Lista 2 - Solução (parte 1)

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Segunda Lista de Exercícios – Solução 
Macroeconomia II 
 
Crescimento Econômico 
 
 
1. Blanchard, Capítulo 12, Exercício 7. 
 
(a) (i) 1; (ii). 1; (iii) 0; (iv) 4%; (v) 6%. 
 
(b) (i) 0,64; (ii) 0,8; (iii) 0; (iv) 8%; (v) 10%. 
 
(c) (i) 0,64; (ii) 0,8; (iii) 0; (iv) 4%; (v) 10%. 
 
 
 
2. Considere uma economia na qual a função de produção assuma a forma: 
αα −
=
1)(ANKY , (0 < α < 1). A taxa de depreciação do capital é δ, a taxa de 
poupança é s, a taxa de crescimento da força de trabalho é gN e a taxa de progresso 
técnico é gA. 
 
(a) Mostre que a função de produção desta economia satisfaz as propriedade de 
retornos constantes de escala e as condições de Inada. 
 
Retornos constantes de escala 
 
Para qualquer x > 0, mostrar que F(xK,xAN) = xF(K,AN): 
 
),()()()()(),( 1111 ANKxFANxKANKxxxANxKxANxKF ==== −−−− αααααααα
 
 
Condições de Inada 
 
0)()1()(/
0)(/ 11
>−=∂∂=
>=∂∂=
−
−−
αα
αα
α
α
ANKANYPMgAN
ANKKYPMgK
 
 
Portanto, as produtividades marginais são positivas. Além disso, dado que 
0 < α < 1, PMgK é decrescente em K, e PMgAN é decrescente em AN. Por fim, 
dadas as expressões acima, é fácil mostrar que: 
 
∞=∂∂=∂∂
=∂∂=∂∂
→→
∞→∞→
)(/lim/lim
0)(/lim/lim
00 ANYKY
ANYKY
ANK
ANK
 
 
(b) Determine o produto por trabalhador e o nível de consumo por trabalhador no 
estado estacionário. (expresse em termos de α, δ e s) 
 2
 
Em termos per capita: 
 
ααααα kANKANANKANYkfy ~)/()/()(/)~(~ 1 ===== − 
 
Em estado estacionário, *** ~)()~()~( kggksksf NA ++== δα 
 
α
αα
δ
δδ
−
−






++
=
++=⇔++=
1
1
*
1***
~
)/()~(~)()~(
NA
NANA
gg
sk
ggskkggks
 
 
(c) Encontre a taxa de poupança (sg) que maximiza o consumo per capita no estado 
de estacionário. 
 
De acordo com a regra de ouro, NAgg ggkkf ++==′ − δα α 1** )
~()~( . Portanto: 
 
α
δ
α −






++
=
1
1
*~
NA
g gg
k 
 
Comparando esta expressão com a da parte (b), pode-se concluir que sg = α. 
 
 
3. Este problema considera uma versão modificada do modelo de Solow, a qual inclui 
o governo. Em particular, assuma que os gastos públicos por trabalhador são 
constantes ao longo do tempo e dados por γ = G/N. 
 
O governo financia seus gastos através de taxação, em que T é o total de impostos. 
Além disso, o governo mantém uma política de orçamento equilibrado, i.e., G = T. 
A poupança total é uma fração constante da renda disponível, i.e., 
St = s(Yt – T), onde s é a taxa de poupança. 
 
Por simplicidade, desconsidere crescimento populacional e progresso técnico: gA = 
gN = 0. 
 
(a) Calcule poupança (e, portanto, investimento) por trabalhador como função do 
capital por trabalhador. Use um gráfico para descrever esta função. 
 
Poupança = Investimento = St = It = s(Yt – Tt) = s(Yt – Gt). Em termos per capita: 
 
γγ sksfysiNGNYsNI tttttt −=−=⇔−= )()()//(/
 
 
 3
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
(b) Neste mesmo gráfico, desenhe a depreciação total por trabalhador δk também 
como função de k. Mostre que, dependendo do valor de γ, podem existir 0, 1 ou 
2 estados estacionários. Em cada um destes casos, analise a estabilidade do(s) 
estado(s) estacionário(s). 
 
Se γ for suficientemente baixo, haverá dois estados estacionários: 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
O estado estacionário mais baixo, *Bk , é instável. Se consideramos que a 
economia encontra-se inicialmente em *Bk , um pequeno aumento no estoque de 
capital per capita faz com que o investimento fique mais alto que a depreciação, 
provocando um aumento em k. Conseqüentemente, a economia se afasta de *Bk . 
 
k 
– sγ 
sf(k)– sγ 
k 
– sγ 
sf(k)– sγ 
*
Ak *Bk 
δk 
 4
Por outro lado, *Ak é estável. Se a economia encontra-se inicialmente em 
*
Ak , um 
pequeno aumento (redução) no estoque de capital faz com que a depreciação 
fique maior (menor) que o investimento, provocando redução (elevação) em k 
ao longo do tempo. Conseqüentemente, a economia retorna a *Ak . 
 
Aumentos em γ deslocam a curva de investimento per capita para baixo. Existirá 
um único estado estacionário, se a curva de investimento per capita exatamente 
tangenciar a curva de depreciação per capita: 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Este estado estacionário é, entretanto, instável. Se a economia estiver 
inicialmente em *k , uma pequena redução no capital per capita faz com que a 
depreciação fique menor que o investimento. Ou seja, k se reduz ao longo do 
tempo e a economia se afasta de *k . 
 
 
k 
– sγ 
δk 
sf(k)– sγ 
*k
 
 5
Finalmente, para γ suficientemente alto, não há nenhum estado estacionário: 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Assuma agora γ é tal que existem dois estados estacionários. Considere apenas o 
estado estacionário estável. 
 
(c) Determine os efeitos de um aumento em γ sobre capital, produto, consumo e 
investimento por trabalhador em estado estacionário. Qual a intuição por trás 
deste resultado? 
 
A mudança provoca um deslocamento da curva de investimento per capita para 
baixo. Considerando apenas o estado estacionário estável, isto levará a uma 
queda no capital per capita no longo prazo. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
– sγ 
k 
sf(k)– sγ 
– sγ 
– sγ ’ 
sf(k)– sγ ’ 
δk 
*
Ak 
*
Ak ’ 
k 
δk 
sf(k)– sγ 
 6
 
 
Neste caso, a taxação retira parte dos recursos que seriam poupados pelo setor 
privado, e os transforma em consumo do governo. Assim, uma proporção menor 
da renda do país é investida, o que resulta em um menor estoque de capital per 
capita em estado estacionário. 
 
Dado que y = f(k), o produto per capita de estado estacionário também cairá. O 
consumo é dado por: 
 
))(1( ttt TYsC −−= 
 
Em termos per capita: 
 
])()[1()//)(1(/ γ−−=−−== kfsNTNYsNCc tttt 
 
Assim, o consumo per capita de estado estacionário cai por dois motivos: pela 
redução do produto per capita f(k), e pelo aumento de gastos/impostos γ. 
 
(d) Até o momento, os gastos públicos foram tratados como consumo do governo. 
Assuma agora que os gastos do governo são utilizados totalmente como 
investimento (por exemplo, gastos em infra-estrutura). Como isto altera este 
problema? 
 
Neste caso, o investimento é igual à poupança privada mais os gastos do 
governo: 
 
tttttt GssYGTYsI )1()( −+=+−= 
 
Em termos per capita: 
 
γ)1()(/)1(// sksfNGsNsYNI tttt −+=−+= 
 
Assim, o gráfico com investimento e depreciação per capita torna-se: 
 
 7
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Neste caso, sempre existe um único estado estacionário, o qual é estável. Além 
disso, um aumento em γ desloca a curva de investimento per capita para cima, 
determinando uma elevação no estoque de capital per capita de estado estacionário. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Ou seja, o governo retira parte dos recursos que seriam consumidos pelo setor 
privado e os transforma em investimento. Conseqüentemente, o país investirá uma 
(1 – s)γ 
sf(k) + (1 – s)γ 
k 
(1 – s)γ 
sf(k) + (1 – s)γ 
δk 
*k *k ’ 
(1 – s)γ ’ 
sf(k) + (1 – s)γ ’ 
k 
*k 
δk 
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proporção maior de sua renda, resultando em aumento no estoque de capital de 
estado estacionário. 
 
Dado que y =
f(k), o produto per capita de estado estacionário se eleva. O efeito 
sobre o consumo é todavia ambíguo: o consumo aumenta por conta da elevação do 
produto, mas se reduz por conta do aumento de impostos. 
 
 
4. Considere um país inicialmente em estado estacionário. No momento t0, uma onda 
de imigração eleva o número de trabalhadores (N) desta economia (todos os outros 
parâmetros permanecem constantes). Este mudança ocorre somente em t0. 
 
As taxas de crescimento populacional e de progresso técnico são positivas. 
 
(a) Quais os efeitos desta mudança sobre capital, produto, consumo e investimento 
por trabalhador efetivo em estado estacionário? 
 
O capital por trabalhador efetivo de estado estacionário é dado implicitamente 
por: 
 
*
~)(*)~( kggksf AN ++= δ 
 
Uma vez que s, δ, gA e gN não se alteraram, o estoque de capital por trabalhador 
efetivo de estado estacionário será o mesmo. Portanto, as demais variáveis 
(produto, consumo e investimento por trabalhador efetivo) também não se 
alteram em estado estacionário. 
 
(b) Por meio de gráficos, descreva a evolução destas variáveis ao longo do tempo 
(descreva a transição para o novo estado estacionário). Faça o mesmo para 
capital, produto, consumo e investimento por trabalhador. 
 
Ainda que o estado estacionário permaneça inalterado, o capital por trabalhador 
efetivo é reduzido exogenamente por conta do aumento no número de 
trabalhadores. Em outras palavras, a economia encontra-se inicialmente em *~k , 
mas move-se para 0
~k no instante t0. Neste ponto, o investimento supera a 
depreciação, e o estoque de capita cresce. A economia então retorna para o 
estado estacionário inicial ao longo do tempo: 
 
 9
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Renda, consumo e investimento por trabalhador efetivo seguem trajetórias similares 
ao longo do tempo: 
 
tempo 
*~k
 0
~k
 
)~(ksf
 
kgg AN
~)( ++δ
 
k~
 
*~k
 
0
~k
 
tk
~
 
t0 
 10
t0 tempo 
inclinação = gA 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Dado que a taxa de progresso técnico é positiva, a trajetória do log do produto por 
trabalhador será: 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Capital, consumo e investimento por trabalhador comportam-se de maneira similar 
ao longo do tempo. 
 
 
(c) Refaça o exercício, supondo agora um aumento na taxa de crescimento 
populacional (gN), ao invés de um aumento discreto no número de 
trabalhadores. 
 
Ao contrário da parte (a), o aumento na taxa de crescimento populacional leva a um 
estado estacionário diferente. Mais precisamente, capital, renda, consumo e 
investimento por trabalhador efetivo serão mais baixos no novo estado estacionário. 
 
ln(y) 
tempo tempo tempo 
ty~ 
*~y
 
tc
~
 ti
~
 
*~c
 
*~i
 
t0 t0 t0 
 11
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Renda, consumo e investimento por trabalhador efetivo seguem trajetórias 
semelhantes. A trajetória do log do produto por trabalhador encontra-se a seguir (as 
trajetórias para log das demais variáveis são semelhantes): 
 
*
1
~k
 
)~(ksf
 
kgg AN
~)( ++δ
 
k~
 
*
2
~k
 
tempo 
t0 
tk
~
 
*
1
~k
 
*
2
~k
 
 12
t0 tempo 
inclinação = gA 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
ln(y)