IHAC-UFBa-AM-Aula3-IntroducaoFinal

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 INSTITUTO DE HUMANIDADES, 
ARTES & CIÊNCIAS ‘MILTON 
SANTOS’ 
mlfn@ufba.br 
Marcio Luis Ferreira Nascimento 
HACA82: Arte & Matemática: 
Aula 3 – Introdução – Onde Tudo 
Começou: Contagem 
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Tópicos da Apresentação 
 Apresentação: ‘O que é Arte? E Matemática?’ 
 Breve História da Arte-Matemática 
 Do que Você tem Medo? 
 Proposta Geral do Curso 
 De onde vem a Matematica? 
 A Natureza da Matematica 
 A Matematica é caracteristicamente humana? 
 Senso Numérico 
 Matematica primitiva na Bahia? 
 Principio da Contagem: Números Triangulares / 
Quadráticos 
 Uma discussão sobre a definição de matematica 
 
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Uma Definição de Arte 
 No entanto, é impossível chegarmos a 
uma definição exata do que é arte. Mas é 
certo que existem artistas e seus 
trabalhos buscam, em geral, o que 
chamamos de ‘sensação estética’. Suas 
obras buscam tocar o coração dos que 
vêem, emocionar, levar à reflexão. A 
maneira que eles encontram para isso 
varia em cada época: muda o mundo, 
mudam as formas de expressão. 
(do Latim Ars, significando técnica e / ou habilidade) 
 Arte pode ser considerada como o produto ou processo de 
arranjar deliberadamente itens (freqüentemente de significado 
simbólico) de maneira tal que influenciam e afetam ao menos um 
dos sentidos, bem como as emoções e intelecto. Abrange 
diversas atividades humanas, criações e modos de expressão, 
incluindo musica, literatura, filme, fotografia, escultura e pintura. 
Andy Warhol: Campbell's Soup 
Cans (1962) - http://moma.org 
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 Mas este é um Curso 
que também envolve 
Matematica, certo? 
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Do que Você têm 
Medo? 
Desenho de Gisele para Superinteressante 5 (1988): “Receita contra a ansiedade matemática” - Luiz Barco 
Edvard Munch: O Grito (‘Skrik’, 1893) 
Galeria Nacional de Oslo, Noruega: 
www.nasjonalmuseet.no 
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 Proposta do Curso 
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Do que se trata o curso? 
Jasnemo: Sem titulo: www.dreamstime.com 
Não se trata de um mero curso de 
contagem de formas matemáticas 
por exemplo, num quadro, mas da 
aplicação de ferramentas 
matemáticas em arte e na vida 
comum, das mais primitivas ate 
algumas recentes. 
 Um passeio sobre as idéias 
matemáticas e possíveis 
vínculos, interpretações do fazer 
matemático – fazer artístico 
 Uma demonstração da essência 
da matematica para não-
matemáticos 
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Antonio Dias – Ilustração da Arte 
– Sociedade Modelo (1973) 
Lasar Segall - Auto-
Retrato II (1919) 
Marcel Duchamp – Fonte (1917) 
Pietro Perugino: São 
Sebastião na Coluna 
(1500-1510) – MASP: 
http://masp.art.br 
Waldemar 
Cordeiro - A 
Mulher Que Não 
É BB (1971) 
Um novo manuscrito de Mozart (1764) 
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 De onde vem a 
Matemática? 
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 O homem primitivo manifestou sua curiosidade e criatividade 
através da arte, deslumbrando-se por ser a Natureza 
constituída por padrões e formas geométricas 
De onde vem a Matemática?1 
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Papiro Oxyrhynchus - Elementos 
 Registros da observação da Natureza existem há milhares 
de anos. E começou a constituir uma base matemática em 
varias culturas, como a babilônica e egípcia, alem do Brasil 
Serra da Capivara, 
PI, Brasil 
Caverna de Lascaux, França (30 mil anos) 
Tablete babilônio Plimpton 322 – 1600-1900 a.C. 
Osso de lobo, paleolítico superior (20.000 a.C.) 
De onde vem a Matemática?2 
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C. 
Manuscrito Bakhshali, 200-400 
d.C., Paquistão 
C. Pickover, “The Math Book”, 
Sterling Ed. (2009) 
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 Coletores de taxas (acima) e pedreiros (abaixo) Antigo Império Egípcio em ação. 
Ao lado, vaso de vidro recoberto com ouro (“Ancient Times”, J. Breasted, 1916) 
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Tumba de Nakth, astrônomo de Tutmés IV, em Luxor (1550-1292 a.C.) – passagens da vida 
cotidiana do Egito antigo: agricultores, fazendeiros e escribas 
Calendário Maia - Dresden Codex: 
Tabelas Eclipse Lunar 
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De onde vem a Matemática?3 
 Princípio da contagem: Osso de Ishango 
 Paleolítico superior, 18.000 a 20.000 a.C. 
Venus de Willendorf, mesmo período 
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De onde vem a Matemática?4 
Nossos ancestrais conseguiam manter registros dos seus rebanhos ou dos seus 
exércitos, fazendo marcas na madeira, argila ou em ossos, ou ainda arrumando 
pedras (seixos ou cálculos) em pilhas. Podemos rastrear essa origem verificando 
que as palavras "talha" e "cálculo" vem do latim, talea, que significa corte, e 
calculus, que significa seixo. A próxima descoberta refere-se aos números 
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 A Natureza da 
Matemática 
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A Matematica é Humana?1 
 Ahmed vive no deserto tunisiano, no 
extremo norte do Saara. Ele não teve 
nenhuma educação formal e tudo o que 
sabe aprendeu por experiência. 
 Todo dia Ahmed deixa sua casa no deserto e viaja longas distancias a procura de 
alimento. Em sua caça, ele primeiro segue numa direção, depois outra... E continua 
nesta ate ser bem sucedido, momento no qual faz algo realmente notável: em vez de 
seguir suas pegadas na areia – que poderiam ser apagadas pelo vento, ele se vira 
exatamente na direção da sua casa e parte em linha reta, sem se deter ate que a 
alcance, aparentemente sabendo de antemão que distancia andar, com uma margem 
de erro de apenas alguns passos.  Ahmed é uma formiga (Cataglyphis fortis). 
 Varias formigas guiam-se por odores e rastros químicos, delas ou de outras da colônia 
– o que NÃO é o caso da formiga tunisiana. A explicação, segundo Wehner & 
Srinivasan, baseia-se na técnica chamada calculo de posição. Desenvolvida por 
marinheiros em tempos remotos, consiste em registrar a direção, velocidade e tempo 
decorrido, sendo possível calcular assim a distancia exata percorrida. 
 Estudo recente mostrou que tal formiga mede as distancias contando passos, e tendo 
a noção media de cada passo, pode calcular a distancia percorrida multiplicando tal 
comprimento pelo numero de passos. 
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Keith Devlin: http://www.stanford.edu/~kdevlin 
Wehner & Srinivasan – J. Comp. Physiol. 142 (1981) 315 
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A Matematica é Humana?2 
 É claro que tais estudos NÃO sugerem que tal inseto execute multiplicações como 
um ser humano faria. A formiga simplesmente faz algo que lhe é natural, seguindo 
seus instintos, que resultam de centenas de milhares de anos de evolução. 
Alguns animais possuem senso numérico – que é algo diferente de 
contagem usual, e muito menos da matematica abstrata 
 ATENÇÃO: Não se pode confundir 
o senso numérico que aparece em 
alguns animais, sejam pássaros, 
insetos ou macacos, com a 
contagem, que é um atributo 
puramente humano e é uma das 
bases de todo o desenvolvimento 
matemático. 
 O senso numérico permite olhar 
uma coleção e dizer 
instantaneamente: são três 
filhotes, duas árvores, três pedras 
ou quatro cavalos. O senso 
numérico permite apenas isso: 
dois,
três... poucos 
J. Exp. Bio. 203 (2000) 1113 
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Senso Numérico em 
Animais 
 Primatas aparentam possuir 
algum senso numérico, e 
aos primatas mais evoluídos 
podem-se ser ensinados de 
forma a identificar números 
de 1 a 6 ao se apertar 
apropriadamente em 
computadores as teclas 
correspondentes aos 
números quando lhe são 
apresentados um 
determinado numero de 
objetos 
 C. Pickover, The Math Book, 
Sterling Ed. (2009). 
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Senso Numérico 
e Contagem 
 Se as aves utilizam o senso numérico apenas para a sobrevivência, para 
reconhecer, por exemplo, se um de seus filhotes desapareceu do ninho, o 
homem foi além desenvolvendo um atributo bem mais eficaz, a contagem. 
 Numerando os objetos, um a um, pode-se contar conjuntos de coisas muito 
maiores que os percebidos somente pelo senso numérico 
  Por exemplo, ao ir ao teatro, e entrar na sala de 
espetáculos alguém pode verificar que não há 
nenhuma cadeira vazia, mas também, não há 
ninguém em pé. Conclui-se então que as duas 
coleções, a de pessoas e a de cadeiras, tem 
exatamente o mesmo número, ainda que não 
saiba qual é. Este processo de verificação é muito 
usado na matemática, com o nome de 
"correspondência um a um“ (biunívoca). 
Associando um objeto de uma coleção, até que 
uma das coleções (ou as duas, como no nosso 
exemplo do teatro) esteja esgotada Schøyen Collection, MS 3047 (2700 A.C.) 
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Contagem e Numero 
(Representação 
Simbólica) 
 Aos nossos antepassados, as asas de um pássaro, por exemplo, 
podem ter simbolizado o número 2, que é a propriedade comum a 
todas as coleções que podem ser colocadas em correspondência, um 
a um, com as asas de um pássaro. Um trevo representou o algarismo 
3. As patas de um animal, o 4. Os dedos das mãos, o 5, e assim por 
diante. Depois de muito tempo, o símbolo adotado e a palavra 
numérica, neste caso, o dois, tornaram-se um modelo tão bom quanto 
o objeto natural. Estabelece-se assim uma linguagem formal, uma 
representação simbólica 
 O próximo passo foi a contagem, no sentido humano. Suponha que 
numa sala existam cinco cadeiras. Se alguém perguntar quantas 
cadeiras há na sala, não será necessário gastar muito tempo para 
responder. Basta levantarmos os cinco dedos de uma mão e se 
estará, dessa forma, associando um a um os elementos de uma 
coleção-padrão (a mão) à coleção de cadeiras da sala. 
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 Definição: 
Matematica 
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O que é a Matemática? 
 A matemática é um saber que 
apresenta um certo tipo de beleza. Uma 
beleza diferente por exemplo da beleza 
da música ou da pintura. Diferente, mas 
igualmente agradável. A beleza da 
matemática está na estética do 
raciocínio. 
Wesley Duke Lee (artista plástico brasileiro, 1931-2010) 
 Pode-se dizer que a intuição de um 
matemático se aproxima da intuição 
feminina, ao notar diferenças que 
somente as mulheres conseguem 
observar. Um matemático vê o mundo 
além das aparências, além das formas 
imediatas. É assim que ele faz as 
grandes descobertas. 
Newton Carneiro Affonso da Costa (matemático brasileiro, 1929) 
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Super 57 (1992) 29 Super 21 (1989) 61 
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Arte & Matematica: Pura e 
Aplicada - Equivalências 
 Matematica aplicada 
 Matematica pura 
 É toda matematica que 
responde a celebre e 
clássica pergunta: “Para 
que serve, professor?” 
 Exemplo: aplicações de 
geometria na construção das 
pirâmides do Egito 
 Corresponde ao resto. 
 Exemplo: postulados da 
geometria euclideana 
Mas note que a matematica pura pode vir a ser aplicada: por exemplo o Teorema de Pitágoras 
 Arte figurativa 
 Arte pura 
 Artes plásticas em geral, 
em formas representativas 
 Exemplos: cinema e teatro 
 Grosso modo, musica 
clássica 
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 Onde Tudo 
Começou... 
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 Homem das cavernas… 
 Serra da Capivara, PI 
Matemática 
Primitiva no Brasil? 
Onde Tudo Começou... 
Flauta de osso e osso 
talhado, 32 mil anos: Museu 
Nacional de Antiguidades - 
França 
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Município da Bahia, Brasil – à 502 km de 
Salvador 
 Há dez mil anos atrás caçava-se 
toxodonte à paus e pedras em 
Central 
toxodonte 
caçadores 
parente do hipopótamo Revista Muito 48 (2009) 
Matemática 
Primitiva na Bahia? 
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Inicio da Matematica: 
Contagem 
 Há aproximadamente 5 mil anos antes de Cristo, tribos 
africanas em estagio similar as de Central-BA praticavam 
uma matematica diferente, baseada em dois conceitos: 
NUMEROS TRIANGULARES: 
1 3 6 10 
NUMEROS QUADRANGULARES: 
1 4 9 16 
 A partir destes conceitos, é possível matematizar, por 
exemplo ao resolver uma simples questão: qual seria a 
soma dos primeiros n números? 
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Inicio da Matematica: 
Contagem 
Oetzil – o Home de Gelo: sua múmia foi 
descoberta recentemente nos Alpes. 
Estima-se que viveu há 5300 anos. 
Reconstrução em tamanho natural a partir 
de técnicas forenses (FSP, 22 FEV 2011). 
FSP, 15 MAR 2011 - Reconstrução Artística 
de um Neandertal – Museu Neandertal de 
Mettmann: www.neanderthal.de 
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Soma dos Primeiros n Números 
 Modo algébrico (escolar): 
1 + 2 + 3 
4 
2 
+ 
2 + 2 
2 
1 + 2 + 3 + 4 + 5 
6 
6 
3 
+ 
3 + 3 
3 + 3 
3 
1 + 2 + 3 + 4 + 5 + 6 + 7 
8 
8 
8 
4 
+ 
4 + 4 
4 + 4 
4 + 4 
4  Verificar pelo raciocínio 
acima que a soma de n 
primeiros números é: Sn = 
n(n+1) 
2 
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1 + 2 = 3 
1 + 2 + 3 = 6 
1 + 2 + 3 + 4 = 10 
1 + 2 + 3 + 4 + ... + n = 
n(n+1) 
2 
Demonstração geométrica da soma: 
n 
n 
Soma dos Primeiros n Números 
 Modo africano: números quadrados e triangulares 
1 3 6 10 15 ... 
1 3 6 10 ... 
Notar que: 
1 2 3 4 5 ... 
1 4 9 16 25 ... 
NUMEROS TRIANGULARES: 
diferença: 
soma: 
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Para Casa: Encontrar Padrões 
nas Sequências Abaixo 
 1 2 4 8 16 32 
Progressão Geométrica de razão 2 
64 128 256... 
 1 1 2 3 5 8 
Sequência de Fibonacci 
13 21 34... 
 14 32 33 36 41 52 
Mega-Sena da Virada 2013 (no. 1455) 
 2 3 5 7 11 13 
Sequência de Números Primos 
17 19 23... 
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há
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Crivo de Eratóstenes 
 No nosso exemplo, a lista 
fica: 2, 3, 5, 7, 9, 11, 13, 15, 
17, 19, 21, 23, 25, 27, 29... 
 O próximo número da lista 
é primo. Repita o 
procedimento. No caso, o 
próximo número da lista é 
3. Removendo seus 
múltiplos, a lista fica: 2, 3, 
5, 7, 11, 13, etc. O próximo 
número, 5, também é 
primo; a lista fica: 2, 3, 5, 7, 
11, 13, 17, 19, 23, 29, 31, 37, 
41, etc. E assim por diante. 
 Crie uma lista de todos os números inteiros de 2 até um valor 
limite: 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, etc. Encontre o primeiro número da lista. 
Ele é um número primo, 2. Remova da lista todos os múltiplos do 
número primo encontrado. 
 
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Os Primeiros 
1.000 Primos 
 2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23, 29, 31, 37, 41, 43, 47, 53, 59, 
61, 67, 71, 73, 79, 83, 89, 97, 101, 103, 107, 109, 113, 127, 
131, 137, 139, 149, 151, 157, 163, 167, 173, 179, 181, 191, 
193, 197, 199,
211, 223, 227, 229, 233, 239, 241, 251, 257, 
263, 269, 271, 277, 281, 283, 293, 307, 311, 313, 317, 331, 
337, 347, 349, 353, 359, 367, 373, 379, 383, 389, 397, 401, 
409, 419, 421, 431, 433, 439, 443, 449, 457, 461, 463, 467, 
479, 487, 491, 499, 503, 509, 521, 523, 541, 547, 557, 563, 
569, 571, 577, 587, 593, 599, 601, 607, 613, 617, 619, 631, 
641, 643, 647, 653, 659, 661, 673, 677, 683, 691, 701, 709, 
719, 727, 733, 739, 743, 751, 757, 761, 769, 773, 787, 797, 
809, 811, 821, 823, 827, 829, 839, 853, 857, 859, 863, 877, 
881, 883, 887, 907, 911, 919, 929, 937, 941, 947, 953, 967, 
971, 977, 983, 991, 997 
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Teorema Fundamental da 
Aritmética 
 Todo número inteiro positivo n maior que 
1 pode ser decomposto num produto de 
números primos pi de maneira única 

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 30
 e 
30
 
612 
612 = 2 × 306 
612 = 2 × 2 × 153 
612 = 2 × 2 × 3 × 51 
612 = 2 × 2 × 3 × 3 × 17 
n = p1×p2×p3...×pi 
O maior número primo conhecido (25 
janeiro de 2013) é 257.885.161 − 1, e 
tem 17.425.170 dígitos 
i = 1, 2, 3, ... 
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Aplicação: Criptografia 
 Encontrar dois números primos p e q cujo 
produto seja 9.999.911. 
 Somente existem dois números primos p e 
q que resultam em 9.999.911: 
9.999.911 = 307 × 32.573 
 Cada vez mais são utilizados números 
primos para realizar transações 
seguras na internet, como compra a 
partir de cartões de crédito – 
criptografia 
 De fato, os números primos são a 
chave que protegem transações 
eletrônicas 
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Pensata 
 Quando as coisas 
se tornam muito 
complicadas, às 
vezes faz sentido 
parar e refletir: 
estou fazendo as 
perguntas certas? 
Enrico Bombieri (n. 1940), matemático italiano e professor no Instituto de Estudos 
Avançados de Princenton (USA: www.ias.edu) 
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da Bahia 
Obrigado & Bem-Vindos!!! 
 O IHAC é de vocês! 
Foto: Arestides Baptista – A TARDE, 14/12/2008 
	Slide Number 1
	Tópicos da Apresentação
	Uma Definição de Arte
	Slide Number 4
	Do que Você têm Medo?
	Slide Number 6
	Do que se trata o curso?
	Slide Number 8
	Slide Number 9
	Slide Number 10
	Slide Number 11
	C.
	Slide Number 13
	Slide Number 14
	Slide Number 15
	Slide Number 16
	Slide Number 17
	A Matematica é Humana?1
	Slide Number 19
	Slide Number 20
	A Matematica é Humana?2
	Senso Numérico em Animais
	Senso Numérico e Contagem
	Contagem e Numero (Representação Simbólica)
	Slide Number 25
	Slide Number 26
	Slide Number 27
	Arte & Matematica: Pura e Aplicada - Equivalências
	Slide Number 29
	Slide Number 30
	Slide Number 31
	Inicio da Matematica: Contagem
	Inicio da Matematica: Contagem
	Soma dos Primeiros n Números
	Soma dos Primeiros n Números
	Para Casa: Encontrar Padrões nas Sequências Abaixo
	Crivo de Eratóstenes
	Os Primeiros 1.000 Primos
	Teorema Fundamental da Aritmética
	Aplicação: Criptografia
	Pensata
	Slide Number 42