P2101Gab

Esta é uma pré-visualização de arquivo. Entre para ver o arquivo original

P2 de Ca´lculo a Va´rias Varia´veis I
MAT 1162 — 2010.1- Gabarito
1. Considere a func¸a˜o
f(x, y) = 2x+ x2 − y2 + xy2.
(a) (1.0) Encontre a aproximac¸a˜o de Taylor quadra´tica
S(x, y) de f em torno do ponto (0, 0).
Soluc¸a˜o: Temos
S(x, y) = 2x+ x2 − y2.
(b) (1.0) Esboce a curva de n´ıvel 1 de S(x, y).
Soluc¸a˜o: Hipe´rbole centrada em (−1, 0), eixos
principais paralelos aos eixos coordenados e com
a = b =
√
2.
2. Considere a func¸a˜o
f(x, y) =
[
(x− 1)2 + y2]·[(x+ 1)2 + y2] = x4+y4+2x2y2−2x2+2y2+1
e os pontos P1 = (0, 0),P2 = (1, 0),P3 = (0, 1),P4 =
(−1, 0) e P5 = (0,−1).
(a) (1.0) Quais dentre os pontos P1, P2, P3, P4 e P5
sa˜o cr´ıticos.
Soluc¸a˜o: Temos ∇(f) = (4x3+4xy2− 4x, 4y3+
4yx2 + 4y). Dentre os pontos acima, os u´nicos
com gradiente nulo sa˜o P1, P2 e P4.
(b) (1.0) Classifique os pontos cr´ıticos obtidos em
(a) como ma´ximo local, mı´nimo local ou sela.
Soluc¸a˜o: A matriz Hessiana e´
1
H =
 12x2 + 4y2 − 4 8xy
8xy 12y2 + 4x2 + 4

Nos pontos P2 e P4, os autovalores sa˜o 8 e 8. No
ponto P1 os autovalores sa˜o −4 e 4. Portanto P2
e P4 sa˜o mı´nimos locais e P1 e´ sela.
(c) (1.0)Algum dentre estes pontos e´ extremo global?
Soluc¸a˜o: Nos pontos P2 e P4 a func¸a˜o vale 0, e e´
sempre na˜o-negativa. Portanto estes pontos sa˜o
mı´nimos globais.
3. Considere a func¸a˜o f(x, y, z) = x2+ x3+2y2+3z2 e
o domı´nio
D = {(x.y, z) ∈ R3| x2 + y2 + z2 ≤ 1 }
(a) (1.0) Encontre os pontos cr´ıticos no interior do
domı´nio.
Soluc¸a˜o: Temos∇(f) = (2x+3x2, 4y, 6z). Igua-
lando este gradiente a zero, obtemos os pontos
cr´ıticos P1 = (0, 0, 0) e P2 = (−2/3, 0, 0).
(b) (1.5) Encontre os candidatos a extremos na fron-
teira do domı´nio.
Soluc¸a˜o: Utilizando multiplicadores de Lagrange
temos (2x+ 3x2, 4y, 6z) = λ(x, y, z). Resolvendo
este sistema e usando que x2 + y2 + z2 = 1,
obtemos os candidatos P3 = (0,−1, 0), P4 =
(0, 1, 0), P5 = (0, 0,−1), P6 = (0, 0, 1), P7 =
(−1, 0, 0), P8 = (1, 0, 0), P9 = (2/3,
√
5/3, 0) e
P10 = (2/3,−
√
5/3, 0).
2
(c) (0.5) Encontre o ma´ximo global da func¸a˜o f ,
caso exista.
Soluc¸a˜o: Avaliando a func¸a˜o em todos os can-
didatos a ma´ximo global temos que o maior valor
e´ f(P5) = f(P6) = 3. Como o domı´nio e´ com-
pacto e a func¸a˜o cont´ınua, o teorema de Weier-
strass garante a existeˆncia de uma ma´ximo global.
Portanto P5 e P6 sa˜o os ma´ximos globais.
3