Calculo I - Integral por Partes MUITO BOA

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SALA: 214 
 
 
 
Cálculo Diferencial e Integral B 
Sexta Feira 
 
 
 
 
 
4a Aula Integrais Indefinidas 
 
Integração por Partes 
 
 
 
Códigos: T1106 B / T6003 B / T9003 
 
Turma: MEC108AN 
 
 
 
 
Prof. HANS-ULRICH 
 PILCHOWSKI 
 
 
 Versão: 1o Semestre de 2009 
 
 
Prof. Hans-Ulrich Pilchowski Notas de aula Cálculo Diferencial e Integral B 
 
 1 
Integração por Partes 
 
 
Sabendo-se que a diferencial do produto vu ⋅ , onde ( )xuu = e ( )xvv = , é 
 
( ) udvvduuvd += , pois ( ) ( ) dx
dx
dv
uv
dx
dudx
dx
uvd
uvd 











+





=





= 
[ 
( ) udvvdudx
dx
dv
udx
dx
du
vuvd +=





+





= . 
 
Então, pode escrever-se 
 
( ) ( ) ( ) vduuvdudvudvvduuvdudvvduuvd −=⇒=−⇒+= , 
 
e integrando esta última, obtém-se a fórmula usada para integrar por partes, isto é, 
 
 
( ) ( ) Cduvvuddvuduvvuddvu +−=⇒−= ∫∫∫∫∫ ...... 
 , 
Exemplo: Integrar dxxey x∫= , usando agora o método da integração por partes. 
 
Solução: 
 dxxe x∫ onde se escolhe 



=
=
dxedv
xu
x
 
 
assim, 




==⇒=
=⇒=
∫
xxx edxevdxedv
dxduxu
, 
 
obtém-se: 
 
 ( ) Cxeexedxexedxxe xxxxxx +−=−=−= ∫∫ 1 , 
 
porém, se a escolha de u e de dv for feita de maneira não conveniente, então, ao invés 
obter-se a solução obtém-se uma integral mais difícil de ser resolvida do que a original. 
 
O que será mostrado no seguinte contra exemplo, no mesmo exercício, isto é, 
 
 




==⇒=
=⇒=
∫∫ 2
2x
xdxvxdxdv
dxedueu
ondedxxe
xx
x
, 
assim 
 
Prof. Hans-Ulrich Pilchowski 4a Aula Integração por partes 
 2 
 ∫∫ −= dxe
x
e
xdxxe xxx
22
22
, 
 
onde ∫ dxe
x x
2
2
 é mais difícil de ser resolvida do que dxxe x∫ . 
 
Exemplo: Integrar ∫ dxxx sen . Escolhe-se como dv a parte integrável, 
 
( ) ( )xvdxxdv cossen −=⇒= 
 
dxduxu =⇒= . Substituindo na fórmula de integração por partes vem: 
 
( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) cxxxxxdxxdxxxxdxxx +−=−=−−−= ∫∫∫ cossencoscoscoscossen 
 
 
Exercícios resolvidos: 
 
1) Integrar ∫ dxxx 2sec . Escolhe-se como dv a parte integrável, 
 
( ) ( )xvdxxdv tansec2 =⇒= 
 
dxduxu =⇒= . Substituindo na fórmula de integração por partes vem: 
 
( ) ( ) ( ) ( ) cxnxxdxxxxdxxx ++=−= ∫∫ costantantansec2 l 
 
2) ∫ dxxln (Integrar por integração por partes). 
 
( ) dx
x
duxnu 1=⇒= l 
 
xvdxdv =⇒= . Substituindo na fórmula de integração por partes vem: 
 
( ) ( ) ( ) ( ) ( )[ ] cxnxcxxnxdxxnxdx
x
xxnxdxxn +−=+−=−=−= ∫∫∫ 1
1
lllll 
 
3) ( ) ( )∫ dxxx cossen (Integrar por integração por partes). 
 
( ) ( )( ) dxx
xduxu
sen2
cos
sen =⇒= 
 
( ) ( )xvdxxdv sencos =⇒= . Substituindo na fórmula de integração por partes 
vem: 
 
Prof. Hans-Ulrich Pilchowski Notas de aula Cálculo Diferencial e Integral B 
 
 3 
( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )( )∫∫ −= x
dxxx
xxdxxx
sen2
cossen
sensencossen 
 
( ) ( ) ( ) ( ) ( )∫∫ −= dxxxxdxxx cossen2
1
sencossen 3 
 
( ) ( ) ( ) ( ) ( )xdxxxdxxx 3sencossen
2
1
cossen =+ ∫∫ 
 
( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )xdxxxxdxxx 33 sencossen
2
3
sencossen
2
11 =⇒=





+ ∫∫ 
 
( ) ( ) ( ) Cxdxxx +=∫ 3sen3
2
cossen 
 
4) ( )∫ dxxx 23 cos (Integrar por integração por partes). 
 
xdxduxu 22 =⇒= e ( ) ( )∫=⇒= dxxxvdxxxdv 22 coscos . 
faz-se ( )
x
dt
txv
x
dtdxdtxdxtx ∫=⇒=∴=⇒= cos2
1
2
22 
( ) ( ) ( )2sen
2
1
sencos xvtvdttv =⇒=⇒= ∫ 
Assim, ( ) ( )22 sen
2
1
cos xvdxxxdv =⇒= . Substituindo na fórmula de integração: 
( ) ( ) ( )∫ ∫−= dxxxxxdxxx 22
2
23 sen
2
2
sen
2
cos 
faz-se novamente ( )dtttdtxdxtx ∫∴=⇒= cos2
122 
( ) ( ) ( ) ( )22 cos
2
1
cos
2
1
sen
2
1
sen xt
x
dt
txdxxx === ∫∫ , substituindo 
 
( ) ( ) ( ) ( ) ( )[ ]∫ ++=−= cxxxxxxdxxx 22222
2
23 cossen
2
1
cos
2
1
sen
2
cos
 
Porém, se a substituição de variável for feita antes de resolver-se por partes a 
solução fica bem mais simples: 
 
( ) ( )∫ ∫= )2(.cos2
1
cos 2223 dxxxxdxxx 
faz-se ( )dtttdtxdxtx ∫∴=⇒= cos2
122 
( ) ( )tvdttdvedtdutu sencos =⇒==⇒= substituindo 
 
( ) ( ) ( ) ( ) ( )[ ] ( ) ( )[ ] cxxxctttdttttdttt ++=++=−= ∫∫ 222 cossen2
1
cossen
2
1
sen
2
1
sen
2
1
cos
2
1
 
Prof. Hans-Ulrich Pilchowski 4a Aula Integração por partes 
 4 
 
5) ( )dxx∫ arcsen (Integrar por integração por partes). 
 
( ) dx
x
duxu
21
1
arcsen
−
=⇒= 
 
xvdxdv =⇒= . Substituindo na fórmula de integração por partes vem: 
 
( ) ( ) ∫∫
−
−=
21
arcsenarcsen
x
xdx
xxdxx 
 
( ) ( ) ∫∫







−
=
−=
−=
⇒
−
−=
x
dtdx
xdxdt
xt
x
xdx
xxdxx
2
2
1
1
arcsenarcsen
2
2
 
 
( ) ( ) ( ) ∫∫∫ −+=+= dttxxtx
xdt
xxdxx 21
2
1
arcsen
2
1
arcsenarcsen 
 
 
( ) ( ) ( )
212
1
arcsen
2
1
arcsenarcsen
21t
xx
tx
xdt
xxdxx +=+= ∫∫ 
 
 
( ) ( ) Cxxxdxx +−+=∫ 21arcsenarcsen 
 
 
Outros exercícios: 
 
 
Exercício: Resolver a integral indefinida por troca de variável ( )dxxx 22 cos∫ por 
partes, onde ( ) ( )( )xx 2cos1
2
1
cos2 += 
 ( ) ( ) ( ) ( ) Cxxxxxxdxxx ++−−=∫ 2sen8
12cos
4
2sen
46
cos
23
22
 
 
 
Exercício: Resolver a integral indefinida por troca de variável ( )∫ dxx3sec por 
partes., onde ( ) ( )xdxx tansec 2∫ = , ( ) ( ) 1sectan 22 −= xx 
 e ( )( ) ( ) ( )xxx
dx
d
tansecsec = 
 ( ) ( ) ( ) ( ) ( )( )[ ] Cxxxxdxx +++=∫ tanseclntansec2
1
sec3 
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 5 
 
 
Exercício: Resolver a integral indefinida por troca de variável ( )∫ dxbxeax cos por 
partes. 
 ( ) ( ) ( )[ ] Cxbxa
ba
edxbxe
ax
ax ++
+
=∫ cossencos 22 
 
 
Exercício: Resolver a integral indefinida por troca de variável ( )dxxx n ln∫ por 
partes. 
 ( ) ( )[ ] Cx
n
xdxxx
n
n +++
+
=
+
∫ 1ln1
ln
1
 
 
 
Exercício: Resolver a integral indefinida por troca de variável ( )∫= θθ dv tan por 
partes. 
 
 
 
Exercício: Resolver a integral indefinida ∫ +
=
4
2 2t
tdt
s por partes. 
 
 
 
Exercício: Resolver a integral indefinida ( )∫= dxxnxy l25 por partes.