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. D
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 V
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en
te
 L
ui
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Sc
al
on
 
Convecção Térmica
● Subdivisões:
– Convecção forçada no exterior de corpos
– Convecção forçada no interior de corpos
– Convecção natural ou livre
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en
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 L
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Sc
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on
 
O coeficiente de Transmissão de 
Calor (h)
● O coeficiente de transmissão de calor representa a 
intensidade de troca em um determinado ponto:
q , ,=h⋅T s−T ∞
● Numa superfície a taxa de transferência total q é:
q=∫A q
, ,dA=∫A h⋅T s−T ∞dA
h= 1
A∫A h⋅dA
● este mesmo q poderia ser calculado na forma:
q=h⋅A⋅T s−T ∞
● e assim:
onde é o coeficiente médio de transferência de calor.h
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Sc
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on
 
Termo Transiente da Convecção
⋅c p⋅
∂T
∂ t
= ∂
∂ x k ∂T∂ x  ∂∂ y k ∂T∂ y  ∂∂ z k ∂T∂ z q˙ (2.13)
Para o caso da convecção:
⋅c p⋅
DT
D t
= ∂
∂ x k ∂T∂ x  ∂∂ y k ∂T∂ y  ∂∂ z k ∂T∂ z q˙
onde:
● Ψ representa os termos de dissipação viscosa
● D representa a Derivada Total, que leva em conta a 
movimentação do fluido. 
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Sc
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on
 
Derivada Total
DT
D t
=∂T
∂ t
u⋅∂T
∂ x
v⋅∂T
∂ y
w⋅∂T
∂ z
DT
D t
=∂T
∂ t
∂ x
∂ t
⋅∂T
∂ x
∂ y
∂ t
⋅∂T
∂ y
∂ z
∂ t
⋅∂T
∂ z
A equação geral com k constante e q=Ψ=0, resulta:
No caso da convecção, a posição da partícula é 
dependente do tempo (t):
ou em termos de velocidades:
1
⋅∂T∂ t u⋅∂T∂ xv⋅∂T∂ yw⋅∂T∂ z = ∂2T∂ x2∂
2T
∂ y2
∂
2T
∂ z2 
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en
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Sc
al
on
 
Solução geral do problema de 
Convecção
Além da Eq. Energia (anterior) a solução geral 
depende do conhecimento do campo de velocidades 
(Eqs. de Navier-Stokes – Fluido Incompressível):
⋅ ∂u∂ t u⋅∂ u∂ xv⋅∂ u∂ yw⋅∂ u∂ z = ∂
2u
∂ x2
∂
2 u
∂ y2
∂
2 u
∂ z2 −∂ P∂ x −[−∞⋅g ]x
B x
⋅ ∂ v∂ t u⋅∂ v∂ xv⋅∂v∂ yw⋅∂ v∂ z = ∂
2v
∂ x2
∂
2v
∂ y2
∂
2v
∂ z 2 −∂ P∂ y −[−∞⋅g ] y
B y
⋅ ∂w∂ t u⋅∂w∂ x v⋅∂w∂ y w⋅∂w∂ z = ∂2w∂ x2 ∂
2w
∂ y2
∂
2w
∂ z 2 −∂ P∂ z −[−∞⋅g ]z
Bz
∂u
∂ x
∂ v
∂ y
∂w
∂ z
=0
Somente a solução combinada destas cinco equações, com suas respectivas 
condições de contorno e simplificações, resolve o problema de Convecção
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Sc
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on
 
Adimensionalização das 
Equações – Eq. Energia
1
⋅∂T∂ t u⋅∂T∂ xv⋅∂T∂ yw⋅∂T∂ z = ∂2T∂ x2∂
2T
∂ y2
∂
2T
∂ z2 
=T−T ∞
T i−T∞
∂
∂ x
= 1
T i−T ∞
∂T
∂ x
∂
2
∂ x2
= 1
T i−T ∞
∂2T
∂ x2
análogo t , x , y , z
T i−T ∞
  ∂∂ t u⋅∂∂ xv⋅∂∂ yw⋅∂∂ z =T i−T ∞ ∂
2
∂ x2
∂
2
∂ y2
∂
2
∂ z2 
1
  ∂∂ t u⋅∂∂ xv⋅∂∂ yw⋅∂∂ z = ∂
2
∂ x2
∂
2
∂ y2
∂
2
∂ z2 
● Temperatura:
Tr
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te
 L
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Sc
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on
 
x=xL d x=
1
L d x o mesmo vale para y=
y
L e z=
z
L 
1
⋅L L ∂∂ t u⋅∂∂xv⋅∂∂yw⋅∂∂z = 1L2  ∂
2
∂x2
∂
2
∂ y2
∂
2
∂z2 
●Espaço:
1
  ∂∂ t u⋅∂∂ xv⋅∂∂ yw⋅∂∂ z = ∂
2
∂ x2
∂
2
∂ y2
∂
2
∂ z2 
u=u⋅L o mesmo vale para v=
v⋅L

 e w=w⋅L 
1
L2  L
2

∂
∂ t
u⋅∂
∂ x
v⋅∂
∂y
w⋅∂
∂z = 1L2  ∂
2
∂x2
∂
2
∂ y2
∂
2
∂z2 
●Velocidade:
Tr
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Sc
al
on
 
Fo== t
L2
d Fo=d = 
L2
dt dt= L
2

d 
∂
∂
u⋅
∂
∂x
v⋅
∂
∂ y
w⋅
∂
∂z
= ∂2∂ x2∂
2
∂ y2
∂
2
∂z2 
●Tempo:
L2

∂
∂ t
u⋅
∂
∂x
v⋅
∂
∂ y
w⋅
∂
∂z
= ∂2∂x2∂
2
∂ y2
∂
2
∂z2 
Tr
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 L
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Sc
al
on
 
Adimensionalização das 
Equações – Eq. Qtde Movimento
⋅ ∂u∂ t u⋅∂u∂ xv⋅∂u∂ yw⋅∂u∂ z = ∂
2u
∂ x2
∂
2u
∂ y2
∂
2u
∂ z2 −∂ P∂ x −[−∞⋅g ]x
x=
x
L
d x=
1
L
d x o mesmo vale para y=
y
L
 e z=
z
L


L
⋅L ∂u∂ t u⋅∂u∂xv⋅∂u∂yw⋅∂u∂z = L2  ∂
2u
∂x2
∂
2u
∂y2
∂
2u
∂z2 − 1L ∂P∂x −[−∞⋅g ]x
●Espaço:
u= u⋅L o mesmo vale para v=
v⋅L

 e w=w⋅L 
2⋅
L3
⋅ L2 ∂u∂ t u⋅∂u∂ xv⋅∂u∂ yw⋅∂u∂z =⋅L3  ∂
2u
∂x2
∂
2u
∂ y2
∂
2u
∂z2 −
1
L
∂ P
∂x
−[−∞⋅g ]x
●Velocidade:
Tr
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Pr
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. D
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en
te
 L
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Sc
al
on
 
L2

∂u
∂ t
u⋅
∂u
∂x
v⋅
∂u
∂ y
w⋅
∂u
∂z
= 
⋅  ∂
2
u
∂x2
∂
2
u
∂ y2
∂
2
u
∂z2 −
L2
2⋅
∂ P
∂ x
− L
3
⋅2
[−∞⋅g ]x
Fo== t
L2
d Fo=d = 
L2
dtdt= L
2

d 
∂u
∂
u⋅
∂u
∂x
v⋅
∂u
∂ y
w⋅
∂u
∂z
= 
⋅  ∂
2
u
∂x2
∂
2
u
∂ y2
∂
2
u
∂z2 −
L2
2⋅
∂ P
∂x
− L
3
⋅2
[−∞⋅g ]x
●Tempo:
Tr
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Pr
of
. D
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en
te
 L
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Sc
al
on
 
Convecção Forçada
● O termo de campo pode ser desprezado(compare Natural):
∂u
∂
u⋅
∂u
∂x
v⋅
∂ u
∂ y
w⋅
∂u
∂z
= 
⋅  ∂
2
u
∂x2
∂
2
u
∂ y2
∂
2
u
∂z2 −
L2
2⋅
∂ P
∂x
− L
3
⋅2
[−∞⋅g ]x
Pr= 

=

=
⋅c p
k
∂u
∂
u⋅
∂u
∂x
v⋅
∂ u
∂ y
w⋅
∂u
∂z
=Pr  ∂2 u∂ x2∂
2
u
∂ y2
∂
2
u
∂z2 − L
2
2⋅
∂ P
∂ x
●Número de Prandtl:
Tr
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 C
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Pr
of
. D
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 V
ic
en
te
 L
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z 
Sc
al
on
 
Condição de Corrente Livre
● Considerando um ponto na corrente livre u0 a sua 
velocidade é dada por:
u0=
u0⋅L

● Embora a adimensionalização tenha dado bons 
resultados é possível melhora-la ainda definido para 
este caso uma nova velocidade adimensional:
u= u
u0
de maneira que a condição fique u0=
u0
u0
=1
Tr
an
sm
is
sã
o 
de
 C
al
o r
Pr
of
. D
r .
 V
ic
en
te
 L
ui
z 
Sc
al
on
 
Eq. Adimensionalizada 
modificada
1
u0
∂ u
∂
u⋅∂ u
∂ x
v⋅∂ u
∂ y
w⋅
∂ u
∂z
=Pr
u0  ∂
2 u
∂x2
∂
2 u
∂ y2
∂
2 u
∂z2 − L
2
2⋅⋅u0
2
∂ P
∂x
●Número de Reynolds:
●Pressão:
P= P⋅L
2
2⋅⋅u0
2 =
P⋅L2
2⋅⋅u0 L /
2 =
P
⋅u0
2 =P=P⋅⋅u0
2
1
u0
∂ u
∂
u⋅∂ u
∂ x
v⋅∂ u
∂ y
w⋅
∂ u
∂z
=Pr
u0  ∂
2 u
∂x2
∂
2 u
∂ y2
∂
2 u
∂z2 −∂ P∂ x
u0=
u0⋅L

=
u0⋅L

× =Re⋅Pr
Tr
an
sm
is
sã
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de
 C
al
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Pr
of
. D
r .
 V
ic
en
te
 L
ui
z 
Sc
al
on
 
Equação da Quantidade de 
Movimento Adimensionalizada
1
Re⋅Pr
∂ u
∂
u⋅∂ u∂ x
v⋅∂ u∂ y
w⋅
∂ u
∂z
= 1
Re  ∂
2 u
∂x2
∂
2 u
∂ y2
∂
2 u
∂z2 −∂ P∂x
Condições de de contorno usuais:
 velocidades das paredes conhecidas
(1ª espécie)
 condição de escoamento desenvolvido (2ª espécie)
u=udu=
ud⋅L
  u=
ud
u0
∂u
∂ x
=0 ∂u
∂ x
=0 ∂ u
∂ x
=0
Tr
an
sm
is
sã
o 
de
 C
al
o r
Pr
of
. D
r .
 V
ic
en
te
 L
ui
z 
Sc
al
on
 
Equação da Energia 
Adimensionalizada
∂
∂
Re⋅Pr  u⋅∂∂xv⋅∂∂ y w⋅∂∂z = ∂
2
∂x2
∂
2
∂ y2
∂
2
∂z2 
Condições de de contorno usuais:
 temperaturas das paredes conhecidas (1ª espécie)
 condição de fluxo de calor dado (2ª espécie)
e ainda ..........
∂T
∂ x
=−q
, ,
k
 ∂

∂x
=− L⋅q
, ,
k T i−T ∞
=q
T=T 1=
T 1−T ∞
T i−T ∞
Tr
an
sm
is
sã
o 
de
 C
al
o r
Pr
of
. D
r .
 V
ic
en
te
 L
ui
z 
Sc
al
on
 
Condição de 3ª espécie
−k ∂T
∂ x ∣s=h⋅T s−T ∞ ∂T∂ x ∣s=−
h⋅T s−T ∞
k
∂
∂x∣s=−
L⋅h⋅T s−T ∞
k T i−T ∞
=−h⋅L
k
s
que adimensionalizada resulta em:
●Número de Nusselt:
Nu=h⋅L
k
 ∂
∂x∣s=−Nu⋅s
Tr
an
sm
is
sã
o 
de
 C
al
o r
Pr
of
. D
r .
 V
ic
en
te
 L
ui
z 
Sc
al
on
 
Equação da Conservação da 
Massa
∂u
∂ x
∂ v
∂ y
∂w
∂ z
=0
x=
x
L
d x=
1
L
dx o mesmo vale para y=
y
L
 e z=
z
L

∂ u
∂x
∂ v
∂y
∂w
∂z
=0
●Espaço:
u=u⋅L o mesmo vale para v=
v⋅L

 e w=w⋅L  e u=
u
uo
=u
u0
∂ u
∂ x
∂v
∂ y
∂ w
∂z
=∂ u
∂ x
∂ v
∂ y
∂ w
∂z
=0
●Velocidade:
Tr
an
sm
is
sã
o 
de
 C
al
o r
Pr
of
. D
r .
 V
ic
en
te
 L
ui
z 
Sc
al
on
 
Parâmetros de Influência no 
Caso de Convecção Forçada
● Equações dimensionais:
Depede de:  , c p , k ,T i ,h ,T ∞ , q , , u0, L escala  e Geometria
● Equações adimensionais:
Depede de: Re ,Pr ,i ,Nu ,q e Geometria
Assim para problemas em Reg. Permanente e sem 
condição de fluxo de calor numa dada Geometria:
Dimensional: h = f  , c p , k ,T ∞ , , u0, L
Adimensional: Nu= f Re ,Pr
Tr
an
sm
is
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 C
al
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Pr
of
. D
r .
 V
ic
en
te
 L
ui
z 
Sc
al
on
 
Considerações Importantes
● As mesmas conclusões apresentadas anteriormente 
também poderiam ser apresentadas utilizando a 
análise dimensional.
● Da mesma forma que existe o coeficiente médio de 
transferência de calor existe o 
● existem também outras formas de adimensionali-
zação que normalmente resultam nos mesmos 
parâmetros adimensionais
● para o caso de escoamento puro é comum uma 
outra adimensionalização do tempo que torna o 
escoamento função apenas do Re
Nu
Tr
an
sm
is
sã
o 
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 C
al
o r
Pr
of
. D
r .
 V
ic
en
te
 L
ui
z 
Sc
al
on
 
Convecção Natural
● O termo de pressão pode ser desprezado (compare Forçada):
∂u
∂
u⋅
∂u
∂x
v⋅
∂ u
∂ y
w⋅
∂u
∂z
=Pr  ∂2u∂ x2∂
2
u
∂ y2
∂
2
u
∂z2 −
L2
2⋅
∂ P
∂ x
− L
3
⋅2
[−∞⋅g ]x
L3
⋅2
−∞⋅g×

=
−∞⋅g⋅L
3
⋅⋅
×=
−∞⋅g⋅L
3
⋅⋅
Pr
●Reorganizando o termo de campo:
∂u
∂
u⋅
∂u
∂x
v⋅
∂ u
∂ y
w⋅
∂u
∂z
=Pr  ∂2 u∂ x2∂
2
u
∂ y2
∂
2
u
∂z2 −−∞⋅g⋅L
3
⋅⋅
Pr
e assim:
Tr
an
sm
is
sã
o 
de
 C
al
o r
Pr
of
. D
r .
 V
ic
en
te
 L
ui
z 
Sc
al
on
 
Número de Rayleigh
● Coeficiente Expansão Térmica:
=−1
d 
d T d =−dT
● Desta forma:
−∞≈−T−T∞ e considerando g contrário a x
−g ⋅−∞⋅L
3
⋅⋅
=⋅g⋅L
3
⋅
⋅T−T∞=
g⋅⋅T i−T∞⋅L
3
⋅
Ra
⋅=Ra⋅
∂u
∂
u⋅
∂u
∂x
v⋅
∂ u
∂ y
w⋅
∂u
∂z
=Pr  ∂2 u∂x2∂
2
u
∂ y2
∂
2
u
∂z2 −Ra Pr x
Tr
an
sm
is
sã
o 
de
 C
al
o r
Pr
of
. D
r .
 V
ic
en
te
 L
ui
z 
Sc
al
on
 
Relação entre os Números de 
Rayleigh e Grashoff
Ra=
g⋅⋅T i−T ∞⋅L
3
⋅
×=
g⋅⋅T i−T ∞⋅L
3
2
×
Ra=
g⋅⋅T i−T ∞⋅L
3
2
Gr
×Pr
ou seja:
Assim:
Gr=
g⋅⋅T i−T ∞⋅L
3
2
 e Ra=Gr⋅Pr
Tr
an
sm
is
sã
o 
de
 C
al
o r
Pr
of
. D
r .
 V
ic
en
te
 L
ui
z 
Sc
al
on
 
Parâmetros de Influência no 
Caso de Convecção Natural
● Equações dimensionais:
Depende de:  , −∞ , c p , k ,g ,T i , h ,T∞ , q , , L escala e Geometria
● Equações adimensionais:
Depende de: Ra ,Pr ,i ,Nu ,q e Geometria
Assim para problemas em Reg. Permanente e sem 
condição de fluxo de calor numa dada Geometria:
Dimensional: h = f  ,−∞ , c p , k ,g ,T ∞ , , L
Adimensional: Nu= f Ra ,Pr  ou Nu= f Gr ,Pr 
Tr
an
sm
is
sã
o 
de
 C
al
o r
Pr
of
. D
r .
 V
ic
en
te
 L
ui
z 
Sc
al
on
 
Efeitos da Turbulência
● escoamentos turbulentos sempre variam suas 
condições com o tempo
● uma maneira de trabalhar com regime 
permanente é estabelecer uma velocidade 
média num ponto (com suas oscilações)
V= V
V média
 V
oscilação
Tr
an
sm
is
sã
o 
de
 C
al
o r
Pr
of
. D
r .
 V
ic
en
te
 L
ui
z 
Sc
al
on
 
Visualização da Turbulência
Tr
an
sm
is
sã
o 
de
 C
al
o r
Pr
of
. D
r .
 V
ic
en
te
 L
ui
z 
Sc
al
on
 
Influência da Turbulência no 
processo de Troca de Calor
● As constantes mudanças de direção dos 
escoamentos turbulentos provocam uma 
uniformização maior do campo de 
temperaturas (intensificando o processo)
● Um problema turbulento nunca pode ser 
“análogo” a um laminar , pois uma série de 
fenômenos adicionais se manifestam neste 
caso.(mesmo que a geometria seja a mesma)

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