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Sumário
Aula 1: Vetores Geométricos 13
1.1 Introdução . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14
1.2 Transitando pelas definições . . . . . . . . . . . . . 15
1.3 Medida de um segmento . . . . . . . . . . . . . . . 16
1.4 Segmentos eqüipolentes . . . . . . . . . . . . . . . 17
1.4.1 Propriedades da eqüipolência . . . . . . . . 18
1.5 Vetores . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18
1.5.1 Mais algumas definições . . . . . . . . . . . 19
1.6 Operações com vetores . . . . . . . . . . . . . . . . 21
1.6.1 Adição . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
1.6.2 Propriedades da adição . . . . . . . . . . . 21
1.6.3 Diferença de vetores . . . . . . . . . . . . . 22
1.6.4 Multiplicação por um número real . . . . . 22
1.6.5 Propriedades da multiplicação por um nú-
mero real . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24
1.7 Ângulos de dois vetores . . . . . . . . . . . . . . . 25
1.8 Resumo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26
1.9 Atividades . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27
1.10 Comentário das atividades . . . . . . . . . . . . . . 28
1.11 Referências . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29
Aula 2: Os Espaços Vetoriais 31
2.1 Introdução . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32
2.2 Decomposição de um vetor no Plano (R2) . . . . . 32
2.3 Igualdade e Operações . . . . . . . . . . . . . . . . 35
2.3.1 Igualdade . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35
2.3.2 Operações . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35
2.4 Decomposição do Espaço (R3) . . . . . . . . . . . . 40
2.4.1 Igualdade e Operações . . . . . . . . . . . . 43
2.5 Resumo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 46
2.6 Atividades . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 46
2.7 Comentário das atividades . . . . . . . . . . . . . . 47
2.8 Referências . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 48
Aula 3: Produto de Vetores - Parte I 49
3.1 Introdução . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 50
3.2 Produto Escalar . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 50
3.2.1 Propriedades do Produto Interno . . . . . . 52
3.2.2 Projeção de um vetor . . . . . . . . . . . . 56
3.3 Resumo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 59
3.4 Atividades . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 59
3.5 Comentário das atividades . . . . . . . . . . . . . . 60
3.6 Referências . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 61
Aula 4: Produto de Vetores - Parte II 63
4.1 Introdução . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 64
4.2 Produto vetorial . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 64
4.3 Propriedades do produto vetorial . . . . . . . . . . 67
4.4 Resumo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 77
4.5 Atividades . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 77
4.6 Comentário das atividades . . . . . . . . . . . . . . 78
4.7 Referências . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 79
Aula 5: A Reta 81
5.1 Introdução . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 82
5.2 Equação vetorial da reta . . . . . . . . . . . . . . . 82
5.3 Equações paramétricas da reta . . . . . . . . . . . 84
5.4 Reta definida por dois pontos . . . . . . . . . . . . 85
5.5 Equações simétricas da reta . . . . . . . . . . . . . 86
5.6 Equações reduzidas da reta . . . . . . . . . . . . . 87
5.7 Paralelismo de retas relativo aos planos e eixos co-
ordenados . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 89
5.7.1 Retas paralelas aos planos coordenados . . . 89
5.7.2 Retas paralelas aos eixos coordenados . . . 90
5.8 Mais algumas propriedades . . . . . . . . . . . . . 91
5.9 Resumo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 95
5.10 Atividades . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 96
5.11 Comentário das atividades . . . . . . . . . . . . . . 97
5.12 Referências . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 97
Aula 6: O Plano 99
6.1 Introdução . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 100
6.2 Equação geral do plano . . . . . . . . . . . . . . . 100
6.3 Equação vetorial e Equações paramétricas do plano 102
6.4 Mais algumas propriedades . . . . . . . . . . . . . 104
6.4.1 Interseção (entre planos e entre retas e planos)107
6.5 Resumo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 108
6.6 Atividades . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 108
6.7 Comentário das atividades . . . . . . . . . . . . . . 109
6.8 Referências . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 110
Aula 7: Distâncias 111
7.1 Introdução . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 112
7.2 Distância de ponto à reta . . . . . . . . . . . . . . 112
7.3 Distância de ponto a plano . . . . . . . . . . . . . 113
7.3.1 Distâncias de ponto à reta no plano . . . . 116
7.4 Distância entre duas retas . . . . . . . . . . . . . . 117
7.5 Resumo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 119
7.6 Atividades . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 120
7.7 Comentário das Atividades . . . . . . . . . . . . . 121
7.8 Referências . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 121
Aula 8: Cônicas - Parte I 123
8.1 Introdução . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 124
8.2 Um pouco de História . . . . . . . . . . . . . . . . 124
8.3 Conceituando as cônicas . . . . . . . . . . . . . . . 125
8.4 Parábola . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 127
8.5 Translação dos eixos . . . . . . . . . . . . . . . . . 132
8.6 Resumo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 136
8.7 Atividades . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 136
8.8 Comentário das atividades . . . . . . . . . . . . . . 137
8.9 Referências . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 138
Aula 9: Cônicas - Parte II 139
9.1 Introdução . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 140
9.2 Elipse . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 140
9.3 Equação reduzida . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 142
9.4 Translação da elipse . . . . . . . . . . . . . . . . . 145
9.5 Equações paramétricas da elipse . . . . . . . . . . . 147
9.6 Resumo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 149
9.7 Atividades . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 150
9.8 Comentário sobre as Atividades . . . . . . . . . . . 151
9.9 Referências . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 151
Aula 10: Cônicas - Parte III 153
10.1 Introdução . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 154
10.2 Hipérbole . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 154
10.3 Equações reduzidas . . . . . . . . . . . . . . . . . . 160
10.4 Translações de uma hipérbole . . . . . . . . . . . . 164
10.5 Equações paramétricas . . . . . . . . . . . . . . . . 166
10.6 Resumo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 168
10.7 Atividades . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 169
10.8 Comentário sobre as Atividades . . . . . . . . . . . 170
10.9 Referências . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 170
Aula 11: Mudança de Coordenadas no Plano 171
11.1 Introdução . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 172
11.2 Mudanças de Coordenadas - Rotação e Translação
da Origem . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 172
11.3 Obtendo as coordenadas antigas em função das novas177
11.4 Resumo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 181
11.5 Atividades . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 181
11.6 Comentário das atividades . . . . . . . . . . . . . . 182
11.7 Referências . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 183
Aula 12: Formas Quadráticas 185
12.1 Introdução . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 186
12.2 Mudando as coordenadas . . . . . . . . . . . . . . 188
12.3 A equação característica, autovalores e autovetores 188
12.4 Mais algumas propriedades . . . . . . . . . . . . . 191
12.4.1 Observando o produto das raízes da equação
do segundo grau. . . . . . . . . . . . .
. . . 192
12.5 Resumo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 197
12.6 Atividade . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 198
12.7 Comentário das atividades . . . . . . . . . . . . . . 199
12.8 Referências . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 200
Aula 13: A Equação Geral do Segundo Grau 201
13.1 Introdução . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 202
13.2 Relembrando mudança de coordenadas . . . . . . . 202
13.3 Vamos analisar quando AC −B2 = 0. . . . . . . . 205
13.4 Resumo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 210
13.5 Atividades . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 210
13.6 Comentário das atividades . . . . . . . . . . . . . . 211
13.7 Referências . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 212
Aula 14: Transformações Lineares 213
14.1 Introdução . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 214
14.2 Transformações no plano . . . . . . . . . . . . . . . 215
14.3 Transformações lineares . . . . . . . . . . . . . . . 222
14.4 Resumo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 231
14.5 Atividades . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 231
14.6 Comentário das atividades . . . . . . . . . . . . . . 233
14.7 Referências . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 234
Aula 15: Mudança de Coordenadas no Espaço 235
15.1 Introdução . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 236
15.2 Mudança de sistema de coordenadas no espaço . . 236
15.3 Transladando a origem do sistema . . . . . . . . . 239
15.4 As matrizes ortogonais . . . . . . . . . . . . . . . . 242
15.5 Resumo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 244
15.6 Atividades . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 244
15.7 Comentário das atividades . . . . . . . . . . . . . . 246
15.8 Referências . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 246
Aula 16: Quádricas Centrais 247
16.1 Introdução . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 248
16.2 Quádricas centrais . . . . . . . . . . . . . . . . . . 249
16.3 Resumo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 259
16.4 Atividades . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 259
16.5 Comentário das atividades . . . . . . . . . . . . . . 261
16.6 Referências . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 261
Aula 17: Completando Quadrados 263
17.1 Introdução . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 264
17.2 Completando quadrados . . . . . . . . . . . . . . . 265
17.3 Resumo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 273
17.4 Atividades . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 273
17.5 Comentário das atividades . . . . . . . . . . . . . . 274
17.6 Referências . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 274
Aula 18: Equação Geral do Segundo Grau no Espaço 277
18.1 Introdução . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 278
18.2 A, B e C são diferentes de zero . . . . . . . . . . . 279
18.3 Apenas um dos coeficientes A,B,C é zero e os ou-
tros dois têm o mesmo sinal . . . . . . . . . . . . . 279
18.4 Apenas um dos coeficientes A,B,C é nulo e os ou-
tros dois têm sinais opostos . . . . . . . . . . . . . 281
18.5 Um dos coeficientes A,B,C é diferente de zero e os
outros dois são nulos . . . . . . . . . . . . . . . . . 284
18.6 Resumo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 286
18.7 Atividades . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 287
18.8 Comentário das atividades . . . . . . . . . . . . . . 287
18.9 Referências . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 288
Aula 19: Transformações Lineares no Espaço 289
19.1 Introdução . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 290
19.2 Transformações lineares . . . . . . . . . . . . . . . 290
19.3 Transformações lineares em R3 . . . . . . . . . . . 293
19.3.1 Transformações ortogonais . . . . . . . . . . 298
19.4 Resumo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 304
19.5 Atividades . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 304
19.6 Comentário das atividades . . . . . . . . . . . . . . 306
19.7 Referências . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 306
Aula 20: Aplicações de Transformações Lineares 309
20.1 Introdução . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 310
20.2 Aplicações à Óptica . . . . . . . . . . . . . . . . . 310
20.3 Projeção do espaço tridimensional no plano . . . . 314
20.4 Codificando mensagens . . . . . . . . . . . . . . . . 317
20.5 Resumo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 320
20.6 Atividades . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 320
20.7 Comentário das atividades . . . . . . . . . . . . . . 322
20.8 Referências . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 322
1
AULA
2
LIVRO
Vetores Geométricos
META
Introduzir a definição de vetor.
OBJETIVOS
Identificar vetores no plano e no
espaço e suas propriedades. Efetuar
operações com vetores (adição, dife-
rença e multiplicação por escalar).
Vetores Geométricos
1.1 Introdução
Seja bem-vindo, caro aluno! Este é o nosso primeiro encontro, entre
tantos que estão por vir. A partir de agora, você vai conhecer um
pouco sobre Geometria Analítica.
Nascida das diversas necessidades das técnicas da agrimensura
e da arquitetura, a Geometria Clássica, muito estudada por diver-
sos intelectuais, toma uma nova roupagem. A Geometria Analítica,
por sua vez, baseia-se na idéia de representar os pontos da reta por
números reais, os pontos do plano por pares ordenados de núme-
ros e os pontos no espaço por ternos ordenados de números reais.
Nesta concepção, as linhas e as superfícies, no plano e no espaço,
são descritas por meio de equações, permitindo um tratamento al-
gébrico de questões de natureza geométrica e, reciprocamente, um
tratamento geométrico de algumas situações algébricas.
Por volta de 1637, a criação da Geometria Analítica deve-se a
dois matemáticos franceses, Pierre de Fermat (1601-1665) e René
Descartes (1596-1650), simultaneamente. E o mais curioso nesta
história é que ambos eram graduados em Direito, nenhum deles
matemático profissional. Esta interação entre Geometria e Álge-
bra foi responsável por diversas descobertas na Matemática e suas
aplicações.
Neste nosso primeiro encontro, você vai conhecer um dos ele-
mentos principais da Geometria Analítica: os vetores, seu conceito
geométrico, a definição das operações que podem ocorrer entre eles,
além de suas propriedades. Também vai compreender que muitas
grandezas físicas, como velocidade, força, deslocamento e impulso
precisam da magnitude, da direção e do sentido para serem com-
14
Vetores e Geometria Analítica: Livro 1
1
AULA
pletamente identificadas. Essas grandezas são chamadas grandezas
vetoriais ou simplesmente vetores.
Será que deu para aguçar um pouquinho a sua curiosidade?
Quer saber mais? Então venha conosco para a nossa primeira
etapa.
1.2 Transitando pelas definições
Esta aula está segmentada em duas partes. Nesta primeira, vamos
apresentar para você, caro aluno, algumas definições que serão
fundamentais para a compreensão da etapa seguinte.
Definição 1.1. [Reta orientada - eixo] Uma reta r é orientada
quando se fixa nela um sentido de percurso considerado positivo
e indicado por uma seta. O sentido oposto é negativo. Uma reta
orientada é denominada eixo.
Definição 1.2. [Segmento orientado] Um segmento orientado
é determinado por um par ordenado de pontos, o primeiro chamado
origem do segmento e o segundo, extremidade.
O segmento orientado de origem A e extremidade B será re-
presentado por AB e geometricamente indicado por uma seta que
caracteriza de forma visual o sentido do segmento (ver figura 1.2).
Definição 1.3. [Segmento nulo e oposto]
15
Vetores Geométricos
Figura 1.1: Segmento orientado AB
1. Um segmento nulo é aquele cuja extremidade coincide com
a origem.
2. Se AB é um
segmento orientado, o segmento orientado BA
oposto de AB.
1.3 Medida de um segmento
Fixando uma unidade de comprimento, podemos associar a cada
segmento orientado um número real não negativo. A medida do
segmento orientado é o seu comprimento ou seu módulo. O
comprimento do segmento AB é indicado por AB. [htb!]
Figura 1.2: Nesta ilustração o segmento orientado u representa o
comprimento unitário.
Observação 1. (a) Os segmentos nulos têm comprimentos igual
a zero.
(b) AB = BA.
16
Vetores e Geometria Analítica: Livro 1
1
AULA
Dois segmentos orientados não nulos, AB e CD, têm a mesma
direção se as retas suportes desses segmentos são paralelas ou coin-
cidentes.
Figura 1.3: Segmentos orien-
tados de mesma direção.
Figura 1.4: Segmentos orien-
tados opostos.
As próximas figuras ilustram segmentos orientados que são
coincidentes (isto é , ambos os segmentos estão na mesma reta).
Figura 1.5: Figura 1.6:
1.4 Segmentos eqüipolentes
Definição 1.4. Dois segmentos orientados AB e CD são eqüi-
polentes quando têm a mesma direção, o mesmo sentido e o
mesmo comprimento (veja nas figuras (1.7) e (1.8)). Sempre que
os segmentos AB e CD forem eqüipolentes, serão representados
por AB ∼ CD.
Para que o segmento AB seja eqüipolente a CD (na figura
17
Vetores Geométricos
Figura 1.7:
Figura 1.8: Neste caso, os seg-
mentos AB e CD não perten-
cem à mesma reta.
(1.8)), é necessário que AB//CD e ABCD formem um paralelo-
gramo.
1.4.1 Propriedades da eqüipolência
Agora que você já sabe o que é um segmento eqüipolente, vamos
apresentar-lhe as suas propriedades.
(i) AB ∼ AB (reflexiva).
(ii) Se AB ∼ CD, então CD ∼ AB (simétrica).
(iii) Se AB ∼ CD e CD ∼ EF , então AB ∼ EF (transitiva).
(iv) Dado um segmento orientado AB e um ponto C, existe um
único ponto D, tal que AB ∼ CD.
1.5 Vetores
Vetor determinado por um segmento orientado AB é o conjunto de
todos os segmentos orientados eqüipolentes a AB. Esse conjunto
é indicado por ~v .
18
Vetores e Geometria Analítica: Livro 1
1
AULA
O vetor determinado por AB é denotado por:
−−→
AB ou B − A
ou ~v.
Observação 2. Qualquer vetor
−−→
AB é um representante do conjunto
vetores desde que tenha a mesma direção, mesmo sentido e com-
primento de AB.
Indicamos o módulo (ou magnitude) de ~v por |~v|.
1.5.1 Mais algumas definições
Vetores iguais - Dois vetores
−−→
AB e
−−→
CD são iguais se, e somente
se, AB ∼ CD.
Vetor nulo - Os segmentos nulos, por serem eqüipolentes entre
si, determinam um único vetor, chamado de vetor nulo ou
vetor zero, indicado por
~0.
Vetores opostos - Dado ~v =
−−→
AB, o vetor
−−→
BA é o oposto de
−−→
AB
e o indicamos por −−−→AB ou −~v.
Vetor unitário - ~v é unitário se |~v| = 1.
Versor - O versor de um vetor não nulo ~v é o vetor unitário de
mesma direção e mesmo sentido de ~v. (Veja a figura (1.9).)
19
Vetores Geométricos
Figura 1.9: ~u1 e ~u2 são uni-
tários, mas ~u1 tem a mesma
direção de ~v. Portanto, ~u1 é
versor de ~v.
Figura 1.10: Neste caso, ~u, ~v
e ~w pertencem ao plano pi.
Figura 1.11: ~u, ~v e ~w não são
coplanares. Figura 1.12: ~s = ~u+ ~v
Vetores colineares - ~u e ~v são considerados vetores colineares
se tiverem a mesma direção. Em outras palavras, ~u e ~v são
colineares se tiverem representantes AB e CD pertencentes
à mesma reta ou em retas paralelas.
Vetores coplanares - se os vetores não nulos ~u,~v e ~w têm re-
presentantes AB, CD e EF pertencentes ao mesmo plano,
dizemos que são coplanares. (Veja a figura (1.10)).
20
Vetores e Geometria Analítica: Livro 1
1
AULA
1.6 Operações com vetores
Agora que você já está mais entrosado com o conteúdo de nossa
aula, pois já conheceu alguns conceitos importantes, podemos avan-
çar um pouquinho mais. Vamos apresentar para você, nesta se-
gunda parte de nossa aula, os mecanismos para efetuar as opera-
ções com vetores.
1.6.1 Adição
Definição 1.5. Sejam os vetores ~u e ~v representados pelos seg-
mentos orientados AB e BC. Os pontos A e C determinam um
vetor ~s, que é a soma dos vetores ~u e ~v, ou seja,
~s = ~u+ ~v.
Veja a figura (1.13).
Figura 1.13: ~u = ~AB, ~v = ~BC e ~s = ~AC.
1.6.2 Propriedades da adição
Sejam ~u, ~v e ~w vetores quaisquer, valham:
Comutativa - ~u+ ~v = ~v + ~u
Associativa - (~u+ ~v) + ~w = ~u+ (~v + ~w)
21
Vetores Geométricos
Elemento Neutro - Existe um elemento
~0, tal que
~v +~0 = ~0 + ~v = ~v, ∀~v.
Inverso Aditivo - Para todo vetor ~v existe um único vetor −~v
(vetor oposto de ~v), tal que
~v + (−~v) = (−~v) + ~v = ~0.
1.6.3 Diferença de vetores
Definição 1.6. Dizemos que
~d é a diferença de dois vetores ~u e
~v se ~d = ~u− ~v, ou seja,
~d = ~u+ (−~v).
Nas figuras (1.14) e (1.15) estão representados os vetores ~u e ~v,
respectivamente, pelos segmentos orientados AB e AC. ABCD é
um paralelogramo cujas diagonais AD e BC representam, respec-
tivamente, ~s e ~d (soma e diferença).
Figura 1.14: ~s = ~u+ ~v Figura 1.15: c
1.6.4 Multiplicação por um número real
Definição 1.7. Dados um vetor ~v 6= ~0 e um número real k 6= 0,
chamamos de produto do escalar k pelo vetor ~v o vetor ~p = k~v, tal
que:
22
Vetores e Geometria Analítica: Livro 1
1
AULA
1. [Módulo] |~p| = |k~v| = |k||~v|;
2. [Direção] a mesma de ~v;
3. [Sentido]
 o mesmo de ~v se k > 0,
o contrário de ~v se k < 0.
• Se k = 0 ou ~v = ~0, o produto é ~0.
• Seja um vetor k~v, em que ~v 6= ~0. Fazendo com que k varie
sobre R (o conjunto dos números reais), obtemos os infini-
tos vetores colineares a ~v (além de serem também colineares
entre si). Por outro lado, para quaisquer dois vetores ~u e ~v,
colineares, sempre existe um k ∈ R, tal que
~u = k ~v.
• O versor de ~v 6= ~0 é o vetor unitário ~u = 1|~v| ~v ou ~u =
~v
|~v| .
Veja que
|~u| =
∣∣∣∣ ~v|~v|
∣∣∣∣ = |~v||~v| = 1,
para todo ~v 6= ~0. Assim, temos que ~v = |~v| ~u, ou seja, todo vetor é
o produto de seu módulo pelo vetor unitário de mesma direção e
mesmo sentido que ~v.
23
Vetores Geométricos
1.6.5 Propriedades da multiplicação por um número
real
Sejam ~u e ~v vetores quaisquer e a e b números reais (também
conhecidos como escalares). Assim, temos as seguintes proprieda-
des:
Associativa: a(b~v) = (ab)~v;
Identidade: 1~v = ~v;
Distributividade em relação aos escalares: (a + b)~v =
a~v + b~v;
Distributividade em relação aos vetores: a(~v+~u) = a~v+
a~u.
É bom que você atente para os exemplos que lhe apresentamos,
pois são fundamentais para auxiliá-lo na resolução dos exercícios
ao final desta aula.
Exemplo 1.6.1. Dados os vetores ~u, ~v e ~w, como na figura a
seguir, vamos construir o vetor 2~u− 3~v + 1
2
~w = ~s.
24
Vetores e Geometria Analítica: Livro 1
1
AULA
Figura 1.16: Solução, ~s =
2~u− 3~v + 1
2
~w.
1.7 Ângulos de dois vetores
Definição 1.8. O ângulo de dois vetores ~u e ~v não nulos é o
ângulo θ formado pelas semi-retas OA e OB, como na figura (1.8),
e tal que 0 ≤ θ ≤ pi.
• Se θ = pi, ~u e ~v têm a mesma direção e sentidos contrários.
• Se θ = 0, ~u e ~v têm a mesma direção e mesmo sentido.
25
Vetores Geométricos
• Se θ = pi
2
, ~u e ~v são ortogonais (isto é, são perpendiculares),
e denotamos por ~u⊥~v. Neste caso, temos que |~u + ~v|2 =
|~u|2 + |~v|2.
• O vetor ~0 é considerado ortogonal a qualquer vetor.
• Se ~u é ortogonal a ~v e m um número real qualquer, ~u é
ortogonal a m~v.
1.8 Resumo
Nesta aula, você aprendeu que o segmento orientado no plano re-
presenta um objeto geométrico: o vetor, que por sua vez pode ser
representado algebricamente e, como conseqüência, possibilita de-
finir operações como adição, diferença e produto por um escalar.
26
Vetores e Geometria Analítica: Livro 1
1
AULA
Além disso, você aprendeu que existe um ângulo entre dois vetores,
ainda que suas extremidades não coincidam.
1.9 Atividades
1. Decida se é verdadeira ou falsa cada uma das afirmações a
seguir.
(a) Se ~u = ~v, então |~u| = |~v|.
(b) Se |~u| = |~v|, então ~u = ~v.
(c) Se ~u ‖ ~v, então ~u = ~v.
(d) Se ~u = ~v, então ~u ‖ ~v.
(e) Se |~w| = |~u|+ |~v|, então ~u ~v e ~w são paralelos.
(f) Se
−−→
AB =
−−→
DC, então ABCD (vértices nesta ordem) é
paralelogramo.
2. Dados os vetores ~u e ~v da figura, mostrar um representante
do vetor através de um gráfico: (a) ~u− ~v
(b) ~v − ~u
(c) −~v − 2~u
(d) 2~u− 3~v
3. Determine o vetor ~x em função de ~u e ~v nas figuras a seguir.
27
Vetores Geométricos
(a) (b) (c)
4. Dados três pontos A, B, C não-colineares, como na figura a
seguir, representar o vetor ~x nos seguintes casos:
(a) ~x =
−−→
BA+ 2
−−→
BC;
(b) ~x =
1
2
−→
CA+ 2
−−→
BA;
(c) ~x =
−→
AC +
−−→
CB −−−→AB.
5. Sabendo que o ângulo entre os vetores ~u e ~v é de 30o, deter-
minar o ângulo formado pelos vetores a seguir.
(a) ~u e −~v (b) −~u e 2~v (c) −~u e −~v (b) 3~u e 5~v
1.10 Comentário das atividades
Se você conseguiu fazer a atividade 1, então entendeu os rudi-
mentos dos conceitos de módulo e vetores paralelos. E quanto às
atividades 2,3 e 4 ? Conseguiu resolvê-las? Então já entendeu a
idéia de soma, diferença de vetores, além de multiplicação por um
escalar. E a atividade 5? Se você conseguiu resolvê-la, ajuda a
fixar a idéia do ângulo entre vetores. Se ainda tiver dificuldades,
volte e reveja com cuidado os conceitos apresentados na aula. Não
esqueça que há tutores que o ajudarão a eliminar as suas dúvidas.
Desde já, lembre-se de discutir os conteúdos com seus colegas.
28
Vetores e Geometria Analítica: Livro 1
1
AULA
1.11 Referências
STEINBRUCH, Alfredo , Geometria Analítica. São Paulo, Ma-
kron Books, 1987.
LIMA, Elon Lages , Geometria Analítica e Álgebra Linear. Rio de
Janeiro, IMPA, 2005.
BOLDRINI, José Luiz, 'Álgebra Linear . São Paulo, Harbra, 1980.
29
2
AULA
2
LIVRO
Os Espaços Vetoriais
META
Promover a identificação de vetores
no plano e no espaço e suas propri-
edades.
OBJETIVOS
Decompor um dado vetor relativa-
mente a uma base de vetores.
Estabelecer a igualdade entre veto-
res.
Reconhecer propriedades entre
vetores, como o paralelismo.
PRÉ-REQUISITOS
Para seguir avante nesta aula, é ne-
cessário que você tenha compreen-
dido os conceitos apresentados na
aula anterior.
Os Espaços Vetoriais
2.1 Introdução
Olá! Que bom encontrá-lo novamente! Espero que tenha gostado
da nossa primeira aula. Nela definimos o objeto geométrico, vetor
e algumas de suas propriedades.
Nesta aula, iremos identificar e localizar pontos no plano (bi-
dimensional) e no espaço (tridimensional). Veremos que é possí-
vel decompor um dado vetor (no plano ou no espaço) com uma
combinação (linear) de outros vetores. Verificaremos também que
propriedades algébricas inerentes às operações entre vetores acarre-
tam em propriedades geométricas sobre esses, como por exemplo, a
existência de um elemento neutro aditivo que implica um elemento
neutro na soma de vetores, a saber, o vetor nulo.
2.2 Decomposição de um vetor no Plano (R2)
Dados dois vetores não coplanares (ver Aula 1) ~v1 e ~v2, qualquer
vetor ~v pode ser decomposto dependendo de ~v1 e ~v2. Para isso,
devemos encontrar a1, a2 ∈ R, tal que
~v = a1 ~v1 + a2 ~v2 (2.1)
Exemplo 2.2.1. Sejam ~v1 e ~v2 vetores não colineares e ~v qualquer
vetor no mesmo plano de ~v1 e ~v2.
32
Vetores e Geometria Analítica: Livro 1
2
AULA
Exemplo 2.2.2. No caso em que o vetor ~v tiver a mesma direção
de ~v1 ou de ~v2, ~v não é a diagonal do paralelogramo e um dos
números reais a1 ou a2 é nulo.
Neste caso, o número a1 = 0, e a partir de ~v = a1 ~v1 + a2 ~v2,
temos que
~v = 0 · ~v1 + a2 ~v2 ⇒ ~v = a2 ~v2.
Definição 2.9.
1. Dizemos que ~v é a combinação linear de ~v1 e ~v2 sempre
que ~v for representado como em (2.1).
2. O par de vetores ~v1 e ~v2 não colineares é chamado de base
no plano.
3. Os números reais a1 e a2 de (2.1) são chamados componen-
tes ou coordenadas de ~v em relação à base {~v1, ~v2}.
Por conveniência, sempre tomamos as bases ortonormais.
Definição 2.10. Uma base {~e1, ~e2} é considerada ortonormal se
os seus vetores forem ortogonais (isto é , ~e1 ⊥ ~e2) e unitários (ou
seja, |~e1| = |~e2| = 1).
Observação 3. Embora tenhamos definido uma base ortonormal
como um conjunto, iremos pensá-la como um conjunto ordenado,
33
Os Espaços Vetoriais
isto é, numa base β = {~e1, ~e2}, temos que o primeiro elemento da
base é ~e1 e o segundo, ~e2.
Exemplo 2.2.3. Considere a base ortonormal ilustrada na figura(2.17),
no plano xOy, e um vetor ~v cujas componentes são 2 e 4.
Figura 2.17: ~v2 e ~v2 são ortonormais.
Notação 1. Consideraremos, de agora em diante, que os vetores
com extremidades na origem e nos pontos (1,0) e (0,1) serão re-
presentados por
~i e ~j respectivamente. Isto é,
(1, 0) =~i e (0, 1) = ~j.
Tendo uma base fixada, podemos fazer uma correspondência
biunívoca entre os pares ordenados (x, y) do plano (R2) e os veto-
res. Desta forma,
~v = (x, y)
é a expressão analítica de ~v. Assim, nomeamos x como abcissa
e y como ordenada.
34
Vetores e Geometria Analítica: Livro 1
2
AULA
Figura 2.18:
~i e ~j como base
para o plano R2.
Figura 2.19: Neste caso, o ve-
tor arbitrário ~v = x~i+ y~j, em
que x, y ∈ R, são as compo-
nentes de ~v em relação à base
{~i,~j}.
Exemplo 2.2.4. Seja ~v = 2~i + (−3)~j, podemos representar por
~v = (2,−3) ∈ R2. Perceba que,
2~j = (2, 0),
(−3)~i = (0,−3) e assim
~v = 2~i+ (−3)~j = (2 + 0, 0 + (−3)) = (2,−3)
2.3 Igualdade e Operações
2.3.1 Igualdade
Os vetores ~u = (x1, y1) e ~v = (x2, y2) são iguais se, e somente se,
x1 = x2 e y1 = y2, e assim, ~u = ~v.
Exemplo 2.3.1. Os vetores ~u = (2, 1) e ~v = (2, 1) são iguais,
porém, ~p = (2, 1) e ~q = (1, 2) não o são.
2.3.2 Operações
Sejam os vetores ~u = (x1, y1) e ~v = (x2, y2) e λ ∈ R, define-se:
35
Os Espaços Vetoriais
1. ~u+ ~v = (x1 + x2, y1 + y2);
2. λ~u = (λx1, λy1).
Exemplo 2.3.2. Sejam os vetores ~u = (2,−1) e ~q = (1, 3), temos
que
~u+ ~q = (2 + 1,−1 + 3) = (3, 2)
e
3~u = (3 · 2, 3 · (−1)) = (6,−3).
Figura 2.20: ~u+ ~q = (3, 2). Figura 2.21: 3~u = (6,−3).
Com base nas operações definidas anteriormente, constatamos
que o conjunto dos vetores tem as propriedades que apresentaremos
a seguir.
Teorema 2.1. Para quaisquer vetores ~u, ~v e ~w, tem-se
A1) ~u+ ~v = ~v + ~u;
A2) (~u+ ~v) + ~w = ~u+ (~v + ~w);
A3) ~u+~0 = ~u;
A4) ~u+ ~(−u) = ~0.
e para quaisquer ~u e ~v e α, β ∈ R, tem-se
36
Vetores e Geometria Analítica: Livro 1
2
AULA
P1) α(β~u) = (αβ)~u;
P2) (α+ β)~u = α~u+ β~u;
P3) α(~u+ ~v) = α~u+ α~v;
P4) 1~v = ~v.
Observação 4. O vetor
~0 denota o vetor nulo, isto é, ~0 = (0, 0).
Demonstração. É importante que você acompanhe o nosso racio-
cínio, pois vamos verificar a seguir algumas das propriedades que
já apresentamos. Dados ~u = (x1, y1), ~v = (x2, y2) e ~w = (x3, y3),
temos que:
• em (A1),
~u+ ~v = (x1, y1) + (x2, y2) = (x1 + x2, y1 + y2).
Mas como sabemos que as coordenadas de ambos os vetores
são números reais, e como os reais são comutativos em relação
à soma, ou seja, x1 + x2 = x2 + x1 e y1 + y2 = y2 + y1, assim
~u+ ~v = (x1 + x2, y1 + y2) = (x2 + x1, y2 + y1)
= (x2, y2) + (x1, y1) = ~v + ~u.
• em (A4), iremos supor ~w = (a1, a2), tal que
~0 = ~u+ ~w = (x1, y1) + (a1, a2) = (x1 + a1, y1 + a2)
Deste modo, ~u+ ~w = ~0⇔ (x1 +a1, y1 +a2) = (0, 0), e assim,
x1 + a1 = 0 e y1 + a2 = 0⇒ a1 = −x1 e a2 = −y1,
portanto, ~w = (−x1,−y1) = −~u.
37
Os Espaços Vetoriais
• já em (P2), sejam α, β ∈ R, tal que
(α+ β)~u = (α+ β) · (x1, y1) = ((α+ β)x1, (α+ β)y1) .
Mas sabemos que os números reais são comutativos em rela-
ção à soma e à multiplição, como também têm a propriedade
da distributividade,
((α+ β)x1, (α+ β)y1) = (αx1 + βx1, αy1 + βy1)
= (αx1, αy1) + (βx1, βy1)
e assim,
(α+ β)~u = (αx1, αy1) + (βx1, βy1)
= α(x1, y1) + β(x1, y1) = α~u+ β~u.
Agora que você acompanhou o nosso raciocínio e compreendeu
todo o desenvolvimento das propriedades demonstradas, deixamos
para você a atividade a seguir.
Exercício 2.3.1. Mostre cada um dos itens das propriedades que
não foram demonstradas.
Exemplo 2.3.3. Dados os vetores ~u = (3,−1) e ~v = (−1, 2), na
equação
4(~u− ~v) + 1
3
~w = 2~u− ~w
pretendemos determinar o vetor ~w. Para isso, faremos uso das
propriedades das operações entre vetores. Façamos
4(~u− ~v) + 1
3
~w = 2~u− ~w ⇒
1
3
~w + ~w = 2~u− 4(~u− ~v)⇒
4
3
~w = −2~u+ 4~v
38
Vetores e Geometria Analítica: Livro 1
2
AULA
então, temos
4
3
~w = −2~u+ 4~v ⇒
4~w = −6~u+ 12~v ⇒
~w =
−6
4
~u+
12
4
~v ⇒
~w =
−3
2
~u+ 3~v.
Fazendo a substituição, chegamos a
~w =
−3
2
~u+ 3~v ⇒
~w =
−3
2
(3,−1) + 3(−1, 2)⇒
~w =
(−9
2
,
3
2
)
+ (−3, 6)
ou podemos escrever assim: ~w =
(−9
2
− 3, 3
2
+ 6
)
=
(−15
2
,
15
2
)
,
ou se preferir, desta forma:
~w =
−15
2
(1,−1)
.
Definição 2.11 (Vetor Definido por Dois Pontos). Consi-
dere o vetor
−−→
AB de origem no ponto A = (x1, y1) e extremidade
em B = (x2, y2). Como na figura (2.22), as coordenadas de
−−→
AB
são obtidas por
−−→
AB = B −A, assim
−−→
AB = (x2 − x1, y2 − y1).
Exemplo 2.3.4. Na figura (2.24), observamos que os segmentos
orientados AB, CD e OP representam o mesmo vetor (3, 1), pois
−−→
AB = B −A = (1, 4)− (−2, 3) = (3, 1)
−−→
CD = D − C = (4, 3)− (1, 2) = (3, 1)
−−→
OP = P −O = (3, 1)− (0, 0) = (3, 1)
39
Os Espaços Vetoriais
Figura 2.22:
~AB = B −A
Figura 2.23:
~AB = (x2 −
x1, y2 − y1)
Figura 2.24: Os segmentos orientados AB, CD e OP representam
o mesmo vetor (3, 1).
2.4 Decomposição do Espaço (R3)
Nesta segunda etapa de nossa aula, procederemos nossos estudos
de forma análoga à decorrida na seção (2.2), porém, com algumas
adequações necessárias.
Dados três vetores não coplanares ~v1, ~v2 e ~v3, qualquer vetor ~v
pode ser decomposto dependendo de ~v1, ~v2 e ~v3. Para isso, devemos
encontrar a1, a2, a3 ∈ R, tal que
~v = a1 ~v1 + a2 ~v2 + a3 ~v3 (2.1)
40
Vetores e Geometria Analítica: Livro 1
2
AULA
Analogamente ao que ocorre no plano, o vetor ~v é a combinãção
linear dos vetores da base, isto é, sempre existem números reais
a1, a2, a3, tal que a decomposição do espaço seja satisfeita, em que
a1, a2, a3 são as componentes de ~v em relação à base considerada
(neste caso, {~v1, ~v2, ~v3}).
Uma base no espaço é ortonormal se os três vetores forem uni-
tários e, dois a dois, ortogonais. Assim como fizemos para o plano,
iremos adotar uma base entre muitas, como a base canônica re-
presentada por {~i,~j,~k}.
Em alguns livros são
adotados {e1, e2, e3}
em vez de {~i,~j,~k} e
ainda representando o
vetor por uma letra do
alfabeto, v em vez de
~v.
A reta com a direção de
~i é o eixo dos x (das abscissas), a
reta com a direção do vetor
~j é o eixo dos y (das ordenadas) e a
reta com a direção do vetor
~k é o eixo dos z (das cotas). As setas
indicam o sentido positivo de cada eixo. Esses eixos são chamados
de eixos coordenados.
Observação 5. O vetor
~0 denota o vetor nulo, isto é, ~0 = (0, 0, 0).
Cada par de eixos determina um plano coordenado, como ilus-
trado nas figuras (2.25), (2.26) e (2.27).
Notação 2. A cada ponto P no espaço (R3) corresponde uma terna
(x1, y1, z1) de números reais chamados coordenadas de P .
41
Os Espaços Vetoriais
Figura 2.25: plano
xy
Figura 2.26: plano
xz
Figura 2.27: plano
yz
Figura 2.28: P = (x1, y1, z1) Figura 2.29: P = (2, 4, 3)
Observando a figura (2.29), temos:
A = (2, 0, 0) - ponto no eixo dos x quando y = z = 0.
B = (0, 4, 0) - ponto no eixo dos y quando x = z = 0.
C = (0, 0, 3) - ponto no eixo dos z quando x = y = 0.
D = (2, 4, 0) - ponto no plano xy quando z = 0.
E = (0, 4, 3) - ponto no plano yz quando x = 0.
F = (2, 0, 3) - ponto no plano xz quando y = 0.
Seja ~v = x~i+ y~j + z~k, em que x, y e z são as componentes de
~v na base canônica {~i,~j,~k}, como fizemos para vetores no plano.
42
Vetores e Geometria Analítica: Livro 1
2
AULA
Figura 2.30: ~v = x~i+ y~j + z~k
Figura 2.31: ~v = 2~i+ 4~j + 3~k
O conjunto formado por um ponto e por uma base constitui
um sistema referencial.
• O espaço tem três dimensões, ou seja, é tridimensional,
porque qualquer uma de suas bases tem três vetores.
• O plano tem dimensão 2, ou seja, bidimensional.
• A reta tem dimensão 1, ou seja, unidimensional.
Por outro lado, a representação geométrica do conjunto R é a reta
chamada de reta real. O produto cartesiano R×R = R2 (ou ainda,
R2 = {(x, y);x, y ∈ R}) tem como representação geométrica o
plano cartesiano. E por fim, o produto cartesiano R×R×R = R3
(ou ainda, R3 = {(x, y, z);x, y, z ∈ R}) tem como representação
geométrica o espaço cartesiano.
2.4.1 Igualdade e Operações
Definição 2.12 (Igualdade). Dois vetores ~u = (x1, y1, z1) e ~v =
(x2, y2, z2) são iguais se, e somente se, x1 = x2, y1 = y2 e z1 = z2.
43
Os Espaços Vetoriais
Figura 2.32: Reta
real, R.
Figura 2.33: Plano
cartesiano, R2 =
R× R.
Figura 2.34: Espaço
cartesiano, R3 =
R× R× R.
Definição 2.13 (Soma e Produto por um escalar). Dados
os vetores ~u = (x1, y1, z1) e ~v = (x2, y2, z2) e λ ∈ R, define-se:
• ~u+ ~v = (x1 + x2, y1 + y2, z1 + z2)
• λ~u = (λx1, λy1, λz1)
Na soma 2~i + 4~j + 3~k, sabendo
que
2~i = 2(1, 0, 0) = (2, 0, 0)
4~j = 4(0, 1, 0) = (0, 4, 0)
3~k = 3(0, 0, 1) = (0, 0, 3)
Observando no plano xy, temos
que:
~v = 2~i+ 4~j + ~k
= (2, 0, 0) + (0, 4, 0)︸ ︷︷ ︸+(0, 0, 3)
vetor tracejato
= (2, 4, 0) + (0, 0, 3)= (2, 4, 3)
Figura 2.35: A soma dos ve-
tores que estão no plano xy,
2~i+ 4~j, é ilustrada pelo vetor
tracejado, enquanto a soma do
vetor tracejado ao vetor 3~k re-
sulta no vetor ~v .
44
Vetores e Geometria Analítica: Livro 1
2
AULA
Definição 2.14 (Vetor Definido por Dois Pontos). Se A =
(x1, y1, z1) e B = (x2, y2, z2) são dois pontos quaisquer no espaço,
então
−−→
AB = (x2 − x1, y2 − y1, z2 − z1)
Notação 3. Em vez de escrever ~v = 2~i+ 3~j+ 4~k, podemos escrever
~v = (2, 3, 4). Assim,
~i−~j = (1, 1, 0)
2~i− 3~j + ~k = (2,−3, 1)
4~k = (0, 0, 4)
em particular, {~i,~j,~k} = {(1, 0, 0), (0, 1, 0), (0, 0, 1)}.
Definição 2.15 (Condição de Paralelismo de Dois Veto-
res). Se dois vetores ~u = (x1, y1, z1) e ~v = (x2, y2, z2) são coline-
ares (ou paralelos), existe um número λ ∈ R, tal que ~u = λ~v, ou
seja (x1, y1, z1) = λ(x2, y2, z2). Esta é a condição de paralelismo de
dois vetores. Representamos por ~u//~v dois vetores ~u e ~v paralelos.
Exemplo 2.4.1. Determinar os valores de m e n para que sejam
paralelos os vetores ~u = (m+ 1, 3, 2) e ~v = (2, 1, 2n).
Para encontrarmos m e n, iremos usar a condição de parale-
lismo de dois vetores, assim, temos
(m+ 1, 3, 2) = λ(2, 1, 2n),
ou seja, 
m+ 1 = 2λ
3 = λ
2 = 2nλ
.
O que resulta em m = 5 e n = 1/3.
45
Os Espaços Vetoriais
2.5 Resumo
Nesta aula, aprendemos que um vetor pode ser decomposto sob
uma combinação linear de outros vetores. Conhecemos o conceito
de base ortonormal e aprendemos que é possível usá-lo para descre-
ver qualquer
vetor num plano (ou espaço) coordenado, como uma
combinação linear dos vetores desta base. Além disso, também
verificamos algumas propriedades das operações entre vetores.
2.6 Atividades
1. Exprima o vetor ~w = (1, 1) como combinação linear de ~u =
(−2, 1) e ~v = (1,−1).
2. Quais são as condições de a e b, números reais, para que os
vetores do plano ~u = (2a+1, 1) e ~v = (3, 2b−3) sejam iguais?
3. Dados os vetores ~u = (2,−4), ~v = (−5, 1) e ~w = (−12, 6),
determinar k1 e k2, tal que ~w = k1~u+ k2~v.
4. Encontre os números λ1 e λ2, tal que ~w = λ1~v1 +λ2~v2, sendo
~v1 = (1,−2, 1), ~v2 = (2, 0, 4) e ~w = (−4,−4,−10).
5. No quadrado ABCD tem-se A = (−1,−3) e B = (5, 6).
Quais são as coordenadas dos vértices C e D?
46
Vetores e Geometria Analítica: Livro 1
2
AULA
6. Mostre que qualquer conjunto {~v1, ~v2} de vetores não coline-
ares constitui uma base no plano.
7. Seja ABCD um quadrilátero. Se E é o ponto médio dos
Dizemos que E é o
ponto médio de um seg-
mento cujas extremida-
des são A = (x1, y1) e
B = (x2, y2) se, e so-
mente se,
E =
“x1 + x2
2
,
y1 + y2
2
”
.
segmentos AC e BD simultaneamente, sendo A = (0, 0),
B = (1, 1), C = (0, 2) e D = (−1, 1), mostre que ABCD é
um paralelogramo.
8. Dê um exemplo no plano que seja baseado na afirmação do
item (6).
9. Mostre que os pontos A = (4, 0, 1), B = 5, 1, 3), C = (3, 2, 5)
e D = (2, 1, 3) são vértices de um paralelogramo.
10. Se os vetores ~u e ~v têm o mesmo comprimento, demonstre
que ~u+ ~v e ~u− ~v são ortogonais. E a recíproca?
2.7 Comentário das atividades
Você concluiu as atividades 1,2,3 e 4? Para resolvê-las enten-
deu e utilizou o conceito de combinação linear. Se resolveu
as questões 5,6 e 9, então entendeu os conceitos de operações
entre vetores e vetores definidos por dois pontos. E as ati-
vidades 7 e 8? Conseguiu concluí-las? Então você entendeu
o conceito de paralelismo entre vetores. Já na questão 10,
você usou o conceito de vetores ortogonais.
47
Os Espaços Vetoriais
2.8 Referências
BOLDRINI, José Luiz. Álgebra Linear. São Paulo: Harbra,
1980.
LIMA, Elon Lages. Geometria Analítica e Álgebra Linear.
Rio de Janeiro: IMPA, 2005.
STEINBRUCH, Alfredo. Geometria Analítica. São Paulo: Ma-
kron Books, 1987.
48
3
AULA
2
LIVRO
Produto de Vetores -
Parte I
META:
Apresentar a definição de produto
escalar (ou produto interno) entre
vetores e suas propriedades.
OBJETIVOS:
Reconhecer e efetuar produtos esca-
lares entre vetores. Interpretar, geo-
metricamente, os produtos vetoriais
entre vetores, como o ângulo entre
vetores, a desigualdade triangular e
a projeção de um vetor sobre outro.
Produto de Vetores - Parte I
3.1 Introdução
Olá, caro aluno! Estamos aqui, novamente, para mais uma de
nossas aulas. Espero que os conteúdos apresentados nas aulas
anteriores tenham sido produtivos para você. Está conseguindo
acompanhar o nosso raciocínio? Estão surgindo muitas dúvidas?
Lembre-se de que há um tutor para esclarecê-las, e é bom que você
entre em contato com ele sempre que necessário.
Nesta aula, introduziremos o primeiro conceito sobre produto
entre vetores, a saber, o produto escalar (ou produto interno), em
que dois vetores são convertidos em um escalar. Além disso, vamos
estudar suas propriedades e como interpretar os vetores geometri-
camente. Abordaremos, também, uma desigualdade triangular.
3.2 Produto Escalar
Definição 3.16. Dados os vetores ~u = x1~i + y1~j + z1~k e ~v =
x2~i + y2~j + z2~k, definimos que o produto escalar (ou produto
interno usual), representado por ~u · ~v (também é indicado por
〈~u,~v〉), é o número real
〈~u,~v〉 = x1x2 + y1y2 + z1z2
Em particular, se ~u, ~v ∈ R2, em que ~u = x1~i+ y1~j e ~v = x2~i+
y2~j, o produdo escalar fica definido de forma análoga à anterior,
isto é,
〈~u,~v〉 = x1x2 + y1y2.
Exemplo 3.2.1. Sendo ~v = 3~i−~j−2~k e ~w =~i+~j−~k vetores em
R3, podemos escrevê-los como, ~v = (3,−1,−2) e ~w = (1, 1,−1), e
50
Vetores e Geometria Analítica: Livro 1
3
AULA
assim
〈~v, ~w〉 = 〈(3,−1,−2), (1, 1,−1)〉 = 3 · 1 + (−1) · 1 + (−2) · (−1)
⇒ 〈~v, ~w〉 = 4
Definição 3.17. Denominamos de módulo de um vetor ~v =
(x, y, z), representado por |~v|, o número real não negativo,
|~v| =
√
〈~v,~v〉 (3.1)
que em coordenadas fica
|~v| =
√
x2 + y2 + z2.
Em R2, podemos definir módulo de modo similar, ou seja, dado
um vetor no plano ~u = (x, y), seu módulo será o número real não
negativo
|~u| =
√
〈~u, ~u〉
, ou ainda em coordenadas
, |~u| =
√
x2 + y2.
Exemplo 3.2.2.
• Seja ~v ∈ R3, com ~v = (1, 0,−1)⇒ |~v| = √12 + 02 + (−1)2 =
√
2.
• Seja ~v ∈ R2, com ~v = (−2,√5) ⇒ |~v| =
√
(−2)2 + (√5)2 =
√
9 = 3.
• (Versor de um Vetor) Seja ~v ∈ R3, dado por ~v = (1, 0,−1),
o seu versor ~w será dado por
~w =
~v
|~v| =
1√
2
(1, 0,−1)
51
Produto de Vetores - Parte I
e assim,
~w =
∣∣∣∣ 1√2(1, 0,−1)
∣∣∣∣ = ∣∣∣∣( 1√2 , 0,− 1√2)
∣∣∣∣
=
√(
1√
2
)2
+ 02 +
(
− 1√
2
)2
=
√
2
2
= 1
O versor do vertor ~v é, na verdade, um vetor unitário.
• (Distância entre dois pontos) A distância entre dois
pontos A = (x1, y1, z1) e B = (x2, y2, z2) é dada por
d(A,B) =
∣∣∣−−→AB∣∣∣ = |B −A|
e, deste modo,
d(A,B) =
√
(x2 − x1)2 + (y2 − y1)2 + (z2 − z1)2, A,B ∈ R3.
coincide com a definição de distância entre dois pontos no
espaço. Para o caso do plano, basta-nos suprimir a terceira
coordenada, isto é,
d(A,B) =
√
(x2 − x1)2 + (y2 − y1)2,
neste caso, A = (x1, y1), B = (x2, y2) pontos do R2.
3.2.1 Propriedades do Produto Interno
Para quaisquer que sejam os vetores ~u = (x1, y1, z1), ~v = (x2, y2, z2), ~w =
(x3, y3, z3) em R3 e λ ∈ R, tal que:
(i) 〈~u, ~u〉 ≥ 0 e 〈~u, ~u〉 = 0⇔ ~u = ~0 = (0, 0, 0). De fato, pois por
definição 〈~u, ~u〉 ≥ 0, e se 〈~u, ~u〉 = 0, então |~u| = 0⇔ ~u = ~0.
(ii) 〈~u,~v〉 = 〈~v, ~u〉 (Comutativa) Veja que 〈~u,~v〉 = x1x2 +
y1y2+z1z2 = x2x1+y2y1+z2z1 = 〈~v, ~u〉, pois as coordenadas
de ~u e ~v são números reais e valem a comutatividade do
produto e da soma em R.
52
Vetores e Geometria Analítica: Livro 1
3
AULA
(iii) 〈~u, (~v+ ~w)〉 = 〈~u,~v〉+ 〈~u, ~w〉 (Distributiva com relação
à soma de vetores) De fato, pois
〈~u, (~v + ~w)〉 = 〈(x1, y1, z1), (x2, y2, z2) + (x3, y3, z3)〉
= 〈(x1, y1, z1), (x2 + x3, y2 + y3, z2 + z3)〉
= x1(x2 + x3) + y1(y2 + y3) + z1(z2 + z3)
= (x1x2 + y1y2 + z1z2) + (x1x3 + y1y3 + z1z3)
= 〈~u,~v〉+ 〈~u, ~w〉
(iv) 〈λ~u,~v〉 = λ〈~u,~v〉 = 〈~u, λ~v〉
Exercício 3.2.1. A verificação desta propriedade fica como
atividade para você.
(v) 〈~u, ~u〉 = |~u|2 De fato, temos que |~u| = √〈~u, ~u〉. Assim,
(|~u|)2 =
(√
〈~u, ~u〉
)2 ⇒ |~u|2 = 〈~u, ~u〉
Exemplo 3.2.3. |~u+ ~v|2 = |~u|2 + 2〈~u,~v〉 + |~v|2 para quaisquer
vetores ~u~v ∈ R2 (esta igualdade também é válida caso os vetores
pertençam ao R3).
Temos que
|~u+ ~v|2 = 〈~u+ ~v, ~u+ ~v〉
= 〈~u, ~u+ ~v〉+ 〈~v, ~u+ ~v〉 (pela propriedade (ii) e (iii))
= 〈~u, ~u〉+ 〈~u,~v〉+ 〈~v, ~u〉+ 〈~v,~v〉 (por (iii))
= |~u|2 + 2〈~u,~v〉+ |~v|2
Definição 3.18 (Ângulo de Dois Vetores). Se ~u 6= ~0, ~v 6= ~0
e se θ é o ângulo dos vetores ~u e ~v, então:
〈~u,~v〉 = |~u| |~v| cos θ (3.2)
53
Produto de Vetores - Parte I
Esta definição também não depende da condição de os vetores
estarem em R2 (no plano) ou em R3 (no espaço). Assim, caro
aluno, é importante que você atente para o que é preciso fazer caso
queiramos obter o ângulo θ a partir dos vetores já conhecidos.
Veja que na equação (3.2)temos o seguinte
cos θ =
〈~u,~v〉
|~u| |~v| (3.3)
e assim, obtemos
θ = arc cos
( 〈~u,~v〉
|~u| |~v|
)
(3.4)
Exemplo 3.2.4. Para calcular o ângulo entre os vetores ~u =
(1, 1, 4) e ~v = (−1, 2, 2), façamos o seguinte movimento
cos θ =
〈~u,~v〉
|~u| |~v| =
〈(1, 1, 4), (−1, 2, 2)〉
|(1, 1, 4)| |(−1, 2, 2)|
cos θ =
−1 + 2 + 8√
18 · 3 =
9
9
√
2
=
√
2
2
⇒ θ = arc cos
(√
2
2
)
E assim, temos que θ = 45o.
Em relação ao ângulo entre dois vetores ~u e ~v, percebemos que:
1. 〈~u,~v〉 > 0, com base na equação (3.3), temos que cos θ > 0,
e assim 0 ≤ θ < 90o ( ou seja, um ângulo agudo).
2. 〈~u,~v〉 < 0, por (3.3), temos que cos θ < 0, e assim 90o ≤ θ <
180o ( ou seja, um ângulo obtuso).
3. 〈~u,~v〉 = 0, por (3.3), temos que cos θ = 0, e assim θ = 90o (
neste caso, um ângulo reto).
54
Vetores e Geometria Analítica: Livro 1
3
AULA
Figura 3.36: 0 ≤
θ < 90o. Figura 3.37: 90
o ≤
θ < 180o.
Figura 3.38: θ =
90o.
Observe que na equação (3.3) temos que
| cos θ| =
∣∣∣∣ 〈~u,~v〉|~u| |~v|
∣∣∣∣ ⇒ |〈~u,~v〉| = | cos θ| |~u| |~v| ,
e devemos lembrar que 0 ≤ | cos θ| ≤ 1. Assim,
|〈~u,~v〉| ≤ |~u| |~v| , (3.5)
para quaisquer vetores ~u e ~v (sejam eles pertencentes ao plano ou
ao espaço).
Exemplo 3.2.5. O triângulo formado pelos vértices A = (2, 3, 1),
B = (2, 1,−1) e C = (2, 2,−2) é retângulo?
Para respondermos esta questão, é importante observarmos se
algum dos pares de vetores que determinam os lados do triângulo
ABC são perpendiculares. Para isso,
−−→
AB = (0,−2,−2)
−→
AC = (0,−1,−3)
−−→
BC = (0, 1,−1)
então, temos que
〈−−→AB,−→AC〉 = 〈(0,−2,−2), (0,−1,−3)〉 = 8
55
Produto de Vetores - Parte I
〈−−→AB,−−→BC〉 = 〈(0,−2,−2), (0, 1,−1)〉 = 0
Portanto, 〈−−→AB,−−→BC〉 = 0, isto é, no vértice B, os lados AB e
BC formam um ângulo de 90o. Isso nos permite concluir que o
triângulo ABC é retângulo.
Exemplo 3.2.6. Determinar um vetor ortogonal aos vetores ~u =
(1,−1, 0) e ~v = (1, 0, 1). Para isso, vamos considerar um vetor
~w = (x, y, z) ortogonal a ~u e a ~v. Sendo assim,
〈~w, ~u〉 = 〈(x, y, z), (1,−1, 0)〉 = x− y = 0
〈~w,~v〉 = 〈(x, y, z), (1, 0, 1)〉 = x+ z = 0
Portanto, nosso problema agora se reduz a solucionar o sistemax− y = 0x+ z = 0 ⇒
x = yx = −z
Isso significa dizer que as soluções são vetores na forma ~w =
(x, x,−x). Deste modo, basta-nos escolher um reprensentante des-
ses vetores, por exemplo, tomando x = 1, e assim, (1, 1,−1) é uma
solução.
3.2.2 Projeção de um vetor
Definição 3.19. Sejam os vetores ~u e ~v, com ~u 6= 0, ~v 6= 0 e θ o
ângulo formado por eles. Se o vetor ~w representa a projeção de ~u
sobre ~v, é definido por
proj ~v ~u =
(〈~u,~v〉
〈~v,~v〉
)
~v ou proj ~v ~u =
(〈~u,~v〉
|~v|2
)
~v (3.6)
56
Vetores e Geometria Analítica: Livro 1
3
AULA
Figura 3.39: 0 ≤ θ < 90o Figura 3.40: 90o ≤ θ < 180o
Tanto o triângulo retângulo representado na figura (3.39) quanto
o da figura (3.40) nos permitem compreender que
|~w| = |~u| |cos θ| = |~u| |〈~u,~v〉||~u| |~v| =
|〈~u,~v〉|
|~v|
Como ~w e ~v têm a mesma direção, ~w = λ~v e λ ∈ R, então,
|~w| = |λ| |~v| ⇒ |λ| = |~w| 1|~v| =
|〈~u,~v〉|
|~v|
1
|~v|
|λ| = |〈~u,~v〉||~v|2 ⇒ ~w =
( |〈~u,~v〉|
|~v|2
)
~v
E assim, proj ~v ~u =
( |〈~u,~v〉|
|~v|2
)
~v.
Exemplo 3.2.7. Vamos determinar proj ~v ~u em que ~u = (2, 3) e
~v = (1,−1). Observe que
〈~u,~v〉 = 〈(2, 3), (1,−1)〉 = 2− 3 = −1
〈~v,~v〉 = 〈(1,−1), (1,−1)〉 = 1 + 1 = 2
E assim,
proj ~v ~u =
(〈~u,~v〉
|~v|2
)
(1,−1) = −1
2
(1,−1) = (−1
2
,
1
2
)
57
Produto de Vetores - Parte I
Considerando os vetores ~u e ~v (pertencentes ao plano ou ao
espaço) e usando as propriedades de produto escalar, temos que
〈~u+ ~v, ~u+ ~v〉 = 〈~u, ~u+ ~v〉+ 〈~v, ~u+ ~v〉
⇓
〈~u+ ~v, ~u+ ~v〉 = 〈~u, ~u〉+ 〈~u,~v〉+ 〈~v, ~u〉+ 〈~v,~v〉
como |~u+~v|2 = 〈~u+~v, ~u+~v〉, |~u|2 = 〈~u, ~u〉 e |~v|2 = 〈~v,~v〉, além de
que 〈~u,~v〉 = 〈~v, ~u〉 (pois os ambientes a que os vetores pertencem
são Rn, com n = 2 ou 3). Assim, fazendo as devidas substituições,
chegamos a
|~u+ ~v|2 = |~u|2 + 2〈~u,~v〉+ |~v|2
⇓
|~u+ ~v|2 = |~u|2 + 2| cos θ| |~u| |~v|+ |~v|2
≤ |~u|2 + 2|~u| |~v|+ |~v|2
≤ (|~u|+ |~v|)2
Portanto, obtemos
|~u+ ~v| ≤ |~u|+ |~v| (3.7)
Esta desigualdade é chamada deDesigualdade Triangular. Veja
os exercícios (2 e 4).
58
Vetores e Geometria Analítica: Livro 1
3
AULA
3.3 Resumo
Nesta aula, conhecemos a definição de produto escalar (ou produto
interno) entre vetores e suas propriedades. Além disso, verificamos
que o uso do produto escalar entre dois vetores permite-nos encon-
trar o cosseno do ângulo entre eles. Definimos a projeção de um
vetor sobre outro e a desigualdade triangular.
3.4 Atividades
1. Dados os vetores ~u = (2,−3,−1) e ~v = (1,−1, 4), calcular:
(a) 〈2~u,−~v〉;
(b) 〈~u+ 3~v,~v − 2~u〉;
(c) 〈~u+ ~v, ~u− ~v〉;
(d) 〈~u+ ~v,~v − ~u〉.
2. Verificar para os vetores ~u = (4,−1, 2) e ~v = (−3, 2,−2) as
seguintes desigualdades:
(a) (Desigualdade de Schwarz) |〈~u,~v〉| ≤ |~u| |~v|;
(b) (Desigualdade Triangular) |~u+ ~v| ≤ |~u|+ |~v|.
3. Prove que 〈~u+ ~v, ~u− ~v〉 = |~u|2 − |~v|2 para quaisquer vetores
~u~v ∈ R2.
4. Prove as seguintes propriedades do comprimento (ou mó-
dulo) de um vetor.
(a) |~v| = 0 se, e somente se, ~v = 0;
(b) |~v + ~w| ≤ |~v|+ |~w|;
59
Produto de Vetores - Parte I
(c) |λ~v| = |λ| |~v|;
(d) |−~v| = |~v|.
5. Sabendo que |~u| = √2, |~v| = 3 e que ~u e ~v formam um ângulo
de
3
4
pi, determine:
(a) |〈2~u− ~v, ~u− 2~v〉|;
(b) |~u− 2~v|.
6. Mostre que a definição de ângulo entre vetores pode ser ob-
tida atravez da lei dos cossenos observando a figura (3.6).
[Lei dos Cossenos]
Num triângulo cujos la-
dos medem a, b, c vale a
igualdade
a2 = b2+c2−2bc ·cos θ,
sendo θ o ângulo entre
os segmentos que me-
dem b e c.
Figura 3.41: θ é o ângulo entre ~u e ~v.
3.5 Comentário das atividades
Se você conseguiu fazer as atividades 1,4 e 5, então entendeu a
definição do produto escalar (ou produto interno) e de módulo
de um vetor. Já as atividaes 2 e 3, se você as resolveu, tratam
de importantes propriedades geométricas dos vetores e serão úteis
nas disciplinas que virão mais adiante.
60
Vetores e Geometria Analítica: Livro 1
3
AULA
3.6 Referências
STEINBRUCH, Alfredo , Geometria Analítica. São Paulo, Ma-
kron Books, 1987.
LIMA, Elon Lages , Geometria Analítica e Álgebra Linear. Rio de
Janeiro, IMPA, 2005.
BOLDRINI, José Luiz, 'Algebra Linear . São Paulo, Harbra, 1980.
61
4
AULA
2
LIVRO
Produto de Vetores -
Parte II
META
Apresentar o produto vetorial entre
vetores e suas propriedades.
OBJETIVOS
Reconhecer e efetuar produtos
vetoriais entre vetores.
Reconhecer propriedades ligadas
aos produtos vetoriais entre vetores,
como a área de um paralelogramo
que tem como lados dois vetores e o
produto misto com sua representa-
ção geométrica.
PRÉ-REQUISITOS
Para que você possa ter um bom
desempenho nesta aula, é necessário
que saiba reconhecer e efetuar pro-
dutos escalares entre vetores, além
de interpretá-los geometricamente.
Produto de Vetores - Parte II
4.1 Introdução
Olá! Estamos aqui para mais um encontro em que transitare-
mos pelos produtos entre vetores. Na aula passada, introduzimos
o conceito de produto escalar entre vetores e suas propriedades.
Além disso, aplicamos esse produto para encontrar, por exemplo,
o cosseno do ângulo entre eles.
Em continuidade ao tema da aula anterior, em que definimos e
vimos algumas aplicações do produto escalar (ou produto interno),
nesta aula estudaremos outro produto, isto é, o vetorial, que, dife-
rentemente do produto escalar, permite a conversão de dois vetores
no espaço em outro vetor. Esta operação tem um significado ge-
ométrico interessante que será mostrado no transcorrer da aula.
Você conhecerá, também, o produto misto cujo valor absoluto re-
presentamos como 1/6 do volume de um tetraedro.
4.2 Produto vetorial
Nesta primeira seção, vamos apresentar a você o produto vetorial.
Seu resultado difere
do produto escalar por ser um vetor e não
um escalar. Seu uso principal associa-se ao fato de o resultado de
um produto vetorial ser sempre perpendicular a ambos os vetores
originais. Assim, comecemos pela sua definição e, logo em seguida,
você verá que há algumas formas diferentes de representá-lo.
Definição 4.20 (Produto vetorial). Dados os vetores
~u = (x1, y1, z1)
(ou ~u = x1~i+ y1~j+ z1~k) e ~v = (x2, y2, z2) (ou ~u = x2~i+ y2~j+ z2~k)
tomados nesta ordem, chamamos de produto vetorial dos vetores
64
Vetores e Geometria Analítica: Livro 1
4
AULA
~u e ~v, os vetores
~u× ~v = (y1z2 − z1y2)~i+ (z1x2 − x1z2)~j + (x1y2 − y1x2)~k
ou simplesmente,
~u× ~v = (y1z2 − z1y2 , z1x2 − x1z2 , x1y2 − y1x2)
Outra maneira de escrevermos o produto vetorial, muito útil e
fácil de usar, é
~u× ~v =
∣∣∣∣∣∣∣∣∣
~i ~j ~k
x1 y1 z1
x2 y2 z2
∣∣∣∣∣∣∣∣∣
ou
~u× ~v =
∣∣∣∣∣∣y1 z1y2 z2
∣∣∣∣∣∣~i−
∣∣∣∣∣∣x1 z1x2 z2
∣∣∣∣∣∣~j +
∣∣∣∣∣∣x1 y1x2 y2
∣∣∣∣∣∣~k
Observação 6. Chamamos a sua atenção neste ponto, caro aluno,
pois é fundamental perceber que 〈~u, ~u × ~v〉 = 0 ou 〈~v, ~u × ~v〉 = 0,
pois (sendo ~u e ~v não nulos e não colineares)
〈~u, ~u× ~v〉 = x1(y1z2 − z1y2) + y1(z1x2 − x1z2) + z1(x1y2 − y1x2)
= x1y1z2 − x1z1y2 + y1z1x2
−y1x1z2 + z1x1y2 − z1y1x2
= 0
O mesmo ocorre para 〈~v, ~u × ~v〉 = 0. Isto significa que os vetores
~u e ~v são ortogonais a ~u × ~v, isto é, ~u × ~v não está no mesmo
plano que ~u e ~v. Portanto, não faz sentido estudarmos produtos
vetoriais entre vetores no plano, pois não seria possível encontrar
o vetor ~u× ~v.
65
Produto de Vetores - Parte II
Exemplo 4.2.1. Sejam ~u = (5, 4, 3) e ~v = (1, 0, 1) vetores em R3.
Deste modo,
~u× ~v =
∣∣∣∣∣∣∣∣∣
~i ~j ~k
5 4 3
1 0 1
∣∣∣∣∣∣∣∣∣ = (4− 0)
~i+ (3− 5)~j + (0− 4)~k
⇒ ~u× ~v = 4~i− 2~j − 4~k = (4,−2,−4).
Veja ainda que
~v × ~u =
∣∣∣∣∣∣∣∣∣
~i ~j ~k
1 0 1
5 4 3
∣∣∣∣∣∣∣∣∣ = (0− 4)
~i+ (5− 3)~j + (4− 0)~k
⇒ ~v × ~u = −4~i+ 2~j + 4~k = (−4, 2, 4).
Portanto, neste exemplo, ~u× ~v = −(~v × ~u). Mas será que esta
propriedade é válida para quaisquer dois vetores em R3?
Para que você possa verificar se isto é possível, acompanhe o
nosso raciocínio no próximo tópico.
66
Vetores e Geometria Analítica: Livro 1
4
AULA
4.3 Propriedades do produto vetorial
Agora que você sabe o que é um produto vetorial, vamos apresentar-
lhe as propriedades desse produto.
Sejam ~u = (x1, y1, z1), ~v = (x2, y2, z2), ~w = (x3, y3, z3) ∈ R3 e
λ ∈ R, tal que
(V1) ~u×~u = ~0, qualquer que seja ~u ∈ R3. De fato, pela definição
temos o seguinte
~u× ~u =
∣∣∣∣∣∣∣∣∣
~i ~j ~k
x1 y1 z1
x1 y1 z1
∣∣∣∣∣∣∣∣∣
= (y1z1 − z1y1)~i+ (z1x1 − x1z1)~j + (x1y1 − y1x1)~k
= (0)~i+ (0)~j + (0)~k
⇒ ~u× ~u = (0, 0, 0) = ~0.
Como conseqüência disso, temos que
~i×~i = ~j×~j = ~k×~k = ~0.
(V2) ~u× ~v = −(~v × ~u). De fato, veja que
~u× ~v =
∣∣∣∣∣∣∣∣∣
~i ~j ~k
x1 y1 z1
x2 y2 z2
∣∣∣∣∣∣∣∣∣
= (y1z2 − z1y2)~i+ (z1x2 − x1z2)~j + (x1y2 − y1x2)~k
~v × ~u =
∣∣∣∣∣∣∣∣∣
~i ~j ~k
x2 y2 z2
x1 y1 z1
∣∣∣∣∣∣∣∣∣
= (y2z1 − z2y1)~i+ (z2x1 − x2z1)~j + (x2y1 − y2x1)~k
⇒ ~u× ~u = −(~v × ~u), ∀ ~u,~v ∈ R3.
A partir desta propriedade, temos como resultado que
67
Produto de Vetores - Parte II
~i×~j = −(~j ×~i)
~j × ~k = −(~k ×~j)
~i× ~k = −(~k ×~i)
(V3) ~u×(~v+ ~w) = ~u×~v+~u× ~w. De fato, se ~v = (x2, y2, z2) e ~w =
(x3, y3, z3), verificamos que ~v+ ~w = (x2+x3, y2+y3, z2+z3),
e assim,
~u× (~v + ~w) =
∣∣∣∣∣∣∣∣∣
~i ~j ~k
x1 y1 z1
x2 + x3 y2 + y3 z2 + z3
∣∣∣∣∣∣∣∣∣
⇒ ~u× (~v + ~w) = (y1(z2 + z3)− z1(y2 + y3))~i+
+(z1(x2 + x3)− x1(z2 + z3))~j+
+(x1(y2 + y3)− y1(x2 + x3))~k
⇒ ~u× (~v + ~w) = ((y1z2 − z1y2) + (y1z3 − z1y3))~i+
+((z1x2 − x1z2) + (z1x3 − x1z3))~j+
+((x1y2 − y1x2) + (x1y3 − y1x3))~k
⇒ ~u× (~v + ~w) =(
(y1z2 − z1y2)~i+ (z1x2 − x1z2)~j + (x1y2 − y1x2)~k
)
︸ ︷︷ ︸+
~u× ~v
+
(
(y1z3 − z1y3)~i+ (z1x3 − x1z3)~j + (x1y3 − y1x3)~k
)
︸ ︷︷ ︸
~u× ~w
~u× (~v + ~w) =
∣∣∣∣∣∣∣∣∣
~i ~j ~k
x1 y1 z1
x2 y2 z2
∣∣∣∣∣∣∣∣∣+
∣∣∣∣∣∣∣∣∣
~i ~j ~k
x1 y1 z1
x3 y3 z3
∣∣∣∣∣∣∣∣∣
Portanto, ~u× (~v + ~w) = ~u× ~v + ~u× ~w, ∀ ~u,~v, ~w ∈ R3.
68
Vetores e Geometria Analítica: Livro 1
4
AULA
(V4) (λ~u)× ~v = λ(~u× ~v).
Exercício 4.3.1. A verificação desta propriedade fica como
exercício.
(V5) ~u × ~v = ~0 se, e somente se, um dos vetores é nulo ou se ~u e
~v são colineares. De fato, se ~u = ~0, então,
~u× ~v =
∣∣∣∣∣∣∣∣∣
~i ~j ~k
0 0 0
x2 y2 z2
∣∣∣∣∣∣∣∣∣ = 0
~i+ 0~j + 0~k = ~0
E se ~u e ~v não forem ambos nulos, mas colineares, isto é,
~v = λ~u, então
~u× ~v = ~u× (λ~u) =︸︷︷︸ λ(~u× ~u)
por (V4)
Mas como sabemos da propriedade V1, obtemos λ(~u× ~u) =
λ(~0)⇒ ~u× ~v = ~0.
(V6) ~u×~v é ortogonal simultaneamente aos vetores ~u e ~v. Então,
se 〈~u, ~u× ~v〉 = 〈~v, ~u× ~v〉 = 0, ~u× ~v é ortogonal simultanea-
mente aos vetores ~u e ~v.
Perceba que
〈~u, ~u× ~v〉 = x1
∣∣∣∣∣∣y1 z1y2 z2
∣∣∣∣∣∣+ y1
∣∣∣∣∣∣x1 z1x2 z2
∣∣∣∣∣∣+ z1
∣∣∣∣∣∣x1 y1x2 y2
∣∣∣∣∣∣
e assim, obtemos
〈~u, ~u× ~v〉 =
∣∣∣∣∣∣∣∣∣
x1 y1 z1
x1 y1 z1
x2 y2 z2
∣∣∣∣∣∣∣∣∣ = 0
69
Produto de Vetores - Parte II
Pois neste caso o determinante tem duas linhas iguais. Fa-
zendo o mesmo para 〈~v, ~u × ~v〉, constatamos (de modo aná-
logo) que
〈~u, ~u× ~v〉 =
∣∣∣∣∣∣∣∣∣
x2 y2 z2
x1 y1 z1
x2 y2 z2
∣∣∣∣∣∣∣∣∣ = 0
Portanto, ~u×~v é ortogonal simplesmente aos vetores ~u e ~v.
(V7) O triedro {~u,~v,~v × ~u} é positivamente orientado. Sejam
Um triedro {~u,~v,~v ×
~u} (supondo que ~u e
~v sejam não colineares)
diz-se positivamente
orientado (em relação
ao sistemas de eixos fi-
xados, no caso, xyz)
quando é positivo o de-
terminante cujas linhas
são formadas pelas co-
ordenadas dos vetores
dados, na ordem em
que são listados.
α ∈ R e ~u,~v, ~u× ~v ∈ R3, tal que
α =
∣∣∣∣∣∣∣∣∣
x1 y1 z1
x2 y2 z2
y1z2 − z1y2 z1x2 − x1z2 x1y2 − y1x2
∣∣∣∣∣∣∣∣∣
em que ~u = (x1, y1, z1), ~v = (x2, y2, z2) e
~u× ~v = (y1z2 − z1y2, z1x2 − x1z2, x1y2 − y1x2) .
Assim, obtemos
α = 〈~u× ~v, ~u× ~v〉 = |~u× ~v|2 > 0.
.
Exercício 4.3.2. Mostre a igualdade entre o determinante
e o número real 〈~u× ~v, ~u× ~v〉 da propriedade (V7).
(V8) (Identidade de Lagrange)
〈~u× ~v, ~u× ~v〉 = 〈~u, ~u〉 · 〈~v,~v〉 − 〈~u,~v〉2 (4.1)
70
Vetores e Geometria Analítica: Livro 1
4
AULA
De fato,
~u× ~v =
∣∣∣∣∣∣y1 z1y2 z2
∣∣∣∣∣∣~i+
∣∣∣∣∣∣x1 z1x2 z2
∣∣∣∣∣∣~j +
∣∣∣∣∣∣x1 y1x2 y2
∣∣∣∣∣∣~k.
Portanto,
|~u× ~v|2 = (y1z2 − z1y2)2 + (z1x2 − x1z2)2 + (x1y2 − y1x2)2
Mas, temos que
|~u|2|~v|2 = (x21 + y21 + z21)(x22 + y22 + z22) e
〈~u,~v〉2 = (x1x2 + y1y2 + z1z2)2
. Efetuando as operações indicadas, verificamos que |~u ×
~v|2 = |~u|2|~v|2 − 〈~u,~v〉2.
(V9) Se ~u 6= ~0, ~v 6= ~0 e se θ é o ângulo entre os vetores ~u e ~v, então
|~u× ~v| = |~u| · |~v| sen θ. (4.2)
De acordo com a identidade de Lagrange, na equação (4.1),
temos
|~u× ~v|2 = |~u|2 |~v|2 − 〈~u,~v〉2
ou seja,
|~u× ~v|2 = |~u|2 |~v|2 − (|~u| |~v| cos θ)2
⇓
|~u× ~v|2 = |~u|2 |~v|2(1− cos2 θ)
⇒ |~u× ~v|2 = |~u|2 |~v|2(sen 2θ)
pois 1− cos2 θ = sen 2θ. E sabemos que
|~u× ~v|2 = |~u|2 |~v|2(sen 2θ)
71
Produto de Vetores - Parte II
⇓
|~u× ~v| = |~u| |~v|(sen θ)
.
Tal qual na propriedade (V7), percebemos que os vetores da
base canônica {~i,~j,~k} são válidos.
~i×~j =
∣∣∣∣∣∣∣∣∣
~i ~j ~k
1 0 0
0 1 0
∣∣∣∣∣∣∣∣∣
⇒~i×~j = ~k
e para as outras combinações:
~j × ~k = ~i
~k ×~i = ~j
percebemos ainda que
~j ×~i = −~k
~k ×~j = −~i
~i× ~k = −~j
No paralelogramo ABCD a seguir, observamos que ~u =
−−→
AB e
~v =
−→
AC. A altura do paralelogramo relativa aos lados CD e AB é
dada por |~v|sen θ.
72
Vetores e Geometria Analítica: Livro 1
4
AULA
Assim, a área do paralelogramo é
dada por
ÁreaABCD = |~u|︸︷︷︸ · (|~v| sen θ)︸ ︷︷ ︸,
base altura
Portanto,
|~u× ~v| = ÁreaABCD
Exemplo 4.3.1. Determine o vetor ~w, tal que ~w seja ortogonal
ao eixo−y e ~u = ~w × ~v, sendo ~u = (1, 1,−1) e ~v = (2,−1, 1).
Como ~w ⊥ eixo−y deve ser da forma ~w = (x, 0, z), assim, ~u = ~w×~v
equivale a
(1, 1,−1) =
∣∣∣∣∣∣∣∣∣
~i ~k ~k
x 0 z
2 −1 1
∣∣∣∣∣∣∣∣∣
ou ainda, (1, 1,−1) = (z,−x + 2z,−x). Basta-nos solucionar os
sistemas 
z = 1
−x+ 2z = 1
−x = −1
cuja solução é x = 1 e z = 1. Logo, ~w = (1, 0, 1).
Exemplo 4.3.2. Seja um triângulo eqüilátero ABC de lado 10.
Calcular |−−→AB ×−→AC|.
Veja que
|−−→AB ×−→AC| = |−−→AB| · |−→AC| senα
em que α é o ângulo interno de ABC no vértice A.
73
Produto de Vetores - Parte II
Como α = 60o, tem-se que |−−→AB ×−→AC| = (10) · (10) sen 60o
⇒ |−−→AB ×−→AC| = 100
√
3
2
= 50
√
3
Mas como o valor 50
√
3 representa a área do paralelogramo, por-
tanto a área do triângulo é a metade, ou seja, ÀreaABC = 25
√
3 .
Exemplo 4.3.3. Dados os pontos A = (2, 1, 1), B = (3,−1, 0) e
C = (4, 2,−2), vamos determinar:
(i) a área do triângulo ABC;
(ii) a altura do triângulo relativa ao vértice C.
Resolução do exemplo:
(i) A partir do triângulo ABC podemos construir o paralelo-
gramo ABCD, cuja área é o dobro da área do triângulo.
Assim, com base nos vetores
−−→
AB e
−→
AC, temos
A4 =
1
2
|−−→AB ×−−→BC|
74
Vetores e Geometria Analítica: Livro 1
4
AULA
Mas
−−→
AB = (1,−2,−1), −→AC = (2, 1,−3) e
|−−→AB ×−−→BC| =
∣∣∣∣∣∣∣∣∣
~i ~j ~k
1 −2 −1
2 1 3
∣∣∣∣∣∣∣∣∣ = |(7, 1, 5)|
Logo,
A4 =
1
2
√
49 + 25 + 1 =
5
2
√
3u.a.
(ii) Já para obtermos a altura do triângulo indicado na figura,
basta lembrarmos que
AABCD = (base)(altura) = b h.
Assim, como a base b no triângulo é dada por |−−→AB|, obtemos
h =
A
b
=
|−−→AB ×−→AC|
|−−→AB|
=
√
75
|(1,−2,−1)| =
5
2
√
2 u.c.
Definição 4.21. Chama-se produto misto dos vetores ~u = (x1, y1, z1),
~v = (x2, y2, z2) e ~w = (x3, y3, z3), tomados nesta ordem, o número
real
〈~u,~v × ~w〉 =
∣∣∣∣∣∣∣∣∣
x1 y1 z1
x2 y2 z2
x3 y3 z3
∣∣∣∣∣∣∣∣∣ .
Também denotado por 〈~u,~v × ~w〉 = (~u,~v, ~w).
Figura 4.42: Produto misto dado pelos vetores
~AB, ~AC e ~AD.
75
Produto de Vetores - Parte II
Sejam A,B,C e D pontos não colineares e os vetores ~u =
−−→
AB, ~v =
−→
AC e ~w =
−−→
AD também não colineares. Esses vetores
determinam um paralelepípedo como na figura (4.42), cujo volume
é
V = (Área da base) · (altura).
Note que a altura é
h = |~w|. cos θ
h = |~w| 〈~u× ~v, ~w〉|~u× ~v| · |~w|
h =
〈~u× ~v, ~w〉
|~u× ~v|
e que a área da base é dada por A
base
= |~u× ~v|. Logo
V = h ·A
base
⇒ V = 〈~u× ~v, ~w〉.
Se ~u = (x1, y1, z1), ~v = (x2, y2, z2) e ~w = (x3, y3, z3), podemos
reescrever o volume do paralelepípedo da seguinte forma
V = |(~u,~v, ~w)| = |〈~u,~v × ~w〉|
ou seja, V = |〈~u,~v × ~w〉|.
Exemplo 4.3.4 (Volume do Tetraedro). O volume do tetra-
edro (como ilustrado na figura (4.42)) é dado por
Vt =
1
6
∣∣∣(−−→AB,−→AC,−−→AD)∣∣∣
e assim, se um tetraedro é formado pelos pontos A = (1, 2,−1),
B = (5.0, 1), C = (2,−1, 1) e D = (6, 1,−3) como vértices, temos
que ∣∣∣∣∣∣∣∣∣
4 −2 2
1 −3 2
5 −1 −2
∣∣∣∣∣∣∣∣∣ = 36⇒ Vt =
1
6
|36|
Portanto, o volume do tetraedro é Vt = 6 u.v. .
76
Vetores e Geometria Analítica: Livro 1
4
AULA
4.4 Resumo
Nesta aula, conhecemos a definição vetorial entre vetores e suas
propriedades. Conhecemos também a possibilidade de usar o pro-
duto vetorial para representar a área de um paralelogramo. Defi-
nimos o produto misto e o representamos geometricamente como
o volume do paralelogramo formado por três vetores não todos
coplanares.
4.5 Atividades
1. Se ~u = (3,−1,−2), ~v = (2, 4,−1) e ~w = (−1, 0, 1), deter-
mine:
(a) |~u× ~v|;
(b) 2~v × 3~v;
(c) ~u× ~w + ~w × ~u;
(d) 〈~u,~v × ~w〉.
2. Determine o vetor ~x, tal que 〈~x, (1, 4,−3)〉 = −7 e ~x ×
(4,−2, 1) = (3, 5,−2).
3. Dados os vetores ~u = (3, 1, 1), ~v = (−4, 9, 3) e ~w = (1, 2, 0),
determine ~x de modo que ~x ⊥ ~w e ~x× ~u = −~v.
4. Encontre um vetor ortogonal ao plano determinado pelos
pontos P , Q e R e calcule a área do triângulo PQR.
(a) P = (3, 0, 0), Q = (0, 3, 0), R = (0, 0, 2)
(b) P = (2, 3, 0), Q = (0, 2, 1), R = (2, 0, 2)
77
Produto de Vetores - Parte II
5. Fixando o sistema de coordenadas com a base canônica no
espaço, mostre que para quaisquer vetores ~u, ~v, ~w e ~t vale∣∣∣∣∣∣〈~u, ~w〉 〈~u,
~t 〉
〈~v, ~w〉 〈~v,~t 〉
∣∣∣∣∣∣ = 〈~u× ~v, ~w × ~t 〉.
6. (Aplicação Física) O produto vetorial é uma importante
ferramenta utilizada na Física. Entre algumas das suas apli-
cações, podemos citar o torque. A equação para o cálculo do
O torque é uma gran-
deza vetorial represen-
tada pela letra grega
τ , que está relacionada
à posibilidade de um
corpo sofrer uma tor-
ção ou alterar seu mo-
vimento de rotação.
torque é
~τ = ~r × ~F
em que |~r| é a distância do ponto de aplicação da força ~F ao
eixo de rotação a que o corpo está vinculado.
• Calcule o torque sobre a barra AB em que −−→AB = ~r = 2~j
em metros,
~F = 10~i (em newtons) e o eixo de rotação
é o eixo−z.
4.6 Comentário das atividades
Ao resolver as atividades 1, 2 e 3, você entendeu a definição de
produto vetorial. Quanto às atividades 4, 5 e 6, se as concluiu,
você trabalhou as propriedades do produto vetorial. Caso não
78
Vetores e Geometria Analítica: Livro 1
4
AULA
tenha obtido sucesso na resolução das questões desta aula, lembre-
se sempre de que você dispõe de um tutor para tirar suas dúvidas.
Faço bom proveito deste recurso.
4.7 Referências
STEINBRUCH, Alfredo , Geometria Analítica. São Paulo, Ma-
kron Books, 1987.
LIMA, Elon Lages , Geometria Analítica e Álgebra Linear. Rio de
Janeiro, IMPA, 2005.
BOLDRINI, José Luiz, 'Algebra Linear . São Paulo, Harbra, 1980.
79
5
AULA
2
LIVRO
A Reta
META
Expor o conceito das equações
de retas no plano e espaço e suas
propriedades geométricas.
OBJETIVOS
Identificar a equação da reta nas
formas vetorial, paramétrica, simé-
trica e reduzida.
Reconhecer as propriedades geo-
métricas do paralelismo, retas aos
planos e eixos geométricos.
PRÉ-REQUISITOS
Para que você possa ter um bom de-
sempenho nesta aula, é necessário
que saiba reconhecer e efetuar pro-
dutos escalares e vetoriais entre ve-
tores, além de interpretar geometri-
camente esses produtos.
A Reta
5.1 Introdução
Olá! Aos poucos estamos avançando nesta nossa caminhada pela
Geometria Analítica. Na aula passada, aprendemos o que é um
produto vetorial entre vetores e suas propriedades. Além disso,
verificamos que é possível utilizar esse produto para representar a
área de figuras geométricas como o paralelogramo. Também apre-
sentamos a você a definição de produto misto, sua representação
geométrica e seu valor absoluto.
Nesta aula, vamos aprofundar nossos estudos sobre as retas.
Acredito que você já deve ter algum conhecimento a respeito delas,
pois já estudou um pouco de Geometria Analítica na 3
a
série do
Ensino Médio. Assim, vamos definir algumas formas de representá-
las no plano e também no espaço.
Em um dos postulados de sua obra "Os Elementos", Euclides
nos mostra que dados dois pontos distintos, existe uma única reta
que os contêm. Munidos deste pensamento, podemos não apenas
confirmar mas também definir equações vetoriais de retas no plano
e no espaço, além da equação paramétrica e reduzida da reta. Es-
tudaremos as propriedades do paralelismo entre retas, entre retas
e eixos coordenados e entre retas e planos coordenados, além de
ângulos constituídos entre retas.
5.2 Equação vetorial da
reta
Consideremos um ponto A = (x1, y1, z1) e um vetor não nulo ~v =
(a, b, c). Seja r a reta que passa pelo ponto A e tem a direção de
~v. Um ponto P = (x, y, z) pertence à reta r se, e somente se, o
82
Vetores e Geometria Analítica: Livro 1
5
AULA
vetor
−→
AP é paralelo a ~v, isto é,
−→
AP = t~v (5.1)
para algum t ∈ R.
A partir da equação (5.1), verificamos que
P −A = t~v
ou ainda
P = A+ t~v, (5.2)
que em coordenadas fica
(x, y, z) = (x1, y1, z1) + t(a, b, c) (5.3)
Qualquer uma das equações (5.1),(5.2) ou (5.3) é denominada
equação vetorial de r, o vetor ~v é chamado vetor diretor da
reta r e t é denominado o parâmetro.
Exemplo 5.2.1. A reta r que passa por A = (1,−1, 4) e tem a
direção de ~v = (2, 3, 2) tem equação vetorial de acordo com (5.3):
r : (x, y, z) = (1,−1, 4) + t(2, 3, 2)
em que (x, y, z) representa um ponto de r arbitrário. Para obter-
mos a reta, basta-nos fazer o parâmetro t variar sobre os números
reais.
t = 1 ⇒ P1 = (1,−1, 4) + 1 · (2, 3, 2) = (2, 3, 6)
t = 0 ⇒ P0 = (1,−1, 4)
t = −1 ⇒ P−1 = (−1,−4, 2)
t = 3 ⇒ P3 = (7, 8, 10)
83
A Reta
Figura 5.43: P = A+ t~v.
Observação 7. A equação que representa a reta r no exemplo an-
terior não é única. Existem, na verdade, infinitas equações, pois
basta tomar outro ponto de r em vez do ponto A, ou outro vetor
qualquer não nulo que seja múltiplo de ~v, por exemplo,
(x, y, z) = (1,−1, 4) + t(4, 6, 4)
é outra equação vetorial de r em que se utilizou o vetor 2~v =
(4, 6, 4) como vetor diretor em vez de ~v = (2, 3, 2).
5.3 Equações paramétricas da reta
Da equação vetorial da reta
(x, y, z) = (x1, y1, z1) + t(a, b, c)
ou ainda
(x, y, z) = (x1 + ta, x2 + tb, x3 + tc),
84
Vetores e Geometria Analítica: Livro 1
5
AULA
pela condição de igualdade, obtém-se
x = x1 + at
y = y1 + bt
z = z1 + ct
(5.1)
As equações (5.1) são chamadas equações paramétricas da reta.
Exemplo 5.3.1. A reta r que passa pelo ponto A = (3,−4, 2) e é
paralela ao vetor ~v = (2, 1,−3), de acordo com (5.1), tem equações
paramétricas
r :

x = 3 + 2t
y = −4 + t
z = 2− 3t
5.4 Reta definida por dois pontos
A reta definida pelos pontos A e B é a reta que passa por A (ou
por B) e tem a direção do vetor ~v =
−−→
AB.
Exemplo 5.4.1. Escrever equações paramétricas da reta r que
passa por A = (3,−1,−2) e B = (1, 2, 4).
Tomando o ponto A e o vetor ~v =
−−→
AB = B − A = (−2, 3, 6),
obtemos
r :

x = 3− 2t
y = −1 + 3t
z = −2 + 6t
Podemos, ainda, usando a equação paramétrica da reta, definir
uma parametrização para um segmento de reta.
Exemplo 5.4.2 (Equações Paramétricas de um Segmento
de Reta). Consideremos a reta r do exemplo (5.4.1) e nela o
85
A Reta
segmento AB (origem A e extremidade B). As equações vetoriais
dos segmentos AB e BA com 0 ≤ t ≤ 1 são
P = A+ t(B −A) e (5.1)
P = B + t(A−B), (5.2)
respectivamente, em que P = (x, y, z) é um ponto arbitrário na
reta r.
Note que
t = 0 ⇒ P = A+ 0 · (B −A) = A
t = 1 ⇒ P = A+ 1 · (B −A) = B
para o segmento AB, enquanto para o segmento BA temos
t = 0 ⇒ P = B + 0 · (A−B) = B
t = 1 ⇒ P = B + 1 · (A−B) = A
Podemos ainda reescrever a equação (5.1) de modo equivalente
por
P = tB + (1− t)A. (5.3)
O mesmo ocorre para (5.2), tal que P = tA+ (1− t)B.
5.5 Equações simétricas da reta
Das equações paramétricas
x = x1 + at y = y1 + bt z = z1 + ct
supondo que abc 6= 0, temos
t =
x− x1
a
t =
y − y1
b
t =
z − z1
c
86
Vetores e Geometria Analítica: Livro 1
5
AULA
Como cada ponto da reta é correspondente a um único valor de t,
temos que
x− x1
a
=
y − y1
b
=
z − z1
c
(5.1)
As equações (5.1) são denominadas equações simétricas da reta
que passa pelo ponto A = (x1, y1, z1) e tem a direção do vetor
~v = (a, b, c).
Exemplo 5.5.1. A reta que passa pelo ponto A = (3, 0,−5) e tem
direção do vetor ~v = (2, 2,−1) tem equações simétricas
x− 3
2
=
y
2
=
z + 5
−1
Para obtermos os outros pontos da reta, basta atribuirmos um
valor a uma das variáveis. Por exemplo, para x = 5, temos
5− 3
2
= 1 =
y
2
=
z + 5
−1 ⇒

y
2
= 1
z + 5
−1 = 1
e assim, y = 2 e z = −6. Portanto, o ponto (5, 2,−6) pertence à
reta r.
5.6 Equações reduzidas da reta
Da equação (5.1), temos que
x− x1
a
=
y − y1
b
e
x− x1
a
=
z − z1
c
e assim podemos fazer
y = y1 +
b
a
(x− x1) e z = z1 + c
a
(x− x1).
Ou seja, podemos expressar y e z em função da variável x, e assim
constatamos que y e z podem ser da seguinte forma:
y = mx+ n e z = px+ q.
87
A Reta
Deste modo, um ponto da reta pode ser encontrado usando P =
(x,mx+ n, px+ q), em que
m =
b
a
e n = y1 − b
a
x1
p =
c
a
e q = z1 − c
a
x1
Observação 8. O mesmo pode ser feito para qualquer das outras
duas variáveis(y e z), desde que abc 6= 0.
Exemplo 5.6.1. Seja a reta r definida pelo ponto A = (2,−4,−3)
e pelo vetor diretor ~v = (1, 2,−3) e expressa pelas equações simé-
tricas:
x− 2
1
=
y + 4
2
=
z + 3
−3
E assim, fazendo
x− 2
1
=
y + 4
2
e
x− 2
1
=
z + 3
−3
⇒ y = 2x− 8 e z = −3x+ 3.
Desta forma, podemos encontrar todos os pontos da reta, pois eles
obedecem a P = (x, 2x − 8,−3x + 3), ∀x ∈ R, em que P é um
ponto arbitrário na reta r.
ATENÇÃO
Apesar de todas as equações de reta no espaço (R3) definidas
e ilustradas nos exemplos desta aula, podemos sempre reduzir a
dimensão para o plano (R2), bastando-nos suprimir a variável z.
88
Vetores e Geometria Analítica: Livro 1
5
AULA
5.7 Paralelismo de retas relativo aos planos
e eixos coordenados
5.7.1 Retas paralelas aos planos coordenados
Uma reta é paralela a um dos planos xy, xz ou yz se seus vetores
diretores forem paralelos ao correspondente plano. Neste caso,
umas das componentes do vetor é nula.
Figura 5.44: r ‖ (plano − xy),
em que A = (−1, 2, 4) e ~v =
(2, 3, 0) (~v//plano− xy.
Figura 5.45: r passa por A =
(1, 5, 0) e ~v = (−1, 0, 2).
Perceba que para a figura (5.44) as equações paramétricas de
r são: 
x = −1 + 2t
y = 2 + 3t
z = 4
Mas no caso da figura (5.45), as equações paramétricas de r são:
x = 1 −t
y = 5
z = 2t
89
A Reta
Figura 5.46: A = (2, 3, 4) e ~v = (0, 0, 3).
5.7.2 Retas paralelas aos eixos coordenados
Uma reta é paralela a um dos eixos (eixo−x, eixo−y ou eixo−z)
se seus vetores diretores forem paralelos a
~i = (1, 0, 0) ou a ~j =
(0, 1, 0) ou a ~k = (0, 0, 1). Neste caso, duas das componentes
do vetor são nulas.
Exemplo 5.7.1. Seja r a reta que passa por A = (2, 3, 4) e tem a
direção do vetor ~v = (0, 0, 3). Como a direção de ~v é a mesma de
~k, pois ~v = 3~k, a reta r é paralela ao eixo eixo− z. A reta r pode
ser representada pelas equações

x = 2
y = 3
z = 4 + 3t
As figuras (5.47) e (5.48) apresentam retas que passam por
A = (x1, y1, z1) e são paralelas aos eixos eixo − y e eixo − x, res-
90
Vetores e Geometria Analítica: Livro 1
5
AULA
pectivamente. Suas equações são, de forma respectiva,
x = x1
y = y1 + k · t
z = z1
e

x = x1 + k · t
y = y1
z = z1,
com k ∈ R fixo e t parâmetro.
Figura 5.47: A = (x1, y1, z1) e
~v = ~j.
Figura 5.48: A = (x1, y1, z1) e
~v = ~k.
5.8 Mais algumas propriedades
Definição 5.22 (Ângulos de Duas Retas). Sejam as retas r1 e
r2 com as direções de ~v1 e ~v2, respectivamente. Chama-se ângulo
de duas retas r1 e r2 o menor ângulo de um vetor diretor de r1
e de um vetor diretor de r2. Sendo θ este ângulo, então
cos θ =
|〈~v1, ~v2〉|
|~v1| |~v2| com 0 ≤ θ ≤ .
pi
2
(5.1)
Exemplo 5.8.1. Calcular o ângulo entre as retas
r1 :

x = 3 + t
y = t
z = −1− 2t
e r2 :
x+ 2
−2 =
y − 3
1
=
z
1
91
A Reta
Perceba que os vetores diretores de r1 e r2 são, respectiva-
mente, ~v1 = (1, 1−2) e ~v2 = (−2, 1, 1). Da equação (5.1) podemos
depreender que
cos θ =
|〈~v1, ~v2〉|
|~v1| |~v2| =
|〈(1, 1,−2), (−2, 1, 1)〉|
|(1, 1,−2)| |(−2, 1, 1)| =
| − 2 + 1− 2|√
6
√
6
=
1
2
Portanto, θ = arc cos
(
1
2
)
=
pi
3
rad = 60o.
Definição 5.23 (Retas Ortogonais). Sejam as retas r1 e r2
com as direções de ~v1 e ~v2, respectivamente. Então
r1 ⊥ r2 ⇔ 〈~v1, ~v2〉 = 0
Figura 5.49: r1 ‖ r2, embora r1 ⊥ r.
Duas retas ortogonais podem ser concorrentes ou não. No en-
tanto, apesar de ambas as retas r1 e r2 da figura (5.23) serem
ortogonais a r, não são concorrentes, a r e sim perpendiculares.
Exemplo 5.8.2. Portanto, as retas r1 e r2 dadas a seguir são
92
Vetores e Geometria Analítica: Livro 1
5
AULA
ortogonais. 
x = t
y = −2t+ 1
z = 4t
e

x = 3− 2t
y = 4 + t
z = t
Pois sendo ~v1 = (1,−2, 4) e ~v2 = (−2, 1, 1) vetores diretores de r1
e r2 e
〈~v1, ~v2〉 = 1(−2)− 2(1) + 4(1) = 0,
as retas r1 e r2 são ortogonais.
Definição 5.24 (Retas ortogonais a Duas retas). Sejam as
retas r1 e r2 não paralelas, com as direções de ~v1 e ~v2, respectiva-
mente, então toda reta r simultaneamente ortogonal a r1 e r2 terá
a direção de um vetor ~v, tal que 〈~v,~v1〉 = 0〈~v,~v2〉 = 0 (5.2)
Ao invés de assumirmos ~v 6= ~0 como uma solução particular de
(5.2), poderíamos usar
~v = ~v1 × ~v2 (5.3)
como vetor diretor da reta r, bastando conhecer um de seus pontos.
Exemplo 5.8.3. Determinar equações paramétricas da reta r que
passa pelo ponto A = (3, 4,−1) e é ortogonal às retas
r1 : (x, y, z) = (0, 0, 1) + t(2, 3,−4) e r2 :

x = 5
y = t
z = 1− t.
As direções de r1 e r2 são definidas pelos vetores ~v1 = (2, 3,−4)
93
A Reta
e ~v2 = (0, 1,−1). Assim,
~v1 × ~v2 =
∣∣∣∣∣∣∣∣∣
~i ~j ~k
2 3 −4
0 1 −1
∣∣∣∣∣∣∣∣∣ = (1, 2, 2)
Portanto, r :

x = 3 + t
y = 4 + 2t
z = −1 + 2t
Exemplo 5.8.4 (Interseção de Duas Retas). Vamos veri-
ficar se as retas r1 e r2 são concorrentes e, em caso afirmativo,
determinar o ponto de interseção:
(a)
r1 :

x = 3 + h
y = 1 + 2h
z = 2− h
e r2 :

x = 5 + 3t
y = −3− 2t
z = 4 + t
(b)
r1 :
 y = xz = 1− x e r2 :

x = −t
y = 1 + t
z = 2t
(c)
r1 :
 y = x+ 2z = −x− 1 e r2 : x+ 1−2 = y − 1−2 = z + 12 .
Se existir um ponto (x, y, z) comum às duas retas, suas coor-
denadas obedecem a todas as equações de r1 e r2.
Solução:(a) Igualando as expressões, temos que
3 + h = 5 + 3t
1 + 2h = −3− 2t
2− h = 4 + t
⇒

h− 3t = 2
2h+ 2t = −4
−h− t = 2
94
Vetores e Geometria Analítica: Livro 1
5
AULA
Portanto, a solução é h = t = −1 e, assim, (2,−1, 3) o ponto
de interseção entre as retas r1 e r2.
Solução:(b) Fazendo as devidas substituições, temos o sistema
 1 + t = −t2t = 1 + t
A partir disso, constatamos que t = − 1
2
e t = 1. Portanto,
como o sistema não tem solução, não existe um ponto de
interseção.
Solução:(c) Observe que os vetores diretores de r1 e r2 são, respectiva-
mente, ~v1 = (1, 1,−1) e ~v2 = (−2,−2, 2), ou seja, ~v2 = −2~v1.
Portanto, as retas são paralelas e não coincidentes, pois o
ponto (0, 2,−1) ∈ r1, mas (0, 2,−1) /∈ r2. E assim, não
existe um ponto de interseção entre as retas r1 e r2.
5.9 Resumo
Nesta aula, definimos a equação vetorial da reta e, para isso, usa-
mos apenas um vetor e um ponto do plano (ou do espaço) para
defini-la. Conhecemos outra forma de representá-la, isto é, atra-
vés de sua equação paramétrica, descrita por algumas equações
que dependem de apenas um parâmetro. Com base na definição
da equação vetorial da reta, definimos também uma reta por dois
pontos e um segmento parametrizado. Conhecemos propriedades
importantes das retas, como o paralelismo de retas relativo aos
planos e eixos coordenados, e ângulos entre duas retas.
95
A Reta
5.10 Atividades
1. Determine uma equação vetorial da reta r definida pelos pon-
tos A = (2,−3, 4) e B = (1,−1, 2) e verifique se os pontos
C = (
5
2
,−4, 5) e D = (−1, 3, 4) pertencem à r.
2. Dada a reta r : (x, y, z) = (−1, 2, 3) + t(2,−3, 0), escreva
equações paramétricas de r.
3. Determine as equações paramétricas da reta que passa pelos
pontos A e B nos seguintes casos:
(a) A = (1,−1, 2) e B = (2, 1, 0);
(b) A = (0, 0, 0) e B = (0, 1, 0).
4. O ponto P = (m, 1, n) pertence à reta que passa por A =
(3,−1, 4) e B = (4,−3,−1). Detemine P .
5. Verifique se os pontos P1 = (5,−5, 6) e P2 = (4,−1, 12)
pertencem à reta
r :
x− 3
−1 =
y + 1
2
=
z − 2
−2 .
6. Determine o ponto da reta r :
x− 1
2
=
y + 3
−1 =
z
4
que tem:
(a) abscissa 5;
(b) ordenada 2.
7. Determine o ângulo entre as retas:
r1 :

x −2− t
y = t
z = 3− 2t
e r2 :
x
2
=
y + 6
1
=
z − 1
1
96
Vetores e Geometria Analítica: Livro 1
5
AULA
8. Determine o valor de n para que seja de 30o o ângulo entre
as retas
r1 :
 y = nx+ 5z = 2x− 2 e r2 : x− 24 = y5 = z3
9. Verifique se as retas a seguir são concorrentes e, em caso
afirmativo, encontre o ponto de interseção:
r1 :

x = 2− t
y = 4− t
z = −t
e r2 :

x = −3 + 6h
y = 1 + 7h
z = −1 + 13h
5.11 Comentário das atividades
Se você entendeu a definição de equação vetorial da reta, então
conseguiu fazer as atividades 1,2 e 3. Se resolveu a atividade 4,
entendeu o conceito de equação de reta definida por dois pontos.
Quanto às questões 5 e 6, pôde concluí-las? Então você compreen-
deu a definição de equação simétrica da reta. Se fez as atividades 7,
8 e 9, então entendeu os conceitos de equação paramétrica da reta,
ângulo entre duas retas e interseção entre retas, respectivamente.
5.12 Referências
STEINBRUCH, Alfredo , Geometria Analítica. São Paulo, Ma-
kron Books, 1987.
LIMA, Elon Lages , Geometria Analítica e Álgebra Linear. Rio de
Janeiro, IMPA, 2005.
BOLDRINI, José Luiz, 'Algebra Linear . São Paulo, Harbra, 1980.
97
6
AULA
2
LIVRO
O Plano
META
Apresentar a definição de equações
de planos no espaço e suas proprie-
dades geométricas.
OBJETIVOS
Identificar a equação do plano
nas formas vetorial, paramétrica,
simétricas e reduzidas.
Reconhecer as propriedades geomé-
tricas do paralelismo e perpendicu-
larismo entre planos e entre planos
e retas.
PRÉ-REQUISITOS
Saber identificar a equação da reta
nas formas em que foram apresenta-
das na aula anterior e reconhecer as
propriedades geométricas do parale-
lismo.
O Plano
6.1 Introdução
Olá! Na aula passada, verificamos que é possível definir a equação
vetorial da reta utilizando apenas um vetor e um ponto do plano.
Além disso, aprendemos a representar a reta a partir da sua equa-
ção paramétrica, definir uma reta por dois pontos e um segmento
parametrizado. Também foi possível conhecer as propriedades das
retas.
O principal assunto a ser discutido nesta aula é o plano, que
será estudado sobre o espaço tridimensional. Além disso, iremos
conhecer as suas equações geral, vetorial e paramétrica, bem como
suas propriedades.
6.2 Equação geral do plano
Seja A = (x1, y1, z1) um ponto pertencente a um plano Π e ~v =
(a, b, c), ~v 6= ~0, um vetor ortogonal ao plano.
Como ~v ⊥ Π, ~v é normal (ortogonal) a todo vetor representado
em Π, então um ponto P = (x, y, z) ∈ Π se, e somente se, o vetor
−→
AP é ortogonal a ~v, isto é,
〈~v, P −A〉 = 0 (6.1)
ou 〈(a, b, c), (x− x1, y− y1, z− z1)〉 = 0⇒ a(x− x1) + b(y− y1) +
c(z − z1) = 0, ou ainda ax+ by + cz − ax1 − by1 − cz1 = 0. Como
100
Vetores e Geometria Analítica: Livro 1
6
AULA
−ax1 − by1 − cz1
= d não depende de x, y ou z, obtemos
ax+ by + cz + d = 0 (6.2)
Esta é a equação geral do plano Π.
Observação 9. 1. Como ~v = (a, b, c) é normal aΠ, ∀λ ∈ R−{0},
λ~v é também vetor normal ao plano.
2. Perceba que na equação (6.2) os coeficientes a, b, c são coor-
denadas do vetor normal ao plano ~v = (a, b, c).
3. Para determinar pontos do plano, basta que se atribua va-
lores para duas de suas variáveis, deixando uma delas livre.
Por exemplo, no plano de equação geral 2x− 3y + z − 1 = 0
temos que se x = 1 e y = 0, então
z = −2x+ 3y + 1 = −2(1) + 3(0) + 1 = −1,
portanto, o ponto P = (1, 0,−1) ∈ Π.
Veja ainda que:
• se P = (x0, y0, z0) ∈ Π, tal que
ax0 + by0 + cz0 + d = 0⇒ d = 0
,
dizemos que P é a origem do plano Π.
• Se o plano Π contém o ponto (0, 0, 0), então a equação geral
do plano será dada por
ax+ by + cz = 0.
Pois a(0) + b(0) + c(0) + d = 0⇒ d = 0.
101
O Plano
Exemplo 6.2.1. Qual é a equação geral da reta que passa pelo
ponto P = (1, 1,−1) e tem como vetor normal ~u = (2,−1, 3)?
Como a equação geral do plano é dada por
ax+ by + cz + d = 0,
temos que 2x + (−1)y + 3z + d = 0, pois ~u é o vetor normal. E
ainda,
2(1)− 1(1) + 3(−1) + d = 0⇒ d = 2,
portanto, a equação geral do plano que passa por P = (1, 1,−1) e
tem vetor normal ~u é 2x− y + 3z + 2 = 0.
6.3 Equação vetorial e Equações paramétri-
cas do plano
Sejam A = (x0, y0, z0) um ponto do plano Π e ~u = (a1, b1, c1), ~v =
(a2, b2, c2) vetores paralelos a Π, mas não parelalos entre si.
Para todo ponto P ∈ Π, os vetores −→AP, ~u e ~v são coplanares.
Um ponto P = (x, y, z) ∈ Π se, e somente se, existem h, t ∈ R, tal
que
P −A = h~u+ t~v,
ou
P = A+ h~u+ t~v,
ou ainda,
(x, y, z) = (x0, y0, z0) + h(a1, b1, c1) + t(a2, b2, c2), h, t ∈ R (6.1)
102
Vetores e Geometria Analítica: Livro 1
6
AULA
A equação (6.1) é chamada de equação vetorial do plano Π
e os vetores ~u e ~v são os vetores diretores de Π.
A partir da equação 6.1), obtemos
x = x0 + a1h+ a2t
y = y0 + b1h+ b2t
z = z0 + c1h+ c2t, h, t ∈ R
(6.2)
As equações (6.2) são conhecidas como equações paramétri-
cas do plano Π, em que h e t são conhecidas como parâmetros.
Exemplo 6.3.1. O plano Π que passa pelo ponto P = (1,−1, 1)
e é paralelo aos vetores ~u = (2, 1,−1) e ~v = (2,−1, 0) tem como
equação vetorial
(x, y, z) = (1,−1, 1) + h(2, 1,−1) + t(2,−1, 0)
,
e sua equação paramétrica será dada por
x = 1 + 2h+ 2t
y = −1 + 1h− t
z = 1− h+ (0)t, h, t ∈ R
Exemplo 6.3.2 (Equação vetorial de um paralelogramo).
Dados os pontos A, B e C não em linha reta, os vetores
−−→
AB e
−→
AC
determinam o paralelogramo cuja equação vetorial é
P = A+ h(
−−→
AB) + t(
−→
AC)
103
O Plano
ou
P = A+ h(B −A) + t(C −A) , com h, t ∈ [0, 1], (6.3)
em que P representa um ponto qualquer desse paralelogramo.
6.4 Mais algumas propriedades
Definição 6.25 (Ângulos de dois Planos). Sejam os planos
Π1 e Π2, com vetores normais ~v1 e ~v2, respectivamente. Chama-se
ângulo de dois planos o menor ângulo formado entre o vetor
normal a Π1 e o vetor normal a Π2. Se θ for esse ângulo, então
temos
cos θ =
|〈~v1, ~v2〉|
|~v1| |~v2| com 0 ≤ θ ≤
pi
2
(6.1)
Exemplo 6.4.1. Veja os planos
Π1 : 2x+ y − z + 1 = 0 e Π2 : x+ y − 2 = 0
Sendo ~v1 = (2, 1,−1) e ~v2 = (1, 1, 0) os vetores normais aos planos
Π1 e Π2, respectivamente, e pela definição dada por (6.1), temos
que
cos θ =
|〈(2, 1,−1), (1, 1, 0)〉|
|(2, 1,−1) |(1, 1, 0)| =
|2 + 1 + 0|√
6
√
2
Portanto, cos θ =
√
3
2
⇒ θ = arc cos
√
3
2
, e assim, sabendo que
0 ≤ θ ≤ pi
2
, obtemos θ =
pi
6
.
104
Vetores e Geometria Analítica: Livro 1
6
AULA
Definição 6.26 (Planos Perpendiculares). Consideremos dois
planos, Π1 e Π2, e sejam ~v1 e ~v2 seus respectivos vetores normais.
Π1 ⊥ Π2 ⇔ ~v1 ⊥ ~v2 ⇔ 〈~v1, ~v2〉 = 0 (6.2)
Dados os planos
Π1 : 2x+ y − z + 1 = 0 e Π3 : x+ 2z − 2 = 0
,
verificamos que eles são perpendiculares, pois 〈(2, 1,−1), (1, 0, 2)〉 =
2(1) + 1(0) + (−1)(2) = 2− 2 = 0. Mas já os planos
Π1 : 2x+ y − z + 1 = 0 e Π2 : x+ y − 2 = 0
,
como verificamos no exemplo (6.4.1), não são perpendiculares,
pois o ângulo entre eles é θ =
pi
6
6= 0.
Definição 6.27 (Paralelismo e Perpendicularismo entre
Reta e Plano). Seja r uma reta com a direção de ~u e um plano
Ω com vetor normal ~n, então temos que
r ‖ Ω⇔ ~v ⊥ ~n⇔ 〈~v, ~n〉 = 0 (6.3)
r ⊥ Ω⇔ ~v ‖ ~n⇔ ~v = λ~n, para algum λ ∈ R (6.4)
105
O Plano
Figura 6.50: r ‖ Ω
Figura 6.51: r ⊥ Ω
Observação 10 (Reta Contida em Plano). Sejam r uma reta
e Π um plano,r ⊂ Π se:
• dois pontos A,B ∈ r e também A,B ∈ Π.
• 〈~v, ~n〉 = 0, em que ~v é o vetor diretor de r, ~n o vetor normal
a Π e o ponto A arbitrário, sendo A ∈ r ∩Π.
Exemplo 6.4.2. Dados a reta r e o plano Ω, determinar o valor
de m para que r ‖ Ω ( e para r ⊥ Ω), a partir dos seguintes valores
r :

x = −3 + t
y = −1 + 2t
z = 4t
e Π : mx− y − 2z − 3 = 0
Para isso, veja que ~v = (1, 2, 4) é o vetor diretor de r e ~n =
(m,−1,−2) é o vetor normal ao plano Ω. Assim, para que r ⊥
Ω⇒ ~v = λ~n
⇒ (1, 2, 4) = λ(m,−1−2)⇒

1 = mλ
2 = (−1)λ
4 = (−2)λ
⇒ λ = −2⇒ m = −1
2
106
Vetores e Geometria Analítica: Livro 1
6
AULA
Portanto, para que r ‖ Ω, deve-se ter que m = −1
2
. No caso de
r ⊥ Ω⇒ 〈~v, ~n〉 = 0, então,
〈(1, 2, 4), (m,−1,−2)〉 = m+2(−1)+4(−2) = 0⇔ m−10 = 0⇔ m = 10.
Logo, r ⊥ Ω⇔ m = 10.
6.4.1 Interseção (entre planos e entre retas e planos)
Sejam os planos não paralelos Π e Ω. A interseção entre dois planos
não paralelos é uma reta r cuja equação deseja-se determinar. Para
tanto, como r está contida em Π ∩Ω, as coordenadas de qualquer
ponto (x, y, z) ∈ r devem satisfazer as equações de Π e Ω
Exemplo 6.4.3. Sendo Π : 5x−y+z−5 = 0 e Ω : x+y+2z−7 = 0,
devemos encontrar valores para x, y e z, tal que obedeçam às
equações  5x− y + z = 5x+ y + 2z = 7 ⇒
 y = 3x− 1z = −2x+ 4
que são as equações reduzidas da reta r.
Exemplo 6.4.4. Para determinar o ponto de interseção da reta r
com o plano Ω, em que
r :

x = −1 + 2t
y = 5 + 3t
z = 3− t
e Ω : 2x− y + 3z − 4 = 0,
observamos que qualquer ponto de r é dado por (x, y, z) = (−1 +
2t, 5 + 3t, 3 − t). E se um ponto da reta r também pertencer ao
plano Ω, temos que
2(−1 + 2t)− (5 + 3t) + 3(3− t)− 4 = 0⇒ −2t− 2 = 0⇒ t = −1
107
O Plano
E substituindo nas equações paramétricas da reta r:
x = −1 + 2(−1)
y = 5 + 3(−1)
z = 3− (−1)
⇒

x = −3
y = 2
z = 4
Portanto, o ponto de interseção entre a reta r e o plano Ω é
(−3, 2, 4). Veja ainda que 2(−3)−(2)+3(4)−4 = −6−2+12−4 = 0
⇒ (−3, 2, 4) ∈ Ω.
6.5 Resumo
Nesta aula, definimos a equação geral do plano e, como conseqüên-
cia, também definimos outras formas de representá-lo através de
suas equações vetoriais e paramétricas. Abordamos algumas das
suas propriedades, como o ângulo de dois planos e condições de
paralelismo e perpendicularismo entre retas e planos. Além disso,
aprendemos que a interseção entre dois planos é representada por
uma reta contida em ambos.
6.6 Atividades
1. Obtenha uma equação para o plano que contém o ponto P e
é perpendicular ao vetor que tem como extremos do pontos
A e B nos seguintes casos:
(a) P = (0, 0, 0), A = (1, 2, 3), B = (2,−1, 2);
(b) P = (1, 1,−1), A = (3, 5, 2), B = (7, 1, 12);
(c) P = (3, 3, 3), A = (2, 2, 2), B = (4, 4, 4);
(d) P = (x0, y0, z0), A = (x1, y1, z1), B = (x2, y2, z2).
108
Vetores e Geometria Analítica: Livro 1
6
AULA
2. Determine a equação geral dos seguintes planos:
(a) paralelo ao plano Π : 2x−3y−z+5 = 0 e que contenha
o ponto A = (4,−2, 1);
(b) perpendicular à reta
r :

x = 2 + 2t
y = 1− 3t
z = 4t
e que contenha o ponto A = (−1,
2, 3).
3. Determine o valor de m para que seja de 30o o ângulo entre
os planos
Π1 : x+my + 2z − 7 = 0 e Π2 : 4x+ 5y + 3z + 2 = 0
4. Determine o valor de n, de modo que os planos
Π1 : nx+ y − 3z − 1 = 0 e Π2 : 2x− 3ny + 4z + 1 = 0
sejam perpendiculares.
5. Sejam A = (3, 1, 3), B = (5, 5, 5), C = (5, 1,−2) e D =
(8, 3,−6). Mostre que as retas AB e CD são concorrentes e
encontre uma equação para o plano que as contém.
6. O plano Π contém o ponto A = (a, b, c) e a distância da
origem a Π é
√
a2 + b2 + c2. Encontre uma equação desse
plano.
6.7 Comentário das atividades
Concluiu a atividade 1? Então entendeu a definição de Equação
geral do plano. Se resolveu a questão 2, você trabalhou a definição
109
O Plano
de Equação paramétrica do plano. E as atividades 3 e 4, conseguiu
encontrar um resultado satisfatório para elas? Em caso afirmativo,
você entendeu o conceito de ângulo entre planos. Para resolver 5 e
6, é necessário ter utilizado os conceitos de retas contidas em um
plano e interseção entre retas e planos.
6.8 Referências
STEINBRUCH, Alfredo , Geometria Analítica. São Paulo, Ma-
kron Books, 1987.
LIMA, Elon Lages , Geometria Analítica e Álgebra Linear. Rio de
Janeiro, IMPA, 2005.
BOLDRINI, José Luiz, 'Algebra Linear . São Paulo, Harbra, 1980.
110
7
AULA
2
LIVRO
Distâncias
META
Demonstrar algumas fórmulas do cál-
culo de distância entre pontos, ponto e
reta, retas, planos, reta e plano; além
das formas de obtê-las.
OBJETIVOS
Identificar as fórmulas do cálculo de
distância entre pontos, ponto e reta,
retas, planos, reta e plano; além da
forma de obtê-las.
PRÉ-REQUISITOS
É necessário que tenha apreendido
a identificar a equação do plano nas
formas vetorial, paramétrica, simétrica
e reduzidas. Além disso, é fundamental
reconhecer as propriedades geométricas
do paralelismo e perpendicularismo
entre planos e entre planos e retas .
Distâncias
7.1 Introdução
Olá! Esperamos que os conteúdos apresentados até agora tenham
sido produtivos para você. Na aula passada, definimos a equa-
ção geral do plano e outras formas de representá-lo, através das
equações vetoriais e paramétricas do plano. Além disso, pude-
mos observar algumas propriedades do plano, como o ângulo de
dois planos e as condições de paralelismo e perpendicularismo en-
tre retas e planos. Verificamos também que a intersecção entre
dois planos é representada por uma reta contida em ambos. Nesta
aula, munidos dos conhecimentos adquiridos nas aulas anteriores,
conheceremos as distâncias entre objetos geométricos que já nos
são familiares, ou seja, distância entre pontos, retas e planos.
7.2 Distância de ponto à reta
Na Aula 3, já nos foi apresentada a definição de distância entre
dois pontos. Agora, queremos encontrar a distância de um ponto
a uma reta. Assim, considere numa reta r um ponto A e um vetor
diretor ~v. Os vetores ~v e
−→
AP determinam um paralelogramo cuja
altura corresponde à distância d(P, r). A área desse paralelogramo
é dada por
Área = |~v| · d ou também, (7.1)
Área = |~v ×−→AP | (7.2)
Comparando as equações (7.1) e (7.2), percebemos que
d = d(P, r) =
|~v ×−→AP |
|~v| (7.3)
112
Vetores e Geometria Analítica: Livro 1
7
AULA
Figura 7.52: d =
|~v × ~AP |
|~v|
Exemplo 7.2.1. Dados o ponto P = (1,−1, 1) e a reta
r :

x = t
y = −t
z = 2
,
qual é a distância entre eles?
Para respondermos a esta pergunta, consideremos a reta r que
passa pelo ponto A = (0, 0, 2) (para este ponto, t = 0) e seu
vetor diretor ~v = (1,−1, 0). Seja ainda o vetor −→AP = P − A =
(1,−1,−1). Assim,
~v ×−→AP =
∣∣∣∣∣∣∣∣∣
~i ~j ~k
1 −1 0
1 −1 −1
∣∣∣∣∣∣∣∣∣ = (1, 1, 0)
⇒ d(P, r) = |(1, 1, 0)||(1,−1, 0)| =
√
2√
2
= 1u. c.
7.3 Distância de ponto a plano
Agora você já sabe como encontrar a distância de um ponto a uma
reta. O que achou disso? Foi difícil acompanhar o nosso raciocínio?
113
Distâncias
Esperamos que não tenha tido maiores dificuldades. Uma vez que
você superou esta primeira fase, vamos verificar como se encontra
a distância de um ponto a um plano.
Dados um ponto qualquer A0 no espaço (de preferência, não
pertencente ao plano), um ponto A pertencente a um plano Π e
seja ~n um vetor normal a Π, a distância d(A0,Π) é o módulo da
projeção de
−−→
AA0 na direção de ~n.
De fato, como ilustramos na figura (7.3), percebemos que
d(A0,Π) =
∣∣∣proj ~n−−→AA0∣∣∣ = ∣∣∣∣〈−−→AA0, ~n|~n| 〉
∣∣∣∣ (7.1)
Supondo A0 = (x0, y0, z0), Π : ax + by + cz + d = 0 e A =
(x1, y1, z1) ∈ Π, e sendo
−−→
AA0 = (x0 − x1, y0 − y1, z0 − z1) e ~n|~n| =
(a, b, c)√
a2 + b2 + c2
,
pela equação (7.1), temos
d(A0,Π) =
∣∣∣∣〈(x0 − x1, y0 − y1, z0 − z1), (a, b, c)√a2 + b2 + c2 〉
∣∣∣∣
⇓
d(A0,Π) =
|ax0 + by0 + cz0 − ax1 − by1 − cz1|√
a2 + b2 + c2
Mas como A = (x1, y1, z1) ∈ Π e Π : ax+ by+ cz+ d = 0, significa
que
d = −ax1 − by1 − cz1
114
Vetores e Geometria Analítica: Livro 1
7
AULA
e assim,
d(A0,Π) =
|ax0 + by0 + cz0 + d|√
a2 + b2 + c2
(7.2)
é a distância de um ponto A0 a um plano Π.
Exemplo 7.3.1. Qual a distância entre o ponto A0 = (2,−1, 2) e
o plano Ω : 2x− 2y − z + 3 = 0 ?
Veja que
d(A0,Ω) =
|2(2)− 2(−1)− 1(2) + 3|√
22 + (−2)2 + (−1)2 =
7
3
Portanto, a distância entre o ponto A0 e o plano Ω é de 7/3 u.c.
.
Exemplo 7.3.2. Dados a reta
r :
 y = 2x+ 3z = 2x+ 1
e o plano Π : 4x− 4y + 2z − 7 = 0, vamos determinar a distância
entre eles.
Para isso, observamos primeiro que
〈~v, ~n〉 = 〈(1, 2, 2), (4,−4, 2)〉 = 4− 8 + 4 = 0 ⇒ r ‖ Π,
em que ~v = (1, 2, 2) é o vetor diretor de r e ~n = (4,−4, 2) é o vetor
normal ao plano Π. Sendo A um ponto qualquer de r, neste caso
iremos tomar x = 0 e assim, A = (0, 3, 1) ∈ r. Então,
d(A,Π) =
|4(0)− 4(3) + 2(1)− 7|√
42 + (−4)2 + 22 =
17√
36
=
17
6
Logo, a distância entre a reta r e o plano Π é 17/6 u.c. .
115
Distâncias
Figura 7.53: d é obtido de forma análoga na figura (7.52), porém,
no plano.
7.3.1 Distâncias de ponto à reta no plano
Para encontrar a distância de um ponto A0 a uma reta r no plano,
devemos proceder de forma similar à utilizada na seção anterior.
Dados um ponto qualquer A0 no plano (de preferência, não
pertencente à reta r), um ponto A pertencente à reta r e seja ~v um
vetor diretor de r, a distância d(A0, r) é o módulo da projeção de
−−→
AA0 na direção de ~v. Analogamente ao que foi feito anteriormente,
veja que
d(A0, r) =
∣∣∣proj ~v −−→AA0∣∣∣ = ∣∣∣∣〈−−→AA0, ~v|~v| 〉
∣∣∣∣ (7.3)
Supondo A0 = (x0, y0), r : ax + by + c = 0 e A = (x1, y1) ∈ r, e
sendo
−−→
AA0 = (x0 − x1, y0 − y1) e ~v|~v| =
(a, b)√
a2 + b2
,
pela equação (7.3) temos
d(A0, r) =
∣∣∣∣〈(x0 − x1, y0 − y1), (a, b)√a2 + b2 〉
∣∣∣∣
⇓
d(A0, r) =
|ax0 + by0 − ax1 − by1|√
a2 + b2
116
Vetores e Geometria Analítica: Livro 1
7
AULA
Mas como A = (x1, y1) ∈ r e que r : ax+ by + c = 0, significa que
c = −ax1 − by1
e assim,
d(A0, r) =
|ax0 + by0 + c|√
a2 + b2
(7.4)
Esta é a distância de um ponto A0 a uma reta r no plano.
Exemplo 7.3.3. Qual é a distância entre o ponto A0 = (1, 2) e a
reta r : y = x− 1 ?
Perceba que y = x + 1 ⇒ −x + y + 1 = 0. Assim, se ~v =
(1,−1) é o vetor diretor de r, considerando que x = 1, temos que
y = 1− 1 = 0 e, portanto, A = (1, 0). Então
d(A0, r) =
| − 1(1) + 1(2) + 1|√
(−1)2 + 12 =
2√
2
=
√
2
2
Portanto, a distância entre o ponto A0 e a reta r é
√
2
2
unidades
de comprimento.
7.4 Distância entre duas retas
Dadas a retas r1 e r2, com respeito à distância entre elas, temos:
(i) r1 e r2 são retas concorrentes,
d(r1, r2) = 0.
(ii) r1 e r2 são retas paralelas, neste caso:
(a) d(r1, r2) = d(P, r2), com P ∈ r1;
(b) d(r1, r2) = d(P, r1), com P
∈ r2.
117
Distâncias
Figura 7.54: r1 ‖ r2
(iii) r1 e r2 são retas reversas. Sejam r1 a reta definida pelo
ponto A1 e pelo vetor diretor ~v1 e a reta r2 a reta definida pelo
ponto A2 e pelo vetor diretor ~v2. Os vetores ~v1, ~v2 e
−−−→
A1A2
não são coplanares,e assim determinam um paralelepípedo
cuja altura é a distância d(r1, r2).
Figura 7.55: r1 e r2 são retas reversas.
Lembre-se de que o volume V do paralelogramo é dado por
V = (área da base) · (altura) = |~v1 × ~v2| · d (7.1)
ou ainda,
V = |(~v1, ~v2,−−−−→A1, A2)| (7.2)
e assim,
d = d(r1, r2) =
∣∣∣(~v1, ~v2,−−−→A1A2)∣∣∣
|~v1 × ~v2| (7.3)
118
Vetores e Geometria Analítica: Livro 1
7
AULA
Exemplo 7.4.1. Calcular a distância entre as retas
r1 :

x = 2− t
y = 3 + t
z = 1− 2t
e r2 :

x = t
y = −1− 3t
z = 2t
Na reta r1, tomamos o ponto A1 = (2, 3, 1) (quando t = 0
em r1) e o vetor diretor ~v1 = (−1, 1,−2), enquanto que em r2,
tomamos o ponto A2 = (0, 1, 0) (quando t = 0 em r2) e o vetor
diretor ~v2 = (1,−3, 2). Assim, −−−→A1A2 = A2 −A1 = (−2,−2,−1) e
(~v1, ~v2,
−−−→
A1A2) =
∣∣∣∣∣∣∣∣∣
−1 1 −2
1 −3 2
−2 −2 −1
∣∣∣∣∣∣∣∣∣ = 6
e ainda temos que
~v1 × ~v2 =
∣∣∣∣∣∣∣∣∣
~i ~j ~k
−1 1 −2
1 −3 2
∣∣∣∣∣∣∣∣∣ = (−4, 0, 2)
Usando a definição para a distância entre duas retas dadas em
(7.3), obtemos
d(r1, r2) =
|6|
|(−4, 0, 2)| =
6√
20
=
3√
5
Portanto, a distância entre as retas r1 e r2 é
3√
5
u.c. .
7.5 Resumo
Inspirados na definição de distância entre dois pontos, nesta aula,
conhecemos uma forma de encontrar a distância entre ponto e reta
119
Distâncias
e expandimos os nossos estudos para a distância entre ponto e
plano. Além disso, abordamos algumas possibilidades de calcular
a distância entre retas.
7.6 Atividades
1. Achar a distância de P1 a P2 nos casos a seguir:
(a) P1 = (−2, 1) e P2 = (1, 2);
(b) P1 = (−2, 0, 1) e P2 = (1,−3, 2);
(c) P1 = (1, 0, 1) e P2 = (2,−1, 0).
2. Achar a distância do ponto P à reta r nos seguintes casos.
(a) P = (1,−1) e r : 2x− y + 1 = 0;
(b) P = (2, 3,−1) e r :

x = 3 + t
y = −2t
z = 1− 2t
;
(c) P = (1,−1, 0) e r :

x = 2− t
y = 0
z = t
;
3. Qual é a distância da origem à reta 5x− 2y = 8?
4. Qual é o raio da circunferência que tem centro no ponto
P = (4, 1) e é tangente à reta 3x+ 7y − 2 = 0?
5. Achar a distância do ponto P = (3,−1, 4) ao plano Π :
x+ y + z = 0.
6. Qual é o ponto do plano Π : 2x−3y+z−5 = 0 mais próximo
do ponto P = (1, 3, 1)?
120
Vetores e Geometria Analítica: Livro 1
7
AULA
7. Calcular a distância entre os dois planos paralelos a seguir:
Π1 : x+ y + z − 4 = 0 e Π2 : 2x+ 2y + 2z − 5 = 0
8. Qual a distância entre as retas r :

x = 3 + t
y = 2− 2t
z = 1− 2t
e o eixo−z?
7.7 Comentário das Atividades
Você conseguiu concluir a atividade 1? Então entendeu a definição
de distância entre dois pontos. E as questões 2,3 e 4? Se conseguiu
resolvê-las, então entendeu a definição de distância entre ponto e
reta. As atividades 5, 6 e 7, se as resolveu, então você entendeu
a definição da distância entre ponto e plano. Quanto à atividade
8, você deve ter usado a definição de distância entre retas para
resolvê-la.
7.8 Referências
STEINBRUCH, Alfredo , Geometria Analítica. São Paulo, Ma-
kron Books, 1987.
LIMA, Elon Lages , Geometria Analítica e Álgebra Linear. Rio de
Janeiro, IMPA, 2005.
BOLDRINI, José Luiz, 'Algebra Linear . São Paulo, Harbra, 1980.
121
8
AULA
2
LIVRO
Cônicas - Parte I
META
Introduzir a definição de parábola e
suas propriedades.
OBJETIVOS
Identificar a parábola no plano.
Comparar algumas formas de re-
presentar a parábola no plano com
base nas suas equações reduzidas e
equações paramétricas.
PRÉ-REQUISITOS
Para que você possa ter um bom
desempenho nesta aula, é necessário
que tenha apreendido os conteúdos
das aulas anteriores, desde a pri-
meira até a sétima.
Cônicas - Parte I
8.1 Introdução
Olá! Como estão as suas leituras? Está se dedicando bastante
aos conteúdos de nossas aulas? Esperamos que sim. É sempre
bom lembrar que há um tutor a sua disposição para esclarecer as
dúvidas. Não se esqueça disso. Então, vamos em frente!
Na aula passada, conhecemos uma forma de encontrar a distân-
cia entre ponto e reta e entre ponto e plano. Além disso, também
aprendemos a calcular a distância entre retas.
Você já deve ter visto ou ouvido falar de cônicas ou de elipses,
parábolas e hipérboles, não é? Bem, nesta aula iremos introduzir
não só a definição de cônicas mas também algumas propriedades
importantes da parábola.
Porém, antes de iniciarmos nossos estudos sobre as cônicas,
vamos fazer uma breve viagem no tempo para sabermos um pou-
quinho mais sobre o começo de tudo isso.
8.2 Um pouco de História
Os estudos sobre as cônicas tiveram início, segundo o matemático
grego Pappus de Alexandria (290-350 a.C.), com o geômetra grego
Aristeu, "o Ancião"(370 - 300 a.C.). De acordo com Papus, Aris-
teu foi o primeiro a publicar um tratado sobre as seções cônicas,
que recebeu o nome de Cinco livros sobre seções cônicas, e cujo
conteúdo versava sobre um estudo minucioso das curvas cônicas e
de suas propriedades.
Contemporâneo de Aristeu e conhecedor de sua obra sobre as
cônicas, Arquimedes de Alexandria (325 - 265 a. C.) não procurou
aprofundar seus estudos sobre este assunto em sua obra Os ele-
124
Vetores e Geometria Analítica: Livro 1
8
AULA
mentos com o intuito de despertar nos estudiosos o interesse pela
leitura dos escritos originais.
Cerca de duzentos anos mais tarde, o astrônomo e matemático
grego, Apolônio de Perga (262 - 190 a. C.), aprimorou os estudos
sobre essas curvas escrevendo o Tratado sobre as cônicas, em que
as definia como seções de um cone de base circular, elipse, parábola
e hipérbole. Esse tratado representa o ponto máximo alcançado
pela Matemática grega por ser motivo de admiração a maestria
com que Apolônio demonstra centenas de teoremas, recorrendo
aos métodos puramente geométricos de Euclides.
Entretanto, existem algumas controvérsias a respeito desses
matemáticos quanto à descoberta das cônicas. Os estudos his-
toriográficos dão a outro matemático grego, Menaecmus (380 - 320
a.C, aproximadamente), o prodígio de tê-las descoberto ao tentar
resolver três problemas famosos da Geometria grega: a trisseção
do ângulo, a duplicação do cubo e a quadratura do círculo. Quanto
à obtenção destas curvas, isto é, das cônicas, também houve diver-
gência entre Menaecmus e Apolônio. O primeiro julgava que elas
eram obtidas por meio de cortes efetuados sempre em ângulo reto
em relação à superfície do cone; enquanto o segundo acreditava
que os quatro gêneros de curvas eram obtidos através do corte de
um mesmo cone sob diferentes ângulos.
8.3 Conceituando as cônicas
Agora que você já leu um pouco sobre a origem das cônicas, prepare-
se para seguir em frente, pois nesta seção vamos conceituá-las.
Sejam e e g retas concorrentes no ponto O e não perpendicula-
125
Cônicas - Parte I
res. Deixando a reta e fixa e fazendo a reta g girar 360o em torno
de e, tal que o ângulo entre as retas e e g seja constante, a reta
g gera uma superfície conhecida como superfície cônica circular
infinita constituída por duas folhas separadas pelo vértice O.
Figura 8.56: e (eixo), g (reta geratriz)
Definição 8.28. A reta g é chamada geratriz da superfície cônica
e a reta e, eixo da superfície.
Definição 8.29. Chamamos de seção cônica, ou simplesmente
cônica, o conjunto de pontos que formam a interseção de um plano
com a superfície cônica.
Quando uma seção cônica é seccionada por um plano que não
passa pelo ponto O, podemos obter
as seguintes curvas cônicas.
Parábola - se o plano for paralelo a uma geratriz da superfície.
Elipse - se o plano não for paralelo a uma geratriz e intercepta
apenas uma das folhas da superfície (ou uma circunferência,
se o plano que secciona for perpendicular ao eixo).
Hipérbole - se o plano que secciona não é paralelo a uma geratriz
e intercepta as duas folhas da superfície. A hipérbole deve ser
126
Vetores e Geometria Analítica: Livro 1
8
AULA
vista como uma curva só, construída a partir de dois ramos,
um em cada folha da superfície.
Figura 8.57: Pará-
bola.
Figura 8.58:
Elipse.
Figura 8.59: Hi-
pérbole.
Começaremos nossos estudos pela parábola.
8.4 Parábola
Definição 8.30. Parábola é o conjunto de todos os pontos de
um plano equidistante de um ponto fixo e de uma reta fixa desse
plano.
Em outros termos, considere uma reta d e um ponto F não
pertencente a essa reta.
127
Cônicas - Parte I
Um ponto P qualquer pertence à parábola se, e somente se,
d(P, F ) = d(P, d),
ou equivalentemente,
d(P, F ) = d(P, P ′)
em que P ′ é o ponto que está no pé da perpendicular baixada de
P sobre a reta d.
Agora, é importante que você compreenda o que representa
cada ponto ou reta.
Notação :
Considere a parábola de vértice V = (0, 0).
(i) O eixo da parábola é o eixo−y.
Seja P = (x, y) um ponto qualquer da parábola de foco F =
(0,
p
2
) e diretriz de equação y = −p/2.
Pela definição da parábola, temos que
−−→
FP =
−−→
P ′P
Sendo P ′ = (x,−p
2
) ∈ d, temos a seguinte igualdade
128
Vetores e Geometria Analítica: Livro 1
8
AULA
∣∣∣(x− 0, y − p
2
)∣∣∣ = ∣∣∣(x− x, y + p
2
)∣∣∣
⇓√
(x− 0)2 +
(
y − p
2
)2
=
√
(x− x)2 +
(
y +
p
2
)2
⇓
(x− 0)2 +
(
y − p
2
)2
= (x− x)2 +
(
y +
p
2
)2
⇓
x2 + y2 − py + p
2
4
= y2 + py +
p2
4
e assim,
x2 = 2py (8.1)
que é a equação reduzida da parábola.
Observação 11.
• p 6= 0 é chamado de parâmetro da parábola.
• Com base na equação (8.1), podemos deduzir que:
- se py ≥ 0, p e y têm o mesmo sinal;
- se p > 0, a parábola tem abertura (concavidade) para cima;
- se p < 0, a abertura (concavidade)é voltada para baixo.
• O gráfico da parábola é simétrico em relação ao eixo−y, pois
se um ponto pertence ao gráfico (x, y), então o ponto (−x, y)
também pertence a ele.
(ii) O eixo da parábola é o eixo−x.
129
Cônicas - Parte I
Figura 8.60: y > 0, p > 0 Figura 8.61: y < 0, p < 0.
Sendo P = (x, y) um ponto qualquer da parábola, com foco
F = (p/2, 0) e diretriz x = −p/2, obtemos, analogamente ao item
(i), a equação reduzida
y2 = 2px (8.2)
Da mesma forma, podemos verificar que se p > 0, a parábola tem
Figura 8.62: y2 = 2px
abertura (concavidade) para a direita, e se p < 0, para a esquerda.
Exemplo 8.4.1. Na parábola y = x2/4, construir o gráfico e en-
contrar o foco e a reta diretriz.
Perceba que a partir de y = x2/4 ⇒ x2 = 4y, verificamos que
130
Vetores e Geometria Analítica: Livro 1
8
AULA
Figura 8.63: x > 0, p > 0 Figura 8.64: x < 0, p < 0.
2p = 4, ou seja, p = 2 ⇒ p
2
= 1. Portanto, o foco F = (0, 1) e a
reta diretriz são dados por d : y = −1.
Figura 8.65: y = x2/4.
Figura 8.66: y2 = 4x cujo vér-
tice V = (0, 0) e foco F =
(1, 0)
131
Cônicas - Parte I
8.5 Translação dos eixos
Representamos o ponto O = (0, 0) como a origem do sistema carte-
siano de eixos (plano−xy), considerando O′ = (h, k) um ponto ar-
bitrário no plano. Com base nisso, podemos construir um novo sis-
tema de coordenadas x′y′, de forma que P = (x′, y′) ∈ plano−xy.
Para construirmos outro sistema, necessitamos de:
x = x′ + h e y = y′ + k ou
x′ = x− h e y′ = y − k
(8.1)
que são as fórmulas de translação.
Consideremos, agora, uma parábola cujo vértice seja V = (h, k) 6=
(0, 0) e cujo eixo seja paralelo ao eixo−y.
Como o vértice é V = (h, k), iremos considerar um outro sis-
tema de coordenadas cuja origem seja O′ = V e a parábola tenha
a equação reduzida
x′2 = 2py′
. Fazendo a mudança de coordenadas indicada pelas equações
(14.98) com
x′ = x− h e y′ = y − k
,
132
Vetores e Geometria Analítica: Livro 1
8
AULA
obtemos
(x− h)2 = 2p(y − k) (8.2)
De maneira análoga ao que demonstramos anteriormente, en-
contramos
(y − k)2 = 2p(x− h) (8.3)
Observação 12. Em ambas as equações de parábola transladadas
(8.2 e 8.3), o parâmetro p obedece às mesmas condições da obser-
vação (11).
Com base na equação (8.2), podemos ainda constatar que se a
desenvolvermos como se segue
(x−h)2 = 2p(y−k)⇒ x2−2hx+h2 = 2py−2pk ⇒ x2+(−2h)x+(2p)y+(−2pk+h2) = 0
, podemos reescrevê-la da seguinte forma
ax2 + cx+ dy + f = 0, a 6= 0 (8.4)
Analogamente para o caso da equação (8.3), temos
by2 + cx+ dy + f = 0, b 6= 0 (8.5)
133
Cônicas - Parte I
Exemplo 8.5.1. Seja V = (1,−2) o vértice de uma parábola cujo
eixo é paralelo ao eixo−y e com parâmetro p = 2. Para determinar
a equação da parábola, iremos usar a equação dada por (8.2), e
assim, a equação tem a forma
(x− h)2 = 2p(y − k)
Fazendo h = 1 e k = −2, temos
(x− 1)2 = 2(2)(y + 2) ou (x− 1)2 = 4(y + 2)
Podemos ainda reescrever a mesma equação para
x2 − 2x+ 1 = 4y + 8 ou
y =
1
4
x2 − 1
2
x− 7
4
(8.6)
em que a equação (8.6) é a equação geral desta parábola.
Figura 8.67: y =
1
4
x2 − 1
2
x− 7
4
Este exemplo nos conduz a retomar a equação (8.4) e a reescrevê-
la como
y = ax2 + bx+ c, a 6= 0 sendo a, b, c ∈ R, (8.7)
134
Vetores e Geometria Analítica: Livro 1
8
AULA
ou para a equação (8.5), temos analogamente
x = ay2 + by + c, a 6= 0 sendo a, b, c ∈ R. (8.8)
As equações (8.7) e (8.8) são chamadas de equações
explícitas da parábola.
Considerando a equação reduzida da parábola cujo
eixo é o dos y, x2 = 2py, e fazendo x = t, teremos
y =
1
2p
t2.
Definição 8.31. Equações Paramétricas
• As equações paramétricas da parábola com vértice V = (0, 0)
e o eixo da parábola, sendo o eixo−y, são dadas por
x = t
y =
1
2p
t2, t ∈ R
(8.9)
• Para o caso em que o vértice seja V = (0, 0) e o eixo da
parábola seja o eixo−x, as equações paramétricas são dadas
por 
x =
1
2p
t2
y = t, t ∈ R
(8.10)
De forma similar, podemos obter as equações paramétricas nos
casos em que o vértice da parábola não seja a origem do plano−xy.
Exemplo 8.5.2. Seja a equação da parábola dada por (x+ 2)2 =
2(y − 3), vamos encontrar sua equação paramétrica. Para isso,
façamos
x+ 2 = t ⇒ x = t− 2 ⇒ t2 = 2(y − 3)
135
Cônicas - Parte I
ou t2 = 2y − 6 e
y =
t2 + 6
2
Deste modo, o sistema
x = t− 2
y =
t2 + 6
2
, t ∈ R
são as equações paramétricas dessa parábola. É fundamental você
perceber, ainda, que se fizermos a substituição de x = t − 2 (ou
seja, t = x+ 2) e de y =
t2 + 6
2
, teremos a seguinte equação:
y =
(x+ 2)2 + 6
2
⇒ (x+ 2)2 = 2(y − 3),
que é a equação cartesiana dada no início.
8.6 Resumo
Nesta aula, apresentamos a você as curvas cônicas. Conhecemos
um pouco mais sobre a parábola e suas propriedades, além de
algumas maneiras de a representarmos, como a equação reduzida
e a equação paramétrica da parábola.
8.7 Atividades
1. Trace um esboço do gráfico e obtenha uma equação da pa-
rábola que satisfaça as condições dadas.
(a) vértice: V = (0, 0); diretriz d: y = −2;
(b) foco: F = (2, 0); diretriz d: x+ 2 = 0;
(c) foco: F =
(
0,−1
4
)
; diretriz d: 4y − 1 = 0.
136
Vetores e Geometria Analítica: Livro 1
8
AULA
2. Determine a equação reduzida, o vértice, o foco, uma equação
da diretriz e uma equação do eixo da parábola das equações
dadas. Esboce o gráfico dessas equações.
(a) x2 − 2x− 20y − 39 = 0;
(b) y2 − 16x+ 2y + 49 = 0;
(c) y = 4x− x2.
3. Determine uma equação da curva gerada por um ponto que
se move de modo que sua distância ao ponto A = (−1, 3)
seja igual a sua distância à reta y + 3 = 0.
4. O arcoDC (como ilustrado abaixo) é parabólico e o segmento
AB está dividido em 8 partes iguais. Sabendo que d = 10m,
AD = BC = 50m e AB = 80m, determine h1 e h2.
5. Dados os sistemas de equações paramétricas a seguir, mostre
que eles representam parte de uma mesma parábola, esbo-
çando o gráfico. x =
√
2t
y = t+ 3, t ∈ [0, 8]
e

x = −t
y =
t2
2
+ 3, t ∈ [−4, 0],
8.8 Comentário das atividades
Se você entendeu a definição da parábola e seus componentes, en-
tão deve ter resolvido as atividades 1,3 e 4. Já na atividade 2, você
137
Cônicas - Parte I
trabalhou com a obtenção de equações reduzidas das parábolas e
alguns de seus componentes (foco, vértice, equação da diretriz e
equação do eixo da parábola). Se você conseguiu resolver a ques-
tão 5, então já deve ter entendido como se apresentam as equações
paramétricas da parábola. Qualquer dúvida a respeito da resolu-
ção dessas atividades, procure o tutor de seu pólo.
8.9 Referências
STEINBRUCH, Alfredo , Geometria Analítica. São Paulo, Ma-
kron Books, 1987.
LIMA, Elon Lages , Geometria Analítica e Álgebra Linear. Rio de
Janeiro, IMPA, 2005.
BOLDRINI, José Luiz, 'Algebra Linear . São Paulo, Harbra, 1980.
138
9
AULA
2
LIVRO
Cônicas - Parte II
META
Apresentar a definição de equações
de planos no espaço e suas propri-
edades geométricas direcionadas à
elipse
OBJETIVOS
Identificar a elipse no plano.
Comparar ou diferenciar algumas
formas de representar a elipse com
base em suas equações reduzidas e
paramétricas.
PRÉ-REQUISITOS:
Para que você possa ter um bom
desempenho nesta aula, é necessário
que tenha assimilado os conteúdos
das aulas anteriores, desde a pri-
meira até a sétima.
Cônicas - Parte II
9.1 Introdução
Olá, caro aluno! Está animado para seguir em frente? Então,
vamos lá.
Na aula passada,transitamos pelas curvas cônicas, conhecemos
um pouco mais sobre a parábola e suas propriedades. Também
aprendemos algumas formas de representação para a parábola,
através da equação reduzida e da paramétrica.
Nesta aula, vamos dar continuidade ao conteúdo da Aula 8 e
conheceremos a elipse e suas propriedades. Também aprendere-
mos como é possível representar elipses por equação reduzida e
paramétrica.
9.2 Elipse
Definição 9.32. [Elipse] Uma elipse de focos F1 e F2 é o conjunto
dos pontos P no plano cuja soma das distâncias a F1 e F2 é igual
a uma constante, que indicaremos com 2a.
Portanto, o ponto P pertence à elipse se, e somente se,
d(P, F1) + d(P, F2) = 2a (9.1)
Notação :
Da figura (9.2), fica claro que B2F2 = a, pois B2F1+B2F2 = 2a
(pela definição de elipse) e B2F1 = B2F2. Portanto, no triângulo
B2CF2 temos
a2 = b2 + c2 (9.2)
A excentricidade é responsável pela �forma� da elipse:
140
Vetores e Geometria Analítica: Livro 1
9
AULA
Figura 9.68: Uma elipse de fo-
cos F1 e F2.
Figura 9.69: Vértices e eixo
de uma elipse.
• quando a excentricidade é próxima de zero, as elipses são
aproximadamente circulares;
• mas se a excentricidade é próxima de 1 (um), as elipses são
�achatadas�.
Porém, fixada uma excentricidade, por exemplo, e = 1/3, todas as
infinitas elipses têm a mesma forma, diferenciando-se apenas pelo
tamanho.
O astrônomo alemão, Johann Kepler (1571-1630), instituiu
(empiricamente) 3 leis que regem a dinâmica de corpos celestes.
A primeira delas diz que: �Qualquer planeta gira em torno do Sol,
descrevendo uma órbita elíptica, na qual o Sol ocupa um dos fo-
cos�. Vejamos as excentricidades de alguns corpos celestes do nosso
Sistema Solar:
141
Cônicas - Parte II
Corpo Celeste Excentricidade
Terra 0,02
Júpter 0,05
Marte 0,09
Mercúrio 0,21
Plutão 0,25
Cometa Halley 0,967
No caso do cometa Halley, sua excentricidade é quase 1 e por isso
ele leva aproximadamente 76 anos para dar uma volta em torno do
Sol.
9.3 Equação reduzida
Agora que você já estudou a definição da elipse e também teve
acesso às partes que a compõem, além de conhecer um pouco so-
bre a excentricidade, vamos apresentar outra possibilidade de re-
presentação dessa cônica, isto é, a equação reduzida.
Seja a elipse de centro C = (0, 0). Iremos considerar dois casos:
(i) O eixo maior está sobre o eixo−x.
Seja P = (x, y) um ponto qualquer da elipse com focos F1 =
(−c, 0) e F2 = (c, 0). Pela definição (9.1), sabemos que
d(P, F1) + d(P, F2) = 2a ou |−−→PF1|+ |−−→PF2| = 2a
Já em coordenadas, temos√
(x+ c)2 + y2 +
√
(x− c)2 + y2 = 2a
⇓√
x2 + y2 + 2cx+ c2 = 2a−
√
x2 + y2 − 2cx+ c2
142
Vetores e Geometria Analítica: Livro 1
9
AULA
⇓(√
x2 + y2 + 2cx+ c2
)2
=
(
2a−
√
x2 + y2 − 2cx+ c2
)2
⇓
x2+y2+2cx+c2 = 4a2−4a
√
x2 + y2 − 2cx+ c2+x2+y2−2cx+c2
⇓
a
√
x2 + y2 − 2cx+ c2 = a2 − cx
Elevando ao quadrado ambos os membros mais uma vez,teremos
a2
(
x2 + y2 − 2cx+ c2) = a4 − 2a2cx+ c2x2
⇓
a2x2 + a2y2 − 2a2cx+ a2c2 = a4 − 2a2cx+ c2x2
⇓
(a2 − c2)x2 + a2y2 = a2(a2 − c2)
e pela equação (9.2), temos que a2 − c2 = b2, assim,
b2x2 + a2y2 = a2b2
Portanto, se agora dividirmos ambos os membros por a2b2, temos
x2
a2
+
y2
b2
= 1 (9.1)
que é a equação reduzida da elipse para este caso.
(ii) O eixo maior está sobre o eixo−y.
Com o mesmo procedimento do caso (ii), obteremos a equação
reduzida
x2
b2
+
y2
a2
= 1 (9.2)
143
Cônicas - Parte II
Observação 13. Para sabermos onde está o maior eixo da elipse (se
está sobre o eixo−x ou sobre o eixo−y), basta observarmos qual
o maior denominador (a2) na sua equação reduzida, pois numa
elipse sempre se considera que a > b ( ou a2 > b2). Por exemplo,
na equação reduzida
x2
4
+
y2
9
= 1
o maior denominador é 9. E pelo fato de ser o denominador de y2,
isso significa que o eixo maior está sobre o eixo−y.
Exemplo 9.3.1. Veja a equação da elipse dada por 4x2+y2−16 =
0, temos que na forma reduzida fica da seguinte forma
x2
4
+
y2
16
= 1
Como o maior denominador é 16, as medidas dos semi-eixos são
a = 4 e b = 2. De a2 = b2 + c2 ⇒ 16 = 4 + c2 e assim, c2 = 12⇒
c =
√
12. Portanto, os focos são F1 = (0,−
√
12) e F2 = (0,
√
12).
Em relação à excentricidade, podemos dizer que
e =
c
a
=
√
12
4
=
2
√
3
4
=
√
3
2
.
Logo, e =
√
3
2
.
144
Vetores e Geometria Analítica: Livro 1
9
AULA
9.4 Translação da elipse
Na seção anterior, estudamos a equação reduzida da elipse em duas
situações:
• (a) quando o eixo maior está sobre o eixo −x;
• (b) quando o eixo maior está sobre o eixo −y.
Nesta seção, vamos estudar a translação dessa cônica, consi-
derando a relação de paralelismo entre a elipse e os eixos −x e
−y
Seja uma elipse de centro C = (h, k) 6= (0, 0). Iremos conside-
rar apenas os casos em que os eixos da elipse sejam paralelos aos
eixos coordenados.
(i) O eixo maior é paralelo ao eixo−x.
Nossa intensão será de obter um novo sistema de coordenadas
x′Oy′, em que a elipse tem o semi-eixo maior sobre o eixo−x′.
Portanto, sua equação reduzida é
(x′)2
a2
+
(y′)2
b2
= 1
Para isso, utilizamos as seguintes fórmulas de translação
x′ = x− h e y′ = y − k
145
Cônicas - Parte II
através das quais, fazendo as devidas substituições, temos
(x− h)2
a2
+
(y − k)2
b2
= 1 (9.1)
que é a forma padrão para este caso. (Veja a figura 9.4.)
Figura 9.70: x′ = x− h e y′ = y − k.
(ii) O eixo maior é paralelo ao eixo−y.
Analogamente ao caso (i), temos
(x− h)2
b2
+
(y − k)2
a2
= 1 (9.2)
Exemplo 9.4.1. Uma elipse cujo eixo maior é paralelo ao eixo−y
tem centro C = (4,−2),
excentricidade e = 1
2
e eixo menor de
medida 6. Vamos obter a equação dessa elipse.
Como o eixo maior da elipse é paralelo ao eixo−y, sua equação
é da forma
(x− h)2
b2
+
(y − k)2
a2
= 1,
sendo h = 4 e k = −2. Além disso, percebemos que 2b = 6, ou
seja, b = 3. E pelo fato de
e =
c
a
= 12⇒ c = a
2
temos ainda que a2 = b2 + c2 nos conduz a
a2 = 32 +
(a
2
)2 ⇒ a2 = 9 + a2
4
⇒ a2 = 12
146
Vetores e Geometria Analítica: Livro 1
9
AULA
E assim, a equação da elipse é
(x− 4)2
9
+
(y + 2)2
12
= 1
Agora, podemos ainda �trabalhar� um pouco mais essa expressão.
De
(x− 4)2
9
+
(y + 2)2
12
= 1
⇓
4(x2 − 8x+ 16) + 3(y2 + 4y + 4) = 36
⇓
4x2 + 3y2 − 32x+ 12y + 40 = 0
é a equação geral dessa elipse.
Na verdade, qualquer elipse cujos eixos estão sobre os eixos
coordenados ou são paralelos a eles sempre pode ser representada
por uma equação geral na forma
ax2 + by2 + cx+ dy + f = 0, (9.3)
com a e b de mesmo sinal. Quando a = b, essa equação representa
uma circunferência. Por exemplo, quando a = b = 1, c = d = 0 e
f = −2, a equação será
x2 + y2 − 4 = 0,
que representa uma circunferência centrada na origem de raio 4.
9.5 Equações paramétricas da elipse
Considere a equação
x2
a2
+
y2
b2
= 1. Agora, tracemos uma circunfe-
rência de centro O e raio igual ao semi-eixo maior da elipse.
147
Cônicas - Parte II
Seja P = (x, y) um ponto arbitrário da elipse. A reta que passa
por P , paralela ao eixo−y, intercepta a circunferência no ponto A
e o raio AO determina com o eixo−x um ângulo θ. Assim, do
Figura 9.71: OA′ = OA · cos θ.
triângulo A′OA temos OA′ = OA cos θ, ou x = a cos θ, então
(a cos θ)2
a2
+
y2
b2
= 1⇒ y
2
b2
= 1− cos2 θ ⇒ y
2
b2
= sen 2θ
Portanto, y = bsen θ. Para que a cada valor de θ façamos cor-
responder um só ponto da elipse P , podemos concluir que θ deve
pertencer ao intervalo [0, 2pi]. Então, θ é o parâmetro. x = a cos θy = bsen θ 0 ≤ θ ≤ 2pi (9.1)
são as equações paramétricas dessa elipse.
Observação 14. • De x = a cos θy = bsen θ ⇒

x
a
= cos θ
y
b
= sen θ
e assim,
x2
a2
+
y2
b2
= 1, pois, cos2 θ + sen 2θ = 1.
148
Vetores e Geometria Analítica: Livro 1
9
AULA
• Caso a elipse tenha o eixo maior sobre o eixo−y, constatamos
que
x2
b2
+
y2
a2
= 1 tem equações paramétricas x = b cos θy = asen θ (9.2)
• E quando o centro da elipse for C = (h, k), pela translação
dos eixos obtemos x = h+ a cos θy = k + bsen θ (eixo maior paralelo ao eixo−x)(9.3) x = h+ b cos θy = k + asen θ (eixo maior paralelo ao eixo−y)(9.4)
Exemplo 9.5.1. Verificamos que a equação reduzida de 9x2 +
4y2 − 54x+ 16y + 61 = 0 é dada por
(x− 3)2
4
+
(y + 2)2
9
= 1
e assim, a elipse tem como centro C = (3,−2), com a = 3 e b = 2.
Portanto,  x = 3 + 2 cos θy = −2 + 3sen θ
são as equações paramétricas da elipse.
9.6 Resumo
Nesta aula, conhecemos um pouco mais sobre a elipse e suas pro-
priedades. Aprendemos que a excentricidade é responsável por
determinar a forma da elipse, que pode ser circular ou achatada,
ou ainda variar quanto ao tamanho. Também foi possível conhecer
algumas de suas formas de representação, como a equação reduzida
e a equação paramétrica da elipse.
149
Cônicas - Parte II
9.7 Atividades
1. Em cada um dos itens a seguir, esboce o gráfico e determine
os vértices A1 e A2, os focos e a excentricidade das elipses
dadas:
(a)
x2
25
+
y2
4
= 1;
(b) 9x2 + 16y2 − 144 = 0;
(c) 9x2 + 5y2 − 45 = 0;
(d) x2 + 2y2 − 5 = 0.
2. Esboce o gráfico de uma elipse com as seguintes excentrici-
dades:
(a) 1/2;
(b) 1/3.
3. Em cada um dos itens a seguir, determine uma equação da
elipse que satisfaça as condições dadas e esboce seu gráfico.
(a) focos F1 = (−4, 0) e F2 = (4.0), eixo maior igual a 10;
(b) focos F1 = (0,−5) e F2 = (0, 5), eixo menor igual a 10;
(c) vértices A1 = (−10, 0) e A2 = (10, 0), excentricidade
1/2;
(d) centro C = (0, 0), eixo menor igual a 6, focos no eixo
dos x e passando pelo ponto (−2√5, 2).
4. Obtenha a equação paramétrica da elipse das seguintes equa-
cões:
(a) x2 + y2 = 36;
150
Vetores e Geometria Analítica: Livro 1
9
AULA
(b) 9x2 + 16y2 = 1;
(c) 49(x+ 7)2 + y2 = 7.
5. Obtenha a equação geral da elipse das equações paramétricas
a seguir:
(a)
 x = cos θy = 3sen θ ;
(b)
 x =
√
2 cos θ
y = −1 + sen θ
6. Quais são as tangentes à elipse x2 + 4y2 = 32 que têm incli-
nação igual a 1/2?
7. Um satélite de órbita elíptica e excentricidade 1/3 viaja ao re-
dor de um planeta situado num dos focos da elipse. Sabendo-
se que a distância mais próxima do satélite ao planeta é de
300 km, calcule a maior distância.
9.8 Comentário sobre as Atividades
Você resolveu as atividades 1,2,3 e 7? Então entendeu a definição
da elipse e seus componentes (focos, vértices, excentricidade). Se
conseguiu resolver a atividade 6, então você já tem uma idéia de
como funciona a equação geral da elipse. Se concluiu a 4 e a 5, já
sabe como obter a equação paramétrica da elipse e aplicá-la.
9.9 Referências
STEINBRUCH, Alfredo , Geometria Analítica. São Paulo, Ma-
kron Books, 1987.
151
Cônicas - Parte II
LIMA, Elon Lages , Geometria Analítica e Álgebra Linear. Rio de
Janeiro, IMPA, 2005.
BOLDRINI, José Luiz, 'Algebra Linear . São Paulo, Harbra, 1980.
152
10
AULA
2
LIVRO
Cônicas - Parte III
META
Apresentar a definição de equações
de planos no espaço e suas propri-
edades geométricas direcionadas à
hipérbole.
OBJETIVOS
Identificar a hipérbole no plano.
Comparar ou diferenciar algumas
formas de representar a hipérbole
com base nas equações reduzidas e
paramétricas da elipse.
PRÉ-REQUISITOS
Para que você possa ter um bom
desempenho nesta aula, é necessário
que tenha assimilado os conteúdos
das aulas anteriores, desde a pri-
meira até a sétima.
Cônicas - Parte III
10.1 Introdução
Olá! Chegamos à metade de nossa disciplina. Isto significa que
já temos boa parte das ferramentas matemáticas para avançarmos
nos próximos conteúdos.
Na aula passada, entramos em contato com a elipse e suas pro-
priedades, além das formas para representá-la. Nesta aula, vamos
apresentar a hipérbole e suas propriedades. Também veremos que
é possível representar hipérboles por equação reduzida e paramé-
trica.
10.2 Hipérbole
Da mesma forma como apresentamos para você as diferentes for-
mas de representar a parábola e a elipse, através das equações
reduzida e paramétrica, assim procederemos com a hipérbole. Va-
mos dar início pela sua definição.
Definição 10.33. Hipérbole
Sejam F1 e F2 dois pontos do plano e a um número real positivo.
Chamamos de hipérbole de focos F1 e F2 o conjunto dos pontos
P do plano cuja diferença das distâncias aos pontos F1 e F2 é, em
valor absoluto, igual a 2a.
Assim, o ponto P pertence a essa hipérbole H se, e somente se,
|d(P, F1)− d(P, F2)| = 2a (10.1)
A hipérbole H tem dois ramos, um formado pelos pontos P para
os quais a diferença é positiva d(P, F1)−d(P, F2) = 2a, e outro em
que essa diferença é negativa, isto é, d(P, F1)− d(P, F2) = −2a.
154
Vetores e Geometria Analítica: Livro 1
10
AULA
Figura 10.72: |d(P, F1)− d(P, F2)| = 2a
Considere no plano dois pontos quaisquer F1 e F2 com d(F1, F2) =
2c. Chamando de C o ponto médio do segmento de F1F2, tracemos
uma circunferência de centro C e raio c.
Tomemos um valor arbitrário a, com a < c, e marquemos so-
bre o segmento F1F2, a partir de C, os pontos A1 e A2, tal que
d(C,A1) = d(C,A2) = a. Por esses pontos tracemos cordas per-
pendiculares ao diâmetro F1F2. As quatro extremidades dessas
cordas são os vértices de um
retângulo MNPQ inscrito nesta cir-
cunferência. Tracemos as retas r e s que contêm as diagonais do
retângulo e a hipérbole, como ilustrada na figura (10.2).
Notação:
Focos: são os focos F1 e F2.
Distância focal: é a distância 2c entre os focos.
Centro: é o ponto médio C do segmento F1F2.
Vértice: são os pontos A1 e A2.
Eixo real ou transverso: é o segmento A1A2 de comprimento
2a.
155
Cônicas - Parte III
Figura 10.73: Hipérbole com focos F1 e F2.
Eixo imaginário ou não-transverso: é o segmento B1B2 de
comprimento 2b, com B1B2 ⊥ A1A2 em C.
Assíntotas: são as retas r e s.
Perceba que os pontos A1 e A2 pertencem à hipérbole, pois
satisfazem a definição (10.33).Assim, observe que
d(A1, F1) = c− a e d(A1, F2) = a+ c
além de
|d(A1, F1)− d(A1, F2)| = | − 2a| = 2a.
O retângulo MNPQ tem dimensões 2a e 2b, sabendo que a é a
medida de semi-eixo real e b a medida do semi-eixo imaginário,
assim, vale a relação
c2 = a2 + b2 (10.2)
As assíntotas são as retas de que a hipérbole se aproxima cada
vez mais à medida que os pontos se afastam do vértice. Essa
aproximação é "contínua"e "lenta", de forma que a tendência da
hipérbole é tangenciar as suas assíntotas no infinito.
156
Vetores e Geometria Analítica: Livro 1
10
AULA
Observando ainda a figura (10.2), percebemos que as retas for-
mam um ângulo (θ) no ponto C. O ângulo θ é chamado de aber-
tura da hipérbole.
Definição 10.34. Chama-se de excentricidade da hipérbole o
número
e =
c
a
. (10.3)
A excentricidade da hipérbole está influenciada diretamente na
abertura.
Atentando para a figura (10.2), constatamos temos que c > a
e tem-se e > 1. Porém,
• (mantendo o c fixo) fazendo a quanto menor possível (aproximando-
se de zero), aumenta o valor de e,
• (mantendo o c fixo) fazendo a o mais próximo possível de c,
verificamos que e se aproxima de 1, e
• caso e = √2, a hipérbole terá que r ⊥ s e será chamada de
hipérbole equilátera.
Agora que você já teve contato com a primeira parte teórica
sobre a hipérbole, veja a seguir como ela pode ser aplicada na
prática.
Exemplo 10.2.1 (Uma aplicação). Imagine a seguinte situa-
ção: um atirador dispara sua arma contra o muro e um observador
ouve o estampido e o impacto da bala no alvo simultanemante.
Qual a localização do observador em relação ao muro e ao atira-
dor?
Vamos à solução?
157
Cônicas - Parte III
Assim, considere a velocidade do som constante
1
e a velocidade
da bala
2
como o dobro da velocidade do som, isto é, se vsom e vb
são as velocidades do som e da bala, então vb = 2vsom. Sejam t1 o
tempo para a bala percorrer o trajeto do atirador ao muro e t2 e
t3 os tempos gastos pelo som para percorrer as distâncias d2 e d3
em que:
• (d1) é a distância do atirador ao muro;
• (d2) é a distância do observador ao muro;
• (d3) é a distância do atirador ao observador,
respectivamente.
Sendo assim,
vb =
d1
t1
, vsom =
d2
t2
, vsom =
d3
t3
⇓
1
A velocidade do som é de aproximadamente 340 m/s ao nível do mar.
2
Existem armas que disparam projéteis a velocidades muitas vezes superi-
ores à do som, chegando a mais de 3000 m/s.
158
Vetores e Geometria Analítica: Livro 1
10
AULA
t1 =
d1
vb
, t2 =
d2
vsom
, t3 =
d3
vsom
Perceba que o tempo gasto pela bala para chegar ao muro (t1),
acrescido do tempo gasto do momento de impacto à chegada do
som até o observador (t2), deve ser igual ao tempo que o som do
disparo percorre até o observador, ou seja,
t3 = t1 + t2.
Assim,
d3
vsom
=
d1
vb
+
d2
vsom
⇒ d3
vsom
− d2
vsom
=
d1
vb
⇒ (d3 − d2)
vsom
=
d1
vb
O que nos dá a equação
d3 − d2 = d1vsom
vb
.
Note que se fizermos vb = 2vsom o quociente vb/vsom = 1/2 e se
colocarmos d1 = 2c, a equação anterior fica:
d3 − d2 = c = 2a.
Portanto, o observador ouve o impacto da bala no muro e o dis-
paro no mesmo instante de tempo se, e somente se, ele estiver
sobre algum ponto da hipérbole de focos A e B com eixo real de
comprimento 2a = d1/2.
Exercício 10.2.1. Pense nas hipóteses do exemplo (10.2.1), mas,
desta vez, vamos considerar que a velociadade da bala vb seja arbi-
trária. Diante disso, qual deverá ser a posição do observador para
que ele ouça ambos os sons (do impacto da bala no muro e do
disparo simultaneamente)?
[Sugestão: mostre que a excentricidade da hipérbole é
dada por vb/vsom e faça as conclusões a respeito da po-
sição do observador.]
159
Cônicas - Parte III
10.3 Equações reduzidas
Assim como já vimos nas duas cônicas que estudamos nas últimas
aulas, a hipérbole também pode ser representada por equações
reduzidas. É o que iremos apresentar para você a partir de agora.
Seja a hipérbole de centro C = (0, 0). Consideremos os seguin-
tes casos:
(i) o eixo real está sobre o eixo−x.
Sendo P = (x, y) um ponto arbitrário da hipérbole de focos
F1 = (−c, 0) e F2 = (c, 0), pela definição (10.33), temos
|d(P, F1)− d(P, F2)| = 2a
e em coordenadas∣∣∣√(x+ c)2 + (y − 0)2 −√(x− c)2 + (y − 0)2∣∣∣ = 2a, com c2 = a2+b2
⇓
x2
a2
− y
2
b2
= 1 (10.1)
A equação (10.1) é chamada de equação reduzida da hipérbole
para este caso.
(ii) o eixo real está sobre o eixo−y.
Procedendo de forma análoga ao caso (i), obtemos a equação
reduzida (veja a figura (10.3)
y2
a2
− x
2
b2
= 1 (10.2)
Exemplo 10.3.1. Na equação reduzida
x2
9
− y
2
4
= 1 (10.3)
em que a2 = 32 = 9 e b2 = 22 = 4.
160
Vetores e Geometria Analítica: Livro 1
10
AULA
Figura 10.74: Os focos F1 e F2 estão sobre o eixo−x.
Figura 10.75: Os focos F1 e F2 estão sobre o eixo−y.
• Observe que os vértices são A1 = (−3, 0) e A2 = (3, 0), que
poderiam ser obtidos a partir de (10.3. Tomando y = 0,
temos que
x2
9
= 1⇒ x = ±3.
Por outro lado, veja que tomando x = 0 em (10.3), verifica-
mos que y2 = −4, e assim, não há pontos da hipérbole que
corte o eixo−y.
• A hipérbole é simétrica em relação aos eixos coordenados e
161
Cônicas - Parte III
à origem, pois as potências de x e y são pares.
• As retas r e s são as assíntotas da hipérbole, pois ambas
passam pelo centro da hipérbole (neste caso, coincidem com
a origem do sistema). Podemos observar que ambas as retas
têm equações na forma y = mx, em que m é o coeficiente de
inclinação da reta. Notamos que:
1. na reta r, m1 =
b
a
⇒ m1 = 23 ;
2. e na reta s, m2 = − b
a
⇒ m2 = −23 .
Logo, as assíntotas têm equações y =
2
3
x e y = −2
3
x.
• Caso a equação reduzida da hipérbole seja da forma
y2
a2
− x
2
b2
= 1,
os coeficientes de inclinação das assíntotas são m = ±a
b
.
Exemplo 10.3.2. Seja f : R+ → R+ a função definida por f(x) =
1/x. O gráfico de f é o conjunto G = {(x, y) ∈ R2;x > 0, y =
1/x}. G é um ramo de hipérbole.
Para confirmar esta afirmação, devemos introduzir no plano
um novo sistema de coordenadas com a mesma origem e com eixos
formando ângulos de 45o com os eixos antigos. Chamamos de (s, t)
as coordenadas de um ponto nesses novos eixos. Para obtermos a
equação da curva G em relação aos novos eixos, devemos escrever
x e y dependendo de s e t.
Desta forma, se sabemos que em um triângulo retângulo os
ângulos agudos medem 45o, cada cateto é igual a
√
2/2 vezes a
162
Vetores e Geometria Analítica: Livro 1
10
AULA
Figura 10.76: x = s
√
2
2
− t
√
2
2
e y = s
√
2
2
+ t
√
2
2
hipotenusa, e assim, um ponto P tem coordenadas (x, y) no sistema
antigo e (s, t) no sistema novo(veja na figura (10.76), então
x = s
√
2
2
− t
√
2
2
e y = s
√
2
2
+ t
√
2
2
Além disso, se x > 0 e y > 0, então s > 0. Portanto, as seguintes
afirmações são equivalentes:
1. P = (x, y) ∈ G;
2. x > 0 e xy = 1;
3. s >
0 e
(
s
√
2
2
− t
√
2
2
)(
s
√
2
2
+ t
√
2
2
)
= 1;
4. s > 0 e
s2
2
− t
2
2
= 1;
5. s > 0 e
s2
a2
− t
2
b2
= 1, com a = b =
√
2;
6. P pertence ao ramo direito de uma hipérbole cujo eixo é a
reta y = x.
Logo, G é um ramo de hipérbole.
163
Cônicas - Parte III
10.4 Translações de uma hipérbole
Nesta seção, iremos apresentar a você as translações de uma hi-
pérbole. Acompanhe o nosso raciocínio e você verá que é tão fácil
quanto as das demais cônicas que já estudamos.
Seja uma hipérbole de centro C = (h, k) 6= (0, 0). Considere-
mos apenas os casos em que os eixos sejam paralelos aos eixo−x e
eixo−y.
(i) o eixo real é paralelo ao eixo−x.
Analogamente ao que fizemos para a elipse na aula anterior,
temos
(x− h)2
a2
− (y − k)
2
b2
= 1, (10.1)
que é a forma padrão para este caso.
Figura 10.77:
(x− h)2
a2
− (y − k)
2
b2
= 1
(ii) o eixo real é paralelo ao eixo−y.
Como em (i),
(y − k)2
a2
− (x− h)
2
b2
= 1 (10.2)
164
Vetores e Geometria Analítica: Livro 1
10
AULA
Percebemos que a partir da equação (10.1), temos que de
(x− h)2
a2
− (y − k)
2
b2
= 1
⇓
x2 − 2hx+ h2
a2
− y
2 − 2ky + k2
b2
= 1
Multiplicando ambos os membros por a2b2, temos
b2(x2 − 2hx+ h2)− a2(y2 − 2ky + k2) = a2b2
⇓
b2x2 − 2hb2x+ h2b2 − a2y2 + 2ka2y − a2k2 = a2b2
⇓
b2x2 − a2y2 − 2hb2x+ 2ka2y + h2b2 − a2k2 − a2b2 = 0
Assim, verificamos que
Ax2 +By2 + Cx+Dy + F = 0 (10.3)
sendo A = b2, B = −a2, C = −2hb2, D = 2ka2 e F = −a2k2 −
a2b2. A equação (10.3) é chamada de equação geral da hipér-
bole, com A e B de sinais contrários.
Exemplo 10.4.1. Determinar uma equação da hipérbole de vér-
tices A1 = (1,−2) e A2 = (5,−2), sabendo-se que F = (6,−2) é
um de seus focos.
Sendo o eixo real A1A2 paralelo ao eixo−x, a equação da hi-
pérbole (veja na figura (10.78)) é da forma,
(x− h)2
a2
− (y − k)
2
b2
= 1
165
Cônicas - Parte III
O centro é o ponto médio de A1A2: C = (3,−2).
Note que a = d(C,A1) = 2 e c = d(C,F ) = 3. Da relação c2 =
a2 + b2, ou 9 = 4 + b2, temos que b2 = 5. E assim, a equação da
hipérbole é
(x− 3)2
4
− (y + 2)
2
5
= 1.
Se a desenvolvermos, obteremos
5x2 − 4y2 − 30x− 16y + 9 = 0
que é a equação geral dessa hipérbole
Figura 10.78: 5x2 − 4y2 − 30x− 16y + 9 = 0
10.5 Equações paramétricas
Agora, vamos às paramétricas. Está lembrado delas? Você as
conheceu quando abordamos a parábola e a elipse nas aulas 8 e 9.
Então, vamos ver como elas funcionam com a hipérbole.
Considere a hipérbole de equação
x2
a2
− y
2
b2
= 1, e a coloquemos
da seguinte forma: (x
a
)2 − (y
b
)2
= 1
166
Vetores e Geometria Analítica: Livro 1
10
AULA
Agora, observemos que a identidade
sen 2θ + cos2 θ = 1
e dividindo ambos os membros por cos2 θ 6= 0, obteremos
sen 2θ
cos2 θ
+ 1 =
1
cos2 θ
ou (
sen θ
cos θ
)2
+ 1 =
(
1
cos θ
)2
Como
sen θ
cos θ
= tg θ e
1
cos θ
= sec θ, temos
sec2 θ − tg 2θ = 1
Portanto, podemos tomar
x
a
= sec θ
y
b
= tg θ
e concluímos que para 0 ≤ θ ≤ 2pi, exceto para pi
2
e
3pi
2
, temos que x = a sec θy = btg θ (10.1)
são as equações paramétricas dessa hipérbole.
Observação 15. Quando θ ∈
(
−pi
2
,
pi
2
)
, dizemos que é o ramo
direito da hipérbole (x ≥ a) e quando θ ∈
(
pi
2
,
3pi
2
)
, chamamos
de ramo esquerdo (x ≤ −a).
Observação 16. No caso em que a hipérbole tem equação reduzida
y2
a2
−x
2
b2
= 1 (eixo real sobre o eixo−y), suas equações paramétricas
são  x = btg θy = a sec θ (10.2)
167
Cônicas - Parte III
Observação 17. Nos casos em que o centro da hipérbole for C =
(h, k), aplicando a translação de eixos, temos x = h+ a sec θy = k + btg θ ou
 x = h+ btg θy = k + a sec θ
Exemplo 10.5.1. A partir da equação 4x2−9y2−36 = 0, podemos
encontrar as equações paramétricas da hipérbole.
De 4x2 − 9y2 − 36 = 0, obtemos facilmente que
x2
9
− y
2
4
= 1
e assim, a = 3 e b = 2. Portanto, x = 3 sec θy = 2tg θ
são as equações paramétricas dessa hipérbole.
Na figura a seguir, apenas são indicados pontos da tabela para
alguns ângulos no intervalo
(
−pi
2
,
pi
2
)
.
θ Pontos
0 (3, 0)
pi
4
(3
√
2, 2)
−pi
4
(3
√
2,−2)
pi
3
(6, 2
√
3)
−pi
3
(6,−2√3)
10.6 Resumo
Nesta aula, estudamos a terceira das cônicas apresentadas na Aula
8, a hipérbole. Além de conhecermos a sua definição e suas pro-
168
Vetores e Geometria Analítica: Livro 1
10
AULA
priedades, conhecemos também algumas maneiras de a represen-
tarmos, como a equação reduzida e a equação paramétrica da hi-
pérbole.
10.7 Atividades
1. Em cada um dos itens a seguir, esboce o gráfico e deter-
mine os vértices, os focos, a excentricidade e as equações das
assíntotas das hipérboles dadas.
(a)
x2
4
− y
2
9
= 1;
(b)
y2
4
− x
2
9
= 1;
(c) x2 − 2y2 − 8 = 0;
(d) y2 − x2 = 2.
2. Para todo ponto P = (m,n) na hipérbole H : x
2
a2
− y
2
b2
= 1,
mostre que a reta r :
m
a2
x − n
b2
y = 1 tem apenas o ponto P
em comum com H. A reta r chama-se a tangente a H no
ponto P .
3. Nos ítens a seguir, obtenha uma equação geral da hipérbole
dada por equações paramétricas. Esboce o gráfico.
(a)
 x = 4 sec θy = 2tg θ ;
(b)
 x = 2 sec θy = 4 +√3tg θ .
4. Determine os focos da hipérbole de equações x = 4 +
√
5tg θ
e y = −5 + 2 sec θ.
169
Cônicas - Parte III
10.8 Comentário sobre as Atividades
Se você conseguiu resolver as atividades 1 e 2, então entendeu a
definição de hipérbole e seus componentes (focos, excentricidade e
outros). Além disso, você pôde observar como é possível escrever
a hipérbole na forma de uma equação reduzida. Já em 3 e 4, você
deve ter usado o conceito de equação paramétrica da hipérbole.
Não se esqueça dos exercícios que se encontram inseridos no texto.
São tão importantes quanto os que estão nesta lista.
10.9 Referências
STEINBRUCH, Alfredo , Geometria Analítica. São Paulo, Ma-
kron Books, 1987.
LIMA, Elon Lages , Geometria Analítica e Álgebra Linear. Rio de
Janeiro, IMPA, 2005.
BOLDRINI, José Luiz, 'Algebra Linear . São Paulo, Harbra, 1980.
170
11
AULA
2
LIVRO
Mudança de Coorde-
nadas no Plano
META
Introduzir o conceito de mudan-
ças de coordenadas no plano e
exemplificá-la.
OBJETIVOS
Efetuar e reconhecer mudanças
de coordenadas no plano, como
rotação e translação dos eixos,
além de aplicar este conteúdo
para reconhecer melhor as côni-
cas com base em uma equação dada.
PRÉ-REQUISITO Ter compre-
endido o conceito de produto in-
terno (produto escalar) entre vetores
(Aula 3).
Mudança de Coordenadas no Plano
11.1 Introdução
Nesta aula, conheceremos uma ferramenta importante na manipu-
lação de objetos geométricos no plano. Existem situações em que é
conveniente e, em algumas delas, necessário passar de um sistema
de eixos ortogonais (por exemplo, os eixos−x e eixo−y) para outro
sistema (eixo−x′ e eixo−y′) no plano. Nesses casos, é imprescin-
dível exprimir as coordenadas novas em função das coordenadas
antigas (x, y).
11.2 Mudanças de Coordenadas - Rotação e
Translação da Origem
Para facilitar nossas �contas�, vamos exprimir as coordenadas de
um ponto em termos do produto interno (ou produto escalar),
aquele mesmo que você aprendeu na Aula 3.
DDiante disto, tome
~i = (1, 0) e ~j = (0, 1), que representam os
eixos x e y respectivamente, com O = (0, 0) a origem do sistema
de eixos coordenados. Seja o ponto P = (x, y), então
−−→
OP = x~i+ y~j
e perceba que
〈~i,~i〉 = 〈~j,~j〉 = 1 e
〈~j,~i〉 = 〈~i,~j〉 = 0
e ainda
〈−−→OP,~i〉
= 〈x~i+ y~j,~i〉 = x〈~i,~i〉+ y〈~j,~i〉 = x
ou seja, x = 〈−−→OP,~i〉 e, analogamente, y = 〈−−→OP,~j〉 .
172
Vetores e Geometria Analítica: Livro 1
11
AULA
Figura 11.79:
~OP = x~i+ y~j.
Exercício 11.2.1. Faça as �contas� para mostrar que y = 〈−−→OP,~j〉.
Portanto, as coordenadas de um ponto P no plano−xy são os
produtos internos de
−−→
OP por ~i e ~j.
Sejam (x′, y′) outro sistema de eixos coordenados no plano.
Denotamos por
~f1 e ~f2 os vetores unitários dos eixos x
′
e y′. Sejam
(a, b) as coordenadas do ponto O′ no sistema antigo (eixos x e y)
e θ o ângulo de que é preciso girar o eixo−x (no sentido positivo,
ou seja, do eixo−x para o eixo−y) para coincidir com o eixo−x′.
Veja na figura (211.2). Então, θ é o ângulo de ~i para ~f1. Assim,
Figura 11.80: θ é o ângulo en-
tre
~i e ~f1.
Figura 11.81: Novo sistema
de coordenadas nos eixos x′ e
y′.
173
Mudança de Coordenadas no Plano
~f1 = cos θ~i+ sen θ~j.
Note ainda que
−−→
OO′ = a~i + b~j, isto é, para o novo sistema de
coordenadas,
−−→
O′P =
−−→
OP −−−→OO′ = (x− a)~i+ (y − b)~j
Então,
x′ = 〈−−→O′P , ~f1〉 = 〈(x− a)~i+ (y − b)~j, cos θ~i+ sen θ~j〉
= (x− a) cos θ + (y − b)sen θ
Assim, x′ = (x− a) cos θ + (y − b)sen θ . Lembre-se de que esta-
Figura 11.82: P = (x′, y′) nas novas coordenadas.
mos considerando θ o ângulo entre os vetores ~i e ~f1 e 180o + θ o
ângulo entre
~j e ~f2.
ATENÇÃO -
Vamos denotar o sistema de eixos coordenados xy por OXY e o
sistema de eixos coordenados x′y′ por O′X ′Y ′.
Agora, veja que para a coordenada y′ temos duas possibilida-
des.
174
Vetores e Geometria Analítica: Livro 1
11
AULA
1. O sistema com eixos O′X ′Y ′ se obtém do sistema de eixos
OXY pela translação que leva O em O′ (e desloca os eixos x
e y paralelamente), seguida de uma rotação de ângulo θ. Diz-
se, então, que os sistemas O′X ′Y ′ e OXY são igualmente
orientados ou têm a mesma orientação.
2. Obtém-se O′X ′Y ′ a partir de OXY por meio da translação
que leva O em O′, seguida da rotação de ângulo θ e, depois,
de uma reflexão em torno do eixo x′. Então os sistemas OXY
e O′X ′Y ′ têm orientações opostas.
Figura 11.83:
~f2 ⊥ ~f1 e o ângulo de~j para ~f2 pode ser θ ou 180o+θ.
Observação 18. Se O′X ′Y ′ têm a mesma orientação que OXY ,
então o vetor
~f2 é obtido de ~f1 por uma rotação de 90o no sentido
positivo (anti-horário). Como as coordenadas de
~f1 no sistema
OXY são (cos θ, sen θ), as de ~f2 são (−sen θ, cos θ).
• Portanto,
~f2 = −sen θ~i+ cos θvj.
• E no caso de o sistema O′X ′Y ′ ter orientação oposta à de
OXY , então
~f2 = sen θ~i− cos θ~j.
175
Mudança de Coordenadas no Plano
Com as informações da observação anterior, constatamos que:
• no caso em que ambos os sitemas têm a mesma orientação,
y′ = 〈−−→O′P , ~f2〉 = 〈(x− a)~i+ (y − b)~j,−sen θ~i+ cos θ~j〉
= −(x− a)sen θ + (y − b) cos θ
• mas se ambos os sistemas têm orientações opostas,
y′ = (x− a)sen θ − (y − b) cos θ
Portanto, as fórmulas de mudança de coordenadas são:
x′ = (x− a) cos θ + (y − b)sen θ
y′ = −(x− a)sen θ + (y − b) cos θ
(11.1)
ou
x′ = (x− a) cos θ + (y − b)sen θ
y′ = (x− a)sen θ − (y − b) cos θ
(11.2)
se o novo sistema O′X ′Y ′ tiver a mesma orientação do sistema
OXY ou não.
Exemplo 11.2.1. Seja P um ponto no plano com coordenadas
(1, 1) no sistema OXY . Vamos verificar o que ocorre com as co-
ordenadas de P se fizermos uma mudança nos eixos coordenados
girando θ = 450. Deste modo, as novas coordenadas devem ser
dadas por (11.1):
x′ = (x− 0) cos 45o + (y − 0)sen 45o
y′ = −(x− 0)sen 45o + (y − 0) cos 45o
(11.3)
Note que nas equações (11.3)consideramos θ = 45o e que a nova
origem O′ = (0, 0) coincide com a anterior, pois apenas fizemos
uma rotação dos eixos. Então,
x′ = (x− 0) cos 45o + (y − 0)sen 45o
y′ = −(x− 0)sen 45o + (y − 0) cos 45o
⇒
x′ =
√
2
2
x+
√
2
2
y
y′ = −
√
2
2
x+
√
2
2
y
176
Vetores e Geometria Analítica: Livro 1
11
AULA
portanto, se para P = (1, 1) no sistema OXY , no novo sistema
temos
x′ =
√
2
2
1 +
√
2
2
1
y′ = −
√
2
2
1 +
√
2
2
1
⇒ x
′ =
√
2
y′ = 0
Logo, as coordenadas do ponto P no sistema de coordenadas ro-
tacionado de 45o, O′X ′Y ′, são dadas por (
√
2, 0). E no caso do
ponto Q = (
√
2,−2√2) no sistema de coordenadas OXY , no novo
sistema fica (−1,−3). Veja a figura (11.2).
Figura 11.84: Os pontos P e Q estão representados em ambos os
sistemas coordenados.
11.3 Obtendo as coordenadas antigas em fun-
ção das novas
Note que as equações para obtermos (x′, y′), dependendo de x,
y e do ângulo θ, podem ser invertidas, e assim, você consegue
obter fórmulas que para (x, y) dependem de x′, y′ e do ângulo θ.
177
Mudança de Coordenadas no Plano
Multiplicando a primeira equação em (11.1) por sen θ, a segunda
equação em (11.1) por cos θ, e sem esquecer que
sen 2θ + cos2 θ = 1,
temos que
x′sen θ = (x− a)sen θ cos θ + (y − b)sen 2θ
x′ cos θ = −(x− a)sen θ cos θ + (y − b) cos2 θ
e somando as equações, obtemos
x′sen θ + y′ cos θ = y − b
e assim, y = x′sen θ + y′ cos θ + b . Multiplicando a primeira equa-
ção em (11.1) por cos θ e a segunda equação em (11.1) por (−sen θ),
analogamente ao que fizemos para a expressão anterior, podemos
obter x = x′ cos θ − y′sen θ + a . Procedendo da mesma forma,
podemos inverter o sistema (11.2) e obter as equações:
x = x′ cos θ − y′sen θ + a
y = x′sen θ + y′ cos θ + b
(11.1)
x = x′ cos θ + y′sen θ + a
y = x′sen θ − y′ cos θ + b
(11.2)
Com as equações dadas em (11.1 e 11.2) podemos obter de volta
as coordenadas (x, y) do ponto P , no sistema OXY , em função das
coordenadas (x′, y′) do sistema O′X ′Y ′. Como antes salientamos,
usamos o primeiro par de equações em (11.1) quando os sistemas
têm a mesma orientação, enquanto o segundo par de equações em
(11.2) é utilizado quando os sistemas têm orientações opostas.
Vejamos alguns exemplos.
178
Vetores e Geometria Analítica: Livro 1
11
AULA
Exemplo 11.3.1. Considere a curva de equação x2+4y2 = 4, que
você pode transformar em
x2
4
+
y2
1
= 1, bastando apenas dividir
a equação x2 + 4y2 = 4 por 4, o que nos permite verificar que
a expressão representa uma elipse. Procedendo como no exemplo
(11.2.1), vejamos o que ocorre com essa equação ao se efetuar a
mudança da rotação dos eixos de 45o. As novas coordenadas x′ e y′
de um ponto do plano são obtidas a partir das antigas coordenadas
x e y pelas expressões
x = x′ cos 45o − y′sen 45o + 0
y = x′sen 45o + y′ cos 45o + 0
⇒
x′ =
√
2
2
x′ −
√
2
2
y′
y′ =
√
2
2
x′ +
√
2
2
y′
Substituindo na equação da elipse, percebemos que(√
2
2
x′ −
√
2
2
y′
)2
+
(√
2
2
x′ +
√
2
2
y′
)2
= 4
⇓
x′2
2
+
y′2
2
− x′y′ + 2x′2 + 4x′y′ + 2y′2 = 4
⇓
5x′2
2
+
5y′2
2
+ 3x′y′ = 4
Observe que a equação se torna mais complexa do que antes, difi-
cultando o seu reconhecimento. E assim, não é mais evidente que
a equação anterior representa uma elipse.
Apesar do exemplo (11.2.1), você deve ter percebido que a mu-
dança de coordenadas tornou tornado a equação da elipse mais
complicada, em geral, uma das utilizações dessas mudanças se faz
no sentido de facilitar o reconhecimento de equações, neste caso,
da elipse.
179
Mudança de Coordenadas no Plano
Figura 11.85: x2 + 4y2 = 4 em um sistema de coordenadas e
5x′2
2
+
5y′2
2
+ 3x′y′ = 4 no outro.
Exemplo 11.3.2. Seja E o conjunto dos pontos P = (x, y) tal
que x2 − xy + y2 = 1. Fazendo uma rotação positiva de 45o sobre
o sistema de eixos OXY , constituímos novas coordenadas x′ e y′,
tal que
x =
√
2
2
(x′ − y′) e y =
√
2
2
(x′ + y′)
E substituindo
na equação anterior, temos
x2 − xy + y2 =
(√
2
2
(x′ − y′)
)2
−
(√
2
2
(x′ − y′)
)
·
·
(√
2
2
(x′ + y′)
)
+
(√
2
2
(x′ + y′)
)2
⇓
x2 − xy + y2 = 1
2
x′2 +
3
2
y′2
e assim, o conjunto E, representado pela equação x2−xy+y2 = 1,
poderá ser representado nas novas coordenadas por
1
2
x′2 +
3
2
y′2 = 1
Isso nos mostra que o conjunto E é uma elipse cujo eixo maior está
sobre o eixo−x′, ou seja, a reta x = y.
180
Vetores e Geometria Analítica: Livro 1
11
AULA
Figura 11.86: x2 − xy + y2 = 1 em um sistema coordenadas e
x′2
2
+
3y′2
2
= 1 no outro.
11.4 Resumo
Nesta aula, você conheceu as mudanças de coordenadas no plano
e verificou que efetuando rotações ou translações (ou ambas) dos
eixos coordenados podemos melhor reconhecer uma cônica ou, sim-
plesmente, facilitar a representação de uma equação.
11.5 Atividades
1. Uma mudança de eixos no plano manteve a origem fixa, en-
quanto as coordenadas dos pontos (1, 0) e (0, 1) passaram a
ser (a, b) e (c, d), respectivamente.
(a) Quais são as novas coordenadas do ponto (2, 3)?
(b) Caso (a, b) = (1, 1) e (c, d) = (−1, 1), quais seriam as
novas coordenadas do ponto (0, 2)?
2. Determine a translação de eixos que elimina os termos x e y
na equação 9x2 + 4y2 + 18x+ 24y− 26 = 0 e permite, assim,
reconhecer a curva que ela representa.
181
Mudança de Coordenadas no Plano
3. Efetue uma rotação de −60o no eixos OX e OY e identifique
a curva 31x2 + 21y2 + 10
√
3xy = 144.
4. Se A = (a, b) e C = (c, d), sabemos que a expressão ac + bd
permanece invariante (ou seja, inalterada) por mudança de
coordenadas, pois é o produto interno 〈~u,~v〉 = |~u|·|~v| cos(AÔC),
em que ~u =
−→
OA e ~v =
−−→
OC. Mostre diretamente que se
A = (a′, b′) e C = (c′, d′) num novo sistema de coordenadas,
então a′c′ + b′d′ = ac+ bd.
5. Num sistema de coordenadas em que se tem F1 =
(
−3
√
3
2
,−3
2
)
e F2 =
(
3
√
3
2
,
3
2
)
, determine a equação da elipse que tem
esses pontos como focos e cujo eixo menor tem comprimento
6.
6. Qual é a equação da parábola cujo foco é o ponto F = (1, 2)
e cuja diretriz é a reta x+ 2y = −5?
11.6 Comentário das atividades
Comentários : Conseguiu resolver as atividades 1,3 e 5? Então
você entendeu como funciona a mudança de coordenadas no plano
rotacionando os eixos coordenados. Se conseguiu fazer a atividade
2, percebeu como funcionam as mudanças de coordenadas usando
translações. Na questão 4, você deve ter combinado ambas as
mudanças, rotação e translação para resolvê-la. Ainda nesta ativi-
dade, você pôde perceber mais uma das propriedades dos vetores
mediante uma mudança de coordenadas.
Se ainda tiver dificuldades, volte e reveja com cuidado os con-
182
Vetores e Geometria Analítica: Livro 1
11
AULA
ceitos apresentados na aula. Não esqueça que há tutores para
ajudar a eliminar as suas dúvidas. Desde já, lembre-se de discutir
os conteúdos com seus colegas.
11.7 Referências
STEINBRUCH, Alfredo , Geometria Analítica. São Paulo, Ma-
kron Books, 1987.
LIMA, Elon Lages , Geometria Analítica e Álgebra Linear. Rio de
Janeiro, IMPA, 2005.
BOLDRINI, José Luiz, Álgebra Linear . São Paulo, Harbra, 1980.
183
12
AULA
2
LIVRO
Formas Quadráticas
META
Introduzir o conceito de formas qua-
dráticas no plano e exemplificá-las.
OBJETIVOS
Ao final desta aula, o aluno deverá
reconhecer formas quadráticas
planares, ou seja, com 2 variáveis;
efetuar mudanças de coordenadas;
e utilizar a equação característica
associada a uma forma quadrática
para obter os autovalores e auto-
vetores com o intuito de melhor
visualizar cônicas cuja classificação
não seja imediata.
PRÉ-REQUISITOS
Ter compreendido as mudanças de
coordenadas e as definições das
cônicas (parábola, elipse e hipér-
bole)(Aulas 8, 10 e 11).
Formas Quadráticas
12.1 Introdução
Nesta aula, aplicaremos nossos conhecimentos de mudança de co-
ordenadas e conheceremos outras ferramentas para ajudar na per-
cepção de cônicas cuja classificação não seja imediata.
Dadas as funções φ : R2 → R definidas por
φ(x, y) = Ax2 + 2Bxy + Cy2 +Dx+ Ey + F (12.1)
Iremos analisar o seu conjunto de nível.
Definição 12.35.
• Dizemos que o ponto P = (x, y) está no nível c (ou tem
nível c) em relação a φ quando φ(x, y) = c, com c ∈ R.
• O conjunto de pontos P = (x, y) que obedecem a φ(x, y) = c
é chamado de conjunto de nível.
Exemplo 12.1.1. Seja f : R2 → R, dada por f(x, y) = x − 2y,
então o conjunto de nível dado por f(x, y) = c são todas as retas
da forma x− 2y = c.
Figura 12.87: x− 2y = c.
186
Vetores e Geometria Analítica: Livro 1
12
AULA
Exemplo 12.1.2. Já para a função φ(x, y) = x2 + y2, note que os
conjuntos de nível de φ(x, y) = c com c > 0 são circunferências de
raio
√
c.
Figura 12.88: x2 + y2 = c.
Retornando à função (12.1), vamos analisar o caso particular
em que D = E = F = 0, ou seja,
φ(x, y) = Ax2 + 2Bxy + Cy2. (12.2)
E assim, (12.2) é um polinômio de segundo grau homogêneo (todas
as parcelas têm grau 2).
Definição 12.36 (Forma Quadrática).
Os polinômios a duas variáveis na forma
φ(x, y) = Ax2 + 2Bxy + Cy2, (x, y) ∈ R2 (12.3)
e A,B,C ∈ R são chamados de Formas Quadráticas.
Polinômios como em (12.3) são encontrados em problemas de
Geometria Diferencial, Mecânica, Análise Matemática etc.
187
Formas Quadráticas
12.2 Mudando as coordenadas
Dada a forma quadrática φ, iremos introduzir novas coordenadas
(s, t) obtidas por uma rotação dos eixos x e y de um ângulo θ e
teremos
x = as− bt, y = bs+ at
Observação 19. Você deve recordar-se de que a2 + b2 = 1, com
a = cos θ e b = sen θ.
Assim,
φ(x, y) = φ (as− bt, bs+ at) = A′s2 + 2B′st+ C ′t2
em que
A′ = Aa2 + 2Bab+ Cb2 (12.1)
B′ = −Aab+B(a2 − b2) + Cab (12.2)
C ′ = Ab2 − 2Bab+ Ca2 (12.3)
12.3 A equação característica, autovalores e
autovetores
Para facilitar o nosso trabalho, vamos escolher um ângulo θ con-
veniente, de tal sorte que B′ = 0. Primeiramente, vamos verificar
se isso é possível.
Tomando
B′ = a(Ba+ Cb)− b(Aa+Bb)
(obtida apenas reescrevendo a equação (12.2), percebemos que
B′ = 0 se, e somente se, o vetor ~w = (Aa+Bb,Ba+ Cb) for
188
Vetores e Geometria Analítica: Livro 1
12
AULA
múltiplo de ~u = (a, b), isto é, se existir um λ ∈ R, tal que
Aa+Bb = λa e Ba+ Cb = λb,
ou ainda (A − λ)a + Bb = 0 e Ba + (C − λ)b = 0. Em outras
palavras, constatamos que o vetor unitário (neste caso, ~u = (a, b)
é o mesmo que ~u = (cos θ, sen θ), assim |~u| = 1) ~u = (a, b) é uma
solução (não-trivial, ou seja, não sendo ambos (a e b) nulos) dos
sistemas:  (A− λ)x+By = 0Bx+ (C − λ)y = 0, (12.1)
para algum λ convenientemente escolhido.
Observe que no sistema (12.1), colocando
x = −(C − λ)
B
y ⇒ (A− λ)
(
−(C − λ)
B
y
)
+By = 0
⇒ y (B2 − (A− λ)(C − λ)) = 0
Como estamos considerando soluções para o sistema que não sejam
triviais, temos, então, que
B2 − (A− λ)(C − λ) = 0,
o que resulta em:
λ2 − (A+ C)λ+AC −B2 = 0 (12.2)
e é conhecida como a equação característica da forma quadrá-
tica φ, ou da matriz
A B
B C

, chamada matriz de φ.
Note ainda que o discriminante da equação característica (12.2)
é dado por
∆ = (A+ C)2 − 4 · (1) · (AC −B2) = (A− C)2 + 4B2 ≥ 0
Portanto, a equação característica sempre tem raízes reais.
189
Formas Quadráticas
Exemplo 12.3.1. Dada a forma quadrática ϕ(x, y) = 5x2+6xy+
5y2, sabendo que a equação característica é da forma
λ2 − (A+B) λ+ (AC −B2) = 0,
verificamos que para A = 5, B = 3 e C = 5 há a seguinte equação:
λ− (5 + 5)λ+ (5 · 5− 32) = 0⇒ λ− 10λ+ 16 = 0
, cujas raízes são λ1 = 2 e λ2 = 8.
Definição 12.37. As raízes λ1,
λ2 da equação característica são
chamadas de autovalores da forma quadrática φ ou de sua matrizA B
B C

.
Observação 20.
• λ1 e λ2 são os únicos valores para λ, tal que o sistema (12.1)
admite soluções não-triviais.
• Se (x, y) é uma solução do sistema (12.1), então para todo k ∈
R, (kx, ky) é também solução do mesmo sistema homogêneo.
Exercício 12.3.1. Mostre que se (x, y) é uma solução do sistema
(12.1), então para todo k ∈ R, (kx, ky) é também solução.
Voltando ao sistema de eixos, vejamos como proceder para en-
contrar a rotação (ou seja, o vetor unitário ~u = (a, b) que torna
B′ = 0).
Primeiro - Resolver a equação característica. Seja λ1 uma de
suas raízes.
Segundo - Tomamos uma solução não-trivial da equação Ax +
By = λ1x (por exemplo, x = 1 e y = (λ−A)/B).
190
Vetores e Geometria Analítica: Livro 1
12
AULA
Terceiro - Encontrada a solução (x, y), colocamos a =
x√
x2 + y2
e b =
y√
x2 + y2
.
Veja que ~u = (a, b) é o vetor unitário cujas coordenadas obedecem
a Aa+Bb = λ1b e Ba+ Cb = λ1b.
Definição 12.38. O vetor ~u = (a, b), que é uma solução não-
trivial do sistema (12.1) com λ = λ1, chamamos de um autovetor
de φ (ou da matriz
A B
B C

), associado ao autovalor λ1.
Observação 21. Note que o vetor ~u′ = (−b, a) , obtido rotacionando
o vetor unitário ~u = (a, b) em mais 90o, é também um autovetor
de φ, porém associado a λ2. (Veja a atividade (2).)
12.4 Mais algumas propriedades
Encontrados os autovalores λ1 e λ2, não é preciso calcular A
′
e C ′.
Na verdade, A′ = λ1 e C ′ = λ2, automaticamente.
Para confirmar isso, tome A′ = Aa2 + 2Bab + Cb2 e C ′ =
Ab2 − 2Bab+ Ca2, que serão desenvoldidas da seguinte forma:
A′ = Aa2 + 2Bab+ Cb2
= Aa2 +Bab+Bab+ Cb2
= (Aa+Bb)a+ (Ba+ Cb)b
= λ1a2 + λ1b2
= λ1
191
Formas Quadráticas
C ′ = Ab2 − 2Bab+ Ca2
= Ab2 −Bab−Bab+ Ca2
= (A(−b) +Ba)(−b) + (B(−b) + Ca)a
= λ2(−b)2 + λ2a2
= λ2
Portanto, A′ = λ1 e C ′ = λ2.
Desta forma, podemos efetuar uma conveniente mudança de
coordenadas, introduzida após a rotação dos eixos coordenados
pelo vetor ~u = (a, b), possibilitando a φ assumir
φ(s, t) = φ(as− bt, bs+ at) = λ1s2 + λ2t2
Isso facilita a identificação dos conjuntos de nível definidos por
equações do tipo φ(x, y) = c, com c constante.
12.4.1 Observando o produto das raízes da equação
do segundo grau.
Você já deve ter percebido que o produto das raízes da equação de
segundo grau (12.2) é dado por λ1 · λ2 = AC −B2. A partir desse
produto, podemos levantar três possibilidades:
(I) (AC −B2 > 0) Então λ1 e λ2 têm mesmo sinal, e temos que
se c 6= 0, o conjunto de nível é dado pela equação φ(x, y) = c,
ou seja,
λ1s
2 + λ2t2 = c.
1. Caso c tenha o mesmo sinal que λ1 e λ2,
λ1s
2 + λ2t2 = c⇒ s
2
m2
+
t2
n2
= 1 com
m =
√
c
λ1
e n =
√
c
λ2
.
192
Vetores e Geometria Analítica: Livro 1
12
AULA
2. Caso c tenha sinal oposto a λ1 e λ2, então o conjunto
de nível λ1s
2 + λ2t2 = c é vazio.
3. E se c = 0, então o conjunto de nível é apenas o ele-
mento (0, 0), pois é o único ponto que satisfaz λ1s2 +
λ2t
2 = 0.
(II) (AC − B2 < 0) Neste caso, λ1 e λ2 têm sinais opostos, e
temos que se c 6= 0, o conjunto de nível é dado pela equação
φ(x, y) = c, ou seja,
λ1s
2 + λ2t2 = c.
1. Caso c tenha o mesmo sinal que λ1 e contrário ao de λ2,
λ1s
2 + λ2t2 = c⇒ s
2
m2
− t
2
n2
= 1
com m =
√
c
λ1
e n =
√
− c
λ2
.
2. Se c tem sinal oposto a λ1 (e claramente, c e λ2 têm
mesmo sinal), então o conjunto de nível φ(x, y) = c é
dado por
λ1s
2 + λ2t2 = c⇒ t
2
m2
− s
2
n2
= 1
com m =
√
− c
λ1
e n =
√
c
λ2
.
. Em ambos os itens, com c 6= 0, o conjunto de nível
são hipérboles.
3. E se c = 0, então de λ2,
λ1s
2 + λ2t2 = 0⇒ t2 = −λ1
λ2
s2
Logo o conjunto de nível é definido por um par de retas
t = ±ks, com k = λ1/λ2.
193
Formas Quadráticas
(III) (AC−B2 = 0) Então λ1 ·λ2 = 0, ou seja, têm mesmo sinal,
além disso, consideramos que um dos autovalores, isto é, λ2
é igual a zero. Não pode ocorrer que λ1 também seja igual a
zero, pois caso isso aconteça, teríamos que
A+ C = λ1 + λ2 = 0,
. Mas como AC − B2 ≥ 0 ⇒ AC = B2 ≥ 0, e assim, A e
C têm sinais opostos, o que resultaria em A = C = 0 e B =
√
AC. Diante disso, a forma ϕ desapareceria. Logo, como
λ1 e λ2 não são ambos nulos, o conjunto de nível (também
chamado de linha de nível) é representado nas coordenadas
s, t pela equação λ1s
2 = c, ou ainda, s2 = c/λ1 que será:
1. vazia se c e λ1 tiverem sinais opostos;
2. formada pelas retas paralelas s = ±√c/λ1 se c e λ1 têm
mesmo sinal e será a reta s = 0 se c = 0.
Exemplo 12.4.1. Retomando o exemplo (12.3.1) e fazendo uma
rotação dos eixos, introduz coordenadas (s, t), tal que
ϕ(x, y) = 5x2 + 6xy + 5y2 = 2s2 + 8t2 = ϕ(s, t)
Perceba que a equação 2s2 +8t2 = c não tem solução se c < 0, tem
a única solução s = t = 0 se c = 0 e, para c > 0, é equivalente a
s2
α2
+
t2
β2
= 1,
com α =
√
c/2 e β =
√
c/8. Notamos ainda que
s2
α2
+
t2
β2
= 1
representa uma elipse. Portanto, as linhas de nível definidas por
5x2 + 6xy + 5y2 = c, para cada número real c fixado,
• são vazias se c < 0;
194
Vetores e Geometria Analítica: Livro 1
12
AULA
Figura 12.89: 5x2 + 6xy + 5y2 = c.
• serão apenas um ponto O = (0, 0) se c = 0;
• e serão elipses se c > 0.
O eixo maior dessa elipse é o eixo s, ou seja, é a reta que passa pela
origem e contém todos os pontos P = (x, y), soluções não-triviais
da equação Ax+By = λ1x que, neste caso, seria
5x+ 3y = 2x⇒ x+ y = 0
Veja que ~u =
(
−
√
2
2
,
√
2
2
)
é um vetor unitário da reta x+ y = 0
e determina a orientação do eixo O′X ′, que é o eixo s. O ângulo
de rotação do eixo OX para o eixo O′X ′ é dado por
cos θ =
|〈~u,~i〉|
|~u| |~i| =
∣∣∣∣∣〈
(
−
√
2
2
,
√
2
2
)
, (1, 0)〉
∣∣∣∣∣
1 · 1 =
√
2
2
,
o que resulta em θ = 135o, pois em ~u a coordenada x é negativa
(−√2/2), enquanto a coordenada y é positiva (√2/2). Como o
ângulo de OX para O′X ′ é de 135o, esta é a rotação que se deve fa-
zer para passar das coordenadas x, y para s, t. Sendo
√
α2 − β2 =√
3c
8
, os focos da elipse têm coordenadas s = ±
√
3c
8
no sistema
O′X ′Y ′.
195
Formas Quadráticas
Observação 22. Se tivéssemos tomado ~u′ = −~u = (√2/2,−√2/2)
para orientar o eixo O′X ′, a rotação de OX para O′X ′ seria de
−45o.
Exemplo 12.4.2. Seja ϕ(x, y) = x2 + 4xy−2y2. Iremos proceder
de forma análoga aos exemplos (12.3.1) e (12.4.1). Assim, a equa-
ção característica desta forma quadrática é λ2 − λ − 6 = 0, cujas
raízes são λ1 = 3 e λ2 = −2. Uma rotação dos eixos introduz no
plano coordenadas s, t tal que
x2 + 4xy − 2y2 = 3s2 − 2t2.
Observando as linhas de nível ϕ(x, y) = c, constatamos que elas
podem ser reescritas como
3s2 − 2t2 = c⇒ s
2
c/3
− t
2
c/2
= 1.
Logo,
s2
c/3
− t
2
c/2
= 1 representa a hipérbole, tomando α =
√
c/3
e beta =
√
c/2 se c > 0 ou a hipérbole
t2
c/3
− s
2
c/2
= 1,
tomando, desta vez, α =
√−c/3 e β = √−c/2 se c < 0. Então,
para todo c 6= 0, a equação x2 + 4xy − 2y2 = c representa uma
hipérbole. Mas no caso em que 3s2 − 2t2 = 0, temos
(
√
3s+
√
2t) · (
√
3s−
√
2t) = 0.
E assim, as soluções dessa equação são os pontos (s, t) que se en-
contram sobre as retas
√
3s +
√
2t = 0 e
√
3s − √2t = 0. O que
nos diz que a equação x2 + 4xy − 2y2 = 0 define um par de retas
que se interseptam na origem. Perceba, ainda, que da equação
196
Vetores e Geometria Analítica: Livro 1
12
AULA
Figura 12.90: x2 + 4xy − 2y2 = c.
x2 + 4xy − 2y2 = 0, temos que (usando a técnica de completar
quadrados)
x2 + 4xy − 2y2 = 0⇒ (x+ 2y)2
− 6y2 = 0
e então, x + (2 − √6)y = 0 e x + (2 +√6)y = 0 são as equações
da reta nas coordenadas x, y. Podemos concluir, desta forma, que
a equação x2 + 4xy − 2y2 = c define uma hipérbole quando c 6= 0,
ou um par de retas que passam pela origem quando c = 0.
12.5 Resumo
Nesta aula, conhecemos a definição de conjunto de nível, além das
equações características, autovetores e autovalores, e algumas de
suas propriedades que formam uma técnica para facilitar a percep-
ção de cônicas cuja classificação não seja imediata.
197
Formas Quadráticas
12.6 Atividade
1. Para cada uma das formas quadráticas a seguir, execute as
seguintes tarefas:
(a) escreva sua matriz e sua equação característica;
(b) obtenha seus autovalores;
(c) descreva seus conjuntos de nível;
(d) determine os novos eixos em cujas coordenadas a forma
quadrática se exprime como A′s2 + C ′t2.
As formas quadráticas são:
(a) ϕ(x, y) = x2 + 6xy + y2;
(b) ϕ(x, y) = x2 + xy + y2;
(c) ϕ(x, y) = xy.
2. Verifique a observação (21), ou seja, dado o vetor ~u′ = (−b, a),
obtido da rotação do vetor ~u = (a, b) em mais 90o, é também
um autovetor de φ definido em (12.3), associado ao autovalor
λ2. Para esta verificação, faça o que se pede a seguir.
(a) Da equação característica (12.2), mostre que λ2 pode
ser reescrito como λ2 = A+ C − λ1.
(b) Sabendo que Ba + Cb = λ1b quando λ = λ1, mostre
que
A(−b) +Ba = λ2(−b) e que B(−b) + Ca = λ2a,
para confirmar que ~u′ = (−b, a) é um autovetor associ-
ado ao autovalor λ2.
198
Vetores e Geometria Analítica: Livro 1
12
AULA
3. No caso em que AC − B2 = 0, conforme o item (III) em
(12.4.1), mostre o que se pede nos quesitos seguintes.
(a) Supondo A ≥ 0, B ≥ 0 e C ≥ 0, tomando m = √A e
n =
√
C, a forma quadrática pode ser reescrita como
ϕ(x, y) = (mx+ ny)2.
(b) Interprete geometricamente as linhas de nível (conjunto
de nível), ϕ(x, y) = c, nos casos em que c ≥ 0 e c < 0.
(c) Como pode ser reescrita a forma ϕ em que:
i. se A ≥ 0, C ≥ 0 e B < 0;
ii. se A < 0, C < 0 e B ≥ 0;
iii. se A < 0, C < 0 e B < 0.
12.7 Comentário das atividades
Se você conseguiu resolver a atividade 1 (em particular, os itens (c)
e (d)), então entendeu a definição de forma quadrática. Se fez as
atividades 1(a), 1(b) e 2, deve ter usado bem o conceito de equa-
ção característica de uma forma quadrática, além de autovalores e
autovetores. E quanto à atividade 3? Caso tenha obtido êxito na
sua resolução, então entendeu a relação entre o produto de raízes
da equação de segundo grau na seção (1.3.1).
Lembre-se de que há tutores a sua desposição para esclareci-
mento das dúvidas. Não exite em procurá-los, pois a ajuda deles é
muito importante no processo de sua aprendizagem. Além disso,
é sempre bom retomar os pontos da aula para uma releitura, já
que isso contribui na resolução das atividades. Sempre que possí-
vel, procure seus colegas de curso para discutir as questões. Essa
199
Formas Quadráticas
prática não só contribui para fomentar o debate dos conteúdos
estudados, mas também promove o entrosamento entre vocês.
12.8 Referências
BOLDRINI, José Luiz, Álgebra Linear . São Paulo: Harbra, 1980.
LIMA, Elon Lages , Geometria Analítica e Álgebra Linear. Rio de
Janeiro: IMPA, 2005.
STEINBRUCH, Alfredo , Geometria Analítica. São Paulo: Ma-
kron Books, 1987.
200
13
AULA
2
LIVRO
A Equação Geral do
Segundo Grau
META
Introduzir o conceito de equação
geral do segundo grau (com 2
variáveis) e suas propriedades.
OBJETIVOS
Ao final desta aula, o aluno deverá
ser capaz de aplicar os conhe-
cimentos de formas quadráticas
e mudanças de coordenadas no
plano para encontrar as soluções
de equações gerais do segundo grau
com duas variáveis e representá-las
no plano.
PRÉ-REQUISITOS
Ter compreendido o conceito de
formas quadráticas (Aula 12).
A Equação Geral do Segundo Grau
13.1 Introdução
Olá, caro aluno! Nesta aula, iremos conhecer um pouco mais a
respeito da equação geral do segundo grau que, de certo modo,
começamos a observar na Aula 12.
A forma geral de uma função quadrática de duas variáveis é
ϕ(x, y) = Ax2 + 2Bxy + Cy2 +Dx+ Ey + F (13.1)
Mostraremos a você que a linha de nível (ou conjunto de nível)
ϕ(x, y) = 0 é uma elipse, hipérbole e parábola, ou ainda, nos casos
excepcionais, a elipse pode reduzir-se a um ponto ou ao conjunto
vazio; a hipérbole pode degenerar-se num par de retas concorrentes
e, em vez de uma parábola, pode haver um conjunto vazio, uma
reta ou um par de retas paralelas.
13.2 Relembrando mudança de coordenadas
Como você deve estar lembrado, na Aula 11, trabalhamos as mu-
danças de coordenadas no plano. E, mais uma vez, iremos usá-las
para fazer uma translação dos eixos. Fazendo x = s+h, y = t+k,
temos que, com as devidas substituições
ϕ(s, t) = ϕ(s+ h, t+ k)
⇓
ϕ(s+h, t+k) = A(s+h)2+2B(s+h)(t+K)+C(t+k)2+D(s+h)+E(t+k)+F
⇓
ϕ(s, t) = As2 + 2Bst+ Ct2 +D′s+ E′t+ F ′ (13.1)
202
Vetores e Geometria Analítica: Livro 1
13
AULA
em que:
D′ = 2Ah+ 2Bk +D
E′ = 2Bh+ 2Ck + E
F ′ = Ah2 + 2Bhk + Ck2 +Dh+ Ek + F
Note que os coeficientes A, B e C são invariantes por translação e
o coeficiente F ′ afeta apenas o nível a que as linhas (ϕ(x, y) = c ou
ϕ(s, t) = c′) estão relacionadas, não afetando suas características.
Visando facilitar o estudo da equação geral do segundo grau,
vamos procurar h e k para que D′ = E′ = 0. Isto é, queremos
solucionar o sistema:  Ah+Bk = −D2Bh+ Ck = −E2
Caso AC−B2 6= 0, o sistema anterior tem solução única (h, k) e a
translação, tomando x = s+ h e y = t+ k, permite que nas novas
coordenadas (s, t) a forma quadrática fique na forma
ϕ(s, t) = As2 + 2Bst+ Ct2 + F ′ (13.2)
Veja que para ϕ(x.y) = 0 temos ϕ(s, t) = −F ′, em que ϕ é a forma
quadrática cujos primeiros três coeficientes são os mesmos de ϕ, e
assim, retornando aos casos estudados na Aula 12.
Exemplo 13.2.1. Que curva plana a equação 5x2 + 6xy + 5y2 +
2x − 4y + 1 = 0 define? Vamos efetuar a translação dos eixos
tomando x = s + h e y = t + k. Deste modo, a equação 5x2 +
6xy + 5y2 + 2x− 4y + 1 = 0 fica:
5(s+h)2 + 6(s+h)(t+ k) + 5(t+ k)2 + 2(s+h)− 4(t+ k) + 1 = 0
⇓
203
A Equação Geral do Segundo Grau
5s2 + 6st+ 5t2 + (10h+ 6k + 2)s+ (6h+ 10k − 4)t+ F ′ = 0,
em que F ′ = 5h2 + 6hk + 5k2 + 2h− 4k + 1. Sendo assim, temos
o sistema  5h+ 3k = −13h+ 5k = 2
cuja solução é h = −11/16 e k = 13/16 e que resulta em F ′ =
−21/16. Neste caso, a equação (13.2) fica
5s2 + 6st+ 5t2 = 21/16.
Como foi possível verificar (veja o exemplo 3 e 4 na Aula 12),
a mesma equação introduz uma rotação de 135o, além de novas
coordenadas p e q, tal que
2p2 + 8q2 = 21/16. (13.3)
E da equação (13.3) percebemos que 5x2+6xy+5y2+2x−4y+1 = 0
define uma elipse.
Figura 13.91: 5x2 + 6xy + 5y2 + 2x− 4y + 1 = 0
204
Vetores e Geometria Analítica: Livro 1
13
AULA
13.3 Vamos analisar quando AC −B2 = 0.
Para o caso em que AC −B2 = 0, o sistema Ah+Bk = −D2Bh+ Ck = −E2 (13.1)
pode ser indeterminado ou impossível, dependendo da segunda
equação ser ou não múltipla da primeira. No caso em que o sistema
(13.1) seja indeterminado, usando uma solução qualquer (h, k), a
translação de eixos x = s+h e y = t+k torna D′ = E′ = 0, de tal
sorte que nas coordenadas (s, t) a função quadrática transforma-se
em
ϕ(s, t) = As2 + 2Bst+ Ct2 + F ′ (13.2)
Como AC −B2 = 0, a equação característica da forma quadrática
As2 + 2Bst+ Ct2 é
λ2 − (A+ C)λ = 0⇒ λ[λ− (A+B)] = 0,
de que obtemos as raízes λ1 = A+C 6= 0 e λ2 = 0. Efetuando uma
rotação conveniente sobre os eixos, introduz coordenadas (p, q), e
assim,
ϕ(x, y) = ϕ(s, t) = ϕ(p, q) = (A+C)p2+0·q2+F ′ = (A+C)p2+F ′′,
ou seja, ϕ(p, q) = (A + C)p2 + F ′′, de modo que a curva de nível
zero de ϕ(e
consequentemente, ϕ) é o conjunto vazio ou um par de
retas paralelas se F ′′ 6= 0, e uma só reta se F ′′ = 0.
Vejamos os exemplos a seguir.
Exemplo 13.3.1. 1. Que curva plana é representada pela equa-
ção
x2 + 4xy + 4y2 + 2x+ 4y + 1 = 0?
205
A Equação Geral do Segundo Grau
Mais uma vez, vamos achar h e k, tal que a translação de
eixos x = s + h e y = t + k elimine os termos 2x e −4y na
equação. Com esta intenção, chegamos ao sistema h+ 2k = −12h+ 4k = −2
que é indeterminado. Neste caso, você pode perceber que se
colocarmos h = 1 e k = −1, temos da primeira equação do
sistema
h+ 2k = −1⇒ 1 + 2(−1) = −1
que é uma de suas soluções e, de brinde, efetuando as devidas
translações, x = s + 1 e y = t − 1, transforma a equação
x2 + 4xy + 4y2 + 2x+ 4y + 1 = 0 em s2 + 4st+ 4t2 = 0, ou
ainda, em (s+ 2t)2 = 0, e assim,
s+ 2t = 0⇒ t = −s
2
,
implicando que a equação define uma única reta.
2. Se a equação fosse x2 + 4xy + 4y2 + 2x + 4y − 1 = 0, nas
coordenadas s, t se tornaria
(s+ 2t)2 = 2⇒ s+ 2t = ±
√
2,
então teríamos duas retas definidas pela equação.
3. Imagine, agora, que a equação fosse x2 + 4xy + 4y2 + 2x +
4y + 2 = 0 e, mais uma vez, colocando nas coordenadas s, t,
obtemos
(s+ 2t)2 + 1 = 0⇒ (s+ 2t)2 = −1
que define o conjunto vazio, pois não é possível encontrar
pares (s, t) tais que sejam a solução de (s− 2t)2 = −1.
206
Vetores e Geometria Analítica: Livro 1
13
AULA
Figura 13.92: x2 +
4xy+4y2+2x+4y+
1 = 0
Figura 13.93: x2 +
4xy+4y2+2x+4y−
1 = 0
Figura 13.94: x2 +
4xy+4y2+2x+4y+
2 = 0
Se o sistema for impossível e AC − B2 = 0, neste caso não
encontramos h, k tal que D′ = E′ = 0. Porém, podemos encontrar
h e k de forma que E′ = 0 e, após efetuada a translação dos eixos
coordenados, obtendo
ϕ(x, y) = ϕ(s, t) = As2 + 2Bst+ Ct2 +D′s+ F ′ com D′ 6= 0,
e a equação característica da forma quadrática As2 + 2Bst+ Ct2
é λ2 − (A + C)λ = 0, cujas raízes são λ1 = A + C 6= 0 e λ2 = 0.
Efetuando uma rotação conveniente, inserindo novas coordenadas
p, q, tal que  s = ap− bqt = bp+ aq , com a2 + b2 = 1.
Substituindo, temos
ϕ(x, y) = ϕ(s, t) = ϕ(p, q) = (A+ C)p2 +D′(ap− bq) + F ′.
E assim, para a equação
ϕ(x, y) = 0⇒ (A+ C)p2 +D′(ap− bq) + F ′ = 0
⇒ (A+ C)p2 +D′ap−D′bq + F ′ = 0
207
A Equação Geral do Segundo Grau
Vamos considerar que a 6= 0 e b 6= 0, pois, caso contrário, tería-
mos apenas rotações de 90o ou de 1800, ou seja, teríamos apenas
uma permuta entre os eixos s e t ou mudaríamos os sentidos da
orientação dos eixos. Como D′b 6= 0, da equação
(A+ C)p2 +D′ap−D′bq + F ′ = 0
⇒ q = (A+ C)
D′b
p2 +
D′a
D′b
p+
F ′
D′b
.
⇒ q = (A+ C)
D′b
p2 +
a
b
p+
F ′
D′b
.
o que, portanto, define uma parábola.
Basta que você rees-
creva a equação q =
(A+ C)
D′b
p2 +
a
b
p+
F ′
D′b
na forma q = αp2+βp+
γ com α =
(A+ C)
D′b
,
β =
a
b
e γ =
F ′
D′b
.
Observemos mais alguns exemplos.
Exemplo 13.3.2. Qual será a curva representada pela equação
4x2 + 12xy + 9y2 + 8x + 6y + 1 = 0? Fazendo as substituições
x = s− 2, y = t+ 1, convertemos essa equação em
4(s− 2)2 + 12(s− 2)(t+ 1) + 9(t+ 1)2 + 8(s− 2) + 6(t+ 1) + 1 = 0
⇓
4s2 + 12st+ 9t2 + 4s− 8 = 0
eliminando, assim, o coeficiente de t, como sugerido anteriormente.
Usando o método apresentado na seção 1.2da Aula 12, vamos
efetuar uma rotação dos eixos s = ap − bq, t = bp + aq, com
a = 2√
13
e b = 3√
13
para eliminar o coeficiente de st, convertendo
a equação ao seguinte formato
13p2 +
8√
13
p− 12√
13
q − 8 = 0
⇓
q =
√
13
12
(
13p2 +
8√
13
p− 8
)
o que define uma parábola.
208
Vetores e Geometria Analítica: Livro 1
13
AULA
Figura 13.95: 4x2 + 12xy + 9y2 + 8x+ 6y + 1 = 0.
Exemplo 13.3.3. Seja ϕ(x, y) = x2+2y2+3x+4y+4. Queremos
eliminar os termos 3x e 4y e, para tanto, vamos encontrar h k na
translação x = s + h e y = t + k. Note que AC − B2 = 2 > 0, e
assim recaímos no caso (I) da seção 1.3.1 da Aula 12, ou seja,
ϕ(x, y) = 0 define uma elipse, um ponto ou um conjunto vazio.
Vamos ao trabalho!
Fazendo
ϕ(s+ h, t+ k) = (s+ h)2 + 2(t+ k)2 + 3(s+ h) + 4(t+ k) + 4
= s2 + 2hs+ h2 + 2t2 + 4ht+ 2k2
+ 3s+ 3h+ 4t+ 4k + 4
= s2 + 2t2 + (2h+ 3)s+ (4k + 4)t
+h2 + 2k2 + 3h+ 4k + 4
E com isso, para termos 2h + 3 = 0 e 4k + 4 = 0, iremos tomar
h = −3
2
e k = −1, o que converte ϕ da seguinte forma:
ϕ(x, y) = ϕ(s− 3
2
, t− 1) = s2 + 2t2 + 9
4
+ 2− 9
2
− 4 + 4
⇓
ϕ(s, t) = s2 + 2t2 − 1
4
209
A Equação Geral do Segundo Grau
Portanto, a equação x2 + 2y2 + 3x+ 4y + 4 = 0 pode ser reescrita
na forma
s2
(1/2)2
+
t2
(1/
√
8)2
= 1
o que define uma elipse com eixos 1/2 e 1/
√
8 paralelos aos eixos
x e y.
Figura 13.96: x2 + 2y2 + 3x+ 4y + 4 = 0.
13.4 Resumo
Nesta aula, você conheceu formas de identificar cônicas a partir da
equação geral do segundo grau, usando ferramentas já conhecidas
como autovalores, autovetores, translações e rotações.
13.5 Atividades
1. Considere a equação 2x2 + 12xy + 18y2 + x+ y + 1 = 0.
(a) Mostre que AC −B2 = 0.
(b) Mostre que os autovalores da forma quadrática 2x2 +
12xy + 18y2 são λ1 = 20 e λ2 = 0.
210
Vetores e Geometria Analítica: Livro 1
13
AULA
(c) Seja ~u = (3/
√
10,−1/√10), mostre que ele é um au-
tovetor unitário associado à forma quadrática do item
anterior.
(d) Efetuando a mudança de coordenadas
x = 3√
10
s+ 1√
10
t
y = − 1√
10
s+ 3√
10
t,
mostre que esta rotação em torno da origem leva o vetor
~i = (1, 0) sobre ~u e que, além disso, nas novas coorde-
nadas, a equação 2x2 + 12xy+ 18y2 +x+ y+ 1 = 0 fica
na forma
(20
√
10)t2 + 2s+ 4t+
√
10 = 0 (13.1)
(e) Conclua informando qual a cônica que a equação (13.1)
define.
2. Para cada uma das equações a seguir, identifique detalhada-
mente a curva que ela define e as mudanças de coordenadas
que permitiram esta conclusão.
(a) x2 + 3y2 − x+ y − 1 = 0;
(b) 4x2 + 12xy + 9y2 + 4x+ 6y + 1 = 0;
(c) x2 + 2xy + y2 + x+ y − 1 = 0;
(d) 3x2 + 6xy + 3y2 + 4x+ 6y + 1 = 0.
13.6 Comentário das atividades
. Se você conseguiu resolver a atividade 1, então começou a enten-
der o funcionamento da mudança de coordendas para identificar
211
A Equação Geral do Segundo Grau
o conjunto de nível que obedece à equação dada. Ao solucionar
a atividade 2, pôde perceber que é possível usar esta técnica em
mais exemplos.
Lembre-se sempre de que há tutores a distância e presenciais
para ajudá-lo em suas dúvidas. Além disso, é importante que você
as compartilhe com seus colegas de curso.
13.7 Referências
BOLDRINI, José Luiz, Álgebra Linear . São Paulo: Harbra, 1980.
LIMA, Elon Lages , Geometria Analítica e Álgebra Linear. Rio de
Janeiro: IMPA, 2005.
STEINBRUCH, Alfredo , Geometria Analítica. São Paulo: Ma-
kron Books, 1987.
212
14
AULA
2
LIVRO
Transformações Line-
ares
META
Explorar e ilustrar algumas trans-
formações de R2 em R2, bem como
as transformações lineares.
OBJETIVOS
Ao final desta aula, o aluno deverá
ser capaz de identificar e utilizar
as transformações do plano sobre o
plano.
PRÉ-REQUISITOS
Ter compreendido as mudanças de
coordenadas, além do conceito de
elipse (aulas 9 e 11).
Transformações Lineares
14.1 Introdução
Olá caro aluno! Nesta aula iremos conhecer o conceito de transfor-
mação linear e alguns exemplos sobre ela para nos familiarizarmos
com este tipo especial de função. Nesses exemplos, além de co-
nhecermos algumas transformações clássicas como a translação,
homotetia, rotação e projeção, aprenderemos que essas transfor-
mações podem ser representadas de forma matricial. Também ob-
servaremos uma aplicação desse conteúdo, em que a imagem
de
uma transformação linear sobre os vetores de uma circunferência
unitária será uma elipse.
Vejamos o seguinte exemplo.
Exemplo 14.1.1. Se de um quilograma de soja são extraídos 0, 2
litros de óleo, de uma produção de x kg de soja seriam extraídos
0, 2x litros de óleo. Escrevendo na linguagem de funções, teremos
O(s) = 0, 2s,
com O = quantidade de óleo de soja em litros e s = quan-
tidade em kg de soja, que podemos representar graficamente
como na figura a seguir.
A função O(s) é uma função linear As funções lineares descre-
Toda função tal que
f : R → R
x f(x) = ax
com a um número real
constante, é conside-
rada uma função li-
near.
vem o tipo mais simples de dependência entre variáveis e muitos
problemas podem ser representados por tais funções.
Neste exemplo simples, vamos analisar duas características im-
portantes:
1. Para calcular a produção de óleo fornecida por (s1 + s2)kg
de soja, podemos tanto multiplicar (s1 + s2) por 0, 2 como
calcular as produções de óleo de cada uma das quantidades
214
Vetores e Geometria Analítica: Livro 1
14
AULA
Figura 14.97: O(s) = 0, 2s, com s ≤ 0.
s1 e s2 e somá-las, isto é,
O(s1+s2) = 0, 2·(s1+s2) = 0, 2·s1+0, 2·s2 = O(s1)+O(s2).
2. Se a quantidade de soja for multiplicada por um fator k, a
produção de óleo será multiplicada por esse mesmo fator, isto
é,
O(λs) = 0, 2 · (λs) = λ(0, 2 · s) = λO(s).
Estas duas propriedades, que, neste caso, são de fácil observação,
servirão para caracterizar o que denominaremos transformação
linear. Uma transformação é sinônimo de função.
Mas, primeiramente, vamos conhecer a definição de transfor-
mação.
14.2 Transformações no plano
Definição 14.39. Uma transformação T : R2 → R2 faz corres-
ponder a cada vetor ~v = (x, y) ∈ R2 um vetor T (~v) = T (x, y) ∈ R2,
chamado a imagem (ou o transformado) de ~v por T .
215
Transformações Lineares
As coordenadas de T (~v) são números que dependem das coor-
denadas x, y de ~v, portanto,
T (~v) = T (x, y) = (f(x, y), g(x, y)) ,
isto é, dar uma transformação T : R2 → R2 é o mesmo que dar as
funções f, g : R2 → R, chamadas funções-coordenadas de T .
Exemplo 14.2.1. A transformação
T : R2 → R2
~v 7→ T (~v) = 0 · ~v = ~0.
Para todo vetor ~v ∈ R2, a transformação leva no vetor nulo ~0.
) é uma função entre dois vetores(espaços vetoriais) que pre-
serva as operações de adição vetorial e multiplicação escalar
Exemplo 14.2.2 (Transformação Identidade). A transfor-
mação
Id : R2 → R2
~v 7→ Id(~v) = ~v
A cada vetor ~v ∈ R2 a transformação leva no próprio vetor Id(~v) =
~v.
Exemplo 14.2.3. Dado o vetor ~w = (a, b), a translação T~w : R2 →
R2, definida por
T~w(x, y) = (x+ a, y + b)
para todo vetor ~v = (x, y) ∈ R2, é uma transformação de R2. Em
particular, se ~w = (1, 2), a transformação será dada por T~w(x, y) =
(x + 1, y + 2). Note que as funções coordenadas são dadas por
f(x, y) = x + a e g(x, y) = y + b. Atente para a figura após o
exemplo a seguir.
216
Vetores e Geometria Analítica: Livro 1
14
AULA
Figura 14.98: T~w(~v) = (x+ 1, y + 2).
Exemplo 14.2.4. As funções-coordenadas de uma transformação
podem ser tomadas arbitrariamente. Por exemplo, se tomarmos
f, g : R2 → R com f(x, y) = xy2 e g(x, y) = cos(xy), então
teremos a transformação T : R2 → R2, definida por T (x, y) =
(xy2, cos(xy)).
Nossa intensão é estudar exemplos de transformações com funções-
coordenadas mas simples que as do exemplo anterior.
Exemplo 14.2.5 (Expansão (ou Contração) Uniforme). As
transformações do tipo:
T : R2 → R2 e λ ∈ R+
~v 7→ T (~v) = λ~v
Por exemplo,
T : R2 → R2.
(x, y) 7→ T (x, y) = 2(x, y)
Esta transformação leva cada vetor do plano num vetor de mesma
direção e sentido de ~v, mas de módulo maior. Caso tivéssemos
217
Transformações Lineares
λ = 1/3 em vez de λ = 2, o módulo do vetor seria menor que o de
~v, porém com mesmos sentido e direção. Na verdade, neste caso,
quando temos as seguintes possibilidades:
1. λ > 1 é uma expansão(isto é, T (~v) tem módulo maior que
~v);
2. λ = 1 é transformação de identidade(ou seja, T = Id);
3. λ < 1 é uma contração(isto é, T (~v) tem módulo menor que
~v).
Exemplo 14.2.6 (Rotação em torno da origem.). Fixando
um ângulo θ, a rotação R = Rθ : R2 → R2 faz corresponder a cada
~v = (x, y) o vetor R(~v) = (x′, y′), de mesmo comprimento que ~v,
tal que o ângulo de ~v para R(~v) é θ (no sentido anti-horário). Note
que na figura (14.99), o vetor ~v tem coordenadas
x = r cosα e y = rsenα,
com r = |~v|, as coordenadas do vetor R(~v) sejam
x′ = r cos(α+ θ) e y′ = r sen (α+ θ).
Usando as relações já conhecidas
cos(α+ θ) = cosα cos θ − senα sen θ e
sen (α+ θ) = senα cos θ + cosα sen θ,
e substituindo-as em R(~v), obtemos x′ = r (cosα cos θ − senα sen θ)y′ = r (senα cos θ + cosα sen θ)
218
Vetores e Geometria Analítica: Livro 1
14
AULA
Figura 14.99: R(~v) = Rθ(~v) é o vetor ~v rotacionado num ângulo
θ.
⇒

x′ = (r cosα)︸ ︷︷ ︸ cos θ− (rsenα)︸ ︷︷ ︸ sen θ
x y
y′ = (r cosα)︸ ︷︷ ︸ sen θ+ (rsenα)︸ ︷︷ ︸ cos θ
x y
E assim, Rθ(~v) = (x cos θ − y sen θ, x sen θ + y cos θ). Podemos
ainda colocar numa forma matricial,
Rθ(~v) =
x cos θ − y sen θ
xsen θ + y cos θ
 =
cos θ −sen θ
sen θ cos θ
x
y
 .
No caso particular em que θ =
pi
2
, cos θ = 0 e sen θ = 1. Então, se
~v = (x, y),
Rθ(~v) = Rθ(x, y) =
0 −1
1 0
x
y
 .⇒ Rθ(~v) = (−y, x).
Acreditamos que você tenha percebido, no Exemplo (14.2.6),
que as coordenadas do vetor Rθ(~v) são dadas em termos das coor-
denadas de ~v. E, por isso, esteja questionando a possibilidade de
219
Transformações Lineares
Figura 14.100: Com ~v = (x, y) e θ = pi/2 ⇒ Rθ(x, y) = (−y, x).
fazer o contrário, ou seja, escrever as coordenadas do vetor ~v em
termos das coordenadas de Rθ(~v).
A resposta para o seu questionamento é sim! Pois basta aplicar-
mos uma rotação (neste caso, fazemos uma rotação de −θ e, desta
forma, cos(−θ) = cos(θ) , pelo fato de o cosseno ser uma função
par e sen (−θ) = −sen (θ) , pois o seno é uma função ímpar) de
Toda função f : R →
R, tal que f(−x) =
f(x), ∀x ∈ R, é con-
siderada par, e se
f(−x) = −f(x), a fun-
ção é considerada ím-
par.
−θ em Rθ(~v) e retornamos ao vetor ~v, da seguinte forma: x = x′ cos θ + y′ sen θy = −x′ sen θ + y′ cos θ
ATENÇÃO: Devemos notar a analogia e, ao mesmo
tempo, a diferença entre as equações anteriores e aquelas es-
tudadas na Aula 11 (Mudança de Coordenadas no Plano).
Neste caso, estamos mantendo fixos os eixos e girando os
vetores, enquanto nas equações daquela aula os vetores fi-
cavam fixos e os eixos se moviam. Na Aula 11, as equações
exprimiam as novas coordenadas de um mesmo vetor em
função da antigas; nesta aula, elas exprimem as coordena-
das do vetor Rθ(~v) em termos das coordenadas de ~v.
220
Vetores e Geometria Analítica: Livro 1
14
AULA
Exemplo 14.2.7. (Projeção ortogonal sobre uma reta
que contém a origem.) Seja r a reta em R2 dada pela equação
y = ax. A projeção ortogonal sobre r é a transformação P : R2 →
R2 que faz corresponder a todo ~v = (x, y) o vetor P (~v) = (x′, y′),
cuja extremidade é o pé da perpendicular baixada de ~v sobre a
reta r. Então temos y′ = ax′. Para obtermos as coordenadas de
P (~v) em função das coordenadas de ~v, iremos observar o Teorema
de Pitágoras aplicado ao triângulo OAB na figura a seguir. Note
que
Figura 14.101: |~v|2 = |P (~v)|2 + |~v − P (~v)|2
~v = (x, y) ⇒ |~v|2 = x2 + y2
P (~v) = (x′, ax′) ⇒ |P (~v)|2 = (x′)2 + (ax′)2
~v − P (~v) = (x− x′, y − ax′) ⇒ |~v − P (~v)|2 = (x− x′)2 + (y − ax′)2
O que resulta em
x2 + y2 = (x′)2 + (ax′)2 + (x− x′)2 + (y − ax′)2
⇓
(1 + a2)x′ = x+ ay
221
Transformações Lineares
E assim podemos reescrever as funções-coordenadas de P (~v) =
(x′, y′) como
x′ =
1
1 + a2
x+
a
1 + a2
y
y′ =
a
1 + a2
x+
a2
1 + a2
y
Observação 23. Note que se ~w = (x′, ax′), existem infinitos vetores
~v = (x, y) tal que P (~v) = ~w. (A saber, todos os vetores que têm
extremidades em A e em qualquer outro ponto perpendicular à reta
r e passando por B. Veja na figura (14.102).) Com isso, dizemos
Figura 14.102: ~w = B −A
que R é uma transformação invertível, mas P não é.
14.3 Transformações lineares
Definição 14.40. (Transformações Linares) Uma transfor-
mação T : R2 → R2 é chamada linear quando há números a, b, c
e d tal que
T (x, y) = (ax+ by, cx+ dy) (14.1)
para qualquer vetor ~v = (x, y) ∈ R2.
222
Vetores e Geometria Analítica: Livro 1
14
AULA
As transformações de identidade (Id do exemplo 14.2.2) e nula
(no exemplo 14.2.1) são linares, enquanto a projeção (no exemplo
14.2.7) e a translação (exemplo 14.2.3) não são lineares.
Perceba que em toda transformação linear na forma (14.1) tem-
se T (0, 0) = (0, 0). O que não ocorre com a translação (exemplo
14.2.3), pois T~w(x, y) = (0 + a, 0 + b) 6= (0, 0).
Definição 14.41. A tabela
a b
c d

chama-se a matriz da transformação linear T . Os vetores-coluna
(a, c) e (b, d) dessa matriz são os transformados por T dos vetores
~i = (1, 0) e ~j = (0, 1) da base canônica, isto é, T (~i) = (a, c) e
T (~j) = (b, d).
A definição dada nesta aula de transformação linear é equiva-
lente à afirmação seguinte.
Afirmação - Se T : R2 → R2 é uma transformação linear,
então, dados arbitrariamente ~u,~v ∈ R2 e α ∈ R, tem-se
T (~u+ ~v) = T (~u) + T (~v) e T (α~u) = αT (~u). (14.2)
De fato, seja a matriz de T dada por
a b
c d

. Se ~u = (x1, y1) e
~v = (x2, y2), temos então que ~u + ~v = (x1 + x2, y1 + y2) e α~u =
223
Transformações Lineares
(αx1, αy1), e assim
T (~u+ ~v) = (a(x1 + x2) + b(y1 + y2), c(x1 + x2) + d(y1 + y2))
(ax1 + ax2 + by1 + by2, cx1 + cx2 + dy1 + dy2)
(ax1 + by1, cx1 + dy1) + (ax2 + by2, cx2 + dy2)
T (~u) + T (~v)
T (α~u) = (a(αx1) + b(αy1), c(αx1) + d(αy1))
α(ax1 + by1, cx1 + dy1)
αT (~u)
.
E ainda, reciprocamente, se T : R2 → R2 é uma transformação
que satisfaz às condições (14.2), então T é linear. De fato, sejam
T (~i) = (a, c) e T (~j) = (b, d) , então, dado um vetor ~v = x~i + y~j,
temos que
T (~v) = T (x~i+ y~j) = T (x~i) + T (y~j) = xT (~i) + yT (~j)
x(a, c) + y(b, d) = (ax, cy) + (bx, dy)
(ax+ by, cx+ dy)
.
Isso conclui a demonstração da afirmação e sua recíproca.
Note que, apesar de termos visto até agora exemplos de trans-
formações de R2 em R2, é possível encontrarmos exemplos de trans-
formações lineares de R em R. É o caso do Exemplo (14.1.1), que
é uma função do tipo f : R→ R definida por f(x) = ax (chamada
de função linear), com a um número real não nulo e que obedece
às duas propriedades dadas nas equações (14.2).
Definição 14.42. Dizemos que a matriz M tem posto nulo
quando M for a matriz nula, isto é,
M =
0 0
0 0
 .
224
Vetores e Geometria Analítica: Livro 1
14
AULA
O posto de uma matriz M é igual a 1 quando M não é nula e
seus vetores-coluna são colineares, ou seja, um deles é múltiplo do
outro. E quando os vetores-coluna de M são não-colineares, ou
seja, quando ad− bc 6= 0, dizemos que M tem posto 2.
Em outras palavras:
M com posto 1 → isto quer dizer que ad− bc = 0 (e M não é
a matriz nula);
M com posto 2 → isto significa que ab− bc 6= 0.
Exemplo 14.3.1. A matriz M1 =
1 −1
3 −3

tem posto 1 en-
quanto a matriz M2 =
1 −1
3 2

tem posto 2.
Afirmação 1 - Se a matriz M da transformação linear T : R2 →
R2 tem posto zero, então T é a transformação nula, ou seja, trans-
forma todo vetor ~v ∈ R2 no vetor nulo.
Exercício 14.3.1. Mostre que a afirmação anterior é verdadeira
usando a definição (14.41).
Afirmação 2 - Se a matriz M tem posto 1, então os vetores
transformados T (~v) de ~v ∈ R2 formam uma reta.
Ou seja, se a ma-
triz for dada por
M =
„
a b
c d
«
, então
os vetores-colunas são
(a, c) e (b, d), assim,
para que (a, c) e (b, d)
sejammúltiplos existe
um número real α, tal
que (a, c) = α(b, d) ⇒
a = αb e c = αd.
Exercício 14.3.2. Considere que os vetores-coluna de uma ma-
triz de posto 1 são múltiplos um do outro para mostrar que a
afirmação anterior é verdadeira.
Afirmação 3 - Se a matrizM tem posto 2, então as imagens T (~v)
dos vetores ~v ∈ R2 preenchem todo o plano R2. De fato, dizer
queM tem posto 2 é afirmar que ad−bc 6= 0. E, desse modo, para
225
Transformações Lineares
qualquer ~w = (m,n), o sistema de equaçõesax+ by = mcx+ dy = n
tem uma, e somente uma solução ~v = (x, y), pois essas duas equa-
ções representam retas que têm um único ponto de interseção.
Vamos ao enunciado de um teorema relevante para que pos-
samos consequentemente afirmar que uma transformação linear
transforma circunferências em elipses.
Teorema 14.2. Para toda transformação linear T : R2 → R2,
existem vetores unitários ortogonais ~u,~v que são transformados
por T em vetores ortogonais T (~u), T (~v).
Demonstração. Sejam
~i = (1, 0) e ~j = (0, 1) os vetores da base
canônica de R2. Tomamos A = |T (~i)|2, B = 〈T (~i), T (~j)〉 e C =
|T (~j)|2, e vamos introduzir a forma quadrática ϕ : R2 → R com
ϕ(x, y) = Ax2 + 2Bxy + Cy2
e considerando o fato de T ser linear, para todo ~w = (x, y) =
x~i + y~j ∈ R2 temos que ϕ(x, y) = |T (~w)|2. Seja ~u = (a, b) um
autovetor unitário da forma quadrática ϕ. Isso significa que para
Lembre-se do que fize-
mos na Aula 12.
um certo λ1 ∈ R (autovalor de ϕ), tem-seAa+Bb = λ1aBa+ Cb = λ1b
Seja ~v = (−b, a), obtido de ~u por uma rotação de 90o, assim,
〈T (~u), T (~v)〉 = 0, pois
|T (~u+ ~v)|2 = |T (~u)|2 + |T (~u)|2 + 2〈T (~u), T (~v)〉 (14.3)
226
Vetores e Geometria Analítica: Livro 1
14
AULA
⇓
2〈T (~u), T (~v)〉 = |T (~u+ ~v)|2 − |T (~u)|2 − |T (~u)|2
Como ~u+ ~v = (a− b, b+ a), temos que
|T (~u+ ~v)|2 = ϕ(a− b, b+ a)
= A(a− b)2 + 2B(a− b)(b+ a) + C(b+ a)2
|T (~u)|2 = Aa2 + 2b(ab) + Cb2
|T (~v)|2 = A(−b)2 + 2B(−ba) + Ca2
E agora, substituindo na equação (14.3),
〈T (~u), T (~v)〉 = Cab+Ba2 − (Aab+Bb2)
= a(Cb+Ba)− b(Aa+Bb)
= a · λ1b− b · λ1a = 0
O que completa a demonstração do teorema.
Teorema 14.3. Toda transformação linear invertível T : R2 → R2
transforma a circunferência unitária S1 = {(x, y) ∈ R2;x2 + y2 =
1} numa elipse.
Demonstração. Sejam ~u e ~v vetores unitários, tal que 〈~u,~v〉 = 0
e 〈T (~u), T (~v)〉 = 0. Como T é invertível, tem-se que T (~u) 6= ~0 e
T (~v) 6= ~0. Todo vetor unitário ~w se escreve como ~w = x~u + y~v,
em que x2 + y2 = 1. Sua imagem por T é T (~w) = xT (~u) + yT (~v).
Se adotarmos um sistema de coordenadas com origem O = (0, 0),
cujos vetores unitários dos eixos são
T (~u)
|T (~u)| e
T (~v)
|T (~v)| , as coordenada
de T (~w) nesse sistema serão s = x · |T (~u)| e t = y · |T (~v)|. Temos
então que
x2 + y2 = 1 ⇒ s
2
|T (~u)|2 +
t2
|T (~v)|2 = 1
227
Transformações Lineares
E assim, os vetores do plano ~w pertencentes à circunferência S1 são
levados por T nos vetores do plano T (~w) pertencentes à elipse no
novo sistema de coordenadas (veja a figura (14.103)), com equação
s2
|T (~u)|2 +
t2
|T (~v)|2 = 1.
Figura 14.103: ~w ∈ S1 e T (~w) estão na elipse.
Observação 24. Segue do teorema (14.3) que uma transformação
linear invertível T : R2 → R2 leva qualquer circunferência γ a uma
elipse.
De fato, se γ tiver centro na origem e raio r, sua imagem pela
transformação T pode ser obtida mediante uma sequência de três
transformações:
1
o
) homotetia (veja a atividade (5)) de razão 1/r, que leva γ em
S1 (ou seja, transforma uma circunferência de raio qualquer
em uma circunferência de raio 1);
2
o
) T , que leva S1 a uma elipse;
3
o
) uma homotetia de razão r, que transforma essa elipse em
outra com eixos r vezes os anteriores.
228
Vetores e Geometria Analítica: Livro 1
14
AULA
E se γ é uma circunferência de raio r e centro ~w, usamos a
igualdade
T (~v) = T (~v − ~w) + T (~w)
para perceber que a imagem de γ pela transformação T pode ser
obtida pela translação da elipse do caso anterior pelo vetor T (~w).
Exemplo 14.3.2. A transformação linear T : R2 → R2 dada por
T (x, y) = (x+ 2y, 2x+ y). Vamos responder às perguntas que vão
surgir, pois esta sequência serve de sugestão para a atividade (6).
[A matriz da transformação é invertível ?]
É invertível pois a matriz da transformação constituída pelos vetores-
coluna (1, 2) e (2, 1) é linearmente independente (ou seja, um não
é múltiplo do outro). Além disso, a matriz
M =
1 2
2 1
 ⇒ detM = 1 · 1− 2 · 2 = −3 6= 0.
Deste modo, pelo teorema (14.3), T transforma a circunferência
unitária x2 + y2 = 1 na elipse E = {T (~v); |~v| = 1}.
[Qual será o eixo maior da elipse E ?]
O eixo maior de E é o segmento de reta que liga os seus dois
pontos T (~v1) e −T (~v1), mais afastados da origem. Para encontrar
~v1, vamos considerar a forma quadrática
ϕ(x, y) = |T (x, y)|2 = (x+ 2y)2 + (2x+ y)2 = 5x2 + 8xy + 5y2
cuja matriz é
5 4
4 5

. E para determinar os autovalores, devemos
encontrar as raízes de λ2 − 10λ+ 9 = 0, que são λ1 = 9 e λ2 = 1,
229
Transformações Lineares
cujos autovetores associados ao maior autovalor é a solução do
sistema  5x+ 4y = 9 · x4x+ 5y = 9 · y ⇒
 −4x+ 4y = 04x− 4y = 0
E assim, o autovetor é da forma ~v1 = (x, x), tomando (aproxima-
damente) x = 0.71 ⇒ ~v1 = (0.71, 0.71). A imagem será
T (~v1) = T (0.71, 0.71) = (0.71+2·(0.71), 2·(0.71)+0.71) = (2.13, 2.13)
⇓
T (~v1) = (2.13, 2.13),
o que nos permite verificar automaticamente que T (−~v1) = (−1) ·
(2.13, 2.13). Portanto, a circunferência unitária (S1) é transfor-
mada por T na elipse E, cujo eixo maior é o segmento que liga
T (~v1) = (2.13, 2.13) e T (−~v1) = (−2.13,−2.13).
Seguindo os mesmos passos para encontrar o maior eixo, podemos
encontrar o eixo menor, que é o segmento que liga
T (~v2) = (0.71,−0.71) e T (−~v2) = (−0.71, 0.71)
com ~v2, o autovetor associado ao autovalor λ2 = 1.
~v1 = (0.71, 0.71) e
~v2 = (−0.71, 0.71)
⇒ T (~v1) = (2.13, 2.13) e
T (~v2) = (0.71,−0.71)
230
Vetores e Geometria Analítica: Livro 1
14
AULA
14.4 Resumo
Nesta aula, conhecemos a definição de transformação no plano e
também de um tipo de transformção linear, além de algumas trans-
formações clássicas como a translação, homotetia, rotação e pro-
jeção. Aprendemos que toda transformação pode ser representada
de forma matricial. Percebemos que se a matriz da transformação
linear for invertível, então a transformação também o será. E, por
fim, aplicamos uma transformação linear sobre os vetores de uma
circunferência unitária cuja imagem será uma elipse.
14.5 Atividades
1. Determine qual das transformações T : R2 → R2 a seguir é
linear.
(a) T (x, y) = (−y, x+ 1);
(b) T (x, y) = (x− y, 2x+ 2y);
(c) T (x, y) = (|x− y|, |x+ y|).
2. Seja T : R2 → R2 uma função. Mostre que:
(a) se T é uma transformação linear, então T (~0) = ~0;
(b) se T (~0) 6= ~0, então T não é uma transformação linear.
3. Seja T : R2 → R2 a transformação linear dada por T (x, y) =
(4x+ 6y, 6x+ 9y). Mostre que todos os pontos da reta 2x+
3y = 1 são transformações por T no mesmo ponto de R2.
Qual é esse ponto?
231
Transformações Lineares
4. Seja R : R2 → R2 uma rotação em torno da origem. Use as
equações que dão as coordenadas de R(~v) para mostrar que
〈R(~u), R(~v)〉 = 〈~u,~v〉 e |R(~v)| = |~v| para quaisquer ~u,~v ∈ R2.
5. [Homotetia] Dado um número β 6= 0, a transformação
linear H : R2 → R2, definida por H(x, y) = (βx, βy) (ou na
notação vetorial, H(~v) = β~v) , tem matriz
β 0
0 β

que tem
posto 2, ou seja, é invertível. Esta transformação é chamada
de homotetia de centro O = (0, 0) e razão β. Mostre que:
(a) |H(~u)−H(~v)| = |β||~u− ~v|;
(b) H transforma a circunferência de centro ~v e raio r na
circunferência de centro H(~v) e raio |β| · r.
6. Determine os eixos da elipse que é a imagem da circunferência
unitária por cada uma das transformações lineares a seguir:
(a) T (x, y) = (x− y, 2x+ 2y);
(b) T (x, y) = (x+ 2y, 3x+ 2y).
7. Seja T : R2 → R2, tal que a matriz da transformação é dada
por
−1 −2
0 1

. Ache os vetores ~u,~v, tal que
(a) T (~u) = ~u;
(b) T (~v) = −~v.
8. No plano, uma rotação anti-horária de 45o é seguida por
uma dilatação de
√
2. Ache a aplicação A que representa
esta transformação do plano.
232
Vetores e Geometria Analítica: Livro 1
14
AULA
9. Sabemos que T : R2 → R2, definida por T (x, y) = (ax +
by, cx+dy), tem posto 1 quando a, b, c, d não são todos iguais
a zero e existe algum k ∈ R, tal que b = ka e d = kc, ou
seja, sua matriz não é nula e tem a forma
a ka
c kc

. Seja
T : R2 → R2 uma transformação linear de posto 1.
(a) Prove que existe algum ~v 6= ~0 tal que T (~v) = ~0.
(b) Prove que se o vetor ~u ∈ R2 é linearmente independente
de ~v do item anterior (ou seja, ~u 6= α · ~v, qualquer que
seja α ∈ R não nulo), então T (~u) 6= ~0.
(c) Prove que se T : R2 → R2 tem posto 1, os vetores
~v ∈ R2, tal que T (~v) = ~0, formam uma reta contendo
~0.
14.6 Comentário das atividades
Se você entendeu o conceito de transformações lineares no plano
(da definição (14.1)), conseguirá resolver as atividades 1, 2, 3 e 7
sem maiores problemas. Caso tenha resolvido as atividades 4 e 8,
então entendeu o exemplo rotação em torno da origem. Se você
entendeu o exemplo da expansão ou contração uniforme, conseguiu
responder à atividade 5, e se concluiu a questão 9, então entendeu
a noção de posto de uma transformação. E quanto à atividade 6?
Se obteve êxito na resolução dessa atividade, entendeu que uma
transformação linear leva uma circunferência numa elipse.
Se ainda tiver dificuldades, volte e reveja com cuidado os con-
ceitos apresentados na aula. E não se esqueça dos tutores, pois eles
poderão ajudá-lo a eliminar as dúvidas. Além disso, é importante
233
Transformações Lineares
e enriquecedor o contato com os colegas para discutir as questões
propostas nesta aula.
14.7 Referências
BOLDRINI, José Luiz, Álgebra Linear . São Paulo: Harbra, 1980.
LIMA, Elon Lages , Geometria Analítica e Álgebra Linear. Rio de
Janeiro, IMPA, 2005.
STEINBRUCH, Alfredo , Geometria Analítica. São Paulo: Ma-
kron Books, 1987.
234
15
AULA
2
LIVRO
Mudança de Coorde-
nadas no Espaço
META
Introduzir as mudanças de coorde-
nadas no espaço.
OBJETIVOS
Efetuar mudança de coordenadas
no plano, alterando ou não a origem
do sistema. Reconhecer matrizes
de passagem (matrizes ortogonais)
de um sistema de coordenadas para
outro.
PRÉ-REQUISITOS
Dominar o conteúdo abordado na
Aula 11 (mudança de coordenadas
no plano).
Mudança de Coordenadas no Espaço
15.1 Introdução
Olá, em continuidade ao que estudamos na Aula 11 (Mudança de
Coordenadas no Plano), iremos expandir nossas fronteiras conhe-
cendo as mudanças de coordenadas no espaço. Surgirá em nossos
estudos um tipo de matriz chamada de matriz de passagem, que
possibilita a mudança de um dado sistema de coordenadas para
um novo sistema. Essas matrizes de passagem têm uma impor-
tante propridade, pois suas inversas multiplicativas são iguais às
transpostas, o que facilita muito o cálculo das inversas e conse-
quentemente a maneira de escrevermos as coordenadas de um sis-
tema para o outro e vice-versa. Em muitas situações, uma simples
mudança de coordenadas pode ajudar a melhorar a visão de uma
equação ou de um problema.
15.2 Mudança de sistema de coordenadas no
espaço
Em algumas situações, é conveniente mudarmos de um sistema de
coordenadas OXY Z para um novo sistema O′X ′Y ′Z ′.
Seja P um ponto no sistema OXY Z, com coordenadas x, y e
z. Como obter as coordenadas x′, y′ e z′ no sistema O′X ′Y ′Z ′?
Para respondermos a essa pergunta, consideremos os vetores uni-
tários
~i,~j,~k dos eixos OX (eixo−x), OY (eixo−y) e OZ (eixo−z),
juntamente com os vetores unitário ~u1, ~u2, ~u3 dos eixos O
′X ′, O′Y ′
e O′Z ′.
Sabemos que todo vetor de R3 pode ser escrito como combi-
nação linear de
~i,~j,~k, e assim, os vetores ~u1 = (a1, b1, c1), ~u2 =
236
Vetores e Geometria Analítica: Livro 1
15
AULA
(a2, b2, c2), ~u3 = (a3, b3, c3)
~u1 = a1~i+ b1~j + c1~k
~u2 = a2~i+ b2~j + c2~k
~u3 = a3~i+ b3~j + c3~k
(15.1)
Devemo-nos lembrar de que
~i,~j,~k são perpendiculares dois a dois,
o que resulta em
〈~un,~i〉 = an, 〈~un,~j〉 = bn, 〈~un,~k〉 = cn, com n = 1, 2, 3.
(15.2)
Das equações 〈~u,~v〉 = |~u| · |~v| cos θ para quaisquer ~u,~v ∈ R3 e
(15.2) segue que
an = cosαn
bn = cosβn
cn = cos γn
com n = 1, 2, 3 e
αn, βn, γn são os ângulos que ~un forma com os eixos OX, OY e
OZ.
Observação 25. Cada um dos ~un são unitários, ou seja,
|~un|2 = a2n + b2n + c2n = 1 ⇒ cos2αn + cos2 βn + cos2 γn = 1.
A recíproca também vale, ou seja, podemos escrever
~i, ~j e
~k como combinação linear dos vetores unitários ~u1, ~u2, ~u3. Por
exemplo,
~i = x~u1 + y~u2 + z~u3
, e lembrando que os vetores ~un são perpendiculares dois a dois,
obtemos
x = 〈~i, ~u1〉 = a1, y = 〈~i, ~u2〉 = a2, z = 〈~i, ~u3〉 = a3,
237
Mudança de Coordenadas no Espaço
Figura 15.104: ~u1, ~u2, ~u3 são
ortogonais entre si.
Figura 15.105: a1 = cosα1,
b1 = cosβ1 e c1 = cos γ1.
ou seja,
~i = a1~u1 + a2~u2 + a3~u3, e que nos implica a obtermos ~j e
~k analogamente,
~i = a1~u1 + a2~u2 + a3~u3
~j = b1~u1 + b2~u2 + b3~u3
~k = c1~u1 + c2~u2 + c3~u3~k
(15.3)
Observe que a matriz dos coeficientes de (15.3) é a transposta da
matriz dos coeficientes de (15.1).
M =

a1 b1 c1
a2 b2 c2
a3 b3 c3
 e tM =

a1 a2 a3
b1 b2 b3
c1 c2 c3

Portanto, dado um ponto P no sistema OXY Z com coorde-
nadas (x, y, z), equivale a afirmar que
−−→
OP = x ·~i + y · ~j + z · ~k e
analogamente de
−−→
O′P = x′ ·~u1 + y′ ·~u2 + z′ ·~u3. Ou seja, (x′, y′, z′)
são as coordenadas do ponto P no sistema de O′X ′Y ′Z ′.
238
Vetores e Geometria Analítica: Livro 1
15
AULA
Figura 15.106: O′ = (m,n, p) e ~O′P = ~OP − ~OO′.
15.3 Transladando a origem do sistema
Sejam (m,n, p) coordenadas da nova origem O′ no sistema OXY Z,
isto é,
−−→
OO′ = m~i+ n~j + p~k.
Note que
−−→
OP =
−−→
OO′ +
−−→
O′P , o que implica em
−−→
O′P =
−−→
OP −−−→OO′. (15.1)
Em coordenadas, fica
x′ · ~u1 + y′ · ~u2 + z′ · ~u3 = (x−m)~i+ (y − n)~j + (p− z)~k.
Percebemos que o produto interno com ~u1 de ambos os membros
da igualdade anterior nos fornece
〈~i, ~u1〉 = a1, 〈~j, ~u1〉 = b1, 〈~k, ~u1〉 = c1
⇓
x′ = (x−m)〈~i, ~u1〉+ (y − n)〈~j, ~u1〉+ (p− z)〈~j, ~u1〉
239
Mudança de Coordenadas no Espaço
⇓
x′ = (x−m)a1 + (y − n)b1 + (z − p)c1.
E fazendo o mesmo produto com ~u2 e ~u3, obtemos
x′ = (x−m)a1 + (y − n)b1 + (z − p)c1
y′ = (x−m)a2 + (y − n)b2 + (z − p)c2
z′ = (x−m)a3 + (y − n)b3 + (z − p)c3
(15.2)
E como serão as expressões para as coordenadas x, y e z em função
de x′, y′ e z′ ? Para respondermos a mais esta pergunta, voltemos
à igualdade (15.1),
−−→
O′P =
−−→
OP −−−→OO′ ⇒ −−→OP = −−→OO′ +−−→O′P .
Em coordenadas,
x~i+ y~j + z~k = x′~u1 + y′~u2 + z′~u3.+m~i+ n~j + p~k,
tomando o produto interno de ambos os membros por
~i, resulta
em
〈~i, x~i+ y~j + z~k〉 = 〈~i, x′~u1 + y′~u2 + z′~u3.+m~i+ n~j + p~k〉
⇓
x = x′〈~i, ~u1〉+ y′〈~i, ~u2〉+ z′〈~i, ~u3〉+m〈~i,~i〉
⇓
x = a1x′ + a2y′ + a3z′ +m.
Fazendo o mesmo produto interno, desta vez com os vetores
~j e ~k,
obtemos
x = a1x′ + a2y′ + a3z′ +m
y = b1x′ + b2y′ + b3z′ + n
z = c1x′ + c2y′ + c3z′ + p
(15.3)
O que conclui a resposta para a pergunta anterior.
240
Vetores e Geometria Analítica: Livro 1
15
AULA
Exemplo 15.3.1. Vamos aplicar as equações (15.2) ao ponto O′
cujas coordenadas são (m,n, p) no sistema OXY Z, o que resulta
em
x′ = (m−m)a1 + (n− n)b1 + (p− p)c1
y′ = (m−m)a2 + (n− n)b2 + (p− p)c2
z′ = (m−m)a3 + (n− n)b3 + (p− p)c3
⇒
x′ = 0
y′ = 0
z′ = 0
Mas nós já esperávamos isso, não era? Pois O′ é a nova origem no
sistema de coordenadas O′X ′Y ′Z ′. Já o ponto (1, 0, 0) no sistema
O′X ′Y ′Z ′, usando desta vez as equações (15.3), tem coordenadas
x = a1x′ + a2y′ + a3z′ +m
y = b1x′ + b2y′ + b3z′ + n
z = c1x′ + c2y′ + c3z′ + p
⇒
x = a1 · 1 + a2 · 0 + a3 · 0 +m
y = b1 · 1 + b2 · 0 + b3 · 0 + n
z = c1 · 1 + c2 · 0 + c3 · 0 + p
resultando em x′ = a1 +m, y′ = b1 + n e z′ = c1 + p.
Observação 26. Poderíamos ainda pensar na forma matricial de es-
crevermos (15.2 e 15.3). Considerando
~x = (x, y, z), ~x′ = (x′, y′, z′)
e
~v = (m,n, p), note que
x
y
z
 =

a1 a2 a3
b1 b2 b3
c1 c2 c3

︸ ︷︷ ︸

x′
y′
z′
+

m
n
p
 e
M
x′
y′
z′
 =

a1 b1 c1
a2 b2 c2
a3 b3 c3

︸ ︷︷ ︸

x
y
z
−

m
n
p

tM
Ou ainda
~x = M · ~x′ + ~v e ~x′ = (tM) · ~x − ~v. A matriz M e tM
é chamada de matriz de passagem do sistema OXY Z para o
sistema O′X ′Y ′Z ′ e vice-versa.
241
Mudança de Coordenadas no Espaço
15.4 As matrizes ortogonais
Do produto M ·tM , percebemos que
M ·tM =

a1 a2 a3
b1 b2 b3
c1 c2 c3
 ·

a1 b1 c1
a2 b2 c2
a3 b3 c3

=

a21 + a
2
2 + a
2
3 a1b1 + a2b2 + a3b3 a1c1 + a2c2 + a3c3
b1a1 + b2a2 + b3a3 b21 + b
2
2 + b
2
3 b1c1 + b2c2 + b3c3
c1a1 + c2a2 + c3a3 c1b1 + c2b2 + c3b3 c21 + c
2
2 + c
2
3

=

〈~u1, ~u1〉 〈~u1, ~u2〉 〈~u1, ~u3〉
〈~u2, ~u1〉 〈~u2, ~u2〉 〈~u2, ~u3〉
〈~u3, ~u1〉 〈~u3, ~u2〉 〈~u3, ~u3〉

Mas como ~u1, ~u2, ~u3 são mutuamente ortogonais, temos
M ·tM =

1 0 0
0 1 0
0 0 1
 ,
que é amatriz identidade 3×3 (simbolicamente, Id3). Desta forma,
a matriz de passagem de um sistema de eixos ortogonais para outro
tem a propriedade de que sua matriz transposta também é sua
inversa.
Definição 15.43. As matrizes quadradas M , tal que tM ·M =
M · tM = Id3, são chamadas de matrizes ortogonais.
Exemplo 15.4.1. A matriz identidade (Id3) é ortogonal. Toda
matriz na forma
Rθ =

cos θ sen θ 0
−sen θ cos θ 0
0 0 1
 , (15.1)
242
Vetores e Geometria Analítica: Livro 1
15
AULA
para cada θ ∈ R, também é uma matriz ortogonal, pois tR · R =
R ·t R = Id3. Em particular, se θ = pi2 , teríamos
Rpi
2
=

0 1 0
−1 0 0
0 0 1
 .
Conheceremos melhor esses tipos de matrizes nas próximas aulas.
Observação 27. Da igualdade
tM ·M = Id3 notamos que
1 = det Id3 = det(tM ·M) = det(tM) · detM = (detM)2,
pois det(tM) = detM , e então (detM)2 = 1 ⇒ detM = ±1, ou
seja, toda matriz ortogonal M tem que detM = ±1.
Definição 15.44. Quando o determinante da matriz de passagem
M é igual a +1, dizemos que os sistemas OXY Z e O′X ′Y ′Z ′ têm
a mesma orientação. Se o determinante de M for igual a −1,
então os sistemas de eixos têm orientações opostas.
Exemplo 15.4.2 (Translação de Eixos). No caso em que ~u1 =
~i, ~u2 = ~j e ~u3 = ~k, ou seja, os eixos OX e O′X ′, OY e O′Y ′
além de OZ e O′Z ′ são paralelos de mesmo sentido. Dizemos
então que se trata de uma translação de eixos. Em particular,
suponhamos que
O′ = (−1, 2, 1), então as coordenadas no novo
sistema O′X ′Y ′Z ′ são dadas por
x′ = x− 1, y′ = y + 2 e z′ = z + 1,
das quais automaticamente temos
x = x′ + 1, y = y′ − 2 e z = z′ − 1.
243
Mudança de Coordenadas no Espaço
Figura 15.107: O′ = (m,n, p) e ~O′P = ~OP − ~OO′.
15.5 Resumo
Nesta aula, aprendemos a fazer a mudança de coordenadas tanto
rotacionando os eixos e mantendo a origem fixa como também
transladando-a. Conhecemos o conjunto das matrizes ortogonais
que contém as matrizes de rotação e que serão de grande utilida-
des na construção de exemplos e aplicações das transformações na
disciplina de Álgebra Linear (segundo semestre).
15.6 Atividades
1. Verifique quais das matrizes a seguir são ortogonais ou não:
(a)
1 −1
1 0

(c)

1/2 −√3/2 0
√
3/2 1/2 0
0 0 1

(b)
 1/2 −√3/2√
3/2 1/2

(d)

0 1 0
0 0 1
0 0 0

244
Vetores e Geometria Analítica: Livro 1
15
AULA
2. Qual a condição para o número real α, tal que
Rα =

cosα senα 0
−senα cosα 0
0 0 1

seja ortogonal?
3. Faça o mesmo que se pede na atividade (2) para as matrizes
(a)Rα =

cosα 0 senα
0 1 0
−senα 0 cosα
 (b)

1 0 0
0 cosα senα
0 −senα cosα

4. Encontre a e b, números reais, tal que os múltiplos aM e bN
das matrizes a seguir sejam matrizes ortogonais.
M =

2 −2 1
1 2 2
2 1 −2
 N =

6 3 2
−3 2 6
2 −6 3

5. Usando a matriz aM do exercício anterior, efetue a rotação
dos eixos (mudança de coordenadas mantendo a origem fixa
3
)
. Encontre as novas coordenadas (x′, y′, z′) dos pontos cujas
coordenadas (x, y, z) são:
(a) (−1, 2, 2);
(b) (0, 1, 1);
(c) (−1, 1,−2);
(d) (1, 1, 1).
6. Supondo que as coordenadas dadas no exercício (5) sejam
(x′, y′, z′), quais eram, em cada caso, x, y e z?
3
Ou seja, as origens do novo e do antigo sistemas coincidem.
245
Mudança de Coordenadas no Espaço
7. Ainda com a matriz ortogonal aM da atividade (4), quais
são as novas coordenadas x′, y′ e z′ das equações dos planos
a seguir?
(a) 2x+ y + 2z = 1;
(b) 2x− y = 1;
(c) x+ y + z = 0.
15.7 Comentário das atividades
Conseguiu resolver as atividades 1,2,3 e 4? Então você entendeu o
conceito de matrizes ortogonais. Se solucionou as atividades 5,6 e
7, você já tem uma noção de mudança de sistemas de coordenadas.
Caso tenha dificuldades na resolução das atividades, retome
com cuidado os conceitos apresentados ao longo da aula. Procurar
os tutores para esclarecimentos das dúvidas também é fundamental
para o seu aprendizado. Não se esqueça de que o contato com os
colegas para discutir os assuntos estudados também é bastante
proveitoso.
15.8 Referências
BOLDRINI, José Luiz, Álgebra Linear . São Paulo: Harbra, 1980.
LIMA, Elon Lages , Geometria Analítica e Álgebra Linear. Rio de
Janeiro: IMPA, 2005.
STEINBRUCH, Alfredo , Geometria Analítica. São Paulo: Ma-
kron Books,1987.
246
16
AULA
2
LIVRO
Quádricas Centrais
META
Introduzir o conceito de quádricas
centrais e exemplificá-las.
OBJETIVOS
Ao final desta aula, o aluno deverá
identificar uma dada quádrica
central representando-a com uma
superfície de nível.
PRÉ-REQUISITOS
Ter compreendido os conceitos
abordados na Aula 15 (mudança de
sistema de coordenadas no espaço e
matrizes ortogonais).
Quádricas Centrais
16.1 Introdução
Olá, caro aluno! Nesta aula, iremos conhecer uma interessante
forma de representar equações com três variáveis como objetos
dentro do R3. Essas equações que estudaremos têm características
peculiares e são oriundas das formas quadráticas definidas também
com três variáveis.
Vamos começar!
Definição 16.45. Uma forma quadrática em R3 é um polinômio
homogêneo de grau 2 com três variáveis, ou seja, é uma função
Em um polinômio
homogêneo todos os
termos têm mesmo
grau, ou seja, a soma
dos expoentes de
cada variável é sem-
pre a mesma. Por
exemplo, P (x, y) =
x2y3 + x4y + x5 é um
polinòmio homogêneo,
pois no
1o termo: 2+3 = 5
2o termo: 4+1 = 5
3o termo: 5+0 = 5
ϕ : R3 → R, definida por
ϕ(x, y, z) = Ax2 +By2 + Cz2 + 2Dxy + 2Exz + 2Fyz. (16.1)
Mantendo a origem fixa, se tomarmos novos eixos em R3, tere-
mos um mudança de coordenadas de (x, y, z) para (r, s, t), com
x = a1r + a2s+ a3t
y = b1r + b2s+ b3t
z = c1r + c2s+ c3t
(16.2)
Conforme estudamos Aula 15, substituindo na equação (16.1),
obteremos
ϕ(x, y, z) = ϕ(a1r + a2s+ a3t, b1r + b2s+ b3t, c1r + c2s+ c3t)
= A′r2 +B′s2 + C ′t2 + 2D′rs+ 2E′rt+ 2F ′st = ϕ(r, s, t)
De forma similar ao que você estudou na Aula 12 (Formas Qua-
dráticas no Plano), mediante uma escolha conveniente de eixos,
é possível permitir que as novas coordenadas r, s e t forneçam
D′ = E′ = F ′ = 0, e assim
ϕ(x, y, z) = ϕ(r, s, t) = A′r2 +B′s2 + C ′t2
248
Vetores e Geometria Analítica: Livro 1
16
AULA
simplificando ϕ e também facilitando a visualização de conjuntos
especiais definidos por
ϕ(x, y, z) = c, com c constante real.
Definição 16.46. [(Superfície de Nível)]
Para cada c ∈ R, o conjunto de pontos P = (x, y, z), tal que
ϕ(x, y, z) = c, chama-se a superfície de nível c da forma ϕ.
16.2 Quádricas centrais
Definição 16.47. Na expressão geral de uma função quadrática
ψ : R3 → R dada por
ψ(x, y, z) = Ax2 +By2 + Cz2+
+2Dxy + 2Exz + 2Fyz +Gx+Hy + Iz + J,
(16.1)
as superfícies de nível ψ(x, y, z) = d (com A, B, C, D, E, F , G,
H, z, J e d constantes reais não todos nulos) são chamadas de
quádricas.
Definição 16.48. Se G = H = I = J = 0, temos a forma
quadrática dada pela equação (16.1), cujas superfícies de nível
ψ(x, y, z) = d são conhecidas como quádricas centrais.
Essas quádricas são chamadas de centrais porque sendo ϕ(−x,−y,−z) =
ϕ(x, y, z), se o ponto P = (x, y, z) pertence à superfície S de equa-
ção ϕ(x, y, z) = d, então P ′ = (−x,−y,−z) ∈ S. Desta forma,
~0 = (0, 0, 0) é um centro de simetria de S.
Admitindo que fizemos uma escolha de eixos ortogonais, tal
que D = E = F = 0, ou seja,
ϕ(x, y, z) = Ax2 +By2 + Cz2 (16.2)
249
Quádricas Centrais
De acordo com as condições a seguir, podemos obter os seguintes
resultados.
1. Quando d 6= 0, temos que
Ax2 +By2 + Cz2 = d ⇔ A
d
x2 +
B
d
y2 +
C
d
z2 = 1.
2. Se A/d > 0, tomando a =
√
d/A, obtemos(
A
d
)
x2 =
x2
a2
.
3. Analogamente para:
(B/d)y2 = ±y2/d2
(C/d)z2 = ±z2/d2
, com
b =
ñd/B
c =
ñd/C .
Note que em todos os casos, a > 0, b > 0 e c > 0.
4. −x
2
a2
− y
2
b2
+
z2
c2
= 1 ⇔ x
2
a2
+
y2
b2
− z
2
c2
= −1
Das quatro observações anteriores obtemos todas as superfí-
cies de nível possíveis de uma forma quadrática, exceto por uma
eventual troca dos nomes dos eixos.
(i)
x2
a2
+
y2
b2
+
z2
c2
= 1 (ii)
x2
a2
+
y2
b2
+
z2
c2
= −1
(iii)
x2
a2
+
y2
b2
− z
2
c2
= 1 (iv)
x2
a2
+
y2
b2
− z
2
c2
= −1
(v)
x2
a2
+
y2
b2
+
z2
c2
= 0 (vi)
x2
a2
+
y2
b2
− z
2
c2
= 0
(vii)
x2
a2
+
y2
b2
= 1 (viii)
x2
a2
− y
2
b2
= 1
(ix)
x2
a2
− y
2
b2
= 0 (x)
x2
a2
= 1
(xi)
x2
a2
= −1 (xii) x
2
a2
= 0
(xiii)
x2
a2
+
y2
b2
= 0
Vamos analisar estas equações e verificar o que cada uma delas
representa.
250
Vetores e Geometria Analítica: Livro 1
16
AULA
(i) É chamada de Elipsóide a superfície E definida pela equação
x2
a2
+
y2
b2
+
z2
c2
= 1.
As interseções com os planos XOY (Πxy), XOZ (Πxz) e
Y OZ (Πyz) são as elipses
x2
a2
+
y2
b2
= 1,
x2
a2
+
z2
c2
= 1 e
y2
b2
+
z2
c2
= 1.
Figura
16.108: Elipsóide
Figura 16.109:
Πxy ∩ E tem equa-
ção
x2
a2
+
y2
b2
= 1.
Figura 16.110:
Πxz ∩ E tem equa-
ção
x2
a2
+
z2
c2
= 1.
Figura 16.111:
Πyz ∩ E tem equa-
ção
y2
b2
+
z2
c2
= 1.
Note que 2a, 2b e 2c são os comprimentos dos eixos (de si-
metria).
251
Quádricas Centrais
Definição 16.49. Se dois desses eixos são iguais, chamamos o
elipsóide de elipsóide de revolução.
Exemplo 16.2.1. Tome b = c em
x2
a2
+
y2
b2
+
z2
c2
= 1, o que resulta
na equação
x2
a2
+
y2 + z2
b2
= 1
, que é obtida pela rotação da elipse
x2
a2
+
y2
b2
= 1, contida no plano
z = 0 em torno do eixo−x. (Ou da elipse x
2
a2
+
z2
b2
= 1, contida no
plano y = 0 em torno do eixo−xou em torno do eixo−z.)
Figura 16.112: No plano z =
0,
x2
a2
+
y2
b2
= 1.
Figura 16.113: No plano y =
0,
x2
a2
+
z2
c2
= 1.
Em particular, se a = b = c, a equação x2/a2+y2/a2+z2/a2 =
1 pode ser reescrita como
x2 + y2 + z2 = a2. (16.3)
O que define uma Esfera centrada na origem e de raio a.
252
Vetores e Geometria Analítica: Livro 1
16
AULA
Exemplo 16.2.2. Determinar uma equação para um esfera de
centro C e raio r, sendo:
(a) C = (0, 0, 0) e r = 2;
(b) C = (2, 1,−1) e r = 3.
Solução (a) - Da equação (16.3) verificamos automaticamente
que a equação será
x2 + y2 + z2 = 22 ⇒ x2 + y2 + z2 = 4.
Solução (b) - Neste caso, o centro da esfera é C = (2, 1,−1).
Conforme estudamos na Aula 15, vamos fazer uma translação
da origem. Ou seja, se C = (h, k, n) for o centro da esfera com
equação
(x′)2 + (y′)2 + (z′)2 = r2,
faremos a mudança de coordenadas, sendo x′ = x− h, y′ = y − k
e z′ = z − n e, assim, a equação da circunferência com origem
transladada é dada porque
(x− h)2 + (y − k)2 + (z − n)2 = r2.
E para C = (2, 1,−1) nos dá (x − 2)2 + (y − 1)2 + (z + 1)2 = 32,
ou ainda, expandindo os quadrados
x2 + y2 + z2 − 4x− 2y + 2z − 3 = 0.
(ii) Define um conjunto vazio.
(iii) A superfície H1, definida por
x2
a2
+
y2
b2
− z
2
c2
= 1,
é chamada de hiperbolóide de uma folha. A interseção
com o plano
253
Quádricas Centrais
Y OZ é a hipérbole
y2
b2
− z
2
c2
= 1,
XOZ é a hipérbole
x2
a2
− z
2
c2
= 1
XOY e
qualquer outro é a elipse
x2
a2
+
y2
b2
= 1 +
d2
c2
plano paralelo
z = d (d constante)
pois
x2
a2
+
y2
b2
− d
2
c2
= 1 ⇔ x
2
a2
+
y2
b2
= 1 +
d2
c2
que são elipses. Em
Figura 16.114: Hiperbolóide de uma folha
particular, se a = b, as interseções com os planos paralelos a z = 0
são circunferências horizontais e H1 é chamado de Hiperbolóide
de Revolução, gerado pela rotação de
x2
a2
− z
2
c2
= 1 (contida no
plano XOZ) em torno do eixo−z. (Ou da hipérbole y
2
b2
− z
2
c2
= 1
contida no plano Y OZ em torno do eixo−z.)
(iv) Note que
x2
a2
+
y2
b2
− z
2
c2
= −1 ⇒ z
2
c2
= 1 +
x2
a2
+
y2
b2
.
254
Vetores e Geometria Analítica: Livro 1
16
AULA
Figura 16.115:
Πxy ∩H1 tem equa-
ção
x2
a2
+
y2
b2
= 1.
Figura 16.116:
Πxz ∩ E tem equa-
ção
x2
a2
− z
2
c2
= 1.
Figura 16.117:
Πyz ∩ E tem equa-
ção
y2
b2
− z
2
c2
= 1.
Podemos ainda ter que
z2 = c2 +
c2
a2
x2 +
c2
b2
y2, (16.4)
e extraindo a raiz de ambos os membros, significa que todo
ponto P = (x, y, z) da superfície H2 definida pela equação
(16.4) também satisfaz |z| ≥ c. Ou seja, não existem pontos
entre os planos z = c e z = −c. Perceba que a interseção
entre o plano horizontal z = d com |d| > c é a elipse
x2
a2
+
y2
b2
= −1 + d
2
c2
Já a interseção entre a superfície H2 e o plano (Πxz) é a
hipérbole z2/c2 − x2/a2 = 1, e entre H2 e o plano Πyz é a
hipérbole z2/c2 − y2/b2 = 1. A superfície H2 é chamada de
hiperbolóide de duas folhas.
Em particular, se a = b, a superfície H2 é chamada de hiperbo-
lóide de revolução com duas folhas, e assim, as interseções
(ou os cortes horizontais) com o plano horizontal z = d, sendo
|d| > c, serão a circunferência x2 + y2 = a2
(
d2
c2
− 1
)
. Além disso,
255
Quádricas Centrais
Figura 16.118: Hiperbolóide de duas folhas
Figura 16.119: o
plano z = d ∩ H2
tem equação
x2
a2
+
y2
b2
= −1 + d
2
c2
com
|d| > c.
Figura 16.120:
Πxz ∩ E tem equa-
ção
z2
a2
− x
2
c2
= 1.
Figura 16.121:
Πyz ∩ E tem equa-
ção
z2
b2
− y
2
c2
= 1.
podemos obter H2 girando a hipérbole z
2/c2−x2/a2 = 1 no plano
Πxz em torno do eixo−z (z2/c2−y2/b2 = 1 no plano Πyz em torno
do eixo−z).
(v) Esta equação é satisfeita apenas para (0, 0, 0).
(vi) A equação x2/a2 + y2/b2 − z2/c2 = 0 representa a superfície
256
Vetores e Geometria Analítica: Livro 1
16
AULA
S. Fixando z = c (plano horizontal), temos que a interseção
entre S e este plano é a elipse E, definida por x2/a2+y2/b2 =
1 (contida no plano z = c).
Figura 16.122: Cone duplo com vértice na origem.
S é o cone duplo com vértice na origem O = (0, 0, 0) e base
na elipse E, ou seja, S é a reunião das retas que ligam O = (0, 0, 0)
aos pontos de E.
(vii) As soluções dessa equação são todos os pontos P = (x, y, z),
tal que x2/a2 + y2/b2 = 1. O que define um cilindro reto
com base na elipse x2/a2 + y2/b2 = 1 no plano Πxy.
(viii) Já as soluções dessa equação são todos os pontos P =
(x, y, z), tal que x2/a2 − y2/b2 = 1. O que define um ci-
lindro reto com base na hipérbole x2/a2 + y2/b2 = 1 no
plano Πxy.
(ix) Para esta equação,
x2
a2
− y
2
b2
= 0 ⇒
(x
a
+
y
b
)(x
a
− y
b
)
= 0
257
Quádricas Centrais
Figura 16.123: Cilindro reto de base elíptica.
Figura 16.124: Cilindro reto com base hiperbólica.
O que representa dois planos verticais cortando o plano Πxy
sobre as retas
(x
a
+
y
b
)
= 0 e
(x
a
− y
b
)
= 0. Veja a figura
(16.2).
(x) x2/a2 = 1 representa o par de planos x = a e x = −a, para-
lelos ao plano Y OZ. Veja a figura (16.2).
(xi) x2/a2 = −1 representa o conjunto vazio, pois não existe
(x, y, z) que satisfaça.
258
Vetores e Geometria Analítica: Livro 1
16
AULA
Figura 16.125: Planos
x
a
+
y
b
= 0 e
x
a
− y
b
= 0.
Figura 16.126: Os planos x =
a e c = −a são paralelos ao
plano Πyz.
(xii) x2/a2 = 0 representa o plano Y OZ, pois equivale a x = 0.
(xiii)
x2
a2
+
y2
b2
= 0 representa a reta OZ, ou seja, o eixo−z, pois
equivale a x = y = 0.
16.3 Resumo
Nesta aula, você aprendeu que a partir da forma quadrática de-
finida com 3 variáveis surgem as quádricas centrais. E delas sur-
giram algumas superfícies de nível como o elipsóide, a esfera, o
hiperbolóide de uma e de duas folhas, o cone com base elíptica, o
cilindro reto de base elíptica e hiperbólica, além de outros casos
especiais.
16.4 Atividades
1. Determinar uma equação da esfera nas condições dadas.
259
Quádricas Centrais
(a) Centro C = (2,−3, 1) e raio 4.
(b) Centro C = (4,−1,−2) e passando por P = (2, 3,−1).
(c) Centro C = (0,−4, 3) e tangente ao plano Π : x+ 2y −
2z − 2 = 0.
2. Obter uma equação da superfície gerada pela rotação de cada
uma das curvas dadas em torno do eixo indicado.
(a) x2 + y2 = 9, contida no plano z = 0, em torno do
eixo−x.
(b)
x2
4
+
y2
16
= 1, contida no plano z = 0, em torno do eixo
maior.
(c) y = x, contida no plano z = 0, em torno do eixo−y.
3. Um elipsóide de rotação (centrado na origem) tem interseção
com o plano z = 0 dada pela elipse x2+
y2
4
= 1. Determine a
equação do elipsóide, sabendo que contém o ponto (0, 1,
√
6).
4. Considere um cone duplo C com vértice na origem O =
(0, 0, 0) e base na elipse E, definida
por x2/a2 + y2/b2 = 1
(contida no plano z = c).
(a) Mostre que se todo ponto P = (x, y, z) ∈ C, então para
todo t ∈ R o ponto P ′ = (tx, ty, tz) também está con-
tido em C.
(b) A recíproca da afirmação anterior é válida?
5. Identifique as superfícies definidas pelas equações, dizendo
ao longo de que eixo elas ocorrem, conforme o caso.
(a) 25x2 + 100y2 + 36z2 − 900 = 0
260
Vetores e Geometria Analítica: Livro 1
16
AULA
(b) z = 3−
√
x2 + y2
(c) 12x2 + 4y2 − 3z2 + 12
16.5 Comentário das atividades
Conseguiu resolver as atividades 1,2,3 e 5? Então você já tem
uma noção da definição de superfície de nível e a sua relação com
as quádricas centrais. Se respondeu à atividade 4, você entendeu
a propriedade do cone em que ele é também a reunião de todas
as retas que contêm a origem e o ponto P = (x, y, z), tal que
x2/a2 + y2/b2 = 1 (contida no plano z = c).
Se ainda tiver dificuldades, volte e reveja com cuidado os con-
ceitos apresentados na aula. Não esqueça que há tutores que po-
derão ajudar a eliminar as suas dúvidas. Desde já, lembre-se de
discutir os conteúdos com seus colegas.
16.6 Referências
STEINBRUCH, Alfredo , Geometria Analítica. São Paulo, Ma-
kron Books, 1987.
LIMA, Elon Lages , Geometria Analítica e Álgebra Linear. Rio de
Janeiro, IMPA, 2005.
BOLDRINI, José Luiz, Álgebra Linear . São Paulo, Harbra, 1980.
261
17
AULA
2
LIVRO
Completando Qua-
drados
META
Introduzir e exemplificar o método
de completamento de quadrados
para formas quadráticas com três
variáveis.
OBJETIVOS
Ao final desta aula, o aluno deverá
identificar uma quádrica central
(ou superfície quádrica) utilizando
o método de completamento de
quadrados.
PRÉ-REQUISITOS
Ter compreendido o conteúdo da
aula anterior (Quádricas Centrais).
Completando Quadrados
17.1 Introdução
Olá, caro aluno! Nesta aula iremos conhecer um método (Comple-
tamento de quadrados) para que dada uma forma quadrática com
três variáveis, possamos associar às quádricas centrais (ou superfí-
cies quádricas) estudadas na Aula 16.
Dada a equação
Ax2 +By2 + Cz2 + 2Dxy + 2Fxz + 2Eyz = d, (17.1)
como determinar dentre os tipos descritos na Aula 16, qual su-
perfície a equação define?
Antes de apresentarmos o método, precisamos de algumas de-
finições.
Definição 17.50. Uma forma quadrática ϕ(x, y, z) é considerada
positiva (respectivamente, negativa) quando ϕ(x, y, z) > 0 (res-
pectivamente, ϕ(x, y, z) < 0) para todo (x, y, z) 6= (0, 0, 0).
Definição 17.51. Se para quaisquer x, y, z tivermos ϕ(x, y, z) ≤ 0
(respectivamente, ϕ(x, y, z) 6= 0), diremos que ϕ é não-negativa
(respectivamente, não-positiva).
Definição 17.52. Se existirem pontos em R3, P1 = (x1, y1, z1) e
P2 = (x2, y2, z2), tal que
ϕ(x1, y1, z1) > 0 e ϕ(x2, y2, z2) < 0, diremos que ϕ é indefinida.
Afirmações
1. Quando a forma quadrática ϕ é positiva ou negativa, a super-
fície de nível ϕ(x, y, z) = d é um elipsóide, é vazia ou reduz-se
à origem, conforme d tenha o sinal de ϕ, sinal contrário ao
de ϕ ou seja zero.
264
Vetores e Geometria Analítica: Livro 1
17
AULA
2. Quando ϕ é não-negativa ou não-positiva e existem pontos
P = (x, y, z) 6= (0, 0, 0), tal que ϕ(x, y, z) = 0, então a su-
perfície de nível ϕ(x, y, z) = d é um cilindro de base elíptica,
um par de planos paralelos, um único plano, uma reta ou é
vazia.
3. E se a forma quadrática ϕ é indefinida (ou seja, muda de
sinal), então a superfície de nível ϕ(x, y, z) = d pode ser um
hiperbolóide de uma ou duas folhas, um cone, um cilindro de
base hiperbólica ou um par de planos que se cortam segundo
uma reta.
Vamos justificar as afirmações com exemplos que demonstra-
remos posteriormente.
17.2 Completando quadrados
Para completar quadrados na forma
ϕ(x, y, z) = Ax2 +By2 + Cz2 + 2Dxy + 2Fxz + 2Eyz,
entre os números A, B e C escolhemos um que não seja nulo.
Vamos supor que A 6= 0 e façamos desaparecer os produtos xy
e xz (caso em que A = B = C = 0, analisaremos mais tarde).
Escrevemos a soma das parcelas contendo x como
Ax2 + 2Dxy + 2Exz = A
[
x2 + 2x
(
D
A
y +
E
A
z
)]
= A
[(
x+
D
A
y +
E
A
z
)2
−
(
D
A
y +
E
A
z
)2]
265
Completando Quadrados
Tomando s = x+
(
D
A
y +
E
A
z
)
, obtemos
ϕ(x, y, z) = Ax2 +By2 + Cz2 + 2Dxy + 2Exz + 2Fyz
= (Ax2 + 2Dxy + 2Exz) +By2 + Cz2 + 2Fyz
= As2 −A
(
D
A
y +
E
A
z
)2
+By2 + Cz2 + 2Fyz
= As2 −
(
D2
A
y2 +
E2
A
z2 + 2
DE
A
yz
)
+By2 + Cz2 + 2Fyz
= As2 +
(
B − D
2
A
)
y2 +
(
C − E
2
A
)
z2 + 2
(
F − DE
A
)
yz
= As2 + ψ(y, z)
recaindo numa forma quadrática com duas variáveis, ψ(y, z), que
conhecemos na Aula 12.
Observação 28. No caso em que A = B = C = 0, ou seja, quando
ϕ(x, y, z) = 2Dxy + 2Exz + 2Fyz,
escolhemos entre D, E e F um que não seja nulo, isto é, D 6= 0, e
fazendo a mudança de variável x = r + s, y = r − s, notamos que
xy = r2 − s2,
xz = rz + sz e
yz = rz − sz,
e a forma quadrática fica
ϕ(x, y, z) = 2Dr2 − 2Ds2 + 2Erz + 2Esz + 2Frz − 2Fsz
⇓
ϕ(x, y, z) = 2Dr2 − 2Ds2 + 2(E + F )rz + 2(E − F )sz
recaindo no mesmo caso que o anterior.
266
Vetores e Geometria Analítica: Livro 1
17
AULA
Depois de completar todos os quadrados, a forma se escreve
como
ϕ(x, y, z) = ϕ(r, s, t) = A′r2 +B′s2 + C ′t2, (17.1)
e assim fica fácil verificar o sinal de ϕ.
Em relação ao sinal da forma quadrática e seus coeficientes,
elas podem ser:
positiva (respectivamente, negativa) - quando os coeficientes A′,
B′ e C ′ são positivos (respectivamente, negativos).
não-negativa (respectivamente, não-positiva) - quando os coe-
ficientes A′, B′ e C ′ são ≥ 0 (respectivamente, ≤ 0).
indeterminada - quando um dos coeficientes A′, B′ e C ′ é posi-
tivo e outro é negativo.
Exemplo 17.2.1. Seja ϕ(x, y, z) = x2+2y2+4z2−xy−2xz−3yz.
Vamos eliminar os produtos xy e xz? Para isso, façamos
ϕ(x, y, z) = x2 − 2x
(
1
2
y + z
)
+2y2 + 4z2 − 3yz
=
︷ ︸︸ ︷(
x− 1
2
y − z
)2
−
(
1
2
y + z
)2
+2y2 + 4z2 − 3yz
Tomando s = x− 1
2
y − z e substiguindo em ϕ(x, y, z), obtemos
ϕ(x, y, z) = s2 + (2− 1
4
)y2 + (4− 1)z2 + 2
(
−3
2
− 1
2
)
yz
⇓
ϕ(x, y, z) = s2 +
7
4
y2 + 3z2 − 4yz
267
Completando Quadrados
Repetindo o processso e completando mais um quadrado,
ϕ = s2 +
7
4
y2 + 3z2 − 4yz
= s2 + 3
(
z2 − 2z · 2
3
y +
7
12
y2
)2
= s2 + 3
[(
z − 2
3
y
)2
− 4
9
y2 +
7
12
y2
]
e desta vez, tomando t = z − 2
3
y, ficamos com
ϕ = s2 + 3
[
t2 +
5
36
y2
]
⇒ ϕ = s2 + 3t2 + 5
12
y2.
E percebemos, automaticamente, que a forma quadrática é posi-
tiva, pois A′, B′ e C ′ são positivos. Portanto, a forma quadrática
ϕ(x, y, z) = d, com d > 0, define o elipsóide.
Exemplo 17.2.2. Seja ϕ(x, y, z) = 2x2 + 3y2 − 4xy − 4yz, e se-
guindo o que foi feito no exemplo anterior,
ϕ(x, y, z) = 2(x2 − 2xy) + 3y2 − 4yz
= 2(x− y)2 − 2y2 + 3y2 − 4yz
Tomando s = x− y e substituindo
ϕ = 2s2 + y2 − 4yz,
executando mais um completamento de quadrados,
ϕ = 2s2 + (y2 − 4yz) ⇒ ϕ = 2s2 + (y − 2z)2 − 4z2,
e colocando t = y−2z, temos ϕ = 2s2+t2−4z2. Para as superfícies
de nível
2s2 + t2 − 4z2 = d , ou seja 2(x− y)2 + (y − 2z)2 = d+ 4z2
Como estudamos na Aula 16, notamos que se:
268
Vetores e Geometria Analítica: Livro 1
17
AULA
d = 0 → 2(x− y)2 + (y − 2z)2 = 4z2 representa um cone;
d < 0 → 2(x−y)2+(y−2z)2−d = 4z2 representa uma hipérbole. Além
disso, todos os pontos obedecem à condição 4z2 ≥ |d|, ou
seja |z| ≥√|d|/2. Deste modo, quando o nível d é negativo,
a superfície ϕ(x, y, z) = d não tem pontos entre os planos
z = −√|d|/2 e z = √|d|/2, portanto, é uma hipérbole de
duas folhas;
d > 0 → 2(x − y)2 + (y − 2z)2 − d = 4z2 representa uma hipérbole
de uma folha, pois a interseção da superfície com os planos
horizontais z = n é uma curva formada pelos pontos (x, y, n),
tal que
2x2 + 3y2 − 4xy − 4yn = d. (17.2)
Note que a equação (17.2) depende apenas de x e y. E como
aprendemos na Aula 13 (Equação Geral do Segundo Grau -
com duas variáveis), esta curva é uma elipse, pois a transla-
ção x = s+2n e y = t+2n introduz nesse plano coordenadas
s, t, nas quais a equação anterior fica
2s2 + 3t2 − 4st = d+ 4n2.
E assim, no plano z = n, a curva de nível com d+ 4n2 > 0,
da forma quadrática positiva 2s2 + 3t2 − 4st, nos diz que a
superfície de nível ϕ(x, y, z) = d corta cada plano horizontal
z = n segundo uma elipse, permitindo-nos concluir que tal
superfície é um hiperbolóide de uma folha.
(Veja as figuras (11.1), (11.2) e (11.3).)
269
Completando Quadrados
Figura 17.127: d =
0.
Figura 17.128: d >
0.
Figura 17.129: d <
0.
Exemplo 17.2.3. Seja ϕ(x, y, z) = x2+5y2+z2−4xy+2xz−4yz.
Vamos aplicar o método de completar quadrados,
ϕ = x2 + y2 + 2z2 − 2xy − 2xz − 2yz
= (x2 − 2xy − 2xz) + y2 + 2z2 + 2yz
= (x− y − z)2 − (y + z)2 + y2 + 2z2 + 2yz
= (x− y − z)2 − y2 − z2 − 2yz + y2 + 2z2 + 2yz
= s2 + z2 com s = x− y − z.
Verificamos que ϕ = s2 + z2 é uma forma quadrática não-negativa
e a superfície de nível ϕ(x, y, z) = d pode ser:
d < 0 → vazia;
d = 0 → é um conjunto de pontos P = (x, y, z), tal que
(x− y − z)2 + z2 = 0 se d = 0.
Ou seja, z = 0 e x = y, reduzindo a superfície a uma reta r,
formada pelos pontos (x, x, 0) com x ∈ R e
d < 0 → a superfície S corta o plano y = 0 segundo a curva
(x− z)2 + z2 = d ⇒ x2 − 2xz + 2z2 = d,
270
Vetores e Geometria Analítica: Livro 1
17
AULA
que é uma elipse E. E assim, um ponto P = (x, y, z) pertence
à superfície S representada por (x − y − z)2 + z2 = d se, e
somente se, P0 = (x−z, 0, z) pertence à elipse E. No entanto,
P = P0 + ~v, com ~v = (y, y, 0). Como (y, y, 0) é arbitrário
e é um ponto da reta r, concluímos que a superfície S é a
reunião das retas paralelas a r, tiradas a partir da elipse E.
Ou seja, S é o cilindro (oblíquo) de base E e geratriz r. (Veja
a figura (17.130).)
Figura 17.130: Nesta ilustração usamos d = −5/2.
Exemplo 17.2.4. Vejamos, agora, ϕ(x, y, z) = x2 + 3y2 + z2 +
4xy + 2xz + 4yz e façamos
ϕ = x2 + 3y2 + z2 + 4xy + 2xz + 4yz
= (x2 + 4xy + 2xz) + 3y2 + z2 + 4yz
= (x+ 2y + z)2 − (2y + z)2 + 3y2 + z2 + 4yz
= (x+ 2y + z)2 − 4y2 − z2 − 4yz + 3y2 + z2 + 4yz
= s2 − y2 com s = x+ 2y + z.
Portanto, a forma quadrática ϕ é indeterminada e sua superfície
271
Completando Quadrados
de nível está representada por
s2 − y2 = d
e para:
d = 0 → (s+ y)(s− y) = 0 e assim,
0 = s+ y = x+ 3y + z
0 = s− y = x+ y + z
⇒ Π1 : x+ 3y + z = 0
Π2 : x+ y + z = 0
Os planos Π1 e Π2 representam a superfície cuja Π1 ∩Π2 é a
reta g, dada por g : (x, 0,−x), x ∈ R.
d 6= 0 → a superfície S, representada por ϕ(x, y, z) = 0, corta o plano
z = 0 segundo a curva (x + 2y)2 − y2 = d ⇒ x2 + 4xy +
3y2 = d, que é uma hipérbole H. O ponto P = (x, y, z) ∈ S
se, e somente se, (x + 2y + z)2 − y2 = d, isto é, se P0 =
(x+ z, y, 0) ∈ H. Mas como P = P0 + ~v, com ~v = (−z, 0, z)
e o ponto (−z, 0, z) ∈ g, temos que a superfície de nível
ϕ(x, y, z) = d, ∀d 6= 0 é um cilindro (oblíquo) de base H
e geratriz g, formado pelas retas paralelas a g, tiradas por
pontos H.
Exemplo 17.2.5. Já para ϕ(x, y, z) = x2+y2+4z2+2xy−4xz−
4yz, temos
ϕ = x2 + y2 + 4z2 + 2xy − 4xz − 4yz
= (x2 + 2xy − 4xz) + y2 − 4z2 − 4yz
= (x+ y − 2z)2 − (y − 2z)2 + y2 + 4z2 − 4yz
= (x+ y − 2z)2 − y2 − 4z2 + 4yz + y2 + 4z2 − 4yz
= s2 com s = x+ y − 2z.
Notamos que para ϕ(x, y, z) = d, se:
272
Vetores e Geometria Analítica: Livro 1
17
AULA
d = 0 → é o plano x+ y − 2z = 0;
d > 0 → um par de planos paralelos x+ y − 2z = √d e x+ y − 2z =
−√d;
d < 0 → vemos que s2 = d ⇒ (x + y − 2z)2 = d não tem solução, e
assim o conjunto que representa ϕ = d é vazio.
(Veja as figuras (11.5), (11.6) e (11.7).)
Figura 17.131: d =
0.
Figura 17.132: d >
0.
Figura 17.133: d <
0.
17.3 Resumo
Nesta aula, você aprendeu que dada uma forma quadrática
ϕ(x, y, z) = Ax2+By2+Cz2+2Dxy+2Fxz+2Eyz = d, com d constante,
podemos associar a quádricas centrais estudadas na Aula 16.
17.4 Atividades
1. Completando os quadrados, identifique as superfícies de nível
definidas por cada uma das equações a seguir:
(a) x2 + y2 + z2 = 25;
273
Completando Quadrados
(b) 3x2 + 2y2 + 3z2 + 2xz = 2;
(c) y2 + 2z2 + 2
√
3yz = 0;
(d) −5y2 + 2xy − 8xz + 2yz = 0;
(e) 3x2 + 3z2 + 4xy + 8xz + 4yz = 1.
2. Nesta atividade, faça o mesmo procedimento da anterior, po-
rém, para as formas quadráticas que seguem:
(a) 3x2 + 2y2 + 3z2 + 2xz.
(b) −5y2 + 2xy − 8xz + 2yz.
(c) 4x2 + 3y2 − z2 − 12xy + 4xz − 8yz.
(d) −x2 − y2 − 7z2 + 16xy + 8xz + 8yz.
17.5 Comentário das atividades
Se você resolveu a atividade 1, então entendeu como podemos clas-
sificar algumas das equações da forma ϕ(x, y, z) = d (com ϕ uma
forma quadrática e d uma constante real fixada). Já na atividade
2, se a resolveu, aprendeu com os exemplos do texto a classificar as
possibilidades em que deixamos a equação na forma ϕ(x, y, z) = d,
com d um número real fixado.
Em caso de dificuldades, retome os conteúdos desta aula e não
se esqueça de consultar o tutor desta disciplina. Também é funda-
mental discutir os conteúdos com os seus colegas de curso.
17.6 Referências
BOLDRINI, José Luiz, Álgebra Linear . São Paulo: Harbra, 1980.
LIMA, Elon Lages , Geometria Analítica e Álgebra Linear. Rio de
274
Vetores e Geometria Analítica: Livro 1
17
AULA
Janeiro: IMPA, 2005.
STEINBRUCH, Alfredo , Geometria Analítica. São Paulo: Ma-
kron Books,1987.
275
18
AULA
2
LIVRO
Equação Geral do Se-
gundo Grau no Es-
paço
META
Apresentar as propriedades da
equação de segundo grau com três
variáveis e suas respectivas repre-
sentações no espaço.
OBJETIVOS
Ao final desta aula, o aluno deverá
efetuar translações nos eixos coor-
denados para identificar superfícies
representadas por equações com
três variáveis.
PRÉ-REQUISITOS
Ter compreendido o conteúdo da
aula anterior (Completando qua-
drados).
Equação Geral do Segundo Grau no Espaço
18.1 Introdução
Olá, caro aluno! Nesta aula, daremos continuidade aos estudos
das quádricas centrais. Estudaremos um pouco mais a respeito
das equações que representam as superfícies quádricas (quádricas
centrais) e os parabolóides (elíptico e hiperbólico).
Vamos analisar a função quadrática com três variáveis, ϕ :
R3 → R, dada por
ϕ(x, y, z) = Ax2+By2+Cz2+Dxy+Exz+Fyz+Gx+Hy+Iz+J
(18.1)
com A, B, C, D, E, F , G, H, z, J e d constantes reais não todos
nulos.
Iremos admitir que os eixos ortogonais já foram escolhidos de
tal sorte a eliminar os termos xy, xz e yz (D = E = F = 0), como
estudamos para duas variáveis. E assim, para simplificar, basta
considerarmos o caso da função
ϕ(x, y, z) = Ax2 +By2 + Cz2 +Gx+Hy + Iz + J
Vamos buscar uma translação de eixos tal que as coordenadas
x, y, z passem para r, s, t, obedecendo
x = r + h, y = s+ k, z = t+m
para que os termos do primeiro grau desapareçam. Façamos
ϕ(x, y, z) = ϕ(r + h, s+ k, t+m)
= ϕ(r, s, t)
= A(r + h)2 +B(s+ k)2 + C(t+m)2+
+G(r + h) +H(s+ k) + I(t+m) + J
= Ar2 +Bs2 + Ct2 +G′r +H ′s+ I ′t+ J ′,
278
Vetores e Geometria Analítica: Livro 1
18
AULA
sendo
G′ = 2Ah+G
H ′ = 2Bk +H
I ′ = 2Cm+ I
Agora, vamos analisar quatro casos.
18.2 A, B e C são diferentes de zero
Tomando h = − G
2A
, k = − H
2B
e m = − I
2C
, obtemos G′ = H ′ =
I ′ = 0, além de a equação ϕ(x, y, z) = d se reduzir a Ar2 +Bs2 +
Ct2 = d − J ′. Portanto, a superfície de nível de ϕ é uma das
quádráticas centrais já estudadas nas aulas 16 e 17.
18.3 Apenas um dos coeficientes A,B,C é
zero e os outros dois têm o mesmo sinal
Vamos admitir que se C = 0 (sem perda de generalidade) e AB > 0
(ou seja, têm mesmo sinal), temos
ϕ(x, y, z) = Ax2 +By2 +Gx+Hy + Iz + J.
Com a mudança de coordenadas x = r− G
2A
, y = s− H
2B
(mantendo
z), obtemos
ϕ(x, y, z) = ϕ(r, s, z) = Ar2 +Bs2 + Iz + J ′.
Observe as condições a seguir:
I = 0 → a função é escrita comoA′r2+B′s2+J ′, e assim, ϕ(x, y, z) =
d (ou seja,A′r2 +B′s2 = d− J ′) representa:
1. um cilindro vertical de base elíptica quando d− J ′,A e
B têm mesmo sinal;
279
Equação Geral do Segundo Grau no Espaço
2. um conjunto vazio se d−J ′,A e B não têm mesmo sinal;
3. e a reta vertical r = s = 0 (ou seja, x = − G
2A
, y = − H
2B
se d = J ′).
I 6= 0 → Neste caso, ϕ(x, y, z) = d se expressa, dependendo de r,
s e t, por
Ar2 +Bs2 + Iz + J ′ = d ⇒
Iz = −Ar2 −Bs2 − J ′ + d ⇒ z = −A
I
r2 − B
I
s2 +
d− J ′
I
ponto, A′ = −A
I
, B′ = −B
I
e p =
d− J ′
I
obtemos
z = A′r2 +B′s2 + p.
Definição 18.53. A superfície represtentada por z = A′r2+B′s2+
p é denominada de um parabolóide elíptico.
Figura 18.134: Parabolóide P = {(x, y, z) ∈ R3; z = x2 + y2}.
Observação 29. Um parabolóide tem concavidade voltada para
cima se A′ e B′ são positivos e para baixo se A′ e B′ forem nega-
tivos.
280
Vetores e Geometria Analítica: Livro 1
18
AULA
Figura 18.135: P ∩
plano− xz.
Figura 18.136: P ∩
plano− yz.
Figura 18.137: P ∩
plano− xy.
Exemplo 18.3.1. Qual será a superfície representada pela equa-
ção x2 + 2y2 + 4x− 4y + 2z + 1 = 0 ? Vamos efetuar a mudança
de coordenadas, x = r − G
2A
, y = s − H
2B
. Ou seja, x = r − 2 e
y = s+ 1, substituindo na equação
(r − 2)2 + 2(s+ 1)2 + 4(r − 2)− 4(s+ 1) + 2z + 1 = 0,
e expandindo os quadrados anteriores, obtemos
r2 + 2s2 + 2z − 5 = 0 ⇒ z = −1
2
r2 − s2 + 5
2
.
E assim, percebemos que a superfície representada pela equação
anterior é um cilindro parabólico.
18.4 Apenas um dos coeficientes A,B,C é
nulo e os outros dois têm sinais opostos
Suponhamos (sem perda de generalidade) que C = 0 e temos
ϕ(x, y, z) = Ax2 +By2 +Gx+Hy + Iz + J,
sendo AB < 0. Como em (18.3), uma translação dos eixos nos dá
ϕ(x, y, z) = ϕ(x, y, z) = Ar2 +Bs2 + Iz + J ′.
Podemos ainda verificar as seguintes possibilidades:
281
Equação Geral do Segundo Grau no Espaço
Figura 18.138: x2 + 2y2 + 4x− 4y + 2z + 1 = 0.
I = 0 → da equação ϕ(x, y, z) = d ⇒ Ar2 +Bs2 = d− J ′, o que
representa um cilindro vertical com base hiperbólica ou um
par de planos que se intersectam na reta vertical r = s = 0
se d = J ′.
I 6= 0 → de ϕ(x, y, z) = d ⇒ A′r2+B′s2+p = z, com A′ = −A
I
,
B′ = −B
I
e p = −d− J
′
I
(lembrando que A e B têm sinais
opostos, implica que A′ e B′ também o têm).
Definição 18.54. A superfície representada pela equação z =
A′r2 + B′s2 + p (A′ e B′ com sinais opostos) é um parabolóide
hiperbólico (também conhecida como sela, devido ao formato de
uma sela de cavalo). É gerada por uma parábola que se desloca pa-
ralelamente com seu vértice deslizando sobre outra parábola com
concavidade invertida.
Exemplo 18.4.1. Qual será a superfície representada pela equa-
ção 3x2 − 2y2 + 6xy + x + 2z = 1? Para descobrirmos, primeira-
mente vamos efetuar o processo de eliminação do termo xy, que
282
Vetores e Geometria Analítica: Livro 1
18
AULA
Figura 18.139: z = x2 − y2
aprendemos na Aula 17 (Completando Quadrados). Deste modo,
façamos
0 = 3x2 − 2y2 + 6xy + x+ 2z − 1 3(x2 + 2xy)− 2y2 + x+ 2z − 1
3(x+ y)2 − 3y2 − 2y2 + x+ 2z − 1
Tomando r0 = x+ y (implicando que x = r0 − y), obtemos
3r20 − 5y2 + r0 − y + 2z − 1 = 0.
Note que nesta equação A = 3, B = −5, C = E = E = F = 0,
G = 1, H = −1, I = 2 e J = −1. Agora, queremos eliminar
os termos lineares ( os que têm x e y, ou seja G e H). Para
isso, como sugerido na seção (18.3), introduzimos as mudanças de
coordenadas
r0 = r − G2A
y = s− H2B
⇒ r0 = r −
1
6
y = s− 110
Substituindo
3
(
r − 1
6
)2
− 5
(
s− 1
10
)2
+
(
r − 1
6
)
−
(
s− 1
10
)
+ 2z − 1 = 0.
283
Equação Geral do Segundo Grau no Espaço
⇓
3r2 − 5s2 + 2z − 31
30
= 0
⇓
z = −3
2
r2 +
5
2
s2 +
31
60
Portanto, a superfície é um parabolóide hiperbólico.
Figura 18.140: 3x2 − 2y2 + 6xy + x+ 2z = 1.
18.5 Um dos coeficientes A,B,C é diferente
de zero e os outros dois são nulos
Considerando A 6= 0 e B = C = 0, a função quadrática é dada por
ϕ(x, y, z) = Ax2 +Gx+Hy + Iz + J.
Efetuando a mudança de coordenadas x = r− G
2A
e mantendo y e
z, fica
ϕ(x, y, z) = ϕ(r, y, z) = Ar2 +Hy + Iz + J.
284
Vetores e Geometria Analítica: Livro 1
18
AULA
1. Se H = I = 0, ϕ(x, y, z) = d ⇒ r2 = d− J
′
A
, o que define:
(a) se
d− J ′
A
> 0, um par de planos perpendiculares ao
eixo−x;
(b) se d = J ′, um único plano ou
(c) se
d− J ′
A
< 0, o conjunto vazio.
2. Suponhamos que um dos coeficientes H, I seja não nulo, isto
é, I 6= 0. Assim,
ϕ(x, y, z) = d ⇒ Ar2+Hy+Iz+J ′ = d ⇒ z = A′r2+H ′y+p
com A′ = −A
I
, A′ = −H
I
e p = −d− J
′
I
, então percebemos
que a superfície representada pela equação
Ax2 +Gx+Hy + Iz + J = d
é o cilindro obtido pelo deslocamento da parábola z = A′r2+
p (ou seja, z = A′
(
x+
G
2A
)
+ p) contida no plano y = 0,
paralelamente a si mesma, com seu vértice deslizando sobre a
reta z = H ′y+p, situada no plano r = 0 (ou seja, x = − G
2A
).
Exemplo 18.5.1. Como verificamos no exemplo 5 da Aula 17,
a forma quadrática ϕ(x, y, z) = x2 + y2 + 4z2 + 2xy − 4xz − 4yz
pode ser reescrita da seguinte forma:
ϕ = r20 com r0 = x+ y − 2z.
Vamos usar isso para a equação x2 + y2 + 4z2 + 2xy− 4xz− 4yz−
x+ y + z = 1, sendo x = r0 − y + 2z, notamos que
x2+y2+4z2+2xy−4xz−4yz−x+y+z = 1 ⇒ r20−(r0−y+2z)+y+z = 1
285
Equação Geral do Segundo Grau no Espaço
Figura 18.141: Nesta ilustração, z = x2.
e assim, a equação fica r20 − r0 + 2y − z = 1. Façamos, agora, a
seguinte translação:
r0 = r − (−1)2 · 1 = r +
1
2
e obteremos(
r +
1
2
)2
−
(
r +
1
2
)
−y+z = 1 ⇒ r2−y+z = 5
4
⇒ z = r2−y−5
4
E assim, a superfície representada pela equação x2 + y2 + 4z2 +
2xy − 4xz − 4yz − x+ y + z = 1 é um cilindro parabólico.
18.6 Resumo
Nesta aula, aprendemos que é possível associar uma equação geral
do segundo grau com três variáveis a algumas superfícies (quá-
dricas centrais e parabolóides). Além disso, verificamos que essas
superfícies podem ser mais claramente identificadas se efetuarmos
mudanças de variáveis.
286
Vetores e Geometria Analítica: Livro 1
18
AULA
Figura 18.142: x2 + y2 + 4z2 + 2xy − 4xz − 4yz − x+ y + z = 1.
18.7 Atividades
1. Usando a técnica de completamento de quadrados, identifi-
que as superfícies de nível definidas por cada uma das equa-
ções a seguir:
(a) x2 + 2y2 + 4z2 = 9;
(b) x2 + xy − 2xz + yz = 0;
(c) y2 − 2z2 + 2√3yz − 2 = 0;
(d) 3x2 + 3z2 + 2xz = 2;
18.8 Comentário das atividades
Nesta única atividade com 4 itens, você poderá exercitar seus co-
nhecimentos a respeito dos 4 tipos de classificações para as equa-
ções do segundo grau com três variáveis.
Caso haja dificuldades na resolução da atividade, retome os
conteúdos estudados durante esta aula e não se esqueça de que há
287
Equação Geral do Segundo Grau no Espaço
tutores para ajudá-lo com as dúvidas.
18.9 Referências
BOLDRINI, José Luiz, Álgebra Linear . São Paulo: Harbra, 1980.
LIMA, Elon Lages , Geometria Analítica e Álgebra Linear. Rio de
Janeiro: IMPA, 2005.
STEINBRUCH, Alfredo , Geometria Analítica. São Paulo: Ma-
kron Books,1987.
288
19
AULA
2
LIVRO
Transformações Line-
ares no Espaço
META
Identificar e ilustrar algumas trans-
formações lineares de Rn em Rm
(em especial, para n = m = 3), bem
como as transformações lineares
ortogonais e suas propriedades.
OBJETIVOS
Ao final desta aula, o aluno deverá
identificar e utilizar as transforma-
ções de Rn sobre Rm, bem como as
transformações lineares ortogonais
(quando n = m = 3).
PRÉ-REQUISITOS
Ter compreendido transformações li-
neares no plano, mudanças de coor-
denadas no espaço e quádricas cen-
trais.
Transformações Lineares no Espaço
19.1 Introdução
Olá, nesta aula vamos expandir a definição de transformação li-
near apresentada na Aula 14. Conheceremos alguns exemplos de
transformações lineares, como as transformações lineares ortogo-
nais com as propriedades de preservarem o produto interno e os
comprimentos das imagens dos vetores pela transformação.
19.2 Transformações lineares
Vamos começar com uma definição mais generalizada.
Definição 19.55. Sejam V = Rn e W = Rm (com n,m = 1, 2 ou
3) dois conjuntos. Uma transformação linear é uma função de
V em W , F : V →W , que satisfaz as seguintes condições:
(i) quaisquer que sejam ~u e ~v em V ,
F (~u+ ~v) = F (~u) + F (~v). (19.1)
(ii) quaisquer que sejam ~u V e λ ∈ R,
F (λ~u) = λF (~u). (19.2)
Exemplo 19.2.1. Vejamos alguns exemplos:
1. A transformação T : R2 → R2 (com m = n = 2),definida por
T (x, y) = (y, 0) é uma linear, pois
(i) Dados ~u = (x1, y1) e ~v = (x2, y2), temos que ~u + ~v =
290
Vetores e Geometria Analítica: Livro 1
19
AULA
(x1 + x2, y1 + y2) e
T (~u+ ~v) = T (x1 + x2, y1 + y2)
= (y1 + y2, 0)
= (0, y1, 0) + (0, y2, 0)
= T (~u) + T (~v).
(ii) dados ~u = (x1, y1) e a ∈ R, temos que a~u = (ax1, ay1)
e
T (~u+ ~v) = T (ax1, ay1)
= (ay1, 0)
= (a(y1), 0)
= a(y1, 0)
= aT (~u).
2. A aplicação F : R2 → R3 (veja que neste caso, n = 2 e m =
3), definida por F (x, y) = (0, x+ y, 0), é uma transformação
linear, pois
(i) dados ~u = (x1, y1) e ~v = (x2, y2), temos que ~u + ~v =
(x1 + x2, y1 + y2) e
F (~u+ ~v) = F (x1 + x2, y1 + y2)
= (0, (x1 + x2) + (y1 + y2), 0)
= (0, (x1 + y1) + (x2 + y2), 0)
= (0, x1 + y1, 0) + (0, x2 + y2, 0)
= F (~u) + F (~v).
(ii) dados ~u = (x1, y1) e a ∈ R, temos que a~u = (ax1, ay1)
291
Transformações Lineares no Espaço
e
F (~u+ ~v) = F (ax1, ay1)
= (0, ax1, ay1, 0)
= (0, a(x1 + y1), 0)
= a(0, x1 + y1, 0)
= aF (~u).
3. A transformação S : R3 → R2, dada por S(x, y, z) = (xz, yx)
não é linear, pois se fosse, S(a~u) = aS(~u), para todo ~u ∈ R3.
No entanto, se ~u = (x1, y1, z1), temos que
S(a~u) = S(ax1, ay1, az1)
= ((ax1)(az1), (ay1)(az1))
=
(
a2(x1z1, a2(y1z1)
)
= a2(x1z1, y1z1)
= a2S(x1, y1, z1)
= a2S(~u)
⇒ S(a~u) 6= aS(~u).
Não obedecendo, assim, à propriedade (ii).
4. Já a transformação Q : R → R, dada por Q(x) = 2x + 1
também não é linear. Perceba que T (x1) = 2x1 + 1T (x2) = 2x2 + 1
e para T (x1 + x2) = 2(x1 + x2) + 1. Vemos que
T (x1)+T (x2) = (2x1+1)+(2x2+1) = 2(x1+x2)+2 6= T (x1+x2).
Portanto, não obedecendo à propriedade (i).
292
Vetores e Geometria Analítica: Livro 1
19
AULA
19.3 Transformações lineares em R3
Agora, vamo-nos concentrar em transformações T : R3 → R3 que
serão nosso objeto de estudo.
Definição 19.56. Uma transformação linear T : R3 → R3 é
uma correspondência que associa a cada vetor ~v = (x, y, z) em R3
um vetor T (~v) = (x′, y′, z′), chamado imagem, ou o transfor-
mado de ~v por T , com
x′ = a1x+ b1y + c1z
y′ = a2x+ b2y + c2z
z′ = a3x+ b3y + c3z.
Os coeficientes ai, bi, ci (i = 1, 2, 3) determinam a matriz
M =

a1 b1 c1
a2 b2 c2
a3 b3 c3

chamada de matriz da transformação linear T .
Note que sendo
~i = (1, 0, 0), ~j = (0, 1, 0) e ~k = (0, 0, 1) vetores
da base canônica,
T (~i) = (a1 · 1 + b1 · 0 + c1 · 0, a2 · 1 + b2 · 0 + c2 · 0, a3 · 1 + b3 · 0 + c3 · 0)
T (~j) = (a1 · 0 + b1 · 1 + c1 · 0, a2 · 0 + b2 · 1 + c2 · 0, a3 · 0 + b3 · 1 + c3 · 0)
T (~k) = (a1 · 0 + b1 · 0 + c1 · 1, a2 · 0 + b2 · 0 + c2 · 1, a3 · 0 + b3 · 0 + c3 · 1)
⇓
T (~i) = (a1, a2, a3)
T (~j) = (b1, b2, b3)
T (~k) = (c1, c2, c3)
Ou seja, as colunas de M são os vetores T (~i), T (~j), T (~k).
293
Transformações Lineares no Espaço
Recorremos à definição de transformação linear no plano dada
na Aula 14 e notamos que para ~u,~v ∈ R3 e λ ∈ R quaisquer,
tem-se
T (~u+ ~v) = T (~u) + T (~v), T (λ~v) = λT (~v) (19.1)
Exercício 19.3.1. Verifique que numa transformação linear valem
as igualdades (19.1). (Veja exercício (2).)
A recíproca também é válida, isto é, se uma transformação
T : R3 → R3 satisfaz às igualdades (19.1), então T é uma trans-
formação linear. De fato, sejam T (~i) = (a1, a2, a3), T (~j) =
(b1, b2, b3) e T (~k) = (c1, c2, c3). Dado ~v = (x, y, z) ∈ R3, tem-se
~v = x~i+ y~j + z~k, e sua imagem por T será
T (~v) = T (x~i+ y~j + z~k)
= T (x~i) + T (y~j) + T (z~k)
= xT (~i) + yT (~j) + zT (~k)
= x(a1, a2, a3) + y(b1, b2, b3) + z(c1, c2, c3)
= (a1x+ b1y + c1z, a2x+ b2y + c2z, a3x+ b3y + c3z)
Definição 19.57. Considere a transformação S : R3 → R3 com
matriz
N =

p1 q1 r1
p2 q2 r2
p3 q3 r3
 .
A soma T + S : R3 → R3, o produto λT : R3 → R3 (pelo λ ∈ R) e
o produto TS : R3 → R3 das transformações lineares (T e S) são,
respectivamente,
(T + S)(~v) = T (~v) + S(~v),
(λT )(~v) = (λT )(~v) e
(TS)(~v) = T (S(~v)) .
(19.2)
294
Vetores e Geometria Analítica: Livro 1
19
AULA
As transformações T + S, λT e TS são todas lineares. A veri-
ficação das transformações T + S e λT ficam como exercício (veja
exercício (3)). Para a transformação TS, a sua matriz da trans-
formação seráMN . De fato, note que a primeira coluna da matriz
TS é
(TS)(~i) = T
(
S(~i)
)
= T (p1, p2, p3)
= (a1p1 + b1p2 + c1p3, a2p1 + b2p2 + c2p3,
a3p1 + b3p2 + c3p3)
que é a primeira coluna da matriz MN . Podemos proceder de
forma análoga para a segunda e a terceira colunas da matriz de
TS, pois percebemos que elas coincidem com a matriz MN e,
assim, a matriz de TS é MN .
Exemplo 19.3.1. Vejamos algumas transformações bem simples
de serem observadas.
(a) [Identidade] Id : R3 → R3, dada por Id(~v) = ~v, para todo
~v ∈ R3.
(b) [Transformação Nula] O : R3 → R3, sendo O(~v) = ~0,
para todo ~v ∈ R3.
Note que em (a), a matriz da transformação é
I3 =

1 0 0
0 1 0
0 0 1

295
Transformações Lineares no Espaço
a matriz identidade 3× 3, enquanto que em (b) a matriz de
Em geral, denotamos
as matrizes identidade
de ordem n× n por In.
O é 
0 0 0
0 0 0
0 0 0

a matriz nula 3× 3.
(c) [Homotetia] A transformação H = α ·Id : R3 → R3 chama-
se a homotetia de centro O = (0, 0, 0) e razão α. Veja que
(α · Id)(~v) = α~v para todo ~v ∈ R3. Sua matriz é da forma
α · I3 =

α 0 0
0 α 0
0 0 α

Exemplo 19.3.2. [Projeção ortogonal sobre uma reta] Seja
r uma reta passando pela origem de R3 e com direção ~u = (a, b, c).
Tem-se r = {t~u, t ∈ R}, a projeção ortogonal P : R3 → R3 so-
bre a reta r corresponde a cada vetor ~v = (x, y, z) ∈ R3 ao vetor
P (~v) ∈ r, tal que ~v − P (~v) é ortogonal a ~u. Deste modo,
P (~v) = t~u, t ∈ R e 〈u, v − P (~v)〉 = 0 ⇒ 〈~u,~v〉 = 〈~u, P (~v)〉.
Tomando 〈~u, ~u〉 = 1, temos de P (~v) = t~u,
〈~u,~v〉 = 〈~u, t~u〉
= t〈~u, ~u〉
⇒ 〈~u,~v〉 = t = 〈~u, P (~v)〉
E assim, P (~v) = t~u = 〈~u, P (~v)〉 · ~u = 〈~u,~v〉 · ~u. Percebemos ainda
que :
296
Vetores e Geometria Analítica: Livro 1
19
AULA
Figura 19.143: P (~v) = 〈~v, ~u〉~u
(i) para quaisquer ~v, ~w ∈ R3,
P (~v + ~w) = 〈~u,~v + ~w〉 · ~u
= 〈~u,~v〉 · ~u+ 〈~u, ~w〉 · ~u
= P (~v) + P (~w)
(ii) para quaisquer ~v ∈ R3 e α ∈ R,
P (α · ~v) =
〈~u, α · ~v〉 · ~u
= α · 〈~u,~v〉 · ~u
= α · P (~v)
Logo, P é linear. Com respeito as suas coordenadas, sabendo que
~u = (a, b, c) e ~v = (x, y, z), temos P (~v) = (x′, y′, z′), com

x′ = a2x+ aby + acz
y′ = abx+ b2y + bcz
z′ = acx+ bcy + c2z,
297
Transformações Lineares no Espaço
a matriz da transformação será dada por
P =

a2 ab ac
ab b2 bc
ac bc c2
 .
O posto de P é 1, pois seus vetores-coluna são múltiplos de ~u =
(a, b, c).
Exemplo 19.3.3. [Reflexão em torno de uma reta] Seja r
uma reta em R3 que passa pela origem e contém o vetor unitário
~u = (a, b, c). A reflexão em torno da reta r é a função R : R3 → R3
associando cada ~v = (x, y, z) ∈ R3 ao vetor R(~v) tal que r é a
mediatriz do segmento de reta que liga ~v a R(~v). Notamos da
figura (19.144) que
~v +R(~v) = 2P (~v)
em que P (~v) = 〈~v, ~u〉~u é a projeção ortogonal de ~v sobre a reta r.
Ou seja, R = 2P − Id ou, mais explicitamente,
R(~v) = 2〈~v, ~u〉~u− ~v ∀~v ∈ R3.
Portanto, R é uma transformação linear e sua matriz é N =
2P − I3, ou seja,
N = 2·

a2 ab ac
ab b2 bc
ac bc c2
−

1 0 0
0 1 0
0 0 1
 =

2a2 − 1 2ab 2ac
2ab 2b2 − 1 2bc
2ac 2bc 2c2 − 1

19.3.1 Transformações ortogonais
Definição 19.58. Uma transformação linear T : R3 → R3 chama-
se ortogonal quando sua matriz M é ortogonal, isto é, tM ·M =
M · (tM) = I3.
298
Vetores e Geometria Analítica: Livro 1
19
AULA
Figura 19.144: R(~v) = 2P (~v)− ~v
A reflexão do exemplo (19.3.3) é ortogonal. De fato, a matriz
da transformação R, N é simétrica, ou seja, N =t N ⇒ N2 =
N · (tN) = I3.
Exercício 19.3.2. Verifique que N2 = I3.
As rotações em torno de um eixo também são transformações
Todas as rotações
ilustradas neste exem-
plo são no sentido
anti-horário, para
rotacioná-las no sen-
tido horário, basta
trocar θ por −θ.
lineares ortogonais.
Exemplo 19.3.4. A rotação de um ângulo θ em torno do eixo−z
é a transformação linear
Tz : R3 → R3
~v = (x, y, z) 7→ Tz(~v) = (x cos θ − ysen θ, xsen θ + y cos θ, z).
cuja matriz é da forma
Rθ =

cos θ −sen θ 0
sen θ cos θ 0
0 0 1

Note que Rθ · (tRθ) =t Rθ ·Rθ = I3. Temos ainda os caso em que:
299
Transformações Lineares no Espaço
1. a rotação é em torno do eixo−x, cuja matriz da transforma-
ção Tx é dada por
Rθ =

1 0 0
0 cos θ −sen θ
0 sen θ cos θ

2. a rotação é em torno do eixo−y, cuja matriz da transforma-
ção Ty é dada por
Rθ =

cos θ 0 −sen θ
0 1 0
sen θ 0 cos θ
 .
Munidos das matrizes de rotação do exemplo anterior, podemos
construir algumas superfícies de revolução rotacionando curvas em
torno de eixos pré-determinados. Por exemplo, podemos obter um
parabolóide (circular) rotacionando a parábola p(t) = (t, 0, t2), t ∈
R em torno do eixo−z, fazendo corresponder para cada θ uma cópia
da parábola original rotacionada.
Rθ · p(t) =

cos θ −sen θ 0
sen θ cos θ 0
0 0 1


t
0
t2
 =

t cos θ
t sen θ
t2

E assim, temos uma outra maneira de parametrizar o mesmo pa-
rabolóide (neste caso, com base circular) que estudamos na Aula
18.
Podemos obter também a esfera de raio 1, (S2), rotacionando
a curva (x,
√
1− x2, 0) em torno do eixo−x, como ilustra a figura
300
Vetores e Geometria Analítica: Livro 1
19
AULA
Figura 19.145: Parábola con-
tida no plano Πxz, dada por
p(t) = (t, 0, t2), t ∈ R.
Figura 19.146: Parabolóide
gerado pela rotação da pará-
bola p(t) em torno do eixo−z.
a seguir. Neste caso, a parametrização será dada por
1 0 0
0 cos θ −sen θ
0 sen θ cos θ


x
√
1− x2
0
 =

x
−
(√
1− x2
)
sen θ
−
(√
1− x2
)
cos θ

Note que
x2 +
(√
1− x2sen θ
)2
+
(√
1− x2 cos θ
)2
=
= x2 + (1− x2)sen2θ + (1− x2) cos2 θ
= x2 + (1− x2)(sen2θ + cos2 θ)
= x2 + 1− x2
= 1,
confirmando que β(t, θ) =
(
x,−√1− x2sen θ,−√1− x2 cos θ
)
obe-
dece à equação x2 + y2 + z2 = 1 da esfera unitária.
Proposição 1. Uma transformação linear ortogonal T : R3 → R3
preserva o produto interno de vetores, ou seja, T é ortogonal. En-
tão, para quaisquer ~u,~v ∈ R3, tem-se 〈T (~u), T (~v)〉 = 〈~u,~v〉.
Demonstração. Sejam ~u = (a, b, c) e ~v = (x, y, z) em R3, interpre-
tamos o produto interno 〈~u,~v〉 = ax+by+cz com sendo o produto
301
Transformações Lineares no Espaço
Figura 19.147: Semi-
circunferência contida
no plano Πxy, dada por
q(t) = (t,
√
1− t2, 0), t ∈ R.
Figura 19.148: Esfera ge-
rada pela rotação da semi-
circunferência q(t) em torno
do eixo−x.
t~u · ~v das matrizes
t~u =
(
a b c
)
e ~v =

x
y
z
 .
E seM é a matriz da transformação linear ortogonal, tem-se por
definição
tM ·M = I3, e temos ainda que
〈T (~u), T (~v)〉 =t (M~u) (M~v) =t~u tMM~v =t~u I3 ~v =t~u · ~v = 〈~u,~v〉
Proposição 2. Se a transformação linear ortogonal preserva o pro-
duto interno, também preserva comprimentos.
Demonstração. Partindo do produto
〈T (~u), T (~v)〉 = 〈~u,~v〉,
e tomando ~u = ~v, obtemos
〈T (~u), T (~u)〉 = 〈~u, ~u〉 ⇒ |T (~u)|2 = |~u|2 ⇒ |T (~u)| = |~u|, ∀ ~u ∈ R3.
302
Vetores e Geometria Analítica: Livro 1
19
AULA
Exemplo 19.3.5. Usando mais uma vez os exemplos das matrizes
de rotação sob os eixos coordenados (x, y e z) e dados os vetores
~v = (1, 0, 1) e ~w = (1, 1,−1), notamos que 〈~v, ~w〉 = 0. Vamos
rotacioná-los em torno do eixo−y em θ = pi/3 (ou seja, 600). Assim
a matriz de rotação é dada por
PRpi
3
=

cos pi3 0 −sen pi3
0 1 0
sen pi3 0 cos
pi
3
 . =

1
2 0 −
√
3
2
0 1 0
√
3
2 0
1
2

logo, Rpi
3
~v =
(
1
2
−
√
3
2
, 0,
1
2
+
√
3
2
)
e
Rpi
3
~w =
(√
3
2
+
1
2
, 1,
√
3
2
− 1
2
)
⇒ 〈Rpi
3
~v,Rpi
3
~w〉 = 0, note ainda
que
|~v| =
√
12 + 02 + 12 =
√
2 e |~w| =
√
12 + 12 + (−1)2 =
√
3
e que
|Rpi
3
~v| =
√√√√(√3
2
+
1
2
)2
+ 02 +
(
1
2
+
√
3
2
)2
=
√
2 e
|Rpi
3
~w|
√√√√(1
2
+
√
3
2
)2
+ 12 +
(√
3
2
− 1
2
)2
=
√
3
E assim, percebemos que as imagens dos vetores ~v e ~w pela rotação
Ty estão de acordo com as afirmações anteriores.
Na próxima aula
Apresentaremos mais alguns exemplos sobre transformações li-
neares no espaço, como uma aplicação à óptica, na projeção de
objetos em 3D para 2D e em codificação de mensagens.
303
Transformações Lineares no Espaço
19.4 Resumo
Nesta aula, conhecemos uma definição um pouco mais geral que
a já conhecida para transformações lineares. Concentrando-nos
apenas nas transformações de R3 em R3, foi possível observar que
para cada transformação linear existe uma matriz quadrada associ-
ada, chamada de matriz da transfomação. Além disso, conhecemos
mais alguns exemplos e propriedades como a conservação do pro-
duto interno e de comprimentos das imagens de vetores através de
transformações lineares ortogonais.
19.5 Atividades
1. Verifique se as transformações a seguir são lineares ou não.
(a)
T : R2 → R2
(x, y) 7→ T (x, y) = (x+ y, x− y)
(b)
F : R2 → R
(x, y) 7→ F (x, y) = xy + 1
(c)
f : R → R
x 7→ f(x) = |x|
(d) G : R3 → R2 definida por
G(x, y, z) =
(
x y z
)
·

1 2
−1 0
1 −1
 .
(e)
F : R3 → R
(x, y, z) 7→ F (x, y) = x+ y − 2z
304
Vetores e Geometria Analítica: Livro 1
19
AULA
2. Seja T : R3 → R3 uma transformação linear como na defini-
ção (19.56), com
T (x, y, z) = (a1x+b1y+c1z, a2x+b2y+c2z, a3x+b3Py+c3z).
Verifique que para ~u,~v ∈ R3 e λ ∈ R quaisquer, valem as
igualdades:
(a) T (~u+ ~v) = T (~u) + T (~v);
(b) T (λ~v) = λT (~v).
3. Verifique que para as transformações lineares T : R3 → R3 e
S : R3 → R3, também são lineares as transformações:
(a) a soma T + S : R3 → R3, definido por (T + S)(~v) =
T (~v) + S(~v);
(b) o produto λT : R3 → R3 (pelo λ ∈ R), definida por
(λT )(~v) = (λT )(~v).
4. Use as matrizes de rotação a fim de construir parametrizações
para:
(a) o elipsóide, rotacionando a curva β(t) = (t, 2
√
1− t2, 0), t ∈
R;
(b) o cone, rotacionando a reta γ(t) = (0, t, t), t ∈ R.
5. Use a técnica de demonstração da proposição (1) para de-
monstrar que se T : R3 → R3 é uma transformação linear
ortogonal que preserva comprimentos (ou seja, |T (~u)| = |~u|,
∀ ~u ∈ R3), então também preserva produto interno (isto
é,〈T (~u), T (~v)〉 = 〈~u,~v〉, ∀ ~u,~v ∈ R3).
6. Mostre que:
305
Transformações Lineares no Espaço
(a) a transformação Tx : R3 → R3, dada por Tx(~v) = Rα~v
(rotacionada num ângulo α em torne do eixo−x) e Ty :
R3 → R3, dada por Tx(~u) = Rθ~u (rotacionada num ân-
gulo θ em torne do eixo−y) , preserva produto interno;
(b) a transformação (TyTx)(~v) = Ty(Tx(~v))∀~v ∈ R3 pre-
serva produto interno.
(c) (generalizando) para quaisquer transformações ortogo-
nais T, S, a transformação ST também é ortogonal e
preserva produto interno.
19.6 Comentário das atividades
Se você conseguiu resolver as atividades 1,3 e 4, então entendeu a
definição de transformações lineares. Respondendo às atividades
2, 5 e 6, perceberá que podemos encontrar outras propriedades
nos conjuntos das transformações lineares relativas à composição,
soma e produto por um escalar e produto interno. Já na questão
7, você deve ter notado que podemos escrever funções (também
chamadas de parametrizações) para algumas figuras geométricas
já conhecidas nossas (superfícies quádricas).
19.7 Referências
BOLDRINI, José Luiz, Álgebra Linear . São Paulo: Harbra, 1980.
LIMA, Elon Lages , Geometria Analítica e Álgebra Linear. Rio de
Janeiro: IMPA, 2005.
STEINBRUCH, Alfredo , Geometria Analítica. São Paulo: Ma-
kron Books,1987.
306
Vetores e Geometria Analítica: Livro 1
19
AULA
307
20
AULA
2
LIVRO
Aplicações de Trans-
formações Lineares
META
Apresentar alguns exemplos de
transformações lineares e suas
propriedades.
OBJETIVOS
Ao final desta aula, o aluno deverá
reconhecer alguns exemplos de
transformações lineares.
PRÉ-REQUISITOS
Ter compreendido o conceito de
transfomação linear estudado na
aula anterior.
Aplicações de Transformações Lineares
20.1 Introdução
Olá, caro aluno! Nesta aula, conheceremos três aplicações das
transformações lineares. A primeira refere-se a uma aplicação na
Física, especificamente na reflexão de raios de luz em espelhos pla-
nos. No segundo exemplo, estudaremos uma técnica, muitas vezes
usada intuitivamente, para projetar para o plano objetos que es-
tão no espaço. Já no último exemplo, verificaremos que através do
auxílio de uma transformação linear é possível construirmos um
método de codificar mensagens para serem compreendidas apenas
pelo emissor e pelo receptor.
20.2 Aplicações à Óptica
Consideremos um feixe de raios paralelos (cuja direção pode, por-
tanto, ser dada por um vetor) que se reflete em espelhos planos.
Vamos observar a situação mais simples possível: a propagação
se dá no R2 (isto é, estamos observando o fenômeno de perfil) e o
espelho está colocado no eixo horizontal, como ilustrado na figura
a seguir.
Dado um raio de luz incidente na direção do vetor ~v = (a, b), em
que direção (c, d) estará o raio refletido? Antes de respondermos
à pergunta anterior, vamos relembrar um pouco sobre as leis que
regem a reflexão da luz em um espelho.
(I) O raio de luz incidente, a reta normal ao espelho, o ponto de
incidência e o raio refletido estão no mesmo plano.
(II) O ângulo entre o raio incidente e a reta normal ao espelho é
o mesmo que o ângulo entre a reta normal e o raio refletido.
310
Vetores e Geometria Analítica: Livro 1
20
AULA
(III) Supondo que o espelho seja perfeito, isto é, não há absorção
da luz, a luz se reflete com a mesma intensidade que tinha
na incidência.
Observação 30. Munidos dessas leis, para o nosso caso, não preci-
saremos nos preocupar com (I), pois a propagação acontece sobre
um plano. Se o comprimento do vetor indicar a intensidade da luz,
(III) então o vetor refletido terá o mesmo tamanho que o incidente.
Juntando estas informações com (II), implica que c = a e d = −b,
ou, em forma matricialc
d
 =
1 0
0 −1
 a
b

E assim, concluímos que um espelho plano atua sobre os raios
luminosos como uma transformação linear R (na verdade, uma
reflexão em torno do eixo−x).
Vamos estudar a matriz associada a um espelho numa posição
um pouco mais geral (veja a figura (20.149)), ou seja, formando
um ângulo θ com o eixo−x.
311
Aplicações de Transformações Lineares
Figura 20.149: θ é o ângulo entre o eixo−x e o espelho.
Note que as retas (raios luminosos) que seguem a direção dos
vetores da base canônica do R2,~i = (1, 0) e ~j = (0, 1) são refletidas
sobre o espelho, como ilustradas nas figuras (20.150) e (20.151).
Colocando os vetores refletidos em coluna, obteremos a matriz da
Figura 20.150: Reflexão do
raio de luz na direção
~i.
Figura 20.151: Reflexão do
raio de luz na direção
~j.
transformação. cos 2θ sen 2θ
sen 2θ − cos 2θ

Havendo mais de um espelho, como proceder neste caso? Sim-
plesmente aplicando sucessivas transformações associadas a cada
312
Vetores e Geometria Analítica: Livro 1
20
AULA
ângulo que cada espelho faz com o eixo−x.
Exemplo 20.2.1. Um feixe de luz se propaga na direção do vetor
(1,−1) refletindo nos espelhos da figura (20.152):
Figura 20.152:
Em que direção estará o feixe após as reflexões? Para respon-
der, faremos θ1 =
pi
6
e θ2 =
5pi
6
e ainda
Rθ1 : R2 → R2
~v 7→ Rθ1(~v) = M1~v
com M1 =
cos 2θ1 sen 2θ1
sen 2θ1 − cos 2θ1

Rθ2 : R2 → R2
~u 7→ Rθ2(~u) = M2~u
com M2 =
cos 2θ2 sen 2θ2
sen 2θ2 − cos 2θ2

Desta forma, se ~v = (a, b) e ~u = (c, d),
Rpi
6
(a, b) =
 12 √32√
3
2 −12
a
b

e
R 5pi
6
(c, d) =
 12 −√32
−
√
3
2 −12
c
d

E assim, o vetor é refletido primeiramente com a transformação
Rpi
6
e, logo em seguida, por R 5pi
6
.
Rpi
6
(1,−1) =
 12 √32√
3
2 −12
 1
−1
 =
1−√32
1+
√
3
2

313
Aplicações de Transformações Lineares
⇒ R 5pi
6
(
1−√3
2
,
1 +
√
3
2
)
=
 12 −√32
−
√
3
2 −12
1−√32
1+
√
3
2
 =
−1−√32
1−√3
2

Concluímos que o feixe estará na direção do vetor
(
−1−√3
2 ,
1−√3
2
)
.
20.3 Projeção do espaço tridimensional no
plano
Você já se perguntou como funcionam os jogos em 3D e como são
feitos os filmes de animação computadorizada também em 3D? É
bem provável que sim, já que eles fazem parte da realidade de
muitos jovens e são capazes de dispertar a curiosidade sobre o seu
funcionamento e produção.
Agora, vamos conhecer um pouco sobre uma das técnicas que
enganam nossa intuição e nos fazem imaginar que figuras que estão
no plano aparentam ser tridimensionais.
Quando vemos um objeto tridimensional representado(desenhado)
numa folha de papel ou mesmo no computador, trata-se de uma
mera ilusão para ajudar em nossa intuição, mas, na verdade, tanto
o plano(papel) quanto a tela do computador(ou da televisão) são
todos bidimensionais, ou seja, têm apenas 2 dimensões e podem ser
representadas por um plano cartesiano (como na Aula 2). Porém,
para possibilitar essa representação de um objeto em 3D, é neces-
sária uma projeção no plano. Esta técnica (ou similar) é bastante
usada em boa parte dos
programas de computador a fim de criar
imagens tridimensionais e também intuitivamente ao desenharmos
a mão no papel.
Comecemos ilustrando a técnica em um único ponto P . Sejam
P = (x0, y0, z0) e ~v = (v1, v2, v3) um vetor fixado. Chamaremos
314
Vetores e Geometria Analítica: Livro 1
20
AULA
~v de o vetor de visão, ou seja, é como se o observador estivesse
olhando na direção de ~v.(Veja na figura (20.153).)
Figura 20.153: Vetor de visão ~v.
Considere agora l uma reta com a direção de ~v passando por
P , ou seja,
l : P + tv.
Na forma parametrizada, seria
l :

x0 + v1t
y0 + v2t
z0 + v3t
.
Agora, vamos escolher um plano para projetar o ponto P . Para
simplificar nossa vida (nossos cálculos), escolhemos o plano z = 0.
Deste modo, façamos
z0 + v3t = 0 ⇒ t = −z0
v3
, ∀v3 6= 0.
Perceba que para o observador ver a figura no plano, ele deverá
estar acima ou abaixo desse plano, o que sugere v3 6= 0. No caso
315
Aplicações de Transformações Lineares
em que v3 = 0, devemos escolher outro plano para a projeção e
não o plano z = 0.
Com isso, a projeção do ponto P será o ponto P ′, como
P ′ =
(
x0 + v1
(−z0
v3
)
, y0 + v2
(−z0
v3
))
. (20.1)
Vamos à prática tomando um cubo de arestas com compri-
mento 1 no R3 e cujos vértices são dados por
V1 = (0, 0, 0) V5 = (0, 0, 1)
V2 = (1, 0, 0) V6 = (1, 0, 1)
V3 = (1, 1, 0) V7 = (1, 1, 1)
V4 = (0, 1, 0) V8 = (0, 1, 1)
Figura 20.154: Cubo com vértices contidos no espaço.
Definimos uma transformação T~v : R3 → R2 por
T~v(x, y, z) =
(
x+ v1
(−z
v3
)
, y + v2
(−z
v3
))
, (20.2)
com ~v = (v1, v2, v3) fixado e v3 6= 0.
316
Vetores e Geometria Analítica: Livro 1
20
AULA
Para cada vértice, tomando ~v = (1, 2, 1), temos a transforma-
ção
T~v(x, y, z) = (x− z, y − 2z) .
E as imagens dos vértices projetadas no plano z = 0 são dadas por
T~v(V1) = (0, 0) T~v(V5) = (−1,−2)
T~v(V2) = (1, 0) T~v(V6) = (0,−2)
T~v(V3) = (1, 1) T~v(V7) = (0,−1)
T~v(V4) = (0, 1) T~v(V8) = (−1,−1)
Figura 20.155: Cubo projetado no plano z = 0, com vértices Ti =
T~v(Vi), sendo i = 1, .., 8.
As imagens dos pontos V1, V2, V3 e V4 já eram esperadas, pois
todos esses pontos já pertencem ao plano z = 0.
20.4 Codificando mensagens
Constantemente, enviamos e recebemos mensagens. Mas o que
deveríamos fazer para que a mesma mensagem fosse lida (ou en-
317
Aplicações de Transformações Lineares
tendida) apenas pelo destinatário?
Durante o período de apogeu do Império Romano, os romanos
já usavam uma técnica similar para enviar mensagens aos campos
de batalha. Existem diversas técnicas para codificar mensagens,
as mais atuais são usadas no envio de mensagens eletrônicas (e-
mail) ou mesmo para acessarmos uma conta no caixa eletrônico do
banco.
Vamos conhecer uma técnica similar, mas que envolverá um
pouco do seu conhecimento de produto entre matrizes. Primeira-
mente, vamos associar as letras do alfabeto aos números, segundo
a correspondência abaixo:
A B C D E F G H I J L M N 0 P
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15
Q R S T U V W X Y Z
16 17 18 19 20 21 22 23 24 25
Vamos supor que nossa mensagem seja �EU TE AMO� (Origi-
nal, não?) e, a partir dela, vamos formar a matriz 3× 3 assim:
E U −
T E −
A M O
 ,
que usando a correspondência numérica anterior, e fazendo o es-
paço vazio corresponder ao número zero, fica
5 20 0
19 5 0
1 12 14
 .
318
Vetores e Geometria Analítica: Livro 1
20
AULA
Agora, seja C uma matriz qualquer 3× 3 invertível, por exemplo:
−1 1 3
0 −1 1
2 −1 0
 .
Efetuando o produto
M · C =

5 20 0
19 5 0
1 12 14
 ·

−1 1 3
0 −1 1
2 −1 0
 =

−5 −15 35
−19 14 62
27 −25 15

Transmitindo a mensagem que será a seguinte sequência de núme-
ros
−5 −15 35 −19 14 62 27 −25 15
Quem receber essa mensagem poderá decodificá-la através da mul-
tiplicação pela matriz inversa de C, isto é,
(M · C) · C−1 = M
e depois, basta passar da matriz numérica para as letras usando a
associação inicial.
Na linguagem de Transformações, podemos codificar uma dada
mensagem de m letras, com m = n2, n ∈ Z. Seja Mn(R) o
conjunto de todas as matrizes quadradas de ordem n com entradas
reais, e
Tn : Mn(R) → Mn(R)
M 7→ Tn(M) = M · C
[Codificando uma mensagem]
e aproveitando a oportunidade, definimos
T ′n : Mn(R) → Mn(R)
N 7→ T ′n(N) = N ·D
[Decodificando uma mensagem]
319
Aplicações de Transformações Lineares
com D = C−1.
Note que se você quisesse enviar a mensagem �ESTOU APREN-
DENDO�, com 16 caracteres (incluindo o espaço vazio), não seria
possível usar uma matriz 3 × 3 ilustrada anteriormente. Você de-
veria usar uma matriz 4× 4, no mínimo. Já no caso da mensagem
�UNIVERSIDADE ABERTA DO BRASIL�, que tem 29 caracteres,
devemos usar uma matriz 6× 6.

E S T O
U − A P
R E N D
E N D O

4×4
e

U N I V E R
S I D A D E
− A B E R T
A − D O − B
R A S I L −
− − − − − −

6×6
20.5 Resumo
Nesta aula, você conheceu mais três aplicações das transformações
lineares. A primeira foi uma aplicação à Óptica, uma técnica para
projetar objetos de 3D em 2D, e a segunda um método de codificar
mensagens.
20.6 Atividades
1. Um espelho plano está apoiado em uma parede vertical for-
mando um ângulo de 300 com ela. Se um feixe de luz de raios
paralelos for emitido verticalmente (do teto para o chão), de-
termine a direção dos raios refletidos.
2. Use ~v = (1, 2, 1) como vetor de visão e, usando o mesmo
320
Vetores e Geometria Analítica: Livro 1
20
AULA
método para projeção de um ponto no R3 para o R2, faça o
que se pede a seguir.
(a) Calcule e esboce as projeções:
i. do ponto P = (1, 0, 1);
ii. da reta r : (1 + t, 2t, 1 + t), t ∈ R;
iii. do triângulo constituído pelos pontos P1 = (1, 0, 0),
P2 = (0, 1, 0) e P1 = (0, 1, 0);
(b) O que aconteceria com cada uma destas imagens se nes-
tas projeções usarmos o vetor de visão, ~v = (1, 0, 1)?
3. Os itens a seguir dizem respeito à seção (20.4).
(a) Você recebeu a mensagem
22 −19 29
−15 16 51
−3 −6 95

Utilizando a mesma chave C, traduza a mensagem.
(b) O inimigo descobriu sua chave. O seu comandante manda
você substituir a matriz por
1 1 −1
1 1 0
0 0 2
 .
Você transmite a mensagem �ATACAR� a ele (já codi-
ficada). Porque não lhe será possível (o comandante)
decodificar a mensagem?
(c) Escolha uma matriz-chave que permita codificar pala-
vras até 25 letras. Codifique e decodifique a vontade!
321
Aplicações de Transformações Lineares
20.7 Comentário das atividades
Se você resolveu a atividade 1, então entendeu a aplicação de trans-
formações lineares proposta na seção (20.2). Na atividade 2, você
deve ter usado a transformação definida na seção (20.3) e na 3,
você entendeu como codificar e decodificar mensagens usando uma
transformação linear cujos elementos do domínio são matrizes.
Caso tenha maiores dificuldades para resolver as atividades,
retome os assuntos discutidos durante esta aula. Lembre-se de que
você poderá tirar suas dúvidas com os tutores, eles sempre estarão
a sua disposição. E não se esqueça de discutir as questões com
seus colegas, pois essa prática também contribui para a interação
entre vocês.
20.8 Referências
BOLDRINI, José Luiz, Álgebra Linear . São Paulo: Harbra, 1980.
LIMA, Elon Lages , Geometria Analítica e Álgebra Linear. Rio de
Janeiro: IMPA, 2005.
STEINBRUCH, Alfredo , Geometria Analítica. São Paulo: Ma-
kron Books,1987.
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