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Universidade de Sa˜o Paulo - Departamento de Economia
EAE 0324 - Econometria I
Prof. Dr. Ricardo Avelino
2o Semestre de 2008
Lista de Exerc´ıcios 6 - Data de Entrega: 10/06
Questa˜o 1
Suponha que voceˆ tenha a seguinte especificac¸a˜o de regressa˜o yi = x0iβ + εi,
a qual satistaz as hipo´teses de Gauss-Markov. (Note que xi na˜o e´ um escalar).
No entanto, ao inve´s dos dados originais i = 1, ..., N voceˆ tem J grupos de
diferentes tamanhos. O primeiro grupo tem 1 pessoa, o segundo grupo tem 2
pessoas, e o jth grupo tem j pessoas com
JP
j=1
j = N. Tudo que voceˆ tem sa˜o as
me´dias dos grupos: y¯j e x¯j .
a) Ache o estimador GLS e determine os pesos para estimar mı´nimos quadra-
dos ponderados.
b) Suponha que depois de voceˆ achar βˆGLS voceˆ calcula o R
2usual de GLS.
Voceˆ tambe´m estima por OLS a partir dos dados originais. Mas o R2 de GLS
e´ muito menor que o de OLS. O que voceˆ pode concluir? Voceˆ pode achar um
contra-exemplo ao teorema de Gauss-Markov?
Questa˜o 2
Considere o modelo yt = µ + εt, t = 1, ..., T , εt i.i.d., E [εt] = 0, V [εt] =
σ2 + δ2, cov [εt, εs] = δ
2 para s 6= t. O estimador eficiente de µ e´ GLS. Calcule
a eficieˆncia relativa de OLS definida por
V (µˆOLS)
V (µˆGLS)
Questa˜o 3
Considere o seguinte modelo de equac¸o˜es simultaˆneas:
Ct = α0 + α1yt + u1t
It = β0 + β1∆yt + u2t
yt ≡ Ct + It +Gt
Determine quais varia´veis sa˜o endo´genas e exo´genas. Escreva as condic¸o˜es
de identificac¸a˜o das diferentes equac¸o˜es. Elas sa˜o sobreidentificadas, subidenti-
ficadas ou exatamente identificadas?
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Questa˜o 4
Considere o modelo de treˆs equac¸o˜es:
y1 = β13y3 + γ12x2 + u1
y2 = β21y1 + β23y3 + γ21x1 + γ22x2 + u2
y3 = γ33x3 + u3
no qual y1, y2, y3 sa˜o endo´genos e x1, x2, x3 sa˜o exo´genos. Discuta a identi-
ficac¸a˜o de cada uma das equac¸o˜es do modelo baseado nas condic¸o˜es de ordem e
posto. Agora suponha que voceˆ queira estimar a primeira equac¸a˜o por mı´nimos
quadrados em dois esta´gios, mas voceˆ tem apenas um progama de mı´nimos
quadrados ordina´rios dispon´ıvel. Explique cuidadosamente, passo por passo,
como voceˆ estimaria β13, γ12 , var(u1).
Questa˜o 5
Considere o modelo:
y1 = αy2 + δx+ u1
y2 = βy1 + γx+ u2
no qual x e´ exo´geno e os termos de erro u1 e u2 tem me´dia zero e na˜o sa˜o
serialmente correlacionados.
a) Escreva as equac¸o˜es na forma reduzida expressando-as em termos dos
paraˆmetros estruturais.
b) Mostre que, se γ = 0, enta˜o β pode ser identificado. Os paraˆmetros α e
δ sa˜o identificados neste caso? Por queˆ?
c) No caso em que γ = 0, qual fo´rmula voceˆ usaria para estimar β? Qual a
variaˆncia assinto´tica do seu estimador de β?
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