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Profª Waléria Cecílio Página 1 CÁLCULO INTEGRAL INTEGRAL INDEFINIDA Pode ser definida como a operação que nos dá a função quando conhecemos sua diferencial. Observe as funções e suas diferenciais: y = f (x) diferencial y = f (x) diferencial y = sen(x) + 1 dy = cos(x)dx y = x2 + 6 dy = 2xdx y = sen(x) + 10 dy = cos(x)dx y = x2 dy = 2xdx y = sen(x) - 5 dy = cos(x)dx y = x2+2 dy = 2xdx ::: ::: ::: ::: y = sen(x) + C dy = cos (x)dx y = x2 + C dy = 2xdx Primitiva Definição: Uma função F(x) é uma primitiva de f(x) em um intervalo I, se F’ (x) = f (x) para qualquer x pertencente ao domínio de f . O conjunto de todas as primitivas de f é a integral definida de f em relação a x e escrevemos: ∫ f (x)dx = F (x)+C; isto é: ��� (∫ f (x)dx) = � �� (F (x) + C) f (x) = F’ (x) Onde: ∫ é o símbolo de integração dx é a diferencial da variável de integração f(x) é a função a ser integrada F(x) é a primitiva de f(x) C é a constante de integração Desta forma, a integral indefinida da função f(x) representa uma família de primitivas. Exemplo: A integral indefinida da função 2x é x2 +C; isto é ∫ 2xdx � x² � , observe, � �� � 2xdx� � � �x� � C� 2� � 2� e a família de primitivas é uma família de parábolas que pode ser visualizada graficamente variando os valores de C. �� � 0, ���� � �²; �� � 1, ���� � �² � 1; �� � 3, ���� � �² � 3 � �� � �1, ��� � �² � 1 . Profª Waléria Cecílio Página 2 Propriedades: 1. �" ����#� � " �����#� 2. �$���� ± ����&#� � � ����#� ± �� ���#� Exercício: Resolva as seguintes integrais indefinidas: 1. ��#� � '� �² + 2. ��³#� = ')�) + 3. �#� =� + 4. �3�²#� =�³ + 5. � ��� = ln � + 6. � ���² = − '� + 7. � ���√� = √� + 8. �√� #� = �- �./ + 9. ��� + 1��#� = � + �² + '-�³ + 10. ���- − 3�#� = ') �) − 3� + 11. � 0 √� + �/. + 2�1 #� = �² + �- �./ + -2 �3. + 12. ��� − 10�²�#� = '� �² − '4- �³ + 13. �4�³#� = �) + 14. ��3� + 5�#� = 5� + -� �² 15. ��7�² + 8� + 9�#� = 9� + '-7�³ + '� 8�² + 16. �3 sec � tan � #� = 3 sec � + Profª Waléria Cecílio Página 3 17. � cos � #� � sen � � 18. � @AB² � BC@AB � #� = sec � + 19. � �3D��/E' �F #� = '� �� + '-�. �1 − 6��� + 20. � H�FEI�.DJ�/E��D' �/ #� = 6� − 2 KL� − '� − I� �� + H-�- + 21. �M#M = '�M² + 22. � �NN = ln M + 23. ��� + 2�²#� = ��D��.- + 24. � ���² #� = ln �² + Profª Waléria Cecílio Página 4 MUDANÇA DE VARIÁVEL Sejam ���� � O��� duas funções tais que O’��� = ���� e suponha que ���� seja outra função derivável, tal que, a imagem de g esteja no domínio de O. WLXãZ, ��� O ������� = O’������. �’��� � ��� �O ������� = � ������ . �’���, integrando ambos os lados da igualdade e tomando ���� = M, X�[ − ��: � ��M�#M = O�M� + : Exercícios: 1) Resolva as seguintes integrais indefinidas usando mudança de variável: 1. � ��'D�²#� = ln��² + 1� + 2. � ��L²�9Z�� #� = @A].�- + 3. � ��L�� + 7�#� = − cos�� + 7� + 4. � tan � #� = − ln�9Z�� + 5. � ���-�E2�_ = − '�'�-�E2�` + 6. � �� + ��9�3��#� = �/� + '- tan 3� + 7. � ���²DJ�D'- = '� arctan� �D-� � + 8. � √�E��D' #� = 2√� − 2 − J√- arctan √�E�√- + 9. � √X� − 2X)#X = − 'Jb�1 − 2X��- + 10. √5� + 7� #� = �'2 �5� + 7�./ + 11. � cos 4� #� = ') ��L4� + 12. � �2x- + 1�c �² #� = ���.D'�_)H + 13. � x b7 − 6x². #� = − ''J b�7 − 6x��). + 14. � �²E'��³E-�D'�d #� = − ''2��.E-�D'�3 + Profª Waléria Cecílio Página 5 15. � efg√�√� #� � 2��L √� + 16. � 9Z�³ 5� × ��L5�#� = − '�4 9Z�)5� + 17. � ���� + 5�#� = 5� + '� ��� + 18. � ��E2�²#� = − ''4 �E2�² + 19. � ��L��#� = '�� − ') ��L 2� + 20. � AiBC@²�AiE��#X = tan� �j − 2� + 21. � 'E�b'E�²#� = arcsenx + b1 − x² + 22. � � √� − 4 #� = �2 �� − 4�3/ + H- �� − 4�./ + 23. � �X + √X + √X . + √XF + √X3 �#X = j²� + �- X./ + -) XF. + )2 X3F + 2J Xd3 + 24. � )j³Ej²D'Jjj²D) #X = 2X² − X + 2 arctan '� X + 25. � 'J�bH�²D'#� = 2b8�² + 1 + 26. �l'Eefg�� #� = −29Z� �� + 27. � ��²D'#� = '� ln��� + 1� + 28. � -√2�E'#� = J2√5� − 1 + 29. � �1 + ��L 2��-9Z� 2�#� = 'H �1 + ��L 2��) + 30. � 8���� + 1�-#� = 'H ��� + 1�) + 31. � �²E'�E' #� = � + '� �² + 32. � �²b�³ − 1 #� = �I ��- − 1�./ + 33. � 2��� #� = ��� + Profª Waléria Cecílio Página 6 34. � �-� #� � '- �-� � 35. � �2� #� � '2 �2� � 36. � �m/� #� � 2�m/� + 37. � ��E2�² #� = − ''4 �E2�² + 38. � �E� #� = −�E� + 39. � �E��E)�² �� − 4�#� = − '� �E��E)�² + 40. � �E��²E)�D'#� = '� ln��� − 4� + 1� + 41. � �²�³D2#� = '- ln��³ + 5� + 42. � �√1 + � #�= �2 �1 + ��3/ − �- �1 + ��./ + 43. � √�E� �D' #� = 2 √� − 2 − J √- arctan √�E� √- +C 44. � ����.D�#� = '- ��.D� + 45. � �/D'�/ #� = � − '� + 46. � �-√�#� = �I �n/ + 47. � ��L �� + 9�#� = − cos�� + 9� + 48. � �� − 8��-#� = ��EH�/F�) + 49. � 9Z� �5��#� = '2 sen 5x + 50. � ��L��9Z� �#� = gpq.�- + 51. � A√r√� #� = 2�√� + 52. � ��0m. �EH13 = E-)0m. �EH1F + 53. ��'� + ��9² s x�dx = ln � + 't X7Ls � + Profª Waléria Cecílio Página 7 54. � X) √3 − 5X2 . dt = − -'44 �3 − 5X2�F.+ 55. � X�√X − 1dt = �c �X − 1�/`+ )2 �X − 1�3/ + �- �X − 1�./ + 56. � 2� ��� + 1��-#� = ��/D'�/F�) + 57. � 9Z�-���L � #� = EBC@F�) + 58. � '√� ��L√� dx = −2cos√x + 59. � -�√)�/D2 #� = -) �4�� + 5� + 60. � �/�.E) #� = '- ln��³ − 4� + 61. � 9ZX� 9Z��9�� #� = − '� 9ZX��� + 62. � �1 + ��LX�I 9Z�X #X = ''4 �1 + ��LX�'4 + 63. � ���u]� = ln �KL�� + 64. � �E2�#� = − '2 �E2� + 65. � @A] -ɵ'Defg-ɵ#ɵ = − '- ln |1 + cos 3ɵ| + 66. � ��2 − ���-#� = − ��E�/�FH + 67. � 9Z� 8� #� = 'H sen 8x + 68. � sec 4� tan 4� #� = ') sec 4x + 69. � Xb7X² + 12dt = '�' b�7X� + 12�³+ 70. � �/√�.D' #� = �-b�³ + 1 + 71. � ��)�²D'�. #� = − ''J �4�� + 1�E� + 72. � �@A]� cos � #� = �@A]� + 73. � �²�E��³#� = − 'J �E��³ + Profª Waléria Cecílio Página 8 74. � @A] � 3 r� �² #� = '2 cos�2�� + 75. � ����9� ��-�#� = '- tan��-� + 76. � ��Ar = −�E� + 77. � cos 3�. ��L2 3� #� = @A]d-�'H + 78. � cos 4�√2 − ��L 4� #� = − 'J �2 − ��L4��./ + 79. � ��9-2� tan 2�#� = 'J ��9³2� + 80. � ��L ] �7 + 8�� cos�7 + 8�� #� = 'x�]D'� ��L]D'�7 + 8�� + 2. Determinar a curva cujo coeficiente angular da reta tangente no ponto (x, y) é 3�²;sabendo que ela deve passar pelo ponto �1, −1�: y��z: { = �³ − 2 3. Verifique se a integral está correta: � �9Z� �#� = cos � + �. ��L� + 4. Encontre uma função f tal que �’��� + ��L� = 0 � � ’�0� = 2: y��z: ���� = 9Z� � + 1 5. Sabendo que a função ���� satisfaz a igualdade � ����#� = ��L� − � 9Z� � – '��� + , #�X�}[~L� � �t)� ∶ y��z: � 0t)1 = t) 0√�� − 11 . 6. Determinar a função ���� tal que � ����#� = �² + '� 9Z� 2� + . y��z: ���� = 2� – ��L 2�. 7. A declividade da reta tangente a uma curva em um ponto qualquer ��, {� na curva é igual a 3�²{²: Encontre a equação da curva se ela contém o ponto �2,1�. y��z: { = − '�³EI Profª Waléria Cecílio Página 9 SOMA DE REIMANN E INTEGRAL DEFINIDA Seja y = f(x) uma função definida em [a,b] e seja a partição P = [x0,x1], [x1,x2], ...,[xn-1,xn] onde x0 = a e xn = b e ∆xk = xk – xk-1. Então, em cada subintervalo da partição P pode-se construir um retângulo de dimensões∆xk por f(xk). A integral definida de a até b, denotada por � f�x�. dx é dada por lim�∆� f�c�∆x = f�x�. dx = F�b� − F�a� Exercícios: a) � � #� = 4-' b) � cos X #X = 1t/�4 c) � 2�.Dc�/E2�D��/ #� = 5 �/� + 7� − 5KL� + 2 �mE' �' |'� = 5 �/� + 7.2 − 5KL2 + 2 �mE' -5 '/� + 7.1 − 5KL1 + 2 'mE' = -'� − 5KL2 d) � '√��D'#� = '� . 2�� + 2�m/)4 |4) = �4 + 2�m/-�0 + 2�m/=2 e) � �E�#� = −�E�|4' = −�'A − ''�'4 = − 'A + 1 f) � ��L��. 9Z�� = @A].�- 4 / /4 = (��L³ t� − ��L³0�. '- = '- g) � ��/D' #� = '� $KL5 − KL2& = '� KL 2��' h) � 8���� + 1�-#� ='4 ��� + 1�)|4' = 15 i) � ��E�²D'�' #� = − '�A. + '� 54321 100 75 50 25 0 yy Profª Waléria Cecílio Página 10 j) � ���-' #� � '� ��J � ��� k) � ��L 3X #Xt4 = − '- cos �3X�|4t = − '- $cos�3s� − cos�0�& = − '- $−1 −�1�& = �- l) � �E��/E)�D''E' #� = '� KL '- Exercício: Calcular as Integrais Definidas 1. � ��- − 4�� + 1� = − ''�'4 2. � ��- + 1��#� = )42')�E' 3. � 5� − 2√� + 32�E-#�)' = �2IJ 4. � ��L� #� = 2t4 5. � -√2�E' '4� #� = �)2 6. � �1 + ��L2��-9Z�2�#� = '2HF4 7. � 9Z�³5�. ��L5� #� = − '�4 9Z�)5�t�t = 0�tt Profª Waléria Cecílio Página 11 ÁREA SOB A CURVA Se y = f(x) for não negativa e integrável em [a, b], então a área sob a curva y =f(x) para x variando de a até b é definida pela integral de f de a até b: � � ����#� � O�8� � O�7� x Caso I: Cálculo de área de figura plana limitada pelo gráfico de f, pela reta x = a, x = b e o eixo x, onde f é continua e ���� ≥ 0, ∀� ∈ $7, 8& = ����#�x Ex) Encontre a área limitada pela curva y = 4-x² e o eixo dos x. A curva y = 4-x² intercepta o eixo dos x nos pontos de abscissa -2 e 2. 4 − �² #� = 323 M. 7. � E� Caso II: Cálculo da área da figura plana limitada pelo gráfico de f, pelas retas x = a, x=b e o eixo dos x, onde f é continua e ���� ≤ 0, ∀� ∈ 7, 8 = ����x Ex) Encontre a área limitada pela curva { = −4 + �²e o eixo dos x. = $−4 + �²& #�� E� = 323 Caso III: Cálculo da área da figura plana limitada pelos gráficos de f e g, pelas retas: x=a e x =b, onde f e g são funções contínuas em {a,b} e ���� ≥ ����, ∀� ∈ $7, 8& (i) f e g assumem valores não negativos: = $���� − ����&#�x Profª Waléria Cecílio Página 12 (ii) Para o caso geral, obtemos o mesmo resultado (basta imaginar o eixo dos x deslocado de tal maneira que as funções se tornem não negativas). Exercícios: 1) Encontre a área limitada por { � �² � { = � + 2. �² = � + 2�² − � − 2 = 0� = 2 � �" = −1 $�� + 2� − ����&#� = 92M. 7 � E' 2) Encontrar as áreas limitadas pelas curvas y= x³ e y = x. �³ = ����� − 1� = 0� = 0 � � = ±1 = ��- − ��#�4 E' +�� − �-�#�' 4 = 12 3) Encontre a área da região limitada pelas curvas y = x²-1 e y = x+1. �² − 1 = � + 1�² − � − 2 = 0� = 2 � �" = −1 �� + 1� − ��� − 1�#� = 92M. 7. � E' 4) Encontre a área da região S, delimitada pela curva y = sen x e pelo eixo dos x, no intervalo de 0 a 2s. R: 4 u.a. 5) Dada a integral � ��- − 7�� + 11��#� = 12,77)4 esboce o gráfico. 6) Encontra a área da região S limitada pelas curvas y-x = 6, y-x³=0 e 2y +x=0. R:22 u.a. 7) Encontre a área limitada { = ��� { = √�. R:1/3 u.a. 8) Encontrar a área limitada entre { + �� = 6 � { + 2� − 3 = 0. R: -�- M. 7. Profª Waléria Cecílio Página 13 9) Encontre a área entre as funções { � �� � 1 � { = 5. R: -�- M. 7. 10) Encontre a área entre { = �- − � � { = 0. 11) Estabelecer uma integral que possa ser usada para determinar a área da região entre as funções { = �� + 1 , � − { = 2, � = 2 � � = −2. R:2�- Profª Waléria Cecílio Página 14 INTEGRAÇÃO POR PARTES ∫ ∫−= duvuvdvu .. ∫ ∫−= b a b a b a vduuvdvu |. DICA☺Escolha para ser dv a parte ‘mais complexa’ da integral. Desde que saiba integrá-la! Exemplos: a. ceexdxex xxx +−=∫ .. b. cxsenxxxdxx ++=∫ cos.cos. c. cexeexdxex xxxx ++−=∫ 222222 4 1 2 1 2 1 . d. ∫ −= 1 0 2ln 4 .. pidxtgxarc e. ∫ −=20 8 ).4(. pi pidxxsenx f. � 2���#�'4 = 2 g. � �-��L�#�-' = 11,69 h. 10EJ � �2�9Z�5�#� = −0,6635t4 i. � ��9Z��#� = 1,93'E' j. � 2�9Z��#�'4 = 1,17 k. � ��9Z��3��#� =�' 0,2582 Profª Waléria Cecílio Página 15 EXERCÍCIO Calcule as integrais: 1. dxex x∫ − .. .2 2. dxxsen∫ . 3 3. dxsenxx∫ ... 2 4. dxxx∫ .sec. 2 5. dxex x∫ .. 2 6. dx x x ∫ . ln 7. dxsenxe x∫ .. .2 8. dxxe x∫ .cos . 9. dxarctgx∫ . 10. dxx∫ .ln 11. dxxx∫ .sec. 2 12. dxx∫ .sec 3 13. dxex xa∫ .. . 14. ∫ + pi 0 .cos. dxxxx 15. ∫ + 2 0 2 ).1ln( dxx 16. ∫ 3 1 .. dxxarctgx 17. ∫ pi 0 ).3(. dttsent 18. ∫ 2 1 2 ln dx x x 19. ∫ 1 0 2 dy e y y Respostas: 1. ceex xx +−− −− 22 4 1 . 2 1 2. cxxxsen +−− 32 cos 3 2 cos. 3. cxsenxxxx +++− cos2.2cos2 4. cxtgxx ++ |cos|ln. 5. cexeex xxx ++− 2.22 6. cxxx +− 4ln.2 Profª Waléria Cecílio Página 16 7. cxeesenx xx +− cos. 5 1).( 5 2 22 8. csenxexe xx + + 2 cos. 9. cxarctgxx ++− )1ln( 2 1 . 2 10. cxxx +−ln 11. cxxtgx ++ |cos|ln 12. ( ) ctgxxtgxx ++ |.sec|ln.sec 2 1 13. ce aa ex xa xa +− .2 . 1. 14. 2,9348 15. 1,4332 16. 2,6684 17. 3 pi 18. 2ln 2 1 2 1 − 19. 4 1 4 3 2 +− −e Profª Waléria Cecílio Página 17 INTEGRAIS ENVOLVENDO FUNÇÕES TRIGONOMÉTRICAS ALGUMAS IDENTIDADES: 1)sen²x + cos²x = 1 2)sen²x = (1-cos2x)/2 3)cos²x = (1+cos2x)/2 4) tg2x=sec2x-1 5) cotg2x=cosec2x-1 EXEMPLOS: 1. cxsenxsensenxdxx ++−=∫ 53 2..cos 53 5 2. cxxxdxxxsen +−+−=∫ 7 cos 5 cos2 3 cos .cos. 753 25 3. cxsenxsenxdxxsen + +−=∫ )4(8 1)2( 2 3 4 1 .. 4 4. cxxdxxtg + −=∫ |)3sec(|ln2 )3(sec 3 1)..3( 2 3 5. cgxxgxgdxxec +−−−=∫ cot3 cot2 5 cot ..cos 35 6 6. cxtgxtgxtgdxxxtg +++=∫ 810 2 12 ..sec. 81012 67 EXERCÍCIO Resolva as integrais: 1. cxxdxxsen ++−=∫ 3 )2(cos 2 1)2cos( 2 1)..2( 3 3 2. cxxgxgdxxg +++−=∫ 2 )2(cot 6 )2(cot)..2(cot 3 4 3. cxsenxsenxdxxxsen +−−=∫ 1024 )8( 128 )4( 128 3 .cos. 44 4. cxxxxdxxxtg +−+−=∫ 5 sec 7 sec3 9 sec3 11 sec .sec. 57911 57 5. ctgxxtgxxtgxxdxxxtg ++−−=∫ |sec|ln8 .sec 4 .sec .sec. 3 32 Profª Waléria Cecílio Página 18 INTEGRAÇÃO DE FUNÇÕES RACIONAIS POR FRAÇOES PARCIAIS Seja f uma função racional, tal que: ���� � ������ DICA☺ Caso o grau de p(x) seja maior que o grau de q(x), devemos primeiro efetuar a divisão de p(x) por q(x). METODOLOGIA a. Seja x-a um fator linear de q(x). Suponha que (x-a)r seja a maiorpotência de x-a que divide q(x). Então, para cada fator linear distinto, iremos atribuir uma soma de r frações parciais: ' �� � 7� � � �� � 7�� � - �� � 7�- �⋯� �� � 7� b. Seja �� � 8� � 9 um fator quadrático de q(x). Suponha que ��� � 8� � 9�@ seja a maior potência desse fator que divide q(x). Então, para cada fator quadrático distinto, iremos atribuir uma soma de s frações parciais: '� � ' ��� � 8� � 9� � �� � � ��� � 8� � 9�� � -� � - ��� � 8� � 9�- �⋯� @� � @ ��� � 8� � 9�@ Expresse como uma soma de frações parciais: 1. J�Dc��/D)�D)� �> y��z: J �D�� 2 ��D��/ 2. E��D)��/D'���E'�/ �> y��z: ��D' �/D'� � �E'� ' ��E'�/ Resolver as integrais: 3. � J�Dc��/D)�D)�#� � 6 ln|� � 2| � 5 '�D�� 9 4. � E��D)��/D'���E'�/ #� � ln|�� � 1| � 7}9X�� � 2 ln|� � 1| � '�E'� 9 Profª Waléria Cecílio Página 19 EXERCÍCIO Resolva as integrais: 1. � ���/D�E� � ' - ln ¢ �E' �D�¢ � 9 2. � ��D)�.E��/ #� � � 2 ln|�| � �� � 2 ln|� � 2| � 9 3. � �/D�E�-�.E�/D-�E'#� � � c 2 ln|3� − 1| � )2 ln|�� � 1| � -2 7}9X�� � 9 4. � -�FD)�.D'J�/D�4�DI��D��.��/D-�/ #� = ln|� � 2| � ln|�� � 3| � ��/D-� 9 5. � �.D2�/E)�/ #� � �/ � � 5� � ) � � 6. � -�.E)�/D-��/D' #� � - ��� � 4� � 47}9X�� � 7. � �.E��/D)�E'�/E' #� � �/ � � 2� + 2� ln|�� � 1| � -� ln ¢�E'�D'¢ � 9 8. � ���/E) � ' ) KL �E� �D�� 9. � J�/DJ�.D)�/D�EJ#� � KL ��E'���D-�m3 ��D��m£ � 10. � ��D2)�/E'#� � � ln|2� + 1| � -� ln|2� − 1| � 11. � ���E'���D��/ #� � ' � ln|� � 1| � 'I ln|� � 2| � �-��D��� 12. � ��/E-�E-��E'���/E��D2�#� � � ln|� � 1| � -� ln|�� � 2� + 5| � 7}9X� �E'� � 13. � �F�FE'#� � � � ' ) KL �E' �D'� ' �7}9X�� � 14. � �.D��/D)�D���/D'�/ #� � ' � ln|�� � 1| � 27}9X�� − �- '��/D'�+ Profª Waléria Cecílio Página 20 INTEGRAÇÃO POR SUBSTITUIÇÃO TRIGONOMÉTRICA DICA☺ Substituir binômios do tipo: a2+x2, a2-x2 e x2-a2 pelo quadrado de um único termo. � � 7. X�¤ � = 7. ��L¤ � = 7. ��9¤ Exemplos: 1. � '�/√)D�/ #� = − ') √)D�/� + 9 2. � √IE�/��/ #� = − '� ¥− √IE�/� − 7}9��L �-¦ + 9 3. � √�/EI� #� = −3¥− √�/EI- − 7}9��9 �-¦ + 9 Profª Waléria Cecílio Página 21 Exercícios: 1. �√9 � ��#� 2. � √�/E�� #� � √�� � 2 − 2 √2 7}9��9 �√�+ 9 3. � '√�/D2#� = KL §√�/D2D�√2 § + 9 4. � √)E�/� #� = 2 KL §�E√)E�/� § + √4 − �� + 9 5. � '�.√�/E�#� = ')√�7}99Z� √�� + √�/E�)�/ + 9 6. � '��D'�/√�/D��D�#� = − √�/D��D��D' + 9 Profª Waléria Cecílio Página 22 INTEGRAÇÃO DE FUNÇÕES RACIONAIS DE SENO E COSSENO �¨ �9Z��, ��L�� #� Usando X = X� �� , −s < � < s, temos: 1. ��L� = �j'Dj/ 2. 9Z�� = 'Ej/'Dj/ 3. #� = ��j'Dj/ EXERCÍCIOS: 1. � ��@A]�DBC@�D� = √27}9X� √�� 0X� �� + 11 + 9 2. � ��'D2BC@� = ') KL §jªr/D�jªr/E�§ + 9 Profª Waléria Cecílio Página 23 EXERCÍCIOS: Integração de Funções Racionais, Por Partes, Trigonométricas, Substituição Trigonométrica. 1) � �.D2�/E) �/ #� � 5� � ) � � ' � �² + 2) � -�.E)�/D-� �²D' #� = 47}9X7L � − 4� + -��² + 3) � �.E��/D)�E' �/E' #� = '� �� − 2�� + 2� ln��� − 1� − -� ln 0�E'�D'1 + 4) � �� �/E)#� = ') ln�� − 2� − ') ln �� + 2� + 5) � J�/DJ �.D)�/D�EJ#� = ln�� − 1� − 10 ln�� + 2� + 15 ln�� + 3� + 6) � ��D2)�/E'#� = -� ln�2� − 1� − ln�2� + 1� + 7) � ���E'���D��²#� 8) � ��/E-�E-��E'���/E��D2�#� = -� ln��� − 1�� + 4�� − ln �� − 1� + '� arctan �'�� − '�� + 9) � �F�FE'#� = � − '� arctan � + ') ln�� − 1� − ') ln�� + 1� + 10) � �.D��/D)�D� ��/D'�/ #� = 27}9X7L � + '� KL� �� + 1� − -��/D�+ 11) � �D' ��/D)�D2 �/ #� = '� 7}9X7L��� − -H�D��/D'4 + ���/D� + 12) � ��� #� = '/ � 7��� − �� � + 13) � 7}9X7L'4 � #� = ') s − '� KL2 14) � X �~L 3X #Xt4 = '- s 15) � 9Z�³ � #� = − ��L � − @A].�- + 16) � ���. br// = ')√� 7}99Z� √�� + √�/E� )�/ + 17) � ����D'�/ √�/D��D� = √��D�/D� ��D'� + Profª Waléria Cecílio Página 24 INTEGRAIS IMPRÓPRIAS Caso1: integrais com limites de integração infinitos Definição: 1. Se f é continua em [a,∞), então: ����#� � limj→¬ ����#� j ¬ 2. Se f é continuas em (-∞,a] então: ����#� � limj→E¬����#� E¬ desde que o limite exista. Determine o valor da integral: • � ®�¯�°¯ � limj→¬ � �� � 1�E�#� = limj→¬�� − 1�E' |X²j�¬� = 1 • � ���E'¬� = 2) Atribua uma área á região sob o gráfico de { = ��, acima do eixo x e á esquerda de x = 1. Caso 2: Seja f continua ∀�. Se a é um numero real arbitrário então ����#� = ����#� + ����#�¬ E¬ ¬ E¬ Calcular � ��'D�/ ,¬E¬ em seguida esboce o gráfico e interprete a integral como uma área #�1 + �� = #�1 + �� + #�1 + ��¬4 = s2 + s2 = s 4 E¬ ¬ E¬ Profª Waléria Cecílio Página 25 Caso 3: Integral com integrando descontínuo. Se f é continua em [a, b) e descontinua em t então � ����#�x � limj→x � ����#�j desde que o limite exista. Se f é continua em (a, b] e descontinua em a, então � ����#�x � limj→ � ����#�xj desde que o limite exista. Se f tem descontinuidade em um numero c do intervalo aberto (a, b), mas é continua em todo outro ponto de [a, b], então. ���� � ����#� B � ����#� x B x Calcule: a) � ��√-E� - 4 b) � ��� � ∞ ' 4 c) � ����D'�//. c E� � 9