provas e gabaritos calc 01 A turma G1-marlene 2010-1

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VS calc 01 A turma G1-marlene 2010-1.pdf
- Departamento de Matema´tica Aplicada (GMA) 2010-1
Nome 14/07/2010 Nota:
VS de C A´ L C U L O I - A
Turma G1 - Profa Marlene
ATENC¸A˜O, leia antes de comec¸ar a prova:
- Em qualquer questa˜o na˜o basta a resposta, e´ preciso escrever a resoluc¸a˜o ou justificativa.
- As questo˜es podem ser resolvidas em qualquer ordem.
- As resoluc¸o˜es e respostas podem ser feitas a la´pis ou caneta.
- Ningue´m podera´ sair da sala durante a prova.
BOA PROVA!
1a questa˜o (valor: 2,0)
Calcule os limites:
(a) lim
x→−∞
√
9x50 + 3
5− 4x25 (b) limx→∞
(
1 +
1
ex
)x
2a questa˜o (valor: 1,5)
Determine a equac¸a˜o da reta tangente a` curva de equac¸a˜o x2y−xy3 = x2+y2 no ponto em que x = −1.
3a questa˜o (valor: 1,5)
Um retaˆngulo deve ser constru´ıdo com dois lados paralelos ao eixo y, outro lado apoiado no eixo x e o u´ltimo
lado com ve´rtices na para´bola y = 12−x2, y > 0. Nessas condic¸o˜es, qual sa˜o as dimenso˜es do retaˆngulo de a´rea
ma´xima?
4a questa˜o (valor: 1,5)
Seja f(x) = g2(arctan(1− 2x)), onde g e´ uma func¸a˜o diferencia´vel.
Calcule f ′(1), se sabemos que g
(−pi4 ) = 2; g′ (−pi4 ) = −2; g ( 3pi4 ) = 3; g′ ( 3pi4 ) = −3.
5a questa˜o (valor: 2,5)
Seja f(x) = 1 +
x
x3 − 16 . Sabemos que f
′′(x) =
6x2
(
x3 + 32
)
(x3 − 16)3
Esboce o gra´fico de f , escrevendo claramente: o domı´nio e os intervalos de continuidade de f , as equac¸o˜es
das ass´ıntotas horizontais e verticais (caso existam), os intervalos de crescimento e de decrescimento de f , os
intervalos de concavidade do gra´fico de f para cima e para baixo, os pontos de ma´ximo e mı´nimo relativo e
absoluto de f , os pontos de inflexa˜o do gra´fico de f . Por u´ltimo, deˆ a imagem de f .
6a questa˜o (valor: 1,0)
Encontre f(x) tal que f ′(x) =
2x3 + 3x2 + 3x+ 1
x
e f(1) = 3.
Gabarito VE1 calculo I-A - turma A1 - 2010-1.pdf
Gabarito VE2 calculo I-A - turma A1 - 2010-1.pdf
Gabarito VE3 calculo I-A - turma A1 - 2010-1.pdf
Gabarito VR calculo I-A - turma A1 - 2010-1.pdf
Gabarito VS calculo I-A - turma A1 - 2010-1.pdf
VE1 calc 01 A turma G1-marlene 2010-1.pdf
- Departamento de Matema´tica Aplicada (GMA) 2010-1
Nome 19/abril/2010 Nota:
1a VE de C A´ L C U L O I - A
Turma G1 - Profa Marlene
ATENC¸A˜O, leia antes de comec¸ar a prova:
- Em qualquer questa˜o na˜o basta a resposta, e´ preciso escrever a resoluc¸a˜o ou justificativa.
- As questo˜es podem ser resolvidas em qualquer ordem.
- As resoluc¸o˜es e respostas podem ser feitas a la´pis ou caneta.
- Ningue´m podera´ sair da sala durante a prova.
- Nesta prova na˜o sera´ aceita resoluc¸a˜o de limite usando-se a regra de L’Hoˆpital.
BOA PROVA!
1a questa˜o (valor: 2,0)
Considere a func¸a˜o f(x) = 4− 2|x| − 2
(a) Usando transformac¸o˜es de gra´ficos, esboce o gra´fico da func¸a˜o f .
(b) Deˆ as equac¸o˜es das ass´ıntotas verticais e horizontais do gra´fico de f .
(c) Deˆ o domı´nio e a imagem da func¸a˜o f .
2a questa˜o (valor: 2,0)
(a) Deˆ os intervalos onde a func¸a˜o f(x) =
x
√
4x2 − 1
9− x2 esta´ definida e e´ cont´ınua.
(b) Encontre as equac¸o˜es das ass´ıntotas horizontais do gra´fico de f(x) =
x
√
4x2 − 1
9− x2 .
3a questa˜o (valor: 2,0)
Considere f(x) =

ax+ 10 se x ≤ 2
2x3 + x2 − 8x− 4
x2 − 5x+ 6 se 2 < x < 3
ax+ b s x ≥ 3
Determine, se poss´ıvel, um valor para a e um valor para b de forma que f seja cont´ınua em x = 2 e x = 3.
Caso na˜o seja poss´ıvel determinar, justifique.
4a questa˜o (valor: 2,0)
Calcule os limites:
(a) lim
x→1
√
x+ 3−√x2 − 2x+ 5
x− 1 (b) limx→0
x2 + sen 2x
x senx
5a questa˜o (valor: 2,0)
Considere a func¸a˜o f(x) = 2x− 3− sen 2x.
(a) Justifique porque e´ poss´ıvel garantir que a func¸a˜o f possui pelo menos uma raiz no intervalo (0, pi/2).
(b) Encontre um intervalo aberto de comprimento pi/4 em que e´ poss´ıvel garantir que a func¸a˜o f possui pelo
menos uma raiz nesse intervalo.
Lembrete: x = a e´ uma raiz da func¸a˜o se f(a) = 0.
VE2 calc 01 A turma G1-marlene 2010-1.pdf
- Departamento de Matema´tica Aplicada (GMA) 2010-1
Nome 31/05/2010 Nota:
2a VE de C A´ L C U L O I - A
Turma G1 - Profa Marlene
ATENC¸A˜O, leia antes de comec¸ar a prova:
- Em qualquer questa˜o na˜o basta a resposta, e´ preciso escrever a resoluc¸a˜o ou justificativa.
- As questo˜es podem ser resolvidas em qualquer ordem.
- As resoluc¸o˜es e respostas podem ser feitas a la´pis ou caneta.
- Ningue´m podera´ sair da sala durante a prova.
- Nesta prova na˜o sera´ aceita resoluc¸a˜o de limite usando-se a regra de L’Hoˆpital.
BOA PROVA!
1a questa˜o (valor: 2,0)
Considere a func¸a˜o f(x) = x+ x5/3, x ∈ R e contradomı´nio igual a imagem.
(a) Mostre que essa func¸a˜o admite inversa.
(b) Encontre f(8) e calcule f−1(f(8)).
(c) Determine a equac¸a˜o da reta tangente ao gra´fico de f−1 no ponto (f(8), 8).
2a questa˜o (valor: 2,0)
Considere a func¸a˜o f(x) =
 x
3 − 1 se x ≤ −1
x2 + |x| se −1 < x < 1
4x− 2 se x ≥ 1
Encontre os valores de x em que f na˜o e´ diferencia´vel. Explique porque na˜o e´ diferencia´vel em cada caso.
3a questa˜o (valor: 3,0)
Fac¸a o que se pede:
(a) Se y =
6− 2x√
(2 + 5x)3
encontre
dy
dx
e simplifique ate´ encontrar uma frac¸a˜o do tipo
ax+ b
(cx+ d)
p
q
.
(b) Se f(x) = x ·F ( sen (2x)), onde F e´ uma func¸a˜o diferencia´vel tal que F (1) = 3 e F ′(1) = 5, calcule f ′(pi/4).
4a questa˜o (valor: 2,0)
Uma func¸a˜o y = f(x) esta´ definida implicitamente na equac¸a˜o ln(x+ 2y) = exy − 1.
Encontre o coeficiente angular da reta tangente ao gra´fico da func¸a˜o no ponto onde o gra´fico corta o eixo x.
5a questa˜o (valor: 2,0)
Um avia˜o esta´ voando horizontalmente a uma altitude de 12km e um observador no solo esta´ apontando
para o avia˜o e medindo com um instrumento o aˆngulo de elevac¸a˜o do avia˜o, isto e´, o aˆngulo que a semireta que
aponta para o avia˜o faz com o solo.
Apo´s passar sobre o observador, no instante em que o aˆngulo de elevac¸a˜o mede 60◦, esse aˆngulo esta´ variando
a uma taxa de 18 radianos por minuto. Qual a velocidade do avia˜o nesse instante?
VE3 calc 01 A turma G1-marlene 2010-1.pdf
- Departamento de Matema´tica Aplicada (GMA) 2010-1
Nome 05/07/2010 Nota:
3a VE de C A´ L C U L O I - A
Turma G1 - Profa Marlene
ATENC¸A˜O, leia antes de comec¸ar a prova:
- Em qualquer questa˜o na˜o basta a resposta, e´ preciso escrever a resoluc¸a˜o ou justificativa.
- As questo˜es podem ser resolvidas em qualquer ordem.
- As resoluc¸o˜es e respostas podem ser feitas a la´pis ou caneta.
- Ningue´m podera´ sair da sala durante a prova.
BOA PROVA!
1a questa˜o (valor: 2,0)
Calcule os limites:
(a) lim
x→0
x senh (x)
1− cosh(x) (b) limx→0 (1− tanx)
1
2x
2a questa˜o (valor: 2,0)
Um homem deve partir de um local A na margem de um reto de 108 m de largura e chegar a um
local B da margem oposta. Sabe-se que o local B dista 1 km do local C na mesma margem de B e
C esta´ situado situado em frente ao local A na margem oposta. O homem pode atravessar o rio de
barco, a uma velocidade de 16 km/h e depois seguir pela margem de bicicleta, a uma velocidade de
20 km/h. Qual deve ser o caminho que ele deve percorrer se quer chegar no menor tempo poss´ıvel.
3a questa˜o (valor: 4,0)
Seja f(x) = 2 +
6
x
− 32
x3
Esboce o gra´fico de f , escrevendo claramente: o domı´nio e os intervalos de continuidade de f ,
as equac¸o˜es das ass´ıntotas horizontais e verticais (caso existam), os intervalos de crescimento e de
decrescimento
de f , os intervalos de concavidade do gra´fico de f para cima e para baixo, os pontos
de ma´ximo e mı´nimo relativo e absoluto de f , os pontos de inflexa˜o do gra´fico de f . Por u´ltimo, deˆ a
imagem de f .
4a questa˜o (valor: 2,0)
Fac¸a o que se pede em cada item.
(a) Calcule a integral
∫
3
√
x− x+ x2 − x3
x3
dx
(b) Encontre a func¸a˜o f(x) tal que

f ′(x) = 4 cos(x)− 2 sen (x)
f
(
3pi
4
)
= 3
√
2
VR calc 01 A turma G1-marlene 2010-1.pdf
- Departamento de Matema´tica Aplicada (GMA) 2010-1
Nome 09/07/2010 Nota:
VR de C A´ L C U L O I - A
Turma G1 - Profa Marlene
ATENC¸A˜O, leia antes de comec¸ar a prova:
- Em qualquer questa˜o na˜o basta a resposta, e´ preciso escrever a resoluc¸a˜o ou justificativa.
- As questo˜es podem ser resolvidas em qualquer ordem.
- As resoluc¸o˜es e respostas podem ser feitas a la´pis ou caneta.
- Ningue´m podera´ sair da sala durante a prova.
BOA PROVA!
1a questa˜o (valor: 2,0)
Calcule os limites:
(a) lim
x→−∞
x
√
x2 + x+ 1
2− 2x+ 5x2 (b) limx→0+ (2x+ 1)
cot(x)
2a questa˜o (valor: 1,5)
Seja f(x) =
{
x2 − 1 se x ≤ 1
a+ b x se x > 1
(a) Encontre uma condic¸a˜o sobre as constantes a e b para que a func¸a˜o f seja cont´ınua em x = 1.
(b) Encontre valores para as constantes a e b para que a func¸a˜o f seja diferencia´vel em x = 1.
Obs. Nesse item as derivadas laterais devem ser calculadas usando-se a definic¸a˜o de derivada.
3a questa˜o (valor: 1,5)
Duas part´ıculas P1 e P2 partiram de um mesmo ponto em trajeto´rias retil´ıneas perpendiculares, no instante
t0 seg. Se no instante em que a part´ıcula P1 percorreu 30 cm e a part´ıcula P2 percorreu 40 cm a velocidade de
P1 e´ de 10 cm/seg e a de P2 e´ de 20 cm/seg, com que velocidade a distaˆncia entre as part´ıculas esta´ variando
nesse instante?
4a questa˜o (valor: 2,0)
Fac¸a o que se pede em cada item:
(a) Sabe-se que f(x) = [g ( sen (3x))]2, g e´ uma func¸a˜o ı´mpar e diferencia´vel, g
(√
3
2
)
= 2 e g′
(
−
√
3
2
)
= − 32 .
Deˆ a equac¸a˜o da reta tangente ao gra´fico de f no ponto (−pi/9, f (−pi/9)).
(b) Prove que f(x) = ex
3+2x x ∈ R admite inversa, determine x; f(x) = 1 e calcule (f−1)′ (1).
5a questa˜o (valor: 3,0)
Seja f(x) = x ln |x|
Esboce o gra´fico de f , escrevendo claramente: o domı´nio e os intervalos de continuidade de f , as equac¸o˜es
das ass´ıntotas horizontais e verticais (caso existam), os intervalos de crescimento e de decrescimento de f , os
intervalos de concavidade do gra´fico de f para cima e para baixo, os pontos de ma´ximo e mı´nimo relativo e
absoluto de f , os pontos de inflexa˜o do gra´fico de f . Por u´ltimo, deˆ a imagem de f .