Matemática 9º Ano Caderno 01

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Ensino 
Fundamental
1
caderno
ano
9
MATEMÁTICA
PROFESSOR
O sistema de ensino SER está preocupado com a preservação das paisagens brasileiras e do 
patrimônio cultural nacional. Por isso, ao longo dos anos finais do Ensino Fundamental, você 
conhecerá pontos importantes de todas as regiões brasileiras, retratados nas capas do material 
didático. Acompanhe-nos nessa viagem!
O Mercado Ver-o-Peso é uma das grandes atrações turísticas da cidade de Belém, no Pará. 
O movimento de pescadores, vendedores e compradores começa de madrugada naquela que 
é considerada a maior feira livre da América Latina. Ali são vendidos peixes, camarões, frutas, 
cestos de açaí, temperos e muito artesanato. A estrutura de ferro do mercado, que abriga 
dezenas de barracas, foi trazida da Europa no século XIX, durante o ciclo da borracha. 
Sua inauguração aconteceu em 1901. E em 1977 o conjunto arquitetônico foi tombado pelo 
Instituto do Patrimônio Histórico e Artístico Nacional (IPHAN).
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www.ser.com.br 0800 772 0028
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Matemática
Luiz Roberto Dante
Números reais e equações
 Ponto de partida, 3
Capítulo 1 • Números reais: potências e radicais, 4
1. Introdução, 4
2. Potenciação, 5
3. Radiciação, 17
Capítulo 2 • Equações e sistemas de 
equações do 2o grau, 51
1. Introdução, 51
2. Grau de uma equação com uma incógnita, 53
3. Equações do 2o grau, 54
4. Sistemas com equações do 2o grau, 92
5. Outras situações que envolvem 
equações do 2o grau, 95
 Ponto de chegada, 109
1
2128196 (AL)2128218 (PR)
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O esqueitista brasileiro Bob Burnquist durante 
apresentação na Megarampa 2012, evento esportivo 
realizado no sambódromo do Rio de Janeiro.
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 Ponto de partida
 Sob a orientação do professor, responda:
1. Suponha que a pista do esqueitista seja construída em um terreno 
quadrado com área de 3 850 m2. Quanto mede cada lado desse 
terreno? Use raiz quadrada.
2. Suponha que uma pista retangular tenha 3x metros de largura, 
6x metros de comprimento e área de 288 m2. Que equação permite 
calcular x? Resolva-a e determine a largura e o comprimento 
dessa pista.
3. O que é uma equação? Como são chamados os números 
desconhecidos de uma equação?
MîDULO
Números 
reais e 
equa•›es
Ao lado vemos o brasileiro Bob Burnquist, um dos maiores 
esqueitistas do mundo. 
O esqueite é um esporte no qual o atleta equilibra -se sobre uma 
prancha com quatro pequenas rodas, deslocando -se e saltando 
sobre o solo. Em muitos locais, como parques e praças, há pistas 
apropriadas para sua prática. 
3
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Números reais: 
potências 
e radicais1
 Capítulo
1 Introdução
Você já visitou um aquário?
Várias cidades ao redor do mundo pos-
suem aquários magníficos, com diversas es-
pécies aquáticas: peixes (incluindo enguias, 
arraias e tubarões); moluscos (como polvos 
e lulas); e aves e mamíferos (como pinguins, 
baleias, focas, leões -marinhos); entre outros 
animais.
Acompanhe a situação a seguir.
No aquário de uma cidade, foi instalado 
um tanque com forma cúbica para abrigar 
alguns peixes. Sabendo que a capacidade do 
tanque é de 10 000 litros, quanto mede cada 
uma de suas arestas? Lembre -se de que 
10 000 L é a capacidade quando o volume é de 
10 metros cúbicos. Aqu‡rio de Santos (SP). Foto de 2014.
A situação acima deve ser retomada após o estudo das páginas 21 a 24, para o aluno resolvê -la com os 
conhecimentos adquiridos no capítulo (x3 5 10 m3 ⇒ x 5 103 m ⇒ x . 2,15 m).
Para resolver essa situação, precisamos determinar o número que elevado 
ao cubo resulta 10. Esse número é conhecido por raiz cúbica de 10 e é indicado 
assim: 10 .3
Neste capítulo, vamos retomar e aprofundar o que você estudou sobre po-
tenciação e raiz quadrada. Vamos abordar outras raízes e também ampliar o estu-
do da potenciação.
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a
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Carlos Luvizari/Acervo do fotógrafo
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4 Nœmeros reais e equa•›es
 Objetivos:
• Reconhecer e aplicar as 
propriedades da potencia•‹o 
em R. 
• Saber se um radical 
corresponde a nœmero real 
racional, real irracional ou 
nœmero que n‹o Ž real.
• Identificar as propriedades 
dos radicais e suas 
aplica•›es.
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2 Potenciação
Você já estudou a operação potenciação. Aqui vamos ampliar seus conhecimen-
tos sobre essa operação.
Potenciação com número real na 
base e número natural no expoente
Você já estudou: se o expoente em uma potenciação é um número 
natural diferente de zero, para descobrir o resultado (potência), basta mul-
tiplicar a base por ela mesma, usando tantos fatores quantos o expoente 
indicar.
8 ? 8 5 82 5 64, ou seja, 64 casas.
Em 8 2 5 64, temos:
8: base 2: expoente 64: potência
Leitura: 8 elevado ao quadrado é igual a 64
ou
8 ao quadrado é igual a 64
ou
8 elevado à segunda potência é igual a 64.
De modo geral, podemos escrever:
Se a é um número real e n é um número natural, n Þ 0, temos:
a a a a a
n
n
5 ? ? ? ?
1 244 344
...
fatoresa: base
n: expoente
Exemplos:
 a ) 24 5 2 ? 2 ? 2 ? 2 5 16
 b ) (25)2 5 (25) ? (25) 5 125
 c ) 2 5 2 ? 2 ? 2 521
3
1
3
1
3
1
3
1
27
3( ) ( ) ( ) ( )
 d ) (20,2)5 5 (20,2) ? (20,2) ? (20,2) ? (20,2) ? (20,2) 5 20,00032
 e ) 71 5 7
 f ) 06 5 0
 g ) 5 5
1( ) 5
Observe que:
(23)2 5 (23) ? (23) 5 19 e 232 5 2(3 ? 3) 5 29
Logo, (23)2 Þ 232.
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Quantas casas 
tem um tabuleiro 
de xadrez?
Acesse o portal SER e veja a 
apresentação “Números 
reais: potências e radicais”.
www.ser.com.br
5Números reais e equações
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Exercícios 
 1. Efetue as potenciações com número natural diferente de zero no expoente.
 a ) 34 5 81
 b ) (24)2 5 1 16
 c ) (23)3 5 2 27
 d ) 5
8
2( ) 5 2564
 e ) (3,1)3 5 29,791
 f ) 181 5 18
 g ) 1 1
2
4( ) 5 ( ) 5 116 32 8116 5 1164 5 5
 h ) (22)6 5 1 64
 i ) 07 5 0
 j ) (20,2)4 5 1 0,0016
 k ) 2 1
3
5( ) 5 12432
 l ) 232 5 529
 2. Represente e efetue as potenciações correspondentes.
 a ) Base 4 e expoente 5. 45 5 1 024
 b ) Base 5 e expoente 4. 54 5 625
 c ) 23 elevado à sexta potência. (23)6 5 1729
 d ) 2
7
 elevado ao cubo. ( )27 83433 5
 e ) 20,3 elevado ao quadrado. (20,3)2 5 10,09
 f ) Base e expoente iguais e como resultado um número natural de dois algarismos. 33 5 27
 Para construir:
 Exercícios 1 a 7 (p. 6 a 8)
Números reais e equações6
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 3. Efetue as potenciações com número natural no expoente e depois responda às questões propostas.
 a ) 64 5 1 296 
 b ) (12)5 5 132 
 c ) (13,4)2 5 111,56 
 d ) (110)7 5 110 000 000 
 e ) 19 5 1 
 f ) 1 2
3
3( ) 5 8271
 g ) (22)3 5 28
 h ) (25)1 5 25
 i ) (21)9 5 21 
 j ) 2 1
2
5( ) 5 1322
 k ) (20,7)3 5 20,343
 l ) (210)7 5 210 000 000
 m ) (25)2 5 125
 n ) (23,9)2 5 115,21
 o ) 2 1
2
4( ) 5 1 116
 p ) (210)6 5 11 000 000
 q ) (23)4 5 181
 r ) (22,5)2 5 16,25
¥ Se a base é positiva, a potência é positiva ou negativa? 
Positiva.
¥ Se a base é negativa, a potência é positiva ou negativa? 
Se o expoente
é par, a potência é positiva, e se o expoente é ímpar, a potência é negativa.
Números reais e equações 7
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 4. Compare as potências.
 a ) 52 5 (25)2 25 5 25
 b ) (22)2 Þ 222 4 Þ 24
 c ) (23)3 5 233 227 5 227
 d ) (24)5 5 245 21 024 5 21 024
 5. Verifique se (23) é solução da equação x2 1 5x 1 6 5 0. 
 
Sim.
(23)2 1 5(23) 1 6 5 0 ⇒ 0 5 0
 6. Determine o valor de:
 a ) (21)n 1 (21)m 2 (21)n, para n par e m ímpar; 21
 b ) (21)m 2 (21)n 2 (21)n 1 (21)m, para n ímpar e m par. 14
 7. Determine o valor das expressões numéricas.
 a ) (21)3 2 (22)2 1 (23)2 2 (12)4 2 (21)2 5 213
 b ) ( 3) 1
2
( 2) 1
2
2
2
2
2
2 2 2 ? 1 1 1( ) ( ) 5 8 14
Complete com o sinal 
5 ou Þ entre elas.
Números reais e equações8
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 Para aprimorar:
 Leitura (abaixo)
Economizar água é fundamental!
A água doce que usamos é muito rara e, por isso, devemos 
economizá-la sempre.
Estima-se que haja 1,3 ? 1021 litros de água salgada sobre a su-
perfície da Terra. Isso corresponde a 97% do total de água sobre a 
Terra. Os 3% restantes correspondem às águas glaciais (das geleiras), 
às águas subterrâneas (do subsolo) e à água de superfície (dos rios).
Diante disso, devemos estar atentos a tudo o que possa cola-
borar para a economia da água de que dispomos: desde a não polui-
ção dos rios até as situações do nosso cotidiano, como na escovação 
dos dentes, no banho, na faxina da casa, etc.
Agora é com você!
Estima-se que a quantidade de água de superfície (rios) da Terra 
seja de 1,34 ? 1018 litros. Em relação ao total de água sobre a Terra, a quan-
to corresponde em porcentagem esse tipo de água?
Aproximadamente 0,1%.
Represa do Sistema Cantareira, em Joanópolis, São Paulo, 2014.
Leitura
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Propriedades da potenciação
1a propriedade: Multiplicação de 
potências de mesma base
Observe:
23 ? 22 5 2 ? 2 ? 2 ? 2 ? 2 5 25 5 23 1 2
Ou seja: 23 ? 22 5 23 1 2.
De modo geral, dizemos que:
Se a é um número real não nulo e m e n são números naturais, então, temos:
a 
m ? a n 5 a m 1 n
Exemplos:
 a ) (23)2 ? (23)4 5 (23)2 1 4 5 (23)6
 b ) 1
3
1
3
1
3
1
3
3 3 1 4( ) ( ) ( ) ( )? 5 51
 c ) (20,1)5 ? (20,1) ? (20,1)2 5 (20,1)5 1 1 1 2 5 (20,1)8
Vamos recordar as 
propriedades da 
potenciação em que os 
expoentes são números 
naturais.
97
1 34 10
18
% 1,3 10
x
0,97 1,21
——
—— ,
?
?
5
?
x
334 10
1,3 10
0,9998
1000
0,0009
18
21
?
?
 9998 0,1%



→
Números reais e equações 9
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2a propriedade: Divisão de potências de mesma base
Observe:
;5 5 5 5 5 5 5 5 5
5 5 5 5
5 5 5 5 57 4 3 7 45 ? ? ? ? ? ?
? ? ?
5 ? ? 5 5
2
Ou seja: 57 ; 54 5 57 2 4.
De modo geral, podemos escrever:
Se a é um número real não nulo e m e n são números naturais, então, temos:
a m ; a n 5 a m 2 n
Exemplos:
 a ) (0,2)7 ; (0,2)5 5 (0,2)7 2 5 5 (0,2)2
 b ) ;       13
1
3
1
3
1
3
5 3 5 3 2
2 2 5 2 5 2
2
3a propriedade: Potência de potência
Veja:
(34)2 5 34 ? 34 5 34 1 4 5 38 5 34 ? 2
Ou seja: (34)2 5 34 ? 2.
De maneira geral, dizemos que:
Se a é um número real não nulo e m e n são números naturais, então, temos:
(a m)n 5 a m ? n
Exemplos:
 a ) [(20,1)3]2 5 (20,1)3 ? 2 5 (20,1)6
 b ) 1
2
1
2
1
2
2 4 2 4 8( )  ( ) ( )5 5?
4a propriedade: Potência de um produto ou de um quociente
Acompanhe:
 a ) (2 ? 3)3 5 (2 ? 3) ? (2 ? 3) ? (2 ? 3) 5 (2 ? 2 ? 2) ? (3 ? 3 ? 3) 5 23 ? 33
 b ) (5 ; 2)2 5 ; 52
5
2
5
2
5 5
2 2
5
2
5 2
2
2
2
2 2
5 ? 5
?
?
5 5
De modo geral, dizemos que:
Se a e b são números reais não nulos e n é um número natural diferente de zero, 
então, temos:
(a ? b)n 5 an ? bn
ou
; ;( ) ab a b a b ab
n
n
n n
n
n
5 5 5
Números reais e equações10
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Expoente zero
24 23 22 21 20
↓ ↓ ↓ ↓ ↓
16 8 4 2 1
O padrão dessa sequência é sempre dividir o termo anterior pela base 2. Assim, 
temos:
• 16 ; 2 5 8
• 8 ; 2 5 4
• 4 ; 2 5 2
Consequentemente, o próximo passo é efetuar 2 ; 2 5 1, ou seja, 20 5 1.
De modo geral, escrevemos:
Se a é um número real diferente de zero, temos:
a0 5 1
Observe esta sequ•ncia.
Exercícios 
 8. Escreva na forma de uma única potência.
 a ) 34 ? 32 5 36
 b ) 27 ; 23 5 24
 c ) 2 ? 22 ? 23 5 26
 d ) (23)4 5 212
 e ) [(21,2)2]3 5 (21,2)6
 f ) [(52)3]2 5 512
 9. Escreva na forma de um produto de potências.
 a ) (2 ? 3)2 5 22 ? 32
 b ) (3 ? 4 ? 5)3 5 33 ? 43 ? 53
 c ) (a ? b)3 5 a3 ? b3
 d ) (x2 ? y3)2 5 x4 ? y6
 10. Determine o valor de:
 a ) 30 5 1
 b ) (21)0 5 1
 c ) 230 5 21
 d ) 50 1 (21)0 5 2
 Para construir:
 Exercícios 8 a 11 (p. 11 e 12)
Números reais e equações 11
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Você já estudou. 
Vamos recordar.
 11. 
Determine o valor 
numérico das 
expressões.
 a ) 220 2 30 2 (26)0 1 1 5 22
 b ) 
3 1
3
1
2
2
0
0
1
2
 5 2 2
3
2
 c ) (30 ; 30) ; (20 1 (21)0) 5 1
2
 d )  
2 0 2 ( 1)
( 1) 1
2
4 3 0 0
0
0
2 1 1 1 2
2 1 2
 5 27
Potenciação com número inteiro 
negativo no expoente
Analise este exemplo:
;3 3 3
3
3 3 3 3 3
3 3 3 3 3 3
1
3
5 6
5
6
5 5
? ? ? ?
? ? ? ? ?
5 I
Recorrendo ˆ propriedade da divis‹o de pot•ncias de mesma base, temos:
35 ; 36 5 35 2 6 5 321 II
Comparando I e II vemos que:
3 1
3
12
5
Da mesma forma, podemos obter:
 a ) 2 1
2
12
5 b) 4 1
4
12
5 c) 7 1
7
12
5
Números reais e equações12
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De modo geral, escrevemos:
Se a Ž um número real diferente de zero, então, temos:
a
a
5
2 11
Analise agora a sequência abaixo e seu padrão:
24 23 22 21 20 221 222 223
↓ ↓ ↓ ↓ ↓
16 8 4 2 1
O valor de cada termo a partir do segundo Ž obtido dividindo o anterior por 2, 
base das potenciações.
24 23 22 21 20 221 222 223
↓ ↓ ↓ ↓ ↓ ↓ ↓ ↓
16 8 4 2 1 1
2
1
4
1
8
Observe: 
• 2
1
2
12
5 • 2
1
4
1
2
2
2
2
5 5 • 2
1
8
1
2
3
3
2
5 5
De modo geral, podemos escrever:
Se a Ž um número real diferente de zero e n Ž um número natural tambŽm diferente 
de zero, então, temos:
a
a a
n
n
n
5 5
2 )(1 1
Outros exemplos:
 a ) 3 1
3
1
9
ou3 1
3
1
9
2
2
2
2
2 2
5 5 5 5( )
 b ) 
2
3
1
2
3
1
8
27
27
8
3 3
8
ou 2
3
3
2
27
8
3 3
8
3
3
3 3
5 5 5 5 5 5 5
2 2) ) ) )( ( ( (
 c ) 221 1 322 2 (25)0 1 (11) 21 5
5 1 2 1
1
5
1
2
1
3
1 1
1
2
1( ) ( )  12 19 1 11 2 1 5 5 1 5918 218 1118
; ;5 51 2 1
2
, 
; ;5 5
1
2
2 1
4
, e assim por diante.
Números reais e equações 13
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Notação científica
Uma aplica•‹o importante da potencia•‹o Ž a notação 
científica.
• No corpo de um recŽm-nascido h‡ cerca de 26 bilh›es de 
cŽlulas, e no corpo de um adulto h‡ cerca de 50 trilh›es de cŽlulas.
• O comprimento de uma cŽlula do olho Ž de, aproximadamente, 
0,0045 cm.
Veja como s‹o escritos na nota•‹o
cient’fica os nœmeros 
que aparecem nas informa•›es acima:
26 000 000 000 5 2,6 ? 1010
50 000 000 000 000 5 5 ? 1013
0,0045 5 4,5 ? 1023
Eye of Science/Science Photo Library/LatinStock
Hem‡cias (cŽlulas 
sangu’neas) vistas no 
microsc—pio.
Um número escrito na notação 
científica corresponde ao produto 
de um número decimal de 
1 a 10, excluído o 10, por 
uma potência de base 10.
Exercícios 
 12. Efetue as potencia•›es com expoentes inteiros negativos.
 a ) 422 5 1
16
 b ) (25) 22 5 1
25
 c ) 3
4
2( )2 5  1 79 169
 d ) (0,7)22 5 2 2
49
 e ) (20,222...)23 5 91 1
8
2
 
2
2 5 2 5 2



29
729
8
91 1
8
3
 13. Calcule o valor das express›es numŽricas.
 a ) 322 1 223 5 17
72
 b ) 52 1 24 ? 421 5 29
2
5 5



710
100
49
2 2
49
2
2 2
1 5 1 5 1 53 2 1
9
1
8
8
72
9
72
17
72
2 3
2
1 ? 5 1 ? 5 1 55 2 4 25 16 1
4
25 4 292 4 1
 Para construir:
 Exerc’cios 12 a 21 (p. 14 a 16)
Nœmeros reais e equa•›es14
SER_EF2_Matematica9_M1_C1_001_050.indd 14 18/09/15 09:12
 c ) (3,1) 3 1
10
12
? 5 1
 d ) 221 1 20 1 21 5 3 1
2
 e ) 
3
2
1
4
2
2
 5 5 1
3
 f ) 1021 ; 225 ? 521 5 16
25
 14. Determine o valor das express›es a seguir.
 a ) (221 1 322)21 5 1 7
11
 c ) 
2 1
2 1 2 1
2
3 1
2
3 2 1
2
2
2 0
( )
( ) ( ) 5 
5
11
2
 b ) 30 1 (23)2 ? 322 1 (22)2 1 (21)2 5 7 d ) 
2 1 2 1
2 1 2 2 2
2
2 1 1
3
2 3 1
0 2
2
2 2 0
( ) ( ) ( )
( ) ( ) ( ) 5 
11
12
 15. Simplifique as express›es.
 a ) 
x y
z
z
x
y
2
3
3
2
2




 ? ? 2 5 , 0, 0 e 0yz x y z± ± ± b ) ab ab?
2)(  2 33 2 2 5 98 , 0 e 0ab a b± ±
 16. Qual Ž a forma mais simples de se escrever estas express›es?
 a ) 
a b
b a
?
1
2 2
2 2
2
2
1 1
1 1 5 
2
2
, 0, 0 e 2 0
a b
a b a b
1
1± ± ± b ) 
x y x y x y
x y x y x y
? ? ? ?
? ? ? ? ?
2 2 2
2 2 2
) )( (2 1 2 1 3
2 1 1 2
 5 1 , 0 e 0
y
x y± ±
3 1 3 1
10
10
31
31
10
11 ? 5 ? 52( , )
2
1 1 5 1 1 52 2 2 1
2
1 2 3 1
2
1 0 1
2
2
5 5 5
3
2
1
3
1
16
16
3
5 1
3
1
4
;
2 2 2
? 5 ? 5
? ?
? ?
5:10 2 5 1
10
1
32
1
5
1 32 1
10 1 5
16
25
1 5 1
16
5
Números reais e equações 15
M
A
T
E
M
ç
T
IC
A
SER_EF2_Matematica9_M1_C1_001_050.indd 15 18/09/15 09:12
 17. Determine o valor numŽrico das express›es para x 5 1, y 5 21 e z 5 2.
 a ) 
x y z
1 1
2
2
2)(
1 2 1
2 2 3 1
 5 5 b ) 
x y z x
x y
? ? ?
?
2 2 2
2
1 2 1 2
3 1
 5 1
2
2
 18. Qual Ž a metade de 462?
a) 231
b) 262
c) 431
d) X 2123 
e) 2120
 19. Escreva na forma de nœmero decimal.
 a ) 1022 5 
)(0,01 11005
 b ) 1025 5 0,00001
 c ) 1026 5 0,000001
d ) 1021 5 0,1
e ) 1028 5 0,00000001
 f ) 10211 5 0,00000000001
 20. Escreva na forma de pot•ncia de base 10.
 a ) 0,001 5 



10 11 000 110 10
3
3
3
5 5
2 2
 c ) 0,0001 5 1024
 b ) 0,000000001 5 1029 d ) 0,0000001 5 1027
 21. Qual Ž a forma mais simples de se escrever as express›es abaixo?
 a ) 
0,1 10 0,01
100 0,001
2( ) ( ) ( )
( )
? ?
?
2
 5 1024 b ) 
0,01 10 10
10 0,01
2 5 2( )
( )
? ?
?
2
 5 1
2
5 5 5 5
( )4
2
2
2
2
2
2 2
62
2
62
124
124 1 123
(FEI-SP) Se a e b s‹o quantidades de algarismos dos nœmeros x 5 412 ? 520 e y 5 414 ? 518, ent‹o:
 a ) a 5 b. b ) a 5 b 1 1. c ) a 5 b 2 1. d ) a 5 b 1 2. e ) a 5 b 2 2.
Desafio
x 5 224 ? 520 5 24 ? 220 ? 520 5 16(2 ? 5)20 5 16 ? 1020 (16 seguido de 20 zeros → a 5 22); y 5 414 ? 518 5 228 ? 518 5 210 ? 218 ? 518 5 1 024 ? 1018 
(1 024 seguido de 18 zeros → b 5 22). Logo, a 5 b.
 Para aprimorar:
 Desafio (abaixo)
Números reais e equações16
SER_EF2_Matematica9_M1_C1_001_050.indd 16 18/09/15 09:12
3 Radicia•‹o
Vamos estudar agora a radicia•‹o, opera•‹o que inclui a raiz quadrada (que ser‡ 
aprofundada) e outras ra’zes.
Raiz quadrada
A ideia de raiz quadrada
Voc• j‡ estudou ra’zes quadradas. Vejamos algumas.
 a ) Quatro ao quadrado Ž igual a dezesseis: 42 5 16.
 b ) Raiz quadrada de 16 Ž 4: 162 5 4 ou 16 5 4.
 c ) 812 5 9 ou 81 5 9, pois 92 5 9 ? 9 5 81.
 d ) 2,252 5 1,5 ou 2,25 5 1,5, pois (1,5)2 5 1,5 ? 1,5 5 2,25.
 e ) 0 5 0, pois 02 5 0.
 f ) 29 Ž imposs’vel em R.
Definimos como raiz quadrada de um nœmero positivo a 
o nœmero positivo que elevado ao quadrado resulte a.
Exercícios 
 22. Escreva usando pot•ncias e calcule a ‡rea das regi›es quadradas que t•m:
 a ) lados de 3 cm: 9 cm2
 b ) lados de 8 dm: 64 dm2
 c ) lados de 2,5 mm: 6,25 mm2
 d ) lados de x m: x2 m2
 23. Agora a situa•‹o Ž inversa. Escreva a medida do lado, em cent’metros, conhecendo a ‡rea da regi‹o quadrada, em cent’metros 
quadrados.
 a ) çrea de 16 cm2: 4 cm, pois 4 ? 4 5 42 5 16 cm2.
 b ) çrea de 81 cm2: 9 cm, pois 9 ? 9 5 92 5 81 cm2.
 c ) çrea de 2,25 cm2: 1,5 cm, pois 1,5 ? 1,5 5 2,25 cm2.
 d ) çrea de ,2 cm2. , cm, pois , ? , 5 ,2 cm2.
32 5 3 ? 3 5 9 cm2
82 5 8 ? 8 5 64 dm2
(2,5)2 5 2,5 ? 2,5 5 6,25 mm2
x
2 m2
Assim, 16 5 4.
Tenho uma dúvida: 16 5 14 ou 16 5 24?
Não é verdade que (14)2 5 16 e (24)2 5 16?
Em 162 5 4, o 16 é o radicando, o 2 é o 
índice, o 4 é a raiz e 162 é um radical.
Atenção!
2 e são a mesma coisa.
Não há necessidade de colocar o 2 no índice.
 Para construir:
 Exerc’cios 22 a 25 (p. 17 e 18)
Números reais e equações 17
M
A
T
E
M
ç
T
IC
A
SER_EF2_Matematica9_M1_C1_001_050.indd 17 18/09/15 09:12
 24. Calcule e justifique o valor de:
 a ) 49 5 7, pois 72 5 49.
 
 b ) 100 5 10, pois 102 5 100.
 
c ) 64 5 8, pois 82 5 64.
 
d ) 12,25 5 3,5, pois (3,5)2 5 12,25.
 
 Bate-papo
Verifique com um colega se existe algum número dos que vocês conhecem até agora que elevado ao quadrado resulte 29. Conversem 
sobre isso e justifiquem suas respostas.
N‹o existe, pois as possibilidades seriam (13) e (23), mas: (13)2 5 (13) ? (13) 5 19 e (23)2 5 (23) ? (23) 5 19.
 25. Voc• j‡ conhece os nœmeros reais. Com eles, Ž imposs’vel extrair a raiz quadrada de um nœmero negativo. Calcule as ra’zes 
abaixo, sempre que poss’vel, justificando sua resposta.
 a ) 121
5 11, pois 112 5 121.
 b ) 236
Imposs’vel. N‹o existe nœmero real que elevado ao quadrado resulte 236.
c ) 1 
5 1, pois 12 5 1.
d ) 21 
Imposs’vel. N‹o existe nœmero real que elevado ao quadrado resulte 21.
Nœmeros reais e equa•›es18
SER_EF2_Matematica9_M1_C1_001_050.indd 18 18/09/15 09:12
Raiz quadrada exata
Quando a raiz quadrada de um nœmero real resulta um nœmero racional, dizemos 
que a raiz quadrada Ž exata.
Por exemplo, 49 , 256 , 1
9
 e 2,25 s‹o ra’zes exatas. Veja:
¥ 49 5 7, pois 7 Ž positivo e 72 5 49.
¥ 256 5 16, pois 162 5 256.
256 2
16
128 2
64 2
32 2
16 2
16
8 2
4 2
2 2
1
¥ 
1
9
1
3
,5 pois 1
9
2
5( )( )1( )3( ) .
¥ 2,25
225
100
15
10
5 55 55 5
225
5 5 5 1,5, pois (1,5)2 5 2,25.
225 3
15
75 3
25 5
15
5 5
1
0 5 0, pois 02 5 0
Exerc’cio 
 26. Efetue as ra’zes quadradas exatas.
 a ) 100 5 10 b ) 0,64 5 0,8 c ) 729 5 27 d ) 1 9
16
 5 
1 1
4
64
100
8
10
0,85 5
5 5
25
16
5
4
1 1
4
 Para construir:
 Exerc’cio 26 (abaixo)
Nœmeros reais e equa•›es 19
M
A
T
E
M
ç
T
IC
A
SER_EF2_Matematica9_M1_C1_001_050.indd 19 18/09/15 09:12
Raiz quadrada n‹o exata
Toda raiz quadrada de um nœmero real positivo que n‹o Ž exata corresponde a um 
nœmero
irracional. Por exemplo, 18 . Com o uso de uma calculadora, voc• pode en-
contrar imediatamente o valor aproximado da raiz quadrada de 18.
Apertando as teclas 81 , aparecer‡ o valor aproximado 
.
Indicamos assim: 18 . 4,2426406 ou 18 5 4,2426406... 
Lembre-se de que podemos encontrar um valor aproximado para 18 , fazendo 
aproxima•›es sucessivas. Veja:
• ƒ maior do que 4, porque 42 5 16 e 16 , 18.
• ƒ menor do que 5, porque 52 5 25 e 25 . 18.
Portanto, 18 fica entre 4 e 5, ou seja, 4 , 18 , 5.
Como (4,1)2 5 16,81; (4,2)2 5 17,64; (4,3)2 5 18,49; ent‹o, 18 est‡ entre 4,2 
e 4,3, ou seja, 4,2 , 18 , 4,3 (aproxima•‹o atŽ dŽcimos: 4,2 por falta e 4,3 
por excesso).
Como (4,21)2 . 17,72; (4,22)2 . 17,81; (4,23)2 . 17,89; (4,24)2 . 17,98;
(4,25)2 . 18,06; ent‹o, 18 est‡ entre 4,24 e 4,25, ou seja, 4,24 , 18 , 4,25 (apro-
xima•‹o atŽ centŽsimos: 4,24 por falta e 4,25 por excesso). Indicamos 18 . 4,24 (por 
falta) e 18 . 4,25 (por excesso).
Exercícios 
 27. Sem usar calculadora, determine o valor aproximado de cada raiz quadrada n‹o exata, por falta, atŽ dŽcimos.
 a ) 21 . 4,5 b ) 105 . 10,2 c ) 3 . 1,7
 28. Use a calculadora e determine o valor de cada raiz quadrada n‹o exata. N‹o se esque•a de colocar as retic•ncias.
 a ) 2 5 1,4142135... b ) 10 5 3,1622776... c ) 1 000 5 31,622776...
E
v
g
e
n
y
 K
a
ra
n
d
a
e
v
/S
h
u
tt
e
rs
to
ck
/G
lo
w
 I
m
a
g
e
s
Calculadora
 42 5 16; 52 5 25; (4,5)2 5 
5 20,25; (4,6)2 5 21,16
21 . 4,5
 102 5 100; 112 5 121; (10,2)2 5 
5 104,04; (10,3)2 5 106,09
105 . 10,2
 12 5 1; 22 5 4; (1,7)2 5 2,89; (1,8)2 5 3,24
3 . 1,7
 Você sabia?
Dependendo da calculadora, podem 
aparecer mais ou menos casas 
decimais, mas os valores indicados 
são sempre valores aproximados.
 Para construir:
 Exerc’cios 27 a 29 (p. 20 e 21)
Nœmeros reais e equa•›es20
SER_EF2_Matematica9_M1_C1_001_050.indd 20 18/09/15 09:12
Quadrados dos números reais de 0 a 10
0
Nœmero
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
10
20
30
40
50
60
70
80
90
100
Quadrado do nœmero
 29. O gr‡fico ao lado mostra o quadrado dos números reais de 0 a 
10. Analise-o e determine, por meio dele, o mais precisamente 
poss’vel:
 a ) os valores de 52; (8,5)2; (7,2)2; e (8,9)2:
25; aproximadamente 72,3; aproximadamente 51,9; 
aproximadamente 79,2.
 b ) os números cujos quadrados são 36; 30; 19; e 84:
6; aproximadamente 5,5; aproximadamente 4,4; aproximadamente 9,2.
 c ) 15 ; 81 ; 69 ; e 54 :
Aproximadamente 3,9; 9; aproximadamente 8,3; aproximadamente 7,3.
 
Raiz cúbica
Voc• se lembra de como se determina a 
medida do volume de um cubo?
Vamos recordar usando um exemplo:
Se a aresta do cubo mede 6 cm, a medida 
do volume Ž dada por:
V 5 63 5 6 ? 6 ? 6 5 216 cm3
Veja agora a situação inversa. Se o volu-
me de um cubo Ž 8 m3, qual Ž a medida da sua 
aresta?
Procuramos aqui a raiz cúbica de 8, que indicamos e justificamos assim:
83 5 2, pois 2 ? 2 ? 2 5 8 ou 83 5 2, pois 23 5 8
Quando escrevemos 83 5 2 , chamamos:
3: ’ndice 2: raiz 8 :3 radical8: radicando
6 cm
6 cm
6 cm
Basta usar 
a potenciação e 
procurar o número 
que elevado ao cubo 
resulta 8.
Números reais e equações 21
M
A
T
E
M
ç
T
IC
A
SER_EF2_Matematica9_M1_C1_001_050.indd 21 18/09/15 09:12
Exerc’cios 
 30. Determine o valor das ra’zes cœbicas abaixo e justifique a resposta.
 a ) 273 5 3, pois 33 5 27
 
 b ) 03 5 0, pois 03 5 0
 
 c ) 3433 5 7, pois 73 5 343
 
 d ) 2643 5 24, pois (24)3 5 264
 
 e ) 13 5 1, pois 13 5 1
 
 f ) 1 0003 5 10, pois 103 5 1 000
 
 31. Determine entre que nœmeros inteiros consecutivos fica cada uma destas ra’zes cœbicas n‹o exatas.
 a ) 103 Entre 2 e 3.
 b ) 703 Entre 4 e 5.
c ) 73 Entre 1 e 2.
d ) 1303 Entre 5 e 6.
Observe outros exemplos:
 a ) 643 5 4, pois 43 5 4 ? 4 ? 4 5 64.
 b ) 80003 5 20, pois 203 5 8 000.
c ) 283 5 22, pois (22)3 5 28.
d ) 1
64
1
4
,3 5 pois 1
4
1
64
3( ) 5 .
Ra’zes cœbicas exatas e n‹o exatas
 Para construir:
 Exerc’cios 30 a 32 
(p. 22 e 23)
1253 Ž raiz cœbica exata.
Veja:
125 5
25 5 
5 5
1
125 5 53
1253 5 5
2 7443 Ž raiz cœbica exata.
2 744 2
1 372 2
686 2
343 7
49 7
7 7
1
2 744 5 23 ? 73 5 143
2 7443 5 14
453 n‹o Ž raiz cœbica exata.
45 3
15 3 
5 5
1
33 5 27 e 43 5 64
(3,5)3 5 42,875 e 
(3,6)3 5 46,656
453 . 3,5 (por falta)
453 . 3,6 (por excesso)
Nœmeros reais e equa•›es22
SER_EF2_Matematica9_M1_C1_001_050.indd 22 18/09/15 09:12
e ) 2303 Entre 24 e 23. f ) 1 2533 Entre 10 e 11.
 32. Escreva as ra’zes quadradas e as ra’zes cœbicas exatas de nœmeros naturais atŽ 100. 
Ra’zes quadradas:
Ra’zes cœbicas:
 
0 5 0; 1 5 1; 4 5 2; 9 5 3; 16 5 4; 25 5 5; 36 5 6; 49 5 7; 64 5 8; 81 5 9 e 100 5 10. 
03 5 0; 13 5 1; 83 5 2; 273 5 3 e 643 5 4.
Outras ra’zes Ñ raiz enŽsima 
de um número real
 a ) 814 5 3, pois 3 Ž positivo e 34 5 81.
 (Leitura de 814 5 3: raiz quarta de oitenta e um Ž igual a tr•s.)
 b ) 2164 n‹o existe em R, pois nenhum nœmero real elevado ˆ quarta pot•ncia re-
sulta nœmero negativo.
 c ) 325 5 2, pois 25 5 32. (Leitura de 325 5 2: raiz quinta de trinta e dois Ž igual a dois.)
 d ) 100 0005 2 5 210, pois (210)5 5 2100 000.
 e ) 84 Ž uma raiz quarta n‹o exata: 84 5 1,681792831... 
(Usando a calculadora, teclamos 8 .)
Generalizando, temos:
Para a e b reais n‹o negativos e n natural maior do que 1, as afirma•›es an 5 b e 
b
n
5 a s‹o equivalentes e indicamos assim:
an 5 b ⇔ bn 5 a
Quando n Ž ’mpar, a e b podem ser negativos.
Observaç‹o: bn l• -se: raiz enŽsima de b.
A ideia para 
as ra’zes de ’ndice maior do que 3 
Ž a mesma da raiz quadrada e da raiz cœbica.
Procure entender os exemplos seguintes. 
Troque ideias com os colegas.
Nœmeros reais e equa•›es 23
M
A
T
E
M
ç
T
IC
A
SER_EF2_Matematica9_M1_C1_001_050.indd 23 18/09/15 09:13
Exerc’cios 
 33. Indique e calcule, quando possível, usando números reais.
 a ) A raiz sexta de 729. 729
6
 5 3
 b ) A raiz quarta de 2625. 625
4
2 não existe em R.
 c ) A raiz quinta de 21. 1
5
2 5 21
 d ) A raiz quinta de 1 024. 1 024 4
5
5
 e ) A raiz quarta de 1
16
. 
1
16
1
2
4 5
 f ) A raiz sétima de 0. 0
7
 5 0
 34. Passe da potenciação para a radiciação correspondente, ou vice -versa.
 a ) 73 5 343 343
3
 5 7
 b ) 283 5 22 (22)3 5 28
 c ) 09 5 0 0
9 5 0
d ) 100 0005 5 10 105 5 100 000
e ) 1 02410 5 2 1210 5 1 024
f ) (23)3 5 227 27
3
2 5 23
 35. Determine o valor de:
 a ) 81 5 9
 b ) 2 169 5 213
 c ) 22163 5 26
d ) 2 23
2( ) 5 23
e ) 215 5 21
f ) 21253 5 25
 36. Determine o valor das expressões numéricas.
 a ) 27 323 51 2 5 1 b ) 2 2 1 28 2 4 5
3 2( ) 5 21
 37. Determine o valor de A sabendo-se que:
A 5 23 14 4
3
1 1 5 3
 Para construir:
 Exercícios 33 a 37 (abaixo)
Nœmeros reais e equa•›es24
SER_EF2_Matematica9_M1_C1_001_050.indd 24 18/09/15 09:13
Propriedades dos radicais
1a propriedade
Observe: 
 a ) 325 5 2 e 32 5 25
Assim, temos:
32 2 25 555 5
 b ) 283 5 22 e 28 5 (22)3
Assim, temos:
2 5 2 528 2 23
33 ( )
De modo geral, dizemos que:
a a
nn
5 sendo
naturalmaior do que 1
real n‹one
n
a gaggag tivo, se Žpar
al qualquer, se Ž
e Žne Ž
a nrea nala nqualquera n, sa ne Ža ne Ž ’’mpar
Outros exemplos:
 c ) 3 344 5
 d ) 2 5 2 5232 2 25
55 ( )
Se um radical tem o índice igual ao expoente do radicando, seu valor é igual à 
base do radicando,
desde que estejam garantidas as condições de existência do 
radical.
Observa•‹o: Não se esqueça das condições impostas à existência dos radicais en-
volvidos. Por exemplo, 21
44 ( ) não é igual a 21, pois, quando o índice é par, o radi-
cando an só é considerado para a > 0. Na realidade, 2 51 1,
44 ( ) pois 
2 5 51 1 1.
44 4( )
Considerando as 
condi•›es impostas ˆ exist•ncia dos 
radicais envolvidos, vamos conhecer 
algumas propriedades importantes 
dos radicais.
Números reais e equações 25
M
A
T
E
M
ç
T
IC
A
SER_EF2_Matematica9_M1_C1_001_050.indd 25 18/09/15 09:13
2a propriedade
Vejamos mais uma propriedade. Acompanhe os exemplos abaixo.
 a ) 
;
;
2 256 4
2 2 16 4
84 4
8 24 2 42 2
5 5
5 5 5
 b ) 9 9 3
9 9 729 3
12
1 33 36 6
5 5
5 5 5
332
De modo geral, podemos escrever:
O valor de um radical n‹o se altera quando multiplicamos ou dividimos o índice e 
o expoente do radicando pelo mesmo número, ou seja:
a amn m p
n p
5
?? e ;
;
a am
n m r
n r
5
sendo
, e naturaismaiores doque 1
d
n p, en p, e r
r iivisor comumde en men m
Outros exemplos:
 c ) a a a5 5??37 3 27 2 614 d ) x x x5 5??7 2 72 2 144 e ) ;
;64 6 24 2 3x x x5 5
3a propriedade
Observe os c‡lculos abaixo.
 a ) ? 5 5
? 5 ? 5
8 1000 8000 20
8 1000 2 10 20
3 3
3 3
 b ) ? 5 5
? 5 ? 5
? 5 ?
9 4 36 6
9 4 3 2 6
9 4 9 4
De modo geral, escrevemos:
Um radical que tem um produto no radicando pode ser decomposto em um pro-
duto de radicais de mesmo índice, com cada fator do primeiro produto em um radical. 
Sempre atendendo às condições de existência dos radicais envolvidos, ou seja:
a b a bn n n? 5 ?
Outros exemplos:
 c ) 2 10 2 10? 5 ? d ) 3 7 3 75 5 5? 5 ? e ) ab a b5 ? ?2 23 3 3 3
Comparando, temos: ;
;
2 28 2
4 2 42
5 (dividimos o ín-
dice e o expoente do radicando pelo mesmo número).
Comparando, temos: 912 5 91 32 3 33 (multipli-
camos o índice e o expoente do radicando pelo 
mesmo número).
Comparando, temos: 8 1000 8 10003 3 3? 5 ?
sendo
n natural maior do que 1
a e b reais não negativos, se n é par
a e b reais quaisquer, se n é ímpar
Nœmeros reais e equa•›es26
SER_EF2_Matematica9_M1_C1_001_050.indd 26 18/09/15 09:13
4a propriedade
Observe:
a) 1 000
8
125 53 35 5
 
1 000
8
10
2
5
3
3
5 5
 Logo, 1 000
8
1 000
8
3
3
3
5 .
b) ;64 16 4 25 5
 ; ;64 16 8 4 25 5
Logo, ; ;64 16 64 165
Portanto, de modo geral, podemos escrever:
Se um radical tem um quociente em seu radicando, ele pode ser decomposto em 
um quociente de dois radicais com o mesmo índice. Tudo isso considerando as condi-
ções de existência dos radicais envolvidos, ou seja:
a
b
a
b
n
n
n
5 ou ; ;a b a b
n n n
5
Outros exemplos:
 c ) 
2
5
2
5
5
 d ) 
2 2
3
3
3
5
x x
5a propriedade
Observe:
a) 64 8 2
3 3
5 5 e 64 2
6
5
 Logo, 64 642
3 6
5
b) 81 9 3 e 81 345 5 5
 Logo, 81 812
2 4
5
De modo geral, satisfeitas as condições de existência dos radicais envolvidos, 
podemos escrever: 
Outros exemplos:
 c ) 5 5 5
3 3 2 6
5 5
?
 d ) 7 7 7
43 46 24
5 5
 e ) 11 11
35 15
5
3 ? 2
2 ? 2
a a
mn mn
5
sendo
n natural maior do que 1
a real n‹o negativo e b real positivo, se n Ž par
a real qualquer e b real n‹o nulo, se n Ž ’mpar
Nœmeros reais e equações 27
M
A
T
E
M
ç
T
IC
A
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Exerc’cios 
 38. Complete.
 a ) 112 5 11
 b ) 0,7
33 ( ) 5 0,7
 c ) 2 51
77 ( ) 21
 d ) 3
8
6
6 ( ) 5 38
 39. Determine o valor de x em cada caso.
 a ) x57
8
 b ) 
x
536 612
 40. Decomponha o radicando em fatores primos e calcule o valor de:
 a ) 273 5 3 c ) 325 5 2
 b ) 169 5 13 d ) 6254 5 5
 41. Fa•a a decomposi•‹o dos radicais abaixo em um produto de radicais todos de mesmo ’ndice.
 a ) 7 64 ? b ) 11 8? c ) a b c? ?3 
 42. Transforme cada radical em um quociente de radicais de mesmo ’ndice.
 a ) 17
3
4 b ) ;( ) ( )10 23 2 2 c ) 21
5
 
 43. Simplifique os radicais, dividindo o ’ndice do radical e o expoente do radicando por um mesmo nœmero.
 a ) 712
3
 5 74 c ) a b2 24 5 ab
 b ) 51510 5 5
3
 d ) 536 5 5
 44. Decomponha os radicandos em fatores primos e, depois, simplifique-os.
 a ) 3210 5 2 c ) 2435 5 3
 b ) 6412 5 2 d ) 3439 5 7
3
2 3 4
x 5 74
1 3 4
74 62 ; 2
↑
; 2 6
61
↑
27 3 3 3 3 33 3 335 ? ? 5 5 32 2 2 2 2 2 2 25 5 555 ? ? ? ? 5 5
169 13 13 13 1325 ? 5 5 625 5 5 5 5 5 54 4 445 ? ? ? 5 5
7 64 45 ? 11 85 ? 3 3 3a b c5 ? ?
17
3
4
4
5
10 23 3;5 2 2 21
5
5
x 5 6
 Para construir:
 Exerc’cios 38 a 48 (p. 28 e 29)
Nœmeros reais e equa•›es28
SER_EF2_Matematica9_M1_C1_001_050.indd 28 18/09/15 09:13
Aplica•›es das propriedades dos radicais
C‡lculo de ra’zes exatas
Observe os exemplos e verifique que propriedades foram utilizadas.
 a ) 21 952 ?3 5
21 952 2
21 952 2 2 7 2 2 73 3 3 33 33 3 335 ? ? 5 ? ? 53 ? ? 52 2 7 28
ou 
21 952 2 2 7 (2 2 7) 23 3 3 33 335 ? ? 5 ? ? 5 2 7 28? ? 5
Logo, 21 952 28.3 5
10 976 2
5 488 2
2 744 2
1 372 2
686 2
343 7
49 7
7 7
1
 b ) 20 449 ?5
20 449 11 20 449 11 13 11 13 11 132 2 2 25 ? 5 ? 5 ? 51143
ou 
20 449 11 13 (11 13) 11 132 2 25 ? 5 ? 5 ? 5143
Logo, 20 449 143.5
1 859 11
169 13
13 13
1
 45. Transforme em um único radical.
 a ) 74
3
 5 7
12
 d ) 23
3
 5 2
9
 b ) 115 5 11
10
 e ) 34 5 3
8
 c ) 18 5 18
4
 f ) 10 5 10
8
 46. Determine o valor de x em cada uma das igualdades.
 a ) 
x
53 348 x 5 1 c ) x55 5129 3 x 5 4
 b ) x57 796 x 5 3 d ) 
x
57 76 x 5 3
 47. Considerando a e b dois números reais positivos, transforme os produtos em um único radical e simplifique-o.
 a ) a a?
56 6 5 a c ) a b a b?3 2
10 2 310 5 ab
 b ) b b?
312 12 5 3 b d ) a a?4
20 620 5 a
 48. Transforme em um único radical: 12 10
3
.
8 4
? 408
Nœmeros reais e equa•›es 29
M
A
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M
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A
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Simplifica•‹o de radicais
Observe os exemplos com aten•‹o.
 a ) ;;125 5 5 5 .6 36 3 36 3 125 5 5 Logo, 125 5 .6 5
 b ) ;;81 3 3 3 .10 410 4 210 2 255 5 5 Logo, 81 9 .10 55
Nos pr—ximos exemplos, extrairemos fatores do radicando.
 c ) 50 2 5 2 5 2 5.2 25 ? 5 ? 5 ? Logo, 50 5 2 .5
 d ) 112 2 2 7 2 2 7 2 143 33 33 3 35 ? ? 5 ? ? 5 ? .. Logo, 112 2 14 .3 35
112 2
56 2
28 2
14 2
7 7
1
 e ) x y x y x x y y y xyy x y5 ? ? 5 ? ? ? ? ? ? 5 ? ? 532 2 2 2 2 25 73 5 5 73 3 2 3 2 3 33 2 23
xy x y52 42 23
Logo, x y xy x y532 2 4 .5 73 2 23
Redu•‹o de radicais ao mesmo ’ndice
Dados os radicais 2 e 56 4 , reduzi-los ao mesmo ’ndice significa determinar dois 
radicais, de mesmo ’ndice, o primeiro equivalente a 26 e o segundo equivalente a 5 .4
Como o mmc(6, 4) 5 12, fazemos:
2 e 5 2 e 5 41 26 2 1 34 3 212 312 133 33 ⇒ ⇒ 22 12e 125
Outros exemplos de redu•‹o ao mesmo ’ndice:
 a ) 3 e 205
 mmc(2, 5) 5 10
 ; ;
⇒3 e 20 243 e 400
10 2 1 10 5 1
510 210 10 10
3 3
 b ) 11 , 10 e 36 3
 mmc(6, 2, 3) 5 6
 11 , 10 e 3 11 , 1000 e 96 36 26 6 6 6⇒
Nœmeros reais e equa•›es30
SER_EF2_Matematica9_M1_C1_001_050.indd 30 18/09/15 09:13
Exerc’cios 
 49. Simplifique os radicais.
 a ) 3618 5 69 e ) 803 5 2 103
 b ) 12 5 2 3 f ) 1285 5 2 4
5
 c ) 324 5 2 24 g ) 180 5 6 5
 d ) 649 5 43 h ) 72915 5 95
 50. Reduza ao mesmo índice.
 a ) 2 e 58 10 
 b ) 3 e 23 5
 c ) 7 e 54 
d ) 3 e 76
8 
e ) 3 e 23 
 f ) 2 , 3 e 56 4 10 
 51. Calcule o valor de: 
 a ) 625 5 5 b ) 7293 5 3
 52. Calcule as raízes exatas.
 a ) 3 3753 5 15 c ) 1 2964 5 6
 b ) 5 625 5 75 d ) 219 6833 5 227
36 6 618 218 95 5 5 580 2 2 5 2 103 33 3⋅ ⋅
5 512 2 3 2 32 ⋅ 5 5128 2 2 2 45 5 25 5⋅
5 532 2 2 2 24 44 4⋅
⋅ ⋅180 2 3 5 6 52 25 5
64 2 2 49 69 23 35 5 5 729 3 3 915 615 25 55 5 5
32 e 62540 40
243 e 815 15
49 e 54 4
81 e 34324 24
27 e 46 6
2 , 3 e 51060 1560 660
 Para construir:
 Exercícios 49 a 54 (p. 31 e 32)
Números reais e equações 31
M
A
T
E
M
ç
T
IC
A
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Potências com expoente fracion‡rio
Usando as propriedades de pot•ncias e de radicais, podemos ampliar o conceito 
de pot•ncia, agora com frações no expoente. 
Veja estes exemplos e procure perceber o significado de pot•ncia com ex poente 
fracion‡rio.
 a ) 3 3 3 3 3 3 31
21
2
1
2
1
2
1
2
1
2
1
2)(5 5 5 ? 5 51 
 Então, 3 3
1
2 5 ou 3 3 312
1
2 5 5 .
 b ) Se 3 3
5
2 5 3 ,5 temos:
 3 3 3 3
5
2
1
2
5
5
5
5 5 5( ) ( ) 
 Então, 3 3 3
5
2 52 55 5 .
 c ) 5 5 5 5 5 5 5 53 13
1
3
1
3
1
3
3 1
3
1
3
1
33
1
3
3
3 1
35 5 5 5 5
1 1
? ? ( ) 
 Então, 5 5 5
1
3 13 35 5 .
 d ) 5 5 5 5
2
3
1
3
2
3 2 23
5 5 5( ) ( ) 
 Então, 5 5
2
3 235 .
 Generalizando:
Para todo nœmero real a . 0 e ,m
n
 com m e n inteiros e n . 1, temos: a aa a5a a
m
na ana am
n
a a
n
a a .
Observa•‹o: Se m
n
 for uma fração irredut’vel de denominador ’mpar, podemos ter a 
negativo.
Por exemplo: ( 8) 8
1
3 32 5 2 5 22.
Se necess‡rio, retome com os alunos as 
propriedades da potenciação.
53. Simplifique.
 a ) a b
2 3 5 ab b
 b ) x y z
4 3 53 5 xzy xz2
 c ) 
x y
xy
25 6 4
 5 x y xy5 2
 d ) x y16 4 63 5 xy x2 223
 54. Fatore e simplifique.
 a ) a ab b1 122 2 5 a 1 b b ) 
a a
a
2 16 92
2 5 
a
a
a ±
3 ( 0)2
Nœmeros reais e equações32
SER_EF2_Matematica9_M1_C1_001_050.indd 32 18/09/15 09:13
ÒIntroduçãoÓ de um fator no radicando
Analise os exemplos.
 a ) Se temos 3 7 3 7 ,2 ? 5 ent‹o, podemos escrever: 3 7 3 725 ? .
 b ) Se 3 3 ,55 55x x ent‹o, temos: 3 35 555x x .
 c ) Se 28 2 7 2 7 ,25 ? 5 ent‹o, temos: 2 7 2 7 2825 ? 5 .
De modo geral, escrevemos:
Para introduzir um fator externo no radicando, basta escrev•-lo com um 
expoente igual ao produto do ’ndice do radical pelo seu expoente.
Outros exemplos:
 d ) 3 5 3 5 4525 ? 5
 e ) 2 13 2 135 555 ?
 f ) 
2 23 6 3 23
5x y z x y z
 g ) 2 2 164
4 4 44 5 54
5 5xy xy x xy y x y
Vamos transformar a express‹o abaixo em um œnico radical:
3 23 33 36
5 ? 5 5 5x x x x x x x
Exercícios 
 55. Determine o radical correspondente a cada pot•ncia.
 a ) 6
1
4 5 6 614 45 c ) 110,222... 5 11 11 121
2
9 2
9 9
5 5 
 b ) 3
1 1
2 5 3 3 3 3
3
2 325 5 d ) 3
1
2
2
 5 1
3
1
312
5
 56. Escreva 643 na forma de pot•ncia:
 a ) de base 64: c ) de base 8: 
 b ) de base 2: d ) de base 4: 
 57. Escreva na forma de pot•ncia de base 10.
 a ) 100 000 5 105 d) 103 5 10 10
1
3 13( )
 b ) 0,001 5 1023 e) 1 000 5 10 10
3
2 3( )
 c ) 1
100
 5 1022 f) 0,015 5 10 10
2
5 25( )2 2
)(64 6413 13 )(8 823 23
2
6
3 ou 22 )( 263 4 33 ou 41 )( 433
 Para construir:
 Exerc’cios 55 a 57 (abaixo)
Números reais e equaç›es 33
M
A
T
E
M
ç
T
IC
A
SER_EF2_Matematica9_M1_C1_001_050.indd 33 18/09/15 09:13
Comparaç‹o de radicais
Observe os dois casos:
 1o) Radicais de mesmo ’ndice: basta comparar os radicandos.
 2o) Radicais de ’ndices diferentes: fazemos a redu•‹o ao mesmo ’ndice e depois apli-
camos o 1o caso.
7 53 3.a)
29 30,b)
5 104 6.
125 10012 12
c)
6
36 243
5
10 10
, 3d)
Veja alguns 
exemplos.
C
a
s
a
 d
e
 T
ip
o
s
/A
rq
u
iv
o
 d
a
 e
d
it
o
ra
Exerc’cios 
 60. Fa•a a compara•‹o dos radicais e complete com ., , ou 5.
 a ) 114 , 174
 b ) 39 , 53
 c ) 104 . 20010 
 d ) 96 5 33
 e ) 229 , 2315 
 f ) 303 , 20 
 61. Coloque os radicais 5 , 30 , 10 , 3 e 26 15 10 5 3 em ordem crescente. 3 , 30 , 10 , 2 , 5
5 15 10 3 6
 
100000 4000020 20.
9 96 65
32 2745 452 , 2
900 80006 6,
5 , 30 , 10 , 3 e 26 15 10 5 3
312530
b
 
b
90030
 
1 00030
b
 
b
72930
 
1 02430
b
Exerc’cios 
 58. Introduza o fator externo nos radicandos.
 a ) 2 8 5 2 8 322 ? 5
 b ) 3 10 5 3 10 902 ? 5
 c ) 3 23b a 5 3 273 3 23 3 23b a b a5
 d ) 38y y 5 8 38 118y y y5
 e ) 3 2 3x y xy 5 3 33 6 33 3 7 43x xy y x y5
 f ) 4 2 3 25a b ab 5 4 45 10 15 25 5 11 175a ab b a b5
 59. Transforme cada uma das express›es em um s— radical.
 a ) 237 y y 5 b ) 34 x x y 5 58 x y521 y
Agora vamos aprender a 
trabalhar com nœmeros na 
forma de radical e a fazer 
compara•›es com eles.
 Para construir:
 Exerc’cios 58 e 59 (abaixo)
 Para construir:
 Exerc’cios 60 e 61 (abaixo)
Números reais e equações34
SER_EF2_Matematica9_M1_C1_001_050.indd 34 18/09/15 09:14
Opera•›es com radicais
Multiplica•‹o e divis‹o
Se os ’ndices forem iguais, basta usar as propriedades dos radicais.
Exemplos:
 a ) 7 2 7 2 143 3 3 3? 5 ? 5
 b ) ; ;18 3 18 3 65 5
Se os ’ndices forem diferentes, devemos inicialmente reduzir os radicais ao mes-
mo ’ndice para depois efetuar as opera•›es.
Exercícios 
 62. Efetue as multiplica•›es e divis›es seguintes.
 a ) 5 27 7? 5 10
7
 b ) ;8 43
3
2 5 22
3
 c ) 10
2
 5 5
 d ) 5 210 4? 5 ? 5800 25 32 800
20 20 20 20( )
 e ) ;6 93 9 5 
( )24 216 9 249 9 9 9; 5
 f ) 7
73
 5 
7 343
49
6
6
6
 
 g ) 10 35 ? 5 ? 524300 100 243 24300
10 10 10 10( )
 h ) ;4 8
6 10 5 ( )2 1 024 51230 30 30;
 i ) ;6 3 104 6 3? 5 ( )240 000 216 9 10 00012 12 12 12; ?
Outros exemplos:
 c ) 2 3 8 9 724 6 12 12 12? 5 ? 5
 d ) 10 5 1 000 5 2006 6 6 65 5; ;
Em alguns casos usamos a propriedade distributiva.
 e ) 2 5 3 2 5 3 2 5 2 3? 1 5 ? 1 ? 5 ? 1 ?( ) 2 10 65 1
 f ) 3 2 2 5 2 3 2 5 3 2 2 21 ? 2 5 ? 2 ? 1 ?( ) ( ) 5 2 2? 2 ? 5
 5 2 1 22 15 6 2 10 2
 Lembre-se sempre das 
condi•›es de existência 
dos radicais envolvidos.
 Para construir:
 Exerc’cios 62 a 65 (p. 35 e 36)
Nœmeros reais e equa•›es 35
M
A
T
E
M
ç
T
IC
A
SER_EF2_Matematica9_M1_C1_001_050.indd 35 18/09/15 09:14
 63. Efetue as multiplicaç›es.
 a ) 2 3 3 2 5? ? 5 6 30
 b ) 2 2 3 3 33? ? 5 6 2 33 56 ?
 c ) 
34 24
? ?a a a 5 74 a
 d ) 
7 69 2 36
?a b a b 5 20 2118 a b
 64. Calcule o valor das express›es abaixo.
 a ) 8 2 5 2? 2( ) 5 2 40 42 b ) 5 2 5 2 21 ? 1( ) ( ) 5 9 3 101
 65. Efetue as divis›es.
 a ) ;10 2 5 5 c ) ;6 12 3 47 3a a 5 2 3 4a
 b ) ;23 3x y xy 5 d ) ;7 612 3 26x y x y 5 212 xy3 x
Adi•‹o e subtra•‹o
Dizemos que 9 3 e2 3 são radicais semelhantes: o índice e o radicando são 
iguais e os coeficientes podem ser ou não iguais.
Na adição e subtração s— podemos escrever o resultado em um s— radical se os 
termos forem semelhantes.
Veja os exemplos.
 a ) 9 3 2 3 3 (9 2) 11 31 5 1 5
 b ) 9 3 2 3 3 (9 2) 7 32 5 2 5
 c ) 4 5 5 (4 1) 5 5 53 3 3 31 5 1 5
 d ) 5 2 4 2 (5 4) 2 22 5 2 5
 e ) 3 6 2 6 5 65 5 51 5
 f ) 7 7 7 3 71 1 5
Veja agora exemplos em que 
os radicais podem ser transforma-
dos em radicais semelhantes, para 
depois ser efetuada a adição ou a 
subtração.
 a ) 12 27 2 3 3 3 2 3 3 3 5 32 21 5 ? 1 ? 5 1 5
 b ) 250 16 2 5 2 2 5 2 2 23 3 33 33 3 32 5 ? 2 ? 5 2 553 23
 c ) ;
;
7 49 7 7 7 7 2 74
2 2
4 2
1 5 1 5 1 5
 d ) ;
;
64 8 2 2 2 2 2 2 25 15 5
5 3 315 3 5 5 52 5 ? 2 5 2 5
Usamos aqui a 
propriedade distributiva 
da multiplica•‹o em 
rela•‹o ˆ adi•‹o e ˆ 
subtra•‹o.
H‡ casos de adi•‹o e subtra•‹o em 
que n‹o Ž poss’vel ÒjuntarÓ os radicais 
em um œnico radical. Por exemplo:
¥ 3 7 2 51
¥ 12 5 2 3 52 5 2
Aten•‹o! De modo geral, para 
a . 0, b . 0 e a Þ b, temos:
a b a b±1 1
a b a b±2 2
Nœmeros reais e equa•›es36
SER_EF2_Matematica9_M1_C1_001_050.indd 36 18/09/15 09:14
Exerc’cios 
 66. Efetue as adi•›es e as subtra•›es.
 a ) 9 11 4 111 5 13 11
 b ) 10 5 3 53 32 5 7 53
 c ) 3 5 4 5 51 2 5 6 5
 d ) 343 282 5 5 7 7 7 2 7( )2
 e ) 50 271 5 5 2 3 31
 f ) 3 7 4942 5 2 7 3 7 7( )2
 67. Calcule.
 a ) 25 4 161 2a a a 5 3 a b ) 2 34 43 43 431 1x y x x y y x y 5 (3 3 )2 3xy x xy1
 68. Qual destas adi•›es est‡ com o resultado correto?
a) 50 8 581 5 b) X 50 8 981 5 c) 50 8 961 5
 69. Determine o valor das express›es envolvendo radicais.
 a ) 2 1
9
16
36
? 1 5 4
3
ou 1 1
3
 c ) 2 27
64
8
64
3
32 5 
1
4
 b ) 3 1
49
4
49
? 2 5 1
7
 d ) 1
4
1
9
4
49
? 2 5 
5
42
2
1 5 55 2 2 2 7 2 98
 Para construir:
 Exerc’cios 66 a 69 (abaixo)
Nœmeros reais e equa•›es 37
M
A
T
E
M
ç
T
IC
A
SER_EF2_Matematica9_M1_C1_001_050.indd 37 18/09/15 09:14
Racionaliza•‹o de denominadores
No conjunto dos números reais, existem frações que apresentam um radical no 
denominador. Por exemplo, 
1
3
.
1
3
 Ž aproximadamente 
1
1,7320508
 ou 1 ; 1,7320508, um quociente dif’cil 
de calcular.
Multiplicando por 3 o numerador e o denominador de 
1
3
, encontraremos uma 
fraç‹o equivalente a 
1
3
, que vai facilitar o c‡lculo. Veja:
1
3
1 31 3
3 33 3
3
3
3
32
5 55 5 5
1 3?1 3
3 3?3 3
Lembre-se de que uma express‹o em forma de fraç‹o n‹o se altera quando 
multiplicamos ou dividimos o numerador e o denominador pelo mesmo número dife-
rente de zero.
Ent‹o, 
1
3
3
3
.5 A segunda fraç‹o n‹o apresenta número irracional no deno-
minador. Esse procedimento Ž chamado de racionaliza•‹o do denominador, ou seja, 
transformamos uma fraç‹o com denominador irracional em uma fraç‹o com denomi-
nador racional, sem alterar o valor da fraç‹o. Veja que Ž mais simples e mais r‡pido 
efetuar .
3
3
1, 7320508
3
5 1,7320508 ; 3 do que calcular 1 ; 1,7320508. Experi-
mente... sem a calculadora!
Os principais casos de fatoraç‹o s‹o:
1o caso: O denominador contŽm radical de ’ndice 2
Examine os exemplos.
 a ) 
2
7
2 7
7 7
2 7
7
2 7
72
5 5 5
?
?
 b ) 6
2 3
6 3
2 3 3
18
2 3
18
6
3 2
6
2
5
?
?
5
?
5 5 5
22
 c ) 9
15
9
15
3
15
3 15
15 15
3 15
152
5 5 5
?
?
5 5
33 15
15
15
5
5
2o caso: O denominador contŽm radical com ’ndice 
diferente de 2
Examine os exemplos.
 a ) 5
2
5 2
2 2
5 4
2
5 4
23
23
3 23
3
33
3
5
?
?
5 5
 b ) 2
2
2 2
2 2
2 2
2
2 2
225
35
25 35
35
55
35
5
?
?
5 5 5 52 83
5 5
 c ) 15
5
15 5
5 5
15 5
5
15 5
57
27
57 27
27
77
2
5
?
?
5 5
77
27 7
5
3 5 3 255 5
Nœmeros reais e equa•›es38
SER_EF2_Matematica9_M1_C1_001_050.indd 38 18/09/15 09:14
3o caso: O denominador contŽm uma soma ou uma 
diferen•a envolvendo raiz quadrada
Analise os exemplos e procure descobrir o processo.
Vamos usar aqui o produto da soma pela diferen•a dos mesmos termos, ou seja, 
(a 1 b) ? (a 2 b) 5 a2 2 b2.
 a ) 8
4 5
8 4 5
4 5 4 5
32 8 5
161
5
2
1 2
5
2( )
( )( ) 5
32 8 5
112
5
2
 b ) 3
7 2
3 7 2
7 2 7 2
21 6
72
5
1
2 1
5
1
2
( )
( )( ) 5
1
2
21 6
5
 c ) 1
3 2 2
1 3 2 2
3 2 2 3 2 2
3 2
2
5
1
2 1
5
1( )
( )( )
22
9 8
3 2 2
1
3 2 2
2
5
1
5 1
 d ) 
2
5
1
2 1
5
1
2
5
1
5
)(
) )( (
9
10 2
9 10 2
10 2 10 2
9 10 18
10 4
9 10 18
6
 5 1 5 13 3 10 6
6
3 10 6
2
( )
Quadro -resumo
Nœmero real: todo nœmero racional ou irracional.
Nœmero real racional: corresponde a um quociente de dois nœmeros inteiros, 
com o segundo nœmero diferente de zero.
Nœmero real irracional: aquele que tem a forma de nœmero decimal infinito e 
n‹o peri—dico.
Exemplos:
 a ) 16 16
1
2 5 5 4 Ž nœmero real racional 4 4
1
.5( )
 b ) 3 3
1
2 5 5 1,73205... Ž nœmero real irracional.
 c ) ( 9)
1
22 n‹o Ž nœmero real 29 .( )
 d ) 021 n‹o Ž nœmero real 1
0
.( )
 e ) 322 5 1
9
5 0,111... Ž nœmero real racional.
 f ) 2 1
2
2
2
1
2
2
5 5 5 0,7071067... Ž nœmero real irracional.
Neste capítulo, voc• 
estudou pot•ncias e raízes 
e viu que algumas 
indicam nœmeros 
reais e outras n‹o.
Nœmeros reais e equa•›es 39
M
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E
M
ç
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A
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Exerc’cios 
 70. Racionalize os denominadores de cada uma destas frações.
 a ) 1
5
 5 5
5
 b ) 7
7
 5 
7
1
 
ou 7
 c ) 3
11
 5 
3 11
11
 d ) 1 ,
a
 a . 0 5 a
a
 e ) ,
p
p
 p . 0 5 
1
p
 
ou p
 f ) 
3
259
 5 3 16
2
9
 g ) 2
3 2510
 5 32
3
10
 h ) 
610
a
a
 5 410 a
 71. Racionalize os denominadores de mais estas expressões.
 a ) 2
5 32
 5 5 2 6
22
1
 b ) 
2 3
5 12
 5 15 3
2
1
 d ) 
2
3 21
 5 6 22
 e ) 
11
3 5 2 31
 5 3 5 2 3
3
2
 72. Efetue as operações.
 a ) 
1
2
5
10
1 5 2 b ) 3
2 2
1
2 12
2
1
 5 8 2
2
1
2
5
12
5 3
5 2 6
22
2 3
5 1
2 15 2 3
4
15 3
22
5
1
5
1
2
3 2
6 2
1
6 2
1
5
2
5 2
11
3 5 2 3
33 5 22 3
331
5
2
5
3 5 2 3
3
2
1
2
5
10
2
2
50
10
2
2
5 2
10
2
2
2
2
2 2
2
2
1 5 1 5
5 1 5 1 5
5 5
3
2 2
1
2 12
2
1
5
 
6 3 2
2
2 1
1
1
2
2
5
6 3 2
2
2 2 2
2
5
1
2
2
5
6 3 2 2 2 2
2
8 2
2
5
1 2 2
5
1
 Para construir:
 Exerc’cios 70 a 76 (p. 40 e 41)
Nœmeros reais e equa•›es40
SER_EF2_Matematica9_M1_C1_001_050.indd 40 18/09/15 09:14
 73. Fa•a a compara•‹o, colocando ., , ou 5.
 a ) 
3
2
 , 5
5
 b ) 
3
3 51
 , 2
5 12
 74. Sabendo que 2 . 1,41, 3 . 1,73 e 5 . 2,24, racionalize os denominadores e depois determine o valor aproximado de:
 a ) 
2
3
 . 1,15333...
 b ) 3
2
 . 2,115
 c ) 
1
5
2
2
1 . 1,858
 d ) 2 5 1
3
2 . 3,91
 75. Qual das express›es tem valor maior: 3
5
 ou 4
6
? 4
6
 76. Racionalize o denominador da fra•‹o 4
3 2
.
2
 
 77. Projeto em equipe: procurando ra’zes e pot•ncias
 Montem uma exposi•‹o de cartazes. Em cada um, coloquem quatro ou cinco recortes de jornais e revistas que tenham números 
relacionados ao assunto deste cap’tulo.
Sugest›es para o t’tulo:
¥ Números de dois ou mais algarismos que têm raiz quadrada exata
¥ Números que elevados ao cubo resultam em uma potência entre 500 e 1 000
¥ Números que s‹o potências de 10
¥ Números escritos na nota•‹o cient’fica
→ → →3
2
3 2
2
15 2
10
450
10
 → 
5
5
5 5
5
→ →
10 5
10
500
10
→ → → → 3
2
5
5
,
→ → →3
3 5
9 3 5
4
9 45
41
2 2
 numerador fica entre 2 e 3.
→ → →2
5 1
2 5 2
4
20 2
42
1 1
 numerador fica entre 6 e 7.
3
3 5
2
5 11
,
2
2 3
3
3,46
3
1,1535. ou 1,5333...
. .
3 2
2
4,23
2
2,115
5
5
2
1
2,24
5
1 . 1 1,41 5 0,448 1 1,41 5 1,858
2 5 3
3
4,48
1,73
3
2 2 5. 4,48 2 0,57 5 3,91
2
5
1
2 1
5
1
2
5
14
3 2
4 3 2
3 2 3 2
12 4 2
3 2
12 4 2
72 2
( )
( )( ) ( )


 Use os algarismos 1, 2, 3, 4 e 5 de modo que um número formado por dois deles vezes o número formado por um deles 
resulte um número formado pelos outros dois. 
13 ? 4 5 52
Racioc’nio l—gico
 Para praticar:
 Tratamento da informa•‹o 
(p. 42 e 43)
Outros contextos (p. 44 a 46)
Praticando um pouco mais 
(p. 47 e 48) e 
Revis‹o cumulativa (p. 49 e 50)
 Para aprimorar:
 Exerc’cio 77 
Racioc’nio l—gico (abaixo)
Nœmeros reais e equa•›es 41
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Tratamento da informa•‹o
Quest›es de vestibulares e Enem
 78. (FGV -RJ) O gr‡fico seguinte apresenta os lucros (em milhares de reais) de uma empresa ao longo de 10 anos (ano 1, ano 2, atŽ ano 10).
20
0
40
60
80
100
120
140
1
80
40
30
60
50
90
70
120
35
10
2 3 4 5 6 7 8 9 10
Lucro
Ano
O ano em que o lucro ficou mais pr—ximo da mŽdia aritmŽtica dos 10 lucros anuais foi:
 a ) ano 2.
 b ) ano 3.
 c ) ano 4.
 d ) ano 5.
 e ) ano 9.
 79. (Enem) Uma enquete, realizada em mar•o de 2010, perguntava aos internautas se eles acreditavam que as atividades humanas pro-
vocam o aquecimento global. Eram tr•s as alternativas possíveis e 279 internautas responderam ˆ enquete, como mostra o gr‡fico.
8%
NÌO SEI AVALIARSIM
67%
25%
NÌO
20%
0
40%
60%
80%
ƒpoca. 619 ed., 29 mar. 2010. Adaptado.
Analisando os dados do gr‡fico, quantos internautas responderam ÒNÌOÓ ˆ enquete?
 a ) Menos de 23.
 b ) Mais de 23 e menos de 25.
 c ) Mais de 50 e menos de 75. 
 d ) Mais de 100 e menos de 190.
 e ) Mais de 200.
Me 5 
80 40 30 60 50 10 90 35 70 120
10
1 1 1 1 1 1 1 1 1
5 585
10
 5 58,5
A mŽdia dos 10 lucros anuais foi de 58,5 mil reais.
Ano mais pr—ximo: ano 4 (lucro de 60 mil reais).
X
X
(25% de 279 5 69,75)
42 Nœmeros reais e equa•›es
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 80. (Enem) Uma equipe de especialistas do centro meteorol—gico de uma cidade mediu a temperatura do ambiente, sempre no mesmo 
hor‡rio, durante 15 dias intercalados, a partir do primeiro dia de um m•s. Esse tipo de procedimento Ž frequente, uma vez que os 
dados coletados servem de refer•ncia para estudos e verifica•‹o de tend•ncias clim‡ticas ao longo dos meses e anos.
As medi•›es ocorridas nesse per’odo est‹o indicadas no quadro:
Dia do mês Temperatura (em 8C)
1 15,5
3 14
5 13,5
7 18
9 19,5
11 20
13 13,5
15 13,5
17 18
19 20
21 18,5
23 13,5
25 21,5
27 20
29 16
Em rela•‹o ˆ temperatura, os valores da mŽdia, mediana e moda s‹o, respectivamente, iguais a:
 a ) 17 8C, 17 8C e 13,5 8C.
 b ) 17 8C, 18 8C e 13,5 8C.
 c ) 17 8C, 13,5 8C e 18 8C.
 d ) 17 8C, 18 8C e 21,5 8C.
 e ) 17 8C, 13,5 8C e 21,5 8C.
MA 5 
? 1 1 1 1 ? 1 1 1 ? 1
5
4 13,5 14 15,5 16 2 18 18,5 19,5 3 20 21,5
15
 17
13,5; 13,5; 13,5; 13,5; 14; 15,5; 16; 18; 18; 18,5; 19,5; 20; 20; 20; 21,5 → Me 5 18
Como, no quadro, a medida de temperatura que mais aparece Ž 13,5 ¼C, temos Mo 5 13,5.
→
X
43Números reais e equações
M
A
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Outros contextos
 81. Dois números muito ÒgrandesÓ!
Dois dos maiores nœmeros que t•m nome s‹o o googol e o googolplex. 
Um googol vale 10100 e um googolplex vale 10googol. S‹o nœmeros incri-
velmente ÒgrandesÓ, j‡ que o googol Ž o 1 seguido de 100 zeros, e o 
googolplex Ž o 1 seguido de 1 googol de zeros.
Em 1938, o matem‡tico norte -americano Edward Kasner (1878 -1955) per-
guntou a seu sobrinho Milton Sirotta (1929 -1981), na Žpoca com 9 anos, qual 
nome ele daria a um nœmero muito ÒgrandeÓ Ð por exemplo, o 10100. O pe-
queno Milton grunhiu uma resposta que Kasner interpretou como ÒgoogolÓ.
Kasner queria mostrar a seu sobrinho que mesmo nœmeros grandes 
admitem nœmeros maiores do que eles. Por isso, assim que Milton deu 
nome ao 10100, Kasner disse: ÒPois eu conhe•o um nœmero maior do que 
esse, o googolplex; ele vale 10googolÓ. 
Agora, resolva as quest›es propostas.
 a ) Se alguŽm no mundo tivesse um googol de centavos de d—lar, quantos milh›es de d—lares ele possuiria? Indique sua resposta 
na forma de pot•ncia. 
1092 milh›es de d—lares
 b ) Que nœmero equivale ˆ raiz quadrada de um googol?
1050
 c ) Em muitos pa’ses, inclusive no Brasil, um centilh‹o Ž o nome do nœmero 10303. Que nœmero Ž maior: a raiz cœbica de um cen-
tilh‹o ou um googol? 
A raiz cœbica de um centilh‹o
10100 centavos 5 (10100 ? 0,01) d—lares 5 (10100 ? 1022) d—lares 5 1098 d—lares 5 (1092 ? 106) d—lares 5 1092 milh›es de d—lares ou (10100) centavos 5 
5 )( 10100100 d—lares 5 1098 d—lares 5 )( 101 000 00098 milh›es de d—lares 5 1092 milh›es de d—lares
10100 5 1050, pois (1050)2 5 10100
10 10 e 10 103033 101 101 1005 .
Logo, a raiz cœbica de um centilh‹o Ž maior do que um googol.
A
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to
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a
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s
c
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n
h
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c
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rq
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Edward Kasner
44 Números reais e equa•›es
SER_EF2_Matematica9_M1_C1_001_050.indd 44 18/09/15 09:14
 d ) Associe os valores correspondentes:
 A ) meio googol I ) 1098
 B ) 1% de googol II ) 2101 ? 5100
 C ) googol5 III ) 299 ? 5100
 D ) 2 googols IV ) 2100 ? 599
 E ) 20% de googol V ) 1020
 e ) Qual deve ser o valor de n para que googoln seja igual a 10 000? 
n 5 25
 82. Nota•‹o cient’fica
Laura estava lendo uma enciclopŽdia quando se deparou com o nœmero N 5 
5 816 ? 539. Como havia acabado de estudar nota•‹o cient’fica na aula de Ma-
tem‡tica, pensou: ÒComo ser‡ esse nœmero escrito em nota•‹o cient’fica?Ó.
Como voc• j‡ estudou em anos anteriores, nœmeros Òmuito grandesÓ e 
nœmeros Òmuito pequenosÓ costumam ser escritos em nota•‹o cient’fica, 
ou seja, na nota•‹o a ? 10n, em que 1 < a , 10 e n Ž um nœmero inteiro.
Considerando essa informa•‹o, resolva as quest›es a seguir.
 a ) Qual Ž a nota•‹o cient’fica do nœmero N 5 816 ? 539? 
5,12 ? 1041
 b ) Descreva como Ž o nœmero N escrito na nota•‹o usual, ou seja, com todos os seus algarismos.
512 seguido de 39 zeros
 c ) Calcule .3 N 
 
A2III; B2I; C2V; D2II; E2IV.
AÐIII: 10
2
2 5
2
2
2
100 100 100 100
1
5
?
5 ? 5100 5 299 ? 5100
BÐI: 1% de 10100 5 
10
100
10
10
100 100
2
5 5 10100 2 2 5 1098
CÐV: 10 101005
100
55 5 1020
DÐII: 2 ? 10100 5 2 ? 2100 ? 5100 5 2101 ? 5100
EÐIV: 20% de 10100 5 2 5
5
100 100
?
5 2100 ? 599
10 10 10 00010025 45 5
Logo, n 5 25.
N 5 816 ? 539 5 (23)16 ? 539 5 248 ? 539 5 29 ? 239 ? 539 5 29 ? (2 ? 5)39 5 512 ? 1039 5 5,12 ? 
? 102 ? 1039 5 5,12 ? 1041
N 5 512 ? 1039 5 512 000... 0
39 zeros
23 ? 1013 ou 
124 34
8000...0
13 zeros
 
512 10 2 10393 93 393? 5 ? 5 23 ? 1013 ou 80 000 000 000 000
Adolescente lendo.
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45Nœmeros reais e equa•›es
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 83. êndice de Desenvolvimento Humano (IDH)
O IDH (êndice de Desenvolvimento Humano) Ž um critŽrio que o Pnud (Pro-
grama das Na•›es Unidas para o Desenvolvimento), —rg‹o da ONU, utiliza para 
medir o n’vel de desenvolvimento dos pa’ses. ƒ representado por um valor nu-
mŽrico que varia de 0 a 1. Quanto mais pr—ximo de 1, mais desenvolvido Ž o pa’s.
Para calcular esse ’ndice, s‹o levadas em conta
tr•s condi•›es b‡sicas do 
desenvolvimento humano: uma vida longa e saud‡vel (longevidade, que corres-
ponde ˆ expectativa de vida ao nascer), acesso ao conhecimento (educa•‹o) e um 
padr‹o de vida digno (baseado na renda per capita).
AtŽ 2009, o Pnud calculava o IDH pela mŽdia aritmŽtica dos tr•s ’ndices, dada 
pela f—rmula IDH 5 
3
1 1L E R
 em que L corresponde ao ’ndice de longevidade, 
E ao ’ndice de educa•‹o e R ao ’ndice de renda. Os valores s‹o normalizados para 
que sejam todos compat’veis com uma escala de 0 a 1.
Ap—s rever algumas vari‡veis e conceitos, a partir de 2010 o Pnud passou a utilizar outra f—rmula para calcular 
o IDH dos pa’ses: IDH 5 .3 ? ?L E R
O Brasil, por exemplo, que em 2009 ocupava a 75a posi•‹o no ranking (entre 169 pa’ses), com IDH de 0,813, 
passou, em 2010, a ocupar a 73a posi•‹o, com IDH de 0,699. No ranking IDH Global 2013, a Noruega liderava, com 
IDH de 0,944, enquanto o œltimo pa’s da lista era o N’ger, com IDH de 0,337.
Veja alguns pa’ses e seus respectivos IDHs e posi•›es no ranking nesse ano.
Ranking do IDH
Posi•‹o Pa’s IDH 2013
2o Austr‡lia 0,933
3o Su’•a 0,917
5o Estados Unidos 0,914
41o Chile 0,822
41o Portugal 0,822
49o Argentina 0,808
79o Brasil 0,744
111o Paraguai 0,676
Fonte: Ranking IDH Global 2013. Dispon’vel em: <www.pnud.org.br/atlas/ranking/Ranking-IDH-Global-2013.aspx>. Acesso em: 12 maio 2015.
I) Considere determinado pa’s A que apresente os seguintes ’ndices:
¥ longevidade: 0,800; ¥ educa•‹o: 1,000; ¥ renda: 0,640.
Calcule o IDH desse pa’s utilizando o mŽtodo:
 a ) anterior a 2010; b ) a partir de 2010. 
II) Desafio! Um pa’s B possu’a, em 2013, um IDH de 0,338, e seu ’ndice de educa•‹o era o dobro do ’ndice de longevidade e o 
qu‡druplo do ’ndice de renda. Determine os ’ndices de educa•‹o, longevidade e renda desse pa’s. 
Estimule os alunos a conversar com o professor de Geografia para explorar mais este assunto.
Esta Ž uma introdu•‹o informal ˆs equa•›es irracionais, 
assunto que ser‡ visto no cap’tulo seguinte.
0,8 1 0,64
3
0,813
1 1
5
. 0,813
0,8 1 0,643 ? ? 5 0,800
0,800
Educa•‹o: 0,676; longevidade: 0,338; renda: 0,169.
E 5 2 ? L ⇒ L 5 
2
E E 5 4 ? R ⇒ R 5 
4
E
IDH 5 3 L E R? ? ⇒ IDH 5
2 4
3 E E E? ? ⇒ 0,338
8
3
3 E5 ⇒ 0,338 5 
2
E ⇒ E 5 0,676
L 5 
0,676
2
5 0,338; R 5 
0,676
4
5 0,169
Leonard Zhukovky/Shutterstock/Glow Images
Edif’cio -sede das Na•›es Unidas, em 
Manhattan, Nova York. Foto de 2014.
Números reais e equa•›es46
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Praticando um pouco mais
 1. (Cesgranrio-RJ) A representa•‹o decimal de 0,01³ Ž: 
 a ) 0,03. c ) 0,0001. e ) 0,0000001.
 b ) 0,001. d ) 0,000001.
 2. (UnB-DF Ð Adaptado) O valor de (525) Ž:
 a ) 5225. c ) (225)5. e ) 3 125.
 b ) 2 1
125
. d ) 1
3125
.
 3. (UFV-MG) O valor da express‹o numŽrica 2
3
8
2
3


 2 2 Ž uma fra•‹o cujo numerador Ž:
 a ) 26 b ) 22 c ) 18 d ) 14
 4. (UFV-MG) Numa Gincana de Matem‡tica foi proposto aos alunos Anselmo e Gabriela determinar o valor da express‹o 
numŽrica P(n) 5 2 1 (21)n 1 (22)n 1 (23)n para certos valores de n. Para n 5 21, Anselmo obteve 8 como resposta, e, 
para n 5 2, Gabriela obteve 16. Segundo a comiss‹o avaliadora:
 a ) ambos erraram.
 b ) apenas Anselmo acertou.
 c ) ambos acertaram.
 d ) apenas Gabriela acertou.
 5. (PUC-MG) A express‹o 
0,3 1
4
1
0,036 0,04
3
2
2
1 Ž igual a:
 a ) 0,45 b ) 0,65 c ) 0,75 d ) 0,85
 6. (Uespi) O valor da express‹o 7 4 3 7 4 31 ? 2 Ž:
 a ) um irracional negativo.
 b ) um irracional positivo.
 c ) um racional negativo.
 d ) igual a 1.
 e ) um inteiro positivo, maior que 1.
X 
X 
4
9
( 2) 4
9
2 22
9
2 2 5 1 5
X 
P(21) 5 2 1 (21)21 1 (22)21 1 (23)21 5 2 1 )( 11 12 1 )( 12 12 1 )( 13 12 5 2 2 1 2 12 2 13 5 16
P (2) 5 2 1 (21)2 1 (22)2 1 (23)2 5 2 1 1 1 4 1 9 5 16
X 
, ,
,
,
,
0 3 0 25
1
0 9
0 05
1
0 9
2
2
1 5
2
1 5 20,05 1 0,9 5 0,85
X 
X 
7 4 3 7 4 3 7 4 32
2
1 2 5 2 5( )( ) ( ) 49 16 3 49 48 1 15 2 ? 5 2 5 5
Nœmeros reais e equações 47
M
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47Nœmeros reais e equações
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 7. (UFPE) Simplificando 2 2
10
31 33
3 1 obtemos:
 a ) 27. c ) 29. e ) 211.
 b ) 28. d ) 210.
 8. (Unifor-CE Ð Adaptado) Um nœmero expresso na nota•‹o cient’fica Ž escrito como o produto de dois nœmeros reais: um deles, 
um nœmero decimal de 1 a 10, exclu’do o 10, e o outro, uma pot•ncia de 10. Assim, por exemplo, a nota•‹o cient’fica do nœmero 
0,000714 Ž 7,14 ? 10Ð4. De acordo com essa informa•‹o, a nota•‹o cient’fica do nœmero 
0,000243 0,0050
0,036 7,5
5
?
?
N Ž:
 a ) 40,5 ? 10Ð5.
 b ) 45 ? 10Ð5.
 c ) 4,05 ? 10Ð6.
 d ) 4,5 ? 10Ð6.
 e ) 4,05 ? 10Ð7.
 9. (PUCC-SP) A capacidade de processar dados na internet aumenta vertiginosamente. O Google processa um petabyte de infor-
ma•›es digitais a cada 72 minutos. Trata-se de um volume descomunal de dados. Cada petabyte contŽm um quatrilh‹o de bytes. 
Muita coisa? Nem tanto. N‹o chegamos ao exabyte (1018 bytes), zettabyte (1021 bytes), yottabyte (1024 bytes)... ainda.
Adaptado: Veja Especial - Tecnologia, Ano 41 (2078), Setembro/2008. S‹o Paulo: Abril. p. 27.
Com base nas informa•›es do texto, Ž correto afirmar que: 
 a ) a centŽsima parte de 1 exabyte Ž igual a 1 petabyte.
 b ) 1 zettabyte Ž igual a 100 000 petabytes.
 c ) 1 yottabyte Ž igual a 10 000 zettabytes.
 d ) 1 yottabyte Ž igual a 1 bilh‹o de petabytes.
 e ) 1 exabyte Ž igual a milŽsima parte de 1 yottabyte.
 10. (Unimontes-MG Ð Adaptado) Considere dois nœmeros naturais x 5 2a ? 3b e y 5 2a ? 3c. Podemos afirmar:
 a ) x ? y Ž sempre um nœmero ’mpar.
 b ) se x e y possuem o mesmo nœmero de divisores, ent‹o b 5 c.
 c ) x 1 y Ž sempre um nœmero ’mpar.
 d ) mesmo que x Þ y, eles podem possuir o mesmo nœmero de divisores.
2 2 2
10
2 10
10
2 2
30 3
3
30
3 303 10
( )1
5
?
5 5
X 
2 2
2
2
2
2
2
2 2
⋅ ⋅ ⋅
⋅ ⋅
⋅
⋅
⋅
⋅ ⋅
2 43 10 5 10
3 6 10 7 5
12 15 10
27 10
0 45 10
10
0 45 10 4 5 10
4 3
2
7
2
7
2
5 6N 5 5 5 5 5
,
, ,
, ,
, ,
X 
(1 petabyte 5 1015 bytes; 1024 : 1015 5 109 5 1 bilh‹o)
X 
X 
Números reais e equações48
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Revisão cumulativa
 1. Qual Ž a rela•‹o correta que envolve os conjuntos numŽricos?
 a ) Z , Q , N , R
 b ) N , Z , Q , R
 c ) R , Q , Z , N
 d ) N , Q , Z , R
 2. A express‹o 
3 3
3
1
1
2
1
2
x x
x
 tem valor igual a:
 a ) 5
 b ) 6
 c ) 8
 d ) 9
 3. (Fuvest -SP) 
2 2
10
28 30
3
1
 Ž igual a:
 a ) 
2
5
8
 d ) 29
 b ) 
2
5
9
 e ) )( 21058 13
 c ) 28
 4. Cada item indicado com letra minœscula tem um correspondente com letra maiœscula. Determine os correspondentes. 
 a ) 12 2431 A) 6
 b ) 8 81 B) 2 15
 c ) 
6
6
 C) 32
 d ) 6 10? D) 11 3
 5. Se forem usados os nœmeros 2, 5 e 6 para o numerador e o denominador de uma fra•‹o, repetidos ou n‹o, responda:
 a ) Quantas e quais fra•›es podem ser formadas? 
 b ) Sorteando uma dessas fra•›es, qual Ž a probabilidade de ser:
¥ menor do que 1? ¥ fra•‹o aparente? ¥ fra•‹o com valor entre 1 e 2? 
 6. Assinale qual Ž a alternativa que n‹o Ž v‡lida para todos os losangos.
 a ) As diagonais s‹o perpendiculares.
 b ) As diagonais se cortam ao meio.
 c ) As diagonais s‹o congruentes.
 d ) As diagonais est‹o sobre as bissetrizes dos ‰ngulos internos.
X
X
X
a-D; b-C; c-A; d-B.
9 fra•›es: 
2
2
,
2
5
, 2
6
, 5
2
, 5
5
, 5
6
, 6
2
, 6
5
, 6
6
)( →13 25 , 26 , 56 , 3 em9 39 135 )( →49 22 , 55 , 62 , 66 ; 4 em9 49 )( →19 65 ; 1 em9 19
X 
49Números reais e equa•›es
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 7. Arredondamentos, c‡lculo mental e resultado aproximado
Se a medida do volume de um cubo Ž aproximadamente 26,97 cm3, ent‹o qual destes Ž o valor mais pr—ximo da ‡rea de cada 
face desse cubo: 7 cm2, 9 cm2 ou 11 cm2? 
 8. Observe o gr‡fico e responda ao que se pede.
Distribui•‹o da ‡rea total do Brasil por regi›es - 2012
Regi‹o Norte
Regi‹o Nordeste
Regi‹o Sudeste
Regi‹o Centro-Oeste
Regi‹o Sul
45,25%
18,25%
10,86%
18,86%
6,77%
Fonte: Brasil em nœmeros. IBGE. Vol. 22. 2014. Dispon’vel em: 
<http://biblioteca.ibge.gov.br/visualizacao/periodicos/2/bn_2014_v22.pdf>. 
Acesso em: 12 maio 2015.
 a ) Que tipo de gr‡fico Ž esse? 
Gr‡fico de setores.
 b ) A que assunto se refere? 
Distribui•‹o da ‡rea total do Brasil por regi›es Ð 2012.
 c ) Qual Ž a fonte dessa pesquisa? 
Brasil em nœmeros. IBGE. Vol. 22. 2014.
 d ) Segundo os dados da pesquisa realizada, qual regi‹o apresentava maior ‡rea no Brasil em 2012?
A regi‹o Norte.
 9. Analise as afirma•›es.
¥ 3 9
2
3 3
5
¥ 5
5
5
1
2
2
5
¥ 4
0,222... 5 169
¥ ( 25)
1
2
2 5 25 
Entre elas, quantas s‹o verdadeiras? Assinale a alternativa correta.
 a ) As quatro. b ) Somente tr•s. c ) Somente duas. d ) Nenhuma.
 10. O resultado de 2 2 421 fica entre:
 a ) 21 e 0. b ) 0 e 1. c ) 1 e 2. d ) 2 e 3.
9 cm2 (a3 . 27 ⇒ a . 3 ⇒ a2 . 32 5 9)
V
V
V
F
X
X
Nœmeros reais e equa•›es50
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Equações e 
sistemas de 
equações 
do 2º- grau2
 Capítulo
1 Introdução
Ao longo da história da Matemática, vários povos deram importantes contribuições 
ao desenvolvimento dessa ciência: egípcios, babilônios, gregos, romanos, hindus, ára-
bes e muitos outros.
Os babilônios, por exemplo, tiveram um importante papel na construção de cam-
pos da Matemática como a Álgebra e a Geometria. Os conhecimentos matemáticos 
dessa civilização que habitou a antiga Mesopotâmia foram extremamente valiosos 
para que ela se desenvolvesse e prosperasse na agricultura, arquitetura e astronomia. 
Esses conhecimentos eram aplicados em várias situações, desde o cálculo dos dias, 
meses e anos até a construção de templos e palácios.
Villorejo/Shutterstock/Glow Images
Reconstrução do Portal de Ishtar, no Museu de Pérgamo, 
em Berlim, Alemanha. Uma das maravilhas arquitetônicas 
do povo babilônio, construída em 600 a.C. em homenagem 
à deusa Ishtar. Essa construção revela o domínio de vários 
conhecimentos matemáticos. Foto de 2013.
51
 Objetivos:
• Reconhecer uma equação do 
2o grau com uma incógnita e 
seus coeficientes.
• Resolver equações do 
2o grau.
• Retomar e ampliar o estudo 
da fatoração de expressões 
algébricas.
• Usar equação do 2o grau na 
resolução de outros tipos de 
equação, de situações e de 
situações-problema.
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L
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In
g
la
te
rr
a
Entre os vários documentos que os babilônios deixaram, há um antigo texto 
de problemas matemáticos, escrito em argila (veja fotografia abaixo), que apresen-
ta o seguinte problema:
Quanto mede o lado de uma região quadrada se a 
área dessa região menos a medida do lado é igual a 870?
Passando da linguagem usual para a linguagem algébrica, a solução desse pro-
blema equivale a resolver a equação x2 2 x 5 870, que também pode ser escrita da 
seguinte forma:
x
2 2 x 2 870 5 0
A equação acima, 
como você já estudou, é chamada 
de equação do 2o grau. Os 
babilônios foram um dos primeiros 
povos a registrar e resolver situações 
que envolvessem equações 
desse tipo.
Neste capítulo você vai resolver situações em que aparecem equa-
ções ou sistemas com equações do 2o grau.
Essa situação será retomada na página 79 para o aluno resolvê -la 
com os conhecimentos adquiridos no capítulo.
Placa de argila 13 901, guardada no Museu Britânico, em Londres, 
Inglaterra. O primeiro problema dessa placa, registrado em escrita 
cuneiforme, corresponde ao problema citado no texto.
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Ilustração artística representando homem 
babilônico.
Números reais e equações52
SER_EF2_Matematica9_M1_C2_051_112.indd 52 18/09/15 09:11
2 Grau de uma equação 
com uma incógnita
Você já estudou: equação é toda igualdade que contém letras que representam 
números desconhecidos, chamados de incógnitas.
Por exemplo:
• 3x 2 1 5 14 é uma equação de incógnita x.
• x2 1 y 5 5 é uma equação de incógnitas x e y.
• 2x 1 5 , 3 não é equação, é uma inequação. Nela aparece uma desigualdade, e não 
uma igualdade.
• 1 1 1 5 2 não é equação. É uma igualdade que não contém incógnita.
Depois de reduzidos os termos semelhantes, quando todos os expoentes da 
incógnita forem números naturais, o maior desses expoentes é que determinará o grau 
de uma equação com uma incógnita.
Examine estas equações com uma incógnita e seus respectivos nomes:
 a ) 2x 1 5 5 13 e 
x x
1 5
x x
1 5
x x
1 5
x x
1 5
x x
2
x x5x x51 551 5x x1 55x x51 5
3 são equações do 1
o grau.
 b ) x2 1 1 5 10 e x2 2 2x 1 1 5 0 são equações do 2o grau.
 c ) 2x3 5 16 e x3 1 x2 1 2x 2 3 5 0 são equações do 3o grau.
Exercícios 
 1. Marque apenas as equações. Em cada uma delas, indique as incógnitas.
 a ) X x 1 3 5 y 2 1
 b ) 4 1 2 5 5 1 1
 c ) 3x 2 1 < y
 d ) X x2 1 x 5 7
 e ) X 1 3
1
5
2x x
 f ) X 2(y 2 1) 5 y
 2. Indique o grau de cada equação abaixo (inicialmente reduza os termos semelhantes).
 a ) x(x 2 8) 5 x2 2 4x
 b ) 5x3 1 3x2 2 7x 1 8 5 0
 c ) (3x 2 2)2 5 x2 2 12x
 d ) x4 2 6x2 5 10
 e ) 5x2 2 6x 1 4 5 2(2 2 3x)
 f ) (3x 2 5)(3x 1 5) 5 (x 1 1)(x 2 3)
Incógnitas: x e y.
Incógnita: x.
Incógnita: x.
Incógnita: y.
1o grau (4x 5 0)
3o grau
2o grau (8x2 1 4 5 0)
4o grau (x4 2 6x2 2 10 5 0)
2o grau (5x2 5 0)
2o grau (8x2 1 2x 2 22 5 0)
Você sabe o que 
define o grau de uma 
equação?
Grau: 
Grau: 
Grau: 
Grau: 
Grau: 
Grau: 
 Para construir:
 Exercícios 1 e 2 (abaixo)
Números reais e equações 53
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3 Equações do 2o grau
Examine a seguinte situação -problema.
Um terreno de forma retangular será dividido em 
dois terrenos quadrados iguais. Se a área do terreno re-
tangular é de 162 m2, qual será a medida do lado de cada 
terreno quadrado?
Observe as indicações:
• Medida do lado de cada quadrado: x.
• Área de cada uma das regiões quadradas: x2.
• Área do terreno retangular: 2x2 5 162.
2x2 5 162 é um exemplo de equação do 2o grau 
com uma incógnita. Sua resolução nos fornece o va-
lor de x, que indica a medida do lado de cada terreno 
quadrado.
Forma da equação do 2o grau
Toda equação com uma incógnita que pode ser escrita na forma ax2 1 bx 1 c 5 0, 
com a, b e c números reais e a Þ 0, é chamada de equação do 2o grau.
A igualdade ax2 1 bx 1 c 5 0 é chamada de forma geral ou forma reduzida da 
equação do 2o grau, em que os números a, b e c são os coeficientes da equação, e x é 
a incógnita.
Nos exemplos vistos, temos:
• x
2 2 x 2 870 5 0 é uma equação do 2o grau com incógnita x.
Seus
coeficientes são a 5 1, b 5 21 e c 5 2870.
• 2x2 5 162 é equação do 2o grau, pois pode ser escrita na forma geral 2x2 2 162 5 0 
ou, ainda, 2x2 1 0x 2 162 5 0.
Seus coeficientes são a 5 2, b 5 0 e c 5 2162.
Observação: o coeficiente a é diferente de zero para garantir a presença do termo 
ax2, que é do 2o grau.
Outros exemplos de equação do 2o grau:
 a ) 3x2 1 x 1 15 5 0; a 5 3, b 5 1 e c 5 15.
b ) y2 2 3y 1 7 5 0; a 5 1, b 5 23 e c 5 7.
 c ) 4x2 2 x 5 0; a 5 4, b 5 21 e c 5 0.
d ) x2 2 25 5 0; a 5 1, b 5 0 e c 5 225.
e ) 8 1 x2 2 6x 5 0; a 5 1, b 5 26 e c 5 8.
x
x
162 m2
Modelo matemático
O a é o coeficiente de x2,
 o b é o coeficiente de x e o c é o 
termo independente.
Números reais e equações54
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Equações completas e equações incompletas
Na equação ax2 1 bx 1 c 5 0, quando, além de a Þ 0, temos b Þ 0 e c Þ 0, dizemos 
que a equação do 2o grau é completa. Se pelo menos um dos coeficientes b e c é nulo, 
dizemos que a equação do 2o grau é incompleta.
Exemplos:
 a ) Equações do 2o grau completas:
• 3x2 1 x 1 8 5 0 
(a 5 3; b 5 1; c 5 8)
• 2y2 1 3y 2 2 5 0
(a 5 21; b 5 3; c 5 22)
 b ) Equações do 2o grau incompletas:
• 5x2 5 0
(a 5 5; b 5 0; c 5 0)
• 3x2 2 2x 5 0
(a 5 3; b 5 22; c 5 0)
• 24x2 1 10 5 0
(a 5 24; b 5 0; c 5 10)
Exercícios 
 3. Assinale as equações do 2o grau.
a) X 3x2 2 5x 1 8 5 0 
b) 0x2 2 5x 1 6 5 0
c) 2x 1 10 5 0
d) X 22x 2 5 1 x2 5 0
e) X 3x2 2 1 5 0
f) X x2 1 5x 5 0
g) x
x x
2
2
5 1
2
4
5
6
1
2( 5)
3
h) X (y 1 3)(y 2 1) 5 4
i) X 3t2 5 81
j) X (x 2 2)2 5 49
k) X kx2 1 k 5 0 (k Þ 0)
l) mx 1 3 5 0 (m Þ 0)
(25x 1 6 5 0)
(x2 2 2x 2 5 5 0)
(7x 238 5 0)
(y2 1 2y 27 5 0)
(3t2 2 81 5 0)
(x2 2 4x 2 45 5 0)
 Para construir:
 Exercícios 3 a 7 (p. 55 a 57)
Números reais e equações 55
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 4. Examine a região retangular abaixo. O perímetro do retângulo é de 16 cm e a área da região retangular é de 15 cm2.
x 1 3
x 1 1
Faça o que se pede a seguir.
 a ) Escreva uma equação tomando como base o perímetro.
 b ) Agora, escreva uma equação tendo por base a área da região retangular.
 c ) Qual das equações é do 2o grau? Por quê?
 d ) Resolva a equação do 1o grau e determine a medida das dimensões desse retângulo.
 5. Qual deve ser o valor de m para que a equação mx2 2 3x 1 4 5 0 seja do 2o grau? 
2(x 1 3) 1 2(x 1 1) 5 16 ou 4x 1 8 5 16 ou 
2x 1 4 5 8 ou x 1 2 5 4
(x 1 3)(x 1 1) 5 15
(x 1 3)(x 1 1) 5 15, porque (x 1 3)(x 1 1) 5 15 ou x2 1 x 1 3x 1 3 5 15 ou x2 1 4x 2 12 5 0 (equação do 2o grau)
5 cm e 3 cm (x 1 2 5 4 ⇒ x 5 2)
m Þ 0; qualquer número real diferente de zero.
(x 1 3)(x 2 3) 5 5x 2 9 ⇒ x2 2 9 5 5x 2 9 ⇒ 
⇒ x2 2 5x 5 0
a 5 1; b 5 25; c 5 0.
Equação do 2o grau incompleta.
Nœmeros reais e equa•›es56
SER_EF2_Matematica9_M1_C2_051_112.indd 56 18/09/15 09:11
 6. Das equações abaixo, há cinco que são do 2o grau. Assinale quais são, indique seus coeficientes quando escritas na forma geral 
e escreva se são completas ou incompletas.
 a ) X (x 1 3)(x 2 3) 5 5x 2 9
 b ) x2(x 1 2) 5 0
 c ) X 3t2 2 3t 5 21
 d ) X 
3
( 1)
2
2
2z z z 5 1
 e ) X (y 2 2)(y 2 4) 5 (3y 2 1)2
 f ) x2 1 x(1 2 x) 1 5 5 0
 g ) X kx2 5 22kx 2 1 (k Þ 0)
 7. Escreva as equações do 2o grau de cada item na forma geral ax2 1 bx 1 c 5 0, sabendo que:
 a ) a 5 1, b 5 5 e c 5 24; 
 b ) a 5 3, b 5 0 e c 5 0; 
 c ) a 5 1
3
, b 5 3 e c 5 21.
(x 1 3)(x 2 3) 5 5x 2 9 ⇒ x2 2 9 5 5x 2 9 ⇒ 
⇒ x2 2 5x 5 0
a 5 1; b 5 25; c 5 0.
Equação do 2o grau incompleta.
x2(x 1 2) 5 0 ⇒ x3 1 2x2 5 0
Não é equação do 2o grau.
3t2 2 3t 5 21 ⇒ 3t2 2 3t 1 1 5 0
a 5 3; b 5 23; c 5 1.
Equação do 2o grau completa.
z z z
2
2
3
( 1)
2
 5 1 ⇒ 2z 2 3z(z 2 1) 5 6 ⇒ 
⇒ 2z 2 3z2 1 3z 2 6 5 0 ⇒ 23z2 1 5z 2 6 5 0
a 5 23; b 5 5 e c 5 26
Equação do 2o grau completa.
(y 2 2)(y 2 4) 5 (3y 2 1)2 ⇒ 
⇒ y2 2 4y 2 2y 1 8 5 9y2 2 6y 1 1 ⇒
⇒ 28y2 1 7 5 0
a 5 28; b 5 0; c 5 7.
Equação do 2o grau incompleta.
x2 1 x(1 2 x) 1 5 5 0 ⇒ x2 1 x 2 x2 1 5 5 0 ⇒ ⇒ x 1 5 5 0
Não é equação do 2o grau.
kx2 5 22kx 2 1 ⇒ kx2 1 2kx 1 1 5 0
a 5 k; b 5 2k e c 5 1
Equação do 2o grau completa.
x2 1 5x 2 4 5 0
3x2 5 0
x1
3
2
 1 x3 2 1 5 0
Números reais e equações 57
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Raízes ou soluções de uma 
equação do 2o grau
Lembra -se? Resolver uma equação é encontrar as suas raízes ou soluções.
Raiz ou solução de uma equação com uma incógnita é o valor que, atribuído à in-
cógnita, torna a sentença matemática verdadeira.
Por exemplo, as raízes ou soluções da equação do 2o grau x2 2 5x 1 6 5 0 são 
2 e 3, pois esses valores são os números que tornam a sentença verdadeira. Indicamos 
as raízes assim: x9 5 2 e x0 5 3.
Veja:
¥ Substituindo x por 2:
22 2 5 ? 2 1 6 5 0
4 2 10 1 6 5 0
0 5 0
 Logo, x 5 2 é solução da equação 
x2 2 5x 1 6 5 0.
¥ Substituindo x por 3:
32 2 5 ? 3 1 6 5 0
9 2 15 1 6 5 0
0 5 0
 Portanto, x 5 3 é solução da equação 
x2 2 5x 1 6 5 0.
Já x 5 4, por exemplo, não é solução ou raiz da equação x2 2 2x 1 1 5 0, pois 
42 2 2 ? 4 1 1 5 16 2 8 1 1 5 9. E, é claro, 9 Þ 0.
Exerc’cios 
 8. Verifique e responda.
 a ) 2 é raiz da equação t2 2 2t 1 1 5 0? Não.
 b ) Existe raiz real da equação y2 1 9 5 0? Não.
 c ) 
4
5
 é raiz da equação 5x2 5 8x 2 16
5
? Sim.
 d ) 24 e 4 são raízes da equação p2 5 16? Sim.
Não, pois 22 2 2 ? 2 1 1 5 4 2 4 1 1 5 1 e 1 ? 0.
Não, pois y2 1 9 5 0 ⇒ y2 5 29.
Não há número real que elevado ao quadrado 
resulte 29.
Sim, pois (24)2 5 16 e (4)2 5 16.
Boa pergunta. Pensando nos 
números reais, existe sim. Por exemplo: 
x
2 5 24 não tem solução ou raiz real, 
pois não existe número real que elevado 
ao quadrado resulte 24.
Existe equação do 2o grau 
sem solução?
 Observação: Números como 24 fazem parte do conjunto dos números comple-
xos, C, que é uma extensão do conjunto dos números reais, R, e que será estudado 
no Ensino Médio.
⇒? 5 ? 25 16
25
8 4
5
16
5
 ⇒ ⇒5 2 516
5
32
5
16
5
16
5
16
5
 Para construir:
 Exercícios 8 a 11 (p. 58 e 59)
Nœmeros reais e equa•›es58
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 9. Invente uma equação do 2o grau que tenha o número 10 como raiz ou solução. Passe para um colega conferir enquanto você 
confere a dele.
 10. Associe cada equação do 2o grau às suas respectivas raízes.
 a ) x2 2 3x 1 2 5 0 I ) raízes 3 e 4
 b ) y2 2 7y 1 12 5 0 II ) raízes 21 e 6
 c ) x2 2 5x 2 6 5 0 III ) raízes 22 e 24
 d ) t2 1 6t 1 8 5 0 IV ) raízes 1 e 2
 11. Verifique se x 5 3 e x 5 5 são raízes da equação x2 2 3 51( )x 1 3 5 5 0. 
Resposta pessoal. Exemplos: x2 5 100; x2 2 70 5 30; x2 1 x 5 110.
a -IV; b -I; c -II; d -III.
 Sim.
x2 2 )( 13 5 x 1 3 5 5 0
• x 5 3
32 2 )( 13 5 ? 3 1 3 5 5 9 2 9 2 3 5 1 3 5 5 0
• x 5 5
)( 5 2 2 )( 13 5 ? 5 1 3 5 5 5 2 3 5 2 5 1 3 5 5 0
Logo, x 5 3 e x 5 5 são raízes da equação dada.
Resolução de equações incompletas 
do 2o grau com uma inc—gnita
Até agora, aprendemos o que é raiz 
ou solução de uma equação do 2o grau com uma 
incógnita e aprendemos a verificar se um número é 
ou não raiz de uma equação dada. Mas como 
fazer para encontrar as raízes? É o que 
vamos estudar agora.
Vamos estudar métodos de resolução de equações do 2o grau incompletas 
separando em casos, de acordo com os coeficientes nulos que a equação tiver.
Números reais e equações 59
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59 18/09/15 09:11
1o caso: equações do tipo ax2 1 c 5 0, com a Þ 0 
e c Þ 0
Neste caso, temos ax2 1 bx 1 c 5 0, com a Þ 0, b 5 0 e c Þ 0, ou seja, ax2 1 c 5 0.
Considere a seguinte situação:
Qual é a medida de cada lado de uma região quadrada com área de 144 cm2?
Observe a figura à esquerda, na qual , indica a medida do lado.
Podemos escrever ,2 5 144, que é uma equação do 2o grau incompleta com 
b 5 0 e c Þ 0, pois corresponde a ,2 2 144 5 0 (a 5 1, b 5 0 e c 5 2144).
Veja sua resolução:
,2 2 144 5 0
 ,2 5 144
 , 5 6 144
 , 5 612
Há outra maneira de resolver a equação ,2 2 144 5 0. Podemos fatorar essa 
expressão ,2 2 144, que é uma diferença entre dois quadrados:
(, 2 12)(, 1 12) 5 0
Para que o produto seja zero, um dos fatores precisa ser zero:
• se , 2 12 5 0, então , 5 12;
• se , 1 12 5 0, então , 5 212.
Assim, , 5 12 ou , 5 212.
Esteja atento na utilização do ou e do e na resposta.
Podemos dizer , 5 112 ou , 5 212, e podemos também dizer que as raízes são 
,9 5 112 e ,0 5 212.
Como , indica medida de comprimento, desprezamos o valor negativo e 
ficamos apenas com o valor , 5 12.
Então, cada lado dessa região quadrada mede 12 cm.
Veja mais alguns exemplos de resolução de equações do 2o grau incompletas:
3x2 2 36 5 0
 3x2 5 36
 x2 5 36
3
 x2 5 12
 x 5 6 12
 x 5 6 22 ? 3
 x 5 62 32 3
Raízes: x9 5 22 32 3 e x0 5 2 32 3 .
 
5x2 1 45 5 0
 5x2 5 245
 x2 5 45
5
2
 x2 5 29
 x 5 6 92
Não existe número real para x, ou 
seja, a equação dada não tem 
raiz real.
Acompanhe como resolver a seguinte situação de duas maneiras diferentes.
,
,
Números reais e equações60
SER_EF2_Matematica9_M1_C2_051_112.indd 60 18/09/15 09:11
Exercícios 
 12. Resolva as equações incompletas abaixo usando números reais.
 a ) 4x2 2 100 5 0 c ) 22x2 1 64 5 0 e ) 3
4
7
6
2 2
5
1x x 
 b ) 3x2 1 48 5 0 d ) x(x 2 2) 5 1 2 2x f ) 2x2 2 2 450 5 0 
 13. Resolva mais estas equações.
 a ) 4x2 2 25 5 0 c ) 3 1
8
5 3
4
2 21 5 2y x 3
 b ) 
2 5
2
1
6
5 1
3
2 2x x1
1 5
2
 d ) (x 1 1)2 1 (x 2 1)2 5 10 
Raízes: 25 e 5. Raízes: 24 2 e 4 2 .
x 5 2 2 ou 
x 5 1 2 (7x2 2 14 5 0)
Não existe valor real para x. x 5 21 ou x 5 1 (x2 2 1 5 0) 
x 5 235 ou x 5 135 
x x5 52’ 2 1
2
e ” 2 1
2
x x5 52’ 7
4
e ” 7
4
x x5 52’ 3 2
2
e ” 3 2
2
x’ 5 22 e x” 5 2
O dobro do quadrado de um número menos 98 é igual a zero. Qual é esse número?
1a maneira
2x2 2 98 5 0
 2x2 5 98
 x2 5 98
2
 x2 5 49
 x 5 6 49
 x 5 67
 x 5 27 ou x 5 7
Raízes: x9 5 27 e x0 5 7.
 
2a maneira
2x2 2 98 5 0
Dividindo ambos os membros 
por 2:
x2 2 49 5 0
Fatorando:
(x 1 7)(x 2 7) 5 0
Se x 1 7 5 0, temos x 5 27.
Se x 2 7 5 0, temos x 5 7.
Assim, x9 5 27 e x0 5 7.
Logo, o número é 7 ou 27.
 Bate-papo
Converse com um colega e, levando 
em conta o que foi estudado sobre 
as equações incompletas do tipo 
ax
2 1 c 5 0 (a Þ 0 e c Þ 0), 
respondam:
 a ) Elas sempre têm raízes reais?
 b ) Quando têm, quantas são e como 
são?
Não. (Por exemplo, 5x2 1 
1 45 5 0 não tem raiz real.)
São dois números reais distintos e 
opostos. (Por exemplo, 2x2 2 98 5 0 
tem raízes 27 e 7.)
 Para construir:
 Exercícios 12 e 13 (abaixo)
Números reais e equações 61
M
A
T
E
M
ç
T
IC
A
SER_EF2_Matematica9_M1_C2_051_112.indd 61 18/09/15 09:11
2o caso: equa•›es do tipo ax2 5 0, com a Þ 0
Neste caso, temos ax2 1 bx 1 c 5 0, com a Þ 0, b 5 0 e c 5 0.
Aqui, a ideia para a resolução é a mesma do caso anterior: determinar o valor de 
x2 e depois o de x. Mas a conclusão será um pouco diferente. Veja:
 a ) 3x2 5 0
 x2 5 0
3
 x2 5 0
 x 5 6 0
 x9 5 x0 5 0
 b ) 25x2 5 0
 x2 5 0
52
 x2 5 0
 x 5 6 0
 x9 5 x0 5 0
Veja este outro exemplo, em que temos uma equação do 2o grau completa, mas 
que podemos resolvê -la usando o 1o ou o 2o caso das incompletas.
Para resolver a equação (x 2 1)2 5 4, Andreia viu que, se fizesse a eliminação dos 
parênteses, chegaria a uma equação do 2o grau completa, que ela ainda não havia 
estudado:
x2 2 2x 1 1 5 4 ⇒ x2 2 2x 2 3 5 0
Veja, então, como ela resolveu a equação:
(x 2 1)2 5 4
Como x 2 1 ao quadrado resulta 4, temos:
x 2 1 5 2 ou x 2 1 5 22
Aí ficou fácil encontrar as raízes da equação.
Se x 2 1 5 2, então, x 5 3.
Se x 2 1 5 22, então, x 5 21.
Assim, as duas raízes da equação
(x 2 1)2 5 4 são 3 e 21.
Como 10 e 20 indicam o mes-
mo número, podemos concluir 
que esse tipo de equação sem-
pre tem duas raízes reais e iguais 
a zero.
 Bate-papo
Converse com um 
colega e escrevam 
como s‹o as ra’zes 
reais das equa•›es 
incompletas do 
2o grau da forma 
ax
2 5 0 (a Þ 0).
São duas raízes reais e iguais a zero.
Exerc’cios 
 14. Resolva.
 a ) 9x2 5 0 c ) 2x2 5 0
 b ) 3
5
2x
5 0 d ) 3x(x 1 2) 5 6x 
x9 5 x0 5 0 x9 5 x0 5 0
2x2 5 0 ⇒ x2 5 0 ⇒ x9 5 x0 5 0
x9 5 x0 5 0
x3
5
2
 5 0 ⇒ x2 5 0 ⇒ x9 5 x0 5 0
x9 5 x0 5 0
3x(x 1 2) 5 6x ⇒ 3x2 1 6x 5 6x ⇒ 
⇒ 3x2 1 6x 2 6x 5 0 ⇒ 3x2 5 0 ⇒ x2 5 0 ⇒ ⇒ x9 5 x0 5 0
9x2 5 0 ⇒ x2 5 0
9
 ⇒ x2 5 0 ⇒ x 5 6 0 ⇒ 
⇒ x9 5 x0 5 0
 Para construir:
 Exercícios 14 a 17 (p. 62 e 63)
Nœmeros reais e equa•›es62
SER_EF2_Matematica9_M1_C2_051_112.indd 62 18/09/15 09:11
O aluno tambŽm pode achar a medida do lado do novo quadrado (cuja ‡rea Ž 9 m2) e subtrair a medida do lado do quadrado inicial (2 m), ou seja:
A 5 9 m2 → , 5 3 m e x 5 3 m 2 2 m 5 1 m.
 15. Um canteiro quadrado tinha 2 m de lado e foi ampliado em x metros em cada lado, mantendo o formato quadrado. Sabendo 
que a nova ‡rea Ž de 9 m2:
 a ) represente essa situação por meio de uma equação do 2o grau; 
 b ) determine em quantos metros foi aumentado o lado do quadrado. 
 16. Resolva estas equaç›es usando o mesmo racioc’nio de Andreia e escreva suas ra’zes.
 a ) (x 1 5)2 5 9 d ) (2x 2 1)2 5 9 
 b ) (x 2 1)2 5 216 e ) (y 2 3)2 5 36 
 c ) (x 2 5)2 5 0 f ) (7a 2 2)2 5 0 
 17. Determine o valor de x sabendo que a ‡rea da maior região quadrada abaixo Ž 1 156 cm2. 
4
16x2
(2 1 x)2 5 9 ou x2 1 4x 2 5 5 0
Em 1 m (2 1 x 5 3 ⇒ x 5 1)
22 e 28 2 e 21
Não existe raiz real. 9 e 23
5
2
7
(4x 1 2)2 5 1 156 ⇒ 4x 1 2 5 6 1 156 ⇒ 
⇒ 4x 1 2 5 634 ⇒ 4x 1 2 5 34 ⇒ x 5 8
Logo, x 5 8 cm.
Nœmeros reais e equa•›es 63
M
A
T
E
M
ç
T
IC
A
SER_EF2_Matematica9_M1_C2_051_112.indd 63 18/09/15 09:11
3o caso: equações do tipo ax2 1 bx 5 0, 
com a Þ 0 e b Þ 0
Neste caso, temos ax2 1 bx 1 c 5 0, com a Þ 0, b Þ 0 e c 5 0.
Veja a questão proposta no quadro abaixo e analise a resolução por meio de uma 
equação do 2o grau incompleta com b Þ 0 e c 5 0.
Qual é o número que tem o dobro de seu quadrado igual a seu quádruplo?
¥ x: número procurado ¥ x
2: quadrado do número ¥ 4x: quádruplo do número
Agora, montamos a equação e resolvemos:
 2x2 5 4x
 2x2 2 4x 5 0
 x ? (2x 2 4) 5 0
 x 5 0 ou 2x 2 4 5 0
 2x 5 4
 x 5 2
Verificação:
Vamos fazer a verificação de x 5 0 e de x 5 2 na equação 2x2 5 4x:
¥ Para x 5 0:
 2x2 5 4x 
 2 ? 02 5 4 ? 0
 0 5 0
¥ Para x 5 2:
 2x2 5 4x
 2 ? 22 5 4 ? 2
 8 5 8
Então, existem dois números que satisfazem as condições da questão: 0 e 2.
Examine, agora, este outro exemplo em que usamos a fatoração para resolver 
uma equação do 2o grau:
Quais são as raízes da equação 24x2 1 12x 5 0?
 24x2 1 12x 5 0 ? (21)
 4x2 2 12x 5 0
 x(4x 2 12) 5 0 (fatoramos o 1o membro)
 x 5 0 ou 4x 2 12 5 0
 4x 5 12
 x 5 12
4
 ⇒ x 5 3
Comente com os alunos que, na passagem de 
2x2 2 4x para x ? (2x 2 4), foi feita uma 
fatoração, colocando -se o
x em evidência.
Em x ? (2x 2 4) 5 0, 
se o produto Ž zero, pelo menos um dos 
fatores Ž zero. Portanto, x 5 0 ou 
2x 2 4 5 0, ou seja, x 5 0 
ou x 5 2.
Para facilitar os c‡lculos, 
sempre que o coeficiente do termo x2 for 
negativo, podemos obter uma equa•‹o 
equivalente com sinais trocados 
multiplicando os dois membros 
por 21.
Números reais e equações64
SER_EF2_Matematica9_M1_C2_051_112.indd 64 18/09/15 09:11
Verificação:
¥ Para x 5 0:
 24x2 1 12x 5 0
 24 ? 02 1 12 ? 0 5 0
 0 1 0 5 0
 0 5 0
¥ Para x 5 3:
 24x2 1 12x 5 0
 24 ? 32 1 12 ? 3 5 0
 236 1 36 5 0
 0 5 0
Portanto, as raízes são 0 e 3 e indicamos assim: x9 5 0 e x0 5 3.
Exerc’cios 
 18. Determine os valores reais das incógnitas em cada uma das equações.
 a ) 5y2 2 3y 5 0 d ) 
7( 2)
2
21t
 5 14
 b ) 7x2 2 35x 5 0 e ) (x 2 6)2 5 2(x 1 18)
 c ) 
4
3
2x
1 5x 5 0 f ) 5 x2 2 x 5 0
 Bate-papo
Converse com um colega e descubram quantas e como s‹o as ra’zes reais das equa•›es do 2o grau da forma ax2 1 bx 5 0 (a Þ 0 e b Þ 0). 
São sempre duas raízes reais distintas, e uma delas é o zero.
 19. As regiões retangulares representadas abaixo têm a mesma área em metros quadrados. Determine a medida x em metros. 
x 1 2
x 1 2
x 2 4
2x 2 1
 x9 5 0 e x0 5 
5
5
y9 5 0 e y0 5 3
5 t9 5 0 e t0 5 24
x9 5 0 e x0 5 5 x9 5 0 e x0 5 14
x9 5 0 e x0 5 2 15
4
 (x 1 2)2 5 (2x 2 1)(x 2 4) ⇒
⇒ x2 1 4x 1 4 5 2x2 2 9x 1 4 ⇒
⇒ x2 2 13x 5 0 ⇒ x 5 0 (não serve) ou x 5 13
Logo, x 5 13 m.
x 5 13 m
 Para construir:
 Exercícios 18 e 19 (abaixo)
Números reais e equações 65
M
A
T
E
M
Á
T
IC
A
SER_EF2_Matematica9_M1_C2_051_112.indd 65 18/09/15 09:11
Quadro -resumo
Resolu•‹o de equa•›es incompletas do 2o grau em R
ax2 1 bx 1 c 5 0, com a, b e c reais e a Þ 0
¥ b 5 0 e c Þ 0 → ax2 1 c 5 0 : a equa•‹o n‹o tem raiz real ou tem duas ra’zes reais distintas e opostas.
¥ b 5 0 e c 5 0 → ax2 5 0 : a equa•‹o tem sempre duas ra’zes reais iguais a zero.
¥ b Þ 0 e c 5 0 → ax2 1 bx 5 0 : a equa•‹o tem sempre duas ra’zes reais distintas, e uma delas Ž o zero.
Exerc’cios 
 20. Maria Joaquina pegou uma folha retangular de 30 cm por 20 cm e recortou, de seus quatro cantos, regi›es quadradas de lados que 
medem x cm. Com isso, a ‡rea que sobrou da folha Ž de 404 cm2. Qual Ž o valor de x? 
 
x
x
x
x
x
x
x
x
 21. Resolva em R mais estas equa•›es do 2o grau incompletas.
 a ) x2 2 15 5 0 
 b ) 8x2 5 0 
 c ) 3x2 1 12 5 0 
d ) 22x2 1 10x 5 0
e ) 4y2 2 5y 1 1 5 3y2 2 2y 1 1
f ) 9x2 2 1 5 0
 22. Voc• se lembra da fatora•‹o de um trin™mio quadrado perfeito? Ela ser‡ usada no assunto que vir‡ a seguir. Vamos recordar?
Por exemplo: a express‹o 
9x2 2 30x 1 25
quadrado de 3x oposto do dobro 
de 3x ? 5
quadrado de 5
pode ser fatorada em (3x 2 5)2.
x 5 7 cm
(600 2 4x2 5 404 ⇒ x2 5 49 e x . 0 ⇒ x 5 7)
x 5 6 15
x 5 0
N‹o existe valor real para x.
x 5 0 ou x 5 5
y 5 0 ou y 5 3 (y2 2 3y 5 0)
x 5 1
3
2 ou x 5 
1
3
 Para construir:
 Exerc’cios 20 a 22 (p. 66 e 67)
Números reais e equações66
SER_EF2_Matematica9_M1_C2_051_112.indd 66 18/09/15 09:11
Fatore mais estes trinômios quadrados perfeitos.
 a ) 4x2 1 4x 1 1 c ) 100x2 2 80x 1 16 
 b ) y2 2 14y 1 49 d ) x2 1 x 1 1
4
Resolução de equações do 
2o grau completas
Equa•›es do tipo ax2 1 bx 1 c 5 0 cujo primeiro 
membro Ž trin™mio quadrado perfeito
Analise o exemplo com atenção e justifique cada passagem.
↓ ↓ ↓
9 30 25 02
(3x ) 2 3 5 52 2
x x
x
2 1 5
? ?
 (3x 2 5)2 5 0
 3x 2 5 5 0
 3x 5 5
 x 5 5
3
Veja outros exemplos:
x2 1 8x 1 16 5 0
 (x 1 4)2 5 0
 x 1 4 5 0
 x 5 24
16x2 2 8x 1 1 5 0
 (4x 2 1)2 5 0
 4x 2 1 5 0
 4x 5 1
 x 5 1
4
 (x 2 5)(x 1 6) 5 13x 2 66
x2 1 6x 2 5x 2 30 2 13x 1 66 5 0
 x2 2 12x 1 36 5 0
 (x 2 6)2 5 0
 x 2 6 5 0
 x 5 6
Caso seja necessário, recorde com os alunos mais exemplos de fatoração do trinômio quadrado perfeito.
(2x 1 1)2 (10x 2 4)2
(y 2 7)2 ( )12 2x 1
O œnico nœmero 
real que elevado ao quadrado 
resulta zero Ž o pr—prio zero.
Logo, 3x 2 5 5 0.
Relembre aos alunos que a2 2 2ab 1 b2 5 (a 2 b)2 e que a2 1 2ab 1 b2 5 (a 1 b)2.
Exerc’cios 
 23. Resolva estas equações do 2o grau completas. Escritas na forma geral, elas têm um trinômio quadrado perfeito em seu primei-
ro membro.
 a ) x2 1 14x 1 49 5 0 
 b ) 36x2 2 12x 1 1 5 0 
 c ) y2 2 22y 1 121 5 0 
 d ) 4x2 5 5(4x 2 5) 
 (x 1 7)2 5 0
x 5 27
(6x 2 1)2 5 0
x 5 1
6
 
(y 2 11)2 5 0
y 5 11
x 5x 2 1
2
4x2 2 20x 1 25 5 0 ⇒ (2x 2 5)2 5 0
 Para construir:
 Exercícios 23 a 26 (p. 67 e 68)
Nœmeros reais e equa•›es 67
M
A
T
E
M
Á
T
IC
A
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 24. Escreva uma equa•‹o do 2o grau completa, na forma geral, que tem o nœmero 25 como œnica raiz. 
 25. Identifique entre as equa•›es abaixo a que tem um quadrado perfeito no primeiro membro e resolva essa equa•‹o. 
a) x2 1 9x 1 9 5 0 b) x2 1 4x 1 4 5 0X c) x2 1 6x 1 6 5 0
 26. O quadrado de um nœmero Ž igual ˆ diferen•a entre o dobro desse mesmo nœmero e 1. Qual Ž esse nœmero? 
x 5 25 ⇒ x 1 5 5 0 ⇒ (x 1 5)2 5 0 ⇒ x2 1 10x 1 25 5 0
x2 1 4x 1 4 5 0 ⇒ (x 1 2)2 5 0 ⇒ x 1 2 5 0 ⇒ x 5 22
ƒ o nœmero 1 (nœmero: x; x2 5 2x 2 1 ⇒ x2 2 2x 1 1 5 0 ⇒ (x 2 1)2 5 0 ⇒ x 2 1 5 0 ⇒ x 5 1).
Desafio
Resolva a equa•‹o 16x2 1 24x 1 9 5 100. 
( ) ⇒ ⇒4 3 100 4 3 10 ou 4 3 10 3 1
4
ou 3 1
4
2
x x x x x1 5 1 5 2 1 5 5 2 5
Se necess‡rio, sugira fatorar a express‹o que aparece no 1o membro.
Método de completar quadrados
Neste caso, vamos resolver equa•›es do 2o grau completas, que s‹o da forma 
ax2 1 bx 1 c 5 0 com todos os coeficientes n‹o nulos, cujo primeiro membro n‹o Ž um 
trin™mio quadrado perfeito.
Por exemplo, a equa•‹o x2 1 6x 2 7 5 0:
x2 1 6x 2 7 5 0 ⇒ x2 1 6x 5 17 ⇒ x2 1 6x 1 9 5 17 1 9
 quadrado de x 2 ? x ? 3 quadrado de 3
x2 1 6x 2 7 n‹o Ž trin™mio quadrado perfeito.
Para obter um trin™mio quadrado perfeito, foi somado 9 a x2 1 6x.
Para manter a igualdade, foi somado 9 tambŽm a 17, chegando a x2 1 6x 1 9 5 16.
 Para aprimorar:
 Desafio (abaixo)
Números reais e equações68
SER_EF2_Matematica9_M1_C2_051_112.indd 68 18/09/15 09:12
Acompanhe a interpretação geométrica do “completamento de quadrado” de 
x
2 1 6x:
Observe as 
figuras a seguir. Na figura da 
esquerda, que representa a 
expressão x2 1 6x, falta
algo para completar o 
quadrado.
x 1 3
x
2 1 6x 1 9 5 (x 1 3)2
x
 1
 3
x
2
xxx
1
x
1
1
1
x 1 1 1
x
2 1 6x
x
2
x x x
x
x
x
x
x
x
1 1
1 1 1
1 1 1
Com o “completamento de quadrado”, podemos resolver a equação inicial. Veja 
o procedimento todo:
x
2 1 6x 2 7 5 0
 x2 1 6x 5 7
x
2 1 6x 1 9 5 7 1 9
 (x 1 3)2 5 16
 x 1 3 5 6 16
 x 1 3 5 64
 x 1 3 5 4 ou x 1 3 5 24
 x 5 4 2 3 x 5 24 2 3
 x 5 1 x 5 27
Logo, as raízes da equação x2 1 6x 2 7 5 0 são x9 5 27 e x0 5 1.
Outros exemplos:
 a ) Quais são as raízes da equação x2 1 4x 2 12 5 0?
 x2 1 4x 5 12
x
2 1 4x 1 4 5 12 1 4 
(Somamos 4 a ambos os membros 
para que o 1o membro se torne um 
trinômio quadrado perfeito.)
 
quadrado de 2
o dobro do produto de x por 2
quadrado de x
 (x 1 2)2 5 16 (Fatoramos o trinômio quadrado perfeito.)
 x 1 2 5 6 16 ⇒ x 1 2 5 64 ⇒ x 1 2 5 4 ou x 1 2 5 24 ⇒ x 5 2 ou x 5 26
 Assim, as raízes da equação x2 1 4x 2 12 5 0 são 2 e 26.
O valor de x 1 3 
na interpretação geométrica 
deve ser positivo, mas na 
resolução geral devemos 
também considerar 
o
valor negativo.
x
2
x
2
x x xx
1x
x
x
x
1
1 1
x
2 1 4x x2 1 4x 1 4 5 (x1 2)2
Na figura da direita, 
completamos o quadrado 
juntando 9 regiões quadradas 
de área 1 e encontramos 
x
2 1 6x 1 9, que é um trinômio 
quadrado perfeito.
Nœmeros reais e equa•›es 69
M
A
T
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T
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A
SER_EF2_Matematica9_M1_C2_051_112.indd 69 18/09/15 09:12
Exerc’cios 
 27. Determine as ra’zes reais das equa•›es abaixo usando o mŽtodo de completamento de quadrado.
 a ) x2 1 6x 1 8 5 0 d ) x2 1 8x 1 15 5 0 
 b ) x2 2 10x 2 11 5 0 e ) y2 2 2y 2 3 5 0 
 c ) 9x2 1 6x 2 48 5 0 f ) x2 2 14x 1 50 5 0 
 28. O dobro de um nœmero natural somado ao quadrado de seu sucessor resulta 166. Qual Ž esse nœmero? 
 29. Analise as equa•›es do 2o grau e determine suas ra’zes da forma mais conveniente.
 a ) 3x2 2 8x 5 0
 b ) 22y2 1 32 5 0 
 c ) 8t2 5 0 
 d ) x2 2 16x 1 64 5 0
 e ) z2 1 12z 2 13 5 0
 f ) 5x2 2 45 5 0
x9 5 24 e x0 5 22 x9 5 23 e x0 5 25
x9 5 21 e x0 5 11 y9 5 3 e y0 5 21
x9 5 2 e x0 522 2
3 Imposs’vel em R
11
Nœmero: x
2x 1 (x 1 1)2 5 166 ⇒ x2 1 4x 2 165 5 0 ⇒ x2 1 4x 1 4 5 165 1 4 ⇒ 
⇒ (x 1 2)2 5 169 ⇒ x 1 2 5 13 ou x 1 2 5 213 ⇒ 
⇒ x 5 11 ou x 5 215 (n‹o serve)
O nœmero Ž 11.
 x9 5 0 e x0 52
2
3
y9 5 4 e y0 5 24
t 5 0 (duas ra’zes iguais a zero)
x 5 8 (duas ra’zes iguais a 8)
z9 5 1 e z0 5 213
x9 5 3 e x0 5 23
 b ) Vamos resolver a equa•‹o 9x2 2 6x 2 24 5 0.
 9x2 2 6x 5 24 ⇒ 9x2 2 6x 1 1 5 24 1 1 ⇒ (3x 2 1)2 5 25 ⇒ 3x 2 1 5 6 25 ⇒
 ⇒ 3x 2 1 5 65 ⇒ 3x 2 1 5 5 ou 3x 2 1 5 25 ⇒ x 5 2 ou x 5 21 1
3
 Portanto, as ra’zes da equa•‹o 9x2 2 6x 2 24 5 0 s‹o 2 e 21 1
3
.
 c ) Vamos resolver a equa•‹o x2 2 8x 1 18 5 0.
 x2 2 8x 1 18 5 0
 x2 2 8x 5 218
 x2 2 8x 1 16 5 218 1 16
 (x 2 4)2 5 22
 Neste caso, n‹o existe valor real para x.
Elevando x 2 4 ao quadrado, 
qualquer que seja x real, o resultado 
nunca ser‡ negativo. Por isso, 
dizemos que n‹o existe valor real 
para x que satisfa•a essa equa•‹o.
 Para construir:
 Exerc’cios 27 a 30 (p. 70 e 71)
Números reais e equações70
SER_EF2_Matematica9_M1_C2_051_112.indd 70 18/09/15 09:12
A fórmula de resolução de uma equação do 2o grau
Generalizando a ideia de completamento de quadrado, podemos chegar a uma 
fórmula para resolver equações do 2o grau.
Consideremos a equação genérica do 2o grau com coeficientes a, b e c, com 
a Þ 0: ax2 1 bx 1 c 5 0.
Dividindo ambos os membros dessa igualdade por a, temos:
x2 1 b
a
x
c
a
1 5 0 x2 1 b
a
x
c
a
5 2
Completamos o quadrado do primeiro membro somando 
4
2
2
b
a
 a ambos os 
membros:
x2 1
4 4
2
2
2
2
b
a
x
b
a
b
a
c
a
1 5 2
quadrado de x quadrado de 
2
b
a
2 ? x ? 
2
b
a
Fatorando o trinômio quadrado perfeito, obtemos: x b
a
b ac
a
1 5
2)( 2 442 2 2
Extraindo a raiz quadrada: x 1 
2
4
2
2
b
a
b ac
a
56
2
Finalmente, obtemos a fórmula: x 5
4
2
2
b b ac
a
2 6 2
Podemos indicar o valor da expressão b2 2 4ac pela letra grega D (delta). 
Assim: D 5 b2 2 4ac
Substituindo na fórmula da resolução de equações do 2o grau, obtemos:
x 5
2
b
a
2 6 D
Exemplos de resolução com essa fórmula:
a) x2 2 4x 2 32 5 0
 a 5 1, b 5 24 e c 5 232
 D 5 b2 2 4ac 5 (24)2 2 4 ? 1 ? (232) 5 16 1 128 5 144
 Portanto, D . 0.
Como partimos da equa•‹o 
do 2o grau na forma geral, a 
f—rmula, que Ž chamada de 
f—rmula de Bh‡skara, vale 
para qualquer equa•‹o do 
2o grau. Ela permite calcular o 
valor de x utilizando os 
coeficientes a, b e c.
 30. O reservatório representado na figura ao lado tem forma de bloco retangular e capacidade 
de 400 000 L. O comprimento da base mede o dobro da largura. Determine o perímetro da 
base e a área da base. 30 m e 50 m2
 400 000 L → 400 m3 (volume)
x ? 2x ? 8 5 400 ⇒ 16x2 5 400 ⇒
⇒ x 5 65 (25 não serve)
Comprimento: 10 m
Largura: 5 m
Perímetro da base: 2 ? 10 1 2 ? 5 5 30; 30 m
Área da base: 10 ? 5 5 50; 50 m2
8 m
C
a
s
a
 d
e
 T
ip
o
s
/A
rq
u
iv
o
 d
a
 e
d
it
o
ra
Números reais e equações 71
M
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T
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A
SER_EF2_Matematica9_M1_C2_051_112.indd 71 18/09/15 09:12
Leitura
Bháskara (1114 -1185) foi um matemático e astrônomo 
indiano, considerado um dos mais importantes matemáti-
cos do século XII. Porém, curiosamente, a fórmula de reso-
lução de equações do 2o grau, que leva seu nome, não foi 
escrita por ele!
Na verdade, o hábito de dar o nome de Bháskara para 
essa fórmula se estabeleceu no Brasil por volta de 1960. Esse 
costume, aparentemente, é apenas brasileiro, pois não se 
encontra o nome de Bháskara para a fórmula em outros 
países.
Os fatos apresentados a seguir contribuem para indi-
car que Bháskara provavelmente não é o autor da fórmula.
• Problemas que recaem em uma equação de 2o grau já 
apareciam, há quase 4 mil anos, em textos escritos pelos 
babilônios (como foi visto na introdução do capítulo). Nes-
ses textos, o que se tinha era uma “receita” (escrita em 
prosa, sem uso de símbolos) que ensinava como deter-
minar as raízes em exemplos concretos com coeficientes 
numéricos (leia o texto “Os babilônios e as equações do 
2o grau”, na seção Ponto de chegada).
• As duas obras mais conhecidas de Bháskara, Lilavati e 
Vijaganita, que tratam de Aritmética e Álgebra, respecti-
vamente, contêm numerosos problemas sobre equações 
de 1o e 2o graus, porém resolvidas também com receitas 
em prosa.
• Até o fim do século XVI, não se usava uma fórmula para 
obter as raízes de uma equação do 2o grau, simplesmen-
te porque não se representavam por letras os coeficientes 
de uma equação. Isso começou a ser feito a partir de Fran-
çois Viète, matemático francês que viveu de 1540 a 1603.
Logo, embora não devam ser negadas a importância 
e a riqueza da obra de Bháskara, não é adequado atribuir a 
ele a fórmula de resolução da equação do 2o grau.
Fonte: Revista do Professor de Matem‡tica, n. 6 e n. 39.
Quem foi Bháskara e por que Òfórmula de BháskaraÓ
3
2
 é a única raiz real 
da equação. Dizemos que a 
equação tem duas raízes 
iguais a 
3
2
, ou seja, 
x9 5 
3
2
 e x0 5 
3
2
.
Essa equação não 
tem raiz real, pois 
não existe valor real 
para 211 (raiz 
quadrada de número 
negativo).
 x 5 
2 6 D
5
2 2
5
2
( 42 2( 42 2 ) 1) 16) 144
2 1?2 1
4 164 12
2
b2 6b2 6
a
 x9 5 4 12
2
16
2
84 114 1 5 55 5165 5
 x0 5 4 12
2
8
2
44 124 1 5 2 5 2
 Portanto, as raízes da equa•‹o s‹o x9 5 8 e x0 5 24.
b) 4x2 2 12x 1 9 5 0
 a 5 4, b 5 212 e c 5 9
 D 5 b2 2 4ac 5 (212)2 2 4 ? 4 ? 9 5 144 2 144 5 0
 Portanto, D 5 0.
 x 5 
2
( 12) 0
2 4
12 0
8
12
8
3
2
b
a
2 6b2 6 D
5
2 2( 12 2( 1 6
2 4?2 4
5
6
5 55 5
12
5 5
 x9 5 x0 5 3
2
c) 5x2 2 3x 1 1 5 0
 a 5 5, b 5 23 e c 5 1
 D 5 (23)2 2 4 ? 5 ? 1 5 9 2 20 5 211
 x 5 
( 3) 1) 11
2 5
3 13 11
10
2 2( 32 2( 3) 16 2) 1) 16 2
2 5?2 5
5
3 16 23 13 16 2
 Impossível em R.
Nœmeros reais e equa•›es72
SER_EF2_Matematica9_M1_C2_051_112.indd 72 18/09/15 09:12
Exerc’cios 
 31. Considere a equa•‹o x2 2 x 2 6 5 0.
 a ) Identifique os coeficientes a, b e c dessa equa•‹o. 
 b ) Calcule o valor de D 5 b2 2 4ac. 
 c ) Determine o valor de x9 5 
2
.
b
a
2 1 D
 
 d ) Calcule o valor de x0 5
2
.
b
a
2 2 D
 
 e ) Quais s‹o as ra’zes da equa•‹o x2 2 x 2 6 5 0? 
x9 5 3 e x0 5 22
 f ) Fa•a a verifica•‹o para constatar se realmente as ra’zes que voc• encontrou est‹o corretas. 
 32. Considere agora a equa•‹o 9x2 1 9x
1 2 5 0.
 a ) Identifique os coeficientes a, b e c dessa equa•‹o. 
a 5 9, b 5 9 e c 5 2
 b ) Calcule o valor de D 5 b2 2 4ac. 
D 5 92 2 4 ? 9 ? 2 5 81 2 72 5 9
a 5 1, b 5 21 e c 5 26
D 5 (21)2 2 4 ? 1 ? (26) 5 1 1 24 5 25
x9 5
1
5
1
5
1 25
2
1 5
2
3
x 0 5
2
5
2
5 2
1 25
2
1 5
2
2
¥ Para x 5 3:
 x2 2 x 2 6 5 0 ⇒ 32 2 3 2 6 5 0 ⇒
 ⇒ 9 2 3 2 6 5 0 ⇒ 0 5 0
¥ Para x 5 22:
 x2 2 x 2 6 5 0 ⇒ (22)2 2 (22) 2 6 5 0 ⇒ 
 ⇒ 4 1 2 2 6 5 0 ⇒ 0 5 0
 Logo, x9 5 3 e x0 5 22 s‹o realmente as ra’zes da equa•‹o x2 2 x 2 6 5 0.
 Para construir:
 Exerc’cios 31 a 36 (p. 73 a 75)
Nœmeros reais e equa•›es 73
M
A
T
E
M
ç
T
IC
A
SER_EF2_Matematica9_M1_C2_051_112.indd 73 18/09/15 09:12
 c ) Determine os valores de x 5
2
.
b
a
2 6 D
 d ) Quais s‹o as ra’zes da equa•‹o 9x2 1 9x 1 2 5 0? 
 e ) Verifique se as ra’zes que voc• encontrou est‹o corretas. 
 33. Resolva a equa•‹o x2 2 3x 2 18 5 0 usando a f—rmula. 
 34. Resolva as equa•›es a seguir:
 a ) 3x2 2 2x 2 1 5 0
 b ) y2 2 7y 1 6 5 0
 c ) 16x2 1 8x 1 1 5 0
 d ) 5x2 2 4x 1 2 5 0
9 9
2 9
x 5
2 6
?
5
↗
↘
9 3
18
9 3
18
6
18
1
3
9 3
18
12
18
2
3
x
x
5
2 6
9 5
2 1
5
2
5 2
0 5
2 2
5
2
5 2
9 9
2 9
x 5
2 6
?
5
↗
↘
9 3
18
9 3
18
6
18
1
3
9 3
18
12
18
2
3
x
x
5
2 6
9 5
2 1
5
2
5 2
0 5
2 2
5
2
5 2
¥ Para x 5 2
1
3
:
 ) )( (2 1 29 13 9 132 1 2 5 9 ? 19 2 3 1 2 5 5 1 2 3 1 2 5 0
¥ Para x 5 2
2
3
:
 ) )( (2 1 29 23 9 232 1 2 5
 5 9 ? 24
9
18
3
 1 2 5 4 2 6 1 2 5 0
Logo, x9 5 2 1
3
 e x0 5 2 2
3
 s‹o realmente as 
ra’zes da equa•‹o 9x2 2 9x 1 2 5 0.
x9 5 6 e x0 5 23
x9 5 1 e x0 5 2
1
3
y9 5 6 e y0 5 1
x9 5 x0 5 2 1
4
 (duas ra’zes iguais)
Imposs’vel em R
Nœmeros reais e equa•›es74
SER_EF2_Matematica9_M1_C2_051_112.indd 74 18/09/15 09:12
 35. As medidas dos lados de um terreno retangular estão indicadas na figura abaixo. Sabendo que sua área é de 240 m2, calcule o 
seu perímetro.
4x
2x 1 2
 36. Resolva mais estas equações utilizando a fórmula. Procure relacionar o valor de D com o número de raízes reais.
Veja algumas dicas.
64 m
4x (2x 1 2) 5 240 ⇒ x2 1 x 2 30 5 0 ⇒
⇒ x 5 5 ou x 5 26 (não serve); perímetro: 2 ? (4 ? 5) 1 2 ? (2 ? 5 1 2) 5 64
No item c, voc• pode 
multiplicar inicialmente 
os dois membros por 
21, pois Ž melhor 
trabalhar com o 
coeficiente a positivo.
No item f, voc• pode 
dividir inicialmente os 
dois membros por 7. 
ƒ melhor trabalhar 
com coeficientes 
inteiros e os menores 
poss’veis.
No item b, 
coloque 
inicialmente a 
equação na 
forma geral.
 a ) 4x2 2 7x 1 3 5 0 
 b ) x(x 2 1) 5 11x 2 36 
 c ) 2x2 2 2x 1 15 5 0 
 d ) 3y2 2 4y 1 2 5 0 
 e ) 5m2 2 13m 1 6 5 0 
 f ) 7x2 1 28x 1 21 5 0 
x9 5 1 e x0 5
3
4
(D 5 1; D . 0)
x9 5 x0 5 6 (D 5 0)
x9 5 3 e x0 5 25 (D 5 64; D . 0)
Impossível em R (D 5 28; D , 0)
m9 5 2 e m0 5
3
5
(D 5 49; D . 0)
x9 5 23 e x0 5 21 (D 5 4; D . 0)
Nœmeros reais e equa•›es 75
M
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SER_EF2_Matematica9_M1_C2_051_112.indd 75 18/09/15 09:12
Discriminante de uma equa•‹o do 2o grau
O nœmero D 5 b2 2 4ac Ž chamado de discriminante da equa•‹o do 2o grau 
ax2 1 bx 1 c 5 0.
O valor de D (positivo, negativo ou nulo) Ž que determina quantas ra’zes reais a 
equa•‹o tem quando seus coeficientes s‹o nœmeros reais.
Quando D . 0, a equa•‹o tem duas ra’zes reais distintas.
Quando D 5 0, a equa•‹o tem duas ra’zes reais iguais.
Quando D , 0, a equa•‹o n‹o tem ra’zes reais.
Vamos determinar o nœmero de ra’zes reais distintas de equa•›es sem resolv• -las.
 a ) Equa•‹o: x2 2 5x 1 6 5 0
 D 5 (25)2 2 4 ? 1 ? 6 5 25 2 24 5 1 . 0
 Como D . 0, a equa•‹o tem duas ra’zes reais distintas.
 b ) Equa•‹o: 12x2 2 9x 1 7 5 0
 D 5 (29)2 2 4 ? 12 ? 7 5 81 2 336 , 0
 Como D , 0, a equa•‹o n‹o tem ra’zes reais, ou seja, o nœmero de ra’zes reais Ž 
zero.
 c ) Equa•‹o: x2 1 2x 1 1 5 0
 D 5 22 2 4 ? 1 ? 1 5 4 2 4 5 0
 Como D 5 0, a equa•‹o tem duas ra’zes reais e iguais, ou seja, uma œnica 
raiz real.
Observações:
1a) Todas as equa•›es do 2o grau (incompletas e completas) que voc• resolveu 
anteriormente por fatora•‹o podem ser solucionadas pela f—rmula. Examine 
estes exemplos:
9x2 2 4x 5 0
Duas ra’zes reais distintas: 0 e 4
9
.
Por fatora•‹o: Pela f—rmula:
x(9x 2 4) 5 0
x 5 0 ou 9x 2 4 5 0
 9x 5 4
 x 5 4
9
a 5 9, b 5 24, c 5 0
D 5 (24)2 2 4 ? 9 ? 0 5 16 2 0 5 16
x 5 
4 4
18
8
18
4
9( 4) 1) 16
2 9
4 4
18 4 4
18
0
18
0
x
x
9 5
4 414 4
5 55 5
8
5 5
2 2( 42 2( 4) 16) 1
2 9?2 9
5
4 464 4
0 5
4 424 4
5 55 5
0
5 5
ou
Comente com os alunos que Ž sempre poss’vel resolver uma equa•‹o do 2o grau por meio do mŽtodo de completar quadrados e, assim, 
resolv•-la usando fatora•‹o. Quando o processo de fatora•‹o Ž mais complexo, utilizamos a f—rmula.
Nœmeros reais e equa•›es76
SER_EF2_Matematica9_M1_C2_051_112.indd 76 18/09/15 09:12
x2 2 6x 1 9 5 0
(x 2 3)2 5 0
 x 2 3 5 0
 x 5 3
a 5 1, b 5 26, c 5 9
D 5 36 2 36 5 0
x 5
6 06 0
2
6
2
6 066 0
5 5 3
ou
Duas raízes iguais a 3.
2a) Na resolução de uma equação do 2o grau pela fórmula, nem sempre o discriminan-
te (D) é um número quadrado perfeito. 
Veja nos exemplos abaixo 
como podemos indicar as 
raízes da equação. Nesse 
caso, deixamos os radicais 
apenas indicados.
a) x2 2 3x 1 1 5 0
D 5 9 2 4 5 5
x 5
3 5
23 5
2 3 5
2
x
x
95
1
6
0 5
2
b) x2 1 6x 1 7 5 0
D 5 36 2 28 5 8
x 5 
6 2 2
2
3 2
6 8
2
6 2 2
2 6 2 2
2
3 2
x
x
95
2 1
52 1
2 6
5
2 6
0 5
2 2
52 2
4x2 2 8x 1 3 5 0
4x2 2 8x 5 23
4x2 2 8x 1 4 5 23 1 4
 (2x 2 2)2 5 1
 2x 2 2 5 21 ou 2x 2 2 5 1
 2x 5 1 2x 5 3
 x 5 1
2
 x 5 3
2
1 1
2
5
a 5 4, b 5 28, c 5 3
D 5 64 2 48 5 16
x 5
2 2( 82 2( 82 2 ) 1) 16) 16
8
x 5 
x
12
8
3
2
1
1
2
8 4
8
x
4
8
1
2
95 5 55 5
3
5 5
8 468 4
0 5 5
ou
Duas raízes reais distintas: 1
2
 e 1 1
2
.
Por completamento de quadrado: Pela fórmula:
Nœmeros reais e equa•›es 77
M
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T
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Quadro -resumo
Vamos 
resumir?
Resolução de equações do 2o grau pela fórmula
Equa•‹o: ax2 1 bx 1 c 5 0, com a, b e c reais e a Þ 0
Coeficientes: a, b e c
Discriminante: D 5 b2 2 4ac
Ra’zes reais (se existirem): x9 5
2
b
a
2 1 D
 e x0 5 
2
b
a
2 2 D
D . 0 (positivo): duas ra’zes reais distintas
D 5 0 (nulo): duas ra’zes reais iguais a 
2
b
a
2
D , 0 (negativo): nenhuma raiz real
Valor do discriminante
Leitura
O ret‰ngulo ‡ureo ou de ouro dos gregos Ž um ret‰ngu-
lo especial em que valem as rela•›es entre o comprimento (c) 
e a largura (,):
l
l
l
c
c
5
2
 ← propor•‹o ‡urea
c
c 2 ,
,
,
A propor•‹o ‡urea pode ser observada em inœmeras si-
tua•›es. O templo grego Partenon, por exemplo, tem suas 
medidas apoiadas na propor•‹o ‡urea.
Partenon, na acr—pole ateniense (GrŽcia). Foto de 2014.
Se considerarmos c 5 1, a propor•‹o ser‡:
,
,
,
1
1
5
2
 → ,2 1 , 2 1 5 0
O valor 
,
1 , inverso da raiz positiva dessa equa•‹o, Ž cha-
mado número de ouro.
 a ) A partir da informa•‹o dada acima, determine o nœmero de 
ouro dos gregos. 
 b ) Considerando 5 5 2,2, calcule o valor aproximado do 
nœmero de ouro. 
,2 1 , 2 1 5 0 D 5 5
)
) )
)
(
( (
(
⇒ 
⇒
,
,
5
2 1
5
2
5
2
5
1
2 1
5
5
1
2
5
1
5
1
1 5
2
5 1
2
1 2
5 1
2 5 1
5 1 5 1
2 5 1
5 1
2 5 2
4
5 1
2
Nœmero de ouro: 15 1
2
1
5 5
2,2 1
2
3,2
2
1,6
Proporção ‡urea e nœmero de ouro
V
ic
to
r 
M
a
s
ch
e
k
/S
h
u
tt
e
rs
to
ck
/G
lo
w
 I
m
a
g
e
s
 Para aprimorar:
 Leitura (abaixo)
Nœmeros reais e equa•›es78
SER_EF2_Matematica9_M1_C2_051_112.indd 78 18/09/15 09:12
Exercícios 
 37. Descubra pelo discriminante quantas raízes reais tem cada equação.
 a ) 3x2 2 5x 1 3 5 0 b ) 2x2 1 10x 2 25 5 0 c ) 5x2 2 x 2 1 5 0 
 38. Resolva de duas formas diferentes a equação 2x2 2 50 5 0. 
 39. Resolva em R, pela fórmula de Bháskara, a equação x2 2 12x 1 40 5 0. 
 40. Determine as soluções reais das equações (quando existirem).
 a ) 2x2 2 3x 1 1 5 0 d) y(y 1 2) 1 (y 2 1)2 5 9 
 b ) 23x2 1 10x 2 3 5 0 e) 
1
2
3
3
1
3
2x x x
x
2
2
2
5 1 
 c ) x2 1 x 1 2 5 0 
 41. Retome a página 52, na introdução do capítulo, e resolva a questão formulada usando equação do 2o grau: quanto mede o lado 
de uma região quadrada se a área dessa região menos a medida do lado é igual a 870? Dê a resposta em unidades de com-
primento. 
D 5 211; nenhuma raiz real. D 5 0; uma raiz real (ou duas 
raízes reais iguais).
D 5 21; duas raízes reais distintas.
x9 5 5 e x0 5 25
2x2 2 50 5 0 ⇒ 2x2 5 50 ⇒ x2 5 25 ⇒ x 5 6 25 5 65
ou
2x2 2 50 5 0
D 5 02 1 400 5 400
↗
↘
0 20
4
20
4
5
20
4
5
x
x
x
5
6 9 5 5
0 5
2
5 2
Impossível em R (a 5 1, b 5 212, c 5 40; D 5 (212)2 2 4 ? 1 ? 40 5 144 2 160 5 216; logo, impossível em R)
x 5 1 ou x 5 
1
2 y 5 22 ou y 5 2
x 5 3 ou x 5 1
3
x 5 5 ou x 5 2 1
2
Impossível em R
30 unidades de comprimento
 Para construir:
 Exercícios 37 a 49 (p. 79 a 81)
x2 2 x 2 870 5 0
a 5 1, b 5 21, c 5 2870
D 5 (21)2 1 4 ? 870 5 3 481
↗
↘
1 3 481
2
1 59
2
60
2
30
1 59
2
58
2
29
x
x
x
5
6
9 5
1
5 5
0 5
2
5 2 5 2 (não serve)
Nœmeros reais e equa•›es 79
M
A
T
E
M
ç
T
IC
A
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 42. Em um trapŽzio, a base menor mede 6 cm, a base maior mede o dobro da altura, e a ‡rea da regi‹o plana correspondente Ž de 
28 cm2. Calcule a medida da base maior. 
 43. O n’vel N de —leo em um reservat—rio varia com o tempo t, contado em horas, conforme a lei: N 5 20,6t2 1 0,25t 1 0,70 . Em 
quanto tempo o n’vel de —leo chegar‡ a zero? 
 44. Em um tri‰ngulo ret‰ngulo, as medidas dos 3 lados, em cent’metros, s‹o nœmeros pares consecutivos. Quais s‹o essas medidas? 
 45. Uma caixa sem tampa tem a base quadrada com lado de medida x dm, e altura, 1 dm. Sabendo que a ‡rea total de sua superf’cie 
Ž de 5 dm2, calcule a medida x. 
x
x
1
 46. Em uma indœstria, o custo em reais para a produ•‹o de x toneladas de vigas de metal Ž dado pela f—rmula: C 5 20 1 60x 2
2 0,75x2. Calcule o custo para que sejam produzidas 10 toneladas. 
 Vigas de metal
Altura: x
Base maior: 2x
x x1(2 6)
2
5 28 ⇒ 2x2 1 6x 2 56 5 0 ⇒ x2 1 3x 2 28 5 0 ⇒ x9 5 4 e x0 5 27 (n‹o serve)
x 5 4 ⇒ 2x 5 8
A base maior mede 8 cm.
20,6t2 1 0,25t 1 0,70 5 0 ⇒ 6t2 2 2,5t 2 7 5 0
D 5 174,25
t . 
2,5 13,2
12
6
 ⇒ t9 . 1,3 e t0 . 20,9 (n‹o serve)
Logo:
1,3 h 5 1 h 18 min
Portanto, em aproximadamente 1 h e 18 min o n’vel de —leo chegar‡ a zero.
 Medidas dos lados do tri‰ngulo ret‰ngulo: x, x 1 2 e x 1 4
(x 1 4)2 5 x2 1 (x 1 2)2 ⇒ x2 2 4x 2 12 5 0 ⇒ ⇒ x9 5 6 e x0 5 22 (n‹o serve)
Portanto, os lados do tri‰ngulo ret‰ngulo medem 6 cm, 8 cm e 10 cm.
1 dm
x2 1 x 1 x 1 x 1 x 5 5 ⇒ x2 1 4x 2 5 5 0 ⇒ x9 5 25 (n‹o serve) e x0 5 1
R$ 545,00
C 5 20 1 60 ? 10 2 0,75 ? 102 5 20 1 600 2 75 5 545
R
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d
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Nœmeros reais e equa•›es80
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 47. Renata tem 18 anos e Lígia tem 15. Daqui a quantos anos o produto de suas idades será igual a 378? 
 48. Os 180 alunos de uma escola estão dispostos de forma retangular, em filas, de tal modo que o número de alunos de cada fila 
supera em 8 o número de filas. Quantos alunos há em cada fila? 
 49. Entre quais números inteiros consecutivos fica a maior das raízes da equação x2 2 x 2 7 5 0? 
(18 1 x)(15 1 x) 5 378 ⇒ x9 5 3 e x0 5 236 (não serve)
Daqui a 3 anos.
x(x 1 8) 5 180 ⇒ x9 5 10 e x0 5 218 (não serve)
Logo, o número de alunos de cada fila é dado por:
10 1 8 5 18
Em cada fila há 18 alunos.
D 5 1 1 28 5 29
x 5 1 29
2
6
Logo, a maior raiz é igual a:
1 29
2
1 5,...
2
6,...
2
3,...1 5
1
5 5
Portanto, a maior das raízes da equação x2 2 x 2 7 5 0 fica entre 3 e 4.
x(x2 2 2x 2 8) 5 0 ⇒ x 5 0 ou x2 2 2x 2 8 5 0; x2 2 2x 2 8 5 0 ⇒ x2 2 2x 5 8 ⇒ x2 2 2x 1 1 5 8 1 1 ⇒ (x 2 1)2 5 9 ⇒ x 5 4 ou x 5 22
Desafio
Use a fatoração para resolver a equação x3 2 2x2 2 8x 5 0. x 5 22 ou x 5 0 ou x 5 4
 Para aprimorar:
 Desafio (abaixo)
Nœmeros reais e equações 81
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Relações entre coeficientes e raízes 
de uma equação do 2o grau
Observe os valores das raízes e dos coeficientes a, b e c nestas duas equações 
do 2o grau e o que acontece com a soma e o produto das raízes:
1a) 3x2 2 5x 1 2 5 0
 D 5 25 2 24 5 1
 x 5
6
6
1
5 1
6 4
6
2
3
x
x
9 5 5
6
0 5 5
 Coeficientes: a 5 3, b 5 25 e c 5 2
 Raízes: x9 5 1 e x0 5 2
3
 
 





Soma das raízes: 1 2
3
1 2
3
5
3
Oposto de ( 5)
3
5
3
S x x
b
a
5 91 05 1 5 5
5
22
5
 
Produto das ra’zes:P x x 1 2
3
2
3
c
a
2
3
5 9 05 5
5
? ?


2a) x2 1 6x 1 9 5 0
 (x 1 3)2 5 0
 x 1 3 5 0
 x 5 23
 Coeficientes: a 5 1, b 5 6 e c 5 9
 Raízes: x9 5 23 e x0 5 23 
 
Soma das ra’zes:S x x 3 3 6
Oposto de
a
6
1
5 91 052 2 52
5
2b
5526



 
Produto das raízes:P x x ( 3)( 3) 9
c
a
9
1
9
5 9 05 2 2 5
5 5
?


Demonstra•›es
Nos exemplos analisados acima, duas relações entre coeficientes e raízes 
repetiram -se:
1a) a soma das raízes foi igual ao quocien-
te do oposto de b por a, ou seja:
S x x
b
a
5 9S x5 9S x 1 0x1 05
2
 
2a) o produto das raízes foi igual ao quo-
ciente de c por a, ou seja:
Lembre-se: como 
D 5 0, essa equação 
tem duas raízes reais 
e iguais.
P x x
c
a
5 9? 05
Para provar que essas rela•›es valem para todas as equa•›es 
do 2o grau com ra’zes reais, devemos usar a equa•‹o geral 
ax2 1 bx 1 c 5 0, com a Þ 0.
Seus coeficientes s‹o a, b e c; suas ra’zes s‹o 
x9 5
b
a2
2 1 D
 e x0 5
b
a2
,
2 2 D
 com D 5 b2 2 4ac.
Nœmeros reais e equa•›es82
SER_EF2_Matematica9_M1_C2_051_112.indd 82 18/09/15 09:12
1a rela•‹o: soma das ra’zes (S)
S 5 x9 1 x0 5 
b
a
b
a
b b
a
b
a
b
a
2 1 D
1
2 2 D
5
2 1 D 2 2 D
5
2
5
2
2 2 2
2
2
Portanto, demonstramos que S 5 x9 1 x0 5 
b
a
2
2a rela•‹o: produto das ra’zes (P)
P 5 x9 ? x0 
) )( (
2 2 4 2
b
a
b
a
b b
a
5
2 1 D
?
2 2 D
5
2 1 D 2 2 D
5
 
b
a
b
a
b b ac
a
b b ac
a
5
2 2 D
5
2 D
5
2 2
5
2 1
5
)(( )
4 4
( 4 )
4
4
4
2 2
2
2
2
2 2
2
2 2
2
 ac
a
c
a
5 5
4
4 2
Portanto, demonstramos que P 5 x9 ? x0 5 c
a
Exemplos de aplica•›es:
a) Vamos determinar m na equa•‹o 
x2 2 mx 1 36 5 0, de modo que uma das ra’-
zes seja igual a 4.
x9
1 x0 5 
( )
1 1
m m m
2 2
5 5
x9 ? x0 5 36
1
536
Como x9 5 4, ent‹o x0 5 9, pois x9 ? x0 5 36.
x9 1 x0 5 m ⇒ 4 1 9 5 m ⇒ m 5 13
Assim, o valor de m Ž 13.
b) Vamos determinar p para a equa•‹o 
x2 2 9x 1 p 5 0, de modo que uma das ra’zes 
seja o dobro da outra.
x9 5 2x0 I
x9 1 x0 5 9 II
x9 ? x0 5 p
Substituindo I em II , temos:
2x0 1 x0 5 9 ⇒ 3x0 5 9 ⇒ x0 5 9
3
 ⇒ x0 5 3
Logo:
x9 5 2x0 5 2 ? 3 5 6 ⇒ x9 5 6
x9 ? x0 5 p ⇒ 6 ? 3 5 p ⇒ p 5 18
Portanto, o valor de p Ž 18.
Exerc’cios 
 50. Sem resolver a equa•‹o 3x2 1 10x 2 8 5 0, responda:
 a ) Qual Ž a soma de suas ra’zes reais, se existirem? b ) Qual Ž o produto dessas ra’zes? 
)(S ba2 5 2 5 2103 103 )(P ca2 5 5 283 83
 Para construir:
 Exerc’cios 50 e 51 (p. 83 e 84)
Nœmeros reais e equa•›es 83
M
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A
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C‡lculo mental: determina•‹o das ra’zes 
de algumas equa•›es do 2o grau
Aplicando as rela•›es entre coeficientes e ra’zes, ou seja, S
b
a
5
2
 e P c
a
5 , 
podemos resolver mentalmente as equa•›es do 2o grau com uma inc—gnita que t•m 
o coeficiente a 5 1 e ra’zes inteiras. Veja alguns exemplos:
 a ) x2 1 5x 1 6 5 0
Poss’veis ra’zes inteiras
21 e 26
22 e 23
soma 25
 As ra’zes s‹o 22 e 23.
As ra’zes s‹o dois nœmeros 
negativos, pois o produto delas Ž 
positivo 
6
1
65( ) e a soma Ž 
negativa 
2
52
5
1
5 .( )
 b ) x2 2 2x 2 8 5 0
Poss’veis ra’zes inteiras
4 e 22 → soma 2
8 e 21
 As ra’zes s‹o 4 e 22.
As ra’zes s‹o dois nœmeros 
de sinais diferentes, pois o 
produto Ž negativo (28) e 
o de valor absoluto maior 
Ž positivo, porque a soma Ž 
positiva (2).
soma 12
 c ) x2 2 12x 1 36 5 0
 Poss’veis ra’zes inteiras:
 1 e 36 2 e 18 3 e 12 4 e 9 6 e 6
 A œnica raiz Ž o nœmero 6 (ra’zes iguais: 6 e 6).
As ra’zes s‹o 
dois nœmeros positivos, 
pois o produto Ž 36, e 
a soma Ž 12.
Agora, determine as ra’zes, calcule a soma e o produto delas e confira as respostas dadas nos itens a e b. 
 51. Determine o valor de m para que a equa•‹o x2 2 (m 1 1)x 2 28 5 0 tenha duas ra’zes cuja soma seja igual a 23. 
Em seguida, substitua o valor de m na equa•‹o dada, resolva -a e calcule a soma das ra’zes. 
x9 5
2
3
 e x0 5 24; S P52 5210
3
e 8
3
3x2 1 10x 2 8 5 0
D 5 1 5100 96 196
↗
↘
10 14
6
4
6
2
3
24
6
4
x
x
x
5
2 6
9 5 5
0 5
2
52
S 5 1 2 5 2 52
2
3
( 4) 2
3
12
3
10
3
P 5 ? 2 5
22
3
( 4) 8
3
x2 2 (24 1 1)x 2 28 5 0 ⇒ x2 1 3x 2 28 5 0 ⇒ x9 5 4 e x0 5 27; S 5 4 1 (27) 5 23
m 5 24
)( ⇒ ⇒m m m1 52 1 52 5211 3 1 3 4
Nœmeros reais e equa•›es84
SER_EF2_Matematica9_M1_C2_051_112.indd 84 18/09/15 09:12
Exerc’cios 
 52. Atividade em equipe
Em cada item, um de voc•s determina as raízes mentalmente e justifica a resposta. Os demais colegas conferem para verificar 
se ela está correta.
 a ) x2 1 3x 2 10 5 0 25 e 2
 b ) x2 2 5x 1 4 5 0 1 e 4
 c ) x2 1 4x 1 4 5 0 22 e 22
 d ) x2 2 x 2 6 5 0 3 e 22
 e ) x2 1 8x 1 12 5 0 22 e 26
 f ) x2 1 x 2 20 5 0 4 e 25
 53. Faça os cálculos mentalmente e escreva uma equação do 2o grau cujas raízes são 2 e 7. Depois, resolva a equação usando a 
fórmula para conferir suas raízes. 
Equação: x2 2 9x 1 14 5 0 (ou qualquer outra equivalente a ela), pois 2 1 7 5 9 e 2 ? 7 5 14. 
D 5 81 2 56 5 25; x 5
±9 5
2
→ x9 5
14
2
5 7 e x0 5
4
2
5 2
Determinação de uma equação 
do 2o grau conhecidas suas raízes
Dada a equação do 2o grau ax2 1 bx 1 c 5 0, com a Þ 0, podemos dividir todos 
os termos por a: 02x b
a
x
c
a
1 1 5
Como a soma das raízes (S) é dada por ,b
a
2 e o produto das raízes (P) é dado por 
,c
a
 temos:
x2 2 Sx 1 P 5 0
Usando essa equação, podemos escrever uma equação do 2o grau conhecidas 
as suas raízes.
Por exemplo, vamos determinar a equação do 2o grau cujas raízes são 2 1
4
e .3
10
S 52 1 52 1 5 51
4
3
10
5
20
6
20
1
20
2
40
 
oposto de b
P 5 )( 14 310 3402 ? 52 c a
 Para construir:
 Exercícios 52 e 53 (abaixo)
Nœmeros reais e equaç›es 85
M
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SER_EF2_Matematica9_M1_C2_051_112.indd 85 18/09/15 09:12
Exerc’cios 
 54. Escreva as equa•›es do 2o grau conhecidas suas ra’zes.
 a ) 5 e 6 b ) 0 e 21 1
2
 
 55. Fa•a a verifica•‹o dos dois itens do exerc’cio anterior. 
 56. Determine, em cada item, uma equa•‹o que tenha as ra’zes dadas.
 a ) 3 e 28 
b ) 2 21
2
e 3
4
 
c ) 
2
3
(œnica raiz)
 
 d ) 3 2 e 3 21 2 
 57. Fa•a a verifica•‹o dos itens b e d do exerc’cio anterior.
x2 2 11x 1 30 5 0
(x 2 5)(x 2 6) 5 0 ⇒ x2 2 6x 2 5x 1 30 5 0 ⇒ 
⇒ x2 2 11x 1 30 5 0
S 5 5 1 6 5 11 5 11
1
P 5 5 ? 6 5 60 5 30
1
1x2 2 11x 1 30 5 0
2x2 1 3x 5 0
(x 2 0)( )32x 1 5 0 ⇒ x2 1 3x2 5 0 ⇒
⇒ 2x2 1 3x 5 0
S 5 0 1 1 1
2 )(2 5 322
P 5 0 ? 1 1
2 )(2 5 0 5 02 
2x2 1 3x 1 0 5 0 ⇒ 2x2 1 3x 5 0
a) x2 2 11x 1 30 5 0
D 5 121 2 120 5 1
x 5 
↗
↘
10 1
2
12
2
6
10
2
5
x
x
2 6
95 5
0 5 5
b) 2x2 1 3x 5 0 ⇒
 
x x2 3 0)(⇒ =1
x 5 0
→ →
2x 1 3 5 0 ⇒ 2x 5 23 ⇒
⇒ x 5 3
3
2 5 1 1
2
2
x2 1 5x 2 24 5 0
8x2 1 10x 1 3 5 0
9x2 2 12x 1 4 5 0
x2 2 6x 1 7 5 0
Podemos tambŽm 
chegar ˆ equação procurada partindo de 
(x 2 x')(x 2 x") 5 0, no exemplo 
)(x 141 )(x 3102 5 0. Faça isto!
x2 2 
x3
10
 1 
x
4
 2 
3
40
 5 0
40x2 2 12x 1 10x 2 3 5 0
40x2 2 2x 2 3 5 0
 
Assim, x2 2 2
40
3
40
x 2 5 0 ou 40x2 2 2x 2 3 5 0 Ž uma equa•‹o que tem
2
1
4
 e 3
10
 como ra’zes.
Verifica•‹o:
D 5 b2 2 4ac 5 4 1 480 5 484 x 5 
24
80
3
102 22
80 20
80
1
4
x
x
95 5
6
0 5
2
52
b) 8x2 1 10x 1 3 5 0
D 5 100 2 96 5 4
x 5 
↗
↘
10 2
16
8
16
1
2
12
16
3
4
x
x
2 6
95
2
52
0 5
2
52
d) x2 2 6x 1 7 5 0
D 5 36 2 28 5 8
x 5 
6 8
2
6
 5 
↗
↘
6 2 2
10
6 2 2
2
3 2
6 2 2
2
3 2
x
x
6
95
1
5 1
0 5
2
5 2
 Para construir:
 Exerc’cios 54 a 57 (abaixo)
Nœmeros reais e equações86
SER_EF2_Matematica9_M1_C2_051_112.indd 86 18/09/15 09:12
Um novo caso de fatora•‹o: 
trin™mio do 2o grau
Lembre-se de que fatorar significa transformar em multiplica•‹o. Por exemplo:
¥ 40 5 4 ? 10 Ž uma fatora•‹o do nœmero 40;
¥ 3 ? (x 2 2) Ž uma fatora•‹o da express‹o 3x 2 6.
Voc• j‡ estudou v‡rios casos de fatora•‹o de express›es algŽbricas.
¥ Fator comum em evid•ncia: ab 1 a 5 a(b 1 1)
¥ Diferen•a de dois quadrados: a
2 2 b2 5 (a 1 b)(a 2 b)
¥ Trin™mio quadrado perfeito: a
2 1 2ab 1 b2 5 (a 1 b)2 
e 
a2 2 2ab 1 b2 5 (a 2 b)2
Vejamos outro caso de fatora•‹o no qual aplicamos a equa•‹o do 2o grau.
Uma express‹o do tipo ax2 1 bx 1 c com a, b e c reais e a Þ 0 pode ser fatorada 
assim:
ax2 1 bx 1 c 5 a(x 2 x9)(x 2 x0)
sempre que a equa•‹o ax2 1 bx 1 c 5 0 tiver ra’zes reais (x9 e x0 distintas ou iguais).
Acompanhe os exemplos de fatora•‹o a seguir.
 a ) Fatora•‹o de x2 2 3x 2 10:
Consideramos x2 2 3x 2 10 5 0 e resolvemos a equa•‹o.
D 5 9 1 40 5 49
x 5
3 7
2 4
2
2
10
2
5
x
x6
0 5
2
52
9 5 5
A fatora•‹o Ž x2 2 3x 2 10 5 1 ? (x 2 5)(x 1 2) 5 (x 2 5)(x 1 2).
 b ) Fatora•‹o de 4x2 2 11x 1 6:
 Resolvendo 4x2 2 11x 1 6 5 0, obtemos x9 5 2 e x0 5 3
4
.
 A fatora•‹o Ž 4x2 2 11x 1 6 5 4(x 2 2) )( 34x2 5 (x 2 2)(4x 2 3). 
 c ) Fatora•‹o de 6y2 1 y 2 2:
 Resolvendo 6y2 1 y 2 2 5 0, obtemos y9 5 1
2
 e y0 522
3
.
3
A fatora•‹o Ž 6y2 1 y 2 2 5 6
1 24 34 1 244 344
) )) ( ) (( (12 23 12 23
(2 1) (3 2)
y y y y
y y
2 32 1
5 ? 2 ? ? 1
2 1
5 (2y 2 1)(3y 1 2).
Números reais e equações 87
M
A
T
E
M
ç
T
IC
A
SER_EF2_Matematica9_M1_C2_051_112.indd 87 18/09/15 09:12
Exerc’cios 
 58. Use os casos revistos e fa•a a fatora•‹o das express›es seguintes.
 a ) 8x2 2 10x 5 c ) 25x2 2 9y2 5 
 b ) x2 2 12x 1 36 5 d ) 4a2 1 20ab 1 25b2 5 
 59. Fa•a a fatora•‹o dos trin™mios do 2o grau.
 a ) x2 1 5x 1 4 5 c ) 3x2 2 10x 1 3 5 
 b ) 10x2 2 7x 2 12 5 d ) y2 1 y 2 30 5 
 60. Simplifique a express‹o 
3 30 75
25
2
2
x x
x
1 1
2
 para x Þ 65. 
2x(4x 2 5) (5x 1 3y)(5x 2 3y)
(x 2 6)2 (2a 1 5b)2
(x 1 4)(x 1 1) (x 2 3)(3x 2 1)
(5x 1 4)(2x 2 3) (y 2 5)(y 1 6)
3( 5)
5
x
x
1
2
 ou 3 15
5
x
x
1
2
3(x 10x 25)
(x 5)(x 5)
3(x 5)
(x 5) (x 5)
32 21 1
1 2
5
1
1 2
5
/ ((x 5)
x 5
ou
3x 15
x 5
1
2
1
2
Equações biquadradas
Toda equa•‹o do 4o grau que pode ser escrita na forma ax4 1 bx2 1 c 5 0, com a, 
b e c reais e a Þ 0, Ž chamada de equaç‹o biquadrada.
Sua resolu•‹o Ž feita por meio de equa•›es do 2o grau. Veja o procedimento:
¥ substitua x2 por y e, consequentemente, x4 por y2;
¥ resolva a equa•‹o do 2o grau obtida, determinando y;
¥ como y corresponde a x2, determine os valores de x usando novamente equa•›es 
do 2o grau.
 Para construir:
 Exerc’cios 58 a 60 (abaixo)
Nœmeros reais e equa•›es88
SER_EF2_Matematica9_M1_C2_051_112.indd 88 18/09/15 09:12
Acompanhe os exemplos a seguir.
4x4 2 13x2 1 3 5 0
Fazemos x2 5 y e x4 5 y2.
4y2 2 13y 1 3 5 0
D 5 169 2 48 5 121
y 5 
13 11
8 2
8
1
4
24
8
3
y
y
6
0 5 5
9 5 5
Como y 5 x2, temos:
x2 5 3 ⇒ x 5 6 3
x2 5 1
4
 ⇒ x 5 6 1
4
 5 6 1
2
As raízes reais da equação biquadrada
4x4 2 13x2 1 3 5 0 são 2 23 , 1
2
,
1
2
e 3 .
x4 2 5x2 2 36 5 0
Fazemos x2 5 y e x4 5 y2.
y2 2 5y 2 36 5 0
D 5 25 1 144 5 169
y 5 
5 13
2 8
2
4
18
2 9
y
y
6
0 5 2 5 2
9 5 5
¥ x2 5 9 ⇒ x 5 6 9 5 63
¥ x2 5 24 (Não existe x real.)
As raízes da equação biquadrada
x4 2 5x2 2 36 5 0 são 23 e 13.
5x4 1 25x2 5 0
Fazemos x2 5 y e x4 5 y2.
5y2 1 25y 5 0
y(5y 1 25) 5 0
y 5 0 ou 5y 1 25 5 0
 5y 5 225
 y 5 25
¥ x2 5 0 ⇒ x 5 0
¥ x2 5 25 (Não existe x real.)
A œnica raiz real da equação
5x4 1 25x2 5 0 é 0.
Exerc’cios 
 61. Resolva as equações biquadradas em R.
 a ) 9x4 2 13x2 1 4 5 0 d ) x x2 2 5
2
1
3
7
4 2
 
 b ) x4 1 6x2 1 8 5 0 e ) (x2 2 3)2 5 (x 1 1)(x 2 1)
 c ) 2x4 2 x2 1 6 5 0 f ) 35x4 2 42x2 1 14 5 0
Raízes: 21; 2 2
3
; 2
3
; 1 x 5 22 ou x 5 2
Não tem raiz real. Raízes: 6 5 e 6 2
x 52 2 ou x 5 2 Não tem raiz real.
 Para construir:
 Exercícios 61 a 63 (p. 89 e 90)
Números reais e equações 89
M
A
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E
M
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A
SER_EF2_Matematica9_M1_C2_051_112.indd 89 18/09/15 09:12
Sugestão: multiplicar os dois membros 
por 15x2.
Sugestão: multiplicar os dois membros por 
(x2 2 9)(x2 216).
Equa•›es irracionais
Equa•‹o irracional é uma equação em que há inc—gnita em um ou mais radicais.
Exemplos de equações irracionais:
¥ 1 2x 1 5
¥ 2 13 x 2 5
¥ 4x x2 5
¥ 5 6 0
2x x2 1 5
Para resolver uma equação irracional, precisamos eliminar os radicais. Para isso, 
usamos algumas estratégias.
Acompanhe a resolução das equações nos exemplos a seguir.
a) 7 1x x1 2 5
Veja as etapas de sua resolução.
¥ ÒIsolarÓ o radical no 1
o membro: 1 7.x x2 5 2
¥ Elevar ambos os membros ao quadrado, para eliminar a raiz quadrada: 
)( 1 2x 2 5 (x 2 7)2 ⇒ x 2 1 5 x2 2 14x 1 49 ⇒ x2 2 15x 1 50 5 0
 62. Rosana pensou em um número irracional negativo. Em seguida, elevou esse número ao quadrado, subtraiu 12, elevou a diferen-
ça ao quadrado e obteve 9. Em que número Rosana pensou? 
1 525x 12
5
47
3
02
2x
(x )?
Multiplicamos os dois membros por 15x2.
375x4 1 36 5 235x2
Chamamos x2 5 y e x4 5 y2.
375y2 2 235y 1 36 5 0 ⇒ y95 9
25
 e y 05 4
15
⇒ ⇒x x x5 5 59
25
9
25
3
5
2
⇒ ⇒4
15
4
15
2
15
2 15
15
2x x x5 5 5 5 .
Raízes da equação inicial: 3
5
e 2 15
15
.
9 16
1
2
2
2
2
x
x
x
x2
1
2
5 (x ? 6 3, x ? 6 4)
Multiplicamos os dois membros por (x2 2 9)(x2 2 16).
x2 (x2 2 16) 1 x2 (x2 2 9) 5 (x2 2 9)(x2 2 16) ⇒
⇒ x4 2 16x2 1 x4 2 9x2 5 x4 2 16x2 2 9x2 1 144 ⇒ x4 2 144 5 0
Chamamos x2 5 y e x4 5 y2.
y2 2 144 5 0 ⇒ y 5 612
x2 5 12 ⇒ x5 512 2 3
x2 5 212 (não existe x real.)
Raízes da equação inicial: 62 3 .
2 15
número: x; (x2 2 12)2 5 9 ⇒ x4 2 24x2 1 135 5 0 ⇒ x 5 6 15 ou x 5 63; 2 15 é irracional negativo.
 63. Resolva as equações em R.
 a ) 25 12
5
47
3
2
2
x
x
1 5 (x ? 0) b ) 
9 16
1
2
2
2
2
x
x
x
x2
1
2
5 (x ? 63, x ? 64) 1 2 1 23
5
, 3
5
, 2 15
15
, 2 15
15
. 1 22 3 , 2 3 .
Nœmeros reais e equaç›es90
SER_EF2_Matematica9_M1_C2_051_112.indd 90 18/09/15 09:12
¥ Resolver a equa•‹o obtida: x
2 2 15x 1 50 5 0 ⇒ x9 5 10 e x0 5 5
¥ Testar as ra’zes obtidas na equa•‹o inicial, pois a segunda passagem pode produzir 
Òra’zes estranhasÓ a ela:
x 5 10 ⇒ 7 1 9 5 10 (V) e x 5 5 ⇒ 7 1 4 5 5 (F)
Logo, a equa•‹o irracional dada tem apenas 10 como raiz.
b) 2 3x x1 5
Elevamos ambos os membros ao 
quadrado:
)(2 3 2x 1 5 x2
4(x 1 3) 5 x2
2x2 1 4x 1 12 5 0
x
2 2 4x 2 12 5 0
D 5 16 1 48 5 64
x 5 
4 8
2 4
2
2
12
2 6
x
x6
0 5 2 5 2
9 5 5
Verifica•‹o das ra’zes:
Para x 5 6, temos:
2 6 31 5 6
2 9 5 6
2 ? 3 5 6 (V)
Para x 5 22, temos:
2 2 32 1 5 22
2 1 5 22
2 ? 1 5 22 (F)
A œnica solu•‹o da equa•‹o inicial Ž 6.
c) 2 3 2 4 52x x1 2 1 5
3 2 42x x2 1 5 3
3x2 2 2x 1 4 5 9
3x2 2 2x 2 5 5 0
D 5 4 1 60 5 64
x 5 
2 8
6 6
6
1
10
6
5
3
x
x6
0 5 2 5 2
9 5 5
Verifica•‹o das ra’zes:
Para 5
3
x 5 , temos:
2 3 25
9
2 5
3
41 ? 2 ? 1 5 5
2 75
9
30
9
36
9
1 2 1 5 5
2 81
9
1 5 5
2 91 5 5
2 1 3 5 5 (V)
Para x 5 21, temos:
2 3( 1) 2( 1) 421 2 2 2 1 5 5
2 3 2 41 1 1 5 5
2 91 5 5
2 1 3 5 5 (V)
Logo, 5
3
 e 21 s‹o ra’zes da equa•‹o dada.
Nœmeros reais e equa•›es 91
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4 Sistemas com equações 
do 2o grau
Examine este exemplo:
A diferen•a entre dois nœmeros Ž 10, e o produto deles Ž 216.
Quais s‹o esses nœmeros?
Chamando esses nœmeros de x e y, temos: x 2 y 5 10 e x ? y 5 216.
Para determinar x e y, devemos resolver o sistema de equações 

10
16
x y
xy
2 5
52
1a) Isolamos o x na 1a equa•‹o:
x 2 y 5 10
 x 5 10 1 y
2a) Substitu’mos na 2a equa•‹o esse valor obtido e resolvemos:
 xy 5 216
 (10 1 y)y 5 216
 y2 1 10y 1 16 5 0
 D 5 100 2 64 5 36
 y 5 
10 6
2
4
2
2
16
2
8
y
y
2 6
952 52
052 52
Como determinar a solu•‹o 
deste sistema?
Existem v‡rios mŽtodos. Neste 
caso, podemos usar o mŽtodo 
da substitui•‹o, obedecendo 
ˆs etapas ao lado.
Exercícios 
 64. Resolva as equa•›es irracionais em R.
 a ) 1 112x x5 2 2 b ) 2 1 7 12x x x1 1 5 1 c ) 7 182x x1 5 d ) 5 7 323 x 1 5
 65. Sabendo que a raiz quadrada da diferen•a de um nœmero e 1 Ž igual ˆ diferen•a entre 3 e esse mesmo nœmero, determine esse 
nœmero.
 66. Qual Ž o valor real de x que torna a express‹o 4 7 22x x1 2 igual a x 1 2? 
x 5 6 x 5 0 ou x 5 5 x 5 3 x 5 22 ou x 5 2
5
2 5 2
2
1 3
x
x x
x9 5 1 e x0 5 22
 Para construir:
 Exerc’cios 64 a 66 (abaixo)
Nœmeros reais e equa•›es92
SER_EF2_Matematica9_M1_C2_051_112.indd 92 18/09/15 09:13
3a) Com
os valores obtidos para y, determinamos x, lembrando que x 5 10 1 y.
¥ Para y 5 22: 
x 5 10 1 (22) 5 10 2 2 5 8 → solução (x, y) ; (8, 22)
¥ Para y 5 28: 
x 5 10 1 (28) 5 10 2 8 5 2 → solução (x, y) ; (2, 28)
Portanto, podemos ter: x 5 8 e y 5 22 ou x 5 2 e y 5 28
Verificação:
Diferen•a Produto
x 5 8 e y 5 22
 x 2 y 5 10
8 2 (22) 5 10
 10 5 10
 xy 5 216
8(22) 5 216
 216 5 216
x 5 2 e y 5 28
 x 2 y 5 10
2 2 (28) 5 10
 10 5 10
 xy 5 216
 2(28) 5 216
 216 5 216
Veja mais uma situação que pode ser resolvida por meio de um sistema com 
equações do 2o grau.
A diferença entre dois números é 5, e a soma de seus quadrados é 13. Quais são 
esses números?
Números: x e y.
Sistema: 

5
13
2 2
x y
x y
2 5
1 5
¥ x 2 y 5 5 ⇒ x 5 5 1 y
¥ x
2 1 y2 5 13 ⇒ (5 1 y)2 1 y2 5 13 ⇒ 25 1 10y 1 y2 1 y2 2 13 5 0 ⇒
⇒ 2y2 1 10y 1 12 5 0⇒
(; 2)
y2 1 5y 1 6 5 0
D 5 25 2 24 5 1
y 5 
4
2
2
5 1
2 6
2
3
y
y
9 5
2
5 2
2 6
0 5
2
5 2
¥ y 5 22 → x 5 5 1 (22) 5 3 → Solução (x, y) ; (3, 22)
¥ y 5 23 → x 5 5 1 (23) 5 2 → Solução (x, y) ; (2, 23)
Os números procurados são 3 e 22 ou 2 e 23.
Verificação:
3 ( 2) 3 2 5
3 e 2 .
3 ( 2) 9 42 2
2 2 5 1 5
2
1 2 5 1 135
 
2 ( 3) 2 3 5
2 e 3 .
2 ( 3) 4 9 132 2
2 2 5 1 5
2
1 2 5 1 5
Nœmeros reais e equa•›es 93
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Exerc’cios 
 67. Resolva os sistemas abaixo determinando os pares ordenados que os satisfazem.
 a ) 
2x y 5
x y 8
2 2
1 5
2 5
 d ) 
2 5
1 5
3x y 4
3x 2y 3
2 
 b ) 
2 5x 2y 6
xy 85
 e ) 
1 5
2 5
2x y 4
3x y 2
2 
 c ) 
1 5
2 52x y
5x y 1
2
3 f ) 
1 5
1 5
3x y 1
3x 2y 5
2 2
2 
 68. Descubra a área da região triangular abaixo, sabendo que seu per’metro é de 30 cm e que x , y. Dica: use a relação de Pitágoras 
que voc• deve ter estudado no 8o ano. 30 cm2
 69. Existem apenas dois números naturais tais que:
¥ a diferença entre um deles e o triplo do outro é igual a 3;
¥ o produto dos dois é igual a 36.
Quais são esses números? 
)( 2113 , 73 e (3, 21) )( 253 , 1
(8, 1) e (22, 24) (0, 22) e )(1 19 , 1 13
Não existe par de números reais 
que seja solução deste sistema.
(1, 21) e )(2 35 , 75
12 e 3 { ⇒x yxy2 553 336 x 5 12 e y 5 3 ou x 5 29 e y 5 24 (não servem)
 Para construir:
 Exerc’cios 67 a 69 (abaixo)
y cm
x cm
13 cm
 { ⇒x yx y1 51 1 51313 302 2 2 { ⇒x yx y1 51 5 169172 2 x 5 5 cm e y 5 12 cm ou x 5 12 cm e y 5 5 cm (não serve, 12 . 5)
Logo, a área é dada por:
?5 12
2
5 30; 30 cm2 
Nœmeros reais e equa•›es94
SER_EF2_Matematica9_M1_C2_051_112.indd 94 18/09/15 09:13
Exercícios 
 70. A temperatura C (em graus Celsius) de um forno Ž regulada de modo que varie com o tempo t (expresso em minutos) de acor-
do com a lei C 5 300 2 0,5t2 1 15t, com 0 < t < 30. Aplicando essa lei:
 a ) calcule a temperatura no instante t 5 0; 
 b ) verifique em que instante a temperatura atinge 400 8C no intervalo considerado. 
 71. O nœmero m‡ximo de intersec•›es poss’veis (I) com n retas distintas em um plano Ž dado pela express‹o I 5 
2
.
2n n2
 Veja 
alguns exemplos:
n 5 2
I 5 1
2 2
2
4 2
2
2
2
2 2
5
2
5 5 1
n 5 3
I 5 3
3 3
2
9 3
2
6
2
2 2
5
2
5 5 3
n 5 4
I 5 6
4 4
2
16 4
2
12
2
2 2
5
2
5 5 6 
 Qual Ž o nœmero de retas distintas que devem ser tra•adas em um plano para que o 
nœmero m‡ximo poss’vel de intersec•›es entre elas seja 15? 
300 8C
10 min ou 20 min
300 2 0,5t2 1 15t 5 400 ⇒ t 5 10 ou t 5 20
6 retas
A dist‰ncia entre duas cidades A e B Ž de aproximadamente 240 km. Aline percorreu essa dist‰ncia em determinado tem-
po. Ela disse, a um colega, que dirigiu com cautela devido ˆ chuva que caiu durante o percurso. Como professora de Matem‡tica, 
acrescentou que, se tivesse aumentado sua velocidade mŽdia em 20 km/h, teria feito o mesmo percurso em 1 hora a menos.
 a ) Qual foi o tempo que a professora Aline gastou para fazer o percurso entre as cidades A e B? 
 b ) Qual foi a velocidade mŽdia com a qual Aline fez esse percurso? 60 km/h
4 horas
Desafio
Raciocínio l—gico
Um mentiroso disse: ÒVeja que coincid•ncia: perdi meu bilhete premiado de loteria nœmero 2 324, mas depois o encontrei 
exatamente entre as p‡ginas 23 e 24 de um livro0. Como se descobre a mentira? 
Em qualquer livro, as p‡ginas pares est‹o sempre ˆ esquerda e as p‡ginas ’mpares, ˆ direita. Assim, ele n‹o poderia encontrar o bilhete entre as p‡ginas 23 e 24.
 a ) ⇒ ⇒
⇒
x x
x x
x x
1 5
2
2 2 5
9 5 0 52
240 20 240
1
12 0
4 e 3 (n‹o serve)
2
Logo, a professora gastou 4 horas para fazer o percurso.
 b ) 5;240 4 60
Portanto, ela fez a viagem com uma velocidade mŽdia de 60 km/h.
Se sua velocidade fosse 80 km/h (20 km/h a mais), ela faria o per-
curso em 3 horas (240 ; 80 5 3).
5 Outras situa•›es que envolvem 
equa•›es do 2o grau
Veja outras situa•›es em que voc• pode aplicar o que estudou sobre equa•›es 
do 2o grau.
 Para construir:
 Exerc’cios 70 e 71 (abaixo)
 Para praticar:
 Tratamento da informa•‹o 
(p. 99 e 100)
 Outros contextos (p. 101 a 104)
 Praticando um pouco mais 
(p. 105 e 106)
 Revis‹o cumulativa (p. 107 e 108)
 Para aprimorar:
 Desafio (abaixo)
 Racioc’nio l—gico (abaixo)
 Conex›es (p. 96 e 97)
 Jogos (p. 98)
⇒ ⇒ ⇒
2
15
2
30 0 6 ou 5 (não serve)
2 2
2I
n n n n
n n n n5
2
5
2
2 2 5 5 52
Nœmeros reais e equa•›es 95
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Conex›es
Oito em cada dez brasileiros n‹o seguem uma dieta 
equilibrada
Uma pesquisa feita em nove pa’ses das AmŽricas mostra que a obesidade n‹o para de crescer, inclusive no Brasil. Por aqui, qua-
se a metade dos entrevistados disse que est‡ acima do peso, mas o brasileiro foi o povo mais disposto a fazer mudan•as na alimenta-
•‹o. O que falta botar em pr‡tica s‹o os exerc’cios f’sicos. A maioria dos entrevistados confessou que n‹o faz dieta, nem faz exerc’cios.
Oito em cada dez brasileiros n‹o seguem uma dieta equilibrada. Mas, o pior mesmo, Ž que muita gente n‹o faz nenhum exerc’cio. 
O resultado disso a gente percebe cada vez mais nas ruas e nos consult—rios mŽdicos. [...]
BOM dia Brasil. Dispon’vel em: <http://g1.globo.com/bom-dia-brasil/noticia/2014/11/oito-em-cada-
dez-brasileiros-nao-seguem-uma-dieta-equilibrada.html>. Acesso em: 11 maio 2015.
 1. Qual Ž a import‰ncia de seguir uma dieta equilibrada e praticar exerc’cios f’sicos? 
Resposta pessoal.
 2. Observe o t’tulo da matŽria e responda: Qual Ž a porcentagem de brasileiros que n‹o seguem uma dieta equilibrada? 
80% (8 em 10 equivalem a 80 em 100% ou 80%).
 3. Pesquise quais doen•as podem ser causadas por uma m‡ alimenta•‹o e discuta com os colegas como Ž composta uma dieta 
considerada saud‡vel. 
Esta atividade estimula o c‡lculo mental.
Resposta pessoal. 
Ë esquerda, detalhe de pessoa em pra•a de alimenta•‹o consumindo alimentos do 
tipo fast food (significa Òcomida r‡pidaÓ em ingl•s). Ë direita, fotografias de alguns 
alimentos desse tipo oferecidos em estabelecimentos comerciais.
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Explique aos alunos que a obesidade Ž um problema t‹o grave quanto a desnutri•‹o. Diversas patologias e condi•›es cl’nicas est‹o associadas ˆ obesidade. 
Alguns exemplos s‹o: acidente vascular cerebral, conhecido
popularmente como derrame cerebral; diabetes; doen•as cardiovasculares; etc. (Dispon’vel em: 
Fa•a um levantamento dos conhecimentos prŽvios dos alunos sobre manter uma dieta equilibrada 
e praticar exerc’cios f’sicos. Disponibilize um tempo para que discutam o assunto.
As imagens desta p‡gina n‹o est‹o representadas em propor•‹o.
<http://bvsms.saude.gov.br/bvs/publicacoes/obesidade_desnutricao.pdf>. Acesso em: 11 maio 2015.)
 Ci•ncias Humanas e suas Tecnologias
 Ci•ncias da Natureza e suas Tecnologias
 Linguagens, C—digos e suas Tecnologias
 Matem‡tica e suas Tecnologias
Nœmeros reais e equa•›es96
SER_EF2_Matematica9_M1_C2_051_112.indd 96 18/09/15 09:13
Voc• se lembra o que Ž IMC? Leia o texto e responda ˆs quest›es.
O êndice de Massa Corporal (IMC) Ž um dos indicadores usados pela Organiza•‹o Mundial de Saœde (OMS) para verifica•‹o 
do estado nutricional de um indiv’duo.
IMC massa
altura altura
5
?
 ou IMC massa
(altura)2
5 , sendo a massa 
em quilogramas e a altura em metros.
 4. Calcule o IMC de um adulto que pesa 64 quilogramas e tem altura de 
1,60 metro. IMC 5 25 
 Disponibilize para a turma o Guia alimentar para a população brasileira 2014 para que realizem a pesquisa. Dispon’vel em: <http://portalsaude.saude.gov.br/
images/pdf/2014/novembro/05/Guia-Alimentar-para-a-pop-brasiliera-Miolo-PDF-Internet.pdf>. Acesso em: 11 maio 2015. Outro documento que poder‡ 
Fonte: Organiza•‹o Mundial de Saœde (OMS), 1995 e 1997.
IMC (kg/m2) Classifica•‹o
, 16,00 Magreza grau III
16,0 Ð 16,9 Magreza grau II
17,0 Ð 18,4 Magreza grau I
18,5 Ð 24,9 Eutrofia (peso adequado)
25,0 Ð 29,9 Sobrepeso
30,0 Ð 34,9 Obesidade grau I
35,0 Ð 39,9 Obesidade grau II
> 40,00 Obesidade grau III
Tabela para classifica•‹o Ð Adultos
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1,5 m 
20 5 55
x2
 ⇒ x 5 6 1,5
ser disponibilizado Ž o Obesidade e desnutrição. Dispon’vel em: <http://bvsms.saude.gov.br/bvs/publicacoes/
obesidade_desnutricao.pdf>. Acesso em: 11 maio 2015.
 5. Fa•a uma pesquisa sobre massa e altura com adultos da sua casa, da sua rua, seus amigos e calcule o IMC deles. Construa uma 
tabela separando-os pela situa•‹o e calcule a porcentagem dos resultados obtidos. 
Veja os dez passos para uma alimenta•‹o adequada e saud‡vel propostos pelo MinistŽrio da Saœde:
1o) Fazer de alimentos in natura ou minimamente processados a base da alimentação.
2o) Utilizar óleos, gorduras, sal e açúcar em pequenas quantidades ao temperar e co-
zinhar alimentos e criar preparações culinárias.
3o) Limitar o consumo de alimentos processados.
4o) Evitar o consumo de alimentos ultraprocessados.
5o) Comer com regularidade e atenção, em ambi entes apropriados e, sempre que 
possível, com companhia.
6o) Fazer compras em locais que ofertem variedades de alimentos in natura ou minima-
mente processados.
7o) Desenvolver, exercitar e partilhar habilidades culinárias.
8o) Planejar o uso do tempo para dar à alimentação o espaço que ela merece.
9o) Dar preferência, quando fora de casa, a locais que servem refeições feitas na hora.
10o) Ser cr’tico quanto a informa•›es, orienta•›es e mensagens sobre alimenta•‹o veiculadas em propagandas comerciais.
Fonte: Guia alimentar para a população brasileira. Dispon’vel em: <http://189.28.128.100/dab/
docs/portaldab/publicacoes/guia_alimentar_populacao_brasileira.pdf>. Acesso em: 11 maio 2015.
 6. Calcule a altura, em metros, de um adulto de massa 55 kg e IMC 5 20.
 7. Fa•a uma campanha de conscientiza•‹o contra os maus h‡bitos alimentares. Junte-se aos colegas e elaborem cartazes aler-
tando sobre a import‰ncia de uma dieta equilibrada para prevenir doen•as consequentes da obesidade e da desnutri•‹o.
Resposta pessoal. 
5 5
64
1 60
64
2 56
252( , ) ,
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Quantas ra’zes h‡?
Com esse jogo, além de se divertir você vai aplicar alguns dos conteúdos que aprendeu neste capítulo. Preste atenção às 
orientações e bom jogo!
Orienta•›es:
Número de participantes: 2
Como jogar:
Inicialmente os participantes devem preparar 12 peças de papel com as letras de A a L e dobrá-las para sorteio.
AA B E G J LF
IG IH LJ
KB C EC D
Descriç‹o de uma rodada: Cada participante sorteia um papel, verifica a equação correspondente, determina quantas raízes reais a 
equação sorteada tem usando o valor de D ou outro conhecimento adquirido e marca os pontos no quadro de pontuação.
¥ Se a equação não tiver raízes reais, não marca ponto (0).
¥ Se a equação tiver duas raízes reais iguais, marca 1 ponto (1).
¥ Se a equação tiver duas raízes reais distintas, marca 2 pontos (2).
Quadro de pontuação
Nomes Pontuação nas rodadas Pontuação total
 
 
Vence o jogo quem conseguir mais pontos após as 6 rodadas.
A x2 1 x 1 1 5 0 Δ , 0 E 4x2 2 4x 1 1 5 0 Δ 5 0 I 2x2 2 3x 1 1 5 0 Δ . 0
B x2 2 11x 1 30 5 0 Δ . 0 F 3x2 1 108 5 0 Δ , 0 J (x 2 2) (x 2 2) 5 0 Δ 5 0
C x2 2 6x 1 9 5 0 Δ 5 0 G 7x2 2 10x 1 4 5 0 Δ , 0 K 3x2 – 27 5 0 Δ . 0
D x (x 1 1) 5 0 Δ . 0 H x (x 2 1) 5 11x 2 36 Δ 5 0 L 2x (x 2 1) 5 2 4 Δ , 0
0 ponto 1 ponto 2 pontos
2 pontos 0 ponto 1 ponto
1 ponto 0 ponto 2 pontos
2 pontos 1 ponto 0 ponto
Jogos
Nœmeros reais e equações98
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Tratamento da informação
 72. Produ•‹o de pescado no Brasil 
 A produção de pescado (que envolve peixes, crustáceos, moluscos, etc.) é uma importan-
te atividade socioeconômica no Brasil. Milhares de brasileiros retiram seu sustento dessa 
atividade, seja no mar, seja na água doce. A produção de pescado envolve tanto a pesca 
extrativista quanto a aquicultura, ou seja, o cultivo em cativeiro (por exemplo, em tanques 
e piscinas).
 No entanto, apesar da importância econômica da produção de pescado e dos benefícios à 
saúde de se comer frutos do mar, principalmente peixes, é importante lembrar que se 
trata de uma atividade que pode agredir o meio ambiente. Uma das mais graves ameaças 
é a sobrepesca, ou seja, a pesca exagerada, que ultrapassa os limites sustentáveis para a 
captura de pescado. No Brasil, o Ibama (Instituto Brasileiro do Meio Ambiente e dos Recur-
sos Naturais Renováveis) estabelece cotas de captura específicas para cada unidade da 
federação, que devem ser respeitadas para evitar a extinção das espécies.
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Além da sobrepesca, também deve -se tomar cuidado no cultivo de pescado, para não se 
destruir mangues e outras formas de vegetação nativa para a instalação de tanques e 
criadouros.
Pescadores na Ba’a de Guanabara, Rio de Janeiro (RJ). Foto de 2013.
99Nœmeros reais e equa•›es
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 a ) De que tipo é esse gr‡fico? 
De segmentos (ou linhas).
 b ) A que se refere o gr‡fico? 
Ë produ•‹o de pescado no Brasil, por modalidade, de 1999 a 2011.
 c ) Qual é a fonte desse gr‡fico? 
MPA Ð Boletim Estat’stico da Pesca e Aquicultura 2008, 2009 e 2011.
 d ) Quais modalidades de atividade pesqueira o gr‡fico descreve? 
Pesca marinha, pesca continental, cultivo marinho e cultivo continental.
 e ) Em qual modalidade h‡ maior produ•‹o de pescado? 
Pesca marinha.
 f ) Qual foi a produ•‹o total aproximada de pescado em 2011? 
Aproximadamente 1 400 000 toneladas.
 g ) Em que ano come•ou a haver decl’nio na produ•‹o de pescado por cultivo marinho? O que ocorreu com a produ•‹o dessa 
modalidade de 2005 a 2011? 
2003; come•ou a se estabilizar.
 
Produção de pescado no Brasil, por modalidade, 1999-2011
0
1 200
1 400
1 600
1 000
800
600
400
200
2000 2001 2002 2003 2004 2005 2006 2007 2008 2009 2010 20111999
Ano
(Em 1
 
 000 t)
Total
Cultivo marinho
Pesca marinha
Cultivo continental
Pesca continental
Fonte: IBGE - Indicadores de Desenvolvimento Sustent‡vel 2010. Dispon’vel em: <http://ibge.gov.br/home/geociencias/
recursosnaturais/ids/ids2010.pdf>; MPA - Boletim Estat’stico da Pesca e Aquicultura 2008-2009 . Dispon’vel em: <www.sepaq.pa.gov.br/
files/u1/anuario_da_pesca_completo.pdf>; MPA - Boletim Estat’stico da Pesca e Aquicultura 2011. Dispon’vel em: <www.mpa.gov.br/
images/Docs/Informacoes_e_Estatisticas/Boletim%20MPA%202011FINAL.pdf>. Acesso em: 12 maio 2015. 
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 Agora analise o gr‡fico abaixo e responda ˆs quest›es a seguir.
100 Números reais e equações
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Outros contextos
 73. O terreno de seu Juca
A figura abaixo, formada por uma regi‹o retangular e por uma regi‹o triangular, representa o terreno de seu Juca.
x 1 22x
x
Sabe -se que a ‡rea da regi‹o retangular Ž o triplo da ‡rea da regi‹o triangular. 
Qual Ž a ‡rea total do terreno? 
As medidas est‹o indicadas em metros.
 74. Matem‡tica financeira
Bianca e Gustavo aplicaram a quantia de R$ 1 500,00, no in’cio de um ano, 
para rendimento em um banco. No final de cada ano, o banco incorpora, 
na conta de Bianca e Gustavo, x por cento da quantia aplicada no in’cio 
do ano.
 a ) Qual Ž a express‹o que indica a quantia com que Bianca e Gustavo 
ficaram no final de dois anos? 
 b ) Qual deve ser a quantia no final de dois anos, quando a taxa Ž de 12% ao ano? 
 c ) Qual deve ser a taxa anual para que, apli can do R$ 1 500,00, Bianca e Gustavo tenham R$ 1 815,00 no final de dois anos? 
96 m2
2x2 5 3 ? ⇒
x x 1( 2)
2
 x2 2 6x 5 0 ⇒ 
⇒ x 5 6 ou x 5 0 (n‹o serve)
2 ? 62 5 72
?6 8
2
 5 24
72 1 24 5 96
Para x 5 12, temos:
?3 144
20
 1 360 1 1 500 5 21,60 1 360 1 1 500 5 1 881,60
No final de dois anos eles ter‹o R$ 1 881,60.
x3
20
2
1 30x 1 1 500 5 1 815 ⇒
⇒ 3x2 1 600x 1 30 000 2 36 300 5 0 ⇒
⇒ x2 1 200x 2 2 100 5 0 ⇒
⇒ x9 5 10 e x0 5 2210 (n‹o serve)
A taxa deve ser de 10% ao ano.
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Casal realizando investimento em banco.
Final do 1o ano: 1 500 1 x
100
 ? 1 500 5 5 1 500 1 15x
Final do 2o ano: (1 500 1 15x) 1 x
100
 ? (1 500 1 15x) 5 1 500 1 15x 1 15x 1 x 515
100
2
x
5
3
20
2
 1 30x 1 1 500 ou 0,15x2 1 30x 1 1 500
Logo, a express‹o que indica com que quantia Bianca e Gustavo ficaram no final de dois 
anos Ž x3
20
2
 1 30x 1 1 500 ou 0,15x2 1 30x 1 1 500.
101Nœmeros reais e equa•›es
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 77. Marcenaria
Muitos brinquedos educativos são feitos de madeira. Veja alguns belos exemplos.
 75. Problema de idade
Dois irmãos, Marcelo e Carlos, decidiram criar um problema 
que envolvesse as suas idades. Marcelo, o mais velho, dis-
se: o triplo da sua idade menos a minha resulta em 27. 
Carlos, por sua vez, afirmou: o quadrado da sua idade menos o 
quadrado da minha idade resulta 99. 
Qual é a diferença entre a maior e a menor idade? 
Marcelo tem 18 anos e Carlos tem 15 anos; portanto, a diferença entre as 
idades é 3 anos.
Irm‹os utilizando um notebook.
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 76. A piscina de Laura
Na casa de Laura, há uma piscina retangular, de 6 m por 12 m, contornada por 
uma superfície ladrilhada de x metros de largura. Sabendo que, juntas, a piscina 
e a superfície ladrilhada ocupam uma área de 160 m2, determine a medida x. 
(12 1 2x)(6 1 2x) 5 160 ⇒ x2 1 9x 2 22 5 0 ⇒ x9 5 2 e x99 5 211 (não serve)
Logo, x 5 2 m.
x 5 2 m
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Brinquedos educativos feitos de madeira.
Como se pode ver, fazer brinquedos de madeira é mais do que um ofício. É uma arte.
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12
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Piscina
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102 Nœmeros reais e equa•›es
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Em sua casa de campo, vov™ Raul, que Ž marceneiro, construiu uma casinha para seus netos brincarem. Ele pintou toda a 
parte frontal, inclusive a porta, de uma mesma cor. Veja a representa•‹o da vista frontal dessa casa:
 I ) Ap—s efetuar as medi•›es, vov™ Raul percebeu que a vista frontal da casa tinha uma ‡rea de 2,4 m2. Sabendo disso, analise 
o esquema abaixo para resolver o que se pede.
 
0,4 m
xxx
2x
 Considerando que todas as medidas est‹o em metros, encontre a medida: 
 a ) da altura da porta; 
 b ) da largura da porta; 
 c ) da altura da casinha. 
 II ) Pensando em fazer mais tr•s casinhas, vov™ Raul resolveu esbo•ar outro projeto usando o 
mesmo formato anterior, mas mudando a cor e diminuindo as dimens›es, fazendo dessa vez 
o seguinte esquema:
 Os itens abaixo indicam a ‡rea total da regi‹o frontal de cada casinha. Calcule as dimens›es da 
porta de cada uma delas. Se necess‡rio, use valores aproximados e calculadora.
 a ) 2 m2 
 b ) 0,975 m2 
 c ) 0,5 m2 
Base do tri‰ngulo: 3x
Altura do tri‰ngulo: 2x 1 0,4
x x? 13 (2 0,4)
2
 5 2,4 ⇒ 6x2 1 1,2x 5 4,8 ⇒ 5x2 1 x 2 4 5 0 ⇒ x9 5 0,8 ou x0 5 21 (n‹o serve)
a) 2x 5 2 ? 0,8 5 1,6; 1,60 m
b) x 5 0,8; 0,8 m
c) 2x 1 0,4 5 1,6 1 0,4 5 2; 2,0 m
1,60 m
0,8 m
2,0 m
0,74 m por 1,48 m
0,5 m por 1 m
0,34 m por 0,68 m
0,3 m
xxx
2x
Nœmeros reais e equa•›es 103
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 III ) Retome as respostas obtidas anteriormente e faça o que se pede.
 a ) Essas medidas são apropriadas para uma casinha de crianças? 
 b ) Justifique suas escolhas. 
Espera -se que os alunos observem que, pelas medidas da porta, pode -se concluir se uma criança consegue ou não passar por ela. Nesse sentido, 
os alunos deverão fazer estimativas da altura de crianças de diferentes idades para justificar suas respostas.
 78. Engenharia
Um reservatório de água tem as dimensões internas em metros indicadas na figura abaixo. O material usado para revestir o 
fundo custa R$ 20,00 o metro quadrado, e o material usado para revestir as paredes laterais custa R$ 40,00 o metro quadrado.
x
x
16
 a ) Encontre uma fórmula que expresse o custo de todo revestimento (fundo e lateral). 
 b ) Se o custo de todo o revestimento foi R$ 7 680,00, qual é o valor de x? 
Resposta pessoal.
Resposta pessoal.
80x2 1 1 600x
A área do fundo do reservatório, em metros quadrados, é 16x.
O gasto com o revestimento do fundo, em reais, é 16x ? 20 5 320x.
A área das quatro paredes laterais juntas, em metros quadrados, é 2 ? x ? x 1 2 ? 16 ? x ou 2x2 1 32x.
O gasto com o revestimento lateral, em reais, é (2x2 1 32x) ? 40 ou 80x2 1 1 280x. Logo, o custo total é:
320x 1 (80x2 1 1 280x) 5 80x2 1 1 600x
b) 80x2 1 1 600x 5 7 680 ⇒ x9 5 4 e x0 5 224 (não serve).
x 5 4
104 Números reais e equações
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Praticando um pouco mais
 1. (PUC-MG) Os valores de x que verificam a equação 0,01x2 1 0,05x 5 2,50 2 0,10x pertencem ao conjunto:
 a
) {–25, –17, 10, 16}. b ) {–23, –14, 11, 12}. c ) {–17, –10, 14, 25}. d ) {–23, –16, 17, 21}.
 2. (UFG-GO – Adaptada) Para que a soma das raízes da equação (k 2 2)x2 2 3kx 1 1 5 0, com k Þ 2, seja igual ao seu produto 
devemos ter:
 a ) 1
3
k 5 . d ) 3k 5 .
 b ) 1
3
k 52 . e ) 3
3
k 5 .
 c ) 1
4
k 5 .
 3. (PUC-MG) Os números reais p e q são as raízes da equação 15x2 2 11x 1 2 5 0. Então, o valor de 1 1
p q
1 é:
 a ) 4,5. c ) 5,5.
 b ) 5,0. d ) 6,0.
 4. (UFV-MG) A soma das raízes das equações 3x2 2 5x 2 2 5 0 e 5x 2 2 5 2x 2 1 é:
 a ) 0. c ) 2.
 b ) 1. d ) 3.
 5. (Unimontes-MG) Considere a equação ax2 1 bx 1 a 5 0, em que a . 0, a, b [ Z. Se essa equação possui duas raízes reais iguais, 
então:
 a ) b , a.
 b ) b é um número ímpar.
 c ) b é um número par.
 d ) b 5 a.
0,01x2 1 0,05x 5 2,50 2 0,10x (? 100) ⇒ 
⇒ x2 1 5x 5 250 2 10x ⇒ 
⇒ x2 1 15x 2 250 5 0 ⇒ 
⇒ x 5 10 ou x 5 225
X
⇒
2 2
2
5
2
5
Soma: 3
2
; produto: 1
2
;
3
2
1
2
1
3
k
k k
k
k k
k
X
X
X
Soma das raízes da equação do 2o grau: 5
3
Raiz da equação do 1o grau: x5 1
3
1 5 5
5
3
1
3
6
3
2
(As raízes serão reais e iguais para D 5 0. Então: 
b2 2 4aa 5 0 ⇒ b 5 62a.
Todo número multiplicado por 2 ou 22 é par.)
X
Soma: 11
15
; produto: 2
15
p q
q p
p q
1 5
1
?
5 5 ? 5 5
1 1
11
15
2
15
11
15
15
2
11
2
5,5
105Nœmeros reais e equa•›es
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 6. (Ufam) As ra’zes da equa•‹o x2 1 7x 1 m 5 0, em que m Ž uma constante real, s‹o os nœmeros x
1
 e x
2
. Se x
1
 2 2x
2
 5 5, o valor 
da constante m Ž:
 a ) 7. b ) 10. c ) 21. d ) 27. e ) 12.
 7. (UFPE) A soma dos quadrados das ra’zes reais da equa•‹o x4 1 36 5 13x2 resulta:
 a ) 0. b ) 5. c ) 10. d ) 26. e ) 40.
 8. (PUCC-SP) Se v e w s‹o as ra’zes da equa•‹o x2 1 ax 1 b 5 0, em que a e b s‹o coeficientes reais, ent‹o v2 1 w2 Ž igual a:
 a ) a2 2 2b.
 b ) a2 1 2b.
 c ) a2 2 2b2.
 d ) a2 1 2b2.
 e ) a2 2 b2.
 9. (UFPA) Um pai tinha 36 anos quando nasceu seu filho. Multiplicando-se as idades que possuem hoje, obtŽm-se um produto que 
Ž igual a 4 vezes o quadrado da idade do filho. Hoje, as idades do pai e do filho s‹o, respectivamente:
 a ) 44 e 11.
 b ) 48 e 12.
 c ) 52 e 13.
 d ) 60 e 15.
 e ) 56 e 14.
 10. (UFPE) Os alunos de uma turma resolveram comprar um presente custando R$ 48,00 para o professor de Matem‡tica, dividin-
do igualmente o gasto entre eles. Depois que 6 alunos recusaram-se a participar da divis‹o, cada um dos alunos restantes teve 
que contribuir com mais R$ 0,40 para a compra do presente. Qual a percentagem de alunos da turma que contribu’ram para a 
compra do presente? 
 a ) 85%
 b ) 65%
 c ) 60%
 d ) 80%
 e ) 75%
X
x4 2 13x2 1 36 5 0; para x2 5 y, temos: 
y2 2 13y 1 36 5 0 ⇒ y 5 9 ou y 5 4.
Ent‹o, x 5 63 ou x 5 62. 
(13)2 1 (23)2 1 (12)2 1 (22)2 5 9 1 9 1 4 1 4 5 26
X
v 1 w 5 2a ⇒ (v 1 w)2 5 (2a)2 ⇒ v2 1 2vw 1 w2 5 a2.
Como v ? w 5 b, temos:
v2 1 2b 1 w2 5 a2 ⇒ v2 1 w2 5 a2 2 2b
X
Idade do filho: x; idade do pai: 36 1 x; 
x(36 1 x) 5 4x2 ⇒ 
⇒ 3x2 2 36x 5 0 ⇒ x 5 0 (n‹o convŽm) 
ou x 5 12; 12 1 36 5 48
X
X
Antes:
Alunos: x
Gasto de cada aluno: y
xy 5 48
Depois:
(x 2 6)(y 1 0,4) 5 48
xy 1 0,4x 2 6y 2 2,4 2 48 5 0
48 1 0,4x 2 6 ? 
x
48
 
2 2,4 2 48 5 0
0,4x2 2 288 2 2,4x 5 0 (? 10)
4x2 2 24x 2 2 880 5 0 (; 4)
x2 2 6x 2 720 5 0
x 5 30 ou x 5 224 (n‹o serve)
Logo, x 5 30; x 2 6 5 30 2 6 5 24.
24
30
 5 8
10
 5 80
100
5 80%
Portanto, 80% dos alunos contribu’ram para a compra do presente.
{x xx x1 5 22 5 72 51 2
1 2
 ⇒ x
1
 5 23 e x
2
 5 24; substituindo x
1
 ou x
2
 na equa•‹o, temos m 5 12.
106 Números reais e equações
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Revisão cumulativa
 1. Multiplicando a idade que Marta terá daqui a 3 anos com sua idade de 2 anos atrás, o 
número obtido é 84. Qual das três mulheres da figura você acha que é a Marta? Calcule 
a idade de Marta e confira sua resposta. 
 2. Um fogão custa, à vista, R$ 720,00. Se for pago em 5 prestações iguais, o preço total tem um acréscimo de 8%. Qual é o valor 
de cada prestação? 
 3. Aumentando em 2 m os lados de um salão de forma quadrada, a área do piso do novo salão, aumentado, é de 121 m2. Qual é a 
área do piso do salão original? 
 4. São dados dois números negativos a e b, tal que a 2 2b 5 4 e a 1 b2 5 7. Então:
 a ) ab 5 12. b ) a2 1 b2 5 13. c ) a2b 5 218. d ) a2 2 b2 5 5.
 5. Uma região retangular tem 36 m2 de área. Aumentando 1 m no comprimento e 1 m na largura, a nova região retangular passa a 
ter 50 m2 de área. O perímetro da primeira região é de:
 a ) 26 m. b ) 28 m. c ) 24 m. d ) 30 m.
Idade atual: x
(x 1 3)(x 2 2) 5 84 ⇒ x2 1 x 2 90 5 0
Raízes: 210 (não serve) e 9
Verificação: 9 1 3 5 12
9 2 2 5 7
12 ? 7 5 84
Logo, Marta tem 9 anos (a menina).
Resposta pessoal.
R$ 155,52 
8% de 720 5 57,60; 720 1 57,60 5 777,60; 777,60 ; 5 5 155,52
81 m2 
(, 1 2)2 5 121 ⇒ , 5 9; ,2 5 81
X
xy 5 36 e (x 1 1)(y 1 1) 5 50 ⇒ x 1 y 5 13; 13 1 13 5 26
X
P
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 M
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 d
a
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d
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{ 2 51 52 4b 72a ba ⇒ a 5 22 e b 5 23; 4 1 9 5 13
M
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 S
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za
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a
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d
it
o
ra
36
1 1 50
36
13 36 0
ou
4 e 9
9 e 4
2
x y
x y
x
y
y y
x y
x y
{ ( )( )



⇒
? 5
1 1 5
5
2 1 5
5 5
5 5
Dimensões: 4 m e 9 m.
P 5 4 1 4 1 9 1 9 5 26; 26 m
107Números reais e equações
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 6. (Mack -SP) A soma das idades de n pessoas é 468 anos. Se aumentarmos 3 anos à idade de cada pessoa, a nova soma será 
573 anos. Então n vale:
 a ) 27. b ) 29. c ) 31. d ) 33. e ) 35.
 7. A soma de dois números é 62. A diferença entre eles é 8. Quais são esses números? 
 8. Quais os números que podem substituir o x no esquema?
x ? x
x 5x? 2
 →  →
 9. Determine quais são as raízes da equação x2 1 2
3
1
9
4
25
.x1 5 
 10. Resolva as equações:
 a ) 
4
4
10
2x x
2
1
5 8 b ) 22x2 1 800 5 0 
 11. Em um losango, a diagonal menor mede x, e a diagonal maior mede x 1 3, em centímetros. Se a área da região determinada por esse 
losango é de 45 cm2, qual das equações abaixo define essa situação?
 a ) x2 1 6x 2 90 5 0
 b ) x2 1 3x 1 90 5 0
 c ) x2 1 3x 2 90 5 0
 d ) x2 1 6x 1 90 5 0
 12. Assinale a equação abaixo que tem 248 e 10 como raízes.
 a ) x2 2 38x 1 480 5 0
 b ) x2 1 38x 1 480 5 0
 c ) x2 1 38x 2 480 5 0
 d ) x2 2 38x 2 480 5 0
468 1 3n 5 573 ⇒ n 5 35
X
35 e 27 { } 1 52 5x yx y 628
0 e 6 (x2 2 5x 5 x ⇒ x2 2 6x 5 0 ⇒ x(x 2 6) 5 0 ⇒ x9 5 0 e x0 5 6)
1
15
 e )( )(x2 1 51115 13 4252
x9 5 6 e x0 5 25,6
x9 5 20 e x0 5 220
X
)( x x1 5( 3)2 45
(S 5 238; P 5 2480)
X
Números reais e equações108
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 Ponto de chegada
A Matem‡tica nos textos
Prova de que 2 Ž irracional
O matem‡tico gre go Euclides 
de Ale xan dria (330 a.C. -260 a.C.), 
usando um tipo de ra cio c’ nio de no-
mi nado redu ção ao absurdo, pro-
vou que 2 n‹o Ž um número ra-
cional. Veja como o matem‡tico 
grego pensou.
Ele sup™s que 2 fosse um 
número racional. Assim, 2 ,5
p
q
 
com p e q números primos entre 
si (s— t•m o 1 como divisor co-
mum), simplificando a fraç‹o pre-
viamente.
Elevando ambos os membros ao quadrado, ele encontrou:
2 5 
2
2
,
p
q
 ou seja, p2 5 2q2
Logo, p2 Ž par, o que resulta que p Ž par, isto Ž, p 5 2n, 
n [ Z. I
PorŽm, p 5 2n acarreta que p2 5 4n2, ou seja, 2q2 5 4n2, 
ou, ainda, q2 5 2n2. Isso significa que q2 Ž par e, portanto, q Ž 
par. II
Ora, as conclusões I e II s‹o contradit—rias, j‡ que p e q 
foram supostos primos entre si. Por que chegamos a esse 
absurdo? Por supor que 2 era racional. Logo, 2 n‹o Ž ra-
cional e sim irracional.
Trabalhando com o texto
 1. Explique com suas palavras a ideia principal do texto. 
 2. Troque ideias com um colega e, juntos, procurem explicar o 
que significa redu•‹o ao absurdo. Realizem uma pesquisa, se 
necessário. 
Os babil™nios e as equa•›es do 2o grau
Problemas que recaem em uma equaç‹o do 2o grau 
est‹o entre os mais antigos da Matem‡tica. Em textos cunei-
formes, escritos pelos babil™nios h‡ quase 4 mil anos, encon-
tramos, por exemplo, a quest‹o em que se procura descobrir 
dois números conhecendo sua soma s e seu produto p.
Em termos geomŽtricos, esse problema pede que se de-
terminem os lados de uma regi‹o retangular conhecendo 
o semiper’metro s e a ‡rea p.
c
,
 

s c
p c
5 1
5 ?
,
,
Os números procurados s‹o as ra’zes da equaç‹o do 
2o grau x2 2 sx 1 p 5 0.
Para achar dois números cuja soma e cujo produto s‹o 
dados, os babil™nios usavam a seguinte receita: ÒEleve ao qua-
drado a metade da soma, subtraia o produto e extraia a raiz 
quadrada da diferen•a. Some ao resultado a metade da soma. 
Isso dar‡ o maior dos nœmeros procurados. Subtraia -o da 
soma para obter o outro nœmeroÓ. Na notaç‹o atual, essa
regra fornece as ra’zes
x9 5 )(
2 2
2
1 2
s s p e x0 5 s 2 x9 5 )(
2 2
2
2 2
s s p 
para a equaç‹o x2 2 sx 1 p 5 0.
Fonte: LIMA, Elon Lages et al. A Matem‡tica do Ensino MŽdio. 
Rio de Janeiro: SBM, 1997. (Coleção do Professor de Matemática.)
Trabalhando com o texto
 1. Explique com suas palavras a ideia principal do texto. 
 2. Existe uma região retangular de área igual a 6 cm2 e semiperí-
metro igual a 4 cm? Discuta com sua turma. Não.
Euclides de Alexandria 
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Suryara Bernardi/Arquivo da editora
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Verifique o que estudou
Forme dupla para trocar ideias e respondam ˆs quest›es propostas.
Capítulo 1
 1. Sem usar a calculadora, determinem o valor aproximado de:
 a ) 8 , por falta, atŽ centŽsim os; 2,82
 b ) 42 , por excesso, atŽ dŽcimos. 6,5
 2. Para cada uma das sequ•ncias de teclas apertadas na calculadora, a seguir, determinem o valor da opera•‹o:
 a ) 8 1 x 5 3
 b ) 1 56 40 x 5 8
 c ) 4 41 ? 
 3. Efetuem as opera•›es a seguir e classifiquem cada igualdade em V (verdadeira) ou F (falsa). Se falsa, indiquem a resposta correta.
 F 180 500 80 6001 2 5 720
 V 2 32 43 3? 5 
 F 1 5 1 5 41 ? 2 5( ) ( ) 24
 4. Se a 5 50 e b 5 150 , determinem os nœmeros inteiros compreendidos entre a e b. 
x 5 1,2
8, 9, 10, 11 e 12.
S
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a
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 B
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1 2180 500 80 5 ? ?5 2 32 2 1 ?5 102 2 ?5 24 5
5 6 5 1 10 5 2 4 5 5 12 5 5 720 (F)
 ?2 323 3 5 ?2 323 5 643 5 433 5 4 (V)
 ) )( (1 ? 21 5 1 5 5 12 2 )( 5 2 5
5 1 2 5 5 24 (F)
1a coluna
2a coluna
3a coluna
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ATENÇÃO!
Retome os assuntos que voc• estudou neste m—dulo. Verifique em quais teve dificuldade e converse com seu professor, buscando formas de 
refor•ar seu aprendizado.
Autoavaliação
Algumas atitudes s‹o fundamentais para melhorar seu aprendizado e a conviv•ncia na escola. Questione -se e reflita.
• Empenhei -me suficientemente na leitura dos textos e na resolu•‹o das atividades?
• Tomei atitudes visando resolver minhas dœvidas sobre o conteœdo e ajudando os colegas com aquilo que sei?
• Participei das atividades, tanto em sala de aula quanto fora dela, com interesse e esp’rito de colabora•‹o com o professor e os 
colegas?
• Aprofundei os meus conhecimentos de Matem‡tica?
Capítulo 2
 5. Para cada item a seguir, escrevam uma equa•‹o do 2o grau. 
 a ) Incompleta cujas ra’zes s‹o reais e opostas. 
 b ) Incompleta com duas ra’zes reais e iguais a zero. 
 c ) Incompleta com duas ra’zes reais e distintas, com uma delas igual a zero. 
 d ) Completa e que n‹o possui ra’zes reais. 
 e ) Completa e que possui duas ra’zes reais e iguais. 
 f ) Completa e que possui duas ra’zes reais e distintas. 
 6. Escrevam a equa•‹o do 2o grau que tem coeficiente a 5 1, tal que a soma e o produto das suas ra’zes s‹o iguais a 3 e 240, respectivamente. 
Determinem mentalmente as ra’zes dessa equa•‹o e, a seguir, resolvam -na usando a f—rmula de Bh‡skara.
Respostas pessoais. Exemplos:
x
2 2 9 5 0
9x2 5 0
x
2 1 9x 5 0
x
2 1 2x 1 10 5 0
x
2 1 6x 1 9 5 0
x
2 1 9x 1 14 5 0
 x2 2 3x 2 40 5 0; as ra’zes s‹o x9 5 8 e x0 5 25
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Raiz quadrada, raiz 
cúbica e raízes 
enésimas
Operações com 
radicais
Propriedades
Fórmula de Bháskara
Sistemas
Coeficientes Discriminante D
Equações
Operações com 
potências
Propriedades
Caso singular: 
notação científica
Potenciação
Equação do
2o grau
Equações 
biquadradas
Equações 
irracionais
Números reais e equações
Radiciação
Quadro de ideias
Raízes
Uma publica•‹o
Dire•‹o de conteœdo e 
inova•‹o pedag—gica: M‡rio Ghio Jœnior
Dire•‹o: Tania Fontolan
Dire•‹o editorial: Lidiane Vivaldini Olo
Ger•ncia editorial: B‡rbara Muneratti de Souza Alves
Coordena•‹o editorial: Adriana Gabriel Cerello
Edi•‹o: Ronaldo Rocha (coord.), Cibeli Chibante Bueno 
e AndrŽ Luiz Ramos de Oliveira (estag.)
Colabora•‹o: Anderson FŽlix Nunes, Elizangela 
Marques, Mariana Almeida, Rayssa çvila do Valle, 
Roberta O. Stracieri
Organiza•‹o did‡tica: Patr’cia Montezano
Revis‹o: HŽlia de Jesus Gonsaga (ger.), Danielle 
Modesto, Edilson Moura, Let’cia Pieroni, Mar’lia Lima, 
Marina Saraiva, Tayra Alfonso, Vanessa Lucena
Coordena•‹o de produ•‹o: Fabiana Manna da Silva (coord.), 
Adjane Oliveira, Dandara Bessa
Supervis‹o de arte e produ•‹o: Ricardo de Gan Braga
Edi•‹o de arte: Catherine Saori Ishihara
Diagrama•‹o: Karen Midori Fukunaga, Renato Akira 
do Santos
Iconografia: S’lvio Kligin (superv.), Roberta Freire 
Lacerda (pesquisa), Cesar Wolf e Fernanda Crevin 
(tratamento de imagem)
Ilustra•›es: Casa de Tipos, Mauro Souza, Paulo Manzi 
e Suryara Bernardi
Licen•as e autoriza•›es: Edson Carnevale
Cartografia: Eric Fuzii, Marcelo Seiji Hirata, M‡rcio 
Santos de Souza, Robson Rosendo da Rocha e Alessandro 
Passos da Costa
Capa: Daniel Hisashi Aoki
Ilustra•‹o de capa: Roberto Weigand
Projeto gr‡fico de miolo: AndrŽa Dellamagna 
(coord. de cria•‹o)
Editora•‹o eletr™nica: Casa de Tipos, 
Dito e Feito Comunica•‹o e JS Design Comunica•‹o 
Visual (guia do professor)
 
Todos os direitos reservados por SOMOS Educa•‹o S.A.
Avenida das Na•›es Unidas, 7221 Ð Pinheiros
S‹o Paulo Ð SP Ð CEP 05425-902
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© SOMOS Sistemas de Ensino S.A.
Dados Internacionais de Cataloga•‹o na Publica•‹o (CIP)
(C‰mara Brasileira do Livro, SP, Brasil)
Dante, Luiz Roberto
 Sistema de ensino ser : ensino fundamental II,
9¼ ano : caderno 1 : matem‡tica : PR / Luiz Roberto
Dante. -- 1. ed. -- S‹o Paulo : çtica, 2016.
 1. Matem‡tica (Ensino fundamental) I. T’tulo.
15-08098 CDD-372.7
êndices para cat‡logo sistem‡tico:
1. Matem‡tica
: Ensino fundamental 372.7
2015
ISBN 978 85 08 17658-8 (AL)
ISBN 978 85 08 17647-2 (PR)
1» edi•‹o
1» impress‹o
Impress‹o e acabamento
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MATEMÁTICA
GUIA DO PROFESSOR
Luiz Roberto Dante
Livre-docente em Educação Matemática pela Universidade 
Estadual Paulista (Unesp) de Rio Claro, SP. Doutor em 
Psicologia da Educação: Ensino da Matemática pela Pontifícia 
Universidade Católica de São Paulo (PUC-SP). Mestre em 
Matemática pela Universidade de São Paulo (USP). 
Pesquisador em Ensino e Aprendizagem da Matemática pela 
Unesp de Rio Claro, SP. Ex-professor da rede estadual do 
Ensino Fundamental e Médio de São Paulo. Autor de vários 
livros, entre os quais: Formulação e resolução de problemas de 
Matemática: teoria e prática; Didática da Matemática na pré-
-escola; Projeto Ápis: Natureza e Sociedade, Linguagem e 
Matemática (Educação Infantil – 3 volumes); Projeto Ápis 
Matemática (1º- ao 5º- anos); Projeto Voaz Matemática (Ensino 
Médio – volume único); Projeto Múltiplo – Matemática (Ensino 
Médio – 3 volumes).
Ensino Fundamental – 9º- ano
Matemática 
Números reais e equações – 45 aulas
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Apresentação do 
material didático
1 Abertura do módulo
Apresenta uma imagem em página inteira e 
um breve texto de introdução. 
Ponto de partida
Nesta seção há algumas questões sobre os 
assuntos que serão desenvolvidos no módulo.
2 Introdução dos capítulos
Todos os capítulos se iniciam com uma ou 
mais imagens e um texto de introdução que 
vai preparar o aluno para as descobertas no 
decorrer do trabalho proposto.
3 Seções
Ao longo dos capítulos, há várias seções que 
vão contribuir para a construção dos 
conhecimentos matemáticos dos alunos. 
Exercícios e problemas: trazem diferentes 
atividades para os alunos resolverem, 
desenvolvendo os conceitos abordados. 
Desafios: atividades instigantes que exigem 
maior perspicácia.
Bate-papo: atividades orais.
Você sabia?: curiosidades relacionadas aos 
tópicos estudados.
Oficina de Matemática: atividades de 
experimentação, verificação e 
sistematização dos conteúdos apresentados. 
Curiosidade matemática: interessantes 
curiosidades relacionadas especificamente 
à Matemática. 
Leitura: textos adicionais que complementam 
e contextualizam a aprendizagem. 
Raciocínio lógico: atividades voltadas para 
a aplicação de noções de lógica na resolução 
de problemas.
4 Conexões
Seção interdisciplinar que prioriza a 
abordagem de temas, como ética, saúde e 
meio ambiente. Os textos são 
acompanhados de questões que evidenciam 
a Matemática em diferentes contextos.
5 Jogos
Seção de jogos relacionados aos conteúdos 
que estão sendo estudados no capítulo. 
1
2
5
4
3
2 Números reais e equações
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Estudando Matemática os alunos vão adquirir conhecimentos que os ajudarão a 
compreender muitas questões sociais, desenvolvendo o interesse, a curiosidade, o 
espírito investigativo e a capacidade de resolver problemas. Assim, terão participação 
mais ativa e esclarecida na sociedade.
Este selo indica que há conteúdo 
no portal SER. 
www.ser.com.br
6 Tratamento da informação
Atividades que envolvem estatística e 
exploram gráficos e tabelas.
7 Outros contextos
Atividades adicionais que envolvem situações-
-problema contextualizadas. 
8 Praticando um pouco mais
Testes e questões, a maioria extraída de 
avaliações oficiais, para fixar e ampliar o 
aprendizado dos alunos. 
9 Revisão cumulativa
Atividades, problemas e testes que revisam 
contínua e cumulativamente os conceitos e 
procedimentos fundamentais estudados nos 
capítulos e nos anos anteriores. 
10 Ponto de chegada
Seção de encerramento de cada módulo, 
composta de dois momentos: 
A Matemática nos textos: apresenta 
textos geralmente relacionados à história 
da Matemática.
Verifique o que estudou: revisão de alguns dos 
temas abordados ao longo do módulo, por 
meio de exercícios. 
11 Quadro de ideias
Aponta de forma organizada os temas 
estudados no módulo, auxiliando os alunos a 
estruturar o que foi aprendido.
8 96
10
Esse ícone organiza as 
atividades e procura 
direcioná-las para serem 
feitas a cada aula, de 
acordo com o assunto 
estudado.
Para praticar: atividades 
para serem feitas em 
casa, para os alunos 
continuarem exercitando 
o que aprenderam. 
Para construir: 
atividades para os 
alunos complementarem 
o conhecimento aula a 
aula.
Para aprimorar: 
atividades para ampliar o 
conhecimento dos 
assuntos estudados. 
Podem ser feitas em 
casa ou em sala.
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Números reais e equações
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Números reais e equações
 1 Números reais: potências 
e radicais
Aula 1 Páginas: 3 a 11
• TEMAS: “Potenciação” e “Propriedades da potenciação”.
• CONTEÚDOS TRABALHADOS: Base real, expoente natural, 
potência real e propriedades da potenciação.
Objetivos
• Exemplificar e definir a potenciação.
• Caracterizar e exemplificar as propriedades da potenciação.
Estratégias
Inicie a aula conversando com os alunos sobre as ques-
tões do Ponto de partida (página 3). Apresente as áreas de 
formas quadradas e volume de formas cúbicas usando 
exemplos do cotidiano.
Defina a potenciação identificando base, expoente e 
potência. Exemplifique primeiro utilizando bases positivas, 
depois bases negativas, fracionárias, decimais e irracionais.
Caracterize e exemplifique a propriedade da multi-
plicação de potências de mesma base a partir da defini-
ção de potenciação. Faça o mesmo com as outras pro-
priedades: divisão de potências de mesma base e potên-
cia de potência.
Na sequência, caracterize e exemplifique a proprieda-
de da potência de um produto ou de um quociente a partir da 
definição de potenciação e da propriedade de multiplicação 
de potências de mesma base.
Exemplifique e defina a potenciação com expoente 
zero a partir da propriedade de divisão de potências de 
mesma base, quando a divisão de duas potências iguais re-
sulta em um expoente zero.
Peça que os alunos façam os exercícios 1 a 7 (páginas 6 
a 8) e 8 a 11 (páginas 11 e 12). Se julgar necessário, como 
exemplo e encerramento da explicação, resolva com eles os 
exercícios 7 (página 8) e 11 (página 12), pedindo que identifi-
quem a propriedade a ser usada em cada passagem do 
exercício. Corrija todos os demais na sequência.
Para casa
Solicite a realização da atividade da seção Leitura (pá-
gina 9). Se julgar necessário, acrescente também a ativida-
de abaixo:
Se a 5 32 e b 5 a2, então o valor do produto ab é 
igual a:
 a ) 36
 b ) 38
 c) 96
 d ) 98
a b a a a 3 32 3 2
3
6( )? 5 ? 5 5 5
Resposta: alternativa A.
Aula 2 Páginas: 12 e 13
• TEMA: “Potenciação com número inteiro negativo 
no expoente”.
• CONTEÚDO TRABALHADO: Expoente inteiro negativo.
Objetivos
• Exemplificar e definir a potenciação com um número intei-
ro e negativo no expoente.
 Plano de aulas sugerido
• Carga semanal de aulas: 5
• Número total de aulas do módulo: 45
4 Números reais e equações
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Estratégias
Retome o assunto da aula anterior, corrija as tarefas de 
casa e responda às dúvidas dos alunos. Lembre a definição 
de potenciação e a divisão de potências de mesma base.
Mostre como efetuar a divisão de potências de bases 
iguais, com expoentes positivos, a partir da definição e da 
propriedade,
no caso em que o expoente do denominador 
supera em 1 o expoente do numerador. Compare os resulta-
dos obtidos: verifique que, pela propriedade, obtemos a 
base elevada ao expoente 21 e, com a definição, obtemos o 
inverso da base. Assim, exemplifique e defina uma base ele-
vada ao expoente 21.
Liste algumas potências com expoentes negativos e 
consecutivos, em ordem decrescente que se inicie pelo 21. 
Ressalte que o próximo valor é sempre resultado da divisão 
da potência anterior pela sua própria base.
Defina com exemplos a potenciação para qualquer ex-
poente inteiro negativo.
Resolva exercícios com bases racionais elevadas a ex-
poentes inteiros negativos. Se preferir, faça com os alunos 
os exercícios 12 (página 14) e 14 (página 15). Peça-lhes, en-
tão, que façam os exercícios 13 e 15 a 18 (páginas 14 a 16) e 
corrija-os em seguida.
Para casa
Solicite a realização da atividade abaixo:
Sabendo que 6x 1 2 5 72, tem-se que 62x vale:
 a ) 24
 b ) 22
 c ) 0
 d) 
1
2
 e ) 2
6x 1 2 5 72
6x ? 62 5 72
6x 5
 
72
36
6x 5 2
6 2 x 5 
1
2
Resposta: alternativa D.
Aula 3 Página: 14
• TEMA: “Notação científica”.
• CONTEÚDOS TRABALHADOS: Potências de dez, ordem de 
grandeza e notação científica.
Objetivos
• Descrever a importância da notação científica para repre-
sentar, com poucos algarismos, números de diferentes 
ordens de grandeza.
• Ler e interpretar textos informativos e científicos.
• Identificar os números e efetuar a conversão para nota-
ção científica.
Estratégias
Retome potenciação e suas propriedades, utilizando a 
base dez. Liste alguns exemplos de frases em que apareçam 
as palavras mil, milhão e bilhão, como:
• O corpo de determinada pessoa contém aproximada-
mente 5 milhões de glóbulos vermelhos por milímetro cú-
bico de sangue.
• Dados divulgados pelo Instituto Nacional de Pesquisas 
Espaciais mostraram o processo de devastação sofrido 
pela região amazônica entre agosto de 1999 e agosto de 
2000. Analisando fotos de satélites, os especialistas con-
cluíram que, nesse período, sumiu do mapa um total de 
20 mil quilômetros quadrados de floresta.
• Os astrônomos estimam que, no universo visível, exis-
tem, aproximadamente, 100 bilhões de galáxias, cada uma 
com 100 bilhões de estrelas.
Escreva os números mistos somente com algarismos 
e efetue a conversão para notação científica.
Defina a notação científica como o produto de um nú-
mero decimal entre 1 e 10, excetuando-se o 10, por uma po-
tência de base 10. Dê exemplos de números maiores e me-
nores do que 1 (3 650 5 3,65 ? 10³). Efetue a conversão para 
notação científica detalhando o processo com os alunos e 
comparando a ordem de grandeza dos resultados obtidos.
Escreva na lousa cálculos de multiplicação e divisão 
que envolvam números em notação científica.
• O prêmio da loteria de 50 milhões foi dividido entre 10 
apostadores.
• Uma cidade, com área de 100 km2, tem 7 ? 105 habitantes. 
Qual o número de habitantes por km2?
• Dado que a velocidade da luz é 3 ? 108 m/s, que um ano 
tem aproximadamente 3 ? 107 segundos, qual distância a 
luz percorre em um ano?
Resolva os exemplos acima com os alunos. Enfatize a 
importância da notação científica para facilitar os cálculos. 
Peça-lhes que façam os exercícios 19 a 21 (página 16) e o da 
seção Desafio (página 16). Corrija-os em seguida.
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Números reais e equações
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Para casa
Solicite a realização da atividade abaixo:
Os astrônomos estimam que, no universo visível, exis-
tem aproximadamente 100 bilhões de galáxias, cada uma 
com 100 bilhões de estrelas. De acordo com esses números, 
se cada estrela tiver, em média, 10 planetas à sua volta, en-
tão existem no universo visível, aproximadamente:
 a ) 1012 planetas.
 b ) 1017 planetas.
 c ) 1023 planetas.
 d ) 10121 planetas.
 e ) 10220 planetas.
Resposta: alternativa C.
Aula 4 Páginas: 17 a 20
• TEMA: “Radiciação”.
• CONTEÚDOS TRABALHADOS: Raiz quadrada exata e raiz 
quadrada não exata.
Objetivos
• Efetuar operações que relacionem o quadrado de um nú-
mero e sua raiz quadrada.
• Utilizar uma calculadora para os cálculos de raízes quadra-
das não exatas, que resultam em números naturais.
• Exemplificar o cálculo de raízes quadradas não exatas pelo 
método de aproximações sucessivas.
Estratégias
Inicie a aula relembrando o quadrado de alguns núme-
ros reais e suas respectivas raízes quadradas.
Defina como raiz quadrada de um número positivo a 
aquele que, elevado ao quadrado, resulte em a.
Liste exemplos de raízes quadradas exatas. Enfatize 
que, nesses casos, o resultado é sempre um número racional.
Com o auxílio de uma calculadora, determine uma raiz 
quadrada não exata e mostre que o resultado corresponde a 
um número irracional.
Utilizando o mesmo valor, calcule e exemplifique, a 
partir de aproximações sucessivas, a raiz quadrada aproxi-
mada do número.
Solicite aos alunos que façam os exercícios 22 a 29 
(páginas 17 a 21). Se julgar necessário, resolva com eles o 
exercício 27 (página 20), que utiliza o método de aproxima-
ções sucessivas. Corrija todos os demais em seguida.
Para casa
Solicite aos alunos que façam a atividade abaixo:
Classifique em V (verdadeiro) ou F (falso):
(V) 81 95
(V) 4 22 52
(F) 16 42 52
(F) 64 852
(V) 0,09 0,35
(F) 0,04 0,025
Aula 5 Páginas: 21 e 22
• TEMA: “Raiz cúbica”.
• CONTEÚDOS TRABALHADOS: Raiz cúbica exata e raiz 
cúbica não exata.
Objetivos
• Efetuar operações que relacionem o cubo de um número e 
sua raiz cúbica.
• Exemplificar o cálculo de raízes cúbicas não exatas pelo 
método de aproximações sucessivas.
Estratégias
Inicie a aula corrigindo os exercícios da aula anterior. 
Relembre o cubo de alguns números reais e suas res-
pectivas raízes cúbicas.
Identifique com os alunos os seguintes elementos: ra-
dicando, índice, raiz e radical.
Defina como raiz cúbica de um número a aquele que, 
elevado ao cubo, resulte em a.
Liste exemplos de raízes cúbicas exatas de núme-
ros positivos e negativos. Decomponha o radicando em 
fatores primos para calcular a raiz com mais facilidade. 
Enfatize que, nesse caso, o resultado é sempre um nú-
mero racional.
Calcule e exemplifique, a partir do método de aproxi-
mações sucessivas, o resultado aproximado de uma raiz 
cúbica não exata. 
6 Números reais e equações
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Peça aos alunos que façam os exercícios 30 a 32 (pági-
nas 22 e 23). Corrija-os em seguida.
Para casa
Solicite a realização da atividade abaixo:
Classifique em V (verdadeiro) ou F (falso):
(V) 27 33 5
(F) 8 232 5
(V) 64 432 52
(V) 125 532 52
(V) 0,027 0,3
3
5
(F) 0,008 0,023 5
Aula 6 Página: 23
• TEMA: “Outras raízes – raiz enésima de um número real”.
• CONTEÚDO TRABALHADO: Raiz enésima de um 
número real.
Objetivos
• Exemplificar raízes com índices maiores do que 3.
• Comparar raízes quadradas e cúbicas com raízes com índi-
ces maiores do que 3.
• Caracterizar e definir a raiz enésima de um número real.
Estratégias
Inicie a aula com alguns exemplos de raiz enésima, jus-
tificando os resultados ao efetuar a potenciação da raiz ele-
vada ao índice, pois o que será obtido será o radicando.
Defina como raiz enésima de um número positivo b o 
número positivo que, elevado ao índice do radical, resulte 
em b, se o radical tem índice par.
Se o radical tem índice ímpar, defina como raiz enési-
ma de um número b o número que, elevado ao índice do 
radical, resulte em b, ficando o radical e a raiz com o mes-
mo sinal.
Peça que os alunos façam os exercícios 33 a 37 (página 
24). Se julgar necessário, faça com eles o exercício 33 (pági-
na 24) como exemplo, efetuando as operações e calculando 
a raiz. Corrija todos os demais em seguida.
Para casa
Solicite a realização da atividade abaixo:
Classifique em V (verdadeiro) ou F (falso):
(F) 2 5216 24
(V) 2 5281 34
(V) 2 5232 25
(V) 5243 35
(F) 5264 2
6
(V) 564 44
Aula 7 Páginas: 25 a 30
• TEMA: “Propriedades dos radicais”.
• CONTEÚDOS TRABALHADOS: Propriedades dos 
radicais e suas primeiras aplicações: cálculo de raízes 
exatas, simplificação de radicais e redução de radicais ao 
mesmo índice.
Objetivos
• Caracterizar e exemplificar as propriedades de radicais.
Estratégias
Inicie a aula relembrando radiciação com diferentes 
índices. Corrija a tarefa de casa, esclarecendo as possí-
veis dúvidas.
Exemplifique e caracterize a 1a- propriedade: apresente 
exemplos de radicais com índice igual ao expoente do radi-
cando, obtendo como resultado um número real não negati-
vo se o índice é par ou um real qualquer se o índice é ímpar.
Exemplifique, compare e caracterize a 2a- propriedade: 
apresente um radical cujo índice tenha um divisor comum ao 
expoente do radicando, multiplique o índice pelo mesmo nú-
mero e compare o resultado final das duas raízes, que deve-
rá ser igual. Repita o processo dividindo o índice e o expoen-
te do radical pelo mesmo número, para mostrar que o resul-
tado não se altera nos três casos.
Exemplifique, compare e caracterize a 3a- propriedade: 
apresente um radical formado pelo produto de dois números 
de raízes exatas, resolva de maneira tradicional multiplican-
do os radicais. Em seguida, resolva decompondo em um 
produto de radicais de mesmo índice. Compare e conclua 
com os alunos que o resultado é o mesmo. Portanto, um 
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Números reais e equações
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produto no radicando pode ser decomposto em um produto 
de radicais de mesmo índice.
Exemplifique, compare e caracterize a 4a- propriedade: 
apresente um radical formado pelo quociente de dois núme-
ros de raízes exatas, resolva de maneira tradicional multipli-
cando os radicais. A seguir, resolva decompondo em um 
quociente de radicais de mesmo índice. Mais uma vez, com-
pare e conclua com os alunos que o resultado é o mesmo. 
Assim, um quociente no radicando pode ser decomposto 
em um quociente de radicais de mesmo índice.
Finalmente, exemplifique, compare e caracterize a 5a- pro-
priedade: apresente uma raiz de raiz cujo radicando seja o 
múltiplo do produto de seus índices. Resolva extraindo a raiz 
interna e depois a externa. Em seguida, multiplique os índi-
ces das raízes formando um único radical e efetue o cálculo 
da raiz. Compare os resultados obtidos. A conclusão é que 
uma raiz de raiz pode ser simplificada para um único radical 
tendo como índice o produto dos índices dessas raízes.
Peça que os alunos façam os exercícios 38 a 54 (pági-
nas 28 a 32). Se julgar necessário, encerre a aula resolvendo 
o exercício 48 (página 29), como exemplo, indicando as pro-
priedades aplicadas nele e corrigindo todos os demais.
Para casa
Solicite a realização da atividade abaixo:
Classifique em V (verdadeiro) ou F (falso):
(V) 52 244
(V) 59 34 36
(F) ? 5 125 4 25 4
(F) 53 3
5 7
(V) 54 4
33 9
(V) ? 5 ?3 2 3 2
(V) 5
5
7
5
7
4
4
4
Aula 8 Páginas: 32 a 34
• TEMAS: “Propriedades dos radicais” e “Comparação 
de radicais”.
• CONTEòDOS TRABALHADOS: Comparação de radicais e 
outras aplicações das propriedades dos radicais: potências 
com expoente fracionário e “introdução” de um fator 
externo no radicando.
Objetivo
• Trabalhar mais aplicações das propriedades dos radicais 
para facilitar a resolução de operações.
Estratégias
Inicie a aula relembrando as propriedades da radiciação. 
Corrija a tarefa de casa, esclarecendo as possíveis dúvidas.
Exemplifique com base nas propriedades de radiciação 
o expoente fracionário. Para toda base do radical real positi-
va, defina a razão entre seu expoente e o índice da raiz como 
seu expoente fracionário.
Exemplifique e caracterize a “introdução” de um fa-
tor no radicando. Para isso, basta elevar o fator ao índice 
do radical.
Compare radicais de mesmo índice, bastando, para 
isso, analisar os radicandos. Para radicais de índices diferen-
tes, deve-se reduzi-los ao mesmo índice antes de comparar 
os radicandos. Caso seja necessário, relembre a propriedade 
de mudança de índice estudada na aula anterior.
Encerre a aula resolvendo com os alunos exemplos de 
cada item apresentado. Faça com eles o exercício 55 (página 
33), sobre as potências com expoente fracionário; o 58 (pá-
gina 34), para “introduzir” fator no radicando; e o 60 (página 
34), para comparar radicais. Enfim, peça que façam os exer-
cícios 56 e 57 (página 33) e 59 e 61 (página 34). Corrija-os 
em seguida. 
Para casa
Solicite a realização da atividade abaixo:
Classifique em V (verdadeiro) ou F (falso):
(V) 52 224
1
2
(V) 52 3 243 3
(V) .4 63 4
(F) 53 3
5
1
7
(V) 516 2 2
3 3
Aula 9 Páginas: 35 e 36
• TEMA: “Operações com radicais”.
• CONTEòDOS TRABALHADOS: Multiplicação, divisão, adição 
e subtração de radicais.
8 Nœmeros reais e equa•›es
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Objetivos
¥ Aplicar as propriedades dos radicais para multiplicação 
e divisão.
¥ Caracterizar e identificar radicais semelhantes.
¥ Caracterizar e aplicar a propriedade distributiva para soma e 
subtração de radicais.
EstratŽgias
Inicie a aula relembrando as propriedades da radiciação. 
Corrija a tarefa de casa, esclarecendo as possíveis dúvidas.
Exemplifique e aplique as propriedades de radiciação 
para multiplicação e divisão de radicais 
( ? 52 3 6 e 
524 : 6 2, por exemplo). Se os índices forem diferen-
tes, devemos reduzir os radicais ao mesmo índice para efe-
tuar as operações ( 5 e 53 ).
Caracterize os radicais semelhantes que possuem 
mesmo índice e radicando. Identifique esses radicais. Use 
dois exemplos e aplique a soma e a subtração de radicais se-
melhantes, efetuando as operações com seus coeficientes: 
( 1 5 1 52 2 2 3 2 ; 3 2 2 2 5 23 3 3 ).
Peça que os alunos façam os exercícios 62 a 69 (pági-
nas 35 a 37). Se julgar necessário, resolva com eles, como 
exemplo, as expressões do exercício 69 (página 37), pois 
apresentam as quatro operações estudadas. Corrija todos 
os demais em seguida.
Para casa
Solicite a realização da atividade abaixo:
A expressão 1
? 210 10 10 10 é igual a: 
3 10
Aula 10 Páginas: 38 e 39
• TEMA: “Racionalização de denominadores”.
• CONTEÚDOS TRABALHADOS: Racionalização de 
denominadores com um radical e racionalização de 
denominadores com um binômio do 1º- grau.
Objetivos
¥ Reconhecer e exemplificar a importância da racionalização.
¥ Exemplificar e identificar denominadores irracionais.
¥ Efetuar a racionalização.
EstratŽgias
Inicie a aula reconhecendo a importância da racionali-
zação, exemplificando e comparando frações equivalentes 
com e sem o radical no denominador.
Dê exemplos de racionalização com o denominador 
que contenha um radical de índice 2
 
(
1
3 ). Efetue a raciona-
lização multiplicando o numerador e o denominador pelo 
próprio radical e, em seguida, simplifique.
Exemplifique a racionalização com o denominador 
contendo um radical de índice maior do que 2 (
1
73 ). Racio-
nalize multiplicando o numerador e o denominador pelo pró-
prio radical, com o radicando elevado à diferença entre o ín-
dice e seu expoente. A seguir, efetue as simplificações.
Parta para a racionalização com o denominador con-
tendo uma soma ou subtração envolvendo raiz quadrada 
( 2
2
1 2( ) ). Evidencie o produto da soma pela diferença. 
Efetue a racionalização do denominador, multiplicando o 
numerador e o denominador por uma fração, de modo 
que o produto no denominador forme o produto da soma 
pela diferença.
Resolva com os alunos exemplos dos métodos citados 
acima. Peça que façam os exercícios 70 a 76 (páginas 40 e 
41). O exercício 77 (página 41) deve ser feito em equipe, como 
forma de diversificar as atividades. Corrija-os em seguida.
Para casa
Solicite a realização das atividades das seções Racio-
cínio lógico (página 41), Tratamento da informação (páginas 
42 e 43), Outros contextos (páginas 44 a 46), Praticando 
um pouco mais (páginas 47 e 48) e Revisão cumulativa (pá-
ginas 49 e 50). 
 2 Equações e sistemas de 
equações do 2º- grau
Aula 11 Páginas: 51 a 53
• TEMA: “Grau de uma equação com uma incógnita”.
• CONTEÚDOS TRABALHADOS: Equações, incógnitas e grau 
de uma equação.
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Números reais e equações
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Objetivos
• Descrever a import‰ncia da equa•‹o do 2¼- grau.
• Identificar uma equa•‹o e seu grau.
EstratŽgias
Inicie a aula apresentando situa•›es em que aparecem 
alguma equa•‹o ou sistemas com equa•›es do 2¼- grau (a 
par‡bola que uma bola percorre ao ser chutada por um joga-
dor pode ser descrita por 2x2 1 10x, por exemplo). 
Com base na introdu•‹o do cap’tulo, discorra sobre o 
desenvolvimento hist—rico dessa no•‹o matem‡tica e quais 
foram suas contribui•›es para o crescimento das civiliza•›es.
Caracterize igualdade e inc—gnitas de uma equa-
•‹o, exemplificando equa•›es e inequa•›es com uma e 
duas inc—gnitas.
A seguir, caracterize e defina o grau de uma equa•‹o com 
uma inc—gnita, valendo-se de exemplos de 1¼-, 2¼- e 3¼- graus.
Reduza algumas express›es para identificar, enfim, 
seu grau. 
Pe•a que os alunos fa•am os exerc’cios 1 e 2 (p‡gina 
53). Corrija-os em seguida.
Para casa
Solicite a realiza•‹o da atividade abaixo:
Assinale as equa•›es do 2¼- grau com uma inc—gnita.
 a ) x 1 1 5 y 2 4
 b ) x2 1 2 > x 2 4
 c ) 3x2 1 2x 5 3x2 2 6
 d ) x 1 2 5 2x2 2 4 
 e ) 22 1 2 > 1 2 4
 f ) y 1 x2 1 2 5 y 2 4
Resposta: alternativas D e F.
Aula 12 P‡gina: 54
¥ TEMA: ÒEqua•›es do 2¼- grauÓ.
¥ CONTEÚDO TRABALHADO: Forma geral da equa•‹o 
do 2¼- grau.
Objetivos
• Caracterizar e definir a forma geral da equa•‹o do 2¼- grau.
EstratŽgias
Inicie a aula corrigindo a tarefa de casa e retomando a 
explica•‹o, caso haja dœvidas.
Introduza o assunto da aula caracterizando e definindo 
a forma geral da equa•‹o do 2¼- grau.
Exemplifique e compare algumas equa•›es do 2¼- grau 
(2x2 1 3x 5 0, x2 24 5 0, 5x2 5 0, 2x2 2 x 1 8 5 0) a partir 
da identifica•‹o dos coeficientes em cada uma delas. 
Pe•a que os alunos fa•am os exerc’cios 3 e 4 (p‡ginas 
55 e 56). Corrija-os em seguida.
Para casa
Solicite a realiza•‹o da atividade abaixo:
Dada a equa•‹o (m 2 2)x2 1 (m 1 3)x 1 m, marque a 
alternativa para que a equa•‹o n‹o seja do 2¼- grau. 
 a ) m 5 2
 b ) m 5 22
 c ) m 5 3
 d ) m Þ 2
 e ) m 5 0
Resposta: alternativa A.
Aula 13 P‡gina: 55
¥ TEMAS: ÒEqua•›es completas e equa•›es incompletasÓ. 
¥ CONTEÚDOS TRABALHADOS: Equa•›es completas do 
2¼- grau e equa•›es incompletas do 2¼- grau.
Objetivos
• Identificar equa•›es do 2¼- grau e classific‡-las como com-
pletas ou incompletas.
EstratŽgias
Inicie a aula corrigindo a tarefa de casa e retomando a 
explica•‹o, caso haja dœvidas.
Caracterize as equa•›es completas a partir de seus 
coeficientes, citando alguns exemplos (2x2 1 3x 5 8 5 0).
Fa•a o mesmo com as equa•›es incompletas (x2 2 1 5 0, 
x2 1 2x 5 0), citando alguns exemplos e identificando neles 
os coeficientes.
Diferencie os tipos de equa•‹o. Apresente exemplos e 
identifique quais s‹o equa•›es completas ou incompletas. 
Pe•a que os alunos fa•am os exerc’cios 5 a 7 (p‡ginas 
56 e 57). Corrija-os em seguida.
Para casa
Solicite a realiza•‹o da atividade a seguir:
Dada a equa•‹o (m 2 5)x2 1 (n 1 2)x 1 p 1 3, assina-
le a alternativa correta.
10 Números reais e equações
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 a ) m 5 2; n 5 3; p 5 3: a equação do 2º- grau é incompleta.
 b ) m 5 5; n 5 2; p 5 1: a equação do 2º- grau é incompleta.
 c ) m 5 3; n 5 22; p 5 5: a equação do 2º- grau é completa.
 d ) m 5 1; n 5 2; p 5 23: a equação do 2º- grau é completa.
 e ) m 5 0; n 5 22; p 5 23: a equação do 2º- grau é incompleta.
Resposta: alternativa E.
Aula 14 Página: 58
• TEMA: “Raízes ou soluções de uma equação do 2º- grau”.
• CONTEÚDO TRABALHADO: Raiz de uma equação.
Objetivo
• Definir raiz ou solução de uma equação.
Estratégias
Inicie a aula corrigindo a tarefa de casa e retomando a 
explicação, caso haja dúvidas.
Resolva uma equação do 1º- grau com os alunos e rela-
cione seu resultado com as raízes ou soluções da equação.
A seguir, exemplifique uma equação substituindo uma 
solução para ressaltar que a igualdade é verdadeira e carac-
terizar o valor como raiz da equação (x2 2 5x 1 6 5 0 subs-
tituindo x por 2).
Trabalhe, então, um exemplo de equação substituin-
do um valor que não seja solução para verificar que a 
igualdade é falsa e concluir, nesse caso, que o valor não é 
raiz da equação.
Apresente, enfim, uma equação sem solução, como a 
igualdade de uma incógnita ao quadrado e um número ne-
gativo (x2 5 21).
Resolva mais alguns exemplos de equações e peça aos 
alunos que façam os exercícios 8 a 11 (páginas 58 e 59). Cor-
rija-os em seguida.
Para casa
Solicite a realização da atividade abaixo:
Classifique em V (verdadeiro) ou F (falso):
(F) x2 2 3x 1 4 5 0; raízes 1 e 21.
(V) x2 2 3x 2 4 5 0; raízes 4 e 21.
(F) 2x2 1 10x 2 12 5 0; raízes 2 e 23.
(F) x2 5 24; raízes 22 e 2.
(V) 2x2 2 72 5 0; raízes 6 e 26.
Aula 15 Páginas: 59 a 61
• TEMA: “Resolução de equações incompletas do 2º- grau com 
uma incógnita”. 
• CONTEÚDO TRABALHADO: Resolução da equação de 
1º- caso do tipo ax2 1 c 5 0, com a Þ 0 e c Þ 0.
Objetivo
• Resolver equações incompletas do 2º- grau.
Estratégias
Inicie a aula corrigindo a tarefa de casa e retomando a 
explicação, caso haja dúvidas.
Identifique e caracterize a equação do tipo ax2 1 c 5 0, 
com a Þ 0 e c Þ 0.
Resolva a equação isolando sua incógnita e exemplifi-
que esse caso com diferentes equações (2x2 2 8 5 0). Re-
tome a equação genérica, fatorando a equação, e também 
exemplifique o caso com diferentes equações. Resolva si-
tuações-problema que envolvam esse tipo de equação. 
Peça que os alunos façam os exercícios 12 e 13 (página 
61). Corrija-os em seguida.
Para casa
Solicite a realização da atividade abaixo:
Resolva as equações a seguir pelos dois métodos 
estudados:
 a ) 3x2 2 27 5 0 
Raízes 3 e 23
 b ) 2x2 1 2 5 34 
Raízes 4 e 24
 c ) 8x2 2 2 5 0 
Raízes 1
2
 e 2
1
2
Aula 16 Página: 59
• TEMA: “Resolução de equações incompletas do 2º- grau com 
uma incógnita”.
• CONTEÚDO TRABALHADO: Resolução de equações 
incompletas do 2º- grau.
Objetivo
• Praticar a resolução de equações incompletas do 2º- grau.
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Números reais e equações
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Estratégias
Inicie a aula corrigindo a tarefa de casa e retomando a 
explica•‹o, caso haja dœvidas.
Recorde a resolu•‹o de equa•›es incompletas do tipo 
ax2 1 c 5 0, estudado na aula anterior.
Liste alguns exemplos de equa•›es (27x2 2 9 5 0) e 
situa•›es-problema.
Esclare•a dœvidas dos alunos se ne-
cess‡rio e resolva com eles as proposi•›es.
Para casa
Solicite a realiza•‹o das atividades abaixo:
 1. Resolva as equa•›es a seguir pelos dois mŽtodos estu-
dados:
 a ) 4x2 2 9 5 0 
Raízes
 
2
3
2
 e
 
3
2
 b ) 2x2 2 18 50 
Raízes 23 e 3
 c ) 8x2 2 2 5 0 
Raízes
 
2
1
2
 e 
1
2
 2. Dobrando a medida do lado de um quadrado, obtemos ou-
tro quadrado com ‡rea de 64 cm2. Qual a medida do lado 
do quadrado?
 a ) 5
 b ) 3
 c ) 2
 d ) 4
 e ) 1
Resposta: alternativa D.
 3. Dividindo por 3 a medida do lado de um quadrado, obte-
mos um novo quadrado com ‡rea de 4 cm2. Qual a medida 
do lado do quadrado?
 a ) 4
 b ) 3
 c ) 12
 d ) 36
 e ) 6
Resposta: alternativa E.
Aula 17 P‡gina: 62
¥ TEMA: Ò2¼- caso: equa•›es do tipo ax2 5 0, com a Þ 0Ó.
¥ CONTEòDO TRABALHADO: Resolu•‹o de equa•‹o 
incompleta do 2¼- grau do tipo ax2 5 0, com a Þ 0.
Objetivo
• Resolver equa•›es incompletas do 2¼- grau.
Estratégias
Inicie a aula corrigindo a tarefa de casa e retomando a 
explica•‹o, caso haja dœvidas.
Identifique e caracterize a equa•‹o do tipo ax2 1 c 5 0, 
com a Þ 0.
Resolva a equa•‹o isolando a inc—gnita, da mesma for-
ma mostrada na aula anterior.
Pe•a que os alunos fa•am os exerc’cios 14 e 15 (p‡gi-
nas 62 e 63). Se julgar necess‡rio, resolva com eles o exer-
c’cio 14 (p‡gina 62) como exemplo. Corrija todos os demais 
em seguida.
Para casa
Solicite a realiza•‹o da atividade abaixo:
Resolva as equa•›es a seguir:
 a ) (x 2 3)2 5 0 
Raiz 3
 b ) (x 1 2)2 5 0 
Raiz 22
 c ) (x 2 1)2 5 0 
Raiz 1
Aula 18 P‡gina: 63
¥ TEMA: ÒResolu•‹o de equa•›es incompletas do 2¼- grau com 
uma inc—gnitaÓ.
¥ CONTEòDO TRABALHADO: Resolu•‹o de equa•›es 
completas do 1¼- ou 2¼- casos.
Objetivo
• Resolver casos de equa•‹o completa do 2¼- grau.
Estratégias
Inicie a aula corrigindo a tarefa de casa e retomando a 
explica•‹o, caso haja dœvidas.
Apresente uma equa•‹o completa, do tipo 
(x 2 d)2 5 f2 ((x 2 2)2 5 16), para mostrar que ela pode ser 
resolvida pelos dois casos j‡ apresentados.
Exemplifique express›es que envolvem esse tipo. 
12 Nœmeros reais e equa•›es
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Peça que os alunos façam os exercícios 16 e 17 (página 
63). Corrija-os em seguida.
Para casa
Solicite a realização da atividade abaixo:
Resolva as equações a seguir:
 a ) (x 2 3)2 5 4 
Raízes 5 e 1
 b ) (x 1 2)2 5 81 
Raízes 7 e 211
 c ) (x 2 1)2 5 16 
Raízes 5 e 23
Aula 19 Páginas: 64 e 65
• TEMA: “3º- caso: equações do tipo ax2 1 bx 5 0, com a Þ 0 e 
b Þ 0”.
• CONTEÚDO TRABALHADO: Resolução de equações 
incompletas do 2º- grau.
Objetivo
¥ Resolver equações incompletas do 2º- grau.
EstratŽgias
Inicie a aula corrigindo a tarefa de casa e retomando a 
explicação, caso haja dúvidas.
Identifique e caracterize a equação do tipo ax2 1 bx 5 0, 
com a Þ 0 e b Þ 0. Resolva a equação (9x2 2 3x 5 0) por 
fatoração, obtendo um produto de dois fatores do 1º- grau, 
igual a zero. Mostre que as soluções são os valores que tor-
nam esses fatores iguais a zero.
Exemplifique expressões que envolvem esse caso. 
Peça que os alunos façam os exercícios 18 e 19 (página 
65). Corrija-os em seguida. Promova também o Bate-papo 
(página 65).
Para casa
Solicite a realização da atividade abaixo:
Resolva as equações a seguir:
 a ) x2 2 3x 5 0 
Raízes 0 e 3
 b ) 4x2 1 32x 5 0 
Raízes 28 e 0
 c ) 6x2 5 36x 
Raízes 0 e 6
Aula 20 Página: 66
• TEMA: “Resolução de equações incompletas do 2º- grau com 
uma incógnita”.
• CONTEÚDO TRABALHADO: Resolução de equações 
incompletas do 2º- grau, particularmente do 3º- caso.
Objetivo
¥ Resolver equações incompletas do 2º- grau.
EstratŽgias
Inicie a aula corrigindo a tarefa de casa e retomando a 
explicação, caso haja dúvidas.
Recorde a resolução de equações incompletas, do tipo 
ax2 1 bx 5 0, estudado na aula anterior (16x2 2 16x 5 0).
Liste alguns exemplos de equações e situações-pro-
blema e esclareça dúvidas dos alunos se necessário.
Resolva os exemplos listados anteriormente. 
Para casa
Solicite a realização das atividades da seção Outros 
contextos (páginas 101 a 104). Se julgar necessário, acres-
cente também a atividade abaixo:
Um quadrado tem área igual ao perímetro. Se tem área 
x2 e perímetro 4x, qual a medida do lado desse quadrado?
 a ) 2
 b ) 4
 c ) 6
 d ) 8
 e ) 1
Resposta: alternativa A.
Aula 21 Página: 66
• TEMA: “Quadro-resumo: resolução de equações 
incompletas do 2º- grau em R”.
• CONTEÚDO TRABALHADO: Resolução de equações 
incompletas do 2º- grau.
Objetivo
¥ Resolver equações incompletas do 2º- grau.
EstratŽgias
Inicie a aula corrigindo a tarefa de casa e retomando a 
explicação, caso haja dúvidas.
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Números reais e equações
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Resuma os três casos de resolução de equações in-
completas mostrado nas aulas anteriores com o apoio do 
Quadro-resumo (página 66).
Resolva exercícios com os alunos identificando o mé-
todo empregado em cada caso (16x2 2 32x 5 0, 4x2 2 4 5 0, 
x2 1 1 5 0).
Recorde a fatoração de trinômio quadrado perfeito, que 
será estudada na próxima aula. Resolva com os alunos o 
exercício 22 (páginas 66 e 67). Em seguida, peça que façam 
os exercícios 20 e 21 (página 66). Corrija-os em seguida.
Para casa
Solicite a realização da atividade abaixo:
Resolva as equações a seguir:
 a ) 27x2 2 3x 5 0 
Raízes 0 e 
1
9
 b ) 5x2 2 40x 5 0 
Raízes 0 e 8
 c ) 23x2 2 30x 5 0 
Raízes 210 e 0
 d ) 5x2 2 80 5 0 
Raízes 24 e 4
 e ) 27x2 2 3 5 0 
Raízes
 
2
1
3
 e 
1
3
 f ) (x 1 3)2 5 144 
Raízes 215 e 9
 g ) (x 2 1)2 5 121 
Raízes 210 e 12
Aula 22 Página: 67
• TEMA: “Resolução de equações do 2º- grau completas”.
• CONTEÚDOS TRABALHADOS: Fatoração de trinômio 
quadrado perfeito e equações do tipo trinômio quadrado 
perfeito.
Objetivo
• Resolver uma equação do tipo trinômio quadrado perfeito.
Estratégias
Inicie a aula corrigindo a tarefa de casa e retomando a 
explicação, caso haja dúvidas.
Recorde a fatoração de trinômio quadrado perfeito.
Apresente a forma fatorada de uma equação do tipo tri-
nômio quadrado perfeito e encontre a solução da equação.
Resolva outros exemplos (x2 1 10x 1 25) e equações 
do tipo trinômio quadrado perfeito, como o exercício 23 (pá-
gina 67) e o da seção Desafio (página 68). 
Peça que os alunos façam os exercícios 24 a 26 (pági-
na 68). Corrija-os em seguida.
Para casa
Solicite a realização da atividade abaixo:
Resolva as equações a seguir:
 a ) x2 5 3(2x 2 3) 
Raiz 3
 b ) 4x2 1 32x 1 64 5 0 
Raiz 24
 c ) 9x2 5 6x 2 1 
Raiz 
1
3
Aula 23 Páginas: 68 a 70
• TEMA: “Método de completar quadrados”.
• CONTEÚDO TRABALHADO: Método de completar quadrado 
algébrico.
Objetivo
• Resolver uma equação do 2º- grau completando quadrado.
Estratégias
Inicie a aula corrigindo a tarefa de casa e retomando a 
explicação, caso haja dúvidas.
Apresente, a partir de um exemplo (como os das pági-
nas 69 e 70), o método de completar quadrados e encontre 
a solução da equação.
Resolva outros exemplos (x2 2 3x 1 2 5 0; x2 2 3x 2 
2 7 5 0) e equações pelo método de completar quadrados. 
Peça que os alunos façam os exercícios 27 e 28 (página 
70). Corrija-os em seguida.
Para casa
Solicite a realização da atividade abaixo:
Resolva as equações a seguir pelo método de comple-
tar quadrados.
 a ) x2 5 6x 1 16 
Raízes 22 e 8
 b ) x2 1
8x 1 15 5 0 
Raízes 25 e 23
 c ) x2 5 4x 1 12 
Raízes 22 e 6
14 Números reais e equações
SER_EF2_Matematica9_M1_Guia_001_024.indd 14 18/09/15 09:20
Aula 24 Páginas: 68 a 70
¥ TEMA: “Método de completar quadrados”.
¥ CONTEÚDO TRABALHADO: Método de completar 
quadrado algébrico.
Objetivo
¥ Resolver uma equação do 2º- grau pela interpretação geo-
métrica de completar quadrado.
EstratŽgias
Inicie a aula corrigindo a tarefa de casa e retomando a 
explicação, caso haja dúvidas.
Apresente e exemplifique geometricamente a inter-
pretação geométrica de completar quadrados e resolva al-
gumas equações com os alunos utilizando o método.
Resolva outros exemplos e equações pelo método geo-
métrico de completar quadrados. 
Peça que os alunos façam os exercícios 29 e 30 (pági-
nas 70 e 71). Corrija-os em seguida.
Para casa
Solicite a realização da atividade abaixo:
Represente, a partir das equações a seguir, o método de 
completar quadrados geométricos e resolva as equações.
 a ) x2 1 6x 1 8 5 0 
Raízes 22 e 24
 b ) x2 1 3x 1 3 5 0 
Raízes 21 e 23
 c ) x2 110x 1 21 5 0
Raízes 23 e 27
Aula 25 Páginas: 71 a 74
¥ TEMA: “A fórmula de resolução de uma equação do 2º- grau”.
¥ CONTEÚDO TRABALHADO: Fórmula de resolução de uma 
equação do 2º- grau.
Objetivos
¥ Generalizar o método de completar quadrados.
¥ Resolver equações do 2º- grau.
EstratŽgias
Inicie a aula corrigindo a tarefa de casa e retomando a 
explicação, caso haja dúvidas.
Encontre uma generalização para o método de com-
pletar quadrados e aplique esse método em uma equação 
do 2º- grau genérica. Apresente, ao fim, uma fórmula para re-
solver equações do 2º- grau, indicando a expressão delta.
Explique a fórmula de Bháskara, que pode ser usada 
para resolver qualquer equação do 2º- grau.
Resolva exemplos de equações do 2º- grau com delta 
positivo, zero e negativo (x2 2 5x 1 6, x2 1 4x 1 4, x2 1 1). 
Em cada caso, enfatize o número de soluções encontradas.
Peça que os alunos façam os exercícios 31 a 33 (pági-
nas 73 e 74). Corrija-os em seguida.
Para casa
Solicite a realização da atividade abaixo:
Resolva as equações a seguir pela fórmula de Bháskara.
 a ) x2 2 2x 2 8 5 0 
Raízes 22 e 4
 b ) x2 1 5x 1 6 5 0 
Raízes 23 e 22
 c ) x2 2 4x 1 3 5 0 
Raízes 22 e 6
Aula 26 Páginas: 74 e 75
¥ TEMA: “A fórmula de resolução de uma equação do 2º- grau”.
¥ CONTEÚDO TRABALHADO: Resolução de equações do 
2º- grau.
Objetivo
¥ Resolver equações completas do 2º- grau.
EstratŽgias
Inicie a aula corrigindo a tarefa de casa e retomando a 
explicação, caso haja dúvidas.
Recorde a fórmula de resolução de equações do 2º- 
grau, a partir de sua forma genérica, como apresentado na 
aula anterior.
Liste alguns exercícios para serem feitos em aula, reto-
mando a explicação, se necessário. 
Resolva com os alunos os exemplos listados anterior-
mente (x2 2 3x 1 2 5 0, x2 2 5x 1 6 5 0), como o exercício 
36 (página 75). 
Peça que os alunos façam os exercícios 34 e 35 (pági-
nas 74 e 75). Corrija-os em seguida.
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Para casa
Solicite a realiza•‹o da atividade abaixo:
Resolva as equa•›es a seguir:
 a ) x2 2 5x 1 6 5 0 
Ra’zes 2 e 3
 b ) 3x2 1 9x 2 30 5 0 
Ra’zes 25 e 2
 c ) 2x2 1 5x 1 14 5 0 
Ra’zes 22 e 7
 d ) 5x2 2 50x 1 80 5 0 
Ra’zes 2 e 8
Aula 27 Páginas: 76 e 77
• TEMA: ÒDiscriminante de uma equa•‹o do 2¼- grauÓ.
• CONTEÚDO TRABALHADO: Fórmula de resolu•‹o de uma 
equa•‹o do 2¼- grau.
Objetivos
¥ Generalizar o mŽtodo de completar quadrados.
¥ Resolver equa•›es do 2¼- grau.
Estratégias
Inicie a aula corrigindo a tarefa de casa e retomando a 
explica•‹o, caso haja dœvidas.
Apresente o discriminante de uma equa•‹o do 2¼- grau, 
que Ž calculado a partir da express‹o delta.
Exemplifique e caracterize o nœmero de solu•›es de 
uma equa•‹o do 2¼- grau a partir do discriminante da equa-
•‹o (x2 2 3x 2 4 5 0, duas solu•›es; x2 22x 1 4 5 0, uma 
solu•‹o; x2 2 3x 1 4 5 0, sem solu•‹o).
Determine o nœmero de solu•›es de equa•›es do 2¼- grau 
sem resolvê-las, usando, para isso, o exercício 37 (página 79). 
Pe•a que os alunos fa•am os exercícios 38 e 39 (página 
79). Corrija-os em seguida.
Para casa
Solicite a realiza•‹o da atividade a seguir:
Determine os valores de k para que a equa•‹o 
2x2 1 kx 1 8 5 0 tenha uma œnica solu•‹o real. Após, assi-
nale a alternativa correta.
 a ) 24 e 4
 b ) 22 e 2
 c ) 28 e 8
 d ) 232 e 32
 e ) 264 e 64
Resposta: alternativa C.
Aula 28 Página: 78
• TEMA: ÒQuadro-resumo: resolu•‹o de equa•›es do 2¼- grau 
pela fórmulaÓ.
• CONTEÚDO TRABALHADO: Resolu•‹o de equa•›es do 
2¼- grau.
Objetivo
¥ Resolver equa•›es do 2¼- grau.
Estratégias
Inicie a aula corrigindo a tarefa de casa e retomando a 
explica•‹o, caso haja dœvidas.
Recorde a resolu•‹o de equa•‹o de 2¼- grau pela fórmu-
la de Bháskara.
Retome tambŽm os casos de discriminantes positivo, 
negativo e nulo.
Liste alguns exemplos de equa•›es, como os do exer-
cício 40 (página 79), e esclare•a dœvidas dos alunos, se ne-
cessário. 
Pe•a que fa•am os exercícios 41 a 44 (páginas 79 e 80). 
Corrija-os em seguida.
Para casa
Solicite a realiza•‹o da atividade abaixo:
Qual a medida do lado de um quadrado cujo perímetro 
excede em 3 sua área?
 a ) 1 e 3
 b ) 2 e 4
 c ) 3 e 4
 d ) 1 e 4
 e ) 2 e 3
Resposta: alternativa A.
Aula 29 Páginas: 80 e 81
• TEMA: ÒQuadro-resumo: resolu•‹o de equa•›es do 2¼- grau 
pela fórmulaÓ.
• CONTEÚDO TRABALHADO: Algumas aplica•›es de 
equa•›es do 2¼- grau.
16 Números reais e equações
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Objetivo
• Aplicar equa•›es do 2¼- grau em situa•›es-problema.
Estratégias
Inicie a aula corrigindo a tarefa de casa e retomando a 
explica•‹o, caso haja dœvidas.
Recorde a resolu•‹o de equa•‹o de 2¼- grau pela f—rmu-
la de Bh‡skara.
Liste alguns exemplos de equa•›es do 2¼- grau aplica-
dos a ‡reas e volumes, como no exerc’cio 45 (p‡gina 80). 
Auxilie os alunos, caso haja dœvidas. 
Pe•a que fa•am os exerc’cios 46 a 49 (p‡ginas 80 e 81) 
e o da se•‹o Desafio (p‡gina 81). Corrija-os em seguida.
Para casa
Solicite a realiza•‹o das atividades da se•‹o Leitura 
(p‡gina 78). Se julgar necess‡rio, acrescente tambŽm a ati-
vidade abaixo: 
Quais as medidas da base e da altura de um ret‰ngulo 
de ‡rea 4 cm2, cuja base excede em 3 cm sua altura?
 a ) 1 e 2
 b ) 2 e 4
 c ) 3 e 4
 d ) 1 e 4
 e ) 2 e 3
Resposta: alternativa D.
Aula 30 P‡ginas: 82 e 83
¥ TEMA: ÒRela•›es entre coeficientes e ra’zes de uma 
equa•‹o do 2¼- grauÓ.
¥ CONTEÚDO TRABALHADO: Associa•‹o de coeficientes de 
uma equa•‹o de 2¼- grau com suas solu•›es.
Objetivo
• Associar os coeficientes da equa•‹o de 2¼- grau com 
suas ra’zes.
Estratégias
Inicie a aula corrigindo a tarefa de casa e retomando a 
explica•‹o, caso haja dœvidas.
Por meio de exemplos de equa•›es de 2¼- grau, encon-
tre as ra’zes pela f—rmula e estabele•a a correspond•ncia 
entre a soma e o produto dessas ra’zes com os coeficientes 
(x2 2 5x 1 6 5 0). Trabalhe com ra’zes inteiras.
Resolva algumas equa•›es diretamente pela soma e 
pelo produto das ra’zes trabalhando o c‡lculo mental. 
Pe•a que os alunos fa•am o exerc’cio 50 (p‡ginas 83 e 
84). Corrija-o em seguida.
Para casa
Solicite a realiza•‹o da atividade abaixo:
Verifique, por meio da soma e do produto, se os valores 
apresentados s‹o ra’zes das equa•›es:
(V) Ra’zes: 21 e 3; equa•‹o: x2 2 2x 2 3.
(F) Ra’zes: 2 e 4; equa•‹o: x2 2 3x 1 2.
(F) Ra’zes: 22 e 0; equa•‹o: x2 1 2x 1 1.
Aula 31 P‡gina: 84
¥ TEMA: ÒRela•›es entre coeficientes e ra’zes de uma 
equa•‹o do 2¼- grauÓ.
¥ CONTEÚDO TRABALHADO: Problemas que mostram a 
rela•‹o entre os coeficientes e as ra’zes das equa•›es de 
2¼- grau.
Objetivo
• Fixar o aprendizado sobre a rela•‹o entre os coeficientes e 
as ra’zes de equa•›es do 2¼- grau, estudada na aula anterior.
Estratégias
Inicie a aula corrigindo a tarefa de casa e retomando a 
explica•‹o, caso haja dœvidas.
Por meio de exemplos de equa•›es de 2¼- grau, encon-
tre as ra’zes pela f—rmula e estabele•a a correspond•ncia 
entre a soma e o produto dessas ra’zes com os coeficientes 
(x2 2 11x 1 30 5 0). Trabalhe com ra’zes inteiras.
Resolva algumas equa•›es diretamente pela soma e 
pelo produto das ra’zes, desenvolvendo a estratŽgia do c‡lcu-
lo mental. 
Pe•a que os alunos fa•am o exerc’cio 51 (p‡gina 84). 
Corrija-o em seguida.
Para casa
Solicite a realiza•‹o da atividade abaixo:
Verifique, por meio da soma e do produto, se os valores 
apresentados s‹o ra’zes das equa•›es:
(F) Ra’zes: 1 e 25; equa•‹o: x2 1 4x 2 6.
(V) Ra’zes: 22 e 23; equa•‹o: x2 1 5x 1 6.
(V) Ra’zes: 21 e 0; equa•‹o: x2 1 x.
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Números reais e equações
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Aula 32 Página: 84
• TEMA: ÒC‡lculo mental: determina•‹o das raízes de algumas 
equa•›es do 2¼- grauÓ.
• CONTEòDO TRABALHADO: Aplica•‹o do mŽtodo da soma e 
do produto para calcular as raízes das equa•›es de 2¼- grau 
por meio de c‡lculo mental.
Objetivos
• Aplicar outro mŽtodo alŽm da f—rmula.
• Calcular as raízes das equa•›es de 2¼- grau por meio do 
mŽtodo da soma e do produto.
Estratégias
Inicie a aula corrigindo a tarefa de casa e retomando a 
explica•‹o, caso haja dœvidas.
Por meio de exemplos de equa•›es de 2¼- grau, cal-
cule as raízes por soma e produto dos coeficientes 
(2x2 2 20x 1 21 5 0).
Resolva equa•›es com os alunos valendo-se do c‡lcu-
lo mental ao realizarem a atividade em equipe do exercício 
52 (p‡gina 85). Corrija-o em seguida.
Para casa
Solicite a realiza•‹o da atividade abaixo:
Determine as raízes das equa•›es:
 a ) x2 2 3x 1 2 5 0 
1 e 2
 b ) 3x2 2 6x 1 3 5 0 
1
 c ) x2 2 2x 5 0 
0 e 2
Aula 33 Página: 85
• TEMA: ÒC‡lculo mental: determina•‹o das raízes de algumas 
equa•›es do 2¼- grauÓ.
• CONTEòDO TRABALHADO: Aplica•‹o do c‡lculo mental na 
resolu•‹o de equa•›es de 2¼- grau.
Objetivo
• Fixar o aprendizado sobre o c‡lculo mental na resolu•‹o 
de equa•›es de 2¼- grau, estudado na aula anterior.
Estratégias
Inicie a aula corrigindo a tarefa de casa e retomando a 
explica•‹o, caso haja dœvidas.
Por meio de mais exemplos de equa•›es de 2¼- grau, 
deixe os alunos calcularem as raízes por soma e produto dos 
coeficientes, trabalhando, assim, o c‡lculo mental. 
Pe•a que os alunos fa•am o exercício 53 (p‡gina 85). 
Corrija-o em seguida.
Para casa
Solicite a realiza•‹o da atividade abaixo:
Determine as raízes das equa•›es:
 a ) x2 2 4 5 0 
22 e 2
 b ) 3x2 2 6x 1 3 5 0 
1
 c ) x2 1 4x 5 0 
24 e 0
Aula 34 Páginas: 85 e 86
• TEMA: ÒDetermina•‹o de uma equa•‹o de 2¼- grau 
conhecidas suas raízesÓ.
• CONTEòDO TRABALHADO: Associa•‹o entre os 
coeficientes e as raízes de uma equa•‹o de 2¼- grau.
Objetivos
• Associar os coeficientes da equa•‹o de 2¼- grau e suas raízes.
• Apresentar o processo inverso da rela•‹o entre coeficien-
tes e raízes, em que s‹o dadas as raízes e deve-se deter-
minar a equa•‹o de 2¼- grau.
• Calcular os coeficientes da equa•‹o de 2¼- grau com a soma 
e o produto das raízes.
Estratégias
Inicie a aula corrigindo a tarefa de casa e retomando a 
explica•‹o, caso haja dœvidas.
Por meio de exemplos, determine os coeficientes das 
equa•›es de 2¼- grau por meio da soma e do produto das raízes 
inteiras dadas (5x2 2 30x 2 80 5 0).
Determine com os alunos as equa•›es de 2¼- grau com 
as raízes inteiras dadas de antem‹o. 
18 Nœmeros reais e equa•›es
SER_EF2_Matematica9_M1_Guia_001_024.indd 18 18/09/15 09:20
Peça que os alunos façam o exerc’cio 54 (p‡gina 86). 
Corrija-o em seguida.
Para casa
Solicite a realizaç‹o da atividade abaixo:
Determine as equações de 2¼- grau com as ra’zes dadas 
a seguir.
 a ) Ra’zes: 22 e 3 
x
2 2 x 2 6
 b ) Ra’zes: 3 e 0 
x
2 2 3x
 c ) Ra’zes: 22 e 24 
x
2 1 6x 1 8
Aula 35 Página: 86
• TEMA: ÒDeterminaç‹o de uma equaç‹o de 2¼- grau 
conhecidas suas ra’zesÓ. 
• CONTEÚDO TRABALHADO: Aplicaç‹o da determinaç‹o dos 
coeficientes da equaç‹o de 2¼- grau conhecidas suas ra’zes.
Objetivo
• Fixar o aprendizado sobre a determinaç‹o dos coeficien-
tes das equações de 2¼- grau com as ra’zes dadas, estuda-
da na aula anterior.
Estratégias
Inicie a aula corrigindo a tarefa de casa e retomando a 
explicaç‹o, caso haja dúvidas.
Por meio de mais exemplos, deixe os alunos determi-
narem os coeficientes das equações de 2¼- grau valendo-se 
da estratŽgia da soma e do produto (7x2 2 175 5 0).
Peça que os alunos façam os exerc’cios 55 a 57 (p‡gina 
86). Corrija-os em seguida.
Para casa
Solicite a realizaç‹o da atividade abaixo:
Determine as equações de 2¼- grau com as ra’zes dadas 
abaixo.
 a ) Ra’zes: 23 e 3 
x
2 2 9
 b ) Ra’zes: 21 e 0 
x
2 1 x
 c ) Ra’zes: 22 e 10 
x
2 2 8x 2 20
Aula 36 Página: 87
• TEMA: ÒUm novo caso de fatoraç‹o: trin™mio do 2¼- grauÓ.
• CONTEÚDOS TRABALHADOS: Aplicaç‹o dos mŽtodos 
aprendidos para determinaç‹o de soluções de equações de 
2¼- grau e forma fatorada dessas equações.
Objetivos
• Conhecer outro mŽtodo de representaç‹o de uma equa-
ç‹o de 2¼- grau.
• Calcular as ra’zes reforçando os conceitos aprendidos.
Estratégias
Inicie a aula corrigindo a tarefa de casa e retomando a 
explicaç‹o, caso haja dúvidas.
Apresente exemplos de algumas equações de 2¼- grau 
com ra’zes inteiras na forma normal e na forma fatorada 
((x 2 2)(x 2 3) 5 x2 2 5x 1 6). Mostre como determinar a 
forma fatorada.
Determine com os alunos as ra’zes inteiras de equa-
ções de 2¼- grau. Em seguida, reescreva a equaç‹o na for-
ma fatorada. 
Peça que os alunos façam o exerc’cio 58 (p‡gina 88). 
Corrija-o em seguida.
Para casa
Solicite a realizaç‹o da atividade abaixo:
Determine a forma fatorada das equações a seguir.
 a ) x2 2 3x 1 2 
(x 2 1)(x 2 2)
 b ) 2x2 1 8x 1 8 
(x 2 2)(x 2 2)
Aula 37 Página: 88
• TEMA: ÒUm novo caso de fatoraç‹o: trin™mio do 2¼- grauÓ.
• CONTEÚDOS TRABALHADOS: Aplicaç‹o da resoluç‹o das 
equações por f—rmula e determinaç‹o da forma fatorada de 
uma equaç‹o de 2¼- grau.
Objetivo
• Fixar o aprendizado sobre aplicaç‹o da fatoraç‹o das equa-
ções de 2¼- grau, estudada na aula anterior.
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Números reais e equações
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EstratŽgias
Inicie a aula corrigindo a tarefa de casa e retomando a 
explica•‹o, caso haja dœvidas.
Apresente, por meio de mais exemplos, algumas equa-
•›es de 2¼- grau ((x 1 5)(x 2 5) 5 x2 2 25). Deixe os alunos 
determinarem, sem ajuda, as formas fatoradas do exerc’-
cio 59 (p‡gina 88) e a simplifica•‹o de express‹o do exer-
c’cio 60 (p‡gina 88). Corrija-os em seguida.
Para casa
Solicite a realiza•‹o da atividade abaixo:
Determine a forma fatorada das equa•›es a seguir.
 a ) x2 2 4x 1 3 
(x 2 1)(x 2 3)
 b ) 3x2 2 3x 2 18 
3(x 2 3)(x 1 2)
 c ) 2x2 2 18 
2(x 1 3)(x 2 3)
Aula 38 Páginas: 88 e 89
¥ TEMA: ÒEqua•›es biquadradasÓ.
¥ CONTEòDOS TRABALHADOS: Conceito de equa•‹o 
biquadrada e associa•‹o de uma equa•‹o biquadrada a uma 
equa•‹o de 2¼- grau.
Objetivos
¥ Conceituar
as equa•›es biquadradas.
¥ Associar equa•›es biquadradas a equa•›es de 2¼- grau.
EstratŽgias
Inicie a aula corrigindo a tarefa de casa e retomando a 
explica•‹o, caso haja dœvidas.
Apresente exemplos de algumas equa•›es biquadra-
das (x4 2 8x2 1 16 5 0). Mostre a rela•‹o entre a equa•‹o 
biquadrada e a equa•‹o de 2¼- grau. Compare com exemplos 
de equa•›es que n‹o s‹o biquadradas.
Apresente a resolu•‹o de algumas equa•›es biqua-
dradas e pe•a que os alunos fa•am o exerc’cio 61 (p‡gina 
89). Corrija-o em seguida.
Para casa
Solicite a realiza•‹o da atividade a seguir:
Determine se as equa•›es a seguir s‹o biquadradas.
 a ) x4 2 2x2 1 31 
Sim
 b ) x4 2 13x 1 5 
N‹o
 c ) x4 2 x³ 1 1 
N‹o
 d ) x4 2 16 
Sim
Aula 39 Página: 89
¥ TEMA: ÒEqua•›es biquadradasÓ.
¥ CONTEòDO TRABALHADO: Associa•‹o de uma equa•‹o 
biquadrada a uma equa•‹o de 2¼- grau determinando suas 
solu•›es por meio dos mŽtodos j‡ aprendidos.
Objetivo
¥ Associar equa•›es biquadradas a equa•›es de 2¼- grau e 
seus mŽtodos de solu•‹o.
EstratŽgias
Inicie a aula corrigindo a tarefa de casa e retomando a 
explica•‹o, caso haja dœvidas.
Apresente como exemplos algumas equa•›es biqua-
dradas para mostrar a resolu•‹o delas por aplica•‹o de f—r-
mula e soma e produto.
Pe•a que os alunos fa•am o exerc’cio 63 (p‡gina 90). 
Corrija-o em seguida.
Para casa
Solicite a realiza•‹o da atividade abaixo:
Resolva as equa•›es biquadradas a seguir.
 a ) x4 2 8x2 1 16 
22 e 2
 b ) x4 2 13x2 1 36 
23, 22, 2 e 3
Aula 40 Página: 90
¥ TEMA: ÒEqua•›es biquadradasÓ.
¥ CONTEòDO TRABALHADO: MŽtodos de resolu•‹o das 
equa•›es biquadradas.
Objetivo
¥ Fixar o aprendizado sobre a resolu•‹o de equa•›es biqua-
dradas, estudada na aula anterior.
20 Números reais e equaç›es
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Estratégias
Inicie a aula corrigindo a tarefa de casa e retomando a 
explicação, caso haja dúvidas.
Apresente mais exemplos de equações biquadradas e 
deixe os alunos resolverem os problemas propostos.
Peça que façam o exercício 62 (página 90). Corrija-o 
em seguida.
Para casa
Solicite a realização da atividade abaixo:
Resolva as equações biquadradas a seguir.
 a ) x4 2 16x2 
24, 0 e 4
 b ) x4 2 81 
23 e 3
Aula 41 Páginas: 90 e 91
¥ TEMA: “Equações irracionais”.
¥ CONTEòDOS TRABALHADOS: Caracterização e resolução 
de equações irracionais e utilização das equações de 2º- grau 
na resolução de equações irracionais.
Objetivos
• Conceituar as equações irracionais.
• Resolver as equações irracionais utilizando o conteúdo 
aprendido de equações de 2º- grau.
Estratégias
Inicie a aula corrigindo a tarefa de casa e retomando a 
explicação, caso haja dúvidas.
Exemplifique e caracterize o que são equações irracio-
nais ( 1 5x 3 9( ) , 2 5x 1 42( ) ). Apresente o processo 
de resolução que transforma uma equação irracional em 
equações de 1º- e 2º- graus, cujos métodos de resolução já fo-
ram estudados pelos alunos.
Faça também a verificação se a solução encontrada 
satisfaz os critérios para equações irracionais.
Peça que os alunos façam o exercício 64 (página 92). 
Corrija-o em seguida. 
Encerre a aula resolvendo mais alguns exercícios de 
equações irracionais.
Para casa
Solicite a realização da atividade abaixo:
Determine as equações irracionais a seguir.
 a ) 
 
x
 
5 x 
0 e 1
 b ) 1x 3( )
 
5 5 
22
c ) 
 
1 2x x 2
2( ) 5 0 
22 e 1
Aula 42 Página: 92
¥ TEMA: “Equações irracionais”.
¥ CONTEòDO TRABALHADO: Aplicação do método de 
solução das equações irracionais.
Objetivo
• Fixar o aprendizado sobre a resolução de equações irra-
cionais, estudada na aula anterior.
Estratégias
Inicie a aula corrigindo a tarefa de casa e retomando a 
explicação, caso haja dúvidas.
Trabalhe algumas equações irracionais com os alunos. 
Deixe que eles façam os exercícios e que verifiquem se as 
soluções encontradas satisfazem os critérios de resolução 
para a equação. 
Peça que façam os exercícios 65 e 66 (página 92). Cor-
rija-os em seguida.
Para casa
Solicite a realização da atividade abaixo:
Determine as equações irracionais a seguir.
 a )
 
2x2 1( ) 5 x 
1
 b )
 
1x 5( ) 5 9 
76
 c ) 1 2x x 22( )
 
5 2 
23 e 2
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Nœmeros reais e equa•›es
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Aula 43 Páginas: 92 e 93
• TEMA: “Sistemas com equações do 2º- grau”.
• CONTEòDO TRABALHADO: Resolução de sistemas de 
equações cujo processo depende da solução de uma 
equação de 2º- grau.
Objetivos
¥ Aplicar os conceitos aprendidos sobre equações.
¥ Calcular as soluções de um problema em que as equações 
não são explícitas.
EstratŽgias
Inicie a aula corrigindo a tarefa de casa e retomando a 
explicação, caso haja dúvidas.
Exemplifique um sistema de equações cujo processo 
de resolução passe por equações de 2º- grau. Mostre aos 
alunos que a solução forma um par, uma vez que o sistema 
tem mais de uma variável.
Resolva um exemplo de sistema de equações com os 
alunos. Em seguida, peça que façam o exercício 67 (página 
94). Corrija-o em seguida.
Para casa
Solicite a realização da atividade abaixo:
Resolva os sistemas a seguir.
 a )
 
1 5
2 5 2
x y
x y
2 18
3
2 2


x 5 3 e y 5 3
 b) 
1 5
2 5
x y
x y
10
2
2 2


(x 5 21 e y 5 23) ou (x 5 1 e y 5 3)
Aula 44 Página: 94
• TEMA: “Sistemas com equações do 2º- grau”.
• CONTEòDO TRABALHADO: Resolução de mais sistemas 
de equações.
Objetivo
¥ Fixar o aprendizado sobre a resolução de sistemas de equa-
ções, estudada na aula anterior.
EstratŽgias
Inicie a aula corrigindo a tarefa de casa e retomando a 
explicação, caso haja dúvidas.
Desenvolva com os alunos exercícios de sistemas que 
utilizem equações de 2º- grau na resolução, como o exercício 
68 (página 94). Permita que façam sozinhos. Peça que re-
solvam também o exercício 69 (página 94). Corrija-os em 
seguida.
Para casa
Solicite a realização da atividade abaixo:
Resolva os sistemas a seguir.
 a )
 
1 5
5
x y
xy
3
9

N‹o possui solu•‹o.
 b) 
1 5
1 5
x y
x y
20
6
2 2


(x 5 2 e y 5 4) ou (x 5 4 e y 5 2)
Aula 45 Página: 95
• TEMA: “Outras situações que envolvem equações 
do 2º- grau”.
• CONTEòDOS TRABALHADOS: Resolução de equações de 
2º- grau por fórmula ou soma e produto, equações irracionais, 
equações biquadradas, sistemas com equações de 2º- grau e 
problemas envolvendo equações de 2º- grau.
Objetivos
¥ Aplicar todo o conteúdo sobre equações de 2º- grau.
¥ Completar a compreensão de todo o conteúdo por meio 
da proposição de problemas.
¥ Aplicar os métodos aprendidos nas aulas anteriores.
EstratŽgias
Inicie a aula corrigindo a tarefa de casa e retomando a 
explicação, caso haja dúvidas.
Proponha diversos problemas que não deem as equa-
ções de forma explícita, como os da seção Desafio (página 95).
Peça que os alunos façam os exercícios 70 e 71 (página 
95). Corrija-os em seguida. Em sala ou em casa, solicite que 
façam o Raciocínio lógico (página 95) e as atividades das se-
ções Conexões (páginas 96 e 97) e Jogos (página 98).
22 Nœmeros reais e equa•›es
SER_EF2_Matematica9_M1_Guia_001_024.indd 22 18/09/15 09:20
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gebra: das variáveis às equações e funções. 2. ed. São Paulo: 
USP (Instituto de Matemática e Estatística), Caem/Spec/Ca-
pes, 1996.
Para casa
Solicite a realização das atividades das seções Trata-
mento da informação (páginas 99 e 100), Outros contextos 
(páginas 101 a 104), Praticando um pouco mais (páginas 105 
e 106) e Revisão cumulativa (páginas 107 e 108).
Refer•ncias bibliogr‡ficas
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M
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Nœmeros reais e equa•›es
ANOTA‚ÍES
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24 Anotações
ANOTA‚ÍES
 
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Ensino 
Fundamental
1
caderno
ano
9
MATEMÁTICA
PROFESSOR
O sistema de ensino SER está preocupado com a preservação das paisagens brasileiras e do 
patrimônio cultural nacional. Por isso, ao longo dos anos finais do Ensino Fundamental, você 
conhecerá pontos importantes de todas as regiões brasileiras, retratados nas capas do material 
didático. Acompanhe-nos nessa viagem!
O Mercado Ver-o-Peso é uma das grandes atrações turísticas da cidade de Belém, no Pará. 
O movimento de pescadores, vendedores e compradores começa de madrugada naquela que 
é considerada a maior feira livre da América Latina. Ali são vendidos peixes, camarões, frutas, 
cestos de açaí, temperos e muito artesanato. A estrutura de ferro do mercado, que abriga 
dezenas de barracas, foi trazida da Europa no século XIX, durante o ciclo da borracha. 
Sua inauguração aconteceu em 1901. E em 1977 o conjunto arquitetônico foi tombado pelo 
Instituto do Patrimônio Histórico e Artístico Nacional (IPHAN).
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