L7

Esta é uma pré-visualização de arquivo. Entre para ver o arquivo original

7
a
Lista de Exercícios de Cálculo II - Prof
a
Vanessa
Exercício 1. Esboce o campo vetorial
−→
F , desenhando um diagrama.
(a)
−→
F (x, y) = y
−→
i + 1
2
−→
j
(c)
−→
F (x, y) =
−→
j
(b)
−→
F (x, y) =
y
−→
i + x
−→
j√
x2 + y2
(d)
−→
F (x, y) = y
−→
j
Exercício 2. Determine o campo do vetor gradiente de f .
(a) f(x, y) = ln(x+ 2y) (b) f(x, y, z) =
√
x2 + y2 + z2
Exercício 3. Determine o rotacional e o divergente do campo vetorial dado.
(a)
−→
F (x, y, z) = xyz
−→
i − x2y−→k
(b)
−→
F (x, y, z) =
−→
i + (x+ yz)
−→
j + (xy −√z)−→k
(c)
−→
F (x, y, z) = ex sin y
−→
i + ex cos y
−→
j + z
−→
k
(d)
−→
F (x, y, z) = (lnx, ln(xy), ln(xyz))
Exercício 4. Determine se
−→
F é ou não um campo vetorial conservativo. Se for, determine uma
função f tal que
−→
F = ∇f , isto é, exiba uma função potencial associada ao campo.
(a)
−→
F (x, y) = (6x+ 5y)
−→
i + (5x+ 4y)
−→
j
(b)
−→
F (x, y) = xey
−→
i + yex
−→
j
(c)
−→
F (x, y) = (2x cos y − y cosx)−→i + (−x2 sin y − sin x)−→j
(d)
−→
F (x, y) = (yex + sin y)
−→
i + (ex + x cos y)
−→
j
(e)
−→
F (x, y, z) = yz
−→
i + xz
−→
j + xy
−→
k
(f)
−→
F (x, y, z) = 2xy
−→
i + (x2 + 2yz)
−→
j + y2
−→
k
(g)
−→
F (x, y, z) = ye−x
−→
i + e−x
−→
j + 2z
−→
k
Exercício 5. Calcule a integral de linha, onde C é a curva dada.
(a)
∫
C
y ds, C : x = t2, y = t, 0 ≤ t ≤ 2.
(b)
∫
C
xy4 ds, C é a metade direita do círculo x2 + y2 = 16.
1
(c)
∫
C
(xy + lnx) dy, C é o arco da parábola y = x2 de (1, 1) a (3, 9).
(d)
∫
C
xy dx+ (x− y) dy, C consiste nos segmentos de reta de (0, 0) a (2, 0) e de (2, 0) a (3, 2).
(e)
∫
C
xy3 ds, C : x = 4 sin t, y = 4 cos t, z = 3t, 0 ≤ t ≤ pi/2.
(f)
∫
C
xeyz ds, C é o segmento de reta de (0, 0, 0) a (1, 2, 3).
(g)
∫
C
x2y
√
z dz, C : x = t3, y = t, z = t2, 0 ≤ t ≤ 1.
(h)
∫
C
(x+ yz) dx+2x dy+ xyz dz, C consiste nos segmentos de reta de (1, 0, 1) a (2, 3, 1) e de
(2, 3, 1) a (2, 5, 2).
Exercício 6. Calcule a integral de linha
∫
C
−→
F · d−→r , onde C é dada pela função vetorial −→r (t).
(a)
−→
F (x, y) = x2y3
−→
i − y√x−→j e −→r (t) = t2−→i − t3−→j , 0 ≤ t ≤ 1.
(b)
−→
F (x, y, z) = sin x
−→
i + cos y
−→
j + xz
−→
k e −→r (t) = t3−→i − t2−→j + t−→k , 0 ≤ t ≤ 1.
Exercício 7. Determine o trabalho realizado pelo campo de força
−→
F (x, y) = x
−→
i +(y+2)
−→
j para
movimentar um objeto sobre um arco da ciclóide
−→r (t) = (t− sin t)−→i + (1− cos t)−→j , 0 ≤ t ≤ 2pi.
Exercício 8. Determine o trabalho realizado pelo campo de força
−→
F (x, y, z) = (y+z, x+z, x+y)
sobre uma partícula que se move ao longo do segmento de reta (1, 0, 0) à (3, 4, 2).
Exercício 9. Determine uma função f tal que
−→
F = ∇f e, em seguida, calcule
∫
C
−→
F · d−→r sobre
a curva C dada.
(a)
−→
F (x, y) = x3y4
−→
i + x4y3
−→
j e C : −→r (t) = √t−→i + (1 + t3)−→j , 0 ≤ t ≤ 1.
(b)
−→
F (x, y, z) = yz
−→
i + xz
−→
j + (xy + 2z)
−→
k e C é o segmento de reta de (1, 0,−2) a (4, 6, 3).
(c)
−→
F (x, y, z) = y2 cos z
−→
i +2xy cos z
−→
j −xy2 sin z−→k e C : −→r (t) = t2−→i +sin t−→j +t−→k , 0 ≤ t ≤ pi.
Exercício 10. Mostre que a integral de linha é independente do caminho e calcule a integral.
(a)
∫
C
tan y dx+ x sec2 y dy, onde C é qualquer caminho de (1, 0) à
(
2,
pi
4
)
.
(b)
∫
C
(1− ye−x) dx+ e−x dy, onde C é qualquer caminho de (0, 1) à (1, 2).
2
Exercício 11. Determine o trabalho realizado pelo campo vetorial de força
−→
F movendo um objeto
de P a Q, onde:
−→
F (x, y) = 2y3/2
−→
i + 3x
√
y−→y ; P (1, 1), Q(2, 4).
Exercício 12. Calcule a integral de linha por dois métodos: (a) diretamente e (b) utilizando o
Teorema de Green.
(i)
∮
C
xy2 dx+ x3 dy, C é o retângulo com vértices (0, 0), (2, 0), (2, 3) e (0, 3).
(ii)
∮
C
xy dx+ x2y3 dy, C é o triângulo com vértices (0, 0), (1, 0) e (1, 2).
Exercício 13. Use o Teorema de Green para calcular a integral de linha ao longo da curva dada
com orientação positiva.
(a)
∫
C
ey dx+ 2xey dy, C é o quadrado de lados x = 0, x = 1, y = 0 e y = 1.
(b)
∫
C
(
y + e
√
x
)
dx +
(
2x+ cos y2
)
dy, C é a fronteira da região delimitada pelas parábolas
y = x2 e x = y2.
(c)
∫
C
y3 dx− x3 dy, C é o círculo x2 + y2 = 4.
Exercício 14. Use o Teorema de Green para calcular
∫
C
−→
F ·d−→r . (Verifique a orientação da curva
antes de aplicar o teorema.)
(a)
−→
F (x, y) = (
√
x + y3, x2 +
√
y), C consiste no arco de curva y = sin x de (0, 0) à (pi, 0) e do
segmento de reta (pi, 0) à (0, 0).
(b)
−→
F (x, y) = (ex+x2y, ey−xy2), C é a circunferência x2+y2 = 25 orientada no sentido horário.
Exercício 15. Use o Teorema de Green para achar o trabalho realizado pela força
−→
F (x, y) = x(x+ y)
−→
i +xy2
−→
j ao mover uma partícula da origem ao longo do eixo x até (1, 0), em
seguida ao longo de um segmento de reta até (0, 1), e então de volta à origem ao longo do eixo y.
Exercício 16. Se
−→
F (x, y) =
−y−→i + x−→j
x2 + y2
, mostre que
∫
C
−→
F .d−→r = 2pi para todo caminho fechado
simples que circunde a origem.
3