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Lista de Exer
í
ios
Atenção Responda e Justi�que: As respostas devem ser a
ompanhadas 
om as respe
ti-
vas justi�
ativas.
Entrega: 18/12 na sala 103 às 19h ou 20/12 na sala 222 às 16:15, na sala 232 às 19h.
Não esqueça de 
olo
ar o nome e número usp!
1. De�na o espaço amostral para 
ada um dos seguintes experimentos aleatórios:
a) Lançamento de dois dados; anota-se a 
on�guração obtida;
b) Investigam-se famílias 
om três 
rianças, anotando-se a 
on�guração segundo o sexo;

) De 
ada família entrevistada numa pesquisa, anotam-se a 
lasse so
ial a que perten
e
(A, B, C, D) e o estado 
ivil do 
hefe da família.
2. Considere um baralho de 52 
artas (sem o 
uringa).
a) Qual a probabilidade de ao retirar uma 
arta sair um rei? R: 4/52.
b) Dado que alguém retira uma 
arta e nos diz que é uma �gura, então qual a probabil-
idade de a 
arta retirada ser um rei? isto é P (sair um rei|sair uma �gura)? R:4/12

) Qual a probabilidade de ao retirar uma 
arta sair um número ou uma 
arta de 
opas?
d) Dado que todos os reis foram retirados, qual a probabilidade da 
arta retirada seja
um ás?
e) Qual a probabilidade de ao retirar uma 
arta que ela seja um número e um naipe de
espada?
3. Na véspera da prova �nal dois alunos foram a uma festa em outra 
idade e não voltaram
à universidade a tempo para a prova. Disseram ao professor que um pneu do 
arro havia
furado e perguntaram se poderiam fazer uma prova de segunda 
hamada. O professor

on
ordou, es
reveu uma segunda prova e mandou os dois a salas separadas. A primeira
pergunta (na primeira página) valia meio ponto. Eles viraram então a página e en
ontraram
a segunda pergunta, que valia 9,5 pontos. A segunda pergunta era: "Qual era o pneu que
furou?
a) Qual é a probabilidade que os dois alunos deem a mesma resposta? R:1/4
b) Considere agora que ao invês de dois alunos houvessem quatro alunos. Agora responda
qual é a probabilidade que os quatro alunos deem a mesma resposta? R: 1/64
1
4. No jogo da mega sena vo
ê deve mar
ar de 6 a 15 números, entre os 60 disponíveis no
volante. Sabendo isso responda:
a) Qual a probabilidade de a
ertar na sena (a
ertar 6 números) no jogo da megasena
mar
ando 6 números?
b) Qual a probabilidade de a
ertar na sena (a
ertar 6 números) no jogo da megasena
mar
ando 7 números?

) Qual a probabilidade de a
ertar na sena (a
ertar 6 números) no jogo da megasena
mar
ando 9 números?
d) Qual a probabilidade de a
ertar na quina (a
ertar 5 números) no jogo da megasena
mar
ando 6 números?
e) Qual a probabilidade de a
ertar na quadra (a
ertar 4 números) no jogo da megasena
mar
ando 6 números?
5. Dentre 6 números positivos e 8 negativos, es
olhem-se ao a
aso 2 números (sem reposição)
e multipli
am-se esses números. Qual será a probabilidade de que o produto seja um numero
positivo? R:43/91
6. Qual é a 
han
e de que pelo menos duas dentre as 23 pessoas que estejam no 
ampo de
futebol durante uma partida 
ompartilhem a mesma data de aniversário?
Roteiro para responder a questão:
1 - Considere uma população 
om N elementos. Considere também a formação de amostras
ordenadas 
om n < N elementos. Se todas as possíveis amostras têm a mesma probabil-
idade de serem es
olhidas então essa probabilidade será de 1/Nn
se a amostra for 
om
reposição e n!/N ! se for sem reposição. Uma amostra 
asual de tamanho n, 
om reposição,
é extraída de uma população 
om N elementos. En
ontre a probabilidade de não haver
repetição na amostra.
2 - Agora 
onsidere uma amostra 
om n = 23 pessoas. Qual a probabilidade de que
pelo menos duas delas 
ompartinhem a mesma data de aniversário? Sugestão: Seja o
evento A ="pelo menos duas pessoas 
ompartilham a mesma data de aniversário", então o
evento Ac
="nenhuma das n pessoas 
ompartilham a mesma data de aniversário". Cal
ule
P (Ac) utilizando o resultado da primeira parte, 
om N = 365 e n = 23. Naturalmente
P (A) = 1− P (Ac).
2
7. As probabilidades de que dois eventos independentes o
orram são p e q, respe
tivamente.
Qual a probabilidade
a) de que os eventos o
orram simultaneamente?
b) de que nenhum desses eventos o
orra?

) de que pelo menos um desses eventos o
orra?
d) Refaça os itens anteriores levando em 
onsideração a seguinte interpretação desses
eventos: Uma prova tem duas questões 
ada uma 
om duas alternativas. Um aluno
responde a prova 
hutando, isto é, as probabilidades dos eventos �a
ertar a primeira
questão � é p = 1/2 e �a
ertar a segunda questão� é q = 1/2.
8. Considere as seguintes experiên
ias:
a) Uma moeda é lançada duas vezes. Cal
ule a probabilidade de obtermos 
ara no
segundo lançamento.
b) Uma moeda é lançada quatro vezes. Cal
ule a probabilidade de obtermos 
ara nos
quatros lançamentos.

) Uma moeda é lançada vinte e seis vezes. Cal
ule a probabilidade de obtermos 
ara
em todos os lançamentos.
d) Uma moeda é lançada quatro vezes. Cal
ule a probabilidade de obtermos três 
ara e
uma 
oroa.
e) Uma moeda é lançada quatro vezes. Cal
ule a probabilidade de obtermos ao menos
duas 
ara.
9. Numa 
erta população, a probabilidade de gostar de teatro é 1/3 enquanto que a de
gostar de 
inema é 1/2. Determine a probabilidade de gostar de teatro e não de 
inema,
nos seguintes 
asos:
Sugestão esboçe o diagramas de Venn em 
ada 
aso.
a) Gostar de teatro e gostar de 
inema são eventos disjuntos;
b) Gostar de teatro e gostar de 
inema são eventos independentes;

) Todos que gostam de teatro gostam de 
inema;
d) A probabilidade de gostar de teatro e de 
inema é 1/8;
3
e) Dentre os que não gostam de 
inema, a probabilidade de não gostar de teatro é 3/4;
10. Considere uma urna 
ontendo três bolas pretas e 
in
o bolas vermelhas. Retire duas
bolas da urna, sem reposição.
a) Obtenha os resultados possíveis e as respe
tivas probalilidade
b) Obtenha os resultados possíveis e as respe
tivas probalilidade, mas agora admita que
haja reposição.
11. Uma mãe está grávida de gêmeos fraternos.
Cuidado: Per
eba a importân
ia de 
ada enun
iado abaixo.
a) Qual a 
han
e que nasçam duas meninas? (Sugestão: es
reva o espaço amostral 
om
os possíveis resultados.) R:1/4
b) Qual a 
han
e que nasçam pelo menos uma menina? R:3/4

) Dado que um dos bebês seja uma menina, qual a 
han
e que ambas 
rianças sejam
meninas? (Sugestão: A partir do espaço amostral do item a), elimine o elemento que
não se enquadra na des
rição do enun
iado.) R:1/3
d) Dado que o primeiro bebê seja uma menina, qual a 
han
e que ambas 
rianças sejam
meninas? R: 1/2
e) Dado que uma das 
rianças se 
hama Flórida, qual a 
han
e de que sejam ambas
meninas? (sugestão: Liste os elementos do novo espaço amostral. Flórida pode ser
a �lha mais velha ou pode ser a mais nova. Assuma que a probabilidade que uma
menina se 
hame Flórida é de 1/1000000). R: 1/2
12. Num grupo de 500 estudantes, 80 estudam Engenharia, 150 estudam E
onomia e 10
estudam Engenharia e E
onomia. Se um aluno é es
olhido ao a
aso, qual a probabilidade
de que:
a) Ele estude E
onomia e Engenharia
b) Ele estude somente Engenharia

) Ele estude somente E
onomia
d) Ele não estude Engenharia nem E
onomia
e) Ele estude Engenharia ou E
onomia
4
13. Informações de 740 alunos de uma universidade quanto às variáveis: Período, Sexo e
Opinião sobre a reforma Agrária foram obtidas. Dos 740 alunos, 260 são do sexo feminino,
350 são a favor e 130 não tem opinião sobre a reforma agrária. Temos que entre os alunos do
sexo mas
ulino 230 estudam no período noturno, para o sexo feminino apenas 140. Tanto
no período noturno 
omo no diurno, 80 mulheres são a favor da reforma e apenas 20 não
tem opinião. Entre os alunos do sexo mas
ulino, no período noturno 120 são 
ontrários e
apenas 10 não tem opinião. Determine a probabilidade de es
olhermos ao a
aso
Reforma Agrária
Período Sexo Contra A Favor Sem opinião Total
Diurno Feminino 20 80 20 120
Mas
ulino 80 90 80 250
Noturno Feminino 40 80 20 140
Mas
ulino 120 100 10 230
Total 260 350 130 740
a) Uma pessoa do sexo mas
ulino e sem opinião sobre a reforma agrária?b) Uma mulher 
ontrária à reforma agrária?

) Dentre os estudantes do noturno, um que seja a favor da reforma agrária?
d) Uma pessoa sem opinião, sabendo-se que é do sexo feminino?
14. Em uma pesquisa realizada 
om 10000 
onsumidores sobre a preferên
ia da mar
a de
sabão em pó, veri�
ou-se que: 6500 utilizam a mar
a X; 5500 utilizam a mar
a Y; 2000
utilizam as duas mar
as. Foi sorteada uma pessoa desse grupo e veri�
ou-se que ela utiliza
a mar
a X. Qual a probabilidade dessa pessoa ser também usuária da mar
a Y? R:4/9
15. Frequentemente assumimos, 
om alguma justi�
ativa, que a paternidade leva a respon-
sabilidade. Pessoas que passam anos atuando de maneira irresponsável de alguma forma
pare
em se tornar pessoas diferentes uma vez que elas se tornam pais, mudando muitos dos
seus antigos padrões habituais. Suponha que uma estação de rádio tenha amostrado 100
pessoas, das quais 20 tinham 
rianças. Eles observaram que 30 dessas pessoas usavam 
into
de segurança, e que 15 daquelas pessoas tinham 
rianças. Os resultaddos são mostrados
na tabela abaixo.
5
Paternidade Usam 
into Não usam 
into Total
Com 
rianças 15 5 20
Sem 
rianças 15 65 80
Total 30 70 100
Qual a probabilidade de uma pessoa amostrada aleatoriamente
a usar 
into de segurança? R:30/100.
b ter 
riança e usar 
into de segurança? R:15/100

 usar 
into de segurança dado que tem 
riança? R:15/20
d ter 
riança dado que usa 
into de segurança? R:15/30
16. Duas lâmpadas queimadas foram misturadas a
identalmente 
om seis lâmpadas boas.
Se vamos testando as lâmpadas, uma por uma, até en
ontrar duas defeituosas, qual é a
probabilidade de que a última defeituosa seja en
ontrada no quarto teste?
17. Um empreiteiro apresentou orçamentos separados para a exe
ução da parte elétri
a e da
parte de en
anamento de um edifí
io. Ele a
ha que a probabilidade de ganhar a 
on
orrên
ia
da parte elétri
a é 1/3. Caso ele ganhe a parte elétri
a, a probabilidade de ganhar a parte de
en
anamento é 3/4; 
aso ele não ganhe a parte elétri
a, essa probabilidade é de 1/2. Qual
a probabilidade do empreiteiro ter ganho a 
on
orrên
ia para a parte elétri
a, sabendo-se
que ele ganhou a 
on
orrên
ia para a parte do en
anamento?
18. Uma agên
ia anun
iou que resultados de uma investigação antes da Olimpíada de Lon-
dres sugerem que até 1 em 
ada 10 atletas que 
ompetem interna
ionalmente pode estar
dopado. Admita que um atleta foi a
usado de doping por apresentar um exame positivo
para testosterona. Suponha que a taxa de falsos positivos é de aproximadamente 1% e que
quando o exame é feito em um atleta 
ulpado a 
han
e de revelar a infração é de 50%.
Determine qual a probabilidade do atleta estar dopado se o exame deu positivo para o
doping?
Sugestão de roteiro:
1- Admita os eventos estar dopado (D) e não estar dopado (D̃). E os eventos: o exame dar
positivo (P ) para o doping e negativo (N) para o doping.
2- Interprete o texto e indique
6
- Qual a probabilidade do exame dar positivo se o atleta não está dopado P (P |D̃)?
- Qual a probabilidade do atleta estar dopado P (D)?
- Qual a probabilidade do exame dar positivo se o atleta está dopado P (P |D)?
3- Utilize o teorema de Bayes para en
ontrar a resposta.
19. Num mer
ado, três 
orretoras A, B e C são responsáveis por 20%, 50% e 30% do volume
total de 
ontratos nego
iados, respe
tivamente. Do volume de 
ada 
orretora, 20%, 5% e
2% , respe
tivamente, são 
ontratos futuros em dólares. Um 
ontrato é es
olhido ao a
aso
e este é futuro em dólares. Qual é a probabilidade de ter sido nego
iado pela 
orretora A?
E pela 
orretora C?
20. Re
omenda-se que, a partir dos 40 anos, as mulheres façam mamogra�as anuais. Nessa
idade, 1% das mulheres são portadoras de um tumor assintomáti
o de mama. Sabe-se que
a mamogra�a apresenta resultado positivo em 80% das mulheres 
om 
ân
er de mama,
mas esse mesmo resultado o
orre também 
om 9,6% das mulheres sem o 
ân
er. Imagine
agora que uma mulher fez uma mamogra�a de rotina e o resultado foi positivo! Qual a
probabilidade de ela ter um 
ân
er de mama?
7