Logo Passei Direto
Buscar
Material

Esta é uma pré-visualização de arquivo. Entre para ver o arquivo original

Universidade de São Paulo – Departamento de Economia 
Gabarito da Lista 01 
EAE324- Econometria I 
Pr. Dr. Ricardo Avelino 
Monitores: 
Alessandro Casalecchi 
Heitor Sandes Pellegrina 
 
Questao 5 
a) Chamando a soma do quadrado dos resíduos de SSR, temos: 
 
��� =���̃� =�	
� − �
����� 
����
��
� = 0 ⇒ 2�	
� − �
���� �−��� = 0 ⇒�	��
� − �
����� = 0 ⇒���
� = �
����� ⇒ �
� =
∑��
�∑��� =
∑����� + ���� + ���∑���
= �� ∑�� + �� ∑��� +∑����∑��� = �� +
�� ∑�� +∑����∑��� ⇒ �	�
�� = �� + ��
∑��∑��� +
∑�������∑��� = �� + ��
∑��∑��� 
Se �� = 0, então �	�
�� = �� . 
 
b) 
���	�
�� = � �	�
� − ���
����� = � � �� + �� ∑�� + ∑����∑��� − �� − ��
∑��∑���!
�" = � � ∑����∑��� !
�" 
Para a exposição ficar mais didática, vamos nos focar por enquanto somente no numerador: 
�#������� − 2����������� +⋯+ �%�%� + ����� +⋯+ �%�%��& = �#�������& − 2�#����������� +⋯+ �%�%�& + �#����� +⋯+ �%�%��&= ���'(� − 2#����������� + ⋯+ ���%�����%�& + �#����� +⋯+ �%�%��& 
O termo do meio é igual a zero, pois �	���)� = 0 para todo * ≠ ,. Repetindo este raciocínio para abrir o ultimo termo ate o final, chegaremos a 
 
� -.�������/�0 = ���� +⋯+ �%��'(� 
E portanto 
���	�
�� = '(� ∑���	∑ ����� =
'(�∑��� 
 
c) 
Como 
���� − �1�� =�	��� − 2���1 + �1�� =���� − 2�1��� + 2�1� =���� − 2�12�1 + 2�1� =���� − 2�1� <���� 
então 
'(�∑��� − �1�� ≥
'(�∑��� ⇒ ���	�
�� ≤ ���	�6�� 
 
d) Apesar de �
� ter variância menor, �6� não tem viés. 
Questao 6 
Em primeiro lugar, note que como ��� foi definido como o resíduo, para a observação i, da regressão de �� contra ��, então podemos escrevê-lo como 
��� = ��� − 789 − 78���� 
onde 
78� = ∑���� − �1������ − �1��∑���� − �1��� 
789 = �1� − 78��1� 
 
Estas expressões serão úteis no final dos cálculos a seguir. 
Voltando ao modelo estimado: a soma do quadrado dos resíduos do modelo estimado é dado por 
��� =�:;�� =�	
� − �
9 − �
���� − �
������ 
 
����
��
9 = 0 ⇒ 2�	
� − �
9 − �
���� − �
������−1� = 0 ⇒�
� − 2�
9 − �
����� − �
����� = 0 ⇒ �
9 = 
= − �
��1� − �
��1� 
 
����
��
� = 0 ⇒ 2�	
� − �
9 − �
���� − �
������−���� = 0 ⇒�
���� − �
9���� −�
������ −�
�������� = 0 
 
����
��
� = 0 ⇒ 2�	
� − �
9 − �
���� − �
������−���� = 0 ⇒�
���� − �
9���� − �
�������� −�
������ = 0 
Subtraindo a segunda condição de primeira ordem da terceira: 
�
����� − ���� − �
9����� − ���� − �
��	������ − ���� � − �
��	���� − ������� = 0 
Agora, substituindo �
9 = 
= − �
��1� − �
��1� nesta última equação: 
�
����� − ���� − 	
= − �
��1� − �
��1������� − ���� − �
��������� − ���� − �
��������� − ���� = 0 
⇒�
����� − ���� − 
=����� − ���� + �
������ − ���� �1� + �
������ − �����1� − �
��������� − ���� − �
��������� − ���� = 0 
⇒��
� − 
=����� − ���� − �
������ − �1������ − ���� − �
������ − �1������ − ���� = 0 
 
⇒ �
� = ∑�
� − 
=����� − ����∑���� − �1������ − ���� − �
�
∑���� − �1������ − ����∑���� − �1������ − ���� 
 
Substituindo esta última equação em �
9 = 
= − �
��1� − �
��1�: 
 
�
9 = 
= − �
��1� − �1� > ∑�
� − 
=����� − ����∑���� − �1������ − ���� − �
�
∑���� − �1������ − ����∑���� − �1������ − ����? = 
= − �
� >�1� − �1�
∑���� − �1������ − ����∑���� − �1������ − ����? − �1� >
∑�
� − 
=����� − ����∑���� − �1������ − ����? 
 
Agora, substituindo este �
9 e aquele �
� na terceira condição de primeira ordem: 
�
���� − @
= − �
� >�1� − �1� ∑���� − �1������ − ����∑���� − �1������ − ����? − �1� >
∑�
� − 
=����� − ����∑���� − �1������ − ����?A���� − �
��������
− @ ∑�
� − 
=����� − ����∑���� − �1������ − ���� − �
�
∑���� − �1������ − ����∑���� − �1������ − ����A����� = 0 
⇒�
���� − 
=���� + �1� > ∑�
� − 
=����� − ����∑���� − �1������ − ����?���� − >
∑�
� − 
=����� − ����∑���� − �1������ − ����?�����
+ �
� @>�1� − �1� ∑���� − �1������ − ����∑���� − �1������ − ����?���� −������� +
∑���� − �1������ − ����∑���� − �1������ − ��������� A = 0 
 
⇒��
� − 
=���� − > ∑�
� − 
=����� − ����∑���� − �1������ − ����? ������ − �1������ = �
� @������ − �1������ − >
∑���� − �1������ − ����∑���� − �1������ − ����? ������ − �1������A 
 
Calculando o m.m.c e cortando o denominador comum: 
 
⇒ ������ − �1������ − ����� ���
� − 
=����� + ���
� − 
=����� − ����� �−����� − �1������
= �
� B������ − �1������ − ����� ������ − �1������ − ������ − �1������ − ����� ������ − �1������C 
 
⇒ �
� = #∑���� − �1������ − ����&#∑�
� − 
=����& − #∑�
� − 
=����� − ����&#∑���� − �1�����&#∑���� − �1������ − ����&#∑���� − �1�����& − #∑���� − �1������ − ����&#∑���� − �1�����& 
= #∑���� − �1����� −∑���� − �1�����&#∑�
� − 
=����& − #∑�
� − 
=���� − ∑�
� − 
=����&#∑���� − �1�����&#∑���� − �1����� − ∑���� − �1�����&#∑���� − �1�����& − #∑���� − �1����� −∑���� − �1�����&#∑���� − �1�����& = 
= #∑�
� − 
=����&#∑���� − �1�����& − #∑�
� − 
=����&#∑���� − �1�����&#∑���� − �1�����&#∑���� − �1�����& − #∑���� − �1�����&#∑���� − �1�����& 
 
Abrindo 
� e 
= segundo o modelo verdadeiro (populacional): 
 
= #∑���� − �1�����&D∑���	������ − �1�� + ������ − �1�� + �E��E� − �1E� + �:� − :=��F − #∑���� − �1�����&D∑���	������ − �1�� + ������ − �1�� + �E��E� − �1E� + �:� − :=��F#∑���� − �1�����&#∑���� − �1�����& − #∑���� − �1�����&#∑���� − �1�����& 
 
= �� + �E #∑���� − �1�����&#∑��E� − �1E����& − #∑���� − �1�����&#∑��E� − �1E����&#∑���� − �1�����&#∑���� − �1�����& − #∑���� − �1�����&#∑���� − �1�����& +
#∑���� − �1�����&#∑�:� − :=����& − #∑���� − �1�����&#∑�:� − :=����&#∑���� − �1�����&#∑���� − �1�����& − #∑���� − �1�����&#∑���� − �1�����& 
 
Aplicando a esperança de ambos os lados, temos: 
⇒ �	�
�� = �� + �E #∑���� − �1�����&#∑��E� − �1E����& − #∑���� − �1�����&#∑��E� − �1E����&#∑���� − �1�����&#∑���� − �1�����& − #∑���� − �1�����&#∑���� − �1�����& 
Agora, dividindo o numerador e o denominador da segunda parcela por ∑���� − �1���, vem: 
 
�	�
�� = �� + �E #∑��E� − �1E����& − 78�#∑��E� − �1E����&#∑���� − �1���& − 78�#∑���� − �1������ − �1��& = �� + �E
#∑���� − 78����� ��E� − �1E�&∑���� − �1�� #���� − �1�� − 78����� − �1��& = 
 
= �� + �E #∑���� − 78����� ��E� − �1E�&∑���� − �1�� #��� − ��1� − 78��1�� − 78����& = �� + �E
#∑���� + 789� ��E� − �1E�&∑���� − �1�� ��� = �� + �E
#∑ ��� ��E� − �1E�& + #789 ∑��E� − �1E�&∑ ���	��� + 78����� − �1��� = 
 
= �� + �E ∑����E� − �1E∑���∑���� + 78�∑������� − �1�� ⇒ �	�
�� = �� + �E
∑����E�∑���� 
Questao 9 
a) Note que o modelo particionado não passa de uma outra forma de representar o mesmo modelo usual não particionado. Isso significa que a equação 
normal (condição de primeira ordem da minimização) do modelo particionado é igual à equação normal do modelo não particionado, mas numa versão 
particionada. Em outras palavras, a equação normal do modelo particionado será: 
�GHG��6 = GH
 ⇒ �#G� G�&H#G� G�&� >�6��6�? = #G� G�&H
 ⇒ I-
G�HG�H0 #G� G�&J >
�6��6�? = -
G�HG�H0 
 ⇒ -
G�HG� G�HG�G�HG� G�HG�0 >
�6��6�? = -
G�H
G�H
0 
 
Temos, portanto, duas equações em formato matricial que podemos resolver: 
@�G�HG���6� + �G�HG���6� = G�H
�G�HG���6� + �G�HG���6� = G�H
K 
Isolando o vetor �6� na primeira equação, temos: 
�6� = �G�HG��L�G�H
 − �G�HG��L��G�HG���6� = �G�HG��L�G�H	
 − G��6�� 
Agora, substituindo este �6� na segunda equação, temos: 
�G�HG��D�G�HG��L�G�H	
 − G��6��F + �G�HG���6� = G�H
 ⇒ �G�HG���G�HG��L�G�H
 − �G�HG���G�HG��L�G�HG��6� + �G�HG���6� = G�H
 ⇒ 
⇒ #�G�HG�� − �G�HG���G�HG��L�G�HG�&�6� = G�H
 − �G�HG���G�HG��L�G�H
 ⇒ �6� = #�G�HG�� − �G�HG���G�HG��L�G�HG�&L�#G�H
 − �G�HG���G�HG��L�G�H
& = 
= #G�H #M − G��G�HG��L�G�H&G�&L�#G�H #M − G��G�HG��L�G�H&
& = #G�HN�G�&L�#G�HN�
& 
b) 
Em primeiro lugar, sabemos que 
�6 = �GHG�L�GH
 
 
Agora, para saber as fórmulas de 78 e O8, podemos fazer uma analogia com os resultados do item a. Note que 78 faz o mesmo papel de
�6�, e O8 faz o mesmo 
papel de �6�. Portanto, estes dois estimadores são dados, no contexto presente, por 
78 = �ℎHNℎ�L�ℎHN
 
O8 = �GHG�L�GH�
 − ℎ78� = �GHG�L�GH
 − �GHG�L�GHℎ78 = �6 − �GHG�L�GHℎ78 
onde N = #M%×% − G�GHG�L�GH& 
Assim, o vetor de resíduos �̂ pode ser escrito como 
�̂ = 
 − GO8 − ℎ78 = 
 − GD�6 − �GHG�L�GHℎ78F − ℎ78 = 
 − G�6 + G�GHG�L�GHℎ78 − ℎ78 = 
 − G�6 − #M − G�GHG�L�GH&ℎ78 = 
 − G�6 − Nℎ78 = 
= :8 − Nℎ78 ⇒ �̂H�̂ = �:8 − Nℎ78�H�:8 − Nℎ78� = �:8H − 78ℎHNH��:8 − Nℎ78� = :8H:8 − :8HNℎ78 − 78ℎHNH:8 + 78ℎHNHNℎ78 
Como N = NH, então NH:8 = N:8 = N	
 − G�6� = N
 −NG�6 = N
 = :8. Sabendo disso, podemos continuar as contas assim: 
�̂H�̂ = :8H:8 − :8 Hℎ78 − 78ℎH:8 + 78�ℎHNHNℎ = :8H:8 − 2:8Hℎ78 + 78�ℎHNHNℎ 
Agora vamos manipular a segunda parcela da última expressão, lembrando que NH = N, que NHN = N, e que NG = 0 : 
2:8Hℎ78 = 2�N
�Hℎ78 = 2
HNHℎ78 = 2�GO8 + ℎ78 + �̂�HNHℎ78 = 2�O8HGH + 78ℎH + �̂H�NHℎ78 = 2�78ℎH + �̂H�NHℎ78 = 278�ℎHNHℎ + 2�̂HNHℎ78 
= 278�ℎHNℎ + 2�̂Hℎ78 = 278�ℎHNℎ 
Substituindo este resultado na equação anterior, temos: 
�̂H�̂ = :8 H:8 − 278�ℎHNℎ + 78�ℎHNHNℎ = :8H:8 − 78�ℎHNℎ ⇒ �̂H�̂ ≤ :8 H:8 
 
Tal desigualdade é verdadeira porque, chamando S = ℎN, temos ℎHNℎ = ℎHNHNℎ = SHS ≥ 0 ⇒ 78�ℎHNℎ ≥ 0. 
 
Questao 10 
a) 
A fórmula do lagrangeano para a minimização restrita é: 
T = �̃H�̃ + UH	��
 − V� = 	
 − G�
�H	
 − G�
� + UH	��
 − V� = 	
H − �
HGH�	
 − G�
� + UH	��
 − V� = 
H
 − 2
HG�
 + �
HGHG�
 + UH��
 − UHV 
onde U é �� × 1�. 
As condições de primeira ordem da minimização são: 
�T
��
 = −2GH
 + 2GHG�
 + �HU = 0 
�T�U = 	��
 − V� = 0 
Manipulando a primeira condição de primeira ordem: 
−2GH
 + 2GHG�
 + �HU = 0 ⇒ �
 = �GHG�L� -GH
 − 12�HU0 = �6 + 12 �GHG�L��HU 
Substituindo �
 na segunda condição de primeira ordem: 
� -�6 + 12 �GHG�L��HU0 − V = 0 ⇒ ��6 − V + 12��GHG�L��HU = 0 ⇒ U = −2#��GHG�L��H&L�	��6 − V� 
Substituindo U na expressão obtida anteriormente para �
: 
�
 = �6 + 12 �GHG�L��HD−2#��GHG�L��H&L�	��6 − V�F = �6 − �GHG�L��H#��GHG�L��H&L�	��6 − V� 
b) Note que 
�̃ = 
 − G�
 = 
 − G�
 + 	G�6 − G�6� = 	
 − G�6� − G	�
 − �6� = �̂ − G	�
 − �6� 
Por isso, a soma do quadrado dos resíduos da minimização irrestrita é igual a: 
�̃H�̃ = D�̂ − G	�
 − �6�FHD�̂ − G	�
 − �6�F = �̂H�̂ − 2�̂HG	�
 − �6� + 	�
 − �6�HGHG	�
 − �6� = �̂H�̂ + 	�
 − �6�HGHG	�
 − �6� 
Agora, usando a expressão para �
 obtida no item a, temos: 
⇒ �̃H�̃ − �̂H�̂ = 	�
 − �6�HGHG	�
 − �6� = 	�6 − �GHG�L��H#��GHG�L��H&L�	��6 − V� − �6�HGHG	�6 − �GHG�L��H#��GHG�L��H&L�	��6 − V� − �6� = 
= D�GHG�L��H#��GHG�L��H&L�	��6 − V�FHGHGD�GHG�L��H#��GHG�L��H&L�	��6 − V�F 
= 	��6 − V�H#��GHG�L��H&L���GHG�L�GHG�GHG�L��H#��GHG�L��H&L�	��6 − V� = 	��6 − V�H#��GHG�L��H&L���GHG�L��H#��GHG�L��H&L�	��6 − V� 
= 	��6 − V�H#��GHG�L��H&L�	��6 − V� 
Sob a hipótese nula W9: �� = V, podemos substituir V por �� na expressão acima. Além disso, podemos dividir ambos os lados da equação por �, obtendo: 
�̃H�̃ − �̂H�̂� = 	��
6 − ���H#��GHG�L��H&L�	��6 − ���� 
Finalmente, note que, como o estimador Y� da variância do distúrbio aleatório é 
Y� = �̂H�̂2 − Z 
podemos dividir o lado esquerdo da penúltima equação por Y�, e o lado direito por �̂H�̂/�2 − Z�, chegando em: 
��̃H�̃ − �̂H�̂�/��̂H�̂/�2 − Z� = 	��
6 − ���H#Y���GHG�L��H&L�	��6 − ����

Teste o Premium para desbloquear

Aproveite todos os benefícios por 3 dias sem pagar! 😉
Já tem cadastro?

Mais conteúdos dessa disciplina