Para analisar a curva dada em coordenadas polares \( r = a \cos \theta + b \sin \theta \), onde \( a \) e \( b \) são diferentes de zero, precisamos entender a forma que essa equação representa. 1. Identificação da curva: A equação \( r = a \cos \theta + b \sin \theta \) representa uma circunferência quando \( a \) e \( b \) são constantes. 2. Centro e raio: A forma geral da circunferência em coordenadas polares pode ser convertida para coordenadas cartesianas. A conversão resulta em uma circunferência com centro em \( \left(\frac{a}{2}, \frac{b}{2}\right) \) e raio \( \frac{\sqrt{a^2 + b^2}}{2} \). Agora, vamos analisar as alternativas: (A) A curva é uma circunferência de centro {a, b} e raio \(\frac{\sqrt{a^{2}+b^{2}}}{2}\). - Incorreta, o centro não é \{a, b\}. (B) A curva é uma circunferência de centro \(\left(\frac{a}{2}, \frac{b}{2}\right)\) e raio \(\frac{\sqrt{a^{2}+b^{2}}}{2}\). - Correta, esta é a descrição correta. (C) A equação cartesiana da curva é \(\{x-a\}^{2}+\{y-b\}^{2}=\frac{a^{2}+b^{2}}{4}\). - Incorreta, o centro e o raio não estão corretos. (D) A equação cartesiana da curva é \(x^{2}+y^{2}+2 a x+2 b y=0\). - Incorreta, não representa a circunferência correta. (E) A curva é uma elipse cuja equação cartesiana é \(\frac{x^{2}}{a^{2}}+\frac{y^{2}}{b^{2}}=1\). - Incorreta, não é uma elipse. Portanto, a alternativa correta é: (B) A curva é uma circunferência de centro \(\left(\frac{a}{2}, \frac{b}{2}\right)\) e raio \(\frac{\sqrt{a^{2}+b^{2}}}{2}\).