Estatística_para_engenharia_e_

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ESTATÍSTICA PARA CURSOS DE 
ENGENHARIA E INFORMÁTICA 
 
 
1. A ESTATÍSTICA 
 
Em nosso dia a dia, estamos sempre 
fazendo observações de fenômenos ou gerando 
dados. Os engenheiros estão frequentemente 
analisando dados de propriedades dos materiais; os 
profissionais da informática estão avaliando dados 
de desempenho de novos sistemas computacionais; 
e todos nós, ao lermos jornais e revistas, estamos 
vendo resulta dos estatísticos provenientes do 
censo demográfico, de pesquisas eleitorais etc. 
Os dados podem provir de estudos 
observacionais ou de experimentos planejados. 
Ao acompanhar o desempenho de um processo 
produtivo em sua for ma natural, estamos fazendo 
um estudo observacional; ao alterar de forma 
proposital as variáveis do processo para verificar 
seus efeitos nos resultados, estamos realizando um 
experimento. 
 
A estatística envolve técnicas para coletar, 
organizar, descrever, analisar e interpretar dados, 
ou provenientes de experimentos, ou vindos de 
estudos observacionais. 
 
A análise estatística de dados geralmente 
tem por objetivo tomadas de decisões, resoluções 
de problemas ou produção de conhecimento. Mas 
novos conhecimentos normalmente geram novos 
problemas de pesquisa, resultando em um processo 
iterativo (veja a Figura 1.1). 
 
 
 
Estudaremos técnicas de amostragens e de 
planejamento de experimentos, as quais permitem 
que tenhamos observações — ou da dos — capazes 
de responder a um problema. Mas as informações 
relevantes, que devem estar contidas nos dados, 
normalmente precisam ser realçadas para que 
possamos enxergá-las. Isso pode ser feito através 
da análise exploratória de dados. 
As observações de um experimento 
costumam vir acompanhadas de erro experimental, 
ou seja, variações aleatórias devidas a uma 
infinidade de fatores não controláveis. E a tarefa de 
verificar se alguma variação é real (devida a algum 
fator em estudo) ou meramente resultado de 
flutuações aleatórias não é fácil. É por isso que 
estudaremos a probabilidade, parte da matemática 
preocupada em modelar fenômenos aleatórios. 
Inferências estatísticas, ou seja, 
generalizações de amostras para populações de 
onde elas foram extraídas, são fundamentais na 
resolução de problemas de engenharia e nos 
processos de tomada de decisões. E através de 
inferências estatísticas que podemos chegar à 
conclusão de que um material é mais resistente do 
que outro, que um sistema computacional gera 
resultados mais precisos do que outro ou, ainda, 
que um candidato tem intenção de voto no 
intervalo 30% ± 2%, com nível de confiança de 
95%. 
A essência de uma análise estatística é tirar 
conclusões sobre uma população, ou universo, 
com base em uma amostra de observações. 
 
 
2 - PESQUISAS, DADOS, VARIABILIDADE E 
ESTATÍSTICA 
 
As pessoas normalmente associam o termo 
estatística a números, tabelas e gráficos, mas a 
importância da estatística fica melhor representada 
por dois ingredientes comuns em nosso dia a dia: 
dados e variabilidade. 
Para o engenheiro conhecer as propriedades 
físicas de um novo material, ele pode medir 
algumas de suas características, tais como a dureza, 
a flexibilidade, a densidade, a porosidade etc. Mas 
se ele medir a dureza em vários corpos de prova do 
mesmo material com um instrumento de alta 
precisão, encontrará valores diferentes. Subestimar 
a presença da variabilidade pode pôr a casa a 
pique! 
Da mesma forma, observações do tempo 
demandado para transmitir da dos através da rede 
mundial de computadores, ou do número de bytes 
que passam por um servidor, variam uma 
enormidade ao longo do tempo. O conhecimento 
desses dados e de sua variabilidade torna-se 
imprescindível para se projetar um sistema de 
transmissão de dados, ou mesmo para usar o 
sistema existente com eficiência. 
Em geral, a busca por melhorias na 
qualidade de um processo produtivo implica a 
redução da variabilidade. O que você como 
consumidor pensa quando vê refrigerantes de certa 
marca com grandes variações de conteúdo nas 
garrafas? E quando você resolve medir o peso de 
 2
pacotes de café de 500 g e verifica que alguns têm 
mais de 520 g e outros têm menos que 480 g? A 
variabilidade pode ser reduzida com investimentos 
em pessoal, máquinas e tecnologia, mas muitas 
vezes ela pode ser acomodada com o conhecimento 
de relações entre fatores do processo e 
características funcionais do produto, o que 
envolve conhecimentos de engenharia, pesquisas, 
dados e análises estatísticas. 
Com a alta competitividade de hoje, para 
que uma empresa sobreviva, ela tem o desafio de 
adequar o produto ao cliente. Por exemplo, a 
demanda exige que certo material tenha um valor 
específico de dureza. Mas como obter este valor de 
dureza, com a menor variabilidade possível, 
alterando fatores do processo, tais como: 
temperatura do forno, temperatura de têmpera, 
meio de têmpera, alterações nos componentes do 
material etc.? A resposta pode ser um es tudo 
experimental, em que os fatores do processo são 
manipulados dentro de uma região operacional de 
forma planejada. Observações são obtidas e, 
através de uma análise estatística dos dados, 
podemos chegar à combinação ideal dos fatores do 
processo. 
Por outro lado, adequar o produto ao cliente 
envolve saber o que o consumidor deseja. Mas os 
consumidores têm preferências diferentes, o que 
exige a realização de pesquisas observacionais (ou 
de levantamento) com os consumidores. Essas 
pesquisas envolvem planejamento, técnicas de 
amostragem, construção de questionários, 
organização dos dados, análises estatísticas e 
interpretação prática dos resultados. 
 
 
3 - A ESTATÍSTICA NA ENGENHARIA 
 
Logo após a Revolução Industrial, métodos 
estatísticos foram incorporados nos processos 
industriais para garantir a qualidade dos produtos. 
Amostras de itens produzidos eram avaliadas 
sistematicamente para inferir se o processo es tava 
sob controle. Mais recentemente, a avaliação da 
qualidade passou a ser feita ao longo de todo o 
processo produtivo como forma de corrigir 
eventuais falhas no sistema assim que elas 
aparecessem. Isso levou a um aumento da 
qualidade do produto final e redução de custos, 
pois se reduziram drasticamente as perdas por 
defeitos. 
Além do acompanhamento estatístico da 
qualidade, as indústrias costumam fazer 
experimentos estatisticamente planejados para 
encontrar a combinação dos níveis dos fatores do 
processo que levem a melhor qualidade possível. 
Na outra ponta, as empresas levantam dados de 
amostras de consumidores para realizar pesquisas 
de marketing direcionadas ou para adequar os 
produtos aos clientes. O planejamento dessas 
amostras e a análise dos dados necessitam de 
técnicas estatísticas. 
Muitas vezes, a relação entre estatística e 
engenharia é ainda mais estreita. Os próprios 
métodos de engenharia costumam incorporar 
intrinsecamente procedimentos probabilísticos ou 
estatísticos. Assim, para que um aluno possa 
entender certos métodos de engenharia, é 
necessário que tenha conhecimentos de 
probabilidade e estatística. 
 
 
4 - A ESTATÍSTICA E A INFORMÁTICA 
 
Enquanto a Informática é a ciência que trata 
da informação através de meios eletrônicos, a 
Estatística procura obter informações relevantes de 
massas de dados e, nos dias de hoje, isso costuma 
ser feito com auxílio do computador. 
A variabilidade está onipresente nos 
sistemas computacionais atuais. Você pode 
observar diferentes tempos de resposta ao carregar 
um aplicativo num sistema compartilhado, ao 
transmitir uma mensagem no correio eletrônico etc. 
Portanto, a análise do desempenho desses sistemas 
computacionais exige trata mento estatístico. 
É comum construir sistemas para simular 
certas situações reais. Mas, como no mundo real os 
acontecimentos nem sempre são
previsíveis, torna-
se necessário incluir no modelo de simulação 
alguma aleatoriedade, que pode ser feita com base 
em modelos de probabilidade. Por exemplo, pode 
ser razoável supor que em uma fila cheguem, em 
média, cinco indivíduos por minuto, mas o número 
exato de indivíduos que vão chegar no próximo 
minuto não é totalmente previsível. 
Outra relação importante é o uso conjunto 
de banco de dados, estatística e inteligência 
artificial para extrair informações relevantes e não 
triviais de grandes arquivos de dados, armazenados 
sob diferentes formatos e em diferentes locais. Por 
exemplo, as empresas telefônicas têm dados das 
ligações telefônicas de seus milhares ou até 
milhões de clientes. Mas é um grande desafio 
encontrar, com base nesses dados, possíveis 
fraudes, tais como as clonagens de telefones 
celulares. Este é um caso típico da necessidade de 
 3
usar de forma conjunta técnicas estatísticas e 
informática. 
 
 
5 - MODELOS 
 
Os modelos podem ser considerados como 
alguma representação da realidade em estudo, 
destacando aspectos relevantes e desprezando 
detalhes insignificantes. Em geral, eles servem para 
simplificar, descrever e facilitar a interpretação 
daquilo que se está estudando. 
Na engenharia, o estudante costuma 
defrontar com os chamados modelos 
determinísticos, isto é, conhecidas as entradas x1, 
x2, x3, ..., xk, o modelo permite chegar ao resultado 
y, usando uma função y = f(x1, x2, x3, ..., xk). É o 
que acontece, por exemplo, com a Lei de Ohm, em 
que, dadas a tensão (x1) e a resistência (x2) de um 
circuito simples, podemos calcular o fluxo da 
corrente elétrica (y) por: 
 
 
 
Muitas vezes, porém, as condições do 
experimento não permitem deduzir qual o 
resultado, mas somente a chance (ou a 
probabilidade) de possíveis resultados. É o caso da 
observação da face voltada para cima no 
lançamento imparcial de uma moeda perfeitamente 
equilibrada. Antes da realização do experimento 
não se tem como dizer o resultado, mas é razoável 
atribuir probabilidade 0,5 para cara e 0,5 para 
coroa. E um exemplo de modelo probabilístico ou 
estocástico. 
Um exemplo menos trivial de modelo 
probabilístico é a descrição do número de 
indivíduos que chegam a uma fila, ou do número 
de pacotes de dados que chegam a um servidor por 
segundo. Sob certas condições e admitindo que a 
taxa média de chegadas por segundo é λ(um valor 
positivo fixo), a probabilidade de chegar 
exatamente k pacotes num dado segundo é de, 
aproximadamente: 
 
 
Esse tipo de modelo pode auxiliar o projetista a 
planejar a capacidade de um sistema 
computacional. 
Todo estudante já deve ter-se defrontado 
com os modelos mecanísticos, caracterizados por 
serem totalmente deduzidos do conhecimento 
sobre o fenômeno físico em questão — a Lei de 
Ohm é um exemplo. De outro lado estão os 
chamados modelos empíricos, que são construídos 
com base em observações reais sobre o problema 
em estudo. Por exemplo, podemos ter interesse em 
conhecer a relação entre a resistência à compressão 
de um concreto e seu tempo de hidratação. Para 
isso, podemos realizar um experimento, que resulta 
em observações dessas duas variáveis. A Figura 
1.2 apresenta os resultados da resistência (MPa) de 
11 corpos de prova, com tempos de hidratação 
entre 10 e 20 dias. 
 
A Figura 1.2 mostra que não se tem uma 
função matemática simples para explicar 
exatamente a relação entre as duas variáveis em 
questão. Contudo, o gráfico expõe os pontos em 
torno de uma reta. Ou seja, podemos admitir que a 
resistência esperada do concreto se relaciona 
linearmente com o tempo de hidratação; e o fato de 
os pontos observados não estarem exatamente 
sobre uma reta é porque existem inúmeros fatores 
não controláveis que agem sobre o processo — o 
erro experimental. 
Uma função matemática que explica 
aproximadamente o relacionamento entre duas ou 
mais variáveis, construída com base em dados 
observados, pode ser considerada um modelo de 
regressão, um tipo especial de modelo empírico. 
Dado um problema, o conhecimento de engenharia 
é fundamental para escolher adequadamente as 
variáveis e, às vezes, a forma funcional (uma reta, 
uma parábola etc.), mas a construção completa do 
modelo é feita através dos dados. 
No exemplo em questão, a Figura 1.2 
sugere que uma reta (y = α + βx) descreve 
aproximadamente o relacionamento. As 11 
observações da resistência (y) para diferentes 
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tempos de hidratação (x) são usadas para obter 
valores de α e β adequados, conforme 
estudaremos. A Figura 1.3 mostra a equação de 
regressão analítica e graficamente. O chapéu sobre 
y é para diferenciar o modelo (a reta) dos valores 
efetivamente observados (os pontos). 
 
 
 
6 - CONCEITOS BÁSICOS 
 
Apresentaremos alguns conceitos que 
facilitarão a leitura deste livro. Esses conceitos 
serão retomados nos capítulos seguintes com 
definições mais precisas. O exemplo seguinte será 
usado para ilustrar os principais conceitos. 
Exemplo 1.1 Considere uma indústria 
processadora de suco de frutas. Ao receber um 
carregamento de laranjas, os técnicos fazem 
inspeção da qualidade nas frutas. Examinam uma 
amostra de cinco caixas, tomadas de forma 
aleatória dentre toda a população de caixas do 
carregamento. 
Algumas características (ou variáveis) 
podem ser observadas nas cinco caixas de laranjas 
amostradas, tais como: 
População: conjunto de elementos que formam o 
universo de nosso estudo que são passíveis de ser 
observados, sob as mesmas condições. 
Amostra: parte dos elementos de uma população. 
Amostragem: processo de seleção da amostra. 
Amostragem aleatória simples: o processo de 
seleção dos elementos é feito por sorteios, fazendo 
com que todos os elementos da população tenham 
a mesma chance de ser escolhidos e, além disso, 
todo subconjunto de n elementos tenha a mesma 
chance de fazer parte da amostra. 
a) uma classificação por um técnico especializado 
(ótima, boa, regular, ruim ou péssima); 
b) número de laranjas não aproveitáveis por caixa; 
c) peso de cada caixa de laranja etc. 
O nível de mensuração de uma variável 
pode ser qualitativo, como no caso (a), em que o 
resultado é uma qualidade ou atributo; ou 
quantitativo, como nos demais casos, em que o 
resultado é um valor numa dada escala de medidas. 
As variáveis mensuradas ao nível qualitativo serão 
chamadas de variáveis qualitativas, e as 
mensuradas ao nível quantitativo, de variáveis 
quantitativas. 
Ao selecionar uma caixa de laranja do 
carregamento, podemos contar o número de 
laranjas não aproveitáveis e medir o peso da caixa. 
Gomo o resulta do de cada variável depende do 
processo aleatório de seleção da caixa de laranja, 
preferimos usar a denominação variável aleatória. 
Uma variável aleatória pode ser entendida como 
uma variável quantitativa, cujo resultado depende 
de fatores aleatórios. 
Ao realizar as observações de certa variável 
aleatória X, estamos observando uma amostra de n 
elementos, {x1, x2, x3, ..., xn}da variável aleatória 
X. Por exemplo, ao contar o número de laranjas 
não aproveitáveis em cada uma das cinco caixas 
amostradas, temos um conjunto de cinco valores, 
digamos {4, 6, 2, 3, 0}, que corresponde à amostra 
efetivamente observada da variável aleatória 
X = número de laranjas não aproveitáveis por 
caixa.’ 
Dada uma amostra, é comum calcular 
medidas descritivas das observações. Em nosso 
exemplo, podemos dizer que o número médio de 
laranjas não aproveitáveis por caixa é (4 + 6 + 2 + 
3 + 0)/5 = 3. Esse valor descreve o que se observou 
na amostra, mas também pode ser interpretado 
como uma estimativa do número médio de laranjas 
não aproveitáveis por caixa, no carregamento todo. 
Parâmetro: uma medida que descreve certa 
característica dos elementos da população. 
Estatística: uma medida que descreve
certa 
característica dos elementos da amostra. 
Estimativa: valor resultante do cálculo de uma 
estatística, quando usado para se ter uma idéia do 
parâmetro de interesse. 
 
Exemplos de parâmetros podem ser: 
• média do número de laranjas não aproveitáveis 
por caixa; 
• proporção do número de caixas classificadas 
como ótima etc. 
Uma média ou proporção, quando referente a uma 
amostra e não a toda a população, é chamada de 
estatística. Note que as definições de parâmetro e 
estatística são muito parecidas, só que parâmetro 
refere-se à população e estatística, à amostra. Por 
sua vez, o termo estimativa refere-se a um 
resultado numérico, referente à amostra 
efetivamente observada. 
(BARBETTA, P. A. Estatística: para cursos de engenharia e informática. 3. ed. São Paulo : Atlas, 2010.)