Lei de Kirchhoff

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Introdução
Neste trabalho serão apresentados métodos para se determinar a solução de circuitos de corrente contínua, através da utilização das Leis de Kirchhoff.
Serão apresentadas algumas definições básicas para melhor entendimento dessas leis:
Ramo de um circuito: é um componente isolado, como um resistor ou uma fonte;
Nó: é um ponto de conexão entre três ou mais ramos;
Circuito fechado: é qualquer caminho fechado num circuito;
Malha: é um circuito fechado que não tem um trajeto fechado em seu interior;
Assim pode-se começar a aprofundar os conhecimentos sobre este assunto.
Lei de Kirchhoff
As Leis de Kirchhoff são denominadas em homenagem ao físico alemão Gustav Robert Kirchhoff, que as formulou em 1845. Estas leis servem para ditar o comportamento das grandezas em um circuito elétrico composto por diferentes laços e nós. Segundo Kirchhoff, suas leis são baseadas no Princípio da Conservação da Energia, no Princípio de Conservação da Carga Elétrica e no fato que o potencial elétrico tem o valor original após qualquer percurso numa trajetória fechada (sistema não - dissipativo).
Laço: caminho fechado em um circuito elétrico.
Nó: ponto de conexão de dois ou mais componentes em um circuito.
São duas as leis de Kirchhof. A primeira refere – se à conservação da carga, enquanto a segunda diz que independente do caminho que se faça ao percorrer um circuito, voltando ao mesmo ponto, o potencial vai ser o mesmo.
Primeira Lei de Kirchhoff ou Lei dos Nós
	A Lei dos Nós também é conhecida como a Primeira Lei de Kirchhoff ou a Lei das Correntes (KCL). Esta lei é uma consequência da conservação da carga elétrica total existente num, circuito, isto é, uma confirmação de que não há acumulação de cargas nos nós. 
	Num circuito elétrico com várias resistências em paralelo, em qualquer nó, a soma das correntes elétricas que chegam a um nó é igual à soma das correntes que saem desse nó.
	A soma algébrica das correntes presentes em cada nó é igual à zero.
Ondeijrepresenta a corrente em cada um dos Nramos de um dado nó.
Quando se “atravessa” uma resistência no mesmo sentido da corrente convencional, a queda de potencial é negativa.
Quando se “atravessa” uma resistência no sentido contrário da corrente convencional, a queda de potencial é positiva.
Quando se “atravessa” uma f.e.m. do pólo negativo para o positivo, a queda de tensão é positiva.
Quando se “atravessa” uma f.e.m. do pólo positivo para o negativo, a queda de tensão é negativa.
Exemplo: 
I
i
= 0
I
i
= I
1
+I
2
-I
3
-I
4
-I
5
=0
Segunda Lei de Kirchhoff ou Lei das Malhas
	A Lei das Malhas também é conhecida como a Segunda Lei de Kirchhoff ou a Lei das Tensões (KVL). Esta lei é uma generalização do princípio de conservação da energia num circuito fechado. Existindo M malhas num circuito, a Lei das Malhas permite escrever (M - 1) equações linearmente independentes. 
	Se num circuito série não existe nenhum nó, apenas há uma única malha e a intensidade de corrente elétrica tem o mesmo valor em todos os pontos do circuito, então, ao longo da malha, a soma algébrica das forças eletromotrizes (f.e.m.) é igual à soma algébrica das tensões nas resistências. 
	É necessário para entender um pouco mais esta lei as definições de ramo e malha.
Ramo: é um segmento de um circuito compreendido entre dois nós, independente dos elementos do circuito que estão entre esse dois nós.
Malha: é um conjunto de ramos de maneira a construir um circuito fechado.
O primeiro passo para resolver um problema com mais de uma malha é identificar quem é o gerador. Não existe necessariamente um único, porém sabe – se que dentre vário geradores e receptores, é gerador aquele com maior força eletromotriz. Identificado o gerador, coloca – se então o sentido da corrente (do + para o -), quando não for possível, assume – se um sentido qualquer.
Definido o sentido para percorrer a malha, monta – se uma equação para cada malha, essa equação vem da soma das tensões de casa elemento da malha. A tensão do resistor é dada pela lei de Ohm, e a do gerador e do receptor é dada diretamente pelo E, fem ou fcem.
Exemplo: 
A soma algébrica das tensões ao longo de qualquer laço é igual à zero.
	Onde Vjrepresenta a tensão registrada em casa componente do laço.
Exemplo: 
I
1
R
1
 + I
2
R
2
 + I
3
R
3
 + I
4
R
4
 = -
1
 + 
2
 – 
3
Exercícios
Duas pilhas cujas f.e.m. e resistências internas são respectivamente E1 = 20 V, E2 = 10 V e r1 = 0,5 Ω, r2 = 0,2 Ω são ligadas por fios de resistência desprezível a um resistor R = 1 Ω segundo o esquema indicado na figura. Determinar as intensidades das correntes nos diferentes trechos do circuito:
  
Dados do problema:
	Resistência das pilhas
	Resistência externa
	f.e.m
	• r 1 = 0,5 Ω
	• R = 1 Ω.
	• E 1 = 20 V;
	• r 2 = 0,2 Ω
	
	• E 2 = 10 V.
Solução
Em primeiro lugar a cada ramo do circuito atribuímos, aleatoriamente, um sentido de corrente. No ramo EFAB temos a corrente i1 no sentido horário, no ramo BE a corrente i3 indode B para E e no ramo EDCB a corrente i2 no sentido anti-horário. 
Em segundo lugar para cadamalha do circuito atribuímos um sentido, também aleatório, para se percorrer a malha. Malha α(ABEFA) sentido horário e malha β (BCDEB) também sentido horário. Vemos todos estes elementos na figura 1 abaixo:
As correntes i1 e i2 chegam no nó B e a corrente i3 sai dele, aplicando-se a Lei dos Nós ao nó B i3 = i1+ i2 (I)
Aplicando a Lei das Malhas à malha α a partir do ponto A no sentindo escolhido, esquecendo a malha β conforme a figura 2, escrevemos: 
R i3 + r1i1−E1 = 0 (II)
Substituindo os valores do problema fica
1i3 + 0,5i1−20 = 0
i3+ 0,5i1 = 20 (III)
Esquecendo-se a malha α e aplicando a Lei das Malhas à malha β, como foi feito acima, temos pela figura 3, a partir do ponto B
E2−r2i2−r3i3 = 0 (IV)
Substituindo os valores
10−0,2i2−1i3 = 0
0,2i2+i3 = 10 (V)
Com as equações (I), (III) e (V) temos o seguinte sistema de três equações a três incógnitas (i1, i2 e i3)
Isolando o valor de i1 na equação (III) temos
Isolando o valor de i2 na equação (V) temos que
Substituindo as expressões (VI) e (VII) na expressão (I) obtemos
i
1
= Substituindo o valor encontrado acima nas expressões (VI) e (VII) encontramos os valores de i1 e i2 respectivamente
i
1
= 
i
1
= 17,5 A
i
2
= 
i
2
= 
i
2
= - 6,25 A
Como o valor da corrente i2 é negativo, isto indica que seu verdadeiro sentido é contrário ao escolhido na figura 1. Os valores das correntes são i1=17,5 A, i2=6,25 A e i3=11,25A e seus sentidos estão mostrados na figura 4.
Para o circuito da figura, determine as intensidades das correntes elétricas em todos os ramos.
	Resolução:
1° Passo: Adotamos sentidos arbitrários para as correntes elétricas nos ramos e aplicamos a leis dos nós.
i
2
i
3
i
1
Lei dos Nós: i1 = i2+i3
2° Passo: Aplicamos a lei das malhas às malhas α e β após termos adotado um sentido de percurso.
F
E
D
C
B
A
Lei das Malhas: 
ABCD: 2i1 + 3i2 + 13 - 10 =0	 2i1 + 3i2 + 3 = 0 
BEFC: -14 + 4i3 + 3,5 + 1 i3 -13 – 3i2 =0 5 i3 - 3 i2 - 23,5 = 0
3° Passo: Resolvemos o sistema
i1 = i2+i3(I)
2i1 + 3i2 + 3 = 0(II)
5 i3 - 3 i2 - 23,5 = 0 (III)
Substituindo I na II:
2( i2+i3) + 3i2 + 3 = 02i2+ 2i3+ 3i2 + 3 = 0 5i2+ 2i3+ 3 = 0
5i2+ 2i3+ 3 = 0 (x3) 15i2+ 6i3+ 9 =0 31i3 -108,5 =0
-3 i2+ 5 i3 - 23,5 = 0 (x5)-15i2+25i3- 117,5 =0 31i3=108,5
					i3=3,5 A
O sinal negativo significa que o sentido correto de i2 é de C para B.
Substituindo i3na equação III:
5 i3 - 3 i2 - 23,5 = 0 5(3,5)- 3 i2 - 23,5 = 017,5 - 3 i2 - 23,5 = 0
- 3 i2= 6 i2= - 2A
Substituindo i2e i3na equação I:
i1 = i2+i3i1= -2 + 3,5 i1=1,5 A
3
,5A
1,5ACorrigindo o sentido da corrente de i2 no ramo central,fica:
2
A	
Dado o circuito, determinar a leitura no amperímetro ideal e a ddp entre os pontos M e N.
	Resolução:
1° Passo: Adotamos sentidos arbitrários para as correntes elétricas nos ramos e aplicamos a leis dos nós.
Para o nó M, temos: 
2° Passo: Aplicamos a lei das malhas às malhas α e β após termos adotado um sentido de percurso (horário para α e anti – horário β para, por exemplo) e um ponto de partida (M, por exemplo).
3° Passo: Resolvemos o sistema
Substituindo 
	
O sinal negativo significa que o sentido correto de i2 é de N para M. Substituindo i2 = - 3A em II, obtemos: 
Corrigindo o sentido da corrente de i2 no ramo central, fica:
Considerações Finais
As leis de Kirchhoff são utilizadas na análise de circuitos elétricos, com a finalidade de simplifica – lós. Kirchhoff dividiu o circuito em malhas distintas, sequencia de componentes e fios onde a corrente pode caminhar a partir de um ponto e retornar a esse mesmo ponto por outro caminho, formando assim um circuito fechado. Cada malha é formada de dois ou mais ramos que são sequencias de circuitos entre dois nós. Estes nós fazem a ligação das malhas em um circuito complexo.
Referências Bibliográficas
https://www.dfi.isep.ipp.pt/uploads/ficheiros/6028.pdf
http://www.corradi.junior.nom.br/listaPonte.pdf
http://ensino.univates.br/~husemann/Eng/Circuitos_I/AULA2_CIRCUITOS_ELETRICOS_I.pdf
http://www.fisicaexe.com.br/fisica1/eletromagnetismo/kirchhoff/kirchhoff3_nm.pdf
http://fisicainterativa.com/exercicios-resolvidos/leis-de-kirchooff-0/
http://pt.scribd.com/doc/21467208/67/Segunda-Lei-de-Kirchhoff-lei-das-malhas