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MAE116 - Noc¸o˜es de Estat´ıstica
Grupo B - 2o semestre de 2012
Lista de exerc´ıcios 5 - Distribuic¸a˜o Binomial (gabarito)
Exerc´ıcio 1.
(2,0 pontos) Discuta a validade do modelo binomial para as varia´veis aleato´rias mencionadas
nos seguintes casos:
(a) (0,5 ponto) dos pacientes de um grande hospital, sorteamos 8 e contamos quantos se de-
claram diabe´ticos;
Resposta:
Suponha que neste hospital existam N pacientes, dos quais n sa˜o diabe´ticos. Enta˜o, a pro-
babilidade do primeiro paciente sorteado ser diabe´tico corresponderia a` n
N
. Para o segundo
paciente sorteado, e´ poss´ıvel observar dependeˆncia com relac¸a˜o ao primeiro. Por exemplo,
se o primeiro paciente sorteado for diabe´tico, restara˜o n − 1 pacientes diabe´ticos entre os
N − 1 pacientes restantes (enta˜o a probabilidade do segundo paciente ser diabe´tico sera´
de n−1
N−1
). Por outro lado, se o primeiro paciente na˜o for diabe´tico, restara˜o n pacientes
diabe´ticos entre N − 1 pacientes (enta˜o a probabilidade do segundo paciente ser diabe´tico
sera´ de n
N−1
). Como ha´ dependeˆncia entre as repetic¸o˜es do evento (paciente selecionado e´,
ou na˜o, diabe´tico), conclu´ımos que o modelo binomial na˜o e´ adequado neste caso. �
(b) (0,5 ponto) da prateleira de biscoitos em um supermercado, escolhemos 30 pacotes de
biscoitos, ao acaso, sendo 15 de uma fa´brica e 15 de outra. Contamos o nu´mero total de
pacotes com biscoitos quebrados;
Resposta:
Considerando va´rios eventos da natureza (como embalagens, ingredientes para preparo dos
biscoitos e transportadora que leva os biscoitos os supermercado como sendo supostamente
diferentes), podemos crer que a probabilidade de um pacote com biscoito quebrado varia
de acordo com o fabricante, o que ja´ nos indica que o modelo binomial, neste caso, na˜o sera´
adequado. �
(c) (0,5 ponto) selecionamos um habitante, ao acaso, de cada localidade em uma regia˜o com
80 localidades. Registramos o nu´mero de mulheres selecionadas;
Resposta:
Como a proporc¸a˜o de mulheres em cada cidade nem sempre e´ a mesma, enta˜o o nu´mero de
mulheres selecionadas na˜o pode ser caracterizado como um modelo binomial. �
(d) (0,5 ponto) um teste, que consiste em preencher um formula´rio no computador em me-
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nos de treˆs minutos, sera´ aplicado a um candidato a funciona´rio de uma empresa. Em 10
tentativas, contamos o nu´mero de vezes em que o candidato preencheu corretamente.
Resposta:
A cada vez em que o candidato preenche o formula´rio, e´ de se supor que o mesmo adquira
certa habilidade no preenchimento e passe a fazeˆ-lo cada vez mais ra´pido, o que indica que
a probabilidade do candidato preencheˆ-lo em menos de treˆs minutos muda a cada tentativa.
Logo, o modelo binomial, neste caso, na˜o sera´ adequado. �
Exerc´ıcio 2.
(2,0 pontos) Suponha que a distribuic¸a˜o de probabilidade do tempo (em min.), que o assistente
do chef de cozinha de um pequeno restaurante processa um pedido de um cliente, seja dada
na tabela a seguir.
T 15 16 17 18 19 20
P(T) 0,1 0,1 0,2 0,3 0,2 0,1
(a) (0,5 ponto) Calcule o tempo me´dio para que um pedido de um cliente seja atendido pelo
assistente do chef ;
Resposta:
E(T ) =
20∑
t=15
t× P (T = t)
= 15× 0, 1 + 16× 0, 1 + 17× 0, 2 + 18× 0, 3 + 19× 0, 2 + 20× 0, 1
= 17, 7.
�
Para cada pedido atendido, o assistente do chef ganha um fixo de 2,00 u.m. (unidades
moneta´rias), mas se ele prepara o pedido em menos de 18 minutos, ganha 1,00 u.m. por
cada minuto poupado. Por exemplo, se ele processa o pedido em 16 minutos, recebe a
quantia adicional de 2,00 u.m., ou seja, ele ganha para esse pedido 4,00 u.m. no total.
(b) (0,5 ponto) Encontre a distribuic¸a˜o de probabilidade da varia´vel aleato´ria G: quantia
ganha por pedido, em u.m.;
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Resposta:
G 5 4 3 2 2 2
T 15 16 17 18 19 20
P(T) 0,1 0,1 0,2 0,3 0,2 0,1
P (G = 5) = P (T = 15) = 0, 1
P (G = 4) = P (T = 16) = 0, 1
P (G = 3) = P (T = 17) = 0, 2
P (G = 2) = P (T = 18) + P (T = 19) + P (T = 20) = 0, 6.
G 2 3 4 5
P(G) 0,6 0,2 0,1 0,1
�
(c) (1,0 ponto) Encontre o ganho esperado por pedido e o desvio padra˜o do ganho por pedido.
Resposta:
E(G) =
5∑
g=2
g × P (G = g)
= 2× 0, 6 + 3× 0, 2 + 4× 0, 1 + 5× 0, 1
= 2, 7.
Temos que
V ar(G) = E(G− E(G))2 =
5∑
g=2
(g − 2, 7)2 × P (G = g)
= (2− 2, 7)2 × 0, 6 + (3− 2, 7)2 × 0, 2 + (4− 2, 7)2 × 0, 1 + (5− 2, 7)2 × 0, 1
= 0, 72 × 0, 6 + 1, 72 × 0, 2 + 2, 72 × 0, 1 + 3, 72 × 0, 1
= 1, 01.
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Logo,
DP (G) =
√
V ar(G) =
√
1, 01 ≈ 1, 00.
Portanto, temos que o ganho esperado e´ de 2,7 u.m. e o desvio-padra˜o e´ de 1 u.m. �
Exerc´ıcio 3.
(2,5 pontos) Numa universidade relata-se que 2% dos alunos que realizam seu vestibular cada
ano recebem acomodac¸o˜es especiais por causa de deficieˆncia f´ısica. Considere selecionar uma
amostra de 25 estudantes que fizeram o teste recentemente.
(a) (0,5 ponto) Qual e´ a probabilidade de exatamente 1 ter recebido acomodac¸a˜o especial,
entre os 25 selecionados?
Resposta:
Defina X como sendo o nu´mero de alunos que recebem acomodac¸o˜es especiais. Temos que
n = 25 e a probabilidade de um aluno receber acomodac¸a˜o especial e´ de p = 0, 02. Enta˜o,
X ∼ b(25; 0, 02). Queremos calcular P (X = 1). Portanto,
P (X = 1) =
(
25
1
)
0, 021(1− 0, 02)24
= 25× 0, 02× 0, 9824
≈ 0, 31.
�
(b) (0,5 ponto) Qual e´ a probabilidade de ao menos 2 terem recebido acomodac¸a˜o especial
entre os 25 selecionados?
Resposta:
Queremos calcular P (X ≥ 2). Note que
P (X ≥ 2) = 1− P (X < 2) = 1− P (X ≤ 1) = 1− P (X = 0)− P (X = 1).
Temos que P (X = 0) =
(
25
0
)
0, 020(1− 0, 02)25 = 1× 1× 0, 9825 ≈ 0, 60. Considerando que,
pelo item (a), P (X = 1) ≈ 0, 31, temos que
P (X ≥ 2) ≈ 1− 0, 60− 0, 31 = 0, 09.
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�
(c) (1,0 ponto) Qual e´ a probabilidade de que o nu´mero dos que na˜o recebem acomodac¸a˜o
especial, dentre os 25 selecionados, esteja entre 21 e 24?
Resposta:
Se definirmos Y como sendo o nu´mero de alunos que na˜o receberam acomodac¸o˜es especiais,
teremos que, com n = 25 e probabilidade de um aluno na˜o receber acomodac¸a˜o especial
p = 1− 0, 02 = 0, 98, Y ∼ b(25; 0, 98) . Assim, nosso interesse sera´ calcular
P (21 < Y < 24) = P (22 ≤ Y ≤ 23) = P (Y = 22) + P (Y = 23).
Usando o R, podemos obter os valores das probabilidades de interesse (Distribuic¸o˜es →
Distribuic¸o˜es Discretas → Distribuic¸a˜o Binomial → Probabilidades da binomial... – mar-
cando ‘Experimentos da Binomial’ igual a 25 e ‘Probabilidade de sucesso’ igual a 0,98).
Uma parte dos valores retornados pelo programa encontra-se a seguir.
> .Table
Pr
1 3.355443e-43
...
...
20 0.000008
21 0.000114
22 0.001324
23 0.011798
24 0.075402
25 0.307890
26 0.603465
Assim, podemos obter que nossa probabilidade de interesse sera´
P (21 < Y < 24) = 0, 001324 + 0, 011798 ≈ 0, 01.
�
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(d) (0,5 ponto) Qual e´ a probabilidade de no ma´ximo
1 ter recebido acomodac¸a˜o especial
entre os 25 selecionados?
Resposta:
Neste caso, utilizando valores obtidos no item (b), nossa probabilidade de interesse sera´
P (X ≤ 1) = 1− P (X > 1) = 1− P (X ≥ 2) ≈ 1− 0, 09 = 0, 91.
�
Exerc´ıcio 4.
(1,5 pontos) Um pesquisador precisa de 10 volunta´rios no mı´nimo para a realizac¸a˜o de um
estudo. Para isso ele consulta 35 pessoas selecionadas ao acaso de uma populac¸a˜o onde 80%
sa˜o mulheres e 20% sa˜o homens. Sabendo que a probabilidade de aceitac¸a˜o para a participac¸a˜o
no estudo e´ de 45% para mulheres e 70% para homens, calcule a probabilidade de que:
(a) (0,5 ponto) um indiv´ıduo ao acaso da populac¸a˜o aceite ser volunta´rio;
Resposta:
Definamos o eventos:
H – A pessoa selecionada e´ homem;
M – A pessoa selecionada e´ mulher;
A – A pessoa selecionada aceita ser volunta´ria;
R – A pessoa selecionada na˜o aceita ser volunta´ria.
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Nossa probabilidade de interesse sera´
P (A) = P (A ∩H) + P (A ∩M) = 0, 36 + 0, 14 = 0, 50.
�
(b) (0,5 ponto) o pesquisador na˜o obtenha os 10 volunta´rios necessa´rios para a realizac¸a˜o do
estudo;
Resposta:
Defina X como sendo o nu´mero de pessoas que aceitam ser volunta´rias. Note que, neste
exemplo, n = 35 e a probabilidade de uma pessoa aceitar ser volunta´ria (pelo item (a))
corresponde a p = P (A) = 0, 5. Portanto, supondo que cada pessoa aceita, ou na˜o,
ser volunta´ria independentemente das demais, temos que X ∼ b(35; 0, 50). Logo, nossa
probabilidade de interesse sera´
P (X < 10) = P (X ≤ 9) ≈ 0, 003.
O resultado acima foi calculado utilizando o programa R (Distribuic¸o˜es → Distribuic¸o˜es
Discretas→ Distribuic¸a˜o Binomial→ Probabilidades das caudas da binomial... – marcando
‘Valores da Varia´vel’ igual a 9, ‘Experimentos da Binomial’ igual a 35, ‘Probabilidade de
Sucesso’ igual a 0.5 e escolhendo ‘Cauda inferior’) �
(c) (0,5 ponto) o nu´mero de volunta´rios que aceitam participar do estudo esteja entre 13 e
16 (inclusive).
Resposta:
Nossa probabilidade de interesse sera´
P (13 ≤ X ≤ 16) = P (X = 13) + P (X = 14) + P (X = 15) + P (X = 16).
Usando o R, podemos obter os valores das probabilidades de interesse (Distribuic¸o˜es →
Distribuic¸o˜es Discretas → Distribuic¸a˜o Binomial → Probabilidades da binomial... – mar-
cando ‘Experimentos da Binomial’ igual a 35 e ‘Probabilidade de sucesso’ igual a 0,50).
Uma parte dos valores retornados pelo programa encontra-se abaixo
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> .Table
Pr
0 2.910383e-11
1 1.018634e-09
...
...
12 2.428574e-02
13 4.296709e-02
14 6.751971e-02
15 9.452759e-02
16 1.181595e-01
35 2.910383e-11
...
...
35 2.910383e-11
�
Logo, o valor obtido sera´
P (13 ≤ X ≤ 16) ≈ 0, 043 + 0, 068 + 0, 095 + 0, 118 ≈ 0, 32.
Exerc´ıcio 5.
(2,0 pontos) Minha filha convidou, para sua festa de aniversa´rio, 20 amiguinhas da escola.
Sabe-se que cada amiga vira´ com probabilidade 60% e independentemente das demais. Prepa-
ramos lembrancinhas em quantidade igual a 25% a mais do que o valor esperado do nu´mero de
amigas que comparecera˜o. Qual a probabilidade de faltarem lembrancinhas?
Resposta:
Seja X o nu´mero de amigas que vira˜o para a festa. Como cada amiga, das n = 20, tem proba-
bilidade p = 0, 60, independentemente das demais, de comparecer, temos que X ∼ b(20; 0, 60).
Portanto, temos que o nu´mero esperado de amigas que comparecera˜o sera´
E(X) = n× p = 20× 0, 6 = 12.
Logo, a quantidade de lembrancinhas sera´
12 + 0, 25× 12 = 12 + 3 = 15.
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Como a probabilidade de faltarem lembrancinhas e´ igual a` probabilidade de comparecerem
mais amigas do que o nu´mero de lembrancinhas, temos que nossa probabilidade de interesse
sera´
P (X > 15) ≈ 0, 05.
O resultado acima foi calculado utilizando o programa R (Distribuic¸o˜es → Distribuic¸o˜es
Discretas → Distribuic¸a˜o Binomial → Probabilidades das caudas da binomial... – marcando
‘Valores da Varia´vel’ igual a 15, ‘Experimentos da Binomial’ igual a 20, ‘Probabilidade de
Sucesso’ igual a 0.6 e escolhendo ‘Cauda superior’). �
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