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Tr an sm is sã o de C al o r Pr of . D r . V ic en te L ui z Sc al on Convecção Térmica ● Subdivisões: – Convecção forçada no exterior de corpos – Convecção forçada no interior de corpos – Convecção natural ou livre Tr an sm is sã o de C al o r Pr of . D r . V ic en te L ui z Sc al on O coeficiente de Transmissão de Calor (h) ● O coeficiente de transmissão de calor representa a intensidade de troca em um determinado ponto: q , ,=h⋅T s−T ∞ ● Numa superfície a taxa de transferência total q é: q=∫A q , ,dA=∫A h⋅T s−T ∞dA h= 1 A∫A h⋅dA ● este mesmo q poderia ser calculado na forma: q=h⋅A⋅T s−T ∞ ● e assim: onde é o coeficiente médio de transferência de calor.h Tr an sm is sã o de C al o r Pr of . D r . V ic en te L ui z Sc al on Termo Transiente da Convecção ⋅c p⋅ ∂T ∂ t = ∂ ∂ x k ∂T∂ x ∂∂ y k ∂T∂ y ∂∂ z k ∂T∂ z q˙ (2.13) Para o caso da convecção: ⋅c p⋅ DT D t = ∂ ∂ x k ∂T∂ x ∂∂ y k ∂T∂ y ∂∂ z k ∂T∂ z q˙ onde: ● Ψ representa os termos de dissipação viscosa ● D representa a Derivada Total, que leva em conta a movimentação do fluido. Tr an sm is sã o de C al o r Pr of . D r . V ic en te L ui z Sc al on Derivada Total DT D t =∂T ∂ t u⋅∂T ∂ x v⋅∂T ∂ y w⋅∂T ∂ z DT D t =∂T ∂ t ∂ x ∂ t ⋅∂T ∂ x ∂ y ∂ t ⋅∂T ∂ y ∂ z ∂ t ⋅∂T ∂ z A equação geral com k constante e q=Ψ=0, resulta: No caso da convecção, a posição da partícula é dependente do tempo (t): ou em termos de velocidades: 1 ⋅∂T∂ t u⋅∂T∂ xv⋅∂T∂ yw⋅∂T∂ z = ∂2T∂ x2∂ 2T ∂ y2 ∂ 2T ∂ z2 Tr an sm is sã o de C al o r Pr of . D r . V ic en te L ui z Sc al on Solução geral do problema de Convecção Além da Eq. Energia (anterior) a solução geral depende do conhecimento do campo de velocidades (Eqs. de Navier-Stokes – Fluido Incompressível): ⋅ ∂u∂ t u⋅∂ u∂ xv⋅∂ u∂ yw⋅∂ u∂ z = ∂ 2u ∂ x2 ∂ 2 u ∂ y2 ∂ 2 u ∂ z2 −∂ P∂ x −[−∞⋅g ]x B x ⋅ ∂ v∂ t u⋅∂ v∂ xv⋅∂v∂ yw⋅∂ v∂ z = ∂ 2v ∂ x2 ∂ 2v ∂ y2 ∂ 2v ∂ z 2 −∂ P∂ y −[−∞⋅g ] y B y ⋅ ∂w∂ t u⋅∂w∂ x v⋅∂w∂ y w⋅∂w∂ z = ∂2w∂ x2 ∂ 2w ∂ y2 ∂ 2w ∂ z 2 −∂ P∂ z −[−∞⋅g ]z Bz ∂u ∂ x ∂ v ∂ y ∂w ∂ z =0 Somente a solução combinada destas cinco equações, com suas respectivas condições de contorno e simplificações, resolve o problema de Convecção Tr an sm is sã o de C al o r Pr of . D r . V ic en te L ui z Sc al on Adimensionalização das Equações – Eq. Energia 1 ⋅∂T∂ t u⋅∂T∂ xv⋅∂T∂ yw⋅∂T∂ z = ∂2T∂ x2∂ 2T ∂ y2 ∂ 2T ∂ z2 =T−T ∞ T i−T∞ ∂ ∂ x = 1 T i−T ∞ ∂T ∂ x ∂ 2 ∂ x2 = 1 T i−T ∞ ∂2T ∂ x2 análogo t , x , y , z T i−T ∞ ∂∂ t u⋅∂∂ xv⋅∂∂ yw⋅∂∂ z =T i−T ∞ ∂ 2 ∂ x2 ∂ 2 ∂ y2 ∂ 2 ∂ z2 1 ∂∂ t u⋅∂∂ xv⋅∂∂ yw⋅∂∂ z = ∂ 2 ∂ x2 ∂ 2 ∂ y2 ∂ 2 ∂ z2 ● Temperatura: Tr an sm is sã o de C al o r Pr of . D r . V ic en te L ui z Sc al on x=xL d x= 1 L d x o mesmo vale para y= y L e z= z L 1 ⋅L L ∂∂ t u⋅∂∂xv⋅∂∂yw⋅∂∂z = 1L2 ∂ 2 ∂x2 ∂ 2 ∂ y2 ∂ 2 ∂z2 ●Espaço: 1 ∂∂ t u⋅∂∂ xv⋅∂∂ yw⋅∂∂ z = ∂ 2 ∂ x2 ∂ 2 ∂ y2 ∂ 2 ∂ z2 u=u⋅L o mesmo vale para v= v⋅L e w=w⋅L 1 L2 L 2 ∂ ∂ t u⋅∂ ∂ x v⋅∂ ∂y w⋅∂ ∂z = 1L2 ∂ 2 ∂x2 ∂ 2 ∂ y2 ∂ 2 ∂z2 ●Velocidade: Tr an sm is sã o de C al o r Pr of . D r . V ic en te L ui z Sc al on Fo== t L2 d Fo=d = L2 dt dt= L 2 d ∂ ∂ u⋅ ∂ ∂x v⋅ ∂ ∂ y w⋅ ∂ ∂z = ∂2∂ x2∂ 2 ∂ y2 ∂ 2 ∂z2 ●Tempo: L2 ∂ ∂ t u⋅ ∂ ∂x v⋅ ∂ ∂ y w⋅ ∂ ∂z = ∂2∂x2∂ 2 ∂ y2 ∂ 2 ∂z2 Tr an sm is sã o de C al o r Pr of . D r . V ic en te L ui z Sc al on Adimensionalização das Equações – Eq. Qtde Movimento ⋅ ∂u∂ t u⋅∂u∂ xv⋅∂u∂ yw⋅∂u∂ z = ∂ 2u ∂ x2 ∂ 2u ∂ y2 ∂ 2u ∂ z2 −∂ P∂ x −[−∞⋅g ]x x= x L d x= 1 L d x o mesmo vale para y= y L e z= z L L ⋅L ∂u∂ t u⋅∂u∂xv⋅∂u∂yw⋅∂u∂z = L2 ∂ 2u ∂x2 ∂ 2u ∂y2 ∂ 2u ∂z2 − 1L ∂P∂x −[−∞⋅g ]x ●Espaço: u= u⋅L o mesmo vale para v= v⋅L e w=w⋅L 2⋅ L3 ⋅ L2 ∂u∂ t u⋅∂u∂ xv⋅∂u∂ yw⋅∂u∂z =⋅L3 ∂ 2u ∂x2 ∂ 2u ∂ y2 ∂ 2u ∂z2 − 1 L ∂ P ∂x −[−∞⋅g ]x ●Velocidade: Tr an sm is sã o de C al o r Pr of . D r . V ic en te L ui z Sc al on L2 ∂u ∂ t u⋅ ∂u ∂x v⋅ ∂u ∂ y w⋅ ∂u ∂z = ⋅ ∂ 2 u ∂x2 ∂ 2 u ∂ y2 ∂ 2 u ∂z2 − L2 2⋅ ∂ P ∂ x − L 3 ⋅2 [−∞⋅g ]x Fo== t L2 d Fo=d = L2 dtdt= L 2 d ∂u ∂ u⋅ ∂u ∂x v⋅ ∂u ∂ y w⋅ ∂u ∂z = ⋅ ∂ 2 u ∂x2 ∂ 2 u ∂ y2 ∂ 2 u ∂z2 − L2 2⋅ ∂ P ∂x − L 3 ⋅2 [−∞⋅g ]x ●Tempo: Tr an sm is sã o de C al o r Pr of . D r . V ic en te L ui z Sc al on Convecção Forçada ● O termo de campo pode ser desprezado(compare Natural): ∂u ∂ u⋅ ∂u ∂x v⋅ ∂ u ∂ y w⋅ ∂u ∂z = ⋅ ∂ 2 u ∂x2 ∂ 2 u ∂ y2 ∂ 2 u ∂z2 − L2 2⋅ ∂ P ∂x − L 3 ⋅2 [−∞⋅g ]x Pr= = = ⋅c p k ∂u ∂ u⋅ ∂u ∂x v⋅ ∂ u ∂ y w⋅ ∂u ∂z =Pr ∂2 u∂ x2∂ 2 u ∂ y2 ∂ 2 u ∂z2 − L 2 2⋅ ∂ P ∂ x ●Número de Prandtl: Tr an sm is sã o de C al o r Pr of . D r . V ic en te L ui z Sc al on Condição de Corrente Livre ● Considerando um ponto na corrente livre u0 a sua velocidade é dada por: u0= u0⋅L ● Embora a adimensionalização tenha dado bons resultados é possível melhora-la ainda definido para este caso uma nova velocidade adimensional: u= u u0 de maneira que a condição fique u0= u0 u0 =1 Tr an sm is sã o de C al o r Pr of . D r . V ic en te L ui z Sc al on Eq. Adimensionalizada modificada 1 u0 ∂ u ∂ u⋅∂ u ∂ x v⋅∂ u ∂ y w⋅ ∂ u ∂z =Pr u0 ∂ 2 u ∂x2 ∂ 2 u ∂ y2 ∂ 2 u ∂z2 − L 2 2⋅⋅u0 2 ∂ P ∂x ●Número de Reynolds: ●Pressão: P= P⋅L 2 2⋅⋅u0 2 = P⋅L2 2⋅⋅u0 L / 2 = P ⋅u0 2 =P=P⋅⋅u0 2 1 u0 ∂ u ∂ u⋅∂ u ∂ x v⋅∂ u ∂ y w⋅ ∂ u ∂z =Pr u0 ∂ 2 u ∂x2 ∂ 2 u ∂ y2 ∂ 2 u ∂z2 −∂ P∂ x u0= u0⋅L = u0⋅L × =Re⋅Pr Tr an sm is sã o de C al o r Pr of . D r . V ic en te L ui z Sc al on Equação da Quantidade de Movimento Adimensionalizada 1 Re⋅Pr ∂ u ∂ u⋅∂ u∂ x v⋅∂ u∂ y w⋅ ∂ u ∂z = 1 Re ∂ 2 u ∂x2 ∂ 2 u ∂ y2 ∂ 2 u ∂z2 −∂ P∂x Condições de de contorno usuais: velocidades das paredes conhecidas (1ª espécie) condição de escoamento desenvolvido (2ª espécie) u=udu= ud⋅L u= ud u0 ∂u ∂ x =0 ∂u ∂ x =0 ∂ u ∂ x =0 Tr an sm is sã o de C al o r Pr of . D r . V ic en te L ui z Sc al on Equação da Energia Adimensionalizada ∂ ∂ Re⋅Pr u⋅∂∂xv⋅∂∂ y w⋅∂∂z = ∂ 2 ∂x2 ∂ 2 ∂ y2 ∂ 2 ∂z2 Condições de de contorno usuais: temperaturas das paredes conhecidas (1ª espécie) condição de fluxo de calor dado (2ª espécie) e ainda .......... ∂T ∂ x =−q , , k ∂ ∂x =− L⋅q , , k T i−T ∞ =q T=T 1= T 1−T ∞ T i−T ∞ Tr an sm is sã o de C al o r Pr of . D r . V ic en te L ui z Sc al on Condição de 3ª espécie −k ∂T ∂ x ∣s=h⋅T s−T ∞ ∂T∂ x ∣s=− h⋅T s−T ∞ k ∂ ∂x∣s=− L⋅h⋅T s−T ∞ k T i−T ∞ =−h⋅L k s que adimensionalizada resulta em: ●Número de Nusselt: Nu=h⋅L k ∂ ∂x∣s=−Nu⋅s Tr an sm is sã o de C al o r Pr of . D r . V ic en te L ui z Sc al on Equação da Conservação da Massa ∂u ∂ x ∂ v ∂ y ∂w ∂ z =0 x= x L d x= 1 L dx o mesmo vale para y= y L e z= z L ∂ u ∂x ∂ v ∂y ∂w ∂z =0 ●Espaço: u=u⋅L o mesmo vale para v= v⋅L e w=w⋅L e u= u uo =u u0 ∂ u ∂ x ∂v ∂ y ∂ w ∂z =∂ u ∂ x ∂ v ∂ y ∂ w ∂z =0 ●Velocidade: Tr an sm is sã o de C al o r Pr of . D r . V ic en te L ui z Sc al on Parâmetros de Influência no Caso de Convecção Forçada ● Equações dimensionais: Depede de: , c p , k ,T i ,h ,T ∞ , q , , u0, L escala e Geometria ● Equações adimensionais: Depede de: Re ,Pr ,i ,Nu ,q e Geometria Assim para problemas em Reg. Permanente e sem condição de fluxo de calor numa dada Geometria: Dimensional: h = f , c p , k ,T ∞ , , u0, L Adimensional: Nu= f Re ,Pr Tr an sm is sã o de C al o r Pr of . D r . V ic en te L ui z Sc al on Considerações Importantes ● As mesmas conclusões apresentadas anteriormente também poderiam ser apresentadas utilizando a análise dimensional. ● Da mesma forma que existe o coeficiente médio de transferência de calor existe o ● existem também outras formas de adimensionali- zação que normalmente resultam nos mesmos parâmetros adimensionais ● para o caso de escoamento puro é comum uma outra adimensionalização do tempo que torna o escoamento função apenas do Re Nu Tr an sm is sã o de C al o r Pr of . D r . V ic en te L ui z Sc al on Convecção Natural ● O termo de pressão pode ser desprezado (compare Forçada): ∂u ∂ u⋅ ∂u ∂x v⋅ ∂ u ∂ y w⋅ ∂u ∂z =Pr ∂2u∂ x2∂ 2 u ∂ y2 ∂ 2 u ∂z2 − L2 2⋅ ∂ P ∂ x − L 3 ⋅2 [−∞⋅g ]x L3 ⋅2 −∞⋅g× = −∞⋅g⋅L 3 ⋅⋅ ×= −∞⋅g⋅L 3 ⋅⋅ Pr ●Reorganizando o termo de campo: ∂u ∂ u⋅ ∂u ∂x v⋅ ∂ u ∂ y w⋅ ∂u ∂z =Pr ∂2 u∂ x2∂ 2 u ∂ y2 ∂ 2 u ∂z2 −−∞⋅g⋅L 3 ⋅⋅ Pr e assim: Tr an sm is sã o de C al o r Pr of . D r . V ic en te L ui z Sc al on Número de Rayleigh ● Coeficiente Expansão Térmica: =−1 d d T d =−dT ● Desta forma: −∞≈−T−T∞ e considerando g contrário a x −g ⋅−∞⋅L 3 ⋅⋅ =⋅g⋅L 3 ⋅ ⋅T−T∞= g⋅⋅T i−T∞⋅L 3 ⋅ Ra ⋅=Ra⋅ ∂u ∂ u⋅ ∂u ∂x v⋅ ∂ u ∂ y w⋅ ∂u ∂z =Pr ∂2 u∂x2∂ 2 u ∂ y2 ∂ 2 u ∂z2 −Ra Pr x Tr an sm is sã o de C al o r Pr of . D r . V ic en te L ui z Sc al on Relação entre os Números de Rayleigh e Grashoff Ra= g⋅⋅T i−T ∞⋅L 3 ⋅ ×= g⋅⋅T i−T ∞⋅L 3 2 × Ra= g⋅⋅T i−T ∞⋅L 3 2 Gr ×Pr ou seja: Assim: Gr= g⋅⋅T i−T ∞⋅L 3 2 e Ra=Gr⋅Pr Tr an sm is sã o de C al o r Pr of . D r . V ic en te L ui z Sc al on Parâmetros de Influência no Caso de Convecção Natural ● Equações dimensionais: Depende de: , −∞ , c p , k ,g ,T i , h ,T∞ , q , , L escala e Geometria ● Equações adimensionais: Depende de: Ra ,Pr ,i ,Nu ,q e Geometria Assim para problemas em Reg. Permanente e sem condição de fluxo de calor numa dada Geometria: Dimensional: h = f ,−∞ , c p , k ,g ,T ∞ , , L Adimensional: Nu= f Ra ,Pr ou Nu= f Gr ,Pr Tr an sm is sã o de C al o r Pr of . D r . V ic en te L ui z Sc al on Efeitos da Turbulência ● escoamentos turbulentos sempre variam suas condições com o tempo ● uma maneira de trabalhar com regime permanente é estabelecer uma velocidade média num ponto (com suas oscilações) V= V V média V oscilação Tr an sm is sã o de C al o r Pr of . D r . V ic en te L ui z Sc al on Visualização da Turbulência Tr an sm is sã o de C al o r Pr of . D r . V ic en te L ui z Sc al on Influência da Turbulência no processo de Troca de Calor ● As constantes mudanças de direção dos escoamentos turbulentos provocam uma uniformização maior do campo de temperaturas (intensificando o processo) ● Um problema turbulento nunca pode ser “análogo” a um laminar , pois uma série de fenômenos adicionais se manifestam neste caso.(mesmo que a geometria seja a mesma)