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Subsídios para Modelagem de Sistemas Estuarinos 231 Capítulo 3 EExxttrraattoo ddoo LLiivvrroo:: Publicado em Novembro de 1997 CAPÍTULO 3 SUBSÍDIOS PARA MODELAGEM DE SISTEMAS ESTUARINOS por Paulo Cesar Colonna Rosman1 1 Professor Adjunto do Departamento de Recursos Hídricos & Meio Ambiente e da Á- rea de Engenharia Costeira e Oceanográfica/PEnO-COPPE – Universidade Federal do Rio de Janeiro. < pccr@peno.coppe.ufrj.br > 232 Paulo Cesar Colonna Rosman Conteúdo 3.1. Introdução e objetivos ..........................................................235 3.2. O processo de modelagem em sistemas estuarinos................235 3.2.1. Tipos de modelos de interesse......................................236 3.3. Modelo matemático geral .....................................................238 3.3.1. Princípios fundamentais do modelo matemático...........238 3.3.1.1. Escala de interesse .................................................238 3.3.1.2. Movimentos e transportes resolvíveis e não resolvíveis - Advecção e Difusão ............................239 3.3.1.3. Escoamento incompressível – Equação de Estado e Equação da Continuidade......................................240 3.3.1.4. Aproximações para a Equação de Estado ...............242 3.3.2. Transporte de contaminantes – Princípio da conservação da massa ..................................................245 3.3.3. Movimento da água – modelagem do escoamento .......248 3.3.3.1. Variação da quantidade de movimento: d (ρui )/dt .248 3.3.3.2. Soma das forças atuantes: ΣFI ................................250 3.3.3.3. O problema de fechamento...................................253 3.3.3.4. Aproximação de Boussinesq ..................................254 3.3.4. Resumo do modelo matemático geral na escala das partículas .....................................................................255 3.3.5. Condições de validade: números de Pèclet e de Reynolds......................................................................257 3.3.6. Modelo geral para o escoamento e o transporte de grande escala ...............................................................260 3.3.7. Resumo do modelo matemático geral, para o escoamento de grande escala.......................................262 3.3.8. Sobre as condições de validade para as grandes escalas .........................................................................269 3.4. Modelos matemáticos de sistemas estuarinos ........................270 3.4.1. Corpos d’água rasos e aproximação hidrostática ...........271 3.4.2. Equações do movimento em águas rasas ......................273 3.4.2.1. Condições de contorno cinemáticas na superfície livre e no fundo .....................................................275 Subsídios para Modelagem de Sistemas Estuarinos 233 Capítulo 3 3.4.2.2. Condições de contorno dinâmicas na superfície livre e no fundo .................................................... 276 3.4.2.3. Equação da continuidade promediada na vertical.. 277 3.4.3. Tipos de estuários e modelos pertinentes ..................... 277 3.4.4. Modelos tridimensionais (3Dg e 3D) ............................ 278 3.4.4.1. Modelos hidrodinâmicos 3Dg e 3D....................... 278 3.4.4.2. Modelos 3D para transporte de escalares passivos . 280 3.4.5. Modelos bidimensionais na horizontal (2DH)............... 280 3.4.5.1. Modelo hidrodinâmico 2DH................................. 281 3.4.5.2. Modelo 2DH para transporte de escalares passivos 287 3.4.6. Modelos bidimensionais em perfil vertical (2DV).......... 288 3.4.6.1. Modelo hidrodinâmico 2DV ................................. 289 3.4.6.2. Modelo 2DV para transporte de escalares passivos 291 3.4.7. Modelos unidimensionais (1D) .................................... 291 3.4.7.1. Modelo hidrodinâmico 1D.................................... 292 3.4.7.2. Modelo 1D para transporte de escalares passivos .. 295 3.5. Modelo Lagrangeano para transporte de escalares passivos... 295 3.6. Estratégia geral para desenvolvimento de modelos numéricos............................................................................ 301 3.6.1. Modelo numérico desacoplado para circulação hidrodinâmica 3Dg e 2DH em sistemas estuarinos....... 301 3.6.1.1. Objetivo e estratégia de cálculo............................. 301 3.6.1.1.1. Módulo 2DH para obtenção de ζ (x, y, t )........ 302 3.6.1.1.2. Módulo 3D para obtenção do campo de velocidades .................................................... 305 3.6.1.2. Sobre os modelos 2DV e 1D ................................. 307 3.6.1.3. Sobre métodos de discretizações espaciais ............ 307 3.7. Exemplos de aplicações de modelos numéricos.................... 308 3.7.1. Modelo 3D para circulação hidrodinâmica e transporte de contaminantes na Baía de Guanabara, RJ ................................................................................ 308 3.7.1.1. Condições de Contorno ........................................ 309 3.7.1.2. Sobre o modelo numérico..................................... 310 3.7.1.3. Aplicação do modelo hidrodinâmico à Baía da Guanabara............................................................ 311 3.7.1.3.1. Batimetria utilizada .......................................... 311 234 Paulo Cesar Colonna Rosman 3.7.1.3.2. Condições de maré modeladas.........................313 3.7.1.3.3. Condições de vento modeladas ........................315 3.7.1.4. Resultados Ilustrativos ............................................315 3.7.2. Modelo 2DH para estudo de cheias em Joinville devido a marés na Baía de Babitonga, SC.....................319 3.7.2.1. Resultados Ilustrativos ............................................321 3.7.3. Modelagem da pluma do Emissário Submarino de Esgotos de Ipanema (ESEI), RJ.......................................324 3.7.3.1. O domínio modelado ............................................324 3.7.3.1.1. Batimetria ........................................................324 3.7.3.1.2. Dados de maré.................................................327 3.7.3.1.3. Dados de vento................................................327 3.7.3.1.4. Características dos contaminantes simulados no ESEI ...........................................................328 3.7.3.2. Resultados ilustrativos ............................................328 3.7.4. Modelos 1D e pontual para estudo de estabilização da barra do sistema lagunar de Saquarema, RJ..............335 3.7.4.1. Resultados obtidos com o modelo 1D....................335 3.7.4.1.1. Situação atual: níveis d’água no sistema lagunar com a barra aberta..............................337 3.7.4.1.2. Situação proposta: níveis d’água no sistema lagunar com a barra estabilizada......................339 3.7.5. Resultados obtidos com o modelo pontual ...................343 3.8. Referências e Bibliografia ......................................................346 Subsídios para Modelagem de Sistemas Estuarinos 235 Capítulo 3 3.1. Introdução e objetivos Neste capítulo o objetivo específico é o desenvolvimento da modelagem matemática do movimento, ou transporte, de substâncias e propriedades no meio fluido, em sistemas estuarinos. Aspectos relevantes de modela- gem numérica são também discutidos. Modelagem é um processo de traduções em diferentes etapas, no qual o sucesso de uma etapa nunca supera o da etapa anterior. Em cada etapa, a realidade traduzida nunca é mais verdadeira que a realidade da etapa anterior. Considerando um fenômeno qualquer na natureza, a pri- meira e mais fundamental modelagem é a conceptual. Se ouvimos uma melodia complexa apenas uma vez é pouco pro- vável que consigamos “modelá-la” mentalmente. Entretanto, com a repe- tida observação do fenômeno, ou escuta da melodia, acabamos por com- preendê-lo, e prontamente desenvolve-se um modelo conceptual em nos- sas mentes. Dizemos então que entendemos o fenômeno, ou conhecemos a melodia. Partindo desta compreensão ou conhecimento pode-se traduzir o fenômeno, em diferentes modelagens. Por exemplo, um leigo em teoria musical com uma melodia na cabeça, pode traduzi-la em modelos analó- gicos através de canto ou assobio. Entretanto, alguém versado na lingua- gem musical pode traduzir o modelo conceptual da melodia para uma partitura, obtendo assim um modelo escrito. Por sua vez, alguém que não conhece a melodia, mas conhece os princípios da teoria musical e sabe ler a partitura, pode “modelar a melodia” em um instrumento capaz de tocar as notas da partitura escrita. A idéia é clara, o processo de modela- gem não é muito diferente quer se trate de músicas, sistemas estuarinos, ou de outros sistemas quaisquer. 3.2. O processo de modelagem em sistemas estuarinos Em se tratando de sistemas estuarinos o processo de modelagem apresen- ta as seguintes etapas: a) Modelagem conceptual: é formar na mente a concepção do fenôme- no observado, conhecer suas causas e efeitos, compreender as intera- ções dos agentes intervenientes na sua ocorrência. (Muito semelhante a ter e “ouvir” a música na cabeça.) b) Modelagem matemática: são traduções do modelo conceptual do fenômeno escritas em linguagem matemática. Os diferentes modelos matemáticos são diferentes arranjos, incluindo um número maior ou 236 Paulo Cesar Colonna Rosman menor de causas e efeitos, e de agentes intervenientes em diferentes formas. Para tanto há regras e princípios formais a serem seguidos. (Muito parecido com escrever a partitura de uma música, em diferen- tes arranjos.) c) Modelagem numérica: são traduções dos modelos matemáticos a- daptados para diferentes métodos de cálculo. (Não é muito diferente de seqüenciar as notas de uma música para serem tocadas em um ins- trumento específico.) d) Modelagem computacional: é a tradução de um modelo numérico para uma linguagem computacional que possa ser compilada e execu- tada em um computador por um operador experiente. (Semelhante à tradução/compilação que o músico faz mentalmente quando lê uma partitura e a executa no instrumento pertinente.) 3.2.1. Tipos de modelos de interesse. Quando se diz “modelagem do movimento ou do transporte de substân- cias e propriedades no meio fluido estuarino”, a primeira questão é a de- finição das substâncias e propriedades de interesse. Estas são muitas, mas sem dúvida a principal é a que denominamos “água”. A “água” de corpos d’água naturais é uma mistura de muitas subs- tâncias, na qual a concentração2 de H2O é vastamente predominante. A qualidade desta “água” é definida pela concentração de outras substân- cias e propriedades além de H2O e sua massa. Portanto, conhecer o mo- vimento da massa de H2O e da massa de outras substâncias, ou outras propriedades relevantes, é fundamental em estudos ambientais e em pro- jetos de engenharia em corpos d’água. Em sistemas estuarinos, algumas das principais substâncias e propriedades de interesse são: Massa, volume e quantidade de movimento da “água”. Massa e concentração de sal (NaCl). Massa, concentração e volume de sedimentos. Massa e concentração de contaminantes diversos, e.g., hidro- carbonetos, agrotóxicos, demandas química e bioquímica de o- xigênio, oxigênio dissolvido, componentes dos ciclos do nitro- gênio e do fósforo, coliformes, metais pesados, etc. Quantidade de calor. 2 Entenda-se por “concentração” de uma dada substância a razão entre a massa da subs- tância e o volume da mistura. Como em um estuário na mistura fluida que vulgarmente denominamos “água”, a massa de H2O é responsável por quase 100% do volume (e da massa) da mistura, a concentração de H2O é vastamente predominante. Subsídios para Modelagem de Sistemas Estuarinos 237 Capítulo 3 Quantidade de energia cinética. Quantidade de movimento da “água”. Usualmente dá-se o nome de modelagem hidrodinâmica à determi- nação da quantidade de movimento da água3, resultando na definição dos padrões de correntes. Chama-se de modelagem do transporte de escala- res à determinação da concentração de substâncias, ou outras proprieda- des escalares, por exemplo quantidade de calor ou temperatura. O termo modelagem de qualidade da água é adotado quando os escalares de inte- resse são parâmetros que qualificam a água. A lista a seguir exemplifica alguns tipos de modelo que são de interesse em sistemas estuarinos. Modelos hidrodinâmicos em fluido homogêneo: são modelos para determinação do padrão de correntes em corpos d’ água com superfí- cie livre, tais como águas costeiras, baías, sistemas estuarinos, rios, lagos reservatórios, etc. Tais modelos variam grandemente em com- plexidade indo desde modelos unidimensionais (1D) até modelos tri- dimensionais (3D), passando por modelos bidimensionais em planta ou promediados verticalmente (2DH), bidimensionais em perfil ou promediados lateralmente (2DV). Modelos hidrodinâmicos em fluidos não homogêneos: são semelhan- tes aos descritos acima mas por incluírem gradientes de densidade são acoplados a modelos de transporte advectivo-difusivo dos escala- res constituintes da equação de estado, usualmente sal e calor. Modelos de qualidade de água: são modelos que descrevem o trans- porte advectivo-difusivo e possíveis reações cinéticas de grandezas escalares utilizadas como parâmetros qualificadores da água, e.g., temperatura, salinidade, concentração de um contaminante, contagem de coliformes, etc. Usualmente tais modelos são resolvidos desaco- plados dos modelos hidrodinâmicos, entretanto a circulação hidrodi- nâmica representa um conjunto de dados de entrada fundamental. Tais modelos também têm dimensionalidade variada em função do corpo d’água de interesse, indo desde modelos 1D até 3D como e- xemplificado acima. Modelos de processos sedimentológicos e evolução morfológica: são modelos para cálculo da erosão, transporte e deposição de sedimentos em corpos d’água. Têm como entrada básica os resultados de mode- 3 Neste capítulo, ao se mencionar “água”, deve-se entender não apenas H2O, mas a mis- tura natural. 238 Paulo Cesar Colonna Rosman los hidrodinâmicos, mas podem ser interdependentes. As metodologi- as empregadas variam em função do tipo de sedimentos, coesivos ou não, forma do corpo d’água, escalas temporais e espaciais de interes- se. A seguir apresenta-se os fundamentos teóricos para um modelo ma- temático geral para corpos d’água, a partir do qual se obtêm as equações para os modelos exemplificados acima. 3.3. Modelo matemático geral Apresenta-se neste item uma breve revisão de mecânica dos fluidos, com vistas à modelagem matemática e numérica de corpos d’água naturais, e especialmente de sistemas estuarinos. Há importantes diferenças entre a mecânica dos fluidos clássica e a, digamos, mecânica dos fluidos ambi- ental, que se apresenta a seguir. Como o objetivo do modelo matemático é determinar o movimento da água natural e o transporte de substância pelo escoamento resultante, utiliza-se princípios de conservação da quantidade de movimento e da massa. Os princípios são aplicados a parcelas de água e substâncias no corpo d’água que dependem da escala de interesse, conforme se define a seguir. 3.3.1. Princípios fundamentais do modelo matemático 3.3.1.1. Escala de interesse Alguns princípios fundamentais devem ficar patentes. Em primeiro lugar, sabe-se que toda substância é composta por moléculas discretas, entretan- to, na nossa menor escala de interesse, qualquer “substância” será sempre contínua. Assim, a menor parcela de substância à qual podemos referen- ciar é uma “partícula”, e qualquer propriedade, (e.g. massa, velocidade, temperatura, salinidade, etc.) ou princípio de conservação se aplica no mínimo a uma partícula. Na modelagem conceptual a matéria é contínua, e os princípios a serem empregados são os da mecânica do meio contí- nuo4. Uma partícula de “água” é definida por sua massa e seu volume, que pode ser de qualquer forma. Imaginando que a partícula tenha di- mensões δx, δy e δz, sua massa, m, é o produto de sua massa específica, ρ, por seu volume, δxδyδz: 4 Se fôssemos considerar moléculas de substâncias, acabaríamos tendo que partir de princípios de mecânica quântica. Subsídios para Modelagem de Sistemas Estuarinos 239 Capítulo 3 m x y z= ρδ δ δ (3.1) O fato de se definir a escala do contínuo como a escala mínima pa- ra o volume de uma partícula5, não implica no interesse estar neste míni- mo. De fato, na prática as escalas de interesse são muito maiores, pois o que se busca é o conhecimento do movimento de um conjunto de partícu- las em escoamento, e no transporte que tal escoamento faz, levando as diversas substâncias e propriedades das partículas para diferentes lugares de um corpo d’água. 3.3.1.2. Movimentos e transportes resolvíveis e não resolvíveis - Advecção e Difusão Os movimentos e transportes resolvíveis são aqueles que podem ser ob- servados e medidos na escala de interesse. É fácil mostrar que para ser resolvível o fenômeno tem que ter dimensões pelo menos duas vezes maiores que as menores escalas de interesse, (teorema de Nyquist). A limitação das escalas de interesse impõe paradoxos, pois inexoravelmente haverá movimentos e transportes em escalas menores, e portanto, não resolvíveis. Todos os fenômenos em escalas não resolvíveis tem que ser modelados de algum modo através de variáveis nas escalas resol- víveis. Considere por exemplo um recipiente com partículas de água pura em repouso. Em seguida, suponha que da forma mais controlada possível seja colocado um pouco de água com corante. O paradoxo resultante é conhecido: embora a “água” esteja parada, e portanto não exista movi- mento algum na escala de interesse, observa-se que o corante é transpor- tado lentamente e acaba por se misturar pelo recipiente todo. Na realida- de as partículas contínuas que definem a mínima escala de interesse no caso, tem velocidade resolvível nula. Mas, existe um “escoamento mole- cular” associado a escalas sub-partículas ou moleculares, que transporta o corante. Considere outra vez o mesmo recipiente com água pura, mas supo- nha que há uma grade oscilando em seu interior cerca de dez vezes por segundo. Em uma escala temporal de interesse mínima de um segundo, a velocidade resolvível do escoamento no recipiente será nula. De fato, na escala de interesse a velocidade resolvível seria o valor médio das velo- cidades instantâneas ao longo de pelo menos dois segundos, o qual tende- 5 A escala do contínuo, obriga que uma partícula tenha um volume mínimo que seja maior que o cubo do máximo deslocamento livre entre as moléculas das substâncias, que constituem a partícula. 240 Paulo Cesar Colonna Rosman ria a ser zero devido ao caráter oscilatório do movimento da grade. Por- tanto, tem-se estabelecido no recipiente, um escoamento resolvível com velocidade nula. O paradoxo agora fica mais forte pois, apesar de, na es- cala de interesse, o fluido estar em repouso, é evidente que se agora fosse colocado no recipiente um pouco de água com corante, este se misturaria rapidamente. Como no caso anterior, apesar da velocidade resolvível ser nula, há movimento e transporte em escalas inferiores às resolvíveis, pois há uma turbulência devida à agitação da grade. Existe portanto um esco- amento turbulento, não resolvível, que transporta o corante. Todo movimento ou transporte resolvível é denominado advec- tivo6. E, todo movimento ou transporte não resolvível é denominado difusivo7. O transporte advectivo está sempre associado ao campo de velocidades resolvível na escala de interesse. O transporte difusivo sempre leva um adjetivo indicativo da maior escala não resolvível. Por exemplo, no primeiro caso do recipiente com corante antes mencionado, tem-se difusão molecular, ou transporte difusivo molecular, e zero advecção, ou transporte advectivo. No segundo caso tem-se difusão turbulenta, ou transporte difusivo turbulento, também com advecção nula. Como dito, todo movimento ou transporte não resolvível tem que ser modelado em termos de grandezas resolvíveis. Quando se está na es- cala instantânea pontual das partículas, essa modelagem advém da física experimental, gerando “leis da física”. Por exemplo, a difusão molecular de massa é explicada pela Lei de Fick, a difusão molecular de quantidade de movimento leva às tensões viscosas. 3.3.1.3. Escoamento incompressível – Equação de Estado e Equação da Continuidade A princípio a massa de uma partícula de “água” pode mudar tanto por variações em sua massa específica ρ quanto em seu volume δxδyδz. Para um dado volume, ρ pode variar com a concentração de algumas substân- cias, nomeadamente o sal no caso de sistemas estuarinos. O volume de uma partícula de água por sua vez pode mudar por variações na pressão ou na temperatura. Entretanto, constata-se que nos escoamentos naturais 6 O termo “convectivo” também é por vezes empregado com o mesmo significado, en- tretanto é mais usual em movimentos verticais decorrentes de gradientes de temperatura. 7 Nesta definição supõe-se um escoamento tridimensional (3D). Em modelos de escoa- mentos com menos dimensões (2D ou 1D) obtêm valores médios em uma dada dimen- são. Na dimensão promediada, a escala de interesse é infinita, e ao escoamento não re- solvível pela perda da dimensão, dá-se o nome de dispersão, vide itens sobre modelos 2DH, 2DV e 1D. Subsídios para Modelagem de Sistemas Estuarinos 241 Capítulo 3 as variações de volume por variação de pressão são desprezíveis. Ou seja, em escoamentos naturais a água se comporta como se fosse um fluido incompressível. Na prática ao invés de se dizer corretamente “escoamento da água como se fosse fluido incompressível”, virou um jargão chamar-se de “es- coamento incompressível” ao escoamento de partículas de água cuja massa específica não seja função da pressão. Isto é escoamento de partí- culas de água com massa específica definida como função apenas da tem- peratura e da concentração de algumas substâncias. Esta última frase traduz-se matematicamente em duas equações extremamente importan- tes. A primeira é a que define a massa específica da “água”; explicitan- do que nos escoamentos de interesse a massa específica não depende da pressão, através da chamada “Equação Constituinte” ou “Equação de Estado” que, para o caso presente, pode ser convenientemente escrita como: ( )1 2, , ,...., nT C C Cρ = ρ (3.2) onde T representa a temperatura da partícula e C1 a Cn as concentrações das “n” substâncias constituintes de sua massa. O fato da pressão não constar na Equação de Estado, e portanto do escoamento ser incompressível, precisa ser imposto como uma condição para definir as classes de escoamento nos quais é válida a equação (3.2). Daí, a segunda equação, denominada Equação da Continuidade. Tal e- quação exprime que o volume de um conjunto de partículas, ∆x∆y∆z, em um dado escoamento, sempre continua o mesmo8. Em termos matemáti- cos pode-se escrever que a variação do volume ∆x∆y∆z no tempo é nula: ( ) 0 d x y z dt ∆ ∆ ∆ = (3.3) Entretanto esta forma da equação da continuidade não é adequada, pois não é fácil medir o volume de um grupo de partículas em escoamen- 8 Repare que a continuidade do volume, ou condição de incompressibilidade é uma con- dição estritamente geométrica, e não uma conseqüência da conservação de massa. De fato, em corpos d’água naturais, nomeadamente em estuários, a massa específica da “água” não é constante mas o escoamento é incompressível. Entretanto, é comum apre- sentar-se a incompressibilidade como conseqüência da conservação de massa. O inverso é o correto, isto é, se um fluido for homogêneo e seu escoamento incompressível, como conseqüência, sua massa específica é constante. 242 Paulo Cesar Colonna Rosman to. É mais fácil medir a velocidade com que as partículas estão escoando, ou a velocidade do escoamento. Assim expandindo a derivada na equa- ção (3.3) e dividindo-se pelo volume ∆x∆y∆z obtêm-se: 1 ( ) 1 ( ) 1 ( ) 0d x d y d z x dt y dt z dt ∆ ∆ ∆+ +∆ ∆ ∆ = Lembrando que a derivada de uma diferença é igual à diferença das deri- vadas, pode-se convenientemente reescrever a equação como: 0dx dy dz u v w x dt y dt z dt x y z ∆ ∆ ∆ ∆ ∆ ∆+ + = + +∆ ∆ ∆ ∆ ∆ ∆ = levando ao limite em que ∆x, ∆y e ∆z tendem a zero, resulta na conhecida forma da Equação da Continuidade: 0u v w x y z ∂ ∂ ∂+ + =∂ ∂ ∂ (3.4) onde u, v e w são as componentes da velocidade do escoamento respecti- vamente nas direções x, y e z. A equação (3.4), é a condição a ser satisfei- ta pelo escoamento para validade da equação (3.2). Em termos matemáti- cos a condição de escoamento incompressível eqüivale a dizer que o di- vergente da velocidade do escoamento é nulo. Em outras palavras, as par- tículas de um conjunto em escoamento não estão convergindo nem di- vergindo, o volume do conjunto permanece constante, independente da forma que assuma ao escoar9. A imposição da condição de escoamento incompressível é sempre uma ótima aproximação da realidade, quando a razão entre a velocidade do escoamento e a velocidade de propagação do som no meio, for muito menor que 1,0. Esta razão é denominada número de Mach, e é obviamen- te sempre satisfeita em escoamentos em corpos d’água naturais, visto que a velocidade de propagação do som na água é cerca de 1500 m/s. De fato, muito raramente o número de Mach em escoamento naturais é maior que 0,005, o que equivaleria a correntes com velocidades de 7,5 m/s! 3.3.1.4. Aproximações para a Equação de Estado Nos sistemas estuarinos, bem como na maioria dos corpos d’água natu- rais, é conveniente modelar a “água” como um sistema binário, composto 9 Em oceano profundo, o escoamento também é localmente incompressível, mas a den- sidade da água é maior devido à pressão. Subsídios para Modelagem de Sistemas Estuarinos 243 Capítulo 3 pela água propriamente dita e por outra substância genérica. Isso não quer dizer que não se possa tratar simultaneamente do transporte de vá- rias substâncias, decorrente do escoamento da água natural. A única im- plicação é que o transporte advectivo e difusivo de cada substância pode ser tratado independentemente em conjunto com a água apenas, como se fosse um sistema binário. A aproximação de sistema binário será sempre válida quando a concentração das substâncias for muito pequena em rela- ção à concentração de H2O. Na hipótese de sistema binário, a massa específica de uma partícula de “água” natural dada pela equação (3.2) pode ser escrita pela fórmula de Eckart, com boa aproximação: 2 2 1( , ) 1000 0.698 sendo: 5890 38 0.375 3 1779.5 11.25 0.0745 (3.8 0.01 ) AS T B A A T T S B T T T S +ρ = + = + − + = + − − + (3.5) onde T é o valor da temperatura da “água” em graus Celsius, S é o valor da salinidade em unidades práticas de salinidade (valor em ‰, g/l ou kg/m3). Para o caso em que a concentração de sedimentos finos em sus- pensão é importante, a fórmula de Eckart torna-se: ( , ) ( , , ) ( , )ss s s S T S T C C S T ρ − ρρ = + ρρ (3.6) onde Cs é a concentração de sedimentos em suspensão, sendo ρs a massa específica do sedimento. Em modelagem de sistemas estuarinos é comum se considerar a massa específica da água natural como função apenas da concentração de sal; por outro lado na modelagem de águas costeiras pode ser importante considerar tanto a temperatura quanto a concentração de sal. Já no caso de lagos e reservatórios de água doce, usualmente apenas a temperatura é relevante. Em algumas situações a concentração de sedimentos em sus- pensão pode ser importante na determinação da massa específica da água natural, por exemplo, no sistema estuarino do rio Amazonas. No caso usual de modelagem de sistemas estuarinos, para uma da- da temperatura de referência suposta constante durante o período de modelagem, se define a massa específica considerando apenas a variação da salinidade, é fácil verificar que a fórmula de Eckart, equação (3.5), pode ser aproximada por uma reta: 244 Paulo Cesar Colonna Rosman Sρ = α + β (3.7) onde α e β são constantes definidas a partir da temperatura de referência. A Figura 3.1 mostra exemplos para temperaturas de 10o, 20o e 30o Celsius, ficando evidente a validade da aproximação (3.7). T =30oC: ρ = 0.7516S + 995.81 T =20oC: ρ = 0.7609S + 998.31 T =10oC: ρ = 0.7789S + 999.74 990 995 1000 1005 1010 1015 1020 1025 1030 0 5 10 15 20 25 30 35 40 S (valor da salinidade em ‰, g/l ou kg/m3) ρ ( m as sa e sp ec ífi ca e m k g/ m 3 ) Figura 3.1. Gráficos da variação da massa específica da água de sistemas estuarinos com a salinidade, para diferentes temperaturas. Os símbolos resultam da equação (3.5) completa, e as equações das retas resultam de regressão linear, cf. equação (3.7). A grande maioria das substância presentes na água natural não é re- levante na definição de sua massa especifica. Quando a concentração de uma substância é relevante para o cálculo de ρ, esta é chamada de con- taminante ativo, caso contrário de contaminante passivo. Dentro deste contexto, o calor contido em uma partícula, embora não seja uma subs- tância, pode ser tratado como um contaminante ativo, cuja concentração é expressa pela temperatura T. Todo contaminante ativo interfere na hi- drodinâmica do corpo d água. De modo a calcular a massa específica como expresso nas equações (3.5), (3.6) ou (3.7), é fundamental modelar como os contaminantes pre- sentes na água são transportadas pelo escoamento. Subsídios para Modelagem de Sistemas Estuarinos 245 Capítulo 3 3.3.2. Transporte de contaminantes – Princípio da conservação da massa O transporte de contaminantes presentes na constituição da massa de uma partícula de água de um sistema estuarino, ou de qualquer corpo d’água natural, pode ser determinado a partir do princípio da conservação da massa do contaminante. Para modelagem conceptual do princípio da conservação da massa, suponha um volume de controle, no qual se possa medir os fluxos de en- trada e de saída da massa de contaminante. Considere também que se po- de medir, as possíveis reações que porventura ocorram produzindo ou consumindo massa do contaminante, enquanto este está dentro do volu- me de controle. O modelo conceptual do princípio da conservação de massa pode então ser escrito como: “A variação por unidade de tempo da massa de contaminante den- tro do volume de controle, é igual ao fluxo de entrada menos o flu- xo de saída, mais a massa resultante das reações de produção ou consumo no interior do volume na unidade de tempo10.” Para o modelo matemático de tal princípio suponha que o volume de controle seja um cubo com dimensões ∆x, ∆y e ∆z. Em um dado ins- tante a massa de contaminante no interior do volume de controle será o produto da concentração de contaminante C pelo volume ∆x∆y∆z. A Fi- gura 3.2 exemplifica os fluxos de entrada e saída na direção x através das faces de área ∆y∆z do volume de controle. A componente da velocidade com que o contaminante é transportado na direção x é uc. Note que o flu- xo de saída foi obtido a partir do fluxo de entrada, por expansão em série de Taylor ao longo de ∆x. Na expansão, apenas os dois primeiros termos são relevantes, pois o volume de controle é suficientemente pequeno para que a variação do fluxo ao longo de ∆x seja quase linear11. 10 Tais reações são usualmente denominadas “reações cinéticas”, e podem envolver fenômenos químicos, biológicos e físicos. 11 Esta é uma restrição a ser respeitada para validade do modelo matemático. Muitos problemas de modelos numéricos advém do desrespeito a esta restrição. 246 Paulo Cesar Colonna Rosman ∆x ∆y ∆z zyCuc ∆∆ zyx CuxCu cc ∆∆⎟⎠ ⎞⎜⎝ ⎛ ∂ ∂∆+ )( Figura 3.2. Esquema do balanço de massa de contaminante na direção x. Para as direções y e z, o esquema é semelhante, considerando respectivamente os fluxos vcC ∆x∆z e wcC ∆x∆y e expansões em série de Taylor ao longo de ∆y e ∆z. Com os elementos indicados acima, pode-se escrever a tradução matemática do modelo conceptual do princípio de conservação de massa como: ( ) somatório das reações de variação da massa produçãfluxo de entrada menos fluxo de saídapor unidade de tempo nas direções , , . c c c c x y z C x y z u C v C w C x y z R x y z t x y z ∂ ∆ ∆ ∆ ∂ ∂ ∂⎛ ⎞= − + + ∆ ∆ ∆ + Σ ∆ ∆ ∆⎜ ⎟∂ ∂ ∂ ∂⎝ ⎠��� �� ������� ������ o ou consumo de contaminante �� � Como o volume de controle não é função do tempo, a expressão pode ser simplificada resultando em: c c c c u C v C w CC R t x y z ∂ ∂ ∂⎛ ⎞∂ = − + + + Σ⎜∂ ∂ ∂ ∂⎝ ⎠⎟ Usando notação indicial convencional12, pode-se reescrever a equa- ção de modo mais compacto: ci c i u CC R t x ∂∂ = − + Σ∂ ∂ (3.8) Na equação (3.8), a velocidade de transporte do contaminante, com componentes uc, vc e wc, não é resolvível. De fato, não se consegue medir a exata velocidade com que um contaminante é transportado no meio fluido, vide item 3.3.1.2. O que é resolvível, e mensurável, é a velocidade do escoamento, ou velocidade hidrodinâmica, com componentes u, v e w. Para resolver tal impasse um artifício é utilizado, de modo a separar o fluxo de contaminante em uma parte resolvível e outra não resolvível: 12 Na notação indicial considera-se (x, y, z) ≡ (x1, x2, x3) e (u, v, w) ≡ (u1, u2, u3). A re- gra fundamental é que em todo termo em que um índice está repetido, fica subentendido o somatório nos valores do índice. Por exemplo, em notação indicial a equação da con- tinuidade (3.4) seria reescrita como .0=∂∂ ii xu Subsídios para Modelagem de Sistemas Estuarinos 247 Capítulo 3 ( ) ( )P [ ]( ) fluxo nãofluxo resolvívelresolvível ci i i c i i ci i i i C u C u C u C R t x C u C u u C R t x x c ∂ ∂= − + − + Σ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∴ = − − − +∂ ∂ ∂ ������ Σ (3.9) Como exposto no item 3.3.1.2, a parcela resolvível é denominada fluxo advectivo, e a não resolvível fluxo difusivo. No presente caso, a escala de interesse é a das partículas, e a escala inferior não resolvível é a molecular, assim, tem-se um fluxo difusivo molecular ou transporte por difusão molecular. Tal fluxo é adequadamente modelado através da co- nhecida Lei de Fick da difusão molecular, cujo modelo conceptual pode ser expresso como: “O fluxo difusivo de um contaminante é proporcional ao gradiente das concentrações, e ocorre no sentido contrário ao do gradiente”. Em termos matemáticos, este modelo conceptual se traduz em: cj j ij c c ij j C C C Cu u C D D x y z x ⎛ ⎞∂ ∂ ∂ ∂⎡ ⎤− δ = − + + = − δ⎜ ⎟⎣ ⎦ ∂ ∂ ∂ ∂⎝ ⎠ (3.10) onde Dc é o coeficiente de difusão molecular, ou difusividade molecular, do contaminante no meio, e δij foi introduzido para possibilitar a notação indicial. δij é chamado delta de Kroenecker, vale 1 quando i = j, caso con- trário vale zero. Introduzindo a Lei de Fick na equação (3.9), pode-se es- crever o princípio de conservação de massa por unidade de volume co- mo: N Nreações de variação consumo oubalanço do balanço do fluxo difusivolocal no produçãofluxo advectivotempo i c ij c i i j u CC CD t x x x ⎛ ⎞∂∂ ∂ ∂= − + δ + Σ⎜ ⎟⎜ ⎟∂ ∂ ∂ ∂⎝ ⎠� ��� �� R (3.11) Finalmente, expandindo a derivado do termo advectivo e usando a condi- ção de escoamento incompressível, equação (3.4), chega-se a: 248 Paulo Cesar Colonna Rosman N N Nreações de variação comsumo oubalanço do balanço dolocal no produçãofluxo fluxo difusivotempo advectivo i c ij i i j C C Cu D t x x x ⎛ ⎞∂ ∂ ∂ ∂+ = δ + Σ⎜ ⎟⎜ ⎟∂ ∂ ∂ ∂⎝ ⎠��� �� cR (3.12) A equação (3.12), é também conhecida como equação de transporte advectivo difusivo com reações cinéticas. Quando o contaminante é pas- sivo, o campo de velocidades ui é independente de C, e a equação (3.12) é linear, se as reações forem lineares. Neste caso o estudo do transporte do contaminante é um problema desacoplado da modelagem hidrodinâ- mica. Entretanto, quando o contaminante é ativo, ou seja, ui depende de C, a equação (3.12) é não linear, e faz parte da modelagem hidrodinâmi- ca. 3.3.3. Movimento da água – modelagem do escoamento Na escala da mecânica do contínuo, qualquer movimento resolvível de uma partícula é regido pelo princípio da conservação da quantidade de movimento (2a Lei de Newton), cujo modelo conceptual é: “A variação temporal da quantidade de movimento de uma partícula é igual à resultante das forças atuantes”. O modelo matemático de tal princípio pode ser escrito como: ( ) ( ) ; 1, 2,i i ii d mu d u F F dt dt x y z ρ Σ= Σ ∴ = =δ δ δ 3i GG (3.13) onde m é a massa da partícula (vide equação 3.1), ui e ΣFi são as compo- nentes na direção xi, respectivamente da velocidade e da soma das forças atuantes na partícula. 3.3.3.1. Variação da quantidade de movimento: d (ρui )/dt Na observação ou medição do movimento de partículas de um fluido em escoamento é praticamente impossível seguir a trajetória de uma dada partícula, como se faz quando se observa o movimento de um objeto só- lido. Quando se segue a trajetória de um dado objeto em movimento, in- dependente da posição do observador, o movimento observado é o mes- mo. No caso do movimento de partículas de um fluido, é muito mais conveniente se observar o escoamento das partículas passando pelo local de observação, do que tentar seguir a trajetória de uma partícula específi- Subsídios para Modelagem de Sistemas Estuarinos 249 Capítulo 3 ca. Evidentemente, em contraste com o caso anterior, dependendo do lo- cal de observação o escoamento, ou o movimento, observado será dife- rente. Dá-se o nome de descrição Lagrangeana àquela em que se descreve o movimento observando a trajetória da partícula que se move. E, dá-se o nome de descrição Euleriana àquela em que se observa o movimento a- través do escoamento das partículas que passam pelo ponto de observa- ção. No caso Lagrangeano o movimento é independente da posição do observador, mas no caso Euleriano, o movimento depende da posição do observador. Esta discussão sobre o tipo de descrição do movimento é funda- mental para determinação da derivada temporal da equação (3.13). Como a descrição usual para movimentos de partículas fluidas é a Euleriana, qualquer variável depende da posição, que varia no tempo, e do tempo propriamente dito. Por exemplo, ao se medir a velocidade da corrente em um dado ponto de um corpo d’água, está se medindo a velocidade de par- tículas que estão passando por ali, cuja posição muda com o tempo. Si- multaneamente, no local de medição a velocidade da corrente pode estar mudando, porque partículas que chegam ao ponto podem ter velocidade diferente das que estão saindo. Em termos matemáticos pode-se escrever para uma variável qualquer, V, em uma descrição Euleriana: ( ), ( ), ( ), ( )V V t x t y t z t= (3.14) indicando que o valor da variável é função do tempo, t, e da sua posição que varia no tempo, x(t), y(t), z(t). Então, para se calcular a derivada tem- poral de qualquer variável em uma descrição Euleriana há que empregar a regra da cadeia. Por exemplo, para a variável da equação (3.14), ter-se- ia: N N N N N 1 variação variação advectivalocal u v w dV dt V dx V dy V dz V dt dt t dt x dt y dt z dV V V V Vu v w dt t x y z ∂ ∂ ∂ ∂= + + + ∴∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂= + + +∂ ∂ ∂ ∂���� ��� onde usando notação indicial obtêm-se: 250 Paulo Cesar Colonna Rosman j j dV V Vu dt t x ∂ ∂= +∂ ∂ (3.15) Como indicado acima, em uma descrição Euleriana, a variação temporal total de uma variável qualquer, terá sempre duas partes. Uma variação local associada à mudança de valor verificada no local de obser- vação, e outra associada ao fato das partículas em escoamento estarem se movendo com velocidade que, no local, tem componentes (u, v, w). Co- mo esta segunda parte da variação está associada ao campo de velocida- des ou movimentos resolvíveis, leva o nome de variação advectiva. Aplicando (3.15) em (3.13) obtêm-se: ( ) ( ) (i i j j d u u u u dt t x )iρ ∂ ρ ∂ ρ= +∂ ∂ (3.16) que representa a descrição Euleriana da variação da quantidade de mo- vimento de uma partícula. 3.3.3.2. Soma das forças atuantes: ΣFI As forças que atuam em uma partícula podem ser de duas classes. A pri- meira agrega as forças originadas pelo contato direto da partícula com o meio circundante, por exemplo, contato com partículas vizinhas, ação do vento na superfície livre, ação do fundo, etc. A segunda classe agrupa as forças de campo, que atuam sem contato direto, por exemplo a força “pe- so”. A Figura 3.3 mostra o tradicional esboço das forças de contato na direção x atuantes na partícula. As forças são representadas pelas tensões multiplicadas pelas respectivas áreas do plano de atuação13. Verifica-se que há dois tipos de tensões: as normais de tração e/ou compressão, re- presentadas por σxx, e as tensões de atrito tangenciais às faces, no caso τyx e τzx. Todas as tensões dependentes de movimentos, i.e. tensões dinâmi- cas, são representadas pela letra τ. Por conta disso, as tensões normais são divididas em duas partes, uma existente mesmo em situação estática e outra só existente em situação dinâmica. No caso da direção x pode-se escrever σxx = p – τxx, onde p é a pressão hidrostática14. 13 Para relembrar a nomenclatura usual; o primeiro índice refere-se ao plano de atuação e o segundo à direção da tensão, e.g.: τyx indica tensão atuando no plano perpendicular ao eixo y, na direção x. 14 Note que p é uma grandeza escalar, como é demonstrado em vários livros de mecâni- ca dos fluidos. Subsídios para Modelagem de Sistemas Estuarinos 251 Capítulo 3 Analisando a Figura 3.3, nota-se que, em similaridade ao caso da conservação de massa, ilustrado na Figura 3.2, as forças atuantes nas fa- ces direita, posterior e superior, foram obtidas por expansão em série de Taylor, a partir dos valores nas faces esquerda, frontal e inferior, respec- tivamente. zyx x xx xx δδ⎟⎠ ⎞⎜⎝ ⎛ δ∂ σ∂+σ yxz z zx zx δδ⎟⎠ ⎞⎜⎝ ⎛ δ∂ τ∂+τ zyxx δδσ yxzx δδτ zxyx δδτ zxy y yx yx δδ⎟⎟⎠ ⎞ ⎜⎜⎝ ⎛ δ∂ τ∂+τ δx δz δy xxxx p τ−=σ ρaxδxδyδz Figura 3.3. Esquema das forças atuantes na direção x. As forças de contato são representadas pelo produto de tensões com áreas do plano de atuação e as forças de campo por ρaxδxδyδz. Os tipos de seta evidenciam diferentes tipos de força. As forças nas demais direções são semelhantes. Também neste caso, as escalas espaciais da partícula tem que ser suficientemente pequenas de modo que a variação das tensões ao longo de δx, δy e δz, sejam quase lineares15. Desta forma, na expansão em série de Taylor apenas os dois primeiros termos são relevantes. Fazendo a soma das forças atuantes na direção x obtêm-se: N forças de camporesultante das forças de contato yxx xx zx x F p a x y z x x y z ∂τΣ ∂τ ∂τ∂= − + + + + ρδ δ δ ∂ ∂ ∂ ∂����� ���� (3.17) Estendendo o mesmo procedimento para as demais direções, é sim- ples verificar que, usando notação indicial, pode-se escrever para qual- quer das três direções: 15 Esta é uma restrição a ser respeitada para validade do modelo matemático. 252 Paulo Cesar Colonna Rosman N forças de campo resultante das forças de contato iji i i j F p a x y z x x ∂τΣ ∂= − + + ρδ δ δ ∂ ∂�� � (3.18) onde empregou-se a igualdade16 τij = τji. Para corpos d’água naturais as forças de campo consideradas são: na direção vertical z, o peso da partícula decorrente da atração gravi- tacional da Terra, onde 3 za a g≡ = − (3.19) sendo g a aceleração da gravidade. nas direções horizontais x e y a chamada Força de Coriolis. Tal força é uma correção da variação da quantidade de movimento calculada para um sistema de coordenadas na superfície da Terra. Como a Terra está em movimento, há que se contabilizar esta variação adicional de quantidade de movimento inerente ao próprio sistema de coordenadas em sua superfície. Pode-se mostrar que as acelerações de campo as- sociadas são17: 1 2 2 sen 2 sen x y a a v a a ≡ = Ω θ u≡ = − Ω θ (3.20) sendo Ω a velocidade de rotação da Terra (=2π/86400 rd/s), e θ o ângulo de Latitude. Ressalta-se que θ é negativo no Hemisfério Sul e positivo no Hemisfério Norte. Definidas as acelerações associadas às forças de campo pode-se re- escrever (3.18) de modo mais conveniente: N3 força deforça de campocamporesultante das forças verticalhorizontalde contato (1 )iji i i i i j F p a g x y z x x 3 ∂τΣ ∂= − + + ρ − δ − ρ δδ δ δ ∂ ∂ �� � �� � (3.21) mas, ressalta-se que a pressão p e as tensões τij são novas incógnitas. 16 A igualdade τij = τji é sempre verdadeira pois, caso contrário, qualquer partícula teria uma velocidade de rotação tendendo para infinito. Isso é demonstrado em vários livros texto de mecânica dos fluidos. 17 Deduções detalhadas da Força de Coriolis são apresentadas em vários livros texto de oceanografia física. Também há força de Coriolis na direção vertical, mas é totalmente insignificante no caso de escoamento em corpos d’água. Subsídios para Modelagem de Sistemas Estuarinos 253 Capítulo 3 3.3.3.3. O problema de fechamento Igualando as equações (3.16) e (3.21), respectivamente os lados esquerdo e direito de (3.13), pode-se reescrever a segunda lei de Newton como: 3 ( ) ( ) (1 )jii ij i j i j u u pu a t x x x ∂τ∂ ρ ∂ ρ ∂ 3i ig+ = − + + ρ − δ − ρ δ∂ ∂ ∂ ∂ (3.22) A expressão acima representa três equações, uma para cada com- ponente da quantidade de movimento, com as seguintes incógnitas: ui componentes da velocidade (3) ρ massa específica (1 ou mais, dependendo da Equação de Estado) p pressão (1) τij componentes do tensor de tensões (pelo menos 6) Na lista apresentada, os números entre parênteses representam a quanti- dade de incógnitas associadas à variável. Há pelo menos 11 incógnitas a serem resolvidas. Para se ter um problema matemático fechado é neces- sário que o número de incógnitas seja igual ao número de equações. Ana- lisando as equações já apresentadas e a lista de variáveis acima, verifica- se que as seguintes associações entre incógnitas e equações podem ser feitas: 1. Para as componentes da velocidade, ui, têm-se a equação (3.22). 2. Para a pressão, p, têm-se a equação da continuidade, ou condição de escoamento incompressível, equação (3.4). 3. No caso da massa específica ρ as possibilidades são as seguintes: Equação de estado (3.5) define massa específica constante, e por- tanto ρ deixa de ser incógnita, e têm-se um problema hidrodinâ- mico mais simples, com fluido homogêneo. Equação de estado (3.5) define massa específica dependente de um ou mais constituintes, (contaminantes ativos). Neste caso, a concentração de cada constituinte é uma nova incógnita, cuja e- quação associada é a de transporte advectivo-difusivo para cada constituinte, equação (3.12). Em sistemas estuarinos é usual que a massa específica seja função da salinidade. Pelo exposto verifica-se que há um problema de fechamento, uma vez que não há equações associadas ao tensor τij. As tensões τij estão as- sociadas a escalas não resolvíveis do movimento, porque resultam da in- teração entre partículas, e têm que ser modeladas. Considerando um vo- lume de partículas de água em escoamento, a física experimental mostra 254 Paulo Cesar Colonna Rosman que tais tensões são proporcionais à taxa temporal de deformação do vo- lume18, o que pode ser escrito como: e 1, 2;ji i jij j i uu x x = ⎛ ⎞∂∂τ = µ +⎜ ⎟⎜ ⎟∂ ∂⎝ ⎠ , 3 (3.23) onde o parâmetro de proporcionalidade µ é denominado viscosidade di- nâmica molecular, que é um parâmetro físico químico do fluido. Por con- ta disto, as tensões τij são conhecidas como tensões viscosas. Além da água, muitos outros fluidos em escoamento incompressível podem ter as tensões τij modeladas por (3.23). Tais fluidos são denominados fluidos Newtonianos. Como a expressão (3.23) para τij não acrescenta novas incógnitas, o problema está fechado, e substituindo-a em (3.22) obtêm-se: 3 3 ( ) ( ) (1 ) ji i i j j i j j i i i i uu u upu t x x x x x a g ⎡ ⎤⎛ ⎞∂∂ ρ ∂ ρ ∂∂ ∂+ = − + µ + +⎢ ⎥⎜ ⎟⎜ ⎟∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂⎢ ⎥⎝ ⎠⎣ ⎦ ρ − δ − ρ δ (3.24) que é conhecida como equação de Navier Stokes. Quando aplicada a cor- pos d’água naturais, a equação (3.24) é simplificada com aproximação exposta a seguir. 3.3.3.4. Aproximação de Boussinesq Voltando à equação (3.13), que é o lado esquerdo de (3.24), pode-se ex- pandir a variação temporal da quantidade de movimento em duas partes, uma devido à variação da velocidade e outra à da massa; obtendo-se: ( )i i i d u du du dt dt dt ρ ρ= ρ + (3.25) Em corpos d’água naturais, e.g. sistemas estuarinos, apenas a pri- meira parte, devida à variação da velocidade, é relevante. Por exemplo: considere o caso de um estuário onde em um dado ponto observa-se vari- ação típica de velocidade entre –1,0 e +1,0 m/s, e de massa específica entre 1020 e 1018 kg/m3, ambos no intervalo da meia maré enchente à 18 Este fato e mostrada em vários livros de mecânica dos fluidos, e é válido para escoa- mentos incompressíveis. Subsídios para Modelagem de Sistemas Estuarinos 255 Capítulo 3 meia maré vazante (cerca de seis horas). É fácil verificar que o módulo da primeira parte será cerca de 1000 vezes maior que o da segunda19. Em face do exposto, é comum desprezar-se a segunda parcela em (3.25) adotando-se a conhecida aproximação de Boussinesq20: ( )id u du dt dt iρ ≈ ρ (3.26) Também no contexto desta aproximação é usual se desprezar a variabili- dade de ρ em (3.24), exceto no termo de gravidade. Para tal, substitui-se ρ variável por um valor de referência ρo constante. Pode-se assim rees- crever a equação (3.24) com a aproximação de Boussinesq, obtendo-se: o 3 3 o o 1 (1 ) ij ji i i j i j i j j i uu u upu a t x x x x x τ ρ ⎡ ⎤⎛ ⎞∂∂ ∂ ∂∂ ∂ ρ+ = − + ν + + − δ −⎢ ⎥⎜ ⎟⎜ ⎟∂ ∂ ρ ∂ ∂ ∂ ∂ ρ⎢ ⎥⎝ ⎠⎣ ⎦��� �� i igδ (3.27) onde ν = µ/ρο é a viscosidade cinemática do fluido. No caso de sistemas estuarinos é usual adotar-se ρο = 1025 kg/m3, e no caso de corpos de á- gua doce, ρο = 1000 kg/m3. 3.3.4. Resumo do modelo matemático geral na escala das partículas Resume-se a seguir as equações governantes para modelagem da hidro- dinâmica e do transporte de escalares em corpos d’água, na escala instan- tânea e pontual de uma partícula. 19 Em corpos d’água sujeitos à variação de densidade apenas por efeitos de térmicos, a diferença de magnitude entre as duas partes freqüentemente é maior. 20 Note que, em se tratando de corpos d’água naturais, mormente em sistemas estuari- nos, é errado alegar que pela conservação de massa dρ/dt = 0, e que portanto (3.26) se- ria exato. Este erro aparece em vários livros, mas pode-se mostrar que, à luz do exposto nos itens 3.3.1.3 e 3.3.2 que a aplicação do princípio da conservação de massa para uma partícula de “água” natural leva à seguinte expressão: c j ijc ii i R x CD xx u dt d Σ+⎟⎟⎠ ⎞ ⎜⎜⎝ ⎛ ∂ ∂δ∂ ∂+∂ ∂ρ−=ρ Portanto, dρ/dt = 0 só é correto se o escoamento for incompressível, e se o contaminante ativo for conservativo e homogeneamente distribuído no espaço, ou seja, se a “água” natural for homogênea. 256 Paulo Cesar Colonna Rosman Equação da continuidade ou condição de escoamento incompressível: 0u v w x y z ∂ ∂ ∂+ + =∂ ∂ ∂ (3.4) Equação da quantidade de movimento: 3 3 o o 1 (1 )ji i ij i j i j j i uu u upu a t x x x x x ⎡ ⎤⎛ ⎞∂∂ ∂ ∂∂ ∂ ρ+ = − + ν + + − δ −⎢ ⎥⎜ ⎟⎜ ⎟∂ ∂ ρ ∂ ∂ ∂ ∂ ρ⎢ ⎥⎝ ⎠⎣ ⎦ i i gδ (3.27) sendo: 1 2 2 sen 2 sen x y a a v a a u ≡ = Ω θ⎧⎪⎨ ≡ = − Ω θ⎪⎩ (3.20) Equação de estado21: ( , ) ( , , ) ( , )ss s s S T S T C C S T ρ − ρρ = + ρρ (3.6) Equação do transporte advectivo-difusivo de escalares: i c ij i i j C C Cu D t x x x ⎛ ⎞∂ ∂ ∂ ∂ cR+ = δ +⎜ ⎟⎜ ⎟∂ ∂ ∂ ∂⎝ ⎠ Σ (3.12) Deve-se lembrar que: se a massa específica ρ for constante, a mo- delagem da hidrodinâmica depende apenas das equações (3.4) e (3.27). Neste caso, uma vez conhecida a circulação hidrodinâmica, pode-se re- solver (3.12) para o transporte de um escalar como problema à parte. Por outro lado, se ρ for definido pela equação de estado com, por exemplo, três constituintes, e.g. temperatura salinidade e concentração de sedimen- tos, a modelagem da hidrodinâmica obriga a inclusão de (3.6) e de três equações de transporte como (3.12), uma para cada escalar constituinte. A princípio, o conjunto destas equações, com condições de contor- no consistentes e em coordenadas apropriadas, forma um modelo mate- mático de escoamento e transporte válido para qualquer corpo d’água. Seja ele um copo de cerveja ou um oceano. Entretanto, há fortes restri- ções quanto às escalas de validade das equações, como se discute a se- guir. 21 Apresenta-se a equação mais geral, mas no caso de sistemas estuarinos, o emprego da equação simplificada (3.7) é mais comum. Subsídios para Modelagem de Sistemas Estuarinos 257 Capítulo 3 3.3.5. Condições de validade: números de Pèclet e de Reynolds Fora as ressalvas para validade das diferentes equações já apresentadas ao longo do texto, dois pontos similares e muito importantes precisam ser aclarados: um concerne à equação de transporte advectivo-difusivo e o outro à equação de quantidade de movimento. Ambas as equações repre- sentam princípios de conservação, em cuja dedução utilizou-se expansões em série de Taylor, com fortes restrições quanto às escalas espaciais en- volvidas. E, ambas contêm termos resultantes de modelagem experimen- tal, visando a incluir os efeitos dos fenômenos pertinentes às escalas não resolvíveis. São exatamente nestes pontos que restrições de validade pre- cisam ser consideradas. De modo a melhor evidenciar o paralelismo das restrições nas duas equações, reescreve-se (3.27) na forma de (3.12), de modo que, para a quantidade de movimento por unidade de massa na direção xi, tem-se: N 3 3o o variação reações de consumo ou produçãobalanço dolocal no balanço do fluxo difusivo fluxotempo advectivo 1 (1 )ji i ij i j j j i i uu u u pu a t x x x x x ⎡ ⎤⎛ ⎞∂∂ ∂ ∂∂ ∂+ = ν + − + − δ −⎢ ⎥⎜ ⎟⎜ ⎟∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ρ ∂ ρ⎢ ⎥⎝ ⎠⎣ ⎦ i i gρ δ ������ ��� � ���� ��� �� (3.28) As restrições são determinadas de modo experimental, através de análises de magnitude da razão entre os balanços de fluxo advectivo e difusivo em ambas as equações. Considerando escalas características pa- ra as diferentes grandezas pode-se escrever as seguintes condições de va- lidade: Para a equação do transporte advectivo-difusivo (3.12): 2 1 i i c cc ij i j C Cu Ux U xx C DC DD x xx x ∂ ∆ ∂ ∆∆ = <∆⎛ ⎞ ⎛ ⎞∂ ∂δ ⎜ ⎟⎜ ⎟ ∆ ∆⎜ ⎟ ⎝ ⎠∂ ∂⎝ ⎠ 6 (3.29) Onde a razão entre o balanço dos fluxos advectivo e difusivo de massa, U∆x/Dc, é conhecida como número de Pèclet, P. Como U é uma proprie- dade inerente ao escoamento e Dc uma propriedade físico-química do contaminante e do fluido carreante, o único grau de liberdade está em ∆x, que representa a mínima escala espacial resolvível. Experimentalmente, verifica-se que a equação (3.12) é válida desde que as mínimas escalas espaciais do transporte em questão sejam tais que P < 2. Pode-se interpre- 258 Paulo Cesar Colonna Rosman tar que a restrição do número de Pèclet indica qual a escala espacial má- xima para validade das expansões em série de Taylor empregadas na de- dução de (3.12). Para a equação da quantidade de movimento (3.28): 310 1 i j j ji j j i u Uu Ux U xx Uuu x xx x x ∂ ∆ ∂ ∆∆ = <∆ ν⎡ ⎤⎛ ⎞∂∂∂ νν +⎢ ⎥⎜ ⎟ ∆ ∆⎜ ⎟∂ ∂ ∂⎢ ⎥⎝ ⎠⎣ ⎦ 6 (3.30) Onde a razão entre o balanço dos fluxos advectivo e difusivo de quanti- dade de movimento, U∆x/ν, é o número de Reynolds, R. Como U é uma propriedade inerente ao escoamento e ν uma propriedade físico-química do fluido, o único grau de liberdade também está na mínima escala espa- cial resolvível, ∆x. Assim, pode-se dizer que experimentalmente, verifi- ca-se que a equação (3.28) é válida desde que as escalas espaciais do es- coamento resolvível em questão sejam tais que R < 103. Também aqui, pode-se interpretar que a restrição do número de Reynolds indica qual a escala espacial máxima para validade das expansões em série de Taylor empregadas na dedução de (3.28). Na mecânica dos fluidos clássica classifica-se de escoamento lami- nar àquele em que R < 103, e de escoamento turbulento àquele em que R > 2×103, sendo o intervalo denominado escoamento de transição. Re- pare que, historicamente, tal classificação é apenas uma forma de definir aquilo que é resolvível ou não resolvível, na escala de resolução humana. Laminar é o escoamento que se consegue resolver com observação visu- al, e turbulento é aquele escoamento confuso, que visualmente não se consegue distinguir, ou resolver. Entretanto, verifica-se que a classifica- ção de escoamento laminar ou turbulento é apenas uma questão de escala de resolução. Com o advento da mecânica dos fluidos computacional, a capacidade de resolução é intrinsecamente imposta pela escala de discre- tização, sendo então mais apropriado utilizar-se a classificação de esco- amento resolvível e não resolvível. De modo a se ter uma idéia do significado prático destas restrições, considere por exemplo o caso da modelagem da circulação hidrodinâmi- ca de um sistema estuarino como a Baía de Guanabara. A viscosidade cinemática da água é cerca de 10–6m2/s, e as maiores velocidades de cor- rentes são da ordem de 1,0 m/s,. Portanto pela restrição do número de Reynolds ter-se-ia: Subsídios para Modelagem de Sistemas Estuarinos 259 Capítulo 3 3 36 110 10 10 m 10 U x x x −− 3∆ ∆= < ⇒ < ⇒ ∆ <νR Repare que valores de velocidade da ordem de 1,0 m/s e escalas espaciais resolvíveis menores que um milímetro, obrigam a utilização de escalas temporais, ∆t, inferiores a um milésimo de segundo. Evidentemente, em termos computacionais têm-se um problema impossível de resolver. Co- mo tais escalas estão intrinsecamente associadas às escalas de discretiza- ção do modelo numérico, para simular um ciclo de maré (~44.000 segun- dos) na Baía de Guanabara, ter-se-ia que resolver um sistema da ordem de 1019 equações, cerca de 44 milhões de vezes! Fazendo análise seme- lhante para o problema de transporte de escalares via número de Pèclet, chega-se a valores ainda mais absurdos. Como não existe solução geral conhecida para as equações do mo- delo matemático geral, resumidas em 3.3.4, as restrições de validade le- vam às seguintes conclusões: a aplicação do modelo geral em cálculos sobre a circulação hi- drodinâmica e o transporte de escalares em corpos d’água, só tem aplicação prática possível em casos especiais, nos quais as velocidades sejam muito baixas ou as dimensões espaciais do problema muito pequenas. é inviável a utilização prática do modelo matemático geral para corpos d’água naturais, nomeadamente para sistemas estuari- nos. fica claro que para se desenvolver um modelo numérico de mo- do a resolver as equações do modelo matemático geral, há que se encontrar um meio de se aumentar, e muito, as mínimas es- calas resolvíveis. Portanto há que se mudar a escala do modelo, para uma “grande escala”. Em aplicações de engenharia ou de ciências do meio ambiente em corpos d’água, é óbvio que não há interesse prático em se determinar exatamente tudo o que acontece na hidrodinâmica e no transporte de es- calares a cada décimo de milímetro e a cada milésimo de segundo. Em geral as escalas de interesse variam de muitos centímetros a quilômetros, e de segundos a meses, dependendo do fenômeno em estudo. Desta for- ma, quando se quer modelar um fenômeno, parte do processo de modela- gem está em definir as mínimas escalas de interesse. Como estas escalas sempre são muito grandes em relação às escalas de validade impostas 260 Paulo Cesar Colonna Rosman pelos números de Reynolds e de Pèclet, pode-se dizer que o objetivo é a modelagem de grande escala. 3.3.6. Modelo geral para o escoamento e o transporte de grande escala O termo “grande escala” significa de fato a menor escala de interesse que se deseja resolver na modelagem de um dado fenômeno. O escoamento e transporte de escalares em corpos d’água são resultado da soma de fenômenos em uma miríade de escalas. Tais escalas variam continuamente, desde as diminutas, associadas às tensões viscosas e às difusões moleculares, até as maiores, que são limitadas pela geometria do corpo d’água. Os fenômenos com escalas maiores que as “grandes escalas” serão tão melhor resolvidos em detalhes quanto maior seu comprimento ou período característico. Já os fenômenos inferiores às grandes escalas, não são resolvíveis e têm que ser modelados. É similar ao que o artista faz ao pintar uma paisagem, o que está em primeiro plano é bem resolvido e detalhado, mas a vegetação do fundo não é resolvível, apenas seus efeitos aparecem no quadro através de diferentes tons de verde. Ao se medir uma variável instantânea de um escoamento em corpos d’água naturais, como a velocidade da corrente por exemplo, obtêm-se um resultado como ilustrado pela curva no topo da Figura 3.4. O aspecto confuso e irregular da curva tipifica o registro que usualmente se obtêm nos chamados escoamentos turbulentos. Claramente, na escala de resolu- ção dos nossos olhos trata-se de um registro muito irregular. Através de métodos matemáticos, como análise de Fourier por exemplo, pode-se de- compor o fenômeno registrado em uma soma de parcelas simples. De fato, a curva no topo da Figura 3.4 foi artificialmente construída soman- do-se as componentes harmônicas simples que aparecem abaixo. Cada componente tem sua identidade definida por seu período ou comprimento de onda, sua amplitude e sua fase. Na curva irregular da Figura 3.4, as menores escalas resolvíveis correspondem ao período e ao comprimento de onda da menor componente ilustrada. Se passássemos as diversas componentes por um filtro que removesse as de menor escala e deixa-se passar apenas as maiores, o resultado seria uma curva mais suave, como a indicada também no topo da Figura 3.4. Tal curva corresponderia à par- te resolvível se o fenômeno fosse modelado tendo como grande escala apenas as quatro primeiras, e maiores, componentes. O efeito das com- ponentes não resolvíveis teria que ser modelado em termos de variáveis nas escalas resolvíveis e incluído no resultado final. Subsídios para Modelagem de Sistemas Estuarinos 261 Capítulo 3 Figura 3.4. Ilustração da decomposição de um sinal complexo em componentes harmônicas simples. A linha fina irregular da parte superior é formada pela soma das senóides regulares que estão abaixo. A linha grossa da parte superior seria a parte resolvível, se apenas as quatro primeiras componentes de grande escala fossem consideradas. O que se deseja então é filtrar as variáveis presentes nas equações do modelo matemático geral, de modo que as equações representem bem apenas fenômenos de grande escala. Posteri- ormente, ter-se-á que incluir de alguma forma nas equações, o efeito geral dos fenômenos que ocorrem nas escalas não resolvíveis, ou seja, modelar a turbu- lência. A maneira de se filtrar algo ma- tematicamente é através de um proces- so de média ponderada, dando-se um peso de ponderação grande para as escalas que se quer resolver, e um pe- so muito pequeno ou nulo para as escalas que se deseja eliminar. Genera- lizando a média ponderada da aritmética para funções continuas da álge- bra, chega-se à integral de convolução. Tal integral corresponde a uma soma de parcelas infinitesimais do produto de uma função filtro, ou peso de ponderação, pela função que se quer filtrar. Assim, chamando de f à parte resolvível, ou de grande escala, filtrada de uma função f qualquer, pode-se escrever22: ( ) ( ) ( )f f G d ∞ −∞ ′ ′ ′χ = χ χ − χ∫ χ (3.31) 22 Conforme apresentado no Capítulo 3 de Métodos Numéricos em Recursos Hídricos (Volume 1), de 1989, pode-se mostrar que todos os métodos tradicionais de definição das chamadas variáveis do escoamento “médio”, e.g., promediação temporal de Rey- nolds, promediação temporal vicinal ou relaxada, e mesmo a promediação de grupo (ensemble averaging), podem ser escritos como casos particulares desta definição geral. 262 Paulo Cesar Colonna Rosman onde χ e χ´ são argumentos de f e G, por exemplo χ = (x,y,z,t). A função peso G pode ser qualquer função para a qual a média e a variância exis- tam, e que satisfaça à condição de preservar uma constante, ou seja: ( ) 1G d ∞ −∞ ′ ′χ χ =∫ (3.32) Várias são as possibilidades para seleção de uma função filtro ade- quada, entretanto há muitas vantagens teóricas e práticas na utilização de funções Gaussianas23. Define-se assim uma função filtro Gaussiana tri- dimensional, espaço temporal, como: 22 4 1 6 1( ) exp 6 kk k k k x G x = ⎛ ⎞⎡ ⎤⎛ ⎞ ⎜= − ⎟⎢ ⎥⎜ ⎟ ⎜π λ λ⎝ ⎠ ⎟⎣ ⎦⎝ ⎠ ∏ (3.33) onde no produtório Π, o índice k = 1, 2, 3 indica respectivamente as dire- ções x, y, z e, k = 4 indica o tempo, sendo, x4 ≡ t. Os parâmetros λk são as larguras dos filtros em cada dimensão k, e definem as mínimas escalas resolvíveis. Em outras palavras, escoamento de grande escala é aquele com escalas maiores que λk. Pode-se mostrar através do teorema de Gauss, que para λk homogê- neo e permanente, podendo ser anisotrópico, a operação de filtragem é comutativa com as derivadas espaciais e temporais. Ou seja, a filtragem da derivada de uma função é igual à derivada da função filtrada. Portanto a aplicação da operação de filtragem às equações governantes resumidas em 3.3.4, torna-se imediata. Aplicando a operação de filtragem definida pela equação (3.31) com a função filtro dada em (3.33), às equações go- vernantes, obtêm-se os resultados resumidos a seguir.24 3.3.7. Resumo do modelo matemático geral, para o escoamento de grande escala Desenvolve-se a seguir as equações governantes para modelagem da hi- drodinâmica e do transporte de escalares em corpos d’água, com variá- veis resolvíveis de grande escala, filtradas das variáveis originais. 23 Vide discussão sobre tipos de funções filtro no Capítulo 3 de Métodos Numéricos em Recursos Hídricos (Volume 1), de 1989. 24 Para uma discussão em detalhes veja Rosman, 1987. Subsídios para Modelagem de Sistemas Estuarinos 263 Capítulo 3 Equação da continuidade ou condição de escoamento incompressível: 0u v w x y z ∂ ∂ ∂+ + =∂ ∂ ∂ (3.34) onde nesta e nas demais equações, a sobrebarra indica a variável re- solvível, que agora é a parte de grande escala filtrada da variável ori- ginal. Equação da quantidade de movimento: 3 3 o o ( ) 1 (1 )i j ji i i i i j i j j i u u uu up a g t x x x x x ⎡ ⎤⎛ ⎞∂ ∂∂ ∂∂ ∂ ρ+ = − + ν + + − δ −⎢ ⎥⎜ ⎟⎜ ⎟∂ ∂ ρ ∂ ∂ ∂ ∂ ρ⎢ ⎥⎝ ⎠⎣ ⎦ δ (3.35) sendo: 1 2 2 sen 2 sen x y a a v a a u ≡ = Ω θ⎧⎪⎨ ≡ = − Ω θ⎪⎩ (3.36) repare que o termo de aceleração advectiva foi rescrito usando a condição de incompressibilidade para permitir a filtragem. Entretanto, isto deu ori- gem a novas variáveis, já que o produto filtrado das velocidades, ( )i ju u , difere do produto das velocidades filtradas i ju u . De modo a reescrever (3.35) em termos resolvíveis emprega-se um artifício já usado em (3.9), somando e subtraindo a parcela resolvível no segundo termo: ( ) o 3 3 o 1 (1 ) i j i j i j ji i j i j j i i i u u u u u u uu up t x x x x x a g ∂ + − i ⎡ ⎤⎛ ⎞∂∂ ∂∂ ∂+ = − + ν + +⎢ ⎥⎜ ⎟⎜ ⎟∂ ∂ ρ ∂ ∂ ∂ ∂⎢ ⎥⎝ ⎠⎣ ⎦ ρ− δ − δ ∴ρ ( ) ( ) o fluxos de quantidade de movimento não resolvíveiso 3 3 o 1 (1 ) i j ji i i j i j j i j j i ij i i i u u uu up u u u u t x x x x x a g ⎡ ⎤⎢ ⎥∂ ⎛ ⎞∂⎢ ⎥∂ ∂∂ ∂+ = − + ν + − −⎜ ⎟ +⎢ ⎥⎜ ⎟∂ ∂ ρ ∂ ∂ ∂ ∂⎝ ⎠⎢ ⎥⎢ ⎥τ ρ⎢ ⎥⎣ ⎦ ρ− δ − δρ ��� �� ��� �� 264 Paulo Cesar Colonna Rosman como nos casos anteriores os fluxos de quantidade de movimento não resolvíveis têm que ser modelados. Tais fluxos correspondem às intera- ções entre conjuntos de partículas, em escalas inferiores às grandes esca- las, definidas pelo processo de filtragem. Em similaridade às tensões vis- cosas que denominam as interações nas escalas inter-partículas, pode-se chamar as interações inter-conjunto de partículas, de tensões turbulen- tas, Tijτ : o ( ) T ij i j i ju u u u τ− − = ρ (3.37) chegando-se então a: 3 3 o o o 1 (1 ) T ij iji i j i j i j u u pu a t x x x ⎡ ⎤τ τ∂ ∂ ∂ ∂ ρ+ = − + + + − δ −⎢ ⎥∂ ∂ ρ ∂ ∂ ρ ρ ρ⎢ ⎥⎣ ⎦ oi i gδ (3.38) onde usou-se a condição de escoamento incompressível filtrada (3.34) para reescrever o termo advectivo. Em geral despreza-se o tensor de ten- sões viscosas uma vez que nas escalas de interesse Tij ijτ << τ . Repare que o problema de fechamento continua pois o tensor T ijτ representa no mínimo 6 novas incógnitas, que têm que ser modeladas. Uma ampla discussão sobre modelagem das tensões turbulentas foge ao escopo deste capítulo, boas revisões são indicadas na lista de referências sobre o tema. O que segue são breves comentários a respeito do assunto. A modelagem tradicional de Tijτ inspira-se na similaridade entre os processos na escala da viscosidade e na escala da turbulência. Assim é usual adotar-se a proposição de similaridade feita por Boussinesq, (cf. equação (3.23): com , 1, 2, 3 o ; T ij ji i jij j i uu x x = ⎛ ⎞τ ∂∂= ν +⎜ ⎟⎜ ⎟ρ ∂ ∂⎝ ⎠ (3.39)25 onde por similaridade νij é chamada de viscosidade cinemática turbulen- ta, (eddy viscosity). Contrariamente à viscosidade cinemática molecular, a turbulenta não é uma propriedade físico-química do fluido, mas sim 25 O mais certo é acrescentar o termo (-2/3κδij ) para obtenção correta da energia cinéti- ca turbulenta, κ, entretanto na prática isso é irrelevante pois o termo acaba sendo incorporado à pressão. Subsídios para Modelagem de Sistemas Estuarinos 265 Capítulo 3 uma variável do escoamento resolvível, e portanto têm que a ser modela- da26. Para modelos de νij veja referências, e.g. Rodi (1980) e List (1988). Se ao invés dos métodos tradicionais, for adotado o processo de fil- tragem com filtros Gaussianos, pode-se mostrar que a seguinte expansão de ( i j i ju u u u− ) é correta27: 2 4 termos de filtragem ( ) 12 jk i i j i j k k k uu u u u u x x ∂λ ∂− = + Ο∂ ∂�� � λ (3.40) Comparando este resultado com (3.37) pode-se ver que parte do tensor de tensões turbulentas foi explicitado, e o que resta para ser mode- lado são os termos de mais alta ordem da expansão, 4( )kΟ λ . Esta é uma das vantagens de se usar filtros Gaussianos, pois o termo de 4( )kΟ λ , su- postamente é menor e pode ser modelado de modo mais simples. Usando uma modelagem para os termos de similar à de (3.39), pode-se escrever: 4( )kΟ λ ( )4k 4 2 o termos demodelo para os filtragem termos de com , 1,2,3 e 1,2,3,4 sendo 12 T ij j ji k ij j i k i j k x t u uu ui kx x x Ο λ x = = ≡ ⎛ ⎞τ ∂ ∂∂ λ ∂= υ + −⎜ ⎟⎜ ⎟ρ ∂ ∂ ∂ ∂⎝ ⎠ �� � ��� �� (3.41) onde por similaridade υij pode ser chamada de viscosidade cinemática turbulenta filtrada. Com a inclusão dos temos de filtragem em (3.41), que não aparecem quando se usa métodos de filtragem convencionais, e.g. promediações temporais ou estatísticas, a modelagem de υij pode ser sim- plificada, como por exemplo, baseada em comprimento de mistura, ou a usual lei quadrática. Entretanto, se uma modelagem tipo “κ - ε” for adotada28, as constantes do modelo serão diferentes das usuais. 26 Um comentário informal: isso parece a história de jogar poeira debaixo do tapete, pois pelo que se percebe, de um modelo para incógnitas aparecem outras incógnitas a serem modeladas. A poeira não some mais vai sendo escondida! 27 Vide Rosman (1987). 28 Vide Rodi (1980), List (1988). 266 Paulo Cesar Colonna Rosman Como os termos de filtragem podem acarretar em tensões turbulen- tas não dissipativas localmente29, para validade de (3.41) é necessário que as escalas dos filtros, λk, sejam pequenas em comparação com as maiores escalas do escoamento, Lk, i.e., λk não deve ser maior que ~20% de Lk. Fisicamente, as maiores escalas dependem da geometria do corpo d’água e da duração do fenômeno a ser modelado. Em um modelo numé- rico as menores escalas resolvíveis são impostas pela discretização espa- ço-temporal adotada para a geometria do domínio e duração do fenôme- no modelado. Pelo teorema da amostragem de Nyquist, idealmente deve- se ter λk=2∆xk, onde ∆xk é a escala de discretização na dimensão k. Ocor- re entretanto que, freqüentemente, na modelagem de sistemas estuarinos e outros corpos d’água naturais, não se têm sempre ∆xk<<Lk. em todo o domínio, principalmente em se tratando de modelos que usam elementos finitos com malhas irregulares. O fato de existirem tensões não dissipativas, implica em que, se o modelo numérico violar a restrição de ∆xk<<Lk, podem ocorrer instabili- dades. Por conta disso, e mantendo a similaridade de forma dos termos de filtragem pode-se fazer uma média alternando módulos nas derivadas das velocidades dos termos de filtragem, de modo a garantir que as ten- sões turbulentas sejam sempre dissipativas, resultando em30: 4 2 o com , 1,2,3 e 1,2,3,4 sendo 24 T ij j j ji k i i ij j i k k k k i j k x t u uu u u u x x x x x x = = ≡ ⎛ ⎞τ ∂ ⎛ ∂∂ Λ ∂ ∂= υ + + +⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎜ ⎟⎜ ⎟ρ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂⎝ ⎠⎝ ⎠ ∂ ⎞ (3.42) onde Λk é um parâmetro proporcional à ∆xk local, e é sempre pequeno em relação a Lk, (e.g. Λk < 0.2 Lk). Equação de estado: ( , ) ( , , ) ( , )ss s s S T S T C C S T ρ − ρρ = + ρρ (3.43) onde para as variáveis de grande escala, continuam válidas as constantes apresentadas no item 3.3.1.4. 29 Fisicamente as tensões viscosas são sempre dissipativas, mas as tensões turbulentas podem localmente ser não dissipativas, principalmente em modelos de escoamentos em que as escalas horizontais de interesse são muito maiores que as verticais. 30 Veja Rosman e Gobbi (1990), Gobbi (1991), Araújo (1993). Subsídios para Modelagem de Sistemas Estuarinos 267 Capítulo 3 Equação do transporte advectivo-difusivo de escalares: ( )i c ij c i i j u CC D t x x x ⎛ ⎞∂∂ ∂ ∂C R+ = δ +⎜ ⎟⎜ ⎟∂ ∂ ∂ ∂⎝ ⎠ Σ (3.44) repare que o termo de balanço do fluxo advectivo foi rescrito usando a condição de incompressibilidade, de modo a permitir a filtragem. Entre- tanto, isto deu origem a novas variáveis, já que o produto filtrado da ve- locidade com a concentração, i.e. o fluxo filtrado ( iu C) , difere do produto das variáveis filtradas iu C . A discussão apresentada no ponto anterior sobre as tensões turbulentas se aplica imediatamente ao caso da equação do transporte advectivo difusivo. Novamente, de modo a se obter uma equação com termos advectivos resolvíveis volta-se ao artifício empre- gado em (3.9), somando e subtraindo a parcela resolvível no segundo termo, levando a: fluxo de massa não resolvível ( ) ( ) ( ) i i i c ij c i i j i c ij i i c i i j u C u C u CC CD R t x x x u CC CD u C u C t x x x ⎛ ⎞∂ + −∂ ∂ ∂ R + = δ + Σ⎜ ⎟⎜ ⎟∂ ∂ ∂ ∂⎝ ⎠ ⎛⎜ ⎟∂∂ ∂ ∂+ = δ − − + Σ⎜ ⎟∂ ∂ ∂ ∂⎜ ⎟⎝ ⎠ �� � ∴ ⎞ (3.45) Pela hipótese de similaridade de Boussinesq pode-se modelar o fluxo de massa não resolvível como: fluxo de massa não resolvível ( ) Ti i ij ij j Cu C u C D x ∂− − δ = ∂��� �� (3.46) sendo TijD tensor de difusividade turbulenta. Ressalte-se que em contraste com a difusividade molecular Dc, as difusividades turbulentas não são propriedades físico-químicas, e sim variáveis que dependem do escoa- mento, e portanto têm que ser modeladas. Também através das técnicas de filtragem com funções de Gaussi- anas, pode-se mostrar que a seguinte expansão é correta, desde que esca- las dos filtros sejam pequenas em comparação com as maiores escalas do escoamento: 268 Paulo Cesar Colonna Rosman 2 4 fluxo de massa não resolvível ( ) ( 12 j i i i ij j j u Cu C u C x x λ ∂ ∂ )j− δ = + Ο λ∂ ∂��� �� (3.47) onde j = 1,2,3,4 sendo x4 ≡ t. Comparando este resultado com o anterior chega-se a: 4 2 modelo do termo de filtragemtermo ( ) 2 ( ) 12 ( ) 12 j T ij j i i i ij ij j j j i i i ij ij j j D uC Cu C u C D x x x u Cu C u C D x x Ο λ λ ∂∂ ∂ j − − δ = −∂ ∂ ∂ ⎛ ⎞λ ∂ ∂− − δ = −⎜ ⎟⎜ ⎟∂ ∂⎝ ⎠ � �� � ��� �� ∴ (3.48) onde Dij por similaridade é denominado tensor de difusividade turbulenta filtrado. Também neste caso os termos de filtragem podem gerar difusi- vidades turbulentas negativas, o que pode criar instabilidades em mode- los numéricos, se não se respeitar a restrição ∆xj<<Lj. Como no caso an- terior, de modo a se evitar difusividades negativas, pode-se usar um mo- delo alternativo, inspirado na forma dos termos de filtragem: 2 ( ) 12 T ij j i i i ij ij j j D u Cu C u C D x x ⎛ ⎞Λ ∂ ∂− − δ = +⎜⎜ ⎟⎟∂ ∂⎝ ⎠��� �� (3.49) onde, como no caso das tensões turbulentas, Λj é um parâmetro propor- cional à ∆xj local, e é sempre pequeno em relação a Lj, (e.g. Λj < 0.2 Lj). Pa- ra modelagem de Dij, é usual se empregar a relação envolvendo o número de Schmidt (S): ijijD υ= S (3.50) Para escoamentos resolvíveis de grande escala, S varia entre 0,5 e 1,0 sendo comum adotar-se como primeira aproximação o valor 0,7. Des- te modo, através da modelagem da viscosidade turbulenta obtêm-se a di- fusividade turbulenta. Subsídios para Modelagem de Sistemas Estuarinos 269 Capítulo 3 Substituindo (3.46), ou as alternativas (3.48) e (3.49), em (3.45) chega-se à forma usual da equação de transporte advectivo-difusivo para escoamento de grande escala: Ti c ij ij c i i j C C Cu D D t x x x ⎛ ⎞∂ ∂ ∂ ∂⎡ ⎤ R+ = δ + +⎜ ⎣ ⎦⎜∂ ∂ ∂ ∂⎝ ⎠ Σ⎟⎟ (3.51) na qual o termo de transporte advectivo foi rescrito em decorrência da condição de escoamento incompressível. É comum despreza-se a difusi- vidade molecular, já que nas escalas de interesse Tc ij ijD Dδ << . Não custa lembrar que: se a massa específica for constante, a mo- delagem da hidrodinâmica de grande escala depende apenas das equações (3.34) e (3.38). Neste caso, para uma dada circulação hidrodinâmica, po- de-se resolver (3.51) para o transporte de um escalar como problema à parte. Por outro lado, se ρ for definido pela equação de estado com, por exemplo, dois constituintes, e.g. temperatura e salinidade, a modelagem da hidrodinâmica obriga a inclusão de (3.43) e de duas equações de transporte como (3.51) uma para cada escalar constituinte. Como no caso do modelo geral, a princípio, o conjunto destas e- quações, incluindo a modelagem das tensões e difusividades turbulentas, com condições de contorno consistentes e em coordenadas apropriadas, forma um modelo matemático de escoamento e transporte, válido para qualquer corpo d’água. Se nas equações de quantidade de movimento e de transporte de escalares se mantiver os termos relativos às escalas das partículas, as equações são válidas desde estas escalas até as grandes es- calas de interesse. 3.3.8. Sobre as condições de validade para as grandes escalas As idéias apresentadas no item 3.3.5 continuam válidas nas grandes esca- las. A diferença fundamental no entanto está no fato dos fluxo difusivos em grande escala serem várias ordens de grandeza maiores que os fluxos difusivos moleculares, deste modo pode-se empregar escalas espaciais e temporais muito maiores. Pode-se desenvolver números de Pèclet e de Reynolds para as grandes escalas, PG e RG, de modo análogo ao desenvolvimento apresen- tado no item 3.3.5. A prática mostra que dificilmente se consegue bons resultados com modelos numéricos se não se observar restrições seme- lhantes, ou seja: 270 Paulo Cesar Colonna Rosman 3~ 2 ; ~ 10G GT T U x U x D ∆ ∆= < = <νP R (3.52) Freqüentemente não se respeita estas condições de validade do modelo matemático na tradução para modelo numérico, e culpam o esquema numérico empregado pelos maus resultados. Ressalte-se que tais absurdos podem ser evitados se forem tomados cuidados na modelagem dos fluxos difusivos de grande escala. e. Fica evidente que os modelos para as viscosidades turbulentas e as difusividades turbulentas têm que ser sensíveis às escalas resolvíveis. Ou seja, quando no modelo numérico se impõe uma discretização espaço- temporal definindo as escalas resolvíveis, estas têm que aparecer na mo- delagem dos fluxos turbulentos de forma a respeitar as condições de validad 3.4. Modelos matemáticos de sistemas estuarinos31 Na definição clássica, um estuário é um corpo d'água semi-confinado na costa, com ligação livre com o mar, e no qual água do mar se mistura com a água doce proveniente da drenagem do interior das terras. Siste- mas estuarinos são corpos d’água ainda mais complexos, já que podem conter diversos estuários. Por exemplo, baías como Paranaguá, Sepetiba, Guanabara, Todos os Santos etc., são sistemas estuarinos, dentro das quais há vários estuários. É comum em tais sistemas, a ocupação humana ser intensa, ocasionando significativas alterações morfológicas e outras formas de poluição. Sistemas estuarinos são provavelmente os corpos d’água naturais de maior complexidade, por apresentarem escoamentos altamente varia- dos no espaço e variáveis no tempo. A mistura de água doce proveniente dos rios , com a água salgada do mar gera gradientes de densidade que induzem a uma circulação adicional típica, denominada circulação estua- rina. Freqüentemente há sérios problemas ambientais, ensejando a neces- sidade de se modelar o transporte de contaminantes, que é fortemente dependente das correntes residuais que, por sua vez, sofrem grande influ- ência dos ventos. Estes comentários mostram o desafio que representa a modelagem em tais sistemas, entretanto, há vários tipos de estuários e diferentes fenômenos de interesse e, dependendo de cada caso simplifi- cações podem ser adotadas. 31 Por simplicidade não se colocará mais sobre barras nas variáveis de grande escala. Todas as variáveis na modelagem de sistemas estuarinos são de grande escala. Subsídios para Modelagem de Sistemas Estuarinos 271 Capítulo 3 Para a classe de fenômenos de interesse neste capítulo, uma carac- terística se sobressai: os sistemas estuarinos são corpos d’água rasos, pois as escalas espaciais características dos escoamentos de interesse são sem- pre muito maiores que a profundidade dos sistemas estuarinos. De fato, o interesse da modelagem em sistemas estuarinos está centrado nos escoamentos oriundos da interação da propagação das marés com os es- coamentos de origem fluvial, e a influência dos ventos. O interesse não está nas ondas de curto período (poucos segundos) geradas pelo vento, mas em ondas de gravidade com períodos variando entre os típicos de marés (horas a dias), até períodos relativos às oscilações naturais dos sis- temas estuarinos (vários minutos). 3.4.1. Corpos d’água rasos e aproximação hidrostática Formalmente, um corpo d’água com profundidade h, é considerado raso para um fenômeno com escala espacial característica, L, quando a condição L > 20h é satisfeita. A escala característica da velocidade de propagação de um fenômeno de período T em um sistema estuarino é √(gh), portanto a escala espacial característica, L, será o produto T√(gh). É fácil verificar que, mesmo para fenômenos com apenas um minuto de duração os sistemas estuarinos são corpos d’água rasos. A conseqüência prática de um corpo d’água ser considerado raso na escala de um dado fenômeno, é que a equação da quantidade de movi- mento na direção vertical pode ser simplificada, reduzindo-se à expressão da pressão hidrostática. Considere a componente vertical de (3.38): 3 3 o o o 1 Tj j j j j w w pu g t x z x ⎡ ⎤τ τ∂ ∂ ∂ ∂ ρ+ = − + + −⎢ ⎥ o∂ ∂ ρ ∂ ∂ ρ ρ ρ⎢ ⎥⎣ ⎦ (3.53) onde ressalta-se que as variáveis são de grande escala. Como dito, as so- bre barras não são mais colocadas por simplicidade. A pressão, p(z), em um ponto z a uma profundidade qualquer pode ser obtida pela integração de (3.53) ao longo da coluna d’água, do ponto considerado até a superfície livre. Para modelagem dos escoamento de interesse em sistemas estuarinos a superfície livre, SL, pode ser definida pelos pontos com cota igual a ( , , )x y tζ 32, ou seja; ( , , , ) ( , , ) 0LS x y z t z x y t≡ − ζ = (3.54) 32 Note que esta definição só faz sentido para certas classes de escoamento de grande escala, por exemplo, escoamentos com ondas que arrebentam violam esta definição. 272 Paulo Cesar Colonna Rosman Integrando (3.53) tem-se: N o atm 3 3 o o o 0 em corpos d'água rasos 1 ( ) ( ) d T j j jz z z j j P dz P p w wdz gdz u dz z t x x p p z gdz P ζ ζ ζ ρ ≈ ζ = o ⎧ ⎫⎡ ⎤⎛ ⎞ τ τ∂ ρ ∂ ∂ ∂⎪ ⎪= − − + − +⎜ ⎟ ⎢ ⎥⎨ ⎬⎜ ⎟ρ ∂ ρ ∂ ∂ ∂ ρ ρ⎢ ⎥⎪ ⎪⎝ ⎠ ⎣ ⎦⎩ ⎭ ∴ ζ − = − ρ − ∴ ∫ ∫ ∫ ∫ ��������� �������� N atm ( ) ( ) dz P p z p gdz P ζ = = ζ + ρ +∫ (3.55) onde, como indicado, a pressão dinâmica Pd é aproximadamente zero em corpos d’água rasos, e a pressão na superfície livre, ( )p ζ = Patm, é a pres- são atmosférica. A equação da pressão (3.55) é exata, pois representa a componente vertical de (3.38), i.e. (3.53), integrada em z. A chamada aproximação hidrostática consiste em considerar a pressão dinâmica, Pd , nula em (3.55).33 Substituindo (3.55) no termo de gradiente de pressão nas compo- nentes horizontais da equação do movimento (3.38), obtêm-se: ( )atm ; ( 1, 2)( ) d iz i i i i P Pp z gdz x x x x ζ = ∂ ∂∂ ∂= + ρ +∂ ∂ ∂ ∂∫ Aplicando a fórmula de Leibniz para diferenciação de integrais e divi- dindo-se pela massa específica de referência ρo, chega-se a atm o o o o o ( )1 ( ) 1 ( ) 1 d z i i i i P Pp z g g dz ix x x x ζ x ∂ ∂ ρ ρ ∂∂ ρ ζ ∂ζ= + + +ρ ∂ ρ ∂ ρ ∂ ∂ ρ ∂∫ onde pela aproximação de Boussinesq, a massa específica na superfície livre pode ser igualada à de referência, ou seja o( ) 1ρ ζ ρ ≅ , podendo-se então escrever: 33 Supondo a massa específica constante ao longo de z, e desprezando Pd, a integração em (3.55), leva à conhecida expressão da pressão hidrostática: )()( atm zgPzp −ζρ+= Subsídios para Modelagem de Sistemas Estuarinos 273 Capítulo 3 N o atm ; ( 1, 2) o o (1) (2) (3) (4) ( )1 ( ) 1 1 d i z i i i i i P Pp z g g dz x x x x x ζ = o ∂ ρ ρ ∂ ∂∂ ∂ζ= + + +ρ ∂ ∂ ∂ ρ ∂ ρ ∂∫��� �� �� � � (3.56) Nesta expressão, (1) é a parcela do gradiente de pressão barotrópica de- vida aos desníveis na superfície livre da massa d’água, (2) é parcela do gradiente de pressão baroclínica devida às diferenças de densidade, (3) é a parcela do gradiente de pressão barotrópica devida à variação espacial da pressão atmosférica, e (4) é a parcela dinâmica do gradiente de pres- são. As diferentes parcelas são importantes nos seguintes casos: (1) É a mais importante na modelagem do escoamento em corpos d’água com superfície livre, como sistemas estuarinos, rios e canais, águas costeiras, lagos e reservatórios, etc. (2) É muito importante no caso de corpos d’água estratificados, como alguns sistemas estuarinos que apresentam estratificação salina, lagos e reservatórios que apresentam estratificação térmica, e águas costei- ras que podem apresentar ambas. (3) Parcela geralmente irrelevante no caso de sistemas estuarinos, pois nas escalas horizontais dos mesmos, a variação espacial de Patm é desprezível. Só é relevante para modelagem oceânica. Esta parcela pode ter uma pequena significância, na modelagem de reservatórios ou lagos muito grandes. A parcela não representa uma incógnita mas um forçante imposto. (4) Parcela não incluída na aproximação hidrostática. Só é relevante para modelagem de escoamento relativos a fenômenos cujas escalas espa- ciais sejam menores que vinte vezes a profundidade. Por exemplo: modelos de agitação por ondas de vento de curto período, modelos do escoamento de plumas emergentes no campo próximo de difusores de emissários. 3.4.2. Equações do movimento em águas rasas Substituindo (3.56), nas componentes horizontais da equação do movimento (3.38), obtêm-se: N o atm o o (1) (2) (3) (4) 3 3 o o o o ( ) 1 1 ; ( , 1,2) i i i d j z j i i i T T ij ij i i i j u u u P P u w g g dz t x z x x x x a i x z ζ∂ ∂ ∂ ∂ ρ ρ ∂ ∂ i j ∂ζ+ + = − − − −∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ρ ∂ ρ ∂ ⎡ ⎤τ τ ⎡ ⎤τ τ∂ ∂+ + + + =⎢ ⎥ ⎢ ⎥∂ ρ ρ ∂ ρ ρ⎢ ⎥ ⎣ ⎦⎣ ⎦ ∫ + ��� �� �� � � (3.57) 274 Paulo Cesar Colonna Rosman Esta equação, sem a parcela (4) do gradiente de pressão, é conheci- da como equação do movimento em águas rasas. Na modelagem de sis- temas estuarinos é irrelevante a inclusão das parcelas (3) e (4) do gradi- ente de pressão. Geralmente também se despreza as tensão viscosas por serem muito menores que as turbulentas. ijτ Note que, com a equação (3.57), a pressão deixou de ser uma in- cógnita, sendo substituída pela cota da superfície livre, ( , , )x y tζ . Como a componente vertical da equação do movimento foi eliminada para o cál- culo da pressão, têm-se agora menos equações do que incógnitas. A lista a seguir resume as incógnitas e equações disponíveis: : pode-se associar a equação do movimento em águas ra- sas (3.57) para as componentes horizontais e a da continuidade (3.34) para a componente vertical. , ,u v w e concentração de constituintes C: pode-se associar a equação de estado (3.43) e tantas equações de transporte advectivo difusivo, (3.51), quantos sejam os constituint ρ es. ζ: ainda sem equação disponível. Como se mostra a seguir, de modo a fechar o problema, obtêm-se uma equação para ( , , )x y tζ pela integração da equação da continuidade, ao longo da coluna d’água, ou seja, do fundo à superfície livre. Mas, de modo a fazer a integração, é necessário definir a cota do fundo. Na modelagem de sistemas estuarinos é usual se definir a superfície do fundo, SF , como sendo a formada pelo conjunto de pontos com cota z = – h(x, y, t)34, ou seja ( , , ) 0FS z h x y t≡ + = (3.58) onde a variabilidade no tempo representaria processos de erosão ou se- dimentação, veja Figura 3.5. Assim, integrando-se (3.34) do fundo à su- perfície tem-se: 0i h i u w dz x z ζ − ⎛ ⎞∂ ∂+ = ∴⎜ ⎟∂ ∂⎝ ⎠∫ aplicando a fórmula de Liebniz, pode-se escrever 34 Vale notar que, como no caso da definição da superfície livre, esta definição da su- perfície do fundo também impõe restrições. Degraus verticais no fundo, nos quais para a mesma posição horizontal ter-se-ia mais de uma cota, violam a definição. Subsídios para Modelagem de Sistemas Estuarinos 275 Capítulo 3 ( ) ( ) ( ) ( ) 0i i ih i i i hu dz u u h w w h x x x ζ − ∂ ∂ζ ∂− ζ − − + ζ − − =∂ ∂ ∂∫ (3.59) onde é necessário aplicar-se condições de contorno adequadas, de modo a se evitar as incógnitas específicas dos contornos da superfície (ζ) e do fundo (–h). 3.4.2.1. Condições de contorno cinemáticas na superfície livre e no fundo A superfície livre e o fundo são superfícies permanentes, isto é, ambas podem sofrer alterações de posição localmente, mas as superfícies como um todo tem velocidade zero, pois permanecem delimitando os limites superior e inferior de um volume de partículas de água em escoamento. Este modelo conceptual das condições de contorno cinemáticas da super- fície livre e do fundo podem ser modelados matematicamente como se mostra a seguir. Para tal utiliza-se a superfície livre como exemplo: 0L dS dt = que em uma descrição Euleriana torna-se 0L L L Li i dS S S Su w dt t x z ∂ ∂ ∂= + +∂ ∂ ∂ = substituindo a equação da superfície livre (3.54), chega-se à condição de contorno cinemática na superfície livre: 0 ; em ( , , )i i u w z x y t x t∂ζ ∂ζ− − + = = ζ∂ ∂ (3.60) Fazendo o mesmo desenvolvimento para a superfície do fundo (3.58), pode-se escrever a condição de contorno cinemática no fundo como: 0 ; em ( , , )i i h hu w z h x y t x t∂ ∂+ + = = −∂ ∂ (3.61) 276 Paulo Cesar Colonna Rosman 3.4.2.2. Condições de contorno dinâmicas na superfície livre e no fundo A ação de forçantes na superfície livre, e. g. vento, é passada ao escoa- mento através da imposição de condições de contorno dinâmicas na su- perfície livre, CCDSL. No caso, a condição imposta é: 3 3 tensoes na direçao S S ij j i i i n n Sτ + τ = τ � � G G �� � (3.62) onde o vetor unitário normal à superfície livre SnG , pode ser escrito em função da definição de superfície livre dada em (3.54): 1S L L L Sn i x yS S ⎛∇ ∂ζ ∂ζ j k ⎞= = − − +⎜ ∂ ∂∇ ∇ ⎝ ⎠⎟ G GG GG G G (3.63) Com este resultado, pode-se escrever a CCDSL : 3 S ij i i L j S x ∂ζ−τ + τ = τ ∇∂ G (3.64) Vale ressaltar que para qualquer aplicação prática 1.00LS∇ G � . O fundo exerce resistência ao escoamento, esta ação é imposta a- través da condição de contorno dinâmica no fundo, CCDF, que iguala as tensões no fundo à tensão de atrito do fundo τF. Desta forma, para as componentes da tensão na direção i, têm-se 3 3 tensoes na direçao F F ij j i i i n n Fτ + τ = τ � � G G �� � (3.65) onde o vetor unitário normal à superfície do fundo FnG , pode ser escrito em função da definição superfície do fundo dada em (3.58): 1F F F F S h hn i x yS S ⎛∇ ∂ ∂ j k ⎞= = +⎜ ∂ ∂∇ ∇ ⎝ ⎠+ ⎟ G GG GG G G (3.66) Com este resultado, pode-se escrever a CCDSF : 3 F ij i i F j h S x ∂τ + τ = τ ∇∂ G (3.67) Subsídios para Modelagem de Sistemas Estuarinos 277 Capítulo 3 Ressalta-se que na prática 1FS∇ G � . 3.4.2.3. Equação da continuidade promediada na vertical Voltando à integração na vertical da equação da continuidade, substituin- do (3.60) e (3.61) em (3.59), elimina-se as incógnitas nos contornos e obtêm-se: 0 ; ( 1, 2)ih i H u dz i t x ζ − ∂ ∂+ = =∂ ∂ ∫ (3.68) onde H = ζ + h é a altura instantânea da coluna d’água. Note que se for considerada a variabilidade temporal de h, tem-se mais uma incógnita. Na prática a variabilidade temporal de h é desprezível em comparação com a de ζ , por isso é freqüente fazer-se a modelagem de sistemas estua- rinos considerando o fundo fixo no tempo, isto é, supõe-se h(x, y). Entre- tanto, em modelos de fundo móvel, a inclusão da cota do fundo como nova incógnita acarreta na necessidade de mais uma equação. Tal equa- ção seria uma de transporte de sedimentos, mas uma discussão a este res- peito foge do escopo deste capítulo. 3.4.3. Tipos de estuários e modelos pertinentes A decisão sobre o tipo de modelo mais adequado para um determinado fenômeno em um dado corpo d’água é uma questão de custo e benefício. Sem dúvida o modelo mais geral se aplica a qualquer caso, mas os custos envolvidos podem ser muito grandes. Dyer (1986) apresenta uma boa revisão sobre os diferentes tipos de estuários e formas de classifica-los. Em termos de modelagem, dois aspectos são de fundamental importân- cia: a morfologia do estuário e a estrutura hidro-salina. Lista-se alguns exemplos de tipos de modelo e aplicações que dependendo do fenômeno de interesse e do tipo de estuário, possibilitam diferentes simplificações: 1. Modelo tridimensional geral (3Dg), são modelos gerais que incluem todas as equações, pois a hidrodinâmica inclui gradientes de densida- de, isto é considera gradientes de pressão barotrópica e gradientes de pressão de baroclínica. Se aplica a qualquer caso pois é geral. Possui todas as dimensões (x, y, z, t). 2. Modelo tridimensional simples (3D), tem a hidrodinâmica mais simples pois não se inclui gradientes de densidade, isto é, só conside- ra gradientes de pressão barotrópica. Se aplica a corpos d’água que apresentem coluna d’água com densidade homogênea, quando se de- seja obter perfis verticais das variáveis. Também tem todas as dimen- 278 Paulo Cesar Colonna Rosman sões, (x, y, z, t). No caso de sistemas estuarinos, seriam aplicáveis a estuários pouco estratificados, tendendo a verticalmente homogêneos. O transporte de contaminantes pode ser resolvido desacoplado da hi- drodinâmica. 3. Modelo bidimensional na horizontal (2DH), nos quais as variáveis são médias na vertical, i.e. só têm dimensões (x, y, t). Também apli- cável a estuários com pouca estratificação tendendo a verticalmente homogêneos, 4. Modelo bidimensional em perfil (2DV), aplicável em corpos d’água com estratificação de densidade na coluna d’água, mas com pouca variação lateral, usualmente são corpos d’água estreitos. As variáveis médias na lateral terão as dimensões do perfil vertical (x, z, t), supon- do que o eixo x seja o longitudinal e y o transversal. 5. Modelo unidimensional (1D), aplicável a estuários com seção trans- versal homogênea, resultando em variáveis médias na seção transver- sal. Sendo o eixo x o longitudinal, as variáveis têm dimensões (x, t). Pode ser aplicado a estuários de calha única ou com múltiplas calhas formando uma rede de canais. 6. Modelo pontual, com variáveis pontuais, que só variam no tempo. Geralmente são modelos semi-analíticos, aplicáveis a casos específi- cos como canais de ligação de alguns sistemas lagunares. Não se a- borda estes casos neste capítulo. 3.4.4. Modelos tridimensionais (3Dg e 3D) Como a melhor estratégia de cálculo para os modelos 3D depende do modelo 2DH, nas equações a seguir têm-se os índices i e j = 1,2 repre- sentando apenas o plano horizontal, e a dimensão vertical explicitada. A Figura 3.5 apresenta o esquema de coordenadas. 3.4.4.1. Modelos hidrodinâmicos 3Dg e 3D As equações governantes para modelos 3D do escoamento de grande es- cala, com e sem gradientes de densidade, desenvolvidas nos itens anterio- res são resumidas a seguir: Equação da continuidade 3D, vide (3.34): 0i i u w x z ∂ ∂+ =∂ ∂ (3.69) Subsídios para Modelagem de Sistemas Estuarinos 279 Capítulo 3 Equação da continuidade integrada na vertical com fundo fixo, isto é, h = h(x, y), vide (3.68): 0ih i u dz t x ζ − ∂ζ ∂+ =∂ ∂ ∫ (3.70) Equação da quantidade de movimento 3D: N o atm o o (1) (2) (3) (4) 3 o o ( ) 1 1 ; ( , 1,2) i i i d j z j i i i T T ij i i j u u u P Pu w g g dz t x z x x x x a i x z ζ∂ ∂ ∂ ∂ ρ ρ ∂ ∂ i j ∂ζ+ + = − − − −∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ρ ∂ ρ ∂ ⎡ ⎤τ ⎡ ⎤τ∂ ∂+ + =⎢ ⎥ ⎢ ⎥∂ ρ ∂ ρ⎢ ⎥ ⎣ ⎦⎣ ⎦ ∫ + ��� �� �� � � (3.71) onde as tensões viscosas foram desprezadas. Para o modelo 3Dg, as par- celas (3) e (4) do gradiente de pressão podem ser desprezadas, já para o modelo 3D simples usualmente despreza-se também a parcela (2). Equação de estado para sistemas estuarinos: Sρ = α + β (3.72) onde α e β parâmetros em função da temperatura, cf. equação (3.7). Esta equação é necessária apenas se a parcela (2) do gradiente de pressão for considerada em (3.71). Como apresentado em 3.3.1.4, em sistemas estua- rinos as variações de massa específica da água por salinidade são muito maiores que as por temperatura. Assim, na modelagem de sistemas estua- rinos adota-se uma temperatura de referência constante, de modo que a massa específica torna-se uma função linear da salinidade S. Equação do transporte advectivo-difusivo de sal, vide (3.51): 3 3 3 T T T T i ij i j i i j j S S S S S Su w D D D D t x z x x z z x ⎛ ⎞ ⎛∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂+ + = + + +⎜ ⎟ ⎜⎜ ⎟ ⎜∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂⎝ ⎠ ⎝ 3 S z ⎞⎟⎟⎠ (3.73) onde não há termos de reações cinéticas pois na modelagem de sistemas estuarinos, o sal é uma substância conservativa. Esta equação só é neces- sária na modelagem hidrodinâmica se a equação (3.72) for incluída. Algumas estratégias para solução numérica dos modelos 3D são apresentadas no item 3.6. 280 Paulo Cesar Colonna Rosman 3.4.4.2. Modelos 3D para transporte de escalares passivos Para modelagem do transporte de escalares passivos, dado o campo de velocidades pelo modelo hidrodinâmico, a equação a se adotar é seme- lhante à do transporte se sal (3.73) exceto pela inclusão de termos de rea- ções cinéticas: 3 3 33 T T i ij i i j T T j c j C C C C Cu w D D t x z x x z C CD D z x z ⎛ ⎞∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ i R + + = +⎜ ⎟⎜ ⎟∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂⎝ ⎛ ⎞∂ ∂ ∂ + ⎠ + −⎜ ⎟⎜ ⎟∂ ∂ ∂⎝ ⎠ (3.74) Na modelagem de múltiplos escalares, como é comum no caso de modelos de ciclos de substâncias, e.g. ciclo dos compostos do nitrogênio e do fósforo, usa-se uma equação de transporte para cada composto, in- cluindo concentração de bactérias e micro organismos intervenientes. As diversas equações são interligadas através das reações cinéticas. Entre- tanto, este é um assunto suficientemente complexo para exigir uma capí- tulo à parte, e está fora do escopo deste capítulo. 3.4.5. Modelos bidimensionais na horizontal (2DH) As equações governantes dos modelos bidimensionais na horizontal (2DH), são obtidas por promediação na direção vertical das equações tri- dimensionais. Assim, no modelo 2DH, as equações governantes do mo- delo 3D são integradas analiticamente na dimensão vertical, reduzindo a dimensionalidade do problema. Os valores médios na vertical de uma variável qualquer, por exem- plo a componente ui da velocidade da corrente na direção xi, são defini- dos pela seguinte promediação: 1ˆ ( , , ) ( , , , )i ihu x y t u x y z t dzH ζ −= ∫ (3.75) onde, ( , ) ( , , )H h x y x y t= + ζ é a altura instantânea da coluna d’água lo- cal, conforme ilustra a Figura 3.5. Subsídios para Modelagem de Sistemas Estuarinos 281 Capítulo 3 ui ûi xi z NR z = ζ z = –h H Figura 3.5. Esquema de coordenadas para os modelos 3D e 2DH, onde NR é o Nível de Referência. Para o caso do modelo 2DH, ûi exemplifica uma variável promediada na vertical. 3.4.5.1. Modelo hidrodinâmico 2DH Equação da continuidade ou condição de incompressibilidade 2DH: A integração da equação da continuidade ao longo da coluna de água está exposto em detalhes na seção 3.4.2.3. Assim, substituindo a defini- ção de velocidade média na vertical (3.75) em (3.70) obtêm-se direta- mente; ˆ ( ) 0i i u h t x ∂ ζ +∂ζ + =∂ ∂ (3.76) Esta é a forma mais usual da equação da continuidade em um modelo 2DH. Formas alternativas também usuais são: ˆ ˆ( )( ) 0 0i i i i u h u Hh H t x t x ∂ ζ + ∂∂ ζ + ∂+ = ∴ + =∂ ∂ ∂ ∂ Repare que nesta forma até a hipótese de h variar com o tempo seria vá- lida, vide (3.68). Equação de quantidade de movimento 2DH, na direção xi: A integração da equação de quantidade de movimento tridimensional (3.71) ao longo da coluna de água para obtenção do modelo 2DH, segue passos semelhantes ao já mostrados para a equação da continuidade. 282 Paulo Cesar Colonna Rosman Integração dos termos do lado esquerdo da equação (3.71), (LE): Para cada um dos termos do lado esquerdo da equação (3.71), apli- cando-se a regra de Liebniz, pode-se escrever: • Termo de aceleração local: ( )i i i i h h h u hdz u dz u u t t t t ζ ζ ζ − − − ∂ ∂ ∂ζ ∂ −= − +∂ ∂ ∂∫ ∫ ∂ E, usando a condição de escoamento incompressível para reescrever os termos advectivos de modo mais apropriado, obtêm-se: • Termos de aceleração advectiva: ( ) ( )( ) ( ) ( )i j i j i j i j h j j jh h u u hdz u u dz u u u u jx x u ζ ζ ζ −− − ∂ u ∂ ∂ζ ∂ −= − +∂ ∂ ∂ ∂∫ ∫ ( ) ( ) ( )i i i h h u w dz u w u w z ζ ζ − − ∂ = −∂∫ Nas integrações acima, aparecem termos de velocidade na super- fície livre, em z = ζ e no fundo, em z = –h. Em um modelo 2DH não há dimensão z, portanto tais valores não seriam resolvíveis. Entretanto a soma de tais termos é zero. De fato os termos em z = ζ correspondem e- xatamente à identidade da condição de contorno cinemática na superfície livre, cf. equação (3.60), multiplicada por ui. Da mesma forma os termos em z = –h correspondem exatamente à identidade da condição de contor- no cinemática no fundo, cf. equação (3.61), multiplicada por ui. Assim sendo, pode-se grupar os termos integrados do lado esquerdo da equação (3.71), (LE), e escrever: ( ) h LE dz ζ − ∫ ( )i i jh h u dz u u dz t x ζ ζ − − ∂ ∂≡ +∂ ∂∫ ∫ j e usando a definição de média na vertical dada em (3.75) chega-se a ( ) h LE dz ζ − ∫ ( ) n( )ˆ i ji j u u Hu H t x ∂∂≡ +∂ ∂ Note que o termo ni ju u acima não é resolvível em um modelo 2DH porque seu cálculo depende da dimensão z. Este termo representa a Subsídios para Modelagem de Sistemas Estuarinos 283 Capítulo 3 média na vertical do produto de velocidades 3D, i.e. uiuj. O que seria re- solvível em 2DH seria o produto de velocidades médias na vertical, isto é ûiûj. Entretanto, a média do produto não é igual ao produto das médias. Para resolver este problema usa-se o seguinte expediente algébrico: n n( ) dispersao horizontal de quantidade de movimento por unidade de massa ˆ ˆ ˆ ˆi j i j i j i ju u u u u u u u= + − � �� � Na expressão acima, como indicado, a diferença entre a média na vertical do produto das velocidades, e o produto das médias na vertical das velocidades representa uma dispersão horizontal de quantidade de movimento por unidade de massa. Essa dispersão decorre dos perfis ver- ticais de velocidades, e é automaticamente computada em modelos 3D. Entretanto, em modelos 2DH, este mecanismo não pode ser automatica- mente computado pois não há perfis verticais de velocidade. Assim sen- do, para ser incluído no modelo 2DH, o efeito desta dispersão horizontal tem que ser modelado de forma paramétrica através de variáveis 2DH. Reescrevendo a integração do lado esquerdo da equação (3.71) com o expediente algébrico proposto, obtêm-se: ( ) h LE dz ζ − ∫ ( ) ( ) n( )( ) termo de dispersao horizontal a ser modelado ˆ ˆˆ ˆˆ i j i ji ji j j u u u u Hu u Hu H t x x ∂ −∂∂≡ + +∂ ∂ ∂ � ������ As formas mais usuais de se incluir, via modelagem paramétrica, o efeito da dispersão horizontal de quantidade de movimento em modelos 2DH são as seguintes: 1. Via coeficiente de ajuste no produto das médias, cf. McDowell and O’Connor (1977): n n( )ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆi j i j i j i j i ju u u u u u u u u u′= + − = β sendo β' > 1 um coeficiente de ajuste a ser calibrado. Em geral β' é próximo de 1,05 em escoamentos típicos em estuários verticalmente homogêneos. O valor de β' aumenta se a ação do vento for significa- tiva em áreas mais rasas, podendo chegar perto de 1,20. 284 Paulo Cesar Colonna Rosman 2. Via inclusão de termo dispersivo (preferível): n n( ) ˆˆˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ jii j i j i j i j i j V j i uuu u u u u u u u u u K x x ⎛ ⎞∂∂= + − = − +⎜⎜ ∂ ∂⎝ ⎠ ⎟⎟ H (3.77)35 Onde KV é um coeficiente de dispersão horizontal de quantidade de movimento. Esta segunda forma é preferível, por ser mais geral e explicitar claramente a natureza do efeito dispersivo que está sendo modelado. Usualmente o coeficiente de dispersão KV pode ser para- metrizado como: *VK u= α (3.78) sendo α um coeficiente de ajuste a ser calibrado e u* a velocidade de atrito. Em geral α é próximo de 0,1 em escoamentos típicos em estu- ários verticalmente homogêneos. Mas, em modelagens numéricas não é raro encontrar-se valores de α até 100 vezes maior, quando formulações de dispersão tipo Elder são adotados.36 Com a opção do item 2 acima, a integração vertical do lado esquer- do da (3.71), (LE), pode ser escrito como: ( ) h LE dz ζ − ∫ ( ) ( )ˆ ˆ ˆˆ ˆi j ji iV j j j i u u H uu H uHK t x x x x ⎛ ⎞∂ ⎛ ⎞∂∂ ∂∂≡ + − +⎜ ⎟⎜⎜⎜ ⎟∂ ∂ ∂ ∂ ∂⎝ ⎠⎝ ⎠ ⎟⎟ (3.79) Integração dos termos do lado direito da equação (3.71), (LD): Para os termos do lado direito da equação (3.71), pode-se escrever: • Termo do gradiente de pressão barotrópica: i ih g dz g H x x ζ − ∂ζ ∂ζ− = −∂ ∂∫ 35 O sinal do termo dispersivo é negativo, pois o fluxo dispersivo é semelhante ao difu- sivo, proporcional ao gradiente de quantidade de movimento mas no sentido inverso. 36 Em modelagem numérica, uma forma prática de se expressar KV decorre do número de Reynolds da discretização R∆ = û∆x/KV, de onde se obtêm KV = û∆x/R∆. No caso o valor ∆x é a escala de discretização local e R∆ atua como um parâmetro de calibração. Como comentado em 3.3.8, deve-se usar R∆ < 1000. Subsídios para Modelagem de Sistemas Estuarinos 285 Capítulo 3 • Termo do gradiente de pressão baroclínica37: ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ˆ ˆ 2 o o i ih z h o i g dz dz g z x x h g H x ζ ζ ζ − − ⎛ ⎞ ⎛ ⎞∂ ρ ρ ∂ ρ ρ− = − ζ −⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎜ ⎟∂ ∂⎝⎝ ⎠ ζ + ∂ ρ ρ= − ∂ ∫ ∫ ∫ dz⎠ (80) • Termo da aceleração de campo: (81) i i h a dz a H ζ − =∫ • Termos de tensões turbulentas: 3 3 3 ( )Tij T T T ij ij ijz z h j j ih h T T Ti i iz z h h hdz dz ix x x dz z ζ ζ =ζ =−− − ζ =ζ =−− ∂τ x ∂ ∂ζ ∂ −= τ − τ + τ∂ ∂ ∂ ∂τ = τ − τ∂ ∫ ∫ ∫ ∂ Para lidar com os termos de tensões na superfície livre, z = ζ (x,y,t), e no fundo, z = –h(x,y,t), há que se impor condições de contorno dinâmicas em ambas as superfícies. ( ) o (2) o ˆˆ ˆ ( )( )ˆ 2 1 1 ˆ ˆ i i j j i i T S F ij i i i j u u hu g g t x x x H a H x ∂ ∂ ∂ ρ ρ∂ζ ζ ++ = − − +∂ ∂ ∂ ∂ ⎡ ⎤∂ τ + τ − τ +⎢ ⎥ρ ∂⎢ ⎥⎣ ⎦ ��� �� (3.82) onde os termos de Coriolis são: 37 Por suposto faz mais sentido usar um modelo 2DH se a massa específica tender a ser homogênea na vertical, isto é ˆρ ρ� . 286 Paulo Cesar Colonna Rosman 1 2 ˆ ˆ 2 sen ˆ ˆ 2 sen x y a a v a a ˆ uˆ ≡ = Ω θ ≡ = − Ω θ (3.83) O termo (2), é a parcela do gradiente horizontal de pressão baroclí- nica devido às variações horizontais da densidade média na vertical. Tal termo em geral é desprezível em modelos 2DH. Os termos e Si F iτ τ são as tensões de atrito na superfície livre e no fundo, que resultam das con- dições de contorno dinâmicas em SL e SF na integração dos termos de tensão turbulenta. A tensão na superfície livre é parametrizada como: 210 cos S i ar DC U iτ = ρ ϕ (3.84) sendo ρar a massa específica do ar (~1,2 kg/m3 a 20oC), U10 a velocidade do vento a dez metros da superfície da água, CD o coeficiente de arraste do vento na superfície livre [Wu, J. 1982], e ϕi o ângulo que o vento faz com a direção xi. Quando o modelo 2DH é um modelo independente, desacoplado de um modelo 3D, a tensão de atrito no fundo é calculada através de: (3.85) 2 2 1/ 2o ˆ ˆ( ) F i fC u v uτ = ρ + ˆi sendo Cf o coeficiente de atrito no fundo. Cf pode ser obtido via coefici- ente de Chézy (Ch), como segue: 2f h gC C = (3.86) onde 618logh HC ⎛= ⎜ ⎞⎟ε⎝ ⎠ (3.87) sendo ε a amplitude da rugosidade equivalente do fundo [Abbot e Basco, 1989]. Quando o modelo 2DH é parte de um modelo 3D, como se mostra no item 3.6.1.1.1, a tensão de atrito no fundo é calculada através da velo- cidade de atrito. Para tal, admite-se um perfil logarítmico de velocidades entre o fundo e o primeiro ponto de cálculo logo acima, no qual a veloci- dade foi computada. Através do perfil analítico admitido, a velocidade de atrito, e por conseqüência, a tensão de atrito no fundo são determinadas. Subsídios para Modelagem de Sistemas Estuarinos 287 Capítulo 3 Comparando com (3.42), as tensões turbulentas laterais médias na vertical, , que são fundamentais para a obtenção de modelos com boa capacidade previsiva, podem ser modeladas como: ˆTijτ 2 o com , 1 e 2 ; 1,2,4 ˆ ˆ ˆˆ ˆ ( ) 24 T ij j j ji k i i ij V j i k k k k i j k u uu u u K K ˆˆ u x x x x x = = ⎛ ⎞τ ∂ ⎛ ∂∂ Λ ∂ ∂= + + + +⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎜ ⎟⎜ ⎟ρ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂⎝ ⎠⎝ ⎠ x ∂ ⎞ ∂ (3.88) onde a dimensão “3” não existe, e a dimensão “4” é o tempo, x4 ≡ t. Kij é um coeficiente horizontal de difusão turbulenta de quantidade de movi- mento; KV é um coeficiente de dispersão horizontal de quantidade de mo- vimento que aparece devido à perda da advecção diferenciada ao longo da vertical. Λk tem a mesma definição dada na equação (3.42). Equação de estado 2DH ˆˆ Sρ = α + β (3.89) onde α e β são parâmetros em função da temperatura, cf. equação (3.7). Esta equação é necessária apenas se a parcela (2) do gradiente de pressão for considerada em (3.82). Equação do transporte advectivo-difusivo de sal, vide (3.51): ˆ ˆ 1 ˆˆ Ti i i S S Su HD t x H x x ⎛ ⎞ˆ ij j ∂ ∂ ∂ ∂+ = ⎜⎜∂ ∂ ∂ ∂⎝ ⎠ ⎟⎟ (3.90) Esta equação só é necessária na modelagem hidrodinâmica se (3.89) for incluída. 3.4.5.2. Modelo 2DH para transporte de escalares passivos Para a modelagem 2DH do transporte de escalares passivos, integra-se na vertical a equação (3.74), obtendo-se: ˆ ˆ ˆ1 ˆˆ Ti ij i i j C C Cu HD t x H x x ⎛ ⎞∂ ∂ ∂ ∂ ˆ cR+ = ⎜ ⎟⎜ ⎟∂ ∂ ∂ ∂⎝ ⎠ + (3.91) onde os possíveis fluxos na superfície livre e no fundo que venham a re- presentar produção ou consumo do escalar, estão incluídos no termo ge- 288 Paulo Cesar Colonna Rosman nérico de reações cinéticas. Vale notar que se a equação (3.91) for em- pregada para modelagem do transporte de sedimentos em suspensão, os processos de erosão e deposição no fundo têm que ser incluídos como reações de produção e consumo de sedimentos. Como no caso 3D, vide 3.4.4.2, na modelagem de múltiplos escala- res, é necessário uma equação de transporte para cada escalar. No caso de escalares compostos as equações serão interligadas através das reações cinéticas. 3.4.6. Modelos bidimensionais em perfil vertical (2DV) As equações do modelo 2DV para sistemas estuarinos, são semelhantes às apresentadas no Capítulo 2 deste livro. Uma dedução detalhada pode ser vista em Paiva (1992). Modelos 2DV para sistemas estuarinos são relativamente pouco usados, já que sua aplicação se restringe a estuários estreitos com significativa estratificação vertical. Além disso, por conta do aumento da capacidade dos computadores, está se tornando mais fre- qüente o emprego de modelos 3Dg em situações onde modelos 2DV se- riam aplicáveis. x y z b(x, z) NR Figura 3.6. Esquema de ccordenadas para o modelo 2DV, onde NR é o Nível de Referência, e b(x,z) é a largura da calha. Supondo que o eixo x seja o longitudinal, seguindo o curso do estu- ário pelo meio da calha, como ilustra a Figura 3.6, pode-se definir uma variável média na lateral, por exemplo a velocidade na direção i, através da seguinte promediação: ( , , )iu x z t � Subsídios para Modelagem de Sistemas Estuarinos 289 Capítulo 3 / 2 / 2 1( , , ) ( , , , ) ; 1 e 3 b i ib u x z t u x y z t dy i b − = ∫� = (3.92) onde, b(x, z) é a largura da calha no nível z da seção x. 3.4.6.1. Modelo hidrodinâmico 2DV Promediando-se as equações governantes do modelo 3Dg, vide item 3.4.4, conforme indicado em (3.92), obtêm-se as equações do modelo 2DV, que podem ser escritas como: Equação da continuidade ou condição de escoamento incompressível 2DV, que resulta da promediação lateral de (3.69): 0ub wb x z ∂ ∂+ =∂ ∂ � � (3.93) Equação da continuidade, ou condição de escoamento incompressí- vel, 1D, que resulta da promediação lateral de (3.70): ( , ) ( , , ) 0 h b x u x z t dz t x ζ − ∂ζ ∂ζ +∂ ∂ ∫ � = (3.94) onde b(x, ζ) é a largura da calha na superfície livre, na seção transversal x no tempo t. Equação de quantidade de movimento 2DV, na direção x: Integrando-se (3.71) ao longo da largura obtêm-se o (2) com 1 e 3 o o ( )( ) ; j z j T L xj j j uu bub gb g b dz t x x x b x ζ = ∂ ⎛ ⎞∂ ∂ζ ∂ ρ+ = − − +⎜ ⎟∂ ∂ ∂ ∂ ρ⎝ ⎠ ⎡ ⎤τ τ∂ −⎢ ⎥∂ ρ ρ⎢ ⎥⎣ ⎦ ∫ �� �� ���� ��� � (3.95) onde o termo (2), é a parcela do gradiente de pressão devido a variações longitudinais e verticais na densidade média na lateral. Só há justificativa na utilização de modelos 2DV com a inclusão do termo (2). O termo τL representa as tensões de atrito nas laterais da calha (perímetro hidráuli- co), que resultam das condições de contorno dinâmica na superfície da calha, quando se integra os termos de tensão turbulenta. 290 Paulo Cesar Colonna Rosman No modelo 2DV, a tensão de atrito lateral é calculada de modo se- melhante à tensão de atrito no fundo (3.84), isto é:38 (3.96) 2 2 1/ 2o ( ) L fC u w uτ = ρ +� � � sendo Cf o coeficiente de atrito, obtido da mesma forma que no caso da tensão de atrito no fundo, ou seja, via coeficiente de Chézy: 2 6 ; 18log Hf h h RgC C C ⎛= = ⎜ ⎞⎟ε⎝ ⎠ (3.97) onde a única diferença em relação a (3.87) está na troca de H pelo raio hidráulico da seção, RH. Como no caso anterior ε é a amplitude da rugo- sidade equivalente. Comparando com (3.88), as tensões turbulentas médias na transver- sal, , que são fundamentais para a obtenção de modelos com boa ca- pacidade previsiva, também podem ser modeladas através do emprego de filtros Gaussianos, como: T xjτ� 2 o com 1 e 3 ; 1,3,4 ( ) 24 T xj j j jk xj L j k k j k u uu uE E k k uu x x x x x = = ⎛ ⎞τ ∂ ⎛ ∂Λ∂ ∂ ∂= + + + +⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎜ ⎟⎜ ⎟ρ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂⎝ ⎠⎝ ⎠ � � �� � x ∂ ⎞ ∂ �� (3.98) onde a dimensão “2” não existe, e a dimensão “4” é o tempo, i.e. x4 ≡ t. Exj é um coeficiente de difusão turbulenta de quantidade de movimento; EL é um coeficiente de dispersão de quantidade de movimento que apare- ce devido à perda da advecção diferenciada ao longo da lateral, e Λk tem a mesma definição dada na equação (3.42). Uma discussão sobre a mode- lagem de tais termos á apresentada por Eiger no item 2.3.1.4 do Capítu- lo2 deste livro, para o caso de reservatórios. A leitura do item é recomen- dada, pois vários dos aspectos abordados são pertinentes ao caso dos mo- delos 2DV para de sistemas estuarinos. Paiva (1992) apresenta detalhes da modelagem de tais termos. Em geral, em modelos 2DV não é relevan- te a inclusão da tensão na superfície livre, como condição de contorno para , que neste caso também seria definida pela equação (3.84). Txjτ� 38 A inclusão da componente vertical da velocidade na fórmula é apenas por generali- dade, pois seu valor em geral é insignificante. Subsídios para Modelagem de Sistemas Estuarinos 291 Capítulo 3 Equação de estado 2DV: Sρ = α + β�� (3.99) onde α e β parâmetros em função da temperatura, que podem ser calcu- lados como indicado na equação (3.7). Equação do transporte advectivo-difusivo de sal 2DV, vide (3.51): ˆ Ti ij i i u SbSb SbD t x x x ⎛ ⎞∂ j ∂ ∂ ∂+ = ⎜⎜∂ ∂ ∂ ∂⎝ ⎠ � �� � ⎟⎟ (3.100) 3.4.6.2. Modelo 2DV para transporte de escalares passivos Para a modelagem 2DV do transporte de escalares passivos, integra-se na lateral a equação (3.74), conforme sugerido em (3.92), obtendo-se: Ti ij c i i j u CbCb CbD R b t x x x ⎛ ⎞∂∂ ∂ ∂+ = +⎜ ⎟⎜ ⎟∂ ∂ ∂ ∂⎝ ⎠ �� �� � � (3.101) onde, em similaridade ao caso 2DH, os possíveis fluxos no perímetro da calha que venham a representar produção ou consumo do escalar, devem ser incluídos no termo genérico de reações cinéticas. Como no caso 3D, vide 3.4.4.2, na modelagem de múltiplos escalares, é necessário uma e- quação de transporte para cada escalar. Quando os escalares são compos- tos, as equações devem ser interligadas através das reações cinéticas. 3.4.7. Modelos unidimensionais (1D) Os modelos 1D podem ser desenvolvidos de duas formas: ou pela inte- gração dos modelos 2DV ao longo da vertical ou pela integração dos modelos 2DH ao longo da lateral. De qualquer modo, as equações resul- tantes serão as mesmas, e representarão variáveis médias na seção trans- versal. Supondo que o eixo x seja o longitudinal, seguindo o curso do estu- ário pelo meio da calha, como ilustra a Figura 3.6, pode-se definir uma variável média na seção transversal, por exemplo a velocidade U(x, t), através das seguintes promediações: / 2 / 2 1 1ˆ( , ) ( , , ) ( , , ) b b h U x t Hu x y t dy bu x z t dz b H ζ − −= =∫ ∫ � (3.102) 292 Paulo Cesar Colonna Rosman onde, estão indicadas as duas formas alternativas de se obter a variável média na seção transversal. 3.4.7.1. Modelo hidrodinâmico 1D É mais fácil deduzir as equações do modelo 1D por integração lateral do modelo 2DH. Integrando as equações do modelo 2DH, apresentadas em 3.4.5.1, obtêm-se as seguintes equações: Equação da continuidade ou condição de escoamento incompressível 1D, que resulta da promediação lateral de (3.76): 0A UA t x ∂ ∂+ =∂ ∂ (3.103) sendo A(x, t) a área hidráulica função do nível d’água instantâneo ζ(x, t) da seção transversal na posição x. Em sistemas estuarinos afeitos à mode- lagem 1D, em geral é suficiente modelar-se a área hidráulica como um trapézio, como indicado na Figura 3.7, podendo-se escrever: ( ) (d e( , ) 2 m m A x t h b h +⎛= ζ + + ζ +⎜⎝ ⎠) ⎞⎟ (3.104) b(x) 1 me(x) 1 md(x) z = −h(x) z = ζ(x, t) Figura 3.7. Esquema de modelagem da área hidráulica como um trapézio, definido pela largura e cota negativa da base, respectivamente b(x) e h(x), pela cota instantânea da superfície livre ζ(x,t ) e pelos taludes das margens direita e esquerda md(x) e me(x). Na aplicação de (3.104) a sistemas estuarinos e recomendável defi- nir-se os parâmetros geométricos, principalmente a largura e a cota nega- tiva da base, de modo a que a área hidráulica natural e a área trapezoidal modelo tenham o mesmo raio hidráulico em relação ao nível médio da água. Se as seções transversal de um estuário são complexas a ponto de não se conseguir bons resultados com seções trapezoidais modelo, reco- menda-se usar um modelo 2DH com malha ajustada ao domínio. Com a Subsídios para Modelagem de Sistemas Estuarinos 293 Capítulo 3 capacidade dos computadores atuais, não há uma boa justificativa para se considerar seções transversais multi-poligonais, comuns em modelos 1D de décadas passadas. Equação de quantidade de movimento 1D: Integrando-se (3.82) ao longo da largura obtêm-se ( ) o (2) o ( )( ) ( ) 2 1 h i T S L H HUA UUA gA gA t x x x A b p x ζ C ∂ ρ ρ∂ ∂ ∂ζ+ = − − +∂ ∂ ∂ ∂ ∂⎛ ⎞τ + τ − τ⎜ ⎟ρ ∂⎝ ⎠ � ��� �� (3.105) que á a chamada forma conservativa da equação de quantidade de movi- mento 1D, onde bζ é a largura da seção na linha d’água, e pH é o períme- tro hidráulico da seção. A forma não conservativa resulta da aplicação da equação da continuidade 1D na expansão das derivadas no lado esquerdo de (3.105), chegando-se a: ( ) o (2) o ( ) 2 1 1 h i T S L H HU UU g g t x x x A b p A x ζ C ∂ ρ ρ∂ ∂ ∂ζ+ = − − +∂ ∂ ∂ ∂ ∂⎛ ⎞τ + τ − τ⎜ ⎟ρ ∂⎝ ⎠ � ��� �� (3.106) onde, em ambas as equações, o termo (2), é o gradiente de pressão devi- do a variações longitudinais na densidade média na seção transversal, o(ρ ρ )� sendo Hh a profundidade hidráulica da seção39. Em geral não se inclui o termo (2) na modelagem da hidrodinâmica 1D de sistemas estua- rinos. Os termos τS e τC são as tensões de atrito na superfície livre e na calha (perímetro hidráulico), que resultam das condições de contorno di- nâmicas na superfície livre e na superfície da calha, quando se integra os termos de tensão turbulenta. Em geral, em modelos 1D não é relevante a inclusão da tensão na superfície livre, que se incluída, também pode ser definida pela equação (3.84). 39 Em seções naturais geralmente a largura bζ é muito maior que a profundidade, e por- tanto, aproximadamente igual ao perímetro hidráulico pH. E neste caso, pela mesma razão, a profundidade hidráulica é aproximadamente igual ao raio hidráulico, RH, da seção. 294 Paulo Cesar Colonna Rosman No modelo 1D, a tensão de atrito na calha é calculada de modo semelhante à tensão de atrito no fundo (3.84), isto é: o C fC U Uτ = ρ (3.107) sendo Cf o coeficiente de atrito, obtido da mesma forma que nos modelos 2DH e 2DV, ou seja, via coeficiente de Chézy: 2 6 ; 18log Hf h h RgC C C ⎛= = ⎜ ⎞⎟ε⎝ ⎠ (3.108) onde RH = A/pH é o raio hidráulico da seção. Como no caso anterior ε é a amplitude da rugosidade equivalente do fundo. Nas deduções de modelos hidrodinâmicos 1D apresentados em li- vros de hidráulica de canais, (equações de Saint Venant), não aparece um termo de tensão longitudinal média na seção transversal, τL. Entretanto se a equação for deduzida a partir do modelo tridimensional geral, como indicado neste capítulo, a tensão longitudinal existe. Em geral seu valor é pequeno se o escoamento for pouco variado, mas pode ser significativo em escoamentos muito variados. É comum a não inclusão de tal termo, sendo seus efeitos incorporados no termo de tensão na calha, τC. Entre- tanto a inclusão do termo pode trazer benefícios na modelagem numérica, já que é um termo dissipativo. Em paralelo com a modelagem nos mode- los 2DH e 2DV, também se pode modelar τL através do emprego de fil- tros Gaussianos, como: 2 com ; 1 e 4 o ; 12 L k kL k k U U UK x x x = Λτ ∂ ∂ ∂= +ρ ∂ ∂ ∂ (3.109) onde a dimensão “4” é o tempo, i.e. x4 ≡ t. KL é um coeficiente que incor- pora os efeitos de difusão turbulenta e dispersão longitudinal de quanti- dade de movimento que aparece devido à perda da advecção diferenciada ao longo da seção transversal, e Λk tem a definição dada na equação (3.42). Equação de estado e de transporte de sal, 1D: Sρ = α + β�� (3.110) Subsídios para Modelagem de Sistemas Estuarinos 295 Capítulo 3 onde a densidade e a salinidade, e Sρ �� , são valores médios na seção transversal, sendo α e β parâmetros em função da temperatura, que po- dem ser calculados como indicado na equação (3.7). Equação do transporte advectivo-difusivo de sal 1D, vide (3.51): 1 L S S SU AD t x A x ⎛ ⎞ x ∂ ∂ ∂ ∂+ = ⎜ ⎟∂ ∂ ∂ ∂⎝ ⎠ � � � (3.111) onde DL é um coeficiente de difusão e dispersão longitudinal. Esta equa- ção e a de estado, só são necessárias em um modelo 1D, se o termo (2) for incluído em (3.105) ou (3.106). 3.4.7.2. Modelo 1D para transporte de escalares passivos Para a modelagem 1D do transporte de escalares passivos, integra-se na lateral a equação (3.91), conforme sugerido em (3.102), obtendo-se: 1 L C C CU AD t x A x x ⎛ ⎞∂ ∂ ∂ ∂ cR+ = ⎜ ⎟∂ ∂ ∂ ∂⎝ ⎠ + � � � � (3.112) onde C � é a concentração média na seção transversal. De modo similari- dade aos casos 2DH e 2DV, os possíveis fluxos no perímetro da calha que venham a representar produção ou consumo do escalar, devem ser incluídos no termo genérico de reações cinéticas. Como exemplo, cita-se o caso de processos de erosão e sedimentação quando o escalar passivo é a massa de sedimentos em suspensão. Como no caso 3D, vide 3.4.4.2, na modelagem de múltiplos escalares, é necessário uma equação de trans- porte para cada escalar. Quando os escalares são compostos, as equações devem ser interligadas através das reações cinéticas. 3.5. Modelo Lagrangeano para transporte de escalares passivos Freqüentemente na modelagem de sistemas estuarinos tem que se lidar com problemas práticos envolvendo transporte de contaminantes, nos quais as seguintes dificuldades existem: 1. Região fonte com dimensões diminutas em relação ao domínio de interesse, i.e., o domínio do modelo hidrodinâmico. 296 Paulo Cesar Colonna Rosman 2. Plumas contaminantes muito pequenas ou com fortes gradientes em relação à discretização da malha do modelo hidrodinâmico. 3. Transporte de frentes de contaminação com fortes gradientes de concentração. Os modelos convencionais baseados na equação de transporte ad- vectivo-difusivo, vide por exemplo (3.74) e (3.91), apresentam dificulda- des numéricas para resolver adequadamente os problemas mencionados, se forem baseados na mesma malha de discretização espacial dos mode- los hidrodinâmicos. Técnicas Eulerianas-Lagrangeanas tem sido aplica- das, mas padecem basicamente do mesmo problema fundamental: inter- polar nas dimensões da malha hidrodinâmica concentrações de pontos de uma pluma contaminante com escalas incompatíveis com as da malha. Apresenta-se a seguir uma técnica de modelagem Lagrangeana, pa- ra o transporte de escalares passivos onde a incógnita básica não é a con- centração mas a posição de partículas discretas, e onde o que se interpola são as velocidades obtidas pelo modelo hidrodinâmico40. Nesta técnica, a massa do escalar lançado no corpo d’água é discretizada em múltiplas partículas, cujas trajetórias tem que ser determinadas. Cada partícula re- presenta o centro de massa de uma pequena mancha contaminante com uma dada distribuição de concentrações. A somas das manchas de todas as partículas reproduz a distribuição de concentrações do escalar no mei- o, isto é C (x,y,z,t), que é a incógnita dos modelos convencionais. Portan- to, com esta técnica calcula-se as concentrações de modo indireto. Para se aplicar um modelo como tal, é necessário primeiro a defini- ção do campo de velocidades que ira realizar o transporte advectivo. O emprego de poucos valores de correntes medidos ao longo do tempo em poucos pontos próximos à fonte emissora do contaminante como base para o transporte advectivo, não é aceitável. Os valores de corrente medi- dos são muito importantes, não apenas para as determinações básicas per- tinentes ao campo próximo da fonte, como também para auxiliar na cali- bragem de um modelo hidrodinâmico. Entretanto, tais medições em pou- cos pontos não permitem que se determine adequadamente todo um cam- po de correntes, bastante variável espacialmente, que fará o transporte advectivo da pluma contaminante. O modelo apresentado representa o espalhamento de uma mancha ou pluma de contaminante lançada através de uma fonte em um corpo de água, com o campo de velocidades calculado por meio do modelo mate- mático hidrodinâmico 3Dg ou 3D descrito em 3.4.4.1. Entretanto, as téc- 40 Santos (1995) e Horita (1997). Subsídios para Modelagem de Sistemas Estuarinos 297 Capítulo 3 nicas apresentadas podem ser facilmente adaptadas para modelos 2DH, 2DV e 1D. Para início do processo, considera-se que um número finito de partículas é lançado em cada intervalo de tempo no interior de uma área fonte, tendo o centro coincidente com a fonte contaminante. A fonte pode ser pontual ou em linha, e a área fonte, tendo a fonte centrada, re- presenta o campo próximo da fonte. No instante de lançamento, cada partícula é posicionada aleatoria- mente dentro da área fonte. As dimensões desta área devem ser suficien- tes para que em seu interior se processe o estabelecimento de uma man- cha efluente passiva em relação às águas do corpo receptor. Geralmente uma distância equivalente a duas vezes a profundidade no entorno da fonte é suficiente. O modelo é válido somente para o campo afastado da região dos possíveis jatos existentes na fonte emissora. A relação entre o número de partículas lançadas e a vazão do con- taminante na unidade de tempo (concentração × vazão da fonte) permite calcular a massa de cada partícula lançada. Dada uma vazão Qe na fonte, com concentração Ce de um contaminante, determina-se a massa equiva- lente de contaminante em cada partícula lançada pela seguinte expressão: e e p Q C t M N ∆= (3.113) onde Np/∆t é o número de partículas lançadas por intervalo de tempo. O transporte advectivo da nuvem de partículas já lançadas, em cada instante, é definido através da trajetória de cada partícula, calculando-se sua posição a cada tempo (n+1)∆t, Pn+1. Para tal utiliza-se expansão em série de Taylor a partir da posição anterior Pn, no instante n∆t, como in- dicado; 2 2 1 2 T.A.O2! n n n n dP t d PP P t dt dt + ∆= + ∆ + + (3.114) onde T.A.O são termos de alta ordem desprezados. As derivadas tempo- rais da posição, P, são obtidas a partir do campo de velocidades calcula- do pelo modelo hidrodinâmico da seguinte forma; 2 2 ( , , )dP u v w dt d P d u v w dt t x y zdt = ∂ ∂ ∂ ∂= = + + +∂ ∂ ∂ ∂ V V V V V V G G G G G G (115) 298 Paulo Cesar Colonna Rosman As velocidades, ( , , )u v wV G , para o transporte advectivo das partícu- las, seguem as velocidades das correntes do corpo receptor, que variam temporal e espacialmente, de acordo com os forçantes locais, no caso de sistemas estuarinos, a maré o vento e as vazões fluviais. Está implícito no método que o contaminante é suposto passivo, e que portanto sua presen- ça não interfere com a hidrodinâmica do ambiente receptor. De modo a simular o efeito da difusão turbulenta ambiente no espalhamento das par- tículas, introduz-se um desvio de velocidade vG , que é somado à velocida- de de advecção determinada pelo modelo hidrodinâmico. Tal desvio pode ser obtido diretamente através das derivadas espaciais das difusividades turbulentas, se o modelo de turbulência for adequado. Entretanto, em ge- ral é mais simples adotar um desvio de velocidade vG aleatório, isto é, o valor do desvio é calculado através de um sorteio, cuja escala é baseada na formulação das difusividades turbulentas. Por exemplo, mantendo consistência com o modelo de turbulência apresentado em (3.42), tal fun- ção poderia ser: 2 24 k ij kxt ⎛ ⎞Λα= υ +⎜⎜ ∂∆ ⎝ ⎠ Vv V ∂ ⎟⎟ GG G (3.116) onde α é uma função aleatória que varia no intervalo [-1, 1]. Quando se simula o transporte de substâncias bem misturadas na coluna d’água, é adequado usar o campo de velocidades do modelo 2DH, que é promediado na vertical. No caso de substâncias flutuante, ou de plumas contaminantes ocupando apenas uma faixa da coluna d’água, são usados os valores de velocidade de corrente na superfície livre, ou no ní- vel adequado, obtidos dos perfis de velocidade resultantes do modelo 3D. Para se calcular as concentrações em um dado instante, define-se uma grade de distribuição dentro da qual toda a nuvem de partículas este- ja contida com uma folga de cerca de 10% do tamanho da nuvem em ca- da extremidade da mancha. Conhecida a posição de uma dada partícula, reparte-se a massa da partícula por cada célula da grade associada. Por exemplo, considere uma partícula de massa M(t) em um dado instante posicionada em (x, y, z), e N células da grade, sendo a posição do centro de uma célula genérica i definida por (xi, yi, zi). Distribui-se a massa M(t) pelas N células de acordo com uma função de distribuição especificada. Por exemplo, no caso mais simples toda a massa M(t) é colocada na célu- la na qual se encontra a partícula, ou seja, a função de distribuição f(xi, yi, zi), seria um delta de Dirac. Tal procedimento simplificado é adequado quando o tamanho da célula é grande em relação à mancha associada a Subsídios para Modelagem de Sistemas Estuarinos 299 Capítulo 3 uma dada partícula. Quando a mancha associada a uma partícula é grande em relação ao tamanho das células, pode-se usar uma função de distribu- ição Gaussiana: 2 2 2 2 2 ( ) ( ) ( ) ( , , ) exp i i ii i i x y z 2x x y y z z f x y z ⎛ ⎞− − −= − − −⎜ ⎟⎜ ⎟σ σ σ⎝ ⎠ (3.117) onde as variâncias relacionam-se com os coeficientes de difusão turbu- lenta através de: 21 2 i i d D dt σ= (3.118) Com tal função faz-se uma divisão da massa da partícula pelas células que estejam contidas na mancha associada à partícula. O tamanho da mancha associada a uma partícula pode ser facilmente estimado se for suposta uma distribuição Gaussiana de concentrações para a mancha, e definida uma concentração mínima detectável, Horita (1997). Desta forma o tamanho da mancha depende de sua massa, o que implica no se- guinte: 1. Se o número de partículas for relativamente pequeno as man- chas associadas serão grandes, e a massa da partícula poderá ter que ser dividida em mais de uma célula. 2. Se o número de partículas for suficientemente grande, as man- chas associadas serão muito pequenas, podendo-se alocar toda a massa da partícula para a célula que a contém. A decisão sobre o número de partículas a se adotar é uma questão de efi- ciência computacional, e varia de caso para caso. Principalmente se o contaminante for não conservativo, pois com o passar do tempo o tama- nho da mancha tende a aumentar com o crescimento da variância, mas por outro lado tende a diminuir com o decaimento da massa. Com o exposto, pode-se verificar que em um dado instante t após o lançamento da partícula de massa M, a parcela de massa mi que seria alocada à célula com centro na posição (xi, yi, zi) seria definida por: 1 ( ) ( , , ) ( , , ) ( , , ) i i i i i i i NC n n n n M t f x y z m x y z f x y z = = ∑ (119) onde NC é o número de células que receberam massa da partícula. 300 Paulo Cesar Colonna Rosman Em um dado instante t o valor da massa M de uma dada partícula depende das reações cinéticas de produção ou consumo definidas. Por exemplo, para algumas substâncias um decaimento de primeira ordem é adequado, e pode-se escrever: 0( ) exp( )d vM t M K t= − (120) onde M0 é a massa da partícula no instante de seu lançamento na região fonte, Kd a constante de decaimento e tv o tempo de vida da partícula. No caso de se analisar o transporte de alguns microorganismos e bactérias a constante de decaimento pode ser convenientemente escrita como: 90 ln(0,1) dK T = − (121) sendo T90 o tempo necessário para um decaimento de 90%. No caso de contaminantes flutuantes pode existir decaimento em função da evaporação, e freqüentemente a função de decaimento verifi- cada para condições meteorológicas permanentes é do tipo assintótico, por exemplo: 0( ) 1 v v bt M t M a t ⎛ ⎞= −⎜ +⎝ ⎠⎟ (122) onde a e b são coeficientes que para um dado produto, dependem de pa- râmetros ambientais. A cada instante, a concentração do contaminante em cada célula da grade é obtida somando-se todas as parcelas de massa mi de contaminan- te alocadas à célula, e dividindo-se a soma pelo volume da célula. Tal volume pode ser variável no tempo, em função da variação no nível d’água com a maré. No caso de contaminantes flutuantes, é comum con- siderar uma espessura de mistura vertical equivalente à metade da altura da onda de vento média no local. Os modelos de trajetórias de partículas não perdem massa, não a- presentam oscilações nem difusões numéricas, resolvem muito bem gra- dientes fortes e frentes de concentração. Representam uma alternativa cada vez mais empregada no lugar das equações de transporte advectivo- difusivo. Mesmo para determinação de salinidades em um sistema estua- rino é possível se adotar um esquema de trajetória de partículas. Subsídios para Modelagem de Sistemas Estuarinos 301 Capítulo 3 3.6. Estratégia geral para desenvolvimento de modelos numéricos Como mencionado no início do capítulo, modelos numéricos são como diferentes arranjos para uma mesma música, ou seja, as possibilidades de variação são inúmeras. Entretanto, quando se lida com modelos comple- xos como sistemas estuarinos é muito fácil desenvolver modelos numéri- cos cuja solução representaria elevadíssimos custos computacionais. Mo- delos baseados em esquemas explícitos de modo geral são consideravel- mente menos eficientes que modelos implícitos, e não serão abordados neste item. A questão chave na viabilidade de um modelo numérico, que por suposto seja uma tradução consistente do modelo matemático que pretende resolver, está na eficiência do algoritmo quanto à rapidez de cál- culo e uso de memória, nesta ordem. Apresenta-se neste item uma estratégia geral muito eficiente para desenvolvimento de modelos numéricos, que traduzam consistentemente os modelos matemáticos apresentados para sistemas estuarinos. A estra- tégia é baseada em um Método de Substituições Sucessivas, (MSS), de modo que não haja várias incógnitas sendo resolvidas simultaneamente em um mesmo sistema de equações. Com o desacoplamento das diversas equações através da discretização temporal, resolve-se apenas uma in- cógnita de cada vez. Com os modelos numéricos desacoplados minimiza- se os sistemas de equações a serem resolvidos, bem como a memória ne- cessária. Apenas as discretizações temporais serão apresentadas, de modo a formar o esquema de cálculo. 3.6.1. Modelo numérico desacoplado para circulação hidrodinâmica 3Dg e 2DH em sistemas estuarinos No esquema que segue, os modelos 3Dg e 2DH são resolvidos como mó- dulos numéricos de um modelo numérico geral 3Dg, ou 3D se os gradi- entes de densidade não forem incluídos. Entretanto, com as modificações na tensão de atrito do fundo indicadas no texto, o módulo 2DH pode ser resolvido como um modelo 2DH independente. 3.6.1.1. Objetivo e estratégia de cálculo Resolver o escoamento de grande escala em sistemas estuarinos com modelagem matemática definida nos itens 3.4.4 e 3.4.5.1, supondo o fun- do fixo, isto é, a superfície do fundo é z = –h(x, y). As incógnitas básicas são: 302 Paulo Cesar Colonna Rosman ζ (x, y, t): posição do nível d’água u (x, y, z, t): componente da velocidade na direção x v (x, y, z, t): componente da velocidade na direção y w (x, y, z, t): componente da velocidade na direção z ρ (S(x, y, z, t)): massa específica da “água” S (x, y, z, t): salinidade. A estratégia geral de cálculo é: 1. obtenção de ζ através do módulo 2DH. 2. obtenção de u, v e w, via módulo 3D. 3. obtenção de por integração numérica na vertical de u e v. ˆ ˆe u v 4. obtenção de S e ρ. 5. volta ao primeiro passo até final da simulação. 3.6.1.1.1. Módulo 2DH para obtenção de ζ (x, y, t ) A discretização temporal é feita de modo a permitir a explicitação de nas equações de quantidade de movimento dando início ao processo de substituições do MSS que resultarão no cálculo de ζ (x, y, t). Para tal, o método do fatoramento implícito, descrito no Capítulo 3 do Volume 1 desta série, é usado e algumas extrapolações são necessárias. A seguinte notação é adotada: ˆ e de u+ vˆ+ Notação: (...)+ indica variável no instante t+∆t; (...)# indica variável ex- trapolada em t+∆t ; (...) sem superescrito indica variável no instante t; (...)– indica variável no instante t-∆t; (...)⊗ indica variável extrapolada e (...)* indica variável interpolada no instante t+½∆t. Por exemplo: ( ) (# 1 12 3 * 2 2 u u u u u u u u u )− ⊗ −= − = − = + + (3.123) Discretização da equação da continuidade 2DH, vide (3.76) ( ) ( ) ( ) ( ) ˆ ˆ2 ˆ ˆ 0 u h u h t x v h v h y + + + + + ζ − ζ ∂ ⎡ ⎤+ + ζ + + ζ +⎣ ⎦∆ ∂ ∂ ⎡ ⎤+ ζ + + ζ =⎣ ⎦∂ (3.124) Discretização da equação da quantidade de movimento 2DH, (3.82): Direção x: Subsídios para Modelagem de Sistemas Estuarinos 303 Capítulo 3 ( ) ( ) ( ) ( ) # o o ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ1 1ˆ ˆ ˆ 2 2 1 1 ˆ ˆ 2 2 ˆ ˆˆ( ) 1 ˆ 2 T T xx xy S x u u u u uu u v t x x y g u u x H HHg f x H x y ⊗+ + + ⊗ + ⊗ ⎛ ⎞− ∂ ∂ ∂+ + + =⎜ ⎟∆ ∂ ∂ ∂⎝ ⎠ ∂ ζ + ζ− − β + +∂ ⎧ ⎫⎛ ⎞∂ τ ∂ τ∂ ρ ρ⎪ ⎪⎜ ⎟− + + + τ +⎨ ⎬⎜ ⎟∂ ρ ∂ ∂⎪ ⎪⎝ ⎠⎩ ⎭ v (3.125) Direção y: ( ) ( ) ( ) ( ) # o o ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ1 1ˆ ˆ ˆ 2 2 1 1 ˆ ˆ 2 2 ˆ ˆˆ( ) 1 ˆ 2 T T xy yy S y v v v v vu v v t x y y g v v y H HHg f y H x y ⊗+ + + ⊗ + ⊗ − ∂ ∂ ∂⎛ ⎞+ + + =⎜ ⎟∆ ∂ ∂ ∂⎝ ⎠ ∂ ζ + ζ− − β + +∂ ⎧ ⎫⎛ ⎞∂ τ ∂ τ∂ ρ ρ⎪ ⎪⎜ ⎟− + + + τ −⎨ ⎬⎜ ⎟∂ ρ ∂ ∂⎪ ⎪⎝ ⎠⎩ ⎭ u (3.126) Nas equações (3.125) e (3.126) o termo β é a parte não linear da tensão de atrito no fundo. Se o modelo 2DH for independente, a tensão no fundo é dada pela equação (3.85) e então: 2 22 1 ˆ ˆg u v H C ⊗ ⊗ ⎛β = +⎜⎝ ⎠ ⎞⎟ r: (3.127) Entretanto, se o modelo 2DH for apenas um módulo inserido em um modelo 3D, deve-se usa 2 * * 2 2 1 1ou ˆ ˆ g u u H C H u v ⊗ ⊗ ⊗ ⊗⎛ ⎞ ⎛ ⎞β = β =⎜ ⎟ ⎜⎜ ⎟ +⎝ ⎠⎝ ⎠ ⎟ (3.128) onde u* é a velocidade de atrito no fundo calculada via modelo 3D41. Pa- ra isso, a partir do campo de velocidades calculado pelo modelo 3D, cal- cula-se u* facilmente supondo um perfil logarítmico de velocidades entre 41 Veja Rosso (1997). 304 Paulo Cesar Colonna Rosman o ponto no fundo, que tem velocidade nula como condição de contorno, e o ponto de cálculo logo acima. Rearranjando (3.125) de modo a explicitar û+ obtêm-se: ( ) ( ) ( ) 1 # o o ˆ ˆ ˆ ˆ1 1 1 1ˆ ˆ ˆ 2 2 2 ˆ ˆˆ( ) 1 ˆ ˆ 2 T T xx xy S x u u u uu u v t x t x y x H HHg f x H x y ⊗ +− + ⊗ ⊗ ⊗ ⎡ g v u ∂ ζ + ζ⎛ ⎞⎡ ∂ ⎤ ∂ ∂⎛ ⎞ ⎢= + + β × − − −⎜ ⎟⎜ ⎟⎢ ⎥∆ ∂ ∆ ∂ ∂ ∂⎝ ⎠ ⎢⎣ ⎦ ⎝ ⎠⎣ ⎤⎧ ⎫⎛ ⎞∂ τ ∂ τ∂ ρ ρ⎪ ⎪ ⎥⎜ ⎟− + + + τ + −⎨ ⎬ ⎥⎜ ⎟∂ ρ ∂ ∂⎪ ⎪⎝ ⎠⎩ ⎭ ⎥⎦ + β que pode ser rescrito como 1 1ˆ 2 x u g X x + + ⎛ ∂ζ= − +⎜ ∂⎝ ⎠ M ⎞⎟ (3.129) sendo ˆ1 1 2 uX t x ⊗⎡ ∂⎛ ⎞= + + β⎜ ⎟⎢ ⎥∆ ∂⎝ ⎠⎣ ⎦ ⎤ ; e ( ) ( ) # o o ˆ ˆ ˆ1 1ˆ ˆ 2 2 ˆ ˆˆ( ) 1 ˆ ˆ 2 x T T xx xy S x u u uM u v g t x y x H HHg f x H x y ⊗ ⊗ ⊗ ⎡ ⎛ ⎞∂ ∂ ∂ζ= − − − +⎢ ⎜ ⎟∆ ∂ ∂ ∂⎢ ⎝ ⎠⎣ ⎤⎧ ⎫⎛ ⎞∂ τ ∂ τ∂ ρ ρ⎪ ⎪v u⎥⎜ ⎟− + + + τ + −⎨ ⎬ β ⎥⎜ ⎟∂ ρ ∂ ∂⎪ ⎪⎝ ⎠⎩ ⎭ ⎥⎦ Através de procedimento semelhante, pode-se rearranjar (3.126) chegan- do a: 1 1ˆ 2 y v g M Y y + + ⎛ ⎞∂ζ= − +⎜ ∂ ⎟⎝ ⎠ (3.130) sendo ˆ1 1 2 vY t y ⊗⎡ ⎤⎛ ⎞∂= + + β⎢ ⎥⎜ ⎟∆ ∂⎝ ⎠⎣ ⎦ ; e Subsídios para Modelagem de Sistemas Estuarinos 305 Capítulo 3 ( ) ( ) # o o ˆ ˆ1 1ˆ ˆ 2 2 ˆ ˆˆ( ) 1 ˆ ˆ 2 y T T yx yy S x v v vM v u g t y x y H HHg f y H x y ⊗ ⊗ ⊗ ⎡ ∂ ∂ ∂ζ⎛ ⎞= − − − +⎢ ⎜ ⎟∆ ∂ ∂ ∂⎝ ⎠⎢⎣ ⎤⎧ ⎫⎛ ⎞∂ τ ∂ τ∂ ρ ρ⎪ ⎪ ⎥⎜ ⎟− + + + τ − −⎨ ⎬ ⎥⎜ ⎟∂ ρ ∂ ∂⎪ ⎪⎝ ⎠⎩ ⎭ ⎥⎦ u vβ H Substituindo (3.129) e (3.130) em (3.124), resulta uma equação cu- ja única incógnita é ζ+, ou seja, ( ) ( ) ( ) ( ) 1 ˆ2 1 ˆ 0 x y g M h u h t x X x g M h v h y Y y + + + + + ⎡ ⎤⎛ ⎞ζ − ζ ∂ ∂ζ+ − + + ζ + + ζ +⎢ ⎥⎜ ⎟∆ ∂ ∂⎝ ⎠⎣ ⎦ ⎡ ⎤⎛ ⎞∂ ∂ζ− + + ζ + + ζ =⎢ ⎥⎜ ⎟∂ ∂⎝ ⎠⎣ ⎦ (3.131) Se o modelo de interesse for apenas 2DH, uma vez conhecida a po- sição da superfície livre, ζ+, pode-se calcular diretamente as velocidades médias na vertical através de (3.129) e (3.130). Se o modelo 2DH incluir gradientes de densidade, com a hidrodinâmica 2DH definida no instante (t+∆t), pode-se resolver o transporte de sal, vide (3.90). Se o modelo de interesse for 3D, após o cálculo de ζ+, de modo a comparar o valor das médias via módulo 2DH com as médias dos perfis verticais a serem obtidas no módulo 3D, calcula-se diretamente as velo- cidades médias na vertical através das equações (3.129) e (3.130). 3.6.1.1.2. Módulo 3D para obtenção do campo de velocidades As variáveis tridimensionais são calculadas na seguinte ordem: 1. Componentes horizontais das velocidades, u e v. 2. Médias na vertical de u e v, para comparação e possível ajuste com os valores obtidos via (3.129) e (3.130). 3. Componente vertical da velocidade, w. 4. Salinidade e densidade Após o que retorna-se ao módulo 2DH para calcular ζ no passo de tempo seguinte. 306 Paulo Cesar Colonna Rosman A discretização temporal das equações 3D é tal que apenas a deri- vada de cada variável na direção vertical é implícita, tornando o proble- ma unidimensional em cada vertical. Segue um exemplo: Discretização de (3.71) para cálculo de u+ e v+: N 3 3 o (1) (2) atm o o o (3) (4) ( , 1, 2) 1 1 1 1 2 2 2 2 ( ) 1 1 i i i i i i i i j z j i i T ijd i i i j i j u u u u u u w w t z z z t z z z u u g g dz x x x P P a x x x + + + ⊗ ⊗ ⊗ ⊗ ζ i ⊗ = ⎡ ⎤ ⎡∂ ∂ ∂∂ ∂+ − υ = − + υ ⎤∂ +⎢ ⎥ ⎢∆ ∂ ∂ ∂ ∆ ∂ ∂ ∂ ⎥⎣ ⎦ ⎣ ⎛⎜ ∂ ∂ ρ ρ∂ζ ⎦ − − −⎜ ∂ ∂ ∂⎜⎜⎝ ⎞⎟⎡ ⎤τ∂ ∂ ∂+ + + ⎟⎢ ⎥ρ ∂ ρ ∂ ∂ ρ ⎟⎢ ⎥⎣ ⎦ ⎟⎠ ∫ ��� �� �� � � − (3.132) nesta equação as únicas incógnitas são u+ quando i=1e v+ quando i=2. Por simplicidade pode-se desprezar os termos (3) e (4). Pode-se também des- prezar as tensões turbulentas na horizontal, sob a hipótese de que as mesmas foram adequadamente incluídas no processo, embora promedia- das na vertical, através do módulo 2DH. Com u+ e v+ calculados pode-se recalcular as velocidades médias na vertical, e comparar com os valores obtidos no modelo 2DH. Como os valores no módulo 2DH satisfazem a continuidade 2DH, pode ser conve- niente ajustar u+ e v+ de modo a igualar as médias na vertical, Jin (1993) e Rosso (1997). Discretização temporal de (3.69) para cálculo de w+: w u z x v y + + +∂ ∂ ∂= − −∂ ∂ ∂ (3.133) onde a única incógnita é w+ porque u+ e v+ já são conhecidos. Após o cálculo do campo de velocidades tridimensional pode-se re- solver o transporte de sal (3.73), fazendo discretização temporal similar à de (3.132), o que torna o problema unidimensional em cada vertical. A- pós o cálculo dos perfis verticais de salinidade, pode-se calcular a salini- dade média na vertical e comparar-se com os valores obtidos no módulo Subsídios para Modelagem de Sistemas Estuarinos 307 Capítulo 3 2DH. Pode ser conveniente para maior estabilidade e acurácia do esque- ma numérico ajustar os perfis calculados de modo a igualar as médias. Dependendo do comportamento do modelo, a salinidade 2DH pode dei- xar de ser calculada, tornando os ajustes desnecessários. Com a distribuição de salinidade determinada têm-se diretamente as densidades relativas em cada ponto do domínio e o problema está re- solvido neste passo de tempo. Retorna-se então a (3.131) para novo passo de tempo. 3.6.1.2. Sobre os modelos 2DV e 1D A estratégia geral apresentada no item anterior pode ser aplicada para o desenvolvimento de modelos numéricos 2DV e 1D. Paiva (1992) apre- senta em detalhes o desenvolvimento de um modelo 2DV com o MSS, e discretização espacial via diferenças finitas com a conhecida transforma- ção de coordenadas σ, semelhante à apresentada por Eiger no capítulo 2, item 2.3.2, deste Volume. Reis Jr. (1997) apresenta o desenvolvimento de um modelo 1D para rede de canais, também empregando o MSS, com o Método de Elementos Móveis na discretização espacial. 3.6.1.3. Sobre métodos de discretizações espaciais Os seguintes métodos têm sido aplicados com sucesso na discretização espacial para desenvolvimento de modelos numéricos para os modelos matemáticos de sistemas estuarinos: Método das Diferenças Finitas, (MDF): em geral com malhas interca- ladas para as diferentes variáveis. Têm como principais vantagens a simplicidade de implementação e a facilidade em possibilitar a utili- zação de esquemas de cálculo com Alternância de Direção Implícita (ADI). Esquemas com ADI são muito eficientes em termos computa- cionais. Sua principal desvantagem é a utilização de malhas homogê- neas, o que obriga o emprego de enorme quantidades de pontos de cálculo guando o domínio é complexo, o que é comum em sistemas estuarinos. Martins (1992) apresenta um modelo 2DH desenvolvido com as técnicas mencionadas. Método das Diferenças Finitas com transformações de coordenadas que ajustam a malha aos contornos, (MDFT). Potencialmente tem as mesmas vantagens mencionadas anteriormente, exceto pela maior complexidade na implementação, para implementação veja por e- xemplo Sheng (1986, 1990). Método dos Volumes Finitos, (MVF): com vantagens e dificuldades semelhantes aos métodos de diferenças finitas, Eiger desenvolve o 308 Paulo Cesar Colonna Rosman método para um modelo 2DV de reservatórios no Capítulo 2 deste li- vro. Método dos Elementos Finitos, (MEF): apresenta como principal vantagem a enorme flexibilidade em discretizar a domínios comple- xos tão comuns em sistemas estuarinos. Tem como principais desvantagens a maior complexidade na implementação, e menor eficiência computacional. Rosso (1997) apresenta um modelo 3D que aplica elementos finitos com elemento quadráticos na discretização do plano horizontal e diferenças finitas com transformação σ na discretização vertical Método dos Elementos Móveis, (MEM): tem como principais vanta- gens praticamente a mesma flexibilidade do MEF para discretizar domínios complexos, e permite o emprego de esquemas ADI com substituições sucessivas, tornando o método extremamente eficiente. Scudelari (1997) desenvolve o MEM em um modelo hidrodinâmico 2DH, sem MSS e sem ADI. 3.7. Exemplos de aplicações de modelos numéricos Com o objetivo de ilustrar o exposto, e motivar o leitor em continuar fu- turas pesquisas e desenvolvimentos, apresenta-se neste capítulo exemplos de resultados de modelos numéricos desenvolvidos a partir dos subsídios para modelagem de sistemas estuarinos discutidos neste capítulo. 3.7.1. Modelo 3D para circulação hidrodinâmica e transporte de contaminantes na Baía de Guanabara, RJ O sistema de modelagem adotado para as simulações de possíveis vaza- mentos de produtos contaminantes oriundos de vazamentos acidentais em um poliduto, parte das seguintes premissas: 1. A circulação hidrodinâmica independe da presença do contaminante no meio. Portanto, a concentração de qualquer contaminante é consi- derada como um escalar passivo. 2. Levando em conta as baixas profundidades locais e a magnitude das correntes prevalecentes, supôs-se que os contaminantes miscíveis com a água do mar, estão bem misturados na coluna d’água, a partir de poucas centenas de metros da fonte emissora. Portanto, a concentração destes produtos pode ser bem representada por valores médios na co- luna d’água. Subsídios para Modelagem de Sistemas Estuarinos 309 Capítulo 3 3. Considerou-se que os contaminantes flutuantes são transportados por advecção com a velocidade das correntes na superfície livre, que são dependentes das condições de vento. Com as premissas acima, o sistema de modelos adotado constou de: a) Um modelo hidrodinâmico 3D para escoamentos nos quais os gradi- entes de densidade sejam negligenciáveis, vide item 3.4.4.1.. O mo- delo 3D, foi resolvido em dois módulos interdependentes, conforme apresentado no item 3.6: • Vertical: composto por um modelo tridimensional, através do qual se determina os perfis verticais das componentes horizontais das velocidades das correntes, além da componente vertical. A posição da superfície livre é calculada no módulo horizontal. • Horizontal: composto por um modelo bidimensional na horizon- tal, 2DH, resultante de promediação na vertical do modelo 3D, através do qual se calcula a posição da superfície livre e as cor- rentes médias na vertical. Pode ser um módulo independente, mas, quando é parte do sistema 3D, as tensões de atrito no fundo são obtidas do módulo vertical. b) Um modelo para transporte da mancha contaminante, baseado na técnica de trajetória de partículas, vide item 3.5. 3.7.1.1. Condições de Contorno Para o modelo 3D, há que se considerar contornos horizontais e contor- nos verticais. As condições de contorno para o módulo vertical, são a prescrição de velocidade nula no fundo e da tensão do vento na superfície livre. Quanto às condições de contorno horizontais, há dois tipos básicos: as fronteiras de terra e as fronteiras abertas. As fronteiras de terra caracte- rizam as margens do corpo d'água e os possíveis afluentes, e ao longo delas é necessário prescrever vazões. As fronteiras abertas caracterizam normalmente encontro de massas d'água, representando um limite do modelo mas não um limite real do corpo d'água. Ao longo das fronteiras abertas usualmente prescreve-se elevações de nível d’água. Nos trechos de fronteiras de terra característicos de margens, pres- creve-se uma condição de contorno, que é o valor da componente da va- zão normal à linha de fronteira; usualmente considera-se a margem como impermeável e impõem-se valor zero. O modelo também pode estimar a vazão normal de efluxo (fluxo efluente, ou para fora do domínio) e aflu- 310 Paulo Cesar Colonna Rosman xo (fluxo afluente, ou para dentro do domínio) decorrente de alagamentos laterais. Neste caso, o modelo estima os valores em função do talude das áreas alagáveis, que pode ser imposto ou estimado a partir da topo- hidrografia dada. Nos trechos de fronteira de terra representando rios ou canais em afluxo, além da prescrição da vazão normal ao trecho de fron- teira em questão, há também que se prescrever a componente tangencial, usualmente zero. A direção do fluxo entrando pela fronteira de terra pode ser calculada automaticamente pelo modelo em função da geometria lo- cal fornecida, ou pode ser imposta. Nas fronteiras abertas em situações de efluxo basta prescrever uma condição de contorno, que é a variação do nível da água. Entretanto, nas situações de afluxo há necessidade de outra condição além da anterior, sendo freqüente impor-se como nula a componente da velocidade tan- gencial à fronteira. Como no caso da fronteira de terra, a direção do fluxo entrando pela fronteira pode ser calculada automaticamente pelo modelo em função da geometria local fornecida, ou pode ser imposta. 3.7.1.2. Sobre o modelo numérico A marcha de cálculo segue o seguinte esquema: • Dada uma situação conhecida (condição inicial no primeiro passo de tempo, ou solução do passo de tempo anterior), calcula-se os resulta- dos do módulo 2DH. Neste caso, a discretização temporal das equa- ções diferenciais é realizada via esquemas implícitos de diferenças fi- nitas de ordem (∆t)² e a discretização espacial via elementos finitos subparamétricos, com interpolação quadrática para as variáveis do es- coamento e interpolação linear para a geometria, tal esquema é poten- cialmente de ordem (∆x)4 [Rosman, 1987]. • Uma vez obtida a posição da superfície livre, ζ (x, y, t), via modelo 2DH, resolve-se o modelo 3D, empregando-se a técnica de discretiza- ção temporal, que reduz o problema à solução de um sistema implícito 1D para cada componente da velocidade da corrente, ao longo da co- luna d’água de cada ponto de cálculo do módulo 2DH, conforme apre- sentado em 3.6.1.1.2. Para solução, adota-se esquemas de diferenças finitas de segunda ordem tanto na discretização temporal quanto na espacial. O número de subníveis, ou divisões da coluna d’água, é o mesmo em todos os pontos no plano horizontal. Adota-se a transfor- mação σ, na discretização espacial. Maiores detalhes podem ser obti- dos em Paiva (1991) e Rosso (1997). Subsídios para Modelagem de Sistemas Estuarinos 311 Capítulo 3 • Uma vez conhecidos os valores de u (x, y, z, t), w (x, y, z, t) e w (x, y, z, t) no modelo 3D, esta solução, juntamente com o valor de ζ (x, y, t), passa a ser uma nova condição inicial e a fluxo de cálculo retorna ao primeiro ponto. 3.7.1.3. Aplicação do modelo hidrodinâmico à Baía da Guanabara O domínio da Baía no plano horizontal foi discretizado através de 231 elementos finitos quadráticos subparamétricos, perfazendo 1065 pontos discretos, conforme ilustra a Figura 3.8. Em cada ponto o modelo 3D subdividiu a coluna d’água em 10 níveis, totalizando 10.650 pontos de cálculo. 3.7.1.3.1. Batimetria utilizada As informações relativas à batimetria utilizadas neste estudo, foram obti- das das cartas náuticas DHN: Baía de Guanabara no 1501, escala 1:50.000, a carta Barra do Rio de Janeiro no 1511, escala 1:20.000 e a carta do porto do Rio de Janeiro no 1512. Foi também utilizada a carta Rio de Janeiro no SF 23-Z-B-IV em escala 1:100.000 obtida a partir de imagem de satélite de 1992. A batimetria geral do fundo como vista pelo modelo está apresen- tada na Figura 3.9, na qual os valores em mar aberto externos ao domínio do modelo, não devem ser considerados. O domínio do modelo é indica- do pelos pontos de cálculo na Figura 3.8. Na Figura 3.10 apresenta-se um detalhe da batimetria no modelo na região de interesse. 312 Paulo Cesar Colonna Rosman 5000 7500 10000 12500 15000 17500 20000 22500 25000 27500 30000 32500 35000 10000 12500 15000 17500 20000 22500 25000 27500 30000 32500 35000 37500 40000 42500 45000 47500 50000 52500 Figura 3.8. Malha com 1065 pontos de discretização no plano horizontal da Baía da Guanabara. Em cada ponto o modelo 3D, subdividiu a coluna d’água em 10 níveis, totalizando 10650 pontos de cálculo. Subsídios para Modelagem de Sistemas Estuarinos 313 Capítulo 3 5000 7500 10000 12500 15000 17500 20000 22500 25000 27500 30000 32500 35000 10000 12500 15000 17500 20000 22500 25000 27500 30000 32500 35000 37500 40000 42500 45000 47500 50000 52500 Figura 3.9. Batimetria do fundo como vista pelo modelo. Na Figura 3.10 apresenta-se um detalhe da batimetria no modelo na região de interesse. (Os valores em mar aberto externos ao domínio do modelo, não devem ser considerados.) 3.7.1.3.2. Condições de maré modeladas Considerou-se apenas marés astronômicas com as 20 constantes harmô- nicas de maior amplitude na Baía de Guanabara. Na Figura 3.11 mostra- se a curva de marés gerada como condição de contorno no modelo hidro- dinâmico, a partir das constantes consideradas. 314 Paulo Cesar Colonna Rosman 3.1 3.2 3.4 2.7 2.0 2.9 3.1 3.1 3.2 2.9 2.8 1.5 1.1 2.0 2.6 3.0 3.3 2.9 2.2 1.7 1.3 2.0 2.3 2.0 1.7 1.5 1.3 1.4 1.4 18.1 16.9 14.4 10.9 8.5 6.5 4.7 4.1 3.7 3.0 2.2 2.1 1.9 2.2 2.3 2.3 2.2 2.2 2.1 1.9 1.5 7.7 9.8 13.4 15.7 16.3 14.7 13.0 10.0 7.7 6.0 4.5 3.3 1.9 1.5 1.0 1.5 2.0 2.5 2.8 2.9 3.0 2.9 2.6 3.2 3.1 1.9 1.6 7.2 7.5 8.4 10.6 12.9 13.4 14.3 13.8 13.4 10.8 9.0 7.3 6.0 4.9 4.6 4.7 4.8 4.8 5.1 5.2 5.0 4.8 5.3 5.6 5.6 5.0 3.5 2.4 1.7 6.6 5.4 6.8 11.0 15.0 18.0 15.9 13.5 10.1 8.9 .7 12.9 11.8 11.2 10.2 9.4 8. 9 15.3 12.6 11.6 10.6 7.5 16.1 14.2 12.9 13.0 13.2 11.5 7.8 7.5 7.3 7.0 6.9 6.2 5.8 5.6 5.8 7.2 8.2 7.7 6.7 5.0 3.4 2.2 6.3 5.1 6.1 9.9 13.9 17.4 17.9 18.0 16 5 6.9 6.5 4.8 3.33.0 2.8 4.7 5.1 7.2 9.0 10.6 8.2 6.2 5.6 4.1 3.7 6.0 10.4 12.6 16.1 18.9 21.6 19.3 16. 2.05.7 2.0 5.6 2.0 2.0 2.0 7.1 8.8 7.7 8.0 11.0 13.2 6.2 4.6 5.4 1.3 4.0 11.8 13.6 12.5 11.8 14.0 11.5 10.8 9.6 10.010.0 10.0 6.0 9.0 8.3 8.5 9.2 12.1 10.6 7.2 4.3 4.0 4.2 4.5 1.4 5.3 7.3 5.4 12.2 14.9 16.5 15.7 14.9 12.9 11.1 14.5 8.0 2.02.0 2.0 7.8 11.2 13.6 15.2 9.6 5.1 4.8 4.1 4.3 4.5 4.2 4.6 5.6 2.0 9.8 11.4 12.4 16.4 17.8 18.1 18.2 19.5 18.4 15.7 10.6 15.3 14.2 13.6 8.9 6.0 5.1 5.55.5 4.5 4.6 4.8 5.4 6.8 7.5 8.3 10.2 14.0 17.7 19.4 19.8 16.2 12.2 10.4 9.9 8.4 6.87.07.3 5.6 4.4 3.7 3.7 3.9 4.3 4.5 5.2 6.7 8.2 11.0 15.7 15.4 12.7 10.9 10.4 9.6 9.09.49.2 7.7 5.7 4.4 2.7 2.6 2.5 2.4 2.2 2.3 2.4 7.2 12.0 9.4 10.6 11.9 9.1 5.9 4.8 8.2 7.7 5.8 4.3 5.3 8.9 8.0 7.5 6.5 5.4 3.9 2.2 5.2 5.9 6.0 5.1 3.5 3.6 5.2 5.6 4.0 3.1 2.3 15000 20000 25000 30000 30000 35000 40000 45000 Figura 3.10. Detalhe da batimetria do fundo nos pontos de cálculo do modelo, na vizinhança do poliduto. Seta indica ponto referenciado na Figura 3.13. -0.8 -0.4 0 0.4 0.8 0 20 40 60 80 100 120 140 160 180 200 tempo (horas) El ev aç ão (m ) Figura 3.11. Curva de maré utilizada na modelagem dos diversos cenários, gerada com as constantes harmônicas . Subsídios para Modelagem de Sistemas Estuarinos 315 Capítulo 3 3.7.1.3.3. Condições de vento modeladas Os dados de vento utilizados na modelagem da circulação hidrodinâmica compreenderam duas séries temporais de quatro dias de duração, com dados horários de velocidade e direção de vento. A primeira série repre- sentando condições freqüentes de vento na Baía de Guanabara está apre- sentada em forma gráfica na Figura 3.12. A segunda série correspondia a condições extremas de vento. 0 1 2 3 4 5 6 7 8 0 10 20 30 40 50 60 70 80 90 100 tempo (horas) Ve lo ci da de (m /s ) 0 45 90 135 180 225 270 315 360 A zi m ut e (g ra us ) Velocidade Direção Figura 3.12. Série temporal de ventos fornecida para simulações com condições freqüentes de vento. 3.7.1.4. Resultados Ilustrativos A título de ilustração apresenta-se a seguir Figuras com resultados da modelagem da circulação hidrodinâmica, ou seja, padrões de correntes geradas pelo modelo 3D. As figuras são auto explicativas. - 0 . 8 - 0 . 6 - 0 . 4 - 0 . 2 0 0 . 2 0 . 4 0 . 6 0 . 8 1 0 5 1 1 1 1 1 7 1 2 3 1 2 9 1 3 5 1 4 1 1 4 7 1 5 3 1 5 9 1 6 5 1 7 1 1 7 7 1 8 3 t e m p o ( h o r a s ) El ev aç ão d o N A (m ) - 0 . 8 - 0 . 6 - 0 . 4 - 0 . 2 0 0 . 2 0 . 4 0 . 6 0 . 8 Ve lo ci da de (m /s ) N A - I l h a R a s a N A - I l h a d ' Á g u a V e l ( E - O ) - I l h a d ' Á g u a V e l ( N - S ) - I l h a d ' Á g u a Figura 3.13. Valores de elevação e velocidade média na vertical obtidos com o modelo 3D para o ponto indicado na Figura 3.10, no período de “sizígia”. O NA na Ilha Rasa é mostrado para comparação entre características fora e dentro da Baía de Guanabara. 316 Paulo Cesar Colonna Rosman 5000 7500 10000 12500 15000 17500 20000 22500 25000 27500 30000 32500 35000 10000 12500 15000 17500 20000 22500 25000 27500 30000 32500 35000 37500 40000 42500 45000 47500 50000 52500 1,0 m/s 0,5 m/s 0,1 m/s Figura 3.14. Campo de velocidades médias na vertical obtidos com o modelo 3D para maré de sizígia (enchente). Subsídios para Modelagem de Sistemas Estuarinos 317 Capítulo 3 5000 7500 10000 12500 15000 17500 20000 22500 25000 27500 30000 32500 35000 10000 12500 15000 17500 20000 22500 25000 27500 30000 32500 35000 37500 40000 42500 45000 47500 50000 52500 1,0 m/s 0,5 m/s 0,1 m/s Figura 3.15. Campo de velocidades médias na vertical obtidos com o modelo 3D para maré de sizígia (vazante). 318 Paulo Cesar Colonna Rosman Contaminantes dissolvido e bem misturado na coluna d’água são trans- portados pela velocidade média na vertical. Por sua vez, contaminantes flutuantes andam com a velocidade das correntes na superfície. A circu- lação média na vertical é pouco sensível aos efeitos do vento, que por sua vez exercem forte influência no campo de velocidade de correntes junto à superfície livre. A Figura 3.16 ilustra bem estas diferenças, mostrando que as nuvens de partículas de dois contaminantes flutuantes são quase a mesma (as diferenças devem-se aos desvios aleatórios decorrentes da modelagem da turbulência), já a nuvem de contaminantes dissolvidos é totalmente à parte. As nuvens forma obtidas com um modelo de trajetória de partículas , como descrito em 3.5. 15000 20000 25000 30000 30000 35000 40000 45000 Nuvem de contami- nante dissolvido (azul) Nuvens de dois contaminantes flutuantes (verde e vermelho) Figura 3.16. Diferença de resultados para lançamentos iguais de contaminantes diferentes.. A nuvem dissolvida anda com a velocidade média na vertical que é pouco sensível ao vento. As nuvens flutuantes andam com a velocidade superficial que é fortemente afetada pelos ventos. Subsídios para Modelagem de Sistemas Estuarinos 319 Capítulo 3 3.7.2. Modelo 2DH para estudo de cheias em Joinville devido a marés na Baía de Babitonga, SC Para estudar os níveis d’água em Joinville adotou-se um modelo hidrodi- nâmico 2DH, vide 3.4.5.1. Basicamente duas malhas de discretização foram preparadas, uma representando a situação vigente, com o Canal do Linguado fechada e outra, simulando para simular o efeito da abertura do Canal do Linguado, inclui o Canal do Linguado totalmente aberto. Com a malha para simulação da situação atual, i.e. com o Canal do Linguado fechado, o domínio da baía de Babitonga foi discretizado atra- vés de 133 elementos finitos quadráticos subparamétricos, perfazendo 692 pontos discretos, conforme ilustra a Figura 3.17. Na aplicação do modelo 2DH ao caso da reabertura total do Canal do Linguado, o domí- nio total foi discretizado com 145 elementos finitos quadráticos subpa- ramétricos, totalizando 761 pontos discretos, conforme também ilustra a Figura 3.17. Para detalhes a respeito do estudo veja Rosman e Cunha (1997). Em todas as simulações considerou-se apenas marés astronômicas com as 11 maiores constantes harmônicas na entrada da Baía de Babiton- ga.: A inclusão de efeitos de marés meteorológicas não é necessário visto que a propagação destas é integral. Por serem geralmente causadas pela passagem de frentes frias, as marés meteorológicas tem duração de vários dias, sendo portanto fenômenos muito mais longos que as componentes de maré astronômica com amplitudes significativas. Por conta de sua lon- ga duração, os efeitos das marés meteorológicas não sofrem atenuação apreciável ao se propagarem pela Baía de Babitonga, chegando integral- mente à cidade de Joinville. Portanto, nenhuma das modificações no sis- tema, comparadas a seguir, sofreria qualquer alteração de análise por in- clusão dos efeitos meteorológicos. Para efeito de estimativa dos resulta- dos com a inclusão de marés meteorológicas, bastaria somar a sobreleva- ção meteorológica desejada, aos resultados apresentados. 320 Paulo Cesar Colonna Rosman 5000 10000 15000 20000 25000 30000 5000 10000 15000 20000 25000 30000 35000 Embocadura Rio Cachoeira Ri o Bu ca re n Limite do modelo com canal do Linguado atual Joinville Figura 3.17. Pontos de discretização em elementos finitos da Baía de Babitonga. São 692 pontos até o limite do Canal do Linguado Atual, e 761 pontos com o Linguado aberto. As condições de contorno para esta modelagem são semelhantes às apresentadas no item 3.7.1.1. Subsídios para Modelagem de Sistemas Estuarinos 321 Capítulo 3 3.7.2.1. Resultados Ilustrativos A título de ilustração apresenta-se a seguir Figuras com resultados da modelagem da circulação hidrodinâmica e níveis d’água determinados pelo modelo 2DH. Observando-se as Figuras de níveis de maré, vê-se nitidamente que há uma defasagem de aproximadamente 3 horas entre a embocadura e a região de Joinville. De fato, se tomarmos por exemplo a Figura 3.19, vê-se claramente que enquanto é preamar na embocadura, ainda se está em meia maré enchente na Lagoa de Saguaçú. -1.0 -0.5 0.0 0.5 1.0 1 8 15 22 29 36 43 50 57 64 71 78 85 92 99 10 6 11 3 12 0 12 7 13 4 14 1 14 8 15 5 Tempo (horas) C ot a do N A e m re la çã o ao N M M (m ) Embocadura Joinville Figura 3.18. Níveis de maré na embocadura da Baía de Babitonga e no Rio Cachoeira em Joinville, na situação atual, previstos pelo modelo. 322 Paulo Cesar Colonna Rosman 5000 10000 15000 20000 25000 30000 5000 10000 15000 20000 25000 30000 35000 Embocadura Rio Cachoeira Limite do modelo com canal do Linguado atual -1.00 -1.00 -0.88 -0.75 -0.63 -0.50 -0.38 -0.25 -0.13 0.00 0.13 0.25 0.38 0.50 0.63 0.75 0.88 1.00 1.00 Nível da maré em relaçao ao NMM (m) 5000 10000 15000 20000 25000 30000 5000 10000 15000 20000 25000 30000 35000 Embocadura Rio Cachoeira Limite do modelo com canal do Linguado atual 1,0 m/s 0,5 m/s 0,1 m/s 5000 10000 15000 20000 25000 30000 5000 10000 15000 20000 25000 30000 35000 Embocadura Rio Cachoeira Limite do modelo com canal do Linguado atual -1.00 -1.00 -0.88 -0.75 -0.63 -0.50 -0.38 -0.25 -0.13 0.00 0.13 0.25 0.38 0.50 0.63 0.75 0.88 1.00 1.00 Nível da maré em relaçao ao NMM (m) 5000 10000 15000 20000 25000 30000 5000 10000 15000 20000 25000 30000 35000 Embocadura Rio Cachoeira Limite do modelo com canal do Linguado atual 1,0 m/s 0,5 m/s 0,1 m/s Figura 3.19. Situação atual: níveis de maré e correntes na Baía de Babitonga, acima: em torno da hora de preamar na embocadura e abaixo: meia maré vazante na embocadura. (horas 12:00 e 15:00 na Figura 3.18). Subsídios para Modelagem de Sistemas Estuarinos 323 Capítulo 3 5000 10000 15000 20000 25000 30000 5000 10000 15000 20000 25000 30000 35000 Embocadura Rio Cachoeira Limite do modelo com canal do Linguado atual -1.00 -1.00 -0.88 -0.75 -0.63 -0.50 -0.38 -0.25 -0.13 0.00 0.13 0.25 0.38 0.50 0.63 0.75 0.88 1.00 1.00 Nível da maré em relaçao ao NMM (m) 5000 10000 15000 20000 25000 30000 5000 10000 15000 20000 25000 30000 35000 Embocadura Rio Cachoeira Ri o B uc ar en Limite do modelo com canal do Linguado atual -1.00 -1.00 -0.88 -0.75 -0.63 -0.50 -0.38 -0.25 -0.13 0.00 0.13 0.25 0.38 0.50 0.63 0.75 0.88 1.00 1.00 Nível da maré em relaçao ao NMM (m) 5000 10000 15000 20000 25000 30000 5000 10000 15000 20000 25000 30000 35000 Embocadura Rio Cachoeira Limite do modelo com canal do Linguado atual 1,0 m/s 0,5 m/s 0,1 m/s 5000 10000 15000 20000 25000 30000 5000 10000 15000 20000 25000 30000 35000 Embocadura Rio Cachoeira Limite do modelo com canal do Linguado atual 1,0 m/s 0,5 m/s 0,1 m/s Figura 3.20. Situação atual: níveis de maré e correntes na Baía de Babitonga, acima: em torno da hora de baixamar na embocadura e abaixo: meia maré enchente na embocadura. (horas 18:00 e 21:00 na Figura 3.18). 324 Paulo Cesar Colonna Rosman 3.7.3. Modelagem da pluma do Emissário Submarino de Esgotos de Ipanema (ESEI), RJ Apresenta-se este exemplo com o intuito de mostrar que o mesmo siste- ma de modelagem utilizado em um sistema estuarino, apresentado no i- tem 3.7.1., pode ser aplicado em águas costeiras. 3.7.3.1. O domínio modelado O ESEI está posicionado a cerca de 7,5 km para Sudoeste, da entrada da Baía de Guanabara, RJ. A costa na região do ESEI apresenta um alinha- mento geral Leste-Oeste, tomando um alinhamento NE-SW a partir da ponta do Arpoador até a entrada da Baía. Assim, é de se esperar que as correntes prevalecentes na região do ESEI possam ser influenciadas pelas correntes de maré enchente e vazante na Baía de Guanabara. Portanto, o domínio do modelo para o ESEI inclui a entrada da Baía de Guanabara. A região modelada estende-se para Oeste até cerca de 5 km além do Pon- tal do Recreio dos Bandeirantes, e estende-se mar afora até cerca de 15 km para Sul e 15 km para Leste da linha difusora do ESEI. A Figura 3.22, mostra o domínio modelado com indicação da posição dos 1373 pontos de calculo, e da batimetria considerada. Os 1373 pontos perten- cem a um conjunto de 326 elementos finitos, utilizados para discretizar o domínio mostrado na Figura 3.22. A Figura 3.21 apresenta um detalhe da região do ESEI, indicando a numeração dos pontos de cálculo e a pro- fundidade no ponto. Os elementos utilizados são subparamétricos, com funções de for- ma Lagrangeana lineares para definir a forma do elemento (quadriláteros ou triângulos), e quadráticas para aproximar as variáveis hidrodinâmicas e ambientais. Os elementos triangulares possuem 6 nós: um em cada vér- tice definindo linearmente a forma do elemento, e um intermediário em cada lado que, juntamente com os nós dos vértices, definem quadratica- mente as demais grandezas. Similarmente, os elementos quadrangulares possuem 9 nós: um em cada vértice definindo sua geometria linear, e um no meio de cada lado além de um no centro do elemento, definindo fun- ções bi-quadráticas para as demais grandezas. Por serem bi-quadráticas, os elementos quadrangulares apresentam aproximações melhores que os triangulares. 3.7.3.1.1. Batimetria As informações relativas à batimetria utilizadas neste estudo, foram obti- das das cartas náuticas DHN: Baía de Guanabara no 1501, escala Subsídios para Modelagem de Sistemas Estuarinos 325 Capítulo 3 1:50.000, a carta Barra do Rio de Janeiro no 1511, escala 1:20.000 e a carta do porto do Rio de Janeiro no 1512. Foi também utilizada a carta Rio de Janeiro no SF 23-Z-B-IV em escala 1:100.000 obtida a partir de imagem de satélite de 1992. 25000 27500 30000 32500 35000 37500 15000 17500 20000 22500 25000 146166 167 168 187 188 189 190 207 208 209 210 211 212 213 228 229 230 231 232 233 234 235 236 250 251 252 253 254 255 256 257 258 259 260 261 273 274 275 276 277 278 279 280 281 282 283 284 285 286 287 288 289 290 291 299 300 301 302 303 304 305 306 307 308 309 310 311 312 313 314 315 316 317 318 319 327 328 329 330 331 332 333 334 335 336 337 338 339 340 349 350 351 352 353 354 355 356 357 358 359 360 361 362 363 364 365 374 375 376 377 378 379 380 381 382 383 384 385 386 387 388 389 399 400 401 402 403 404 405 406 407 408 409 410 411 412 413 414 424 425 426 427 428 429 430 431 432 433 434 435 436 437 438 439 449 450 451 452 453 454 455 456 457 458 459 460 461 462 463 464 474 475 476 477 478 479 480 481 482 483 484 485 486 497498499 500 501 502 503 504 505 506 507 508 509 510 511 522 523 524 525 526 527 528 529 530 531 532 533 534 535 536 547 548 549 550 551 552 553 554 555 556 557 558 559 560 561 572 573 574 575 576 577 578 579 580 581 582 583 584 585 586 597 598 599 600 601 602 603 604 605 606 607 608 609 610 622 623 624 625 626 627 628 629 630 631 632 633 634 635 636 637 649 650 651652 653 654 655 656 657 658 659 660 661 662 663 664 665 678 679 680 681 682 683 684 685 686 687 688 689 690 703 704 705 706 707 708 709 710 711 712 713 714 715 728 729 730 731 732 733 734 735 736 737 738 739 753 754 755 756 757 758 759 760 761 762 763 764 778 779 780 781 782 783 784 785 786 787 788 789 803 804 805 806 807 808 809 810 811 812 813 814 828 829 830 831 832 833 834 835 836 837 838 852 853 854 855856 857 858 859 860 861 862 875 876 877 878 879 880 881 894 895 896 17.2 16.3 20.9 19.0 15.9 13.8 25.6 23.2 18.1 14.5 13.0 24.6 23.1 19.5 16.0 13.9 14.6 16.2 14.2 15.3 15.6 14.0 11.0 14.9 17.5 19.1 21.2 10.0 12.9 10.7 9.5 17.0 13.8 18.9 20.2 22.0 25.5 29.7 32.5 8.0 6.0 8.0 5.9 6.1 11.7 15.0 17.0 15.5 19.8 21.2 23.0 26.0 29.4 31.4 33.3 33.6 33.4 33.6 5.0 5.0 5.0 5.0 5.0 5.0 8.0 10.9 14.4 17.0 18.5 20.2 22.0 23.8 26.5 29.5 30.9 31.7 30.9 30.3 26.1 10.0 14.0 17.7 19.2 20.6 22.4 24.1 26.6 29.7 30.9 30.2 27.8 27.3 20.7 4.8 6.6 9.5 14.2 18.0 19.5 20.7 22.6 24.3 26.8 29.8 31.0 30.1 27.3 25.6 24.7 20.0 1.3 8.3 11.5 15.3 17.9 19.3 20.7 22.7 24.4 26.9 29.7 31.4 31.8 30.5 29.4 30.4 1.2 7.2 10.2 13.5 16.4 18.4 20.4 22.4 24.1 26.6 29.3 31.4 33.2 33.7 33.7 35.8 1.2 5.6 7.8 10.5 13.8 16.8 19.5 21.1 22.3 24.4 27.0 29.4 32.0 34.8 36.6 4.1 5.2 6.8 9.1 12.5 15.9 18.7 19.5 20.2 21.5 23.5 26.4 29.8 34.8 38.5 5.0 11.4 14.0 15.0 17.8 17.8 17.6 17.7 18.4 20.4 23.8 32.7 37.0 1.23.05.0 15.0 20.5 22.0 18.0 16.2 15.2 14.2 15.0 5.5 17.0 32.0 35.2 1.4 8.0 14.6 18.0 21.0 23.0 19.5 18.1 16.1 14.6 15.4 19.1 25.0 33.0 33.7 1.2 7.8 14.4 18.0 22.0 23.0 24.0 21.5 18.5 16.9 18.0 25.0 29.0 33.0 31.0 1.2 7.5 13.9 16.5 21.0 22.0 22.2 21.3 23.0 22.8 25.4 29.9 32.0 28.9 1.3 6.7 12.2 15.0 19.5 21.5 23.8 23.7 23.9 27.2 30.3 30.9 31.0 30.5 1.2 5.0 8.5 7.2 12.0 14.6 17.2 21.0 23.9 25.3 26.5 29.1 31.5 31.9 31.7 34.7 1.2 1.2 2.02.5 5.0 8.7 12.4 14.4 16.3 20.1 23.5 25.9 28.1 30.4 32.7 33.7 34.5 5.0 8.7 12.3 13.7 15.1 17.0 22.0 26.0 28.5 31.1 33.9 35.9 37.5 5.0 9.2 13.3 14.1 16.0 19.5 22.8 26.1 29.1 31.9 34.9 37.5 39.7 1.3 6.3 11.4 16.0 19.0 25.0 26.0 26.8 29.9 32.9 35.9 38.7 1.2 6.0 11.0 12.4 14.0 19.5 23.0 27.4 30.7 33.7 36.8 39.6 1.3 5.8 10.0 11.9 15.0 18.0 22.6 27.2 31.1 34.3 37.5 40.5 5.0 7.0 11.0 12.0 19.5 19.8 22.0 26.6 31.3 34.8 38.3 6.2 8.0 12.0 15.0 17.0 21.0 22.0 26.6 31.8 35.2 38.8 6.0 7.0 8.0 8.010.0 22.0 26.0 21.0 32.3 35.8 39.3 10.0 11.6 20.0 24.4 32.0 35.6 39.9 3.2 4.8 7.5 Co pac aba na Lagoa Rodrigo de Freitas IpanemaLeblon São Conrad o Botafogo Figura 3.21. Detalhe do domínio modelado no entorno do ESEI, com indicação da numeração dos pontos de cálculo, e da batimetria em cada ponto. A batimetria geral do fundo como vista pelo modelo está apresen- tada na Figura 3.22, na qual os valores em mar aberto externos ao domí- nio do modelo, não devem ser considerados. O domínio do modelo é in- dicado pelos pontos de cálculo na Figura 3.22. Domínio modelado, com indicação da localização dos 1373 pontos de cálculo, e da batimetria usa- da no modelo. [Discretização em 326 elementos finitos quadráticos com 1373 nós]. Na Figura 3.21 apresenta-se um detalhe da batimetria no mo- delo na região de interesse. 326 Paulo Cesar Colonna Rosman -2 50 0 25 00 75 00 12 50 0 17 50 0 22 50 0 27 50 0 32 50 0 37 50 0 42 50 0 47 50 0 52 50 0 0 50 00 10 00 0 15 00 0 20 00 0 25 00 0 30 00 0 35 00 0 40 00 0 45 00 0 50 00 0 55 00 0 25 00 50 00 75 00 10 00 0 12 50 0 15 00 0 17 50 0 20 00 0 22 50 0 25 00 0 27 50 0 30 00 0 0.0 m 5.0 m 10.0 m 20.0 m 30.0 m 40.0 m 50.0 m 60.0 m Escala de Profundidades Entrad a da B aía de Gu anaba ra Co pa ca ba na Ip an e m a Le bl on Lagoa Rodrigo de Freitas B ar ra d a Ti ju ca Re cr ei o Pi ra tin in ga e It ai pú Figura 3.22. Domínio modelado, com indicação da localização dos 1373 pontos de cálculo, e da batimetria usada no modelo. [Discretização em 326 elementos finitos quadráticos com 1373 nós]. Subsídios para Modelagem de Sistemas Estuarinos 327 Capítulo 3 3.7.3.1.2. Dados de maré Para as simulações considerou-se marés astronômicas com 19 constantes harmônicas, apresentadas na Tabela 1. Considerou-se também uma componente de longo período, representando os efeitos meteorológicos, como se vê na última linha da Tabela. A componente meteorológica adotada tem um período de três dias e 8 horas, o que corresponde a efeitos medidos no local, conforme discutido no Relatório de Análise de Dados Oceanográficos e Meteorológicos na Região de Influência do SEI. E Na Figura 3.23, mostra-se a curva de marés gerada como condição de contorno no modelo hidrodinâmico, a partir das constantes da Tabela 1. -0.8 -0.6 -0.4 -0.2 0 0.2 0.4 0.6 0.8 0 6 12 18 24 30 36 42 48 54 60 66 72 78 84 90 96 102 108 114 120 tempo (h) N ív el d 'á gu a (m ) Figura 3.23. Curva de maré utilizada na modelagem, gerada com as constantes harmônicas da Tabela 1. 3.7.3.1.3. Dados de vento Os dados de vento utilizados na modelagem da circulação hidrodinâmica podem ser de diversas formas. Os dados podem ser desde constantes no tempo e uniformes no espaço, até totalmente variáveis no tempo e varia- dos no espaço. O fornecimento de dados de vento variados no espaço de- pende da disponibilidade de medições, que em geral só são efetuadas em pontos esparsos. Assim, é mais comum alimentar o modelo com dados de vento variáveis no tempo mas uniformes no espaço. 328 Paulo Cesar Colonna Rosman 3.7.3.1.4. Características dos contaminantes simulados no ESEI O modelo de transporte de escalares através de nuvens de partículas, permite a simulação de plumas contaminantes para diferentes situações consideradas, por exemplo: • Plumas para contaminantes dissolvidos na coluna d’água, para conta- minantes flutuantes ou para contaminantes ocupando apenas uma fai- xa na coluna d’água. • Plumas para contaminantes com diferentes reações cinéticas, a serem especificadas, e.g., contaminantes conservativos, contaminantes com decaimento de primeira ordem com variadas taxas de decaimento (T90 diferenciado), contaminantes com decaimento assintótico, etc. No caso do ESEI, os efluentes contaminantes podem ser de todos os tipos exemplificados acima. Neste exemplo apresenta-se resultados relativos ao seguinte caso: Vazão no ESEI de 6,0 m3/s, com contaminante de refe- rência de grande permanência, simulado através de reações cinéticas de primeira ordem com T90 de 24 horas, e concentração de 1,0 kg/m3, ou 1000 mg/l. O valor de concentração adotado é apenas um valor de refe- rência visando a apresentar resultados em termos de diluição. 3.7.3.2. Resultados ilustrativos Em todas as simulações apresentadas neste exemplo supôs-se situação de pouca ou nenhuma estratificação, com a pluma contaminante dissolvida na coluna d’água. Desta forma, apenas os resultados referentes ao módu- lo 2DH são apresentados. A Figura 3.24 a seguir, mostra série temporais resultantes da simu- lação realizada, apresentando valores de elevação do nível d’água (NA) e de velocidade média na vertical das correntes, obtidos com o modelo 3D para os pontos no entorno da linha difusora do ESEI. Mostra-se as com- ponentes Este - Oeste, (EW), e Norte - Sul, (NS), das velocidades das correntes, indicando o número do ponto de cálculo. A posição dos pontos ilustrados está indicada na Figura 3.21. Os resultados de elevação do ní- vel d’água obtidos na região do ESEI podem ser comparados com os ob- tidos na entrada da Baía de Guanabara. Observa-se pelos resultados do modelo uma leve ampliação e pequena defasagem entre as elevações do NA previstos no ESEI e na Baía de Guanabara. Subsídios para Modelagem de Sistemas Estuarinos 329 Capítulo 3 Nome Período (s) Amplitude (m) Fase (rad) M2 44714.2 0.318 1.2741 S2 43200.0 0.179 1.5289 M4 22357.1 0.048 1.6825 O1 92949.9 0.092 1.8099 P1 86637.4 0.021 2.4051 K1 86163.9 0.062 2.5045 Q1 96725.8 0.026 1.9146 J1 83156.9 0.007 0.7679 M3 29809.6 0.007 3.5203 K2 43082.1 0.057 0.3176 L2 43889.8 0.140 0.8029 N2 45570.1 0.026 3.0281 OP2 44841.2 0.024 5.5240 2N2 46459.4 0.010 4.1260 MU2 46338.3 0.011 2.7279 2SM2 41785.0 0.003 4.1521 MS4 21972.0 0.031 3.2411 MN4 22569.0 0.020 3.9113 SN4 22176.7 0.004 3.5605 Meteor. 288000.0 0.200 0.0000 Tabela 1. Constantes harmônicas usadas no modelo. As constantes são referentes à estação maregráfica da Ilha Fiscal operada pela DHN. Na Figura 3.25 superior, observa-se que em meia maré vazante, as fortes correntes de vazante saindo da Baía de Guanabara aumentam a in- tensidade das correntes para Oeste na região do ESEI. Observa-se um vórtice de retorno na região do posto 6 em Copacabana. Na parte inferior da Figura, as fortes correntes de enchente na Baía de Guanabara causam significativa redução na intensidade das correntes na região do ESEI. Figura 3.26 superior, verifica-se as correntes no ESEI com intensi- dade aumentada pelas correntes de enchente na Baía de Guanabara. Nota- se pequenos vórtices de recirculação no Leblon e no posto 6 em Copaca- bana. Na parte inferior da Figura, as fortes correntes de vazante na Baía de Guanabara encontram-se com correntes vindo do ESEI. Nota-se recir- culação no Leblon 330 Paulo Cesar Colonna Rosman -0.4 -0.3 -0.2 -0.1 0 0.1 0.2 0.3 0.4 0 3 6 9 12 15 18 21 24 27 30 33 36 39 42 45 48 51 54 57 60 63 66 69 72 75 78 81 84 87 90 93 96 99 10 2 10 5 10 8 11 1 11 4 11 7 12 0 12 3 Tempo (horas) Ve lo ci da de d a C or re nt e (m /s ) -0.8 -0.6 -0.4 -0.2 0 0.2 0.4 0.6 0.8 El ev aç ão d o N A (m ) V(EW)-604 V(NS)-604 V(EW)-579 V(NS)-579 V(EW)-554 V(NS)-554 NA_BG NA_ESEI Figura 3.24. Valores de elevação e velocidade média na vertical obtidos com o modelo 3D para os pontos no entorno da linha difusora do ESEI. A localização dos pontos está indicada na Figura 3.21. O NA na entrada da Baía de Guanabara é confrontado com o NA no ESEI. [Exemplo da notação: V(EW)604 indica componente Este-Oeste de velocidade no ponto de cálculo 604.] Na Figura 3.27 superior, como a pluma é de contaminante de gran- de permanência, vê-se claramente que os efluentes recém saídos do ESEI são transportados para Oeste, mas há um grande resíduo de pluma muito diluída, que se estende para Leste, porque nos dias anteriores as correntes eram para Leste, vide Figura 3.24. Na parte inferior da Figura observa-se que o resíduo da pluma para Leste está desaparecendo, e que a parte da pluma mais recente avança para Oeste. Figura 3.28 superior, a situação agora se inverte, observa-se uma densa pluma se formando para Leste, deixando um enorme resto de plu- ma mais antiga, já bem diluída, que se desenvolveu para Oeste. Na parte inferior da Figura, continua a pluma mais recente avançando para Leste, bem como todo o rastro da pluma mais antiga que se estendia para Oeste, que vai diminuindo de tamanho em função do decaimento. É interessante notar como a pluma mais diluída vai sendo dividida ao encontrar-se com as ilhas. Subsídios para Modelagem de Sistemas Estuarinos 331 Capítulo 3 25000 27500 30000 32500 35000 37500 15000 17500 20000 22500 25000 1,00 m/s 0,50 m/s 0,10 m/s Co pac aba na Lagoa Rodrigo de Freitas IpanemaLeblon São Conrad o Botafogo Linha a 300 m da praia Linha a 300 m da praia 25000 27500 30000 32500 35000 37500 15000 17500 20000 22500 25000 1,00 m/s 0,50 m/s 0,10 m/s Co pac aba na Lagoa Rodrigo de Freitas IpanemaLeblon São Conrad o Botafogo Figura 3.25. Detalhe do campo de correntes na vizinhança do ESEI. Velocidades médias na vertical obtidos com o modelo 3D próximo da meia maré vazante, com correntes Leste→Oeste, cf. instantes 44.75 e 50,75 horas na Figura 3.24. 332 Paulo Cesar Colonna Rosman 25000 27500 30000 32500 35000 37500 15000 17500 20000 22500 25000 1,00 m/s 0,50 m/s 0,10 m/s Co pac aba na Lagoa Rodrigo de Freitas IpanemaLeblon São Conrad o Botafogo Linha a 300 m da praia Linha a 300 m da praia 25000 27500 30000 32500 35000 37500 15000 17500 20000 22500 25000 1,00 m/s 0,50 m/s 0,10 m/s Co pac aba na Lagoa Rodrigo de Freitas IpanemaLeblon São Conra do Botafogo Figura 3.26. Detalhe do campo de correntes na vizinhança do ESEI. Velocidades médias na vertical obtidos com o modelo 3D próximo à meia maré enchente, com correntes Oeste→Leste, cf. instante 88,75 e 94,75 horas na Figura 3.24. Subsídios para Modelagem de Sistemas Estuarinos 333 Capítulo 3 25000 27500 30000 32500 35000 37500 15000 17500 20000 22500 25000 Co pac aba na Lagoa Rodrigo de Freitas IpanemaLeblon São Conrad o Botafogo Linha a 300 m da praia Linha a 300 m da praia 25000 27500 30000 32500 35000 37500 15000 17500 20000 22500 25000 Co pac aba na Lagoa Rodrigo de Freitas IpanemaLeblon São Conrad o Botafogo Figura 3.27. ESEI: pluma de contaminantes com T90 de 24,0 horas, em situação de velocidades médias de Leste para Oeste, cf. instantes 44,75 e 50,75 na Figura 3.24 e Figura 3.25. A linha externa na pluma demarca o limite de diluição de 1/100.000, a linha intermediária o de 1/10.000 e a mais interna demarca o limite de diluição de 1/1.000. 334 Paulo Cesar Colonna Rosman 25000 27500 30000 32500 35000 37500 12500 15000 17500 20000 22500 25000 27500 Co pac aba na Lagoa Rodrigo de Freitas IpanemaLeblon São Conrad o Botafogo Linha a 300 m da praia Linha a 300 m da praia 25000 27500 30000 32500 35000 37500 12500 15000 17500 20000 22500 25000 27500 Co pac aba na Lagoa Rodrigo de Freitas IpanemaLeblon São Conrad o Botafogo Figura 3.28. ESEI: pluma de contaminantes com T90 de 24,0 horas, em situação de velocidades médias de Oeste para Leste, cf. instantes 88,75 e 94,75 na Figura 3.24 e Figura 3.26. A linha externa na pluma demarca o limite de diluição de 1/100.000, a linha intermediária o de 1/10.000 e a mais interna demarca o limite de diluição de 1/1.000. Subsídios para Modelagem de Sistemas Estuarinos 335 Capítulo 3 3.7.4. Modelos 1D e pontual para estudo de estabilização da barra do sistema lagunar de Saquarema, RJ Modelos 1D como apresentados no item 3.4.7, podem ser usados para estudar trocas de massa d’água e níveis d’água em sistemas estuarinos. No caso aplica-se um modelo 1D e um pontual para estudar a viabilidade de se estabilizar a barra do Sistema Lagunar de Saquarema. Por estabili- zação entende-se ter um canal da barra que permaneça sempre aberto, permitindo a propagação das marés e a rica troca biológica, típica de sis- temas estuarinos. Com os modelos numéricos 1D e pontual, determinou- se quais seriam as condições para estabilidade e qual seria o comporta- mento do sistema no que concerne a níveis d’água. O Sistema Lagunar de Saquarema constitui-se basicamente de seis corpos d’água interligados. Indo de Leste para Oeste, ou da embocadura junto ao mar na cidade de Saquarema para dentro, estes corpos d’água são conhecidos regionalmente com os nomes apresentado na Figura 3.29. Devido à reduzida seção transversal e longo comprimento do canal Rio Salgado, não há praticamente propagação de efeitos hidráulicos entre a Lagoa Mombaça e a de Jaconé. Por este motivo, para efeitos de cálculo no sistema principal, pode-se excluir a lagoa de Jaconé. Considerou-se portanto o espelho d’água do sistema principal com 23.820.000 m², divi- dido pelas seguintes parcelas: Lagoa de Fora com 25,5 % [6.074.000 m²], Lagoa Boqueirão com 3,5% [833.700 m²], Lagoa Jardim com 14,0 % [3.334.800 m²], Lagoa Mombaça com 57,5 % [13.696.500 m²] 3.7.4.1. Resultados obtidos com o modelo 1D Com o objetivo de melhor avaliar os impactos das obras propostas na di- nâmica da propagação da maré no canal da barra e no Sistema Lagunar de Saquarema, foram simuladas as seguintes situações: • Maré com harmônico simples de amplitude 0,5 m e período de 12 ho- ras. Tal onda representa uma situação equivalente a uma maré de sizí- gia média com desnível entre baixa-mar e preamar de 1,0 m no mar. • idem com amplitude de 0,2 m; representando uma situação típica de maré de quadratura com desnível entre baixa-mar e preamar de 0,40 m no mar. • Maré com onze harmônicos para demonstrar as variações no nível médio da Lagoa em função dos ciclos de sizígia e quadratura. • Maré com onze harmônicos mais um de longo período, para simular os efeitos de maré meteorológica no nível médio da Lagoa, além dos devido aos ciclos de sizígia e quadratura. 336 Paulo Cesar Colonna Rosman Figura 3.29. Disposição do Sistema Lagunar de Saquarema com a denominação regional das lagoas e principais rios afluentes. Subsídios para Modelagem de Sistemas Estuarinos 337 Capítulo 3 3.7.4.1.1. Situação atual: níveis d’água no sistema lagunar com a barra aberta De modo a se poder avaliar e comparar a circulação de maré na situação atual, com respeito ao que ocorrerá na situação proposta, simulou-se o comportamento do sistema atual quando a barra é mantida aberta por al- guns dias. Deve-se ressaltar que a situação simulada é melhor do que a que realmente ocorre, visto que se supôs uma abertura de barra com se- ção transversal maior que a que geralmente se consegue manter na atua- lidade. Para efeito de modelagem, dividiu-se o sistema em 76 seções tra- pezoidais igualmente espaçadas a uma distância de 173,6 m. A seção 1 corresponde à embocadura no mar. A Figura 3.30 a seguir, apresenta perfis da linha d’água ao longo do sistema lagunar, em diferentes instantes de uma maré com amplitude tí- pica de sizígia, quando a barra do canal é mantida aberta. Observa-se que o amortecimento nas sizígias chega a cerca de 90% na Lagoa-1 (Saqua- rema) e a cerca de 95% na Lagoa-4 (Mombaça). São notáveis as perdas de carga localizadas, indicadas pelos degraus relativamente bruscos ao longo dos perfis. Tais fenômenos ocorrem nos estrangulamentos acentu- ados entre as quatro lagoas. É interessante notar que as preamares e bai- xa-mares ao longo do sistema lagunar, ocorrem em diferentes horários em cada lagoa, e no mar. Deve-se ressaltar também que o nível médio das lagoas é significativamente diferente nas sizígias e nas quadraturas. Nas sizígias o nível médio do sistema lagunar fica cerca de 0,11 m acima do nível médio do mar, ao passo que nas quadraturas tal valor desce para 0,03 m. A Figura 3.31 superior ilustra o efeito dos ciclos de marés de si- zígia e quadratura na variação do nível médio do Sistema Lagunar de Sa- quarema, indicando os níveis horários simulados no mar e nas lagoas du- rante 30 dias. Fica claro que nos períodos de sizígia o nível médio do sis- tema lagunar está cerca de 8 cm acima do nível médio em épocas de qua- dratura. Desta forma ao longo de um mês lunar pode-se observar que há uma variação total de nível médio no sistema lagunar da ordem de 10 cm, independentemente dos efeitos meteorológicos. Tal variação no nível médio é devido à dinâmica da maré. Como a força de atrito varia direta- mente com o quadrado da velocidade da corrente e inversamente com a profundidade, tal efeito é uma compensação dinâmica. 338 Paulo Cesar Colonna Rosman -0.6 -0.5 -0.4 -0.3 -0.2 -0.1 0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 1 6 11 16 21 26 31 36 41 46 51 56 61 66 71 76 Número da seção N ív el d 'á gu a em re la çã o ao N M M (m ) 0 e 12 h 1,5 h 3,0 h 4,5 h 6,0 h 7,5 h 9,0 h 10.5 h Lagoa de Fora BoqueirãoCanal da barra Jardim Mombaça Figura 3.30. Perfil da linha d’água ao longo do Sistema Lagunar, para diferentes fases de uma maré com amplitude típica de sizígia. Simulação do que ocorre na situação atual quando a barra é mantida aberta. [Nível médio do mar = 0,0 m] Os efeitos de marés meteorológicas são ilustrados na Figura 3.31. Para tal supôs-se a ocorrência de uma componente harmônica com seis dias de período, com altura positiva de 0,15 m e negativa de 0,08m, fa- zendo o efeito de uma oscilação de longo período semelhante ao de uma maré meteorológica. Evidentemente que marés meteorológicas são alea- tórias e não periódicas, mas o efeito a ser ilustrado é absolutamente se- melhante. Na Figura 3.31 inferior vê-se claramente que os efeitos de longo período são muito pouco amortecidos ao se propagarem ao longo do ca- nal. Com a introdução dos efeitos meteorológicos explica-se como o Sis- tema Lagunar de Saquarema pode apresentar significativas mudanças de nível d’água, apesar do amortecimento da onda de maré astronômica ser da ordem de 90%. Na prática, marés meteorológicas podem ter alturas bem maiores que os valores simulados. Apenas com marés astronômicas, se a barra permanecer aberta na situação atual, os volumes de água que entram e saem da Lagoa são da ordem de 900.000 m³ em um ciclo de maré de sizígia e de 400.000 m³ em um ciclo de maré de quadratura. Entretanto, com os efeitos meteorológi- Subsídios para Modelagem de Sistemas Estuarinos 339 Capítulo 3 cos, ao longo de alguns dias, entram e saem volumes que podem ser até dez vezes maiores. -0.8 -0.6 -0.4 -0.2 0 0.2 0.4 0.6 0.8 0 48 96 144 192 240 288 336 384 432 480 528 576 624 672 720 horas N ív el d 'á gu a em re la çã o ao N M M (m Mar Saquarema Mombaça -0.80 -0.60 -0.40 -0.20 0.00 0.20 0.40 0.60 0.80 0 48 96 144 192 240 288 336 384 432 480 528 576 624 672 720 horas N ív el d 'á gu a em re la çã o ao N M M (m E: 1 E: 14 E: 63 Figura 3.31. Valores de elevação do nível d’água no mar e no Sistema Lagunar de Saquarema. Simulação na situação atual, com maré sintética de onze constantes harmônicas, na parte inferior inclui-se o efeito de maré meteorológica com altura positiva de 0,15 m e negativa de 0,08m, com 6 dias de período. [Nível médio do mar = 0,0 m] 3.7.4.1.2. Situação proposta: níveis d’água no sistema lagunar com a barra estabilizada A configuração proposta para a barra estabilizada contempla o alarga- mento e alongamento do canal, com a construção de um guia-correntes 340 Paulo Cesar Colonna Rosman na margem leste da atual embocadura de modo manter uma largura mí- nima de 80 m, com área hidráulica em relação ao NMM de no mínimo 160m2. Com tal configuração o modelo numérico passou a ter 78 seções com o mesmo espaçamento anterior. Como no caso anterior, na simula- ção considerou-se que a contribuição total de água doce proveniente dos rios fosse de 1,0 m³/s, que representa a vazão conjunta dos rios que aflu- em ao sistema.. A Figura 3.32 superior, apresenta perfis da linha d’água ao longo do sistema lagunar que ocorrerão em diferentes instantes de uma maré com amplitude típica de sizígia, com o canal da barra estabilizado. Simi- larmente, a parte inferior da apresenta a situação para maré típica de qua- dratura. Observa-se que o amortecimento nas sizígias será de cerca de 60% na Lagoa-1 (de Fora) e a cerca de 90% na Lagoa-4 (Mombaça). Em ter- mos absolutos, verifica-se que uma onda de maré de sizígia com desnível entre preamar e baixa-mar de 1,0 m no mar, atinge na Lagoa-1 cerca de 0,40 m e na Lagoa-4 cerca de 0,10 m. Nas quadraturas há menos amorte- cimento relativo, devido às perdas de carga serem menores em função das velocidades de corrente serem menos intensas. Na quadratura o a- mortecimento é de cerca de 55% na Lagoa-1, e de 85% na Lagoa-4, re- duzindo a altura de uma onda de maré no mar de 0,40m para cerca de 0,23 m na Lagoa-1 e para pouco menos de 0,07 na Lagoa-4. Como na situação atual, são notáveis as perdas de carga localiza- das, indicadas pelos degraus relativamente bruscos ao longo dos perfis. Tais fenômenos ocorrem nos estrangulamentos acentuadas entre as qua- tro lagoas. Pode-se verificar que os pontos de menor área hidráulica, são os que apresentam degraus significativos ao longo do perfil. Deve-se ressaltar que, com a barra estabilizada não ocorrerá varia- ção significativa do nível médio ao longo do Sistema Lagunar de Saqua- rema, em comparação com o verificado atualmente quando a barra está aberta. De fato, com o canal da barra estabilizado, o nível médio das la- goas continuará sendo significativamente diferente nas sizígias e nas quadraturas. Nas sizígias o nível médio do sistema lagunar continuará apresentando uma sobrelevação de aproximadamente 0,11 m acima do nível médio do mar, ao passo que nas quadraturas tal valor desce para menos de 0,03 m. Deve-se notar que as preamares e baixa-mares ao lon- go do sistema lagunar ocorrem em diferentes horários em cada lagoa, e no mar. Subsídios para Modelagem de Sistemas Estuarinos 341 Capítulo 3 -0.6 -0.5 -0.4 -0.3 -0.2 -0.1 0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 1 4 7 10 13 16 19 22 25 28 31 34 37 40 43 46 49 52 55 58 61 64 67 70 73 76 Número da seção N ív el d 'á gu a em re la çã o ao N M M (m ) 0 e 12 h 1,5 h 3,0 h 4,5 h 6,0 h 7,5 h 9,0 h 10,5 h Lagoa de Fora Jardim Mombaça BoqueirãoCanal da barra -0.6 -0.5 -0.4 -0.3 -0.2 -0.1 0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 1 4 7 10 13 16 19 22 25 28 31 34 37 40 43 46 49 52 55 58 61 64 67 70 73 76 Número da seção N ív el d 'á gu a em re la çã o ao N M M (m ) 0 e 12 h 1,5 h 3,0 h 4,5 h 6,0 h 7,5 h 9,0 h 10,5 h Lagoa de Fora Jardim Mombaça BoqueirãoCanal da barra Figura 3.32. Perfil da linha d’água ao longo do Sistema Lagunar, para diferentes fases de uma maré com amplitude típica de sizígia acima, e de quadratura abaixo. Simulação do que ocorrerá na situação proposta com a barra estável. [Nível médio do mar = 0,0 m] A Figura 3.33 ilustra o efeito dos ciclos de marés de sizígia e qua- dratura na variação do nível médio do Sistema Lagunar de Saquarema, 342 Paulo Cesar Colonna Rosman indicando os níveis horários simulados no mar e nas lagoas durante 60 dias. Fica claro que nos períodos de sizígia o nível médio do sistema la- gunar está de 8 a 10 cm acima do nível médio em épocas de quadratura. Desta forma ao longo de um mês lunar pode-se observar que há uma va- riação total de nível médio no sistema lagunar superior a 10 cm, indepen- dentemente dos efeitos meteorológicos. Tal variação no nível médio é devido à dinâmica da maré. Como a força de atrito varia diretamente com o quadrado da velocidade da corrente e inversamente com a profundida- de, há uma compensação dinâmica. Como mostrado na Figura 3.31, efeitos de marés meteorológicas se propagam quase que integralmente para o sistema lagunar na situação atual, quando a barra é mantida aberta por alguns dias. É evidente que com a estabilização e desobstrução da barra, com muito mais razão tal propagação ocorrerá. Portanto, é desnecessário demonstrar que os efeitos de maré meteorológica se propagarão pelo Sistema Lagunar de Saquare- ma na situação proposta. -0.8 -0.6 -0.4 -0.2 0 0.2 0.4 0.6 0.8 0 96 192 288 384 480 576 672 768 864 960 1056 1152 1248 1344 1440 horas N ív el d 'á gu a em re la çã o ao N M M (m ) Mar Saquarema Mombaça Figura 3.33. Valores de elevação do nível d’água no mar e no Sistema Lagunar de Saquarema. Simulação na situação proposta, com maré sintética de onze constantes harmônicas. [Nível médio do mar = 0,0m] Quanto aos volumes de água do mar que entrarão no Sistema La- gunar de Saquarema na situação proposta, a Figura 3.34 mostra que para marés de sizígia, com cotas de preamar superiores a 0,5 m acima do nível Subsídios para Modelagem de Sistemas Estuarinos 343 Capítulo 3 médio do mar, os prismas de maré variam de 3.000.000 m³ a quase 5.000.000 m³. Tais valores correspondem a cerca de 15~20% do volume total médio do Sistema Lagunar de Saquarema. Na região de Saquarema, as marés médias têm altura (desnível en- tre preamar e baixa-mar) da ordem de 0,8 m, o que corresponde a uma cota de preamar no entorno de 0,4 m. Pelo indicado na Figura 3.34, veri- fica-se que para tal preamar, o prisma de maré médio será da ordem de 2.800.000 m³. Tal valor eqüivale a pouco mais que 12% do volume total do Sistema Lagunar de Saquarema. Como há dois ciclos de maré por dia, pode-se dizer que em média, diariamente ter-se-á um volume equivalente a cerca de 25% do total do sistema sendo bombeado pela maré para den- tro e para fora do Sistema Lagunar de Saquarema. y = -30.149x4 + 53.617x3 - 31.529x2 + 12.779x R2 = 0.9058 0.00 0.50 1.00 1.50 2.00 2.50 3.00 3.50 4.00 4.50 5.00 0.0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0 (x) Nível da preamar na embocadura, acima do NMM (m) (y ) V ol um e do p ris m a de m ar é (1 06 m ³) .7 Prismas de maré (m³) Curva ajustada [ y = f(x) ] Figura 3.34. Volumes de água do mar que entrarão no Sistema Lagunar de Saquarema (prismas de maré). Valores obtidos com simulação na situação proposta, com maré sintética de onze constantes harmônicas. [Nível médio do mar = 0,0m] 3.7.5. Resultados obtidos com o modelo pontual De modo a se fazer uma análise das condições de estabilidade hidráulico sedimentológica do Canal da Barra, aplicou-se um modelo pontual- analítico, apresentado em Rosman et alli 199242. Análise da estabilidade do Canal da Barra proposto. Para se poder aplicar o modelo analítico, ao Sistema Lagunar de Saquarema, determinou-se uma área de espelho 42 Uma dedução detalhada da modelagem pontual para canais de maré de sistemas la- gunares é dada por Mehta e Özoy, in Bruun, P 1978. Vide também Calixto, 1990. 344 Paulo Cesar Colonna Rosman d’água de uma lagoa equivalente às quatro do sistema real. Tal área foi calculada de modo a se obter no modelo analítico aproximadamente os mesmos volumes de prisma de maré, que se obtêm aplicando o modelo numérico ao sistema. Como o Sistema Lagunar de Saquarema é muito complexo, as preamares e as baixa-mares ocorrem defasadas em cada lagoa, por conta disso e das não linearidades inerentes à hidrodinâmica do sistema, verifica-se que a área do espelho d’água da lagoa equivalente não é constante, mas variável em função da amplitude de maré no mar. Como mostra a Figura 3.35, uma variação quadrática da área equivalente com a amplitude da maré se justa muito bem. y = 13.726x2 - 10.113x + 5.8771 R2 = 0.9743 0 1 2 3 4 5 6 0.00 0.10 0.20 0.30 0.40 0.50 0.60 0.70 (x) Amplitude da maré no mar (m) (y ) Ár ea d a la go a eq ui va le nt e ( 1 06 m ²) Figura 3.35. Área do espelho d’água da lagoa equivalente, em função da amplitude de maré no mar. A lagoa equivalente á a que resulta pelo modelo analítico o mesmo prisma de maré que o Sistema Lagunar de Saquarema resulta via modelo numérico. Conforme demonstra a Figura 3.36, obtida pelo modelo pontual analítico, para ser naturalmente estável, a menor seção transversal deveria ter área hidráulica mínima em relação ao NMM de pelo menos 135 m². Valores ideais seriam de seções com valores de área hidráulica para além do cruzamento da curva de máxima capacidade (Cr_máx)43 com a de velocidades da maré máxima. Pela Figura 3.36 verifica-se que tais valores correspondem a áreas na faixa de 300m² a 500 m². Em dimensões hidraulicamente razoáveis, para uma área hidráulica de 400 m² isto eqüivaleria a um canal com cerca de 100 m de largura e 4 m de profundidade média. É claro que a realidade local impede que valores desta grandeza sejam projetados. E é evidente que não há obras 43 Skou, (1990) Subsídios para Modelagem de Sistemas Estuarinos 345 Capítulo 3 projetados. E é evidente que não há obras economicamente viáveis que possam torna-lo naturalmente estável44. 0.0 0.5 1.0 1.5 2.0 2.5 10 100 1000 Área da menor seção hidráulica do canal , A c, (m2) Ve lo ci da de m éd ia m áx im a (m /s ) ao = 0.70 ao = 0.60 ao = 0.50 ao = 0.40 ao = 0.30 ao = 0.20 ao = 0.10 Cr_máx EstávelInstável 160 m2 Faixa de áreas hidráulicas ideais Figura 3.36. Condições de estabilidade para o Canal da Barra. Para estabilidade natural seria necessário Ac>150 m². O canal atual é inerentemente instável pois Ac<60 m². À luz dos conceitos fundamentais de estabilidade de canais de ma- ré, fica patente que o Canal da Barra com área hidráulica mínima de 160 m² é estável. Entretanto, por ter uma seção hidráulica aquém da curva de máxima capacidade de resposta para algumas situações de maré, o canal teria pouca margem de segurança para manter-se desobstruído apenas pela ação hidrodinâmica. Entretanto, isso não é problema se considerar- mos a construção do guia-correntes. O guia-correntes, por impedir a mai- or parte do possível aporte de sedimentos à embocadura, devido aos pro- cessos litorâneos na praia de Saquarema, garante uma razão, P / Mt, (i.e., razão entre o volume do prisma de maré e o volume anual de sedimentos transportados defronte à embocadura) suficientemente confortável para garantir a estabilidade do canal, para qualquer amplitude de maré. 44 Fora o elevadíssimo custo de tais obras, os impactos ambientais seriam enormes, pois enormes volumes de dragagem teriam que ser feitos no corpo do Sistema Lagunar de Saquarema, implicando em modificações de grande monta. As modificações certamente seriam consideradas ambientalmente benéficas por uns e catastróficas por outros. 346 Paulo Cesar Colonna Rosman 3.8. Referências e Bibliografia Lista-se a seguir as referências mencionadas no texto, e bibliografia adicional que pode auxiliar o leitor interessado. Incluiu-se na lista alguns trabalhos de pesquisa feitos sobre o assunto na COPPE/UFRJ, que podem ser facilmente obtidos. Abbot, M.B. & Basco, D.R. (1989). Computational Fluid Dynamics, an Introduction for Engineers, Longan Group, UK Limited. Abbot, M.B., Price,W.A. (editors) – Coastal, Estuarial and Harbour Engineers’ Reference Book.” E & FN Spon, 1994. Araújo, A.M., - Tese D.Sc. - Um Sistema Computacional para Simulação do Escoamento e Transporte Fluido Turbulentos em Corpos d'Água Rasos Usando Técnicas de Filtragem. 12/93 Programa de Engenharia Civil - COPPE/UFRJ Baptista, A.E.M., 1984, “Eulerian-lagrangian analysis of pollutant transport in shallow water”, Ms.Sc. Thesis, Dept. of Civil Eng., Massachusetts Institute of Technology. Baptista, A.E.M., 1987, “Solution of the advection-dominated ransport by Eulerian-Lagrangian methods, using backward method of characteristics. Ph.D. Thesis, Department of Civil Engineering, Massa- chusetts Institute of Technology. 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Modelo matemático geral Princípios fundamentais do modelo matemático Escala de interesse Movimentos e transportes resolvíveis e não resolvíveis - Adv Escoamento incompressível – Equação de Estado e Equação da C Aproximações para a Equação de Estado Transporte de contaminantes – Princípio da conservação da ma Movimento da água – modelagem do escoamento Variação da quantidade de movimento: d (ui )/dt Soma das forças atuantes: FI O problema de fechamento Aproximação de Boussinesq Resumo do modelo matemático geral na escala das partículas Condições de validade: números de Pèclet e de Reynolds Modelo geral para o escoamento e o transporte de grande esca Resumo do modelo matemático geral, para o escoamento de gran Sobre as condições de validade para as grandes escalas Modelos matemáticos de sistemas estuarinos Corpos d’água rasos e aproximação hidrostática Equações do movimento em águas rasas Condições de contorno cinemáticas na superfície livre e no f Condições de contorno dinâmicas na superfície livre e no fun Equação da continuidade promediada na vertical Tipos de estuários e modelos pertinentes Modelos tridimensionais (3Dg e 3D) Modelos hidrodinâmicos 3Dg e 3D Modelos 3D para transporte de escalares passivos Modelos bidimensionais na horizontal (2DH) Modelo hidrodinâmico 2DH Modelo 2DH para transporte de escalares passivos Modelos bidimensionais em perfil vertical (2DV) Modelo hidrodinâmico 2DV Modelo 2DV para transporte de escalares passivos Modelos unidimensionais (1D) Modelo hidrodinâmico 1D Modelo 1D para transporte de escalares passivos Modelo Lagrangeano para transporte de escalares passivos Estratégia geral para desenvolvimento de modelos numéricos Modelo numérico desacoplado para circulação hidrodinâmica 3D Objetivo e estratégia de cálculo Módulo 2DH para obtenção de (x, y, t ) Módulo 3D para obtenção do campo de velocidades Sobre os modelos 2DV e 1D Sobre métodos de discretizações espaciais Exemplos de aplicações de modelos numéricos Modelo 3D para circulação hidrodinâmica e transporte de cont Condições de Contorno Sobre o modelo numérico Aplicação do modelo hidrodinâmico à Baía da Guanabara Batimetria utilizada Condições de maré modeladas Condições de vento modeladas Resultados Ilustrativos Modelo 2DH para estudo de cheias em Joinville devido a marés Resultados Ilustrativos Modelagem da pluma do Emissário Submarino de Esgotos de Ipan O domínio modelado Batimetria Dados de maré Dados de vento Características dos contaminantes simulados no ESEI Resultados ilustrativos Modelos 1D e pontual para estudo de estabilização da barra d Resultados obtidos com o modelo 1D Situação atual: níveis d’água no sistema lagunar com a barra Situação proposta: níveis d’água no sistema lagunar com a ba Resultados obtidos com o modelo pontual Referências e Bibliografia
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