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Diferenciais Vimos que dx dy foi considerado um símbolo para a derivada de y em relação a x. Em alguns problemas é útil interpretar dy e dx separadamente. Nesse contexto, dy é denominado a diferencial de y e dx é a diferencial de x. As diferenciais são utilizadas, por exemplo, em aplicações do cálculo integral e para aproximar variações da variável dependente, associadas com pequenas variações da variável independente. Seja y = f(x) uma função real. Se x varia de x1 a x2, a diferença x2 – x1 é chamada de acréscimo de x e denotada por ∆x. Assim, ∆x = x2 – x1 A variação de x origina um correspondente acréscimo de y denotado por ∆y, isto é: ∆y = f(x2) – f(x1) Como x2 = x1 + ∆x, também podemos escrever: ∆y = f(x1 + ∆x) – f(x1) A figura ao lado mostra um caso em que ∆x e ∆y são positivos, mas ∆x pode ser positivo ou negativo, e ∆y pode ser positivo, negativo ou zero. Exemplo 1: Seja f(x) = x3 a) Determine ∆x quando x varia de 3 para 3,2 b) Determine ∆x quando x varia de 3 para 2,7 c) Determine ∆y quando x varia de 2 para 2,01 d) Determine ∆y quando x varia de 2 para 1,98 Definição: Seja y = f(x) uma função derivável e seja ∆x um acréscimo de x. a) A diferencial da variável independente x, denotada por dx, é dada por dx = ∆x b) A diferencial da variável dependente y, denotada por dy, é dada por dy = f ′(x)dx Exemplo 2: Seja y = x3 a) Determine dy b) Determine dy para x = 2 e dx = 0,01 c) Determine dy para x = 2 e dx = – 0,02 Exemplo 3: Dado y = 4x2 – 3x + 1, determine ∆y, dy e ∆y – dy para: a) x = 2 e ∆x = 0,1 b) x = 2 e ∆x = 0,01 c) x = 2 e ∆x = 0,001 Interpretação geométrica de dy Vamos considerar a figura abaixo que representa o gráfico de uma função y = f(x) derivável. O acréscimo ∆x que define a diferencial dx está geometricamente representado pela medida do segmento PM. O acréscimo ∆y está representado pela medida do segmento MQ. A reta t é tangente à curva no ponto P. Esta reta corta a reta x = x2 no ponto R, formando o triângulo retângulo PMR. O coeficiente angular desta reta t é dado por f ′(x1) ou tg α. Observando o triângulo PMR, podemos dizer que: f ′(x1) = tg α = PM MR onde MR e PM são, respectivamente, as medidas dos segmentos MR e PM. Usando o fato de que f ′(x1) = dx dy , temos daí que dx dy = PM MR Então, como PM = dx, concluímos que dy = MR . No exemplo 3 observamos que quando o valor de ∆x é muito pequeno, o mesmo ocorre com a diferença ∆y – dy. Como veremos mais adiante, dy pode ser usado como aproximação da variação exata ∆y da variável dependente, correspondente a uma pequena variação ∆x na variável independente. Desse modo, se ∆x ≅ 0 então ∆y ≅ dy. Pelo item b da definição anterior, podemos escrever que dx dy = f ′(x) e assim, a notação dx dy já usada como um símbolo para a derivada pode ser considerada um quociente entre duas diferenciais.
