Lista 05_GABARITO

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UNIVERSIDADE DE SÃO PAULO 
Faculdade de Economia, Administração e Contabilidade 
Departamento de Economia 
Disciplina: Microeconomia I 
Professores: Décio Kadota, Elisabeth Farina, Ricardo Madeira 
Monitores: André Attilio, Bruno Komatsu, Otávio Sidone e Thiago Alexandrino 
 
LISTA 05 – GABARITO 
 
Equação de Slutsky e Dotação: Questão Extra 
Um consumidor possui preferências representadas pela função utilidade: 
 
a) Dada uma renda , calcule os efeitos renda e preço para cada bem. 
Para calcular os efeitos renda e substituição, vamos obter primeiro as demandas marshallianas 
e hicksianas. 
Para resolver o problema de maximização de utilidade, vamos utilizar as condições de 
equilíbrio: 
 
 
 
 
Dada a restrição orçamentária, , temos então 3 condições de equilíbrio: 
i. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
ii. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
iii. 
Substituindo i. e ii. em iii. temos: 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Note que e não dependem de ; além disso, a função utilidade é quase-linear em , então 
sabemos que existe um valor para a renda abaixo do qual temos soluções de canto. Vamos 
chamar esse valor de . 
As utilidades marginais de , e de são respectivamente: 
 
 
 
 
 
, 
 
 
 
 
 
 e 
 
 
 . Assim, se 
tomarmos limite quando , e tornam-se pequenos, temos: 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Então, o consumidor sempre consumira quantidades positivas de e de . Com isso, abaixo de 
 o consumidor gastará somente com esses dois bens. Note que a função utilidade do 
consumidor torna-se um Cobb-Douglas para e . As demandas são conhecidas de exercícios 
anteriores: 
 
 
 
 
 
 
 
Onde . 
Para definir qual é o valor até o qual o consumidor só consome e , podemos utilizar 
uma condição parecida com aquela de equilíbrio, porém com desigualdade. Assim, o 
consumidor não irá consumir enquanto tivermos: 
 
 
 
 
 
 
Lembrando que é o custo marginal de e é o custo marginal de . Então, temos: 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Mas 
 
 
. Então, 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Se repetirmos esse procedimento para , chegaremos ao mesmo resultado. 
As demandas marshallianas são: 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Para obter as demandas hicksianas, vamos calcular a função utilidade indireta 
( ) e a função dispêndio ( ). Note que novamente temos 2 
situações. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Se , teremos 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Então o limite em termos de utilidade será: 
Assim, quando , teremos: 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Quando teremos: 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Então a função dispêndio será: 
 
 
 
 
 
 
 
 
Derivando em relação aos preços, obtemos as demandas hicksianas: 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
O efeito renda é dado por: 
 
 
 
 
Então temos: 
 Caso contrário 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
O efeito substituição é dado por: 
 
 
 
Então temos: 
 Caso contrário 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
b) Suponha agora que o consumidor possui uma quantidade inicial dos bens , e de 
respectivamente , e . Como as demandas marshalliana se alteram? 
Nesse caso as demandas marshallianas tornam-se 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
c) Derive a equação de Slutsky para o caso de dotações, quando as demandas são 
positivas. 
A equação de Slutsky com dotações é dada por: 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
onde é a dotação inicial de . 
Quando as demandas são positivas, temos as seguintes equações de Slutsky: 
i. Para , as equações não possuem efeito substituição, pois quando a demanda por é 
positiva, a demanda marshalliana de não depende da renda : 
a. 
 
 
 
 
 
 
b. 
 
 
 
c. 
 
 
 
 
 
 
 
ii. Para , ocorre o mesmo que no caso de : 
a. 
 
 
 
b. 
 
 
 
 
 
 
c. 
 
 
 
 
 
 
 
iii. Para : 
a. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
b. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
c. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
d) Verifique que a matriz de substituição é simétrica. 
A matriz de substituição é composta pelas derivadas das demandas hicksianas em relação aos 
preços: 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Completando a matriz com as derivadas calculadas, temos: 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Questão 1 
Um indivíduo que vive por 2 períodos valoriza um plano de consumo segundo a função de 
utilidade 
 
com . Suponha que m0=m1=100, e r=0,05. 
a) Esboce a restrição orçamentária e encontre o plano ótimo de consumo para este 
consumidor. 
b) Assuma agora que a taxa de juros paga aos poupadores seja rs=0,05, enquanto a taxa de 
juros cobrada dos devedores seja rd=0,2. Esboce a restrição orçamentária e encontre os 
valores de que fazem com que o indivíduo seja poupador. 
 
Questão 2 
Suponha um consumidor com preferências por consumo (x) e lazer(l) representadas pela 
função utilidade: 
 
A dotação inicial de tempo de 16 horas
por dia pode ser alocada entre trabalho (h) e lazer. A 
taxa de salário real é de $4. 
a) Esboce a restrição orçamentária e encontre o número de horas de trabalho ofertadas por 
dia. 
b) O governo institui um programa de transferência de renda que transfere ao indivíduo $16 
por dia. Como esta política afetaria a restrição orçamentária e o número de horas trabalhadas, 
assumindo o salário real constante? 
c) Na ausência da política descrita em b), de quanto deveria variar o salário real para que o 
agente atingisse o mesmo nível de utilidade obtido com aquele programa? 
 
 
Questão 3 
Considere a função de utilidade a seguir: 
 , com . Interprete o Beta. Ele pode ser uma taxa de 
impaciência? E algo como a probabilidade do indivíduo continuar vivo no período seguinte? 
 
Questão 4 
Considere um agente que tem os seguintes gostos com relação ao consumo presente (tempo 
0) e futuro (tempo 1) decritos pela função utilidade da questão 3. Suponha que o agente tem 
uma riqueza total hoje de e que ele pode poupar qualquer parte desse valor para consumir 
amanhã. Poupando ele recebe de juros. Assim, restrição orçamentária do agente é: 
 
 
 
 
(a) Renomeando as variáveis, mostre que esse problema é idêntico ao problema de 
maximização de utilidade com função utilidade Cobb-Douglas. 
O agente tem suas preferências representadas pela função: , 
com . Vamos renomear as variáveis. Sejam , , , 
 
 
, 
 . Dessa forma o problema do consumidor fica: 
 
 
 
 
 
Podemos utilizar as transformações monotônicas ( ) e 
 
 
 ( 
 
 
 
 
 ) sobre a função utilidade. Logo, o problema fica: 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
que é um problema é o de maximização de uma função Cobb-Douglas típico. 
(b) Ache as demandas marshallianas desse agente. 
Vamos utilizar a restrição orçamentária e a condição de equilíbrio: 
 
 
 
Temos então: 
i. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
ii. 
 
 
 
 
 
 
Substituindo em i. temos: 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Substituindo as variáveis que criamos pelas variáveis originais temos: 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
(c) Qual a relação entre os parâmetros e que faz com que o consumo do agente seja igual 
nos dois períodos? 
Para que o consumo dos dois agentes seja igual nos dois períodos, temos que ter: 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
(d) Extra: Suponha que, ao invés de ter uma dotação fixa, o agente tenha acesso a uma 
tecnologia de produção que produz dois bens, e , que podem ser vendidos por e 
respectivamente. A tecnologia é limitada pelos insumos, de forma que . 
Encontre as quantidades ótimas de e que maximizam os lucros do agente. 
O lucro é definido como a diferença entre o valor arrecadado com as vendas (receitas) e o 
valor dos custos para a produção: 
No nosso caso, a receita será a quantidade produzida de cada bem, multiplicada pelo preço de 
venda: . Nesse problema, não temos custos de produção, mas temos a 
limitação de tecnologia: . Portanto, o lucro será dado por: . O 
problema de maximização de lucro será: 
 
 
 
 
 
Pelo método do lagrangiano temos: 
 
 
As CPO são: 
i. 
 
 
 
ii. 
 
 
 
iii. 
 
 
 
Dividindo i. por ii., temos: 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Substituindo em iii. temos: 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Substituindo na equação anterior, temos: 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
(e) Extra: Suponha que x é a quantidade de produção que pode ser feita no período 0 e que y é 
a quantidade de produção que pode ser feita no período 1. Suponha também que ; 
 ; . Por que podemos separar as decisões de consumo das decisões de produção 
nesse problema? Dê um valor para tal que o consumo é igual nos dois períodos e o agente 
consome exatamente sua produção. 
Com os valores dos parâmetros , e , temos: 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Dessa forma, podemos modificar o problema original para acomodar essa nova configuração. 
A dotação inicial pode ser substituída por uma dotação de recebida no tempo 0 e uma 
dotação de recebida no tempo 1. Como o consumidor resolve o problema no tempo 0, a 
sua dotação será de: 
 
 
 
 
 
 
Portanto, temos as demandas: 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Para que os consumos sejam iguais, temos que ter: 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Com , temos: 
 
 
 
 
Podemos separar as decisões de consumo e de produção nesse problema, porque os 
problemas de maximização de utilidade e de maximização de lucro dependem, cada um, de 
um conjunto de parâmetros (variáveis sobre as quais o consumidor não possui controle) que 
não aparecem no outro problema. É possível verificar isso pela derivação total das CPOs de 
cada problema e pela reorganização dessas equações em forma matricial. 
 
Questão 5 
Considere o problema de maximização de utilidade da questão 4. Como você imagina que ele 
poderia ser estendido para um problema de três períodos (tempo 0, tempo 1 e tempo 2)? 
Escreva a função utilidade e a restrição orçamentária e resolva o problema de consumidor. 
Essa questão teria que fornecer a preferência do consumidor para o consumo intertemporal 
com 3 períodos; sem essa definição, não se pode montar o problema do consumidor. Suponha 
então que a utilidade do consumidor em cada período seja dada por . Então 
temos: 
 
 
onde é o consumo no tempo 2. Com uma taxa de juros de , a restrição orçamentária em 
valores presentes será: 
 
 
 
 
 
 
 
Portanto, o problema do consumidor será: 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Como no problema 5, é possível adaptar esse problema de modo a entendê-lo como o da 
maximização de uma função Cobb-Douglas. 
Se fizermos as transformações: , 
 
 
, 
 
 
, então teremos as soluções 
padrão: 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Questão 6 
(a) Um consumidor, que começou como emprestador, continua a ser emprestador mesmo 
após um declínio da taxa de juros. Como estará a situação deste consumidor após a variação 
dos juros: melhor ou pior? Justifique. 
Se o indivíduo é emprestador, isso significa que ele é vendedor líquido de dinheiro. Assim, o 
aumento do preço desse bem (taxa de juros) faria com que ele permanecesse nessa situação 
de vendedor líquido. Porém, ocorre declínio da taxa de juros, e o indivíduo poderia ainda ser 
emprestador (vendedor líquido) e seu bem-estar piorar, ou tornar-se tomador, e seu bem-
estar melhorar ou piorar. Como sabemos que ele
continua sendo emprestador, seu bem-estar 
piorará. 
b) E se o consumidor tornar-se tomador de empréstimos após a variação, ficará em melhor ou 
pior situação? Justifique. 
Conforme descrito em (a), a partir do declínio da taxa de juros, o indivíduo poderia ainda ser 
emprestador (vendedor líquido) e seu bem-estar piorar, ou tornar-se tomador, e seu bem-
estar melhorar ou piorar. Como sabemos agora que ele se torna tomador, a direção de seu 
bem-estar é indefinida. 
 Questão 7 
Suponha que um consumidor escolha a trajetória ótima de consumo de uma dada cesta de 
bens. e representam o consumo no presente e no futuro, respectivamente. Considere a 
taxa de inflação igual a zero e nenhuma variação de preço relativo em cada cesta. Admita 
também que a preferência intertemporal de consumo seja dada pela função utilidade: 
 
 
 
 
Onde . O consumidor possui dotação dada pelo fluxo de renda e . 
a) Como seria possível trocar consumo presente por consumo futuro? Qual é o papel da 
intermediação financeira? 
A troca de consumo presente por consumo futuro poderia ser realizada pela formação de 
poupança (despoupança) no presente, ou seja, pelo consumo presente menor do que a 
dotação no presente (consumo presente maior do que a dotação no presente) para financiar 
um consumo futuro maior do que a dotação futura (financiado pelo consumo menor no 
futuro). Tal possibilidade de escolha intertemporal só é possível através da intermediação 
financeira. 
b) A função de utilidade é homotética? 
Calcularemos a expressão da e veremos se ela depende da razão dos bens e 
 . 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Observamos que a depende da razão entre os bens (pois o termo 
 
 
 é 
constante). Assim, a função de utilidade é homotética. 
c) Encontre as condições para que o consumidor maximize sua função utilidade intertemporal? 
Interprete-as. 
O indivíduo deve maximizar sua função utilidade sujeito à restrição orçamentária 
intertemporal: 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
A restrição orçamentária intertemporal pode ser reescrita como: 
 
 
 
 
 
 
 
 
E, assim, podemos introduzir essa expressão na função utilidade de modo a ter o problema 
irrestrito e com uma única variável de escolha: 
 
 
 
 
 
 
Assim, a condição de 1a ordem será: 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Isolando : 
 
 
 
 
d) Calcule a TMS em e num ponto genérico. Qual o significado de ? 
Conforme já realizado anteriormente: 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Observamos que o termo 
 
 
 multiplica a razão entre o consumo dos bens. Assim, o 
parâmetro (chamado de taxa de desconto intertemporal) mede o quanto que o indivíduo 
está disposto a trocar consumo presente por consumo futuro. 
 
Questão 8 
Sobre consumo intertemporal, responda: 
a) à medida que a taxa de juros aumenta, a restrição orçamentária intertemporal torna-se 
mais íngreme ou mais plana? 
Inicialmente, a restrição orçamentária intertemporal para consumo presente ( ) e consumo 
futuro ( ) e dotações presentes e futuras ( ) é: 
 
 
 
 
 
 
 
Assim, também pode ser reescrita como: 
 
 
 
 
 
 
 
 
Nessa expressão podemos perceber que se a restrição orçamentária intertemporal for 
desenhada no plano ( ) ela será uma reta com inclinação: 
Assim, vemos que um aumento das taxa de juros deixará a restrição orçamentária 
intertemporal mais íngreme. 
b) Qual é o significado da taxa de juros real?