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MATEMÁTICA - MÓDULO 8
RAZÃO E PROPORÇÃO - PORCENTAGEM ,
REGRA DE TRÊS SIMPLES E COMPOSTA
Documento realizado por discentes do IFSul Campus
Camaquã. Revisado por Diana Schein Bartz, mestre
em Engenharia Oceânica pela FURG e por Tiago
Ventura Martins, Mestre em Ensino de Matemática
pela UFRGS.
QUALIFICA
matemática
 
MATEMÁTICA - MÓDULO 8 
REVISADO POR DIANA SCHEIN BARTZ, MESTRE EM ENGENHARIA OCEÂNICA PELA 
FURG E POR TIAGO VENCATO MARTINS MESTRE EM ENSINO DE MATEMÁTICA PELA 
UFRGS​,’ 
 
 
MATEMÁTICA - Módulo 8 
 
RAZÃO E PROPORÇÃO 
 
1. ​INTRODUÇÃO A RAZÃO E PROPORÇÃO 
 
A razão e a proporção são conceitos que estão bastante presentes no                       
nosso dia dia. Quando vamos fazer a receita de um bolo por exemplo,                         
utilizamos determinadas medidas para representar a quantidade de               
cada ingrediente, estes números são exemplos de razões e proporções. 
Mas antes de ver como elas se relacionam, vamos entender o que cada                         
uma significa. 
 
 
2. ​RAZÃO 
 
A razão é uma comparação entre duas grandezas e está diretamente 
ligada com a operação da divisão. Quando dividimos um número por 
outro, estamos comparando uma grandeza por outra, por isso dizemos 
que: 
A razão entre os números A e B, é o quociente a : b 
 
Interpretando essa afirmação podemos concluir que o resultado da                 
divisão de um número A por B é a razão. 
 
2. 1 Representação 
 
A representação de uma razão pode ser A : B, A / B ou ainda:  
 
Onde, a é o numerador e b é o denominador 
 
2.1.1 Exemplos 
 
● A razão entre os número 20 e 5 pode ser escrita da seguinte 
maneira: 
 
 
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20 : 5, 20 / 5 ou​ 520  
Então o número 4, o resultado da divisão entre 20 e 5, é a razão. 
Obs.: Para encontrar a razão entre duas grandezas a unidade de                     
medida delas deverão ser as mesma. 
 
 
3. ​PROPORÇÃO 
 
A proporção pode ser definida como a igualdade entre duas razões, ou                       
seja, podemos dizer que existe uma proporção quando duas razões                   
são iguais. 
Dessa forma dizemos que: 
Uma proporção é a igualdade entre duas ou mais razões 
 
 
3.1 Representação 
 
Uma proporção é representada da seguinte maneira: 
 
Nessa igualdade dizemos que: 
● A está para b, assim como c está para d 
● A, B, C, D são os termos da proporção 
 
 
3.1.1 Exemplo 
 
● Imaginemos a seguinte proporção: 
 = 51 210  
Os extremos são 1 e 10, enquanto os meios são 5 e 2. 
 
● Se simplificarmos esta equação obtemos o seguinte: 
 = 51 210  
 = 51 2 10 ÷2÷2  
 
 
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 = 51 51  
Ao simplificar esta equação obtivemos uma igualdade, isso nos                 
mostra que estes números formam uma proporção.  
 
 
3.2 Propriedade 
 
As propriedades são técnicas que nos ajudam a resolver as                   
proporções de forma mais fácil e rápida, por isso a seguir veremos a                         
principal propriedade da proporção. 
 
A propriedade da proporção, nos diz que : 
 
 = AB CD  
 
 
O produto dos meios é igual ao produtos dos extremos. 
 
Na prática isso significa que a multiplicação ocorre na forma de cruz, 
vejamos o exemplo: 
 
 = 810 3024  
 810 × 3024    
 8 . 30 = 10 . 24 
 240 = 240 
 
Usando esta propriedade podemos encontrar um termo desconhecido 
em uma proporção vejamos o exemplo: 
 
● Calcular o valor de x na equação: ​ = x + 43x − 1 32  
 
 
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 = x + 43x − 1 32  
 3 . (3x - 1) = 2 . (x + 4) 
 9x - 3 = 2x + 8 
 9x - 2x = 8 + 3 
 7x = 11 
 x = 7
11  
 
● Calcular o valor de x na equação: 5x + 4 = ​ x3  
 = 15x + 4 x3  
 3 . (5x + 4) = 1 . (x) 
 15x + 12 = x 
 15x - x = - 12 
 14x = -12 
 x =​ = 14−12 7−6  
 
 
4. ​GRANDEZAS 
 
Uma grandeza é tudo aquilo que pode ser medido ou contado.                     
Podemos citar como exemplo a massa, o comprimento, a capacidade, a                     
velocidade, o tempo, o custo, a produção, etc.  
Algumas grandezas podem ter suas medidas aumentadas ou               
diminuídas, por isso elas são classificadas em dois tipos: As grandezas                     
diretamente proporcionais e as grandezas inversamente           
proporcionais. 
 
4.1 Grandezas diretamente proporcionais 
 
As grandezas diretamentes proporcionais são aquelas em que: 
 
 ​A variação de uma provoca a variação da outra 
 
Ou seja, se uma grandeza duplica a outra também irá se duplicar da                         
mesma forma, se ela é dividida a outra também irá se dividir e assim                           
consequentemente independente da operação. 
 
 
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4.1.1 Exemplo 
 
● Se três canecas custam R$ 8,00, o preço de seis canecas custará                       
R$ 16,00.  
 
Neste exemplo nós temos duas grandezas: Canecas e Preço. 
Podemos observar que quando dobramos o número de canecas,                 
também dobramos o preço das canecas. Vejamos na tabela                 
abaixo: 
 
 
 
Quando isso ocorre dizemos ques essas grandeza são               
diretamente proporcionais, ou seja, quando aumentamos uma a               
outra consequentemente aumenta. 
 
 
4.2 Grandezas inversamente proporcionais 
 
Nas grandezas inversamente proporcionais ocorre o oposto do que                 
acontecia anteriormente, nas diretamente proporcionais: 
 
A variação provoca aumento ou redução de forma inversa 
 
Neste tipo de grandeza quando aumentamos uma a outra diminui, se                     
multiplicamos uma, temos que dividir a outra.  
 
 
 
4.2.1 Exemplo 
 
 
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● Um ciclista faz um treino para uma prova: Correndo inicialmente                   
a uma velocidade de 5m/s, o ciclista completa a pista em 200 s. A                           
cada volta ele dobra a sua velocidade, então na segunda volta                     
estará correndo a velocidade de 10m/s e completando a pista em                     
100s.  
 
Neste exemplo nós temos duas grandezas: Velocidade e tempo. 
Podemos observar que quando dobramos a velocidade da               
corrida, o tempo de se reduz à metade. Vejamos na tabela abaixo: 
 
 
 
 
5. ​REGRA DE TRÊS 
 
A regra de três é muito utilizada para a resolução de diversos                       
problemas matemáticos que envolvem duas ou mais grandezas               
proporcionais, no qual podemos encontrar um valor desconhecido. 
A base para a resolução da regra de três é a primeira propriedade das                           
proporções, no qual temos uma igualdade entre duas razões e a                     
multiplicamos em cruz. Esta propriedade já foi vista nesta apostila e se                       
encontra no item 3.2.1 
 
5.1 Regra de três simples 
 
A regra de três simples nos permite encontrar um valor desconhecido                     
quando temos duas grandezas. 
 
5.1.1 Resolução de uma regra de três simples 
 
 
 
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● 1º) Agrupar as grandezas da mesma espécie em colunas e abaixo                     
dessas, colocar os valores referentesaos mesmas 
● 2º) Identificar se as grandezas são diretamente ou inversamente                 
proporcionais. 
● 3º) Montar a proporção e resolver a equação. 
 
OBS.: Utiliza-se setas para representar as grandezas diretamente ou                 
inversamente proporcionais. Quando a grandeza é diretamente             
proporcional utilizamos uma seta para cima, já quando a grandeza é                     
inversamente proporcional utilizamos uma seta para baixo. 
Quando for inversa (seta para baixo) invertemos os valores                 
(denominador, parte de baixo, vai para o numerador, parte de cima) e                       
quando for direta (seta para cima) deixamos como está. 
 
 
5.1.2 Exemplo 
 
● Daniel possui em aquário com 8 peixes e eles consomem 30g de                       
ração por dia. Se ele puser mais 2 peixes semelhantes aos que já                         
tem, quanta ração será consumida por dia? 
 
1) No primeiro passo devemos agrupar as grandezas de               
mesma espécie. 
 
Lembrando que se Daniel colocou mais 2 peixes ele passará                   
a ter 10 peixes 
 
Peixes  Ração (g) 
8  30g 
10  x 
 
2) No segundo passo devemos identificar se as grandezas são                 
diretamente ou inversamente proporcionais.  
Nesse caso quanto mais peixes no aquário, mais ração será                   
consumida por dia. Portanto, são diretamente           
 
 
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proporcionais, então para simbolizar colocaremos duas           
flechas para cima: 
 
 
 
3) No último passo iremos resolver a equação: 
= 810 x30  
x​ 810 x30  
 8 . x = 30 . 10 
 8x = 300 
 x = ​= 37,5 g8300  
 
 
● Marcela irá gastar 4 horas para fazer uma viagem se mantiver 
uma velocidade de 90km/h. Se ela desejar fazer a viagem em 
1hora a menos, que velocidade deverá manter? 
 
1) No primeiro passo devemos agrupar as grandezas de mesma                   
espécie. 
 
Se Marcela deseja fazer a viagem em 1hora a menos, então a                       
próxima viagem será realizada em 3h 
 
Tempo  Velocidade (km/h) 
4  90 
3  x 
 
2) No segundo passo devemos identificar se as grandezas são                   
diretamente ou inversamente proporcionais.  
 
 
 
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Neste caso temos um problema de proporção inversa, pois                 
quanto mais velocidade, menor é o tempo da viagem. Então para                     
simbolizar colocaremos uma flecha para cima na grandeza que                 
aumenta (Velocidade) e uma para baixo na grandeza que diminui                   
(tempo): 
 
 
 
3) No último passo iremos resolver a equação, portanto ao 
montar o cálculo, iremos inverter um dos valores antes de 
multiplicar :  
= 34 x90  
x​ 34 x90  
 3. x = 4 . 90 
 3x = 360 
 x = ​= 120km/h3360  
 
5.2 Regra de três composta 
 
Quando temos mais de duas grandezas não conseguimos usar a regra                     
de três simples, por isso iremos aprender a calcular a regra de três                         
composta que nos permite encontrar um valor desconhecido quando                 
temos três grandezas. 
 
5.2.1 Solução de uma regra de três composta 
 
● 1°) Agrupar as grandezas da mesma espécie em colunas e abaixo                     
dessas, colocar os valores referentes aos mesmas 
● 2°) Analisar cada grandeza à grandeza onde está o X e identificar                       
se são diretamente ou inversamente proporcionais 
● 3°) Montar a proporção Isolando a grandeza com a incógnita e                     
resolver a equação 
 
 
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OBS.: Utilizamos o mesmo método que na regra de três simples para 
demarcar se as grandezas são inversamente ou diretamente 
proporcionais (flechas para cima ou para baixo). Caso seja 
inversamente proporcionais devemos também inverter os valores. 
 
5.2.2 Exemplo 
 
Em 5 dias, 6 impressoras são capazes de imprimir 30000 folhas. 
Quantos dias são necessários para que 5 impressoras imprimem 20000 
folhas? 
 
Vamos agrupar as grandezas da mesma espécie: 
 
Dias  Impressoras  Folhas 
5  6  30000 
x  5  20000 
 
Agora iremos analisar cada grandeza com à grandeza onde está o X e                         
identificar se são diretamente ou inversamente proporcionais: 
Se diminuirmos a quantidade de impressoras serão necessários mais                 
dias para fazer as impressões, logo são inversamente proporcionais.                 
Na relação entre dias e folhas é direta, pois para imprimir menos folhas                         
são necessários menos dias. 
 
 
 
Agora iremos montar a proporção Isolando a grandeza com a                   
incógnita e resolver a equação, não se esquecendo de inverter a                     
inversamente proporcional: 
= . x5 56 2000030000   
 
 
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= . x5 65 2000030000   
x​ 5x 1215  
 15 . x = 5 . 12 
 15x = 60 
 x =​ ​= 4 dias1560  
 
 
6.​ PORCENTAGEM 
  
A Porcentagem representa uma razão cujo denominador é igual a 100 
e indica uma comparação de uma parte com o todo. 
 
6.1 Representação 
 
Uma porcentagem pode ser representada na forma de porcentagem, 
fração (denominador igual a 100) ou na forma decimal:  
 
 
● % é usado para designar a porcentagem. 
 
6.2 Formas de calcular 
 
A porcentagem pode ser calculada de três maneiras, a mais utilizada é 
a regra de três, mas também pode ser calculada pela transformação 
da porcentagem em fração (denominador igual a 100) ou na 
transformação da porcentagem em número decimal. 
 
6.2.1 Exemplo 
 
Calcule 30% de 90 
 
 
 
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● Para usar a regra de três no problema, vamos considerar que 90                       
corresponde ao todo, ou seja 100%. O valor que queremos                   
encontrar chamaremos de x. A regra de três será expressa como: 
 
Valor  Porcentagem 
90  100% 
x  30% 
 
= x90 30100  
x​ x 90 30100  
 100x = 2700 
 x = ​= 271002700  
 
● Para resolver usando frações, primeiro temos que transformar a                 
porcentagem em uma fração com denominador igual a 100: 
 
 ​. 90 = 2730100  
 
● Podemos ainda transformar a porcentagem em número decimal: 
 
30% = 0,3 
0,3 . 90 = 27 
 
O resultado é o mesmo nas três formas, ou seja 30% de 90 corresponde 
a 27. 
 
REFERÊNCIAS 
 
Todo embasamento desta apostila foi retirado dos seguintes livros: 
 
ANDRINI, Álvaro; VASCONCELLOS, Maria. ​Praticando Matemática. ​São 
Paulo: Editora do Brasil, 2006. 
 
GIOVANNI, josé; CASTRUCCI, Benedicto. ​A conquista da matemática. 
São Paulo: Editora FTD, 2009.  
 
 
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