Prova 1 (cap. 1 2 3 4)

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CEM-Joinville 2010-2 EMB5017
Prova 1
01/10/2010
Gabarito
Observac¸a˜o: Ao entregar as respostas, inclua esta folha no caderno de avaliac¸a˜o. Cada
questa˜o vale 2,5 pontos.
1. A comporta mostrada na figura tem largura w (perpendicular ao plano da folha) e, para fins de
ana´lise, pode ser considerada sem peso. Para qual profundidade de a´gua d esta comporta retangular
ficara´ em equil´ıbrio como mostrado? Expresse o resultado em termos de ρ, g, L, m e θ.
d
L
m
θ
y
O
P
T
p dA
l
Para que a comporta fique na posic¸a˜o mostrada, e´ necessa´rio que o somato´rio dos mo-
mentos de todas as forc¸as em relac¸a˜o ao ponto “O” mostrado seja igual a zero. Um
sistema de coordenadas conveniente para esse problema e´ com o eixo y originando na
superf´ıcie livre e orientado para baixo, na direc¸a˜o da comporta. Como a pressa˜o at-
mosfe´rica atua sobre ambos os lados da comporta, os seus efeitos se cancelam e a pressa˜o
pode ser tomada como a pressa˜o manome´trica pman = ρgh. Dessa forma,
ΣMO = 0
−
∫ l
0
(l − y) pmanw dy + TL = 0
onde a trac¸a˜o T e´ igual ao peso do bloco P = mg. Ainda, temos que h = y sin θ,
l = d/sinθ. Assim,
−
∫ d/ sin θ
0
(
d
sin θ
y − y2
)
ρg sin θw dy + TL = 0
−
ρgwd3
sin2 θ
(
1
2
−
1
3
)
+mgL = 0
d =
[
6mL sin2 θ
ρw
]1/3
.
2. O cubo de aresta amostrado na figura e´ feito de material com densidade relativa SG e esta´ submerso
em um tanque com a´gua. O cubo repousa sobre um orif´ıcio, de diaˆmetro d, no fundo do tanque.
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Desenvolva uma expressa˜o geral para a faixa de densidades relativas para os quais o cubo na˜o
subira´ a` tona.
a
H
d
z
P
pS
pIH2O pIatm
O cubo na˜o subira´ a` tona desde que a forc¸a peso P = mg, atuando verticalmente para
baixo, seja maior ou igual a` forc¸a vertical resultante devido a` distribuic¸a˜o de pressa˜o sobre
o objeto. Uma maneira de resolver o problema e´ reconhecer que sobre a face superior
(S) do cubo a pressa˜o atuante sera´ igual a` pS = patm + ρg(H − a), onde ρ = ρH2O e
que na face inferior do cubo em contato com a a´gua (IH2O) teremos uma pressa˜o igual
a pIH2O = patm + ρgH e na face inferior do cubo exposto a` atmosfera (Iatm) a pressa˜o e´
dada por pIatm = patm. Assim,
P + pSAS − pIH20AIH2O − pIatmAIatm ≥ 0 .
Note que AS = AIH2O +AIatm e podemos escrever,
P + [patm + ρg(H − a)] (AIH2O +AIatm)− (patm + ρgH)AIH2O − patmAIatm ≥ 0
P + [ρg(H − a)− ρgH ]AIH2O + ρg(H − a)AIatm ≥ 0
onde AS = a
2, AIH2O = a
2 − πd2/4 e AIatm = πd
2/4. Substituindo esses resultados na
equac¸a˜o acima obtemos,
P − ρg
(
a3 −
πd2a
4
)
︸ ︷︷ ︸
E
+ρg(H − a)
πd2
4
≥ 0
Note que nesse caso a forc¸a empuxo E na˜o e´ igual ao peso do volume de l´ıquido deslocado
uma vez que parte da face inferior do cubo esta´ exposto a` atmosfera. Vemos tambe´m que
o efeito da pressa˜o atmosfe´rica e´ cancelada pois ela atua em todas as faces do objeto. A
equac¸a˜o acima poderia ter sido escrita diretamente. Sabendo quem = ρcuboa
3 e dividindo
por ρga3 temos,
ρcubo
ρ
− 1 +
1
4
πd2H
a3
≥ 0
SG =
ρcubo
ρ
≥ 1−
1
4
πd2H
a3
3. O´leo escoa em regime permanente formando uma fina camada de largura w (perpendicular ao plano
da folha) em um plano inclinado para baixo como mostrado na figura. O perfil de velocidade e´
dado por
u =
ρg sin θ
µ
[
hy −
y2
2
]
Expresse a vaza˜o em massa em termos de ρ, µ, g, θ, w, e h.
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u
h
θ
x
y
A vaza˜o em massa na fina camada de o´leo e´ dada por,
m˙ =
∫ h
0
ρuw dy
=
∫ h
0
ρ2g sin θ
µ
[
hy −
y2
2
]
w dy
=
wρ2g sin θ
µ
[
h
y2
2
−
y3
6
] ∣∣∣∣
h
0
m˙ =
ρ2g sin θh3w
3µ
.
4. O fluido em contato direto com uma fronteira so´lida estaciona´ria tem velocidade zero; na˜o ha´
deslizamento na fronteira. Enta˜o, o escoamento sobre uma placa plana adere-se a` superf´ıcie da
placa e forma uma camada-limite. O escoamento a` montante da placa e´ uniforme com velocidade
~V = Uıˆ. A distribuic¸a˜o de velocidade dentro da camada limite (0 ≤ y ≤ δ) ao longo de cd e´ dada
por u = f(y/δ). Mostre que a forc¸a de arrasto devido ao atrito do fluido sobre a superf´ıcie e´ dada
por
Ff =
∫ δ
0
ρu(U − u)w dy .
Dica: Voceˆ tera´ que usar a equac¸a˜o de conservac¸a˜o da massa para achar o fluxo de massa atrave´s
da face bc. Este fluxo de massa transportara´ consigo uma quantidade de movimento na direc¸a˜o x.
Leve isso em conta ao aplicar a equac¸a˜o da quantidade de movimento na direc¸a˜o x.
a d
b c
VC
U U
δ
x
y
Rx
Seguindo a dica do problema, aplicamos a equac¸a˜o da conservac¸a˜o da massa ao volume
de controle dado,
�
�
�
�
�
�*
0
∂
∂t
∫
V C
ρ dV+
∫
SC
ρ~V · d ~A = 0 ,
onde o primeiro termo e´ nulo (regime permanente). Avaliando o segundo termo em todas
as faces do volume de controle,
∫
ab
ρ~V · d ~A+
∫
bc
ρ~V · d ~A+
∫
cd
ρ~V · d ~A+
�
�
�
�
��*
0∫
ad
ρ~V · d ~A = 0
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onde o u´ltimo termo e´ nulo pois na superf´ıcie so´lida a velocidade e´ nula. Ainda,
∫
ab
ρ~V · d ~A = −
∫ δ
0
ρUw dy ,
∫
cd
ρ~V · d ~A =
∫ δ
0
ρuw dy ,
e portanto,
∫
bc
ρ~V · d ~A = m˙bc =
∫ δ
0
ρ(U − u)w dy .
Agora precisamos aplicar o princ´ıpio da quantidade de movimento na direc¸a˜o x,
Fsx +�
�>
0
Fbx =
�
�
�
�
�
��*
0
∂
∂t
∫
VC
uρdV+
∫
SC
uρ~V · d ~A .
Na˜o existem forc¸as de campo na direc¸a˜o x e a u´nica forc¸a de superf´ıcie atuando sobre o volume de
controle e´ exercida pela parede como mostrada na figura. As forc¸as de pressa˜o nas faces ab e cd se
cancelam pois ∂p/∂x = 0. Temos enta˜o,
−Rx =
∫
ab
ρu~V · d ~A+
∫
bc
ρu~V · d ~A+
∫
cd
ρu~V · d ~A+
�
�
�
�
�
��*
0∫
ad
ρu~V · d ~A ,
onde,
∫
ab
ρu~V · d ~A = −
∫ δ
0
ρU2w dy
∫
bc
ρu~V · d ~A = U
∫
bc
ρ~V · d ~A = U
∫ δ
0
ρ(U − u)w dy
∫
cd
ρu~V · d ~A =
∫ δ
0
ρu2w dy .
Note que usamos o resultado obtido para a vaza˜o ma´ssica atrave´s da superf´ıcie bc. Assim,
−Rx = −
∫ δ
0
ρU2w dy + U
∫ δ
0
ρ(U − u)w dy +
∫ δ
0
ρu2w dy
Rx =
∫ δ
0
ρu(U − u)w dy .
O resultado obtido para Rx e´ positivo, portanto o sentido adotado esta´ correto (−ıˆ). A forc¸a de
atrito exercida pelo fluido sobre a superf´ıcie sera´ enta˜o igual em mo´dulo e direc¸a˜o e oposto em
sentido a Rx. Assim Ff e´ orientado na direc¸a˜o ıˆ e igual a,
Ff =
∫ δ
0
ρu(U − u)w dy .
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Formula´rio
Coordenadas retangulares: ~X(x, y, z) e ~V (u, v, w)
Esta´tica dos Fluidos
FR =
∫
A
p dA
y′FR =
∫
A
py dA
p = p0 + ρgh
Equac¸o˜es Ba´sicas na Forma Integral para um Volume de Controle:
∂
∂t
∫
VC
ρdV+
∫
SC
ρ~V · d ~A = 0
~Fs + ~Fb =
∂
∂t
∫
VC
~V ρdV+
∫
SC
~V ρ~V · d ~A
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