Esta é uma pré-visualização de arquivo. Entre para ver o arquivo original
Universidade de São Paulo – Departamento de Economia Gabarito da Lista 01 EAE324- Econometria I Pr. Dr. Ricardo Avelino Monitores: Alessandro Casalecchi Heitor Sandes Pellegrina Questao 5 a) Chamando a soma do quadrado dos resíduos de SSR, temos: ��� =���̃� =� � − � ����� ���� �� � = 0 ⇒ 2� � − � ���� �−��� = 0 ⇒� �� � − � ����� = 0 ⇒��� � = � ����� ⇒ � � = ∑�� �∑��� = ∑����� + ���� + ���∑��� = �� ∑�� + �� ∑��� +∑����∑��� = �� + �� ∑�� +∑����∑��� ⇒ � � �� = �� + �� ∑��∑��� + ∑�������∑��� = �� + �� ∑��∑��� Se �� = 0, então � � �� = �� . b) ��� � �� = � � � � − ��� ����� = � � �� + �� ∑�� + ∑����∑��� − �� − �� ∑��∑���! �" = � � ∑����∑��� ! �" Para a exposição ficar mais didática, vamos nos focar por enquanto somente no numerador: �#������� − 2����������� +⋯+ �%�%� + ����� +⋯+ �%�%��& = �#�������& − 2�#����������� +⋯+ �%�%�& + �#����� +⋯+ �%�%��&= ���'(� − 2#����������� + ⋯+ ���%�����%�& + �#����� +⋯+ �%�%��& O termo do meio é igual a zero, pois � ���)� = 0 para todo * ≠ ,. Repetindo este raciocínio para abrir o ultimo termo ate o final, chegaremos a � -.�������/�0 = ���� +⋯+ �%��'(� E portanto ��� � �� = '(� ∑��� ∑ ����� = '(�∑��� c) Como ���� − �1�� =� ��� − 2���1 + �1�� =���� − 2�1��� + 2�1� =���� − 2�12�1 + 2�1� =���� − 2�1� <���� então '(�∑��� − �1�� ≥ '(�∑��� ⇒ ��� � �� ≤ ��� �6�� d) Apesar de � � ter variância menor, �6� não tem viés. Questao 6 Em primeiro lugar, note que como ��� foi definido como o resíduo, para a observação i, da regressão de �� contra ��, então podemos escrevê-lo como ��� = ��� − 789 − 78���� onde 78� = ∑���� − �1������ − �1��∑���� − �1��� 789 = �1� − 78��1� Estas expressões serão úteis no final dos cálculos a seguir. Voltando ao modelo estimado: a soma do quadrado dos resíduos do modelo estimado é dado por ��� =�:;�� =� � − � 9 − � ���� − � ������ ���� �� 9 = 0 ⇒ 2� � − � 9 − � ���� − � ������−1� = 0 ⇒� � − 2� 9 − � ����� − � ����� = 0 ⇒ � 9 = = − � ��1� − � ��1� ���� �� � = 0 ⇒ 2� � − � 9 − � ���� − � ������−���� = 0 ⇒� ���� − � 9���� −� ������ −� �������� = 0 ���� �� � = 0 ⇒ 2� � − � 9 − � ���� − � ������−���� = 0 ⇒� ���� − � 9���� − � �������� −� ������ = 0 Subtraindo a segunda condição de primeira ordem da terceira: � ����� − ���� − � 9����� − ���� − � �� ������ − ���� � − � �� ���� − ������� = 0 Agora, substituindo � 9 = = − � ��1� − � ��1� nesta última equação: � ����� − ���� − = − � ��1� − � ��1������� − ���� − � ��������� − ���� − � ��������� − ���� = 0 ⇒� ����� − ���� − =����� − ���� + � ������ − ���� �1� + � ������ − �����1� − � ��������� − ���� − � ��������� − ���� = 0 ⇒�� � − =����� − ���� − � ������ − �1������ − ���� − � ������ − �1������ − ���� = 0 ⇒ � � = ∑� � − =����� − ����∑���� − �1������ − ���� − � � ∑���� − �1������ − ����∑���� − �1������ − ���� Substituindo esta última equação em � 9 = = − � ��1� − � ��1�: � 9 = = − � ��1� − �1� > ∑� � − =����� − ����∑���� − �1������ − ���� − � � ∑���� − �1������ − ����∑���� − �1������ − ����? = = − � � >�1� − �1� ∑���� − �1������ − ����∑���� − �1������ − ����? − �1� > ∑� � − =����� − ����∑���� − �1������ − ����? Agora, substituindo este � 9 e aquele � � na terceira condição de primeira ordem: � ���� − @ = − � � >�1� − �1� ∑���� − �1������ − ����∑���� − �1������ − ����? − �1� > ∑� � − =����� − ����∑���� − �1������ − ����?A���� − � �������� − @ ∑� � − =����� − ����∑���� − �1������ − ���� − � � ∑���� − �1������ − ����∑���� − �1������ − ����A����� = 0 ⇒� ���� − =���� + �1� > ∑� � − =����� − ����∑���� − �1������ − ����?���� − > ∑� � − =����� − ����∑���� − �1������ − ����?����� + � � @>�1� − �1� ∑���� − �1������ − ����∑���� − �1������ − ����?���� −������� + ∑���� − �1������ − ����∑���� − �1������ − ��������� A = 0 ⇒�� � − =���� − > ∑� � − =����� − ����∑���� − �1������ − ����? ������ − �1������ = � � @������ − �1������ − > ∑���� − �1������ − ����∑���� − �1������ − ����? ������ − �1������A Calculando o m.m.c e cortando o denominador comum: ⇒ ������ − �1������ − ����� ��� � − =����� + ��� � − =����� − ����� �−����� − �1������ = � � B������ − �1������ − ����� ������ − �1������ − ������ − �1������ − ����� ������ − �1������C ⇒ � � = #∑���� − �1������ − ����&#∑� � − =����& − #∑� � − =����� − ����&#∑���� − �1�����&#∑���� − �1������ − ����&#∑���� − �1�����& − #∑���� − �1������ − ����&#∑���� − �1�����& = #∑���� − �1����� −∑���� − �1�����&#∑� � − =����& − #∑� � − =���� − ∑� � − =����&#∑���� − �1�����&#∑���� − �1����� − ∑���� − �1�����&#∑���� − �1�����& − #∑���� − �1����� −∑���� − �1�����&#∑���� − �1�����& = = #∑� � − =����&#∑���� − �1�����& − #∑� � − =����&#∑���� − �1�����&#∑���� − �1�����&#∑���� − �1�����& − #∑���� − �1�����&#∑���� − �1�����& Abrindo � e = segundo o modelo verdadeiro (populacional): = #∑���� − �1�����&D∑��� ������ − �1�� + ������ − �1�� + �E��E� − �1E� + �:� − :=��F − #∑���� − �1�����&D∑��� ������ − �1�� + ������ − �1�� + �E��E� − �1E� + �:� − :=��F#∑���� − �1�����&#∑���� − �1�����& − #∑���� − �1�����&#∑���� − �1�����& = �� + �E #∑���� − �1�����&#∑��E� − �1E����& − #∑���� − �1�����&#∑��E� − �1E����&#∑���� − �1�����&#∑���� − �1�����& − #∑���� − �1�����&#∑���� − �1�����& + #∑���� − �1�����&#∑�:� − :=����& − #∑���� − �1�����&#∑�:� − :=����&#∑���� − �1�����&#∑���� − �1�����& − #∑���� − �1�����&#∑���� − �1�����& Aplicando a esperança de ambos os lados, temos: ⇒ � � �� = �� + �E #∑���� − �1�����&#∑��E� − �1E����& − #∑���� − �1�����&#∑��E� − �1E����&#∑���� − �1�����&#∑���� − �1�����& − #∑���� − �1�����&#∑���� − �1�����& Agora, dividindo o numerador e o denominador da segunda parcela por ∑���� − �1���, vem: � � �� = �� + �E #∑��E� − �1E����& − 78�#∑��E� − �1E����&#∑���� − �1���& − 78�#∑���� − �1������ − �1��& = �� + �E #∑���� − 78����� ��E� − �1E�&∑���� − �1�� #���� − �1�� − 78����� − �1��& = = �� + �E #∑���� − 78����� ��E� − �1E�&∑���� − �1�� #��� − ��1� − 78��1�� − 78����& = �� + �E #∑���� + 789� ��E� − �1E�&∑���� − �1�� ��� = �� + �E #∑ ��� ��E� − �1E�& + #789 ∑��E� − �1E�&∑ ��� ��� + 78����� − �1��� = = �� + �E ∑����E� − �1E∑���∑���� + 78�∑������� − �1�� ⇒ � � �� = �� + �E ∑����E�∑���� Questao 9 a) Note que o modelo particionado não passa de uma outra forma de representar o mesmo modelo usual não particionado. Isso significa que a equação normal (condição de primeira ordem da minimização) do modelo particionado é igual à equação normal do modelo não particionado, mas numa versão particionada. Em outras palavras, a equação normal do modelo particionado será: �GHG��6 = GH ⇒ �#G� G�&H#G� G�&� >�6��6�? = #G� G�&H ⇒ I- G�HG�H0 #G� G�&J > �6��6�? = - G�HG�H0 ⇒ - G�HG� G�HG�G�HG� G�HG�0 > �6��6�? = - G�H G�H 0 Temos, portanto, duas equações em formato matricial que podemos resolver: @�G�HG���6� + �G�HG���6� = G�H �G�HG���6� + �G�HG���6� = G�H K Isolando o vetor �6� na primeira equação, temos: �6� = �G�HG��L�G�H − �G�HG��L��G�HG���6� = �G�HG��L�G�H − G��6�� Agora, substituindo este �6� na segunda equação, temos: �G�HG��D�G�HG��L�G�H − G��6��F + �G�HG���6� = G�H ⇒ �G�HG���G�HG��L�G�H − �G�HG���G�HG��L�G�HG��6� + �G�HG���6� = G�H ⇒ ⇒ #�G�HG�� − �G�HG���G�HG��L�G�HG�&�6� = G�H − �G�HG���G�HG��L�G�H ⇒ �6� = #�G�HG�� − �G�HG���G�HG��L�G�HG�&L�#G�H − �G�HG���G�HG��L�G�H & = = #G�H #M − G��G�HG��L�G�H&G�&L�#G�H #M − G��G�HG��L�G�H& & = #G�HN�G�&L�#G�HN� & b) Em primeiro lugar, sabemos que �6 = �GHG�L�GH Agora, para saber as fórmulas de 78 e O8, podemos fazer uma analogia com os resultados do item a. Note que 78 faz o mesmo papel de �6�, e O8 faz o mesmo papel de �6�. Portanto, estes dois estimadores são dados, no contexto presente, por 78 = �ℎHNℎ�L�ℎHN O8 = �GHG�L�GH� − ℎ78� = �GHG�L�GH − �GHG�L�GHℎ78 = �6 − �GHG�L�GHℎ78 onde N = #M%×% − G�GHG�L�GH& Assim, o vetor de resíduos �̂ pode ser escrito como �̂ = − GO8 − ℎ78 = − GD�6 − �GHG�L�GHℎ78F − ℎ78 = − G�6 + G�GHG�L�GHℎ78 − ℎ78 = − G�6 − #M − G�GHG�L�GH&ℎ78 = − G�6 − Nℎ78 = = :8 − Nℎ78 ⇒ �̂H�̂ = �:8 − Nℎ78�H�:8 − Nℎ78� = �:8H − 78ℎHNH��:8 − Nℎ78� = :8H:8 − :8HNℎ78 − 78ℎHNH:8 + 78ℎHNHNℎ78 Como N = NH, então NH:8 = N:8 = N − G�6� = N −NG�6 = N = :8. Sabendo disso, podemos continuar as contas assim: �̂H�̂ = :8H:8 − :8 Hℎ78 − 78ℎH:8 + 78�ℎHNHNℎ = :8H:8 − 2:8Hℎ78 + 78�ℎHNHNℎ Agora vamos manipular a segunda parcela da última expressão, lembrando que NH = N, que NHN = N, e que NG = 0 : 2:8Hℎ78 = 2�N �Hℎ78 = 2 HNHℎ78 = 2�GO8 + ℎ78 + �̂�HNHℎ78 = 2�O8HGH + 78ℎH + �̂H�NHℎ78 = 2�78ℎH + �̂H�NHℎ78 = 278�ℎHNHℎ + 2�̂HNHℎ78 = 278�ℎHNℎ + 2�̂Hℎ78 = 278�ℎHNℎ Substituindo este resultado na equação anterior, temos: �̂H�̂ = :8 H:8 − 278�ℎHNℎ + 78�ℎHNHNℎ = :8H:8 − 78�ℎHNℎ ⇒ �̂H�̂ ≤ :8 H:8 Tal desigualdade é verdadeira porque, chamando S = ℎN, temos ℎHNℎ = ℎHNHNℎ = SHS ≥ 0 ⇒ 78�ℎHNℎ ≥ 0. Questao 10 a) A fórmula do lagrangeano para a minimização restrita é: T = �̃H�̃ + UH �� − V� = − G� �H − G� � + UH �� − V� = H − � HGH� − G� � + UH �� − V� = H − 2 HG� + � HGHG� + UH�� − UHV onde U é �� × 1�. As condições de primeira ordem da minimização são: �T �� = −2GH + 2GHG� + �HU = 0 �T�U = �� − V� = 0 Manipulando a primeira condição de primeira ordem: −2GH + 2GHG� + �HU = 0 ⇒ � = �GHG�L� -GH − 12�HU0 = �6 + 12 �GHG�L��HU Substituindo � na segunda condição de primeira ordem: � -�6 + 12 �GHG�L��HU0 − V = 0 ⇒ ��6 − V + 12��GHG�L��HU = 0 ⇒ U = −2#��GHG�L��H&L� ��6 − V� Substituindo U na expressão obtida anteriormente para � : � = �6 + 12 �GHG�L��HD−2#��GHG�L��H&L� ��6 − V�F = �6 − �GHG�L��H#��GHG�L��H&L� ��6 − V� b) Note que �̃ = − G� = − G� + G�6 − G�6� = − G�6� − G � − �6� = �̂ − G � − �6� Por isso, a soma do quadrado dos resíduos da minimização irrestrita é igual a: �̃H�̃ = D�̂ − G � − �6�FHD�̂ − G � − �6�F = �̂H�̂ − 2�̂HG � − �6� + � − �6�HGHG � − �6� = �̂H�̂ + � − �6�HGHG � − �6� Agora, usando a expressão para � obtida no item a, temos: ⇒ �̃H�̃ − �̂H�̂ = � − �6�HGHG � − �6� = �6 − �GHG�L��H#��GHG�L��H&L� ��6 − V� − �6�HGHG �6 − �GHG�L��H#��GHG�L��H&L� ��6 − V� − �6� = = D�GHG�L��H#��GHG�L��H&L� ��6 − V�FHGHGD�GHG�L��H#��GHG�L��H&L� ��6 − V�F = ��6 − V�H#��GHG�L��H&L���GHG�L�GHG�GHG�L��H#��GHG�L��H&L� ��6 − V� = ��6 − V�H#��GHG�L��H&L���GHG�L��H#��GHG�L��H&L� ��6 − V� = ��6 − V�H#��GHG�L��H&L� ��6 − V� Sob a hipótese nula W9: �� = V, podemos substituir V por �� na expressão acima. Além disso, podemos dividir ambos os lados da equação por �, obtendo: �̃H�̃ − �̂H�̂� = �� 6 − ���H#��GHG�L��H&L� ��6 − ���� Finalmente, note que, como o estimador Y� da variância do distúrbio aleatório é Y� = �̂H�̂2 − Z podemos dividir o lado esquerdo da penúltima equação por Y�, e o lado direito por �̂H�̂/�2 − Z�, chegando em: ��̃H�̃ − �̂H�̂�/��̂H�̂/�2 − Z� = �� 6 − ���H#Y���GHG�L��H&L� ��6 − ����