Notas de Aula-parte1-matrizes-sistemase determinantes(1)

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Notas de Aula – 2011/2
Matemática para Economia III
Professoras: Marina Tebet e Solimá Pimentel
EMENTA
Matrizes 
Determinantes 
3. Sistemas Lineares 
4. Espaços vetoriais 
5. Transformações Lineares 
6. Autovetores e Autovalores 
7. Equações Diferenciais Ordinárias 
	7.1 Equações Diferenciais de 1ª Ordem 
	7.2 Equações Diferenciais Lineares de 1ª Ordem 
	7.3Equações Diferenciais Ordinárias Lineares de 2ª Ordem 
	7.4 Sistemas de EDO lineares 
	7.5 Equações de Diferenças 
BIBLIOGRAFIA:
Álgebra Linear: A. Steimbruch e P. Winterle
Editora Makron Books
Matemática para Economistas: A. Chiang
Editora Mc Graw Hill
1. Matrizes
	Uma matriz de ordem m por n é um arranjo retangular de m.n elementos dispostos em m linhas e n colunas. 
Os elementos de uma matriz podem ser números, funções, ou ainda outras matrizes. 
	Representaremos uma matriz de m linhas e n colunas por:
 
Usaremos sempre letras maiúsculas para denotar matrizes, e quando quisermos especificar a ordem de uma matriz A (isto é, o número de linhas e colunas), escrevemos Amxn.
Igualdade de Matrizes
	Duas matrizes Amxn e Bmxn, de mesma ordem são iguais se, e somente se, todos os elementos que ocupam a mesma posição são idênticos.
Matrizes Especiais
1. Matriz Retangular: Amxn é uma matriz na qual 
.
2. Matriz Coluna: é aquela que possui uma única coluna (n = 1).
Exemplo: 
Vetor coluna com m linhas.
3. Matriz Linha: é aquela que possui uma única linha (m = 1).
Exemplo: 
Vetor linha com n colunas.
A matriz-linha é denominada vetor-linha.
4. Matriz Quadrada: é aquela cujo número de linhas é igual ao número de colunas (m = n). Neste caso diremos que A é uma matriz de ordem n.
Exemplo: A= (
) de ordem 2 onde 
 = i + j.
4.1. Diagonal principal
Os elementos 
, em que i = j, constituem a diagonal principal. 
4.2. Diagonal Secundária
Os elementos 
, em que i + j = n+1, constituem a diagonal secundária.
4.3. Matriz Diagonal: é uma matriz quadrada onde 
 = 0 para i ( j, isto é, os elementos que não estão na diagonal principal são nulos.
Exemplo: 
4.4. Matriz Escalar: É a matriz diagonal porém os elementos da diagonal principal são todos iguais.
			
� a ( 0
4.5. Matriz Identidade ou matriz Unidade: é uma matriz quadrada onde 
 = 1 para i = j e 
 = 0 para i ( j. Notação: I = I
=
 Matriz Identidade de ordem n
4.6 Matriz Triangular Superior: é uma matriz quadrada onde todos os elementos abaixo da diagonal principal são nulos, isto é, m = n e 
 = 0 para i > j.
Exemplo: 
4.7. Matriz Triangular Inferior: é aquela em que m = n e 
 = 0 para i < j.
Exemplo: 
5. Matriz Nula: é aquela em que 
= 0 para todo i e j.
Exemplo: A=
 onde 
 = 0, (i,j.
Operações com Matrizes
1. Adição e subtração de matrizes. Sejam Amxn , Bmxn e Cmxn matrizes de mesma ordem. Cada elemento de uma matriz é então somado ou subtraído ao correspondente elemento da outra matriz.
Propriedades 
1. A + B = B + A
2. A + (B + C) = (A + B) + C
3. A + 0 = 0 + A
4. A + (-A) = 0
2. Multiplicação por um escalar. Seja Amxn = [aij]mxn e k um número, então definimos uma nova matriz 
k.A = [kaij]mxn 
Exemplo: 
Propriedades
1. k(A + B) = kA + kB
2. (
3. 0.A = 0
4. 
3. Produto entre duas matrizes. O produto das matrizes 
, onde cada elemento 
 é obtido através da soma dos produtos dos elementos i-ésima linha de A pelos elementos da j-ésima coluna de B. Isto é:
= 
, para cada par i e j.
Propriedades: Sejam A, B, C, I e 0 matrizes de ordens tais que as somas e produtos dados abaixo sejam possíveis.
Em geral AB 
 BA
AI = IA = A
A(B+C) = AB + AC
(A+B)C = AC + BC
(AB)C = A(BC)
0.A = 0 e A.0 = 0
4. Transposição
 Dada uma matriz A = [aij]mxn, podemos obter uma outra matriz B = [bij]nxm, cujas linhas são as colunas de A, isto é, bij = aji. B é denominada transposta de A.
 Notação: B = At.
 
Propriedades
= A
 (A + B)t = At + Bt
(kA)t = kAt, onde k é um escalar.
(AB)t = BtAt 
4.1. Matriz Simétrica: é uma matriz quadrada igual à sua transposta.
4.2. Matriz Oposta: uma matriz oposta de uma matriz A é a matriz obtida a partir de A, trocando-se o sinal de todos seus elementos. 
Notação: - A.
3. Matriz Antissimétrica: é uma matriz quadrada igual à oposta de sua transposta.
5. Potência de uma matriz
Definimos Ak como sendo o produto da matriz A k-vezes, ou seja, 
5.1 Matriz Periódica: Uma matriz quadrada A é periódica se An =A, sendo n ( 2.
5.2 Matriz Idempotente: Uma matriz Anxn é dita idempotente se o produto dela por ela mesma resulta ela própria: A.A = A ou A2 = A.
Exemplo: A=
5.3 Matriz Nilpotente: Uma matriz Anxn é chamada nilpotente se o produto dela por ela mesma resulta a matriz nula: A. A = 0 ou A2 = 0.
Exemplo:A=
, é Nilpotente para n = 3.
1ª Lista de Exercícios
Uma matriz quadrada A se diz simétrica se AT = A e anti-simétrica se AT = - A.
Mostre que a soma de duas matrizes simétricas é também simétrica e que o mesmo ocorre para matrizes anti-simétricas.
O produto de duas matrizes simétricas de ordem n é também uma matriz simétrica?
Determine a e b para que a matriz A = 
 seja simétrica.
Encontre todas as matrizes 2 x 2 tal que X2 = I, em que I é a matriz identidade de ordem 2.	
Se A e B são matrizes reais de ordem 2 que comutam com a matriz 
, mostre que AB = BA.
Verdadeiro ou falso?
(-A)T = -(AT).
Se AB = 0, então A = 0 ou B = 0.
Se AB = 0, então B.A = 0.
Se podemos efetuar o produto A.A, então A é uma matriz quadrada.
Seja A uma matriz arbitrária. Sob quais condições o produto AAT é definido?
7. Nos problemas 1, 2 e 3, sejam 
 A = 
, B = 
, C= 
, D = 
.
Encontre, se possível,
A + B, A + C, 3A – 4B, AB, AC, AD, BC, BD, CD, AT, AT C, BTA, DTAT , DDT.
Sejam A = 
 e B =
. Encontre AB e BA, se possível.
Se A é uma matriz simétrica, calcule A – AT.
Se A é uma matriz diagonal, calcule AT.
Prove que (AB)T = BTAT.
2. Determinantes
Determinante é um número associado a matrizes quadradas que pode indicar informação útil sobre a matriz. Utilizaremos a notação 
 para denotar o determinante de A.
1. Determinante de primeira ordem. Dada uma matriz quadrada de primeira ordem 
chamamos de determinante associado à matriz A o número real 
.
2. Determinante de segunda ordem. Dada a matriz
, de ordem 2, 
 = 
3. Determinante de terceira ordem. 
Seja 
. Então,
. Ou, 
�� EMBED Equation.2 �� EMBED Equation.2 .
Propriedades dos Determinantes
O determinante de uma matriz não se altera quando se trocam as linhas pelas colunas. 
Se a matriz possui uma linha (coluna) constituída de elementos nulos, o determinante é nulo.
Se a matriz tem duas linhas (ou duas colunas) iguais, seu determinante é nulo.
Se na matriz duas linhas (ou colunas) têm seus elementos correspondentes proporcionais, o determinante é nulo.
O determinante de uma matriz diagonal A (superior ou inferior) é igual ao termo principal, isto é, é igual ao produto dos elementos da diagonal principal.
Trocando-se entre si duas linhas (ou colunas) da matriz, seu determinante muda de sinal.
Se A e B são matrizesquadradas de ordem n, então det (A .B) = det A . det B.
Quando se multiplicam por um número real todos os elementos de uma linha ou de uma coluna da matriz A, o determinante fica multiplicado por esse número.
Um determinante não se altera quando se somam aos elementos de uma linha (coluna) da matriz os elementos correspondentes de outra linha (coluna) previamente multiplicados por um número diferente de zero.
Cálculo de um determinante de qualquer ordem
Para calcular o determinante de uma matriz quadrada, de ordem n, é utilizado o processo de triangularização (ou triangulação). 
Este processo consiste em dada uma matriz quadrada, se procederão com as linhas (ou colunas) de seu determinante as operações adequadas para transformar a matriz A numa matriz triangular superior (ou inferior), ao mesmo tempo em que se efetuarão com o det A as necessárias compensações, quando for o caso, para manter inalterado seu valor, tudo de acordo com as propriedades dos determinantes.
Exemplo. Usaremos este processo para calcular o seguinte determinante: 
.
�� EMBED Equation.3 �� EMBED Equation.3 �� EMBED Equation.3 �� EMBED Equation.3 
Menor Complementar
	Chamamos menor complementar relativo ao elemento 
 de uma matriz quadrada A, o determinante Aij associado à matriz obtida de A quando suprimos a linha i e a coluna j.
Exemplo 
Dada a matriz 
 ,
= -1.
Cofator
	Chamamos de cofator relativo ao elemento 
 de uma matriz quadrada o número 
 tal que:
Exemplo. 
Dada a matriz 
.
Matriz dos cofatores
	Dada uma matriz A definimos a matriz 
 dos cofatores de A como sendo a matriz cujos elementos são os cofatores de A, ou seja, 
Matriz Adjunta 
É a transposta da matriz dos cofatores. Notação: adj A. Logo, 
.
Teorema de Laplace
	O determinante de uma matriz quadrada 
 (m(2) pode ser obtido pela soma dos produtos dos elementos de uma fila qualquer (linha ou coluna) da matriz A pelos respectivos cofatores.
Exemplo
,onde 
�� EMBED Equation.2 �� EMBED Equation.2 Portanto, 
Inversão de Matrizes
Dada uma matriz quadrada A de ordem n, se existir uma matriz quadrada B, de mesma ordem, que satisfaça à condição: AB = BA = I, B é dita a inversa de A e se representa por A-1.
Uma matriz quadrada cujo determinante é nulo é uma matriz singular. Caso contrário é dita não-singular ou regular.
Propriedades
Se a matriz admite inversa, esta é única.
Se a matriz é não-singular, então A admite inversa e sua inversa 
.
A matriz unidade é não singular e a sua própria inversa.
Se a matriz é não-singular, sua transposta também é, e 
.
Se as matrizes A e B são não-singulares e de mesma ordem, o produto AB é uma matriz não-singular e 
Uma matriz A é dita ortogonal se 
Operações Elementares
Dada uma matriz A, chamam-se operações elementares as seguintes ações:
Permutar duas linhas de A.
Multiplicar uma linha de A por um número real não nulo.
Somar a uma linha de A uma outra linha, multiplicada por um número real.
Definição. Dadas as matrizes A e B, de mesma ordem, diz-se que a matriz B é equivalente à matriz A se for possível transformar A em B por meio de uma sucessão finita de operações elementares.
Observação. Qualquer matriz quadrada A, de ordem n, não-singular, pode ser transformada na matriz equivalente I, de mesma ordem, por meio de uma sucessão finita de operações elementares. Para transformar uma matriz quadrada A, não-singular, na matriz I, proceda da seguinte forma:
Transforme a matriz A numa matriz triangular superior (inferior), ao mesmo tempo em que são substituídos cada um dos elementos da diagonal principal pelo número 1.
Substitua todos os elementos situados acima (abaixo) da diagonal principal por zeros, isto é, processe a diagonalização da matriz A.
Exemplo
	
�� EMBED Equation.3 �� EMBED Equation.3 �� EMBED Equation.3 �� EMBED Equation.3 �� EMBED Equation.3 �� EMBED Equation.3 �� EMBED Equation.3 �� EMBED Equation.3 �� EMBED Equation.3 
Inversão de uma matriz por meio de operações elementares
A mesma sucessão finita de operações elementares que transforma a matriz A na matriz I transforma a matriz I na matriz A-1.
Procedimento:
Coloca-se ao lado da matriz A a matriz I, separada por um traço vertical;
Transforma-se, por meio e operações elementares, a matriz A na matriz I, aplicando-se, simultaneamente, à matriz I, as mesmas operações.
Exemplo. Determine a matriz inversa da matriz 
.
 
. 
A inversa de 
é 
.
2ª Lista de Exercícios
Admita que det A = 10, onde A = 
. Ache:
det (3.A)
det (2.A-1)
det (2.A)-1
det 
Calcule m e n para que a matriz B = 
 seja a inversa da matriz A = 
Encontre a inversa de 
.
Calcule o valor de k para que a matriz 
 não tenha inversa.
Mostre que as matrizes 
 e 
são inversíveis e que são inversas uma da outra.
Encontre a inversa de 
.
Quando é uma matriz diagonal A=
 inversível e qual é sua inversa?
Calcular, pelo processo de triangularização, 
.
Dada a matriz A=
 calcule a) adjA; b) detA; c) A-1
Seja x o valor do determinante 
 então 
 é igual a.
Se 
 e 
, calcule 
.
Resolver as equações:
(a) 
		(b) 
Calcular o valor de k para que a matriz 
 não tenha inversa. 
Seja A= 
 calcule a matriz adjunta.
 Seja a matriz A= 
. Sabendo que 
, Calcule o determinante da matriz A - 2A + I2, onde I é a matriz identidade de ordem 3.
 Se a matriz 
não é inversível, calcule o valor de x.
 Para que valores reais de x a matriz 
 é inversível? 
 Dizemos que A e B são matrizes semelhantes se existe uma matriz P tal que B = P-1AP. Mostre que DetA = DetB se A e B são semelhantes.
 A matriz A=
 é tal que o 
. Calcule o valor de x.
 Verdadeiro ou falso? Se det A = 1 então A-1 = A.
 Seja a matriz
. Calcule o determinante do produto de A pela sua transposta.
 Determine a solução da equação 
 = 0.
 Dada a matriz 
, calcule o detA pelo método de Laplace.
 Escreva o determinante de 
 e 
 um em função do outro.
Dada a matriz 
, calcular MMT e concluir que M é ortogonal.
3. Sistemas de Equações Lineares
Uma equação linear é uma equação com a seguinte forma: 
Um sistema linear é um conjunto de equações lineares. Um sistema com m equações e n variáveis pode ser representado por:
	Uma solução de um sistema é uma n–upla de números
que satisfaça simultaneamente estas m equações.
Dois sistemas são equivalentes quando possuem a(s) mesma(s) solução (ões).
Podemos escrever o sistema acima numa forma matricial:
 ou A.X = B onde 
 é a matriz dos coeficientes, 
 a matriz das incógnitas e 
 a matriz dos termos independentes. 
Um sistema de equações lineares onde os termos independentes são todos nulos é chamado homogêneo.
Outra matriz que podemos associar ao sistema é 
, que chamamos matriz ampliada do sistema.
Soluções de um sistema de equações lineares
	Em um sistema de uma equação e uma incógnita, ax = b existirão três possibilidades:
i) a ( 0. Neste caso a equação tem uma única solução x = b/a.
ii) a = 0 e b = 0. Então temos 0.x = 0 e qualquer número real será solução da equação.
iii) a = 0 e b ( 0. Temos 0.x = b. Não existe solução para esta equação.
Caso geral
Consideremos um sistema de m equações lineares com n incógnitas 
Cujos coeficientes 
 e termos independentes bi são números reais (ou complexos).
Este sistema poderá ter
Uma única solução: 
Infinitas soluções
Nenhuma solução.
No primeiro caso dizemos que o sistema é possível (compatível) e determinado.
No segundo caso, dizemos que o sistema é possível (compatível) e indeterminado. E no terceiro caso, dizemos que o sistema é impossível (incompatível).
Operações Elementares e Sistemas Equivalentes
Um sistema de equações lineares se transforma num sistema equivalente quando se efetuam as seguintes operações lineares:
Permutaçãode duas equações. 
Multiplicação de uma equação por um escalar não nulo. 
Substituição de uma equação por sua soma com outra equação previamente multiplicada por um número real não nulo.
 
Forma Escada 
Uma matriz mxn é linha reduzida à forma escada se
O primeiro elemento não-nulo de cada linha não-nula é 1.
Cada coluna que contém o primeiro elemento não-nulo de alguma linha tem todos os seus outros elementos iguais a zero.
Toda linha nula ocorre abaixo de todas as linhas não nulas (isto é, daquelas que possuem pelo menos um elemento nulo).
Se as linhas 1, ..., r são as linhas não nulas, e se o primeiro elemento não nulo da linha i ocorre na coluna ki, então 
 
Esta última condição impõe a forma escada à matriz. Isto é, o número de zeros precedendo o primeiro elemento não nulo de uma linha aumenta a cada linha, até que sobrem somente linhas nula, se houver.
Exemplos:
1. 
 Não é a forma escada, pois a segunda condição não é satisfeita.
2. 
 Não é a forma escada, pois não satisfaz a primeira e a quarta condições.
3. 
 Não satisfaz a primeira nem a terceira condição.
4. 
 É a forma escada, pois todas as condições são satisfeitas.
Teorema. Toda matriz Amxn é linha equivalente a uma única matriz-linha reduzida à forma escada.
Definição. Dada uma matriz Amxn, seja Bmxn a matriz-linha reduzida à forma escada linha equivalente a A. O posto de A, denotado por p, é o número de linhas não nulas de B. A nulidade de A é o número n – p.
Exemplos 
Desejamos encontrar o posto e a nulidade de 
.
assim, efetuamos as seguintes operações com matrizes:
�� EMBED Equation.3 �� EMBED Equation.3 �� EMBED Equation.3 �� EMBED Equation.3 �� EMBED Equation.3 
o posto é 3 e a nulidade é 4 – 3 =1.
Teorema
Um sistema de m equações e n incógnitas admite solução se, e somente se o posto da matriz ampliada é igual ao posto da matriz dos coeficientes.
Se as duas matrizes têm o mesmo posto p e p = n, a solução será única.
Se as duas matrizes têm o mesmo posto p e p < n, podemos escolher n – p incógnitas, e as outras incógnitas serão dadas em função destas.
Dizemos no caso iii que o grau de liberdade do sistema é n – p.
Nos exemplos abaixo é dada a matriz-linha reduzida à forma escada da matriz ampliada. Usamos a notação
pc = posto da matriz dos coeficientes e
pa = posto da matriz ampliada. Se pc = pa denotamos simplesmente por p.
1. 
	pc = pa = 3; m=n=p=3. Então, a solução é única e 
2. 
 pc = pa = 2; m=2, n=3 e p =2. Temos um grau de liberdade: 
3. 
 m=n=3; pc =2 e pa = 3. O sistema é impossível e, portanto, não existe solução.
4. 
 pc =pa = 2; m=3, n=4 e p = 2. Temos dois graus de liberdade: 
Exemplo. Resolva o sistema 
Solução. A matriz associada ao sistema é 
 que reduzida à forma escada fornece
. Reinterpretando o sistema, vemos que z e t são variáveis livres (grau de liberdade 2). Chamando 
 obtemos:
, ou na forma matricial 
.
Observe que 
são soluções do sistema. Elas são chamadas soluções básicas do sistema porque geram todas as outras. Todo sistema homogêneo tem solução que pode ser escrita desta forma.
Regra de Cramer
Seja A uma matriz inversível m x m e seja b = (b1, b2,..., bm). Seja Ai a matriz obtida substituindo-se a i-ésima coluna de A por b. Se x for a única solução de AX= b, então 
, para i = 1, 2,..., m.
Este método só se aplica a sistemas lineares em que o número de equações é igual ao número de incógnitas.
Exemplo
Dado o sistema de 3 equações e 3 incógnitas:
 temos 
. 
Portanto, podemos usar a Regra de Cramer.
Então:
;
;
3ª Lista de Exercícios 
Determine os valores de a e b que tornam o sistema a seguir compatível e determinado; em seguida, resolva o sistema.
Determine 
 tal que o sistema 
 seja
(a) Compatível e determinado;(b) Compatível e indeterminado;(c) Incompatível.
	3. Determine os valores de k, de modo que o sistema 
	 tenha
(a) nenhuma solução; (b) mais de uma solução; (c) uma única solução
4. Classifique e resolva o sistema linear:
.
5. Classifique e resolva os seguintes sistemas lineares:
 6. Determine os valores de a, de modo que o sistema 
 	tenha	
(a) nenhuma solução; (b) mais de uma solução; ( c) uma única solução
Resolva o sistema usando a regra de cramer. 
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