Lista 06_GABARITO

USP-SP

Enviado por Cristiano Martins em 22/11/2012

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UNIVERSIDADE DE SÃO PAULO
Faculdade de Economia, Administração e Contabilidade
Departamento de Economia
Disciplina: Microeconomia I
Professores: Décio Kadota, Elisabeth Farina, Ricardo Madeira
Monitores: André Attilio, Bruno Komatsu, Otávio Sidone e Thiago Alexandrino

LISTA 06 - GABARITO
Questão 01
Um indivíduo possui uma função utilidade e uma riqueza inicial . Uma loteria tem
como pagamento uma quantia com uma probabilidade e uma quantia com
probabilidade .
(a) Se o indivíduo possui essa loteria, qual é o preço mínimo pelo qual ele a venderia?
(Defina indiretamente por uma equação)
(b) Se o indivíduo não possui a loteria, qual é o preço máximo que ele estaria disposto a
pagar para obtê-la? (defina indiretamente por uma equação)
(c) Suponha que , , , e . Calcule os preços de
compra e de venda.
(a) O preço máximo pelo qual o indivíduo venderia a loteria é aquele que garante que ele seja
indiferente a ter a loteria ou o dinheiro obtido pela sua venda, ou seja, é o preço que faz com
que a utilidade esperada da loteria e aquela obtida com a venda sejam iguais. Se o preço for
menor do que aquele que satisfaz essa condição, o indivíduo prefere a loteria. Seja o preço
de venda; o indivíduo será indiferente entre manter ou vender a loteria se:

Essa equação define implicitamente o preço .

(b) O preço máximo o qual o indivíduo está disposto a pagar pela loteria, caso na a possua, é
aquele que faz com que a utilidade esperada de possuir a loteria após a compra seja igual à
utilidade do indivíduo antes da compra. Se o preço for maior do que esse, o indivíduo preferirá
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manter a riqueza que possui inicialmente. Seja o preço de compra; a condição será satisfeita
com a igualdade:

Essa equação define implicitamente o preço .

O preço de compra será:

Questão 02
Kay está planejando uma viagem ao redor do mundo em que pretende gastar R$10.000. A
utilidade extraída da viagem é uma função de quanto o consumidor acaba gastando nela ( ),
sendo dada por:

(a) Se existe uma probabilidade de 25% de Kay perder R$1.000 do seu dinheiro na viagem,
qual a utilidade esperada da mesma? (Utilize uma calculadora científica para fazer as
contas)
(b) Suponha que Kay possa adquirir um seguro contra a perda de R$1.000 a um prêmio
atuarialmente justo de R$250. Mostre que a utilidade esperada é maior se ela comprar
esse seguro do que se não comprar (e correr o risco de perder os R$1.000).
(c) Qual a quantia máxima que Kay estaria disposta a pagar pelo seguro descrito no item
anterior?
(a) A utilidade esperada para a viagem será:

(b) Se Kay comprar o seguro a sua utilidade esperada será:

(c) A quantia máxima que Kay estaria disposta a pagar pelo seguro seria aquela que a torna
indiferente entre obter o seguro e a loteria sem o seguro; ou seja, é o valor que faz com que a
utilidade esperada da viagem com o seguro seja igual à utilidade esperada da viagem sem o
seguro. Seja o preço máximo; ele será dado por:

Questão 03
Um indivíduo possui uma quantidade de dinheiro no período 1 para investir em
ativos, que são divisíveis e possibilitam retorno no período seguinte. Ele pode investir em um
ativo seguro que paga $1 no período 2 para cada $1 investido, ou pode comprar um ativo
de risco que paga $0,60 com uma probabilidade ou $1,50 com a mesma
probabilidade.
Se a utilidade do consumidor for dada por , quais serão as quantidade investidas em
cada tipo de ativo?
Sejam a quantidade do ativo seguro que o indivíduo irá comprar e , a quantidade do ativo
de risco. Seja o retorno do ativo de risco, esse retorno será igual a $0,60 com uma
probabilidade de 0,5 e a $1,50 com uma probabilidade de 0,5. Então a riqueza final do
indivíduo será de . Em condições de incerteza o indivíduo irá maximizar a utilidade
esperada, que nesse caso será:
O indivíduo possui ainda uma restrição orçamentária, porque o máximo que pode comprar de
ativos é a sua riqueza inicial: .
Portanto, o problema do consumidor será:

Podemos resolver esse problema de maneira simples substituindo a restrição na função
objetivo:
Então a função objetivo fica:

A função objetivo torna-se de somente uma variável ( ), de modo que podemos encontrar o
ponto de máximo igualando a sua derivada a zero:

Então, substituindo na restrição, temos:

Questão 04
Um fazendeiro tem a opção de cultivar trigo e batatas. Se fizer sol, cada hectare de trigo gerará
lucro de 200; e se plantado com batatas, o lucro será de 100. Se fizer chuva, o lucro de um
hectare de trigo será de 120; e se plantado com batatas, de 200. A utilidade da renda do
fazendeiro é dada por U(Y)=ln(Y), em que Y é o lucro. As probabilidades de sol e chuva são
iguais. Defina “t” como a proporção da terra dedicada ao plantio de trigo e “1-t”a proporção
dedicada a plantação de batatas. Encontre o “t” ótimo.

Questão 05
Um indivíduo possui riqueza W= $100 e se depara com uma loteria que pode acrescentar $44 a
sua riqueza, com probabilidade 0,25, ou subtrair $36, com probabilidade 0,75. Sua utilidade é
do tipo Von Neumann- Morgenstern (VNM), é dada por U(X)= X^(1/2).
a) Ache o coeficiente absoluta de aversão ao risco, o coeficiente relativa de aversão ao
risco. Analise o comportamento dos coeficientes em relação a renda.
b) Ele é avesso, neutro ou propenso ao risco?
c) Qual é o máximo que o indivíduo está disposto a pagar para se livrar do risco?
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Questão 06
Julgue as afirmativas abaixo, classificando-as em verdadeiras (V) ou falsas (F):
a) Pela hipótese de independência, as escolhas do consumidor em um estado da
natureza devem independer das escolhas em outro estado da natureza.
b) Uma função de utilidade côncava significa que o indivíduo é propenso ao risco.
c) Se a função de utilidade for linear nas probabilidades, a utilidade atribuída a um jogo
de azar será apenas o produto das utilidades dos diversos resultados possíveis, com
cada utilidade elevada a sua probabilidade. (

).
d) Se submetermos uma função de utilidade VNM a uma transformação afim positiva, ela
não preservará a propriedade de utilidade esperada. Mas, se a transformação for
monotônica, preservará.

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Questão 07
Um indivíduo possui a seguinte função de utilidade:

Onde: C é a despesa em consumo, M é a despesa com seguro médico e se o indivíduo
estiver doente e caso contrário.
Assim, segundo essa função, quanto maior for o seguro melhor o tratamento médico e menos
desagradável a doença. Se a probabilidade de adoecer for de 0,5 e se este indivíduo possuir
rendimento igual a 10, calcule qual o montante de seguro que ele deverá fazer.

A escolha ótima do indivíduo resulta da maximização da utilidade esperada:

CPO:

Questão 08
Um indivíduo possui função de utilidade Von Neumann-Morgenstern do tipo

Onde m é a riqueza do indivíduo. Suponha que este indivíduo possua um carro avaliado em
R$20.000,00 e deseja adquirir um seguro que lhe proteja de um possível sinistro que lhe
custará R$10.00,000. A probabilidade do sinistro ocorrer é de 0,2.
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a) Calcule a quantidade que o indivíduo adquire de seguro como uma função do preço do
seguro.
A escolha ótima do indivíduo resulta da maximização da utilidade esperada, onde S=P.Q é o
valor pago pelo seguro, e P e Q o preço e quantidade do seguro.

CPO:

b) Admita que o preço do seguro seja atuarialmente justo. Nesse caso, quanto o indivíduo
compra do seguro?
Para que o preço cobrado seja atuarialmente justo, temos que o lucro esperado da seguradora
deve ser igual a zero. Assim, o preço cobrado deverá ser igual a 0,2 por unidade de seguro:
P=0,2.
Substituindo P na expressão de Q calculada no item a, temos:

Questão 09
Carlos decidiu gastar sua riqueza na compra de um automóvel que tem probabilidade 0,2 de se
incendiar. Caso ocorra o incêndio, Carlos terá que se contentar com uma riqueza (R-k), e se
não ocorrer incêndio, sua riqueza será de R, onde k é o valor do automóvel.
a) Escreva o prêmio esperado (ou valor esperado) dessa loteria.
O valor esperado dessa loteria será:

Imagine que uma empresa seguradora ofereça segurar o valor total do automóvel. O valor
cobrado pela empresa é de γ por unidade de seguro.
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b) Qual é o valor do seguro atuarialmente justo? Qual é o lucro da seguradora quando o valor
do seguro é atuarialmente justo?
Para que o preço cobrado seja atuarialmente justo, temos que o valor pago pelo indivíduo
deverá ser exatamente igual ao valor esperado da perda: 0,2.k
No caso em que o seguro é atuarialmente justo, o lucro esperado da seguradora será nulo.

Questão 10
Um indivíduo economizou 10.000 u.m. e planeja viajar. A utilidade da viagem é uma função de
seus gastos na viagem e é dada por:

Nesta viagem existe uma probabilidade de 25% de que ele venha a perder 1.000 u.m.. Para
evitar esse risco de perda, ele pode fazer um seguro pagando um prêmio de 250 u.m..
a) O prêmio cobrado é atuarialmente justo?
b) Compare a utilidade esperada da viagem com e sem o seguro.
c) Qual é o prêmio máximo que o indivíduo deveria pagar?

a) Para a seguradora, temos que o lucro esperado será:

Portanto, o prêmio é atuarialmente justo. Ou seja, o valor pago pelo indivíduo é exatamente
igual ao valor esperado da perda: 0,25.1000=250.
b) A utilidade esperada sem o seguro (ss) e com o seguro (cs) são:

Portanto, vemos que: .
c) O prêmio máximo que o indivíduo deveria pagar é um valor que o deixa indiferente entre
fazer o seguro ou não fazer. Assim, tal valor deverá satisfazer: .
Portanto, o valor máximo que o indivíduo estaria disposto a pagar pelo seguro é 260, já que:

Questão 11
Um indivíduo possui escolha entre 3 situações alternativas:
(I) ganhar $7,5 mi com probabilidade de 4/5 e $15 mi com probabilidade de 1/5
(II) ganhar $10 mi com probabilidade de 4/5 e $5 mi com probabilidade de 1/5
(III) ganhar $9 mi com certeza
a) O indivíduo deve ser indiferente entre (I) e (II)?
b) Se o indivíduo prefere a situação (II) à (III), então suas escolhas são inconsistentes?
c) Se a utilidade do indivíduo for , onde x for a quantidade de dinheiro, então (II)
será melhor que (I) ?
d) Se o indivíduo for indiferente às três situações, ele é neutro ao risco?

O ganho esperado em cada uma das três situações é $9 mi:
(I)

(II)

(III)
a) Se o indivíduo fosse neutro ao risco, teríamos:

Nesse caso haveria indiferença entre as alternativas (I) e (II). Porém se o indivíduo for avesso
ou propenso ao risco, as igualdades acima não se verificariam e o indivíduo não seria
indiferente entre as alternativas (I) e (II).
Portanto, haveria indiferença entre as alternativas (I) e (II) se, e somente se, o indivíduo fosse
neutro ao risco.
b) Não, pois se o indivíduo fosse neutro ao risco, ele seria indiferente entre as alternativas (II) e
(III), sem que houvesse nenhuma inconsistência.
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c) Se a utilidade do indivíduo for , onde x for a quantidade de dinheiro, ele seria
neutro ao risco. Assim, seria indiferente entre as alternativas (I) e (II).
d) O fato do indivíduo ser indiferente às três situações significa que ele é indiferente entre
obter um valor com certeza e entrar numa loteria, pois em média ele aufere o mesmo ganho.
Logo, ele é neutro ao risco.

Questão 12
a) A concavidade das curvas de indiferença em relação à origem representa a aversão ao risco
dos consumidores?
b) Se um consumidor é neutro ao risco, então ele estará disposto a pagar R$10 por um bilhete
de loteria se este lhe fornecer um ganho esperado de R$10?
c) Um indivíduo avesso ao risco jamais participará de uma aposta?
d) O prêmio de risco é o valor que uma pessoa avessa ao risco está disposta a pagar a fim de
evitar os riscos?
a) Não. Se o indivíduo é avesso ao risco, sua função de utilidade deve ser côncava. E tais
funções de utilidade côncavas possuem curvas de indiferença convexas em relação à origem.
b) Sim. Suponha uma loteria justa onde o indivíduo paga R$10 para apostar e ganha R$20 com
probabilidade 0,5, e R$0 com probabilidade 0,5. O valor esperado dessa loteria é igual a 10.
Se o indivíduo não entrar na loteria:
Se o indivíduo entrar na loteria:
c) Não necessariamente, isso dependerá da loteria. Se o prêmio de risco cobrado for
atuarialmente justo, o indivíduo avesso ao risco sempre prefere sair da loteria.
d) Sim. Definiremos primeiramente o equivalente de certeza (EC). Ele corresponde ao valor
monetário que o indivíduo aceita receber com certeza para não entrar na loteria. Ou seja:
. Já
o prêmio de risco equivale ao valor esperado da loteria, subtraído do
valor do equivalente de certeza. Assim, consiste no valor que uma pessoa avessa ao risco está
disposta a pagar a fim de evitar os riscos.