sel310-A6 Linha parte 3 Sel310 612

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Linha de Transmissão 
Parte 3
Solução da Equação de Onda e
Excitação SenoidalExcitação Senoidal
SEL 310/612 Ondas Eletromagnéticas
Amílcar Careli César
Departamento de Engenharia Elétrica da EESC-USP
Atenção!
� Este material didático é 
planejado para servir de apoio 
às aulas de SEL-310 E SEL-612: 
Ondas Eletromagnéticas, 
oferecida aos alunos 
regularmente matriculados no 
curso de engenharia elétrica e curso de engenharia elétrica e 
engenharia de computação.
� Não são permitidas a 
reprodução e/ou 
comercialização do material.
� solicitar autorização ao 
docente para qualquer tipo de 
uso distinto daquele para o 
qual foi planejado.
3/7/2012 2SEL310/612 Ondas Eletromagnéticas A.C. Cesar SEL EESC USP
Soluções das equações de onda
2
2
2
( )
( ) 0
d V z
k V z
dz
− =
A solução da equação de onda para tensão
é da forma
( ) kz kz+ − − +
3/7/2012 3SEL310/612 Ondas Eletromagnéticas A.C. Cesar SEL EESC USP
( ) kz kzV VV e ez + − − += +
;V V+ − : constantes a serem determinadas
Sentido positivo de z Sentido negativo de z
Corrente
( )
( )
dV z
ZI z
dz
= −
( ) kz kzV z V e V e+ − − += + em
( )( ) kz kzkI z V e V e+ − −= −
3/7/2012 4SEL310/612 Ondas Eletromagnéticas A.C. Cesar SEL EESC USP
( )( ) kz kzkI z V e V e
Z
+ − −= −
( ) k kzz I eI I ez + − −= −
2
k ZY ZY Y
Z Z ZZ
= = =
1k ohm
Z
−
 
  =
 
 
Tensão e corrente
( ) k kzz I eI I ez + − −= −
( ) k kzz V eV V ez + − −= +
3/7/2012 5SEL310/612 Ondas Eletromagnéticas A.C. Cesar SEL EESC USP
( ) k kzz I eI I ez + − −= −
k k
I V I V
Z Z
+ + − −= =
Conceito de perturbação
� Uma perturbação move-se a partir de uma fonte ao 
longo do tempo
� O meio pode não apresentar movimento na direção 
de propagação
� Propagação de onda eletromagnética
– não é necessário meio físico
– há propagação no vácuo
SEL310/612 Ondas Eletromagnéticas A.C. Cesar SEL EESC USP
– há propagação no vácuo
� Tipos de ondas
– ondas mecânicas
– ondas eletromagnéticas
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O que se move com velocidade u ?
L
i
L
v+
−
SEL310/612 Ondas Eletromagnéticas A.C. Cesar SEL EESC USP
� À medida que o tempo passa a corrente no primeiro indutor carrega o 
capacitor seguinte
� A variação da tensão no capacitor provoca a variação da corrente no 
indutor seguinte
� Resultado
– A perturbação elétrica se propaga com 
velocidade vf ao longo da linha de transmissão
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Velocidade de fase
λ
1
á
r
i
a
fasev
0tω = 0tω =
/ 2tω pi= / 2tω pi=
0tω =
2
t
π
ω =
fasev
3/7/2012 8SEL310/612 Ondas Eletromagnéticas A.C. Cesar SEL EESC USP
-1
0
distância ao longo de z (arbitrária)
a
m
p
l
i
t
u
d
e
 
a
r
b
i
t
r
á
tω pi=tω pi=tω π=
Solução da equação de onda
2pi/kI-2pi/kI
v
t = 0 t = t0
3/7/2012 9SEL310/612 Ondas Eletromagnéticas A.C. Cesar SEL EESC USP
z
∆z ( , ) cos( )
I
v z t V t k zω+ += −
Comprimento de onda
pi/k
z
I2 / kλ pi=
pi/kI
3/7/2012 10SEL310/612 Ondas Eletromagnéticas A.C. Cesar SEL EESC USP
z
0 pi/2kI 3pi/2kI 2pi/kI
0( , 0) cos( )Itv z t V t k zω
+ +
== = −
I
2 0
k
piλ = − kΙΙΙΙ : constante de propagação
[rad/unid. compr.] ou [(unid. compr.)-1]
2
I
k
π
λ
=
Constante de propagação e atenuação
( )
( ) R I
k jk zkzV z V e V e
− ++ + − += =
( ) R I
k z jk z
V z V e e
− −+ +=
( )( , ) cosk zv z t zet V kω−++ = −
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( )( , ) cosRk z Iv z t zet V kω
−++ = −
Amplitude decrescendo
exponencialmente
kR : constante de atenuação: [neper/metro] ou [dB/metro]
kI : constante de fase: [rad/metro] ou [m
-1] 
Linha de transmissão sem perdas-1
k Y G j C j C C
Z Z R j L j L L
ω ω
ω ω
+
= = = =
+
0
Z m
L
C
oh=
3/7/2012 12SEL310/612 Ondas Eletromagnéticas A.C. Cesar SEL EESC USP
C
( )( )
( )( ) 2
k ZY R j L G j C
k j L j C LC
ω ω
ω ω ω
= = + +
= = −
1
fase
LC jk m
v
j
ω
ω
−==
Linha de transmissão sem perdas-2
( ) I Ijk z jk zV e VV z e− ++ −= +
0 0
( ) I I
jk z jk zV
I z
V
e e
Z Z
+ −
− −
= −
3/7/2012 13SEL310/612 Ondas Eletromagnéticas A.C. Cesar SEL EESC USP
0 0
kI : constante de fase, constante de propagação
zL∆
zC∆
zL∆
zC∆
zL∆
zC∆
zL∆
zC∆
Onda em linha com e sem perdas
0
1
a
m
p
l
i
t
u
d
e
 
(
a
r
b
i
t
r
á
r
i
a
)
Linha 
com 
Linha 
sem 
perdas
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0 2 4 6 8 10
-1
a
m
p
l
i
t
u
d
e
 
(
a
r
b
i
t
r
á
r
i
a
)
distância ao longo de z (arbitrária)
com 
perdas
t = 0
V+ = 1 volt