P1_4h_f3unif_092_def_enunc_gab

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Universidade Federal do Rio de Janeiro
Instituto de F´ısica
F´ısica III – 2009/2
Primeira Prova (P1) – 14/10/2009
Versa˜o: A
Aluno:
DRE:
Professor:
Turma:
Sec¸a˜o Nota original Nota de revisa˜o Rubrica
Parte objetiva (total)
Parte discursiva: Questa˜o 1
Parte discursiva: Questa˜o 2
INSTRUC¸O˜ES: LEIA COM CUIDADO!
1. Preencha correta, leg´ıvel e totalmente os campos em branco (Aluno, DRE, Professor e Turma) do cabec¸alho
acima. Sem isso, a correc¸a˜o de sua prova podera´ ficar prejudicada!
2. A prova constitui-se de duas partes:
• uma parte de dez (10) questo˜es objetivas, cada uma das quais valendo 0,5 ponto, parte essa dividida,
por sua vez, em duas sec¸o˜es:
– uma sec¸a˜o de sete (7) questo˜es de mu´ltipla escolha (sem nenhum tipo de penalizac¸a˜o),
– uma sec¸a˜o de treˆs (3) questo˜es de falso ou verdadeiro (com duas questo˜es incorretamente respon-
didas anulando uma correta);
• uma parte discursiva, constitu´ıda por duas questo˜es discursivas (ou argumentativas ou dissertativas),
cada uma das quais valendo 2,5 pontos.
3. A parte objetiva deve ser preenchida a caneta.
4. E´ vedado o uso de qualquer instrumento eletro-eletroˆnico (calculadora, celular, iPod, etc)
Formula´rio
E =
1
4πǫ0
q
r2
rˆ ,
∮
S
E · nˆ dA = Qint/ǫ0 , E = −∇V , uE =
1
2
ǫ0E
2 .
∫
sen2 u du =
u
2
−
sen (2u)
4
,
∫
cos2 u du =
u
2
+
sen (2u)
4
,
∫
senu cosu du =
sen2 u
2
.
1
Sec¸a˜o 1. Mu´ltipla escolha (so´ uma opc¸a˜o e´ correta)
1. Em uma regia˜o do espac¸o, o potencial ele-
trosta´tico e´ dado por
V (x, y, z) = a(2x2 + yz) , a = const ,
onde x, y, z sa˜o as tradicionais coordenadas carte-
sianas. O vetor campo ele´trico no ponto (2b, b, 2b)
e´ dado por
(a) −ab(8xˆ+ yˆ + 2zˆ) .
(b) −ab(8xˆ+ 2yˆ + zˆ) .
(c) ab(8xˆ+ 2yˆ + zˆ) .
(d) ab(8xˆ+ yˆ + 2zˆ) .
(e) 0, pois temos simetria plana.
2. Seja a associac¸a˜o de capacitores da figura abaixo:
a
b
C C C C
A capacitaˆncia equivalente entre os pontos a e b
vale:
(a) C/4 .
(b) 3C/4 .
(c) C/3 .
(d) 4C/3 .
3. Uma superf´ıcie imagina´ria fechada envolve com-
pletamente um dipolo ele´trico e nenhuma outra
part´ıcula carregada. Podemos afirmar que:
(a) o campo ele´trico e´ zero em todos os pon-
tos da superf´ıcie.
(b) o campo ele´trico e´ normal a` superf´ıcie em
todos os pontos da mesma.
(c) o fluxo do campo ele´trico atrave´s da su-
perf´ıcie na˜o pode ser igual a zero, pois ha´
cargas envolvidas pela mesma.
(d) o fluxo do campo ele´trico atrave´s de uma
parte da superf´ıcie pode na˜o ser igual a
zero.
4. Para uma casca esfe´rica condutora, de raio interno
a e raio externo b, inicialmente neutra, transfere-
se uma cargaQ. Em seguida, uma part´ıcula (pon-
tual) de carga −10q e´ colocada no seu centro.
Qual e´ a expressa˜o correta para a densidade de
carga sobre a superf´ıcie externa da casca condu-
tora?
(a) σ = −10q/(4πb2) .
(b) σ = −Q/(4πb2) .
(c) σ = (Q− 10q)/(4πb2) .
(d) σ = (Q+ 10q)/(4πb2) .
(e) σ = (10q −Q)/(4πb2) .
5. Considere as configurac¸o˜es A e B de part´ıculas
(pontuais) carregadas representadas na figura
abaixo. Efetue a ordenac¸a˜o da energia potencial
eletrosta´tica armazenada em cada caso, levando
em conta que, nos dois casos, a separac¸a˜o entre a
part´ıcula central e as demais tem sempre o mesmo
valor.
q q −q
A :
q −q q
B :
(a) UA < UB.
(b) UA = UB.
(c) UA > UB.
(d) Os dados sa˜o insuficientes.
6. Sabe-se que o mo´dulo do campo ele´trico na regia˜o
entre duas placas planas muito grandes, separa-
das por uma pequena distaˆncia, e com densida-
des superficiais de mesmo mo´dulo, σ, e´ dado por
E = σ/ǫ0. Podemos afirmar que:
(a) as duas placas sa˜o condutoras.
(b) as duas placas sa˜o isolantes.
(c) uma das placas e´ condutora e a outra
placa e´ isolante.
(d) as densidades superficiais de cargas nas
placas teˆm o mesmo sinal.
(e) as densidades superficiais de cargas nas
placas teˆm sinais opostos.
2
7. Um diele´trico e´ inserido entre as placas de um ca-
pacitor de placas planas e paralelas, preenchendo
completamente a regia˜o entre elas. Inicialmente,
o espac¸o entre elas estava preenchido com ar e o
capacitor estava carregado com uma carga Q e
desconectado de qualquer bateria. Depois da in-
serc¸a˜o do diele´trico, podemos afirmar que
(a) a carga nas placas do capacitor aumenta.
(b) a diferenc¸a de potencial entre as placas
do capacitor aumenta.
(c) o campo ele´trico no interior do capacitor
diminui.
(d) a energia ele´trica armazenada permanece
a mesma.
Sec¸a˜o 2. Verdadeiro (V) ou falso (F)
Considere uma superf´ıcie cu´bica, de aresta com comprimento R, e uma superf´ıcie esfe´rica, de raio com
comprimento tambe´m R. Dentro de cada uma dessas superf´ıcies temos uma part´ıcula de carga q. Podemos
concluir que o fluxo do campo ele´trico atrave´s da superf´ıcie cu´bica e´ maior que aquele atrave´s da superf´ıcie
esfe´rica.
O potencial eletrosta´tico e´ o mesmo em todos os pontos na superf´ıcie de um condutor em equil´ıbrio
eletrosta´tico, logo a densidade superficial de carga sera´ a mesma em todos os pontos dessa superf´ıcie.
Uma part´ıcula (pontual) de carga Q e´ mantida fixa enquanto outra part´ıcula (pontual), de carga q, e´
trazida para perto da primeira a velocidade constante. Podemos concluir que o trabalho efetuado pela forc¸a
eletrosta´tica atuante sobre a part´ıcula de carga q e´ positivo se ambas as cargas tiverem o mesmo sinal.
3
Sec¸a˜o 3. Questo˜es discursivas
1. Um anel uni-dimensional, circular, pertence ao plano cartesiano XY e tem raio R e centro na origem do
sistema de coordenadas cartesianas. Ele possui uma distribuic¸a˜o estaciona´ria de carga, cuja densidade
linear e´ dada por
λ(θ) =
{
λ0 cos θ , se 0 ≤ θ ≤ π ;
0 , se π < θ < 2π .
Aqui λ0 e´ uma constante e θ e´ o usual aˆngulo polar, medido a partir do eixo OX , no sentido trigonome´trico.
(a) Determine a carga total de tal distribuic¸a˜o. [0,5 ponto]
(b) Determine o vetor campo ele´trico no centro do anel. [1,5 ponto]
(c) Determine o potencial no centro do anel, tomando-o igual a zero no infinito. [0,5 ponto]
4
5
2. Considere uma bola esfe´rica isolante (com constante diele´trica igual a 1), de raio R, com uma distribuic¸a˜o
estaciona´ria de carga esfericamente sime´trica, cuja densidade volumar e´ dada por
ρ(r) =
{
Ar2 , se 0 ≤ r ≤ R ;
0 , se R < r <∞ .
Aqui A e´ uma constante e r e´ a usual distaˆncia radial, desde o centro da bola.
(a) Determine a carga total de tal distribuic¸a˜o. [0,5 ponto]
(b) Determine o vetor campo ele´trico fora e dentro de tal bola carregada. [1,0 ponto]
(c) Determine o potencial eletrosta´tico fora e dentro de tal bola carregada, tomando-o igual a zero no
infinito. [1,0 ponto]
6
7
8
Gabarito para Versa˜o A
Sec¸a˜o 1. Mu´ltipla escolha (so´ uma opc¸a˜o e´ correta)
1. Em uma regia˜o do espac¸o, o potencial ele-
trosta´tico e´ dado por
V (x, y, z) = a(2x2 + yz) , a = const ,
onde x, y, z sa˜o as tradicionais coordenadas carte-
sianas. O vetor campo ele´trico no ponto (2b, b, 2b)
e´ dado por
(a) −ab(8xˆ+ yˆ + 2zˆ) .
(b) −ab(8xˆ+ 2yˆ + zˆ) .
(c) ab(8xˆ+ 2yˆ + zˆ) .
(d) ab(8xˆ+ yˆ + 2zˆ) .
(e) 0, pois temos simetria plana.
2. Seja a associac¸a˜o de capacitores da figura abaixo:
a
b
C C C C
A capacitaˆncia equivalente entre os pontos a e b
vale:
(a) C/4 .
(b) 3C/4 .
(c) C/3 .
(d) 4C/3 .
3. Uma superf´ıcie imagina´ria fechada envolve com-
pletamente um dipolo ele´trico e nenhuma outra
part´ıcula carregada. Podemos afirmar que:
(a) o campo ele´trico e´ zero em todos os pon-
tos da superf´ıcie.
(b) o campo ele´trico e´ normal a` superf´ıcie em
todos os pontos da mesma.
(c) o fluxo do campo ele´trico atrave´s da su-
perf´ıcie na˜o pode ser igual a zero, pois ha´
cargas envolvidas
pela mesma.
(d) o fluxo do campo ele´trico atrave´s de uma
parte da superf´ıcie pode na˜o ser igual a
zero.
4. Para uma casca esfe´rica condutora, de raio interno
a e raio externo b, inicialmente neutra, transfere-
se uma cargaQ. Em seguida, uma part´ıcula (pon-
tual) de carga −10q e´ colocada no seu centro.
Qual e´ a expressa˜o correta para a densidade de
carga sobre a superf´ıcie externa da casca condu-
tora?
(a) σ = −10q/(4πb2) .
(b) σ = −Q/(4πb2) .
(c) σ = (Q− 10q)/(4πb2) .
(d) σ = (Q+ 10q)/(4πb2) .
(e) σ = (10q −Q)/(4πb2) .
5. Considere as configurac¸o˜es A e B de part´ıculas
(pontuais) carregadas representadas na figura
abaixo. Efetue a ordenac¸a˜o da energia potencial
eletrosta´tica armazenada em cada caso, levando
em conta que, nos dois casos, a separac¸a˜o entre a
part´ıcula central e as demais tem sempre o mesmo
valor.
q q −q
A :
q −q q
B :
(a) UA < UB.
(b) UA = UB.
(c) UA > UB.
(d) Os dados sa˜o insuficientes.
1
6. Sabe-se que o mo´dulo do campo ele´trico na regia˜o
entre duas placas planas muito grandes, separa-
das por uma pequena distaˆncia, e com densida-
des superficiais de mesmo mo´dulo, σ, e´ dado por
E = σ/ǫ0. Podemos afirmar que:
(a) as duas placas sa˜o condutoras.
(b) as duas placas sa˜o isolantes.
(c) uma das placas e´ condutora e a outra
placa e´ isolante.
(d) as densidades superficiais de cargas nas
placas teˆm o mesmo sinal.
(e) as densidades superficiais de cargas nas
placas teˆm sinais opostos.
7. Um diele´trico e´ inserido entre as placas de um ca-
pacitor de placas planas e paralelas, preenchendo
completamente a regia˜o entre elas. Inicialmente,
o espac¸o entre elas estava preenchido com ar e o
capacitor estava carregado com uma carga Q e
desconectado de qualquer bateria. Depois da in-
serc¸a˜o do diele´trico, podemos afirmar que
(a) a carga nas placas do capacitor aumenta.
(b) a diferenc¸a de potencial entre as placas
do capacitor aumenta.
(c) o campo ele´trico no interior do capacitor
diminui.
(d) a energia ele´trica armazenada permanece
a mesma.
Sec¸a˜o 2. Verdadeiro (V) ou falso (F)
F Considere uma superf´ıcie cu´bica, de aresta com comprimento R, e uma superf´ıcie esfe´rica, de raio
com comprimento tambe´m R. Dentro de cada uma dessas superf´ıcies temos uma part´ıcula de carga q.
Podemos concluir que o fluxo do campo ele´trico atrave´s da superf´ıcie cu´bica e´ maior que aquele atrave´s
da superf´ıcie esfe´rica.
F O potencial eletrosta´tico e´ o mesmo em todos os pontos na superf´ıcie de um condutor em equil´ıbrio
eletrosta´tico, logo a densidade superficial de carga sera´ a mesma em todos os pontos dessa superf´ıcie.
F Uma part´ıcula (pontual) de carga Q e´ mantida fixa enquanto outra part´ıcula (pontual), de carga q, e´
trazida para perto da primeira a velocidade constante. Podemos concluir que o trabalho efetuado pela
forc¸a eletrosta´tica atuante sobre a part´ıcula de carga q e´ positivo se ambas as cargas tiverem o mesmo
sinal.
2
Sec¸a˜o 3. Questo˜es discursivas
1. Um anel uni-dimensional, circular, pertence ao plano cartesiano XY e tem raio R e centro na origem do
sistema de coordenadas cartesianas. Ele possui uma distribuic¸a˜o estaciona´ria de carga, cuja densidade
linear e´ dada por
λ(θ) =
{
λ0 cos θ , se 0 ≤ θ ≤ π ;
0 , se π < θ < 2π .
Aqui λ0 e´ uma constante e θ e´ o usual aˆngulo polar, medido a partir do eixo OX , no sentido trigonome´trico.
(a) Determine a carga total de tal distribuic¸a˜o. [0,5 ponto]
(b) Determine o vetor campo ele´trico no centro do anel. [1,5 ponto]
(c) Determine o potencial no centro do anel, tomando-o igual a zero no infinito. [0,5 ponto]
Resoluc¸a˜o:
(a) A carga total em qualquer curva C e´ sempre dada por
Q[C] =
∫
C
λ(r)dℓ .
No caso,
Q =
∫ pi
θ=0
λ0 cos θRdθ
ou
Q = 0 .
Este resultado era de se esperar visto que a distribuic¸a˜o e´ sime´trica em torno de θ = π/2: o mesmo tanto
de carga positiva existe no primeiro quadrante que de carga negativa no segundo quadrante e distribu´ıda
“igualmente”.
(b) Por simetria, o campo ele´trico resultante no centro do anel so´ tera´ componente x. A contribuic¸a˜o para
tal de um elemento de carga infinitesimal, a um aˆngulo polar θ, e´ dada por
dEx = k0
dq
R2
(−rˆ) · xˆ
= −k0
λ(θ)dℓ
R2
cos θ
= −
k0λ0
R
cos2 θdθ .
Logo
E(0) = −
k0λ0
R
∫ pi
θ=0
cos2 θdθ xˆ
Ora, do formula´rio, tiramos que ∫ pi
θ=0
cos2 θdθ = π/2 .
Portanto, finalmente,
E(0) = −
πk0λ0
2R
xˆ = −
λ0
8ǫ0R
xˆ .
(c) O potencial e´ dado por
V (0) =
∫
C
k0dq
R
;
Logo, trivialmente,
V (0) = 0 .
�
3
2. Considere uma bola esfe´rica isolante (com constante diele´trica igual a 1), de raio R, com uma distribuic¸a˜o
estaciona´ria de carga esfericamente sime´trica, cuja densidade volumar e´ dada por
ρ(r) =
{
Ar2 , se 0 ≤ r ≤ R ;
0 , se R < r <∞ .
Aqui A e´ uma constante e r e´ a usual distaˆncia radial, desde o centro da bola.
(a) Determine a carga total de tal distribuic¸a˜o. [0,5 ponto]
(b) Determine o vetor campo ele´trico fora e dentro de tal bola carregada. [1,0 ponto]
(c) Determine o potencial eletrosta´tico fora e dentro de tal bola carregada, tomando-o igual a zero no
infinito. [1,0 ponto]
Resoluc¸a˜o:
(a) A carga total em qualquer regia˜o R e´ sempre dada por
Q[R] =
∫
R
ρ(r)dV .
Enta˜o, no caso da bola, temos que sua carga total Q sera´ simplesmente
Q =
∫ R
r=0
ρ(r)4πr2dr
= 4πA
∫ R
r=0
r4dr ,
ou
Q =
4
5
πAR5 .
(b) Devido a` simetria esfe´rica, o vetor campo ele´trico criado pela bola so´ tera´ componente radial, componente
esta dependente somente da distaˆncia r. Logo, conve´m calcularmos o campo pela lei de Gauss; como
gaussiana, adotamos uma superf´ıcie esfe´rica conceˆntrica com a bola carregada e de raio gene´rico r. O fluxo
atrave´s dela sera´
ΦE[S] :=
∮
S
E · nˆdA
=
∮
S
Er(r)rˆ · rˆdA
= Er(r)
∮
S
dA
= 4πr2Er(r) .
Para aplicarmos, de fato, a lei de Gauss, precisamos, agora, calcular a carga no interior da gaussiana; para
tanto, temos duas possibilidades:
• R ≤ r <∞:
Nesse caso,
Qint = Q .
Portanto, pela pro´pria lei de Gauss, vem
E = Er(r)rˆ =
1
4πǫ0
Q
r2
rˆ =
AR5
5ǫ0r2
rˆ .
4
• 0 ≤ r ≤ R:
Nesse caso,
Qint =
∫ r
r′=0
Ar′24πr′2dr′
=
4
5
πAr5 .
Portanto, pela pro´pria lei de Gauss, novamente, vem
E =
Ar3
5ǫ0
rˆ =
Q
4πǫ0
r3
R5
rˆ .
(c) Calcularemos o potencial V (r), num dado ponto de coordenada radial r, por integrac¸a˜o, a partir do
infinito, do campo ele´trico deduzido no item anterior. Teremos, pois, duas possibilidades:
• R ≤ r <∞:
Nesse caso,
V (r) − V (∞) = −
∫ r
r=∞
Er(r)dr .
Como V (∞) = 0, isso implica
V (r) =
1
4πǫ0
Q
r
=
AR5
5ǫ0r
.
• 0 ≤ r ≤ R:
Nesse caso,
V (r)− V (R) = −
∫ r
r=R
Er(r)dr .
Como, da u´ltima equac¸a˜o, V (R) = Q/(4πǫ0R) = AR
4/(5ǫ0), isso implica
V (r) −
AR4
5ǫ0
=
A
20ǫ0
(R4 − r4) ,
ou seja,
V (r) = −
A
20ǫ0
(r4 − 5R4) = −
Q
16πǫ0R5
(r4 − 5R4) .
�
5
6
Universidade Federal do Rio de Janeiro
Instituto de F´ısica
F´ısica III – 2009/2
Primeira Prova (P1) – 14/10/2009
Versa˜o: B
Aluno:
DRE:
Professor:
Turma:
Sec¸a˜o Nota original Nota de revisa˜o Rubrica
Parte objetiva (total)
Parte discursiva: Questa˜o 1
Parte discursiva: Questa˜o 2
INSTRUC¸O˜ES: LEIA COM CUIDADO!
1. Preencha correta, leg´ıvel e totalmente os campos em branco (Aluno, DRE, Professor e Turma) do cabec¸alho
acima. Sem isso, a correc¸a˜o de sua prova podera´ ficar prejudicada!
2. A prova constitui-se de duas partes:
• uma parte de dez (10) questo˜es objetivas, cada uma das quais valendo 0,5 ponto, parte essa dividida,
por sua vez, em duas sec¸o˜es:
– uma sec¸a˜o de sete (7) questo˜es de mu´ltipla
escolha (sem nenhum tipo de penalizac¸a˜o),
– uma sec¸a˜o de treˆs (3) questo˜es de falso ou verdadeiro (com duas questo˜es incorretamente respon-
didas anulando uma correta);
• uma parte discursiva, constitu´ıda por duas questo˜es discursivas (ou argumentativas ou dissertativas),
cada uma das quais valendo 2,5 pontos.
3. A parte objetiva deve ser preenchida a caneta.
4. E´ vedado o uso de qualquer instrumento eletro-eletroˆnico (calculadora, celular, iPod, etc)
Formula´rio
E =
1
4πǫ0
q
r2
rˆ ,
∮
S
E · nˆ dA = Qint/ǫ0 , E = −∇V , uE =
1
2
ǫ0E
2 .
∫
sen2 u du =
u
2
−
sen (2u)
4
,
∫
cos2 u du =
u
2
+
sen (2u)
4
,
∫
senu cosu du =
sen2 u
2
.
1
Sec¸a˜o 1. Mu´ltipla escolha (so´ uma opc¸a˜o e´ correta)
1. Em uma regia˜o do espac¸o, o potencial ele-
trosta´tico e´ dado por
V (x, y, z) = a(2x2 + yz) , a = const ,
onde x, y, z sa˜o as tradicionais coordenadas carte-
sianas. O vetor campo ele´trico no ponto (2b, b, 2b)
e´ dado por
(a) −ab(8xˆ+ yˆ + 2zˆ) .
(b) −ab(8xˆ+ 2yˆ + zˆ) .
(c) ab(8xˆ+ 2yˆ + zˆ) .
(d) ab(8xˆ+ yˆ + 2zˆ) .
(e) 0, pois temos simetria plana.
2. Seja a associac¸a˜o de capacitores da figura abaixo:
a
b
C C C C
A capacitaˆncia equivalente entre os pontos a e b
vale:
(a) C/4 .
(b) 3C/4 .
(c) C/3 .
(d) 4C/3 .
3. Considere as configurac¸o˜es A e B de part´ıculas
(pontuais) carregadas representadas na figura
abaixo. Efetue a ordenac¸a˜o da energia potencial
eletrosta´tica armazenada em cada caso, levando
em conta que, nos dois casos, a separac¸a˜o entre a
part´ıcula central e as demais tem sempre o mesmo
valor.
q q −q
A :
q −q q
B :
(a) UA < UB.
(b) UA = UB.
(c) UA > UB.
(d) Os dados sa˜o insuficientes.
4. Sabe-se que o mo´dulo do campo ele´trico na regia˜o
entre duas placas planas muito grandes, separa-
das por uma pequena distaˆncia, e com densida-
des superficiais de mesmo mo´dulo, σ, e´ dado por
E = σ/ǫ0. Podemos afirmar que:
(a) as duas placas sa˜o condutoras.
(b) as duas placas sa˜o isolantes.
(c) uma das placas e´ condutora e a outra
placa e´ isolante.
(d) as densidades superficiais de cargas nas
placas teˆm o mesmo sinal.
(e) as densidades superficiais de cargas nas
placas teˆm sinais opostos.
5. Uma superf´ıcie imagina´ria fechada envolve com-
pletamente um dipolo ele´trico e nenhuma outra
part´ıcula carregada. Podemos afirmar que:
(a) o campo ele´trico e´ zero em todos os pon-
tos da superf´ıcie.
(b) o campo ele´trico e´ normal a` superf´ıcie em
todos os pontos da mesma.
(c) o fluxo do campo ele´trico atrave´s da su-
perf´ıcie na˜o pode ser igual a zero, pois ha´
cargas envolvidas pela mesma.
(d) o fluxo do campo ele´trico atrave´s de uma
parte da superf´ıcie pode na˜o ser igual a
zero.
2
6. Para uma casca esfe´rica condutora, de raio interno
a e raio externo b, inicialmente neutra, transfere-
se uma cargaQ. Em seguida, uma part´ıcula (pon-
tual) de carga −10q e´ colocada no seu centro.
Qual e´ a expressa˜o correta para a densidade de
carga sobre a superf´ıcie externa da casca condu-
tora?
(a) σ = −10q/(4πb2) .
(b) σ = −Q/(4πb2) .
(c) σ = (Q− 10q)/(4πb2) .
(d) σ = (Q+ 10q)/(4πb2) .
(e) σ = (10q −Q)/(4πb2) .
7. Um diele´trico e´ inserido entre as placas de um ca-
pacitor de placas planas e paralelas, preenchendo
completamente a regia˜o entre elas. Inicialmente,
o espac¸o entre elas estava preenchido com ar e o
capacitor estava carregado com uma carga Q e
desconectado de qualquer bateria. Depois da in-
serc¸a˜o do diele´trico, podemos afirmar que
(a) a carga nas placas do capacitor aumenta.
(b) a diferenc¸a de potencial entre as placas
do capacitor aumenta.
(c) o campo ele´trico no interior do capacitor
diminui.
(d) a energia ele´trica armazenada permanece
a mesma.
Sec¸a˜o 2. Verdadeiro (V) ou falso (F)
O potencial eletrosta´tico e´ o mesmo em todos os pontos na superf´ıcie de um condutor em equil´ıbrio
eletrosta´tico, logo a densidade superficial de carga sera´ a mesma em todos os pontos dessa superf´ıcie.
Uma part´ıcula (pontual) de carga Q e´ mantida fixa enquanto outra part´ıcula (pontual), de carga q, e´
trazida para perto da primeira a velocidade constante. Podemos concluir que o trabalho efetuado pela forc¸a
eletrosta´tica atuante sobre a part´ıcula de carga q e´ positivo se ambas as cargas tiverem o mesmo sinal.
Considere uma superf´ıcie cu´bica, de aresta com comprimento R, e uma superf´ıcie esfe´rica, de raio com
comprimento tambe´m R. Dentro de cada uma dessas superf´ıcies temos uma part´ıcula de carga q. Podemos
concluir que o fluxo do campo ele´trico atrave´s da superf´ıcie cu´bica e´ maior que aquele atrave´s da superf´ıcie
esfe´rica.
3
Sec¸a˜o 3. Questo˜es discursivas
1. Um anel uni-dimensional, circular, pertence ao plano cartesiano XY e tem raio R e centro na origem do
sistema de coordenadas cartesianas. Ele possui uma distribuic¸a˜o estaciona´ria de carga, cuja densidade
linear e´ dada por
λ(θ) =
{
λ0 cos θ , se 0 ≤ θ ≤ π ;
0 , se π < θ < 2π .
Aqui λ0 e´ uma constante e θ e´ o usual aˆngulo polar, medido a partir do eixo OX , no sentido trigonome´trico.
(a) Determine a carga total de tal distribuic¸a˜o. [0,5 ponto]
(b) Determine o vetor campo ele´trico no centro do anel. [1,5 ponto]
(c) Determine o potencial no centro do anel, tomando-o igual a zero no infinito. [0,5 ponto]
4
5
2. Considere uma bola esfe´rica isolante (com constante diele´trica igual a 1), de raio R, com uma distribuic¸a˜o
estaciona´ria de carga esfericamente sime´trica, cuja densidade volumar e´ dada por
ρ(r) =
{
Ar2 , se 0 ≤ r ≤ R ;
0 , se R < r <∞ .
Aqui A e´ uma constante e r e´ a usual distaˆncia radial, desde o centro da bola.
(a) Determine a carga total de tal distribuic¸a˜o. [0,5 ponto]
(b) Determine o vetor campo ele´trico fora e dentro de tal bola carregada. [1,0 ponto]
(c) Determine o potencial eletrosta´tico fora e dentro de tal bola carregada, tomando-o igual a zero no
infinito. [1,0 ponto]
6
7
8
Gabarito para Versa˜o B
Sec¸a˜o 1. Mu´ltipla escolha (so´ uma opc¸a˜o e´ correta)
1. Em uma regia˜o do espac¸o, o potencial ele-
trosta´tico e´ dado por
V (x, y, z) = a(2x2 + yz) , a = const ,
onde x, y, z sa˜o as tradicionais coordenadas carte-
sianas. O vetor campo ele´trico no ponto (2b, b, 2b)
e´ dado por
(a) −ab(8xˆ+ yˆ + 2zˆ) .
(b) −ab(8xˆ+ 2yˆ + zˆ) .
(c) ab(8xˆ+ 2yˆ + zˆ) .
(d) ab(8xˆ+ yˆ + 2zˆ) .
(e) 0, pois temos simetria plana.
2. Seja a associac¸a˜o de capacitores da figura abaixo:
a
b
C C C C
A capacitaˆncia equivalente entre os pontos a e b
vale:
(a) C/4 .
(b) 3C/4 .
(c) C/3 .
(d) 4C/3 .
3. Considere as configurac¸o˜es A e B de part´ıculas
(pontuais) carregadas representadas na figura
abaixo. Efetue a ordenac¸a˜o da energia potencial
eletrosta´tica armazenada em cada caso, levando
em conta que, nos dois casos, a separac¸a˜o entre a
part´ıcula central e as demais tem sempre o mesmo
valor.
q q −q
A :
q −q q
B :
(a) UA < UB.
(b) UA = UB.
(c) UA > UB.
(d) Os dados sa˜o insuficientes.
4. Sabe-se que o mo´dulo do campo ele´trico na regia˜o
entre duas placas planas muito grandes, separa-
das por uma pequena distaˆncia, e com densida-
des superficiais de mesmo mo´dulo, σ, e´ dado por
E = σ/ǫ0. Podemos afirmar que:
(a) as duas placas sa˜o condutoras.
(b) as duas placas sa˜o isolantes.
(c) uma das placas e´ condutora e a outra
placa e´ isolante.
(d) as densidades superficiais de cargas nas
placas teˆm o mesmo sinal.
(e) as densidades superficiais de cargas nas
placas teˆm sinais opostos.
1
5. Uma superf´ıcie imagina´ria fechada envolve com-
pletamente um dipolo ele´trico e nenhuma outra
part´ıcula carregada. Podemos afirmar que:
(a) o campo ele´trico e´ zero em todos os pon-
tos
da superf´ıcie.
(b) o campo ele´trico e´ normal a` superf´ıcie em
todos os pontos da mesma.
(c) o fluxo do campo ele´trico atrave´s da su-
perf´ıcie na˜o pode ser igual a zero, pois ha´
cargas envolvidas pela mesma.
(d) o fluxo do campo ele´trico atrave´s de uma
parte da superf´ıcie pode na˜o ser igual a
zero.
6. Para uma casca esfe´rica condutora, de raio interno
a e raio externo b, inicialmente neutra, transfere-
se uma cargaQ. Em seguida, uma part´ıcula (pon-
tual) de carga −10q e´ colocada no seu centro.
Qual e´ a expressa˜o correta para a densidade de
carga sobre a superf´ıcie externa da casca condu-
tora?
(a) σ = −10q/(4πb2) .
(b) σ = −Q/(4πb2) .
(c) σ = (Q− 10q)/(4πb2) .
(d) σ = (Q+ 10q)/(4πb2) .
(e) σ = (10q −Q)/(4πb2) .
7. Um diele´trico e´ inserido entre as placas de um ca-
pacitor de placas planas e paralelas, preenchendo
completamente a regia˜o entre elas. Inicialmente,
o espac¸o entre elas estava preenchido com ar e o
capacitor estava carregado com uma carga Q e
desconectado de qualquer bateria. Depois da in-
serc¸a˜o do diele´trico, podemos afirmar que
(a) a carga nas placas do capacitor aumenta.
(b) a diferenc¸a de potencial entre as placas
do capacitor aumenta.
(c) o campo ele´trico no interior do capacitor
diminui.
(d) a energia ele´trica armazenada permanece
a mesma.
Sec¸a˜o 2. Verdadeiro (V) ou falso (F)
F O potencial eletrosta´tico e´ o mesmo em todos os pontos na superf´ıcie de um condutor em equil´ıbrio
eletrosta´tico, logo a densidade superficial de carga sera´ a mesma em todos os pontos dessa superf´ıcie.
F Uma part´ıcula (pontual) de carga Q e´ mantida fixa enquanto outra part´ıcula (pontual), de carga q, e´
trazida para perto da primeira a velocidade constante. Podemos concluir que o trabalho efetuado pela
forc¸a eletrosta´tica atuante sobre a part´ıcula de carga q e´ positivo se ambas as cargas tiverem o mesmo
sinal.
F Considere uma superf´ıcie cu´bica, de aresta com comprimento R, e uma superf´ıcie esfe´rica, de raio
com comprimento tambe´m R. Dentro de cada uma dessas superf´ıcies temos uma part´ıcula de carga q.
Podemos concluir que o fluxo do campo ele´trico atrave´s da superf´ıcie cu´bica e´ maior que aquele atrave´s
da superf´ıcie esfe´rica.
2
Sec¸a˜o 3. Questo˜es discursivas
1. Um anel uni-dimensional, circular, pertence ao plano cartesiano XY e tem raio R e centro na origem do
sistema de coordenadas cartesianas. Ele possui uma distribuic¸a˜o estaciona´ria de carga, cuja densidade
linear e´ dada por
λ(θ) =
{
λ0 cos θ , se 0 ≤ θ ≤ π ;
0 , se π < θ < 2π .
Aqui λ0 e´ uma constante e θ e´ o usual aˆngulo polar, medido a partir do eixo OX , no sentido trigonome´trico.
(a) Determine a carga total de tal distribuic¸a˜o. [0,5 ponto]
(b) Determine o vetor campo ele´trico no centro do anel. [1,5 ponto]
(c) Determine o potencial no centro do anel, tomando-o igual a zero no infinito. [0,5 ponto]
Resoluc¸a˜o:
(a) A carga total em qualquer curva C e´ sempre dada por
Q[C] =
∫
C
λ(r)dℓ .
No caso,
Q =
∫ pi
θ=0
λ0 cos θRdθ
ou
Q = 0 .
Este resultado era de se esperar visto que a distribuic¸a˜o e´ sime´trica em torno de θ = π/2: o mesmo tanto
de carga positiva existe no primeiro quadrante que de carga negativa no segundo quadrante e distribu´ıda
“igualmente”.
(b) Por simetria, o campo ele´trico resultante no centro do anel so´ tera´ componente x. A contribuic¸a˜o para
tal de um elemento de carga infinitesimal, a um aˆngulo polar θ, e´ dada por
dEx = k0
dq
R2
(−rˆ) · xˆ
= −k0
λ(θ)dℓ
R2
cos θ
= −
k0λ0
R
cos2 θdθ .
Logo
E(0) = −
k0λ0
R
∫ pi
θ=0
cos2 θdθ xˆ
Ora, do formula´rio, tiramos que ∫ pi
θ=0
cos2 θdθ = π/2 .
Portanto, finalmente,
E(0) = −
πk0λ0
2R
xˆ = −
λ0
8ǫ0R
xˆ .
(c) O potencial e´ dado por
V (0) =
∫
C
k0dq
R
;
Logo, trivialmente,
V (0) = 0 .
�
3
2. Considere uma bola esfe´rica isolante (com constante diele´trica igual a 1), de raio R, com uma distribuic¸a˜o
estaciona´ria de carga esfericamente sime´trica, cuja densidade volumar e´ dada por
ρ(r) =
{
Ar2 , se 0 ≤ r ≤ R ;
0 , se R < r <∞ .
Aqui A e´ uma constante e r e´ a usual distaˆncia radial, desde o centro da bola.
(a) Determine a carga total de tal distribuic¸a˜o. [0,5 ponto]
(b) Determine o vetor campo ele´trico fora e dentro de tal bola carregada. [1,0 ponto]
(c) Determine o potencial eletrosta´tico fora e dentro de tal bola carregada, tomando-o igual a zero no
infinito. [1,0 ponto]
Resoluc¸a˜o:
(a) A carga total em qualquer regia˜o R e´ sempre dada por
Q[R] =
∫
R
ρ(r)dV .
Enta˜o, no caso da bola, temos que sua carga total Q sera´ simplesmente
Q =
∫ R
r=0
ρ(r)4πr2dr
= 4πA
∫ R
r=0
r4dr ,
ou
Q =
4
5
πAR5 .
(b) Devido a` simetria esfe´rica, o vetor campo ele´trico criado pela bola so´ tera´ componente radial, componente
esta dependente somente da distaˆncia r. Logo, conve´m calcularmos o campo pela lei de Gauss; como
gaussiana, adotamos uma superf´ıcie esfe´rica conceˆntrica com a bola carregada e de raio gene´rico r. O fluxo
atrave´s dela sera´
ΦE[S] :=
∮
S
E · nˆdA
=
∮
S
Er(r)rˆ · rˆdA
= Er(r)
∮
S
dA
= 4πr2Er(r) .
Para aplicarmos, de fato, a lei de Gauss, precisamos, agora, calcular a carga no interior da gaussiana; para
tanto, temos duas possibilidades:
• R ≤ r <∞:
Nesse caso,
Qint = Q .
Portanto, pela pro´pria lei de Gauss, vem
E = Er(r)rˆ =
1
4πǫ0
Q
r2
rˆ =
AR5
5ǫ0r2
rˆ .
4
• 0 ≤ r ≤ R:
Nesse caso,
Qint =
∫ r
r′=0
Ar′24πr′2dr′
=
4
5
πAr5 .
Portanto, pela pro´pria lei de Gauss, novamente, vem
E =
Ar3
5ǫ0
rˆ =
Q
4πǫ0
r3
R5
rˆ .
(c) Calcularemos o potencial V (r), num dado ponto de coordenada radial r, por integrac¸a˜o, a partir do
infinito, do campo ele´trico deduzido no item anterior. Teremos, pois, duas possibilidades:
• R ≤ r <∞:
Nesse caso,
V (r) − V (∞) = −
∫ r
r=∞
Er(r)dr .
Como V (∞) = 0, isso implica
V (r) =
1
4πǫ0
Q
r
=
AR5
5ǫ0r
.
• 0 ≤ r ≤ R:
Nesse caso,
V (r)− V (R) = −
∫ r
r=R
Er(r)dr .
Como, da u´ltima equac¸a˜o, V (R) = Q/(4πǫ0R) = AR
4/(5ǫ0), isso implica
V (r) −
AR4
5ǫ0
=
A
20ǫ0
(R4 − r4) ,
ou seja,
V (r) = −
A
20ǫ0
(r4 − 5R4) = −
Q
16πǫ0R5
(r4 − 5R4) .
�
5
6
Universidade Federal do Rio de Janeiro
Instituto de F´ısica
F´ısica III – 2009/2
Primeira Prova (P1) – 14/10/2009
Versa˜o: C
Aluno:
DRE:
Professor:
Turma:
Sec¸a˜o Nota original Nota de revisa˜o Rubrica
Parte objetiva (total)
Parte discursiva: Questa˜o 1
Parte discursiva: Questa˜o 2
INSTRUC¸O˜ES: LEIA COM CUIDADO!
1. Preencha correta, leg´ıvel e totalmente os campos em branco (Aluno, DRE, Professor e Turma) do cabec¸alho
acima. Sem isso, a correc¸a˜o de sua prova podera´ ficar prejudicada!
2. A prova constitui-se de duas partes:
• uma parte de dez (10) questo˜es objetivas, cada uma das quais valendo 0,5 ponto, parte essa dividida,
por sua vez, em duas sec¸o˜es:
– uma sec¸a˜o de sete (7) questo˜es de mu´ltipla escolha (sem nenhum tipo de penalizac¸a˜o),
– uma sec¸a˜o de treˆs (3) questo˜es de falso ou verdadeiro (com duas questo˜es incorretamente respon-
didas anulando uma correta);
• uma parte discursiva, constitu´ıda por duas questo˜es discursivas (ou argumentativas ou dissertativas),
cada uma das quais valendo 2,5 pontos.
3. A parte objetiva deve ser preenchida a caneta.
4. E´ vedado o uso de qualquer instrumento eletro-eletroˆnico (calculadora, celular, iPod, etc)
Formula´rio
E =
1
4πǫ0
q
r2
rˆ ,
∮
S
E · nˆ dA = Qint/ǫ0 , E = −∇V , uE =
1
2
ǫ0E
2 .
∫
sen2 u du =
u
2
−
sen (2u)
4
,
∫
cos2 u du =
u
2
+
sen (2u)
4
,
∫
senu cosu du =
sen2 u
2
.
1
Sec¸a˜o
1. Mu´ltipla escolha (so´ uma opc¸a˜o e´ correta)
1. Um diele´trico e´ inserido entre as placas de um ca-
pacitor de placas planas e paralelas, preenchendo
completamente a regia˜o entre elas. Inicialmente,
o espac¸o entre elas estava preenchido com ar e o
capacitor estava carregado com uma carga Q e
desconectado de qualquer bateria. Depois da in-
serc¸a˜o do diele´trico, podemos afirmar que
(a) a carga nas placas do capacitor aumenta.
(b) a diferenc¸a de potencial entre as placas
do capacitor aumenta.
(c) o campo ele´trico no interior do capacitor
diminui.
(d) a energia ele´trica armazenada permanece
a mesma.
2. Para uma casca esfe´rica condutora, de raio interno
a e raio externo b, inicialmente neutra, transfere-
se uma cargaQ. Em seguida, uma part´ıcula (pon-
tual) de carga −10q e´ colocada no seu centro.
Qual e´ a expressa˜o correta para a densidade de
carga sobre a superf´ıcie externa da casca condu-
tora?
(a) σ = −10q/(4πb2) .
(b) σ = −Q/(4πb2) .
(c) σ = (Q− 10q)/(4πb2) .
(d) σ = (Q+ 10q)/(4πb2) .
(e) σ = (10q −Q)/(4πb2) .
3. Considere as configurac¸o˜es A e B de part´ıculas
(pontuais) carregadas representadas na figura
abaixo. Efetue a ordenac¸a˜o da energia potencial
eletrosta´tica armazenada em cada caso, levando
em conta que, nos dois casos, a separac¸a˜o entre a
part´ıcula central e as demais tem sempre o mesmo
valor.
q q −q
A :
q −q q
B :
(a) UA < UB.
(b) UA = UB.
(c) UA > UB.
(d) Os dados sa˜o insuficientes.
4. Em uma regia˜o do espac¸o, o potencial ele-
trosta´tico e´ dado por
V (x, y, z) = a(2x2 + yz) , a = const ,
onde x, y, z sa˜o as tradicionais coordenadas carte-
sianas. O vetor campo ele´trico no ponto (2b, b, 2b)
e´ dado por
(a) −ab(8xˆ+ yˆ + 2zˆ) .
(b) −ab(8xˆ+ 2yˆ + zˆ) .
(c) ab(8xˆ+ 2yˆ + zˆ) .
(d) ab(8xˆ+ yˆ + 2zˆ) .
(e) 0, pois temos simetria plana.
5. Sabe-se que o mo´dulo do campo ele´trico na regia˜o
entre duas placas planas muito grandes, separa-
das por uma pequena distaˆncia, e com densida-
des superficiais de mesmo mo´dulo, σ, e´ dado por
E = σ/ǫ0. Podemos afirmar que:
(a) as duas placas sa˜o condutoras.
(b) as duas placas sa˜o isolantes.
(c) uma das placas e´ condutora e a outra
placa e´ isolante.
(d) as densidades superficiais de cargas nas
placas teˆm o mesmo sinal.
(e) as densidades superficiais de cargas nas
placas teˆm sinais opostos.
6. Seja a associac¸a˜o de capacitores da figura abaixo:
a
b
C C C C
A capacitaˆncia equivalente entre os pontos a e b
vale:
(a) C/4 .
(b) 3C/4 .
(c) C/3 .
(d) 4C/3 .
2
7. Uma superf´ıcie imagina´ria fechada envolve com-
pletamente um dipolo ele´trico e nenhuma outra
part´ıcula carregada. Podemos afirmar que:
(a) o campo ele´trico e´ zero em todos os pon-
tos da superf´ıcie.
(b) o campo ele´trico e´ normal a` superf´ıcie em
todos os pontos da mesma.
(c) o fluxo do campo ele´trico atrave´s da su-
perf´ıcie na˜o pode ser igual a zero, pois ha´
cargas envolvidas pela mesma.
(d) o fluxo do campo ele´trico atrave´s de uma
parte da superf´ıcie pode na˜o ser igual a
zero.
Sec¸a˜o 2. Verdadeiro (V) ou falso (F)
Considere uma superf´ıcie cu´bica, de aresta com comprimento R, e uma superf´ıcie esfe´rica, de raio com
comprimento tambe´m R. Dentro de cada uma dessas superf´ıcies temos uma part´ıcula de carga q. Podemos
concluir que o fluxo do campo ele´trico atrave´s da superf´ıcie cu´bica e´ maior que aquele atrave´s da superf´ıcie
esfe´rica.
Uma part´ıcula (pontual) de carga Q e´ mantida fixa enquanto outra part´ıcula (pontual), de carga q, e´
trazida para perto da primeira a velocidade constante. Podemos concluir que o trabalho efetuado pela forc¸a
eletrosta´tica atuante sobre a part´ıcula de carga q e´ positivo se ambas as cargas tiverem o mesmo sinal.
O potencial eletrosta´tico e´ o mesmo em todos os pontos na superf´ıcie de um condutor em equil´ıbrio
eletrosta´tico, logo a densidade superficial de carga sera´ a mesma em todos os pontos dessa superf´ıcie.
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Sec¸a˜o 3. Questo˜es discursivas
1. Um anel uni-dimensional, circular, pertence ao plano cartesiano XY e tem raio R e centro na origem do
sistema de coordenadas cartesianas. Ele possui uma distribuic¸a˜o estaciona´ria de carga, cuja densidade
linear e´ dada por
λ(θ) =
{
λ0 cos θ , se 0 ≤ θ ≤ π ;
0 , se π < θ < 2π .
Aqui λ0 e´ uma constante e θ e´ o usual aˆngulo polar, medido a partir do eixo OX , no sentido trigonome´trico.
(a) Determine a carga total de tal distribuic¸a˜o. [0,5 ponto]
(b) Determine o vetor campo ele´trico no centro do anel. [1,5 ponto]
(c) Determine o potencial no centro do anel, tomando-o igual a zero no infinito. [0,5 ponto]
4
5
2. Considere uma bola esfe´rica isolante (com constante diele´trica igual a 1), de raio R, com uma distribuic¸a˜o
estaciona´ria de carga esfericamente sime´trica, cuja densidade volumar e´ dada por
ρ(r) =
{
Ar2 , se 0 ≤ r ≤ R ;
0 , se R < r <∞ .
Aqui A e´ uma constante e r e´ a usual distaˆncia radial, desde o centro da bola.
(a) Determine a carga total de tal distribuic¸a˜o. [0,5 ponto]
(b) Determine o vetor campo ele´trico fora e dentro de tal bola carregada. [1,0 ponto]
(c) Determine o potencial eletrosta´tico fora e dentro de tal bola carregada, tomando-o igual a zero no
infinito. [1,0 ponto]
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Gabarito para Versa˜o C
Sec¸a˜o 1. Mu´ltipla escolha (so´ uma opc¸a˜o e´ correta)
1. Um diele´trico e´ inserido entre as placas de um ca-
pacitor de placas planas e paralelas, preenchendo
completamente a regia˜o entre elas. Inicialmente,
o espac¸o entre elas estava preenchido com ar e o
capacitor estava carregado com uma carga Q e
desconectado de qualquer bateria. Depois da in-
serc¸a˜o do diele´trico, podemos afirmar que
(a) a carga nas placas do capacitor aumenta.
(b) a diferenc¸a de potencial entre as placas
do capacitor aumenta.
(c) o campo ele´trico no interior do capacitor
diminui.
(d) a energia ele´trica armazenada permanece
a mesma.
2. Para uma casca esfe´rica condutora, de raio interno
a e raio externo b, inicialmente neutra, transfere-
se uma cargaQ. Em seguida, uma part´ıcula (pon-
tual) de carga −10q e´ colocada no seu centro.
Qual e´ a expressa˜o correta para a densidade de
carga sobre a superf´ıcie externa da casca condu-
tora?
(a) σ = −10q/(4πb2) .
(b) σ = −Q/(4πb2) .
(c) σ = (Q− 10q)/(4πb2) .
(d) σ = (Q+ 10q)/(4πb2) .
(e) σ = (10q −Q)/(4πb2) .
3. Considere as configurac¸o˜es A e B de part´ıculas
(pontuais) carregadas representadas na figura
abaixo. Efetue a ordenac¸a˜o da energia potencial
eletrosta´tica armazenada em cada caso, levando
em conta que, nos dois casos, a separac¸a˜o entre a
part´ıcula central e as demais tem sempre o mesmo
valor.
q q −q
A :
q −q q
B :
(a) UA < UB.
(b) UA = UB.
(c) UA > UB.
(d) Os dados sa˜o insuficientes.
4. Em uma regia˜o do espac¸o, o potencial ele-
trosta´tico e´ dado por
V (x, y, z) = a(2x2 + yz) , a = const ,
onde x, y, z sa˜o as tradicionais coordenadas carte-
sianas. O vetor campo ele´trico no ponto (2b, b, 2b)
e´ dado por
(a) −ab(8xˆ+ yˆ + 2zˆ) .
(b) −ab(8xˆ+ 2yˆ + zˆ) .
(c) ab(8xˆ+ 2yˆ + zˆ) .
(d) ab(8xˆ+ yˆ + 2zˆ) .
(e) 0, pois temos simetria plana.
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5. Sabe-se que o mo´dulo do campo ele´trico na regia˜o
entre duas placas planas muito grandes, separa-
das por uma pequena distaˆncia, e com densida-
des superficiais de mesmo mo´dulo, σ, e´ dado por
E = σ/ǫ0. Podemos afirmar que:
(a) as duas placas sa˜o condutoras.
(b) as duas placas sa˜o isolantes.
(c) uma das placas e´ condutora e a outra
placa e´ isolante.
(d) as densidades superficiais de cargas nas
placas teˆm o mesmo sinal.
(e) as densidades superficiais de cargas nas
placas teˆm sinais opostos.
6. Seja a associac¸a˜o de capacitores da figura abaixo:
a
b
C C C C
A capacitaˆncia equivalente
entre os pontos a e b
vale:
(a) C/4 .
(b) 3C/4 .
(c) C/3 .
(d) 4C/3 .
7. Uma superf´ıcie imagina´ria fechada envolve com-
pletamente um dipolo ele´trico e nenhuma outra
part´ıcula carregada. Podemos afirmar que:
(a) o campo ele´trico e´ zero em todos os pon-
tos da superf´ıcie.
(b) o campo ele´trico e´ normal a` superf´ıcie em
todos os pontos da mesma.
(c) o fluxo do campo ele´trico atrave´s da su-
perf´ıcie na˜o pode ser igual a zero, pois ha´
cargas envolvidas pela mesma.
(d) o fluxo do campo ele´trico atrave´s de uma
parte da superf´ıcie pode na˜o ser igual a
zero.
Sec¸a˜o 2. Verdadeiro (V) ou falso (F)
F Considere uma superf´ıcie cu´bica, de aresta com comprimento R, e uma superf´ıcie esfe´rica, de raio
com comprimento tambe´m R. Dentro de cada uma dessas superf´ıcies temos uma part´ıcula de carga q.
Podemos concluir que o fluxo do campo ele´trico atrave´s da superf´ıcie cu´bica e´ maior que aquele atrave´s
da superf´ıcie esfe´rica.
F Uma part´ıcula (pontual) de carga Q e´ mantida fixa enquanto outra part´ıcula (pontual), de carga q, e´
trazida para perto da primeira a velocidade constante. Podemos concluir que o trabalho efetuado pela
forc¸a eletrosta´tica atuante sobre a part´ıcula de carga q e´ positivo se ambas as cargas tiverem o mesmo
sinal.
F O potencial eletrosta´tico e´ o mesmo em todos os pontos na superf´ıcie de um condutor em equil´ıbrio
eletrosta´tico, logo a densidade superficial de carga sera´ a mesma em todos os pontos dessa superf´ıcie.
2
Sec¸a˜o 3. Questo˜es discursivas
1. Um anel uni-dimensional, circular, pertence ao plano cartesiano XY e tem raio R e centro na origem do
sistema de coordenadas cartesianas. Ele possui uma distribuic¸a˜o estaciona´ria de carga, cuja densidade
linear e´ dada por
λ(θ) =
{
λ0 cos θ , se 0 ≤ θ ≤ π ;
0 , se π < θ < 2π .
Aqui λ0 e´ uma constante e θ e´ o usual aˆngulo polar, medido a partir do eixo OX , no sentido trigonome´trico.
(a) Determine a carga total de tal distribuic¸a˜o. [0,5 ponto]
(b) Determine o vetor campo ele´trico no centro do anel. [1,5 ponto]
(c) Determine o potencial no centro do anel, tomando-o igual a zero no infinito. [0,5 ponto]
Resoluc¸a˜o:
(a) A carga total em qualquer curva C e´ sempre dada por
Q[C] =
∫
C
λ(r)dℓ .
No caso,
Q =
∫ pi
θ=0
λ0 cos θRdθ
ou
Q = 0 .
Este resultado era de se esperar visto que a distribuic¸a˜o e´ sime´trica em torno de θ = π/2: o mesmo tanto
de carga positiva existe no primeiro quadrante que de carga negativa no segundo quadrante e distribu´ıda
“igualmente”.
(b) Por simetria, o campo ele´trico resultante no centro do anel so´ tera´ componente x. A contribuic¸a˜o para
tal de um elemento de carga infinitesimal, a um aˆngulo polar θ, e´ dada por
dEx = k0
dq
R2
(−rˆ) · xˆ
= −k0
λ(θ)dℓ
R2
cos θ
= −
k0λ0
R
cos2 θdθ .
Logo
E(0) = −
k0λ0
R
∫ pi
θ=0
cos2 θdθ xˆ
Ora, do formula´rio, tiramos que ∫ pi
θ=0
cos2 θdθ = π/2 .
Portanto, finalmente,
E(0) = −
πk0λ0
2R
xˆ = −
λ0
8ǫ0R
xˆ .
(c) O potencial e´ dado por
V (0) =
∫
C
k0dq
R
;
Logo, trivialmente,
V (0) = 0 .
�
3
2. Considere uma bola esfe´rica isolante (com constante diele´trica igual a 1), de raio R, com uma distribuic¸a˜o
estaciona´ria de carga esfericamente sime´trica, cuja densidade volumar e´ dada por
ρ(r) =
{
Ar2 , se 0 ≤ r ≤ R ;
0 , se R < r <∞ .
Aqui A e´ uma constante e r e´ a usual distaˆncia radial, desde o centro da bola.
(a) Determine a carga total de tal distribuic¸a˜o. [0,5 ponto]
(b) Determine o vetor campo ele´trico fora e dentro de tal bola carregada. [1,0 ponto]
(c) Determine o potencial eletrosta´tico fora e dentro de tal bola carregada, tomando-o igual a zero no
infinito. [1,0 ponto]
Resoluc¸a˜o:
(a) A carga total em qualquer regia˜o R e´ sempre dada por
Q[R] =
∫
R
ρ(r)dV .
Enta˜o, no caso da bola, temos que sua carga total Q sera´ simplesmente
Q =
∫ R
r=0
ρ(r)4πr2dr
= 4πA
∫ R
r=0
r4dr ,
ou
Q =
4
5
πAR5 .
(b) Devido a` simetria esfe´rica, o vetor campo ele´trico criado pela bola so´ tera´ componente radial, componente
esta dependente somente da distaˆncia r. Logo, conve´m calcularmos o campo pela lei de Gauss; como
gaussiana, adotamos uma superf´ıcie esfe´rica conceˆntrica com a bola carregada e de raio gene´rico r. O fluxo
atrave´s dela sera´
ΦE[S] :=
∮
S
E · nˆdA
=
∮
S
Er(r)rˆ · rˆdA
= Er(r)
∮
S
dA
= 4πr2Er(r) .
Para aplicarmos, de fato, a lei de Gauss, precisamos, agora, calcular a carga no interior da gaussiana; para
tanto, temos duas possibilidades:
• R ≤ r <∞:
Nesse caso,
Qint = Q .
Portanto, pela pro´pria lei de Gauss, vem
E = Er(r)rˆ =
1
4πǫ0
Q
r2
rˆ =
AR5
5ǫ0r2
rˆ .
4
• 0 ≤ r ≤ R:
Nesse caso,
Qint =
∫ r
r′=0
Ar′24πr′2dr′
=
4
5
πAr5 .
Portanto, pela pro´pria lei de Gauss, novamente, vem
E =
Ar3
5ǫ0
rˆ =
Q
4πǫ0
r3
R5
rˆ .
(c) Calcularemos o potencial V (r), num dado ponto de coordenada radial r, por integrac¸a˜o, a partir do
infinito, do campo ele´trico deduzido no item anterior. Teremos, pois, duas possibilidades:
• R ≤ r <∞:
Nesse caso,
V (r) − V (∞) = −
∫ r
r=∞
Er(r)dr .
Como V (∞) = 0, isso implica
V (r) =
1
4πǫ0
Q
r
=
AR5
5ǫ0r
.
• 0 ≤ r ≤ R:
Nesse caso,
V (r)− V (R) = −
∫ r
r=R
Er(r)dr .
Como, da u´ltima equac¸a˜o, V (R) = Q/(4πǫ0R) = AR
4/(5ǫ0), isso implica
V (r) −
AR4
5ǫ0
=
A
20ǫ0
(R4 − r4) ,
ou seja,
V (r) = −
A
20ǫ0
(r4 − 5R4) = −
Q
16πǫ0R5
(r4 − 5R4) .
�
5
6
Universidade Federal do Rio de Janeiro
Instituto de F´ısica
F´ısica III – 2009/2
Primeira Prova (P1) – 14/10/2009
Versa˜o: D
Aluno:
DRE:
Professor:
Turma:
Sec¸a˜o Nota original Nota de revisa˜o Rubrica
Parte objetiva (total)
Parte discursiva: Questa˜o 1
Parte discursiva: Questa˜o 2
INSTRUC¸O˜ES: LEIA COM CUIDADO!
1. Preencha correta, leg´ıvel e totalmente os campos em branco (Aluno, DRE, Professor e Turma) do cabec¸alho
acima. Sem isso, a correc¸a˜o de sua prova podera´ ficar prejudicada!
2. A prova constitui-se de duas partes:
• uma parte de dez (10) questo˜es objetivas, cada uma das quais valendo 0,5 ponto, parte essa dividida,
por sua vez, em duas sec¸o˜es:
– uma sec¸a˜o de sete (7) questo˜es de mu´ltipla escolha (sem nenhum tipo de penalizac¸a˜o),
– uma sec¸a˜o de treˆs (3) questo˜es de falso ou verdadeiro (com duas questo˜es incorretamente respon-
didas anulando uma correta);
• uma parte discursiva, constitu´ıda por duas questo˜es discursivas (ou argumentativas ou dissertativas),
cada uma das quais valendo 2,5 pontos.
3. A parte objetiva deve ser preenchida a caneta.
4. E´ vedado o uso de qualquer instrumento eletro-eletroˆnico (calculadora, celular, iPod, etc)
Formula´rio
E =
1
4πǫ0
q
r2
rˆ ,
∮
S
E · nˆ dA = Qint/ǫ0 , E = −∇V , uE =
1
2
ǫ0E
2 .
∫
sen2 u du =
u
2
−
sen (2u)
4
,
∫
cos2 u du =
u
2
+
sen (2u)
4
,
∫
senu cosu du =
sen2 u
2
.
1
Sec¸a˜o 1. Mu´ltipla escolha (so´ uma opc¸a˜o e´ correta)
1. Um diele´trico e´ inserido entre as placas de um ca-
pacitor de placas planas e paralelas, preenchendo
completamente a regia˜o entre elas. Inicialmente,
o espac¸o entre elas estava preenchido com ar e o
capacitor estava carregado com uma carga Q e
desconectado de qualquer bateria. Depois da in-
serc¸a˜o do diele´trico, podemos afirmar que
(a) a carga nas placas do capacitor aumenta.
(b) a diferenc¸a de potencial entre as placas
do capacitor aumenta.
(c) o campo ele´trico no interior do capacitor
diminui.
(d) a energia ele´trica armazenada permanece
a mesma.
2. Seja a associac¸a˜o de capacitores da figura abaixo:
a
b
C C C C
A capacitaˆncia equivalente entre
os pontos a e b
vale:
(a) C/4 .
(b) 3C/4 .
(c) C/3 .
(d) 4C/3 .
3. Considere as configurac¸o˜es A e B de part´ıculas
(pontuais) carregadas representadas na figura
abaixo. Efetue a ordenac¸a˜o da energia potencial
eletrosta´tica armazenada em cada caso, levando
em conta que, nos dois casos, a separac¸a˜o entre a
part´ıcula central e as demais tem sempre o mesmo
valor.
q q −q
A :
q −q q
B :
(a) UA < UB.
(b) UA = UB.
(c) UA > UB.
(d) Os dados sa˜o insuficientes.
4. Sabe-se que o mo´dulo do campo ele´trico na regia˜o
entre duas placas planas muito grandes, separa-
das por uma pequena distaˆncia, e com densida-
des superficiais de mesmo mo´dulo, σ, e´ dado por
E = σ/ǫ0. Podemos afirmar que:
(a) as duas placas sa˜o condutoras.
(b) as duas placas sa˜o isolantes.
(c) uma das placas e´ condutora e a outra
placa e´ isolante.
(d) as densidades superficiais de cargas nas
placas teˆm o mesmo sinal.
(e) as densidades superficiais de cargas nas
placas teˆm sinais opostos.
5. Uma superf´ıcie imagina´ria fechada envolve com-
pletamente um dipolo ele´trico e nenhuma outra
part´ıcula carregada. Podemos afirmar que:
(a) o campo ele´trico e´ zero em todos os pon-
tos da superf´ıcie.
(b) o campo ele´trico e´ normal a` superf´ıcie em
todos os pontos da mesma.
(c) o fluxo do campo ele´trico atrave´s da su-
perf´ıcie na˜o pode ser igual a zero, pois ha´
cargas envolvidas pela mesma.
(d) o fluxo do campo ele´trico atrave´s de uma
parte da superf´ıcie pode na˜o ser igual a
zero.
2
6. Em uma regia˜o do espac¸o, o potencial ele-
trosta´tico e´ dado por
V (x, y, z) = a(2x2 + yz) , a = const ,
onde x, y, z sa˜o as tradicionais coordenadas carte-
sianas. O vetor campo ele´trico no ponto (2b, b, 2b)
e´ dado por
(a) −ab(8xˆ+ yˆ + 2zˆ) .
(b) −ab(8xˆ+ 2yˆ + zˆ) .
(c) ab(8xˆ+ 2yˆ + zˆ) .
(d) ab(8xˆ+ yˆ + 2zˆ) .
(e) 0, pois temos simetria plana.
7. Para uma casca esfe´rica condutora, de raio interno
a e raio externo b, inicialmente neutra, transfere-
se uma cargaQ. Em seguida, uma part´ıcula (pon-
tual) de carga −10q e´ colocada no seu centro.
Qual e´ a expressa˜o correta para a densidade de
carga sobre a superf´ıcie externa da casca condu-
tora?
(a) σ = −10q/(4πb2) .
(b) σ = −Q/(4πb2) .
(c) σ = (Q− 10q)/(4πb2) .
(d) σ = (Q+ 10q)/(4πb2) .
(e) σ = (10q −Q)/(4πb2) .
Sec¸a˜o 2. Verdadeiro (V) ou falso (F)
Considere uma superf´ıcie cu´bica, de aresta com comprimento R, e uma superf´ıcie esfe´rica, de raio com
comprimento tambe´m R. Dentro de cada uma dessas superf´ıcies temos uma part´ıcula de carga q. Podemos
concluir que o fluxo do campo ele´trico atrave´s da superf´ıcie cu´bica e´ maior que aquele atrave´s da superf´ıcie
esfe´rica.
O potencial eletrosta´tico e´ o mesmo em todos os pontos na superf´ıcie de um condutor em equil´ıbrio
eletrosta´tico, logo a densidade superficial de carga sera´ a mesma em todos os pontos dessa superf´ıcie.
Uma part´ıcula (pontual) de carga Q e´ mantida fixa enquanto outra part´ıcula (pontual), de carga q, e´
trazida para perto da primeira a velocidade constante. Podemos concluir que o trabalho efetuado pela forc¸a
eletrosta´tica atuante sobre a part´ıcula de carga q e´ positivo se ambas as cargas tiverem o mesmo sinal.
3
Sec¸a˜o 3. Questo˜es discursivas
1. Um anel uni-dimensional, circular, pertence ao plano cartesiano XY e tem raio R e centro na origem do
sistema de coordenadas cartesianas. Ele possui uma distribuic¸a˜o estaciona´ria de carga, cuja densidade
linear e´ dada por
λ(θ) =
{
λ0 cos θ , se 0 ≤ θ ≤ π ;
0 , se π < θ < 2π .
Aqui λ0 e´ uma constante e θ e´ o usual aˆngulo polar, medido a partir do eixo OX , no sentido trigonome´trico.
(a) Determine a carga total de tal distribuic¸a˜o. [0,5 ponto]
(b) Determine o vetor campo ele´trico no centro do anel. [1,5 ponto]
(c) Determine o potencial no centro do anel, tomando-o igual a zero no infinito. [0,5 ponto]
4
5
2. Considere uma bola esfe´rica isolante (com constante diele´trica igual a 1), de raio R, com uma distribuic¸a˜o
estaciona´ria de carga esfericamente sime´trica, cuja densidade volumar e´ dada por
ρ(r) =
{
Ar2 , se 0 ≤ r ≤ R ;
0 , se R < r <∞ .
Aqui A e´ uma constante e r e´ a usual distaˆncia radial, desde o centro da bola.
(a) Determine a carga total de tal distribuic¸a˜o. [0,5 ponto]
(b) Determine o vetor campo ele´trico fora e dentro de tal bola carregada. [1,0 ponto]
(c) Determine o potencial eletrosta´tico fora e dentro de tal bola carregada, tomando-o igual a zero no
infinito. [1,0 ponto]
6
7
8
Gabarito para Versa˜o D
Sec¸a˜o 1. Mu´ltipla escolha (so´ uma opc¸a˜o e´ correta)
1. Um diele´trico e´ inserido entre as placas de um ca-
pacitor de placas planas e paralelas, preenchendo
completamente a regia˜o entre elas. Inicialmente,
o espac¸o entre elas estava preenchido com ar e o
capacitor estava carregado com uma carga Q e
desconectado de qualquer bateria. Depois da in-
serc¸a˜o do diele´trico, podemos afirmar que
(a) a carga nas placas do capacitor aumenta.
(b) a diferenc¸a de potencial entre as placas
do capacitor aumenta.
(c) o campo ele´trico no interior do capacitor
diminui.
(d) a energia ele´trica armazenada permanece
a mesma.
2. Seja a associac¸a˜o de capacitores da figura abaixo:
a
b
C C C C
A capacitaˆncia equivalente entre os pontos a e b
vale:
(a) C/4 .
(b) 3C/4 .
(c) C/3 .
(d) 4C/3 .
3. Considere as configurac¸o˜es A e B de part´ıculas
(pontuais) carregadas representadas na figura
abaixo. Efetue a ordenac¸a˜o da energia potencial
eletrosta´tica armazenada em cada caso, levando
em conta que, nos dois casos, a separac¸a˜o entre a
part´ıcula central e as demais tem sempre o mesmo
valor.
q q −q
A :
q −q q
B :
(a) UA < UB.
(b) UA = UB.
(c) UA > UB.
(d) Os dados sa˜o insuficientes.
4. Sabe-se que o mo´dulo do campo ele´trico na regia˜o
entre duas placas planas muito grandes, separa-
das por uma pequena distaˆncia, e com densida-
des superficiais de mesmo mo´dulo, σ, e´ dado por
E = σ/ǫ0. Podemos afirmar que:
(a) as duas placas sa˜o condutoras.
(b) as duas placas sa˜o isolantes.
(c) uma das placas e´ condutora e a outra
placa e´ isolante.
(d) as densidades superficiais de cargas nas
placas teˆm o mesmo sinal.
(e) as densidades superficiais de cargas nas
placas teˆm sinais opostos.
1
5. Uma superf´ıcie imagina´ria fechada envolve com-
pletamente um dipolo ele´trico e nenhuma outra
part´ıcula carregada. Podemos afirmar que:
(a) o campo ele´trico e´ zero em todos os pon-
tos da superf´ıcie.
(b) o campo ele´trico e´ normal a` superf´ıcie em
todos os pontos da mesma.
(c) o fluxo do campo ele´trico atrave´s da su-
perf´ıcie na˜o pode ser igual a zero, pois ha´
cargas envolvidas pela mesma.
(d) o fluxo do campo ele´trico atrave´s de uma
parte da superf´ıcie pode na˜o ser igual a
zero.
6. Em uma regia˜o do espac¸o, o potencial ele-
trosta´tico e´ dado por
V (x, y, z) = a(2x2 + yz) , a = const ,
onde x, y, z sa˜o as tradicionais coordenadas carte-
sianas. O vetor campo ele´trico no ponto (2b, b, 2b)
e´ dado por
(a) −ab(8xˆ+ yˆ + 2zˆ) .
(b) −ab(8xˆ+ 2yˆ + zˆ) .
(c) ab(8xˆ+ 2yˆ + zˆ) .
(d) ab(8xˆ+ yˆ + 2zˆ) .
(e) 0, pois temos simetria plana.
7. Para uma casca esfe´rica condutora, de raio interno
a e raio externo b, inicialmente neutra, transfere-
se uma cargaQ. Em seguida, uma part´ıcula (pon-
tual) de carga −10q e´ colocada no seu centro.
Qual e´ a expressa˜o correta para a densidade de
carga sobre a superf´ıcie externa da casca condu-
tora?
(a) σ = −10q/(4πb2) .
(b) σ = −Q/(4πb2) .
(c) σ = (Q− 10q)/(4πb2) .
(d) σ = (Q+ 10q)/(4πb2) .
(e) σ = (10q −Q)/(4πb2) .
Sec¸a˜o 2. Verdadeiro (V) ou falso (F)
F Considere uma superf´ıcie cu´bica, de aresta com comprimento R, e uma superf´ıcie esfe´rica, de
raio
com comprimento tambe´m R. Dentro de cada uma dessas superf´ıcies temos uma part´ıcula de carga q.
Podemos concluir que o fluxo do campo ele´trico atrave´s da superf´ıcie cu´bica e´ maior que aquele atrave´s
da superf´ıcie esfe´rica.
F O potencial eletrosta´tico e´ o mesmo em todos os pontos na superf´ıcie de um condutor em equil´ıbrio
eletrosta´tico, logo a densidade superficial de carga sera´ a mesma em todos os pontos dessa superf´ıcie.
F Uma part´ıcula (pontual) de carga Q e´ mantida fixa enquanto outra part´ıcula (pontual), de carga q, e´
trazida para perto da primeira a velocidade constante. Podemos concluir que o trabalho efetuado pela
forc¸a eletrosta´tica atuante sobre a part´ıcula de carga q e´ positivo se ambas as cargas tiverem o mesmo
sinal.
2
Sec¸a˜o 3. Questo˜es discursivas
1. Um anel uni-dimensional, circular, pertence ao plano cartesiano XY e tem raio R e centro na origem do
sistema de coordenadas cartesianas. Ele possui uma distribuic¸a˜o estaciona´ria de carga, cuja densidade
linear e´ dada por
λ(θ) =
{
λ0 cos θ , se 0 ≤ θ ≤ π ;
0 , se π < θ < 2π .
Aqui λ0 e´ uma constante e θ e´ o usual aˆngulo polar, medido a partir do eixo OX , no sentido trigonome´trico.
(a) Determine a carga total de tal distribuic¸a˜o. [0,5 ponto]
(b) Determine o vetor campo ele´trico no centro do anel. [1,5 ponto]
(c) Determine o potencial no centro do anel, tomando-o igual a zero no infinito. [0,5 ponto]
Resoluc¸a˜o:
(a) A carga total em qualquer curva C e´ sempre dada por
Q[C] =
∫
C
λ(r)dℓ .
No caso,
Q =
∫ pi
θ=0
λ0 cos θRdθ
ou
Q = 0 .
Este resultado era de se esperar visto que a distribuic¸a˜o e´ sime´trica em torno de θ = π/2: o mesmo tanto
de carga positiva existe no primeiro quadrante que de carga negativa no segundo quadrante e distribu´ıda
“igualmente”.
(b) Por simetria, o campo ele´trico resultante no centro do anel so´ tera´ componente x. A contribuic¸a˜o para
tal de um elemento de carga infinitesimal, a um aˆngulo polar θ, e´ dada por
dEx = k0
dq
R2
(−rˆ) · xˆ
= −k0
λ(θ)dℓ
R2
cos θ
= −
k0λ0
R
cos2 θdθ .
Logo
E(0) = −
k0λ0
R
∫ pi
θ=0
cos2 θdθ xˆ
Ora, do formula´rio, tiramos que ∫ pi
θ=0
cos2 θdθ = π/2 .
Portanto, finalmente,
E(0) = −
πk0λ0
2R
xˆ = −
λ0
8ǫ0R
xˆ .
(c) O potencial e´ dado por
V (0) =
∫
C
k0dq
R
;
Logo, trivialmente,
V (0) = 0 .
�
3
2. Considere uma bola esfe´rica isolante (com constante diele´trica igual a 1), de raio R, com uma distribuic¸a˜o
estaciona´ria de carga esfericamente sime´trica, cuja densidade volumar e´ dada por
ρ(r) =
{
Ar2 , se 0 ≤ r ≤ R ;
0 , se R < r <∞ .
Aqui A e´ uma constante e r e´ a usual distaˆncia radial, desde o centro da bola.
(a) Determine a carga total de tal distribuic¸a˜o. [0,5 ponto]
(b) Determine o vetor campo ele´trico fora e dentro de tal bola carregada. [1,0 ponto]
(c) Determine o potencial eletrosta´tico fora e dentro de tal bola carregada, tomando-o igual a zero no
infinito. [1,0 ponto]
Resoluc¸a˜o:
(a) A carga total em qualquer regia˜o R e´ sempre dada por
Q[R] =
∫
R
ρ(r)dV .
Enta˜o, no caso da bola, temos que sua carga total Q sera´ simplesmente
Q =
∫ R
r=0
ρ(r)4πr2dr
= 4πA
∫ R
r=0
r4dr ,
ou
Q =
4
5
πAR5 .
(b) Devido a` simetria esfe´rica, o vetor campo ele´trico criado pela bola so´ tera´ componente radial, componente
esta dependente somente da distaˆncia r. Logo, conve´m calcularmos o campo pela lei de Gauss; como
gaussiana, adotamos uma superf´ıcie esfe´rica conceˆntrica com a bola carregada e de raio gene´rico r. O fluxo
atrave´s dela sera´
ΦE[S] :=
∮
S
E · nˆdA
=
∮
S
Er(r)rˆ · rˆdA
= Er(r)
∮
S
dA
= 4πr2Er(r) .
Para aplicarmos, de fato, a lei de Gauss, precisamos, agora, calcular a carga no interior da gaussiana; para
tanto, temos duas possibilidades:
• R ≤ r <∞:
Nesse caso,
Qint = Q .
Portanto, pela pro´pria lei de Gauss, vem
E = Er(r)rˆ =
1
4πǫ0
Q
r2
rˆ =
AR5
5ǫ0r2
rˆ .
4
• 0 ≤ r ≤ R:
Nesse caso,
Qint =
∫ r
r′=0
Ar′24πr′2dr′
=
4
5
πAr5 .
Portanto, pela pro´pria lei de Gauss, novamente, vem
E =
Ar3
5ǫ0
rˆ =
Q
4πǫ0
r3
R5
rˆ .
(c) Calcularemos o potencial V (r), num dado ponto de coordenada radial r, por integrac¸a˜o, a partir do
infinito, do campo ele´trico deduzido no item anterior. Teremos, pois, duas possibilidades:
• R ≤ r <∞:
Nesse caso,
V (r) − V (∞) = −
∫ r
r=∞
Er(r)dr .
Como V (∞) = 0, isso implica
V (r) =
1
4πǫ0
Q
r
=
AR5
5ǫ0r
.
• 0 ≤ r ≤ R:
Nesse caso,
V (r)− V (R) = −
∫ r
r=R
Er(r)dr .
Como, da u´ltima equac¸a˜o, V (R) = Q/(4πǫ0R) = AR
4/(5ǫ0), isso implica
V (r) −
AR4
5ǫ0
=
A
20ǫ0
(R4 − r4) ,
ou seja,
V (r) = −
A
20ǫ0
(r4 − 5R4) = −
Q
16πǫ0R5
(r4 − 5R4) .
�
5
6