÇÕES
Neste capítulo introduziremos um dos mais fundamentais conceitos da mate-
mática — o de função. O conceito de função refere-se essencialmente à correspondência
entre conjuntos. Uma função associa a elementos de um conjunto, elementos de outro
conjunto. Em nosso estudo os conjuntos envolvidos sempre serão subconjuntos de R.
As funções neles definidas são chamadas funções reais de variável real.
2.1 DEFINIÇÃO
Sejam A e B subconjuntos de 1?. Uma função f: A B é uma lei ou regra que
a cada elemento de A faz corresponder um único elemento de B. O conjunto A é
chamado domínio de f e é denotado por D(f). B é chamado contradomínio ou campo de
valores de f.
Escrevemos:
f:. A —> B
x —> f (x)
ou
f
A —> B
x — > y = f (x).
18
Funções 19
2.2 EXEMPLOS
Sejam A = {1, 2, 3, 4} e B = {2, 3, 4, 5}.
(i) f: A —> B dada pelo diagrama abaixo é uma função de A em B.
(ii) g: A --> B
x --> x + 1
é uma função de A em B. Podemos representar g em diagrama.
2.3 CONTRA-EXEMPLOS
Sejam A = {3, 4, 5} e B = {1, 2}.
(i) f: A —> B dada pelo diagrama a seguir, não é uma função de A em B, pois
o elemento 4 E A tem dois correspondentes em B.
20 Cálculo A - Funções, Limite, Derivação, Integração
(ii) g: A — B
x --> x - 3
não é uma função de A em B, pois o elemento 3 E A não tem correspondente em B.
Podemos ver isto facilmente representando g em diagrama.
2.4 DEFINIÇÃO
Seja f: A —> B.
i) Dado x E A, o elemento f (x) e B é chamado o valor da f-unçãof no ponto
x ou imagem de x por f.
ii) O conjunto de todos os valores assumidos pela função é chamado
conjunto imagem de f e é denotado por Im(f).
Funções 21
2.5 EXEMPLO
Sejam A = {1, 2, 3, 4, 5}, B = Z (conjunto dos inteiros) e f: A —> B definida pela regra
que a cada elemento de A faz corresponder o seu dobro.
Então: — a regra que defmef é y = 2x;
—a imagem do elemento 1 é 2, de 2 é 4 etc.;
—o domínio de f, D(f) = A;
—a imagem de f, Im(f) = {2, 4, 6, 8, 10}.
2.6 EXEMPLO
Seja f. R —> R
x —> x2 .
Então, D(f) = R,
Im(f) = [0, + 00).
Quando trabalhamos com subconjuntos de R, é usual caracterizar a função
apenas pela fórmula ou regra que a define. Neste caso, entende-se que o domínio de f
é o conjunto de todos os números reais para os quais a função está definida.
2.7 EXEMPLOS
Determinar o domínio e a imagem das funções abaixo:
(i) f (x) = 1/x.
Esta função só não é definida para x = 0. Logo, D(f) = R — { 0 }.
Im(f) = 1? — {0}.
22 Cálculo A — Funções, Limite, Derivação, Integração
(ii) f (x) =
Para x < O, f (x) não está definida. Então, D(f) = [o, + 00) e Im(f) = [O, + 00).
(iii) f (x) = — 1.
f (x) não está definida para x < 1. D(f) = [1, 00) e Im(f) = (— 00, O].
(iv) f (x) = lxl.
D(f) = R e Im(f) = [O, + 00).
2.8 GRÁFICOS
2.8.1 Definição. Seja f uma função. O gráfico de f é o conjunto de todos os pontos
(x,f (x)) de um plano coordenado, onde x pertence ao domínio de f.
Para determinar o gráfico de uma função, assinalamos uma série de pontos,
fazendo uma tabela que nos dá as coordenadas. No ponto em que estamos, não existe
outro meio de determinar o gráfico a não ser este método rudimentar. No Capítulo 5,
desenvolveremos técnicas mais eficazes para o traçado de gráficos.
2.8.2 Exemplos
(i) O gráfico da função f (x) = x2 consiste em todos os pares (x, y) E R2 tais
que y = x2. Em outras palavras, é a coleção de todos os pares (x, x 2) do plano xy. A
Figura 2.1 nos mostra o gráfico desta função, onde salientamos alguns pontos, de acordo
com a tabela.
Figura 2-1
Funções, 23
= x2
—2 4
—1 1
o o
1 1
2 4
(ii) Consideremos a função f (x) = x. Os pontos de seu gráfico são os pares
(x, x) e E2 . A Figura 2.2 mostra este gráfico.
Figura 2-2
(iii) Seja f: IR—> IR definida por
-2, se x _^ -2
f(x) = 2, se — 2 < x .^ 2
4, se x > 2.
O gráfico de f pode ser visto na Figura 2.3.
24 Cálculo A — Funções, Limite, Derivação, Integração
Figura 2-3
(iv) Seja f(x) = lxl. Quando x .� O, sabemos que f(x) = x. Quando x < O,
f (x) = —x. O gráfico de lx1 pode ser visto na Figura 2.4.
Figura 2-4
(v) Seja f(x) = 1 Então, D(f) = IR — { O } . A Figura 2.5 mostra o gráfico
de f (x) = 1/x.
Podemos nos perguntar se, dada uma curva c no plano xy, ela sempre repre-
senta o gráfico de uma função. A resposta é não. Sabemos que, se f é uma função, um
ponto de seu domínio pode ter somente uma imagem. Assim a curva c só representa o
gráfico de uma função quando qualquer reta vertical corta a curva no máximo em um
ponto.
Funções
Figura 2-5
Na Figura 2.6 a curva c 1 representa o gráfico de uma função enquarito a curva
c2 não representa.
Figura 2-6
2.9 OPERAÇÕES
Assim como podemos adicionar, subtrair, multiplicar e dividir números,
também podemos produzir novas funções através de operações. Estas operações são
definidas como segue:
26 Cálculo A — Funções, Limite, Derivação, Integração
2.9.1 Definição. Dadas as funções f e g, sua soma f + g, diferença f — g.
produto f • g e quociente flg, são definidas por:
(i) (f + g) (x) = f (x) + g (x);
(ii) (f — g) (x) f (x) — g (x);
(iii) (f g) (x) =.f (x) g (x);
(iv) (flg) (x) = g(x) .
O domínio das funçõesf + g, f— g e f • g é a intersecção dos domínios de f
e g. O domínio de flg é a intersecção dos domínios de f e g, excluindo-se os pontos x
onde g (x) = O.
2.9.2 Exemplo. Sejam f (x) = — x e g (x) = — 3. Então,
(f + g) (x) = — x +
— 3 ;
(f— g) (x) =AIS —x — 'x — 3 ;
g) (x) = — x — 3 e
.\/5 —(fl g) (x) —
Como D(f) = (— 00, 5] e D(g) = [3, + 00), então o domíniof g,f—g e f. g
é [3, 5].
O domínio de flg é (3, 5]. O ponto 3 foi excluído porque g(x) = O quando
x = 3.
2.9.3 Definição. Se f é uma função e k é um número real, definimos a função kf por
(kf) (x) = kf (x)
O domínio de kf coincide com o domínio de
"Vx —
Funções 27
2.9.4 Exemplo. Seja f (x) = I x2 — 4 e k = 3.
Então, (kf) (x) = 3 'Vx2 — 4 e D(kf) = (— .0, —2] u [2, + 00).
2.9.5 Definição. Dadas duas funções f e g, a função composta de g com f, denotada
por g 0 f, é definida por
(g o f) (x) g (f (A)•
O domínio de g o f é o conjunto de todos os pontos x no domínio de f tais que
f (x) está no domínio de g.
Simbolicamente,
D(g o f) = {x E D(f) / f (x) E D(g)} .
Em diagrama,
2.9.6 Exemplos
(i) Sejam f (x) = -Cyc e g (x) = x — 1. Encontrar g o f .
Temos,
(g o f) (x) = g (f(x)) = g Wc) = —1.
Como D(f) = [O, + .0) e Im(f) = [O, + o.) c D(g) = Do), então,
D(g o f) = D(f) = [O, + co).
28 Cálculo A - Funções, Limite, Derivação, Integração
(ii) Sejam f (x) = 2x - 3 e g (x) = Encontrar: a) g 0 f, b) f 0 g; c) f 0 f e
d) g o g-
a) (g o (x) = g (f (x)) = g (2x 3) = -\12,x - 3.
O domínio de f é D(f) = (- Ge, + oe) e o domínio de g é D(g) = [O, + 00). Assim, o
domínio de g o féo conjunto de todos os números reais x, tais que f (x) E [O, +
isto é, todos os números reais tais que 2x - 3 O. Logo, D(g o f) = [3f2, + ao).
b) (f o g) (x) = f(g(x)) =f(L) = 2 '\F-x-- - 3 e
D(f o g) = {x E D(g) [O, + ao) / g (x) E D(f) ao)} = [O, +
c) (f of) (x) = f (f (x)) =f -3)
= 2(2x - 3) - 3
= 4x - 9.
D(f 0 .f) 00, 00) •
d) (g o g) (x) =- g (g (x)) = g (\rx-) ‘ .Nr -c =
D o g) = [O, +
{O, se x < O
(iii) Sejam.fix) = x2, se O < x < 1
O, se x > 1
1, se x < O
e g(x) = 2x, se O < x < 1
1, se x > 1 .
Determinar fo g.
Sex<0 , (f o g) (x) = f (g (x)) = f (1) = 1 2 =1 .
Se O x 1, (f o g) (x) =f (g (x)) =f (2x).
Para O x -1 ' temos O 2x 5. 1. Logo, neste caso, (f 0 g) (x) = (242 = 4x2 .2
Funções 29
Para 2 < x 1 temos 2x > 1. Assim, para este caso, (f 0 g) (x) = O. Se x > 1,
(f0 g) (x) = f (g (x)) = f (1) = 1.
1, se x < O
Logo, To g) (x) = 4x2,O,
se
se
O < x 1/2
1/2 < x 5. 1
1, se x > 1
O domínio de f o g é D(f o g) = (— + ..).
O gráfico de f 0 g pode ser visto na Figura 2.7.
2.10 EXERCÍCIOS
—x21. Se f (x) — — 1
4
' achar:
(a) f (0)
(c) f (11t)
(e) f (1/2)
(b) f (-2)
(d) f (x — 2)
(f) f (ê)
30 Cálculo A — Funções, Limite, Derivação, Integração
3x — 1 2. Se f (x) —x — 7 , determine:
(a) 5fl— 1) — 2f(0) + 33f(5) 7
(c) f (3x — 2)
(e) f(h) — f(0) h
(b) [f(-1/2)12
(d) f (t) f
(t) f Lf (5)1.
3. Dada a função f (x) xl — 2x, calcular f (-1), f (12) e f (-2/3). Mostrar que f (I al) = —1 ai.
4. Se f (x) — ax d
+ b e d = — a, mostre que f (f (x)) x.
cx +
5. Se f (x) = f(a + h) — f(a)+ 2x, achar , h # O e interpretar o resultado geometricamente.h
x — 1 6. Dada (x) = + , forme as expressões 4) (1/x) e 1/4) (x).2x 7
7. Dada a função f (x) = x2 + 1, mostrar que, para a � 0,f (1/a) =f (a)/a2.
8. Dada a função f (x) = 1/x, mostrar que f (1 + h) — f (1) — h / (1 + h). Calcular f (a + h) — f (a).
9. Seja f (n) a soma dos n termos de urna progressão aritmética. Demonstrar que
f (n + 3) — 3f (n + 2) + 3f (n + 1) — f (n) = O.
10. Exprimir como função de x:
a) A área de uma esfera de raio x.
b) A área de um cubo de aresta x.
c) A área total de uma caixa de volume dado V, sabendo-se que a base é um quadrado de
lado x.
11. Exprimir o comprimento 1 de uma corda de um círculo de raio 4 cm, como uma função de sua
distância x cm ao centro do circulo.
b) y =114 — x2
d) y= -■ix — 2
f) y + x + 4'N/7 x
a) y = x2
1 c) y —
x — 4
e) y= I x2 — 4x + 3
12. Seja f (x) = (x — 2) (8 — x) para 2 5_ x 5_ 8.
a) Determine f (5), f (-1/2) e f (1/2). b) Qual o domínio da função f (x)?
c) Determine f (1— 2t) e indique o
domínio.
d) Determine f (3)] e f (5)]. e) Trace o gráfico de f (x).
13. Determinar o domínio das seguintes funções:
h) y x + a
g) 3'Nix + 7 — 5\ix + 8 x — a
i) y=lx+21 + 4, —5 < x < 2
i) Y= x + 1
k) y = x — 1 1 Y —x 1 +
14. Construir o gráfico cias seguintes funções:
a) f (x) = x2 + 8x + 14
c) y = (x — 2)2
e) y = x3
g) f (x) = 1 xl, —3 5 x < 3
f (x) = — x2 + 4x — 1
y = — (x + 2)2
y = 4 — x3
h) f (x) — 1
x — 2
c) f (x) —
1
d) f (x)= "Nix + 1
x
1 + x2
32 Cálculo A — Funções, Limite, Derivação, Integração
O, se x < O
f(x) = 1/2,
1,
se
se
x = O
x > O
i) f (x) — x + 3
—k) f(x) =
x'x,
— 2 5 x 5 O
O < x < 2 1) f(x) =
x3 ,
1,
se
se
x 5_ O
O < x < 2
x2, se x > 2
m) f 2px .
15. Para cada uma das seguintes funções f (x) esboce primeiro o gráfico de y = f (x), depois o
x)( I f (x) gráfico de y = If (x)1 e fmalmente o gráfico de y = f 2 + 2
a) f (x) (x — 2) (x + 1); b) f (x) = x2;
c) f (x) = —x2 ; d) f (x) ,-- 4 —x2 .
{x
2 — 9
' x
# — 3
16. Sejam g (x) = x — 3 e f (x) = x+ 3
Calcule k tal que f (x) = g (x) para todo x.
17. Para cada item, calcule f + g, f—g, f- g, fl g, f o g, g of, Ic-f, onde k é uma constante.
k, x = —3 .
yk
a) f (x) =- 2x
b) f (x) 3x — 2
, g(x)=x2+1
g (x) I xl
g (x)= 1/x
g (x) x — 2
Funções 33
e) f (x) = 'lx — 2 g (x) = lx — 3
f(A= X3 g (x) = 1/
f--
18. Seja h definida por h(x) = 2x — 7. Calcule h o h, h2 e h + h.
19. Sabendo que f = g o h, nos itens (a), (c) e (d) encontre a função h e no item (b) a função g.
a) f (x) = x2 + 1 g(x)=x+1
b) f (x) = 'lx + 2 h(x) = x + 2.
c) f (x) = a + bx g(x)=x+a.
d) f(x)=1x2 -3x+51 , g(x)=Ixl.
20. Sendo f (x) = ax + b, para quais valores de a e b tem-se (f o f) (xj = 4x — 9?
21. Sejarnf (x) = 'lx — 4 e g (x) = 1/2x + 1, x � 3. Calcule f o g . Dê o domínio e o conjunto
imagem de f (x), g (x) e (f o g) (x).
22. Sejam f(x) =
5x, x O
—x, O < x 8 e g (x). x3. Calculef o g.
-Cx , x > 8
23. A função g é definida por g (x) = x2. Defma uma funçãof tal que (f 0 g) (x) = x, para x O e
uma função h, tal que (h o g) (x) = x, para x O.
24. Se f (x) = x2, encontre duas funções g para as quais (f o g) (x) = 4x2 — 12x + 9.
25. Se f (x) = x2 — 2x + 1, encontre uma função g (x) tal que (f / g)(x) = x — 1.
34 Cálculo A — Funções, Limite, Derivação, Integração
26. Dadas as funçõesf (x) = x2 — 1 e g (x) = 2x — 1:
(a) Determine o domínio e o conjunto imagem de f (x).
(b) Determine o domínio e o conjunto imagem de g (x).
(c) Construa os gráficos de f (x) e g (x).
(d) Calcule f+ g, f— g, g• f, flg,f o g e g o f.
(e) Determine o domínio das funções calculadas no item (d).
2.11 FUNÇÕES ESPECIAIS
A seguir vamos relacionar algumas funções que chamaremos de funções es-
peciais.
2.11.1 Função Constante. É toda função do tipo f (x) k, que associa a qualquer
número real x um mesmo número real k.
A representação gráfica será sempre uma reta paralela ao eixo do x, passando
por y = k.
O domínio da função f (x) = k é D(f) =
O conjunto imagem é o conjunto unitário Im(f) = {k}.
Exemplos.
(i) f (x) = 2 [Figura 2.8.(a)].
(ii) f (x) = —3 [Figura 2.8 .(b)].
Funções 35
♦ Y
X
-3
(b)
2
X
(a)
Figura 2-8
2.11.2 Função Identidade. É a função fl. 1? 1? definida por f (x) = x.
O gráfico desta função é uma reta bissetriz do primeiro e terceiro quadrantes
(Figura 2.9).
Figura 2-9
O domínio de f (x) = x é D(f) = 1?.
O conjunto imagem é Im(f) = E.
36 Cálculo A — Funções, Limite, Derivação, Integração
2.11.3 Função do 1 2 Grau. Função do 1 2 grau é toda função que associa a cada
número real x, o número real ax + b, a # O. Os números reais a e b são
chamados, respectivamente, de coeficiente angular e linear.
Quando a > O a função f (x) = ax + b é crescente, isto é, à medida que x cresce,
f (x) também cresce. Quando a < O a função f (x) = ax + b é decrescente, isto é, à medida
que x cresce, f (x) decresce.
O gráfico da função f(x) = ax + b é uma reta não paralela aos eixos coorde-
nados.
O domínio de f (x) = ax + b é D(f) =
O conjunto imagem é Im(f) = 1?.
Exemplos.
(i) f (x) = 2x + 3 é uma função do P grau crescente porque a > O (Figura
2.10).
Figura 2-10
(ii) A função f (x) = — 3x + 1 é uma função do 1 2 grau decrescente
porque a < 0 (Figura 2.11).
Funções 37
Figura 2-11
(iii) No movimento retilíneo uniforme, o espaço percorrido é uma função
do tempo, expresso pela fórmula s = so + vt, onde 3'0 e v são
constantes e v O. Esta função é do P grau.
2.11.4 Função Módulo. A função definida por y = lx 1 chama-se função módulo.
O seu domínio é o conjunto D(f) = R e o conjunto imagem é Im(f) = [O, +
O gráfico desta função está ilustrado na Figura 2.12.
Figura 2-12
2.11.5 Função Quadrática. A função f: IR —> R definida por f (x) = ax2 + bx + c,
a � O é chamada função do r grau ou função quadrática. Seu domínio é
D(f) = R.
O gráfico de uma função quadrática é uma parábola com eixo de simetria
• paralelo ao eixo dos y. Se o coeficiente de x 2 for positivo (a > O), a parábola tem a
Figura 2-13
s s
A = b2-4ac = O
a parábola inter-
cepta o eixo dos
x em um único
ponto.
A = 11-4ac <O
a parábola não
intercepta o eixo
dos x.
A = tf-4ac> O
a parábola inter-
cepta o eixo dos x
em dois pontos
distintos.
38 Cálculo A — Funções, Limite, Derivação, Integração
concavidade voltada para cima. Se a< O, a parábola tem a concavidade voltada para
baixo.
A intersecção do eixo de simetria com a parábola é um ponto chamado vértice.
A intersecção da parábola com o eixo dos x define os zeros da função. No
quadro seguinte caracterizamos as diversas possibilidades (Figura 2.13).
2.11.6 Função Polinomial. É a funça".0- 3f: I? -->1? definida porflx) agn+ a ix" 1 +
...+an1 x+atz onde a0' a 1, • •' a,, a0 � O, são números reais chamados
coeficientes e n, inteiro não negativo, determina o grau da função.
Funções 39
O gráfico de uma função polinomial é uma curva que pode apresentar pontos
de máximos e mínimos Posteriormente faremos esboços de gráficos dessas funções
com auxilio das derivadas.
O domínio é sempre o conjunto dos números reais.
Exemplos.
(i) A função constante f (x) = k é uma função polinomial de grau zero.
(ii) A função f (x) = ax + b, a # O é uma função polinomial do 1 2 grau.
(iii) A função quadrática f (x) = ax2 + bx + c, a # O é uma função
polinomial do r grau.
(iv) A função f (x) = x3 é uma função polinomial chamada função cúbica.
(v) A função f (x) = 5x5 — 6x + 7 é uma função polinomial de grau 5.
2.11.7 Função Racional. É a função definida como o quociente de duas funções
polinomiais, isto é 4 f(x) = p(x) , p(x) e q(x) são polinômios e q(x) # O.
q(x)'
O domínio da função racional é o conjunto dos reais excluindo aqueles x tais
que q(x) = O.
Exemplos.
x — 1 (i) A funçãoftx) — é função racional de domínio D(f) = R — (-1 }
(Figura 2.14). x
Figura 2-14
D(f) = R — {-4, —3, 3} (Figura 2.15 ►.
-4 -3
Figura 2-15
2.12 FUNÇÕES PARES E ÍMPARES
Dizemos que uma função f (x) é par se, para todo x no domínio de f, f (—x) = f (x).
Uma função f (x) é ímpar se, para todo x no domínio de f, f (—x) = — f (x).
O gráfico de uma função par é simétrico em relação ao eixo dos y e o gráfico
de uma função ímpar é simétrico em relação à origem.
Exemplos.
(i) A função f (x) = x2 é par, já que f (—x) = (-42 = x2 = f (x).
(ii) A função f (x) = x5 + x3 é ímpar, já que f (—x) = (—x)5 + (—x)3 =
— x5 — x3 = — (x5 + x3) = — f (x).
(iii) A função f (x) = x3 + 4 não é par nem ímpar.
40 Cálculo A — Funções, Limite, Derivação, Integração
(x2 + 3x — 4)(..x= — 9) (ii) A função f(x) — (f. + x — 12)(x — 3) é racional de domínio
Funções 41
2.13 FUNÇÕES PERIÓDICAS
Dizemos
que uma função f(x) é periódica se existe um número real T O tal
que f (x + T) = f (x) para todo x E D(f).
O número T é chamado período da função f (x).
O gráfico de uma função periódica se repete a cada intervalo de comprimento ITI.
Exemplos.
(i) Mais adiante, mostraremos que as funções trigonométricas f(x) = sen x
e f (x) = cos x são periódicas de período T = 2n.
(ii) A função constante é periódica e tem como período qualquer número
T O.
(iii) A Figura 2.16 mostra gráficos de outras funções periódicas.
Figura 2-16
2.14 FUNÇÃO INVERSA
Seja y = f (x) uma função de A em B ou f: A —> B. Se, para cada y E B, existir
exatamente um valor x E A tal que y = f (x), então podemos definir uma função
g: B —> A tal que x = g (y). A função g definida desta maneira é chamada função inversa
de f e denotada por f -1 .
42 Cálculo A - Funções, Limite, Derivação, Integração
Exemplos.
(i) A função f: R -' E definida por y = 2x - 5 tem como função inversa
f -1 : 1?-> R, definida por x = (y + 5).
-
(ii) A função f: - {3} -' 3 -
1- {-1} definida por y -
admite x
a função inversa f -1: E - {-1} -' R - {3} definida por
1 + 3y x = y + 1
Graficamente, podemos determinar se uma função admite inversa. Passando
uma reta paralela ao eixo dos x, esta deve cortar o gráfico em apenas um ponto. A Figura
2.17 ilustra a função f: E-> E dada por y = x2 que não possui inversa. Fazendo uma
restrição conveniente no domínio, essa mesma função pode admitir inversa. Por
exemplo, para x z O existe a inversa x1 = .6 e para x s O existe a inversa x2 = - V.
Figura 2-17
Para fazermos o gráfico da função inversa basta traçarmos a reta y = x e
observarmos a simetria.
Exemplos.
(i) A função f: [O, + 00) -> [O, + 00), definida por f (x) = x2 tem como inversa
a função g: [O, + 00) -0 [O, + 00) dada por g (x) = Vi (ver Figura 2.18).
Funções 43
(ii) A função f: I? ---> 11? dada por y = x3 admite a função inversa
g: R dada por g (x)= 3'\11x (ver Figura 2.19).
Figura 2-18 Figura 2-19
2.15 ALGUMAS FUNÇÕES ELEMENTARES
2.15.1 Função Exponencial. Chamamos de função exponencial de base a, a fun-
ção f de IR em I? que associa a cada x real o número real ax, sendo a um
número real, 0 < a � 1,
ou, f: R — > R
x ---> y = ax.
O domínio da função exponencial é D(f) = R. A imagem é Im(f) = (0, o.).
Podemos também denotar Im(f) = (0, = R+*.
Com relação ao gráfico da função f (x) = ax (Figura 2.20) podemos afirmar:
1) a curva que o representa está toda acima do eixo das abcissas, pois
y = ax > O para todo x e R;
2) corta o eixo das ordenadas no ponto (0, 1);
3) f (x) = a' é crescente se a > 1 e decrescente se 0 < a <
44 Cálculo A — Funções, Limite, Derivação, Integração
A y
Y = ax
(0<a<1)
(0,1)
Figura 2-20
2.15.2 Função Logarítmica. Dado um número real a (O < a � 1), chamamos
função logarítmica de base a a função de R +* em R que associa a cada x o
número logo x, isto é,
f: R±* -*R
x —> y = loga x.
As funções f de R+4, em R definida porf (x) = logo x e g de R em R4,* definida
por g (x) = ax; O < a � 1, são inversas uma da outra.
Temos D(f) = R±* e Im(f) R.
Com relação ao gráfico da função f (x) = logax (O < a � 1) (Figura 2.21),
podemos afirmar:
1) está todo à direita do eixo y;
2) corta o eixo das abscissas no ponto (1, O);
3) f (x) = logax é crescente se a > 1 e decrescente se O < a < 1;
4) é simétrico ao gráfico da função g (x) = ax em relação a reta y = x.
01= ax Y
(0<a<1)
X
Y= log x
/' (0<a<1)
Funções 45
Figura 2-21
2.15.3 Funções Trigonométricas
FUNÇÃO SENO
Seja x um número real. Marcamos um ângulo com medida x radianos, na
circunferência unitária com centro na origem (ver Figura 2.22). Seja P o ponto de
intersecção do lado terminal do ângulo x, com essa circunferência.
Figura 2-22
Denominamos seno de x a ordenada OP 1 do ponto P em relação ao sistema
U O V.
46 Cálculo A - Funções, Limite, Derivação, Integração
Definimos a função seno como a função f de 1? em 1? que a cada x e I? faz
corresponder o número real y = sen x, isto é,
f: R -› R
x ---> y = sen x.
O domínio da função seno éR e o conjunto imagem é o intervalo [-1, 1].
A função y = sen x é periódica e seu período é 2n, já que sen (x + 27t) = sen x.
Em alguns intervalos sen x é crescente e em outros é decrescente. Por exemplo,
nos intervalos [O, ic/2] e [31c/2, 2n] sen x é crescente. Já no intervalo [7c/2, 37t/2] ela é
decrescente.
O gráfico da função f (x) = sen x, denominado senóide, pode ser visto na
Figura 2.23.
Figura 2-23
FUNÇÃO COSSENO
Seja x um número real. Denominamos cosseno de x a abcissa OP2 do ponto P
em relação ao sistema U O V (Figura 2.22). Definimos a função cosseno como a função
f de 1? em I? que a cada x E R faz corresponder o número real y = cos x, isto é,
f: I? -- I?
x y = cos x.
O domínio da função cosseno éR e o conjunto imagem é o intervalo [-1, 1].
t -
sen x
tg x — cos x
1
sec x — cos x
Funções 47
Para todo x E 1?, temos cos (x + 27c) = cos x. Portanto, a função cosseno é
periódica e seu período é 27c.
Em alguns intervalos a função cosseno é crescente e em outros decrescente.
Por exemplo, no intervalo [O, 7c] a função f(x) = cos x é decrescente. Já no intervalo
[n, 27c] ela é crescente.
O gráfico da função f (x) = cos x, denominado cossenóide, pode ser visto na
Figura 2.24.
Figura 2-24
FUNÇÕES TANGENTE, COTANGENTE, SECANTE E COSSECANTE
Estas funções são definidas em termos de seno e cosseno.
As funções tangente e secante são, respectivamente, denotadas pelos símbolos
tg e sec e definidas por:
para todos os números reais x tais que cos x O.
cotgx = cos x
sen x
cosec x —
1
sen x
48 Cálculo A — Funções, Limite, Derivação, Integração
As funções cotangente e cossecante são, respectivamente, denotadas por cotg 1
e cosec e definidas por: 1
para todos os números reais x tais que sen x # O.
O domínio das funções tg x e sec x é o conjunto de todos os números reais x
—25E 37c—2 ± 7cpara os quais cos x # O. Como cos x = O quando x for ± —2 ± , , ..., isto é,
quando x = —
2
+ mc, n E Z, temos D(tg) = D(sec) = {x E R lx# ic12 + nn, n E Z}.
Analogamente, o domínio das funções cotangente e cossecante é o conjunto
de todos os números reais x para os quais sen x # O. Como sen x = O para x =
n E Z, temos:
D(cotg) = D(cosec) = {x e 1?Ix � nn,neZ}.
Os gráficos dessas funções podem ser vistos na Figura 2.25. Podemos observar
que as funções tangente e cotangente são periódicas de período E e que as funções
secante e cossecante são periódicas de período 27c.
2.15.4 Funções Trigonométricas Inversas.
COnforme definição da seção 2.14, sabemos que é impossível definir uma
função inversa para a função y sen x, porque a cada valor de y corresponde uma
infinidade de valores de x.
Portanto, para definirmos a função inversa de y = sen x necessitamos restringir
o domínio.
Este fato ocorre com todas as demais funções trigonométricas.
y = sec x y = cosec x
y = tg x
♦Y
-3n./2 -n12 n/2 3n/2o
Figura 2-25
X
Funções
FUNÇÃO ARCO SENO
Seja f: [-7t/2, n/2] —> [—I, 1] a função definida por f (x) = sen x. A função
inversa da f (x), será chamada arco seno, e denotada por
[-1, 1] —> [—n/2, 7t/2], onde f -1 (x) = arc sen x.
Simbolicamente, para —2
2y —7t ' escrevemos a equivalência:
y = arc sen x <=> sen y = x
O gráfico desta função nos mostra uma função crescente (Figura 2.26).
Y
7c/2
-7c/2
Figura 2-26
50 Cálculo A - Funções, Limite, Derivação, Integração
Observamos que na definição da função arco seno poderíamos ter restringido
o domínio de y = sen x a qualquer dos seguintes intervalos:
[7c/2, 37t/2] , [37c/2, Sic/2] , [57E/2, 7/r/2], ..., ou
[-37c/2, -7c/2] , [-57c/2, -37c/2] , [-77c/2, -57c/2], .
FUNÇÃO ARCO COSSENO
Seja f: [O, it]
[-1, 1] a função definida por f (x) = cos x. A função
inversa de f será chamada arco cosseno, e denotada por f -1 : [-1, 1] —> [O, n].
onde f -1 (x) = arc cos x.
Simbolicamente, para O .^ y S TC, escrevemos:
y= arc cos x <=> x = cos y
O gráfico desta função nos mostra uma função decrescente (Figura 2.27).
Observação:
A função y = arc cos x pode ser definida também pela equação
arc cos x = 2 - arc sen x
Funções 51
Figura 2-27
De fato, utilizando o triângulo retângulo (Figura 2.28), temos:
Figura 2-28
Os ângulos a e 13 são complementares, ou
o 7ca + p = —2
x = sen a = cos 13.
Portanto, a = arc sen x e = arc cos x. Concluímos que
Itarc cos x = 2 — arc sen x.
52 Cálculo A — Funções, Limite, Derivação, Integração
FUNÇÃO ARCO TANGENTE
A função inversa da tangente é definida para todo número real.
Seja f: it12) ----> /2 a função definida por f (x) = tg x. A função inversa
de f, será chamada função arco tangente e denotada por f -1 : 1? (-n/2, +n/2), onde
f-1 (x) = arc tg x.
Simbolicamente, para -n/2 < y < n/2, escrevemos
y = arc tg x <=> x = tg y
O gráfico nos mostra que quando x se toma muito grande, arc tg x aproxima-se
de n/2. Quando x se toma muito pequeno, arc tg x se aproxima de -n/2.
É uma função crescente (ver Figura 2-29).
Figura 2-29
OUTRAS FUNÇÕES TRIGONOMÉTRICAS INVERSAS
Podemos definir a função inversa da cotangente como
y = arc cotg x = —
2
- arc tg x
onde O < y < 7C.
X
y
n/2
X
y = are cotg x
-1
y = are sec x
Ay
Tu/2
-1
1
--a/2
y = arc cosec x
Figura 2-30
X
Funções 53
As funções inversas da secante e da cossecante serão funções de x no domínio
1 xl z 1, desde que adotemos as definições:
y = arc sec x = arc cos (1/x)
y = arc cosec x = arc sen (1/x).
A Figura 2.30 mostra o gráfico dessas funções trigonométricas inversas.
54 Cálculo A — Funções, Limite, Derivação, Integração
2.15.5 Funções Hiperbólicas
As expressões exponenciais
e ex +
2
ocorrem freqüentemente na Matemática Aplicada.
Estas expressões definem, respectivamente, as funções seno hiperbólico de x
e cosseno hiperbólico de x.
O comportamento dessas funções nos leva a fazer uma analogia com as
funções trigonométricas.
SENO HIPERBÓLICO E COSSENO HIPERBÓLICO
A função seno hiperbólico, denotada por senh, e a função cosseno hiperbólico,
denotada por cosh, são definidas, respectivamente, por:
senhx -" - x
2
'+ e e cosh x=
2
O domínio e imagem das funções senh e cosh são:
D (senh) (- + °°),
D (cosh) = (- 00, °°),
Im (senh) = (- + .0) e
Im (cosh) = [1, +
O gráfico da função senh é dado na Figura 2.31(a). Pode ser obtido pelo
método chamado adição de ordenadas. Para usar essa técnica, esboçamos os gráficos
1
das funções -2 e' e - e' (tracejados) e somamos as respectivas ordenadas.2
Da mesma forma obtemos o gráfico da função cosh [Figura 2.31 (b)].
Funções 55
(a) (b)
Figura 2-31
A função cosseno hiperbólico pode ser usada para descrever a forma de um
cabo ou corrente flexível, uniforme, cujas extremidades estão fixas a uma mesma altura.
Na Figura 2.32 desenhamos um fio de telefone ou de luz. Observamos que a
curva representada pelo fio aparenta a forma de uma parábola. No entanto, é possível
mostrar que a equação correspondente é:
y = cosh (x/a), a E R.
Esta curva recebe a denominação catenária.
Figura 2-32
As quatro funções hiperbólicas restantes podem ser definidas em termos de
senh e cosh.
56 Cálculo A — Funções, Limite, Derivação, Integração I
TANGENTE, COTANGENTE, SECANTE E COSSECANTE HIPERBÓLICAS
As funções tangente, cotangente, secante e cossecante hiperbólicas, denotadas
respectivamente por tgh, cotgh, sech e cosech são definidas por:
— tgh x = senh x
coshx ex + e- x
coshx + cotghx — —
senhx ex — e- x
sechx = 1 = 2
coshx ex + e
cosechx = 1 2
senhx eX _ e-x
Os gráficos dessas funções podem ser vistos na Figura 2.33.
Muitas identidades análogas às conhecidas para funções trigonométricas são
válidas para as funções hiperbólicas. Por exemplo, pode-se verificar que
cosh2u — senh2u = 1.
Esta identidade é análoga à identidade trigonométrica cos eu + sen2u = 1 e pode
ser usada para justificar o adjetivo "hiperbólico" nas definições.
De fato, a identidade cosh 2u — senh2u = 1 mostra que o ponto P de coordenadas
(cosh u, senh u) está sobre a hipérbole unitária x2 — y2 = 1.
Fazendo u variar no conjunto dos reais, o ponto P descreve o ramo direito
da hipérbole. Observamos que aqui a variável real u não representa um ângulo, como
acontece nas funções trigonométricas. No entanto, pode-se estabelecer uma relação
interessante, que fornece uma interpretação geométrica para o parâmetro u.
Na Figura 2.34(a), representamos o círculo unitário, onde demarcamos um
ponto P (cos t, sen t). A área Ac do setor circular QOP é dada por
1
AC = 2 t (1)2
1= —2 t
e portanto, t = 2Ac.
-1
y = tgh x y = cotgh x
(a) (b)
X X
-1
y = sech x
(c)
Figura 2-33
y = cosech x
(d)
A Y
Funções 57
Uma relação análoga a esta, é válida para as funções hiperbólicas. De fato,
é possível mostrar que a área Ah , do setor hiperbólico QOP da Figura 2.34(b), é dada
por
A =2 u
e dessa forma, u = 2Ah .
P (cosh u, senh u)
58 Cálculo A — Funções, Limite, Derivação, Integração
(a) (b)
Figura 2-34
Relacionamos abaixo, outras identidades que podem facilmente ser verificadas:
1 tgh u — cotgh u
1 — tgh2 u = sech2 u e
1 — cotgh2 u = —cosech2 u.
2.15.6 Funções Hiperbólicas Inversas
Nesta seção estudaremos as funções hiperbólicas inversas. Para isso, devemos
nos lembrar das definições da seção 2.15.5 e observar os gráficos das Figuras 2.31(a)
e (b) e 2.33.
FUNÇÃO INVERSA DO SENO HIPERBÓLICO
Analisando o gráfico da função y = senh x [Figura 2.31 (a)], vemos que a cada
valor de y na imagem corresponde um único valor de x no domínio. Assim, podemos
definir a sua função inversa.
A função inversa do seno hiperbólico, chamada argumento do seno hiperbólico
e denotada por arg senh, é definida como segue:
y = arg senh x <=> x = senh y
Funções 59
Temos D(arg senh x) = Im (arg senh x) = R.
O gráfico da função arg senh pode ser visto na Figura 2.35. Ele é obtido
fazendo uma reflexão do gráfico da função senh sobre a reta y x.
Figura 2-35
FUNÇÃO INVERSA DO COSSENO HIPERBÓLICO
Para definirmos a inversa da função cosseno hiperbólico precisamos restringir
o seu domínio, pois como podemos ver no seu gráfico, Figura 2.31(b), a cada valor de
y na imagem, exceto y = 1, correspondem dois valores de x no domínio
Seja f: [O, + -4 [1, + a função dada por f (x) = cosh x. A sua função
inversa é chamada argumento do cosseno hiperbólico e é denotada por arg cosh.
Simbolicamente, para y O, escrevemos
y = arg cosh x <=> x = cosh y
Temos D(arg cosh x) = [1, + e Im(arg cosh x) = [O, + oo).
O gráfico pode ser visto na Figura 2.36.
60 Cálculo A — Funções, Limite, Derivação, Integração
AY
X
Figura 2-36
INVERSAS DAS FUNÇÕES TANGENTE HIPERBÓLICA, COTANGENTE
HIPERBÓLICA E COSSECANTE HIPERBÓLICA
Para definirmos as inversas destas funções não necessitamos restringir os seus
domínios, pois a cada valor de y na imagem corresponde um único valor de x no
domínio [ver Figura 2.33,(a), (b) e (d)].
As funções inversas da tangente hiperbólica, cotangente hiperbólica e cosse-
cante hiperbólica, denotadas respectivamente por arg tgh, arg cotgh e arg cosech, são
definidas como segue:
y = arg tgh x <=> x = tgh y
y = arg cotgh x <=> x = cotgh y
y = arg cosech x <=> x = cosech y
A Figura 2.37 mostra um esboço dos gráficos dessas funções.
y= arg cosech xy= arg cotgh x Jay
Funções 61
y= arg tgh x
Figura 2-37
INVERSA DA FUNÇÃO SECANTE HIPERBÓLICA
Da mesma forma que ocorreu com a inversa do cosseno
hiperbólico, para
definirmos a inversa da função secante hiperbólica devemos restringir seu domínio
Seja f: [O, + co) --> [O, 1] a função dada por f (x) = sech x. A sua função inversa
é denotada por arg sech. Para y O, temos
y = arg sech x <=> x = sech y
Na Figura 2.38 podemos ver um esboço do gráfico da função arg sech.
arg senti x = ln (x + 11x2 + 1 ), x qualquer;
arg cosh x = ln (x + 11x2 — 1), x �. 1;
arg tgh x = 2— ln 1 — x
1 (1 + x — 1 < x < 1 ;
arg sech x = In + -‘11 - X2 , O<X.^ 1;
62 Cálculo A — Funções, Limite, Derivação, Integração
Y
X
Figura 2-38
Podemos exprimir as funções hiperbólicas inversas em termos de logaritmos
naturais. Isso decorre do fato das funções hiperbólicas serem definidas em termos da
função exponencial, que admite a função logaritmo natural como inversa.
A seguir apresentamos essas expressões, que aparecem freqüentemente na
integração.
arg cotgh x = 2— ln x
x
+
1
r 1 , lx I > 1 ;1
[1 -1 + x2 \arg cosech x = ln —
x
+ 1 lx1 )
, x O.
Funções 63
EXEMPLO. Mostrar que arg senh x = ln (x + •NI x2 + 1 ), para todo valor de x.
Sejam xeRey= arg senh x.
Então, x = senh y —
e portanto,
eY — e-Y
2
- 2x — = O.
Multiplicando ambos os membros da igualdade por e, temos
e2Y — 2xeY — 1 = O.
Resolvendo esta equação para eY pela fórmula quadrática, obtemos
2x + •Ni 4x2 + 4_ _ x ± x2+ 1 .
2
Como e > O para qualquer y, a solução envolvendo o sinal negativo deve ser
descartada. Portanto,
ey = x + x2 + 1 .
Tomando o logaritmo natural, temos
y = ln (x + x2 + 1 ) , ou seja,
arg senh x = ln (x + x2 + 1 ) .
2.16 EXERCÍCIOS
1. Construir os gráficos das funções de 1 9 grau. Dar o domínio e o conjunto imagem.
(a) y = kx ; se k = O, 1, 2, 1/2, — 1, —2
(b) y=x+b, se b=0,1,-1
(c) y = 1,5x + 2.
64 Cálculo A - Funções, Limite, Derivação, Integração
2. Construir os gráficos das funções quadráticas. Dar o domínio e o conjunto imagem.
(a) y = ax2, se a = 1, 1/2 e -2
(b) y = x2
+ c, se c = O, 1, 1/2, -3
(c) y = yo + (x- 1)2, se yo = O, 1, -1
(d) y = ax2
+ bx + c, se a = 1, b = -2 e c = 5.
3. Construir os gráficos das funções polinomiais. Dar o domínio e o conjunto imagem.
(a) y = 2 + (x - 1)3 (b) y = x4 (c) y = 2x2 - 4.
4. Construir os gráficos das funções racionais. Dar o domínio e o conjunto imagem.
. 1 x - 1 (a) y = -
2
(b) y = (c) y -(x - 1)2 X X -I- 4
5. A função f (x) é do 1 2 grau. Escreva a função se
f(-1)= 2 e f (2) = 3.
6. Determinar quais das seguintes funções são pares ou ímpares
(a) f (x) = 3x4 - 2x2 + 1 (b) f (x) = 5x3 - 2x
(c) f (s) = s2
+ 2s -I- 2 (d) f (t) = t6 - 4
3
f(y) - Y Yy2 +1
1(h) .ft
-2x) = (a' + a-x)
(j) flx) = ln (x + 'N/ 1 + x2 ) .
(e) f (x) =I xl
x - 1 (g) f(x) =
x + 1
(i) f(x) = ln 1 + x
1 - x
x + 1(c) f(x) —
x — 1 (d) f(x)=Ix1+Ix-11.
Funções 65
7. Demostre que sef e g são funções ímpares, então (f + g) e (f — g) são também funções ímpares.
8. Demonstre que se f e g são funções ímpares, então f-g e flg são funções pares.
9. Mostre que a função —1 [f(x) + f(—x)] é par e que a função —1 ff (x) — f (—x)] é ímpar.2 2
10. Demonstre que qualquer função f: R R pode ser expressa como a soma de urna função par
com uma função ímpar.
11. Expresse as funções seguintes como a soma de uma função par e uma função ímpar
(a) f (x) = x2 2 (b) (x) = x3 — 1
12. Seja f (x) uma função, cujo gráfico para x O, tem o aspecto indicado na figura. Completar
esse gráfico no domínio x < O, se:
a) f (x) é par;
b) f (x) é ímpar.
13. Em cada um dos exercícios determine a fórmula da função inversa. Fazer os gráficos da função
dada e de sua inversa.
(a) y = 3x + 4 (b) y — 1x — a
(c) y= X+ a+ (d) y = 1, x> Ox a
66 Cálculo A - Funções, Limite, Derivação, Integração
(e) y = .Nrx - 1, x>_1 (f) y = -
- x, x5 a
x2
(g) Y - 1
x O (h) y = x2 - 4 , O
x- +
(i) y = x2 - 4 , x O.
14. Mostrar que a função y = f(x) - x + 2
- 1 coincide com a sua inversa, isto é, x = f(y)2x ou f (f (x)) = x.
15. Dada a função y = f(x) =
1 +
definida para todo x real, demonstrar que sua inversa
"\1
é a função x = g (y) \h. y2 definida para ly I < 1.
se x < 1
16. Seja f(x) = x2, se 1 .^ x 5 9
27 -\rx- , se x > 9 .
Verifique que f tem uma função inversa e encontre! 1 (x).
17. Se f (x) e g (x) são periódicas de período T, prove que:
(a) h(x) = f (x) + g (x) tem período T.
(b) h(x) = f (x) • g (x) é periódica de período T.
(c) h(x) = g() , g (x) # O V x, é periódica de período T.
18. Se f (x) é periódica de período T, prove que 3T também é período de f
19. Sabendo que f (x) é uma função par e periódica de período T = 4, complete o seu gráfico.
Funções 67
20. Se f (x) = 2x, mostrar que
f (x + 3) -f (x -1) = 15/2f (x).
21. Seja 4)(x) = 1/2 (ax + a-x) e 111(x) = 1/2 (a' - a-x) .
Demostrar que
4T(x + y) =4)(x) 4)(Y) + Ni(x) • NI(Y) e
ni(x + =4)(x) - V(Y) +4)(Y) • 111(x).
22. Construir o gráfico das seguintes funções exponenciais.
(a) y = ax, se a = 2, 1/2, e (e = 2,718 ...)
(b) y = 10 1 Ix
(c) y = e-x2
(d) Y = - 2x
23. Dada 4)(x) = ln 1 - x1 + x verifique a igualdade 4)(a) + 4)(b) -
24. Sejam f (x) = log x e g (x) = x3 .
r
a + b
1 + ab
68 Cálculo A — Funções, Limite, Derivação, Integração
Forme as expressões
(a) f [g (2)]
(c) g[f (a)], a > O.
(b) f [g (a)], a > O
25. Construir o gráfico das seguintes funções logarítmicas.
(a) y =ln (—x)
(c) y=ln(x+1)
(e) y=x1nx.
(b) y= ln I xl
(d) y = logax se a = 10, 2 e 1/2
26. Se f (x) = arc tg x prove que
.f(x) + KY) — f (ir x yY ) •
27. Prove que arc tg a — arc tg b = arc cotg b — arc cotg a.
28. Sejaft0) = tg O . Verifique a igualdade f (2 O) = 2 f (0)
29. Seja f (x) = arc cos (log 10 x).
Calcular f (1110), f (1) e f (10).
30. Determinar o domínio das seguintes funções:
x(a) y = arc cos 2 +1 x (b) y = arc sen (log 10 x/10)
(c) y = Nisen 2x .
31. Construir o gráfico das seguintes funções trigonométricas. Verificar se são periódicas e em
caso afirmativo determinar o período.
I.
1 — LAO) 1 2
Funções 69
(a) y = sen kx, k = 2, 3, 1/2 e 1/3
(c) y=kcos 2x, k=2,-1 e 1/2
(e) y = cos (x + n12)
(g) y = cotg (x + rc/4)
(i) y = 1 + sen x
(b) y = k cos x, k = 2, 3, 1/2, 1/3 e —1
(d) y =- sen (x — rc/2)
(I) y = tg (x — 37r/2)
(h) y = tg 2x
(j) y=l+Isen2x1
32. Dada a função f (x) = 2 senh x — 3 tgh x, calcule f (2),f (-1) e f (0).
33. Prove as identidades:
(a) 1 — tgh2 u = sech2 u (b) 1 — cotgh2 u = cosech2 u.
34. Defina uma função inversa para y = cosh x, para x O. Esboce o gráfico.
35. Mostre a validade das expressões:
(a) arg cosh x = ln (x + "si x2 — 1), x 1;
(b) arg tgh x = 1/21n
1 + x )
1 — x , —1 < x < 1;
(c) arg sech x = ln r i+ ,11 — x2 \
x
, O < x 1.
36. Sendo f (x) = cosh x, mostre que
f [In ( x + "\Ix2 — 1)] = x
37. Mostre que as funções senh x, tgh x, cotgh x e cosech x são ímpares.
38. Mostre que as funções cosh x e sech x são pares.
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CAPÍTULO 3 EDITORA
DAU
LIMITE E CONTINUIDADE
O objetivo deste capítulo é dar uma definição de LIMITE de uma maneira
intuitiva e também de uma maneira convencional. Vamos analisar propriedades e
teoremas referentes a' limites de funções. Finalmente, definiremos a continuidade das
funções usando limites.
3.1 NOÇÃO INTUITIVA
Inicialmente faremos algumas considerações. Sabemos que, no conjunto dos
números reais, podemos sempre escolher um conjunto de números segundo qualquer
regra pré-estabelecida.
Analisemos os seguintes exemplos de sucessões numéricas.
(1) 1, 2, 3, 4, 5, ...
(2) 1/2, 2/3, 3/4, 4/5, 5/6, ...
(3) 1, 0, —1, —2, —3, ...
(4) 1, 3/2, 3, 5/4, 5, 7/6, 7, ...
Na sucessão (1), os termos tornam-se cada vez maiores
sem atingir um
LIMITE. Dado um número real qualquer, por maior que seja, podemos sempre encon-
70
Limite e continuidade 71
trar na sucessão, um termo maior. Dizemos então que os termos dessa sucessão tendem
para o infinito ou que o limite da sucessão é infinito.
Denota-se
X -> 00 .
Na sucessão (2) os termos crescem mas não ilimitadamente. Os números
aproximam-se cada vez mais do valor 1, sem nunca atingirem esse valor. Dizemos que
De maneira análoga, dizemos que na sucessão (3)
x —> — 00 .
Em (4) os termos da sucessão oscilam sem tender para um limite.
Ampliaremos agora, o conceito de LIMITE para os diversos casos de Limite
de uma função.
Observemos as seguintes funções:
Exemplo 1.
Seja y = 1 — 1/x (ver Figura 3.1 e Tabela 3.1).
Tabela 3.1
x 1 2 3 4 5 6 500 1000
y O 1/2 2/3 3/4 4/5 5/6 499/500 999/1000 . . .
x —1 —2 —3 —4 —5 . —100 —500
2 3/2 4/3 5/4 6/5 . . 101/100 501/500
X
72 Cálculo A — Funções, Limite, Derivação, Integração
Figura 3-1
Esta função tende para 1 quando x tende para o infinito. Basta observar as
tabelas e o gráfico para constatar que:
y -4 1 quando x —> + 00 .
Denota-se lim (1 - 1/x) = 1.
X
Exemplo 2.
A função y = x2 + 3x - 2 tende para + ao quando x --> ±
Denota-se lim (x2 + 3x - 2) = +
X —) ± 00
De fato, intuitivamente, basta analisar o gráfico (Figura 3.2) e as sucessões da
tabela (Tabela 3.2).
Tabela 3.2
x 1 2 3 4 5 6 7 100 1000
2 8 16 26 38 52 68 10298 1002998
..
x -1 -2 -3 -4 -5 -6 . . . -100 -500
- 4 - 4 - 2 2 8 16 . . . 9698 248498
Limite e continuidade 73
Figura 3-2
Exemplo 3.
2x 1
A função y =
+
tende para 2 quando x —> ± co, e escrevemos
x — 1
. 2x + 1 hm — 2.
x— 1
Tabela 3.3
x 2 1,5 1,25 1,1 1,01 1,001 1,0001
y 3,5 5 8 14 32 302 3002 30002
x — 1 O 0,9 0,99 0,999 0,9999
y 0,5 —1 — 28 — 298 — 2998 — 29998
74 Cálculo A — Funções, Limite, Derivação, Integração
Figura 3-3
Observando a Figura 3.3 e a Tabela 3.3 ainda podemos dizer que y —> +
quando x —> 1 através de valores maiores do que 1 e que y —> — 00 quando x —> 1 através
de valores menores do que 1. Neste caso, estamos nos referindo aos limites laterais
denotados por:
lim
x 1+
lim
x
+00 e
-00,
respectivamente chamados limite à direita e limite à esquerda.
Exemplo 4.
A Figura 3.4 nos mostra o gráfico da função
1
Y — (x + 1)2
Esta função tende para o infinito quando x tende para —1, e escrevemos
1
11111 - Ce
x _> (x + 1)2
1
lim 1 — +00.
+ 1)2
lim
x->-1+ + 1)2
-1
Limite e continuidade
75
ou ainda,
Tabela 3.4
x —3 2 —1,5 —1,25 —1,1 —1,01 —1,001
y 0,25 1 4 16 100 10000 1000000
x O — 0,5 — 0,75 — 0,9 — 0,99 — 0,999
y 0,25 1 4 16 100 10000 1000000
Figura 3-4
Exemplo 5.
A Figura 3.5 mostra o gráfico da função
-1
Y = (x - 2)2
Escrevemos lim
x->2
— — 00 ou y —> — oo quando x —> 2.- 2)2
x
y
3 2,5 2,1 2,01 2,001
—0,25 — 4 — 100 — 10000 — 1000000
76 Cálculo A — Funções, Limite, Derivação, Integração
Tabela 3.5
2
1 1,5 1,9
1,99 1,999
—0,25 — 1 — 4 — 100 — 10000 — 1000000y
x
Figura 3-5
Exemplo 6.
Na Figura 3.6 temos o gráfico da função y = 3x -1. De modo análogo aos
exemplos anteriores, observando esse gráfico e a Tabela 3.6, podemos escrever que
lim (3x - 1) = lim (3x - 1) = 2,
x-41+
x-41
ou ainda,
lim (3x -1) = 2.
x-41
Limite e continuidade 77
Tabela 3.6
x 0 0,25 0,5 0,75 0,9 0,99 0,999 0,9999
y — 1 — 0,25 0,5 1,25 1,7 1,97 1,997 1,9997
x 2 1,75 1,5 1,25 1,1 1,01 1,001 1,0001
y 4,25 3,5 2,75 2,3 2,03 2,003 2,0003
Figura 3 -6
Podemos agora analisar os exemplos dados de outro modo.
No Exemplo 3.6, observa-se que é possível fazer o valor de y tão próximo de
2 quanto desejarmos, tomando x suficientemente próximo de 1, mas não necessaria-
mente igual a 1. Ou ainda, o valor absoluto da diferença y — 2 tão pequeno quanto
desejarmos, tomando o valor absoluto da diferença x — 1 suficientemente pequeno.
(Observe a Tabela 3.6.)
Estamos agora aptos a formular as definições formais.
78 Cálculo A — Funções, Limite, Derivação, Integração
3.2 DEFINIÇÃO
Seja f (x) definida num intervalo aberto I, contendo a, exceto possivelmente
no próprio a. Dizemos que o limite de f (x) quando x aproxima-se de a é L, e escrevemos
lim j(x) = L
x a
se para todo - e > 0, existe um 8 > 0, tal que If (x) — LI < e sempre que 0 < lx — al < 8.
3.3 EXEMPLOS
Usando a definição 3.2 provar que:
(i) lim (3x — 1) = 2.
x-->1
De acordo com a definição 3.2 devemos mostrar que, para todo E > 0, existe
um 5 > 0, tal que
I (3x — 1) — 2 I < E sempre que 0<lx—ll< 8.
O exame da desigualdade envolvendo E proporciona uma chave para a escolha
de 8.
As seguintes desigualdades são equivalentes:
13x-1-21 < E
I3x — 3 I < e
I3(x — 1) I < E
3 lx — 1 I < E
Ix — 1 I < e/3.
A última desigualdade nos sugere a escolha do 8.
Fazendo 50 = E/3, vem que
I (3x — 1) — 2 I < e sempre que O < lx — 1 I < 8.
Limite e continuidade 79
Portanto, hm (3x — 1) = 2.
—> 1
(i) lim x2 = 16.
x—>4
Vamos mostrar que dado e > O, existe 3 > O, tal que
1x2 — 16 1 < e sempre que O < Ix — 4 1 < 6.
Da desigualdade que envolve E, temos
lx2 — 16 1 < E
IX-41 IX+ 4 1 < E
Necessitamos agora substituir Ix + 41 por um valor constante. Neste caso,
vamos supor
O < 8 1,
e então, de O < Ix — 4 1 < 8, seguem as seguintes desigualdades equivalentes:
lx — 4 1 < 1
—1 <x-4 < 1
3 <x < 5
7 <x + 4 9
Portanto, Ix + 4 1 < 9.
Escolhendo 6 = min (e / 9,1), temos que se Ix — 4 1 < 8
então
Lx2 — 161= Ix— 411x + 41 < 6. 9
< 9 9
= e.
Logo lim x2 = 16.
x —>4
80 Cálculo A — Funções, Limite, Derivação, Integração
3.4 PROPOSIÇÃO (UNICIDADE DO LIMITE)
Se lim f(x) = L1 e lim f(x) = L2, então L 1 = L2.
x —> a x -) a
Prova. Seja E > O arbitrário. Como lim f(x) = L 1, existe 8 > O tal que
x-> a
I f (x) - L 1 1 < E /2 sempre que O < lx - a 1 < S i .
Como lim f(x) = L2, existe 52 > O tal que
-) a
I f (x) - L21 < E /2 sempre que O < Ix - a I < 8 2 .
Seja 8 = min {8 1 , S2 }. Então, If(x) - L 1 1 < E/2 e If(x) - L21 < E./2 sempre que
0 < ix - al < 8.
Seja x tal que O < lx - al < S. Então, podemos escrever
IL i - L2I = IL 1 - f (x) + f (x) - L2I ^ If (x) - L 1 1 + If (x) - L21 < E/2 + e/2 = e.
Como e é arbitrário, temos IL 1 - L2I = O e portanto L 1 = L2 .
3.5 PROPRIEDADES DOS LIMITES
- ,
Na Seção 3.3, usamos a definição de limite para provar que um dado número
era limite de uma função. Foi um processo relativamente simples para funções lineares,
que se tornou complicado para funções mais elaboradas. A seguir introduziremos
propriedades que podem ser usadas para achar muitos limites sem apelar para a pesquisa
do número 8 que aparece na definição 3.2.
3.5.1 Proposição. Se a, m e n são números reais, então
lim (mx + n) = ma + n.
x —> a
Limite e continuidade
81
Prova. Caso I: m O. De acordo com a definição 3.2, dado e > O, devemos mostrar
que existe 8 > O, tal que
1 (m x + n) — (m a + n)I < e sempre que O < 1 x — al < 8.
Podemos obter a chave para a escolha de 8 examinando a desigualdade que
envolve E. As seguintes desigualdades são equivalentes:
1 (m x + n) — (m a + n)I < E
iM X — m al < E
Iml I x — al < E
1 x — al < E 1 m 1
A última desigualdade sugere a escolha 8 =
1m 1
E
1De fato, se 8 = 1m ' temos
e1(m x + n) — (m a + n)I = Iml lx — al < Iml • —Iml sempre que O < lx — al < 8,
e portanto,
lim (mx + n) = ma + n.
x —> a
Caso 2: m = O. Se m = O, então 1 (m x + n) — (m a + n)I = O para todos os valores de x.
Logo, tomando qualquer 8 > O, a definição de limite é satisfeita.
Portanto, lim (mx + n) = ma + n, para quaisquer a, m e n reais.
x a
Da proposição
3.5.1, decorre que:
(a) Se c é um número real qualquer, então
lim C = C.
.x -4 a
(d) lim
x -4 a
lim f(x)
x-->a , desde que lim g(x) � O;
x —> a
f(x)
g(x) Hm g(x)
x-4 aa
82 Cálculo A — Funções, Limite, Derivação, Integração
(b) lim x = a.
x -› a
3.5.2 Proposição. Se lim f(x) e lim g(x) existem, e c é um número real
qualquer, então: x -4 a x a
(a) lim [f(x) ± g(x)1 = lim f(x) ± Hm g(x);
—)(1 x—>a x—>a
(b) lim cf(x) = c • lim f(x);
x-->a x—>a
(c) lim f(x) • g(x) = Hm f(x) • lim g(x);
x—>a
x—>a x-->a
(e) lim [Rx)]n = [lim f(x)]" para qualquer inteiro positivo n;
x—>a x-->a
(t) lim V.gx) = lim f(x) , se lim f(x) > O e n inteiro ou se
x-4a x-4a x—>a
lim f(x) 5 O e n é um inteiro positivo ímpar;
x -› a
(g) lim ln [f(x)] = ln [ Hm f(x)], se lim f(x) > O;
x—>a x—>a x—>a
(h) lim cos [fix)] = cos [ lim f(x)];
x-->a x—>a
(i) lim sen [f(x)] = sen [ lim f(x)];
x—>a x—>a
lim f (x)
(i) lim e f (x) = e x—'a
x—>a •
Limite e continuidade
Provaremos o item (a) desta proposição usando o sinal positivo.
Prova do item (a).
Sejam lim f(x) = L, lim g (x) =M e E > 0 arbitrário. Devemos pro-
x a x—>a
var que existe S > 0 tal que
(f (x) + g (x)) — (L + M)1 < E sempre que 0 < k - ai < 8.
Como lim f (x) = L e E/2 > 0, existe S i
> 0 tal que [f(x) —Li < E/2
x—>a
sempre que 0 < — ai < S i
Como lim g (x) = M, existe 82 > O tal que 1g(x) — Al < E/2 sempre
x—>a
que 0 <ix—al < 82 .
Seja S o menor dos números S i e 82 .
Então 8 s Si
e s 82
e assim, se O < — ai < 8, temos
1g(x) — < E/2 e [1(x) — Li < E/2.
Logo,
(gx) + g(x)) — (L + M)1 = 1 (gx) —L) + (g(x) —M)1
s 1 f(x) — L1 + 1g(x) — M 1
< 612 + cI2
= E
sempre que 0 < x — ai < S e desta forma lim (j(x) + g(x)) = L + M.
x —>a
3.5.3 Proposição. Se f(x) s h(x) s g(x) para todo x em um intervalo aberto contendo
a, exceto possivelmente em x = a, e se
lim f(x) = L = lim g(x)
x—►a x—>a
84 Cálculo A — Funções, Limite, Derivação, Integração
então,
lim h(x) = L.
x —> a
Prova. Seja E > O arbitrário. Como lim flx) = L, existe S i > O tal que If (x) — LI <
x —> a
sempre que O < Lr — al < 8 1 . Como lim g(x) = L, existe 32 > O tal que Ig (x) — LI < e
X a
sempre que O < lx — al < 82 .
Seja 8 = min {8 1 , 82 }.
Então, se O < Lr — a! < 8 temos que If (x) — LI < e e Ig (x) — LI < e, ou de forma
equivalente, L — e < g (x) <L-i-eeL—E<f(x)<L+ E.
Assim, usando a hipótese, concluímos que se O < lx — al j< 8, então,
L < f (x) 5. h(x) g (x) < L
+ E ,
isto é,
L — e < h(x) < L + e.
Logo, se O < Lr — al < 8, temos que Ih(x) — LI < e e, portanto, lim h(x) = L .
x a
3.5.4 Exemplos.
(i) Encontrar lim (x2 + 3x + 5).
x—> 2
Temos,
hm (x2 + 3x + 5) = lim x2 + lim 3x+ lim 5
x —> 2 x —> 2 x —+ 2 x --)22
= lim x2 + 3 lim x + lim 5
2 x-422 x 2
= 22 + 3 2 + 5
= 15.
Limite e continuidade 85
(ii) Encontrar lim
x-93
x — 5
x3 — 7
Hm
x-, 3
x — 5
lim (x — 5)
x->3 3 — 5 —1
lim (x3 — 7) 27 — 7 10
x->3
— L1 < e x3 — 7
L1 <e
(iii) Encontrar lim -‘ix4 — 4x + 1 .
x-4-2
de forma
Hm \ix4 — 4x + 1 \I Hm (X4 - 4x + 1)
x -> - 2 x ->- 2
= -\](-2)4 —4(-2) + 1
= 5.
X2(iv) Encontrar hm - 1
— 1
1(x) =
im (x — 1) = O .
-41
Neste caso, não podemos aplicar a propriedade do quociente pois
Porém, se fatoramos o numerador obtemos
x2 — 1 (x — 1)(x + 1)
— x + 1 para x # 1.
x — 1 x —1
Como no processo de limite os valores de x considerados são próximos de 1,
ias diferentes de 1, temos
lim X2 - 1- 1) (X + 1)
- 11111 - Hm (x + 1) = 2
x — 1
x —x-,1 x->1 x-41
(v) Encontrar Hm x2
x
sen —1
x
Vamos usar a proposição 3.5.3. Como todos os valores da função seno estão
tre —1 e 1, temos
0 < sen 1x 1, V x O.
sen 1
x
o x2 x2, V x O.
=0.sen -1
x
lim x2
x->I3
.(d) lim f(x).
x -> 4
lim f(x).
x ->
(e) lim f(x).
x->
86 Cálculo A - Funções, Limite, Derivação, Integração
Multiplicando a desigualdade por x2, temos
Como lim 0 = O e lim x2 = O, pela proposição 3.5.3 concluímos que
x->I3 x->0
3.6 EXERCÍCIOS
1. Seja f (x) a função defmida pelo gráfico:
Intuitivamente, encontre se existir:
e(a) lim flx).
6 (b) lim f(x).
x->3 -
e(c) lim f(x).x->1+
x -> 3
Limite e continuidade 87
2. Seja f(x) a função definida pelo gráfico:
Intuitivamente, encontre se existir:
',(a) lim f(x).
(b) lim f(x).
x -> -2+ x -> -2
c (c) lim f(x). .(d) lim f(x).
x -> -2 X ->
3. Sejafix) a função defmida pelo gráfico:
Intuitivamente, encontre se existir:
e (a) lim f(x). (b) lim f(x).
x->0+0+ x -> O- x O
(c) lim f(x).
b(d) lim f(x).
x -> +
$(e) lim f(x).
X -3 -
lim f(x).
x -> 2
88 Cálculo A - Funções, Limite, Derivação, Integração
4. Seja f(x) a função definida pelo gráfico:
Intuitivamente, encontre se existir:
e (a) lim f(x).
x 2+
(d) lim f(x).
.(b) lim f(x).
x
0(e) lim f(x).
x
(c) lim f(x).
x -ì +
5. Seja f(x) a função definida pelo gráfico:
Intuitivamente, encontre se existir:
., (a) lim ,fix).
x -4 1 +
((d) lim f(x).
x -9 + m
(b) lim f(x).
x-) 1
o (e) lim f(x).
x--t- oo
'(c) lim f(x).
1
Limite e continuidade
89
u6. Mostrar que existe o limite de f(x) = 4x — 5 em x = 3 e que é igual a 7.
7. Mostrar que lim x2 = 9.
x —› 3
Nos exercícios 8 a 12 é dado lim f(x) = L. Determinar um número 8 para o E dado
x —> a
tal que If(x) — LI < e sempre que O < I x — al < S.
8. lim (2x + 4) = 8 e = 0,01.
x 2
9. lim (-3x + 7) = 10 , e = 0,5.
x-*-1
e = 0,1.
x —> —2 X + 2
2
1 —
x 3
1
limE
= 0,25.— x —> 5
X2 — 1 12. lim
1 x— 1
— 2 e = 0,75.
X —>
13. Demonstrar que lim x sen 1/x = 0.
x —> O
14. Mostrar que:
(0 Se f é uma função polinomial, então lim f(x) = fia) para todo real a.
x -4a
(ii) Se g é uma função racional e a pertence ao domínio de g então
lim g(x) = g(a)•
x —> a
Calcular os limites nos exercícios 15 a 34, usando as propriedades de Limites.
45. lim (3 — 7x — 5x2). 16. lim (3x2 — 7x + 2).
x —> O x —> 3
10. lim x2 — 4 — —4
11.
x -- 30. Hm
3x -32 x - 4
.31. lim [2 sen x - cos x + cotg x].
x -37c/2
032. lim (ex + 4x). ,21 i
x->4
90 Cálculo A - Funções, Limite, Derivação, Integração
17. Em (-x5 + 6x4 + 2).
x->-1-1
19. Hm [(x + 4)3
(x + 2)-11.
x- -1
18. Hm (2x. + 7).
x -> 1/2
20. lim [(x - 2) 10 (x + 4)].
x ->
x + 4
t + 3 21. lim 22. Em3x -x ->2 t->2 t + 2 .
X223.
lim -1
x -)1 x 1.
+St + 6. t2 24. hm
t + 2t->2
t225.
lint - 5t + 6
26. s + 4
t-2 t - 2 s -3 1/2 2s
27. lim 3N2x + 3.
x -34
28. fim (3x + 2)2/3 .
x -37
2x229. lim - x
x -) .5/1 3x
33. Em (2x + 3) 1/4 . senil x 34. lim
4x ->2
3.7 LIMITES LATERAIS
3.7.1 Definição. Seja f urna função definida em um intervalo aberto (a, c). Dizemos
que um núMero L é o limite à direita da função f quando x tende para a, e
escrevemos
lim f(x) = L,
x a-F
Limite e continuidade 91
se para todo e > O, existe um 8> O, tal que f(x) - LI < e sempre que
a < x < a + 8.
Se Hm f(x) = L, dizemos que f(x) tende a L quando x tende para a pela
x _> a+
direita. Usamos o símbolo x a+ para indicar que os valores de x são sempre maiores
do que a.
De maneira análoga, definimos limite à esquerda.
3.7.2 Definição. Sejaf uma função definida em um intervalo aberto (d, a). Dizemos
que um número L é o limite à esquerda da função f, quando x tende para a, e
escrevemos
lim f(x) = L,
se para todo e > O, existe um 8 > O, tal que If(x) - LI < e sempre que
a - < x < a.
Neste caso, o símbolo x —> a indica que os valores de x considerados são
sempre menores do que a.
Observação.
As propriedades de limites, vistas nas proposições 3.5.1, 3.5.2 e 3.5.3
continuam válidas se substituirmos x —> a por x --> a+ ou x —> a- .
3.7.3 Exemplos
(i) Dada a função f(x) = (1 + -Vx - 3 ), determinar, se possível,
lim f(x) e lim f(x).
x -)3+ x-)3
A função dada só é definida para x 3. Assim, não existe lim f(x).
x-43
Para calcular lim f(x), podemos aplicar as propriedades. Temos,
x->3+
lim f(x) lim (1 + - 3 )
x -> 3+x-)3+ OCV le4
0.‘ -1; 1.6 o 6 CP,
92 Cálculo A — Funções, Limite, Derivação, Integração
• lim 1 + lim
- 3
x ->3+3+
x -> 3+
• 1 + lim (x - 3)
3+
• 1 + 0
• (ii) Seja f(x) = x
-cri
Ose x
1, se x = .
Determinar Hm flx) e lim f(x). Esboçar o gráfico.
x->o+ x-r
Se x > O, então Ixl = x e f (x) = =
Logo, lim f(x) = Hm -1 = - 1.
x-,o+
Se x < 0, então Ixl = -x e f(x) = = 1.
x
Portanto, Hm f(x) = Hm 1 = 1.
x x
O gráfico da função pode ser visto na Figura 3.7. Observamos que
lim f(x) # lim f(x).
x x-30
Limite e continuidade 93
Figura 3-7
(iii) Seja f(x) = Ixl. Determinar lim f(x) e lim f(x). Esboçar o gráfico.
x-:■+ x-)o
Se x O, então f(x) = x. Logo, lim f(x) = lim x = O.
x-o+ x->o+
Se x < O, então f(x) = -x. Logo, lim f(x) = lim (-x) = O.
A Figura 3.8, mostra o esboço do gráfico da função. Neste exemplo, podemos
observar que
lim f(x) = lim f(x).
x o+ x
Figura 3-8
94 Cálculo A - Funções, Limite, Derivação, Integração
O teorema a seguir nos dá a relação existente entre limites laterais e limite de
uma função.
3.7.4 Teorema. Se fé definida em um intervalo aberto contendo a, exceto possivel-
mente no ponto a, então Hm f(x) = L se e somente se lim f(x) L
x- a x—►a+
e lim f(x) = L.
x- a-
Prova. Provaremos apenas a condição suficiente. A condição necessária é conseqüência
imediata das definições dos limites envolvidos.
Suponhamos que Hm f(x) = L e Hm f(x) L. Então, dado e > 0 arbitrá-
x -a+
rio, existe S i
> O tal que if (x) - L < E' sempre que a < x < a + 8 1 e existe 82
> 0 tal
que tf (x) - Li < e sempre que a - 82 < x < a.
Seja 8 = min {S i , 82}. Então a - 82 s a - 8 e a+Ssa+ 8 1 , e, portanto,
se x � a e a-S<x<a+6, temos que If (x) - Li < E.
De forma equivalente, If (x) - Li < E sempre que O < lx - ai < S e desta forma,
lim f(x) = L.
3.7.5 Exemplos
(i) Analisando os exemplos anteriores, podemos concluir que:
kl -ó - o(a) Também não existe lim -
x -z
(b) Hm ixi = 0.
x -o
Limite e continuidade 95
{x
2 + 1 , para x < .2
(ii) Seja f(x) = 2 , para x = 2
9 - x2 , para x > 2 .
Determinar, se existirem, lim f(x), lim f(x) e lim f(x). Esboçar o gráfico
x-)2+ x->2 x->2
da função.
Se x > 2, então, f (x) = 9 - x2 .
Assim,
lim f(x) = Hm (9 - x2) = lim 9 - Hm x2 =9 - 4 =
2+ x-2+ x->21- x-42+
Se x < 2, então, f(x) = x2 + 1.
Portanto,
Hm f(x) = lim (x2 + 1) = lim x2 + lim 1 = 4 + .1 = 5.
x->2 x->2 x-)2 x->2
Como Hm f(x) = lim f(x) = 5, concluímos que
x_)2+
lim f(x) = 5.
x->2
A Figura 3.9, mostra o gráfico de f(x).
{x2
- 2x + 1 , x � 3
.2. Seja h(x) =
7 x 3 .
96 Cálculo A - Funções, Limite, Derivação, Integração
Figura 3 -9
3.8 EXERCÍCIOS
1. Seja f(x) =
Calcule:
)(b) Em flx).
x -› 3- x -) 3+ ‘""(
,,(d) lim f(x). -(e) Hm f(x).
x - > 5 - x_5+
Esboçar o gráfico deflx).
3(a) lim f(x). (c) lim fiz).
x -4 3
Em f(x).
x-)5
•Calcule lim h(x). Esboce o gráfico de h(x).
x-)33
Limite e continuidade 97
3. Seja F(x) = Lx — 4L Calcule os limites indicados se existirem:
e(a) lim F(x).
x->4+
Esboce o gráfico de F(x).
sa(b) lim F(x). s(c) lim F(x).
x->4 x -> 4
4. Seja f (x) = 2 + 15x — 11. Calcule se existir:
(a) lim f(z). (b) hm f(x). e(c) lim Rx).
x —> 1/5+ x —> 1/5 x -> 1/5
Esboce o gráfico de f(x).
Seja g(x) =
— 31
x — 3 x 3
(a) Esboce
, x = 3 .
o gráfico de g(x).
'(b) Achar, se existirem lim g(x),
x > 3+
lim
x —> 3-
g(x) e lim
x -> 3
g(x).
{
e6. Seja h(x) =
x/lx 1 , se x O
O , se x = O .
Mostrar que h(x) não tem limite no ponto O.
el. Determinar os limites à direita e à esquerda da função f(x) = arc tg 1/x quando x -* O.
a8. Verifique se lim
x
1
1 existe.—X >
-5.
- ,00 —oo,O x 3 O° ..°00
o
o '
98 Cálculo A — Funções, Limite, Derivação, Integração
9. Seja f(x) =
1/x ,
x2 ,
2 ,
2 — x ,
x < 0
O X < 1
x =- 1
x > 1 .
Esboce o gráfico e calcule os limites indicados se existirem:
é (a) lim f(x).
x —) —1
,*(19) lim f(x). a(c) lim f(x).
x —) x )0+
,(d) lim f(x) .
x—)
'(e) lim f(x). lim f(x).
x —> O x ->2+2+
,(g) lim f(x).
x - 2
•(h) lim f(x).
x— 2
10. Seja f(x) = (x2 - 25)/(x — 5).
Calcule os limites indicados se existirem:
*(a) lim f(x).
x O _
1(b) lim f(x). ,(c) lim f(x).
x -> 5+
x -> -
((d) lim f(x).
s(e) lim f(x).
x —> 5 x --> - 5
3.9 CÁLCULO DE LIMITES
Antes de apresentar exemplos de cálculo de limites, vamos falar um pouco
sobre expressões indeterminadas. Costuma-se dizer que as expressões:
são indeterminadas. O que significa isto?
Limite e continuidade 99
Vejamos, por exemplo, O- •
O
Sejam f e g funções tais lim f(x) = lim g(x) = O. Nada se pode afirmar,
x-*a x—>a
a priori, sobre o limite do quociente f/g. Dependendo das funções f e g ele pode assumir
qualquer valor real ou não existir. Exprimimos isso, dizendo que 0/0 é um símbolo de
indeterminação.
Para comprovar o que dissemos acima, vejamos dois exemplos:
(i) Sejam f(x) = x3 e g(x) = x2 .
Temos, lim f(x) = lim g(x) = O
x x
3e lim = lim x-5 = lim x = O.
g(x) x --)13 x
(ii) Sejam f(x) = x2 e g(x) = 2x2 .
Temos, lim f(x) = lim g(x) = O e, neste caso,
x-4c■ x->o
lim x. f( ) x2 - lim - lim 1 = -1 -
x g(x) x2x2 x-'0 2 2
Analisaremos, agora, alguns exemplos de cálculo de limites onde os artifícios
algébricos são necessários. São os casos de funções racionais em que o limite do
denominador é zero num determinado ponto e o limite do numerador também é zero
neste mesmo ponto.
Simbolicamente estaremos diante da indeterminação do tipo 0/0.
lim x3Exemplo 1. h - 3x + 2
x -4 -2 x2 - 4
100 Cálculo A — Funções, Limite, Derivação, Integração
Neste caso, fatora-se o numerador e o denominador fazendo-se a seguir as
simplificações possíveis. Aplicamos então a proposição 3.5.2.
Temos,
lim = hm
- 3x + 2
(x2 - 2x + 1)(x + 2)
x---2 x2 - 4
x--2-2 (x - 2)(x+ 2)
= lim x2 - 2x + 1
x--2 x - 2
lim (x2 - 2x + 1)
x->-2
um (x - 2)
x 2
- 9/4.
+ 2 - Exemplo 2. hm
x-›0
Para este exemplo usaremos o artifício da racionalização do numerador da
função.
Segue então,
+ 2 -
= lim esix + 2 - (Nix + 2 + lim
x-)o
x x->0 Xe■ix + 2 +
= lim (Nix + 2 )2 -(Nr2-:)2
x x ( "■ix + 2 +
)
= lim x + 2 - 2
x->0 X( . 1.7C 2 +')
Limite e continnifkrk 101
= lim ,
x—)o "Vx + 2 + N12—
1
2 *Ni2.--
Exemplo 3. lim r—
x-41 Nx — 1
Neste caso faremos uma troca de variáveis para facilitar os cálculos.
Por exemplo, x = t6, t O.
Quando t6 —+ 1, temos que t -->.1.
Portanto,
3-■&"lim — 1 = lim — 1
x — 1 r—› Nt6 — 1
= llim- 1
t-91 r — 1
lim (t — 1) (t + 1)
rol
= (t +1) (t2 + t + 1)
lim t+ 1 =
t -41 , + t + 1
= 2/3.
1
3fX —
Exemplo 4. lim
(x + h)2 — x2
h->0 h
Neste exemplo, simplesmente desenvolve-se o numerador para poder realizar
as simplificações.
Obtem-se:
h x . m ( + h)2 — x2 —lim +x2 2xh + h
2 — x2
h->0 h h->0 h
um 2xh + h2 =
h->0 h
um h(2x + h)
h->0 h
= lim (2x + h)
h->0
2x.
3.10 EXERCÍCIOS
1. Para cada uma das seguintes funções ache
hm f(x) — f(2)
x- 2 — 2x -• 2
?,(u) f(x) = 3x2 . (b) f(x) = 1/x, x O. • (c) f(x) =
2/3 x2 .
e(d) f(x)= 3x2 + 5x — 1. 6 (e) f(x) = x + 1 , x � —1 . a (f) f(x) = x3.
102 Cálculo A — Funções, Limite, Derivação, Integração
.■11. + x — 1 19. lim
—x
•
Vx' — 4a
21. lim a � O .
x —> a x — a
x->0
-3\1 8 + — 2
h
"V x2 + a2 — a
lim , a, b > O .
x "\ix2 + b2 — b
tf
17 (
Limite e continuidade 103
Nos exercícios 2 a 25 calcule os limites.
. x3 + a. hm ,
x x- - 1
3. lim t3 + 4ê + 4f
(t + 2) (t — 3)
E4. lim
x2 + 3x — 10
1$. lim 2t2 — 3t — 5 •
x->2 3x2 — 5x — 2 —> 5/2 2t — 5
06. lim
x2 + (1 — a)x — a
97. lim 3x2 — 17x + 20 3
— axx-*a x->4 4x2 — 25x + 36 Li
x2-1 (m-},, y,,y--n__L
x2 + 3x + 2 (/ -IJ)
X2 - 4 x2 — 5x + 6
410. lim D11.
x — 2x ->2 x->2 XL —12x + 20
42. lim (2 + h)4 — 16 3. fim (4 + 02 -16 • 01
h — > tr)
x2 + 6x + 5 *8. lim
x-->_1 x— 3x — 4
▪ lim
x
'125 + 3t — 5 .N1a2 + bt — a
.r.14. lim m15. lim , a > O
r —> o t r->0
— 1 \Àt, 'N/2(h2 — 8) + h
. 16. t.17. 11111
h-->1 h — 1 h->-4 h + 4
104 Cálculo A — Funções, Limite, Derivação, Integração
• 22. te lim
x ->1
— 1 23. lim
x 1
-2 ï; +
- 1)24\1; - 1
3 - -\/5 + x •t; 24. Hm
x ->4 1 - - X
FI + x — —x 25. lim
3.11 Limites no Infinito
No exemplo 1 da seção 3.1, analisamos o comportamento da função
f(x) = 1 - 1/x para valores de x muito grandes.
Intuitivamente, vimos que podemos tomar o valor de f(x) tão próximo de 1
quanto desejarmos, tomando para x valores suficientemente elevados. (Observar a
Tabela 3.1.) Da mesma forma, fazendo x decrescer ilimitadamente vemos que f(x) se
aproxima desse mesmo valor 1.
Temos as seguintes definições:
3.11.1 Definição. Seja_ f uma função definida em um intervalo aberto (a, + oe
Escrevemos,
fim f(x) = L,
x-,+-+-
quando o número L satisfaz à seguinte condição:
Para qualquer e > O, existe A > O tal que If (x) - LI < e sempre que x > A.
3.11.2 Definição. Seja f definida em (- 00, b). Escrevemos,
lim f(x) = L,
X -)
se L satisfaz a seguinte condição:
Para qualquer e > O, existe B < O tal que If (x) - LI < e sempre que x < B.
Limite e continuidade
105
Observação.As propriedades dos limites dadas na proposição 3.5.2 da seção 3.5,
permanecem inalteradas quando substituimos x —> a por x —> + .0 ou x —> — oo.
Temos ainda o seguinte teorema, que nos ajudará muito no cálculo dos limites
no infinito. /
3.11.3 Teorema. Se n é um ral ero inteiro positivo, então:
(i) lim 1= 0.
Xn
(ii) hm — = 0.
xn
Prova. Vamos demonstrar o item (i). Devemos provar que, para qualquer e > 0, existe
A > 0, tal que
< e sempre que x > A.
O exame da desigualdade que envolve c nos sugere a escolha de A.
As seguintes desigualdades são equivalentes:
— —0
xn
< E
< E
106 Cálculo A — Funções, Limite, Derivação, Integração
A última desigualdade nos sugere fazer A = 1/ W.
Temos que x > A — -o < E e desta forma
limhm — = O.
x—>+.0 Xn
A demonstração do item (ii) se faz de forma análoga. Sugerimos ao aluno que
tente fazê-la.
3.11.4 Exemplos
2x(i) Determinar lim – 5
x + 8
Neste caso, temos uma indeterminação do tipo — •
Vamos dividir o numerador e o denominador por x e depois aplicar as proprie-
dades de limites juntamente com o teorema 3.11.3.
Temos,
lim 2x – 5 lim 2 – 5/x
x + 8x–>+– x–>+. 1+ 8/x
lim (2 – 5/x)
lim (1 + 8/x)
lim 2 – lim 5/x
lim 1 + lim 8/x
Limite e continuidade 107
2 — 5.0
1 + 8.0
= 2.
2x3 3x + 5 (ii) Encontrar lim
4x5 — 2
Novamente temos uma indeterminação do tipo 00/co.
Para usarmos o teorema 3.11.3, dividimos o numerador e o denominador pela
maior potência de x, que neste caso (X.5--
Temos,
lira
x
2x3 — 3x + 5
4x5 — 2 —
3 5
x2 x4 + x5
x -÷ - 4 — 2/x5
lim
lim (2/x2 — 3/x4 + 5/x5)
X —) —
lim (4 — 2/x5)
x
2 lim 1/x2 — 3 lim 1/x4 + 5 lim 1/x5
X —) — 00 x -) -0 x -- o0
lim 4 — 2 lim 1/x5
x — X —) — cc.
2.0 — 3.0 + 5.0
4 — 2.Ó
.=
2x + 5 (iii) Determinar lim J, 9
x +— LX- 5
108 Cálculo A - Funções, Limite, Derivação, Integração
Neste caso, dividimos o numerador e o denominador por x. No denominador
tomamos x = &, já que os valores de x podem ser considerados positivos (x --> + co).
Temos,
2x + 5 hm'
*V2x2
- 5
lim + 5/x - ,
x->+- "%12x2
- 5 / yx/72
lim (2 + 5/x)
x
lim 2x2 - 5
x->+- x2
lim 2 + 5 lim 1/x
x->+- x->+-
•■12 - 5/x2x->+-
2 + 5.0
lim (2 - 5/x2)
x
2
I2 - 5.0
2x(iv) Determinar lim + 5
x->-- "V2x2 - 5
Como no exemplo (iii), dividimos numerador e denominador por x. Como
neste caso x —> - co, os valores de x podem ser considerados negativos. Então, para o
denominador, tomamos x = --5172 . Temos,
lim 2x + 5
= lim 2 + 5 / x ,
x->-- N2x2 _ 5 "V2x2 _ 5 / (-
Limite e continuidade 109
2 + 5/x
2x — 5
x2
lim (2 + 5/x)
x
— V lim (2 — 5/x2)
2 + 5.0
— \12 — 5.0
2
—
= —
3.12 LIMITES INFINITOS
No exemplo 4 da seção 3.1, analisamos o comportamento da função
f(x) = 1/(x + 1)2 quando x está próximo de —1. Intuitivamente, olhando a Tabela 3.4,
vemos que quando x se aproxima cada vez mais de —1, f(x) cresce ilimitadamente.
Em outras palavras, podemos tornar f(x) tãó grande quanto desejarmos, tomando
para x valores bastante próximos de —1.
Temos a seguinte definição.
3.12.1 Definição. Seja f(x) uma função definida em um intervalo aberto contendo
a, exceto, possivelmente, em x = a. Dizemos que
lim .ftx) = + 00,
x —> a
se para qualquer A > 0, existe um 8 > O tal que f(x) > A sempre que
0<Lr—ai<S.
110 Cálculo A — Funções, Limite, Derivação, Integração
De modo semelhante, observando a Figura 3.5, do exemplo 5 da seção 3.1,
podemos ver o que ocorre com uma função f(x) cujos valores decrescem ilimitadamente
nas proximidades de um ponto a.
3.12.2 Definição. Seja f(x) definida em um intervalo aberto contendo a, exceto,
possivelmente, em x = a. Dizemos que
lim ff x) =
x -3 a
se para qualquer B< O, existe um 8 > 0, tal que f(x) <B sempre que
0 < lx - al < 5.
Além dos limites infinitos definidos em 3.12.1 e 3.12.2, podemos considerar
ainda os limites laterais infinitos e os limites infinitos no infinito. Existem definições
formais para cada um dos seguintes limites:
lim f(x) = + ao , lim f(x) = + ao , lim f(x) = - 00 ,
x -> a+ x -> a- x -> a+
lim f(x) = , lim f(x) = a° lim f(x) = - 00 ,
x -> a- x -> + x -> +oo
lim f(x) = + D3 e lim f(x) =
Por exemplo, dizemos que lim f(x) + a° se para qualquer A > 0, existe
x -> a+
um 8 > O tal que f (x) > A sempre que 0 < x < a + 8.
A seguir apresentamos um teorema muito usado no cálculo de limites infinitos.
3.12.3 Teorema. Se n é um número inteiro positivo qualquer, então:
lim(i) — = + co.
x - > O+ X"
Limite e continuidade
111
se n é par
se n é impar .
Prova. Vamos provar o item (i). Devemos mostrar que para qualquer A > O, existe
8 > O, tal que
> A sempre que O < x <
xn
Trabalhando com a desigualdade que envolve A, obtemos uma pista para a
escolha de S. Como x > O, as desigualdades abaixo são equivalentes:
1 >A
x"
1xn < —A
x < V1/A.
Assim, escolhendo 8 , = !■11/A , temos 1/x" > A sempre que O < x <
3.12.4 Propriedades dos Limites Infinitos.
De certo modo, a proposição 3.5.2 permanece válida para limites infinitos,
embora devamos tomar muito cuidado quando combinamos funções envolvendo esses
limites. A Tabela 3.7 nos dá um resumo dos fatos principais válidos para os limites
infinitos, onde podemos ter x —> a, x —>a+, x —> a-, x —> + 00 ou x --> — 00. As
demonstrações não são difíceis. Provaremos o item 01 como exemplo.
Na Tabela 3.7, 0+ indica que o limite é zero e a função se aproxima de zero
por valores positivos e 0- indica que o limite é zero e a função se aproxima de zero, por
valores negativos.
112 Cálculo A - Funções, Limite, Derivação, Integração
Tabela 3.7
lim f(x) lini g(x) h(x) = lim h(x) simbolicamente
01 ± ao ±00 f(x) + g(x) f00 +.+.=+.
02 + ao f(x) - g(x) ? (+ ao) - (+ oo) é indeterminação
03 + ao k f(x) + g(x) +00 +00+k=+00
04 -ao k f(x) + g(x) - 0. -00+k= - .**
05 + 00 f(x) - g(x) (+ °e) - (+ c°) = + a°
06 - ... f(x) • g(x) _ .... (+ c°) • (- °°) = - a°
07 + c. . k > 0 f(x) • g(x) +00- . +00 •k=+00,k>0
08 + co k < 0 f(x) • g(x) -ao + oo • k = - 0*, k < O
09 f(x) - g(x) ? ± oo • O é indeterminação
10 k ± 03 f(x)/g(x) O k/± 00 = O
11 ± ao ± ao f(x)/g(x) ? ± *01+ oo é indeterminação
12 k > O 0+ f(x)/g(x) + ao kl0+ = + co, k > O
13 + c. f(x)/g(x) +00 + 0010+ = + 00
14 k > 0 0- f(x)/g(x) - oo k10- = - 09, k > O
15 r f(x)1g(x) - o. + 0010- = - c.
16 O O f(x)/g(x) 010 é indeterminação
Prova do item 01. Sejam f e g tais que lim f(x) = +co, lim g(x) = + co e
x —> a x —> a
h(x) = f(x) + g(x). Vamos provar que lim h(x) = +
x —> a
Devemos mostrar que dado A > 0, existe 5 > 0, tal que h(x) > A sempre que
0 < Lx — al < 5.
Limite e continuidade 113
Seja A > O qualquer. Como lim f(x) = + 00, 3 S i > O tal que f(x) > A/2 sempre
X -9 a
que O < Ix — al < 8 1 . Como lim g(x) = + 00, existe 82 > O tal que g(x) > A/2 sempre
x—>a
que O < lx — al < 82 .
Seja 8 = min {S 1 , 842 }. Temos, então
h(x) = f(x) + g(x) > A/2 + A/2 = A sempre que O < Ix — al < 8 e desta forma
lim h(x) = + 00.
x—>a
3.12.5 Exemplos
(i) Determinar lim (x3 + + 1/x2).
x
Temos,
lim (x3 + + 1/x2) = lim x3 + lim + lim 1/x2
x—>0 x—>0 x—>0 x—>0
= O + O + 00
= oo
(ii) Determinar lim (3x5 — 4x3 + 1).
X —>
Neste caso, temos uma indeterminação do tipo 0.0 — °O. Para determinar o limite
usamos um artifício de cálculo. Escrevemos,
4 1lim (3x5 — 4x3 + 1) = lim X5 3 — - I-
x "X"'
114 Cálculo A - Funções, Limite, Derivação, Integração
+.0(3-0+0)
= + o o
lx(iii) Determinar lim —1x1 lim —1x1 e lim 1
I- x2 x X2
x -> o x -)0 x
Para x > 0, temos Ixl = x. Assim,
IXlim I = lim x
+
r2 = -
1
= °.
x -> 0+ x ->
Para x < 0, temos lx1 = - x. Portanto,
lim lx1 = h -x m = lim --1 = +
x -> 0 X- x --> x -> 0- X
. I IX
Como Hm i-x2 = hm = I, concluímos que lim = co
x -› o x-> o x-
x o x2
(iv) Determinar lim 5x + 2 lx
x -> -1 + 11
Quando x —> - 1 , Ix + 11 --> O+ . Assim,
lim (5x + 2)
lim 5x + 2 x - _-1 -3 _ -
x -i
... .
lx + 11 lim lx + 11 0+-›
x -)-1
x2 + 3x + 1 (v) Determinar lim
x -) 2+ X2 + X -
lim
x -> 2
x2 + 3x + 1
x2 + x - 6
e lim
x -> 2
x2 + 3x + 1
x2 + x - 6
Limite e continuidade 115
Temos,
lim x2-1- 3x + 1 x2 + 3x + 1 - l
x
,
+ x - 6 x->m2+ (x 2) (x + 3)
•
lim (X2 + 3.X + 1)
x -> 2+
lim [(x - 2) (x + 3)]
x -> 2+
o+
= o°.
Ainda,
lim (X2 + 3x + 1)
h x2 + 3x + 1 x 2.-m
x -> r"
,
+ X - 6 lim [(x - 2) (x + 3)]
x -> 2
11
'
= —00
Como
. x2 + 3x + 1
lim + 3x + 1 x2 + 3x + 1 hm , não existe o lim •
x -> 2+ X- + X - 6 x + X - 6 2 X- + X - 6
Porém, muitas vezes, calculando limites de urna maneira menos formal, escrevemos que
x -> 2
lim x2 + 3x + 1
x2 + x - 6
00
sem nos preocuparmos com o sinal.
116 Cálculo A — Funções, Limite, Derivação, Integração
x2(vi) Determinar lim
+ 3
Dividindo o numerador e o denominador por x 2, temos
3
1 + —
x2x2 + 3
lim limY + 2
1 2
x2)
x-›+-
lim [1 +
x-›+-
3
1 2
x +x x2
lim
+ 00,
- x3(vii) Determinar lim 5
Dividindo o numerador e o denominador por x 3 , temos
lim 5 - x3
8x + 2 - limX -+ oo 8 2
x2
lim (5/x3 - 1)
X -
lim (8/x2 + 2/x3)
X - - -
x + 2 •
8x + 2
Limite e continuidade 117
— o+
(viii) Determinar lim 2x4 + 3x2 + 2x + 1
4 - x4
Dividindo o numerador e o denominador por x4, temos
lim 2x + 3x2 + 2x + 1 = lim
4 - x4 x —› +
3 2 1
2 + —
x
2 + —
X3 +
4 ,
-x4
3 2 1
2+ + —
x3 + x4
lim
.% —4 4- c.
44 _ 1
2
-2.
x2(ix) Determinar lim + 3x - 1
.x-9+0 x3 - 2
Dividindo o numerador e o denominador por x3 , temos
x2 + 3x - 1 lim
-> x3 - 2 x-›+-
1 3 1
+
x x2 x3
1-X3
lim
lim
X —)
o
1
/
ao ai . . .
a
n - 1 I- n
X xn - 1 xn
bo +
b
11 + + bm-1 + mxin-1 .„rn
= lim — •
x -)-4- X —>
118 Cálculo A - Funções, Limite, Derivação, Integração
=
(x) Mostrar que se P(x) = acre + a ixn - 1 + + an e
Q(x) = boiln + b re" -1 + + bm , então
P(x) alim -
ux-n
lim
x->±-
x -> boXin
Temos,
lim
aoxn + a 1xn-1 + + a
n
b oxm
+ b ixm-1 + + bm •
(
ai
an -1 ano
xn
a + + +
+ —xn-1 vn
1‘.
= lim
x b b b
bo + + + m- + — f-1
Limite e continuidade
119
ao
bo
Xlim ` •
▪ + Xrn
aoxn
= lim
▪ -4± boxm
3.13 EXERCÍCIOS
1. 3x + lxl
o(b) lim f(x) .
x -)--
Se f(x) — 7x 5ixi , calcule:
9(a) lim f(x).
—>
1 •2. Se f(x) = calcule:
(x + 2)`:
t(a) lim f(x) . #(b) lim f(x) .
x -4 —2 x -4+
Nos exercícios 3 a 40 calcule os limites.
o3. lim
(3x3 + 4x2 — 1) . .9 4. lim 1 4 \2 — — +
x a + 00 x x2
%S. . t + 1 ,o6.
• 8.
limhm
lim
+ 1Um
r + 1
lim t2, — 2t + 3
,
r + 1
2x5 — 3x3 + 2
2t` + 5t — 3 —x` + 7x —
5-
99. 3x5 — x2 + 7 '10. lim ——5x3
+ 2lim
2 — X2 7x3 + 3x -4 --
X CO
14. lim
X CO
11. Hm x2 + 3x + 1
x
t213. lim — 1
+ OD t - 4
*12. lim '"rx + 3x - 10
x3
x (2x - 7 cos x)
3x2 - 5 sen x + 1
23. lim 5x3 - x2 + x - 1
x -00 x4 + x3 - x + 1
V25. lim 2x2 - 7
27.
lim
+ CO „V 3s / - 4s5 2s7 + 1
120 Cálculo A - Funções, Limite, Derivação, Integração
V VV — 1 15. lim
v + r 3v - 1
17. lim Vx2 + 1
x + 1x -.-00
19. lim x(Vx2 - 1 - x).
x ► +
21. lim 10X2 - 3x + 4
x 3x2 - 1
Nix216. lim + 1
x + 1
18. lim ( Vx2 + 1 - 1/x2 - 1) .
x +
20. lim (13x2 + 2x + 1 - Vfx ).
x + co
422.
x3 -2x+1+lim
X2 — 1
lim - s 24. hm
+ OD VS2 + 7
26. lim (116x4 + 15x3 - 2x + 1 - 2x
x + O
V2x2 - 7 28. lim
x + 3
x - 00
X + CO
29. lim 30. lim 3 - y
Y 4- c° V 5 + 4y2 Y NI 5 + 4372
31. lim 32.
x 3+ X — 3 x 3— — 3
x x.- - 4x 24- X2 — 4
33. lim 34. lim x
Limite e continuidade 121
,35. lim + 6
y 6+ y2 - 36
037. lim 3 - x
x -)4+ - 2x - 8
.36. lim Y + 6
y -6 y` - 36
.38. lim 3 - x,
x -)41- - 2x - 8
439. lim 1 •40. lim
x 3 3 1 x -) 3+
1
3 1
3.14 LIMITES FUNDAMENTAIS
Daremos a seguir três proposições que caracterizam os chamados limites
fundamentais. Estaremos tratando de casos particulares de indeterminações do tipo 0/0,
1- e 00° .
3.14.1 Proposição. O lim x é igual a 1.
x -)0
Prova. Consideremos a circunferência de raio -1 (Figura 3.10).
Figura 3-10
x
Seja x a medida em radianos do arco AOM . Limitamos a variação de x ao
intervalo (O, n/2).
122 Cálculo A — Funções, Limite, Derivação, Integração
Observando a Figura 3.10, escrevemos as desigualdades equivalentes:
área A MOA < área setor MOA < área A AOT
OA • MM' < OA • AM < OA • AT
2 2 2
MM' < AM AT
sen x < x tg x.
Dividindo a última desigualdade por sen x, já que sen x > O para
x E
(0, 2 , temos
—Tc
1
1
x
sen x
sen x
x
1
cos x
cos X. (1)
Por outro lado, sen x/x e cos x são funções pares. Então,
sen x) sen x
(-x)
e cos (-x) = cos x.
Portanto, a desigualdade (1) vale para qualquer x, x # 0.
Como lim cos x = 1 e lim 1 = 1, pela proposição 3.5.3, segue que
x x ->cs
enxlimhm - 1.
x
Limite e continuidade 123
3.14.2 Exemplos
e. s n 2x(i) hm
x
x
Por 3.14.1, podemos calcular limites do tipo
sen u lim
u
onde u é uma função em x.
Neste exemplo, u 2x e u -> O quando x ---> O. Portanto,
sen 2x hm n. se u sen u -lim
= 2 lim - 2 • 1 = 2.
x -› o x uso u/2 u soo u
sen 3x(ii) limx sen 4x
Neste caso, faremos inicialmente alguns artifícios de cálculo como segue:
lim sen 3x
x -o sen 4x
sen 3x • 3x3x
sen 4x • 4x
4x
•lim sen 3x
3 x o 3x
4 lim sen 4x
3 1
4 1
3
x 4x
4
124
Cálculo A - Funções, Limite, Derivação, Integração
(iii) lim •
x -)
Temos neste caso,
g. t xhm
x -) o
sen x
1 lim •
x -13, x cos i
sen x 1 • lim
x >O x x _,(;) cosi
1 • 1
1.
3.14.3 Proposição. lim (1 + 1/x)x = e , onde e é o número irracional neperiano
x ±-
cujo valor aproximado é 2,718281828459 ....
Prova. A prova desta proposição envolve noções de séries, por este motivo será aqui
omitida.
3.14.4 Exemplos
(i) Provar que lim (1 + x) i/x =
x -O
Em primeiro lugar provaremos que lim (1 + x) l'x = e .
x -)o+
sen x
lim cos x
x -> O x
Limite e continuidade 125
De fato, fazendo x = 1/t temos que t —> + oo quando x —> 0+ . Logo,
lim (1 + x) 1 x (1 + 1 / t) t = e .
x r->+-
Da mesma forma, prova-se que lim (1 + x) l'x = e .
x-*
Portanto, lim (1 + x) lix = e .
x > o
(ii) Determinar lim ln (1 + t) In .
r -> o
Usando a proposição 3.5.2(g), temos
lim ln (1 + t) in
t
▪ in [ hm (1 + 0 1/1t-> O
▪ ln e
3.14.5 Proposição. lim - 1 - ln a (a > O, a � 1).
x -> O -x
PrOva. Fazendo t = ax - 1, temos
= t + 1. (1)
Aplicando os logaritmos neperianos na igualdade (1), vem
ln ln (t + 1)
xlna = ln(t+1)
126 Cálculo A - Funções, Limite, Derivação, Integração
ln (t + 1)
x ln a
Quando x -3 O, x O temos que t —> O, t O e então podemos escrever
lim lim ln (t + 1) ax - 1
x - o x t -> O In a
1
lim ln + 1)
t -) o
lim 1
ln a
liram ln t + 1)
t-> 0
Considerando o exemplo 3.14.4(ü), concluímos que
ax - 1 lim - ln a.
x->o
3.14.6 Exemplos
t
17'(i) lim aX -
x -) o x
Temos,
lira aX - tr"
x-> o x x-›o
bx
-1bx
ax
x
lim
x-11 X2 - 1
ex - 1 ax - 1
Limite e continuidade
127
3.14.5.
lim bx • lim
x x-)0
r
a jx
- 1
b
X
1•ln a
ln a/b.
i)
ex 1 ax - 1
U lim
- >1 x2 - 1
Neste exemplo, utilizamos artifícios de cálculo para aplicarmos a proposição
lim
ex - _ ax -
->1 x2 - 1
= limm (ex — 1) — (ax — 1)
X -> 1 (x + 1)(x - 1)
ex
_ 1
lim
ce _ _
= 1 [ limx 1 x - 1 x _41 x - 1 I_, 1 x + 1
1
2
lim
ex _1 1
x-+ 1 x - 1
lim
x -> 1
- 1 - 11
x-1
Fazemos t = x - 1 e consideramos que, quando x —> 1, x 1, temos t O,
t O.
Portanto,
et t ]1 -[ lim - a - 1
2 t -5 0 t
13. lim 1 - 2 cos x + cos 2x
x
14. lim (1 + 1/n)n 1- 5
n-).0X2
128 Cálculo A - Funções, Limite, Derivação, Integração
1
-2 (ln e - ln a)
-
1
(1 - ln a
2
3.15 EXERCÍCIOS
Nos exercícios 1 a 27, calcule os limites aplicando os limites fundamentais.
sen 9x n. se 4x01. lim • .2. hm
x x -)0 3x
.3. hm e. s n 10x 4. lim sen ax b O .
x sen 7x x sen bx
6. hm.
sen x/2o 5. lim tg
x -)0 x x o x3
,Àx+1 tg.-
4
.8. um 1 - cos xlim , • •
x -)-1 (x + 1)J x --) o x
1 - cos xlim
x > o x2
10. lim (x - 3) coser 7C X.
x --> 3
11. lim 12. lim6x sen 2x cos 2x - cos 3x•
2x + 3 sen 4xx x x2
16.
2n + \n + 1
2n +
l
> —> 1 + X[ .)
18. lim (1 + l/tg Atg X .
TCx )2
15.
17.
n -->
Limite e continuidade 129
\rx
19. lim (1 + cos x) licc"
37e
20. lhn 1 + 10
x
2
21. lim 10x-2 — 1
xx-32 -2
22.
x -› —3
x+3
4 5 — 1
x + 3
- 25
23.
lim 24. 11111
x—>2 x — 2 x,1 sen [5 (x - 1)]
25. lim
x -K)
e-aX — CbX g. t h ax
26. hm
x—>I3 Xx
e" - eb
27. lim
x 0 sen ax - sen bx
3.16 CONTINUIDADE
Quando definimos lim f(x) analisamos o comportamento da função f(x) para
x-> a
valores de x próximos de a, mas diferentes de a. Em muitos exemplos vimos que
lim f(x) pode existir, mesmo que f não seja definida no ponto a. Se f está definida em
x -> a
a e lim f(x) existe, pode ocorrer que este limite seja diferente de f(a).
x — 1
3 4 - 1
x —> a
130 Cálculo A — Funções, Limite, Derivação, Integração
Quando lim f(x) = fla) diremos, de acordo com a definição abaixo, que f é
x a
contínua em a.
3.16.1 Definição. Dizemos que uma função f é contínua no ponto a se as seguintes
condições forem satisfeitas:
(a) f é definida no ponto a;
(b) lim f(x) existe;
x —› a
(c) lim f(x) = fla).
x —> a
A Figura 3.11, mostra esboços de gráficos de funções que não são contínuas
em a.
a XaX
Figura 3 -11
. •
Limite e continuidade
131
3.16.2 EXEMPLOS
X2 - 1 (i) Sejam f(x) — ex — 1
x2 — 1 se x 1x —1
{
g(x) =
1 se X = 1 .
As funções f e g não são contínuas em a = 1. A função f não está definida em
a = 1. Portanto, não satisfaz a condição (a) da definição 3.16.1. Já para a função g,
temos g (1) = 1, mas
(x — 1)(x + 1) lim g(x) = hm —lim (x + 1) = 2 .
x ->11 x—>1 x— 1
x -)1
Logo, a condição (c) não se verifica no ponto a = 1.
A Figura 3.12, mostra um esboço do gráfico dessas funções.
Figura 3-12
2
Cálculo A — Funções, Limite, Derivação, Integração
(ii) Sejam f(x) = e
(x - 2)2
g(x) = 1
(x 2)2
3
As funções f e g não são contínuas no ponto a= 2. A função f não está definida
neste ponto e a função g, embora esteja definida em a= 2, não cumpre a condição (c)
da definição 3.16.1 pois lim g(x) g(2).
x->2
A Figura 3.13, mostra os gráficos dessas funções.
se x # 2
se x = 2 .
(iii) Seja f(x) =
Figura 3-13
x
lx I se x #O
O se x = 0 .
f não é contínua no ponto a = O. De fato, se x > O, .ftx) =
x
= 1. Assim,
hm f(x) = 1. Se x < O, f(x) = x = - 1.
- xx -› o
Limite e continuidade
133
Logo, lim f(x) = -1. Portanto, não existe lim f(x) e dessa forma f não é
x-)o x--)13
contínua em a = O.
Na Figura 3.14, podemos ver um esboço do gráfico dessa função.
Figura 3-14
x + 3 , se x > - 1
(iv) Seja h(x) =
- x + 1, se x < - 1 .
h é contínua em todos os pontos.
De fato, seja a E R . Se a > - 1, temos
lim h(x) = lim (x + 3) = a + 3 = h(a).
x—*a x—>a
Se a < - 1, temos
lim h(x) = lim (-x + 1) = -a + 1 = h(a).
x-4a
x-)a
Se a = - 1, temos
lim h(x) = lim (x + 3) = - + 3 = 2 = h(-1) e
x -1+
134
Cálculo A — Funções, Limite, Derivação, Integração
lim h(x) = lim (-x+ 1) = -(-1) + 1 = 2.
x->-1 x-3-1
Logo, lim h(x) = 2 = h (-1).
Podemos ver um esboço do gráfico de h(x), na Figura 3.15.
AY
h(x)
X
Figura 3-15
3 se x = - 2 .
Então, a função g não é contínua em x = - 2, pois
lim g(x) = lim 1
e lim g(x) = lim 1+ x +2 - + C° .x->-2 x -> x+ 2-2 x -> -2+ x -> -2
Neste caso, embora a função g seja definida em a = - 2, lim g(x) não
x->- 2
(v) Seja g(x) =
se x -2
existe.
Podemos ver um esboço do gráfico de g (x) na Figura 3.16.
Limite e continuidade 135
Figura 3-16
PROPRIEDADES DAS EVIVOES CONTÍNUAS
3.16.3 Proposição. Se as funções f_e g são contínuas em um ponto a, então:
(i) f + g é contínua etn,A;
(ii) é contínua em cr:
(iii) f g é contínua em a;
(iv) f/ g é contínua em a, desde que g(a)
Prova. Vamos provar o item (iv). Os demais ficam como exercício.
Suponhamos que g(a) O. Então f /g é definida no ponto a.
Como f e g são contínuas no ponto a, temos
lim f(x) = fia) e lim g(x) = g(a).
x-*a x-+a
Assim, pela proposição 3.5.2, temos
lim f(x)
f(x)
x—>a f(a)
— — (f/g)(a)g(x) lim g(x)
g(a)
x—>a
Logo, f /g é contínua no ponto
a.
lim
X-->a
136 Cálculo A — Funções, Limite, Derivação, Integração
3.16.4 Eroposição.
(i) Uma função_nolinogiál é contínua para todo número real.
(ii) Uma_ função racional é contínua em todos os pontos de seu do 'aio.
(iii) As funções f(x) = sen x e f(x) = cos x são contínuas para todo número
real x.
(iv) A função exponencial f(x) _ = e é contínua para todo número real x.
A prova dessa proposição segue diretamente das propriedades de limites.
3.16.5 Proposição. Sejam f _e_gfunções tais que lim b e g é contínua
x-*a
em b.
Então lim (g o f)(x) = g(b), ou seja,
x-*a
lim g[f(x)] = g [ lim f(x)].
x-*a
x-*a
Prova. Queremos mostrar que lim (g o f)(x) = g(b), isto é, dado e > O, 3 8 > 0,
x—>a
tal que
1(g o f)(x) — g(b)I < e sempre que O < Lic — al < S.
Como g é contínua em b, por definição, Hm g(y) = g(b). Portanto, dado
y—>b
e > O, 3 S i > O, tal que Ig(y) — g(b)I < e sempre que O < ly — bl < 8 1 .
Como para y = b, temos Ig(y) — g(b)I = O < e, podemos escrever
Ig(y) — g(b)I < e, sempre que ly — bl < S i . (1)
Limite e continuidade 137
Como lim f(x) = b e 8 1 > 0, pela definição de limite, 3 8 > 0, tal que
x -> a
1f (x) - bl < S i sempre que 0 < lx - al < 8.
Portanto, se O < Lr - al < 8, y = f (x) satisfaz (1) e dessa forma
I g[f (x)] - g(b)1 < e.
3.16.6 Proposição. Se f é contínua em aeg é contínua em ,ffa), então a função
composta_g af é contínua no ponto a..
Prova. Como f é contínua no ponto a, temos lim f(x) = f(a).
x -) a
Como g é contínua emf(a), podemos aplicar a proposição 3.16.5. Temos, então
lim (g o f )(x) = g E lim fix)1 = g [(f(a)]
x —› a x a
(g of ) (a)•
Logo, g 0 f é contínua em a.
3.16.7 Proposição. Seja v = fix) ima fanção-de 1 • . -
Seja J =1(aSefadnúte_umafunção_inmersa_g_
contínua em todos os pontos de J.
Observamos que, com o auxílio desta proposição, podemos analisar a conti-
nuidade das diversas funções inversas definidas no Capítulo 2. Por exemplo, a função
g: R+ * -> 1?
2 -
X —> 111 X
ua num IL • II
J -› I, então
é contínua, já que ela é a inversa da função exponencial f (x) = ex.
*.%
138 Cálculo A — Funções, Limite, Derivação, Integração
3.16.8 Definição. Seja fdefmida num intervalo fechado [a, b].
(i) Se hm f(x) = f(a), dizemos que f é contínua à.direita no ponto a.
X a
(ii) Se lim f(x) = f(b), dizemos que f é contínua à esquerda no ponto b.
x — b
(iii) Se f é contínua em todo ponto do intervalo aberto (a, b), f é contínua à
direita em a e contínua à esquerda em b, dizemos que f é contínua no
intervalo fechado [a, b].
3.16.9 Teorema do Valor Intermediário. Se f é contínua no intervalo fechado
[a, b] e L é um número tal que f(a) S L f(b) ou f (b) L 5_ 1(2), então existe
pelo menos um x E [a, b] tal que f(x) = L (Ver Figura 3.17).
Figura 3-17
Esse teorema nos mostra por que as funções contínuas em um intervalo
muitas vezes são consideradas como funções cujo gráfico pode ser traçado sem levan-
tar o lápis do papel, isto é, não há interrupções no gráfico. Não apresentamos sua
demonstração aqui.
Conseqüência. Se f é contínua em [a, b] e se f(a) e f(b) tem sinais opostos,
então existe pelo menos um número c entre a e b tal que f (c) = O (Ver Figura
3 . 1 8 ) .
Limite e continuidade 139
Figura 3-18
3.17 EXERCÍCIOS
1. Investigue a continuidade nos pontos indicados:
sen x
(a) f(x) = x
,
x O
x = O
em x = O.
(b) f(x) = x — x I em x = O.
X3 - 8
X2 - 4
3 x = 2
(c) f(x) =
x � 2
em x = 2.
(d) f(x) = 1 sen l/x em x = 2.
{ x2 sen 1/x , x O
(e) f(x) = emx=0.
x = 0
140 Cálculo A — Funções, Limite, Derivação, Integração
- .x2 , x < 1
(I) f(x) = 1 , x > 1 em x =1:
x = 1
x2 — 4 ,
x 2(g) f(x) x 2 em x = 2.
x = 2
a (h) f(
x � -1
x) =
1_,x,, x<_1
em x = —1.
(i) f(x) = x2 + 7 ,
x2 + 1
em x = 2 .
• 0) .f(X) = 2
3x2
.1
+ — x — 3
em x = — 3 .
2. Determine, se existirem, os valores de x e D(f), nos quais a função f(x) não é contínua.
x
' x2 # 1_2 ,
(a) f(x) = { l''' — -I *
0 x = —1 .
(b) f(x) — 1 + cos x3 + sen x
(c)
f(x) — x — lx I
x
NIx2 + 5x + 6 , x < — 3 e x > — 2
(£0 itx) =
—1 —3 < x — 2
c) f(x) =
x O
x > O
x O
x = O
,
a) f(x) =
x,
x
lx I
Limite e continuidade 141
1 - cos x , x<O
(e) f(x) =
x2 + 1 x O
(f) f(x) =
2
(g) f(x) {
x - 1
x2 - 3x + 4
x � 1
(h) f(x) = cos x
X + 7Z
3. Faça o gráfico e analise a continuidade das seguintes funções:
1 x = 1
x2 - 4 x � - 2
b) f(x)f(x) x + 2
1 x = - 2
{ ln (x + 1) , x > O
dj f(x) -=
-x , x<O
e) f(x) -
x3 + 3x2 - x - 3
+ 4x + 3
4. Calcule p de modo que as funções abaixo sejam contínuas.
x2 + px + 2 ,
(a) f(x) =
3
x � 3
(b) f(x) =
x + 2p , x .^ -1
x = 3 , x > -1
142 Cálculo A — Funções, Limite, Derivação, Integração
(c) f(x) =
e2x x O
1'3 — 7 , x = O .
5. Determine, se existirem, os pontos onde as seguintes funções não são contínuas.
x(a) f(x) —
(x 3)(x + 7)
(c) f(x) = 1 1 + 2 sen x
(b) f(x) = '/(3 — x)(6 — x)
x
(d) .f(x) —
2 + 3x — 1
x- — 6x + 10
6. Prove que se f(x) e g(x) são contínuas em xo = 3, também o são f+g e f -g.
7. Defina funções f, g e h que satisfaçam:
(a) f não é contínua em 2 pontos de seu domínio;
(b) g é contínua em todos os pontos de seu domínio mas não é contínua em I? ;
(c) h of é contínua em todos os pontos do domínio def;
Faça o gráfico das funções f, g, h e h of.
8. Dê exemplo de duas fimçõesf e g que não são contínuas no ponto a= O e tais que h =f•gé
contínua neste ponto. Faça o gráfico das funções f, g e h.
9. Sejam f, g e h funções tais que, para todo x,f (x) ^ g (x) h(x). Sef e h são contínuas no ponto
x = a e f(a) = g(a) = h(a), prove que g é contínua no ponto a.
10. Sejam a E R ef: R —> R uma função definida no ponto a. Se lim f(x) — fia) — m, provex — aque f é contínua no ponto a. x —› a
Neste capítulo, estudaremos a DERIVADA. Veremos, inicialmente, que ela
representa a inclinação de uma curva num ponto. Posteriormente, apresentaremos outras
aplicações práticas, em diversos ramos da Física, Engenharia, Economia etc.
4.1 A RETA TANGENTE
Vamos definir a inclinação de uma curva y = f(x) para, em seguida, encontrar
a equação da reta tangente à curva num ponto dado.
As idéias que usaremos, foram introduzidas no século XVIII, por Newton e
Leibnitz.
Seja y = f(x) uma curva definida no intervalo (a, b), como na Figura 4.1.
Sejam P(x 1 , y 1) e Q(x2, y2) dois pontos distintos da curva y = f(x).
Seja s a reta secante que passa pelos pontos P e Q. Considerando o triângulo
retângulo PMQ, na Figura 4.1, temos que a inclinação da reta s (ou coeficiente angular
de s) é
Y2 Y1 Ay tg = —
x2 - X1 Ax
143
144 Cálculo A — Funções, Limite, Derivação, Integração
Figura 4-1
Suponhamos agora que, mantendo P fixo, Q se mova sobre a curva em direção
a P. Diante disto, a inclinação da reta secante s variará. À medida que Q vai se
aproximando cada vez mais de P, a inclinação da secante varia cada vez menos,
tendendo para um valor limite constante (Ver Figura 4.2.).
Esse valor limite, é chamado inclinação da reta tangente à curva no ponto P,
ou também inclinação da curva em P.
Figura 4-2
4.1.1 Definição. Dada uma curva y = .ffx), seja P(x 1 , y 1 ) um ponto sobre ela. A
inclinação da reta tangente à curva no ponto P é dada por
for infinito.Ax
+ Ar) — J(x1)
Derivada 145
Ay flx2) m (x l) = lim A =
Q -> 1-1-4" x
2
-> X
I
x2 - x1
quando o limite existe.
Fazendo x2 = x 1 + Ax podemos reescrever o limite (1) na forma
f(xi + Az) — fiz )
m(x 1) = lim
-› O Ax
Conhecendo a inclinação da reta tangente à curva no ponto P podemos encon-
trar a equação da reta tangente à curva em P.
4.1.2 Equação da Reta Tangente.
Se a função f (x) é contínua em x 1 , então a reta
tangente à curva y = f(x) em P(x 1 , f (x 1 )) é:
(i) A reta que passa por P tendo inclinação
m(x 1 ) lim
Ax -> O
equação
f(x / + Ax) — f(x 1 )
, se este limite existe. Neste caso temos aAx
(1)
(2)
(3)y —J(x 1 ) = m (x —x 1).
(ii) A reta x = x i se lim
Ax -> O
4.1.3 Exemplos
(i)
(x1 , y 1 )•
Encontre a inclinação da reta tangente à curva y = x2 — 2x + 1 no ponto
Se f (x) = x2 — 2x + 1, então
f(x 1 ) = x 12 - 2x + 1 e
146 Cálculo A — Funções, Limite, Derivação, Integração
+ Ax) = (x 1 + Ax)2 —2(x 1 + Ax) + 1
= x 1 2 + 2x iAx + (Ax)2 —2x1 — 2Ax + 1.
Usando (2), vem
m(x ) =
fixi + Ax) — J(x 1 )
lim
Ax —> O Ax
xi + 2x Ax + (Ax2) — 2x 1 —2Ax + 1 — — 2x 1 + 1)
lim
2x1Ax
—> O AX
2x 1Ax + (0x)2 — 2Ax
• lim
Ax O Ax
Ax(2x 1 + Ax — 2)
• lim
Ax -> o Ax
• 2x1— 2.
Portanto, a inclinação da reta tangente à curva y = x 2 — 2x + 1 no ponto
(x 1 , y 1 ) é
m (x 1 ) = 2x 1 — 2.
(ii) Encontre a equação da reta tangente à curva y = 2x 2 + 3 no ponto cuja
abscissa é 2.
O ponto da curva y = 2x2 + 3, cuja abscissa é 2, é o ponto P(2 , f(2)) = (2, 11).
Vamos encontrar a inclinação da curva y = 2x2 + 3 no ponto P (2, 11). Para
isso, encontraremos primeiro, a inclinação da curva num ponto (x 1 , y 1 ). Temos,
Derivada
147
f(xi + Ax) — J(x1)
m(x 1 ) = lim
Ax->o
o Ax
2(x1 + Ax)2 + 3 — (24 + 3)
= lim
Azoo Ax
• lim
Az -4 O Ax
Ax(4x 1 + 2Ax)
• lim
Ax -) o
• 4x 1 .
Como m (x 1 ) = 4x 1 , então m (2) = 4 2 = 8.
Usando (3), escrevemos a equação da reta tangente à curva y = 2x2 + 3 em
P(2, 11).
Temos,
(xi) (x —x 1 )
y — 11 = 8 (x — 2), ou ainda,
8x — y — 5 = O.
(iii) Encontre a equação da reta tangente à curva y =
, que seja paralela
à reta 8x — 4y + 1 = O.
Antes de desenvolvermos este exemplo, convém lembrar que duas retas são
paralelas quando os seus coeficientes angulares são iguais.
Vamos primeiro encontrar a inclinação da reta tangente à curva y = -■ijc num
ponto (x 1 , y 1 ). Temos,
24 + 4x 1 Ax- + 2(Ax)2 +
_L
1
2 •Ni.
Portanto, m (x 1) -
148 Cálculo A — Funções, Limite, Derivação, Integração
f(xi + Ax) - .fixe)
m(x i) = lim
est -“) Ax
• lim
Ar -> 0
• lim
+ Ax - + Ax +
eximo Ax (•■Ix i + Ax +
•fx-)
x + Az - x1 1
ez
•
lim
-Ks Ax ('Ix 1 + Ax +
Ax
Ax(Ix1 + Ax +
Como a reta que queremos deve ser paralela a 8x - 4y + 1= O, podemos
escrever
m (x1) - 1 - 2 , já que o coeficiente angular de 8x - 4y + 1 = O é 2.
2 Nx i
De 1 - 2 concluímos que x 1 = 1/16.
2 Nx i
Portanto, a reta que queremos é a reta tangente à curva y = Cx no ponto
(1/16,.ft1/16)), ou seja, (1/16, 1/4). Temos,
*
y= NiX
1/4
-1/8 1/16
Figura 4-3
Usando (2), temos
f(x i + Ax) — f(x )
mr(xi) = lim
.-K) Ax
Derivada 149
y = m (x — x 1 )
y — 1/4 = 2 (x — 1/16)
16y — 4- = 32x — 2
32x — 16y + 2 = O, ou ainda,
16x — 8y + 1 = 0.
Graficamente, este exemplo é ilustrado na Figura 4.3.
(iv) Encontre a equação para a reta normal à curva y = x2 no ponto P(2, 4).
Para resolvermos este exemplo, devemos lembrar que a reta normal a uma
curva num ponto dado, é a reta perpendicular à reta tangente neste ponto.
Duas retas t e n são perpendiculares se
mn = -1, (4)
onde m t e mn são as inclinações das retas t e n, respectivamente, num dado ponto P.
Vamos então calcular a inclinação da reta tangente à curva no ponto P (2, 4).
150 Cálculo A — Funções, Limite, Derivação, Integração
mt (x 1 ) = 2x1'
Quando x 1 = 2, temos m t (2) = 2 2 = 4.
Usando (4), podemos encontrar a inclinação da reta normal à curva y = x 2 no
ponto (2, 4). Temos,
mt • mn = —1
4m —1
Mn — 1/4.
Aplicando os dados à equação da reta, vem
y —,f(x 1 ) = m (x x 1 )
y — 4 = — 1/4 (x — 2)
OU,
4y + x — 18 = 0.
Portanto, x + 4y — 18 = O é a reta normal à curva y = x 2 em (2, 4).
Graficamente, este exemplo é ilustrado na Figura 4.4.
Figura 4-4
Derivada
4.2 A DERIVADA DE UMA FUNÇÃO NUM PONTO
A derivada de uma função f (x) no ponto x l , denotada por f' (x i ), (lê-se/linha
de x, no ponto x 1 ), é definida pelo limite - % -
f(x i + Ax) - .f(xl )
f (x 1) = lim quando este limite existe.
Ax -> O Ax
Também podemos escrever
f '(x ) = lim f(x
2) -
x2 -"1 x2 - x1
Como vimos na seção anterior, este limite nos dá a inclinação da reta tangente
à curva y = f(x) no ponto (x 1 : f(x 1)). Portanto, geometricamente, a derivada da função
y f(x) no ponto x l , representa a inclinação da curva neste ponto.
4.3 A DERIVADA DE UMA FUNÇÃO
A derivada de uma função y = f(x) é a função denotada por f ' (x), (lê-se f linha
de x), tal que, seu valor em qualquer x E D (f) é dado por
f(x + Ax) - f(x)
f '(x) = hm , se este limite existir.
-> O
Dizemos que uma função é derivável quando existe a derivada em todos os
pontos de seu domínio.
Outras notações podem ser usadas no lugar de y' = f (x):
(i) D x f (x) (lê-se derivada de f (x) em relação a x).
(ii) D xy (lê-se derivada d,e y em relação a x).
152 Cálculo A — Funções, Limite, Derivação, Integração
dy(tu) — (lê-se a derivada de y em relação a x).dx
4.4 EXEMPLOS
(i) Dada f (x) = 5x2 + 6x – 1, encontre f ' (2).
Usando a definição 4.2, temos
f(2 + Ax) – fl2) f ' (2) = lim
Az -> O Ax
ulin 5(2 + Ax)2 + 6(2 + Ax) – 1 – (5 • 2 2 + 6 • 2– 1)
Ax -> 0 Ax
20 + 20Ax + 5(Ax)` + 12 + 6Ax – 20 – 12
lhn
Ax->O
O Ax
26Ax + 5(Ax)2
lim
Ar -> O Ax
urn Ax(26 + 5Ax)
Ax -> O
lim (26 + 5Ax)
Ar --> O
26.
–(ii) Dada f(x) – x
+
2
, encontre f ' (x).
x 3
Derivada
153
Usando a definição 4.3, temos
f ' (x) = lim + i\x) — f(x)
Ax-->0
x + Ax — 2 x — 2
x + Ax + 3 x + 3 • hm
Ax--)0 Ax
• lim
(x + Ax — 2)(x + 3) — (x — 2)(x + Ax + 3)
eX o (x + Ax + 3)(x + 3) • Ax
• limm x2 x+xAx+ Ma— 6— x2 — xdx — x + 2Ax + 6
Az -4 CI ± Ax + 3)(x + 3) • Ax
• lim 5Ax
Ax-)0 (x + AX . + 3)(x + 3) Ax,
• lim
-) O (-X ± 1- 3)(x + 3)
5
(x + 3)2 •
(iii) Dada f(x) = Cx, encontre f ' (4).
f ' (xi) = lim
f(x) — f(x i )
.■Tx —2
x — 4
5
154 Cálculo A — Funções, Limite, Derivação, Integração
(L—(L-2)('+2) • lim
4 (x — 4) ( + 2)
• 11111
x —> 4 (x — 4)("G + 2)
x—>4 \. + 2
1
4
(iv) Dada f(x) = x1/3 , encontre f '(x).
Usando a definição 4.3, temos
f ' (x) = h
x .
m
+ Az) — f(x)
• —> O Ax
(x + AX) 1/3 — X1/3
• fim
• —› O Ax
Resolveremos este limite como no exemplo 3, da Seção 3.9, fazendo troca de
variáveis.
Sejam (x + Ax) = t3 e x = a3 . Então,
f ' (x) = lim t — a
t a a3
• lim
t a t2 + at + a
2
1
x — 4
1
3a2
Derivada 155
Como a = X 1/3 , vem
1 f '(x) — 3x2"3
Observamos, neste exemplo, que f(x) = X 1/3 é contínua em O, mas
1 f '(x) = 33 não é definida em O.
4.5 CONTINUIDADE DE FUNÇÕES DERIVÁVEIS
De acordo com a observação feita no exemplo (iv) da Seção 4.4, concluímos
que f(x) contínua em x i , não implica na existência de f ' (x 1 ). A recíproca porém é
verdadeira, como mostra o seguinte teorema. -
4.5.1 Teorema. Toda função derivável num ponto x 1 é contínua nesse ponto.
Prova. Seja f(x) uma função derivável em x 1 . Vamos provar que f(x) é contínua em x 1 .
Em outras palavras, vamos provar que as condições da definição 3.16.1 são válidas.
Isto é:
(i) f(x 1 ) existe;
(ii) lim f(x) existe;
x
(iii) lim f(x) = f(x 1 ) .
x x l
Por hipótese, f (x) é derivável em x 1 . Logo, f ' (x 1 ) existe e, pela fórmula
f '(x) = lim
x x
1
f(x) — f(x 1 )
x — x
concluímos que f(x 1 ) deve existir para que o limite tenha significado.
156 Cálculo A — Funções, Limite, Derivação,
Integração
Além disso, temos
lim [RA - f (xl)] =
x ix i
f(x) — f (x
lim (x — x)_
x —> x "1
-1
.f(x) — f(x 1 )
X X - X-) x 1
• O f' (x 1 ).
Portanto, lim [f(x) — f(x i)] = O .
x x 1
Temos então,
lim f(x) = lim [f(x) — f(x + f(x)] .
1 x x
• lim [f(x) — f(xi )] + lim f(x1)
X1
• O + f(x 1 )
Valem então as condições (i), (ii) e (iii) e conclui-se que f (x) é contínua em x 1 .
4.6 EXERCÍCIOS
• lim— x 1 ) lim
1. Determinar a equação da reta tangente às seguintes curvas, nos pontos indicados. Esboçar o
gráfico em cada caso.
1 f(x) = '34x + 3 .1 - xd) f(x) -
x + 3 e) f(x) -
-■12x - 1
Derivada
157
a) f(x)=x2 -1;x=1,x=0,x=a,ae R.
b) f(x)=x2 -3x+6;x=-1,x=2.
c) f(x)=x(3x- 5) ; x = 1 , x =a,ac R.2
d) f(x) = -1 ; x -13 , x =3.
1
e) f(x) = , ae R-{-2,4)x - a
f) f(x)= 2' ; x=0, x=3, x=a, a>0.
2. Em cada um dos itens do. exercício (1), determinar a equação da reta normal à curva, nos
pontos indicados. Esboçar o gráfico, em cada caso.
3. Determinar a equação da reta tangente à curva y = 1 - x 2, que seja paralela à reta y = 1 - x.
4. Encontrar as equações das retas tangente e normal à curva y x2 - 2x + 1 no ponto (-2, 9).
5. Encontrar a equação da reta tangente à curva y = x 3 - 1, que seja perpendicular à reta y = - x.
6. Dadas as funções f (x) = 5 - 2x e g (x) 3x2 - 1, determinar:
a) f' (1) + g' (1)
c) f (2) -f ' (2)
2f' (0)- g' (-2)
d) [g' (0)]2 + 1
g' (0) + g(0)2
e) f( 5- ) - f '(5/2)2 g'(5/2)
7. Usando a definição, determinar a derivada das seguintes funções:
a) f(x) = 1- 4x2 b) f(x) = 2x2 - x - 1 f(x) - 1
x + 2
158 Cálculo A — Funções, Limite, Derivação, Integração
8. Dadas as funções f(x) — x
1
— 1 e g (x) = 2x2 — 3, determinar:
a) f o f' b) f' 0f c) go f
d) g O f
g) - g' ff
e) f ' + g' f) f ' - 2g '
x — 1 , x O
9. Dada a função f(x) = „ verificar se existe f ' (0). Esboçar o gráfico.
x , x < O
10. Dada a função f(x) — 1 6 verificar se existe f ' (3). Esboçar o gráfico.2x —
11. Dada a função f(x) = 2x2 — 3x — 2 , determinar os intervalos em que:
a) f' (x)> O b) f' (x) < O.
4.7 DERIVADAS LATERAIS
4.7.1 Definição. Se a função y =f (x) está definida em x i , então a derivada à direita
de f em x 1 , denotada por f: (x 1) , é definida por
AxAx -) 0+
f(xi Ax) f(xi) lim
f(x) -
lim
x
x - x 1
caso este limite exista.
Derivada 159
4.7.2 Definição. Se a função y = f(x) está definida em x i , então a derivada à
esquerda de f em x 1 , denotada por f ' (x 1 ) , é definida por
lim f(x
l + Az) — f(x i )
f(x) —
x xix-*x1_ x —
caso este limite exista.
Uma função é derivável em um ponto, quando as derivadas à direita e à
esquerda nesse ponto existem e são iguais.
Quando as derivadas laterais (direita e esquerda) existem e são diferentes em
um ponto x 1 , dizemos que este é um ponto anguloso do gráfico da função.
4.8 EXEMPLOS ,
(i) Seja f a função definida por
3x — 1 , se x < 2
flx) =
7 — x , se x 2 .
(a) Mostre qtlef é contínua em 2.
(b) Encontre ff.' (2) e r (2) .
Na Figura 4.5 esboçamos o gráfico desta função.
160 Cálculo A — Funções, Limite, Derivação, Integração
Figura 4-5
(a) Esta função é contínua em 2. De fato, existe f(2) = 5; existe o limite
lim flx) = lim (7 - x) = /hm (3x - 1) = 5;
x-> 2+x->2 x--►2
e finalmente,
lim f(x) = ff2) = 5 .
x->2
(b) Obtemos!: (2) usando a definição 4.7.1. Temos,
(2) = um A2 + dx) - f(2)
-› o+
Ar
hm -[7.;. - (2 + dx)] - 5 + dxaz-4o
lim 5 - dx - 5
+ dxAx-40
Derivada 161
• lim (-1)
Ax -> O+
• - 1.
Usando a defmição 4.7.2, obtemos f (2) . Temos,
f' (2) = lim Ax) /(2)
Ox -3O Ax
• lim [3 (2 + Ax) - 1] - 5
Ax -> O Ax
• limm 6 3Ax - 1 - 5
Ax -> õ Ax
• lim 3
Ar -> O
• 3.
Como
hm
. f(2 + Ax) - f(2) # bm. f(2. + Ax) - ft2)
Ax -> O+ Ax -> O
concluímos que não existe o
lim f(2 + Ax) - f(2)
Az -> O Ax
Portanto, a função f(x) não é derivável em x 1 =
162 Cálculo A — Funções, Limite, Derivação, Integração
Dizemos que x 1 = 2 é um ponto anguloso do gráfico de f(x).
(ii) Seja a função f(x) = (x - 2) 1 x 1. Encontre f; (0) e f" (0) .
Podemos reescrever a f(x) como:
(x - 2) • x = x2 - 2x , se x O
f(x) =
(x - 2) • (-x) -x2 + 2x , se x < O .
A Figura 4.6 mostra o gráfico de f (x).
Figura 4-6
Usando 4.7.1 e 4.7.2, respectivamente, obtemos f+ (0) e r (0) .
Temos,
(0) = lim f(0 + Ar) - f(0)
lim
+ Ax)2 - 2 (0 + Ar)] - 0
Ax -> O
Ar
Derivada 163
• lim (Ax)2 — 2Ax
+ Ax4x -+ O
• lim
(Ar Ax — 2)
Ax_,O+ Ax
• lim (Ax — 2)
Ax -40+
• —2.
r (0) = lim .ff0 + Ax) — f(0)
• lim [— (0 + Ax)2 + 2 (0 + Ax)] — 0
Az -3 0- AX
•
lirn — (Ax)2 + 2Ax
Az -> 0 Ax
• lim Ax (—Ax + 2)
Az-) ó Ax
lim (—Ax + 2)
Ax -> 0
• 2.
Concluímos, então, que não existe f ' (0) porque f_ 1' (0) f ' (0) .
1. f(x) = 2Lx - 3 I 2. f(x) =
x
2x- 1,
- x2 ,
3. .nx) = I2x + 4 I + 3 4. j(x) =
{1
O
2 - x2 , x < -2
5. f(x) -2 tx I 5 2
2x - 6 , x < 2 .
x2 - 1 , se lx I 5 l
6. Seja f(x) =
{
1 - x2 , se lx I > 1 .
3.
164 Cálculo A - Funções, Limite, Derivação, Integração
Ainda podemos concluir que o gráfico da função f tem duas tangentes no
ponto x = O. A Figura 4.6 mostra estas tangentes, dadas por
y — O = (-2) (x — O) , ou seja, y = —2x
e
y — O = 2(x — O), ou seja, y = 2x.
4.9 EXERCÍCIOS
Nos exercícios 1 a 5 calcular as derivadas laterais nos pontos onde a função não é derivável. Esboçar
o gráfico.
a) Esboçar o gráfico de f
b) Verificar se f é contínua nos pontos - 1 e 1.
c) Calcular!' (- ), f ' (-1 + ), f ' (1- ) e f ' (1 + ).
d) Calcular f ' (x), obter o seu domínio e esboçar o gráfico.
Derivada 165
7. Encontrar as derivadas laterais das seguintes funções, nos pontos indicados. Encontrar os
intervalos onde f ' (x) > O e f ' (x) < O.
4.10 REGRAS DE DERIVAÇÃO
Nesta seção, deduziremos várias regras, chamadas regras de derivação, que
permitem determinar as derivadas das funções sem o uso da definição.
4.10.1 Proposição (Derivada de uma Constante). Se c é uma constante e
f(x) = c para todo x, então f ' (x) = O.
166 Cálculo A - Funções, Limite, Derivação, Integração
Prova. Seja f(x) = c. Então,
f ' (x) =
lim
+ Ax) - f(x)
Ax-> o Ax
c - c
• lim
Ax *oo Ax
• hm O
Ax —> O
• O.
4.10.2 Proposição (Regra da Potência). Se n é um número inteiro positivo e
f(x) = xn, então f ' (x) = n xn -1 .
Prova. Seja f(x) = x". Então,
f '(x) = lim
ft + Ax) - .fix)
Ax 0 Ax-
• lim ± AX)n — Xn
Ax ->O Ax
Expandindo (x + A x)" pelo Binômio de Newton, temos
f '(x) =
[xn + -1 Ax n(n
2!
- 1) _ _xr, 2 Axe nx(Ax)n —1 ± (A(Ax)" xn
lim
Ax^ O
Ax[nxn - + 101 -
2!
1 ) xn -2 Ax nx(Ax)" — 2 + (A(Ax)" — 1
Ax
Ax
lim
—> O
Derivada 167
2n —lim [nXn n( .11 Ax + + nx(Ax)n 2 + (&)n 11
Ax —) O 2!
1)
n x" .
4.10.3 Exemplos
(i) Se f(x) = x5 então f ' (x) = 5x4 .
(ii) Se g(x) = x então g' (x) = 1.
(iii) Se h(x) = x l° então h' (x) = 10x9
4.10.4 Proposição (Derivada do Produto de uma Constante por uma
Função). Sejam f uma função, c uma constante e g a função definida por
g(x) = c f (x). Se f ' (x) existe, então g' (x) = c f' (x).
Prova. Por hipótese, existe
x + Ax) — f(x).
f '(x) = lun
Ax O Ax
Temos,
g ' (x) =
urn g(x + Ax) — g(x)
—) O Ax
=lim cf (x + Ax) — cf (x)
Ax -o Ar
lim c
Ax —>
x + Ax) — f(x)1
Ar
c h
x. m f( + Ax) — f(x)
—) 0 Ax
c f ' (x).
168 Cálculo A - Funções, Limite, Derivação, Integração
4.10.5 Exemplos
(i) Se f (x) = 8x2 então f ' (x) = 8(2x) = 16x.
(ii) Se g(z) = -2z7 então g' (z) = -2(7z6) = -14z6 .
4.10.6 Proposição
(Derivada de uma Soma). Sejam f e g duas funções e h a
função definida por h(x) = f (x) + g(x). Se f ' (x) e g' (x) existem, então
h' (x) = f ' (x) + g' (x).
Prova. Por hipótese, existem
f '(x) = lim ,Rx + Az) - j(x)
e g '(x) - lim g(x + Ax) - g(x)
ar -3 o Ax Ax
Temos,
h '(x) = lim h(x + Ax) - h(x)
ex -4 o Ax
[f(x + Ax) + g(x + Az)] - [f(x) + g(x)]
• lim
Ax -+ O AX
lini [fix + Ax) - f(x)] + [g(x + Ax) - g(x)]
• -> o Ax
• lim fix + Ax) - f(x) lim g(x + Ax) - g(x)
• —> O Ax Ax -* o Ax
•
f' (x) + g ' (x).
Derivada 169
A proposição 4.10.6 se aplica para um número finito de funções, isto é, a
derivada da soma de um número finito de funções é igual à soma de suas derivadas, se
estas existirem.
4.10.7 Exemplos
(i) Seja f (x) = 3x4 + 8x + 5. Então,
f ' (x) = 3•(4x3 ) + 8 1 + 0
= 12x3 + 8.
(ii)
g' (.Y)
Seja g(y) = 9y5 — 4y2 + 2y + 7. Então,
9 • (5y4) — 4 • (2y) + 2 1 + O
45y4 — 8y + 2.
4.10.8 Proposição (Derivada de um Produto). Sejam f e g funções e h a fun-
ção definida por h(x) = f(x) • g(x). Se f ' (x) e g' (x) existem, então
h' (x) = f(x) • g' (x) + f ' (x) • g(x).
Prova. Por hipótese, existem
f(x + Ax) — f(x) g(x + Ax) — g(x) f '(x) = lim e g '(x) — lim
Az-> o Ax Ax -> o Ar
Também podemos concluir, pelo teorema 4.5.1, que f é contínua e assim
lim fiz + Ar) = f(x) . Temos,
Az -* o
h 'fx) = lim h (x + Ax) — h(x)
ArAx —> O
lim f (x + Ar) • g(x + Ax) — f(x) g(x)
—> O Ax
170 Cálculo A - Funções, Limite, Derivação, Integração
Adicionando e subtraindo ao numerador a expressão f (x + A x) g(x), vem
h '(x) = lim f (x + Ax) g (x + Ax)—f(x + Ax)g(x) + f(x + Ax) g(x) — flx) gexl
AX Axo
= (. f x + Ax) [g(x + Ax) — g(x)1 + g(x)[f (x + Ax) fix)]
Ax -) O Ax
lim
Ax -> O
f + Ax) . g (x Ax) - g
Ax
+ lim [ (x.) f + Ax) - f (x)
Az -) O Ax
lim f (x + Ax) • lim g (x Ax) g (x)
Az-) O Ax -> O Ax
+ 11111 g (X)
lim f ± Ax)
f(X)
-) O O Ax
= f (x) • g ' (x) + g (x) f ' (x).
4.10.9 Exemplos
(i) Seja f (x) = (2x3 — 1) (x4 + x2). Então,
f ' (x) = (2x3 — 1) (4x3 + 2x) + (x4 + x2) (6x2).
1
(ii) Seja f(t) -
2
t) =
(t2 + 5) (t6 + 4t) . Então,
1 [(t2f '(t) =
2
— [(r. + 5)(6t5 + 4) + (t6 + 40(20] .
Derivada 171
4.10.10 Proposição (Derivada de um Quociente). Sejam f e g funções e h a
função definida por h(x) = f(x)/g(x), onde g(x) O. Se f' (x) e g' (x) existem,
então
h '(x) = g(x) • f '(x) - f(x) g '(x)
[ g(x)] 2
Prova. Por hipótese, existem
e g '(x) = lim g(x + Az) - g(x)
Ax -> O Ax ex -) o Ax
Temos também, pelo teorema 4.5.1, que g é contínua e assim
lim g(x + Ax) = g(x). Temos,
-> o
h '(x) = hm h(x + Ax) - h(x)
-> O Ax
f (x + Ax) f(xl
lim
g (x + Ax) g (x)
Ox O
lim 1 rf (x + Ax) g(x) - j(x) g(x + Ax)1
AX--)13
g(x Ax g(x)
Subtraindo e adicionando f(x) • g(x) ao numerador, obtemos
h '(x) =
[. 1 [f(x + Ax)g(x) - f(x) g(x) + f(x) g(x) - f(x)g(x + Ax)]= hm
Ax ->0 Ax g(x + Ax) g(x)
f , (x) lim
f (x + Ax) - f(x)
172 Cálculo A — Funções, Limite, Derivação, Integração
f (x + Ax) — f (x) g(x) — f (x) g(x + Ax) — g (x) -
Ax Ax=
ex -> o g (x + Ax) - g (x)
lira f (x + Ax) — f (x) um g (x) — lim f (x) • lira. g (x + Ax) — g(x)
Ax ->O Ax Ax -*O Az->O Ar -) O Ax
lim g (x + Ax) • lim g (x)
Az->o Arom o
f '(x) • g(x) — f(x) • g '(x)
g(x) g(x)
f '(x) g(x) — f(x) g'(x)
[g(x)] 2
4.10.11 Exemplos
2x4 _ 3
(i) Encontrar f ' (x) sendo f(x) — x2 5x + 3
Temos,
f '(x) =
(x2 — 5x + 3)(2 • 4x3 — O) — (2x4 — 3)(2x — 5)
(x2 — 5x + 3)2
(x2 — 5x + 3)(8x3) — (2x4 — 3)(2x — 5)
(x2 — 5x + 3)2
(ii) Se g(x) = —1 , encontrar g'(x).
Derivada 173
Temos,
g '(x) =
—1
X2
4.10.12 Proposição. Se f(x) = x-n onde n é um inteiro positivo e x ,
então f ' (x) = - n•x- n - 1 .
Prova. Podemos escrever f(x) = 1
xn
Aplicando a proposição 4.10.10, vem
f '(x) =
xn•O - 1 - nxn -1
(xn)2
nxn - 1
x2n
_ n xn -1 x-2 n
- n x- n -1
4.11 EXERCÍCIOS
Nos exercícios de 1 a 22, encontrar a derivada das funções dadas.
1. f(r)= nr2
3. ,ftw) = aw2 b
2. f(x)=3x2 + 6x - 10
14. f(x) = 14 - -
2
x3
3ê + 5t - 1
15. f(t) - t- 1
16. f(t) - 2t - 2
ê
17. f(x) = 4 - x5 .x2 5x + 7 18. f(x) - 2x 2
f(x) = X 1-
X + 2
6X)
-'"4
(t - a)220. f(t) -
t - b
174 Cálculo A - Funções, Limite, Derivação, Integração
5. f(x) (2x + 1) (3x2 + 6) 6 f(x) = (7x -1) (x + 4)
7. f(x) = (3x5 - 1) (2 -x4) 8. f(x) = -2 (5x - 3)-1 (5x + 3)3
9. f(x)= (x -1) (x + 1) 10. f(s) = (s2 -1) (3s -1) (5s3 + 2s)
11. f(x) =7(ax2 + bx + c) 12. f(u) = (4u2 - a) (a -2u)
2x + 4 t - 1 13. f(x) = 14. f(t) -3x - 1 t + 1
21. f(x) = —3 + —5 1 x4 + 2 22. f(x) = -2 .X4 x5
23. Seja p(x) = (x - a) (x - b), a e b constantes. Mostrar que se a # b então p (a) p (b)= O,
mas p' (a) # O e p ' (b) # O.
24. Dadas as funções f(x) = x2 + Ax e g(x) = Bx, determinar A e B de tal forma que
f '(x) + g '(x) = 1 + 2x
f(x) - g(x) = x2 .
25. Dada a função f(t) = 3t3 - 4t + 1, encontrar f(0) - T'(0).
x
26. Encontrar a equação da reta tangente à curva y
+ 1
3x - 4
no ponto de abscissa x = -1.
27"; Encontrar a equação da reta normal à curva y = (3x2 - 4x)2 no ponto de abscissa x = 2.
Derivada 175
7-, x — 1
Encontrar as equações das retas tangentes à curva y — x + 1 que sejam paralelas à reta
y
1 3 229. Em que pontos o gráfico da função y = —3 x
3 — —
2
+ 2x tem tangente horizontal?
30.) Seja y ax2 + bx . Encontrar os valores de a e b sabendo que a tangente à curva no ponto
(1, 5) tem inclinação m = 8.
4.12 DERIVADA DE FUNÇÃO COMPOSTA
Consideremos duas funções deriváveis f e g onde y = g(u) e u = f(x).
Para todo x tal que f(x) está no domínio de g, podemos escrever y = g(u) =
g [f(x)], isto é, podemos considerar a função composta (g 0 f) (x).
Por exemplo, uma função tal como y = (x2 + 5x + 2)7 pode ser vista como a
composta das funções y = u7 = g(u) e u = x2 + 5x + 2 = f(x).
A seguir apresentamos a regra da cadeia, que nos dá a derivada da função
composta g 0 f em termos das derivadas de f e g.
4.12.1 Proposição (Regra da Cadeia). Se y = g(u), u f(x) e as derivadas dy/du
e du/dx existem, então a função composta y = g [f(x)] tem derivada que é dada
por
cly _dy du ou y '(x) = g '(u) f '(x) .
dx du • dx
Prova Parcial. Vamos fazer a demonstração supondo que existe um intervalo aberto I
contendo x, tal que
Au = (x + Ax) — .1(x)1 # O sempre que (x + Az) E 1 e Ax # O. (1)
Isso se verifica para um grande número de funções, porém não para todas. Por
exemplo, se f for uma função constante a condição acima não é satisfeita. Porém neste
176 Cálculo A- Funções, Limite, Derivação, Integração
caso, podemos provar a fórmula facilmente. De fato, se f (x) = c então f ' (x) = O e
y = g [f (x)] = g(c) é constante. Assim, y' (x) = O = g' (u) • f ' (x).
Então provemos que y' (x) = g' (u) • f ' (x) quando f(x) satisfaz a condição (1).
Como y = g [f (x)], temos
Y '(x) = lim g[x Ax)] - g [f(x)]
Ax -*o Ax
Vamos considerar primeiro o quociente
g [f(x + Ax)] - g
[f(x)]
Ax
se este limite existir.
Seja Au = f(x + Ax) - f(x). Então Au depende de Ax e Au -> O quando
Ax -> O. Temos,
g [f(x + Ax)] - g [f(x)] g [f(x) + Au] - g [l x)]
Ax Ax
g (u + Au) - g(u)
Ax
Pela condição (1), Au � O em um intervalo aberto contendo x. Assim, podemos
dividir e multiplicar o quociente acima por Au. Temos então,
g [f(x + Ax)] - g [f(x)]
g (u + Au) - g(u) Au
Ax Ax Au
g(u + Au) - g(u) Au
Au Ax
g (u + Au) - g(u) f (x + Ax) -f(x)
Au Ax
Derivada 177
Aplicando o limite, temos
y '(x) lim g [f(x + Ax)] — g [Rx)]
—> o Ax
lim g u + Au) — g(u) lim f(x + Ax) — f(x)
Au -› O Au Az
g '(u)
• f '(x).
4.12.2 Exemplos
(i) Dada a função y = (x2 + 5x + 2)7 , determinar dy/dx.
Vimos anteriormente que podemos escrever y = g(u) = u7 , onde u = x2 + 5x + 2.
Assim, pela regra da Cadeia,
dy du
dx du dx
7u6 • (2x + 5)
7(x2 + 5x + 2)6 (2x + 5).
(ii) Dada a função y =
(3x + 2)s , encontrar y'.
2x + 1
■
3x + 2
Podemos escrever y = u5 , onde u —+ 1 . Aplicando a regra da cadeia,2x
temos
178 Cálculo A — Funções, Limite, Derivação, Integração
dy dy du
dx du • dx
5u4 (2x + 1) - 3 — (3x + 2) - 2
(2x + 1)2
▪ 5 •
3x + 2)
4
6X + 3 — 6x — 4
2x + 1 (2x + 1)2
• 5 3x + \4 —1
2x+ 1) (2x + 1)2
(iii) Dada a função y = (3x2 + 1)3 • (x — x2)2 , determinar dy/dx.
Neste caso temos o produto de duas funções
f(x) = (3x2 + 1) 3 e. g(x) = (x — x2)2 .
Assim, pela proposição 4.10.8,
y ' (x) = f(x) - g ' (x) + f ' (x) g(x).
Encontrando f ' (x) e g' (x) pela regra da cadeia, temos
f ' (x) = 3(3x2 + 1)2 • 6x e g ' (x) = 2(x — x2) • (1 — 2x).
Logo,
y '(x) = (3x2 + 1)3 • 2(x — x2) (1 — 2x) + 3(3x2 + 1)2 • 6x (x — x2)2
= 2(3x2 + 1)3 (x — x2) (1 — 2x) + 18x (3x2 + 1)2 (x — x2)2.
Derivada 179
4.12.3 Proposição. Se u = g(x) é uma função derivável e n é um número inteiro não
nulo, então
[g(x)r = n • [g(x)rdx
Prova. Fazendo y = un, onde u = g(x) e aplicando a regra da cadeia, temos
y '(x) = n I u ' ou —dx [g(x)]n = n • [g(x)r 1 • g '(x).
A regra da potência pode ser generalizada como segue:
Se u = g(x) é uma função derivável e r é um número racional não nulo
qualquer, então
[g(x)] r = r [g(x)] r-1 • g '(x),
ou ainda,
(u•) ' = r ur -1 .
4.12.4 Exemplos
(i) Dada a função f(x) = 5x2 + 3 , determinar f ' (x).
Podemos escrever
f(x) - 5 (x2 + 3 ) 1/2 .
Assim,
f '(x) = 2
1_ (x2 ± 3)-1/2
\
5x
• g '(x).
4/
180 Cálculo A — Funções, Limite, Derivação, Integração
t2 (ii) Dada a função g(t) - 31 ' determinar g (t).
-\it3 + 1
Escrevendo a função dada como um produto, temos
g(t) = t2 . (t3 + 1)-1/3 .
Assim,
-1 -1
g ' (t) =
f -1
3
t'2 + 1 ) 3 3t2 +( t3 + 1)-1/3 2t
= - ê (t3 + 1)-4/3 + 2t (t3 + 1)-1/3 .
Podemos resumir as proposições da Seção 4.10 e 4.12 na seguinte tabela de
derivadas.
4.12.5 Tabela. Sejam u = u(x) e v = v(x) funções deriváveis e c uma constante
qualquer.
(I) y = c y' =
(2) y = x y ' = 1.
(3) y = c•u y' = c • u'
(4) y = u + v y ' = u' + v'
(5) y = u v y' = u v' + v • u'
(6) y y, = vu' - uv '
V v2
(7) y=ua,0 � aE Q = ua - 1 • u ' .
A Tabela 4.12.5 nos ajuda a determinar as derivadas de algumas funções.
Derivada 181
4.12.6 Exemplos. Determinar a derivada das funções:
(i) y = x8 + (2x + 4) 3 +
8x7 + 3(2x
8x7 6(2x+
+ 4)
4)2+
2
+
+ 12 x -1 /2
2\rx_
(ii) Y =
-\.1x2 - 3
CV x2 — 3 — (x + 1) 1 (x2 — 3)-1/2 • 2x
Y=
x2 _ 3 )2
x + 1
1x2 — 3 — x(x + 1)t1lx2 — 3
x2 — 3
(x2 — 3) — x(x + 1)
'\ix2 — 3
x2 — 3
—3 — x
(x2 — 3)11x2 — 3,
• 3x (8x3 — 2).
y'
3x (24x2) + (8x3 — 2) 3
• 72x3 + 24x3 — 6
• 96x3 — 6.
182 Cálculo A — Funções, Limite, Derivação, Integração
(iv) y= \I6x2 + 7x + 2 .
Podemos escrever y = (6x2 + 7x + 2)1'3.
Temos,
y' = (6x2 + 7x + 2)-273 - (12x + 7)
12x + 7
3 1
3 .N1 (6x2 + 7x + 2)2
4.13 TEOREMA (DERIVADA DA FUNÇÃO INVERSA)
Seja y = f(x) uma função definida em um intervalo aberto (a, b). Suponhamos
que f(x) admita uma função inversa x = g(y) contínua. Se f ' (x) existe e é diferente de
zero para qualquer x E (a, b), então g = f -1 é derivável e vale
1 1
g '(Y) = f , (x) - f ' [g(y)]
Prova. A Figura 4.7 nos auxiliará a visualizar a demonstração que segue.
Sejam y = f(x) e Ay = f(x + Ax) - f(x). Observamos que, como f possui uma
inversa, se Ax # O temos que f(x + Ax) f(x) e portanto, Ay # O. Como f é contínua,
quando Ax O temos que Ay também tende a zero.
Da mesma forma, quando Ay --> O, Ax = g(y + Ay) - g(y) também tende a zero.
Temos então,
Ax —>0 Ay --> O. (1)
Derivada 183
AYf(b)
y + Ay = t(x + Ax)
y= f(x)
f(a)
Ay
Ax
a x x + Ax b x
g (y) g (y+Ax)
Figura 4-7
Por outro lado, para qualquer y = J(x) vale a identidade
g(y + Ay) — g(y)
(x + Ax) — x
Ay f(x + Ax) — f(x)
Ar
f(x + Ax) — flx)
1
f (x + Ax) — f (x)
Ax
Como f ' (x) existe e f ' (x) O para todo x E (a, b), usando (1), vem
fim g (y AY) g(Y) -
ey --> O Ay lim f (x + Ax) f(x)
Ax -40 Ax
1
f '(x)
1 Concluímos que g '(y) existe e vale g '(y) — f '(x)
1
184
Cálculo A — Funções, Limite, Derivação, Integração
4.13.1 Exemplos
(i) Seja y = f(x) = 4x — 3. A sua inversa é dada por
1
x = g(y) = —
4
(y + 3) .
Podemos ver que as derivadas, f '(x) = 4 e g '(y) = 1/4 são inversas uma da
outra.
(ü) Seja y = 8x3 . Sua inversa é x = y .
Como y ' = 24x2 é maior que zero para todo x # O, temos
dx 1
dy 24x2
1 1
1 3 ---)2 63'2/324
2
Para x = O, temos y = O e y ' = O. Portanto, não podemos aplicar o teorema
4.13.
4.14. DERIVADAS DAS FUNÇÕES ELEMENTARES
Nesta seção apresentaremos as derivacraS das funções elementares: exponen-
cial, logarítmica, trigonométricas, trigonométricas inversas, hiperbólicas e hiperbólicas
inversas.
Apresentaremos uma tabela de Regras de Derivação que será usada no
decorrer de todo o estudo de Cálculo Diferencial e Integral.
Derivada 185
4.14.1 Proposição (Derivada da função exponencial) Se y = ax, (a > O e
a # 1) então
y'=axlna(a>0ea#1).
Prova. Seja y = ax (a > O e a # 1). Aplicando a definição 4.3, temos
y ' = lim
Az —5 O Ax
ax (ate — 1) = hm
Ax O Az
= lim a' • lim aA'r — 1 •
—> O Ax —> 0 Ax
Como lim
aAx —
é o limite fundamental provado na Seção 3.14.5, vem
ex imo Ax
y' = ax • ln a.
Caso Particular:
Se y = ex então y' = ex - in e = e', onde e é o número neperiano.
4.14.2 Proposição (Derivada da função logarítmica). Se y = log a x (a > O,
a � 1), então
y ' = l log e (a > O , a # 1).
x a
ax + ax
186 Cálculo A — Funções, Limite, Derivação, Integração
Prova. Seja y = logo x (a > O, a � 1).
Aplicando a definição 4.3, temos
loga(x + Ax) - logax
y' = lim
Ax -> o Ax
x + Ax
Ioga
= lim
ex Ax
= lim [1 logo
Ax —)
Ax+ —
x
■ 1/4x
= 11111 logo 1 -I-
Ax O
Usando a proposição 3.5.2(g), podemos escrever
1/u -
y ' = logo lim Ax1 + —
x
= Ioga filim
Ax O
Ax/Ax
1/Ax -
x/ Ax
1/Ax x/x -
= logo [ lim
O—>
1I +
x/Ax
Derivada 187
x/Ax 1/x
logo [ limAx o 1 1+ x /Ax
x/Ax
= —
1 log
a
lim
/
1
1
1 +
Ax —> O x/Ax• 1
Usando o limite fundamental da Seção 3.14.3, vem
y ' = 1— logo e .
x
Caso Particular:
Se y=lnxentãoy'=
1 lne
1
x
4.14.3 Proposição
(Derivada da função exponencial composta).
Se
y = uv, onde u = u (x) e v = v (x) são funções de x, deriváveis num intervalo I e
u (x) > O, Vxe I então y' = v • ui'
u' + uv•ln u • v'.
Prova. Usando as propriedades de logaritmos, podemos escrever
y = 14V = eV • ln u
Portanto, y = (g f)(x), onde g(w) = ew e w = f(x) = v ln u.
Como existem as derivadas
g' (w) = ew e
f' (x) = (v ln = v' • ln u + v u u
188
Cálculo A - Funções, Limite, Derivação, Integração
pela regra da Cadeia, temos
y' = g' (w) • f ' (x)
v ' ln u + v • u '
u
[12 ' ln u + v • —
u
ev • ln u u '
= uv • lnu • v' + vuv -1 • u'.
Se u(x) é uma função derivável, aplicando a regra da Cadeia podemos gene-
ralizar as proposições da Seção 4.14. Acrescentamos as seguintes fórmulas em nossa
tabela de derivadas.
(8) y = a" (a > O, a � 1) y' = a"• ln a - u'
(9) y = e" y' = e'• u'
(10) y = ioga u y' = log e
u a
(11) y = ln u , u'
u
(12) y =
y' = v - u -1 •u' + uv - ln u• v', u > O .
4.14.4 Exemplos. Determinar
a derivada das funções:
y 3 2X2 + 3x - 1
Derivada
189
Fazendo u = 2x2 + 3x - 1, temos y = 3". Portanto,
y' = 3" ln 3 • u'
32x2 + 3x - •ln 3 • (4x + 3).
1 \"`-/
(i
Y =
Temos y =
1 j2 onde u = . Assim,
1 1
y' ( 2 ui 2 • u
( 2 ) In 21 21
1x
x + 1
(iii) y = e x - 1
Fazendo y = e" com u - +x 1 , temos
x - 1
= e" u'
x + I
x -1 (x - 1)•1 - (x + 1) - 1
= e
x +
x -1 -2
= e •
(x - 1)2
- 1)2
Cálculo A — Funções, Limite, Derivação, Integração
(iv) y eX ln x .
Neste caso fazemos y = eu, onde u = x In x.
Então,
y' = e" • u'
= ex -lnx
ex" inx
cx xr
x • 1+ lnx 11
= ex • inx (1 + lnx).
(v) y = log2 (3x2 + 7x — 1).
Temos y = log 2 u, onde u = 3x2 + 7x — 1. Portanto,
u'
y' = • log2e
6x + 7 • log e .
3x2 + 7 x — 1 2
ex (vi) y = In + 1
ex
Ternos y = ln u , onde u —
x 1 • Logo ,+
Y' =
Derivada 191
(x + 1)? - ex 1
(x + 1)2
et
x + 1
(vii) y = (x2 + 1)2 1 .
Temos y = uv, onde u = x2 + 1 > O e v = 2x - 1. Assim,
y' = (2x -1) (x2 + 1)2x -1-1 .(x2 + 1)' + (x2 + 1)2x -1 • ln (x2 + 1) • (2x - 1)'
= (2x - 1) (x2 + 1)2' 2 2x + (x2 + 1)2' 1 • ln (x2 + 1)•2.
Derivadas das funções trigonométricas
4.14.5 Proposição (Derivada da função seno). Se y sen x então y' = cos x.
Prova. Seja y = sen x. Aplicando a definição 4.3, temos
y' = lim sen (x + Ax) - senx •
•Ax--“) Ax
Para desenvolvermos o limite aplicaremos a fórmula trigonométrica:
+
sen p - sen q = 2 sen P • cos p q -2 2
Então,
2 sen x + Ax - x • cos x + Ax + x
2 2
= Ax
192 Cálculo A — Funções, Limite, Derivação, Integração
Em
--> O
2x + Ax2 sen Ax—
2
cos 2
Ax
Ax \2 sen —2
Ar2
2
2x + Ax
2
lim
Ax -o
coslim
Ax -*o
• 1 • cos x
• cos
4.14.6 Proposição (Derivada da função cosseno). Se y = cos x, então
y ' = — sen x.
Prova. Seja y = cos x. Aplicando a definição 4.3, temos
y' = lim cos (x + Ax) — cosx
Ax-->0 Ax
Aplicaremos a fórmula trigonométrica:
+ q
sen P • cosp — cos q = —2 sen p q2 2
Então,
—2 sen x + Ax + x sen x + Ax — x• 2 2
Ax
• lim (-2 sen 2x + Ax) hm n. se Ax/2
est o 2 Ax —>o 2. Ax
=
Em
Ax *o
Derivada 193
1—2 • sen x —
2
• 1
— sen x.
4.14.7 Derivadas das demais funções trigonométricas.
Como as demais funções trigonométricas são definidas a partir do seno e
cosseno, podemos usar as regras de derivação para encontrar suas derivadas.
Por exemplo,
sen xse y = tg x = , então y' = sec2 x .
cos x
De fato, usando a regra do quociente, obtemos
=
cos x • cos x — sen x (— sen x)
cos 2X
cose x + sen2 x
cose x
cose x
sec2 x.
Similarmente, encontramos:
Se y = cotg x então y' = — cosec2 x ;
se y = sec x então y' = sec x • tg x e
se y = cosec x então y' = — cosec x • cotg x.
194 Cálculo A — Funções, Limite, Derivação, Integração
Usando a regra da cadeia, obtemos as fórmulas gerais. Acrescentamos os
seguintes itens na tabela de derivadas.
,
(13) y = sen,u =
(14) y = cos u =3
(15) y = tg u =3
(16) y = cotg u =,
(17) y = sec u =
(18) y = cosec u
y' = cos •/‘ - u'
y' = - sen u - u'
y' = sec2 u -u'
y' = - cosec2
u • u'
y' = sec u - tg u • u'
y' = - cosec u • cotg u • u'.
4.14.8 Exemplos. Determinar a derivada das seguintes funções:
(i) y = sen (x2).
sen u, u x2 .
y' = (cos u) u'
• [cos (x2)] • 2x
• 2x cos (x2).
(ü) y
•
cos (1/x).
• cos u, u = (1/x).
y' = (- sen u) • u'
• [- sen ( 1/x)] - 1/x2
1 sen (1/x) .
x2
Derivada 195
(iii) y = 3 tg .\rx + cotg 3x .
y' = (3 tg + (cotg 3x)'
3 - sec2 (G)' + (— coseu 3x) • (3x)'
c3 sec2 -\/. • 1 — ( osec2 3x) 3 .
2L
cos x
(iv) 1 + cotgx
y' =
(1 + cotg x) (cos — cos x (1 + cotg x)'
(1 + cotg x)2
(1 + cotg x) (—sen x) — cos x (—cosec2 x)
(1 + cotg x)2
— sen x — sen x cotg x + cos x cosec2 x
(1 + cotg x)2
(v) y = sec (x2 + 3x + 7).
y = secu,u=x2 +3x+7.
y' = sec u • tg u • u'
[sec (x2 + 3x + 7) • tg (x2 + 3x + 7)] • (2x + 3)
(2x + 3) sec (x2 + 3x + 7) • tg (x2 + 3x + 7).
i) y = cosec
x + 1
y = cosec u , u —
x — 1
196 Cálculo A — Funções, Limite, Derivação, Integração
y' = — cosec u• cotg u- u'
= [— cosec x + 1
x
— 1 • cotg x + 1 —2
x — 1 (x — 1)2
2
x + 1
x + 1
(x — 1)2 cosec
[
x — 1
- cotg
x — 1 •
Derivadas das Funções Trigonométricas Inversas
4.14.9 Proposição (Derivada da função arco seno). Seja f: [-1, 1] —>[- 7c/2, n/2]
definida por f(x) = arc sen x. Então y = f(x) é derivável em (-1, 1) e
1
y' —
N1 —x2
Prova. Sabemos que
y = arc sen x <=> x = sen y , y E [- na, 7C/2].
Como (sen y)' existe e é diferente de zero para qualquer y E (-7t12, vc/2),
aplicando o teorema 4.13, vem
1 1
Y = (sen y) ' cos y (1 )
Como para y E (-7C/2, n/2) temos cos y =
— sen2
y , substituindo em (1),
vem y' — , 1 Como sen y — x temos y' — , 1
, para x E (-1, 1).
"V 1 — sen2 y .‘11 — x2
4.14.10 Proposição (Derivada da função arco cosseno). Seja f.• [-1, 1] —> [0, n]
definida por f(x) = arc cos x. Então y = f(x) é derivável em (-1, 1) e
—1
Y —
"\/1 — x2
y = — arc sen x
1
x2 , para x E (— 1, 1).
4.14.11 Proposição (Derivada da função arco tangente).
definida por f (x) = arc tg x. Então y = f (x) é derivável e
--> (- na, 7c/2)
1
1 + x2
Derivada 197
Prova. Usando a relação
arc cos x = 2 — arc sen x e a proposição 4.14.9, obtemos
Prova. Sabemos que
y = arc tg x <=> x = tg y , y E (— n/2, n/2).
Como (tg y)' existe e é diferente de zero para qualquer y E (—n/2, n/2),
aplicando o teorema 4.13, vem
1 1
Y' — (tg y)' sec2 y
Como sec2 y = 1 + tg2 y, obtemos
y'
1
1 + tg2 y
Substituindo tg y por x, temos
1
y — 1 + x2
198 Cálculo A — Funções, Limite, Derivação, Integração
4.14.12 Derivadas das Demais Funções Trigonométricas Inversas. As de-
mais funções trigonométricas inversas possuem derivadas dadas por:
(i) Se y = arc cotg x então y' =
1 + x2
(ii) Se y = arc sec x, Ix 1 11, então y' - lx 1 > 1 .
lx 1 "Vx2 - 1
(iii) Se y = arc cosec x, Ix 1 _� 1, então y' - -1 lx 1 > 1 .
lx I "Nix2 - 1
A implicação (i) pode facilmente ser verificada se usarmos a relação
arc cotg x = 2- - arc tg x e a proposição 4.14.11.
Provaremos a implicação (ii).
Seja y = arc sec x = arc cos (1/x) para lx1 1. Então y ' = [arc cos (1/x)]'.
Usando a proposição 4.14.10 e a regra da Cadeia, temos
-1 ir
-‘11 - (1/42
)9
x
x2
.\/x2 - x2
1
x2 -Jx2 -
-4-2
lx 1
x2 1ix2 - 1
1 onde lx 1> 1.
Ix1 .N1x2 -
Acrescentamos os seguintes itens na tabela de derivadas:
(19) y = arc sen u
(20) y = arc cos u
(21) y = arc tg u
(22) y= arc cotg u
(23) y = arc sec u
iul � 1
(24) y = arc cosec u
¡ui � 1
y' —
'\11 — u2
—u'
y' —
-V1 — u2
u'
y = 1 + u2
— u'
r 1 + u2
u'
.Y' —
lu I .‘11£2
- 1'
lul> 1
y' —
— u'
, lul >
lu I 1/u2 — 1
4.14.13 Exemplos. Encontre a derivada das-segii~mMes;
(i) y = arc sen (x + 1).
y = arc sen u, u = x + 1.
u'
\11 — u2
1
—
— (x + 1)2
(ii) y = arc tg 1 • X2
1 +x2
y = arc tg u , u — 1 —
1 +x2
-2x
200 Cálculo A - Funções, Limite, Derivação, Integração
y' 1 + u2
y' =
( 1 + X2) • (-2x) - 1 - X2) • 2x
(1 + x2)2
1 +
[ 1 x:1+x2
4.14.14 Derivadas das funções hiperbólicas.
Como as funções hiperbólicas são definidas em termos da função exponencial,
podemos facilmente determinar suas derivadas, usando as regras de derivação já esta-
belecidas.
Por exemplo, se y = senh x, então
Y
{ -
2
1= -
2
(e' - e-x)'
1= -
2
(ex + e-x)
= cosh x.
Similarmente, obtemos as derivadas das demais funções hiperbólicas.
Podemos acrescentar na tabela
de derivação as seguintes fórmulas.
(25) y = senh u
(26) y = cosh u
y' = cosh u u'
y' = senh u•u'
Derivada 201
(27) y = tgh u y' = sech2 u • u'
(28) y = cotgh u y' = — cosech2 u • u'
- (29) y = sech u y' = — sech u- tgh u • u'
(30) y = cosech u y' = — cosech u • cotgh u • u'.
4.14.15 Exemplos. Determinar a derivada das seguintes funções:
(i) y
•
senh (x3 + 3).
senh u, u = x3 + 3.
y' = cosh u • u'
= cosh (x3 + 3) 3x2 .
(ii) y
•
sech (2x).
sech u, u = 2x.
y' = — sech u tgh -u'
• — sech (2x) tgh (2x) • 2.
(iii) y = ln [tgh (3x)].
y = ln u, u = tgh (3x).
u'
u
sech2 (3x) 3
tgh (3x)
202 Cálculo A - Funções, Limite, Derivação, Integração
3
cosh2 (3x)
senh (3x)
cosh (3x)
= 3 sech (3x) - cosech (3x).
(iv) y cotgh(1 - x3).
• cotgh u, u = 1 - x3 .
y' -cosech2 u - u'
• -cosech2 (1 - x3) • ( -3x2)
• 3x2 cosech2 (1 - x3).
4.14.16 Derivadas das funções hiperbólicas inversas.
Na Seção 2.15.6 vimos que y = arg senh x pode ser expresso na forma
y = ln (x + -gx2 + 1) .
Assim, fazendo u = x + 11x2 + 1 e aplicando a regra da cadeia, obtemos
Y' -
(X -I- '\/X2 1)'
x + 2+ 1
11 + -
2
(x2 + 1)-1/2 • 2x
X \x2 + 1
1 +
.VX2 ± 1
X VX2 ± 1
x
Derivada 203
1lx2 + 1 + x 1
1- 1
x + .\f x2 ± 1
1
1
•Nix2 + 1
De maneira similar podem ser obtidas as derivadas das demais funções hiper-
Portanto, se y = arg senh x então y' —
bólicas.
Apresentamos as fórmulas que completam nossa tabela de derivadas.
(31) y = arg senh u y '
"\itê + 1
(32) y = arg cosh u u > 1
-‘1/42 1—
u,
(33) y = arg tgh u
y' = 1 — u2
lul < 1
(34) y = arg cotgh u y' 1 _
u,
u2 lul > 1
—u'
(35) y = arg sech u Y' — ,0<u<1
u "\11 — u2
(36) y = arg cosech u
—u '
Y' — u O.
lu I "\11 +u2
4.14.17 Exemplos. Determinar a derivada de cada uma das funções dadas.
(i) y = x2 arg cosh x2.
204 Cálculo A - Funções, Limite, Derivação, Integração
Temos,
2x
= x2 + 2x arg cosh x2-vx4
= 2x [ ‘x
4 - 1
x2
+ arg cosh x2
(ii) y = arg tgh (sen 3x
(sen 3x)'
1 - (sen 3x)2
cos (3x) 3
cose 3x
3
cos 3x
= 3 sec 3x.
(iii) y = x arg senh x - •Nix2 + 1 .
y' = x • 1+ 1 arg senh x - 21
(x2 + 1)-1/2 2x..v,x2
- , + arg senhx -
"Vx2 + 1 Nx2 + 1
= arg senh x.
Derivada 205
4.14.18 Tabela Geral de derivadas.
Reunindo todas as fórmulas obtidas, formamos a tabela de derivadas que
apresentamos a seguir. Nesta tabela u e v são funções deriváveis de x e c, a e a são
constantes.
(1) y = c y' = O
(2) y=xy'=1
(3) y = c - u y' = c • u'
(4) y = u + v ' = u' + v'
(5) y = u • v y' = u • v' + v u'
(6) y= y ' =
v u' - u • v'
v2
(7) y = u (a � O) y' = a•u 1 • u'
(8) y = a" (a > O, a � 1) y' = a" • ln a•u'
(9) y = e" y' = e" u' ,1
1
(10),y -= logau y' = —u' logo e . u 1\- __-
(11) y = ln u y' =
u
(12) y = uv y' = v • uv - 1 •u' + te • ln u • v'
(u > o)
(13) y = sen u y' = cos u • u'
(14) y = cos u y' = -sen u • u'
(15) y = tg u y' = sec2 u • u'
\ (16) y = cotg u y' = - cosec2 u u'
u'
206 Cálculo A — Funções, Limite, Derivação, Integração
(17) y = sec u y' = sec u • tg u • u'
(18) y = cosec u y' = — cosec u cotg u u'
(19) y = arc sen u
u'
u2
(20) y arc cos u y' —u'
- u2
(21) y = arc tg u y' = u'
1 +u2
y = arc cotg u y' =
1 + u2
(23) y = arc sec u, lul 1 y' — ,
u'
lul Nu2 — 1
lul > 1
(24) y = arc cosec u, lu! 1 y' —
u ' lul >
lul Nu2 — 1
(25) y = senh u y' = cosh u u'
(26) y = cosh u y' = senh u u'
(27) y = tgh u y' = sech2 u u'
(28) y = cotgh u y' = — cosech2 u • u'
(29) y = sech u y' = — sech u • tgh u • u'
(30) y = cosech u y' = — cosech u • cotgh u u'
X(31) y = arg senh u y' — u' - \lu2 + 1
(32) y = arg cosh u u'y' — u > 1-\1/42 — 1
Derivada 207
u
(33) y = arg tgh u y ' - lul < 1
1 - u2
(34) y = arg cotgh u y u '= lul > 1
1 - u2
(35) y = arg sech u
-u
y ' - , O < u < 1
u 1/1 - u2
7;(36) y = arg cosech u y' = -u ' , u � O.
lu] -‘11 + u2 i, 1
1
4.15 EXERCÍCIOS
Nos exercícios de 1 a 75 calcular a derivada.
1.
3.
f(x)= 10 (3x2 + 7x - 3) 1-9 2.
1f(x) = -
a
(bx2 + ax)3
4.
f(x) = 1 (2x5 + 6x-3)5
f(x) (3x2 6x) 10 _ 1
x2
5. f(t) = (7t2 + 6t)7 (3t - 1)4 6. f(x)= (5x -2) 6 (3x - 1)3
7. f(t) - 7t + 1 8. f(x) - (2x - 5)4 + x +1 -
2t2 + 3 )
9. f(x) = N1(3x2 + 6x - 2)2 10. f(t) = (4t2 -5t + 2)- 1/3
11. f(x) - 2x 12. X27f(x) Iv3x + 1
',13x - 1
5
2 3x+1
13. f(t) = 2t +..\41 1 14: + 6x + 7f(x) = 2 e
t - 1
208 Cálculo A - Funções, Limite, Derivação, Integração
115. f(x) = -3
3 _ x
17. f(x) = 23x2 .4- 6x
19. f(s) = (7 s2 + 6s -1)3 + 2e - 35
21. f(t) = et/2 (t2 + 50
23. f (x) = log2 (2x + 4)
25. f(s) = log3 + 1
27. f(x) = ln 1 + —1x x2
16. f(x) =
18. f(x) = [ 1 In 2x
e-1 + 1 20. f(t) -
'Niet - 1
2/2( f(t) "\let + 1
24. f(x) = 1- (br,) + c) - Inx
a
126. f(x) = -2 ln (7x2 - 4)
23. ftx) = ln + x)1 - x
29.
31.
33.
37.
39.
a3x 30. f(t) = a
\\ri.
f(x) =
b3x2 - 6x
f(t) = (2t + 1)? - 1 32. f(x) = (eX2
1
s) =
(a + bs) in(af( -2 bs) 34. f(x) = sen (2x + 4)
MJ= cos (7[12 - u) 36. f(8) = 2 cos (2 02 — 3 + 1)
f(0) = 2 cos 02 • sen 2 0 f(a) - 1 + cos 2 a2
f(x) = sen3 (3x2 + 6x) 40. f(0)= sen2 8 + cos2 8
Derivada 209
41. ,fix) = 3tg (2x + 1) + -Cx
42. f(s) = cote (2s — 3)2
3 sec2x43. f(x) — 44. f(x) —
isen x
45. .f(x) = e2x cos 3x 46/ fix) = sen (x + 1)
ex
47. f(0) = — cosec2 03
48. f(x) = sen2 (x/2) cose (x/2)
49. f(x) = a ••cos bx 50. f(t) = 1n cos2t
51. f(u) = (u tg u)2
52. f(x) = log2 (3x — cos 2x)
53. f(0) a cotg O a>0 54. f(t) e2 cos 2t
55. f(x) = (arc sen 42
56. f(x) = arc cos 3
57. f(t) = t arc cos 3t
f(t) = arc cos (sen t)
61. f(x) = arc sec
58. f(s) — arc sen s/2
s + 1
6‘. f(x) = arc tg 1 x2
62. f(x) = senh (2x —1)
63. f(t) t2 arc cosec (2t + 3) 64. f(t) ln [cosh (t2 — 1)]
65. f(x) — (sen hx)
x
67. ftt) = [cotgh (t + 1)2 ]1/2
66. f(t) = tgh (4t2 — 3)2
68. f(x) = sech [ln x]
210 Cálculo A - Funções, Limite, Derivação, Integração
69. f(x) = (3x + 1)cosech 1
3
70. f(x) = (arg senh x)2x
71. f(x) = x arg cosh x - 1/-x2 - 1 72. f(x) = arg tgh x2
73. f(x) x arg cotgh x2 74. f(x) = (x + 1) arg sech 2x
75. 1f(x) 2 [arg cosh x2]2
76. Encontrar f ' (x).
1 - x , x O
a)' f(x) =
, x > O
) f(x) = ln I 3 - 4x
c) f(x) =e 12x-11 .
77. Calcular f ' (0), se jlx) = e-x cos 3x.
78. Calcular f ' (1), se .fix) = ln (1 + x) + arc sen x/2.
79. Dada f(x) = é X , calcularflO) + xf '(0).
80. Dada f(x) = 1 + cos x, mostrar que f(x) é par e f ' (x) é ímpar.
81. Dada afiz) = sen 2x cos 3x, mostrar que .gx) é ímpar e f '(x) é par.
82. Dada a função f(x) = sen 2x , calcular f (x) e verificar que f e f ' são periódicas de2mesmo período.
83. Seja.fix) derivável e periódica de período T. Mostrar que f ' também é periódica de período T.
Derivada
211
84. Mostrar que a função y = x e X satisfaz a equação xy' = (1 - x)y.
2
85. Mostrar que a função = x e-x /2 satisfaz a equação xy ' = (1 - x2)y.
86. Mostrar que a função y = 1 satisfaz a equação xy' = y (y ln x - 1).1 + x + ln x
87. Sejam f e g funções tais que (f o g) (x) = x para todo x, e f '(x) e g '(x) existem para todo x.
Mostrar que
f '(g(x)) = g ,(x)
, sempre que g' (x) # O.
88. Obtenha a regra do produto para (uv)' derivandp a fórmula
ln (uv) ln u + ln v.
89. Provar que:
a) Se y = cotg x, então y' = - cosec2 x.
b) Se y = sec x, então y' = sec x tg x.
c) Se y arc cotg x, então y ' - -1
1 +x2 /0"
d) Se y arc cosec x,lx
I _� 1, então y' - , lx1 > 1 .
Ixl 'Vx2 - 1
e) Se y = cosh x, então y' = senh x.
f) Se y = tgh x, então y' = sech2 x .
g) Se y = sech x, então y' = - sech x - tgh x.
212 Cálculo A — Funções, Limite, Derivação, Integração
—1 h) Se y = arg sech x, então y ' —
O < x < 1 .
x — x2
i) Se y = arg cosech x, então y ' —
—1
x # O .
Ix I .\/1 +x2
90. Encontrar todos os pontos onde o gráfico de f(x) tem tangente horizontal.
a) f(x) = sen 2x; b) f(x) = 2 cos x.
4.16 DERIVADAS SUCESSIVAS
Seja f uma função derivável definida num certo intervalo. A sua derivada f '
é também uma função, definida no mesmo intervalo. Podemos, portanto, pensar na
derivada da função f '
4.16.1 Definição. Seja f uma função derivável. Se f' também for derivável, então a
sua derivada é chamada derivada segunda de f e é representada por f "(x)
(lê-sef-duas linhas de x) ou (lê-se derivada segunda de f em relação a x).
4.16.2 Exemplos
(i) Se f (x) = 3x2 + 8x + 1, então
f' (x) = 6x + 8 e
f " (x) = 6.
(ii) Se f(x) = tg x, então
f ' (x) = sec2 x e
f " (x) = 2sec x • sec x tg x
2 sec2 x • tg x.
Derivada 213
(iii) Se f(x) = "Nix2 + 1 , então
f' (x) 2
1
_ (x2 + 1)-1/2 2x
X (X2 ± 1) -1/2 e
-1f " (x) = x -2 (x2 + 1) -3/2 • ZX -I- (X2 ± 1) -4/2
1 X2
.\/(X2 + 1)3 .\IX2 + 1
Se f " é uma função derivável, sua derivada, representada por f "' (x), é
chamada derivada terceira de f(x).
A derivada de ordem n ou n-ésima derivada de f, representada por f (n)(x), é
obtida derivando-se a derivada de ordem n —1 de f.
4.16.3 Exemplos
(i) Se f(x) = 3x5 + 8x2, então
f '(x) = 15x4 + 16x
f "(x) = 60x3 + 16
f '" (x) = 180x2
f iv(x) = 360x
j(5) (x) = 360
"x)
f (n)(x) = 0, para n 6.
214 Cálculo A — Funções, Limite, Derivação, Integração
(ii) Se f(x) = e x/2, então
f '(x) = 1 x/22
f"(x) = 1 e -
f '"(x) = 1 -8 e x/2
f (n) (x) = 2n e x/2
(iii) Se f(x) = sen x, então
f ' (x) = cos x
f "(x) = - sen x
f "' (x) = - cos x
f iv(x) = sen x
f (n)(x) =
cos x, para n = 1, 5, 9, .. .
- sen x, para n = 2, 6, 10, .. .
- cos x, para n = 3, 7, 11, .. .
sen x, para n = 4, 8, 12, .. .
Derivada 215
4.17 DERIVAÇÃO IMPLÍCITA
4.17.1 Função na forma implícita.
Consideremos a equação
F(x, y) = O. (1)
Dizemos que a função y = f(x) é definida implicitamente pela equação (1), se
ao substituirmos y por f(x) em (1), esta equação se transforma numa identidade.
4.17.2 Exemplos
(i) A equação x2 + 12 y —1 = O define implicitamente a função y = 2 (1 —x 2).
1
De fato, substituindo y = 2 (1 — x2) na equação x2 + —
2
y — 1 = O , obtemos
1a identidade x2 + —
2
2(1 — x2) — 1 = O .
(ii) A equação x2 + y2 = 4 define, implicitamente, uma infinidade de funções.
De fato, resolvendo a equação para y como função de x, temos
y = ± -\14 — x2 .
Duas funções na forma implícita são obtidas naturalmente:
y = + -\/4 — x2 e y = — •\14 — x2 .
Os gráficos dessas funções são, respectivamente, a semicircunferência superior
e inferior da circunferência de centro na origem e raio 2 (ver Figura 4.8).
216 Cálculo A — Funções, Limite, Derivação, Integração
Figura 4-8
Podemos obter outras funções implícitas da equação x 2 + y2 = 4. Se tomamos
um número real c qualquer entre —2 e 2, podemos definir a função
para x c'■14 — x2 ,
h(x) =
- -\14 - x2 , para x < c .
A função h(x) é definida implicitamente pela equação x 2 + y2 = 4, pois
x2 + [ h (x) ] 2 = 4 para todo x no domínio de h.
Podemos ver o gráfico da função h na Figura 4.9. Observamos que esta função
não é contínua no ponto c e portanto não é derivável.
Figura 4-9
Derivada
217
Atribuindo diferentes valores a c, podemos obter tantas funções quantas quei-
ramos. Assim, a equação x 2 + y2 = 4, define implicitamente uma infinidade de funções.
Nem sempre é possível encontrar a forma explícita de uma função definida
implicitamente. Por exemplo, como explicitar uma função y = f(x) definida pela equação
y4 + 3xy + 2 ln y = O?
O método da derivação implícita perrnite encontrar a derivada de uma função
assim definida, sem a necessidade de explicitá-la.
4.17.3 A Derivada de uma função na forma implícita.
Suponhamos que F(x, y) = O define implicitamente uma função derivável y =f (x).
Os exemplos que seguem mostram que usando a regra da cadeia, podemos determinar
y' sem explicitar y.
Exemplos.
(i) Sabendo que y = f(x) é uma função derivável definida implicitamente
pela equação P + y2 = 4, determinar y'.
Como a equação x2 + y2 = 4 define y = f(x) implicitamente, podemos consi-
derá-la uma identidade válida para todo x no domínio de f.
Derivando ambos os membros desta identidade em relação a x, temos
(x2 + y2)' = (4)'
ou,
(x2) ' (Y2) ' 0 .
Como y = f(x), usando a regra da cadeia, vem
2x + 2y y' = O.
•
218 Cálculo A — Funções, Limite, Derivação, Integração
Isolando y', temos
Observamos que, neste exemplo, foi usado o fato de que y =,f(x) é uma função
derivável definida implicitamente. Esse resultado não é válido para a função h(x),
representada graficamente na Figura 4.9. De fato, embora esta função também seja
definida implicitamente pela equação x2 + y2 = 4, ela não é contínua no ponto x = c e
portanto, não é derivável neste ponto.
(ii) Sabendo que y = f(x) é definida pela equação xy2 + 2y3 =
determinar y'.
Sabemos que a equação xy 2 + 2y3 = x — 2y é uma identidade quando substi-
tuimos y por f (x). Portanto, em todos os pontos onde y f(x) é derivável, temos .as
seguintes igualdades:
(xy2 + 2y3)' = (x — 2y)'
(xy2)' + (2y3)' = (x)' — (2y)'
x • 2y y' + y2 + 6y2 y' = 1 — 2y'.
Isolando y' na última igualdade, temos
Y — 2xy + 6y2 + 2
(iii) Se y = f(x) é definida por x2y2 + x sen y = O, determinar y'.
Lembrando que y = f(x) e derivando em relação a x com o auxilio da regra da
cadeia, temos
x-2 • y' + 2 1- X cos y y' + sen y = O.
1 — y2
Derivada 219
Isolando y', vem
+ sen y
y — 2x2y + x c3os y
(iv) Determinar a equação da reta tangente à curva x2 +
2
y — 1 = O no
ponto (— 1, O).
Derivando implicitamente em relação a x, temos
1
2x + —
2
y ' = O
Portanto, y' = — 4x. No ponto x = —1, y' = 4.
A equação da reta tangente à curva no ponto (-1, O) é dada por
y — O = 4 (x + 1), ou seja,
y = 4x + 4.
4.18 DERIVADA DE UMA FUNÇÃO NA
FORMA PARAMÉTRICA
4.18.1 Função na Forma Paramétrica. Sejam
{ x = x(t)
Y = Y(0
)
(1)
duas funções da mesma variável real t, t E [a, b]. Então, a cada valor de t correspondem
dois valores x e y. Considerando estes valores como as coordenadas de um ponto P,
podemos dizer que a cada valor de t corresponde um ponto bem determinado do plano
xy. Se as funções x = x(t) e y = y(t) são contínuas, quando t varia de a até b, o ponto
P(x(t), y(t)) descreve uma curva no plano (ver Figura 4.10). As equações (1) são
chamadas equações paramétricas da curva e t é chamado parâmetro.
220 Cálculo A — Funções, Limite, Derivação, Integração
A y
y(t)
a
x(t)
Figura 4-10
Vamos supor agora, que a função x = x(t) admite uma função inversa t = t(x).
Neste caso, podemos escrever
y = y [t(x)
e dizemos que as equações (1) definem y como função de x na forma paramétrica.
Eliminando o parâmetro t nas equações (1), podemos obter a função y = y(x)
na forma analítica usual.
Muitas curvas importantes costumam ser representadas na forma paramétrica.
Em geral, as equações paramétricas são úteis porque, em diversas situações, elas
simplificam os cálculos. Elas também são muito usadas na Física, para descrever o
movimento de uma partícula. A seguir, apresentamos as equações paramétricas de
algumas curvas e damos exemplos de algumas funções definidas na forma paramétrica.
4.18.2 Exemplos
x = 2t + 1
(i) As equações
y = 4t + 3
definem uma função y(x) na
forma paramétrica.
Derivada 221
De fato, a função x = 2t + 1 é inversível sendo que sua inversa é dada por
t = —1 (x — 1). . Substituindo este valor na equação y = 4t + 3, obtemos a equação
2
cartesiana da função y(x), que é dada por
y = 4 [ —
2
(x — 1) + 3
= 2x + 1.
(ii) As equações
x = a cos t
(2)
y = a sen t , t e [O, 2 n] ,
onde a é uma constante positiva, representam uma circunferência de centro na origem
e raio a.
Na Figura 4.11, visualizamos o parâmetro t, O 5 t 5_ 2 n, que representa o
ângulo formado pelo eixo positivo dos x e o segmento de reta que une o ponto P à
origem.
Figura 4-11
Para obter a equação cartesiana, devemos eliminar o parâmetro t.
222 Cálculo A — Funções, Limite, Derivação, Integração
Elevando ao quadrado cada uma das equações em (2) e adicionando-as, obte-
MOS
x2 = a2 cos2 t
y2 = a2 sen2 t
x2 + y2 = a2 cos2 t + a2 sen2 t
= a2
ou seja, x2 4_ y2 = a2 .
Observamos que, neste exemplo, não temos uma função y(x) na forma para-
métrica, porque a função x = a cos t não é inversível no intervalo [O, 2 n ]. No entanto,
podemos obter uma ou mais funções y y(x) na forma paramétrica, restringindo
convenientemente o domínio
y = -
Figura 4-12
Y = - 2 _ x2
Por exemplo, as equações
{x = a cos t
y --,-- a sen t , t E [O, 7C]
Derivada
223
definem, na forma paramétrica, a função y = -N, I 612 - x2 e as equações
{x = a cos t
y = a sen t , t E [n,27c]
definem a função y = — Ia 2 — x2 (ver Figura 4.12).
(iii) As equações
{x = a cos t
y= b sen t , t E 10, 27c1 ,
(3)
onde a e b são constantes positivas, representam uma elipse de centro na origem e
semi-eixos a e b, como mostra a Figura 4.13(a).
Neste caso, o parâmetro t também representa um ângulo e pode ser visualizado
na Figura 4.13(b).
(a) (b)
Figura 4-13
Para obter a equação cartesiana da elipse dada, devemos eliminar o parâ-
metro t.
b2 x2 = a2 b2 cos2 t
a2 y2 = a2 b2 sen2 t
b2 x2 + a2 y2 = a2 b2 (cos2 t + sen2 t)
= a2 b2
ou, de forma equivalente,
x2 y2
a2 b2 =
224 Cálculo A — Funções, Limite, Derivação, Integração
Multiplicando a primeira equação de (3) por b e a segunda equação por a,
obtemos
bx = ab cos t
ay = ab sen t.
Elevando cada uma dessas equações ao quadrado e adicionando-as, vem
Como no exemplo anterior, restringindo convenientemente o domínio,' ipo-
demos definir uma ou mais funções y(x) na forma paramétrica.
j
Figura 4-14
Derivada 225
Por exemplo, as equações
{x = a cos t
y = b sen t , t e
definem, na forma paramétrica, a função y(x) que está representada na Figura 4.14.
(iv) As equações
{x = a cosa t
y= a sen3 t,0‹ t<27z,
onde a é uma constante positiva, representam a curva vista na Figura 4.15(a).
O
'
(4)
(a) (b)
Figura 4-15
Esta curva é chamada astróide ou hipociclóide de 4 cúspides e pode ser
definida como a trajetória descrita por um ponto fixo P de uma circunferência de raio
a/4, quando esta gira, sem escorregar, dentro de uma circunferência fixa de raio a.
226 Cálculo A - Funções, Limite, Derivação, Integração
Na Figura 4.15(b), ilustramos o significado geométrico do parâmetro t.
Para obter a equação cartesiana da curva, procedemos de forma análoga aos
exemplos anteriores. Elevando cada equação de (4) à potência 2/3 e adicionando-as,
obtemos
X2/3 a2/3 cos2 t
y2/3 = C/2/3 sen2 t
x2/3 + y2/3 = a2/3 (cos2 t + sen2 t)
ou, de forma equivalente,
x2/3 + y2/3
Observamos que as equações (4) não definem uma função y(x) na forma
paramétrica, porque x = a cos a t não é inversível no intervalo [0, 2/c]. Portanto, se
queremos definir uma função y(x) na forma paramétrica, devemos tomar o cuidado de
restringir conveniententemente o domínio.
4.183 Derivada de uma Função na Forma Paramétrica.
Seja y uma função de x definida pelas equações paramétricas
x = x(t)
(5)
y = y(t) , t E [a,b]
Suponhamos que as funções y = y(t), x = x(t) e sua inversa t = t(x) são
deriváveis.
Podemos ver a função y = y(x), definida pelas equações (5), como uma função
composta
y = y [t(x)]
e aplicar a regra da cadeia. Temos, então
dy
dx = y ' (t) - t '(x) . (6)
Derivada 227
Como x = x(t) e sua inversa t = t(x) são deriváveis, pelo teorema 4.13, vem
1
t '(x) =
x '(t)
Substituindo (7) em (6), obtemos
(7)
dy y '(t)
dx x '(t) .
dyObservamos que esta fórmula nos permite calcular a derivada
sem
dx
conhecer explicitamente y como função de x.
4.18.4 Exemplos
dy (i) Calcular a derivada
da função y(x) definida na forma paramétrica
dxpelas equações:
x = 2t + 1 x = 3t — 1
(a) (b)
y = 4f + 3 ; y = 9t2 — 6t .
Solução.
(a) Temos,
dy y '(t)
4 - 2dx x '(t) 2
(b) Temos,
cli _ y '(t) 18t — 6
dx x '(t) 3
— 2 . (8)
228 Cálculo A — Funções, Limite, Derivação, Integração
dySe quisermos o valor da derivada
em função de x, devemos determinardx
t = t(x) e substituir em (8). Temos,
x = 3t — 1 1t = —3 (x + 1) .
Substituindo em (8), vem
dy = 6 1— (x + 1) — 2
dx • 3
= 2x.
(ii) Determinar a derivada —dy da função y(x) definida na forma paramétrica
pelas equações
x = 4 cosa t
y = 4 sena
t ,
Temos,
o < t <
2
x'(t) = —12 cose t sen t
y' (t) = 12 sen2 t cos t.
Portanto,
o
dy y '(t)
12 sen2 t cos t
sen t
— — tg t .dx x '(t) — 12 cose
t sen t cos t
Derivada
229
Observamos que este resultado só é válido para os pontos onde x' (t) O, ou
seja, para t � Oet � —7c2 -
(iii) Determinar a equação da reta tangente à circunferência x 2 + y2 = 4, no
ponto .
Solução. Vamos usar a função y(x) definida na forma paramétrica pelas equa-
ções
xx = 2 cos t
y= 2 sen t , t E [O, 7t] ,
como vimos no Exemplo 4.18.2(ü).
Vamos agora, calcular a inclinação da reta tangente no ponto P, ou seja, vamos
dy
calcular o valor da derivada
no ponto P. Temos,dx
y '(t)
2 cos t— —dx x '(t) — —2 sen t — cotg t .
Precisamos determinar o valor do parâmetro t que corresponde ao ponto P.
Temos,
= 2 cos t
-\Õ = 2 sen t ,
TCe portanto t = 4
A equação da reta tangente à curva no ponto PC , , é dada por
y— = —1(x — ,
230 Cálculo A — Funções, Limite, Derivação, Integração
ou seja,
y= —x + 2-\/2".
4.19 DIFERENCIAL
4.19.1 Acréscimos. Seja y = f(x) uma função. Podemos sempre considerar uma
variação da variável independente x. Se x varia de x 1 a x2, definimos o
acréscimo de x, denotado por Ax, como
Ax = x2 — x l .
A variação de x origina uma correspondente variação de y, denotada por Ay,
dada por
Ay = f(x2) —f(x1) ou,
Ay =f(x / + Ax) — f(x 1) (ver Figura 4.16).
Ay
x, Ax
x2
1
X
Figura 4-16
Deripada 231
4.19.2 Diferencial. Sejam y = f(x) uma função derivável e Ax um acréscimo de x.
Definimos:
(a) a diferencial da variável independente x, denotada por dx, como
dx = Ax;
(b) a diferencial da variável dependente y, denotada por dy, como
dy = f '(x) Ax.
De acordo com a definição anterior, podemos escrever dy = f '(x) • dx ou
dy
dx = f
,
(x).
Assim, a notação dy já usada para f ' (x), pode agora ser considerada umdx
quociente entre duas diferenciais.
4.19.3 Interpretação Geométrica. Consideremos a Figura 4.17, que representa o
gráfico de uma função y f(x) derivável.
O acréscimo Ax que define a diferencial dx está geometricamente representado
pela medida do segmento P M [P(x i , f(x i )) e M(x2, /V IM (ver Figura 4.17).
Figura 4-17
232 Cálculo A — Funções, Limite, Derivação, Integração
O acréscimo Ay está representado pela medida do segmento M Q [Q (x2, f (x2)].
A reta t é tangente à curva no ponto P. Esta reta corta a reta x = x2 no ponto
R, formando o triângulo retângulo P M R. A inclinação desta reta t é dada por!(x 1 ) ou
tg a. Observando o triângulo
P M R, escrevemos
nxi) = tg a = PAIAiR
onde MR e PM são respectivamente as medidas dos segmentos MR e PM. Usando o
fato de que f'(x i) = dxdy , concluímos que dy MR , já que PM = dx
Observamos que, quando Ax torna-se muito pequeno, o mesmo ocorre com a
diferença Ay — dy. Usamos esse fato em exemplos práticos, considerando Ay dy
.(Ay aproximadamente igual a dy), desde que o dx considerado seja um valor pequeno.
4.19.4 Exemplos
(i) Se y = 2x2 — 6x + 5, calcule o acréscimo Ay para x = 3 e Ax = 0,01.
Usando a definição de Ay, escrevemos
Ay = f(x i + Ax) —f(x i)
= f(3 + 0,01) — .V)
= f(3,01) —f(3)
• [2 - (3,01)2 — 6 3,01 + 5] — [2 3 2 — 6 3 + 5]
• 5,0602 — 5
• 0,0602.
(ii) Se y = 6x2 — 4, calcule Ay e dy para x = 2 e Ax = 0,001.
Usando a definição de Ay, temos
Ay =f(x 1 + Ax)
= f (2 + 0,001) —/(2)
Derivada 233
= [6 • (2,001)2 — 4] — [6 22 — 4]
= 20,024006 — 20
= 0,024006.
Usando a definição de dy, temos
dy = f ' (x) Ax
= 12x • Ax
12.2.0,001
0,024.
Observamos que a diferença Ay — dy = 0,000006 seria menor caso usássemos
um valor menor que 0,001 para Áx.
(iii) Calcule um valor aproximado para 65,5 usando diferenciais.
Seja y = f(x) a função definida por f(x) = "tx .
Escrevemos,
y + Ay = .3■Ix + Ax e dy — dx
3 2/3
Fazemos x = 64 e dz = 1,5, isto porque 64 é o cubo perfeito mais próximo de
65,5.
Portanto,
x + Ax = 65,5 , dx = Ax = 1,5 e
1
)2/3
dy =
3(64 3 1
1,5 = l ' 5 6 — 0,03125 .
la
234 Cálculo A - Funções, Limite, Derivação, Integração
Então,
.■/65,5 = + 1,5 = .3\ix + Ax = y + Ay .
Fazendo Ay dy, obtemos finalmente que
y + Ay = 4 + 0,03125
= 4,03125.
(iv) Obtenha um valor aproximado para o volume de uma fina coroa
cilíndrica de altura 12 m, raio interior 7 m e espessura 0,05 m. Qual o erro decorrente
se resolvermos usando diferenciais?
A Figura 4.18 representa o sólido de altura h, raio interior r e espessura Ar.
O volume V do cilindro interior é dado por
V = 7C r2 h
re 72 - 12
588 7C M3 .
Figura 4-18
Dando um acréscimo Ar o volume da coroa será igual à variação AV em V.
Derivada 235
Usando diferenciais, temos
dV = 2nrhAr
= 2n • 7 • 12 0,05
= 8,4 n m3 .
O volume exato será
AV
•
n(r+Ar)2 •11 — nr2 h
• n(7,05)2 12 — • 72 . 12
• 596,43 TC - 588 TZ
• 8,43 n m3 .
Portanto, o erro cometido na aproximação usada foi
AV — dV= 0,03 n m3 .
4.20 EXERCÍCIOS
Nos exercícios de 1 a 12 calcular as derivadas sucessivas até a ordem n indicada.
1. y=3x4 -2x;n=5 2. y=ax3 +bx2 +cx+d;n=3
3. y=3-2x2 +4x5 ;n=10 4. y = "\13 — x2 ;n=2
5. 1 6. y=e2x+1 ;n=3y —x
—
1 , n —4
7. 1y = — ;n=4 8. y=ln2x;n=2
9. y=senax ; n=7 10. y = —2 cos ; n = 5
236 Cálculo A - Funções, Limite, Derivação, Integração
11. y=tgx;n=3 12. y=arctgx;n= 2.
13. Achar a derivada de ordem 100 das funções:
a) y = sen x; b) y = cos x
(1)nnt 14. Mostrar que a derivada de ordem n da função y = 1/x é dada por y (n) = ' xn +1 •
15. Mostrar que a derivada de ordem n da função y = e" é dada por y(n) = an e".
16. Sejam f (x) e g(x) funções deriváveis até 3'1 ordem. Mostrar que:
a) (fg)" = + 2f ' g' + fg"; b) (fg)"' = gf.., +3f " g' +3f ' g" + fg"'
17. Mostrar que x = A cos (ffit + a ), onde A, w e a são constantes, satisfaz a equação
d2x
2x 0+ = =
dt2
18. Calcular y' = dY
x
das seguintes funções definidas implicitamente.
a) x3 +y3 =a3 b) x3 +x2y+y2 = O
d) y3 -
x - y
x + y
e) a cose (x + y) = b tgy=xy
g) eY=x+y.
19. Determinar as retas tangente e normal à circunferência de centro (2, 0) e raio 2, nos pontos de
abscissa 1.
y220. Demonstrar que a reta tangente à elipse X2 + = 1 no ponto (x0, yo) tem a equação
x xo y yo
a2
b2
- 1 .
CO3 21
f
, O2
Derivada
21. Em que pontos a reta tangente à curva y 2 = 2x3 é perpendicular à reta 4x — 3y + 1 = O?
22. Mostrar que as curvas cujas equações são 2x 2 + 3y2 = 5 e y2 = x3 interceptam-se no ponto
(1, 1) e que suas tangentes nesse ponto são perpendiculares.
dy23. Calcular a derivada y ' =
das seguintes funções definidas na forma paramétrica. Para
dx
quais valores de t, y' está definida?
= t2
(a) (b)
= t3 , t e (o,+ eo)
x = 3 cos t
(c)
(d)
y= 4 sen t , t E [n, 27c]
x = cos 2t
y= sen 2t , t E
x = cos3 t
y = sen3 t , t e
x = 2t —1
(e)
y= ta + 5,-00< t <+ 00
1)
{
x = 8 cos3 t
y= 8 sen t, t E [O, 7C]
24. Determinar a equação da reta tangente à elipse
{x = 2 cos t
y = 3 sen t , t e [0, 27c]
-NrT,— no ponto P(N2 , 3
2
2
25. Determinar as equações da reta tangente e da reta normal à astróide
x = cosa t{
y = sen3 t , t e [0, 2n]
238 Cálculo A — Funções, Limite, Derivação, Integração
no ponto P 8
3
8
1 .f3—
26. Encontrar Ay — dy das funções dadas.
a) y= 3x2 —x+ 1; b) y = 2NÍ.• ;
27. Encontrar Ay e dy para os valores dados
a) y = 1
2x`
= 0,001 ; x = 1 ;
b) y = 5x2 — 6x ; Ax = 0,02 ; x = O ;
2x+ 1
y= x — 1 • Ax = 0,1 ; x = —1 ;
xc) y — + 1
2x — 1 •
28. Calcular um valor aproximado para as seguintes raízes, usando diferencial.
a) -‘11:1- ; b) 63,5 ; c) 13 .
29. Calcular a diferencial das seguintes funções.
a) y = ln (3x2 — 4x) ; b) y — x + 1 .
eX
c) y = sen (5x2 + 6).
30. A área S de um quadrado de lado x é dada por S = x2. Achar o acréscimo e a diferencial desta
função e determinar o valor geométrico desta última.
31. Dar a interpretação geométrica do acréscimo e da diferencial da função S = iv x2 (área do
círculo).
32. Uma caixa em forma de um cubo deve ter um revestimento externo com espessura de 1/4 cm.
Se o lado da caixa é de 2 m, usando diferencial, encontrar a quantidade de revestimento
necessária.
Derivada 239
33. Um material está sendo escoado de um recipiente, formando uma pilha cônica cuja altura é
sempre igual ao raio da base. Se em dado instante o raio é 12 cm, use diferenciais para obter
a variação do raio que origina um aumento de 2 cm3 no volume da pilha.
34. Use diferenciais para obter o aumento aproximado do volume da esfera quando o raio varia
de 3 cm a 3,1 cm.
35. Um terreno, em desapropriação para reforma agrária, tem a forma de um quadrado. Estima-se
que cada um de seus lados mede 1 200 m, com um erro máximo de 10 m. Usando diferencial,
determinar o possível erro no cálculo da área do terreno.
36. Um pintor é contratado para pintar ambos os lados de 50 placas quadradas com 40 cm de lado.
Depois que recebeu as placas verificou que os lados das placas tinham 1/2 cm a mais. Usando
diferencial, encontrar o aumento aproximado da porcentagem de tinta a ser usada.
53°
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CAPÍTULO 5
APLICAÇÕES DA DERIVADA
Neste capítulo, apresentaremos as aplicações da Derivada.
Em diversas áreas encontramos problemas que serão resolvidos utilizando a
derivada como uma taxa de variação.
A análise do comportamento das funções será feita detalhadamente usando
definições e teoremas que envolvem derivadas.
Finalmente, introduziremos as regras de L'Hospital, que serão usadas no
cálculo de alguns limites.
5.1 VELOCIDADE E ACELERAÇÃO
Velocidade e aceleração são conceitos que todos nós conhecemos. Quando
dirigimos um carro, podemos medir a distância percorrida num certo intervalo de
tempo. O velocímetro marca, a cada instante, a velocidade. Se pisamos no acelerador
ou no freio, percebemos que a velocidade muda. Sentimos a aceleração.
Mostraremos que podemos calcular a velocidade e a aceleração através de
derivadas.
240
a –m At
v (t + At) – v (t)
Aplicações da derivada 241
5.1.1 Velocidade. Suponhamos que um corpo se move em linha reta e que s = s(t)
represente o espaço percorrido pelo móvel até o instante t. Então, no intervalo
de tempo entre t e t + At, o corpo sofre um deslocamento
As = s(t +
At) – s(t).
Definimos a velocidade média nesse intervalo de tempo como o quociente
s(t + At) – s(t) v –
At
isto é, a velocidade média é o quociente do espaço percorrido pelo tempo gasto
em percorrê-lo.
De forma geral, a velocidade média nada nos diz sobre a velocidade do corpo
no instante t. Para obtermos a velocidade instântanea do corpo no instante t, calculamos
sua velocidade média em instantes de tempo At cada vez menores. A velocidade ins-
tantânea, ou velocidade no instante t, é o limite das velocidades médias quando At se
aproxima de zero, isto é,
v t lim As = s (t + At) – s (t) )( = —A
At —> O At At —> o At
Como já vimos no capítulo anterior, esse limite é a derivada da função s = s(t)
em relação a t. Portanto,
ds
v (t) = s '(t) =
dt
•
5.1.2 Aceleração. O conceito de aceleração é introduzido de maneira análoga ao de
velocidade.
A aceleração média no intervalo de tempo de t até t + At é dada por
Observamos que ela mede a variação da velocidade do corpo por unidade de
tempo no intervalo de tempo At. Para obtermos a aceleração do corpo no instante t,
242 Cálculo A — Funções, Limite, Derivação, Integração
tomamos sua aceleração média em intervalos de tempo At cada vez menores. A acele-
ração instantânea é o limite
v (t + At) — v (t)
a (t) = lim — v '(t) .
At -> O At
Logo, a derivada da velocidade nos dá a aceleração. Como v(t) = s '(t) , temos
a(t) = v '(t) = s "(t).
5.1.3 Exemplos
(i) No instante t O um corpo inicia um movimento em linha reta. Sua
posição no instante t é dada por s(t) = 16t — t2 .
Determinar:
(a) a velocidade média do corpo no intervalo de tempo [2, 4];
(b) a velocidade do corpo no instante t = 2;
(c) a aceleração média no intervalo [O; 4];
(d) a aceleração no instante t = 4.
(a) A velocidade média do corpo no intervalo de tempo entre 2 e 4 é dada
por
v — s (4) — s (2)
4 — 2
(16 4 — 42) — (16 • 2 — 22 )
4 — 2
48 — 28
2
= 10 unid. veloc. .
Aplicações da derivada 243
(b) A velocidade do corpo no instante t = 2 é o valor da derivada s '(t) no
ponto t = 2. Como s(t) = 16t — t2, temos
v(t) = s '(t) = 16 — 2t.
No instante t = 2, a velocidade é
v(2) = 16 — 2 • 2
= 12 unid. veloc.
(c) A aceleração média no intervalo [0, 4] é dada por
a —
v (4) — v (0)
m 4- 0
Como v(t) = 16 — 2t, temos
am
(16 — 2 4) — (16 — 2 0)
4
8-16
4
= —2 unid. aceler. .
(d) A aceleração no instante t = 4 é dada pela derivada v ' (4). Como
v(t) = 16 — 2t, temos a(t) = v ' (t) = — 2. Portanto,
a(4) = —2 unid. aceler. .
(ii) A equação do movimento de um corpo em queda livre é
— —
1 gt2
s — 2
244 Cálculo A — Funções, Limite, Derivação, Integração
onde g 9,8 m/s2 é a aceleração da gravidade. Determinar a velocidade e a .aceleração
do corpo em um instante qualquer t.
Num instante qualquer t, a velocidade é dada por
v(t) = s' (t)
1= —
2
g • 2t
= gt m/s.
A aceleração num instante t é
a(t) = v ' (t)
= g In/s2 ,
que é a aceleração de gravidade.
5.2 TAXA DE VARIAÇÃO
Na seção anterior vimos que quando um corpo se move em linha reta de acordo
com a equação do movimento s = s(t), a sua velocidade é dada por v = s' (t).
Sabemos que a velocidade representa a razão de variação do deslocamento por
unidade de variação do tempo. Assim, a derivada s' (t) é a taxa de variação da função
s(t) por unidade de variação t.
O mesmo ocorre com a aceleração que é dada por a(t) = v' (t). Ela representa
a razão de variação da velocidade v(t) por unidade de variação do tempo t.
Toda derivada pode ser interpretada como uma taxa de variação. Dada uma
função y = f(x), quando a variável independente varia de x a x + Ax, a correspondente
variação de y será Ay = f(x + Ax) — f(x). O quociente
Aplicações da derivada 245
Ay fix + Ax) — jlx)
LX Ax
representa a taxa média de variação de y em relação a x.
A derivada
f(x + Ax) — f(x) f '(x) = lim
—> o
é a taxa instantânea de variação ou simplesmente taxa de variação de y em relação
a x.
A interpretação da derivada como uma razão de variação tem aplicações
práticas nas mais diversas ciências. Vejamos alguns exemplos.
5.2.1 Exemplos
(/) Sabemos que a área de um quadrado é função de seu lado. Determinar:
(a) a taxa de variação média da área de um quadrado em relação ao lado
quando este varia de 2,5 a 3 m.;
(b) a taxa de variação da área em relação ao lado quando este mede
4 m.
Solução. Sejam A a área do quadrado e 1 seu lado. Sabemos que
A = 12 .
(a) A taxa média de variação de A em relação a 1 quando 1 varia de 2,5 m a
3 m é dada por
AA A(3) — A(2,5)
Al
3 — 2,5
9 — 6,25
0,5
246 Cálculo A — Funções, Limite, Derivação, Integração
2,75
0,5
= 5,5.
(b) A taxa de variação da área em relação ao lado é dada por
dA (p)
dl dl
2 1.
Quando 1= 4, temos
dA
dl
2 4 = 8 ,
OU,
dA
dl
= 8 .
(4)
Portanto, quando 1 = 4 m, a taxa de variação da área do quadrado será de
8 m2 por variação de 1 metro no comprimento do lado.
(2) Uma cidade X é atingida por uma moléstia epidêmica. Os setores de
saúde calculam que o número de pessoas atingidas pela moléstia depois de um tempo
t (medido em dias a partir do primeiro dia da epidemia) é, aproximadamente, dado por
f(t) = 64t — 3
(a) Qual a razão da expansão da epidemia no tempo t = 4?
(b) Qual a razão da expansão da epidemia no tempo t = 8?
(c) Quantas pessoas serão atingidas pela epidemia no 52 dia?
Aplicações da derivada
247
Solução. A taxa com que a epidemia se propaga é dada pela razão de variação
da função f(t) em relação a t. Portanto, para um tempo t qualquer, essa taxa é dada por
f ' (t) = 64 — t2 .
(a) No tempo t = 4, temos
f ' (4) = 64 — 16 = 48.
Logo, no tempo t = 4, a moléstia está se alastrando à razão de 48 pessoas por
dia.
(b) No tempo t = 8, temos
f ' (8) = 64 — 64
= 0.
Portanto, no tempo t = 8 a epidemia está totalmente controlada.
(c) Como o tempo foi contado em dias a partir do 1 9 dia de epidemia, o
5 9 dia corresponde à variação de t de 4 para 5.
•0 número de pessoas atingidas pela moléstia durante o quinto dia será dado
por
53\
4364 • 5 —
— 64 4 — —
3 3
1(5) — fl4)
5 64= 320 — 12 — 256 +
3
43.
No item (a), vimos que no tempo t = 4 (início do 5°), a epidemia se alastra a
uma taxa de 48 pessoas por dia. No item (c), calculamos que durante o 5 9 dia 43 pessoas
serão atingidas. Essa diferença ocorreu porque a taxa de propagação da moléstia se
modificou no decorrer do dia.
248 Cálculo A — Funções, Limite, Derivação, Integração
(3) Analistas de produção verificaram que em uma montadora x, o número
de peças produzidas nas primeiras t horas diárias de trabalho é dado por
f (t) = 50 (t2 + t), para O _5 t 5 4
200 (t + 1), para 4 5 t 5 8.
(a) Qual a razão de produção (em unidades por hora) após 3 horas de
trabalho? E após 7 horas?
(b) Quantas peças são produzidas na 8'1 hora de trabalho?
Solução.
(a) A razão de produção após 3 horas de trabalho é dada por f '(3). Para
t < 4, temos
f '(t) = 50(2t + 1).
Portanto,
f '(3) 50(2 • 3 + 1)
= 350.
Logo, após 3 horas de trabalho a razão de produção é de 350 peças por hora
de trabalho.
A razão de produção após 7 horas de trabalho é dada por f ' (7). Para t > 4,
f '(t) = 200.
Logo, após 7 horas de trabalho a razão de produção é de 200 peças por hora
de trabalho.
(b) O número de peças produzidas na oitava hora de trabalho é dado por
f(8) — f(7) = 200(8 + 1) — 200(7 + 1)
= 200.
Aplicações da derivada
249
Neste exemplo, o número de peças produzidas na 8 4 hora de trabalho coincidiu
com a razão de produção após 7 horas de trabalho. Isso ocorreu porque a razão de
produção permaneceu constante durante o tempo considerado.
(4) Um reservatório de água está sendo esvaziado para
limpeza. A quanti-
dade de água no reservatório, em litros, t horas após o escoamento ter começado é dada
por
V = 50(80 — t)2 .
Determinar:
(a) A taxa de variação média do volume de água no reservatório durante
as 10 primeiras horas de escoamento.
(b) A taxa de variação do volume de água no reservatório após 8 horas
de escoamento.
(c) A quantidade de água que sai do reservatório nas 5 primeiras horas
de escoamento.
Solução.
(a) A taxa de variação média do volume nas 10 primeiras horas é dada por
Av_
50 (80 — 10)2 — 50 (80 — 0)2
At 10
50 [702 — 802 ]
10
50 • (-150)
—7.500 1/hora.
O sinal negativo aparece porque o volume de água está diminuindo com o
tempo.
250 Cálculo A — Funções, Limite, Derivação, Integração
(b) A taxa de variação do volume de água num tempo qualquer é dada por
dV 50 2(80 — t) (— 1)
dt
—100(80 — t).
No tempo t = 8, temos
dV
dt (8)
—100 (80 — 8)
= —100.72
= —72011h.
(c) A quantidade de água que sai do reservatório nas 5 primeiras horas é
dada por
V(0) — V(5) = 50(80)2 — 50(75) 2
= 38.750 1.
Em muitas situações práticas a quantidade em estudo é dada por uma função
composta. Nestes casos, para determinar a taxa de variação, devemos usar a regra dá
cadeia. Vejamos os exemplos que seguem.
(5) Um quadrado de lado 1 está se expandindo segundo a equação 1= 2 + t2 ,
onde a variável t representa o tempo. Determinar a taxa de variação da área desse
quadrado no tempo t = 2.
Solução. Seja A a área do quadrado. Sabemos que A = 12 e que 1= 2 + t2 .
A taxa de variação da área em relação ao tempo, num tempo t qualquer é dada
por dA
dt
Aplicações da derivada 251
Usando a regra da cadeia, vem
dA dA dl
dt dl dt
• 21. 2t
• 4/ t
• 4(2 + t) - t.
No tempo t = 2, temos
• 4 (2 + 22) • 2
• 48 unid. área/unid. tempo.
(6) O raio de uma circunferência cresce à razão de 21 cm/s. Qual a taxa de
crescimento do comprimento da circunferência em relação ao tempo?
Solução. Sejam r = raio da circunferência,
t = tempo,
1 = comprimento da circunferência .
Da geometria, sabemos que 1 = 2 Ir r.
Por hipótese, a taxa de crescimento de r em relação a t é —dr = 21 cm/s.dt
A taxa de crescimento de 1 em relação a t é dada por —dl • Usando a regra dadt
cadeia, vem
dl _ dl dr
dt dr dt
dA
dt (2)
252 Cálculo A — Funções, Limite, Derivação, Integração
= 2n • —drdt
= 2 n 21
= 42 n cm/s.
(7) Um ponto 13 (x, y) se move ao longo do gráfico da função y = 1/x. Se a
abscissa varia à razão de 4 unidades por segundo, qual é a taxa de variação da ordenada
quando a abscissa é x = 1/10?
Solução. Temos
dy dx
dt dx • dt •
Como x varia à razão de 4 unid./seg, dt—dt = 4 . Como y = 1/x,
dy —dx
Então,
dy _ 1 4
dt x2
—4
X2
Quando x = 1/10, temos
dy = —4
dt (1/10)2
= —4. 100
= — 400 .
Aplicações da derivada 253
Portanto, quando a abscissa do ponto P é x = 1/10 e está crescendo a uma taxa
de 4 unid./seg a ordenada decresce a uma razão de 400 unid./s. Intuitivamente, podemos
perceber isso analisando o gráfico de f (Ver Figura 5.1).
Figura 5-1
(8) Acumula-se areia em um monte com a fora de um cone onde a altura
é igual ao raio da base. Se o volume de areia cresce a uma taxa de 10 m 3/h, a que
razão aumenta a área da base quando a altura do monte é de 4 m?
Solução. Sejam V = volume de areia,
h = altura do monte,
r = raio da base,
A = área da base. (Ver Figura 5.2.)
Figura 5-2
254 Cálculo A -- Funções, Limite, Derivação, Integração
Da geometria, sabemos que
A = 7C /2
V =Ã7cr2 h. (2)
dVPor hipótese, = 10 m3/h e h = r. Substituindo h = r em (2), temosdt
1V = —
3
7c r3 . (3)
Queremos encontrar a taxa de variação dA quando r = 4 m.dt
Derivando (1) em relação a t, temos
dA dA dr
dt
-
dr dt
dr
= 2 Tc r .dt
dtPrecisamos determinar • Derivando a equação (3) em relação a t, vem
dV dV dr
dt
-
dr dt
r2 dr
dt
Como dV—
dt
= 10 m3/h, temos
dr 1 10dt it r2
10
- r2
Aplicações da derivada 255
Portanto,
dA 10 = 27c r
dt r2
20
r
•
Quando r= h=
m' dt
dA
4
20 6 •
Logo, quando a altura do monte é de 4 m, a área da base cresce a uma taxa
de 5 m2/h.
5.3 EXERCÍCIOS
1. Um corpo se move em linha reta, de modo que sua posição no instante t é dada por, f(t) = 16t + t2 ,
O t 5. 8, onde o tempo é dado em segundos e a distância em metros.
(a) Achar a velocidade média durante o intervalo de tempo [b, b + h], 0 b < 8.
(b) Achar a velocidade média durante os intervalos [3; 3,1], [3; 3,01] e [3; 3,001].
(c) Determinar a velocidade do corpo num instante qualquer t.
(d) Achar a velocidade do corpo no instante t = 3.
(e) Determinar a aceleração no instante t.
2. Influências externas produzem uma aceleração numa partícula de tal forma que a equação de
seu movimento retilíneo é y= —b + ct , onde y é o deslocamento e t o tempo.
(a) Qual a velocidade da partícula no instante t = 2?
(b) Qual é a equação da aceleração?
3. A posição de uma partícula que se move no eixo dos x depende do tempo de acordo com a
equação x = 3t2 — t3 , em que x vem expresso em metros e t em segundos.
256 Cálculo A — Funções, Limite, Derivação, Integração
(a) Qual é o seu deslocamento depois dos primeiros 4 segundos?
(b) Qual a velocidade da partícula ao terminar cada um dos 4 primeiros segundos?
(c) Qual é a aceleração da partícula em cada um dos 4 primeiros segundos?
4. Um corpo cai livremente partindo do repouso. Calcule sua posição e sua velocidade depois de
decorridos 1 e 2 segundos. (Da Física, use a equação y= vot — 12 g t2 para determinar a
posição y do corpo, onde v o é a velocidade inicial e g 9,8 m/s2).
5. Numa granja experimental, constatou-se que uma ave em desenvolvimento pesa em gramas
{ 20+2 (t + 4)2 , O < t < 60
W(t) =
24,4t + 604
, 60 t < 90 ,
onde t é medido em dias.
(a) Qual a razão de aumento do peso da ave quando t = 50?
(b) Quanto a ave aumentará no 51 2 dia?
(c) Qual a razão de aumento do peso quando t = 80?
6. Uma peça de carne foi colocada num freezer no instante t = O. Após t horas, sua temperatura,
em graus centígrados, é dada por
4
1
T (t) = 30 — 5t + +
t
O < t 5 .
Qual a velocidade de redução de sua temperatura após 2 horas?
7. A temperatura de um gás é mantida constante e sua pressão p em kgf/cm3 e volume v em cm 3
estão relacionadas pela igualdade vp = c, onde c é constante. Achar a razão de variação do
volume em relação à pressão quando esta vale 10 kgf/cm 3 .
8. Uma piscina está sendo drenada para limpeza. Se o seu volume de água inicial era de 90.000
litros e depois de um tempo de t horas este volume diminuiu 2500 t2 litros, determinar:
(a) tempo necessário para o esvaziamento da piscina;
Aplicações da derivada 257
(b) taxa média de escoamento no intervalo [2, 5];
(c) taxa de escoamento depois de 2 horas do início do processo.
9. Um apartamento está alugado por Cr$ 4.500,00. Este aluguel sofrerá um reajuste anual de
Cr$ 1.550,00.
(a) Expresse a função com a qual podemos calcular a taxa de variação do aluguel, em t anos.
(b) Calcule a taxa de variação do aluguel após 4 anos.
(c) Qual a porcentagem de variação do aluguel depois de 1 ano do primeiro reajuste?
(d) Que acontecerá à porcentagem de variação depois de alguns anos?
10. Numa pequena comunidade obteve-se uma estimativa que daqui a t anos a população será de
p (t) = 20 —
t
+ 1 milhares.
(a) Daqui a 18 meses, qual será a taxa de variação da população desta comunidade?
(b) Qual será a variação real sofrida durante o 18° mês?
-11. Seja r a raiz cúbica de um número real x. Encontre a taxa de variação de r em relação a x
quando x for igual a 8.
12. Um líquido goteja em um recipiente. Após t horas, há 5t — t1'2 litros
no recipiente. Qual a taxa
de gotejamento de líquido no recipiente, em 1/hora, quando t = 16 horas?
13. Um tanque tem a forma de um cilindro circular reto de 5 m de raio de base e 10 m de altura.
No tempo t = 0, a água começa a fluir no tanque à razão de 25 m 3/h. Com que velocidade o
nível de água sobe? Quanto tempo levará para o tanque ficar cheio?
14. Achar a razão de variação do volume v de um cubó em relação ao comprimento de sua
diagonal. Se a diagonal está se expandindo a uma taxa de 2 m/s, qual a razão de variação do
volume quando a diagonal mede 3 m?
15. Uma usina de britagem produz pó de pedra, que ao ser depositado no solo, forma uma pilha
cônica onde a altura é aproximadamente igual a 4/3 do raio da base.
258 Cálculo A — Funções, Limite, Derivação, Integração
(a) Determinar a razão de variação do volume em relação ao raio da base.
(b) Se o raio da base varia a uma taxa de 20 cm/s, qual a razão de variação do volume
quando o raio mede 2 m?
16. Os lados de um triângulo equilátero crescem à taxa de 2,5 cm/s.
(a) Qual é a taxa de crescimento da área desse triângulo, quando os lados tiverem 12 cm de
comprimento?
(b) Qual é a taxa de crescimento do perímetro, quando os lados medirem 10 cm de
comprimento?
17. Um objeto se move sobre a parábola y = 2x 2 + 3x — 1 de tal modo que sua abscissa varia à
taxa de 6 unidades por minuto. Qual é a taxa de variação de sua ordenada quando o objeto
estiver no ponto (0, —1)?
18. Um trem deixaffia estação, num certo instante, e vai para a direção norte à razão de 80 km/h.
Um segundo trem deixa a mesma estação 2 horas depois e vai na direção leste à razão de
95 km/h. Achar a taxa na qual estão se separando os dois trens 2 horas e 30 minutos depois
do segundo trem deixar a estação.
19. Uma lâmpada colocada em um poste está a 4 m de altura. Se uma criança de 90 cm de altura
caminha afastando-se da lâmpada à razão de 5 m/s, com que rapidez se alonga sua sombra?
20. O raio de um cone é sempre igual à metade de sua altura h. Determinar a taxa de variação da
área da base em relação ao volume do cone.
Análise do Comportamento das Funções
Dada uma curva y = ftx), usaremos a derivada para obter alguns dados acerca
da curva. Por exemplo, discutiremos os pontos de máximos e mínimos, os intervalos
onde a curva é crescente ou decrescente.
Esses dados nos levam a um método geral para construir esboços de gráficos
de funções.
Aplicações da derivada 259
5.4 MÁXIMOS E MÍNIMOS
A Figura 5.3 nos mostra o gráfico de uma função y = f(x), onde assinalamos
pontos de abscissas x l , x2 , x3 e x4 .
Figura 5-3
Esses pontos são chamados pontos extremos da função. f(x i ) e f(x3) são cha-
mados máximos relativos e f(x2),flx4) são chamados mínimos relativos.
Podemos formalizar as definições.
5.4.1 Definição. Uma função f tem um máximo relativo em c, se existir um interva-
lo aberto I, contendo c, tal que f(c) f(x) para todo x E 1 n D(f).
5.4.2 Definição. Uma função f tem um mínimo relativo em c, se existir um interva-
lo aberto I, contendo c, tal que f(c) f(x) para todo xe I n D(f).
5.4.3 Exemplo. A função f(x) = 3x4 — 12x2 tem um máximo relativo em c = O, pois
existe o intervalo (-2, 2) tal que f(0) f(x) para todo x E (-2, 2).
Em c2 = — -\/2: e c3 = .\ff, a função dada tem mínimos relativos pois
f(— f(x) para todo x E (-2,0) e f f(x) para todo x E (O, 2) (ver
Figura 5.4).
260 Cálculo A — Funções, Limite, Derivação, Integração
♦Y
-2 Nffi ' 2
X
-12
Figura 5 -4
A proposição seguinte permite encontrar os possíveis pontos extremos de uma
função.
5.4.4 Proposição. Suponhamos que f(x) existe para todos os valores de x e (a, b) e
que f tem um extremo relativo em c, onde a < c < b. Se f '(c) existe,
então f ' (c) = O.
Prova. Suponhamos que f tem um ponto de máximo relativo em c e que f ' (c) existe.
, Então,
.1(x) - f(c)
- fim = .ffx) - f(c) f(x) - f(c) f '(c) = lim - lim •x - c x - c
_ x - cx c C+ -)
Como f tem um ponto de máximo relativo em c, pela definição 5.4.1, se x
estiver suficientemente próximo de c temos que f(c) f(x) ou f(x) f(c) O.
Se x -->c+, temos x - c > O. Portanto, flx) - flc) O e então
x - c
x. j( ) - f(c) f '(c) = lim O .
+ x - c (1)
Se x —>c-, temos x- c < O. Portanto, f(x) -1(c) � O e então
x - c
Aplicações da derivada 261
f '(c) = lim fix) fic) > O .
_ x — c
(2)
X -, c
Por (1) e (2), concluímos que f ' (c) = O.
Se f tem um ponto de mínimo relativo em c, a demonstração é análoga.
Esta proposição pode ser interpretada geometricamente. Se f tem um extremo
relativo em c e se f '(c) existe, então o gráfico de y = f(x) tem uma reta tangente
horizontal no ponto onde x = c.
Da proposição, podemos concluir que quando f '(c) existe, a condição f '(c).= O
é necessária para a existência de um extremo relativo em c. Esta condição não é
suficiente (ver Figura 5.5(a)). Isto é, se f ' (c) = O, a função f pode ter ou não um extremo
relativo no ponto c.
Da mesma forma, a Figura 5.5(b) e (c) nos mostra que quando f ' (c) não existe,
.Rx) pode ter ou não um extremo relativo em c.
Y
X
(a) (b)
X
Figura 5 -5
O ponto c E D( f ) tal que f ' (c) = O ou f '(c) não existe, é chamado ponto
crítico de f.
Portanto, uma condição necessária para a existência de um extremo relativo
em um ponto c é que c seja um ponto crítico.
É interessante verificar que uma função definida num dado intervalo pode
admitir diversos pontos extremos relativos. O maior valor da função num intervalo é
262
Cálculo A — Funções, Limite, Derivação, Integração
chamado máximo absoluto da função nesse intervalo. Analogamente, o menor valor é
chamado mínimo absoluto.
Por exemplo, a função f(x) = 3x tem um mínimo absoluto igual a 3 em [1, 3).
Não existe um máximo absoluto em [1, 3) .
A função f(x) = —x2 + 2 possui um máximo absoluto igual a 2 em (-3, 2).
Também podemos dizer que —7 é mínimo absoluto em [-3, 2] .
Temos a seguinte proposição, cuja demonstração será omitida.
5.4.5 Proposição. Seja!: [a, b] —> 1? uma função contínua, definida em um interva-
lo fechado [a, b]. Então f assume máximo e mínimo absoluto em [a, b].
Para analisarmos o máximo e o mínimo absoluto de uma função quando o
intervalo não for especificado usamos as definições que seguem.
5.4.6 Definição. Dizemos que f(c) é o máximo absoluto da função f, se c e D( f ) e
f(c) � .ffx) para todos os valores de x no domínio de f.
5.4.7 Definição. Dizemos que f(c) é o mínimo absoluto da função f se c e D( f ), e
f(c) f(x) para todos os valores de x no domínio de f.
5.4.8 Exemplos
(i) A função f(x) = x2 + 6x — 3 tem um mínimo absoluto igual a —12 em
c = —3, já que f(-3) = —12 ^ f(x) para todos os valores de x e D( f ) (ver Figura 5.6(a)).
(ii) A função f(x) = —x2 + 6x — 3 tem um máximo absoluto igual a 6 em
c = 3, já que f(3) = 6 f(x) para todos os x e D( f ) (ver Figura 5.6(b)).
Aplicações da derivada 263
(a) (b)
Figura 5-6
5.5 TEOREMAS SOBRE DERIVADAS
5.5.1 Teorema de Rolle. Seja f uma função definida e contínua em [a, b] e derivá-
vel em (a, b). Se f(a) = f(b)= O, então existe pelo menos um ponto c entre a e
b tal que f ' (c) = O.
Prova. Faremos a prova em duas partes.
lg parte. Seja f(x) = O, para todo x, a x b. Então f '(x) = O para todo x, a < x <
Portanto, qualquer número entre a e b pode ser tomado para c.
2g parte. Seja f(x) O, para algum x, a < x < b. Como f é contínua em [a, h], pela
proposição 5.4.5, f atinge seu máximo e seu mínimo em [a, b]. Sendo f(x) O para
algum x E (a, b), um dos extremos de f será diferente de zero. Como f(a) = f(b) = O,
esse extremo será atingido em um ponto c e (a, b).
Como f é derivável em c E (a, b), usando a proposição 5.4.4, concluímos
que f ' (c) = O.
264 Cálculo A — Funções, Limite, Derivação, Integração
5.5.2 Teorema do Valor Médio. Seja f uma função contínua em [a, b] e derivá-
vel em (a, b). Então existe um número c no intervalo (a, b) tal que
f(b) — fia)
f ' (c) —
b — a
Antes de provar este teorema apresentaremos sua interpretação geométrica.
Geometricamente, o teorema do valor médio estabelece que se a função
y = f(x) é contínua em [a, b] e derivável em (a, b), então existe pelo menos um ponto
c entre a e b onde a tangente à curva é paralela à corda que une os pontos P (a, f(a))
e Q (b, f(b)) (ver Figura 5.7).
Figura 5-7
Prova do Teorema do Valor Médio. Sejam P (a, f(a)) e Q (b, f(b)). A equação da reta
é
b) — f(
y
— f(a) f(b — a
a)
(x — a) .
Fazendo y = h (x), temos
f (b) — f (a)
h (x) —
b — a (x — a) + f (a) .
Aplicações da derivada 265
Como h (x) é uma função polinomial, h (x) é contínua e derivável em todos
os pontos.
Consideremos a função g (x) = f(x) — h (x). Esta função determina a distância
vertical entre um ponto (x, f(x)) do gráfico de f e o ponto correspondente na reta secante
Temos,
g(x) = f(x) — f(b) —b — a
f(a) (x — a) — f(a) .
A função g (x) satisfaz as hipóteses do Teorema de Rolle em [a, b]. De fato,
(i) g (x) é contínua em [a, b] já que f(x) e h (x) são contínuas em [a, b].
(ii) g (x) é derivável em (a, b) pois f(x) e h (x) são deriváveis em (a, b).
(iii) g (a) = g (b) = O, pois
b)g(a) = f f (
— a
(a) — (a — a) — f(a) = Ob
f( a)
e
f( — f(g(b) = f(b) — b)
— a
a)
(b — a) — f(a) = O .b
Portanto, existe um ponto c entre a e b tal que g' (c) = O.
f(b)
— a
—Como g '(x) = f '(x) —
b
temos
f(a)
'
f(b) — f(g '(c) = f ,(c) — b — a
a)
— O
e desta forma,
1T b) — f(a)f ' (c) — b — a
266 Cálculo A — Funções, Limite, Derivação, Integração
5.6 FUNÇÕES CRESCENTES E DECRESCENTES
5.6.1 Definição. Dizemos que uma função f, definida num intervalo I, é crescente
neste intervalo se para quaisquer x l , .x2 E I, x 1 < x2, temos f(x l ) 5_ flx2) (ver
Figura 5.8).
x, x2 X
Figura 5-8 Figura 5-9
5.6.2 Definição. Dizemos que uma função f, definida num intervalo /, é decrescen-
te nesse intervalo se para quaisquer x l , X2 E I, x 1 < x2 temos f(x l) f(x2) (ver ,
Figura 5.9).
Se uma função é crescente ou decrescente num intervalo, dizemos que é
monótona neste intervalo.
Analisando geometricamente o sinal da derivada podemos determinar os in-
tervalos onde uma função deriv. ável é crescente ou decrescente. Temos a seguinte
proposição.
5.6.3 Proposição. Seja f uma função contínua no intervalo [a, b] e derivável no
intervalo (a, b).
(i) Se f ' (x) > O para todo x e (a, b) então f é crescente em [a, b];
(ii) Se f '(x) < O para todo x E (a, b) então f é decrescente em [a, b].
Aplicações da derivada 267
Prova. Sejam x 1 e x2 dois números quaisquer em [a, b] tais que x 1 < x2. Então f é
contínua em [x 1 , x2] e derivável em (x1 , x2). Pelo teorema do valor médio, segue que
3 c E (xi , x2) tal que f '(c) — f (x2
) - f (x 1 ) •
x2 - x1
(1)
(i) Por hipótese, f '(x) > O para todo x E (a, b). Então f '(c) > O. Como
x1 < x2 , x2 - x1 > O.
Analisando a igualdade (1), concluímos que f(x 2 ) — f(x 1 ) > O, ou seja,
f(x2) > f(x i ).
Logo, f é crescente em [a,
(ii) Neste caso, f '(x) < O para todo x E (a, b). Temos então f '(c) < O e
x2 - X1 > O.
Analisando a igualdade (1), concluímos que f(x 2 ) — f(x 1 ) < O e dessa forma
f(x2) < f(x / )•
Logo, f é decrescente em [a, b].
Observamos que a hipótese da continuidade de f no intervalo fechado [a, b] é
muito importante. De fato, tomando por exemplo, a função
f: [O, 1] —> R
x + , para O x < 1
f(x) =
1 , para x = 1
temos que f '(x) = 1 > O para todo x E (O, 1) e no entanto, f não é crescente em [O, 1].
A proposição não pode ser aplicada porque f(x) não é contínua no ponto 1.
268 Cálculo A — Funções, Limite, Derivação, Integração
5.6.4 Exemplos. Determinar os intervalos nos quais as funções seguintes são
crescentes ou decrescentes.
(i) f(x) = x3 + 1.
Vamos derivar a função e analisar quais os números x tais que f ' (x) > O e
quais os números x tais que f ' (x) < O.
Temos,
f ' (x) = 3x2.
Como 3x2 é maior que zero para todo x O, concluímos que a função é sempre
crescente.
A Figura 5.10 ilustra este exemplo.
Figura 5-10
(ii) f(x) = x2 - x + 5.
Temos f ' (x) = 2x - 1. Então, para 2x - 1 > O ou x > 1/2 a função é crescente.
Para 2x - 1 < 0 ou x < 1/2 a função é decrescente (ver Figura 5.11).
Aplicações da derivada
269
Figura 5-11
2x2 — 4, se x 1
(iii) f(x) =
—x — 1, se x 1 .
O gráfico de f(x) pode ser visto na Figura 5.12.
Figura 5-12
Se x < 1, então f ' (x) 4x. Temos,
4x > O para x e (O, 1);
4x < O para x (-03, O).
270 Cálculo A — Funções, Limite, Derivação, Integração
Se x > 1, temos f '(x) = —1. Então, f '(x) < O para todo x e (1, + ao).
Concluímos que f é crescente em [O, 1] e decrescente em (— oo, O] u [1, +
5.7 CRITÉRIOS PARA DETERMINAR OS EXTREMOS
DE UMA FUNÇÃO
A seguir demonstraremos teoremas que estabelecem critérios para determinar
os extremos de uma função.
5.7.1 Teorema (Critério da derivada primeira para determinação de
extremos). Seja f uma função contínua num intervalo fechado [a, b] que
possui derivada em todo o ponto do intervalo (a, b), exceto possivelmente
num ponto c.
(i) Se f '(x) > O para todo x < c ef' (x) < O para todo x > c, então f tem um
máximo relativo em c.
(ii) Se f '(x) < O para 'todo x<cef'(x) > O para todo x > c, então f tem um
mínimo relativo em c.
Prova.
(i) Usando a proposição 5.6.3, podemos concluir que f é crescente em [a, c]
e decrescente em [c, b]. Portanto,flx) < f(c) para todo x # c em (a, b) e assim f tem um
máximo relativo em c.
(ii) Pela proposição 5.6.3, concluímos que f é decrescente em [a, c] e
crescente em [c, b]. Logo f(x) > f(c) para todo x � c em (a, b). Portanto, f tem um
mínimo relativo em c.
A Figura 5.13 ilustra as diversas possibilidades do teorema.
Aplicações da derivada 271
Figura 5-13
5.7.2 Exemplos
(i) Encontrar os intervalos de crescimento, decrescimento e os máximos e
mínimos relativos da função
f(x)=x3 -7x+ 6.
Temos f ' (x) = 3x2 — 7, para todo x. Fazendo f ' (x) = O, vem
3x2 — 7 =
OU,
x = ± - /7/3.
Portanto, os pontos críticos da função f são + -■/7/3 e — '17/3 .
Para x < — [7/3 ,f ' (x) é positiva. Aplicando a proposição 5.6.3, concluímos
que f é crescente em (— oo, — .V7/3). Para — V7/3 < x < V7/3, f ' (x) é negativa. Então
f é decrescente em H I7/3 , I7/3 1 . Para x > .V7/3 , f ' (x) é positiva e então, f é
crescente em [ .V7/3 , + .0) .
Pelo critério da derivada primeira concluímos que f tem um máximo relativo
em —117/3 e f tem um mínimo relativo em + -■17/3 .
A Figura 5.14 mostra um esboço do gráfico de f.
272 Cálculo A — Funções, Limite, Derivação, Integração
Figura 5-14
(ii) Seja
(x — 2)2 — 3 , se x .^ 5
f(x) =
1/2 (x + 7) , se x > 5 .
Se x < 5, temos f ' (x) = 2 (x — 2) e se x > 5 temos f ' (x) =.1/2.
Ainda (5) = 1/2 e f' (5) = 6. Logo, f '(5) não existe e então 5 é um
ponto crítico de f.
O ponto x = 2 também é ponto crítico, pois f ' (2) = O.
Se x < 2, f ' (x) é negativa. Então pela proposição 5.6.3, f é decrescente em
(— , 2].
Se 2 < x < 5, f ' (x) é positiva. Então f é crescente em [2, 5].
Se x > 5, f ' (x) é positiva. Entãof é crescente em [5, + 00) .
Pelo critério da derivada primeira, concluímos que f tem um mínimo relativo
em x = 2.
Apresentamos o gráfico de f na Figura 5.15.
Aplicações da derivada 273
Figura 5-15
5.7.3 Teorema (Critério da derivada V para determinação de extremos
de uma função). Sejam f uma função derivável num intervalo (a, b) e c um
ponto crítico de f neste intervalo, isto é, f ' (c) = O, com a < c < b. Se f admite a
derivada f " em (a, b), temos:
(i) Se f "(c) < O, f tem um valor máximo relativo
em c.
(ii) Se f "(c) > O, f tem um valor mínimo relativo em c.
Prova. Para provar este teorema utilizaremos o seguinte resultado que não foi mencio-
nado no Capítulo 3. "Se lim f(x) existe e é negativo, existe um intervalo aberto
x a
contendo a tal que f(x) < O para todo x � a no intervalo".
Prova de (i). Por hipótese f "(c) existe e f "(c) < O. Então,
f
_ Hm f (x) f ,(c)
x _,, x—c " "
Portanto, existe um intervalo aberto I, contendo c, tal que
f '(x) f '(c) < O , para todo x E I. (1)x — c
274 Cálculo A — Funções, Limite, Derivação, Integração
Seja A o intervalo aberto que contém todos os pontos x e I tais que x < c.
Então, c é o extremo direito do intervalo aberto A.
Seja B o intervalo aberto que contém todos os pontos x E I tais que x > c.
Assim, c é o extremo esquerdo do intervalo aberto B.
Se x e A, temos x — c < 0. De (/), resulta que f '(x) > f '(c).
Se x E B,x—c> 0. De (/), resulta que f ' (x) < f ' (c).
Como f ' (c) = 0, concluímos que se x E A, f ' (x) > 0 e se x e B, f ' (x) < 0.
Pelo critério da derivada primeira (teorema 5.7.1), f tem um valor máximo relativo
em c.
A prova de (ii) é análoga.
5.7.4 Exemplos. Encontre os máximos e os mínimos relativos de f aplicando o
critério da derivada segunda.
(i) f(x)= 18x + 3x2 — 4x3 .
Temos,
f ' (x) = 18 + 6x — 12x2
e f "(x) = 6 — 24x.
Fazendo f ' (x) = O, temos 18 + 6x — 12x2 = 0. Resolvendo esta equação obtemos
os pontos críticos de f que são 3/2 e —1.
Como f " (3/2) = —30 < O, f tem um valor máximo relativo em 3/2.
Como f "(—J) = 30 > O, f tem um valor mínimo relativo em —1.
(ii) f(x) . = x (x — 1) 2 .
Neste exemplo, temos
f '(x) x• 2 (x — 1) + (x 1)2 1
3x2 — 4x + 1
Aplicações da derivada 275
e f "(x) = 6x — 4.
Fazendo f ' (x) = 3x2 — 4x + 1 = O e resolvendo a equação obtemos os pontos
críticos de f, que neste caso são 1 e 1/3.
Como f "(1) = 2 > O, f tem um valor mínimo relativo em 1. Como
f " (1/3) = —2 < O, f tem um valor máximo relativo em 1/3.
1(iii) f (x) = 6x — 3x2 +
2 x
3 .
Temos,
3f '(x) 6 — 6x +
2 x2 .
e f "(x) = — 6 + 3x.
Fazendo f ' (x) = O, temos 6 — 6x + 3—2 x2 = O Resolvendo a equação,
obtemos x = 2 que neste caso é o único ponto crítico de f.
Como f " (2) = O nada podemos afirmar com auxílio do teorema 5.7.3.
Usando o critério da derivada primeira, concluímos que esta função é sempre
crescente. Portanto não existem máximos nem mínimos relativos.
5.8 CONCAVIDADE E PONTOS DE INFLEXÃO
O conceito de concavidade é muito útil no esboço do gráfico de uma curva.
Vamos introduzi-lo, analisando geometricamente a Figura 5.16.
Na Figura 5.16(a) observamos que dado um ponto qualquer c entre a e b, em
pontos próximos de c o gráfico de f está acima da tangente à curva no ponto P (c, f(c)).
Dizemos que a curva tem concavidade voltada para cima no intervalo (a, b).
276 Cálculo A — Funções, Limite, Derivação, Integração
y
(a) (b)
Figura 5-16
Como f ' (x) é a inclinação da reta tangente à curva, observa-se na Figura
5.16(b), que podemos descrever esta mesma situação afirmando que no intervalo (a, b) a
derivada f ' (x) é crescente. Geometricamente, isto significa que a reta tangente gira no
sentido anti-horário à medida que avançamos sobre a curva da esquerda para a direita.
Analogamente, a Figura 5.17 descreve uma função que tem concavidade vol-
tada para baixo no intervalo (a, b).
(b)
Figura 5-17
Na Figura 5.17(b) vemos que a tangente gira no sentido horário quando nos
deslocamos sobre a curva da esquerda para a direita. A derivada f ' (x) é decrescente
em (a, b).
Aplicações da derivada
277
Temos as seguintes definições:
5.8.1 Definição. Uma função f é dita côncava para cima no intervalo (a, b), se f ' (x)
é crescente neste intervalo.
5.8.2 Definição. Uma função! é côncava para baixo no intervalo (a, b), se f ' (x) for
decrescente neste intervalo.
Reconhecer os intervalos onde uma curva tem concavidade voltada para cima
ou para baixo, auxilia muito no traçado de seu gráfico. Faremos isso, analisando o sinal
da derivada f "(x).
5.8.3 Proposição. Seja f uma função contínua no intervalo [a, b] e derivável até 24
ordem no intervalo (a, b):
(i) Se f "(x) > O para todo x e (a, b), então f é côncava para cima em
(a, b).
(ii) Se f "(x) < O para todo x E (a, b), então f é côncava para baixo em (a, b).
Prova. (i). Como f "(x) = ' (x)r , se f "(x) > O para todo x e (a, b), pela proposição
5.6.3, f ' (x) é crescente no intervalo (a, b). Logo, f é côncava para cima em (a, b).
Analogamente, se prova (ii).
Podem existir pontos no gráfico de uma função nos quais a concavidade muda
de sentido. Esses pontos são chamados pontos de inflexão.
5.8.4 Definição. Um ponto P (c, f(c)) do gráfico de uma função contínua f é chama-
do um ponto de inflexão, se existe um intervalo (a, b) contendo c, tal que uma
das seguintes situações ocorra:
(i) f é côncava para cima em (a, c) e côncava para baixo em (c, b).
(ii) f é côncava para baixo em (a, c) e côncava para cima em (c, b).
Na Figura 5.18, os pontos de abscissa c l , c2, c3 e c4 são pontos de inflexão.
Vale observar que c2 e c3 são pontos de extremos de f e que f não é derivável nestes
278 Cálculo A — Funções, Limite, Derivação, Integração
pontos. Nos pontos c 1 e c4 , existem as derivadas f ' (c 1 ) e f '(c4). Nos correspondentes
pontos (c 1 , f(c 1 )) e (c4 , f(c4)) a reta tangente corta o gráfico de f.
Figura 5-18
5.8.5 Exemplos. Determinar os pontos de inflexão e reconhecer os intervalos onde
as funções seguintes tem concavidade voltada para cima ou para baixo.
(i) f(x) = (x — 1) 3 .
Temos
f '(x) = 3 (x — 1)2
e f "(x) = 6 (x — 1).
Fazendo f "(x) > O, temos as seguintes desigualdades equivalentes
6 (x — 1) > O
x — 1 > O
x > 1.
Aplicações da derivada 279
Portanto, no intervalo (1, + 00), f "(x) > O. Analogamente, no intervalo
(– co, 1),f "(x) < O. Pela proposição 5.8.3 f é côncava para baixo no intervalo (– 1)
e no intervalo (1, + f é côncava para cima.
No ponto c = 1 a concavidade muda de sentido. Logo, neste ponto, o gráfico
de f tem um ponto de inflexão.
Podemos ver o gráfico de f na Figura 5.19.
Figura 5-19
(ii) f(x) = x4 – x2 .
Temos,
f ' (x) = 4x3 –2x
e f "(x) = 12x2 – 2.
Fazendo f "(x) > O, vem
12x2 -2 > O
x2 > 1/6.
-■WEntão, x > '‘W ou x < – —66
280 Cálculo A — Funções, Limite, Derivação, Integração
Portanto, f tem concavidade para cima nos intervalos
\
' 6 i ■ 6 ' + c° • •
( ( -\W
( .Nr6-- -■1-6---No intervalo – —
6
, —
6
, f "(x) < 0. Portanto, neste intervalo f é côncava
para baixo.
Nos pontos c 1 –
6 6
e c2 – a concavidade muda de sentido. Logo,
nestes pontos o gráfico de f tem pontos de inflexão.
A Figura 5.20 mostra o gráfico de f onde assinalamos os pontos de inflexão.
Figura 5-20
.12
para x 1
1-(x - 1)2 , para x > 1 .
(iii) f(x) =
Para x < 1, f ' (x) = 2x e f "(x) = 2. Para x > 1, f ' (x) = –2(x – 1) e
f "(x) = –2. Logo, para x e (– 00, 1),f "(x) > 0 e portanto f é côncava para cima neste
intervalo. No intervalo (1, + 00), f "(x) < 0. Portanto, neste intervalo f é côncava para
baixo.
No ponto c = 1, a concavidade muda de sentido e assim o gráfico de f apresenta
um ponto de inflexão em c = 1.
X
Aplicações da derivada 281
O gráfico de f pode ser visto na Figura 5.21. Observamos que no ponto
c = 1, f tem um máximo relativo.
Figura 5-21
5.9 ASSÍNTOTAS HORIZONTAIS E VERTICAIS
Em aplicações práticas, encontramos com muita freqüência gráficos que se
• aproximam de uma reta a medida que x cresce ou decresce (ver Figuras 5.22 e 5.23).
Figura 5-22
Estas retas são chamadas assíntotas.
282 Cálculo A — Funções, Limite, Derivação, Integração
Y
-
Figura 5-23
Particularmente, vamos analisar com um pouco mais de atenção as assíntotas
horizontais e as verticais.
5.9.1 Definição. A reta x = a é uma assíntota vertical do gráfico de y = flx), se pelo
menos urna das seguintes afirmações for verdadeira:
(i)
lim f(x) = +
x -> a+
(i liM j(X) = 00
x -> a-
F1111
+
j(X) =
x -> a
(iv) lim f(x) = — 00 .
x-3 a
5.9.2 Exemplo. A reta x = 2 é uma assíntota vertical do gráfico de
1
Y —
— 2)2
Aplicações da derivada 283
De fato, 1lim =. 1 = + oe , ou também,
x 2+ (x 2)2
O+
H 1m = =
x 2- (X — 2)2
1
0+
A Figura 5.24 ilustra este exemplo.
2
Figura 5-24
5.9.3 Definição. A reta y = b é uma assíntota horizontal do gráfico de y = f(x), se
pelo menos uma das seguintes afirmações for verdadeira:
(i) Hm J(x) = b
x
(ii) lim Rx) = b .
x
5.9.4 Exemplo. As retas y = 1 e y = —1 são assíntotas horizontais do gráfico de
x
Y —
"‘ix2 + 2
284 Cálculo A — Funções, Limite, Derivação, Integração
porque lim , — 1 e lim
+— Nx2 + 2
x 1x2. + 2
— — 1 (ver Figura 5.25) .
Figura 5-25
5.10 ESBOÇO DE GRÁFICOS
Utilizando todos os itens citados na análise do comportamento de uma função,
podemos fazer um resumo de atividades que nos levarão ao esboço de gráficos.
ETAPAS PROCEDIMENTO DEFINIÇÕES E
TEOREMAS UTILIZADOS
14 Encontrar D( f )
24 Calcular os pontos de
intersecção com os eixos.
(Quando não requer muito
cálculo.)
31 Encontrar os pontos críticos Seção 5.4.
O Determinar os intervalos de
crescimento e decrescimento
de f(x)
Proposição 5.6.3.
Aplicações da derivada 285
ETAPAS PROCEDIMENTO DEFINIÇÕES E
TEOREMAS UTILIZADOS
5 4 Encontrar os máximos e
mínimos relativos.
Teoremas 5 7 1 ou 5.7.3.
6á Determinar a concavidade e
os pontos de inflexão de f
Proposição 5.8.3.
7a Encontrar as assíntotas
horizontais e verticais se
existirem.
Definições 5.9.1 e 5.9.3.
84 Esboçar o gráfico.
5.10.1 Exemplos. Esboçar o gráfico das funções:
(i) f(x) = 3x4 — 8x3 4- 6x2 + 2.
Seguindo as etapas propostas temos:
lg etapa. D( f ) I?.
2g etapa. Intersecção com o eixo dos y.
f(0) = 2.
3g etapa. f ' (x) = 12x3 — 24x2 + 12x.
Resolvendo 12x3 — 24x2 + 12x = O, encontramos x 1 = O e x2 = 1 que são os
pontos críticos.
4' etapa. Fazendo f ' (x) > O, obtemos que 12x3 — 24x2 + 12x > O quando x> O. Portanto,
f é crescente para x O.
Fazendo f '(x) < O, obtemos que 12x3 — 24x2 + 12x < O quando x < O. Portanto,
f é decrescente para x O.
286 Cálculo A -- Funções, Limite, Derivação, Integração _
etapa. Temos f "(x) = 36x2 — 48x + 12.
Como f " (0) = 12 > 0, temos que o ponto O é um ponto de mínimo e f(0) = 2
é um mínimo relativo de f.
Come(f "(1) = 0, nada podemos afirmar.
6 etapa. Fazendo f "(x) > 0, temos que 36x2 — 48x + 12 > O quando x E [(— , 1/3)
u (1, + 0.)}.
Então, f é côncava para cima em (— , 1/3) u (1, + ao).
Fazendo f "(x) < 0, temos que 36x2 — 48x + 12 < 0 para x E (1/3, 1). Então f
é côncava para baixo em (1/3, 1).
Os pontos de abscissa 1/3 e 1 são pontos de inflexão.
75 etapa. Não existem assíntotas.
cV etapa. Temos na Figura 5.26 o esboço do gráfico.
Figura 5-26
(ti) f(x) —
x2
x — 3
O domínio de f é D( f ) = I? — {3 }.
Aplicações da derivada 287
Temos,
x (x — 6) f '(x) =
(x — 3)2
f "(x) — 18x — 54 •
(x — 3)4
Fazendo f ' (x) = 0, temos
x (x — 6) =o
(x — 3)2
e então, x=0ex=à são pontos críticos.
Vemos que f ' (x) > O quando x E [(— oo , 0) u (6, + oo)]. Assim, f é crescente
em (— 00 , 0] u [6, + oe). Fazendo f '(x) < 0, vemos que f é decrescente em [0, 6].
Como f "(0) < 0, temos que O é ponto de máximo relativo e como f " (6) > 0,
temos que 6 é ponto de mínimo relativo.
Ainda f (0) = O é o máximo relativo de f e f (6) = 12 é o mínimo relativo
de f.
Fazendo
18x — 54 f "(x)
> 0(x — 3)4
obtemos que f é côncava para cima em (3, + c.) e fazendo
18x — 54 f "(x) —< 0 ,
(x — 3)4
obtemos que f é côncava para baixo em (— ao , 3).
288 Cálculo A — Funções, Limite, Derivação, Integração
Determinando os limites
x2 lim = —9 = + 00
x 3+ X - 3 0+
e
x2 lim = 9_ =
0-
encontramos que x = 3 é assíntota vertical. Não existe assíntota horizontal.
x2A Figura 5.27 mostra o esboço do gráfico de f(x) -
Figura 5-27
(iii) f(x) -= (x + 1) 1 /3 .
O domínio deflx) é D( f ) = 1?..
f (x) corta o eixo dos y no ponto y = 1 já que f (0) = 1. Corta o eixo dos x
em -1 já que resolvendo (x + 1) 113 = 0, obtemos x = -1.
Fazendo
f (x) = 3 (x + 1)- 2/3 = 0
x -
Aplicações da derivada 289
concluímos que não existe x que satisfaça f ' (x) = O. Como f ' (-1) o único ponto
crítico de f é x = -1.
Como f '(x) é sempre positiva concluímos que a função é sempre crescente.
Não existem máximos nem mínimos
Como
-f "(x) = 2 (x + 1)- 5/3 ,9
concluímos que para x < - 1, f "(x) > O e portanto f é côncava para cima em (- 00 , -1).
Quando x > -1, f "(x) < O e então f é côncava para baixo em (-1, + 0.0).
O ponto de abscissa x = -1 é um ponto de inflexão.
Não existem assíntotas.
A Figura 5.28 mostra o gráfico de f(x).
Figura 5-28
5.11 EXERCÍCIOS
1. Em cada um dos seguintes casos, verificar se o Teorema do Valor Médio se aplica. Em caso
afirmativo, achar um número c em (a, b), tal que
290
Cálculo A — Funções, Limite, Derivação, Integração
f , (c) _ f(b) — f(a)
b — a
Interpretar geometricamente.
a) fix) = 1 ; a = 2 , b = 3 . b) f(x) = I ; a = -
x
c) f(x)=x3 ;a= O ,b= 4 . d) f(x) = x3 ; a = —2 , = O .
e) .ffx) = cos x ; a = O , b = 7c/2. f) f(x) = tg x ; a = ir.14 , b = 37c/4.
g) f(x)=tgx;a=0;b=n14.
h) f(x) = 111 — x2 ; a = —1 , b =
3 1—
i) f(x) = ; a = —1 , b = 1 . j) f(x) = lx I ; a = —1 , b = 1 .
2. A função f(x) = x213 — 1 é tal quef(-1) = .ftl) = O. Por que ela não verifica o Teorema de Rolle
no intervalo [-1, 11?
3. Seja./(x) = —x4 + 8x2 + 9. Mostrar quef satisfaz as condições do Teorema de Rolle no intervalo
[-3, 3] e determinar os valores de c E (-3, 3) que satisfaçam f ' (c) = O.
4. Usando o teorema do valor médio provar que:
a) Isen0—senal5.10—a1,V 8,cce R;
b) sen85_0,0 � 0.
5. Determinar os pontos críticos das seguintes funções, se existirem.
a) y =3x + 4 b) y = x2 —3x + 8
c) y=2+2x — x2 d) y = (x — 2) (x + 4)
e) y=3 —x3 f) y=x3 +2x2 +5x+3
g) y=x4 +4x3 h) y = sen x
Aplicações da derivada
i) y = cos x j) y = sen x — cos x
k)
m)
o)
y ex — x
=
x
x < O
x > O
n)
Y (x2 — 9 )2/3
y = 1 2x — 3 1y
x2
f(x)
— 4
x ,
{ x2
6. Determinar os intervalos nos quais as funções seguintes são crescentes ou decrescentes.
a) f (x) = 2x — 1
c) f (x) = 3x2 + 6x +7
e) f (x) (x —1) (x —2) (x + 3)
g) f (x) = 2x
i) f (x) = x e—x
b) f (x) = 3 — 5x
d) f (x) =- x3 2x2 — 4x + 2
fj f(x) =
2
x + se n x
h) f (x) e—x .4_ —
x2 D f(x) =
x — 1
k) f (x) = x + 1
l) f(x) = eX sen x , x e [O, 2n].
7. Determinar os máximos e mínimos das seguintes funções, nos intervalos indicados.
a) f (x) =1-3x , [-2, 2] b) f (x) = x2 — 4 a-1 , 3]
c)
e)
f (x) = 4 — 3x + 3x2 , [0,
f(x) = 2
3]
2]
d)
f)
f (x) = x3 — x2 , [O, 5]
f(x) = I x — 21 , [1, 4]
1 + x2
— ,
g) f(x) = cosh x , [-2, 2] h) f (x) = tgh x , [-2, 2]
291
292 Cálculo A— Funções, Limite, Derivação, Integração
i) f(x) = cos 3x , [O, 27r] j) ,ffx) = cose x , [O, 27t]
k) f(x) = sena
x — 1 , [O, n./2].
8. Encontrar os intervalos de crescimento, decrescimento, os máximos e os mínimos relativos
das seguintes funções.
a) f(x)=2x+ 5 b) f(x) = 3x2 + 6x + 1
c) g(x) = 4x3 — 8x2 d)- h(x) = 3 X3 + X2 — 6x + 5
e) = t — 1f(t) f) f(t) = t + —1
t + 1
g) g (x) = x h) h(x) —1—
Nx
i) f (x) = 1 2 — 1 j) g(x) =
x + 4 , x < — 2
x2 — 2 , x > —2
3 — 4t , t > O 1 + x , x < —1
k) h(t) =
1) ,f(x) =
4t + 3 , t 5 O 1 — x2
, x —1
10 — (x — 3)2 , x 5 —2
m) g(x) = 5(x — 1) —2 < x 5 —1
— + (x — 2)2 , x > —1
9. Encontrar os pontos de máximo e mínimo relativos das seguintes funções, se existirem.
a) f(x) = 7 x2 — 6x + 3 b) g(x) = 4x — x2
d) h(x) = _1x4
3
— x3 + 4x2 — 4x + 8
4
c) h(x) = x3 + 3x2
— 7 x + 9
x + 4
c) f(x) 1 d) f(x) = 2x e-3x
Aplicações da derivada 293
, t < O
e) f(t) = {ê f) f(x) = 6x2/3 — 2x
3t2 , t O
g)
i)
f(x) = 5 + — 2)7/5
=
4xg(x)
h)
j)
f(x) = 3 + (2x + 3)4/3
x +h(x) 1
x2 + 4 x2 — 2x + 2
k) f(x) = + 2)2 — 1)3 1) f(x) = x2 .N/16 — x .
logo x
10. Mostrar que y = tem seu valor máximo em x = e (número neperiano) para todos os
números a > 1.
11. Determinar os coeficientes a e b de forma que a função f(x) = x3 + a x2 + b tenha um extremo
relativo no ponto (-2, 1).
12. Encontrar a, b, c e d tal que a função f(x) = 2ax3 + bx2 — cx + d tenha pontos críticos em
x=0 ex= 1. Se a > O, qual deles é de máximo, qual é de mínimo?
13. Demonstrar que a função y = a x2 + b x + c, x e R, tem máximo se, e somente se, a < O., e
mínimo se, e somente se, a > O.
14. Determinar os pontos de inflexão e reconhecer os intervalos onde as funções seguintes tem
concavidade voltada para cima ou para baixo.
a) f(x) = —x3 + 5x2 — 6x b) f(x) = 3x4 — 10x3 — 12x2 + 10x + 9
e) f(x) = x2 ex
f) f(x) = 4 .Nix + 1 — x2 — 1
2
g) .t)— t
2 + 9
• (t 3)2 h) f(t)= cos t , t E [O, 27t]
i) f(x) =
x , x> 1
.f(x) =
{ 2x - x2 , x < 1 x2 — 4 , x < 2
4 — x2 , x > 2
x — 4
— 3 b) f(x) — x + 2a) f(x) —
4
1
"Nix — 3
f(x)
-gx2 — 16
f)
f(x)
2
x
-\lx2 + x — 12
j) f(x) = eX —1
e) f(x) ,
Nx + 4
g) f(x) — 2x2
i) f(x) e 1/X
294 Cálculo A — Funções, Limite, Derivação, Integração
15. Determinar as assíntotas horizontais e verticais do gráfico das seguintes funções:
c) f(x) — 4 d) f(x) —
— 1
x2 — 3x + 2 (x — 3) (x + 4)
k) f(x)
x.
16. Esboçar o gráfico das seguintes funções:
a) y=x2 +4x+ 2 b) y (x — 3) (x + 2)
c) y = —x3 + 3x2 — 2x + d) y = x3 — 9 x2 — 12x + 3
3 2 6 2
— 1 4 ,, _2
e) Y = x +
5 _3 f) y = x4 - 32x + 48
g) y = x + —2 y — 2x
x 2
3x + 1 i) y =
(x + 2)(x — 3)
2 y =
x2 — 2x — 3
Aplicações da derivada 295
k) y —
4
I) y = cosh x
= X3/2 n) y = x2
o) y = ln (2x + 3) p) y = ln (x2 + 1) .
5.12 PROBLEMAS DE MAXIMIZAÇÃO E MINIMIZAÇÃO
A seguir apresentamos alguns problemas práticos em diversas áreas, onde
aplicamos o que foi visto nas Seções 5.4 e 5.7 sobre máximos e mínimos
O primeiro passo para soluCionar estes problemas é escrever precisamente
qual a função que deverá ser analisada. Esta função poderá ser escrita em função de
uma ou mais variáveis. Quando a função é de mais de uma variável devemos procurar
expressar uma das variáveis em função da outra.
Com a função bem definida, devemos identificar um intervalo apropriado e
então proceder a rotina matemática aplicando definiçõe e teoremas.
5.12.1 Exemplos
(1) Na Biologia, encontramos a fórmula = V • A, onde é o fluxo de ar na
traquéia, V é a velocidade do ar e A a área do círculo formado ao seccionarmos a
traquéia (ver Figura 5.29).
Figura 5-29
Quando tossimos, o raio diminui, afetando a velocidade do ar na traquéia.
Sendo ro o raio normal da traquéia, a relação entre a velocidade V e o raio r da traquéia
durante a tosse é dada por V (r) = a r2 (r0 — r), onde a é uma constante positiva.
296 Cálculo A — Funções, Limite, Derivação, Integração
(a) Calcular o raio r em que é maior a velocidade do ar.
(b) Calcular o valor de r com o qual teremos o maior fluxo possível.
Solução.
(a) O raio r da traquéia contraída não pode ser maior que o raio normal r o,
nem menor que zero, ou seja, O r 5_ ro .
Neste item vamos encontrar o máximo absoluto da função V(r) em
O r ro .
Temos,
V(r) = a r2(ro — r);
V '(r) = 2a ro r —3a r2 .
Fazendo V '(r) = 2a 1-0 r — 3a r2 = O, obtemos os pontos críticos r1 = —2 r e1 3 O
r2 = O .
Temos V "(r) = 2a 1-0 — 6a r. Como V " (0) = 2a rei > O, concluímos que r2 = O é
um mínimo relativo. Como V "(2/3 r o) é um valor negativo, concluímos que r 1 = 2/3 1-0 é
um valor máximo relativo.
Para r E [O, ro], temos que o máximo absoluto é V(2/3r0) = 4a/27r(3) .
Diante deste resultado afirmamos que a velocidade do ar na traquéia é maior
quando o raio r da mesma, é dois terços do raio ro da traquéia não contraída.
(b) Podemos escrever a função (1) = V • A em função do raio r da traquéia:
414(r) = ar2 (ro — r) • TC /2 .
Queremos encontrar o máximo absoluto da função cgr) em O r ri:) .
Temos, O' (r) = 4a TC ro r3 — 5a 7C tA .
Fazendo 4'- (r) = 4a Te 1-0 r3 — 5a TC r4 = O, obtemos r 1 = O e r2 = 4/5 ri) como
pontos críticos de 0(r).
(2000 - x)
CONJUNTO
HABITACIONAL
x
Aplicações da derivada 297
Temos 0"(r) = 12a 7E ro r2 — 20a TC r3 .
Logo, 0" (0) = O e 0"(415 O= —64/25 a it ti . Concluímos que em 4/5 r0 temos
um ponto de máximo relativo.
O ponto r 1 = O é um ponto de mínimo relativo, pois a função (1)(r) decresce
em (— 00, 0] e cresce em [0, 4/5 ro].
O máximo absoluto em [0, r0] será 0(4/5 r0) que é igual à 256/3125 a it go .
Portanto, o maior fluxo possível é obtido quando r = 4/5 r0 .
(2) Uma rede de água potável ligará uma central de abastecimento situada à
margem de um rio de 500 metros de largura a um conjunto habitacional situado na outra
margem do rio, 2000 metros abaixo da central. O custo da obra através do rio é de
Cr$ 640,00 por metro, enquanto, em terra, custa Cr$ 312,00. Qual é a forma mais
econômica de se instalar a rede de água potável?
Solução. A Figura 5.30 esquematiza a função que dará o custo da obra:
f(x) = (2000 — x) - 312,00 + -six2 + 5002 • 640,00.
CENTRAL DE
ABASTECIMENTO
Figura 5-30
Nosso objetivo será calcular o mínimo absoluto dessa função para O x 2000.
Temos,
f '(x) = —312,00 + 640,00 x
.Vx2 + so02
1
298 Cálculo A - Funções, Limite, Derivação, Integração
Resolvendo a equação
00x— 312,00 + 640,
— O ,
"\ix2 + 5002
obtemos que x E 279,17 m é um ponto crítico.
Temos,
f "(x) = 5002 • 640,00
(x2 + 5002)3/2
Como f" (279,17) > 0, temos que x = 279,17 é um ponto de mínimo relativo.
Resta-nos saber se este mínimo é absoluto no intervalo O 5 x 5_ 2000.
Como o único ponto crítico de f no intervalo aberto (0, 2000) é x E 279,17,
este ponto é mínimo absoluto neste intervalo. Como f(0) > f(279,17) e
f(2000) > f(279,17), concluímos que a obra poderá ser realizada com o menor custo
possível se a canalização de água alcançar o outro lado do rio 279,17 m abaixo da
central de abastecimento.
(3) Um galpão deve ser construído tendo uma área retangular de 12100 m 2 .
A prefeitura exige que exista um espaço livre de 25 m na frente, 20 m atrás e 12 m em
cada lado. Encontre as dimensões do lote que tenha a área mínima na qual possa ser
construído este galpão.
Solução. A Figura 5.31 ajuda a definir a função que vamos minimizar.
Figura 5-31
Temos que S "(x) =
ponto de mínimo
44 N580800 e portanto S
x3 3
W > 0.x = 44 30 um
3
Aplicações da derivada 299
Sabemos que A = 12100 m2 = x • y. (1 )
A função que definirá a área do lote é
S = (x + 12+ 12) (y + 25 + 20)
= (x + 24) (y + 45). (2)
De (1), obtemos que y = 12100 . Substituindo em (2), vem
x
S(x) = (x + 24)
r 12100 + 45
X
Esta é a função que queremos minimizar.
Temos,
S ' (x) = 45x2 — 290400
x2
44 -
Resolvendo a equação = 45x2 — 290400 = 0 , obtemos que x =
3
00 é
x2
um ponto crítico. (x é uma medida e portanto consideramos só o valor positivo.)
44 ..■Fazendo x =
3
30 80,33 m, obtemos que
12100 12100
y = = = 150,62m,x 4430I3
e então, a área mínima é obtida quando as dimensões do lote forem aproximadamente
(80,33 + 24)
m x (150,62 + 45) m.
x
300 Cálculo A — Funções, Limite, Derivação, Integração
(4) Uma caixa sem tampa, de base quadrada, deve ser construída de forma
que o seu volume seja 2500 m 3 . O material da base vai custar Cr$ 1200,00 por
m2 e o material dos lados Cr$ 980,00 por m 2. Encontre as dimensões da caixa de modo
que o custo do material seja mínimo
Solução.
Observando a Figura 5.32, escrevemos a função que dá o custo do material:
C = x2 1200,00 + 4xy 980,00.
X
4x
Figura 5-32
Como V = x2y = 2500 cm 3 , temos que a dimensão y pode ser escrita como
y = 2500/x2.
Substituindo esse resultado em (1), obtemos
C (x) = 1200,00 • x2 + 9.800.000,00/x,
que é a função que queremos minimizar.
(1)
Aplicações da derivada 301
Temos,
C '(x) — 2400 00 x3 — 9.800.000,00xz
002400,00x3 — 9.800.000, Resolvendo a equação — 0, encontramosx2
x = 5 3 98 = 15,983 m, que é o ponto crítico que nos interessa.3
De fato, para x 15,983 vamos ter um ponto de mínimo, já que C" (15,983) > 0.
Portanto, as dimensões da caixa de modo a obter o menor custo possível são
x a.. 15,983 mey E 9,785 m.
5.13 EXERCÍCIOS
• 1. Um fio de comprimento / é cortado em dois pedaços. Com um deles se fará um círculo e com
o outro um quadrado.
a) Como devemos cortar o fio a fim de que a soma das duas áreas compreendidas pelas
figuras seja mínima?
b) Como devemos cortar o fio a fim de que a soma das áreas compreendidas seja máxima?
2. Determinar o ponto P situado sobre o gráfico da hipérbole xy = 1, que está mais próximo da
origem.
3. Um fazendeiro tem 200 bois, cada um pesando 300 kg. Até agora ele gastou Cr$ 380.000,00
para criar os bois e continuará gastando Cr$ 2,00 por dia para manter um boi. Os bois
aumentam de peso a uma razão de 1,5 kg por dia. Seu preço de venda, hoje, é de Cr$ 18,00 o
quilo, mas o preço cai 5 centavos por dia. Quantos dias deveria o fazendeiro aguardar para
maximizar seu lucro?
4. Achar dois números positivos cuja soma seja 70 e cujo produto seja o maior possível.
302 Cálculo A — Funções, Limite, Derivação, Integração
5. Usando uma folha quadrada de cartolina, de lado a, deseja-se construir urna caixa sem tampa,
cortando em seus cantos quadrados iguais e dobrando convenientemente a parte restante.
Determinar o lado dos quadrados que devem ser cortados de modo que o volume da caixa seja
o maior possível.
6. Determinar as dimensões de uma lata cilíndrica, com tampa, com volume V, de forma que a
sua área total seja mínima.
7. Duas indústrias A e B necessitam de água potável. A figura a seguir esquematiza a posição das
indústrias, bem como a posição de um encanamento retilíneo 1, já existente. Em que ponto do
encanamento deve ser instalado um reservatório de modo que a metragem de cano a ser
utilizada seja mínima?
B
RESERVATÓRIO
C- 12 Km
8. Qual é o retângulo de perímetro máximo inscrito no círculo de raio 12 cm?
9. Traçar uma tangente à elipse 2x2 + y2 = 2 de modo que a área do triângulo que ela forma com
os eixos coordenados positivos seja mínima. Obter as coordenadas do ponto de tangência e a
área mínima.
10. Mostrar que o volume do maior cilindro reto que pode ser inscrito num cone reto é 4/9 do
volume do cone.
11. Um cone reto é cortado por um plano paralelo à sua base. A que distância da base deve ser
feito esse corte, para que o cone reto de base na secção determinada, e de vértice no centro da
base do cone dado, tenha volume máximo?
12. Determinar o ponto A da curva y = x2 + x que se encontra mais próximo de (7, O). Mostrar
que a reta que passa por (7, O) e por A é normal à curva dada em A.
13. Uma folha de papel contém 375 cm2 de matéria impressa, com margem superior de 3,5 cm,
margem inferior de 2 cm, margem lateral direita de 2 cm e margem lateral esquerda de 2,5 cm.
Aplicações da derivada 303
Determinar quais devem ser as dimensões da folha para que haja o máximo de economia de
papel.
14. Uma janela tem a forma de um retângulo encimado por um semi-círculo. Achar as dimensões
de modo que o perímetro seja 3,2 m e a área a maior possível.
15. Um canhão, situado no solo, é posto sob um ângulo de inclinação a. Seja 1 o alcance do
2canhão, dado por 1 = 2v sena cos a , onde v e g são constantes. Para que ângulo o
alcance é máximo?
16. Uma agência de turismo está organizando um serviço de barcas, de uma ilha situada a 40 km
de uma costa quase reta, para uma cidade que dista 100 km, como mostra a figura a seguir. Se
a barca tem uma velocidade de 18 km por hora, e os carros tem uma velocidade média de 50
km/h, onde deverá estar situada a estação das barcas a fim de tornar a viagem a mais rápida
possível?
Fl
ESTAÇÃO CIDADE
100 Km
17. Uma cerca de 1 m de altura está situada a uma distância de 1 m da parede lateral de um galpão.
Qual o comprimento da menor escada cujas extremidades se apoiam na parede e no chão do
lado de fora da cerca?
18. Seja s uma reta que passa pelo ponto (4, 3) formando um triângulo com os eixos coordenados
positivos. Qual a equação de s para que a área desse triângulo seja mínima?
19. Uma pista de atletismo com comprimento total de 400 m, consiste de 2 semi-círculos e dois
segmentos retos, conforme figura a seguir. Determinar as dimensões da pista, de tal forma que
a área retangular, demarcada na figura, seja máxima.
304 Cálculo A — Funções, Limite, Derivação, Integração
20. Um cilindro circular reto está inscrito num cone circular reto de altura H = 6 m e raio da base
R = 3,5 m. Determinar a altura e o raio da base do cilindro de volume máximo.
21. Uma fábrica produz x milhares de unidades mensais de um determinado artigo. Se o custo
de produção é dado por C = 2x3 + 6x2 + 18x + 60, e o valor obtido na venda é dado por
V = 60x — 12x2, determinar o número ótimo de unidades mensais que maximiza o lucro
L = V —C. /
22. Um cilindro reto é inscrito numa esfera de raio R. Determinar esse cilindro, de forma que seu
volume seja máximo.
23. Um fazendeiro deve cercar dois pastos retangulares, de dimensões a e b, com um lado comum
a. Se cada pasto deve medir 400 m 2 de área, determinar as dimensões a e b, de forma que o
comprimento da cerca seja mínimo.
24. Um fabricante, ao comprar caixas de embalagens, retangulares, exige que o comprimento de
cada caixa seja 2 m e o volume 3 m 3 . Para gastar a menor quantidade de material possível na
fabricação das caixas, quais devem ser suas dimensões?
25. Um retângulo é inscrito num triângulo retângulo de catetos medindo 9 cm e 12 cm.
Encontrar as dimensões do retângulo com maior área, supondo que sua posição é dada na
figura a seguir.
Aplicações da derivada 305
•
5.14 REGRAS DE L'HOSPITAL
Nesta Seção apresentaremos um método geral para levantar indeterminações
do tipo 0/0 ou Esse método é dado pelas regras de L'Hospital, cuja demonstração
necessita da seguinte proposição.
5.14.1 Proposição (Fórin- ula de Cauchy). Se f e g são duas funções contínuas
em [a, b], deriváveis em (a, b) e se g' (x) # O para todo x E (a, b), então existe
um número z E (a, b) tal que
f(b) — f(a) _ f '(z)
g(b) — g(a) g '(z)
Prova. Provemos primeiro que g(b) — g(a) # O. Como g é contínua em [a, b] e derivável
em (a, b), pelo teorema do valor médio, existe c e (a, b) tal que
g '(c) = g(b) — g(a)
b — a (1)
Como, por hipótese, g' (x) # O para todo x E (a, b), temos g' (c) # O e assim,
pela igualdade (1), g(b) — g(a) # O.
Consideremos a função
h(x) = Í(x) — fia) — [g(b) — g(a)
f(b) — fla)][g(x) — g(a)]
A função h satisfaz as hipóteses do teorema de Rolle em [a, b], pois:
(i) Como f e g são contínuas em [a, b], h é contínua em [a, b];
(ii) Como f e g são deriváveis em (a, b), h é derivável em (a, b);
(iii) h (a) = h (b) = O.
306 Cálculo A — Funções, Limite, Derivação, Integração
Portanto, existe z E (a, b) tal que h' (z) = O.
Como h '(x) = f ' (x) — f(b) — f(a)
g(b) — g(a) g '(x),
temos
f'(z) — f(b) — f(a) g(b) — g(a) • g '(z) = O . (2)
Mas g' (z) # O. Logo, podemos escrever (2) na forma
f(b) — fia) f'(z)
g(b) — g(a) g '(z)
5.14.2 Proposição (Regras de L'Hospital). Sejam f e g funções deriváveis num
intervalo aberto I, exceto possivelmente, em um ponto a E I. Suponhamos que
g' (x) # O para todo x # a em I.
(i) Se lim • (x) = lim g(x) = O e
lim f '(x) = L, então
x —) a x --> a x a g (x)
lim = lim f (X) = L ;
x —> a g(x)
x —> a g
(ii) Se lim f(x) = lim g(x) = oo e lim f '(x)
= L, então
x —> a
x--> a
x —> a g (x)
lim x) = lim f (X) — L .
x —> a g(x)
x —> a g
Prova do item (i). Suponhamos que lim
tome a forma indeterminada 0/0 e que
x —> a g(x)
lim f (X) = L . Queremos provar que lim
) = L .
x —> a g ' (,C) x —> a g(x)
Aplicações da derivada 307
Consideremos duas funções F e G tais que
e
f(x) , sexta
F(x) =
O , se x = a
g(x), sext a
G(x) =
O se x
Então,
lim F(x) = lim f(x) = O = F(a)
x —> a x —> a
lim G(x) = lim g(x) = O = G(a) .
x —> a x —> a
Assim, as funções F e G são contínuas no ponto a e portanto, em todo intervalo I.
Seja x E I, x a. Como para todo x � a em I, f e g são deriváveis e g '(x) O,
as funções F e Gsatisfazem as hipóteses da fórmula de Cauchy no intervalo [x, a] ou
[a, x]. Segue que existe um número z entre a e x tal que
F(x) — F(a) F '(z)
G(x) — G(a) G '(z) .
Como F(x) = f(x), G(x) = g(x), F(a) = G(a) = O, F '(z) = f '(z) e G '(z) = g '(z),
vem
f(x) = f '(z)
g (x) g '(z)
Como z está entre a e x, quando x —) a temos que z --> a. Logo,
lim f(x) — lim f (Z) — lim f (Z) — L .
x a g (x) x a g '(z) z _> a g '(z)
308 Cálculo A — Funções, Limite, Derivação, Integração
Observamos que se
lim f(x) = lim g(x) = O ou u m f(x) = lim g(x) = 00 ,
x —> a x — > a x —> a x >a
e lim r (x) = ao, a regra de L'Hospital continua válida, isto é
x— > a g (x)
lim ftx) = lim • f (X) = 00
x —> a g(x) x a g '(x)
Ela também é válida para os limites laterais e para os limites no infinito.
A seguir apresentaremos vários exemplos, ilustrando como muitos limites
que tomam formas indeterminadas podem ser resolvidos com o auxilio da regra
de L'Hospital.
5.14.3 Exemplos
(i) Determinar lim
2x
•
x,o ex —
2x Quando x'—> O, o quociente toma a forma indeterminada 0/0. Aplican-
ex 1
do a regra de L'Hospital, vem
2x lim = lim —2 2= = 2.
x,o e —1 x,o e e°
Aplicações da derivada 309
x2(ii) Determinar lim + x - 6
X-32 x2 - 3x + 2
O limite toma a forma indeterminada 0/0. Aplicando a regra de L'Hospital,
temos
limm x2 + - 6 =. lim 2x + 1 2 2 + 1 = 5 .
x-2
,
X'-`" - 3x + 2 2 2x - 3 2 2 - 3
sen x - x (iii) Determinar lim
x o + e' - 2
Neste caso, temos uma indeterminação do tipo 0/0. Aplicando a regra de
L'Hospital uma vez, temos
lim sen x - x lim cos x
x-*o ex + - 2 x-,oeX - éX
Como o último limite ainda toma a forma indeterminada 0/0, podemos aplicar
novamente a regra de L'Hospital. Temos,
cos x - 1 - sen x -lim
= lim
= = .
x -> O - x O ex + e- x 2
Logo, lim sen x - x = .
x-. 1:-.) + X- 2
- 1(iv) Determinar lim eX
x + x3 + 4x
Neste caso, temos uma indeterminação do tipo 00/ao. Aplicando a regra de
L'Hospital sucessivas vezes, temos
lim ex — 1
lim eX =
+ - x3 + 4x X-->+oo 3x2 + 4
310 Cálculo A — Funções, Limite, Derivação, Integração
= lim
-›+ - 6x
= lim
x -> 6
(v) Determinar hm (3x
x->+-
Neste caso, temos uma indeterminação do tipo 00 °. Vamos transformá-la numa
indeterminação do tipo ../00 com o auxílio de logaritmos e em seguida aplicar a regra
de L'Hospital.
Seja L = lim (3x + 9) 1/x . Então, lnL = ln lim (3x 4. 9) 1/x .
x-)+- x
Aplicando a proposição 3.5.2(g) e as propriedades de logaritmos, vem
In L = lim ln (3x + 9) 1/x"
x +
lim 1 ln (3x + 9)
hm ln 3x + 9)
x -) X
Temos agora uma indeterminação do tipo 00/00. Aplicando a regra de L'Hos-
pital, obtemos
lim + 9) . 3
ln L = hm - hm1 x 3x +. 9
Aplicações da derivada 311
Como ln L = O, temos L = 1 e dessa forma
lim (3x + 9) 1tx = 1 .
x^ + 00
(vi) Determinar lim x sen 1/x .
Neste caso temos uma indeterminação do tipo .0 • O. Reescrevendo o limite
dado na forma
lim x sen 1/x = lim
x-›+-
sen 1/x
1/x
temos uma indeterminação do tipo 0/0.
Aplicando a regra de L'Hospital, vem
lim x sen 1/x = lim sen 1/x
.7c -›+- 1/x
lim
lim cos 1/x
+
cos O
1.
312 Cálculo A — Funções, Limite, Derivação, Integração
(vii) Determinar Hm
x —> o
( 1 1
x2 + x cos i — 1
Neste caso, temos uma indeterminação do tipo 0. — .... Reescrevendo o limite
dado, temos
lim
( 1 1
= lim cos x — 1 — x2 — X
x-->0\
/
x2 + x
cos X — 1 x —> 0 (X2 + X) (cos X — 1)
Temos então uma indeterminação do tipo 0/0. Aplicando a regra de L'Hospital,
vem
lim
f 1 "1_ — lim cos x — 1 — x2 — x
x2 + x cos x — 1 (x2 + x) (cos x — 1)
— sen x — 2x — 1lim
x —> o
=
x —> o
x o (x2 + x) • (— sen x) + (cos x —1) (2x + 1)
—1
o
(viii) Determinar lim (2x2 + x) x .
x o+
Neste caso, temos uma indeterminação do tipo 0° . Com o auxilio de logarit-
mos, vamos transformá-la numa indeterminação da forma 00/00.
Seja L = lim (2x2 + x) x . Então,
x
ln L = in [ lim (2x2 + x
x
x o+
12x2 + 2x
4x + 1ln L = lim
Aplicações da derivada 313
▪ 1.,_ rr, (.2 +
x->0 L
• lim x • ln (2x2 + x)
x->0+o+
• lim ln (2x2 + x)
x-)0+ 1/x
Temos agda uma indeterminação do tipo Aplicando a regra de
L'Hospital, vem
lnL = lim
x-> o+
4x3 + x2
x-)o+ 2
-
x2 + x
Aplicando novamente a regra de L'Hospital, obtemos
o
1
o.
Como ln L = O, temos L = 1. Logo,
(2x2 + x) = 1 .
x o+
314 Cálculo A — Funções, Limite, Derivação, Integração
(ix) Calcular lim 1 + 1
2x
Neste caso, temos uma indeterminação do tipo I – . Usando logaritmos, vamos
transformá-la numa indeterminação da forma 0/0.
x
Seja L = lim 1 + —1
2x
. Então,
ln L = ln lim + 11 + —
2-x\
x
X -->
lim [ ln 1 1 +
x 2x
= lim x ln 1 1 +
x 2x
In 1 + 1
2x
= lim
X
Temos agora uma indeterminação do tipo 0/0. Aplicando a regra de L'Hospital,
obtemos
ln L = lim
X -- +00
( 1
– 1 / 1 +-
2x22x2
- 1/x2
lim 1
-x –)+– 1 +
2x
1/x
1/2
1Portanto, ln L = —
2 dessa forma L =
e112. Logo,
=e
1/2
5.15 EXERCÍCIOS
lim
1. lim x-2 - 4x + 4
x —> 2 X2 — x - 2
2. lim X2 — 1
x-1 x2 + + 3
Aplicações da derivada 315
1/2
1
1/2.
Determinar os seguintes limites ccim auxilio das regras de L'Hospital.
3. lim
x O
x2 + 6x
x3 + 7x2 + 5x
4. lim
2x2 + x - 1
x —> 1/2 4X2 — 4X + 1
5. lim 6 - 2x + 3x2 - x3
x - 33 x4 — 3x3 - x + 3
7. lim x2 - 6x + 7
x x3 + 7x - 1 •
9. lim 7x5 - 6
4x2 - 2x + 4
eX
11. EM
6. lim x + 1
x --+ -1 2x" + 2x3 + 3x2 + 2x - 1
8. lim 5 - 5x3
x 2 - 2x3
5 10. lim - x + x2
x-9+.0 2 - x - 2x2
X9912. lim
316 Cálculo A — Funções, Limite, Derivação, Integração
13.
lim x
x_,0 ex — cos x
14. lim x2 (e l — 1)
x -> + m
15.
lim
x —)7v2 (x — ir/2)2
2x — 1
17.
lim
x —> 2 [2x — 4 x — 2
)1
—
1 18. x )x + 1
cos x 2x16. lim
19. lim
—)
x
x cotg x 2 cos x
21. lim senh x
X -3 0 sen x
23.
lim sec
2 x — 2 tg x
+ cos 4xx —> ir./4
20. Hm tgh x+
22. lim
ln x
3—> +
lim cosh x — 1
x
24.
—> 1 —cos i
25. Hm (1 — cos x) cotg x 26. Hm [ln x ln (x — 1)]
x —> —> 1
3
27.
lim 1 1
x— n. [2(1 — -Ct ) 3(1 — ) 1
x4 + ln x
28. hm
—> o+
29. fim x sen x
„+x —>
1 — x
30. lim x
—>1
7t xcos
2
31.
Hm (1 — x) 32. lim x sen 71/x
X —> +
X2/3
senh x33.
lim (x2 + 2) 1/3
—> 0.
34. Hm
Aplicações da derivada 317
35. lim
(2x - 1) 2/x
x
ln (sen a x)
36. lim
x --> 0
(cos 2x) 3/2
1 5
x - 3 x2 - x - 637. lim,
In (sen x)
x-) 0+
38. lim
x -) 3
2
1 2 + ln x
39. lim+ x tg x
x O
40. lim
x ->0
+ x
x In x
41. lim
(1 - tg x) sec 2x
x -› n/4
42. lim
+
x + ln x
43. lim (ex + x)
x -) o
5.16 FÓRMULA DE TAYLOR
A Fórmula de Taylor consiste num método de apróximação de uma função por
um polinômio, com um erro possível de ser estimado.
5.16.1 Definição. Seja f: 1 --> I? uma função que admite derivadas até ordem n num
ponto c do intervalo 1. O polinômio de Taylor de ordem n de f rigponto c, que
denotamos por P n(x), é dado por
.„(n)
P n (x) = f(c) + f '(C) (x - c) + (x - c)2 + . + 3
n!
) (x - c) n
Observamos que no ponto x = c , Pn (c) = .gc) .
5.16.2 Exemplo. Determinar o polinômio de Taylor de ordem 4 da função f (x) =
no ponto c = O.
318 Cálculo A — Funções, Limite, Derivação, Integração
Temos, f(x) = f ' (x) = ...= f (iv)
(x) = e x e assim,
f(0) = f '(0) ..= f (1v) (0) = e ° = 1 .
Portanto,
P 4(x) = 1 + 1 (x – O) + — (x – 0)2 + —
3!
(x — O)3 +
4!
(x 0)42!
X2 X3 X4
2!
= 1 + X +
3! 4!
—
'
é o polinômio de Taylor de grau 4 da função f(x) = ex no ponto c = O.
Dado o polinômio de Taylor de grau n de uma função f(x), denotamos por
Rn (x) a diferença entre f(x) e P n
(x), isto é, Rn
(x) = f(x) – P
n
(x) (ver Figura 5.33).
c X
Figura 5-33
Temos então, f(x) = Pn (x) + R n
(x), ou mais explicitamente,
f(n)
f(x) = .Ac) +f ' (c) (x – c) + f "(c)
(x – c)2
+ (x – cr + R (x) . (1)2! n! n
Aplicações da derivada 319
Para os valores de x nos quais Rn (x) é "pequeno", o polinômio P n(x) dá uma
boa aproximação de f(x). Por isso, R n(x) chama-se resto. O problema, agora, consiste
em determinar uma fórmula para R n(x) de tal modo que ele possa ser avaliar..! Temos
a seguinte proposição.
5.16.3 Proposição (Fórmula de Taylor). Seja f: [a, b] —> 1? uma função defmi-
da num intervalo [a, b]. Suponhamos que as derivadas f ' , f " , f (n) existam e
sejam contínuas em [a, b] e que f (n + 1) exista em (a, b). Seja c um ponto
qualquer fixado em [a, b]. Então, para cada x E [a, b], x # c, existe um ponto
z entre c e x tal que
f(x) = f(c) + f (c) — c) + + f (n) (C)
— C)n f(n+1) (z)
n!
— c)n + 1
(n + 1)!
(2)
Quando c = 0, a Fórmula de Taylor fica
f(x) = f(0) + f '(0) x f (a
n! f
) (0) xn + 1) (Z) xn + 1
(n + 1)!
e recebe o nome de Fórmula de Mac-Laurin.
Prova. Faremos a demonstração supondo x > c. Para x < c, o procedimento é análogo.
Sejam 13 n (t) o polinômio de Taylor de grau n de f no ponto c e Rn (t) o resto
correspondente. Então, f(t) = P n(t) + R n(t), para qualquer t e [a, b].
Portanto, no ponto x, temos
f(x) = f(c) + f '(c) (x — c) +f 2!"(c) (x — c)2 + +
f (n
n!
) (C)
(x — c)n + R n(x) .
Para provar (2), devemos mostrar que
.f(n + 1) (
Rn (x) = (n + 1`)! (x — c)" 1 , onde z é um número entre c e x.
320 Cálculo A — Funções, Limite, Derivação, Integração
Para isso, vamos considerar a seguinte função auxiliar:
g: [c, x] —> 1?
f " t () g(t) = f(x) — f(t) — f ' (t) (x — t) — 2! (x — t)2 —
f (n) (t) (x _ + 1(x — tr — R ,z(x) •
n! (x — c)n + 1
Pelas propriedades das funções contínuas, segue que g é contínua em [c, x].
Pelas propriedades das funções deriváveis, segue que g é derivável em (c, x). Além
disso, podemos verificar que g(c) = g(x) = O.
Logo, g satisfaz as hipóteses do Teorema de Rolle em [c, x] e portanto existe
um ponto z, entre c e x, tal que g' (z) = O.
Derivando a função g com o auxílio das regras de derivação e simplificando,
obtemos
f(n +1)
vz) Rn (x) — (n + 1)!' (x — c)
(n+1)
,
e, conseqüentemente, a fórmula (2) fica provada.
Observando as fórmulas (1) e (2), vemos que na Fórmula de Taylor apresen-
tada, o resto Rn (x) é dado por
f(n + 1) (,A
R (x) = (n + 1) "'!) (x — c)n + 1n
Essa forma para o resto é chamada Forma de Lagrange do Resto e a fórmula
(2) é dita Fórmula de Taylor com Resto de Lagrange. Existem outras formas para o
resto, como a forma da integral, que não abordaremos aqui.
5.16.4 Exemplos
(i) Determinar os polinômios de Taylor de grau 2 e de grau 4 da função
f (x) = cos x, no ponto c = O. Esboçar o gráfico de f e dos polinômios encontrados.
Aplicações da derivada 321
Usando o polinômio P4(x) para determinar um valor aproximado para cos —7t g o que se
6pode afirmar sobre o erro cometido?
Solução. Para determinar os polinômios pedidos, necessitamos do valor de f e de suas
derivadas até ordem 4, no ponto c = O.
Temos,
f(x) = cos x , ft0) = cos O = 1
f '(x) = — sen x , f '(0) = — sen O = O
f "(x) = — cos x
•
f "(0) = — cos O = —1
f "'(x) = sen x , f "'(0) = sen O = O
f `v(x) = cos x
•
f iv(0) = cos O = 1.
O polinômio de Taylor de grau 2, no ponto c, é dado por
f "( c) P2(x) = f(c) + f ' (c) (x — c) + 2, (x — c)2 .
Como no nosso caso c = O, vem
P2(x) = f(0) + f'(0) x + f (10) .x2
= 1 + O • X +
2!
1) x2
X2
= 1 - •
O polinômio de Taylor de grau 4, no ponto c, é dado por
P4(x) = f(0) + f ' (0) (x) + f ';(,°) x2 + f 3" (1 °) x3 + f 4v (,2c) x4
322 Cálculo A — Funções, Limite, Derivação, Integração
( 20 x2 + x3 + 1 x4= 1+0-X+ 2! 3! 4!
X2 X4
= — r •
2 24
A Figura 5.34 mostra o gráfico de f(x), P2(x) e P4(x). Comparando esses
gráficos, podemos observar que o gráfico de P4(x) está mais próximo do gráfico de
f(x). Se aumentarmos n, o gráfico de P n(x) se aproxima cada vez mais do gráfico de
f(x)•
Figura 5-34
Usando o polinômio P4(x) para determinar um valor aproximado de cos —n ,6
pela Fórmula de Taylor, temos
cos —n = P4 (n/6) + R4
(n/6)6
= 1 — —1 —7c —1 ' f (5)(z)
6
`5
62! 4! 6 5!
J \
onde z é um número entre O e n/6.
Aplicações da derivada 323
Como f (v ) (x) = —sen x e I — sen x I 1 para qualquer valor de x, podemos
afirmar que o resto R4 ( —6 ) satisfaz
I R4 (n/6) I= I- sen z I
5!
1 ( n
6 5! 6
E 0,000327 .
Logo, quando calculamos o valor de cos —7c pelo polinômio P4(x), temos6
cos = 1 -
(7c/6)2 (n/6)4
—11
6 2! 24
E 0,86606
e podemos afirmar que o erro cometido, em módulo, é menor ou igual a 0,000327.
(iii) Determinar o polinômio de Taylor de grau 6 da função f (x) = sen 2x no
ponto c = 4 Usar este polinômio para determinar um valor aproximado para sen 3
Fazer uma estimativa para o erro.
Solução. Devemos calcular o valor da função e suas derivadas até ordem 6, no ponto
7C
C = —4 .
Temos,
f(x) = sen 2x , f(n/4) = sen Tc/2 = 1
f '(x) = 2 cos 2x f (n14), ' = 2 cos n/2 = O
f "(x) = — 4 sen 2x , f "(n14) = — 4
f '" (x) —8 cos 2x , f "'(7c14) = 0
324 Cálculo A — Funções, Limite, Derivação, Integração
f iv(x) = 16 sen 2x , f iv(n/4) = 16
f v(x) = 32 cos 2x , f v(7c14)
= O
f vi(x) = — 64 sen 2x , f (n14)
O polinômio de Taylor de grau 6, no ponto c = it/4,, é dado por
2
4 1! x 4 ±
f (TC
±
f ' (n/4)) TC " n/4)
2! z— 4
)
P6(x) = f
+
f(vi) (n/4)
TC )6
6! x - 4
2 4
= 1 -1- 0 + (-4) x—n) +0+16
4! x-4
)
2! 4
22 4 6= — X - - 2- X - - 26
)2,
1 -
2! 4 4! 4 6!
•N 6
6! 4+ 0 + x — —
64) (—
6ir
x
4
Usando o polinômio P6(x) para determinar sen 3 , obtemos pela Fórmula de
Taylor,
TC
sen —3 = sen (2 7r./6) = f (7E/6) = P6 (7C/6) + R6 (n./6)
22 (ir ?L
2
24 n n
4
26
= 1 - - - - 1-
- -2! 6 4 4! 6 4
6!
ir n 6 Pvii) (z)
+
"7C 7L
∎7
6 4 6 47!
\. k À
7C 70,86602526 +
f (vio (z)
7!
6 4
Aplicações da derivada 325
satisfaz [
Como f(vii)(x) = - 128 cos 2x e 1 cos 2x 1 ^ 1 para todo x, o resto R6 Z
\7
128
7! 6 4
IR6 (7E/6) 1 2,1407 x 10-6 .
Logo, usando o polinômio P6(x) obtemos sen
3
= 0,86602526e o erro come-
tido, em módulo, será inferior a 2,1407 x 10 -6 .
Usando a Fórmula de Taylor, pode-se demonstrar a seguinte proposição que
nos dá mais um critério para determinação de máximos e mínimos de uma função.
5.16.5 Proposição. Seja f: (a, b) R uma função derivável n vezes e cujas
derivadas, f ' , f " , f (n) são contínuas em (a, b). Seja c E (a, b) um ponto
crítico de f tal que f ' (c) = = -1) (c) = O e f (n) (c) � 0. Então,
(i) se n é par e f(n) (c) 5 0, f tem um máximo relativo em c;
(ii) se n é par e f(n) (c) 0, f tem um mínimo relativo em c;
(iii) se n é ímpar, c é um ponto de inflexão.
5.16.6 Exemplos
(i) Determinar os extremos da função f(x) = (x - 2)6 .
Temos f' (x) = 6 (x - 2)5 . Fazendo f' (x) = 0, obtemos x = 2, que é o único
ponto crítico de f.
Calculando as derivadas seguintes no ponto x = 2, temos
f" (x) = 30 (x - 2)4 , f" (2) = O
f,.. (x) = 120 (x - 2)3 , f"' (2) = O
fiv (x) = 360 (x - 2)2 , fiv (2) =
326 Cálculo A — Funções, Limite, Derivação, Integração
f (1') (x) = 720 (x — 2) , f(") (2) = O
f" (x) = 720 , f (14) (2) = 720 # 0.
Logo, x = 2 é um ponto de mínimo relativo.
(ii) Pesquisar máximos e mínimos da função f (x) = x5 — x3 .
Fazendo f ' (x) = 5x4 — 3x2 = 0, obtemos os pontos críticos que são
x i = 0, x2 = .■i3/5 e x3 = — -V-3/5 .
Calculando o valor das derivadas seguintes no ponto x 1 = 0, temos
f " (x) = 20x3 — 6x , f " (0) = O
f "' (x) = 60x2 - 6 , f "' (0) = —6 # 0.
Como f "' (0) � 0, concluímos que O é um ponto de inflexão.
No ponto x2 = -■r3/5, temos
f "(x) = 20x3 — 6x , f "(NTD) = 20 (3/5)32 — 6 .Nii75-
= 20 • — 65
= 6I7>0.
Logo, concluímos que x 1 = é um ponto de mínimo relativo.
No ponto x3 = temos
Aplicações da derivada 327
)3/2
f "(x) = 20x3 - 6x , f "( - .\13/5 ) = — 20 —3 — 6 ( — 'N/3/5 )
5
= — 6 -■/3/5 < 0 .
Logo, o ponto x3 = — 'N/3/5 é um ponto de máximo relativo.
5.17 EXERCÍCIOS
1. Determinar o polinômio de Taylor de ordem n, no ponto c dado, das seguintes funções:
a) f(x) = ex12; C = 0 e 1; n = 5 b) f(x) = X ; c = —1 e 2; n=4
c) f(x)=1n(1—x); c=0 e 1/2; n = 4 d) f(x) = sen x ; c = rt12 ; n = 8
e) f(x) = cos 2x ; c = O e n/2 ; n = 6 1 f (x) - 1 + x ,c-0 e 1;n=4.
2. Encontrar o polinômio de Taylor de grau n no ponto c e escrever a função que define o resto
na forma de Lagrange, das seguintes funções:
a) y=coshx;n=4;c=0 b) y = tg x ; n=3; C = 7C
c) y = ; n = 3 ; c = 1 d) y= e x2 ; n = 4 ; c = O.
3. Usando o resultado encontrado no exercício 1, item (c), com c = O, determinar um valor
aproximado para ln 0,5. Fazer uma estimativa para o erro.
4. Determinar o polinômio de Taylor de grau 6 da função f(x) = 1 + cos x no ponto c = it. Usar
este polinômio para determinar um valor aproximado para cos (5n/6). Fazer uma estimativa
para o erro.
1 25. Demonstrar que a diferença entre sen (a + h) e sen a + h cos a é menor ou igual a —
2
h .
328 Cálculo A — Funções, Limite, Derivação, Integração
6. Um fio delgado, pela ação da gravidade, assume a forma da catenária y = a cosh —x .a
Demonstrar que para valores pequenos de Ixl,a forma que o fio toma pode ser representada,
x2aproximadamente, pela parábola y = a + —2a
7. Pesquisar máximos e mínimos das seguintes funções:
a) f(x) = 2x — 4
c) f(x) = (x — 4) 10
e) f(x) = x6 — 2x4
b) f(x) = 4 — 5x + 6x2
d) f(x) = 4 (x + 2)7
f(x) _ x5 1325 x3
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CAPÍTULO 6 EDITORA
DAVFSt
INTRODUÇÃO À INTEGRAÇÃO
Neste capítulo introduziremos a integral. Em primeiro lugar, trataremos da
integração indefinida, que consiste no processo inverso da derivação. Em seguida,
veremos a integral definida, que é a integral propriamente dita, e sua relação com o
problema de determinar a área de uma figura plana. Por fim, apresentaremos o Teorema
Fundamental do Cálculo, que é a peça Chave de todo Cálculo Diferencial e Integral,
pois estabelece a ligação entre as operações de derivação e integração.
6.1 INTEGRAL INDEFINIDA
6.1.1 Definição. Uma função F(x) é chamada uma primitiva da função f(x) em um
intervalo 1 (ou simplesmente uma primitiva de .ftx)), se para todo x e 1, temos
F ' (x) = f(x).
Observamos que, de acordo com nossa definição, as primitivas de uma função
f(x) estão sempre definidas sobre algum intervalo. Quando não explicitamos o intervalo
e nos referimos a duas primitivas da mesma função f, entendemos que essas funções
são primitivas de f no mesmo intervalo 1.
329
330 Cálculo A — Funções, Limite, Derivação, Integração
6.1.2 Exemplos
x3 \(i) F (x) = 3 é uma primitiva da função f(x) = x2, pois
F ' (x) = 1/3 3x2 = x2 = f(x).
(ii) As funções G(x) = x3/3 + 4, H(x) = 1/3 (x3 + 3) também são primitivas
da função f(x) = x2, pois G ' (x) = H' (x) = f(x).
(iii) A função F(x) = 1/2 sen 2x + c, onde c é uma constante, é primitiva da
função f(x) = cos 2x.
(iv) A função F(x) = 1/2x2 é uma primitiva da função f(x) = —1/x3 em
qualquer intervalo que não contém a origem, pois para todo x O, temos F '(x) = fiz).
Os exemplos anteriores nos mostram que uma mesma função f(x) admite mais
que uma primitiva. Temos as seguintes proposições.
6.1.3 Proposição. Seja F(x) uma primitiva da função f(x). Então, se c é uma cons-
tante qualquer, a função G(x) F(x) + c também é primitiva de f(x).
Prova. Como F(x) é primitiva de f(x), temos que F '(x) = f(x). Assim,
G ' (x) = (F(x) + = F ' (x) + O = f(x),
o que prova que G(x) é uma primitiva de f(x).
6.1.4 Proposição. Se f ' (x) se anula em todos os pontos de um intervalo I, então f é
constante em
Prova. Sejam x, y E I, x < y. Como f é derivável em I, f é contínua em [x, y] e derivável
em (x, y). Pelo Teorema do Valor Médio, existe z E (x, y), tal que
f (z) f(Y) - flx)
y — x
Introdução à integração 331
Como f '(z) = O, vem que f(y) — f(x) = O ou f( y) = f(x). Sendo x e y dois pontos
quaisquer de I, concluímos que f é constante em I.
6.1.5 Proposição. Se F(x) e G(x) são funções primitivas de f(x) no intervalo I, então
existe uma constante c tal que G(x) — F(x) = c, para todo x E I.
Prova. Seja H(x) = G(x) — F(x). Como F e G são primitivas de f(x) no intervalo I, temos
F ' (x) = G ' (x) = f(x), para todo x E I. Assim,
H ' (x) = G '(x) — F ' (x) = f(x) — f(x) = O, para todo x E
Pela proposição 6.1.4, existe uma constante c, tal que H (x) = c, para todo
x E I. Logo, para todo x E 1, temos
G(x) — F(x) = c.
Da proposição 6.1.5, concluímos que se F(x) é uma particular primitiva de f,
então toda primitiva de f é da forma
G(x) = F(x) + c,
• onde c é uma constante. Assim o problema de determinar as primitivas de f, se resume
em achar uma primitiva particular.
6.1.6 Exemplo. Sabemos que (sen x)' = cos x. Assim, F(x) = sen x é uma primitiva
da função flx) = cos x e toda primitiva de f(x) = cos x é da forma
G(x) = sen x + c,
para alguma constante c.
6.1.7 Definição. Se F(x) é uma primitiva de f(x), a expressão F(x) + c é chamada
integral indefinida da função f(x) e é denotada por
f .ffx) dx = F(x) + c .
332
Cálculo A — Funções, Limite, Derivação, Integração
De acordo com esta notação o símbolo 1. é chamado sinal de integração, f(x)
função integrando e f(x) dx integrando. O processo que permite achar a integral inde-
finida de uma função é chamado integração. O símbolo dx que aparece no integrando
serve para identificar a variável de integração.
Da definição da integral indefinida, decorre que:
(i) f (x) dx = F (x) + c <=> F ' (x) = f (x).
(ii)f f (x) dx representa uma família de funções (a família de todas as
primitivas da função integrando).
Propriedades da Integral Indefinida
6.1.8 Proposição. Sejam f, g: I —> R e K uma constante. Então:
(i) J K f (x) dx = K J f (x) dx.
(ii)f (f (x) +
g (x)) dx = Jf (x)
g (x) dx.
Prova.
(i) Seja F (x) uma primitiva de f (x). Então K F (x) é uma primitiva
de K f(x), pois (K F(x))' = K F ' (x) = K flx). Desta forma, temos
IKf(x)dx = KF(x)+c=KF(x)+Kc i
= K [F(x) + c] = K Jf (x) dx.
(ii) Sejam F(x) e G(x) funções primitivas de f(x) e g(x), respectivamente.
Então, F (x) + G (x) é uma primitiva da função (f (x) + g (x)), pois [F(x) + G(x)]'
= F '(x) + G '(x) = f(x) + g(x).
Introdução à integração 333
Portanto,
J(f (x) +g(x))dx = [F (x) + G (x)] + c
= [F(x) + G(x)1 + c + c2 , onde c = c i + c2
= [F(x) + c 1 ] + [G(x) + c2]
= f (x) dx + S g (x) dx.
O processo de integração exige muita intuição, pois conhecendo apenas a
derivada de uma dada função nós queremos descobrir a função. Podemos obter uma
tabela de integrais, chamadas imediatas, a partir das derivadas das funções elementares.
6.1.9 Exemplos
(i) Sabemos que (sen
= cos x. Então cos x dx = sen x + c.
(ii) Como (—cos = sen O, então sen 8 d6 = — cos 6 + c.
(iii) J ex dx = eX + c, pois (e)' = ex.
(iv) X2/3 dx = —3 x5/3 + c, pois (3/5 x5/3)'= X213 .5
(v) J dt = 2 ' + c, pois (2 Vi5' = 1/Nií .
334 Cálculo A - Funções, Limite, Derivação, Integração
6.1.10 Tabela de Integrais Imediatas
(1) c
(2) —du = ln ru I + c
ua +1(3) J ua du — a + 1 + c (a é constante � —1)
a" f ua du = ln a + c
(5); e" du = e" + c
(6) sen u du = — cos u + c
(7) cos u du = sen u + c
s..
(8)
(9) $
sec2
u du = tg u + c
cosec2 u du = — cotg u + c 5,..—
„.K., k'
(10) f sec c/ = sec u + c
, >c d
ct5)') x 1
(11) cosec u cotg u du = — cosec u + c
(12) du
— arc sen u + c
'■1 1 — u2
(13) du
- arc tg u + c
.1 1 +
Introdução à integração 335
(14) j du. — are sec u + c
u .\442 — 1
4's (15) S senh u du = cosh u + c
(16)J. cosh u du = senh u + c
(17) S sech2 u du = tgh u + c
(18) cosech2 u du = — cotgh u + c
(19) sech u • tgh u du = — sech u + c
At(20) f cosech u • cotgh u du = — cosech u + c
(21) du arg senh u + c = ln u + -5,/u2 + 1 + cJ "\11 + u2
(22) f du — arg cosh u + c = ln I u + 'Vu2 — 1 +c
— 1
arg tgh u + c , se lul < 1(23) du
arg cotgh u + c , se lul > 11 — u2
1
= —
2
ln 1 + u
1 — u
+ c
(24) du — —arg sech lu I+ c
u —u2
(25) du
— —arg cosech lu I + c .
u + u2
6.1.11 Exemplos. Calcular as integrais indefinidas.
(i) 5 (3x2 +5+ -Cx) dx . 'NA
Usando as propriedades da integral indefinida e a tabela de integrais;temos
336
Cálculo A — Funções, Limite, Derivação, Integração
Usando as propriedades da integral indefinida e a tabela de integrais, podemos
calcular a integral indefinida de algumas funções.
J 3x2 + 5 + dx = 3 f x2 dx + 5 f dx + f x1/2 dz
X3 x3/2
= 3 —3 + 5x + + c3/2
2
= x3 + 5x + –3 x3/2 + c .
(ii) (3 sec x • tg x + cosec2 dx.
Temos,
(3 sec x • tg x + cosec2 x) dx = 3 sec x tg x dx + cosec2 x dx
= 3 sec x – cotg x + c.
(iii)
sec2 x iii) dx .cosec x
Neste caso, temos
sec2 x dx = i• 1 sen x dx =
cosec x J cos x cos x tg x
• sec x dx = sec x + c .
(iv) ( 3 .•VX-2
+ 1/3x) dx .
Temos,
f ( -‘172 + 1/3x) dx =I.j 3 x2 dx + j 1/3x dx
f x2/3 dx
+ 1 dx
3 x
x5/3
1
5/3 + —3 ln lx 1 + c
3 x5/3
3 ln lx 1 + c5
V
( )
x4 + 3x 1/2 + 4
v dx .
?Cic
Temos,
• 1,,
J
. x4
+ 3x-
3 1— 3
1/2 + 4
dx
1r;
( x4 3x -1/2 4
dx
(x111.
+ 3x-516 + 4x 9 dx
x11/3 dx
+ 3 .1' x-5/6 dx + 4 j. x-1/3 dx
x14/3 X1/6
X2/3
14/3 + 3 1/6• + 4 2/3• + c
= X1413 + 18x1/6
6X273 + c .14•
Introdução à integração
337
■■■
338 Cálculo A — Funções, Limite, Derivação, Integração
1 \
[(vi) f 2 cosx + -,-
Nx
-- dx .
Temos,
(
1\
2 cos x+ r-
Nx
dx
•
f 2 cos x dx + _ F-dx
NX
• 2 cos x dx + S x112 dx
X1/2
= 2 sen x + + c1/2
= 2 sen x + + c.
sen x 2 sen x 2 dx2 ex - 2 + dx
•
J 2 e dx - S 2 dx +coscos x X x x7
• 21ex -I secx-tgxdx + 2 sf x 7 dx
= 2ex - sec x + 2 •+ c-6
1
= 2ex - sec x - + c.
3x6
(vii)
Temos,
f
sen x 2
2 e - + — dx
cos2 x X7
1. _ N 2. f
—X3
3. (ax4 + bx3 + 3c) dx 4.
5. (2x2 3)2 dx 6.
7. 1 dy 8..12y -
'■/2y
9. x3 dx 10. J
dx2sen x
'dt
3/2 + 3
x5 + 2x2 - 1 dx
X4
9t2 + 1-1
Nt3
dt
1
"\rx-
± x
3
dx
f 2x2 + 1 dx x2 ± 1 dxx2
sen x dx
cos1' 2
x
)1- -N/ 1 _ X2 dx
Introdução à integração 339
6.2 EXERCÍCIOS
Nos exercícios de 1 a 10, calcular a integral e, em seguida, derivar as respostas para conferir
os resultados.
Nos exercícios de 11 a 30, calcular as integrais indefinidas.
Á. 8x4 - 9x3 + 6x2 - 2x + 1
x2 J
4
4 \4/
7X X-
dx
( et
2
17. f — + "\it- + -1 dt
t
19. - e-x) dx
cos O • tg OdO
20. f(t +
dt
340 Cálculo A - Funções, Limite, Derivação, Integração
21. J
x-1/3 - 5 dx
x
f sec2 x (cosa x + 1) dx
25. x2 — 1
J x2
d
+ 1x
22. — h et + cosh t) dt
f (a,2 a2 , a � O, constante.
26. '3N1 8 (t - 2)6 (t + ) 3 dt2
27. J (et - 4 16t + ) dt 28. ln x
x ln x`-
dx
29. tg2 x cosec2 x dx 30: (x - 1)2 (x + 1)2 dx
31. dt
J - 1/2) t"
onde n E z.
32. Encontrar uma primitiva F, da função f(x) = x213 + x, que satisfaça F(1) = 1.
33. Determinar a função f(x) tal que
5 f(x) dx = x2 + 2 cos 2x + c .
34. Encontrar uma primitiva da função f(x) = — + 1 que se anule no ponto x = 2.
35. Sabendo que a função f(x) satisfaz a igualdade
f( 1x) dx = sen x - x cos x - + c , determinar f (n/4).
36. Encontrar uma função f tal que f '(x) + sen x = O e ,ff0) = 2.
Introdução à integração 341
6.3 MÉTODO DA SUBSTITUIÇÃO OU
MUDANÇA DE VARIÁVEL PARA INTEGRAÇÃO
Algumas vezes, é possível determinar a integral de uma dada função, aplican-
do uma das fórmulas básicas depois de ser feita uma mudança de variável. Este processo
é análogo à regra da cadeia para derivação e pode ser justificad-o como segue.
Sejam flx) e F(x) duas funções tais que F ' (x) = f(x). Suponhamos que g seja
outra função derivável tal que a imagem de g esteja contida no domínio de F. Podemos
considerar a função composta F o g.
Pela regra da cadeia, temos
[F(g(x))]' = F ' (g(x)) • g ' (x) = f(g(x)) • g '(x), isto é, F(g(x)) é uma primitiva
de f(g(x)) • g ' (x).
Temos, então
f (g (x)) g' (x) dx = F (g (x)) + c . (1)
Fazendo u = g(x), du =g '(x) dx e substituindo em (1), vem
f (g (x)) g ' (x) dx = f (u) du = F (u) + c.
Na prática, devemos então definir uma função u = g(x) conveniente, de tal
forma que a integral obtida seja mais simples.
6.3.1 Exemplos. Calcular as integrais:
x2
\1-(i) 1 +2x dx ,s
Fazemos u = 1 x2. Então, du = 2x dx. Temos,
du
,1 1 1 r
1 + x2 dx u
342 Cálculo A — Funções, Limite, Derivação, Integração
= 111 114 + C
= ln (1 +x2)+ c.
(ii) sen2 x cos x dx.
Se fizermos u = sen x, então du = cos x dx. Assim,
sen2 x cos x dx = Ju2du
= -
U3
+ C3
sena x
3 + c
(iii) sen (x + 7) dx.
Fazendo u = x + 7, temos du = dx. Então,
J sen (x + 7) dx = J sen u du
= - COS U + C
= - cos (x + 7) + c.
(iv) f tg x dx.
Podemos escrever tg x dx = sen x dx
cos x
Fazendo u = cos x, temos du = — sen x dx e então sen x dx = — du. Portanto,
tg x dx = r — du du — — ln lu I + cu
= — ln I cos x 1 + c.
(v) I dx(3x — 5) 8
Fazendo u = 3x — 5, temos du = 3 dx ou dx = 1/3 du. Portanto,
(3x dx_ 5)8 .1* 1/3 du 1 . 8 du =
u8
3 j ir 3 _ 71 u
- 7
+ c
—1 + c .
21 (3x — 5)7
Introdução à integração 343
(vi) (x + sec2 3x) dx.
Podemos escrever,
f (x + sec2 3x) dx = f x dx + J sec2 3x dx
x2—
2
+ f sec2 3x dx . (1 )
Para resolver J sec2 3x dx fazemos a substituição u = 3x. Temos, então
du = 3dx ou dx = 1/3 du Assim,
344 Cálculo A — Funções, Limite,
Derivação, Integração
J 1 1sec2 3x dx = sec2 u • —3 du = —3 sec2 u du
1 1= —3 tg u + c = —3 tg 3x + c .
Substituindo em (I), obtemos
X2 1(x + sec2 3x) dx = —2 —3 tg 3x + c .
du
u2 + a2
, (a � O).
Como a � O, podemos escrever a integral dada na forma
du1 f.
u2 + u2 +
a2
du
•
+ 1
a2
Fazemos a substituição v = u a. Temos então, dv = 1/a du ou du = a dv.
Portanto,
du 1 f a dv
u2 + a2 a2 J v2 + 1
1f dv
a -1 v2 1- 1
1=—a arc tg v + c
1
= arc tg —
a
+ c .
a
Introdução à integração 345
r2 dx+ 6x + 13 •
Para resolver esta integral devemos completar o quadrado do denominador.
Escrevemos,
x2 +6x+13 = x2 +2•3x+9-9+13
= (x + 3)2 + 4.
Portanto,
dx dx
x2 + 6x + 13 (x + 3)2 +
Fazendo u = x + 3, du = dx e usando o exemplo anterior, obtemos
2
/
dx
=
du
— 1 arc tg + c
.x2 + 6x + 13 u.. ± 22 2
1 arc tg x + 3 = —
2 2 +
c .
(ix) — 2
x + 1
Neste caso, fazemos a substituição u = — 2 . Então, u2 = x — 2 ou x = u2 + 2,
ou ainda, dx = 2 u du.
Substituindo na integral, vem
— 2
x + 1
dx 2 u du
u2 + 2 + 1
2 u2 du 2 u2 du
u2 + 3 u2 + 3
346
Cálculo A — Funções, Limite, Derivação, Integração
Efetuando a divisão dos polinômios, temos
— 2
x + 1
— 3 dx 2 ( 1 +
) duu2 3
2 [ du 3 1
u2 + 3
du
= 2 u — 6 J. du
u2 + 3
6 c= 2 u —
ar tg
+ c
.N13 '‘1 3
6 x —
= 2 -■ix — 2 — arc tg •Ni 2 + c .
(x) J .Nit2 - 2 t4 dt .
Escrevemos,
'Vt2 —2 t4 d = f t2 (1 — 2 t2 ) dt = J t — 2 t2 dt .
—Fazendo u = 1 — 2t2, temos du = — 4t dt e então t dt = du
Assim,
.\it2 - 2 t4 dt u1/2 — du
4
_ —4 u1/2 du
1 u3/2
— 1
4 3/2 4- c — 2 t2)3/2 + C .
Introdução à integração 347
6.4 EXERCÍCIOS
Calcular as integrais seguintes usando o método da substituição.
(2x2 + 2x — 3) 10 (2x + 1) dx (x3 — 2) 1/7 x2 dx
f 5 x dx
.\1X —
. 5x "‘/4 — 3x2 dx
1 1Ix2 + 2x4 dx f (e2t + 2) 1/3 e2t dt
et dt
u et + 4 1
e i/x + 2
x2
dx
tg x sec2 x dx 10. senil x cos x dx
11. sen x dx
COS 5 X
1 2 sen x — 5 cos x dx
cos x
15. 1 ex cos 2 et dx
15. sen (50 — 7t) de
2 sec2 0
. dea + b tg 0
cos X2 dx
3i. arc sen y
dy
—y2
18. dx( 16 + r2
19( dy
y` — 4y + 4
).‘./ S
gsen 0 cos O de
348 Cálculo A - Funções, Limite, Derivação, Integração
ln x2
\,
x
dx 22.
f 'N/3 t4 + t2 dt 24.
3 dx
26.
-I x2 - 4x + 1
+ 3
28.dxx - 1
f (sen 4x + cos 27c) dx 30.
f x e3x2 dx
dt
32.
34.t ln t
.f (e2x + 2)5 e2x dx
f cos x
36.
38.
40.
dx3 - sen x
5 x2 -V1 + x dx
f t cos t2 dt 42.
1 sen1/2 2 O cos 2 O dO 44.
21.
23.
25.
31.
33.
35.
27.
29.
37.
39.
41.
43.
(e" + e-arf dx
4 dx
4 xa + 20x + 34
est dx
e2x + 16
3 dx
x lna 3x
( 2x2 1- x dx
dt
(2 +
8x \I1 - 2x2 dx
ef 4 t dt
'‘/4 t2 + 5
l'
dv
i 'i-v- (1 + 'Nfv-)5
f x4 e- xsdx
5 8x2 16x3 + 5 dx
5 seca (5x + 3) dx
Introdução à integração 349
45. sen O dO
•/ (5 - cos 0) 3
46. $ cotg u du
47. f (1 + e-at)3/2 e-at dt , a > O 48. 1 cos x dx
49. r ,Ft - 4 dt 50. $ x2 (sen 2x3 + 4x) dx
6.5 MÉTODO DE INTEGRAÇÃO POR PARTES
Sejam f(x) e g(x) funções deriváveis no intervalo I. Temos,
[f(x) g(x)]' = f(x) - g ' (x) + g(x) • f ' (x)
ou,
f(x) • g ' (x) = [f(x) g(x)]' - g(x) • f ' (x)•
Integrando ambos os lados dessa equação, obtemos
f (x) • g ' (x) dx = f [f (x) g (x)r dx - g (x) • f ' (x) dx,
ou ainda,
f (x) • g ' (x) dx = f (x) • g (x) -1 g (x) • f ' (x) dx.
(1)
Observamos que na expressão (1) deixamos de escrever a constante de inte-
gração, já que no decorrer do desenvolvimento aparecerão outras. Todas elas podem
ser representadas por uma única constante c, que introduziremos no final do processo.
Na prática, costumamos fazer
u = f(x) du = f ' (x) dx
350 Cálculo A — Funções, Limite, Derivação, Integração
e
v = g(x) dv = g '(x) dx.
Substituindo em (1), vem
que é a fórmula de integração por partes.
6.5.1 Exemplos
(i) Calcular j x e-2x dx.
Antes de resolver esta integral, queremos salientar que a escolha de u e dv
são feitas convenientemente.
Neste exemplo, escolhemos u = x e dv = e-2x dx. Temos,
u= x du= dx
dv = e-2x dx v= j e-2x dx = 21 e-2x .
Aplicamos então a fórmula
f udv=u•vivdu
e obtemos
e- 2x
—11
2
dxdx = — 1 2
Introdução à integração 351
Calculando a última integral, vem
1
ex • e-2x dx — 2
1
x e — — —4 — + c .
Observamos que se tivéssemos escolhido u = C2x e dv = x dx, o processo nos
levaria a uma integral mais complicada.
(ii) Calcular ln x dx.
Seja
u x du = llx dx
dv = dx v = dx = x.
Integrando por partes, vem
5 ln xdx = (ln x)• x — x• 1 dx
= xlnx—f dx
x ln x — x + c.
(iii) Calcular x2 sen x dx.
Neste exemplo, vamos aplicar o método duas vezes. Seja
u = x2 du=2xdx
dv = sen x dx v = sen x dx = — cos x.
Cálculo A — Funções, Limite, Derivação, Integração
Integrando por partes, vem
x2 •sen x dx = x2 (— cos x) — J(— cos x) 2x dx
= —x2 cosx+2fxcosxdx.
A integral x cos x dx deve ser resolvida também por partes. Fazemos,
u = x du = dx
dv = cos x dx v = J cos x dx = sen x.
Temos,
x cos x dx = x sen x — J sen xdx.
Logo,
j. x2 sen x dx = cos x + 2 [x sen x — sen x dx]
—x2 cos x + 2x sen x + 2 cos x + c.
(iv) Calcular eax sen x dx.
Este exemplo ilustra um artifício para o cálculo, que envolve também duas
aplicações da fórmula de integração por partes.
Seja
u = e2x du = 2 e2x dx
dv = sen x dx
v = J sen x dx = — cosi.
Introdução à integração 353
Aplicando a integração por partes, vem
e21` sen x dx e2r (- cos x) - f (- cos x) 2e2x dx
—e2x
COS X 1- 2 e2x cos x dx.
Resolvendo .1 e2x cos x dx por partes, fazendo u = e2x e dv = cos x dx,
encontramos
S e2x sen x dx = -e2x cos x + 2 [e2x sen x - f sen x • 2 elt. dx]
= -e2x cos x + 2 e2x sen x - 4 f ea' sen x dz. (2)
Observamos que a integral do 2 membro é exatamente a integral que quere-
mos calcular. Somando 4 f e2x sen x dx a ambos os lados de (2) , obtemos
5 .1 e2x sen x dx = -e2x cos x + 2 e2x sen x.
Logo,
e2x sen x dx = 5 (2 e2x sen x - e2x cos x) + c .
(v) Calcular f sena x dx.
Neste caso, fazemos
.r,
u = sen2
x
du = 2 sen x cos x dx
dv = sen x dx v = f sen x dx = - cos x.
, C ' s
ttik -
V --
354 Cálculo A — Funções, Limite, Derivação, Integração
Então,
J sena x dx = sen2 x (- cos x) - - cos x • 2 sen x cos x dx
- sen2 x cos x + 2 cos2 x sen x dx
COS3 X = - sen2 X COS X — 2 3 + c .
6.6 EXERCÍCIOS
Resolver as seguintes integrais usando a técnica de integração por partes.
1. $ x sen 5x dx G 5 ln (1 — x) dx
3. f t e4t dt 4. f (x + 1 ) cos 2 x dx
5. f x ln 3 x dx 6. i cos3 x dx
7. f ex cos ";, dx 8. 5 \rx ln x dx
9. cosec3 x dx 10. $ x2 cos a x dx
11. $ x cosec2 x dx 12. j. arc cotg 2x dx
Introdução à integração
355
13. f e" sen bx dx
15. X3 — X2 dX
14. ln (ax + b)
dx
"■Iax + b
16. J 1n3 2 x dx
17. j. are tg a x dx
18. 5 x3 sen 4x dx
19. f (x — 1) e' dx
20. f x2 ln x dx
21. f x2 ex dx 22. i arc sen ; dx
23. (x — 1) sec2 x dx J 24. e3x cos 4x dx
25. x"- ln x dx , n E N
26. 5 in(x2 +1)dx
27. ln (x + 1 + x2 ) dx 28. x arc tg x dx
29. dx 30. x cose x dx
31. J (x+ 3)2 ex dx 32. J x + 1 dx
33. cos (ln x) dx 34.
arc cos x dx
35. seca x dx 36.
x3
evx dx.
356 Cálculo A — Funções, Limite, Derivação, Integração
6.7 ÁREA
Desde os tempos mais antigos os matemáticos se predcupam com o problema
de determinar a área de uma figura plana. O procedimento mais usado foi o método da
exaustão, que consiste
em aproximar a figura dada por meio de outras, cujas áreas são
conhecidas.
Como exemplo, podemos citar o círculo. Para definir sua área, consideramos
um polígono regular inscrito de n lados, que denotamos por Pn (Figura 6.1(a)).
Seja An a área do polígono P n . Então, An = n AT , onde AT é a área do
triângulo de base /n e altura hn (Figura 6.1(b)).
(a) (b)
Figura 6-1
I
n
2
•
h
n Como AT — e o perímetro do polígono Pn é dado por pn = nin, vem
A
n
= n • 2 2
Fazendo n crescer cada vez mais, isto é, n + co, o polígono Pn toma-se uma
aproximação do círculo. O perímetro pn aproxima-se do comprimento do círculo 2nr e
a altura hn aproxima-se do raio r.
In hn pn
hn
Introdução à integração 357
Temos,
2 icr r lim A
n
=
2 — n r2 , que é a área do círculo.
Para definir a área de uma figura plana qualquer, procedemos de forma aná-
loga. Aproximamos a figura por polígonos cujas áreas possam ser calculadas pelos
métodos da geometria elementar.
Consideremos agora o problema de definir a área de uma região plana S,
delimitada pelo gráfico de uma função contínua não negativa f, pelo eixo dos x e por
duas retas x = a e x = b (ver Figura 6.2).
Figura 6-2
Para isso, fazemos uma partição do intervalo [a, b], isto é, dividimos o inter-
valo [a, b] em n subintervalos, escolhendo os pontos
a = x < x < < x. < x. < ...< x
n
= b .o 1-1
Seja Axi = xi - xi_ 1 o comprimento do intervalo [x i_ 1 , xi].
Em cada um destes intervalos [x i_ 1 , xi], escolhemos um ponto qualquer ci .
Para cada i, i = 1,
n, construímos um retângulo de base Ax i e altura f(ci)
(ver Figura 6.3).
n --)
358 Cálculo A — Funções, Limite, Derivação, Integração
Figura 6-3
A Figura 6.4 ilustra esses retângulos nos casos n = 4 e n = 8.
Figura 6-4
A soma das áreas dos n retângulos, que representamos por Sn, é dada por:
Sn = f(c 1 ) Axi +1(c2) &2 +... +.ficn) An
= fici) Axi .
i = 1
Esta soma é chamada soma de Riemann da função f(x).
Introdução à integração 359
Podemos observar que a medida que n cresce muito e cada Azi, i = 1, n,
torna-se muito pequeno, a soma das áreas retangulares aproxima-se do que intuitiva-
mente entendemos como a área de S.
6.7.1 Definição. Seja y = f(x) uma função contínua, não negativa em [a, b]. A área
sob a curva y =flx), de a até b, é definida por
A = Hm
n
flc i) A xi ,
máx A x. —> O i = 1
onde para cada i = 1, n, c i é um ponto arbitrário do intervalo
É possível provar que o limite desta definição existe e é um
negativo.
[xi_i , xil.
número não
6.8 INTEGRAL DEFINIDA
A integral definida está associada ao limite da definição 6.7.1. Ela nasceu com
a formalização matemática dos problemas de áreas. De acordo com a terminologia
introduzida na seção anterior, temos a seguinte definição.
6.8.1 Definição. Seja f uma função definida no intervalo [a, b] e seja P uma
partição qualquer de [a, b]. A integral definida de f de a até b, denotada por
r f(x) dx ,a
é dada por
fb flx) dx = lim
a máx Ari —> O
desde que o limite do 2° membro exista.
360 Cálculo A - Funções, Limite, Derivação, Integração
Se fb f(x) dx existe, dizemos que f é integrável em [a, b].
a
Na notação sb f(x) dx , os números a e b são chamados limites de integração
a
(a = limite inferior e b = limite superior).
Se f é integrável em [a, b], então
Sb f(x) dx = f(t) dt = fb f(s) ds ,
a a a
isto é, podemos usar qualquer símbolo para representar a variável independente.
Quando a função f é contínua e não negativa em [a, b], a definição da integral
definida coincide com a definição da área (Definição 6.7.1). Portanto, neste caso, a
integral definida
f(x) dx
a
é a área da região sob o gráfico de f de a até b.
Sempre que utilizamos um intervalo [a, b], supomos a < b. Assim, em nossa
definição não levamos em conta os casos em que o limite inferior é maior que o limite
superior.
6.8.2 Definição
(a) Se a > b, então
J(x) dx = — r f(x) dx ,
se a integral à direita existir.
(b) Se a = b e f(a) existe, então
f f(x) dx = O .a
Introdução à integração 361
É muito importante saber quais funções são integráveis. Uma ampla classe de
funções usadas no Cálculo é a classe das funções contínuas. O teorema abaixo, cuja
demonstração será omitida, garante que elas são integráveis.
6.8.3 Teorema. Se f é contínua sobre [a, b], então f é integrável em [a, b].
Propriedades da Integral Definida
6.8.4 Proposição. Se f é integrável em [a, b] e k é um número real arbitrário, então
k f é integrável em [a, b] e
Sb k f(x) dx = k f f(x) dxa a
Prova. Como f é integrável em [a, b], existe o
lim
máx Ax. O
f(c i) Axi ,
= 1
e portanto, podemos escrever
Sb k f(x) dx lim k f(c Axi
a máx exi
O =. 1
n
k lim (c. Axi
máx Az . O =
= k t f(x) dx .a
11
362 Cálculo A — Funções, Limite, Derivação, Integração
6.8.5 Proposição. Se f e g são funções integráveis em [a, b], então f + g é integrável
em [a, b] e
r „(x) ,g(x)1dx f(x) dx + g(x) dx.a a a
Prova. Se f é integrável em [a, b] existe o limite
lim fiC i) ,\x , que é a fb f(x) dx .
máx Az. --> O i = 1 a
Se g é integrável em [a, b] , existe o limite
n
lim E g(c i) Axi , que é a fb g(x) dx .
máx Ax —> O = a
Escrevemos então,
fb
+ g(x)1 dx = lim Cffci) + g(c) ) Axi
a máxAxi-÷0 i=1
lim f(c i) Axi + lim
g(c i)
máx O i = 1
máx O i = 1
Ç f(x) dx + g(x) dxa a
Observamos que esta proposição pode ser estendida para um número finito de
funções, ou seja,
Introdução à integração 363
r [Ti (x) + f2(x) + + fn(x)] dx =
a
fi (x) dx + Sb f2 (x) dx ...
a
+ fb fn (x)dx
a
Vale também para o caso de termos diferença de funções, isto é,
fb [f(x) — g(x)] dx = r f(x) dx — g(x) dx .
a a a
6.8.6 Proposição. Se a <c <b e f é integrável em [a, c] e em [c, b], então f é
integrável em [a, b] e
fb flx) dx = f(x) dx + fb f(x) dx .
a a c
Prova. Consideremos uma partição no intervalo [a, b] de tal forma que o ponto c
(a < c < b) seja um ponto da partição, isto é, c = xi, para algum i.
11111111
Podemos dizer que o intervalo [a, c] ficou dividido em r subintervalos e
[c, b] em (n — r) subintervalos. Escrevemos as respectivas somas de Riemann
f(c i) Axi e
J(c)&i
= = r +
Então,
f(c i) Axi = f(c Axi + ,Aci) Axi
= = = r +
364 Cálculo A — Funções, Limite, Derivação, Integração
Usando a definição de integral definida, vem
fb flx) dx lim f(ci) Axi
a máxhai -› o
lim
máx Azi -> O
1
( r
i = 1
fici)Axi + f(ci)Axi
= r + 1
llm f(ci)Axi + lim flc)Axi
MáJC AXi O i MáX AXi -> O i=r+i
f(x) dx + fb fix) dx
a c
Esta propriedade pode ser generalizada: "Se f é integrável em um intervalo
fechado e se a, b, c são pontos quaisquer desse intervalo, então
fb flx) dx = Sc
f(x) dx + fb fix) dx ."
a a c
A Figura 6.5 ilustra a proposição 6.8.6, para o caso em que f(x) > O. A área
do trapezóide ABCD adicionada à área do trapezóide BEFC é igual à área do trapezóide
AEFD.
Figura 6-5
Introdução à integração 365
6.8.7 Proposição. Se f é integrável e se f(x) >_ O para todo x em [a, b], então
Sb f(x) dx O .
a
Prova. Como .Aci ) O para todo ci em [xi_ 1 , xi], segue que
f(ci) Axi O .
= 1
Portanto,
n
lim .Ac i)A .^ O
MáXAXi -4 O = 1
e dessa forma fb
f(x) dx O .
a
6.8.8 Proposição. Se f e g são integráveis em [a, b] e f(x) g(x) para todo x em
[a, b], então
.ftx) dx r g(x) dx .
a a
Prova. Fazemos
I = r f(x) dx — g(x) dx .
a a
366 Cálculo A — Funções, Limite, Derivação, Integração
Devemos mostrar que 1 _^ O. Usando a proposição 6.8.5, podemos escrever
1 = Sb f(x) dx — jb g(x) dx
a a
= fb Ú(x) — g(x)) dx .
a
Como f(x) g(x) para todo x e [a, b] temos que f(x) — g(x) O, para todo
x
e [a, b].
Usando a proposição 6.8.7, concluímos que I _^ O.
6.8.9 Proposição. Se f é uma função contínua em [a, b], então
fb f(x) dx
a
Sb I f(x) dx
a
Prova. Se f é contínua em [a, b], então
a) f é integrável em [a, b];
b) I f 1 é contínua em [a, b];
c) I f 1 também é integrável em [a, b].
Sabemos que
— I f(x) I f(x) I f(x) I .
Usando a proposição 6.8.8, escrevemos
fb — ifix) dx fb f(x) dx � r,fix)I dx .
a a a
Introdução à integração 367
Pela proposição 6.8.4, vem
— fb 1f(x) 1 dx 5 f(x) dx 5_ fb Igx) 1 dx .
a a a
Usando a propriedade 1.3.3(i), segue que
f(x) dx
a
sb f(x) dx
a
Na proposição a seguir, cuja demonstração será omitida, apresentamos o Teo-
rema do Valor Médio para integrais.
6.8.10 Proposição. Se f é uma função contínua em [a, b], existe um ponto c entre a
e b tal que
fb flx) dx = (b — a) f(c) .
a
Seflx) O, x e [a, b], podemos visualizar geometricamente esta proposição.
Ela nos diz que a área abaixo da curva y =f(x), entre a e b, é igual à área de um retângulo
de base b — a e altura f(c) (ver Figura 6.6).
Figura 6-6
■
. 368 Cálculo A - Funções, Limite, Derivação, Integração
6.9 TEOREMA FUNDAMENTAL DO CÁLCULO
O teorema fundamental do Cálculo nos permite relacionar as operações de
derivação e integração. Ele nos diz que, conhecendo uma primitiva de uma função
contínua f: [a, b] —> I?, podemos calcular a sua integral definida
f(t) dt . Com
a
isso, obtemos uma maneira rápida e simples de resolver inúmeros problemas práticos
que envolvem o cálculo da integral definida.
Para apresentar formalmente o teorema, inicialmente vamos definir uma
importante função auxiliar, como segue.
Tomamos a integral definida
ff(t)dt ,
a
fixamos o limite inferior a e fazemos variar o limite superior. Então, o valor da integral
dependerá desse limite superior variável, que indicaremos por x. Fazendo x variar no
intervalo [a, b], obtemos uma função G(x), dada por
G(x) = r flt) dt .
a
Intuitivamente, podemoS compreender o significado de G(x), através de uma
análise geométrica. Conforme vimos na seção 6.8, se f(t) _^
O, V t E [a, b], a integral
f(t) dt
a
representa a área abaixo do gráfico de f entre a e b (ver Figura 6.7(a)).
Da mesma forma,
G(x) = f f(t) dta
nos dá a área abaixo do gráfico de f entre a e x (ver Figura 6.7(b)). Podemos observar
que G(a) = O e G(b) nos dá a área da Figura 6.7(a).
Introdução à integração 369
Y = f(t) Y = f
(a) (b)
Figura 6-7
Vamos agora, determinar a derivada da função G(x). Temos a seguinte propo-
lição.
6.9.1 Proposição. Seja f uma função contínua num intervalo fechado [a, b]. Então
a função G: [a, b] —> n definida por
G(x) = f(t) dt ,
a
tem derivada em todos os pontos x E [a, b] que é dada por
G ' (x) = f(x), ou seja,
dx
,fft) dt = f(x) .
Prova. Vamos determinar a derivada G ' (x), usando a definição
G '(x) = lim G(x + Ar) — G(x)
Ax —> O Ax
370 Cálculo A — Funções, Limite, Derivação, Integração
Temos,
G(x) = r f(t) dt ;a
+Ax
G(x + Ax) = r ,f(t)dt ;
a
+Ax
G(x + dx) — G(x) = J
f(t) dt — J f(t) dt .
a a
Usando a proposição 6.8.6, podemos escrever
ix+Ax
f(t) dt = r f(t) dt + r+Ax f(t) dtj a a
e então,
G(x + Az) — G(x) =
+Ax
f(t) dt + r f(t) dt — f ,fit) dta
a+Ax
J flt) dtx
Como f é contínua em [x, x + Ax}, pela proposição 6.8.10, existe um ponto
x entre x e x + Ax tal que
rx+Ax
f(t) dt = (x + A x — x) f( x )
= f(x- ) Ax
■
Introdução à integração 371
Portanto,
lim
G(x + A x) — G(x) lim f( ) A x
Ar -4 0 Ax o Ax
= ) .
Az —> O
Como x está entre x e x + Ax, segue que x x quando Ax —> O. Como f é
contínua, temos
lim f(x ) = lim f( x ) = f(x).
Ax —> X -) X
Logo,
(. G x + A x) — G(x) hm — f(x) , ou seja,Ax
G '(x) = f(x).
Observamos que quando x é um dos extremos do intervalo [a, b], os limites
usados na demonstração serão limites laterais. G '(a) será uma derivada à direita e G' (b)
uma derivada à esquerda.
Uma importante conseqüência desta proposição é que toda função f(x) contí-
nua num intervalo [a, b] possui uma primitiva que é dada por
G(x) = r f(t) dt .
a
Outro resultado importante obtém-se da análise geométrica. Voltando à Figura
6.7, podemos dizer que a taxa de variação da área da Figura 6.7(b) com relação a t é
igual ao lado direito da região.
Podemos agora, estabelecer formalmente' o Teorema Fundamental do Cálculo.
372 Cálculo A — Funções, Limite, Derivação, Integração
6.9.2 Teorema. Se f é contínua sobre [a, b] e se F é uma primitiva de f neste
intervalo, então
fb f(t) dt = F(b) — F(a) .
a
Prova. Como f é contínua sobre [a, b], pela proposição 6.9.1, segue que
G(x) = r f(t) dt
a
é uma primitiva de f nesse intervalo.
Seja F(x) uma primitiva qualquer de f sobre [a, b]. Pela proposição 6.1.5,
temos que
F(x) = G(x) + C, V x E [a, b].
Como G(a) = ja f(t) dt = O e G(b) = Sb f(t) dt , calculando a diferença
a a
F(b) — F(a), obtemos
F(b) — F(a) = (G(b) + c) — (G(a) + c)
= G(b) — G(a)
= fb f(t) dt — O
a
= r f(t) dt
a
Observamos que a diferença F(b) — F(a) usualmente é denotada por
b
. Também escrevemos,
a
fb f(x) dx = F(x)
a
b
a
= F(b) — F(a) .
F(t)
Introdução à integração 373
6.9.3 Exemplos. Calcular as integrais definidas:
(i) 53 x dx .
1Sabemos que F(x) = 2 x2 é uma primitiva de f(x) = x. Portanto,
3
32 - 2
9 1 4—1
2
12
2 2
1
x dx _ 1
2 x2
2
(ii) cos t dt
o
A função F(t) = sen t é uma primitiva de f(t) = cos t. Logo,
n/2
= sen —7t — sen O = 1.2oJ cos t dt = sen to
(iii)
o
(x3 — 4x2 + 1) dx .
Usando as propriedades da integral definida e o Teorema Fundamental do
Cálculo, temos
1
(x3 — 4x2 + 1) dx = x3 dx — 4 x2 dx + dx
O o o
x3—4 3 o
= ( —
4
— O) — ( —4 — O) + (1 — O)3
= —1/12.
x4
4
1
+ x
1
374 Cálculo A — Funções, Limite, Derivação, Integração
1 x dx (iv) 10X2 ± 1
Vamos primeiro, encontrar a integral indefinida
/ x dxx2 + 1 •
Para isso, fazemos a substituição u = x2
+ 1. Temos então, du = 2x dx ou
x dx = —du . Portanto,2
du/2 1 du – 1J ln lul + c
u
•
2 u 2
1
• –2 ln (x2 + 1) + c .
Logo, pelo Teorema Fundamental do Cálculo, temos
1.1 x dx 1• ln (x2 + 1)J0 x2 + 1
2
1
1= –2 ln 2 –
1 ln 1
In 2 .2
Observamos que, para resolver esta integral, também podemos fazer a mudan-
ça de variáveis na integral definida, desde que façamos a correspondente mudança nos
limites de integração.
Ao efetuarmos a mudança de variável fazendo u = x2
+ 1, vemos que:
x = O u = 1;
x = 1 u = 2.
■
1 x dx
-I o x2 ± 1 —
2 du/2 1 2 du 1— ln I u I
2 1 u 2
2
1
Introdução à integração 375
Então,
= —1 (ln 2 — ln 1) = —1 ln 2 .
2
(v) 12 x e -X.2 +1 dx .
1
2
Calculamos primeiro a integral indefinida 1= x e x + 1
Fazendo u = —x2 + 1, temos du = —2x dx ou x dx = --du • Assim,2
= S eu — du —— 2
1 s — 1 eu du
2
eu + c
2
1 c_x2 + + c .
2
Logo,
2 —
x e-x + 1 dx — 1 x2 + 1
.1 2
2
—1 4 + 1 1 - 1 + 1
— 1 e 3 +C +
—2 2 2 2
6.10 EXERCÍCIOS
2 2 2
1. Calculando as integrais / 1 = f x2 dx , 12 = x dx e 13 = dx ,
obtemos // = 7/3, /2 = 3/2 e I3 = 1. Usando estes resultados, encontrar o valor de:
376 Cálculo A- Funções, Limite, Derivação, Integração
a) 12 c-1) dx b) 2x (x + 1) dx
2c) (x - 1) (x - 2) dx d) 52 (3x + 2)2 dx
1
2. Sem calcular a integral, verificar as seguintes desigualdades:
a) f3 3(3X2 + 4) dx $ (2x2 + 5) dx
1 1
b)
-1 dx <
-2 X -2 2
c) sen x dx O
s3rc32
- cos x dx O .
o ni2
1 5,---
3. Se f Nx2 dx = calcular r dt.
O 7
2
4. Se
r./
9 cos2 t dt = 9 71 calcular
o 4 '
- cos2 O dO.
5. Verificar se o resultado das seguintes integrais é positivo, negativo ou zero, sem calculá-las.
a) fo dx $2. nb) sen t dt0 x + 2 o
c)
2
(2x + 1) dx
3
(X2 — 2x - 3) dx1
6. Determinar as seguintes derivadas:
a) dx r "\it 4 dt I L.2
m d 2x A_
dy J 3
x2 + 9 `4-4
d
d 8 s 1 t sen t dtc)
2x + , — 1 x < O
; em [-1, 1]
5 , 0 � x<1
a) f(x) =
Introdução à integração
377
7. Em cada um dos itens abaixo, calcular a integral da função no intervalo dado e esboçar seu
gráfico.
c)
-n
-n
-n
b) f(x)= I sen x 1 ; em [— ic , ir ] c) flx) = 21x 1 ; em [ — 1, 1]
x 1
d) f(x) = x —
I
2
; em [ —1,1] e) f(x) = sen x + 1 sen x 1 ; em [— ir , 7r]
f) f(x)= sen x + I cos x 1; em [ — TC , rc].
8. Mostrar que:
a) jn sen 2x cos 5x dX = 0 b) S cos 2x cos 3x dx = O
sen 5x cos 2x dx = 0
(Sugestão: Usar as fórmulas
sen mx sen nx
sen mx cos nx
cos mx cos nx
1
— 2
_ 1
— 2
1
2
[cos (m n) x — cos (m + n) x] ,
[sen (m + n) x + sen (m — n) x] e
[cos (m + n) x + cos (m — n) x] ,
onde m e n são dois inteiros quaisquer.)
9. Se f(x) é contínua e f(x) M para todo x em [a, b], provar que
fb flx) dx M (b — a) . Ilustrar graficamente, supondo f(x) O.a
24. _ 'NI2x - 1 dx 25. dx
,(,,,+,)3
10. Se f(x) é contínua e m 5f(x) para todo x em [a, b], provar que
m (b - a) fb f(x) dx . Ilustrar graficamente, supondo m > 0.
a
11. Aplicar os resultados dos exercícios 9 e 10, para encontrar o menor e o maior valor possível
das integrais dadas a seguir:
4
a) r 5x dx b) 1 2x2 dX
3 -2
c) .14 I x - 11 dx
14 (x4 - 8,12 + 16) dx
-1
Nos exercícios de 12 a 34, calcular as integrais.
12. x(1,_ x3) dx 13. r (x2_ 4x + 7) dx
-1 - 3
14. s2 dx61 x 15. r 2t dt4
1 021c
I sen xl dx
23. JJ o v2 dv - 2 (v3 — 2)2r.,Ix2+ 922. 4 dx
dy
17.7.
o '13y + 1
f1 x2 dx
19.
- 1 ,1x3 + 9
$
5
12t - 4 I dt 21.
-2
16.
18.
20.
r/4
sen x cos x dx
n/4
1x2 - 3x + 2 dx
378 Cálculo A - Funções, Limite, Derivação, Integração
2 cos x 29. f (2x + 1)- 1/2 dxO28. J7 (1 + sen x)5 dx
Introdução à integração 379
26. x + x dxJ o
27. ri2 sen2 x dxO
30. r ecx dx
o
31.
5x3 7x2 - 5x + 2 dx
1 x2
2 1 232. 1.2 x ln x dx 33.
s-
(t — —
t
) dt
*I 1 - 3
34.
1 x3 8s -
dx .
o x + 2
35. Seja f contínua em [-a, a]. Mostrar que:
a) Se f é par então ia f(x) dx = 2 ia f(x) dx .
-a O
b) Se f é ímpar então f f(x) dx = O .
-a
36. Usar o resultado do exercício 35 para calcular:
a) fn 2 sen x dx-rz
c)
fl
(x4 + x2) dx .
- 1
b) cos x dx
• 7t-
6.11 CÁLCULO DE ÁREAS
O cálculo de área de figuras planas pode ser feito por integração. Vejamos as
situações que comumente ocorrem.
380 Cálculo A — Funções, Limite, Derivação, Integração
6.11.1 Caso I. Cálculo da área da figura plana limitada pelo gráfico de f, pelas retas
x = a, x = b e o eixo dos x, ondef é contínua e.fix) O, V XE [a, b] (ver Figura
6.8).
Figura 6-8
Neste caso, a área é dada por
fb f(x) dx .
a
6.11.2 Exemplo. Encontre a área limitada pela curva y = 4 x 2 e o eixo dos x.
A curva y = 4 — x2 intercepta o eixo dos x nos pontos de abscissa —2 e 2 (ver
Figura 6.9).
Figura 6-9
2
X3
4x — —3
/ -2
2
A = 1 (4 — x2) dx-2
N‘N
y= f(x)
Introdução à integração 381
No intervalo [-2 , 2], y = 4 — x2 ^ 0. Assim, a área procurada é a área sob o
gráfico de y = 4 — x2 de —2 até 2. Temos,
[ (8 — 8/3) — 8 — 2) 3 \ =
32
3 — 3 '
Portanto, A = 32/3 u • a (32/3 unidades de área).
6.11.3 Caso II. Cálculo da área da figura plana limitada pelo gráfico de f, pelas retas
x = a, x = b e o eixo dos x, ondef é contínua eflx) 0, V x E [a, b] (ver Figura
6.10).
É fácil constatar que neste caso basta tomar o módulo da integral
r f(x) dx , ou seja,a
jb f(x) dx
a
A =
Figura 6-10
382 Cálculo A — Funções, Limite, Derivação, Integração
6.11.4 Exemplos.
(i) Encontre a área limitada pela curva y = — 4 + x 2 e o eixo dos x.
A curva y = x2 — 4 intercepta o eixo dos x nos pontos de abscissa —2 e 2 (ver
Figura 6.11).
Figura 6-11
No intervalo [-2, 2], y = x 2 — 4 O. Assim,
f2 (x2 — 4) dx
- 2
323 u.a.
(ii) Encontre a área da região S, limitada pela curva y = sen x e pelo eixo
dos x de O até 27c.
Precisamos dividir a região S em duas subregiões S 1 e S2 (ver Figura 6.12).
A =
— 32
3
Introdução à integração 383
Figura 6-12
No intervalo [O, n], y = sen x ^ O e no intervalo [n, 2n], y = sen x O. Portanto,
se A l é a área de S 1 e A2 é a área de S2, temos
A = A i +A2
= sen x dx +
o
= — cos X
1.27t sen x dx
7C
— cos x
o 7t
—cos n + cos O + I —cos 2n + cos TC I
— (— 1) + 1 + j — 1 1- (— 1)
= 4 u.a.
6.11.5 Caso III. Cálculo da área da figura plana limitada pelos gráficos de f e g,
pelas retas x = a ex= b, onde f e g são funções contínuas em [a, b]
e f(x) ^ g(x), V x e [a, b].
Neste caso pode ocorrer uma situação particular onde f e g assumem valores
não negativos para todo x E [a, b] (ver Figura 6.13).
384 Cálculo A — Funções, Limite, Derivação, Integração
Figura 6-13
Então a área é calculada pela diferença entre a área sob o gráfico de f e a área
sob o gráfico de g, ou ainda,
A r
•
f(x) dx — g(x) dx
a a
• fb (f(x) — g(x)) dx .
a
Para o caso geral, obtemos o mesmo resultado. Basta imaginar o eixo dos x
deslocado de tal maneira que as funções se tornem não-negativas, V x e [a, b].
Observando a Figura 6.14, concluímos que
A' A
•
fb (/ (x) — g 1 (x)) dx
a
• fb (f(x) — g(x)) dx .
a
f
Introdução à integração 385
Figura 6-14
6.11.6 Exemplos
(i) Encontre a área limitada por y = x 2 e y = x + 2.
As curvas y = x2 ey=x+ 2 interceptam-se nos pontos de abscissa -1 e 2 (ver
Figura 6.15).
No intervalo [-1, 2], temos x + 2 x2. Então,
x2
x3A = $2 (x ± 2- x2) dx = [-2- + 2x' - -3-
= —22
2
32 \ ( (-- 1)2
( 1) 3
3 2 + 2 • (- 1) - 3)
9= 2 u.a.
2
386 Cálculo A - Funções, Limite, Derivação, Integração
Figura 6-15
(ii) Encontre a área limitada pelas curvas y = x 3 e y x.
As curvas y = x3 e y = x interceptam-se nos pontos de abscissa -1, O e 1 (ver
Figura 6.16).
t
Figura 6-16
No intervalo [-1, 0], x < x3 e no intervalo [0, 1], x > x3 . Logo,
A = J.° (x3 - x) dx + (x - x3) dx
-1 O
o x2 x4
( —2 —4
-1
1
1= 2 u.a.
Introdução à integração 387
Observamos que poderíamos ter calculado a área da seguinte forma:
A = 2 (x - x3) dx = -1 u.a. ,
O 2
pois a área à esquerda do eixo dos y é igual a que se encontra à sua direita.
(iii) Encontre a área da região limitada pelas curvas y = x 2 - 1 e y = x + 1.
As curvas y = x2 -1 e y = x + 1 interceptam-se nos pontos de abscissa -1 e
2 (ver Figura 6.17).
Figura 6-17
No intervalo [-1, 2], x + 1 _^ x2 - 1. Logo,
2
A = [(x + 1) - (x2 - 1)] dx
- 1f2
— X2 ± 2) dx
- 1
( x2
2
2
+ 2x
= 9/2 u.a.
388 Cálculo A — Funções, Limite, Derivação, Integração
(iv) Encontre a área da região S limitada pelas curvas y - x = 6, y - x3 = O e
2y + x = O.
Devemos dividir a região em duas subregiões S 1 e S2 (ver Figura 6.18).
Figura 6-18
No intervalo [- 4, O], a região está compreendida entre os gráficos de
xy=
2
e y= 6+ x (região S i ).
No intervalo [O, 2], está entre os gráficos de y = x 3 e y = x + 6 (região S2).
Se A l é a área de S 1 e A2 é a área de S2, então a área A procurada é dada por
A = A l + A2'
Cálculo de A • No intervalo [- 4 , O] , 6 + x - -x . Assim,1- 2
A = [(6 + x) - (-x/2)] dx
- 4
Jt) ( 6 + dx
-4 2
o
+ 3x24 —4
Introdução à integração 389
= 12 u.a.
Cálculo de A2: No intervalo [O, 2], 6 + x ?_ x3 . Então,
A = j.2 [(6 + x) — x3] dx
2 O
x2 x4
)
6x +
4
= 10 u.a.
Portanto, A = A l + A2 = 12 + 10 = 22 u.a.
6.12 EXERCÍCIOS
Nos exercícios de 1 a 29 encontrar a área da região limitaria pelas curvas dadas.
1. x=1/2, x= .'■47 e y= x+2 y2 = 2x e x2 = 2y
3. y=5—x2 e y=x+3 4. y = x2 e y = 6
5. y=1—x2 e y=-3 6. x+y=3 e y+x2 =3
7. x=y2 , y—x=2 , y2 e y=3 8. y=x3 — x e y=0
9. y=e' , x=0 , x=1 e y=0 10. x = y3 e x = y
2
o
390 Cálculo A - Funções, Limite, Derivação, Integração
11. y=lnx , y=0 e x = 4 12. y=lnx , x=1 e y = 4
13. y = sen x e y = - sen x , x E [O, 2n]
14. y = cos x e y = -cos x, x e - - 17G 3n2 2[ -
15. y = coshx , y=senhx , x=-1 e x=1
16. y = tgx , x=0 e y=1
17. y=e-x , y=x+1 e x = -1 18. y=sen2x , y=x+2 , x=0 e x=7"c/2
19. y=-1-x2 , y=-2x-4
- 3 3 7t20. y = cos x , y - 5n x+ 10 x E 2 3
4n
21. y - 1
x - 11 ,y=
1
-x
,y= 2x+lex=-3
122. x = y2 e y = - -
2
x
24. x=y2 +1 e x+y=7
23. y=4 -x2 e y = x2 - 14
25. y= x , y=rx e y=4
26. y = arc sen x , y = na e x = O 27. y = 2cosh X2 , x=-2,x=-2ey=0
28. y=lx- 2 I e y = 2 - (x- 2)2
29. y = - 1 , y= -x e x = 1.
30. Encontrar a área das regiões S 1 e S2, vistas na figura a seguir
Introdução à integração 391
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CAPÍTULO 7
MÉTODOS DE INTEGRAÇÃO
Neste capítulo, apresentaremos, inicialmente, alguns métodos utilizados para
resolver integrais envolvendo funções trigonométricas.
A seguir veremos a integração por substituição trigonométrica e a integração
de funções racionais por frações parciais.
Finalmente, abordaremos as integrais racionais de seno e cosseno usando a
substituição universal e as integrais envolvendo raízes quadradas de trinômios do
segundo grau.
7.1 INTEGRAÇÃO DE FUNÇÕES TRIGONOMÉTRICAS
7.1.1 As integrais f sen u du e f cos u du .
As integrais indefinidas da função seno e da função cosseno estão indicadas
na tabela da Seção 6.1.9. Temos,
f sen u du =— cos u+ C e
f cos u du -= sen u + C .
392
Métodos de integração 393
7.1.2 Exemplos. Calcular as integrais:
(i) J (x + 1) sen (x + 1)2 dx .
Usando o método da substituição (Seção 6.3), fazemos u = (x + 1)2. Então,
du = 2 (x + 1) dx. Temos,
(x + 1) sen (x + 1)2 dx = 21 sen u du
= — —1 cos u + C
2
= — —2 cos (x + 1)
2 + C .
(ii) o cos (e2x) dx .
Vamos primeiro, encontrar a integral indefinida
I = e2x cos (e2x) dx
Para isso, fazemos a substituição u = e2x . Temos então, du = 2e2x dx. Portanto,
= —1 cos u du2
= —1 sen u + C
= —1 sen (e2x) + C .
2
394 Cálculo A - Funções, Limite, Derivação, Integração
Logo, pelo Teorema Fundamental do Cálculo, temos
f
o 2
cos (e2') dx = sen (e2')
= 2 (sen e2 - sen 1) .
7.1.3 As integrais .1. tg u du e f cotg u du .
As integrais indefinidas da função tangente e da função cotangente são resol-
vidas usando o método da substituição, como foi visto no exemplo 6.3.1(iv). Temos,
$ tg u du =
sen
uduJ cos u
= - ln I cos u I + C
= in I (cos u)-1 I + C
= ln I sec u I + C ;
e
cotg u du = duf sen u
cos u
= ln I sen u I + C .
7.1.4 Exemplos. Calcular as integrais
(i)
tg .■[:í dx
f.X.- •
Métodos de integração 395
Fazemos u = c . Então, du —
2 •Nlx
1
, dx . Temos,
f tg dx = 21n I sec I + C ..N/lx
(ii) S cotg (ln x) dx .
Fazemos u =1n x. Então, du = llx dx. Temos,
r cotg (In x) dx = in I sen (ln x)1 + C .
x
7.1.5 As integrais sec u du e cosec u du .
Nestas integrais usamos um artifício de cálculo para podermos aplicar o
método da substituição.
Na integral da secante, multiplicamos e dividimos o integrando por sec u + tg u.
Temos,
f sec u du = sec u (sec u + tg u) du.sec u + tg u
Fazemos v = sec u + tg u. Então, dv = (sec u • tg u + sec2 u) du. Portanto,
5 sec udu dvv
= ln lv + C
= In I sec u + tg u I + C .
396 Cálculo A — Funções, Limite, Derivação, Integração
Na integral da cossecante, multiplicamos e dividimos o integrando por
cosec u - cotg u. Temos,
cosec u du - cosec u (cosec u - cotg u) du .
J cosec u - cotg u
Fazemos v = cosec u - cotg u. Então,
dv = cosec u cotg u - (- cosec2 u)] du
(cosec2 u - cosec u • cotg u) du.
Portanto,
cosec u' du = dv
v
= lnlvl+C
= ln I cosec u - cotg u I + C.
7.1.6 Exemplos. Calcular as integrais
(i) sec (5x - n) dx .J \\ j,,`,,(\)(
(' yn
Fazemos u = 5x - 7L. Então, du = 5dx. Portanto,
sec (5x - ic) dx = -1 sec u du
5
1
= -
5
ln sec (5x - n) + tg (5x - n) + C .
1= —
2
ln 27t 27ccosec —3 — cotg —3
IC
Ir
cosec —
3
— cotg —
3
- 2
Métodos de integração 397
(ii)
3 d 1:6 sen 2 0
Vamos primeiro, encontrar a integral indefinida
í d
sen 2 0
Para isso, fazemos u = 28. Então, du = 2d0. Portanto,
1 d sen 20 cosec 20 de
1 cosec u du2
= —1 ln 1 cosec 20 — cotg 201 + CC .2
Logo, pelo Teorema Fundamental do Cálculo, temos
r/3
1
4/6se
d
n
9
2
—
2 ln cosec 2 8— cotg 2 8
n/3
n/6
= —1 ln 3.
2
398 Cálculo A — Funções, Limite, Derivação, Integração
7.2 INTEGRAÇÃO DE ALGUMAS FUNÇÕES
ENVOLVENDO FUNÇÕES TRIGONOMÉTRICAS
7.2.1 As integrais sena u du e S cosa u du , onde n é um número
inteiro positivo.
Nestas integrais, podemos usar artifícios de cálculo com auxílio das identida-
des trigonométricas
sen2 x + cos2 x =1
1 — cos 2xsen2 x —
2
1 + cos 2xcos2 X — 3
visando a aplicação do método da substituição. Os exemplos que seguem ilustram os
dois possíveis casos: n é um número ímpar ou n é um número par.
Estas integrais também podem ser resolvidas com auxilio das fórmulas de
redução ou recorrência, conforme veremos na Seção 7.2.11.
7.2.2 Exemplos. Calcular as integrais
(i) cos5 x dx .
Vamos inicialmente preparar o integrando para a aplicação do método da
substituição. Observamos que o artifício que usaremos é válido sempre que n for um
número ímpar.
Fatorando convenientemente o integrando e aplicando a identidade (1), temos
cos5 x = (cos2 x)2 • cos x
= (1— sen2 x)2 cos x
2
Métodos de integração
399
= (1 — 2 sen2 x + sen4 x) cos x
= cos x — 2 sen2 x cos x + sen4 x cos x.
Portanto,
cos5 x dx (cos x — 2 sen2 x cos x + sen4 x cos x) dx
cos x dx — 2 J sen2 x cos x dx + J senil x cos x dx
2 1= sen x — —3sena x + —5 sen" x + C .
(ii) f sen3 29 d0 .
Usando o mesmo raciocínio do exemplo anterior, temos
sen3 20 = sen2 29 sen 20
(1— cose 20) • sen 20
sen 20 — cos2 20 sen 20.
Portanto,
f sen3 29 d0 = (sen 20 — cos2 20 sen 20) d0
J= sen 20 d0 — cos 2 29 sen 20 de
1 1= — —2 cos 29 + —6 cosa 29 + C .
400 Cálculo A — Funções, Limite, Derivação, Integração
(iii) f seno x dx .
Neste exemplo n é um número par. Na preparação do integrando, usamos agora
as identidades (2) e (3). Temos,
sen4 X = (sen2 )2
1 — cos 2x ,2
2
= —1 (1 — 2 cos 2x + cose 2x)4
-"" 4 1 — 2 cos 2x +
1 + cos 4x
2
1
= —3 — 2 cos 2x +
1 cos 4x .8
8
Portanto,
J seno x dx = 1 cos 2x + —1 cos 4x) dx
3 1 1= —8 x — —4 sen 2x + sen 4x + C .
Observamos que o raciocínio usado neste exemplo é válido para as potências
pares.
7.2.3 A integral senm u cosa u du, onde m e n são inteiros posi-
tivos.
Nestas integrais, a preparação do integrando deve ser feita visando à aplicação
do método da substituição, da mesma forma que foi feito em 7.2.1 e 7.2.2.
Métodos de integração 401
Quando pelo menos um dos expoentes é ímpar usamos a identidade (1) e
quando os dois expoentes são pares usamos (2) e (3) e, eventualmente, também (1).
7.2.4 Exemplos. Calcular as integrais
(i)f sen5 x • cos2 x dx
Preparando o integrando, temos
sen5 x cos2 x = (sen2 x)2 • sen x • cos2 x
= (1— cos2 x)2 • sen x cos x
= (1 — 2 cos2 x + cos4 x) sen x cos2 x
= cos2 x sen x — 2 cos4 x sen x + cos6 x sen x.
Portanto,
sen5
x cos2 x dx = (cos2 x sen x — 2 cos4 x sen x + cos6 x sen x) dx
cos2 x sen x dx — 2 cos4 x sen x dx
+ cos6 x sen x dx
—
3 1
1
cos" x + —2 cos5 x — cos' x + C .
5
(ii) sen2 x cos4 x dx .
Preparando o integrando, temos
402 Cálculo A — Funções, Limite, Derivação, Integração
sen2
x cos4 x = sen2
x • (cos2 x)2
1 - cos 2x 1 + cos 2x 2
22
= 1 (1 + cos 2x - cos2 2x - cosa 2x)
-1 [ 1 + cos 2x -
8 2
1 + s 4x - (1 - sen2 2x) cos 2xco
= —
1
1
6
- —
1
1
6
cos 4x + 1 sen2 2x cos 2x .
Portanto,
1 1f sen2 x cos4 x dx = f —16 - —16 cos 4x + -8 sen2 2x cos 2x dx
1 1
16
1
-
8
x sen 4x +
4
sena 2x + C .
64
(iii) sen4 x cos4 a,x x .
Quando m e n são iguais, também podemos usar a identidade
sen x cos x = -1 sen 2x.
2 (4)
Temos,
4
sen4 x COS4 x = -2 sen 2x
1
= 16 (sen2 242
Métodos de integração 403
1 r 1 — cos 4x \2
--- 16 2
(1 — 2 cos 4x + cos e 4x)64
1 ( 1 — 2 cos 4x + 1 +cos 8x - 64 2
3
1 1 — cos 4x +128 32 128 cos 8x .
Portanto,
seno x coso x dx = 3 1128 32
1 — 8cos 4x + 128 cos 8x dx
- 128
128
1
8 1024sen 4x + sen 8x + C .
7.2.5 As integrais tgn u du e cote u du, onde n é inteiro posi-
tivo.
Na preparação do integrando, usamos as identidades
tg2 u = sec2 u — 1 e (5)
cotg2 u = cosec2 u — 1. (6)
Os artifícios são semelhantes aos usados nas seções anteriores. Temos,
tez u = tgn u tg2
u
= tgn- 2 u (sec2 u — 1)
404 Cálculo A — Funções, Limite, Derivação, Integração
e
cotg" u = cotg" -2 cotg2
u
cotg" u (cosec2
u — 1).
7.2.6 Exemplos. Calcular as integrais
(i) f tg3 30 d0 .
Preparando o integrando, temos
tg3 30 = tg 30 • tg2 30
tg 30 (sec2 30 —1)
- tg 30 sec2 30 — tg 30.
Portanto,
tg3 30 de
•
(tg 30 sec2 30 — tg 30) d0
• —1 tg2 30 + —3 ln I cos 30 I + CC .6
1
(ii) cotg4
2x dx .
Preparando o integrando, temos
cotg4
2x
•
cotg2 2x • cotg2
2x
• cotg2
2x (cosec2
2x -1)
Métodos de integração
405
= cotg2 2x • cosec2 2x — cotg2 2x
cotg2 2x cosec2 2x — (cosec2 2x — 1)
cotg2 2x • cosec2 2x — cosec2 2x + 1.
Portanto,
cote 2x dx =
(cotg2 2x cosec2 2x — cosec2 2x + 1) dx
1 1= — —
6
cotg -2 2x + —
2
cotg 2x + x + C .
7.2.7 As integrais seca
u du e coses" u du, onde n é inteiro posi-
tivo.
Estas integrais, para o caso de n ser um número par, são resolvidas utilizando
as identidades (5) e (6). Temos,
n - 2
secn x = (sec2 x) 2 • sec2 x
n - 2
= (tg2 X + 1) 2 • sec2 x
e
n - 2
COSeCn x = (cosec2 x) 2
cosec2 x
n - 2
= (cotg2 x + 1) 2
cosec2 x .
Quando n for ímpar, devemos aplicar o método da integração por partes visto
na Seção 6.5.
-r/
406 Cálculo A — Funções, Limite, Derivação, Integração
7.2.8 Exemplos. Calcular as integrais
(i) cosec6 x dx .
Preparando o integrando, temos
cosec6 x (cosec2 x)2 cosec2 x
• (cotg2 x + 1)2 • cosec2 x
• (cotg4 x + 2 cotg2 x + 1) cosec2 x
• cotg4 x cosec2 x + 2 cotg2 x cosec2 x + cosec2 x.
Portanto,
cosec6 _rx dx = (cotg4 x cosec2 x + 2 cotg2 x cosec2 x + cosec2 x) dx
= - -
5
cotg5 -2- cotg3 - cotg x + C .
3
(ii) seca x dx .
Nesta integral, vamos usar o método de integração por partes. Seja
u = sec x du = sec x • tg x dx
dv = sec2 x dx v = sec2 dx = tg x .
Então,
seca x dx = sec x • tg x - tg x • sec x • tg x dx
Métodos de integração 407
= sec x • tg x tg2 x sec x dx
= sec x • tg x (sec2 x 1) sec x dx
sec x tg x sec3 x dx + sec x dx
Adicionando seca x dx a cada membro, obtemos
2 sec3 x dx = sec x tg x + sec x dx
= secxtgx+lnIsecx+tgx1
OU
f sec3 dx 2x = —1 sec x tg x + —1 ln 1 sec x + tg x I -F C .
7.2.9 As integrais f tgm u seca u du e cotgm u cosecn u du, onde m e
n são inteiros positivos.
Quando m for ímpar ou n for par, podemos preparar o integrando para aplicar
o método da substituição.
Quando m for par e n for ímpar a integral deve ser resolvida por integração
por partes. Os exemplos que seguem ilustram os diversos casos.
7.2.10 Exemplos. Calcular as integrais
(i)
te x secó xdx.
Neste exemplo n é par. Podemos, então, preparar o integrando para aplicar o
método da substituição. Temos,
408
Cálculo A — Funções, Limite, Derivação, Integração
te x sec6 x = te x(sec2 x)2 sec2
te x(tg2
x + 1)2 sec2 x
te x (tg4 x + 2 tg2 x + 1) sec2 x
tg 11 x sec2seu X + 2 tg9 x sec2 x + te x sec2 X.
Portanto,
tg7 x sec6 x dx = (tg 11 x sec2 x + 2tg9 x sec2 x + tg7 x sec2 x) dx
1 12 1 10 1 tg8 x + C .12 tg x + -5 tg x + -8
(ii) f te x sec5 x dx .
Neste exemplo m é ímpar. Podemos, então, preparar o integrando como segue
te x sec5 x = (tg2 x)3 tg x sec4 x sec x
= (sec2 x - 1)3 seê x sec x tg x
= (sec l° x - 3 sec8 x + 3 sec6 x - sec4 x) sec x tg x.
Portanto,
te x sec5 x dx = c l° x - 3 sec8 x + 3 sec6 x - sec4 x) sec x tg x dx
secll 1 9 3 7 11 x - - sec x + - sec x - - sec5 x + C .
11 3 7 5
Observamos que, no exemplo (i), poderíamos preparar o integrando de forma
idêntica à preparação do exemplo (ii), pois m = 7, isto é, m é ímpar. Os resultados
seriam equivalentes.
Métodos de integração 409
(iii) tg2 x sec3 x dx .
Reescrevendo o integrando, temos
tg2 x seca x dx = f (seca x — 1) sec3 x dx
(sec5 x — sec3 x) dx
1 sec5 j. secasec CLÃ. x dx .
Recaímos em duas integrais que devem ser resolvidas por partes, como foi
feito no exemplo 7.2.8(ü). Temos,
f tg2 x sec3 x dx = f sec5 x dx — f sec3 x dx
1 1= —
4
seca x tg x — —
8
sec x tg x
1
— —
8
ln I sec x + tg x I + C .
Observamos que as integrais sec 5 x dx e ; sec3 x dx também podem ser
calculadas usando a fórmula de recorrência que será dada na seção seguinte.
7.2.11 Fórmulas de Redução ou Recorrência.
O método de integração por partes pode ser usado para obtermos fórmulas de
redução ou recorrência. A idéia é reduzir uma integral em outra mais simples do mesmo
tipo. A aplicação repetida dessas fórmulas nos levará ao cálculo da integral dada.
As mais usadas são:
1 sena u du = —1 n — 1sena - 1 u cos u + senn-2 u du ; (7)
410 Cálculo A - Funções, Limite, Derivação, Integração
j" cosa u du = -
1
cosa - 1 u sen u + n - 1 cos" u du ; (8)
n n
secn u du - 1 secn - 2 u tg u + n 2 secn - 2 u du ; (9)
n - 1 n - 1
-1 n - 2 cosecn u du - n - 1 coses" -2 u cotg u + n -1J COSeCn- 2 u du . (10)
Prova de (7). Seja
u = senn-1 u du* = (n - 1) senn-2 u cos u du
dv = sen u du v sen u du = - cos u .
Integrando por partes, vem
sena u du = senn -1
u (- cos u) - - cos u) • (n - 1) • senn -2 u • cos u du
= - senn -1 u cos u + (n - 1) S senn -2 u cose u du
= - senn -1 u cos u + (n - 1) 5 senn -2 u (1 - sen2 u) du
- senn -1 u cos u + (n - 1) 5 (senn -2 u - senn u) du
= - senn -1 u cos u - -1) senn u du
+ n - 1) senn 2 u du .
OU,
n - 1 senas u du = --1 senn -1 u cos u +n n senn-2 u du ,
Métodos de integração 411
Somando (n - 1) .1" senas u du em ambos os membros, obtemos
J senn udu=- senas 1 u cos u + (n - 1) senn -2 u du
o que prova (7).
7.2.12 Exemplo. Aplicar uma fórmula de recorrência para calcular a integral
f sen5 2x dx .
Fazendo u = 2x, temos du = 2 dx. Então,
sen5 2x dx =
sen5 u du2
2[ 5 sen4 u cos u + -5.
1* n3 u du]4-1
10
2 -1 n
=
1 seno 1.£ cos ± —
5
—3 sen 2 cos u + 3 J sen u du
— 1
10 15
A 4sseno u cos u - —2 sen2 u cos u - —15 cos u + C
= 1 1 seno 2x cos 2x - —
2 sen2 2x cos 2x - —4 cos 2x + C .15 15
412 Cálculo A — Funções, Limite, Derivação, Integração
7.2.13 Integração de funções envolvendo seno e cosseno de arcos dife-
rentes.
As identidades trigonométricas
sen a cos b = -1 [sen (a + b) + sen (a - b)]2
1
sen a sen b = -2 [cos (a - b) - cos (a + b)]
cos a cos b = 1 [cos (a + b) + cos (a - b)]2
auxiliam na resolução de integrais envolvendo seno e cosseno de arcos diferentes. Os
exemplos seguintes ilustram alguns casos.
7.2.14 Exemplos. Calcular as integrais
(i) J sen 4x cos 2x dx .
Usando (11), vamos preparar o integrando. Temos,
sen 4x cos 2x = -1 [sen 6x + sen 2x] .
2
Logo,
f sen 4x cos 2x dx 1 [sen 6x + sen 2x] dx
1
[ sen 6x dx + j sen2xdx ]
Métodos de integração 413
1 [ 1 1cos 6x) + (— cos 2x) + C2 6
• — 4 [ 3 cos 6x + cos 2x + C .
(ii) sen 5x sen 2x dx.
Usando (12), temos
S sen 5x sen 2x dx = S [cos 3x — cos 7x] dx
1
•
2 [1 cos 3x dx — f cos 7x dx]
•
—21 [ 1 1—3 sen 3x — —7 sen 7x + C.
(iii) cos 5x cos 3x dx.
Usando (13), temos
cos 5x cos 3x dx
•
122 [cos 8x + cos 2x] dx
1 [f cos 8x dx + cos 2x dx]
2
1 [ 1
8
sen 8x + 12 sen 2x
+ C
[
•
4 4 sen 8x + sen 2x + C
-
a
(b)
a
(c)
414 Cálculo A — Funções, Limite, Derivação, Integração
7.3 INTEGRAÇÃO POR SUBSTITUIÇÃO
TRIGONOMÉTRICA
Muitas vezes, substituições trigonométricas convenientes nos levam à solução
de uma integral. Se o integrando contém funções envolvendo as expressões
N/a2 — u2 , -\/a2 + u2 ou -siu2 — a2 , onde a > O ,
é possível fazermos uma substituição trigonométrica adequada.
As Figuras 7.1 (a), (b) e (c) nos sugerem tal substituição.
Figura 7-1
(i) A função integrando envolve •a2 — u2 .
Neste caso, usamos u = a sen O. Então, du = a cose dO. Supondo que
2
O —
2'
temos
.\/(22 u2 = .Va2 — a2 sen2
= Ja2 (1 — sen2 O)
= -ga2 cose O
a cos
Métodos de integração 415
(ii) A função integrando envolve -\/:42 + a2 .
Neste caso, usamos u = a tg O. Então, du = a sec2 O dO. Supondo que
—
2
71
< 8 < —1c ' temos2
-Nla2 + u2 = -\/£22 a2 tg2
= (1 + tg2 O)
= -‘1a2 sec2 O
= a sec O.
(iii) A função integrando envolve .Niu2 — a2
Neste caso, usamos u = a sec O. Então, du = a sec 8 tg O dO. Supondo O tal
que O 5 < —/t ou 71 < 3n temos2
.\/u2 a2 = 1Ia2 sec 2 O — a2
-Nla2 (sec2 O — 1)
= -sia2 tg2
= a tg O.
7.3.1 Exemplos. Calcular as integrais
(i)
.1 9
-51 — x2
dx .
2 x2
Neste exemplo, usamos x = 3 sen O. Então, dx = 3 cos O dO. Assim,
•NI9 — x2 = 3 cos O , para << 8<<-2.2 O 2.
416 Cálculo A — Funções, Limite, Derivação, Integração
Logo,
í
—x2 dx = 1 3 cos e • 3 cos O d-I
2x2 2 J 9 sen2 O
1 cotg2 e d O2
1
2 (cosec2 O — 1) d e
1= —
2 (— cotg e — e) + C .
Devemos agora, escrever este resultado em termos da variável original x.
Sabemos que, se x = 3 sen e, — -7t , então e = arc sen —x2 2 3
Observando a Figura 7.1(a), vemos que
— x2 cotg e —
Portanto,
•NI9 — x2 dx
1 ( — x2
— arc sen —x + C .
2x2 2 3
(ii) x2 dx. 7""
3 x2 + 4
Neste exemplo, usamos x = 2tg O. Então, dx = 2 sec2 e de. Assim,
'Nix2 + 4 = 2 sec 8 , para-7—c < O <
2 2
x2 dx —
3 xx2 + 4
2 -5,1x2 +4 x 2
— ln3 2 2 3
\ix2+4
x
2 + 2 + C
Métodos de integração 417
Logo,
x23 v.3 x2 + 4
dx 1 s 4 tg2 O • 2 sec2 dO- 3 2 sec
• -L31- tg2 O sec O dO
• S (sec2 0 — 1) sec dO
• J (seca O — sec O) de .
Usando a fórmula de recorrência 7.2.11(9), vem
J x23 N.3 x2 + 4 dx
•
3 [ sec O tg O + J secOdO— J sec O dO
= 3 sec O tg O — 3 ln I sec O + tg I + C .
Vamos agora, escrever esta resultado em termos da variável original x. Obser-
vando a Figura 7.1(b), escrevemos
'‘ix2 +sec =
2
4
e tg = 2 •
Portanto,
1 _1
= —6 x NX2 + 4 — 2 ln
-Nix2 + 4 + x
2
+ C
418 Cálculo A -- Funções, Limite, Derivação, Integração
Este resultado poderia ainda ser escrito como
.\/ x23 ,x2 + 4
dx=-1-x1Lx2 + 4 -3
+ 4 + x)+D,
6 3
onde D = C + -2 In 2 .
3
f dx x3.VX2 - 16
Neste exemplo, usamos x = 4 sec O. Então, dx = 4 sec O tg e dO. Assim,
1/X2 - 16 = 4 tg O , para O < O < 1-c ou 7t < < 3 7t
2 - 2
Logo,
x311x2 - 16 J 64
4 sec O tg O dO
seca O 4 • tg O
1 r
- 64 -1 sec2 O
1
64 1 cose e de
1
64
1 + cos 20 dO
2
1
-I
(1 + cos 20) dO- 128
-
1288 2 (0 + -
1 sen 20) + C .
Métodos de integração 419
Vamos agora, escrever este resultado em termos da variável original x. Obser-
vando a Figura 7.1(c), escrevemos
'‘ix2 — 16 4
sen O — , cos O = —
x
Da identidade trigonométrica
sen 20 = sen O cos O
2
vem que
—1 sen 20 —
16 4
Para substituirmos o valor de O , devemos tomar algum cuidado. Inicialmente,
observamos que a função integrando está definida para valores de x 4 e x < —4.
Para x > 4, temos que sec O = > 1 e portanto , 0 = arc sec ,
7Co < —2 •
Para x < — 4, temos que sec O = < —1 e sua inversa4
arc sec
4
toma
valores entre —7t e n (ver Seção 2.15.4).
2
n
Como ao fazermos a substituição x = 4 sec O, assumimos que n O < 32
e como sec (2n — a) = sec a, para x < — 4, podemos escrever O = 2 n — arc sec —x4
7t 5 0 < 2
dx
x3 'N x2 — 16
1 X L1 I X2 - 16
27z — arc sec +128 4 x2
420 Cálculo A - Funções, Limite, Derivação, Integração
Portanto, para x > 4, temos
f'
x
N
dx 1
1/x2 — 16
f x3 •\/x2 — 16 128 4 x2
arc sec + 4 + C
)
e para x < — 4,
■1 x 4 'si x2 — 16 — arc sec +
128 4 x2
onde C = —7t + C
64
7.4 EXERCÍCIOS
Nos exercícios de 1 a 35, calcular a integral indefinida.
i' Sem1. dx 2. .1. cos x • cos (sen x) dx
3. .
1 Nxr-
i sen 2x
J cos x dx 4. f x tg (x2 + 1) dx
5. ( cotg (1/x) dx 6. f sec (x + 1) dx
•1
x2
7. f sen (cot + O) dt 8. f x cosec x2 dx
9. f cos x • tg (sen x) dx 10. f sena (2x + 1) dx
25. 6cos 3x dx
Métodos de integração 421
11. J cos5 (3 — 3x) dx 12. J 2x sen4 (x2 -1) dx
13. e2x cose (e2' — 1) dx 14. sena 20 coso 20 d0
15. sena (1 — 20) cos3 (1 — 20) d0 16. S sen19 (t — 1) cos (t — 1) dt
18. f tg3 x cos4 x dx
20. f tg4 x dx
22. 5 15 sen5 x dx
24. f 48 sen2 x cos4x dx
26. f 3 cose x dx
sen4 x
28. i 2 .-- dx
30 5 cosa X dx.
sen4 x
.‘
5 x tg3 ,six2 32. 1 dx
1X2 — 1
34. i cosec4 (3 — 2x) dx
1
17.
0
— tg, -.; (ln 0) d0
19. J coso x dx
sen2 x
21. dx
COS4 X
23. 15 sen2 x cos3 x dx
27. 1 sen 3x cos 5x dx
29. sen cot sen (mt + 0) dt
31. seco t cotg6 t sen8 t dt
33. seca (1 — 4x) dx
35.J x cotg2 (x2 — 1) cosec2 (x2 — 1) dx
36. Verificar as fórmulas de recorrência (8), (9) e (10) da Seção 7.2.11.
422 Cálculo A - Funções, Limite, Derivação, Integração
37. Verificar as fórmulas:
(a) S tgn u du - n 1-1
$ tgn 2 u du
(b) S cotg" u du = n -1 1 cotgn -1 u - u du
n38. Calcular a área limitada pela curva y = cos x, pelas retas x -7c 3e x =
22
e o eixo dos x.
39. Calcular a área limitada por y = 2 I sen x I , x = O, x = 2n e o eixo dos x.
40. Calcular a área da região limitada por y = tg3 x,y= 1 ex= O.
41. Calcular a área sob o gráfico de y = cos6 x, de O até n.
42. Calcular a área sob o gráfico de y = sen 6 x, de O até n.
43. Calcular a área sob o gráfico de y = sen 3 x, de O até 7C.
3 n 44. Calcular a área entre as curvas y = sen 2 x e y
4
cos2 x, de --1C até
4
Nos exercícios de 45 a 67, calcular a integral indefinida.
45. dxx2„/„:2_5 • f
dt
-‘19 - 16 ê
47. .1. X31IX2 - 9 dx 48. S (1 - 4 l2)3/2 dt
49. S X2 .‘i4 - X2 dx 50. f X3 -N/X2 -f- 3 dx
51. i 5x + 4
dx 52. j. (x +1)2 "■Lc2 + 1 dx
J X3 \X2 +1
53. 5 ., I '7 + 16 ,er5 dt 54. $ .,/ 6r dxvr 2r + 1
Métodos de integração 423
55. f 56. fX2 dx"\12 — X2
x + 1
dx57 r
dx-‘14 — e2x
58. S 'N/x
2 — 1 drx2
J VX2 — 1
59.
3
'511 + x2 dx 60.
J
(x + 1) dx
x3 — x2
61. (6x + 5) dx 62.
(x + 3) dx.
"\19x2 + 1 -Vx2 + 2xJ
63.
f.\14 - x2 dx 64. f Jx2 — 4 dx
65. f -V4 + X2 dx
x2
66. .{ (*Ni 1 + x2 + 2x) dx
67. f +sen x dx
-\11 + x2
Nos exercícios de 68 a 72, calcular a integral definida.
68.
70.
dx fa/2b69.
o
71.
— b2 x2 dx, 0<a<b
dt
O ' 1`3x2 + 2
dt
f 1 t4 + t2
dt
t2 .‘19t2 + 16
72.
(t — 1)2 \i(t — 1)2 — 9
424 Cálculo A — Funções, Limite, Derivação, Integração
7.5 INTEGRAÇÃO DE FUNÇÕES RACIONAIS POR
FRAÇÕES PARCIAIS
No Capítulo 2, vimos que uma função racional f(x) é definida como o quo-
ciente de duas funções polinomiais, ou seja,
p(x) flx) —
q(x)
onde p(x) e q(x) são polinômios.
As integrais de algumas funções racionais simples, como por exemplo
1 1 2x 1
x2 x2 + 1 .x2 + 1 x2 + 6x + 13
são imediatas ou podem ser resolvidas por substituição e já foram vistas anteriormente.
Nesta seção, vamos apresentar um procedimento sistemático para calcular a
integral de1~.1 r função racional. A idéia básica é escrever a função racional dada
como uma soma de frações mais simples. Para isto, usaremos um resultado importante
da Álgebra, que é dado na proposição seguinte.
7.5.1 Proposição. Se p(x) é um polinômio com coeficientes reais, p(x) pode ser
expresso como um produto de fatores lineares e/ou quadráticos, todos com
coeficientes reais.
7.5.2 Exemplos.
(i) O polinômio q(x) = x2 — 3x + 2 pode ser escrito como o produto dos
fatores lineares x — 2 e x — 1, ou seja, q(x) = (x — 2) (x — 1).
(ii) O polinômio q(x) = x3 — x2 + x — 1 pode ser expresso como o produto do
fator linear x — 1 pelo fator quadrático irredutível x 2 + 1, isto é,
q (x) = (x2 + 1) (x — 1).
Métodos de integração 425
[ 1(iii) p(x) = 3 x + —
3
(x — 1)2 (x2 + 3x + 4) é uma decomposição do poli-
/
nômio p(x) = 3x5 + 4x4 — 2x3 — 16x2 + 7x + 4.
A decomposição da função racional f(x) — p(x) em frações mais simples, estáq(x)
subordinada ao modo como o denominador q(x) se decompõe nos fatores lineares e/ou
quadráticos irredutíveis. Vamos considerar os vários casos separadamente. As formas
das respectivas frações parciais são asseguradas por resultados da Álgebra e não serão
demonstradas.
Para o desenvolvimento do método, vamos considerar que o coeficiente do
termo de mais alto grau do polinômio do denominador q(x) é 1. Se isso não ocorrer,
dividimos o numerador e o denominador da função racional f(x) por esse coeficiente.
Vamos supor, também, que o grau de p(x) é menor que o grau de q(x). Caso
isso não ocorra, devemos primeiro efetuar a divisão de p(x) por q(x).
As diversas situações serão exploradas nos exemplos.
1 2 Caso. Os fatores de q(x) são lineares e distintos.
Neste caso, podemos escrever q(x) na forma
q(x) = (x — a 1 ) — a2) (x — an ),
onde os ai, i = 1, n, são distintos dois a dois.
A decomposição da função racional f(x) p(x)x) = em frações mais simples é
q(x)
dada por
1 f(x) —
A A2 + +
A
n
x — a 1 x — a2 x — an
onde A1, A2, •"' An são constantes que devem ser determinadas.
426 Cálculo A — Funções, Limite, Derivação, Integração
7.5.3 Exemplos
x — 2
x3 — 3x2 — x + 3
(i) Calcular I = dx .
Solução. Temos,
x — 2 x — 2
x3 — 3x2 — x + 3 (x — 1) (x + 1) (x — 3)
x — 1 + x + 1 x — 3
Reduzindo novamente ao mesmo denominador, vem
x — 2
(x + 1)(x —3)A 1 + (x — 1)(x —3)A2 + (x — 1)(x + 1)A 3
(x —1)(x + 1)(x —3) (x —1) (x + 1)(x-3)
(x2 — 2x — 3) A 1 + (x2 — 4x + 3) A2 + (X2 - 1) A 3
(X - 1) (X + 1) (X - 3)
(A i + A2 A3 )X2 + (- 2A 1 — 4A2)x + (— 3A 1 + 3A2 —A3)
(x 1) (x + 1) (x — 3)
Eliminando os denominadores, obtemos
x — 2 = (A 1 + A2 + A3 ) X2 + (-2A 1 - 4A2) X + (-3A 1 + 3A 2 - A3).
Igualando os coeficientes das mesmas potências de x, segue que
A 1 + A2 + A3 = O
-2A 1 - 4A2 = 1
-3A 1 + 3A2 - A3 = —2 .
A i A2 A3
Métodos de integração 427
Resolvendo o sistema de equações, obtemos
1 3 1A i = —4 , A2 = —8 e = — •
8
Portanto, a decomposição em frações parciais é dada por
x — 2 1/4 — 3/8 1/8
(x — 1) (x + 1) (x — 3)
-
x — 1 x + 1 x — 3
1 1 3 1 1 1 •
4 x — 1
-
8 x + 1 + 8 x — 3
e então,
— 1 dx 3i dx 1 í 4-1 x-1 8.1 x+1 8-x— 3
1= 4—lnlx-11--1nlx+11+-1nlx-31+C.
Observamos que existe outra maneira prática para determinar os valores das
constantes A 1,
e A3. Eliminando os denominadores na igualdade
x — 2 Al A2 A3
(X - 1) (X + 1)(X - 3) x — 1 x + 1 x — 3
obtemos
x — 2 = (x + 1) (x — 3) A 1 -F (x — 1) (x — 3) A2 (X - 1)(X + 1) A3 .
Podemos, agora, determinar A 1 , A2 e A 3 tomando valores de x que anulem os
diversos fatores, como segue:
428 Cálculo A — Funções, Limite, Derivação, Integração
x = 1 —> 1 — 2 = (1 + 1) (1 —3)A 1 + (1-1) (1 —3)A2 + (1— 1)(1 + 1) A3
— 1 = —4A 1
A l = 1
x= —1 —> —1 — 2 = (-1 + 1) (-1 — 3)A 1 + (-1— 1) (-1 — 3)A 2
+ (-1 - 1) (- 1 + 1) A3
•
—3 = 8A2
A= -----3 •2 8
x = 3 —> 3 — 2 = (3 + 1) (3 — 3) A / + (3 — 1) (3 — 3) A 2 + (3 — 1) (3 + 1) A3
1 = 8A3
A3
1
8 •
(ii) Calcular / —
— 4x3
dx
2x3 + x2 — 2x — 1
Solução. Para resolvermos este exemplo, devemos inicialmente preparar o
integrando.
Como o grau de p (x) é igual ao grau de q (x) efetuamos a divisão dos
polinômios. Temos,
—4x3
2x2 — 4x — 2 --2+
2x3 + X2 - 2x — 1 2x-3 + x2 — 2x — 1
Métodos de integração 429
Portanto,
_ 2dx 2x2 — 4x — 2 dx
2x3 + x2 — 2x— 1
= —2x+1 1 ,
2x2onde / = — 4x -- 2 dx
1
2r3 + x2 — 2x — 1
Para resolver I l , ainda necessitamos preparar o integrando. Dividindo o nu-
merador e o denominador da função integrando por 2, vem
1
r 1/2 (2x2 — 4x — 2) dx
1/2 (213 + x2 — — 1)
J
X2 - 2x — 1
X3 + -1 X2 - X -
2
1
Como as raízes de q(x) = x3 + —2 2x2 — x — —
1 são x = 1 , x = —1/2
e x = —1, temos
x2 — 2x — 1 Al
A2 A3
11 X - 1 X + 1/2 X + 1X3 +
2 X
2 - X -
2
Eliminando os denominadores, obtemos
dx.
x2 — 2x — 1 = (x + 1/2) (x + 1) + (x — 1) (x + 1) A2 + (X - 1) (X + 1/2) A3 .
x = — —
2 -3 1/4 = 2 A2
1
430 Cálculo A - Funções, Limite, Derivação, Integração
Substituindo x pelos valores x = 1, x = —1/2 e x = —1, vem
X = 1 -> 3—2 = —
2
• 2 A l
A = — —21 3
e então,
X = -1 -3
A2 = - -3 ;
2 = —2 • • A2 3
A3 = 2.
Portanto,
X2 - 2x — 1
2
1
1
1 1
1 1 3 x-1
3 x+1/2 x + 1X3 + -
2 x2 — x — 2
2 í
dx
1 í
dx
+ 2 í dx 3Jx-1 3ix+1/2
Jx+1
2 1—3
= — —
3 ln Ex — 1 I —
ln lx + 1/2 1 + 2 ln Ix + 1 1 + C1
Métodos de integração 431
Logo,
1
1 = — 2x — —
2
ln lx — 1 I — —3
ln lx + 1/2 I +2 ln lx + 11 + C
3
1
= — 2x — —2 ln lx— 1 1 — —3
ln I2x + 1 1 + —
3
ln 2 + 2 ln lx + 1 I + C
= —2x — —2 ln lx— 11— —
3
ln I2x + 11+ 21n lx + 11+C,
onde C = C / + —3 ln 2 .
22 Caso. Os fatores de q(x) são lineares sendo que alguns deles se repetem.
Sé um fator linear x — a i de q(x) tem multiplicidade r, a esse fator corres-
ponderá uma soma de frações parciais da forma
B 1
B2
— a dr (X — a ¡)r i . . . — ai)
onde B 1 , B2 , . . . , Br são constantes que devem ser determinadas.
7.5.4 Exemplos
(i) Calcular X3 ± 3x 1 dx .
x4 — 4x2
Solução. As raízes de q (x) são x = 2, x = —2 e x = O, sendo que x = O tem
multiplicidade 2. Assim, o integrando pode ser escrito na forma
x3 + 3x — 1 x3 + 3x — 1
x4 4x2
(x — 2) (x + 2) x2
432 Cálculo A — Funções, Limite, Derivação, Integração
Al A2 B1 B2- •
x — 2 x + 2 x2 x
Eliminando os denominadores, obtemos
x3 + 3x — 1 = (x +2)x2 A 1 + (x — 2) x2 A2 + (x — 2) (x + 2) B i
+ (x — 2) (x + 2) xB2
Atribuindo a x os valores x = 2, x = —2 e x = O, vem
x = 2 --> 13=4 • 4A 1 , A 13
'11 16'
x = - 2 --> —15 =-4•4A A — 2.---5 •
2 , 2 - 16'
=
1
x = O -4 —1 = —2 • 2 B I , B 1 4
Por esse procedimento não conseguimos determinar o valor de B2. Para deter-
miná-lo, tomamos uma equação conveniente do sistema obtido igualando os coeficien
tes das mesmas potências de x. Usando a igualdade dos coeficientes de x 3 , obtemos
1 = A i + A2 + B2
1 = 13- +
+ 816 16 2
B2 = -
3
Métodos de integração 433
Portanto,
x3 + 3x – 1 13 1 15 1 1 1 3 1
x4 – 4 x2 16 x – 2 16 x + 2 -I- 4 • x2 4 • x
e então,
ix3 + 3x– 1
–
13 dx 15 dx lfdx – 3 idxdx
-1 x4 – 4 x- 16 .1 x – 2 16 x + 2 4 x2 4 x
= —13 lnLx-21 + 15 – 1 34x Inixi+C•16 16
(ii) Calcular 121 8x3 – 12,c2 + 6x – 1 dx.
Vamos primeiro, encontrar a integral indefinida
dx .
8x3 – 12x2 + 6x – 1
Como o coeficiente do termo de mais alto grau do polinômio do denominador
é diferente de 1, para resolvermos I, necessitamos preparar o integrando. Dividindo o
numerador e o denominador da função integrando por 8, vem
3f
x/8
X3 -
3
-
2
X2 I- -
x – 1 dx
4 8
1
8 3 1
X3 - -3 x2 + –
4
x – –
82
= x
dx.
434 Cálculo A - Funções, Limite, Derivação, Integração
O polinômio q(x) = x3 - 3x2 + —3x - -1
2
tem raiz x = -12 4 com multiplicidade
3. Assim, o integrando pode ser escrito na forma
Al A2
3 1 3
▪
f
8 x 2 )
2
+ -
4
x -
-
r 1 1
A3■
x - 22
Eliminando os denominadores, vem
x = A + A2 +
1"x- 2 2 A3
= A3 X2 + (-A3 + A2 4) x + -
1 A3 2- -
1 A2 +A l .
Igualando os coeficientes das mesmas potências de x, segue que
A3 = O
A2 - A3 = 1
A
2 4
+ -1 A
3
O2
Resolvendo o sistema de equações, obtemos
A1 = -2 A2 = 1 e A3 = O .
Portanto, a decomposição em frações parciais é dada por
x 1 1
2 4
x— 8 2 - -
1
2 X -
'
X3 - X2 ( 1
Métodos de integração 435
e então,
1
— 8
1 i* dx
2 — 1/2) 3 +
8 4 (x — 1/2) 2 x — 1/2
Logo,
i2
X
3 1 8X3 - 1 2X2 1- 6X - 1
8
1
8
5
18
- 1
1
1-
1
1/2]
[4(x — 1/2)2
—1
x — 1/2 1
1
[4
•
(2 — 1/2)2 2 — 1/2 4 (1 — 1/2)2
Observamos que o procedimento prático adotado nos exemplos anteriores para
calcular as constantes das frações parciais, não é eficiente neste exemplo, pois ele
fornece apenas o valor de uma das constantes. No entanto, ele pode ser usado como
ferramenta auxiliar.
3 1 Caso. Os fatores de q(x) são lineares e quadráticos irredutíveis, sendo que os fatores
:.dadráticos não se repetem.
A cada fator quadrático x2 + bx + c de q(x), corresponderá uma fração parcial
dx
ia forma
436 Cálculo A — Funções, Limite, Derivação, Integração
Cx + D
x2 + bx + c
7.5.5 Exemplos
(i) Calcular I = f 2x2 + 5x + 4 dx
x3 + x2 + x — 3
O polinômio q(x) = x3 + x2 + x — 3 tem apenas uma raiz real, x = 1. Sua
decomposição em fatores lineares e quadráticos é dada por
q(x) = (x — 1) (x2 + 2x + 3).
Podemos, então, expressar o integrando na forma
2x2 + 5x + 4 A Cx + D
x3 + x2 + x — 3 x — 1 -4- x2 + 2x + 3
Eliminando os denominadores, vem
2x2 +5x+4 = A(x2 +2x+3)+(Cx+D)(x-1)
= (A + C)x2 + (2A —C +D)x +3A —D,
e então,
{ A + C
= 2
2A — C + D = 5
3A — D = 4 .
r-
Métodos de integração
437
Resolvendo o sistema, obtemos
11 1 9A = —6 ; C -- —6 e D —6 •
Portanto,
2x2 + 5x + 4 11 1 1
x + 9
x 3 + x2 + x — 3 6 • x — I + 6 • x2 + 2x + 3
e dessa forma,
11 r dx 1 f x + 9
dx6 x 1 6 x2 + 2x + 3
1= —11 ln lx 1 I + —6 /1 + C ,6
onde,
x + 9 /1 = ,, dx .
+ 2.x + 3
O integrando de / 1 é uma função racional cujo denominador é um polinômio
quadrático irredutível. Integrais dessa forma, aparecem freqüentemente na integração
das funções racionais e podem ser resolvidas completando o quadrado do denominador
e fazendo substituições convenientes.
Temos,
x2 +2x+3 = (x2 +2x+1)-1+3
= (x + 1)2 + 2,
438 Cálculo A — Funções, Limite, Derivação, Integração
e portanto,
=
x +
9
dx1 j + 1)2 + 2
Fazendo a substituição u = x + 1, temos x = u — 1 e dx = du. Então,
ru-1+9
chi_ i u + 8 du1
u2 + 2 J u2 + 2
u du
+ 8
du
u2 + 2 J u2 + 2
1= —2 ln (u2 + 2) + arc tg + C
N2 .V2
1
= —2 In (x2 + 2x + 3) + arc tg x + 1 +C .
Logo,
/ = —11 ln — 1 I + —1 El ln (22 + 2x + 3) +
arc tg6
2 N2 N2
8
x + 1
dx (ii) Calcular 1o (x
2 + x + 1) (x2 + 4x + 5)
Vamos primeiro, calcular a integral indefinida
dx
(x2
+ x + 1) (x2
+ 4x + 5)
_
Métodos de integração 439
O polinômio q(x) = (x2 + x + 1) (x2 + 4x + 5) não possui raízes reais e já se
encontra decomposto em fatores quadráticos irredutíveis. Podemos, então, escrever o
integrando na forma
1 C x + D C2x + D2
(X2 + + 1) (X2 + 4x + 5) x2 + x + 1 ± x2 + 4x + 5
Eliminando os denominadores, vem
1 (C1x+D1)(x2+4x+5)+(C2x+D2)(x2+x+ 1)
(C 1 + C2) x3 + (4C i + C2 + D i + D2) X2
+ (5C 1 + C2 + 4D 1 + D2) X + 5D 1 + D2 ,
e então,
Cl + C2 = 0
4C 1 + C2 + D i + D2 = 0
5C1 + C2 + 4D 1 + D2 = 0
5D 1 + D2 = 1 .
Resolvendo o sistema, obtemos
3 3 n e D =C =
; =
e 2 13Cl = — 13 , 2 13 =
8
Portanto,
1 1 —3x + 1 1 3x + 8
(x2 + x + 1) (x2 + 4x + 5) 13 x2 + x + 1 + 13 x2 + 4x + 5
e assim,
I
1( —3x + 1 dx + 1 í 3x + 8
dx .
' = 13J .1-2 +x+ 1 13 -I x2 + 4x + 5
440 Cálculo A — Funções, Limite, Derivação, Integração
Completando os quadrados dos denominadores, vem
—3x + 1 dx 3x + 8
(x + 1/2)2 + 3/4 + J (x + 2)2 + 1 dx
Fazendo a substituição u = x + 1/2 na primeira integral e v = x + 2 na
segunda, obtemos
1 =
—3 (u — 1/2) + 13 (v — 2) + 8
u2 + 3/4
du + v2 + 1 d1,1
1
13 1 u du 5 du u2 + 3/4 2 u2 + 3/4 + 3 v dv v2 + 1 2 dv v2 + 1
3
C-2
1
— ln (u2 + 3/4) + 2 arc tg 2 3 ln (v2 + 1) + 2 arc tg v1
2
5 2
ln (x2 + x + 1) + 1 [ 3 5 arc tg 1
+ —3 ln (x2 + 4x + 5) + 2 arc tg (x + 2) + C .2
Logo,
o (x2 +x+1)(x2 +4x+ 5) 13 2 in 3 +
5
3
1 [ 3 arc tg + ln 10
3 3I. 1 dx
— —
1 3+ 2 arc tg 3 — 5 3.\&
—2
arc tg — ln 5 — 2 arc tg 2
+C
Métodos de integração
441
1
3
[ 3
2 / n 3
5 .N&
3
n + 2 arc tg 3 - 5 .\1--3 • 7c6 - 2 arc tg2 ± 3
1
13
[
2
3 2
3 4-
5
18
+ 2 arc tg 3 - 2 arc tg 2 .
4° Caso. Os fatores de q(x) são lineares e quadráticos irredutíveis sendo que alguns
dos fatores quadráticos se repetem.
Se um fator quadrático x2 + bx + c de q(x) tem multiplicidade s, a esse fator
corresponderá uma soma de frações parciais da forma
C x + D C2x + D2
Csx + DS
(x2 + bx + c)s (x2 + bx + c)s -1 x2 + bx + c
7.5.6 Exemplos
x + 1
(i) Calcular / - r dx .
*1 X (X2 -1- 2x + 3)2
O integrando pode ser escrito na forma
x + 1 A Cix + D l C2x + D2
X (X2 + 2x + 3)2 x + (X2 ± 2x + 3)2 + (x2 + 2x + 3) •
Eliminando os denominadores, vem
x + 1 ii(x2+2x+3)2+x(Cix+D1)+ x (x2 + 2x + 3) (C2 x +D2)
(A + C2) x4 + (4A + 2C2 + D2) x3 + (10A + + 3C2 2D2) X2
+ (12A + + 3D2)x + 9A,
442
Cálculo A — Funções, Limite, Derivação, Integração
e então,
4A
10A + C l + 3C2
9
+ 2C2
+ D + 3D2 1
9A = 1 .
1 2D2 = 0
12A
+ D2 .=
A + C2 =
Resolvendo o sistema, obtemos
A = -9-
1 1 1 – ; C 1 =-3 ;D l =-3 ;C2 9
1 2– ; D2 =
e assim,
x + 1 1 1 1 – x + 1
1 – x – 2
x (x2 + + 3)2 9 • x ± 3 • (x2 + 2x + 3) 2 ± 9 • x2 + 2x + 3 •
Portanto,
1 dx 1I = —x + 3 – x + 1
dx – 1 .1 x + 2 dx
(x2 + 2x + 3)2 9 x2 + 2x + 3
9
1 1In lx I + 3 / – –
1 /2'
–x x+ 1 + 2 onde /, –
(x2 + 2x + e L, - x2 + 2x + 3
dx dx .
A integral /2 é análoga às que foram resolvidas no decorrer dos exemplos do
3° Caso. Como naqueles exemplos, para resolvê-la, completamos o quadrado do
deno-
minador e fazemos uma substituição conveniente. Temos,
x + 2 /, – dx – x + 2
dx.
x2 + 2x + 3 (x + 1)2 + 2
Métodos de integração 443
Fazendo a substituição u = x + 1 ; x = u — 1 e dx = du, vem
u + 1 = du
u2 + 2
j"u2 u+2 du + J du u2 ± 2
2
ln (u2 + 2) +
1 arc tg + C
1 1 x + 1
= —2
ln (x2 + 2x + 3) + r- arc tg +
Uma integral como 1 não foi vista anteriormente. Para calculá-la, inicial-
mente, completamos o quadrado do denominador e fazemos a mesma substituição que
fizemos para calcular /2. Temos,
11
— x + 1
(x2 + 2x + 3)2 dx
r —x + 1 dx
[(x + 1)2 ± 212
— u + 2 du(u2 + 2)2 (onde u = x + 1)
u du+ 2 J
(u2 + 2)2
du
(u2 + 2)2
1 du
2 (U2 1- 2) + (U2 + 2)2
du
Para
(u + 2)2 podemos recorrer a uma substituiçãoara resolver a integral
trigonométrica como foi visto em 7.3. Fazemos u = õ tg O. Então du = see2 8 dO.
Assim,
444 Cálculo A - Funções, Limite, Derivação, Integração
du
(u2
+ 2)2
.NÕ sec2 dO
(2 tg2 O + 2)2
fl seca e de
4 seco e
j de
- 4 .1 sec2 O
f cose e do
• 4
r- ■
-
N2
-
1
cos sen4 2
1
+ -2
• 8 (cos e sen O + e) .
Para retornar à variável anterior u, observamos a Figura 7.2. Temos,
f2- cos e
-\/2 + u2
sen
+ 1.42
= arc tg
(u2 + 2)2
8 2 + u2
Figura 7-2
Portanto,
du
r -v2 u + arc tg u
a)
Métodos de integração . 445
e então,
Il 2 (u
21+ 2) + 2 8 [2 :2
arc tg + C .
Retornando à variável original x, vem
1 1 + + arc t 1) x + 11 +C .,
2 (x-2 + 2x + 3) 4 x2 + 2x + 3
g
Substituindo os resultados obtidos para / 1 e /2 na integral 1, obtemos
/ = —1 ln Lx1 + +1 1 1 x + 1 + arc tg x +1
9 3[2(x2+2x+3) 2 x2 +2x+3 4
— —
9
1
—2
[1 x 1 +ln (x-2 + 2x + 3) + arc tg + C
=
9
— ln x +
6(x2 +2x+3) 36
x1 x + 2 -\12- + 1 + are tg r— — ln + 2x + 3) + C .
-V2
Na resolução das integrais de funções racionais que se enquadram no 4° Caso,
normalmente aparecem integrais da forma
du (u2 a2) n , n 1 .
Se n = 1, esta integral nos dá arco tangente. No exemplo a seguir, encontramos
uma fórmula de recorrência para esta integral, para n > 1.
du (ii) Determinar uma fórmula ele recorrência para I n = J (u2 a2) n n> 1 .
446 Cálculo A — Funções, Limite, Derivação, Integração
Inicialmente, vamos escrever a integral dada na seguinte forma conveniente:
1 (a2 + u2) — u2 du
a2 j (U2 I- a2) n
-
U2du
, = a2
(u2 + a2) n , 2Ui a2) n du .
Temos,
Agora, vamos usar integração por partes para resolver a segunda integral.
U2
(u2
▪
a2) n J (u2 a2) n du .
Fazendo U =U du* = du
dv = 2 a2) n 2 (1 — n)
u du (u2 a2) 1-n
-
vem
u2 u (u2
▪
a2) 1-n r (u2 a2) 1 -n
du(u2
▪
a2) n du — 2 (1 — n)
2 (1 — n)
= u
„ (lê
▪
a2) 1 -n 1
du
2 (1 — n) 2 (n — (u2 a2)n-1'
Substituindo este resultado na expressão geral de / n, obtemos
In
1
du u (u2 + a2) 1 n 1 du
a2 [ (u2 + a2) n-1 2 (1 — n) 2 (n — 1) (u2 + a2) ' 1 1-/
Métodos de integração 447
1 u ( u 2 a2) 1-n 2 (n - 1) - 1 du
a2
+
2 (n - 1) 2 (n - 1) J (u2 a2) n-1
1 u (u2 a2) 1-n 2n - 3 du
a2 2 (n - 1) 2 (n - 1) f (u2 a2) n-1
Logo,
du u (u2 a2) 1- n 2n - 3 du
(u2 a2) n 2a2 (n -1) + 22a (n - 1) -I (u2 a2) n-l •
dx
(iii) Calcular I = J
(4r2 + 8x + 13)3
A integral I pode ser reescrita na forma
dx
[4(++1)+9I 3
dx
[ (2x + 2)2 + 9 ] 3
Fazendo a substituição u = 2x + 2; du = 2dx, obtemos
I = -1 du
2 J (u2 +32)3
Utilizando a fórmula de recorrência do exemplo anterior, vem
I= -
1 [
2 9 2 2 9 2
u (u2 + 9) -2
+
3
S
du
2 + 9)2
8. dxx3 _ 4x2
(x2 + 1)
x4 - 7x3 + 18x2 - 20x + 8
7. dx
10. í 5 dx
x3 + 4x
9. í x3 + 2x2 + 4 dx
2x2 + 2
448
Cálculo A - Funções, Limite, Derivação, Integração
1
2 {
3 u (u2 + 9) -1± 1 du
36 (
+ 9)2 36
[
2 9 1 2tê + 9 1 /42 I- 9
1}
1 u u 1 1
2 arc tg 33
+ C
36 (u2 + 9)2 + 36
18 (u
[
+ 9) + 18 •
1 2x + 2 3 2x + 2[
+ C
{
18 (4x2 + 8x + 13)
1 2x + 21}
+ arc tg
54 3
x + 1 1 x + 1 1 2x+2 1
+ C.36 (4x2 + 8x + 13)2 + 12
[
18
+
(4x2 + 8x + 13)
arc tg
108 3
7.6 EXERCÍCIOS
Nos exercícios de 1 a 23, calcular a integral indefinida.
1.
xx+3x d
x
dx2x2 + 3x - 2
í
2x + 1 2.
dx
x - 1
3x2 3.
x3 + x2 - 4x --
4.
4 2x3 - X2 - 2x + 1 dx
5. í x2 + 5x + 4 dx 6 x -x _ 1 dx
.; x2 _ 2x + 1 (x - 2)2 (x - 3)-
dx 16.
1
X2 dx3x2 _ 1 x _
2 2
15'J 4X -x3 - 6X2 + 4x + 8
4x4
17. f
19. 1
dXr3 + 9x
x3 + x2 + 2x +
dX
21.
X3 - 1
r dx
x4 — 3x3 + 3x2 — x
23. f x2 + 2x — 1 dx
24.
(x — 1)2 (x2 + 1)
Verificar a fórmula da 1
u + a— ln
a2 - U2 2a u — a
25. Calcular a área da região limitada pelas curvas
1 1
(x — 1) (x — 4) Y (1 — x) (x — 4)
26. Calcular a área da região sob o gráfico de y =
18. f dx ,,(x` + 1) (x2 + 4)
x = 2 e x = 3 .
1 , de x = — 2 até x = 2 .
+ 2x + 5
20. X3 dX
(x2 + 2)2
x dx 22.
(x — 1)2 (X + 1)2
Métodos de integração 449
11. í 3x — 1 dx
/ x2 — x + 1
12. dx ,3 + 8
13.
J
x — 1 dx
(x2 + 2x + 3)2
14. .1* dxx (x2 — x + 1)2
450 Cálculo A — Funções, Limite, Derivação, Integração
27. Calcular a área da região sob o gráfico de y =
— 1
, de x = 1 até x = 4 .
x2 (x — 5)
1
28. Calcular a área da região sob o gráfico de y —
( + 3)` de
x = — 2 até x = 2.
x2
7.7 INTEGRAÇÃO DE FUNÇÕES RACIONAIS DE SENO
E COSSENO
Quando temos uma integral da forma
ei R (cos x, sen x) dx ,
isto é, o integrando é uma função racional de sen x e cos x, a integral dada pode ser
reduzida a uma integral de uma função racional de uma nova variável t. Para isso,
fazemos a substituição.
t = tg -2 , - 7C < x < 7C .
(1)
Para exprimir a função integrando em termos da nova variável t, precisamos
encontrar cos x, sen x e dx em função de t. Temos,
sen x -
2 sen -x cos -
22
1
2 sen -x cos -x
2 2
cos2 sen -x2 2
2 sen cos / cos2 -X
2 2 / 2
¡cos2 -x + sen2 -x
2
/ cos2 X
2 2
Além disso, como t = tg
2
, temos x = 2 arc tg t, e assim, dx = 2 dt
1 + t2
Métodos de integração 451
cos x
2 tg —2
1 + tg2 X
2
2t
1 + t2
cos x2 — sen2 —x
2 2
1
cos2 —X — sen2 X2 2
(
cose X—
2
—x+ sen2 cos2
2 2
1 — tg2 X
2
1 + tg2 —X
2
1 — t2
1 + t2
Portanto, quando fazemos a substituição t = tg
2
, podemos utilizar as fór-
mulas
2t 1 — t2 2 dt sen x — cos x — dx —
1 + t2
1 t2 1 +
, (2)
452
Cálculo A — Funções, Limite, Derivação, Integração
Observamos que a substituição (1) transforma qualquer integral de função
racional de seno e cosseno, numa integral de função racional de t. Por isso, ela também
é conhecida como a "substituição universal" para a integração de expressões trigono-
métricas.
7.7.1 Exemplos
(i) Calcular 1 = f dx3 + 5 cos x •
Fazendo x = tg -t e usando (2), vem2
I =
2 dt
.f 1 t2 1 t23 + 5
1 + t2
2 dt
f
1 + t2
3 + 3t2 + 5 -5t2
1 + t2
2 dt
-1 8 - 2 t2
dt
J t2 - 4
Resolvendo esta integral pelo método das frações parciais, vem
[
1 dt 1 dt
4- I t+ 2 4.1 t-2
Métodos de integração 453
1 1= —4 ln t + 21 —4 1n 1 t — 21 + C
=4 In
t + 2
t — 2 + C.
Finalmente, substituindo t = tg 2 , obtemos
I = —4 ln
tg + 2
tg —x
2 — 2
(ii) Calcular / = S dx
sen x + cos x + 2 •
Usando a substituição x = tg —t e (2), vem2
2 dt
1 + t2
2t 1 2
1+t2 1 + t`
2 dt
1 +t2
2t + 1 — t2 + 2 + 2t2
1 + t2
2 dt
t2 + 2t + 3
454 Cálculo A — Funções, Limite, Derivação, Integração
= 2 1
dt
(t + 1)2 + 2
2
cr— ar tg +C
=arc tg
2
(t + 1) + C .
Substituindo t = tg
2
, obtemos
I= arc tg [
2
tg 2— + 1 + C .x
7.8 INTEGRAIS ENVOLVENDO EXPRESSÕES DA
FORMA "\I ax2 + bx + c (a � O)
Algumas integrais que envolvem a expressão 'N ax2 + bx + c , podem ser
resolvidas usando-se uma substituição conveniente.
Podemos completar o quadrado do trinômio axe + bx + c, para visualizar a
substituição.
Os exemplos seguintes apresentam casos onde, após a substituição, a integral
recai numa integral tabelada ou numa integral de um dos tipos apresentados ante-
riormente.
7.8.1 Exemplos
(i) Calcular I = dx
LX2 + 8x + 15
/ = ln x + 4 + -\/x2 + 8x + 15 + C.
Métodos de integração
455
Vamos completar o quadrado do trinômio x 2 + 8x + 15. Temos,
x2 + 8x + 15 = (x + 4)2 — 1.
Neste caso, a substituição conveniente é
u = x + 4 ; du = dx,
que transforma a integral / numa integral tabelada (ver 6.1.10 — (22)).
Temos,
1
du
= arg cosh u + C
= ln 1 u + 'qu2 — 1 + C .
Portanto,
/ = arg cosh (x + 4) + C ou
3x + 2 (ii) Calcular 1 = dx .
— 16x — 4x2
Temos,
9— 16x — 4x2 =25 — (2x + 4)2 .
456 Cálculo A — Funções, Limite, Derivação, Integração
Logo,
I f 3x + 2
.\/25 - (2x + 4)2
Para resolver esta integral, podemos usar uma substituição trigonométrica (ver
Seção 7.3). Temos,
2x + 4 = 5 sen 6,
dx = -5 cos 0 de e2
— 7t
2 - - 2
-■125 - (2x + 4)2 = 5 cos O .
Logo,
1 - f 3 (5/2 sen - 2) + 2 5
cos O dO5 cos O 2
f[ —
15 sen O - 2 dO
4
= - —15 cos O - 20 + C .4
2x + 4 2x + 4Como 2x + 4 = 5 sen O, temos que sen O -
5 , 0 - arc sen 5
e cos O = 125 (2x + 4)2.5
Métodos de integração 457
Portanto,
15 1
=• 5— • — N25 — (2x + 4)2 — 2 arc sen
2x
5
+ 4 + C
4
f2x
9— 4 5— 16x — 4x
2 — 2 arc sen
+ 4 + C .
—
A seguir apresentamos outras substituições usadas para a resolução deste tipo
de integral.
Temos os seguintes casos:
(a) O trinômio axe + bx + c apresenta a > O.
Neste caso, podemos usar
-‘lax2 + bx + c =±fia x + t . (1 )
(b) O trinômio axe + bx + c apresenta c > O.
Neste caso, podemos usar
•\161.7ê + bx + c = xt ± -‘1-c
(2)
(c) O trinômio axe + bx + c tem raízes reais.
Usamos, para este caso, a substituição
•Nlax2 + bx + c = (x — r) t , (3)
onde r é qualquer uma das raízes do trinômio axe + bx + c.
458 Cálculo A — Funções, Limite, Derivação, Integração
Os exemplos seguintes mostram esses casos.
7.8.2 Exemplos
(i) Calcular I = dx
x -\1 4x2 + x - 3
Neste caso, o trinômio apresenta a = 4 > O e raízes reais. Portanto, podemos
escolher entre as substituições dos casos (a) e (c).
Vamos escolher o caso (a), usando o sinal positivo de (1). Temos,
•Ni 4x2 + x - 3 = 2x + t.
Então,
4x2 +x-3 (2x + t) 2
4x2 +x-3 = 4x2 +4xt+t2
x-4xt = t2 +3
x(1-4t) = t2 +3
t2 + 3
x
1 - 4t
dx - 4t2 + 2t + 12
(1 - 4t)2
dt
e
14x2 + x - 3 = 2 • t2 + 3+ t
1 - 4t
- 2t2 + t + 6
1 -4t •
Métodos de integração 459
Substituindo essas expressões na integral, vem
— 4t2 + 2t + 12
(1 — 4t)2
12 -i- 3 — 2t2 + t + 6 dt
1 — 4t 1 — 4t
f• 2
J t2 + 3
dt
cr— ar tg + C
N3 N3
14x2 + x — 3 — 2x +C.2 c= —,-- ar tg
N3
dx
(x + 4) -‘1x2 + 4x + 9
O trinômio x2 + 4x + 9 tem a = 1 > 0 e c = 9 > 0. Portanto, podemos escolher
entre os casos (a) e (b).
Vamos usar (2) com o sinal positivo. Temos,
•Vx2 + 4x + 9 = x t + 3
x2 + 4x + 9 = (x t + 3)2
6t — 4
1 — 12 ;
6t2 — 8t + 6
(1 — t2)2
(ii) Calcular I =
x
dx
460 Cálculo A — Funções, Limite, Derivação, Integração
e
•Vx2 + 4x + 9 — 6t —
1 — /2 t + 3
3t2 — 4t + 3
1 — t2
Substituindo esses resultados na integral, vem
=
6t2 — 8t + 6
(1 — t2)2
6t — 4 + 4 3t2 — 4t + 3
1 — t2 1 — t2
dt
dt
—2t2 + 3t
_ 1 dt
2 J t2 — 3/2 t
Esta integral pode ser resolvida por frações parciais (ver Seção 7.5).
Como as raízes de q (x) = t2 — —3 t são t = 0 e t= 3/2 , vem2
1 Al
A2
-3 3t2 - -
2
t t —
Eliminando os denominadores, obtemos
1 = A l (t — 3/2) + A2 t .
"■/x2 + 4x + 9 —3
x
3ln 2Ix2 +4x+9
— 3x — 6
x
= ln + C .
Métodos de integração 461
Substituindo t pelos valores t = O e t = 3/2, vem
t = O —> 31 =-2A 1A
1
A = — —2 •1 3 ,
3t = —2 —> 1 = 3 A2 2
2A2 = -3- .
Logo,
— 213 dt + 2/3 dt
t t —3/2
2
1 2
In t 1 — 1 2 ln I r 3/2 I + C3 • 3
1
= 1 ln —3 ln — 3 1 +
Voltando à variável x, temos
462 Cálculo A - Funções, Limite, Derivação, Integração
(iii) Calcular 1 = dx
x Nx2 + x - 6
Neste exemplo,
r 1 = 2 e r2 = -3. Podemos,
Temos,
a = 1 > O e o trinômio x2 + x - 6 apresenta raízes reais
então escolher entre (1) e (3). Escolhemos (3) com r = 2.
•Nix2 + x - 6 = (x - 2) t
x2 +x-6 = (x - 2)2 t2
(x - 2) (x + 3) (x - 2)2 t2
x + 3 (x - 2) t2
x 212 + 3
t2 - 1
C = - 10t
(t2 - 1)2
e
r 212 + 3 2
12 - 1
1x2 + x - 6 = • t
5t
t 2 - 1
Substituindo em 1, obtemos
-10t
I. (12 - 1)2 d
t2t2 + 3 5t
t2 - 1
t2 - I
I =
Métodos de integração 463
= r —10t10r + 15t dt
j* — dt
t2 +
2
1
= — arc tg
2 2
+C
f
'■/x2 + x — 6
arc tg x — 2■
7.9 EXERCÍCIOS
Nos exercícios de 1 a 14, calcular a integral indefinida.
+ C.
r (1 + sen x) 1.
j dx 2.sen x (1 + cos x) dx J 1 + sen x + cos x
2 dx 3. 4.sen x + tg x 5 4 dx + 5.cos x
dx 5.
6.
3 + cos x f l dx — cos x
1 + cos x 7. dx 8.1 — sen x
9,
í cos (2t — 1) dt
2 — cos (2t — 1)
11.
dx
4 sen ex — 3 cos
dx
3 + sen 2x
dt
J 3 + sen t + cos t
í cos 0 d
1 + cos
10.
12.
464 Cálculo A — Funções, Limite, Derivação, Integração
13. dx sen x + cos x
de 14
*J 4 — sen 9 + cos e
1 15. Calcular a área sob a curva y = 2 + sen x ' de x = O a x = 2—7t
16. Calcular a área limitada pelas curvas y — 1 1e y — , entre —7/ e —7;2+cosx 2 — cos x 2
Nos exercícios de 17 a 33, calcular a integral indefinida.
17. dx
x "‘/5x — x2 — 6
19. dx
x "\14x2 + x — 3
21. J x .2 + x —
23.
_ 1)
_ dx
IX2 - 2x — 3
25. dx
"`ix2 + 3x + 2
f (2x + 1) .\ 14x2 + 4x27.
dx
29. dx
(2x — 1) x2 — x + 5/4
dx
(x + 4) "%/x2 + 4x + 9
20. dx
1/1 + x + x2
22. x + 1 , dx5 (2x + x2) . \ i2x + x2
r — 'N/1 + x + x2 24. i dx
2x2 \11 + x + x2
26. dx
"\ix2 + 2x — 3
28 9x2
+ 5+ 12x
dx
30. dx
x x _ 3
18.
x '‘Ix2 — 4x — 4 '‘ix2 + 2x
dx
31. 32. f x + 3 dx
33.
dx
.3 — 2x —
DAVFSC
s3)
MAKRONBooks
K\
\e‘
APLICAÇÕES DA INTEGRAL DEFINIDA
CAPÍTULO 8
No Capítulo 6, estudamos a integral definida e analisamos uma importante
aplicação que é o cálculo de área de regiões planas.
Neste capítulo, outras aplicações da integral definida serão discutidas.
8.1 COMPRIMENTO DE ARCO DE UMA CURVA PLANA
USANDO A SUA EQUAÇÃO CARTESIANA
A representação gráfica de uma função contínua y = f(x) num intervalo [a, b],
pode ser um segmento de reta ou uma curva qualquer. A porção da curva do ponto A(a,
.ffa)) ao ponto B(b, f(b)) é chamada arco (ver Figura 8.1).
AY
y = f(x)
b X
Figura 8-1
465
466 Cálculo A — Funções, Limite, Derivação, Integração
Queremos encontrar um número s, que intuitivamente, entendemos ser o com-
primento de tal arco.
8.1.1 O gráfico de y = f(x) num intervalo [a, 11] é um segmento de
reta.
Neste caso, observando a Figura 8.2, vemos que
s = -\/(b — a)2 + (f(b) — f(a))2 .
AN,
B
f(b)
f(a)
a b X
Figura 8-2
8.1.2 O gráfico de y = f(x) num intervalo [a, b é uma curva
qualquer.
Sabemos da Geometria, que o perímetro de uma circunferência é definido
- como o limite dos perímetros
dos polígonos regulares nela inscritos. Para outras curvas,
podemos proceder de forma análoga.
Seja C uma curva de equação y = f(x), onde f é contínua e derivável em
[a, b]. Queremos determinar o comprimento do arco da curva C, de A até B (ver
Figura 8.3).
Seja P uma partição de [a, b] dada por
a = x0 < x1 < x2 < < X. 1 < X < < Xn = b.
Sejam Q0, Q 1 , ..., Qn os correspondentes pontos sobre a curva C. Unindo os
pontos Q0 , Q 1 , ..., Qn , obtemos uma poligonal, cujo comprimento nos dá uma aproxi-
Aplicações da integral definida 467
mação do comprimento do arco da curva C, de A até B. A Figura 8.4 ilustra esta
poligonal para n = 7.
♦y
B
b X
Figura 8-3
O comprimento da poligonal, denotado por Ç. é dado por:
1n — _ 1)2 ± (A) — )2.
i =1
Figura 8-4
(1)
468
Cálculo A - Funções, Limite, Derivação, Integração
Como f é derivável em [a, b], podemos aplicar o Teorema do Valor Médio (ver
5.5.2) em cada intervalo [x i_ 1 , x i], i = 1, 2,
n, e escrever
flx - f(xi_ i ) = 3 ' (c i) (xi -xi-1)'
onde ci é um ponto do intervalo (xi_ 1 , xi).
Substituindo este resultado em (/), obtemos
n = "\I(x- - 1 )2 + (C i)]2 (r. - xi _ 1)2
i = 1
n
=
V 1 + r(of (x. - x )1
i = 1
n
N,1 + (c i)]2 A xi , (2)
i =1
onde A x. = x - x.1 1-1
A soma que aparece em (2) é uma soma de Riemann da função
-■11 + [p(x)i2 .
Podemos observar que a medida que n cresce muito e cada A xi, i = 1, 2, ... , n,
torna-se muito pequeno, /n aproxima-se do que intuitivamente entendemos como o
comprimento do arco da curva C, de A até B.
8.1.3 Definição. Seja C uma curva de equação y = f(x), onde f é uma função
contínua e derivável em [a, b]. O comprimento do arco da curva C, do ponto
A(a, f(a)) ao ponto B(b, f(b)), que denotamos por s, é dado por
s =
tnáx ex. -3 O
.‘11 [f'(c i)]2 A xi
i =1
(3)
se o limite à direita existir.
Aplicações da integral definida
469
Pode-se provar que, se f ' (x) é contínua em [a, b], o limite em (3) existe. Então
pela definição da integral definida (ver 6.8.1), temos
(4)
8.1.4 Exemplos
(i) Calcular o comprimento do arco da curva dada por y = X312 - 4, de
A(1, —3) até B(4, 4).
Solução. A Figura 8.5 ilustra este exemplo.
Figura 8-5
470 Cálculo A — Funções, Limite, Derivação, Integração
Temos, y = X3/2 - 4 e y'= —3 X1/2 . Aplicando (4), vem2
4
"V 1 /•1 X1/2\2 "A.2
4
si \I 1 4. 4 x
dx
( 9
3/2
\
1 + — x
44
9 3/2
= 27 103/2 —
8 8 [13
27 4
3/2
80 .Ni10 — 13 unidades de
27
comprimento .
Observamos que poucos exemplos apresentam no integrando uma função, tal
que a integral possa ser resolvida por um dos métodos apresentados nos capítulos
anteriores. Os métodos que dão uma solução aproximada estão além dos objetivos deste
livro.
(ii) Obter uma integral definida que nos dá o comprimento da curva y = cos 2x,
para O x n.
Temos, y = cos 2x e y' = —2 sen 2x. Portanto,
s = .N11 + 4 sen2 2x dx .o
S =
4
Aplicações da integral definida 471
Podem ocorrer situações em que a curva C é dada por x = g(y) em vez de
y =f(x). Neste caso, o comprimento do arco da curva C de A(g(c), c) até B(g(d), d) (ver
Figura 8.6), é dado por
(5)
d
c
a b X
Figura 8-6
(iii) Calcular o comprimento do arco dado por x = I y3 —1 — 1 ,
2 y1 y 3.
Neste exemplo, vamos usar (5). Temos,
3
g(Y) = Y
1 3
±6
1
y
1 e g '(y) = 2 y2 — 6y2
-\1
Portanto,
1+ y2 1 )2 dY
2 - 6y2
1.3
1
472 Cálculo A — Funções, Limite, Derivação, Integração
1.3 (9y4 + 1)2
dy
'11
36y4
3 9y4 + 1 A
1 6y2 "Y
= 1.3
3 2 1.4- -
J [2, " 6 dy
(3 1 y-' 1
2 • 3 +6.6 • — 1
118
9
8.2 COMPRIMENTO DE ARCO DE UMA CURVA PLANA
DADA POR SUAS EQUAÇÕES PARAMÉTRICAS
Vamos agora, calcular o comprimento de arco de uma curva C, dada na forma
paramétrica pelas equações
{x = x(t)
Y =
t E [to , t1 ],
onde x = x(t) e y = y(t) são contínuas com derivadas contínuas e x ' (t) # O para todo
t E [to , t 1 ].
Neste caso, conforme vimos em 4.18, estas equações definem uma função
y = f(x), cuja derivada é dada por
4y y ' (t)
dx x '(t) .
3
Aplicações da integral definida 473
Para calcular o comprimento de arco de C, vamos fazer uma mudança de
variáveis em (4). Substituindo x = x(t); dx = x '(t) dt, obtemos
+ lf" (41 2 dx
r ri
iro 1+ [y '(t) 1 2 X '(t) dt ,4
x '(t)
onde x(to) = a e x(t i ) = b.
Portanto,
1
S =
-N [X (012 + (01 2 dt .
o
8.2.1 Exemplo. Calcular o comprimento (ia hipociclóide x = 2 sena t
y = 2 cosa t .
Solução. A Figura 8.7 ilustra esta curva.
Figura 8-7
474 Cálculo A — Funções, Limite, Derivação, Integração
Observamos que esta curva é simétrica em relação aos eixos. Vamos então,
calcular o comprimento do arco que está descrito no primeiro quadrante, isto é,
{x = 2 sen3 t
y = 2 cosa t
t E [O , 7C/21.
Temos,
x(t) = 2 sen3 t , x ' (t) = 6 sen2 t cos t ;
y(t) 2 cosa t , y '(t) = - 6 cos2 t sen t.
Portanto,
*\/[x '(t)]2 + [y '(t)]2 dt
V(6 sen2 t cos t)2 + (- 6 cos2 t sen t)2 dt
I36 seno t cosa tj+ 36 coso en2 dt
s
tt
o
J.o
7r./2
So
n/2
J.o
n/2
fo
\136 sen2 t cosa t dt
6 sen t cos t dt
7r,/26 sen2 t=
O
= 3 unidades de comprimento.
2
Aplicações da integral definida 475
Logo, o comprimento total da hipociclóide dada é 4 • 3 = 12 unidades de
comprimento.
8.3 ÁREA DE UMA REGIÃO PLANA
Um estudo de área de regiões planas foi feito no Capítulo 6. Nesta seção,
vamos calcular a área de uma região plana, sendo que as curvas que delimitam a região
são dadas na forma paramétrica.
Caso I. Cálculo da área da figura plana S, limitada pelo gráfico de f, pelas retas x = a,
x = b e o eixo dos x (ver Figura 8.8), onde y = f(x) é contínua, f(x) O V x E [a, b] e
é dada por
{x = x(t) , t E [to , ti ] ,
com x(to) = a e x(ti ) = b.
Figura 8-8
y = y(t)
Neste caso, conforme vimos em 6.11.1, a área de S é dada por
476 Cálculo A — Funções, Limite, Derivação, Integração
Fazendo a substituição x = x(t); dx = x ' (t) dt, obtemos
(1)
8.3.1 Exemplo. Calcular a área da região limitada pela elipse
A Figura 8.9 ilustra este exemplo.
x = 2 cos t
y = 3 sen t .
Figura 8-9
Como esta curva apresenta simetria em relação aos eixos, vamos calcular a
área da região S i que está no primeiro quadrante.
Para aplicar (1) precisamos determinar os limites de integração to e t 1 . Para
isso, usamos as equações paramétricas da curva. Observando a Figura 8.9, vemos que
x varia de O a 2 e assim, to corresponde ao ponto P(0, 3) e t i corresponde ao ponto
Q(2, O) sobre a elipse.
Aplicações da integral definida 477
No ponto P(0, 3), temos
O = 2 cos to ,
3 = 3 sen to ;
dessa forma, to = —2 .
No ponto Q(2, O), temos
2 = 2 cos t i ,
O = 3 sen t i ;
então, t 1 = O.
Portanto,
o
A 1 =
it/2
3 sen t • (— 2 sen t) dt
50
n/2
— 6 sen2 t dt
1
—
2
cos 2t dt
[= 3 t — sen 2t
2
/
3 te 2 u.a..
= 6 50
n/2
n/2
o
Logo, a área da região limitada pela elipse é 4 —37c = 67z u.a..
2
478 Cálculo A — Funções, Limite, Derivação, Integração
Caso II. Cálculo da área da figura plana limitada pelos gráficos de f e g, pelas retas
x=aex= b, onde f e g são funções contínuas em [a, b], comflx) g(x), V x e [a, b] e
são dadas na forma paramétrica.
A Figura 8.10 ilustra este caso.
♦Y
= f(x)
Y2 = g(x)
a b X
Figura 8-10
Temos que y 1 = f(x) é dada por
= x1 (t)1 t E [to , t1]
e y2 = g(x) é dada por
{X2 = x2 (t)
Y2 = y2 (t)
, t e [t2 , t3] ,
onde x 1 (t0) = x2(t2) = a e x 1 (t1 ) = x2(t3) = b.
Usando o resultado de 6.11.5 e o caso anterior, vem
A = fb Ú(x) - g(x)] dx
a
y1 =
y1(
t)
Aplicações da integral definida
479
f(x) dx — g (x) dx
a a
=
1
y (t) x
r 13
(t) dt — t
2
y2 (t) x2 ' (t) dt . (2)
O
S.3.2 Exemplo. Calcular a área entre as elipses
{
x = 2 cos t
y = 4 sen t e
x = 2 cos t
y = sen t .
A Figura 8.11 ilustra este exemplo.
Figura 8-11
•
480
Cálculo A - Funções, Limite, Derivação, Integração
Procedendo de forma análoga ao exemplo 8.3.1 e aplicando (2), obtemos
0
A = 4
Lt/2
[4 sen t (- 2 sen t) - sen t • (- 2 sen t) ] dt
O
= 4
Lc/2
(- 8 sen2 t + 2 sen2 t) dt
n/2- 4 J - 6 sen2 t dto
24 S 11/2 ( 1 1o - 2 cos 2 t dt
n/2
= 12 t - -2 sen 2 t
= 12 • 2
= 6 7c u. a. .
8.4 EXERCÍCIOS
Nos exercícios de 1 a 14, encontrar o comprimento de arco da curva dada.
1. y=5x-2 , -2 ^ x< 2
2. y = x 13 - 1 , 1 x < 2
13. y = -3 (2 + X2)3/2 , 0 < X < 3
5 . Y =
1
x
4 1
1 < x < 2
8x2
4. X2/3 + y2/3 = 2/3
Aplicações da integral definida 481
1 e + e-1
7. y = -2 (e' + e-x) , de (0,1) a (1, 2
8. y = ln x , NIT s x s VFi
9. y = 1 - ln (sen x) , sx s
10. y = , de Po(0, O) até P 1(4, 8)
11. y = 4 + 2 , de P0(0, 2) até P1 (1, 6)
12. y = 6 (1/7 - 1) , de Po(1, O) até P1(2 Vr, 6)
13. (y - 1)2 = (x + 4)3 , de P0(-3, 2) até Pi(0, 9)
14. x2 = y3 , de P0(0, O) até P1(8, 4)
Nos exercícios de 15 a 21, estabelecer a integral que dá o comprimento de arco da curva dada.
\_. 15. y=x2 , O sxs 2
'.. 1 1
'16. 1= -
x
, de PO(-4 , 4) até P1(4 , -4
)
-,.
N-17. x2 - y2 = 1 , de P0(3, - 2 V-2-) até /31(3, 2 .{2-)
18. y , de P0(0, 1) até P1(2, e2)
19. y=x2 +2x-1 , Osxsl
20. y = , 2 s x s 4
21. y=sen3x,Osxs 2n
{yx ==24. 25.— sen tcos t t E [0,27t ]
{x = t sen t
y = t cos t , t [0,7c]
{yx26. 3t + 2
t— 1
{
x = 1/3 t3
y = 1/2 t2
, O
t < 2, t e [O, 2] 27.
{xy28. et cos t
et sen t
1 t < 2 29. {x = 2 cos t + 2t sen t O t 7Cy= 2 sen t — 2t cos t , < 2
t e [0,2n]31. Achar o comprimento da circunferência {x = a cos ty = a sen t '
482 Cálculo A — Funções, Limite, Derivação, Integração
Nos exercícios de 22 a 29, calcular o comprimento de arco da curva dada na forme
paramétrica.
{
30. Achar o comprimento da hipociclóide x = 4 sena t
y = 4 cosa t '
t e [0,2n]
32. Calcular o comprimento da parte da circunferência que está no primeiro quadra= x = 7 cos t/4y = 7 sen t/4
Nos exercícios de 33 a 35, calcular a área da região limitada pelas seguintes curvas, dadas na
forma paramétrica.
Jx = cos ty = sen t
Jx = 2 cosa t
y = 2 sena t
{
x = cos t
y = 1/2 sen t
{y = 2 sen t
x = 2 cos t
33. e
34. e
22. {x = t3 1 < t < 3 23. {x = 2 (t — sen t)
Y t2 y = 2 (1 — cos t)
t E [0, n]
Aplicações da integral definida
483
{x = t
35.
y= i2
e {x = 1 + ty = 1 + 3t
36. Calcular a área da parte da circunferência {x = 2 cos t
2 sen ty =
n que está acima da reta y = 1.
37. Calcular a área da região delimitada pela elipse {x = 3 cos ty = sen t .
38. Calcular a área da região limitada à direita pela elipse {x = 3 cos t
y = 2 sen t
e à esquerda pela reta
3 j •
x — 2
39. Calcular a área da região entre as curvas .= 4 cos t
= 2 sen t e
{
x = cos t
y = sent.
x 3 cos t ,.„40. Calcular a área entre o arco da hipociclóide , , t e Lu,—]earetax+y= .
y = 3 sen' t 2
41. Calcular a área delimitada pela hipociclóide x = 4 sen3 t
y = 4 cosa t .
42. Calcular a área da região S, hachurada na Figura 8.12.
{
x = k(t — sen t)
y = k(1 — cos t)
21m
Figura 8-12
484 Cálculo A — Funções, Limite, Derivação, Integração
8.5 VOLUME DE UM SÓLIDO DE REVOLUÇÃO
Fazendo uma região plana girar em torno de uma reta no plano, obtemos um
sólido, que é chamado sólido de revolução. A reta ao redor da qual a região gira é
chamada eixo de revolução.
Por exemplo, fazendo a região limitada pelas retas y = 0, y = x e x = 4 girar
em torno do eixo dos x, o sólido de revolução obtido é um cone (ver Figura 8.13).
Figura 8-13
Se o retângulo delimitado pelas retas x = O, x = 1, y = O e y = 3 girar em torno
do eixo dos y, obtemos um cilindro (ver Figura 8.14).
X
Figura 8-14
Aplicações da integral definida
485
Consideremos agora, o problema de definir o volume do sólido T, gerado pela
rotação em tomo do eixo dos x, da região plana R vista na Figura 8.15.
Figura 8-15
Suponhamos que f(x) é contínua e não negativa em [a, b].
Consideremos uma partição P de [a, b], dada por
a = xo < x 1 < < < xi
< < xn = b.
Seja Ari = xi — xi_ 1 o comprimento do intervalo [
, xi ].
Em cada intervalo
, xi ], escolhemos um ponto qualquer ci.
Para cada i, i = 1, n, construimos um retângulo R i, de base A xi e altura
f(c i). Fazendo cada retângulo R i girar em tomo do eixo dos x, o sólido de revolução
obtido é um cilindro (ver Figura 8.16), cujo volume é dado por
[ f(ci) ] 2 A xi .
A soma dos volumes dos n cilindros, que representamos por Vn , é dada por
Vn = n [f(c i ) ]2 A x i + 7C [f(C2) ]2 A x2 + + 7L [ f(cn) ]2 Axn
n
ic [f(ci)]2 A xi ,
i
e nos dá uma aproximação do volume do sólido T (ver Figura 8.17).
486 Cálculo A — Funções, Limite, Derivação, Integração
Figura 8-16
Podemos observar que à medida que n cresce muito e cada A xi, i = 1, n,
torna-se muito pequeno, a soma dos volumes dos n cilindros aproxima-se do que
intuitivamente entendemos como o volume do sólido T.
Figura 8-17
8.5.1 Definição. Seja y = f(x) uma função contínua não negativa em [a, b]. Seja R a
região sob o gráfico de f de a até b. O volume do sólido T, gerado pela
revolução de R em torno do eixo dos x, é definido por
V = 11111
máx —> O
[f(c i)}2 A x .
=
(1)
Aplicações da integral definida 487
A soma que aparece em (1) é uma soma de Riemann da função [ f(x) ] 2 . Como
f é contínua, o limite em (1) existe, e então, pela definição da integral definida, temos
,b
V = [f(x)]2 dx .
a (2)
A fórmula (2) pode ser generalizada para outras situações:
(1) A função f(x) é negativa em alguns pontos de [a, b].
A Figura 8.18(c) mostra o sólido gerado pela rotação da Figura 8.18(a), ao
redor do eixo dos x, que coincide com o sólido gerado pela rotação, ao redor do eixo
dos x, da região sob o gráfico da função I f(x) I de a até b (ver Figura 8.18(b)). Como
I f(x) 12 = (f(x)) 2, a fórmula (2) permanece válida neste caso.
(a) (b) (c)
Figura 8-18
(2) A região R está entre os gráficos de duas funções f(x) e g(x) de a até
b, como mostra a Figura 8.19.
Supondo f(x) g(x), V x E [a, b], o volume do sólido T, gerado pela rotação
de R em torno do eixo dos x, é dado por
V = 7C j a 'M X)12 — [g(4] 2 I dx . (3)
488 Cálculo A — Funções, Limite, Derivação, Integração
Ay
a b X
Figura 8-19
(3) Ao invés de girar ao redor do eixo dos x, a região R gira em torno
do eixo dos y (ver Figura 8.20).
Figura 8-20
Neste caso, temos
V = 7C f [g(y)l2 dy • (4)
Aplicações da integral definida
(4) A rotação se efetua ao redor de uma reta paralela a um dos eixos
coordenados.
Se o eixo de revolução for a reta y = L (ver Figura 8.21), temos
V = 7C [f(x) —L]2 dX. (5)
a
Ay
X
Figura 8-21
Se o eixo de revolução for a reta x = M (ver Figura 8.22), temos
V = 7C
[g(y)—M72dy. (6)
c
Ay M
X
Figura 8-22
490 Cálculo A — Funções, Limite, Derivação, Integração
8.5.2 Exemplos
1(i) A região R, limitada pela curva y = —4 x2 , o eixo dos x e as retas x = 1
e x= 4, gira em torno do eixo dos x. Encontrar o volume do sólido de revolução gerado.
Na Figura 8.23, vemos a região R e o sólido T gerado pela rotação de R em
torno do eixo dos x.
Figura 8-23
Aplicando a fórmula (2), temos
4
V 7t
(
-
1 2
4
X
2)
dx
47r x5
16 5
= 73- [45 - 1 5 1
80
1023 80 ic unidades de volume (u. v.).
Aplicações da integral definida 491
(ii) Calcular o volume do sólido gerado pela rotação, em torno do eixo dos
1
x, da região limitada pela parábola y = -4 (13 - x2) e pela reta y = -
1 (x + 5) .2
Na Figura 8.24 podemos ver a região R e o sólido T, gerado pela rotação de
R em torno do eixo dos x.
Figura 8-24
Aplicando a fórmula (3), vem
V = J 3_ 1 1
2
4[ (13 x2)1 2 2 (x + 5)[ dx
}
1—16 (169 - 26x2 + x4) - -4-.1 (.x2 + 10x + 25)] dx= L3
7C 1
16 J_ 3 (69 - 40x - 30x2 + x4) dx
16
x5Tc [69x - 20x2 - 10x3 + —5 ]
-3
492 Cálculo A — Funções, Limite, Derivação, Integração
7C
6 69 — 20 — 10 + + 207 — 180 + 270 +5
243]
5
1924 7c
80
= 24,05 u. v. .
(iii) Calcular o volume do sólido gerado pela rotação, em tomo do eixo dos
7C 7Zx, da região entre o gráfico da função y = sen x e o eixo dos x, de
2
até 32 •
A Figura 8.25 mostra a região R e o sólido gerado pela rotação de R em tomo
do eixo dos x.
Figura 8-25
Aplicando a fórmula (2), temos
V = 7C (sen x)2 dx
= 2 - 2— c°s 2x dx
Aplicações da integral definida 493
( 1
—
2
x — 4 sen 2x
À
r 1
3 7C 1
37r
1 7C 1 7C)
• — sen 2 + + sen 2
—
2 2 4 2 2 2 4 2
■
3 7Z= 7c[ 4
—0+4+0
= 7C 2 11. V. .
(iv) A região limitada pela parábola cúbica y = x 3 , pelo eixo dos y e pela reta
y = 8, gira em tomo do eixo dos y. Determinar o volume do sólido de revolução obtido.
Podemos ver a região R e o sólido de revolução T, gerado pela rotação de R
em tomo do eixo dos y, na Figura 8.26.
= lt
= Ir
3i/2
- n/2
Figura 8-26
494 Cálculo A -Funções, Limite, Derivação, Integração
Para calcular o volume de T vamos aplicar a fórmula (4). Temos,
V = 7C1 [g (y)12 dy
c
ir fg [ y 12 dyo
3it • —5 y5/3
o
3 n
85/3
5
96 7t
5 U. V..
(v) Determinar o volume do sólido gerado pela
y = 4, da região limitada por y = 1/x , y = 4 e x = 4 .
rotação, em torno da reta
A região R e o sólido gerado pela rotação de R em
ser vistos na Figura 8.27.
torno da reta y = 4, podem
8
Figura 8-27
Aplicações da integral definida 495
Neste exemplo, observamos que o raio da secção transversal do sólido não é
f (x) — L, mas sim L — f (x), já que f (x) < L. Porém, como (f (x) — L)2 = (L — f (x))2, a fórmula
(5) continua válida.
Temos,
V = TC J [f(x) — 1,] 2 dx
a
7C
/ 1/4
4 [
— 4 dx
2
1/4
4 ( 1
x2
— —8 + 16 dx
4
1/4
= lt — 1 — 8 ln x + 16x
=
f 1 1
— — 8 ln 4 + 64 + 4 + 8 In —4 \
( 255 — 8 ln 16 u.v. .
4
(vi) A região R, delimitada pela parábola x =
y = —2 e y = 2 gira em torno da reta x = —1. Determinar o
obtido.
—
2
y2 + 1 e pelas retas x = —1,
volume do sólido de revolução
Podemos ver a região R e o sólido gerado pela
x = —1, na Figura 8.28.
Aplicando a fórmula (6), temos
V = 7C f [g(y) — M12 dy
c
rotação de R, em torno da reta
=
496
Cálculo A — Funções, Limite, Derivação, Integração
2 -2
7C
2 +
1 -(-1) dy
2 2
7C
1 2 2 dy
2 2
2
1 4
7C
Y
2y + 4 dy
2
= Ir [Y5
2y3 23
+ 4y20
-2
=
[32
16 32 16
20++ +8+20+ 13 +8
448 7r
15 11. v..
X = -
Figura 8-28
X
Figura 8-29
Aplicações da integral definida 497
8.6 ÁREA DE UMA SUPERFÍCIE DE REVOLUÇÃO
Quando uma curva plana gira em torno de uma reta no plano, obtemos uma
superfície de revolução.
Vamos considerar o problema de determinar a área da superfície de revolução
S, obtida quando uma curva C, de equação y = f(x), x e [a, b], gira em torno do eixo
dos x (ver Figura 8.29).
C.-y = f(x)
a
Vamos supor que f(x) O, para todo x e [a, b] e que fé uma função derivável
em [a, b].
Como fizemos para o cálculo do volume de um sólido de revolução, dividimos
o intervalo [a, b] em n subintervalos através dos pontos
a = x < x < < x. < x.< < x
n
= b.o 1-1
Sejam Q0 , Q 1 , ..., Qn os correspondentes pontos sobre a curva C. Unindo os
pontos Q0 , Q 1 , ..., Qa , obtemos uma linha poligonal que aproxima a curva C.
A Figura 8.30 ilustra esta poligonal para n = 7.
498 Cálculo A — Funções, Limite, Derivação, Integração
AY
a=x, x, x2 x3
x, x5 x6 x,=b X
Figura 8-30
Fazendo cada segmento de reta desta linha poligonal girar em torno do eixo
dos x, a superfície de revolução obtida é um tronco de cone, como mostra a Figura 8.31.
Figura 8-31
Da geometria elementar, sabemos que a área lateral do tronco de cone é dada por
A = rc (r i + r2) L,
onde r 1 é o raio da base menor, r 2 é o raio da base maior e L é o comprimento da geratriz
do tronco de cone (ver Figura 8.32).
Aplicações da integral definida 499
Figura 8-32
Portanto, a área lateral do tronco de cone que visualizamos na Figura 8.31, é
dada por
Ai = 7t (xi - i) + f (x i)] A si
f (xi _ 1) +
2 A s
= 2 7c f (c i) A si , (1)
mde As i é o comprimento do segmento Q i _ i Q i e c i é um ponto no intervalo
, xi] tal que
f (xi _ 1 ) + f (xi)
f (c) — 2 •
Observamos que podemos garantir a existência de c i _ 1 , xi] que
.i:isfaz (2), pelo Teorema do Valor Intermediário (Teorema 3.16.8), já que f é
:atinua em [a, b].
2 ic
(2)
Analisando o triângulo retângulo Qi _ 1 A Qi da Figura 8.31, vemos que
Asi = -`1(xi - _1 )2 + (xi) — f 1))2 (3)
500 Cálculo A — Funções, Limite, Derivação, Integração
Como f é derivável no intervalo [a, b], podemos aplicar o Teorema do Valor
Médio em cada [xi _ 1 , xi], i = 1, n. Então, para cada i = 1, 2, n, existe um ponto
di E (xi _/, xi) tal que
f(xi) _1) = f xi _1 )
= f ' (di) A xi ,
onde A xi = xi
— t i _1.
Substituindo em (3), vem
Asl = .\1 (A xi)2 (d,)]2 x,)2
= '\11 + [f' (di) ] 2 A xi
Substituindo agora, este resultado em (1), obtemos
A i = 2 n f (c i) l + [f '(d)] 2 A xi
Esta expressão nos dá a área lateral do tronco de cone gerado pela rotação,
em torno do eixo dos x, do segmento de reta Q i _ 1 Qi.
Somando as áreas laterais de todos os troncos de cone gerados pela rotação
dos segmentos que compõem a linha poligonal, obtemos uma aproximação da área da
superfície S, dada por
A i = 2 n f (ci) + [f '(d)]2 A xi
i=i =
Podemos observar que quando n cresce muito e cada Ax i torna-se muito
pequeno, a soma das áreas laterais dos n troncos de cone, aproxima-se do que intuiti-
vamente entendemos como a área da superfície S.
Aplicações da integral definida 501
8.6.1 Definição. Seja C uma curva de equação y = f(x), onde f e f ' são funções
contínuas em [a, b] e fx) _� O, V x E [a, b]. A área da superfície de revolução
S, gerada pela rotação da curva C ao redor do eixo dos x, é definida por
A = lim 2 n f (ci) •NI 1 + [f ' (d.)]2 A x. .
máx exi i=1
A soma que aparece em (4) não é exatamente uma soma de Riemarm da função
,f(x) '\11 + [f '(x)] 2 , pois aparecem dois pontos distintos ci e di . No entanto, é possível
mostrar que o limite em (4) é a integral desta função. Temos, então
A = 2 n Sb f (x) 111 + [ '(x)]2 dx
a (5)
Observamos que, se ao invés de considerarmos uma curva y = f(x) girando em
tomo do eixo dos x, considerarmos uma curva x = g(y), y E [c, d] girando em torno do
eixo dos y, a área será dada por
A = 2 n _ri g (y) + [g '(y)] dy . (6)
8.6.2 Exemplos
(i) Calcular a área da superfície de revolução obtida pela rotação, em torno
do eixo dos x, da curva dada por y = 4 U7c x 4 .4
Temos,
A 2 n r f (x) 'N11 + [f' (x)] 2 dx
a
4
27t1 4-Cx -"\11+ dx
1/4 X
(4)
502 Cálculo A — Funções, Limite, Derivação, Integração
4 'N/X ± 4 272 1 4 dx1/4 "G.
4
= 8 1r
1/4
+ 4 dx
8 7C (x + 4)3/2= 3/2
1/4
16 12
83/2 -
43
2
3
it (128 i — 17 .Nif7 ) u.a. .
A Figura 8.33 ilustra este exemplo.
Figura 8-33
4
Aplicações da integral definida
503
(ii) Calcular a área da superfície de revolução obtida pela rotação,
em torno
do eixo dos y, da curva dada por x = y3 , O _^ y 1.
Temos,
A = 2n fd g (y) *\i1 + [g '(y)]2 dy
• 2n f ^1 + (3y2)2 dyo
• 2 TC .1.
o y
3 'N/1 + 9y4 dy.
3 .■/1 9y4 dy. FazendoVamos agora, calcular a integral indefinida I =
a substituição u = 1 + 9y4, temos du = 36y3 dy. Então,
= —36 u1/2 du
1 2 u3/2 +
1= —
54
(1 + 9y4)312 + C .
Portanto,
2 n A = 54 (1 9y4)3/2
o
(10 — 1• 27
A Figura 8.34 ilustra este exemplo.
36 3
u. a..
504 Cálculo A — Funções, Limite, Derivação, Integração
Figura 8-34
8.7 EXERCÍCIOS
Nos exercícios de 1 a 5, determinar o volume do sólido de revolução gerado pela rotação, em
tomo do eixo dos x, da região R delimitada pelos gráficos das equações dadas.
1. y=x+1,x=0,x=2 e y=0
3. y=x2 e y=x3
5. y=x3 ,x=1 e y = O
2. y=x2 +1,x=0,x=2 e y=0
4. y=cosx,y=senx,x=0 e x = 4
Nos exercícios de 6 a 10, determinar o volume do sólido gerado pela rotação, em tomo do eixo
dos y, da região R delimitada pelos gráficos rias equações dadas.
6. y=lnx ,y= —1,y=2 e x=0 7. y=x3 e y=x2
8. x = y2 +1,X = -
2
, y=-2 e y=2 9. y=-1 ,x=0,y= 1 e y=44
1
— 5 7C It10. x = 3+seny,x=0,y — 2
e Y =
5
2
Aplicações da integral definida 505
Nos exercícios de 11 a 16, determinar o volume do sólido de revolução gerado pela rotação
das regiões indicadas, ao redor dos eixos dados.
11. y = 2x — 1 ,y=0 ,x=0 ,x= 4 ; ao redor do eixo dos x
12. y2 = 2x,x= 0,y= O e y= 2 ;aoredordoeixodosy
13. y= 2x2 ,x= 1 ,x= 2 e y= 2 ;aoredordoeixoy= 2
14. x = y2 e x = 2 — y2 ; ao redor do eixo dos y
15. y=x+x2 ,y=x2 -1 e x=0 ;aoredordoeixoy=1
16. y = x2/3 e y = 4 ; ao redor dos eixos x = —9 ,y=0 ex=0
17. Encontrar o volume do sólido gerado pela rotação, em tomo do eixo dos x, da região limitada
por y2 = 16x e y = 4x.
18. Calcular o volume do sólido gerado pela rotação, em tomo da reta y = 2, da região limitada
pory= 1 —x2 ,x= —2 ,x= 2 e y=2.
19. Calcular o volume do sólido gerado pela rotação, em tomo da reta y = 2, da região limitada
pory= 3 +x2 ,x=-2 ,x= 2 e y= 2.
20. Determinar o volume do sólido gerado pela rotação, em tomo da reta y = —2, da região limitada
pory=cosx,y=-2 ,x= O e x= 27t.
21. Determinar o volume do sólido gerado pela rotação, em tomo da reta y = 2, da região entre os
gráficos de y = sen x, y = sen3 x, de x = O até x = 7t/2
Nos exercícios de 22 a 27, calcular a área da superfície gerada pela rotação do arco de curva
dado, em tomo do eixo indicado.
22. y = 2x3 , O x 2 ; eixo dos x 23. x = , 1 y 5. 4 ; eixo dos y
24. y=x2 ,-2 ^ x ^ 2 ;eixodosx 25. y = x ,0 ^ x54 ;eixodosx2
26. y = "‘/4 —x2 , O x 1 ; eixo dos x 27. y = 1/16 —x2 , —3 x 3 ; eixo dos x
506
Cálculo A — Funções, Limite, Derivação, Integração
28. Calcular a área da superfície obtida pela revolução do arco da parábola y2 = 8x, 1 x 12, ao
redor do eixo dos x.
29. Calcular a área da superfície do cone gerado pela revolução do segmento de reta y = 4x,
O < x < 2 :
(a) ao redor do eixo dos x; (b) ao redor do eixo dos y.
8.8 COORDENADAS POLARES
Até o presente momento, localizamos um ponto no plano por meio de suas
coordenadas cartesianas retangulares Existem outros sistemas de coordenadas. Um
sistema bastante utilizado é o sistema de coordenadas polares.
No sistema de coordenadas polares, as coordenadas consistem de uma distân-
cia e da medida de um ângulo em relação a um ponto fixo e a uma semireta fixa.
A Figura 8.35 ilustra um ponto P num sistema de coordenadas polares.
Pólo
ou
origem
O Eixo Polar
Figura 8-35
O ponto fixo, denotado por O, é chamado pólo ou origem.
—>A semireta fixa OA é chamada eixo polar.
O ponto P fica bem determinado através do par ordenado (r, O), onde 1 r 1
representa a distância entre a origem e o ponto P, e O representa a medida, em radianos,
do ângulo orientado AOP.
—4
A
A
P2
TC
Aplicações da integral definida 507
Usaremos as seguintes convenções:
(i) Se o ângulo AóP for descrito no sentido anti-horário, então O > O. Caso
contrário, teremos O < O.
(ii) Se r < O, o ponto P estará localizado na extensão do lado terminal do
A
ângulo AOP.
(iii) O par ordenado (O, O), O qualquer, representará o pólo.
Observamos que, muitas vezes, o segmento OP é chamado raio.
8.8.1 Exemplos
(i) Representar num sistema de coordenadas polares os seguintes pontos:
a) P 1 (2, n/4)
c) P3 (-2, — n/4)
b) P2 (-2, n/4)
d) P4 (2, — n/4).
A Figura 8.36 (a) e (b), representa os pontos P 1 e P2, respectivamente.
(a)
(b)
Figura 8-36
A Figura 8.37 (a) e (b), mostra os pontos P3 e P4, respectivamente.
•
508
Cálculo A — Funções, Limite, Derivação, Integração
P3
P4
Figura 8-37
(b)
(ii) "O ponto P, tem um número ilimitado de pares de coordenadas polares."
Verificar esta afirmação para o ponto da Figura 8.38.
Figura 8-38
A Figura 8.39 mostra diversos pares de coordenadas polares do ponto P.
Podemos observar que este ponto pode ser representado por todos os pares ordenados
da forma
r
3 ,
k
6 + 21c7t),k e Z
re
OU,
[
-3,
6
—77c + 21c7t , k e Z.
Aplicações da integral definida 509
A
7n P9 = 0_19n6
O
P P P.. 31n -• ..,k- - O= k' , ,,t''
0, ,''''
A -17n Ao =
>
6
(k = 2) (k = -2)(k = O) (k= 1)
O ,À" -
>
A o = -57c
6
(k = -1)
Figura 8-39
8.8.2 Relação entre o Sistema de Coordenadas Cartesianas Retangulares
e o Sistema de Coordenadas Polares.
Em várias situações, surge a necessidade de nos referirmos a ambas, coorde-
nadas cartesianas e coordenadas polares de um ponto P. Para viabilizar isto, fazemos
a origem do primeiro sistema coincidir com o pólo do segundo sistema, o eixo polar
com o eixo positivo dos x e o raio para o qual O = n/2 com o eixo positivo dos y (ver
Figura 8.40).
Y
= 2
AO
Figura 8-40
510 Cálculo A — Funções, Limite, Derivação, Integração
Supondo que P seja um ponto com coordenadas cartesianas (x, y) e coorde-
nadas polares (r, e), vamos analisar o caso em que o ponto P está no primeiro quadrante.
A Figura 8.41(a) e (b) ilustra o caso para r > O e r < O, respectivamente.
Figura 8-41
Podemos observar que:
(i) Para r > O, temos
cos 8 = x e sen 8 =
r r
(ii) Para r < O, temos
xcos = — x — e sen O — y
r —r
Portanto,
(1)
(a) r > O (b)r<0
x = r cos O
y = r sen .
Aplicações da integral definida 511
Pode-se verificar a validade das relações encontradas, no caso em que o ponto
P se encontra sobre um dos eixos ou num outro quadrante.
Usando (1), podemos deduzir outra relação muito usada.
Elevando ambos os membros das equações em (1) ao quadrado, podemos
escrever
x2 = r2 cos2
y2 = r2 sen2 e .
Adicionando membro a membro, obtemos:
x2 + y2 = r2 cos2 e + r2 sen2 O ou x2 + y2 = r2 .
Portanto,
r = ± -Nix2 + y2 .
8.8.3 Exemplos
(i) Encontrar as coordenadas cartesianas do ponto cujas coordenadas polares
são (— 4, 77t/6).
Solução. A Figura 8.42 ilustra este ponto.
Figura 8-42
512 Cálculo A — Funções, Limite, Derivação, Integração
Temos,
x = r cos O e y = r sen
7 n 7 ic= — 4 cos 6
= — 4 sen 6
-‘&
— — 4 — 4 E 1
2 2
= 2 -■F3--
Portanto, (2 ï, 2) são as coordenadas cartesianas do ponto dado.
(ii) Encontrar (r, 9), supondo r < O e O 5_ 9 < 27c para o ponto P, cujas
coordenadas cartesianas são ('J, —1) .
Solução. A Figura 8.43 ilustra o ponto P.
Figura 8-43
Aplicações da integral definida 513
Temos,
• —"gx2 + y2
= —\13 + 1
—2 ;
• O= — —
r _ 2 2
sen O = —
1 1
r — 2 2 •
7cPortanto, O = 5
6 .
8.8.4 Gráficos de Equações em Coordenadas Polares.
O gráfico de F(r, O) = O é formado por todos os pontos cujas coordenadas
polares satisfazem a equação. É comum apresentarmos a equação numa forma explí-
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