Lista 1 2010.1.Gabarito

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DSE – Gabarito Lista 1 – Parte 1 -- 2010.1
Professores:Juliano Assunção, Paulo Levy
Monitora: Livia Gouvêa
Parte 1 
Revisão Matemática
1. Suponha , e onde Calcule as taxas de crescimento de para cada caso:
 
Em a) temos que , 
logo fazendo o log tem-se: lnY(t)= lnK0 + 0,03t 
fazendo a derivada em função do tempo temos o crescimento: dY(t)/dt = g = 0,03 
 
b) → lnY(t) = lnL0 + 0,04t → dlnY(t)/dt = g = 0,04
 
c) Y(t) = K0.e0,03t.L0.e0,04t → Y(t) = K0. L0.e0,07t → lnY(t)= lnK0 + lnL0 + 0,07t → dlnY(t)/dt = g = 0,07
 
D) Y(t) = K0.e0,03t/ L0.e0,04 → lnY(t)= lnK0 + 0,03t - lnL0 – 0,04t → dlnY(t)/dt = g = 0,03 -0,04 = -0,01
 
E) Y(t) = (K0.e0,03t) 1/2.(L0.e0,04t)1/2 → (K0. L0.e0,07t) ½ → lnY(t)= 1/2.lnK0 + 1/2.lnL0 + 1/2.0,07t 
 → dlnY(t)/dt = g = 1/2.0,07 = 0,035
 
F) Y(t) = (K0.e0,03t/ L0.e0,04)1/3 → lnY(t)= 1/3.(lnK0 + 0,03t - lnL0 – 0,04t) → dlnY(t)/dt = 1/3(0,03-0,04) 
 = -0,0033
 
G) Y(t) = (K0.e0,03t) 2/5.(L0.e0,04t)3/5.(H0.e0,02t)3/5 
→ lnY(t)= 2/5.(lnK0 + 0,03t) + 3/5.(lnL0 + 0,04t) + 3/5.(lnH0 + 0,02t) 
→ 3/5.(0,03+ 0,04+0,02) = 0,054
 
2. a. Estabeleça de forma genérica a taxa de crescimento do produto em uma economia que 
obedece à função de produção Cobb-Douglas .
 
Em uma Cobb-Douglas temos , vimos que podemos determinar o crescimento g como dlnY(t)/dt, 
logo lnY=α.lnK + (1-α).lnL → y’/y =g = dlnY(t)/dt = α. K’/K + (1-α).L’/L
 
3. Supondo que o PIB de um país seja igual a U$ 100 milhões e cresça à taxa de 7% ao ano, 
determine o valor do PIB para os próximos 10 anos. Agora, suponha que Yt = Y0e0,07.t , onde Yt 
representa o PIB do país no ano t, e Y0= 100 milhões. Calcule os valores de Y1 a Y10. Compare os 
resultados obtidos com os dois métodos.
 T=1 T=2 T=3 T=4 T=5 T=6 T=7 T=8 T=9 T=10
7%.ano 
Pib.106
107,0 114,5 122,5 131,1 140,3 150,1 160,6 171,8 183,9 196,7
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Y0e0,07.t
Pib.106
107,3 115,0 123,4 132,3 141,9 152,2 163,2 175,1 187,8 201,4
 
- Percebemos que a aproximação da função exponencial, ex, pela variação percentual, 1+x, pode 
ser considerada uma boa aproximação para valores pequenos, mas ela piora consideravelmente 
enquanto x cresce.
 
4. Suponha que a taxa de crescimento do capital seja de 3% a cada período, a taxa de 
crescimento populacional seja de 2%, , , onde é o capital no instante inicial, é o estoque de 
trabalhadores no instante inicial. Calcule os valores de nos instantes , , e para os casos abaixo:
Em a) Temos → em t=0, Y= 2K0.L0 = 2.2.1=4; em 
t=1, Y= 2K1.L1 = 2.(2,06).(1,02) = 4,202; com t=2, Y=2.(2,12).(1,04) = 4,411
t=10, Y=2.(2,69).(1,22)= 6,53
 
Em b) → em t=0, Y= L0/K0 → ½= 0,5, t=1, Y=(1,02)/(2,06) = 0,495; 
T=2, Y=(1,04)/(2,12) = 0,490; em t=10 teremos: Y=(1,22)/(2,69) = 0,453
 
Em c). , onde → t=0, Y=K01/3.L02/3 = 21/3.12/3 =1,259; 
t=1→Y=(2,06) 1/3.(1,02) 2/3 =(1,272).(1,013) = 1,288
t=2→Y=(2,12)1/3.(1,04)2/3 =(1,284).(1,026) = 1,318
t=10 →Y=(2,69) 1/3.(1,22) 2/3 =(1,390).(1,141) = 1,587
 
Em d). → em t=0, Y=min(K0,L0) = min(2,1)= 2; 
em t=1,Y=min[(2,06);(1,02)] =1,02
em t=2, Y=min[(2,12);(1,04)] =1,04
em t=10, Y=min[(2,69);(1,22)] = 1,22
 
Em e) temos → em t=0, Y=min(3K0, 4L0) = min(6,4)= 4
Com t=1,Y=min[3.(2,06);4(1,02)] = min(6,18;4,08) = 4,08
Com t=2, Y=min[3.(2,12);4.(1,04)] = min(6,36;4,16) =4,16
Com t=10, Y=min[3.(2,69);4.(1,22)] = min(8,07;4,88) =4,88 
 
 
5. Suponha que o PIB de um país seja descrito pelas seguintes equações diferenciais:
a. 
b. 
 Represente graficamente a trajetória do PIB no plano e classifique os equilíbrios como 
estáveis ou instáveis.
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Em a temos) Y
Y’
Equilíbrio Estável
 
Em b temos)Y
Y’
Equilíbrio Instável
 
 
Os equilíbrios são os pontos onde Y’=0. Y cresce sempre que na equação Y’>0 e diminui 
no caso contrário, quando Y’>0. Portanto, estáveis são aqueles equilíbrios onde a 
inclinação da equação diferencial é negativa, ou seja, Y converge para ele e instáveis são os 
casos contrários. 
 
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