LISTA 7 sol

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> #LISTA 7 
> restart:with(linalg): 
> # Eu numerei: verde=1, azul=2, amarela=3, vermelha=4 e 
rosa=5, 
> 
M:=matrix(5,5,[0,0,0,1,1,0,0,0,1,1,0,0,0,1,1,1,1,1,0,0,1,1,1,
0,0]); 
 
> #os autovalores de M são 0,0,0,a,-a, vamos fazer M^2 para 
facilitar a vida: 
> evalm(M^2); 
 
> # logo os autovalores são 0,0,0,sqrt(6) e -sqrt(6), como a 
matriz é simétrica e portanto diagonalizável, vamos ajustar 
um polinômio de grau 2. Genericamente 
> Mn:=evalm(a*M^2+b*M+c); 
 
> interp([0,sqrt(6),-sqrt(6)],[0^n,(sqrt(6))^n,(-
sqrt(6))^n],lambda); 
 
> p:=lambda->interp([0,sqrt(6),-sqrt(6)],[0^n,(sqrt(6))^n,(-
sqrt(6))^n],lambda); 
> 
 
> evalm(subs(lambda=M,p(lambda))); 
 
> #Montando o sistema ficaria: 
> p:=lambda->a*lambda^2+b*lambda+c; 
 
> eq1:=p(0)=0^n; 
 
> eq2:=p(sqrt(6))=(sqrt(6))^n; 
 
> eq3:=p(-sqrt(6))=(-sqrt(6))^n; 
 
> # Bom c=0, e 'a' e 'b' saem rapidinho...Como c=0 a matriz 
M^n tem 3 entradas diferentes: 2a, b, 3a 
> # Sair e voltar para a sala azul é a posição 2,2 da matriz 
logo 2a. 
# Azul para vermelha é 2,4 que é b. 
> ####SEGUNDA QUESTÃO -- feita em sala 
> #### TERCEIRA QUESTÃO: 
> # branca=1, rosa=2, amarela=3 e azul=4 
> M3:=matrix(4,4,[0,0,1,1,0,0,1,1,1,1,0,0,1,1,0,0]); 
 
> #autovalores 0,0,2 e -2 
> 
 
> interp([0,2,-2],[0^n,(2)^n,(-2)^n],lambda); 
 
> p1:=lambda->interp([0,2,-2],[0^n,(2)^n,(-2)^n],lambda); 
 
> evalm(subs(lambda=M3,p1(lambda))); 
 
> # azul-azul = posição 4,4; azul-rosa = posição 4,2