G3 (6)

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DEPARTAMENTO DE MATEMA´TICA PUC-RIO
CICLO BA´SICO DO CTC
MAT1005 – Introduc¸a˜o ao Ca´lculo
G3 17 de novembro de 2008 (versa˜o Ia)
In´ıcio: 9:00 Te´rmino: 10:45
Nome:
Matr´ıcula: Turma:
Questa˜o Valor Grau Revisa˜o
1a 3, 0
2a 2, 5
3a 1, 0
4a 1, 5
Teste 2, 0
Total 10, 0
• E´ proibido manter celular ligado na sala de provas; na˜o e´ permitido usar calculadora;
na˜o e´ permitido sair da sala durante a prova a na˜o ser quando for entrega´-la apo´s
decorridos os primeiros trinta minutos iniciais. Mantenha a prova grampeada; voceˆ
pode fazer a prova a la´pis mas deˆ a resposta a caneta.
• Ao resolver as questo˜es esteja atento para os seguintes aspectos:
– O plano geral da resoluc¸a˜o deve estar claro.
– As justificativas da resoluc¸a˜o precisam ser fornecidas; respostas na˜o justificadas
na˜o sera˜o consideradas.
– Quando usar o Maple na resoluc¸a˜o de alguma questa˜o, deixe isto claro fornecendo
os comandos de entrada no programa, a resposta dada pelo programa e o que esta
lhe permitiu concluir.
– Explicite suas respostas. Questo˜es sem as devidas respostas na˜o sera˜o
consideradas.
– Esta prova tera´ a durac¸a˜o de 1:45h dividida da seguinte forma: 1:15h
para as questo˜es 1, 2 e 3, e 20 minutos para a questa˜o 4.
1a Questa˜o:
(a) Quantas soluc¸o˜es tem a equac¸a˜o 2 sen (x) =
√
x+ 1 ? Justifique.
(b) Deˆ a fo´rmula que expressa, segundo o Me´todo de Newton, a (n + 1)-e´sima aprox-
imac¸a˜o, xn+1, em func¸a˜o da n-e´sima aproximac¸a˜o, xn, de uma soluc¸a˜o da equac¸a˜o
acima.
(c) Use o me´todo de Newton para achar uma aproximac¸a˜o de cada soluc¸a˜o da equac¸a˜o
do item (a), com 12 casas decimais exatas.
Atenc¸a˜o: Neste item, na˜o sera˜o aceitas respostas obtidas a partir de comandos prontos do
Maple. Voceˆ devera´ usar o comando “for”.
(d) Considere a func¸a˜o f(x) = 2 sen (x)−√x+ 1.
- Qual o domı´nio de f?
- Determine a equac¸a˜o da reta tangente ao gra´fico de f , em x = −0, 9.
- Explique por que na˜o podemos usar x = −0, 9 como condic¸a˜o inicial para obter,
pelo Me´todo de Newton, aproximac¸o˜es de alguma raiz de f .
2a Questa˜o:
Seja f(x) = sen (2x) + cos x.
(a) Determine os valores exatos (sem aproximac¸a˜o decimal) de a0, a1 e a2 para os quais
o polinoˆmio
P (x) = a0 + a1(x− 2) + a2(x− 2)2
satisfaz as condic¸o˜es
f(2) = P (2), f ′(2) = P ′(2), e f ′′(2) = P ′′(2)
Atenc¸a˜o: Nesta questa˜o, na˜o sera˜o aceitas respostas obtidas a partir de comandos prontos
do Maple. Voceˆ devera´ usar todas as condic¸o˜es dadas no enunciado.
Resposta:
(b) Fazendo um gra´fico adequado no Maple, determine o maior intervalo, em torno de
x = 2, para o qual f(x)− 0, 1 < P (x) < f(x)+0, 1 ; isto e´, o maior intervalo para
o qual P (x) e´ uma aproximac¸a˜o de f(x) com erro menor do que 0, 1. Fornec¸a o
comando usado para obter o gra´fico no Maple.
Obs: Os extremos do intervalo devem ser dados com 1 casa decimal correta.
3a Questa˜o:
Considere a func¸a˜o f dada pelo gra´fico abaixo. Fac¸a um esboc¸o da derivada de f no
espac¸o indicado.
0–3 –2 –1 1 2 43 5
f
0–3 –2 –1 1 3 42 5
Esboc¸o do gra´fico de f ′
MAT1005 − 4a Questa˜o da G3 - versa˜o Ia 17/11/2008
Nome: Turma:
1. Considere a func¸a˜o f : R→ R dada por f(x) = x3 + 2
3
x+
3
5
.
(a) Determine, se houver:
- os intervalos de crescimento e decrescimento de f . Justifique.
- os valores de x para os quais a func¸a˜o f tem um ma´ximo ou um mı´nimo local.
Justifique.
- os intervalos nos quais f tem concavidade para cima e nos quais f tem concavi-
dade para baixo. Justifique.
- as duas coordenadas dos pontos de inflexa˜o (x, f(x)) do gra´fico def . Justifique.
(b) Determine a equac¸a˜o da reta tangente ao gra´fico de f em x = 0.
(c) Fac¸a um esboc¸o, a ma˜o, do gra´fico de f que mostre as respostas do item (a) e da
reta obtida no item (b), no mesmo sistema de eixos coordenados.
DEPARTAMENTO DE MATEMA´TICA PUC-RIO
CICLO BA´SICO DO CTC
MAT1005 – Introduc¸a˜o ao Ca´lculo
G3 17 de novembro de 2008 (versa˜o Ib)
In´ıcio: 9:00 Te´rmino: 10:45
Nome:
Matr´ıcula: Turma:
Questa˜o Valor Grau Revisa˜o
1a 3, 0
2a 2, 5
3a 1, 0
4a 1, 5
Teste 2, 0
Total 10, 0
• E´ proibido manter celular ligado na sala de provas; na˜o e´ permitido usar calculadora;
na˜o e´ permitido sair da sala durante a prova a na˜o ser quando for entrega´-la apo´s
decorridos os primeiros trinta minutos iniciais. Mantenha a prova grampeada; voceˆ
pode fazer a prova a la´pis mas deˆ a resposta a caneta.
• Ao resolver as questo˜es esteja atento para os seguintes aspectos:
– O plano geral da resoluc¸a˜o deve estar claro.
– As justificativas da resoluc¸a˜o precisam ser fornecidas; respostas na˜o justificadas
na˜o sera˜o consideradas.
– Quando usar o Maple na resoluc¸a˜o de alguma questa˜o, deixe isto claro fornecendo
os comandos de entrada no programa, a resposta dada pelo programa e o que esta
lhe permitiu concluir.
– Explicite suas respostas. Questo˜es sem as devidas respostas na˜o sera˜o
consideradas.
– Esta prova tera´ a durac¸a˜o de 1:45h dividida da seguinte forma: 1:15h
para as questo˜es 1, 2 e 3, e 20 minutos para a questa˜o 4.
1a Questa˜o:
(a) Quantas soluc¸o˜es tem a equac¸a˜o 2 cos (x) =
√−x+ 2 ? Justifique.
(b) Deˆ a fo´rmula que expressa, segundo o Me´todo de Newton, a (n + 1)-e´sima aprox-
imac¸a˜o, xn+1, em func¸a˜o da n-e´sima aproximac¸a˜o, xn, de uma soluc¸a˜o da equac¸a˜o
acima.
(c) Use o me´todo de Newton para achar uma aproximac¸a˜o de cada soluc¸a˜o da equac¸a˜o
do item (a), com 12 casas decimais exatas.
Atenc¸a˜o: Neste item, na˜o sera˜o aceitas respostas obtidas a partir de comandos prontos do
Maple. Voceˆ devera´ usar o comando “for”.
(d) Considere a func¸a˜o f(x) = 2 cos (x)−√−x+ 2.
- Qual o domı´nio de f?
- Determine a equac¸a˜o da reta tangente ao gra´fico de f , em x = −3.
- Explique por que na˜o podemos usar x = −3 como condic¸a˜o inicial para obter,
pelo Me´todo de Newton, aproximac¸o˜es de alguma raiz de f .
2a Questa˜o:
Seja f(x) = sen (2x) + cos x.
(a) Determine os valores exatos (sem aproximac¸a˜o decimal) de a0, a1 e a2 para os quais
o polinoˆmio
P (x) = a0 + a1(x− 4) + a2(x− 4)2
satisfaz as condic¸o˜es
f(4) = P (4), f ′(4) = P ′(4), e f ′′(4) = P ′′(4)
Atenc¸a˜o: Nesta questa˜o, na˜o sera˜o aceitas respostas obtidas a partir de comandos prontos
do Maple. Voceˆ devera´ usar todas as condic¸o˜es dadas no enunciado.
Resposta:
(b) Fazendo um gra´fico adequado no Maple, determine o maior intervalo, em torno de
x = 4, para o qual f(x)− 0, 1 < P (x) < f(x)+0, 1 ; isto e´, o maior intervalo para
o qual P (x) e´ uma aproximac¸a˜o de f(x) com erro menor do que 0, 1. Fornec¸a o
comando usado para obter o gra´fico no Maple.
Obs: Os extremos do intervalo devem ser dados com 1 casa decimal correta.
3a Questa˜o:
Considere a func¸a˜o f dada pelo gra´fico abaixo. Fac¸a um esboc¸o da derivada de f no
espac¸o indicado.
–3 –2 –1 0 31 2 54
f
0–3 –2 –1 1 3 42 5
Esboc¸o do gra´fico de f ′
MAT1005 − 4a Questa˜o da G3 - versa˜o Ib 17/11/2008
Nome: Turma:
1. Considere a func¸a˜o f : R→ R dada por f(x) = −x3 − 2
3
x− 4
5
.
(a) Determine, se houver:
- os intervalos de crescimento e decrescimento de f . Justifique.
- os valores de x para os quais a func¸a˜o f tem um ma´ximo ou um mı´nimo local.
Justifique.
- os intervalos nos quais f tem concavidade para cima e nos quais f tem concavi-
dade para baixo. Justifique.
- as duas coordenadas dos pontos de inflexa˜o (x, f(x)) do gra´fico def . Justifique.
(b) Determine a equac¸a˜o da reta tangente ao gra´fico de f em x = 0.
(c) Fac¸a um esboc¸o, a ma˜o, do gra´fico de f que mostre as respostas do item (a) e da
reta obtida no item (b), no mesmo sistema de eixos coordenados.