teste 24

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e-Tec BrasilAula 2 | Proporção 23
Aula 2 | Proporção
Meta da aula
•	 Apresentar	os	conceitos	de	proporções	diretas	e	inversas,	suas	
propriedades	e	mostrar	suas	aplicações	matemáticas.
Objetivos da aula
Ao	final	desta	aula,	você	deverá	ser	capaz	de:
1.	 calcular	proporções	diretas;
2.	 identificar	a	propriedade	fundamental	em	uma	proporção;
3.	 dividir	um	número	em	partes	diretamente	proporcionais;
4.	 calcular	proporções	inversas;
5.	 dividir	um	número	em	partes	inversamente	proporcionais;
6.	 dividir	um	número	em	partes	diretamente	e	inversamente		
proporcionais.
Um presente especial
Nesta	semana,	Luciana	vai	utilizar	o	que	aprendeu	na	loja	de	revelação	para	
solucionar	um	problema	com	sua	avó.	Vovó	Luiza	vai	fazer	bodas	de	ouro	no	
mês	que	vem	e	está	querendo	fazer	uma	surpresa	para	seu	amado	marido:	
quer	dar	a	ele	um	quadro	com	a	foto	que	tiraram	no	primeiro	dia	do	namoro	
em	um	parque	de	diversões,	para	ele	colocar	na	parede	de	seu	escritório.	
Porém,	essa	foto,	além	de	muito	antiga,	é	muito	pequena	e	não	serve	para	
fazer	um	quadro	bonito.	Luciana	vai	ter	de	ajudar	sua	avó	a	ampliar	a	foto	
para	um	tamanho	adequado,	sem	contudo	deformar	a	imagem.	Mas	como	
se	faz	isso?	Simples,	a	nova	foto	terá	de	ser	proporcional	à	foto	original,	pois	
assim	a	qualidade	da	imagem	será	mantida.
Gerência em Saúdee-Tec Brasil 24
Su
sa
n	
H
.
Fonte:	www.sxc.hu/photo/290026
Figura 2.1: Foto que a avó de Luciana quer transformar em quadro.
Você	deve	estar	se	perguntando:	“Como	vai	ser	possível	ampliar	a	foto?”	É	
aí	que	entra	o	assunto	desta	aula.	Nela,	você	vai	aprender	o	que	é	proporção	
e	entender	como	Luciana	conseguiu	 fazer	a	ampliação	da	 foto,	ajudando	
sua	avó	a	dar	esse	presente	tão	especial	ao	marido.
Definindo proporção
Quando	temos	duas	razões	iguais	entre	si,	dizemos	que	elas	são	proporcio-
nais.	Em	outras	palavras,	podemos	dizer	que,	quando	temos	o	quociente	de	
um	par	de	números	(uma	razão)	igual	ao	quociente	de	outro	par	de	núme-
ros	diferentes	(outra	razão	diferente),	esses	dois	pares	de	números	(as	duas	
razões)	são	proporcionais.
Para	entender	melhor	essa	história	de	proporção,	veja	o	exemplo	a	seguir:
1ª	situação:	a	primeira	razão	(R1)	é	igual	à	divisão	de	26km	por	2	litros.
1
26km 13R = =
2l 1
2ª	situação:	a	segunda	razão	(R2)	é	igual	à	divisão	de	39km	por	3	litros.
2
39km 13R = =
3l 1
Quociente
Resultado	da	divisão	entre	
dois	números.	Exemplo:	
a	divisão	do	número	40	
pelo	número	8	tem	como	
resultado	o	número	5;	
então,	5	é	o	quociente		
dessa	divisão.
Glossário
e-Tec BrasilAula 2 | Proporção 25
Como	R1	=	R2,	isso	significa	que	elas	formam	uma	proporção.
Agora,	observe	este	outro	exemplo:
1 2
26 39R =R =
2 3
Þ
Se	você	multiplicar	as	razões	em	cruz,	verá	que	o	resultado	será	o	mesmo:
26	×	3	=	2	×	39
78	=	78
Portanto,	você	pode	ver	que	em	uma	proporção,	quando	multiplicamos	em	
cruz	as	duas	razões,	o	resultado	é	o	mesmo.
Vamos	ver	como	usar	isso	na	prática?	Veja	este	exemplo:
	A
le
ss
an
dr
o	
Pa
iv
a
Fonte:	www.sxc.hu/photo/1147773
A	soma	de	convidados	em	uma	festa	é	igual	a	30.	Qual	é	a	quantidade	de	
mulheres	e	homens	presentes,	sabendo	que	a	proporção	é	de	4	mulheres	
para	cada	6	homens?
Para	resolver	esse	problema,	a	primeira	coisa	a	fazer	é	montar	a	proporção:
M 4
H 6
=
Gerência em Saúdee-Tec Brasil 26
Essa	expressão	mostra	que	o	número	de	mulheres	(M)	está	para	o	número	
de		homens	(H)	assim	como	4	está	para	6.	Mas,	para	facilitar	as	contas	(como	
você	verá	mais	à	frente),	é	melhor	inverter	a	posição	das	proporções	para	a	
forma	a	seguir:
M H
4 6
=
Sabe-se	que	a	soma	de	mulheres	e	homens	é	igual	a	30,	portanto:
M	+	H	=	30
Agora,	monte	a	equação:
M H M H 30
3
4 6 4 6 10
M H
3, 3
4 6
+
= = = =
+
∴ = =
Agora	é	só	calcular	a	quantidade	de	mulheres	e	homens:
M
3 M 4 3 M 12
4
H
3 H 6 3 H 18
6
= → = × ∴ =
= → = × ∴ =
Portanto,	existiam	na	festa	12	mulheres	e	18	homens.	Vamos	conferir?
A	proporção	original	era:
M 4
H 6
=
Substituindo	pelos	valores	encontrados,	tem-se:
12 4
18 6
=
e-Tec BrasilAula 2 | Proporção 27
	
Símbolos matemáticos
Ro
vn
et
Fonte:	http://commons.wikimedia.org/wiki/File:Math.jpg
Em	Matemática,	 além	dos	 símbolos	 que	 representam	operações	
matemáticas	básicas,	como	a	soma	(+),	a	multiplicação	(x),	a	sub-
tração	(-)	e	a	divisão	(÷),	utilizamos	também	outros	símbolos	que	
substituem	palavras	ou	termos.	Um	deles	é	o	símbolo	\ ,	que	sig-
nifica	“portanto”.	Esse	símbolo	expressa	a	ideia	de	conclusão	de	
um	determinado	raciocínio.
	
Agora	que	você	já	sabe	o	que	é	uma	proporção,	vamos	ver	como	ela	pode	
ser	utilizada	fazendo	uma	atividade?
Atividade 1
Atende ao Objetivo 1
Luciana	precisa	ampliar	uma	foto	antiga	de	seus	avós	para	um	tamanho	que	
seja	25	vezes	maior	e	que	seja	proporcional	à	foto	original.	Sabendo	que	a	
foto	original	mede	12cm	de	largura	por	16cm	de	altura,	com	que	tamanho	
ficará	a	foto	ampliada?
Gerência em Saúdee-Tec Brasil 28
Conheça	agora	algumas	propriedades	que	as	proporções	apresentam!
Propriedades das proporções
O	estudo	das	proporções	apresenta	algumas	propriedades	importantes.	Ve-
remos	nesta	aula	as	seguintes:
•	 propriedade	fundamental	das	proporções	e
•	 propriedade	da	adição	de	termos	das	proporções.
Propriedade fundamental
Você	sabia	que	em	toda	proporção	o	produto	dos	meios	é	igual	ao	produto	
dos	extremos?	Ou	seja,	se	você	tem	uma	sequência	a,	b,	c	e	d	de	números	
não	nulos	(diferentes	de	zero)	e	que	formam	entre	si	uma	proporção,	então	
a	x	d	=	c	x	b.
a c
a d c b
b d
= → × = ×
Onde:
Extremos
a	÷	b	=	c	÷	d
Meios
Si
gu
rd
	D
ec
ro
os
Fonte:	www.sxc.hu/photo/997219
e-Tec BrasilAula 2 | Proporção 29
A	propriedade	fundamental	das	proporções	permite	conferir	se	os	números	
formam	uma	proporção	ou	não,	ou	seja,	permite	observar	se	as	duas	razões	
são	ou	não	 iguais.	 Para	 essa	 verificação,	 devemos	 efetuar	 o	 produto	dos	
meios	pelos	extremos,	e	se	os	resultados	forem	iguais,	existe	sim	uma	pro-
porção,	caso	o	resultado	das	multiplicações	sejam	números	diferentes,	não	
existe	a	proporção.
Para	confirmar	essa	informação,	veja	os	exemplos	a	seguir:
a)	 Dada	a	sequência	3,	5,	6	e	10:
a c 3 6
b d 5 10
= → =
Tem-se	que:
•	 5	e	6	→ 	são	os	meios;
•	 3	e	10	→ 	são	os	extremos;
•	 o	produto	dos	meios	é	5	×	6	=	30;
•	 o	produto	dos	extremos	é	3	×	10	=	30.
Desse	modo,	essa	sequência	de	números	forma	uma	proporção,	pois	a	mul-
tiplicação	dos	meios	é	igual	à	multiplicação	dos	extremos.
b)	 Observe	as	razões	a	seguir:
a,	b,	c,	d,	=	1,	2,	2,	4
1 2
2 4
2 2 1 4
4 4
=
× = ×
=
Veja	que	essas	razões	também	formam	uma	proporção,	porque	a	multiplica-
ção	dos	meios	é	igual	à	multiplicação	dos	extremos.
c)	 Agora,	observe	estas	razões:
Gerência em Saúdee-Tec Brasil 30
a,	b,	c,	d	=	8,	3,	1,	7
8 1
3 7
3 1 8 7
21 8
=
× = ×
≠
Veja	que	essas	razões	não	formam	uma	proporção,	pois	o	produto	dos	meios	
é	diferente	do	produto	dos	extremos.
	
Como é possível saber se duas frações são equivalentes?
Ey
up
	S
al
m
an
Fonte:	www.sxc.hu/photo/566674
Quando	o	conceito	de	proporção	foi	definido	nesta	aula,	foi	dito	
que	quando	duas	razões	(frações)	são	equivalentes	(iguais),	signi-
fica	que	 temos	uma	proporção.	Mas	 você	 sabe	como	é	possível	
conferir	se	duas	frações	são	iguais?	Não?	É	bem	simples.
Imagine	que	temos	duas	frações,	
1 3
2 6
= .	Será	que		
1 3
2 6
=	é	igual	a	
1 3
2 6
= ?
Para	 responder	 a	 essa	 pergunta,	 é	 preciso	 primeiro	 simplificar	 a	
equação	que	é	possível	de	ser	simplificada.	Nesse	exemplo,	é	possí-
vel	simplificar	1 3
2 6
= ,	para	isso	basta	dividir	os	dois	membros	da	fração
pelo	maior	divisor	comum	(MDC)	entre	eles.	Ou	seja,	para	simpli-
ficar	1 3
2 6
= ,	temos	de	dividir	3	e	6	por	3	(MDC).	Assim,	temos	que:
3 3÷3 1 1 1
= = =
6 6÷3 2 2 2
→
Agora	é	possível	verificar	que	a	segunda	fração	é	igual	à	primeira.	
Se	elas	são	iguais,	podemos	dizer	que	são	frações	equivalentes	e,	
portanto,	formam	uma	proporção.	
	
e-Tec BrasilAula 2 | Proporção 31
	
Nãoesqueça	que	em	toda	sequência	de	números	que	forma	uma	
proporção	o	produto	dos	números	dos	meios	é	igual	ao	produto	
dos	números	dos	extremos!
 
Ju
lie
n	
Tr
om
eu
r
viu até aqui?
Que tal praticar um pouco
os conceitos que você já 
Fonte:	www.sxc.hu/photo/1262267
 
Atividade 2
Atende ao Objetivo 2
Dentre	as	proporções	a	seguir,	indique	quais	atendem	à	propriedade	fundamen-
tal	e	quais	não	atendem	(não	podendo	ser	consideradas	como	proporções).
a)	 5 10
4 8
=
Gerência em Saúdee-Tec Brasil 32
b)	 30 25
12 10
=
c)	 15 30
25 20
=
d)	 17 34
12 24
=
e)	 12 6
10 4
=
Propriedade da adição de termos da proporção
Para	que	você	possa	entender	mais	facilmente	essa	segunda	propriedade	das	
proporções,	vamos	utilizar	a	seguinte	sucessão	de	razões	iguais:
3 6 12
5 10 20
= =
e-Tec BrasilAula 2 | Proporção 33
Se	adicionarmos	os	seus	antecedentes	(numeradores),	teremos:
3	+	6	+	12	=	21
Se	adicionarmos	os	seus	consequentes	(denominadores),	teremos:
5	+	10	+	20	=	35
Observe	que	a	razão	entre	a	soma	dos	antecedentes	e	a	soma	dos	conse-
quentes	é	igual	a	cada	uma	das	razões	da	sucessão.
3 6 12 21 3 6 12
5 10 20 35 5 10 20
+ +
= = = =
+ +
Portanto,	em	uma	sucessão	de	razões	iguais,	a	soma	dos	antecedentes	(nu-
meradores)	está	para	a	soma	dos	consequentes	(denominadores),	formando	
uma	razão	que	é	igual	às	razões	dessa	sucessão.
	
A	 razão	entre	a	 soma	dos	antecedentes	e	dos	 consequentes	de	
uma	proporção	é	igual	às	razões	que	formam	essa	proporção.
	
Veja	como	aplicar	essa	propriedade:
Calcule	os	consequentes	(denominadores)	de	uma	proporção,	sabendo	que	
a	sua	soma	é	45	e	que	os	antecedentes	(numeradores)	são	12	e	24.
O	primeiro	passo	é	identificar	as	informações	que	temos	no	enunciado:
a c
b d
= → 	onde:	a	e	c	são	os	antecedentes	e	b	e	d	são	os	consequentes.
Sabemos	que	os	antecedentes	são	12	e	24,	portanto,	12 24
b d
= .
Também	sabemos	que	b	+	d	=	45	→ 	soma	dos	consequentes.
A	partir	da	multiplicação	cruzada,	temos:
12 24 24b
12d 24b d
b d 12
= → = → =
Gerência em Saúdee-Tec Brasil 34
Agora	montamos	o	sistema:
24b
d
12
b d 45
 =

 + =
	
Substituindo	uma	equação	dentro	da	outra,	temos:
b d 45
24b
b 45
12
12b 24b 45 12
36b 540 b 15
+ =
+ =
+ = ×
= → =
Agora	que	você	tem	o	valor	de	b,	basta	substituí-lo	e	descobrir	o	valor	de	d.
15 d 45 d 30+ = → =
Assim,	os	dois	termos	procurados	são:	b	=	15	e	d	=	30
	
Proporção divina
J.
	B
re
w
Fonte:	http://commons.wikimedia.org/wiki/File:Spiral_aloe.jpg
Proporção	divina	ou	proporção	áurea	 (como	também	é	conheci-
da)	 é	 uma	 constante	matemática,	 representada	pela	 letra	grega	
ϕ	 (phi),	 cujo	 valor	 arredondado	é	1,618.	 Ela	ocorre	da	 seguinte	
forma:	se	dividirmos	um	corpo	em	duas	partes	desiguais	(a	e	b),	
a	 razão	entre	a	maior	 (a)	e	a	menor	 (b)	parte	será	 igual	à	 razão	
entre	o	corpo	todo	(a+b)	e	sua	maior	parte	(a),	em	outras	palavras		
a b a
a b
+
= = ϕ .	Ela	está	ligada	aos	modelos	de	beleza	encontrados	
e-Tec BrasilAula 2 | Proporção 35
na	natureza	e	aos	padrões	de	crescimento.	Como	exemplos,	temos	
a	proporção	entre	machos	e	fêmeas	em	uma	colmeia	e	a	relação	
entre	várias	medidas	humanas,	como	a	altura	do	corpo	humano	e	
a	medida	do	umbigo	até	o	chão.
A	partir	do	número	ϕ	foi	criado	o	retângulo de ouro,	um	objeto	
matemático	que	possui	forte	presença	nas	artes,	como	arquitetu-
ra,	pintura	e	até	na	publicidade.	Um	retângulo de ouro	tem	uma	
interessante	propriedade:	 se	o	dividirmos	num	quadrado	e	num	
retângulo,	o	novo	retângulo	é	também	de	ouro.	Repetido	esse	pro-
cesso	 infinitamente	e	unindo	os	 cantos	dos	quadrados	gerados,	
obtém-se	uma	espiral	a	que	se	dá	o	nome	de	espiral	de	ouro.	Tes-
tes	psicológicos	mostraram	que	o	retângulo de ouro	é	o	formato	
geométrico	mais	agradável	aos	olhos.
Fonte:	http://pt.wikipedia.org/wiki/Ficheiro:Golden_spiral_in_rectangles.png
	
Pronto!	Agora	que	você	já	sabe	proporção	e	suas	propriedades,	vamos	co-
nhecer	como	aplicá-las	às	grandezas	matemáticas?
Grandezas proporcionais
Como	você	viu	na	aula	anterior,	uma	grandeza	matemática	é	tudo	aquilo	
que	pode	ser	contado,	medido,	pesado	ou	enumerado.	Essas	grandezas	po-
dem	ser	direta	ou	inversamente	proporcionais.	Nas	próximas	seções,	você	vai	
entender	como	elas	funcionam	e	vai	aprender	como	identificá-las.
Gerência em Saúdee-Tec Brasil 36
Grandezas diretamente proporcionais
Duas	grandezas	são	tidas	como	diretamente	proporcionais	quando,	ao	se	au-
mentar	ou	diminuir	a	primeira	grandeza,	a	 segunda	aumenta	ou	diminui	na	
mesma	razão.	Sendo	assim,	quando	duas	razões	são	iguais,	podemos	dizer	que	
os	números	que	compõem	as	suas	frações	são	diretamente	proporcionais.
A	razão	é	o	resultado	da	divisão	entre	dois	números,	certo?
Sendo	assim,	se	pegarmos	1⁄2	e	multiplicamos	por	2⁄2,	o	resultado	será	2⁄4,
1 2 2
2 2 4
× =
e	se	pegarmos	o	1⁄2	e	multiplicarmos	4⁄4	o	resultado	será	4⁄8,
1 4 4
2 4 8
× =
Logo,	teremos	que:
1 2 4
2 4 8
= =
Perceba	que,	apesar	de	multiplicarmos	a	razão	principal	(1⁄2)	por	números	
diferentes,	os	resultados	das	divisões	continuam	o	mesmo:	2⁄4	é	igual	a	1⁄2	
e	4⁄8	também	é	igual	a	1⁄2;	portanto,	as	frações	2⁄4		e		4⁄8	são	equivalentes	
e	também	são	diretamente	proporcionais.
Si
gu
rd
	D
ec
ro
os
Fonte:	www.sxc.hu/photo/997219
Quando	não	estiver	especificado	no	exercício	qual	o	tipo	de	proporção,	de-
vemos	adotar	que	ela	é	diretamente	proporcional.
e-Tec BrasilAula 2 | Proporção 37
Em	nosso	dia	a	dia,	usamos	constantemente	grandezas	diretamente	proporcionais.
Observe	o	exemplo	seguinte:
Joana	vai	comemorar	o	aniversário	da	filha	e	ela	mesma	vai	fazer	o	bolo.	A	
receita,	que	Joana	tem	serve	6	pessoas.	Como	foram	convidadas	8	pessoas,	
Joana	terá	de	aumentar	a	quantidade	de	ingredientes	para	que	todos	pro-
vem	do	bolo.
Sendo	 assim,	 Joana	 terá	 de	manter	 a	 proporcionalidade	 dos	 ingredientes	
da	receita.	Se	a	receita	diz	que	para	cada	2	xícaras	de	leite	ela	terá	de	usar	
4	ovos	(2⁄4),	agora	com	o	aumento	da	receita	ela	terá	de	usar,	para	cada	3	
xícaras	de	leite,	6	ovos:	3⁄6.
Você	observou	que	2⁄4	e	3⁄6	são	iguais	a	1⁄2?	Ou	seja,	a	proporção	foi	man-
tida,	e	a	receita	aumentada	terá	a	mesma	qualidade	da	receita	original.
A
ne
ta
	B
la
sz
cz
yk
Fonte:	www.sxc.hu/photo/1161226
Figura 2.2: Quanto maior for a quantidade de ingredientes, maior será o bolo pro-
porcionalmente.
Duas	 sucessões	de	números	podem	ser	 consideradas	diretamente	propor-
cionais	quando	as	razões	entre	os	elementos	da	primeira	sucessão	e	os	seus	
correspondentes	na	segunda	sucessão	são	iguais.
Gerência em Saúdee-Tec Brasil 38
Por	exemplo:
1.	 Dadas	duas	sucessões:	(2,	3,	4,	5)	e	(4,	6,	8,	10),	as	razões	formadas	com	
esses	elementos	são:
2 1
4 2
3 1
6 2
4 1
8 2
5 1
10 2
2 3 4 5 1
(forma irredutível)
4 6 8 10 2
=
=
=
=
∴ = = = →
Observe	que	todas	as	razões	podem	ser	simplificadas	e	que	o	valor	encon-
trado	em	todas	elas	é	o	mesmo),	ou	seja	todas	são	iguais	a	 1
2
,	o	que	signfica	
que	são	proporcionais.	Essa	forma	irredutível	é	chamada	de	coeficiente de 
proporcionalidade	(ou	constante	de	proporcionalidade).
Ju
lie
n	
Tr
om
eu
r
Veja o exemplo a seguir e
acompanhe a sua solução!
Fonte:	www.sxc.hu/photo/1262267
Rogério	é	gerente	de	uma	fábrica	de	pneus	e	precisa	dividir	70	canetas	com	
a	 logomarca	da	empresa	entre	3	 setores.	Em	um	dos	 setores,	ele	 terá	de	
distribuir	 canetas	para	2	 funcionários;	no	outro,	para	3	 funcionários	e	no	
e-Tec BrasilAula 2 | Proporção 39
Incógnita
Nome	dado	a	um	valor	
desconhecido	que	
geralmente	é	representado	
por	uma	letra	do	alfabeto,	
como	X,	Y	e	Z.
Glossário
último,	para	5	funcionários.	Mas	ele	quer	fazer	isso	de	forma	que	cada	seção	
receba	um	número	de	canetas	que	seja	proporcional	ao	número	de	funcio-
nários,	para	que	ninguém	fique	em	desvantagem.	Quantas	canetas	Rogério	
deverá	entregar	a	cada	setor?	Para	resolver	este	problema,	vamos	começar	
chamando	cada	uma	das	quantidades	de	canetas	que	cada	seção	vai	ganhar	
de	x,	y	e	z.	Sabemos,	então,	que	os	valores	x,y,	z	devem	ser	diretamente	
proporcionais	aos	valores	2,	3,	5.	Então:
x y z= =
2 3 5
Agora	podemos	aplicar	a	propriedade	da	adição	de	termos	de	uma	proporção:
x+ y+z x+ y+zx y z= = = =
2 3 5 2+3+5 10
Como	x+y+z=70,	tem-se	que:
x y z 70= = = =7
2 3 5 10
Esse	7	que	foi	encontrado	é	o	coeficiente	de	proporcionalidade;	ele	repre-
senta	a	relação	que	existe	nas	razões.	Portanto,	se	 igualarmos	cada	razão	
ao	coeficiente	de	proporcionalidade	(7),	teremos	como	descobrir	o	valor	de	
cada	incógnita:
x = 7 x=7x2 x=14
2
y = 7 y=7x3 y=21
3
z = 7 z=7x5 z=35
5
® ®
® ®
® ®
Sendo	assim,	o	setor	com	2	funcionários	recebeu	14	canetas,	o	setor	com	
3	funcionários	recebeu	21	canetas	e	o	setor	com	5	funcionários	recebeu	35	
canetas.	Veja	que	14	+	21	+	35	=	70.	
Agora	é	a	sua	vez!
Gerência em Saúdee-Tec Brasil 40
Atividade 3
Atende ao Objetivo 3
Divida	os	números	a	seguir	proporcionalmente	como	se	pede:
Dividir	o	número	160	em	partes	diretamente	proporcionais	a	5,	3	e	2.
João	vai	dividir	870kg	de	ração	mineral	para	gado	em	partes	diretamente	
proporcionais	aos	números	7,10	e	12.	Estes	números	são	correspondentes	
ao	número	de	animais	que	ocupam	cada	curral.	Efetue	a	operação.
Atividade 4
Atende aos Objetivos 1 e 3
Dois	vendedores	de	carros	efetuaram	a	revenda	de	um	veículo	e	vão	receber	
de	comissão	R$	1.700,00.	Para	que	a	divisão	seja	 justa,	ela	deve	ser	dire-
tamente	proporcional	ao	tempo	em	que	cada	um	é	sócio	da	revendedora.	
Sabendo	que	o	primeiro	vendedor	é	sócio	há	6	anos	e	o	segundo	há	9	anos,	
quanto	cada	um	receberá	pela	revenda?
e-Tec BrasilAula 2 | Proporção 41
Atividade 5
Atende aos Objetivos 1 e 3
Três	professores	trabalharam	em	uma	oficina	do	curso	de	Gerência	em	Saú-
de	e	receberam	o	valor	de	R$	2.800,00.	Divida	o	valor	de	R$	2.800,00	de	
forma	que	cada	professor	receba	um	valor	diretamente	proporcional	ao	nú-
mero	de	horas	 trabalhadas,	 sabendo	que	o	primeiro	 trabalhou	4	horas,	o	
segundo	trabalhou	7	horas	e	o	terceiro	trabalhou	8	horas.
Atividade 6
Atende aos Objetivos 1 e 3
Uma	empresa	possui	três	engenheiros:	Helder,	Eldan	e	Sérgio.	Eles	trabalham	
em	uma	grande	obra	de	alargamento	de	asfalto	e	plantação	de	grama	na	
serra	para	proteção	de	talude	da	BR-251(MG).	Para	a	plantação	do	gramado,	
os	engenheiros	receberão	9.300	quilos	de	mineral	com	grama	para	aplicar	
na	serra.	Estes	quilos	devem	ser	divididos	de	acordo	com	a	quilometragem	
de	 responsabilidade	 de	 cada	 engenheiro	 e	 de	 forma	diretamente	 propor-
cional.	Helder	é	responsável	por	6	quilômetros,	Eldan,	por	4	quilômetros	e	
Sérgio,	por	5	quilômetros.	Qual	a	quantidade	de	quilos	de	grama	que	cada	
engenheiro	vai	receber	para	aplicar	na	serra?
Talude
Plano	inclinado	que	
limita	um	aterro.	Tem	
como	função	garantir	a	
estabilidade	do	aterro.
Glossário
Gerência em Saúdee-Tec Brasil 42
Él
ik
a	
G
ar
ib
al
de
talude
Grandezas inversamente proporcionais
Duas	grandezas	são	inversamente	proporcionais	quando	o	aumento	de	uma	
provoca	a	redução	da	outra,	ou	o	contrário,	a	redução	de	uma	provoca	o	
aumento	da	outra	de	forma	proporcional.
Para	entender	melhor,	observe	o	seguinte	exemplo:
Uma	pessoa	desloca-se	de	carro	para	outra	cidade	com	velocidade	média	
de	180	km/h	e	gasta	1	hora	para	chegar.	Se	a	velocidade	média	do	carro	di-
minuir	para	90	km/h	(metade),	o	tempo	da	viagem	aumentará	para	2	horas	
(o	dobro).	Agora	digamos	que	a	velocidade	diminua	para	30km/h,	ou	seja,	
1
3
	da	velocidade	inicial,	esta	pessoa,	então,	gastará	o	triplo	do	tempo	para	
realizar	o	mesmo	percurso,	ou	seja,	3	horas.
Portanto,	ao	se	diminuir	a	velocidade	do	carro,	o	tempo	gasto	na	viagem	
será	aumentado	na	mesma	proporção.
e-Tec BrasilAula 2 | Proporção 43
K
ris
s	
Sz
ku
rla
to
w
sk
i
Fonte:	www.sxc.hu/photo/1016169
Figura 2.3: Quanto mais eu corro, menor será o tempo para chegar a algum lugar!
 
 
M
an
u	
M
oh
an
Fonte:	www.sxc.hu/photo/773589
Velocidade	 e	 tempo	 são	 grandezas	 inversamente	 proporcionais.	
Você	sabe	que	se	andar	mais	depressa,	vai	chegar	mais	rápido	ao	
seu	destino,	não	é	verdade?	O	mesmo	raciocínio	vale	para	quando	
você	está	sem	pressa	e	vai	andando	calmamente	para	o	mesmo	lu-
gar.	É	claro	que	você	vai	levar	mais	tempo	para	realizar	este	mesmo	
percurso.	Ou	seja,	o	que	nós	fazemos	com	a	grandeza	velocidade,	
ocorre	o	contrário,	e	na	mesma	proporção,	com	a	grandeza	tempo.
	
Você	vai	observar	que,	além	do	fato	do	aumento	de	uma	grandeza	implicar	
a	diminuição	de	outra,	duas	sucessões	são	denominadas	inversamente	pro-
porcionais	quando	os	produtos	de	seus	termos	correspondentes	são	iguais.	
Gerência em Saúdee-Tec Brasil 44
Ou	seja,	duas	sucessões	de	números	são	inversamente	proporcionais	quando	
multiplicamos	cada	um	dos	termos	da	primeira	sucessão	pelo	termo	corres-
pondente	na	segunda	sucessão	e	os	seus	resultados	são	sempre	os	mesmos.
Veja	como	funciona:
Dadas	duas	sucessões:	2,	3,	4	e	6,	4,	3,	pode-se	montar	a	seguinte	proporção:	
2 3 4= =
6 4 3
Vamos	calcular	os	produtos	dos	elementos	correspondentes:
2	×	6	=	12
3	×	4	=	12
4	×	3	=	12
Observe	que	os	resultados	são	sempre	iguais!	Logo,	as	razões	 2 3 4= =
6 4 3
	são	
inversamente	proporcionais.
Mas	se	você	observar	uma	sucessão	de	razões	montadas,	a	partir	da	primeira	
sucessão	de	termos	(2,	3,	4),	e	o	inverso	dos	elementos	da	segunda	sucessão:
1 1 1, ,
6 4 3
Você	poderá	notar	que	elas	são	iguais	entre	si:
2 3 4= = 12=12=12
1/6 1/4 1/3
®
Veja	que	o	quociente	12	é	constante	em	todas	as	situações,	não	é	mesmo?	
Este	valor	é	chamado	de	coeficiente da proporcionalidade inversa.
Portanto,	duas	sucessões	de	números	são	inversamente	proporcionais	quan-
do	os	elementos	da	primeira	são	diretamente	proporcionais	aos	inversos	dos	
elementos	da	segunda,	e/ou	quando	a	multiplicação	dos	termos	da	primeira	
sucessão	com	seus	correspondentes	da	segunda	dá	resultados	iguais.
Por	exemplo:
e-Tec BrasilAula 2 | Proporção 45
Em	um	centro	de	zoonoses	existem	três	cães	em	bom	estado	de	saúde	que	
serão	adotados.	Mas	enquanto	eles	permanecerem	 lá,	45	quilos	de	ração	
deverão	ser	divididos	de	forma	que	alimentem	todos	igualmente.	Cada	cão	
ficará	internado	3,	4	e	6	meses.	Logo,	nos	3	primeiros	meses	será	necessária	
mais	ração	do	que	nos	meses	seguintes,	que	existirão	menos	cães	a	serem	
alimentados.	Portanto	a	ração	deverá	ser	dividida	em	partes	 inversamente	
proporcionais	aos	períodos	de	estadia.	Quais	serão	as	quantidades	de	ração	
destinadas	a	cada	período	de	estadia?
Resolução:
Para	resolver	este	problema,	represente	as	quantidades	de	alimento	com	as	
letras	x,	y	e	z.
Como	as	sucessões	x,	y,	z	e	3,	4,	6	são	inversamente	proporcionais,	tem-se	que:
x y z= =1 1 1
3 4 6
	
Atenção:	essa	sucessão	de	alimento	é	lida	da	seguinte	forma:	x	está	para	um	
sobre	três;	assim	como	y	está	para	um	sobre	quatro;	assim	como	z	está	para	
um	sobre	seis.
O	enunciado	do	problema	disse	que	x	+	y	+	z	=	45
Agora,	aplique	a	propriedade	da	adição	de	termos	de	uma	proporção:
x y z x+y+z 45 45= = = = = =601 1 1 1 1 1 4+3+2 9+ +
3 4 6 3 4 6 12 12
	
Pronto,	agora	que	você	já	sabe	quanto	vale	o	coeficiente	de	proporcionalida-
de	inversa	(60),	basta	calcular	cada	número	pedido	assim:
x60= 60= x×3 x=20
1/3
y60= 60= y×4 y=15
1/4
z60= 60=z×6 z=10
1/6
® ®
® ®
® ®
Centro de zoonoses
Unidade	de	saúde	pública	
cujo	objetivo	principal	é	o	
de	controlar	e	prevenir	a	
disseminação	de	doenças	
transmitidas	por	animais,	
desenvolvendo	sistemas	
de	vigilância	sanitária	e	
epidemiológica.
Glossário
Gerência em Saúdee-Tec Brasil 46
Os	números	 procurados	 são	 20,	 15	 e	 10;	 logo,	 nos	 três	 primeiros	meses	
serão	necessários	20kg	de	ração,	no	mês	seguinte	15kg	e	nos	últimos	dois,	
10kg	de	ração.
	
Dizer	que	um	número	a	é	inversamente	proporcional	a	um	número	
b,	é	o	mesmo	que	dizer	que	este	mesmo	número	a	é	diretamente	
proporcional	ao	inverso	de	b	(1/b).
	
Será	que	você	entendeu?	Vamos	testar?	Então,	não	deixe	de	fazer	a	ativida-
de	a	seguir.
Atividade 7
Atende aos Objetivos 4 e 5
Umaclínica	possui	três	recepcionistas:	Ana,	Beatriz	e	Carla.	No	final	do	ano,	
o	chefe	resolveu	dar	uma	gratificação	de	R$	3.100,00	para	ser	dividido	pelas	
três	funcionárias	de	acordo	com	a	sua	assiduidade,	de	forma	que	cada	uma	
receba	uma	quantia	inversamente	proporcional	ao	seu	número	de	faltas	do	
ano.	Sabe-se	que	Ana	faltou	4	dias,	Beatriz	faltou	6	dias	e	Carla	faltou	10	
dias.	Qual	valor	cada	uma	receberá	de	gratificação?
Divisão proporcional composta
Existem	três	tipos	de	divisões	proporcionais:
•	 as	diretamente	proporcionais;
•	 as	inversamente	proporcionais,	que	você	já	viu	e	treinou	nos	exemplos		
anteriores,	e
e-Tec BrasilAula 2 | Proporção 47
•	 a	proporcional	composta,	que	é	aquela	que	envolve	ao	mesmo	tempo	as	
operações	diretamente	e	inversamente	proporcionais.
Em	alguns	casos,	é	preciso	dividir	um	número	em	partes	diretamente	pro-
porcionais	a	um	conjunto	de	números	e	 inversamente	proporcionais	a	um	
outro	conjunto.
Exemplo:
Três	jogadores	de	futebol	do	time	do	Bicho	em	Montes	Claros	(MG)	serão	
premiados	de	acordo	com	o	número	de	gols	feitos	por	cada	um	no	campeo-
nato	norte	mineiro.	Também	será	levado	em	consideração	o	número	de	car-
tões	amarelos	que	receberam	durante	as	partidas.	O	jogador	Xita	fez	8	gols,	
o	Garibalde	fez	6	gols	e	o	Farlão	fez	4	gols.	Xita	teve	4	cartões;	Garibalde,	4	
cartões	e	Farlão	apenas	1	cartão	de	indisciplina.	O	prêmio	é	de	R$	35.800,00	
e	será	dividido	entre	cada	um	de	forma	proporcional	ao	número	de	gols	e	
de	 forma	 inversamente	proporcional	ao	número	de	cartões.	Quanto	cada	
jogador	receberá?
Vamos	ao	passo	a	passo?
1º	passo:	indique	cada	valor	que	você	deseja	saber	com	uma	letra:
•	 Xita	receberá	X;
•	 Garibalde	receberá	Y;
•	 Farlão	receberá	Z.
Logo,	x	+	y	+	z	=	R$	35.800,00
2º	passo:	monte	as	proporções:
x y z= =
4/8 4/6 1/4
3º	passo:	para	igualarmos	os	denominadores	tiramos	o	mmc	de	8,	6,	4	=	24
4º	passo:	aplique	a	propriedade	da	adição	de	termos	de	uma	proporção:
Gerência em Saúdee-Tec Brasil 48
x y z x+y+z 35.800 35.800 35.800 24= = = = = = =25.270,584 4 1 4 4 1 12+16+6 34 34+ +
8 6 4 8 6 4 24 24
´
Pronto,	agora	que	você	já	sabe	quanto	vale	o	coeficiente	de	proporcionalida-
de	inversa	(25	270,58),	basta	calcular	cada	número	pedido	assim:
x 101.082,36=25.270,59 x 8=25.270,59 4 x= x=12.635,29
4/8 8
y 101.082,36=25.270,59 y 6=25.270,59 4 y= y=16.847,06
4/6 6
z 25.270,59=25.270,59 z 4=25.270,59 1 z= z=6.317,65
1/4 4
® ® ®
® ® ®
® ® ®
 
 
 
Portanto,	Xita	recebeu	R$	12.635,29,	Garibalde	recebeu	R$	16.847,06	e	Farlão	
recebeu	R$	6.317,65.
Agora	é	com	você!	Faça	as	atividades	a	seguir	para	ver	se	entendeu	os	con-
ceitos	apresentados.
Atividade 8
Atende ao Objetivo 6
Em	um	escritório	de	decoração,	a	arquiteta	Nete	vai	dividir	uma	bonificação	de	
R$	16.000,00	entre	os	seus	quatro	funcionários,	de	forma	que	quem	aprovou	
mais	projetos	receberá	mais	e	quem	faltou	ao	trabalho	no	semestre	vai	rece-
ber	menos.	Mara,	Leda,	José	e	Eliete	aprovaram,	respectivamente	12,	4,	2	e	
6	projetos	e	faltaram,	cada	um,	6,	2,	3,	e	18	dias.	Quanto	cada	um	receberá	
de	bônus?
A	proporção	mostra-se,	então,	como	a	relação	de	igualdade	entre	várias	ra-
zões.	Ela	nos	auxilia	a	resolver	diversas	situações	em	que	seja	necessária	uma	
distribuição	igualitária	de	quantidades	e	valores.
e-Tec BrasilAula 2 | Proporção 49
Resumo
Você	viu	nesta	aula	que:
•	 uma	proporção	é	uma	igualdade	entre	razões;
•	 em	uma	proporção,	o	produto	dos	meios	é	igual	ao	produto	dos	extremos;
•	 a	 razão	da	 soma	dos	antecessores	e	da	 soma	dos	 sucessores	em	uma	
sequência	forma	uma	nova	razão	proporcional	às	anteriores;
•	 em	grandezas	diretamente	proporcionais,	 ao	 se	 aumentar	ou	diminuir	
uma	grandeza,	na	outra	acontecerá	o	mesmo;
•	 em	grandezas	inversamente	proporcionais,	ao	se	aumentar	uma	grande-
za	a	outra	diminuirá	e	quando	uma	diminuir,	a	outra	aumentará;
•	 quando	as	grandezas	são	inversamente	proporcionais,	a	primeira	é	dire-
tamente	proporcional	ao	inverso	da	segunda;
•	 a	divisão	proporcional	composta	é	aquela	que	envolve	ao	mesmo	tempo	
operações	diretamente	e	inversamente	proporcionais.
Informação sobre a próxima aula
Na	próxima	aula,	veremos	uma	ferramenta	matemática	muito	utilizada	em	
nosso	dia	a	dia:	a	regra	de	três.
Respostas das atividades
Atividade 1
12	x	25	=	300cm	largura	=	3	metros	de	largura
16	x	25	=	400cm	de	altura	=	4	metros	de	altura
A	nova	foto	terá	300cm	de	largura	e	400cm	de	altura
Gerência em Saúdee-Tec Brasil 50
Atividade 2
a)	
5 10=
4 8
.	Simplificando,	temos	5/4	=	5/4	ou,	se	multiplicarmos	os	meios	
pelos	extremos,	teremos	→ 	5	x	8	=	4	x	10	→ 	40	=	40.	Logo,	é	propor-
cional,	atende	à	propriedade	fundamental	das	proporções.
b)	 30 25=
12 10
	5/2	=	5/2	ou	→ 	30	x	10	=	12	x	25	→ 	300	=	300.	Logo,	é	
proporcional
c)	
15 30=
25 20
	3/5	=	6/4	ou	→ 	15	x	20	=	30	x	25	→ 	300	≠	750.	Logo,	não	
é	proporcional;	não	atende	à	propriedade	fundamental	das	proporções.
d)	
17 34=
12 24
	17/12	=	17/12	ou	→ 	17	x	24	=	12	x	34	→ 	408	=	408.	Logo,	
é	proporcional.
e)	 12 6=
10 4
	 6/5	=	3/2	ou	 → 	 12	 x	 4	=	10	 x	 6	 → 	 48	≠	60.	 Logo,	 não	 é		
proporcional.
As	proporções	que	atendem	à	propriedade	fundamental	são	A,	B	e	D.	C	e	E	
não	podem	ser	consideradas	proporções	por	não	atenderem	à	propriedade	
fundamental.
Atividade 3
a)	 X	=	80;	Y	=	48;	Z	=	32
b)	
x y z x+y+z 870= = = = =30
7 10 12 7+10+12 29
x=210 y=300 z=360
	 X	=	210;	Y	=	300;	Z	=	360
Atividade 4
O	vendedor	que	tem	6	anos	de	sociedade	vai	receber	R$	680,00	e	o	vende-
dor	que	tem	9	anos	vai	receber	R$	1.020,00	de	comissão.
e-Tec BrasilAula 2 | Proporção 51
Atividade 5
x y z x+y+z 2.800= = = =
4 7 8 4+7+8 19
O	professor	que	trabalhou	4	horas	recebeu	R$	589,47,	o	que	trabalhou	7	
horas	recebeu	R$	1.031,58	e	o	professor	que	trabalhou	8	horas	recebeu	R$	
1.178,95.
Atividade 6
O	engenheiro	Helder,	 responsável	por	6	quilômetros,	vai	 receber	3.720kg	de	
grama,	Eldan,	que	é	responsável	por	4	quilômetros	vai	receber	2.480kg	de	gra-
ma	e	Sérgio,	responsável	por	5	quilômetros,	vai	receber	3.100kg	de	grama.
Atividade 7
Ana Beatriz Carla A+B+C 3.100 60= = = = =3.100× =6.00015+10+61/ 4 1/ 6 1/ 10 31/60 31
60
	
A	gratificação	será	dividida	da	seguinte	forma:	Ana	vai	receber	R$	1.500,00,	
Beatriz	vai	receber	R$	1.000,00	e	Carla	vai	receber	R$	600,00.
Atividade 8
16.000×18Mara Leda José Eliete 16.000= = = = = =3.200
12 / 6 4 / 2 2 / 3 6 / 18 36+36+12+6/18 90
Mara	recebeu	R$	6.400,00,	Leda	recebeu	R$	6.400,00,	José	recebeu	R$	2.133,33	
e	Eliete	recebeu	R$	1.066,67.
Referências bibliográficas
CRESPO, Antônio Arnot. Matemática comercial e financeira fácil. 13. ed. São Paulo: Saraiva, 
1999.
GUELLI, Oscar. Matemática. Uma aventura do pensamento. 6. ed. São Paulo: Atica, 2000.
MACHADO, Maria Helena. Ações estratégicas do Departamento de Gestão e da Regulação 
do Trabalho em Saúde na Construção do Sistema Único de Saúde. In.: Amâncio Filho, 
Antenor; Oliveira, Sérgio Pacheco de (Org.). Mestrado profissional em gestão do trabalho 
e da educação na saúde: ação e reflexões. Rio de Janeiro: Escola Nacional de Saúde 
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Licenças das imagens
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