ListadeExercicios-IntegralIndefinida

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ECT1102 - Cál
ulo I
Lista 3 - Primitivas e Integração
1. Determine a primitiva (antiderivada) F (x) mais geral e veri�que que F ′(x) = f(x) para 
ada
uma das funções de�nidas abaixo:
(a) f(x) = 9x2 − 4x + 3 , (b) f(x) = 2x3 − x2 + 3x , (c) f(x) = 1
x3
− 3
x2
+ C ,
(d) f(x) = 3
√
x +
1√
x
, (e) f(x) =
6
3
√
x
−
3
√
x
6
+ 7 , (f) f(x) = 2x5/4 + 6x1/4 + 3x−4 ,
(g) f(x) = 2x7 − ex , (h) f(x) = sen x +√x , (i) f(x) = cos x− 2x−7/3 .
2. Determine a integral inde�nida (primitiva mais geral). Veri�que sua resposta por diferen
i-
ação
(a)
∫
(x + 1) dx , (b)
∫ (
3t2 +
t
2
)
dt , (c)
∫
x−
1
3 dx ,
(d)
∫
t
√
t +
√
t
t2
dt , (e)
∫
(e−x + 4x)dx , (f)
∫
(4 sec x tanx− 2 sec2 x)dx,
(g)
∫
7 sen
(
θ
3
)
dθ , (h)
∫
(sen(2x) − cosec2(x)) dx , (i)
∫
x3 ex dx.
3. Nos exer
í
ios abaixo, resolva os problemas de valor ini
ial.
(a)
dy
dx
=
x2 + 1
x2
, y(1) = −1 ;
(b)
dy
dx
=
(
x +
1
x
)2
, y(1) = 1 ;
(c)
dy
dx
= e−x , y(0) = 10 ;
(d)
dy
dx
= cos x + sen x , y(0) = 2 ;
(e)
d2r
dt2
= 15
√
t +
3√
t
, r′(1) = 8 , r(1) = 0;
(f)
d3r
dt3
= − cos t , r′′(0) = 0 , r′(0) = 0 , r(0) = −1 .
4. Determine a 
urva y = f(x) no plano xy que passa pelo ponto (9, 4) 
ujo 
oe�
iente angular
em 
ada ponto é 3
√
x.
5. O volume V de um balão varia em relação ao tempo t a uma taxa dada por
2
dV
dt
=
(
3
√
t +
t
4
)
cm3/s. Se em t = 4 o volume é 20cm3, use a primitiva para determi-
nar o volume em função do tempo V (t).
6. Um foguete de
ola da superfí
ie terrestre 
om uma a
eleração 
onstante de 20m/s2. Qual
será sua velo
idade 1 minuto depois?
7. Utilizando o Teorema Fundamental do Cál
ulo, determine as integrais de�nidas abaixo:
(a)
∫ 4
1
(x2 − 4x− 3)dx , (b)
∫ 3
−2
(8x3 + 3x− 1)dx , (c)
∫ 12
7
dx ,
(d)
∫ 9
4
x− 3√
x
dx , (e)
∫ 3
−2
|x|dx , (f)
∫ 2
3
(
x2 − 1
x− 1
)
dx ,
(g)
∫ 6
−3
|x− 4|dx , (h)
∫ 4
0
√
3x
(√
x +
√
3
)
dx , (i)
∫ 4
0
x√
x2 + 9
dx ,
(j)
∫ 0
−2
3
√
x + 1 dx , (k)
∫ 5
0
√
x + 4 dx , (l)
∫ 2
−3
√
6− x dx .
(m)
∫ 1
0
e−xdx , (n)
∫ 0
−pi/2
cos xdx , (o)
∫ pi/2
−pi/2
(1− cosx)dx ,
(p)
∫ 0
−∞
ex dx , (q)
∫ 2
0
x ex
2
dx , (r)
∫ √pi
0
x sen x2 dx ,
(s)
∫ pi
0
sen2 x dx , (t)
∫ pi
0
x cos2x dx , (u)
∫ 2pi
0
sen2 x dx .
(v)
∫ 2
1
x lnx dx , (w)
∫ pi/2
0
θ2 sen(2θ) dθ , (x)
∫ 2
2/
√
3
t sec−1 t dt .
8. Determine dy/dx:
(a) y =
∫ x
0
√
1− t2dt , (b) y =
∫ 0
√
x
sen(t2) dt , (c) y =
∫ 0
tgx
dt
1 + t2
,
(d) y =
∫ sen−1x
0
cos t dt , (e) y =
∫ 1
2x
t1/3 dt , (f) y =
∫ x1/pi
−1
sen−1t dt .
9. Nos exer
í
ios abaixo, determine a área total da região entre a 
urva e o eixo x.
3
(a) f(x) = x2 + 1 , −1 ≤ x ≤ 2 ; (b) f(x) = x3 , 1 ≤ x ≤ 3 ;
(c) f(x) = x2 − 2x , −3 ≤ x ≤ 2 ; (d) f(x) = x1/3 , −1 ≤ x ≤ 8 ;
(e) f(x) = x1/3 − x , −1 ≤ x ≤ 8 ; (f) f(x) = √x− 1 , 1 ≤ x ≤ 2 ;
(g) f(x) = cos x , 0 ≤ x ≤ pi/2 ; (h) f(x) = cos x , 0 ≤ x ≤ pi ;
(i) f(x) = x cos x2 , 0 ≤ x ≤ √pi ; (j) f(x) = x2ex3 , 0 ≤ x ≤ 1 ;
(k) f(x) = x5sen x6 , 0 ≤ x ≤ 6√pi ; (l) f(x) = 2x + xex2 , 0 ≤ x ≤ 2 .
10. Nos exer
í
ios abaixo, determine a área das regiões 
ompreendidas entre as 
urvas:
(a) y = x2 − 2; y = 2 ; (b) y = x4; y = 8x ;
(c) y = x4 − 4x2 + 4; y = x2 ; (d) y2 − 4x = 4; 4x− y = 16 ;
(e) x + y2 = 0; x + 3y2 = 2 ; (f) 4x2 + y = 4; x4 − y = 1 ;
(g) x + 4y2 = 4; x + y4 = 1; x ≥ 0 ; (h) y = 2 sen(x); y = sen(2x) , 0 ≤ x ≤ pi ;
(i) y = cos(pi x/2); y = 1− x2 ; (h) y = 8cos(x); y = sec2(x) , −pi/3 ≤ x ≤ pi/3 ;
11. Cal
ule as integrais:
(a)
∫ √
3− 2s ds , (b)
∫
(x2 − 5x) ex dx, (c)
∫
4t3 − t2 + 16t
t2 + 4
dt ,
(d)
∫
x sen
(x
2
)
dx , (e)
∫
3
√
sen v cos v dv , (f)
∫
dx√
x(
√
x + 1)
,
(g)
∫
cosec(s− pi) ds , (h)
∫
3x+1 dx , (i)
∫
dt√−t2 + 4t− 3 ,
(j)
∫
dθ√
2θ − θ2 , (k)
∫
(sec x + cotg x)2 dx , (l)
∫
dx
1 + senx
,
(m)
∫
lnx dx , (n)
∫
e
√
3s+9 ds , (o)
∫
1− x√
1− x2 dx ,
(p)
∫
x lnx dx , (q)
∫
x
x + 1
dx , (r)
∫
x sec2 x dx ,
(s)
∫
eθ senθ dθ , (t)
∫
t2 cos t dt , (u)
∫
θ cos(pi θ) dθ ,
(v)
∫
dθ
secθ + tgθ
, (w)
∫
sen(lnx), dx , (x)
∫
e2x cos(3x) dx .