Aplicações_EDO_Paty_2012_1

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Aplicações de EDO
Baseado no Livro do Zill & Cullen
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Modelagem
Nas ciências de um modo geral, 
objetivamos escrever ou modelar, algum 
fenômeno físico para a linguagem 
matemática. O modelo matemático que 
geralmente descreve algum fenômeno é, 
geralmente, uma equação diferencial ou um 
sistema de equações diferenciais, seja ela 
ordinária ou parcial. 
Vamos estudar alguns modelos já
conhecidos de EDO de primeira e até
segunda ordem São eles:
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CRESCIMENTO POPULACIONAL
EXPONENCIAL:
A taxa de crescimento (ou decrescimento) de uma população P
é proporcional a população presente naquele instante. Ou seja,
Onde k é uma constante de proporcionalidade. De fato, se a 
população crescer dP/dt > 0, e assim k > 0.
LOGÍSTICO (não cai na prova 1):
Em casos de superpopulação, há deteriorações do meio 
ambiente, poluição, competição por alimentos e energia e estes 
podem causar um efeito inibidor no crescimento da população. 
Se a, a > 0, é uma taxa média de nascimento, vamos supor que 
a taxa média de mortalidade seja proporcional a população P no 
instante t. Logo, se (1/P)(dP/dt) é taxa de crescimento por 
indivíduo em uma população, então, 
kP
dt
dP =
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Onde b é uma constante positiva de proporcionalidade. Se 
multiplicamos a equação acima por P obtemos:
Obs: Esta mesma edo é usada em cronologia do Carbono 14, 
que serve para datar fósseis ou múmias através da quantidade 
desta substância que se desintegra por radioatividade ao longo 
de anos. O isótopo do Carbono 14 é produzido na atmosfera 
pela ação de radiações cósmicas no nitrogênio. A razão entre a 
quantidade de C-14 para carbono ordinário na atmosfera parece 
ser uma constante e, como conseqüência, a proporção da 
quantidade de isótopo presente em todos os seres vivos é a 
mesma proporção da quantidade da atmosfera. Quando um 
organismo morre a absorção de C-14 , através da respiração e 
alimentação, cessa. Assim, pela quantidade de C-14 presente 
num fóssil podem ser medidas quantidades remanescentes de 
carbono-14 mesmo depois de muito tempo. E assim, estimar 
sua idade pelo conhecimento da meia-vida do C-14. 
)( bPaP
dt
dP −=
bPa
dt
dP
P
−=⎟⎟⎠
⎞
⎜⎜⎝
⎛−⎟⎟⎠
⎞
⎜⎜⎝
⎛=
óbito de
 média taxa
nascimento de
 média taxa1
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Observação 2 (Meia-Vida) : Em física, meia-
vida é uma medida de estabilidade de uma 
substância radioativa. A meia-vida é
simplesmente o tempo gasto para metade dos 
átomos de uma quantidade inicial se 
desintegrar ou se transmutar em átomos de 
outro elemento. Quanto maior a meia-vida de 
uma substância mais estável ela é. No caso do 
ultra rádio, Ra-226, a meia vida é cerca de 
1700 anos. Em 1700 anos, metade de uma 
dada quantidade de Ra-226 é transmutada em 
Radônio, Rn-222. O isótopo de urânio mais 
comum, U-238 tem meia-vida de 
4.500.000.000 anos que será transmutada em 
Chumbo (Pb-206). A meia-vida do Carbono 14 
é de aproximadamente 5600 anos. Alguns 
autores consideram 5745 anos.
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EXEMPLO 1: Crescimento 
Exponencial (Datação do C-14)
Num castelo inglês existe uma velha mesa redonda de madeira 
que muitos afirmam ser a famosa Távola Redonda do Rei 
Arthur. Por meio de um contador Geiger (instrumento que mede 
a radioatividade) constatou-se que a massa M existente na 
mesa, no ano de 1999, é 0,894 vezes a massa Mo de C-14 que 
existe num pedaço de madeira viva com o mesmo peso da 
mesa. Mo é também a massa de C-14 que existia na mesa 
quando esta foi feita há t anos. A mesa pode ser a famosa 
Távola Redonda?
Obs.: a lendas sobre o Rei Arthur remontam aos séculos 11-12. 
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EXEMPLO 2:Crescimento 
Logístico (Modelo de epidemia). 
Analisaremos um modelo simplificado para propagação de
uma doença, dotado das hipóteses:
i) Uma fração x de uma determinada população tem uma doença infecciosa. 
Assim, uma fração S = (1-x) não a tem.
ii) A variação de x é proporcional a x e S. Em conseqüência destas 
hipóteses, temos que o modelo é dado pela equação 
)1( xkx
dt
dx −=
Quando t → ∞, x → 1: mais cedo ou mais tarde cada pessoa vai contrair a 
doença, não importando quantas pessoas estavam infectadas inicialmente, 
a menos que a condição inicial xo seja igual a 0 (zero), pois neste caso 
teríamos x = 0 para todo t. Felizmente, este modelo é muito simplificado e 
não leva em consideração, por exemplo, a possibilidade de que as pessoas 
infectadas sejam isoladas ou que se recuperem da doença.
Resolva!!!
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Lei de Resfriamento de Newton
A Lei de Resfriamento de Newton diz que a taxa de variação de 
temperatura T(t) de um corpo em resfriamento é proporcional à
diferença entrea temperatura do corpo e a temperatura constante do 
meio ambiente, isto é, 
Onde k é uma constante de proporcionalidade.
Exemplo: O corpo de uma vítima de assassinato foi descoberto. O perito da 
polícia chegou à 1:00h da madrugada e, imediatamente, tomou a 
temperatura do cadáver, que era de 34,8oC. Uma hora mais tarde ele tomou 
novamente a temperatura e encontrou 34,1oC. A temperatura do quarto onde 
se encontrava a vítima era constante a 20oC. Estime a hora em que se deu a 
morte, admitindo que a temperatura normal de uma pessoa viva é de 36,5oC.
)( mTTkdt
dT −=
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CIRCUITOS EM SÉRIE
A edo que descreve os circuitos RL em série, segundo a 
Lei de Kirchoff é:
)(tERi
dt
diL =+
)(1 tEq
C
Ri =+
Em que L e R são constantes conhecidas como a indutância e a 
resistência, respectivamente. A corrente é a solução do sistema. A 
queda de tensão em um capacitor C é dado por q(t)/C em que q é a 
carga no capacitor. Assim num circuito RC a segunda lei de Kirchoff
nos dá:
Mas a corrente i e a carga q estão relacionadas por i = 
dq/dt, logo a equação diferencial linear
)(1 tEq
Cdt
dqR =+
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Exemplo: Uma bateria de 12 volts é conectada a um circuito em
série no qual a indutância é de ½ henry e a resistência é de 10 
ohms. Determinar a corrente i se a corrente inicial é zero.
Obs.: Os circuitos RLC em série, de acordo com a 
segunda Lei de Kirchoff é uma edo de segunda ordem 
para a carga q(t):
)(12
2
tEq
Cdt
dqR
dt
qdL =++ Não cai na Prova 1
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Queda Livre
A aceleração de uma partícula é sempre constante, ou
seja,
g
dt
dv =
Exemplo: Lança-se uma pedra do solo, verticalmente para 
cima com uma velocidade inicial de 20m/s.
a) Quanto tempo levará e qual será a sua velocidade 
quando a pedra atingir novamente o solo?
b) Quanto tempo levará a pedra para atingir a altura 
máxima e qual será essa altura? (Considere nula a 
resistência do ar e g=10m/s2.
Respostas: a) t = 4s; v = -20m/s b) t = 2s; s(max) = 20m
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Exercícios: Lista III, parte 2, páginas 113 e 114, exercícios 
1, 3, 5, 9, 11, 13, 15 e 17.
Exemplo: Um homem usando um pára-quedas salta de uma 
grande altura. O peso do conjunto do homem e do pára-quedas 
é de 80Kg. Seja v(t) sua velocidade no instante t (medido em 
segundos) depois da queda. Durante os primeiros 16s, a 
resistência do ar é v/2. Posteriormente, enquanto o pára-
quedas está aberto, a resistência do ar é 8v. Encontre uma 
expressão para v(t), em qualquer instante t, maior que 16s. 
(g=10m/s2).
Se um corpo de massa m se move sob a influência de 
alguma força F(t), com a presença de uma força de 
resistência, que é proporcional à v(t), então da segunda lei 
de Newton temos:
kvtF
dt
dvm −= )(
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Sistema Massa – Mola (não cai na Prova 1)
O cálculo do deslocamento vertical x(t) de uma massa atada a uma
bola combina duas leis empíricas: A Segunda lei de Newton e a Lei 
de Hooke. A primeira delas diz que a força resultante que atua sobre
um sistema em movimento é F=ma, em que m é a massa e a, a 
aceleração. A lei de Hooke diz que a força restauradora de uma mola
esticada é proporcional ao deslocamento x, onde x é o deslocamento
da mola quando uma massa é atada em
sua extremidade e o sistema
está em posição de equilíbrio (a massa está pendurada na mola e 
não há movivento). Assim, na ausência de outras forças ou de 
amortecimento atuando no sistema, a edo é:
kx
dt
xdm −=2
2
O sinal de subtração indica que a força restauradora da mola atua em
direção oposta ao movimento, isto é, na direção da posição de 
equilíbrio. Na prática, essa edo de segunda ordem é escrita na forma:
Onde w2 = k/m.
022
2
=+ xw
dt
xd