microeconomia_avellar_teoria_da_firma

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TEORIA DA FIRMA
Na teoria da firma estaremos preocupados em
estudar como são fabricados os bens, quais os
fatores de produção ou insumos usados na
fabricação desses bens, bem como os preços desses
fatores de produção e ainda qual será a quantidade
produzida, dado a quantidade usada dos fatores, que
a firma poderá utilizar.Envolverá também,por outro
lado os custos de produção, já que os fatores de
produção são remunerados.
Na produção de bens e serviços as empresas
utilizam o que são conhecidos como fatores de
produção ou insumos, como mão-de-obra,capital,
matéria prima,tecnologia, luz elétrica,etc.No nosso
estudo da produção da firma,para fins de
simplificação do modelo que vamos
elaborar,levaremos em conta 3 fatores de produção a
saber:Capital(K), mão-de-obra(L) e Tecnologia(T)
É importante fazer a observação de que a Tecnologia,
citada como um dos fatores de produção, será
mantida constante, justamente para simplificar o
modelo matemático que vamos desenvolver e quemodelo matemático que vamos desenvolver e que
atende as diversas bancas onde esse assunto é
cobrado.Também é importante notar que variações
nas quantidades de capital(máquinas) e mão-de-obra
fazem, em geral, variar a produção
A FUNÇÃO DE PRODUÇÃO
De uma forma geral vamos estudar, em grande parte
desse tópico, de funções de produção com dois
fatores de produção, a saber: capital(máquinas,fatores de produção, a saber: capital(máquinas,
equipamentos, instalações) ,que denominados por K
e mão-de-obra, denominado por L.Desse forma
poderemos definir a produção Y de um bem como
função dessas duas variáveis K e L, da forma
seguinte:
A FUNÇÃO DE PRODUÇÃO
Uma função muito usada tem sua forma apresentada
na Teoria do Consumidor, sendo que na Teoria da
Firma, no lugar de mercadorias, temos fatores de
produção( K e L);é a FUNÇÃO DE PRODUÇÃO DEprodução( K e L);é a FUNÇÃO DE PRODUÇÃO DE
COBB-DOUGLAS a saber:
Y = A.Ka.Lb
Y = F(K,L) => função de produção, onde
Y também é denominado por Q ou PT(produção
total)
Exemplo:
Y 2K0 5L0 5 d Y d ã K tid d dY = 2K0,5L0,5 ; onde Y = produção; K= quantidade do 
fator de produção capital; L= quantidade de fator de 
produção trabalho; 2 = valor do parâmetro que mede 
o conhecimento tecnológico
Exercício- Se L = 81trabalhadores, K =16 máquinas 
teremos Y = 
As O Curto Prazo e o Longo Prazo.
Os conceitos de curto e longo prazo em Teoria da Firma
não tem relação direta com o tempo em si.Define-se Curto
Prazo o período de tempo em que pelo menos um fator de
Cprodução permanece constante.Como exemplo simples
podemos supor uma fazenda onde só existem dois fatores
de produção:mão-de-obra e terra( espaço físico).Se uma
firma, num certo momento, tem 10 trabalhadores e uma
área de 1000 metros quadrados.Se depois de 1 ano, a
quantidade de mão-de-obra se alterou para
para 15 trabalhadores mas a terra disponível para
cultivo não se alterou, estamos diante do Curto Prazo
para essa firma, apesar de ter passado um ano.Vamos
supor agora que, no mesmo exemplo anterior, a
quantidade de trabalhadores tenha se alterado para 15quantidade de trabalhadores tenha se alterado para 15
trabalhadores e a terra cultivada, tenha se expandido
para 1200 metros quadrados em 2 meses.Nesse caso,
os dois fatores de produção variaram nesse período de
tempo.Nesse segundo caso estamos diante do Longo
Prazo, ainda que o tempo seja menor( 2 meses)
-Insumos Fixos: são aqueles que não podem variar
instantaneamente.Exemplos: a terra, capital
instalado, setor administrativo.
-Insumos Variáveis: são aqueles que podem variar
instantaneamente Exemplo: mão de obrainstantaneamente.Exemplo: mão-de-obra
A PRODUÇÃO NO CURTO PRAZO COM UM
INSUMO VARIÁVEL
Vamos supor que o único insumo variável seja a
mão-de-obra L.Como nosso estudo será,
basicamente a produção com dois fatores debasicamente, a produção com dois fatores de
produção(capital e mão-de-obra), com o capital
constante estamos realmente no curto prazo.Se a
firma quiser aumentar a sua produção terá que
aumentar o insumo mão-de-obra, já que o capital(as
máquinas, basicamente) permanece constante
Veremos agora alguns conceitos fundamentais na
Teoria da Firma e a relação entre eles.
1º)O Produto Total ou Produção Total da Firma ( PT) -
A produção total de uma firma pode ser denominadaA produção total de uma firma pode ser denominada
também por Y ou Q e é uma medida da quantidade
produzida de certo bem por uma firma num
determinado período de tempo.
2º)Produtividade ou Produto Marginal da Mão-de-
Obra ou do trabalho(PmgL):
Podemos definir a produtividade marginal da mão-de-
obra como a variação da produção quando a firmaobra como a variação da produção quando a firma
contrata uma unidade a mais de mão-de-obra.Ou
seja, representa o aumento da quantidade produzida
quando um trabalhador a mais entra na
firma.Matematicamente escrevemos o PmgL como:
PmgL = ∆PT/∆L =dPT/dL
A fim de um entendimento maior a respeito do PmgL,
podemos fazer o seguinte esquema:
10 vendedores de uma agência de carros vendem
100 carros em 1 mês; se a agência contrata mais um100 carros em 1 mês; se a agência contrata mais um
vendedor e a quantidade vendida(produção) sobe
para 107 carros por mês, o PmgL = 7;suponha que o
preço de cada carro seja igual a P =20.000
Importante: o produto marginal do trabalho acima foi
igual a 7, mas isso não significa dinheiro e sim 7
carros a mais na produção.Para avaliarmos esse
PmgL = 7 e obtermos seu valor monetário, devemos
multiplicar 7 x valor do carro Assim temos supondomultiplicar 7 x valor do carro.Assim temos, supondo
que cada carro custe R$ 20.000,00:
R$ 20.000 x 7 = R$140.000,00 que é o VALOR DO
PRODUTO MARGINAL.Isso agora não parece
importante, mas , como veremos, é assunto
relevante.
3º)Produtividade ou Produto Médio da Mão-de-Obra
(PmeL): é a divisão simples da produção total pela
quantidade de trabalhadores.Representa a produçãoq p p ç
por trabalhador ou per capita;
PmeL = PT/L.
Vamos verificar essas definições de PT,PmgL e PmeL
Através de uma tabela de produção de uma firma:
Na tabela acima, a primeira coluna nos fornece a
quantidade de trabalhadores L;a segunda, nos dá o
total da Produção(PT);na terceira, a quantidade de
capital constante;na quarta, o Produto Marginal da
Mão de Obra(PmgL) e a última coluna o ProdutoMão- de -Obra(PmgL) e a última coluna, o Produto
Média da Mão- de- Obra(PmeL); note que quando a
firma contrata o 1º trabalhador, o crescimento da
produção é igual 10, ou seja, a produção sai do 0
para 10, que corresponde ao conceito de produto
marginal da mão-de-obra(PmgL =10);se a firma
contrata o 2º trabalhador, a produção aumenta para 30, com um
crescimento marginal de 20(30-10) , que corresponde ao PmgL =
20 na penúltima coluna;se entra mais um trabalhador, a firma está
operando com L= 3 e a produção sobe para 60, sendo op p ç p
crescimento marginal de 30(60-30), que corresponde ao
PmgL=30 .Podemos observar que,até a firma produzir com 3
trabalhadores, o crescimento da produção se dá a taxas
crescentes.Porém,a partir da entrada do 4º trabalhador(L=4),o
produção continua a crescer, mas agora, a taxa decrescente.
Note que quando a firma possui 4 trabalhadores, a produção
é 80;quando entra mais um trabalhador(L=5), a produção
aumenta de 80 para 95, num crescimento marginal de
15,que é o PmgL.Esse crescimento é inferior ao
crescimento anterio quantidade de trabalhadores passa de 3
para 4.Isto quer dizer que o crescimento da produção ocorre
a taxas decrescentes, a partir de L = 4.Se L= 6, a produção
sobe para 108,e o PmgL =108,que representa um
crescimento menor que o crescimento anterior.E o produto
cresce a taxas decrescentes,se
tornando negativa quando a quantidade de trabalhadores
é maior que 8( L > 8).Dessa forma, a produção cresce a
taxas crescentes até certo ponto,continua a crescer, mas
a taxas decrescentes, chega a um ponto máximo(L=8) e
depois decresce.Por
outro lado, o produto marginal dadepois decresce.Por outro lado, o produto marginal da
mão-de-obra cresce até a produção atingir
112(PT=112).Nesse ponto, L = 8 e PmgL = 0.A partir
desse ponto, a produção cai e o PmgL se torna
negativo.Esse crescimento a taxas decrescentes se dá
porque os outros fatores de produção como
capital,terra,equipamentos estão fixos.Podemos
dizer que o fato da fixidez dos outros fatores causa uma
“saturação”, em relação à quantidade de
trabalhadores.Quando o 9º trabalhador entra na firma,ele
deverá prejudicar a produção ao invés de ajudar.Esse fato quep j p j q
faz a taxa crescer a taxas decrescentes e depois ficar negativo
é conhecido como aLei dosRendimentosDecrescentes.
“Ao aumentar o fator variável(L),sendo dada a quantidade de
um fator fixo,o Produto Marginal do fator variável(L) cresce até
certo ponto e,a partir daí decresce, até tornar-se negativo.
Podemos fazer um gráfico mostrado a seguir, a partir
dos dados da tabela apresentada:
1)Se o Produto Total é crescente então o Produto 
Marginal é positivo
2)Se o Produto Total é decrescente então o Produto 
Marginal é negativo
3)se o Produto Total é máximo então o Produto 
Marginal é nulo
4)O Produto Marginal atinge seu máximo para o 
mesmo nível de trabalho no qual o Produto total 
atinge o seu ponto de inflexão
5)O produto Médio atinge seu ponto de máximo 
quando corta ( se iguala ) ao Produto Marginal
6)O Produto Médio atinge seu ponto de máximo se 
iguala ao Produto Marginal no ramo descendente 
deste e no ponto de máximo daquele
7)Quando o Produto Marginal é negativo, então o 
Produto Médio é decrescente( não vale a volta)
Os Estágios de Produção de um Insumo
A medida que se utiliza cada vez mais quantidade de
um insumo variável( mão-de-obra,no nosso
exemplo), o insumo passa por três estágios,
d i d tá i I II III d i Tdenominados estágios I,II e III desse insumo. Tome
por exemplo a produção mostrada na tabela.O capital
é fixo(K=10). A mão-de-obra, que é o insumo variável
passará sucessivamente pelos estágios I, II e III.A
seguir mostramos os 3 estágios da mão-de-obra
Estágio I da mão-de-obra:o estágio I corresponde a
quantidade de trabalhadores de 0 até o produto
médio máximo, que ocorre quando produtividade
média é crescente,isto é, até L = 4.No estágio I,em
d t édi á i tque o produto médio cresce,o empresário tem
interesse em aumentar a sua produção porque o
produto por trabalhador(PmeL) cresce.Para um
melhor entendimento,como o capital é fixo, podemos
dizer que existem poucos trabalhadores para a
quantidade de máquinas (capital) existente.
Por essa razão, ou seja, o PmeL crescer, o empresário não
trabalha nesse trecho.Como existem poucos trabalhadores,
eles não estão trabalhando com todas as máquinas e existe
ociosidade de máquinas.A relação entre capital eq p
trabalhadores é baixa e dizemos que a mão-de-obra está
sendo utilizada de forma extensiva(em relação ao capital) e
o capital está sendo usado de forma excessivamente
intensiva.Em outras palavras estamos dizendo que existem
poucos trabalhadores para a quantidade de máquinas.
Estágio II da mão-de-obra : ocorre quando o nível
de mão-de-obra varia do ponto máximo do Produto
Médio até o ponto onde o Produto Marginal se anula.
Nesse estágio tanto o Produto Médio quanto o
P d t M i l ã d tProduto Marginal são decrescentes.
Estágio III damão-de-obra: ocorre quando o nível de mão-
de-obra é maior do que aquele no qual o Produto Marginal
da mão-de-obra é negativo. Nesse estágio a firma utiliza
muita mão-de-obra para pouco capital. A mão de obra
t tá i III d é d dencontrasse no seu estágio III quando é usado de uma
forma excessivamente intensiva, isto é, em muita quantidade
em relação à terra, conseqüentemente existe mão-de-obra
com ociosidade, desperdício e portanto o Produto Marginal
da mão-de-obra é negativo
Os estágios do insumo fixo( capital) são:
1)Estágios I do capital: neste estágio a firma utiliza pouco
capital para muita mão-de-obra.O capital encontrasse no
seu estágio I quando é usado de uma forma extensiva, isto
é tid d l ã à ã d bé, em pouca quantidade em relação à mão-de-obra.
2)Estágio II do capital: ocorre quando o nível de insumo
fixo não é usado nem de forma extensiva, nem de forma
excessivamente intensiva.
3)Estágio III do capital: nesse estágio a firma utiliza muito
capital para pouca mão-de-obra. O capital encontrasse no
seu estágio III quando é usado de uma forma
excessivamente intensiva, isto é, em muita quantidade em
l ã à ã d b ü t t i t it lrelação à mão-de-obra, conseqüentemente existe capital em
ociosidade, desperdício e, portanto o Produto Marginal da
terra é negativo.
SIMETRIA DOS ESTÁGIOS DE PRODUÇÃO
Existe uma simetria entre os estágios de produção dos
insumos fixo e variável, a saber:
1)O Estágio I da mão-de-obra( insumo variável) equivale ao
estágio III do capital ( insumo fixo): quando o nível de mão-de-
obra varia de zero até o ponto de máximo do Produto Médio
da mão-de-obra notamos que a mão-de-obra está sendo
utilizada em pouca quantidade em relação ao capital, ou seja
a mão-de-obra está sendo utilizada de forma extensiva e o
capital, de forma excessivamente intensiva e portanto a mão-
de-obra está no seu estágio I e a terra está no seu estágio III
2)O Estágio II da mão-de-obra (insumo variável) equivale ao
estágio II do capital( insumo fixo): quando o nível de mão-de-
obra varia do ponto de máximo do Produto Médio até o ponto
onde o Produto Marginal se anula notamos que tanto a mão-
de-obra quanto o capital não estão mais sendo utilizados de
forma extensiva mas também não estão sendo utilizados de
forma excessivamente intensiva e portanto a mão-de-obra e o
capiral estão no seu estágio II.Esse é portanto o único estágio
em que a firma produz, é irracional a firma produzir nos outros
estágios.
3)Estágio III da mão-de-obra equivale ao estágio I da terra:
quando o nível de mão-de-obra é maior do que aquele no qual
o Produto Marginal se anula, ou seja, quando o Produto
Marginal da mão-de-obra é negativo notamos que a mão-de-
obra está sendo utilizada em muita quantidade em relação à
terra, ou seja, a mão-de-obra está sendo utilizada de forma
excessivamente intensiva e a terra de forma extensiva e
portanto a mão-de-obra está no seu estágio III e a terra está
no seu estágio I
PORTANTO ,A FIRMA SÓ PRODUZ NO ESTÁGIO II( da mão-
de-obra ou da terra).
I
EXERCÍCIOS
1)Coloque Falso ou Verdadeiro
a) ( ) Quando o PMgLé máximo, o PT atinge seu ponto de inflexão
b) ( ) Quando o PT é máximo, o PMgLé nulo
c) ( ) O PMgLse iguala ao PmeLno ramo decrescente deste
d) ( ) O PMgLse iguala ao PmeLno ramo descendente deste
e) ( ) Quando o PMgLé negativo, o PmeLé decrescente
f) ( ) Quando o PmeLé decrescente, o PMgLé negativo
g) ( ) O PmeLse iguala ao PMgLno ponto de máximo do PmeL
2)Se PT =L2 + 3L,calcule para L = 10
1)O Produto Total
2) Produto Médio
3) Produto Marginal.
.
I
A PRODUÇÃO NO LONGO PRAZO –no curto prazo,
vimos que um insumo(mão-de-obra) era variável e os
demais insumos eram fixos.Vamos estender o conceito de
produção com dois fatores de produção:mão-de-obra e
capital
Y = F(K,L) , onde tanto L como K variam com o passar do
tempo.Logo estamos diante do LONGO PRAZO, que é um
conceito que leva em consideração a variação de todos os
fatores.A primeira e mais usada função de produção de
longo prazo, que usa 2 fatores de produção,é a função de
.
I
produção de Cobb-Douglas.Elas são do tipo:
Y =A.Ka.Lb
Onde K é quantidade de capital;L é a quantidade de mão-
de-obra e A é um parâmetro que dá a tecnologia e a e b são
constantes positivas.Em termos práticos,a tecnologia Aserá ,
na maioria das vezes,igual.Portanto, não se preocupe com
ela. Adupla Cobb e Douglas perceberam que funções desse
tipo apresentam uma característica peculiar:quando a firma
dobra o uso do capital e da
da mão-de-obra,a
produção Y varia na mesma proporção, ou
seja, Y também dobra de valor;isso só acontece se a soma
(a + b) for igual a 1: a + b = 1
Vamos ver como isso acontece numericamente:
P l f ã d d ã fPor exemplo, se a função de produção for:
Y = 3 K0,5L0,5
Se K = 4 e L=9; Y = 3.40,5.90,5 =18
Se multiplicarmos a quantidade de fatores de produção por 4,
teremos:
Y =
Logo, a produção foi quadruplicada também.Quando isso
acontece, ou seja,o capital,a mão-de-obra e a produção
variam na mesma proporção, temos o que a função possui
RENDIMENTOS CONSTANTES DE ESCALA. Mas isso só
acontece quando a soma a + b =1
Mas se a soma (a + b) > 1, se aumentarmos o capital a mão-
de-obra numa certa proporção, a produção Y cresce numa 
proporção maior ainda 
Exemplo:
Y = 2KL => (a + b =2 >0)
se K=4 e L = 10 ; Y = 2.4.10 = 80
Se triplicarmos a escala
K = 12 e L = 30 ; Y = 
A produção mais que triplicou(foi multiplicada por 8); houve 
RENDIMENTOS CRESCENTES DE ESCALA ou ECONOMIA 
DE ESCALA
Por fim, se a soma (a + b) <0;se aumentarmos o capital e a mão -
de-obra numa certa proporção, a produção cresce numa
proporção menor
Exemplo:
Y = 4 k0,5L0,25 => a + b = 0 75 (<0)Y = 4 k0,5L0,25 => a + b = 0,75 (<0)
se K = 4 e L= 81, teremos Y = 4.40,5.811/ 4 = 24
Se for dobrada a quantidade de fatores ( K=8 e L= 162), a
produção será:
Y = 4.80,5.1621/ 4 = 40( aproximadamente). A produção mais que
dobrou, ocorrendo RENDIMENTOS DECRESCENTES DE
ESCALAou DESECONOMIAS DE ESCALA)
Homogeneidade de funções
Uma função de produção é dita homogênea de grau k se:
Q(λ.K,λ.L) = λk.Q(K,L)
Onde k é o grau da função e λ é o valor que os fatores de g ç q
produção são multiplicados;retomando a função de produção:
Y = XY ,visto anteriormente.Quando triplicamos Le K, ou seja, 
triplicamos a escala, a produção foi multiplicada por 9(era de 
80 e passou para 720).Esse resultado poderia ser obtido da 
seguinte forma: λ = 3(triplicamos a escala) e k = 2( grau da 
função de produção):logo o produto se multiplicou por 32 = 9
Se a função de produção for do tipo Cobb-Douglas, então seu
grau de homogeneidade será dado pela soma dos expoentes:
Se Y = A.Ka.Lb,
A soma a + b é o grau de homogeneidade;
a + b =1 =>homogênea de grau 1(rendimentos constantes deg g (
escala)
a + b > 1 =>homogênea de grau superior a 1(rendimentos
crescentes de escala)
a + b < 1 =>homogênea de grau inferior a 1(rendimentos
decrescente de escala)
Uma função é homogênea quando ela soma monômios de
mesmo grau.E toda homogênea é possível dizer o grau.Por
exemplo:
1)f(x) = x2 +x: não é homogênea (monômios de diferentes
graus;
2)f(x,y) = x + y: homogênea de grau 1 e tem rendimentos
constantes de escala
3)f(x,y) = x2 + y2 :homogênea de grau 2;rendimentos crescentes
de escala
4)f(K,L) = K1/2 + L1/2 = homogênea de grau 0,5;rendimentos
decrescentes de escala
5)f(K,L)= K2 + L: não é homogênea
Método prático para achar o grau das homogêneas
1)Q=3L+ 3K (multiplicaremos todos os insumos por λ)
Q’=3(λL)+ 3(λK)
Q’=λ(3L+ 3K)
Q’=λQ ;logo a função tem rendimentos constantes de escala, tendo emg ç
vistaque multiplicamos K e Lpor λe Q também foi multiplicada por λ
2)f(K,L) = (2K + 2L)1/2
3)F(K,L) = K2 + L2
4)F(K,L) = K2/L2
Um exemplo:Se a função de produção de uma firma é 
Q= 2(KL)1/ 2, calcule o nível de produção se a firma utilizar 25 
unidades de capital e 16 unidades de mão-de-obra
:
Como estamos no longo prazo, o capital também varia ,além
da mão-de-obra
PRODUTIVIDADE MARGINAL DO CAPITAL ( PMgK )
É a variação na quantidade produzida devido à variação de
uma unidade a mais de capitaluma unidade a mais de capital
PMgK = ∂Q/ ∂K
PRODUTIVIDADE MÉDIA DO CAPITAL
É a divisão da produção total pela quantidade de capital
PmeK = Q/ K
Exercícios de fixação:
1)A função de produção Q = K + L, onde Q = produto, K = fator 
capital, L = fator trabalho , apresenta
(A) retornos crescentes de escala se a + b > 1.
(B) retornos constantes de escala.
(C) fatores de produção perfeitamente substitutos.
(D) inovação tecnológica se a > b.
(E) cada isoquanta como uma linha reta.
:
2)(Economista EPE 2008/Cesgranrio) Suponha que um produto Y é
produzido combinando-se dois fatores de produção – capital e trabalho-
de acordo com a função de produção Cobb-Douglas, homogênea de grau
1, apresentada a seguir: Y = Kα L1-α .Nesse sentido, examine as
seguintes afirmativas:
I – o aumento das quantidades de capital e trabalho em 10% resulta em
um aumento do produto de 10%;
II – o aumento da quantidade de capital, mantendo-se constante o
número de trabalhadores, resulta em aumentos do produto cada vez
menores;
III – a produtividade marginal do trabalho é função da relação capital-
trabalho.Está(ao) correta(s)a(s) afirmativa(s):
a)I,apenas b)I e II apenas c)I e III apenas d)II e III,apenas
e)I,II,III
3) A função de produção dada pela expressão Q = A Kα Lβ Tδ, 
na qual Q é o produto, K, L e T são os fatores de produção e 
A α β e δ são parâmetros apresentaA, α, β e δ são parâmetros, apresenta
(A) proporções fixas no uso dos fatores de produção.
(B) externalidades, se A > (α + β + δ).
(C) rendimentos crescentes de escala, se A > 1.
(D) homogeneidade do grau 1, se α + β + δ = 1.
(E) produto marginal de K decrescente, se α > 1.
4) Uma empresa dispõe de quatro tecnologias de produção:
1. X = K1/2 L2/3
2. X = 2K1/2 L1/2
3. X = K1/3 + L1/3 e
4. X = 2K + 2L,
onde X é o produto, K a quantidade de capital e L a 
quantidade de trabalho. As tecnologias que apresentam 
retornos constantes de escala são:
(A) 1, 2 e 4; (B) 2, 3 e 4; (C) 1, 3 e 4; (D) 2 e 3, (E) 2 e 4
5) Considere a seguinte função de produção:
Y(K, L) = A.K α.L β
Onde:Y = produto, K = capital, L = trabalho, e A uma constante 
maior do que zero. Com base nessa função, é incorreto 
afirmar queq
a) se β = 1 – α, então a produtividade média do capital será de 
A.(L/K)1-α.
b) se α + β = 1, então essa função será homogênea de grau 1.
c) se α + β = 1, então Y(2.K, 2.L) = 2.Y(K, L).
d) se β = 1 – α, então a produtividade média da mão-de-obra ) β p
será igual a A.(K/L)α.
6) Considere a função de produção dada pela expressão a 
seguir:
Y = k.Kα.L( 1 – α)
onde
Y = produção;K = capital;L = trabalho;k e α constantes ep ç p
0 < α < 1.
A produtividade média do capital será dada por
a) k.(K/L)( 1 – α) b) k.(L/K) c) k.(K/L) d) k.(L/K)( 1 – α) e) k.(L/K)α
7) Considere a seguinte função de produção:
Y(K, L) = A.K α.L β ,Onde:
Y = produto, K = capital, L = trabalho, e A uma constante maior
do que zero. Com base nessa função, é incorreto afirmar que
a) se β = 1 – α, então a produtividade média do capital será de
A (L/K)1A.(L/K)1-α.
b) se α + β = 1, então essa função será homogênea de grau 1.
c) se α + β = 1, então Y(2.K, 2.L) = 2.Y(K, L).
d) se β = 1 – α, então a produtividade média da mão-de-obra
será igual a A.(K/L)α.
e) independente dos valores de α e β, essa função de
produção será sempre homogênea de grau um.
8)(AFC-2005) Seja a função de produção dada pela seguinte 
expressão:
QQ = A.Kα .L(1 – α) ; onde Q= produção; A e α = constantes 
positivas;K=capital;L=trabalho
Considerando essa função de produção, os produtos marginal ç p ç p g
e médio em relação a K serão, respectivamente:
a) α(Q/K) e A.(K/L)-(1 – α) b) α.K.L e A.(K/L)-1 c)α(Q/K) e 
A.(K/L)-α d) α.Q e A e) α(Q/K) e A.(K/L)
9)(Gestor 2003) Considere:
Y = Y(K,L) homogênea de grau 1, onde Y = produto;L
=trabalho;K=capital>
Considere ainda:
PmgK= produtividade marginal de fator K
PmgL = produtividade marginal do fator L
PmeK= produtividade média do fator K
PmeL = produtividade média do fator L
Com base nessas informações, é correto afirmar que:
a) se PmgK=0, então PmgL>1 e PmeL=0
b) se PmgK =0, então PmgL=0 e PmeL>1
c) se PmgK = 0, então PmgL = PmeL
d) se PmgL = 0, então L/K =1 e PmgK>1) g g
e) independente dos valores para PmgK,PmgL e PmeK;PmeL
será sempre negativa
10)(APO
2005) Considere a seguinte função de produção: Q =
q(a,b),
Onde a e b são os fatores de produção.Considerando Pmga e Pmgb as
produtividades marginais de a e b, respectivamente, e Pmea e Pmeb as
produtividades médias de a e b, respectivamente,e supondo queprodutividades médias de a e b, respectivamente,e supondo que
homogênea de grau 1, pode-se afirmar que:
a) se Pmgb>0 => Pmea<Pmga
b) se Pmgb =0 => Pmea = Pmga
c) se Pmgb =0 => Pmea =0 e Pmga é diferente de zero
d) se Pmgb =0 => Pmea é diferente de zero e Pmga =0
e) Se Pmgb =0 => Pmea =0 e Pmga=0
11) Considere a seguinte função de produção: Y = K1-a.L(a) onde Y=
produção; K=capital e L = trabalho. Considerando que 0< a < 1, é correto
afirmar que:
a)esta função não é homogênea, uma vez que 0<a<1.
b)esta função é homogênea de grau zero, significando que se dobrarmos
a quantidade de capital e trabalho
c)esta função de produção é conhecida como de “Cobb-Douglas” e é
homogênea de grau a
d)fazendo a= 1/ 2 e dividindo Y por L encontraremos o produto per capita
com rendimentos crescentes de escala
e)esta função é homogênea de grau 1, significando que se dobrarmos a
quantidade de capital e trabalho, o produto dobrará.
12)
ESPAÇO DOS INSUMOS
ISOQUANTA- é a curva no Espaço dos Insumos que mostra as
combinações de insumos (K,L) que fornecem o mesmo nível de
produção.Isso nos diz que K e Lsão fatores de produção substitutos entre
si.Mas não são substitutos perfeitos
Ex: Se Q = (KL)1/ 2( )
Calcule o nívelde produção para as combinações de insumos K e L
K =100, L=4
K = 4 , L= 100
K = 25, L= 16
K =16, L= 25
K = 36, L= 16
Marque os pontos acima e trace as ISOQUANTAS
Exercício: Considere a função de produção cuja equação é
dada por
Q =K0,5L0,5.Qual a equação da isoquanta correspondente
a Q =20.
Mesmo não tendo estudado ainda Mercados,vamos apresentar, a título
de facilitar o estudo, que estamos considerando um modelo de mercado
denominado de concorrência perfeita, onde o preços dos bens é
constante(veremos isso depois).Dessa forma podemos escrever que o
lucro da firma(LT) é a diferença entre a receita total(RT) e o custo total delucro da firma(LT) é a diferença entre a receita total(RT) e o custo total de
produção(CT):
LT=RT– CT=>
Como a função de produção é de Cobb-Douglas, com 2 fatores de
produção K e L, supondo que o preço do capital seja r e o preço da
mão-de-obra(salário)seja w, temos:
Se a firma contrata L trabalhadores e K de capital, o custo total 
será:CT = r.K + w.L, assim temos:
LT = P.Q –(rK + wL) = > LT = P.Q – rK – wL; como a firma vai 
maximizar o lucro, temos que derivar LT em função de L e 
iguala a zero:g
LT’ = d(P.Q)/dL – d(rK)/dL –d(wL)dL =P.dQ/dL - 0 – w = 0
P.(dQ/dL) – w = 0 => mas a derivada da quantidade em 
relação a L é definição de Produto Marginal da Mão-de-Obra
=> P.PmgL = w => PmgL = w/P =preço do insumo mão-de-
obra dividido pelo preço do produto
Se derivássemos em relação ao capital teríamos:
PmgK = r/P =preço do insumo capital /preço do produto
De uma forma geral, se a firma usa n fatores de produção, o
produto marginal de cada fator seria:
Exercício1(Fiscal do Trabalho 2003) Suponha que a
produtividade marginal do trabalho pode ser expressa pela
seguinte função: 10/L, onde L é a quantidade de mão-de-obra.
Se a empresa vende sua produção em um mercado
competitivo a um preço de $8, quanta mão-de-obra contrataráp p ç q
a empresa se o salário forte $ 5 por unidade de mão-de-obra?
a)16 b)4 c)6,25 d)10 e)8
Exercício 2) No longo prazo, uma firma competitiva é livre para escolher
o nível ótimo de todos os seus insumos produtivos. A condição que
descreve as escolhas ótimas dos insumos produtivos da firma
competitivaé a seguinte: “Para cada insumo produtivo:
(A) a função de produção deve apresentar retornos constantes de(A) a função de produção deve apresentar retornos constantes de
escala.”
(B) seu preço deve conter toda informação relevante ao processo
decisório.”
(C) seu produto marginal deve ser crescente.”
(D) o valor de seu produto marginal deveser igual a seu preço.”
(E) a função lucro deve ser linear e crescente.”
Relação entre PmgL e PmeL
TAXA MARGINAL DE SUBSTITUIÇÃO TÉCNICA DE
TRABALHO POR CAPITAL- TMgSTL,K
A TMgST mede a redução em um insumo para se obter uma
unidade a mais do outro, de modo a manter a produçãop ç
constante.A TMgST é a inclinação da ISOQUANTA em um
ponto.
TMgSTL,K = - ∆K/∆L =- dK/dL e TmgSTK,L = ∆L/∆K = dL/dK
-
Numa isoquanta,quando nos deslocamos de A para
B,ocorreu uma queda de do capital.Para manter o mesmo
nível de produção(mesma isoquanta), o uso de mão-de-obra
aumentou Se nos deslocarmos de B para C, para mantermos
a mesma produção, a firma vai ter que aumentar ainda ap ç q
quantidade de trabalhadores. De C para D,temos que
aumentar mais ainda a quantidade de trabalhadores.Ou seja,
a medida que percorremos uma isoquanta, a taxa em que
substituímos K por L diminui.Essa taxa é a TmgST de K por L
-
Relações entre TmgST e Produtividades Marginais:
Ao longo de uma isoquanta a produção não varia(∆Q=0)
- -
A TMgSTL,K é a razão entre a produtividade marginal do 
trabalho pela produtividade marginal do capital
TMgSTL,k= PMgL / PMgK = dQ/dL = w/P/r/P = w/r;
dQ/dK
onde w é o preço da mão-de-obra e P, o preço do produto
Por outro lado:
TMgST K,L = PmgK/PmgL = r/p
onde r é o preço do capital e p, o preço do produto
A 
-
Reta de Isocusto
se r = preço do capital ; w = preço da mão-de-obra ; C = 
custo ; temos:
w.L + r.K = C
A inclinação da ISOCUSTO é a razão entre os preços dos 
insumos
-
A escolha ótima da firma de função de produção de Cobb-
Douglas
-
-
Exercício - Se a função de produção de uma firma é Q = 3 (KL)1/ 2
calculepara K=100 e L=25:
a)OPRODUTO MARGINALDO CAPITAL
b)OPRODUTO MARGINALDOTRABALHO
c)ATMgSTK,L) g K,L
d)ATMgSTL,K
e)Aquantidade produzida
f)OPRODUTO MÉDIO DO CAPITAL
g)OPRODUTO MÉDIO DOTRABALHO
h)Se o preço do capital é 2 e o preço da mão-de-obra é 1, calcule as
quantidades ótimas de insumos, sabendo-se que o custo é
100.Determine o nível máximo de produção.
-
Tipos Particulares de Funções de Produção.
1)Função de produção Cobb- Douglas- capital e trabalho 
podem ser utilizadas em proporções variáveis.
Q= ALα KβQ= ALα Kβ
Achamos o K e L ótimos como fizemos na teoria do consumidor
-
2)Função de produção de insumos substitutos perfeitos
São funções lineares do tipo:
Q = aK + bL
3)Função de produção de insumos complementares
perfeitos- Nesse caso, os fatores de produção são
sempre usados em proporções fixas:
Q = min(aK bL) => com a racionalidade => aK = bLQ = min(aK,bL) => com a racionalidade => aK = bL
=>podemos dizer que:Q =aK=bL
Exemplificando:se para produzir uma pizza, a pizzaria
necessita utilizar,em conjunto os seguintes fatores de
produção: 10 porções de queijo tipo muzzarella (A), 8
azeitonas (B) e 2 porções de presunto(C).Essa pizza pode( ) p ç p ( ) p p
ser representada pela seguinte função de produção de
proporções fixas:
Q = min {A/10, B/8, C/2}
Ao invés de multiplicar temos que dividir. Veja que nós
dividimos os insumos de produção pelos números mínimos
de necessitamos. Por exemplo, se a pizzaria tiver 40 porções
de queijo,24 azeitonas e 2 porções de presuntos, quantas
i d ã f it ? Há ij fi i t 4pizzas poderão ser feitas? Há queijo suficientes para 4
pizzas, (40/10);azeitonas suficientes para 3 pizzas(24/8) e
presunto necessários para fazer 2 pizzas (2/2);dessa forma,a
pizzaria pode
Q = min(4,3,1) => Q = 1.A pizzaria vai fazer 1 pizza, que foi o
valor mínimo encontrado.
Exercício- A fabricação de um determinado suco tropical é
composta de duas partes de goiaba (g), três partes de caju
(c), uma parte de maracujá (m) e quatro partes de abacaxi (a).
Assim, a função de produção y que representa a produção
d é d ddesse suco é dada por:
(A) y = 2g + 3c + m + 4a
(B) y = g/2 + c/3
+ m + a/4
(C) y = max (2g, 3c, m, 4a)
(D) y = max (g/2, c/3, m, a/4)
(E) y = min (g/2, c/3, m, a/4)
Exercícios de fixação:
1)Considere uma função de produção de tipo Cobb-Douglas:
Y = ALaK1-a, onde Y é o produto e K é o capital.As
produtividades marginais do trabalho e do capital são dadas,p odut dades a g as do t aba o e do capta são dadas,
respectivamente por:
a) a; 1- a b) aALaK-a, e ( 1 – a )ALa-1K1-a c)(a-1)ALaK-a e
aALa-1K1-a
2 ) Admita que a função de produção de uma firma competitiva possa ser
expressa como Q=K0,5L0,5, onde Q representa a quantidade física
produzida, e K e L são as quantidades de capital e trabalho,
respectivamente. O custo total de longo prazo para produzir 4 unidades
d d t d iti d ã d it l j 8 lá ide produto, admitindo-se que a remuneração do capital seja 8 e o salário
2, será:
a)32 b)34 c)36 d)38 e)40
3)(ESAF) Dada a função de produção de uma firma igual a q =
5K²L³, a relação entre as produtividades marginais do trabalho e
do capital pode ser expressa como:
a)5L²K³)
b)5K²/L³
c)5L/3K
d)3K/2L
e)3K²/L³
4) Quando uma função de produção é homogênea do
primeiro grau:
a)o aumento da quantidade de um fator diminui a
produtividade marginal de outro fator
b)aumentando a utilização dos fatores de produção numab)aumentando a utilização dos fatores de produção numa
dada proporção, a produção não aumentará nessa proporção
c)as produtividades marginais dos fatores dependem da proporção em
que esses fatores são utilizados
d)os custos totais de produção são constantes ao longo do caminho de
expansão
e)não se verificaa lei dos rendimentos decrescentes
5 )A função de produção de uma empresa é dada por y = min
{ 5L, 25K } na qual y é a quantidade produzida, L é a
quantidade empregada de trabalho e K, a quantidade
empregada de capital. Sendo r a taxa de remuneração do
capital e w a taxa de remuneração do trabalho, a função de
custo (CT(y)) dessa empresa será dada por:
a)CT(y) = 5w + 25r b)CT(y) = rw ( y + y2 )
c)CT(y) = min {0,2y,0,04r } d)CT(y) = y
(0,2w + 0,04r ) e)CT(y) = y (r + w)/2
6 ) Uma firma usa 10 unidades de trabalho e 20 unidades de
capital para produzir 10 unidades de produto. O produto
marginal do trabalho é 0,5. Se existe retornos constantes de
escala, o produto marginal do capital deve ser:
a)0,25 b)0,5 c)impossível calcular d)0,75
7) Considere uma firma que dispõe de tecnologia
representada pela função de produção
f(K,L) = min{3K, 2L}
A firma tem como objetivo maximizar a quantidadej q
produzida, sujeita a restrição de custo. Nesta situação:
a) A firma utiliza somente L, independentemente dos
preços dos insumos.
b)Afirma utiliza os insumos tal que K = L, independentemente
dos preços dos insumos
c)A firma utiliza os insumos tal que K =(2/ 3) L,
independentemente dos preços dos insumos
d)A decisão da firma a respeito da proporção entre K e L
depende dos preços destes insumos
8)(MPOG 2005) Considerando-se o equilíbrio da empresa, é correto
afirmar que:
(A) se as isoquantas forem côncavas em relação à origem, o ponto de
tangência entre uma isocusto linear típica e a isoquanta não definirá uma
posição de minimização de custos para a produção da empresa;posição de minimização de custos para a produção da empresa;
(B) sendo PM1 a produtividade marginal do fator variável, p* o preço do
produto final e w1 o preço do fator variável, a maximização de lucro de
curto prazo de uma empresa perfeitamente competitiva acontecerá para o
nívelde produção em que: p*(PM1) < w1;
(C) sendo PM1 a produtividade marginal do fator variável, p* o preço do
produto final e w1 o preço do fator variável, a maximização de lucro de
curto prazo de uma empresa perfeitamente competitiva acontecerá para o
nívelde produção em que: p*(PM1) > w1;
(D) suponha que a função de produção de uma empresa competitiva, a qual se encontra( ) p q ç p ç p p , q
emequilíbriocomlucros iguaisav,apresentaretornosconstantesde
escala para toda a escala relevante de produção. Então, se a empresa duplicar a
quantidadedetodosos insumosaplicadosnaprodução,seus lucrosserão3v;
(E) no equilíbrio de longo prazo de uma empresa competitiva, que apresente retornos
constantes de escala em toda a escala relevante de produção,pode ocorrerque a empresa
apresentelucrosmaioresdoquezero.
9)(ANAC 2007) Suponha que a função de produção 
da firma A é dada por Y = L αK β, onde (α + β) = 1, Y 
representa o produto, L a quantidade de trabalho e K a 
quantidade de capital. Se os mercados onde a firma 
d d t ivende seu produto e compra seus insumos 
encontram-se em competição perfeita, a relação entre 
as despesas com salários e a receita total será dada 
por:
(A) β; (B) α; (C) α (1- α); (D) (α / β); (E) α L.
10)A função de produção Q = min (aK, bL), onde Q = produto, K 
= fator capital, L = fator trabalho e a e b são parâmetros,
apresenta
(A) retornos crescentes de escala se a + b > 1.
(B) retornos constantes de escala.( )
(C) fatores de produção perfeitamente substitutos.
(D) inovação tecnológica se a > b.
(E) cada isoquanta como uma linha reta.
11)(Economista ANP 2008/Cesgranrio.)A função de produção 
Q = A (aK + bL)0,5, onde Q é o produto, K e L são os fatores de 
produção, e A, a e b são parâmetros com as unidades 
adequadas, apresenta
(A) fatores de produção substitutos perfeitos.( ) p ç p
(B) retornos crescentes de escala.
(C) aumento de produtividade, se A for positivo.
(D) produtividade marginal crescente do fator K.
(E) homogeneidade de grau um.
12) (APO MPOG 2008/Cesgranrio)A função de produção 
Y = AKLb, onde Y é o produto, K e L são os fatores de produção, 
e A e b são parâmetros,
(A) é uma função homogênea do grau 2, se b = 1.
(B) não permite substituição entre os fatores de produção.( ) p ç p ç
(C) tem produto marginal de K igual a zero.
(D) leva ao uso dos fatores de produção em proporção
fixa, independentemente de seus preços.
(E) apresenta rendimentos decrescentes de escala, se A <1.
13)Considere a seguinte função de produção Q = 24x1 + 8x2, 
onde x1 e x2 são insumos diferentes que entram na fabricação 
de certo bem. Assinale a alternativa que apresenta a taxa 
marginal de substituição técnica.
A) 2 B) 3 C) 4 D) 5 E) 8
14)Seja Z = min{2L,3K}, a função de produção de uma firma 
monopolista ( Z é a quantidade de produto, L o trabalho e K o 
capital), e seja Z = 6 – P, a curva de demanda de Z. Se o preço 
do trabalho é igual a 2 e o preço do capital é igual a 3:
1)Capital e trabalho serão empregados na proporção de 1,5 ) p p g p p ç
unidades de trabalho para cada unidade de capital
2)O custo de produção de 2 unidades do produto é igual a 6
3)A quantidade produzida que maximiza o lucro da firma é 
menor do que 3
4)O lucro da firma é igual a 3
a
15)ANPEC/2010 - Uma empresa produzindo bolas de futebol 
possui função de produção Q = 2(KL)½. Suponha que no curto 
prazo a quantidade de capital é fixa em K = 100, e seja L a 
quantidade de trabalho. Responda V ou F às seguinte 
alternativa:
1)Esta função de produção possui produto marginal ) ç p ç p p g
decrescente; 
2) Esta função de produção possui retornos constantes de 
escala. 
16)Na Teoria da Produção, tem-se o conceito denominado de 
"lei dos rendimentos marginais decrescentes". Considerando 
que num processo produtivo são utilizados apenas dois fatores 
de produção, essa lei significa que:
a) a produção total será sempre decrescente, 
independentemente dasp
quantidades utilizadas dos dois fatores de produção.
b) a elevação da quantidade dos dois fatores de produção 
resulta na redução da produção total.
c) mantendo-se fixa a quantidade de um fator, a elevação da 
quantidade do fator variável resulta, a partir de um determinado 
ponto, na diminuição da produtividade marginal desse fator 
variável.
d) a produção total será nula, independentemente das 
quantidades
utilizadas dos dois fatores de produção.
e) a elasticidade-preço de oferta será sempre 
negativa, independentemente das quantidades 
tili d d d i f t d d ãutilizadas dos dois fatores de produção a. 
17)Assumindo que a função de produção seja 
contínua e que existem apenas dois fatores de 
produção, segundo a lei dos rendimentos 
decrescentes (ou lei das proporções variáveis), é 
correto afirmar:
a) No longo prazo, se as quantidades dos fatores de 
produção dobrarem, o aumento da produção será 
menor que 100%.
b) A produtividade média do fator de produção variável 
começa a diminuir quando sua produtividade marginal 
passa a ser decrescente.
c) A produção atinge um máximo quando a 
produtividade marginal do fator de produção variável 
for igual a zero.
d) A produtividade marginal do fator de produção 
variável é continuamente decrescente.
e) A produtividade média do fator de produção variável 
é inicialmente decrescente, atinge um máximo e 
depois tende a aumentar. 
18)No que se refere à função de produção de uma empresa, é correto 
afirmar que:
a) a existência de rendimentos crescentes de escala não é incompatível
com a lei dos rendimentos marginais decrescentes.
b) não é possível que uma função de produção apresente
simultaneamente rendimentos crescentes de escala e rendimentos
marginais decrescentes para cada um de seus fatores de produção.
c) caso a função de produção apresente rendimentos constantes de
escala, então as curvas de isoquantas terão formato de linhas retas.
d) caso a função de produção seja uma função de produção do tipo
Leontief, as curvas de isoquantas terão o formato de uma linha reta.
e) curvas de isoquantas convexas em relação à origem são incompatíveis
com rendimentos marginais crescentes dos fatores de produção. 
19)ANPEC