Dificuldade com a derivada

Então você deve derivar duas vezes e então estudar o sinal da segunda derivada. Onde ela for positiva você terá conc. para cima, onde for negativa a conc. será para baixo, e as raizes e suas respectivas ordenadas serão os pontos de inflexão.

>y=(x+1)/(x-1)

y'=[(x-1)-(x+1)]/(x²-2x+1)=-2/(x²-2x+1)=-2(x²-2x+1)^(-1)

y''=-2[(-1(x²-2x+1)^(-2)](2x-2)=2[(2x-2)/(x²-2x+1)²]

Estudo do sinal de y'' :

- - - - - - - -     + + + + +

___________ 1 _________ (Numerador)

+ + + + + +    + + + + +

___________ 1 _________ (Denominador)

- - - - - - - - -   + + + + +

___________ ∉ _________ (f'')

>Logo, o interval de conc. para baixo é : (-∞,1)

E o de conc. para cima é : (1,∞)

Não há ponto de inflexão, pois o denominador da segunda derivada tem uma raiz em x=1, logo não há derivada naquele ponto, assim não existem pontos de inflexão .

Espero ter sanado sua dúvida ;)

Abraços.

Derivada do produto: (f.g)' = f '. g + f. g'

Derivada do quociente: (f / g) ' = (g.f ' - f. g') / g²


1) 
y' = (2x - 3)'.(x² - 5x) + (2x - 3).(x² - 5x)'
y' = 2 . (x² - 5x) + (2x - 3). (2x - 5)
y' = 2x² - 10x + 4x² - 10x - 6x + 15
y' = 6x² - 26x + 15

2)
y' = (t - 1)'.(t + 3) + (t - 1).(t + 3)'
y' = 1. (t + 3) + (t - 1). 1
y' = 2t + 2

3)
y' = [(x + 5).(2x - 3)' - (2x - 3).(x + 5)'] / (x + 5)²
y' = [ (x + 5). 1 - (2x - 3).1] / (x + 5)²
y' = [ - x + 8 ] / (x + 5)²
y' = (8 - x) / (x² + 10x + 25)

y=(x+1)/(x-1) não é contínua em x=1, logo também não é derivável em x=1.