Universidade Federal de Minas Gerais

Instituto de Ciˆ

encias Exatas – ICEx

Departamento de Matem ´

atica

EXAME ESPECIAL DE C ´

ALCULO I I

26/07/2004

Quest˜oes:

1. (a) Fa¸ca um esb o¸co da curva p olar r= 1 + cos 2θpara 0 ≤θ≤2π;(b) Calcule a ´area

da regi˜ao interna `a circunferˆencia r= 3/2 e externa `a curva r= 1 + cos 2θ .

2. Seja f(x) = x3ln(1 + x2).Sab e-se que

∞

j=0

xj=1

1−xpara −1< x < 1.

(a) Obtenha a s´erie de Maclaurin para f(x) e indique o intervalo em que essa expans˜ao ´e

v´alida; (b) determine f(15) (0),a d´ecima quinta derivada de fem x= 0.

3. Determine a equa¸c˜ao do plano que cont´em o p onto (1,2,2) e que determina com os planos

co ordenados, no primeiro o ctante, um tetraedro de volume m´aximo.

4. Considere a fun¸c˜ao f(x, y) = xy + 2x−ln(x2y).

(a) Determine o dom´ınio de f;(b) Determine os p ontos cr´ıticos de fe classiﬁque-os p or

meio do teste da derivada segunda.

5. Seja z=f(u, v ),sendo que u=xy ev=y

x,efcom derivadas parciais de segunda ordem

cont´ınuas. Mostre que

x2∂2z

∂ x2−y2∂2z

∂ y 2=−4uv ∂2z

∂ u∂ v + 2v∂ z

∂ v .

F´

ORMULAS:

VOLUME DO TETRAEDRO = 1/3 (´area da base)(altura).

prova calculo 3

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