Os autovalores da matriz \(\left[\begin{array}{rr}1 & -1 \ -4 & 1\end{array}\right]\) são (A) 2 e 0. (B) 1 e 3. (C) -2 e 4. (D) 2 e -3. (E) 3 e -1.

Para encontrar os autovalores da matriz \(\left[\begin{array}{rr}1 & -1 \\ -4 & 1\end{array}\right]\), precisamos calcular o determinante da matriz \(A - \lambda I\), onde \(I\) é a matriz identidade e \(\lambda\) representa os autovalores. A matriz \(A - \lambda I\) é: \[ \left[\begin{array}{rr}1 - \lambda & -1 \\ -4 & 1 - \lambda\end{array}\right] \] O determinante é dado por: \[ \text{det}(A - \lambda I) = (1 - \lambda)(1 - \lambda) - (-1)(-4) = (1 - \lambda)^2 - 4 \] Igualando a zero para encontrar os autovalores: \[ (1 - \lambda)^2 - 4 = 0 \] Resolvendo a equação: \[ (1 - \lambda)^2 = 4 \] \[ 1 - \lambda = 2 \quad \text{ou} \quad 1 - \lambda = -2 \] Daí temos: 1. \(1 - \lambda = 2 \Rightarrow \lambda = -1\) 2. \(1 - \lambda = -2 \Rightarrow \lambda = 3\) Portanto, os autovalores são \(-1\) e \(3\). Analisando as alternativas: (A) 2 e 0. (B) 1 e 3. (C) -2 e 4. (D) 2 e -3. (E) 3 e -1. A alternativa correta é: (E) 3 e -1.