Prévia do material em texto
Profª Waléria Cecílio Página 1
CÁLCULO INTEGRAL
INTEGRAL INDEFINIDA
Pode ser definida como a operação que nos dá a função quando
conhecemos sua diferencial. Observe as funções e suas diferenciais:
y = f (x) diferencial y = f (x) diferencial
y = sen(x) + 1 dy = cos(x)dx y = x2 + 6 dy = 2xdx
y = sen(x) + 10 dy = cos(x)dx y = x2 dy = 2xdx
y = sen(x) - 5 dy = cos(x)dx y = x2+2 dy = 2xdx
::: ::: ::: :::
y = sen(x) + C dy = cos (x)dx y = x2 + C dy = 2xdx
Primitiva
Definição: Uma função F(x) é uma primitiva de f(x) em um intervalo I, se
F’ (x) = f (x) para qualquer x pertencente ao domínio de f .
O conjunto de todas as primitivas de f é a integral definida de f em relação a
x e escrevemos:
∫ f (x)dx = F (x)+C; isto é: ��� (∫ f (x)dx) =
�
�� (F (x) + C) f (x) = F’ (x)
Onde:
∫ é o símbolo de integração
dx é a diferencial da variável de integração
f(x) é a função a ser integrada
F(x) é a primitiva de f(x)
C é a constante de integração
Desta forma, a integral indefinida da função f(x) representa uma família de primitivas.
Exemplo: A integral indefinida da função 2x é x2 +C; isto é ∫ 2xdx � x² � , observe,
�
��
� 2xdx� �
� �x� � C� 2� � 2� e a família de primitivas é uma família de
parábolas que pode ser visualizada graficamente variando os valores de C.
�� � 0, ���� � �²;
�� � 1, ���� � �² � 1;
�� � 3, ���� � �² � 3 �
�� � �1, ��� � �² � 1 .
Profª Waléria Cecílio Página 2
Propriedades:
1. �" ����#� � " �����#�
2. �$���� ± ����&#� � � ����#� ± �� ���#�
Exercício: Resolva as seguintes integrais indefinidas:
1. ��#� � '� �² +
2. ��³#� = ')�) +
3. �#� =� +
4. �3�²#� =�³ +
5. � ��� = ln � +
6. � ���² = − '� +
7. � ���√� = √� +
8. �√� #� = �- �./ +
9. ��� + 1��#� = � + �² + '-�³ +
10. ���- − 3�#� = ') �) − 3� +
11. � 0 √� + �/. + 2�1 #� = �² + �- �./ + -2 �3. +
12. ��� − 10�²�#� = '� �² − '4- �³ +
13. �4�³#� = �) +
14. ��3� + 5�#� = 5� + -� �²
15. ��7�² + 8� + 9�#� = 9� + '-7�³ + '� 8�² +
16. �3 sec � tan � #� = 3 sec � +
Profª Waléria Cecílio Página 3
17. � cos � #� � sen � �
18. � @AB² � BC@AB � #� = sec � +
19. � �3D��/E' �F #� = '� �� + '-�. �1 − 6��� +
20. � H�FEI�.DJ�/E��D' �/ #� = 6� − 2 KL� − '� − I� �� + H-�- +
21. �M#M = '�M² +
22. � �NN = ln M +
23. ��� + 2�²#� = ��D��.- +
24. � ���² #� = ln �² +
Profª Waléria Cecílio Página 4
MUDANÇA DE VARIÁVEL
Sejam ���� � O��� duas funções tais que O’��� = ���� e suponha que ����
seja outra função derivável, tal que, a imagem de g esteja no domínio de O.
WLXãZ, ��� O ������� = O’������. �’��� � ��� �O ������� = � ������ . �’���,
integrando ambos os lados da igualdade e tomando ���� = M, X�[ − ��: � ��M�#M = O�M� + :
Exercícios:
1) Resolva as seguintes integrais indefinidas usando mudança de variável:
1. � ��'D�²#� = ln��² + 1� +
2. � ��L²�9Z�� #� = @A].�- +
3. � ��L�� + 7�#� = − cos�� + 7� +
4. � tan � #� = − ln�9Z�� +
5. � ���-�E2�_ = − '�'�-�E2�` +
6. � �� + ��9�3��#� = �/� + '- tan 3� +
7. � ���²DJ�D'- = '� arctan� �D-� � +
8. � √�E��D' #� = 2√� − 2 − J√- arctan √�E�√- +
9. � √X� − 2X)#X = − 'Jb�1 − 2X��- +
10. √5� + 7� #� = �'2 �5� + 7�./ +
11. � cos 4� #� = ') ��L4� +
12. � �2x- + 1�c �² #� = ���.D'�_)H +
13. � x b7 − 6x². #� = − ''J b�7 − 6x��). +
14. � �²E'��³E-�D'�d #� = − ''2��.E-�D'�3 +
Profª Waléria Cecílio Página 5
15. � efg√�√� #� � 2��L √� +
16. � 9Z�³ 5� × ��L5�#� = − '�4 9Z�)5� +
17. � ���� + 5�#� = 5� + '� ��� +
18. � ��E2�²#� = − ''4 �E2�² +
19. � ��L��#� = '�� − ') ��L 2� +
20. � AiBC@²�AiE��#X = tan� �j − 2� +
21. � 'E�b'E�²#� = arcsenx + b1 − x² +
22. � � √� − 4 #� = �2 �� − 4�3/ + H- �� − 4�./ +
23. � �X + √X + √X . + √XF + √X3 �#X = j²� + �- X./ + -) XF. + )2 X3F + 2J Xd3 +
24. � )j³Ej²D'Jjj²D) #X = 2X² − X + 2 arctan '� X +
25. � 'J�bH�²D'#� = 2b8�² + 1 +
26. �l'Eefg�� #� = −29Z� �� +
27. � ��²D'#� = '� ln��� + 1� +
28. � -√2�E'#� = J2√5� − 1 +
29. � �1 + ��L 2��-9Z� 2�#� = 'H �1 + ��L 2��) +
30. � 8���� + 1�-#� = 'H ��� + 1�) +
31. � �²E'�E' #� = � + '� �² +
32. � �²b�³ − 1 #� = �I ��- − 1�./ +
33. � 2��� #� = ��� +
Profª Waléria Cecílio Página 6
34. � �-� #� � '- �-� �
35. � �2� #� � '2 �2� �
36. � �m/� #� � 2�m/� +
37. � ��E2�² #� = − ''4 �E2�² +
38. � �E� #� = −�E� +
39. � �E��E)�² �� − 4�#� = − '� �E��E)�² +
40. � �E��²E)�D'#� = '� ln��� − 4� + 1� +
41. � �²�³D2#� = '- ln��³ + 5� +
42. � �√1 + � #�= �2 �1 + ��3/ − �- �1 + ��./ +
43. � √�E� �D' #� = 2 √� − 2 − J √- arctan √�E� √- +C
44. � ����.D�#� = '- ��.D� +
45. � �/D'�/ #� = � − '� +
46. � �-√�#� = �I �n/ +
47. � ��L �� + 9�#� = − cos�� + 9� +
48. � �� − 8��-#� = ��EH�/F�) +
49. � 9Z� �5��#� = '2 sen 5x +
50. � ��L��9Z� �#� = gpq.�- +
51. � A√r√� #� = 2�√� +
52. � ��0m. �EH13 = E-)0m. �EH1F +
53. ��'� + ��9² s x�dx = ln � + 't X7Ls � +
Profª Waléria Cecílio Página 7
54. � X) √3 − 5X2 . dt = − -'44 �3 − 5X2�F.+
55. � X�√X − 1dt = �c �X − 1�/`+ )2 �X − 1�3/ + �- �X − 1�./ +
56. � 2� ��� + 1��-#� = ��/D'�/F�) +
57. � 9Z�-���L � #� = EBC@F�) +
58. � '√� ��L√� dx = −2cos√x +
59. � -�√)�/D2 #� = -) �4�� + 5� +
60. � �/�.E) #� = '- ln��³ − 4� +
61. � 9ZX� 9Z��9�� #� = − '� 9ZX��� +
62. � �1 + ��LX�I 9Z�X #X = ''4 �1 + ��LX�'4 +
63. � ���u]� = ln �KL�� +
64. � �E2�#� = − '2 �E2� +
65. � @A] -ɵ'Defg-ɵ#ɵ = − '- ln |1 + cos 3ɵ| +
66. � ��2 − ���-#� = − ��E�/�FH +
67. � 9Z� 8� #� = 'H sen 8x +
68. � sec 4� tan 4� #� = ') sec 4x +
69. � Xb7X² + 12dt = '�' b�7X� + 12�³+
70. � �/√�.D' #� = �-b�³ + 1 +
71. � ��)�²D'�. #� = − ''J �4�� + 1�E� +
72. � �@A]� cos � #� = �@A]� +
73. � �²�E��³#� = − 'J �E��³ +
Profª Waléria Cecílio Página 8
74. � @A] �
3
r�
�² #� = '2 cos�2�� +
75. � ����9� ��-�#� = '- tan��-� +
76. � ��Ar = −�E� +
77. � cos 3�. ��L2 3� #� = @A]d-�'H +
78. � cos 4�√2 − ��L 4� #� = − 'J �2 − ��L4��./ +
79. � ��9-2� tan 2�#� = 'J ��9³2� +
80. � ��L ] �7 + 8�� cos�7 + 8�� #� = 'x�]D'� ��L]D'�7 + 8�� +
2. Determinar a curva cujo coeficiente angular da reta tangente no ponto (x, y) é 3�²;sabendo que ela deve passar pelo ponto �1, −1�: y��z: { = �³ − 2
3. Verifique se a integral está correta: � �9Z� �#� = cos � + �. ��L� +
4. Encontre uma função f tal que �’��� + ��L� = 0 � � ’�0� = 2: y��z: ���� = 9Z� � + 1
5. Sabendo que a função ���� satisfaz a igualdade � ����#� = ��L� −
� 9Z� � – '��� + , #�X�}[~L� � �t)� ∶ y��z: � 0t)1 = t) 0√�� − 11 .
6. Determinar a função ���� tal
que � ����#� = �² + '� 9Z� 2� + . y��z: ���� = 2� – ��L 2�.
7. A declividade da reta tangente a uma curva em um ponto qualquer ��, {� na
curva é igual a 3�²{²: Encontre a equação da curva se ela contém o ponto
�2,1�. y��z: { = − '�³EI
Profª Waléria Cecílio Página 9
SOMA DE REIMANN E INTEGRAL DEFINIDA
Seja y = f(x) uma função definida em [a,b] e seja a partição P = [x0,x1], [x1,x2],
...,[xn-1,xn] onde x0 = a e xn = b e ∆xk = xk – xk-1. Então, em cada subintervalo da
partição P pode-se construir um retângulo de dimensões∆xk por f(xk).
A integral definida de a até b, denotada por � f�x�. dx é dada por
lim�∆�
f�c�∆x = f�x�. dx
= F�b� − F�a�
Exercícios:
a) � � #� = 4-'
b) � cos X #X = 1t/�4
c) � 2�.Dc�/E2�D��/ #� = 5 �/� + 7� − 5KL� + 2 �mE' �' |'� = 5 �/� + 7.2 − 5KL2 +
2 �mE' -5 '/� + 7.1 − 5KL1 + 2 'mE' = -'� − 5KL2
d) � '√��D'#� = '� . 2�� + 2�m/)4 |4) = �4 + 2�m/-�0 + 2�m/=2
e) � �E�#� = −�E�|4' = −�'A − ''�'4 = − 'A + 1
f) � ��L��. 9Z�� = @A].�- 4
/ /4 = (��L³ t� − ��L³0�. '- = '-
g) � ��/D' #� = '� $KL5 − KL2& = '� KL 2��'
h) � 8���� + 1�-#� ='4 ��� + 1�)|4' = 15
i) � ��E�²D'�' #� = − '�A. + '�
54321
100
75
50
25
0
yy
Profª Waléria Cecílio Página 10
j) � ���-' #� � '� ��J � ���
k) � ��L 3X #Xt4 = − '- cos �3X�|4t = − '- $cos�3s� − cos�0�& = − '- $−1 −�1�& = �-
l) � �E��/E)�D''E' #� = '� KL '-
Exercício: Calcular as Integrais Definidas
1. � ��- − 4�� + 1� = − ''�'4
2. � ��- + 1��#� = )42')�E'
3. � 5� − 2√� + 32�E-#�)' = �2IJ
4. � ��L� #� = 2t4
5. � -√2�E' '4� #� = �)2
6. � �1 + ��L2��-9Z�2�#� = '2HF4
7. � 9Z�³5�. ��L5� #� = − '�4 9Z�)5�t�t = 0�tt
Profª Waléria Cecílio Página 11
ÁREA SOB A CURVA
Se y = f(x) for não negativa e integrável em [a, b], então a área sob a curva y =f(x) para
x variando de a até b é definida pela integral de f de a até b:
� � ����#� � O�8� � O�7� x
Caso I: Cálculo de área de figura plana limitada pelo gráfico de f, pela reta x = a, x = b
e o eixo x, onde f é continua e ���� ≥ 0, ∀� ∈ $7, 8&
= ����#�x
Ex) Encontre a área limitada pela curva y = 4-x² e o eixo dos x. A curva y = 4-x²
intercepta o eixo dos x nos pontos de abscissa -2 e 2.
4 − �² #� = 323 M. 7.
�
E�
Caso II: Cálculo da área da figura plana limitada pelo gráfico de f, pelas retas x = a,
x=b e o eixo dos x, onde f é continua e ���� ≤ 0, ∀� ∈ 7, 8
= ����x
Ex) Encontre a área limitada pela curva { = −4 + �²e o eixo dos x.
= $−4 + �²& #��
E�
= 323
Caso III: Cálculo da área da figura plana limitada pelos gráficos de f e g, pelas retas:
x=a e x =b, onde f e g são funções contínuas em {a,b} e ���� ≥ ����, ∀� ∈ $7, 8&
(i) f e g assumem valores não negativos:
= $���� − ����&#�x
Profª Waléria Cecílio Página 12
(ii) Para o caso geral, obtemos o mesmo resultado (basta imaginar o eixo dos x
deslocado de tal maneira que as funções se tornem não negativas).
Exercícios:
1) Encontre a área limitada por { � �² � { = � + 2.
�² = � + 2�² − � − 2 = 0� = 2 � �" = −1
$�� + 2� − ����&#� = 92M. 7
�
E'
2) Encontrar as áreas limitadas pelas curvas y= x³ e y = x.
�³ = ����� − 1� = 0� = 0 � � = ±1
= ��- − ��#�4
E'
+�� − �-�#�'
4
= 12
3) Encontre a área da região limitada pelas curvas y = x²-1 e y = x+1.
�² − 1 = � + 1�² − � − 2 = 0� = 2 � �" = −1
�� + 1� − ��� − 1�#� = 92M. 7.
�
E'
4) Encontre a área da região S, delimitada pela curva y = sen x e pelo eixo dos x, no
intervalo de 0 a 2s. R: 4 u.a.
5) Dada a integral � ��- − 7�� + 11��#� = 12,77)4 esboce o gráfico.
6) Encontra a área da região S limitada pelas curvas y-x = 6, y-x³=0 e 2y +x=0. R:22
u.a.
7) Encontre a área limitada { = ��� { = √�. R:1/3 u.a.
8) Encontrar a área limitada entre { + �� = 6 � { + 2� − 3 = 0. R: -�- M. 7.
Profª Waléria Cecílio Página 13
9) Encontre a área entre as funções { � �� � 1 � { = 5. R: -�- M. 7.
10) Encontre a área entre { = �- − � � { = 0.
11) Estabelecer uma integral que possa ser usada para determinar a área da região entre
as funções { = �� + 1 , � − { = 2, � = 2 � � = −2. R:2�-
Profª Waléria Cecílio Página 14
INTEGRAÇÃO POR PARTES
∫ ∫−= duvuvdvu ..
∫ ∫−=
b
a
b
a
b
a vduuvdvu |.
DICA☺Escolha para ser dv a parte ‘mais complexa’ da integral.
Desde que saiba integrá-la!
Exemplos:
a. ceexdxex xxx +−=∫ ..
b. cxsenxxxdxx ++=∫ cos.cos.
c. cexeexdxex xxxx ++−=∫
222222
4
1
2
1
2
1
.
d. ∫ −=
1
0
2ln
4
..
pidxtgxarc
e. ∫ −=20 8
).4(.
pi pidxxsenx
f. � 2���#�'4 = 2
g. � �-��L�#�-' = 11,69
h. 10EJ � �2�9Z�5�#� = −0,6635t4
i. � ��9Z��#� = 1,93'E'
j. � 2�9Z��#�'4 = 1,17
k. � ��9Z��3��#� =�' 0,2582
Profª Waléria Cecílio Página 15
EXERCÍCIO
Calcule as integrais:
1. dxex x∫
−
..
.2
2. dxxsen∫ .
3
3. dxsenxx∫ ...
2
4. dxxx∫ .sec.
2
5. dxex x∫ ..
2
6. dx
x
x
∫ .
ln
7. dxsenxe x∫ ..
.2
8. dxxe x∫ .cos
.
9. dxarctgx∫ .
10. dxx∫ .ln
11. dxxx∫ .sec.
2
12. dxx∫ .sec
3
13. dxex xa∫ ..
.
14. ∫ +
pi
0
.cos. dxxxx
15. ∫ +
2
0
2 ).1ln( dxx
16. ∫
3
1
.. dxxarctgx
17. ∫
pi
0
).3(. dttsent
18. ∫
2
1 2
ln dx
x
x
19. ∫
1
0 2
dy
e
y
y
Respostas:
1. ceex xx +−− −− 22
4
1
.
2
1
2. cxxxsen +−− 32 cos
3
2
cos.
3. cxsenxxxx +++− cos2.2cos2
4. cxtgxx ++ |cos|ln.
5. cexeex xxx ++− 2.22
6. cxxx +− 4ln.2
Profª Waléria Cecílio Página 16
7. cxeesenx xx +− cos.
5
1).(
5
2 22
8. csenxexe
xx
+
+
2
cos.
9. cxarctgxx ++− )1ln(
2
1
.
2
10. cxxx +−ln
11. cxxtgx ++ |cos|ln
12. ( ) ctgxxtgxx ++ |.sec|ln.sec
2
1
13. ce
aa
ex xa
xa
+− .2
. 1.
14. 2,9348
15. 1,4332
16. 2,6684
17.
3
pi
18. 2ln
2
1
2
1
−
19.
4
1
4
3 2 +− −e
Profª Waléria Cecílio Página 17
INTEGRAIS ENVOLVENDO FUNÇÕES TRIGONOMÉTRICAS
ALGUMAS IDENTIDADES:
1)sen²x + cos²x = 1
2)sen²x = (1-cos2x)/2
3)cos²x = (1+cos2x)/2
4) tg2x=sec2x-1
5) cotg2x=cosec2x-1
EXEMPLOS:
1. cxsenxsensenxdxx ++−=∫ 53
2..cos
53
5
2. cxxxdxxxsen +−+−=∫ 7
cos
5
cos2
3
cos
.cos.
753
25
3. cxsenxsenxdxxsen +
+−=∫ )4(8
1)2(
2
3
4
1
..
4
4. cxxdxxtg +
−=∫ |)3sec(|ln2
)3(sec
3
1)..3(
2
3
5. cgxxgxgdxxec +−−−=∫ cot3
cot2
5
cot
..cos
35
6
6. cxtgxtgxtgdxxxtg +++=∫ 810
2
12
..sec.
81012
67
EXERCÍCIO
Resolva as integrais:
1. cxxdxxsen ++−=∫ 3
)2(cos
2
1)2cos(
2
1)..2(
3
3
2. cxxgxgdxxg +++−=∫ 2
)2(cot
6
)2(cot)..2(cot
3
4
3. cxsenxsenxdxxxsen +−−=∫ 1024
)8(
128
)4(
128
3
.cos. 44
4. cxxxxdxxxtg +−+−=∫ 5
sec
7
sec3
9
sec3
11
sec
.sec.
57911
57
5. ctgxxtgxxtgxxdxxxtg ++−−=∫ |sec|ln8
.sec
4
.sec
.sec.
3
32
Profª Waléria Cecílio Página 18
INTEGRAÇÃO DE FUNÇÕES RACIONAIS POR FRAÇOES PARCIAIS
Seja f uma função racional, tal que: ���� � ������
DICA☺ Caso o grau de p(x) seja maior que o grau de q(x), devemos primeiro efetuar a
divisão de p(x) por q(x).
METODOLOGIA
a. Seja x-a um fator linear de q(x). Suponha que (x-a)r seja a maiorpotência de x-a
que divide q(x). Então, para cada fator linear distinto, iremos atribuir uma soma
de r frações parciais: '
�� � 7� �
�
�� � 7�� �
-
�� � 7�- �⋯�
�� � 7�
b. Seja �� � 8� � 9 um fator quadrático de q(x). Suponha que ��� � 8� � 9�@ seja
a maior potência desse fator que divide q(x). Então, para cada fator quadrático
distinto, iremos atribuir uma soma de s frações parciais: '� � '
��� � 8� � 9� �
�� � �
��� � 8� � 9�� �
-� � -
��� � 8� � 9�- �⋯�
@� � @
��� � 8� � 9�@
Expresse como uma soma de frações parciais:
1. J�Dc��/D)�D)� �> y��z:
J
�D��
2
��D��/
2. E��D)��/D'���E'�/ �> y��z:
��D'
�/D'�
�
�E'�
'
��E'�/
Resolver as integrais:
3. � J�Dc��/D)�D)�#� � 6 ln|� � 2| � 5 '�D�� 9
4. � E��D)��/D'���E'�/ #� � ln|�� � 1| � 7}9X�� � 2 ln|� � 1| � '�E'� 9
Profª Waléria Cecílio Página 19
EXERCÍCIO
Resolva as integrais:
1. � ���/D�E� �
'
- ln ¢
�E'
�D�¢ � 9
2. � ��D)�.E��/ #� � � 2 ln|�| � �� � 2 ln|� � 2| � 9
3. � �/D�E�-�.E�/D-�E'#� � �
c
2 ln|3� − 1| � )2 ln|�� � 1| � -2 7}9X�� � 9
4. � -�FD)�.D'J�/D�4�DI��D��.��/D-�/ #� = ln|� � 2| � ln|�� � 3| � ��/D-� 9
5. � �.D2�/E)�/ #� �
�/
� � 5� �
)
� �
6. � -�.E)�/D-��/D' #� �
-
��� � 4� � 47}9X�� �
7. � �.E��/D)�E'�/E' #� �
�/
� � 2� + 2� ln|�� � 1| � -� ln ¢�E'�D'¢ � 9
8. � ���/E) �
'
) KL
�E�
�D��
9. � J�/DJ�.D)�/D�EJ#� � KL
��E'���D-�m3
��D��m£ �
10. � ��D2)�/E'#� � � ln|2� + 1| � -� ln|2� − 1| �
11. � ���E'���D��/ #� �
'
� ln|� � 1| � 'I ln|� � 2| � �-��D���
12. � ��/E-�E-��E'���/E��D2�#� � � ln|� � 1| � -� ln|�� � 2� + 5| � 7}9X� �E'� �
13. � �F�FE'#� � � �
'
) KL
�E'
�D'�
'
�7}9X�� �
14. � �.D��/D)�D���/D'�/ #� �
'
� ln|�� � 1| � 27}9X�� − �- '��/D'�+
Profª Waléria Cecílio Página 20
INTEGRAÇÃO POR SUBSTITUIÇÃO TRIGONOMÉTRICA
DICA☺ Substituir binômios do tipo: a2+x2, a2-x2 e x2-a2 pelo quadrado de um
único termo.
� � 7. X�¤ � = 7. ��L¤ � = 7. ��9¤
Exemplos:
1. � '�/√)D�/ #� = − ') √)D�/� + 9
2. � √IE�/��/ #� = − '� ¥− √IE�/� − 7}9��L �-¦ + 9
3. � √�/EI� #� = −3¥− √�/EI- − 7}9��9 �-¦ + 9
Profª Waléria Cecílio Página 21
Exercícios:
1.
�√9 � ��#�
2.
� √�/E�� #� � √�� � 2 − 2 √2 7}9��9 �√�+ 9
3.
� '√�/D2#� = KL §√�/D2D�√2 § + 9
4.
� √)E�/� #� = 2 KL §�E√)E�/� § + √4 − �� + 9
5.
� '�.√�/E�#� = ')√�7}99Z� √�� + √�/E�)�/ + 9
6.
� '��D'�/√�/D��D�#� = − √�/D��D��D' + 9
Profª Waléria Cecílio Página 22
INTEGRAÇÃO DE FUNÇÕES RACIONAIS DE SENO E COSSENO
�¨ �9Z��, ��L�� #�
Usando X = X� �� , −s < � < s, temos:
1. ��L� = �j'Dj/
2. 9Z�� = 'Ej/'Dj/
3. #� = ��j'Dj/
EXERCÍCIOS:
1. � ��@A]�DBC@�D� = √27}9X� √�� 0X� �� + 11 + 9
2. � ��'D2BC@� = ') KL §jªr/D�jªr/E�§ + 9
Profª Waléria Cecílio Página 23
EXERCÍCIOS:
Integração de Funções Racionais, Por Partes, Trigonométricas, Substituição
Trigonométrica.
1) � �.D2�/E) �/ #� � 5� �
)
� �
'
� �² +
2) � -�.E)�/D-� �²D' #� = 47}9X7L � − 4� + -��² +
3) � �.E��/D)�E' �/E' #� = '� �� − 2�� + 2� ln��� − 1� − -� ln 0�E'�D'1 +
4) � �� �/E)#� = ') ln�� − 2� − ') ln �� + 2� +
5) � J�/DJ �.D)�/D�EJ#� = ln�� − 1� − 10 ln�� + 2� + 15 ln�� + 3� +
6) � ��D2)�/E'#� = -� ln�2� − 1� − ln�2� + 1� +
7) � ���E'���D��²#�
8) � ��/E-�E-��E'���/E��D2�#� = -� ln��� − 1�� + 4�� − ln �� − 1� + '� arctan �'�� − '�� +
9) � �F�FE'#� = � − '� arctan � + ') ln�� − 1� − ') ln�� + 1� +
10) � �.D��/D)�D� ��/D'�/ #� = 27}9X7L � + '� KL� �� + 1� − -��/D�+
11) � �D' ��/D)�D2 �/ #� = '� 7}9X7L��� − -H�D��/D'4 + ���/D� +
12) � ��� #� = '/ � 7��� − �� � +
13) � 7}9X7L'4 � #� = ') s − '� KL2
14) � X �~L 3X #Xt4 = '- s
15) � 9Z�³ � #� = − ��L � − @A].�- +
16) � ���. br// = ')√� 7}99Z� √�� + √�/E� )�/ +
17) � ����D'�/ √�/D��D� = √��D�/D� ��D'� +
Profª Waléria Cecílio Página 24
INTEGRAIS IMPRÓPRIAS
Caso1: integrais com limites de integração infinitos
Definição:
1. Se f é continua em [a,∞), então:
����#� � limj→¬ ����#�
j
¬
2. Se f é continuas em (-∞,a] então:
����#� � limj→E¬����#�
E¬
desde que o limite exista.
Determine o valor da integral:
• � ®�¯�°¯ � limj→¬ � �� � 1�E�#� = limj→¬�� − 1�E' |X²j�¬� = 1
• � ���E'¬� =
2) Atribua uma área á região sob o gráfico de { = ��, acima do eixo x e á
esquerda de x = 1.
Caso 2: Seja f continua ∀�. Se a é um numero real arbitrário então
����#� = ����#� + ����#�¬
E¬
¬
E¬
Calcular � ��'D�/ ,¬E¬ em seguida esboce o gráfico e interprete a integral como uma área
#�1 + �� = #�1 + �� + #�1 + ��¬4 = s2 + s2 = s
4
E¬
¬
E¬
Profª Waléria Cecílio Página 25
Caso 3: Integral com integrando descontínuo.
Se f é continua em [a, b) e descontinua em t então � ����#�x � limj→x � ����#�j
desde que o limite exista.
Se f é continua em (a, b] e descontinua em a, então � ����#�x � limj→ � ����#�xj
desde que o limite exista.
Se f tem descontinuidade em um numero c do intervalo aberto (a, b), mas é continua em
todo outro ponto de [a, b], então.
���� � ����#�
B
� ����#�
x
B
x
Calcule:
a) � ��√-E�
-
4
b) � ��� � ∞
'
4
c) � ����D'�//.
c
E� � 9