Para encontrar a aproximação de Taylor da função \( f(x) = \sen(x) \) em torno de \( x = 0 \) até a 5ª ordem, precisamos considerar as derivadas da função e seus valores em \( x = 0 \). As derivadas de \( \sen(x) \) são: - \( f(0) = \sen(0) = 0 \) - \( f'(x) = \cos(x) \) e \( f'(0) = \cos(0) = 1 \) - \( f''(x) = -\sen(x) \) e \( f''(0) = -\sen(0) = 0 \) - \( f'''(x) = -\cos(x) \) e \( f'''(0) = -\cos(0) = -1 \) - \( f^{(4)}(x) = \sen(x) \) e \( f^{(4)}(0) = \sen(0) = 0 \) - \( f^{(5)}(x) = \cos(x) \) e \( f^{(5)}(0) = \cos(0) = 1 \) Agora, usando a fórmula de Taylor, temos: \[ f(x) \approx f(0) + f'(0)x + \frac{f''(0)}{2!}x^2 + \frac{f'''(0)}{3!}x^3 + \frac{f^{(4)}(0)}{4!}x^4 + \frac{f^{(5)}(0)}{5!}x^5 \] Substituindo os valores: \[ f(x) \approx 0 + 1 \cdot x + 0 + \left(-\frac{1}{6}\right)x^3 + 0 + \frac{1}{120}x^5 \] Portanto, a aproximação de Taylor até a 5ª ordem é: \[ f(x) \approx x - \frac{1}{6}x^3 + \frac{1}{120}x^5 \] Agora, analisando as alternativas: A) \( x - x³ + \frac{4}{5} x^{4} - x^{5} \) - Não está correta. B) \( x - \frac{1}{6} x^{5} + \frac{1}{120} x^{5} \) - Não está correta. C) \( x - \frac{2}{3} x^{3} + \frac{3}{4} x^{4} - x^{5} \) - Não está correta. D) \( x - x⁴ + x⁵ \) - Não está correta. E) \( x - x³ + x⁴ - x⁵ \) - Não está correta. Nenhuma das alternativas apresentadas corresponde à aproximação correta de Taylor até a 5ª ordem para \( \sen(x) \). Você pode precisar verificar as opções ou a formulação da pergunta.