TesteHipotese_Aula3

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Introdução à BioestatísticaIntrodução à Bioestatística
Teste de Hipóteses para Teste de Hipóteses para Média Média 
com Variância Desconhecidacom Variância Desconhecidacom Variância Desconhecidacom Variância Desconhecida
EE
Comparação de Duas MédiasComparação de Duas Médias
Distribuição T de Student 
 
 )1,0(~
/
 ),(~ ),(~ N
n
XZ
n
NXNX
σ
µσµσµ −=⇒⇒
 
σ desconhecido ⇒ estimar σ por 1n
)xx(
s
n
1i
2
i
−
∑ −
=
=
 
 
Qual a distribuição da variável aleatória ? / nS
XT µ−=
 
 
 
1 0 >= TT σµ 
 
 Mais afastado de 1 quanto menor for n 
 
T tem distribuição T de Student com n – 1 graus de liberdade. 
0
.
1
0
.
2
0
.
3
0
.
4
d
e
n
s
i
d
a
d
e
N(0,1)
t50
t30
t10
t5
Comparação da distribuição N(0,1) com a distribuição t
-4 -2 0 2 4
0
.
0
0
.
1
x
T é simetrica em torno da média
aproxima-se da Normal quando n cresce
Como fica o intervalo de Confiança?
liberdade de graus 1-n com Sudent de T tabela da obtidos são 
X-X 
/2
/2/2
α
αα µ
t
n
St
n
St 





+<<
liberdade de graus 1-n com Sudent de T tabela da obtidos são /2αt
Distribuição T de Student )tT(P2/ 2/αα >= 
Graus de liberdade .25 .20 .15 .10 .05 .025 .02 .01 .005 .0025 .001 
1 1.000 1.376 1.963 3.078 6.314 12.71 15.89 31.82 63.66 127.3 318.3 
5 .727 .920 1.156 1.476 2.015 2.571 2.757 3.365 4.032 4.773 5.893 
6 .718 .906 1.134 1.440 1.943 2.447 2.612 3.143 3.707 4.317 5.208 
7 .711 .896 1.119 1.415 1.895 2.365 2.517 2.998 3.499 4.029 4.785 
8 .706 .889 1.108 1.397 1.860 2.306 2.449 2.896 3.355 3.833 4.501 
9 .703 .883 1.100 1.383 1.833 2.262 2.398 2.821 3.250 3.690 4.297 
10 .700 .879 1.093 1.372 1.812 2.228 2.359 2.764 3.169 3.581 4.144 
11 .697 .876 1.088 1.363 1.796 2.201 2.328 2.718 3.106 3.497 4.025 
12 .695 .873 1.083 1.356 1.782 2.179 2.303 2.681 3.055 3.428 3.930 
13 .694 .870 1.079 1.350 1.771 2.160 2.282 2.650 3.012 3.372 3.852 
14 .692 .868 1.076 1.345 1.761 2.145 2.264 2.624 2.977 3.326 3.787 14 .692 .868 1.076 1.345 1.761 2.145 2.264 2.624 2.977 3.326 3.787 
15 .691 .866 1.074 1.341 1.753 2.131 2.249 2.602 2.947 3.286 3.733 
16 .690 .865 1.071 1.337 1.746 2.120 2.235 2.583 2.921 3.252 3.686 
17 .689 .863 1.069 1.333 1.740 2.110 2.224 2.567 2.898 3.222 3.646 
18 .688 .862 1.067 1.330 1.734 2.101 2.214 2.552 2.878 3.197 3.611 
19 .688 .861 1.066 1.328 1.729 2.093 2.205 2.539 2.861 3.174 3.579 
20 .687 .860 1.064 1.325 1.725 2.086 2.197 2.528 2.845 3.153 3.552 
21 .663. .859 1.063 1.323 1.721 2.080 2.189 2.518 2.831 3.135 3.527 
22 .686 .858 1.061 1.321 1.717 2.074 2.183 2.508 2.819 3.119 3.505 
23 .685 .858 1.060 1.319 1.714 2.069 2.177 2.500 2.807 3.104 3.485 
24 .685 .857 1.059 1.318 1.711 2.064 2.172 2.492 2.797 3.091 3.467 
25 .684 .856 1.058 1.316 1.708 2.060 2.167 2.485 2.787 3.078 3.450 
30 .683 .854 1.055 1.310 1.697 2.042 2.147 2.457 2.750 3.030 3.385 
N(0,1) .674 .841 1.036 1.282 1.64 1.960 2.054 2.326 2.576 2.807 3.091 
 
Exemplo:
Realizou-se um estudo com o objetivo de avaliar a
efetividade de uma dieta combinada com um programa de
exercícios físicos na redução do nível de colesterol. A
tabela abaixo apresenta os níveis de colesterol dos
indivíduos no início e no fim do estudo e a mudança
observada no nível de colesterol.observada no nível de colesterol.
Média D.P.
Início 201 231 221 260 228 237 326 235 240 267 284 201 244,25 35,56
Fim 200 236 216 233 224 216 296 195 207 247 210 209 224,08 27,29
Mudança 1 -5 5 27 4 21 30 40 33 20 74 -8 20,17 23,13
Obtenha intervalos de 95% de confiança para:
a) O nível médio de colesterol no início do estudo (µI).
b) O nível médio de colesterol no final do estudo (µF).
c) a redução média no nível de colesterol (µR).
 
2,201 t0,025 /2 11 1-n 
0,95)-(1 12n 35,56 s 25,244x a)
0,025 ===
====
α
α
( )
266,84. e 221,66 entre está estudo do início no
 indivíduos dos colesterol de médio nível o confiança de 95% Com
84,26666,221
12
56,35
,201244,252
12
56,35
,2012-244,25
X-X
 
/2/2
<<=





+<<
=





+<<
II
I
n
S
t
n
S
t
µµ
µ αα
b) (206,74 < μF < 241,42)
c) (5,47 < μR < 34.86)
Com 95% de confiança a redução média no nível de colesterol
após a utilização da dieta combinada com exercícios físicos está
entre 5,47 e 34,86.
Caso o tratamento não fosse eficaz, qual seria o valor esperado Caso o tratamento não fosse eficaz, qual seria o valor esperado 
da redução no nível de colesterol?
Este valor pertence ao intervalo de 95% de confiança?
Distribuição Normal versus Distribuição Normal versus tt
0.25
0.3
0.35
0.4
0.45
d
e
n
s
i
t
y
Normal
t(n-1=2)
t(n-1=3)
t(n-1=15)
-6 -4 -2 0 2 4 6
0
0.05
0.1
0.15
0.2
x
d
e
n
s
i
t
y
Etapas de um Teste de Hipótese
1. Estabelecer as hipóteses Nula (H0) e Alternativa (Ha).
2. Identificar a distribuição do estimador e obter sua
estimativa.
3. Fixar α e obter a região crítica e região de aceitação
(IC em Ho).(IC em Ho).
4. Concluir o teste com base na estimativa e na região
crítica.






⋅±=
−
n
S
tRA n 1,20),( γµγµ 1~ −
−
nt
nS
X µ
Exemplo 1 Exemplo 1 
• Deseja-se investigar se uma certa moléstia que ataca
o rim altera o consumo de oxigênio desse órgão. Para
indivíduos sadios, admite-se que esse consumo tem
distribuição Normal com média 12 cm³/min. Os
valores medidos em cinco pacientes com a moléstiavalores medidos em cinco pacientes com a moléstia
foram: 14,4; 12,9; 15,0; 13,7 e 13,5 (média = 13,9 e
desvio = 0,82). Qual seria a conclusão, ao nível de 1%
de significância?
Etapas de um Teste de Hipótese
1. Estabelecer as hipóteses Nula (H0) e Alternativa (Ha).
2. Identificar a distribuição do estimador e obter sua
estimativa.
3. Fixar α e obter a região crítica e região de aceitação
(IC em Ho).(IC em Ho).
4. Concluir o teste com base na estimativa e na região
crítica.






⋅±=
−
n
S
tRA DnDD 1,2),( γµγµ 1~ −
−
nt
nS
X µ
Etapas de um Teste de Hipótese
• Estabelecer as hipóteses Nula (H0) e Alternativa (Ha).
D = Consumo de oxigênio. Sob H0
12:
12:0
≠
=
µ
µ
H
H
),12(~ 2σNX
• Identificar a distribuição do estimador e obter sua
estimativa.
12:
0
≠µaH
1~ −
−
nt
nS
X µ
5
82,0
9,13
=
=
=
n
S
X
Etapas de um Teste de Hipótese
• Fixar α e obter a região crítica e região de aceitação
(IC em Ho).
604,4
01,0
4,299,01,2 ==
=
−
α
γ tt n
[ ] [ ]688,13;312,10688,112),(
5
82,0604,412),(
=±=






⋅±=
γµ
γµ
RA
RA
Etapas de um Teste de Hipótese
• Concluir o teste com base na estimativa e na região
crítica.
Conclusão: Como rejeitamos a hipótese
[ ]688,13;312,10),( =γµRA
RAX ∉= 9,13Conclusão: Como rejeitamos a hipótese
nula e concluímos que o consumo médio de oxigênio
é diferente de 12 cm³/min.
RAX ∉= 9,13
IntroduçãoIntrodução
• Estamos interessados em comparar duas populações com
relação às suas médias. Vamos trabalhar com as suposiçõessuposições
dede independênciaindependência entre os componentes da amostra.
2 amostras
DependentesDependentes
Variâncias 2 amostras
Independentes
Variâncias 
conhecidas
Variâncias Variâncias 
desconhecidasdesconhecidas
Variâncias
iguais
VariânciasVariâncias
diferentesdiferentes
Noções de Dependência e Independência de Noções de Dependência e Independência de 
amostrasamostras
• Vamos contextualizar amostras dependentes e 
independentes da seguinte forma:
– Amostras Independentes: quando os elementos
das amostras provêm de indivíduos distintos
(diferentes)
– Amostras Dependentes: quando os elementos
das amostras provêm dos mesmos indivíduos.
Comparação de médias de duas amostrasComparação de médias de duas amostras
• Para comparar a média entre duas amostras, sob a
hipótese nula (H0) de que as médias são iguais pode-se
assumir que a diferença entre as médias é zero.
: µµ =H 0: =− µµH
21
210
:
:
µµ
µµ
≠
=
aH
H
0:
0:
21
210
≠−
=−
µµ
µµ
aH
H
21 µµµ −=D
0:
0:0
≠
=
Da
D
H
H
µ
µ
Tabela tTabela t--StudentStudent
p->90% 80% 70% 60% 50% 40% 30% 20% 10% 5% 4% 2% 1% 0,2% 0,1%
1 0.158 0.325 0.510 0.727 1.000 1.376 1.963 3.078 6.314 12.706 15.894 31.821 63.656 318.289 636.578 1
2 0.142 0.289 0.445 0.617 0.816 1.061 1.386 1.886 2.920 4.303 4.849 6.965 9.925 22.328 31.600 2
3 0.137 0.277 0.424 0.584 0.765 0.978 1.250 1.638 2.353 3.182 3.482 4.541 5.841 10.214 12.924 3
4 0.134 0.271 0.414 0.569 0.741 0.941 1.190 1.533 2.132 2.776 2.999 3.747 4.604 7.173 8.610 4
5 0.132 0.267 0.408 0.559 0.727 0.920 1.156 1.476 2.015 2.571 2.757 3.365 4.032 5.894 6.869 5
6 0.131 0.265 0.404 0.553 0.718 0.906 1.134 1.440 1.943 2.447 2.612 3.143 3.707 5.208 5.959 6
7 0.130 0.263 0.402 0.549 0.711 0.896 1.119 1.415 1.895 2.365 2.517 2.998 3.499 4.785 5.408 7
8 0.130 0.262 0.399 0.546 0.706 0.889 1.108 1.397 1.860 2.306 2.449 2.896 3.355 4.501 5.041 8
9 0.129 0.261 0.398 0.543 0.703 0.883 1.100 1.383 1.833 2.262 2.398 2.821 3.250 4.297 4.781 9
10 0.129 0.260 0.397 0.542 0.700 0.879 1.093 1.372 1.812 2.228 2.359 2.764 3.169 4.144 4.587 10
11 0.129 0.260 0.396 0.540 0.697 0.876 1.088 1.363 1.796 2.201 2.328 2.718 3.106 4.025 4.437 11
12 0.128 0.259 0.395 0.539 0.695 0.873 1.083 1.356 1.782 2.179 2.303 2.681 3.055 3.930 4.318 12
13 0.128 0.259 0.394 0.538 0.694 0.870 1.079 1.350 1.771 2.160 2.282 2.650 3.012 3.852 4.221 13
14 0.128 0.258 0.393 0.537 0.692 0.868 1.076 1.345 1.761 2.145 2.264 2.624 2.977 3.787 4.140 14
Distribuição t -Student: Valores de t c tais que P(-t c ≤ t ≤ t c) = 1-p -4 -3 -2 -1 0 1 2 3 40
0.05
0.1
0.15
0.2
0.25
0.3
0.35
0.4
Distribuicao Gaussiana com µ = 0 e σ = 1
f
(
x
)
x tt--tt
(1-p)
14 0.128 0.258 0.393 0.537 0.692 0.868 1.076 1.345 1.761 2.145 2.264 2.624 2.977 3.787 4.140 14
15 0.128 0.258 0.393 0.536 0.691 0.866 1.074 1.341 1.753 2.131 2.249 2.602 2.947 3.733 4.073 15
16 0.128 0.258 0.392 0.535 0.690 0.865 1.071 1.337 1.746 2.120 2.235 2.583 2.921 3.686 4.015 16
17 0.128 0.257 0.392 0.534 0.689 0.863 1.069 1.333 1.740 2.110 2.224 2.567 2.898 3.646 3.965 17
18 0.127 0.257 0.392 0.534 0.688 0.862 1.067 1.330 1.734 2.101 2.214 2.552 2.878 3.610 3.922 18
19 0.127 0.257 0.391 0.533 0.688 0.861 1.066 1.328 1.729 2.093 2.205 2.539 2.861 3.579 3.883 19
20 0.127 0.257 0.391 0.533 0.687 0.860 1.064 1.325 1.725 2.086 2.197 2.528 2.845 3.552 3.850 20
21 0.127 0.257 0.391 0.532 0.686 0.859 1.063 1.323 1.721 2.080 2.189 2.518 2.831 3.527 3.819 21
22 0.127 0.256 0.390 0.532 0.686 0.858 1.061 1.321 1.717 2.074 2.183 2.508 2.819 3.505 3.792 22
23 0.127 0.256 0.390 0.532 0.685 0.858 1.060 1.319 1.714 2.069 2.177 2.500 2.807 3.485 3.768 23
24 0.127 0.256 0.390 0.531 0.685 0.857 1.059 1.318 1.711 2.064 2.172 2.492 2.797 3.467 3.745 24
25 0.127 0.256 0.390 0.531 0.684 0.856 1.058 1.316 1.708 2.060 2.167 2.485 2.787 3.450 3.725 25
26 0.127 0.256 0.390 0.531 0.684 0.856 1.058 1.315 1.706 2.056 2.162 2.479 2.779 3.435 3.707 26
27 0.127 0.256 0.389 0.531 0.684 0.855 1.057 1.314 1.703 2.052 2.158 2.473 2.771 3.421 3.689 27
28 0.127 0.256 0.389 0.530 0.683 0.855 1.056 1.313 1.701 2.048 2.154 2.467 2.763 3.408 3.674 28
29 0.127 0.256 0.389 0.530 0.683 0.854 1.055 1.311 1.699 2.045 2.150 2.462 2.756 3.396 3.660 29
30 0.127 0.256 0.389 0.530 0.683 0.854 1.055 1.310 1.697 2.042 2.147 2.457 2.750 3.385 3.646 30
35 0.127 0.255 0.388 0.529 0.682 0.852 1.052 1.306 1.690 2.030 2.133 2.438 2.724 3.340 3.591 35
40 0.126 0.255 0.388 0.529 0.681 0.851 1.050 1.303 1.684 2.021 2.123 2.423 2.704 3.307 3.551 40
50 0.126 0.255 0.388 0.528 0.679 0.849 1.047 1.299 1.676 2.009 2.109 2.403 2.678 3.261 3.496 50
60 0.126 0.254 0.387 0.527 0.679 0.848 1.045 1.296 1.671 2.000 2.099 2.390 2.660 3.232 3.460 60
120 0.126 0.254 0.386 0.526 0.677 0.845 1.041 1.289 1.658 1.980 2.076 2.358 2.617 3.160 3.373 120
inf 0.126 0.253 0.385 0.524 0.675 0.842 1.036 1.282 1.645 1.960 2.054 2.327 2.576 3.091 3.291 inf
G
r
a
u
s
 
d
e
 
l
i
b
e
r
d
a
d
e
• Para se avaliar o nível de tensão ocasionado por exames
escolares, doze alunos foram escolhidos e sua pulsação
medida antes e depois do exame. Faça um teste, com nível de
significância de 1% para verificar se existe maior tensão (isto
é, maior pulsação) antes da realização dos exames. Indique as
suposições necessárias.
Exemplo 1Exemplo 1
suposições necessárias.
Instante da
medição 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 média desvio
Antes 87 78 85 93 76 80 82 77 91 74 76 79 81.5 6.20
Depois 83 84 79 88 75 81 74 71 78 73 76 71 77.75 5.41
A ntes- Depois 4 -6 6 5 1 -1 8 6 13 1 0 8 3.75 5.05
Estudante
Etapas de um Teste de Hipótese
• Estabelecer as hipóteses Nula (H0) e Alternativa (Ha).
D = Tensão antes - depois. Sob H0
DAH
µµ
µµ
>
=:0
),0(~ 2DND σ
0:
0:0
>−
=− DA
H
H
µµ
µµ
• Identificar a distribuição do estimador e obter sua
estimativa.
DAaH µµ >:
12
05,5
75,3
=
=
=
n
S
D
D
0:
0
>− DAa
DA
H µµ
1~ −
−
n
D
t
nS
D µ
Etapas de um Teste de Hipótese
• Fixar α e obter a região crítica e região de aceitação
(IC em Ho).
718,2
01,0
1,2 =
=
−
t n
α
γ
[ ]96,3),(
12
05,5718,20),(
<=






+<=
DRA
DRA
D
D
γµ
γµ
Etapas de um Teste de Hipótese
• Concluir o teste com base na estimativa e na região
crítica.
Conclusão: Como não rejeitamos a
[ ]96,3),( <= DRA D γµ
RAD ∈= 75,3Conclusão: Como não rejeitamos a
hipótese nula e concluímos que não existe maior
tensão antes da realização dos exames.
RAD ∈= 75,3
Exemplo 2Exemplo 2
• Num programa de diminuição da poluição sonora em
cidades grandes, realizou-se uma campanha educativa
durante 2 meses. Verifique se a campanha surtiu efeito
ao nível de significância de 2%.
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 média desvio
Antes 23 44 56 34 25 67 21 23 73 58 42.4 19.88
Depois 21 30 45 35 26 50 23 22 57 46 35.5 13.09
A - D 2 14 11 -1 -1 17 -2 1 16 12 6.9 7.75
Pontos da Cidade
Etapas de um Teste de Hipótese
• Estabelecer as hipóteses Nula (H0) e Alternativa (Ha).
D = Poluição antes - depois. Sob H0
DA
H
H
µµ
µµ
>
=
:
:0
),0(~ 2DND σ
0:
0:0
>−
=− DA
H
H
µµ
µµ
• Identificar a distribuição do estimador e obter sua
estimativa.
DAaH µµ >:
10
75,7
9,6
=
=
=
n
S
D
D
0: >− DAaH µµ
1~ −
−
n
D
t
nS
D µ
Etapas de um Teste de Hipótese
• Fixar α e obter a região crítica e região de aceitação
(IC em Ho).
398,2
02,0
1,2 =
=
−
t n
α
γ
[ ]87,5),(
10
75,7398,20),(
<=






+<=
DRA
DRA
D
D
γµ
γµ
Etapas de um Teste de Hipótese
• Concluir o teste com base na estimativa e na região
crítica.
Conclusão: Como rejeitamos a
[ ]87,5),( <= DRA D γµ
RAD ∉= 9,6Conclusão: Como rejeitamos a
hipótese nula e concluímos que a campanha fez
efeito, ou seja, a poluição sonora é menor depois da
campanha.
RAD ∉= 9,6
•Lista
Exemplo 2Exemplo 2
• Uma amostra de 10 adultos, na faixa de idade de 19
a 25 anos,
apresentou uma frequência cardíaca média de 68,7 batidas/min,
com desvio-padrão de 8,67 batidas/min. Um manual de
procedimento clínico indica que a pulsação média para
indivíduos nessa faixa etária deve ser igual a 72 batidas/min.
Admitindo que a variável medida se comporte de acordo comAdmitindo que a variável medida se comporte de acordo com
um modelo Normal e usando um nível de significância igual a α
= 4%, você diria que os dados fornecidos são compatíveis com a
informação do manual?
[ ]575,78;425,65),( =γµRA
ExercícioExercício
• O crescimento de bebês, durante o primeiro mês de vida, pode
ser modelado pela distribuição Normal. Admita que, em média,
um crescimento de 5 cm seja considerado satisfatório. Deseja-se
verificar se o crescimento de bebês de famílias em um bairro da
periferia de São Paulo acompanha o padrão esperado. Para
tanto, 10 recém-nascidos na região foram sorteados e sua alturatanto, 10 recém-nascidos na região foram sorteados e sua altura
acompanhada, fornecendo as seguintes medidas de crescimento
em centímetros: 5,03; 5,02; 4,95; 4,96; 5,01; 4,97; 4,90; 4,91;
4,90 e 4,93. (média = 4,958, desvio = 0,049). Qual sua conclusão
usando α = 5%?
[ ]035,5;965,4),( =γµRA
Pg. 313 : exercício 5Pg. 313 : exercício 5
• Para comparar as médias de duas populações
Normais, amostras aleatórias foram obtidas. Sabe-se
que as variância populacionais são diferentes, sendo
seus valores desconhecidos. O que pode ser dito a
respeito das médias das populações, com α = 0,05.respeito das médias das populações, com α = 0,05.
Amostra I 7 9 3 8 11 5 9
Amostra II 2 7 5 15 9 16 8
Pg. 341 : exercício 3Pg. 341 : exercício 3
• O desempenho em duas classes de Estatística está sendo
comparado através do resultados dos dez melhores
alunos de cada turma. A partir dos dados é possível dizer
que as duas classes têm o mesmo desempenho? Utilize
α = 2%.
Classe
I 8,5 7,5 7,0 6,5 8,5 9,5 9,0 9,0 8,5 10,0
II 7,0 7,5 8,5 9,5 9,0 8,5 8,0 8,5 9,5 9,5
Notas
Pg. 346 : exercício 17Pg. 346 : exercício 17
• Pacientes resolveram processar a clínica de emagrecimento Linha
Fina sob a alegação de que o tratamento empregado não
contribuiu para a diminuição do peso. O advogado de defesa
contratou um estatístico que selecionou, aleatoriamente, 10
prontuários que continham informação a respeito dos pesos dos
pacientes, tomados no início e no final do tratamento. Os dadospacientes, tomados no início e no final do tratamento. Os dados
obtidos foram (em kg). Verifique se a alegação é verdadeira, use α
= 5%.
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
Início 80 104 94 62 70 80 102 58 78 84
Final 78 95 87 60 71 82 94 65 78 80
Número do paciente