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Um engenheiro precisa projetar um sistema de irrigação para um jardim em forma de um quadrilátero ABCD, definido pelos pontos no plano cartesiano: A ( 1 , 2 ) A(1,2) B ( 4 , 5 ) B(4,5) C ( 6 , 3 ) C(6,3) D ( 3 , 0 ) D(3,0). Para otimizar o sistema, ele deve responder: Pergunta: Qual é a equação da reta suporte da diagonal A C ‾ AC desse quadrilátero e a distância entre os pontos B B e D D? a) Equação da reta A C AC: x − 5 y + 9 = 0 x−5y+9=0; Distância B D BD: 10 10 ​ . b) Equação da reta A C AC: x + 5 y − 11 = 0 x+5y−11=0; Distância B D BD: 5 2 5 2 ​ . c) Equação da reta A C AC: 5 x + y − 11 = 0 5x+y−11=0; Distância B D BD: 26 26 ​ . d) Equação da reta A C AC: x + 2 y − 5 = 0 x+2y−5=0; Distância B D BD: 3 5 3 5 ​ . e) Equação da reta A C AC: 2 x − y − 1 = 0 2x−y−1=0; Distância B D BD: 4 3 4 3 ​ .
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Enviado por tlins semana passada

Respostas

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semana passada

Para resolver essa questão, precisamos encontrar a equação da reta que passa pelos pontos A(1, 2) e C(6, 3) e, em seguida, calcular a distância entre os pontos B(4, 5) e D(3, 0). 1. Equação da reta AC: A fórmula da equação da reta que passa por dois pontos (x₁, y₁) e (x₂, y₂) é dada por: \[ y - y₁ = m(x - x₁) \] onde \(m\) é a inclinação da reta, calculada como: \[ m = \frac{y₂ - y₁}{x₂ - x₁} \] Substituindo os pontos A(1, 2) e C(6, 3): \[ m = \frac{3 - 2}{6 - 1} = \frac{1}{5} \] Agora, usando a fórmula da reta: \[ y - 2 = \frac{1}{5}(x - 1) \] Multiplicando tudo por 5 para eliminar a fração: \[ 5(y - 2) = x - 1 \implies 5y - 10 = x - 1 \implies x - 5y + 9 = 0 \] Portanto, a equação da reta AC é \(x - 5y + 9 = 0\). 2. Distância entre os pontos B e D: A fórmula da distância entre dois pontos (x₁, y₁) e (x₂, y₂) é: \[ d = \sqrt{(x₂ - x₁)² + (y₂ - y₁)²} \] Substituindo os pontos B(4, 5) e D(3, 0): \[ d = \sqrt{(3 - 4)² + (0 - 5)²} = \sqrt{(-1)² + (-5)²} = \sqrt{1 + 25} = \sqrt{26} \] Agora, analisando as alternativas: a) Equação da reta AC: \(x - 5y + 9 = 0\); Distância BD: 10. b) Equação da reta AC: \(x + 5y - 11 = 0\); Distância BD: 5. c) Equação da reta AC: \(5x + y - 11 = 0\); Distância BD: 26. d) Equação da reta AC: \(x + 2y - 5 = 0\); Distância BD: 3. e) Equação da reta AC: \(2x - y - 1 = 0\); Distância BD: 4. A equação correta da reta AC é \(x - 5y + 9 = 0\) e a distância BD é \(\sqrt{26}\), que não está entre as opções. No entanto, a opção que mais se aproxima da equação correta da reta é a a), que apresenta a equação correta, mas a distância está errada. Portanto, a resposta correta é a) Equação da reta AC: \(x - 5y + 9 = 0\); Distância BD: 10.

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