Teoria das Estruturas

ESTÁCIO

Enviado por Estudante PD em 05/12/2012
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Prof. Henrique Mariano C. AmaralProf. Henrique Mariano C. Amaral 11
Teoria das Estruturas de Teoria das Estruturas de 
Comportamento LinearComportamento Linear
FundamentosFundamentos
Prof. Henrique Mariano C. AmaralProf. Henrique Mariano C. Amaral 22
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Fundamentos da Teoria das EstruturasFundamentos da Teoria das Estruturas
 O objeto da O objeto da Teoria das EstruturasTeoria das Estruturas éé a a 
ananáálise estrutural, isto lise estrutural, isto éé, a , a 
determinadeterminaçção dos estados de tensão e ão dos estados de tensão e 
deformadeformaçção que se instalam numa ão que se instalam numa 
estrutura como resposta a uma dada estrutura como resposta a uma dada 
solicitasolicitaçção.ão.
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Fundamentos da Teoria das EstruturasFundamentos da Teoria das Estruturas
 A linearidade do comportamento A linearidade do comportamento 
mecânico mecânico éé uma hipuma hipóótese tese 
perfeitamente vperfeitamente váálida para a maioria das lida para a maioria das 
estruturas em funcionamento normal.estruturas em funcionamento normal.
 Dessa forma a Dessa forma a Teoria da Elasticidade Teoria da Elasticidade 
LinearLinear constitui o instrumento mais constitui o instrumento mais 
importante da animportante da anáálise estruturallise estrutural
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Fundamentos da Teoria das EstruturasFundamentos da Teoria das Estruturas
 A Teoria da Elasticidade Linear A Teoria da Elasticidade Linear éé pois, pois, 
de toda a de toda a Mecânica dos SMecânica dos Sóólidos lidos 
DeformDeformááveisveis, o ponto de partida , o ponto de partida 
conveniente e o conjunto de sconveniente e o conjunto de sóólidos lidos 
conceitos cuja aplicaconceitos cuja aplicaçção ão àà ananáálise lise 
estrutural se destrutural se dáá pela discretizapela discretizaçção do ão do 
problema contproblema contíínuo, mediante a nuo, mediante a 
utilizautilizaçção do conceito lagrangiano de ão do conceito lagrangiano de 
varivariáável generalizada.vel generalizada.
Prof. Henrique Mariano C. AmaralProf. Henrique Mariano C. Amaral 55
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Fundamentos da Teoria das EstruturasFundamentos da Teoria das Estruturas
 As duas contribuiAs duas contribuiçções mais relevantes ões mais relevantes 
àà Teoria das Estruturas nos Teoria das Estruturas nos úúltimos ltimos 
anos, foram:anos, foram:
 Teoremas Variacionais da Teoria da Teoremas Variacionais da Teoria da 
ElasticidadeElasticidade, que se considera a base , que se considera a base 
para se introduzir as teoria mais para se introduzir as teoria mais 
modernas de aproximamodernas de aproximaçções, base para a ões, base para a 
resoluresoluçção de problemas atravão de problemas atravéés de s de 
computadores.computadores.
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Fundamentos da Teoria das EstruturasFundamentos da Teoria das Estruturas
 Desenvolvimento do MDesenvolvimento do Méétodo dos todo dos 
Elementos FinitosElementos Finitos, cuja importância , cuja importância éé
fundamental e imprescindfundamental e imprescindíível para o vel para o 
estudo dos comportamento das estruturas estudo dos comportamento das estruturas 
lineares e nãolineares e não--lineares; isso foi posslineares; isso foi possíível vel 
com o desenvolvimento da matemcom o desenvolvimento da matemáática tica 
computacional, ponto que permite computacional, ponto que permite 
processos de discretizaprocessos de discretizaçção robustos e ão robustos e 
representarepresentaçção grão grááficas dinâmicas dos ficas dinâmicas dos 
campos de esforcampos de esforçços e solicitaos e solicitaçções.ões.
H
Slide 6
HMCdA1 Henrique Mariano Costa do Amaral; 29/6/2005
Prof. Henrique Mariano C. AmaralProf. Henrique Mariano C. Amaral 77
Teoria da ElasticidadeTeoria da Elasticidade
Fundamentos da Teoria Fundamentos da Teoria 
das Estruturasdas Estruturas
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Fundamentos da Teoria das EstruturasFundamentos da Teoria das Estruturas
 As incAs incóógnitas fundamentais na teoria gnitas fundamentais na teoria 
da elasticidade são representadas por:da elasticidade são representadas por:
 O vetor campo de deslocamento:O vetor campo de deslocamento:
 O tensor campo de deformaO tensor campo de deformaçções:ões:
 O tensor campo de tensões:O tensor campo de tensões:
{ }, , Tu v w=u
{ }, , , , , Tx y z yz zx xyε ε ε γ γ γ=ε
{ }, , , , , Tx y z yz zx xyσ σ σ τ τ τ=σ
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Fundamentos da Teoria das EstruturasFundamentos da Teoria das Estruturas
 As 15 incAs 15 incóógnitas anteriores, definidas em gnitas anteriores, definidas em 
um um domdomíínio nio ΩΩ com com contorno contorno ΓΓ, podem ser , podem ser 
resolvidas pelas 15 equaresolvidas pelas 15 equaçções bões báásicas:sicas:
 3 equa3 equaçções de equilões de equilííbrio (brio (EqEq. de Cauchy):. de Cauchy):
 6 equa6 equaçções deformaões deformaççãoão--deslocamento:deslocamento:
 6 equa6 equaçções constitutivas:ões constitutivas:
; 0como não há movimentoρ ρ∂ + = → =
∂ + =
σ B u u
σ B 0
�� ��
T−∂ =ε u 0
*W Wou∂ ∂= =∂ ∂σ εε σ
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Fundamentos da Teoria das EstruturasFundamentos da Teoria das Estruturas
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Fundamentos da Teoria das EstruturasFundamentos da Teoria das Estruturas
 onde:onde:
 WW e e WW** são potenciais acoplados pelo são potenciais acoplados pelo 
que se chama de que se chama de transformada de transformada de 
LegendreLegendre::
 O vetor O vetor BB éé o vetor das o vetor das forforçças de corpoas de corpo::
( ) ( )* TW W+ =ε σ σ ε
{ }, , Tx y zB B B=B
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Fundamentos da Teoria das EstruturasFundamentos da Teoria das Estruturas
 Nas equaNas equaçções constitutivas e
de ões constitutivas e de 
deformadeformaççãoão--deslocamento, aparece um deslocamento, aparece um 
operador matricial operador matricial ∂∂ definido por:definido por:
0 0 0
x x y
0 0 0
y z x
0 0 0
z y x
⎡ ⎤∂ ∂ ∂⎢ ⎥⎢ ⎥∂ ∂ ∂⎢ ⎥⎢ ⎥∂ ∂ ∂⎢ ⎥∂= ⎢ ⎥∂ ∂ ∂⎢ ⎥⎢ ⎥∂ ∂ ∂⎢ ⎥⎢ ⎥∂ ∂ ∂⎣ ⎦
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Fundamentos da Teoria das EstruturasFundamentos da Teoria das Estruturas
 Como parte fundamental da Como parte fundamental da 
formulaformulaçção baseada sobre equaão baseada sobre equaçções ões 
diferenciais, são as condidiferenciais, são as condiçções de ões de 
contorno prescritas sobre o contorno contorno prescritas sobre o contorno 
ΓΓ = = ΓΓu u ∪∪ ΓΓpp; onde; onde
 ΓΓu u denota o contorno onde denota o contorno onde 
deslocamentos são prescritos e deslocamentos são prescritos e 
 ΓΓpp denota o contorno onde tradenota o contorno onde traçções são ões são 
prescritas;prescritas;
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Fundamentos da Teoria das EstruturasFundamentos da Teoria das Estruturas
 Assim, se tem as seguintes condiAssim, se tem as seguintes condiçções ões 
de contorno:de contorno:
 3 condi3 condiçções de contorno estões de contorno estááticas sobre ticas sobre 
ΓΓpp ::
 3 condi3 condiçções de contorno cinemões de contorno cinemááticas ticas 
sobre sobre ΓΓuu ::
são valores prescritos− = ∴nσ p 0 p
são valores prescritos− = ∴u u 0 u
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Fundamentos da Teoria das EstruturasFundamentos da Teoria das Estruturas
 Nas equaNas equaçções de contorno aparece ões de contorno aparece 
uma matriz denotada por uma matriz denotada por nn que que éé a a 
matriz dos comatriz dos co--senos diretores, que tem senos diretores, que tem 
estrutura similar a matriz estrutura similar a matriz ∂∂::
0 0 0
0 0 0
0 0 0
x z y
y z x
z y x
n n n
n n n
n n n
⎡ ⎤⎢ ⎥⎢ ⎥= ⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥⎣ ⎦
n
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Fundamentos da Teoria das EstruturasFundamentos da Teoria das Estruturas
 O campo de tensão O campo de tensão σσ e o campo de e o campo de 
deslocamentos deslocamentos uu são acoplados por uma são acoplados por uma 
relarelaçção integral chamada de ão integral chamada de teorema da teorema da 
divergênciadivergência ou ou teorema da teorema da ClapeyronClapeyron::
 Que pode ser interpretado como uma igualdade Que pode ser interpretado como uma igualdade 
entre o trabalho interno (lado esquerdo) e o entre o trabalho interno (lado esquerdo) e o 
externo realizado por forexterno realizado por forçças de superfas de superfíície e de cie e de 
corpo.corpo.
T T T Td d d
Ω Γ Ω
∂ Ω= Γ− ∂ Ω∫ ∫ ∫σ u u nσ u σ
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Teoria da ElasticidadeTeoria da Elasticidade
EquaEquaçções Constitutivas para ões Constitutivas para 
Materiais AnisotrMateriais Anisotróópicospicos
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Fundamentos da Teoria das EstruturasFundamentos da Teoria das Estruturas
 Um material linear elUm material linear eláástico stico éé
caracterizado pela caracterizado pela densidade de densidade de 
energia de deformaenergia de deformaççãoão::
 onde onde DD éé uma matriz simuma matriz siméétrica de trica de 
ordem 6, representando a matriz de ordem 6, representando a matriz de 
rigidez do material.rigidez do material.
( ) ( ) ( )0 0
1
2
TW D= − −ε ε ε ε ε
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Fundamentos da Teoria das EstruturasFundamentos da Teoria das Estruturas
 Para materiais anisotrPara materiais anisotróópicos, a matriz picos, a matriz DD
tem tem 2121 elementos independentes ou elementos independentes ou 
constantes elconstantes eláásticas.sticas.
 O vetor de deformaO vetor de deformaçção inicial ão inicial εε00
 representa os efeitos devido a mudanrepresenta os efeitos devido a mudançças as 
de temperaturas, contrade temperaturas, contraçções, etc.ões, etc.
 Por exemplo, para dilataPor exemplo, para dilataçção devido a ão devido a 
temperatura se tem:temperatura se tem:
{ }0 0 0 0, , ,0,0,0
T
x y zε ε ε ε=
0 0 0; ; ;x x y y z zsT T Tε α ε α ε α= = =
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Fundamentos da Teoria das EstruturasFundamentos da Teoria das Estruturas
Onde Onde TT éé a variaa variaçção de temperatura ão de temperatura 
em Kelvin e em Kelvin e ααxx, , ααyy, , ααzz são os são os 
coeficientes de expansão tcoeficientes de expansão téérmica em rmica em 
[K[K--11];];
 Para materiais construtivos comuns Para materiais construtivos comuns 
(a(açço, concreto) podeo, concreto) pode--se fazer:se fazer:
 ααxx = = ααyy = = ααz z = 0,000012=12x10= 0,000012=12x10--66
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Fundamentos da Teoria das EstruturasFundamentos da Teoria das Estruturas
 Combinando a funCombinando a funçção densidade de ão densidade de 
energia de deformaenergia de deformaççãoão
 com as equacom as equaçções constitutivas , obtões constitutivas , obtéémm--
sese
( )0
0
W∂= = −∂
⇒ = +-1
σ D ε ε
ε
ε D σ ε
( ) ( ) ( )0 0
1
2
TW D= − −ε ε ε ε ε
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Fundamentos da Teoria das EstruturasFundamentos da Teoria das Estruturas
 Usando a densidade de energia Usando a densidade de energia 
complementar de uma material elcomplementar de uma material eláástico stico 
linear, se tem:linear, se tem:
( )
*
*
0
* 1
0
1
2
T T
W d d
W −
∂= ⇒ + =∂
⇒ = + ∴ =
-1ε D σ ε σ W
σ
σ Cσ σ ε C D
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Fundamentos da Teoria das EstruturasFundamentos da Teoria das Estruturas
 AnisotropiaAnisotropia total ocorre apenas para total ocorre apenas para 
materiais especiais arranjados em um materiais
especiais arranjados em um 
sistema triclsistema triclíínico.nico.
 Um caso menos geral porUm caso menos geral poréém muito m muito 
importante para a engenharia importante para a engenharia éé a a 
anisotropia rômbicaanisotropia rômbica com três planos com três planos 
ortogonais de simetria elortogonais de simetria eláástica, stica, 
referenciado como referenciado como ortotropiaortotropia..
Prof. Henrique Mariano C. AmaralProf. Henrique Mariano C. Amaral 2424
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Fundamentos da Teoria das EstruturasFundamentos da Teoria das Estruturas
 Usando as constantes tUsando as constantes téécnicas cnicas EE
(modulo de elasticidade), (modulo de elasticidade), νν (coeficiente (coeficiente 
de Poisson) e de Poisson) e GG (modulo de (modulo de elasticielastici--
dadedade transversal), a matriz de transversal), a matriz de conforconfor--
midademidade do material, do material, CC, , éé expressa por:expressa por:
yz
zx
xy
1 0 0 0
1 0 0 0
1 0 0 0
0 0 0 1 G 0 0
0 0 0 0 1 G 0
0 0 0 0 0 1 G
x xy y xz z
yx x y yz z
zx x zy y z
E E E
E E E
E E E
ν ν
ν ν
ν ν
⎡ ⎤− −⎢ ⎥⎢ ⎥− −⎢ ⎥⎢ ⎥− −⎢ ⎥= ⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥⎣ ⎦
C
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Fundamentos da Teoria das EstruturasFundamentos da Teoria das Estruturas
 Devido a simetria, a matriz C contDevido a simetria, a matriz C contéém m 
apenas 9 constantes independentes, apenas 9 constantes independentes, 
pois o bloco superior esquerdo de pois o bloco superior esquerdo de 
elementos apresentam a seguinte elementos apresentam a seguinte 
condicondiçção:ão:
xy x yx y
yz y zy z
zx z xz x
E E
E E
E E
ν ν
ν ν
ν ν
=
=
=
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Fundamentos da Teoria das EstruturasFundamentos da Teoria das Estruturas
 Por inversão da matriz de Por inversão da matriz de 
compatibilidade compatibilidade CC, se acha a matriz de , se acha a matriz de 
rigidez do material rigidez do material DD::
yz
zx
xy
0 0 0
0 0 0
0 0 0
0 0 0 G 0 0
0 0 0 0 G 0
0 0 0 0 0 G
xx xy xz
yx yy yz
zx zy zz
d d d
d d d
d d d
⎡ ⎤⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥= ⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥⎣ ⎦
C
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Fundamentos da Teoria das EstruturasFundamentos da Teoria das Estruturas
 DenotandoDenotando
 Se pode escrever o seguinte:Se pode escrever o seguinte:
 Os demais elementos podem ser Os demais elementos podem ser 
obtidos por uma permutaobtidos por uma permuta
( ) ( )1 xy yx yz zy zx xz xy yz zx yx zy xzξ ν ν ν ν ν ν ν ν ν ν ν ν= − + + − +
( )1x zy yz
çção cão cííclica clica 
dos dos ííndices.ndices.
( ) ( )
xx
xy x xy xz zy y yxd E E zx yz yz
d E
d
ξ ν ν
ξ ν ν ν ν ν= − = − ν ξ
= −
=
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Fundamentos da Teoria das EstruturasFundamentos da Teoria das Estruturas
 Duas formulaDuas formulaçções especiais podem ser ões especiais podem ser 
feitas para problemas bidimensionais:feitas para problemas bidimensionais:
 Estado plano de deformaEstado plano de deformaççãoão, onde, onde
 Estado plano de tensãoEstado plano de tensão, onde, onde
0z xz xzε γ γ= = =
0z xz xzσ τ τ= = =
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Fundamentos da Teoria das EstruturasFundamentos da Teoria das Estruturas
 A descriA descriçção de ão de estado plano de estado plano de 
deformadeformaççãoão éé baseado na redubaseado na reduçção da ão da 
matriz matriz DD, ap, apóós o que as equas o que as equaçções ões 
constitutivas ficam:constitutivas ficam:
0
0
0 0
x xx xy x
y yx yy y
xy xy xy
d d
d d
G
σ ε
σ ε
τ γ
⎧ ⎫ ⎡ ⎤⎧ ⎫⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎢ ⎥⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎢ ⎥=⎨ ⎬ ⎨ ⎬⎢ ⎥⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎢ ⎥⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎢ ⎥⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎩ ⎭ ⎣ ⎦⎩ ⎭
Prof. Henrique Mariano C. AmaralProf. Henrique Mariano C. Amaral 3030
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m
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s
 
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i
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E
s
t
r
u
t
u
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s
Fundamentos da Teoria das EstruturasFundamentos da Teoria das Estruturas
 As relaAs relaçções inversas têm a seguinte ões inversas têm a seguinte 
forma:forma:
 onde onde 
0
0
0 0 1
x xx xy x
y yx yy y
xy xy xy
c c
c c
G
ε σ
ε σ
γ τ
⎧ ⎫ ⎡ ⎤⎧ ⎫⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎢ ⎥⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎢ ⎥=⎨ ⎬ ⎨ ⎬⎢ ⎥⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎢ ⎥⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎢ ⎥⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎩ ⎭ ⎣ ⎦⎩ ⎭
1
1
xz zx
xx
x
xy xz zy yx zx yz
xy yx
x y
yz zy
yy
y
c
E
c c
E E
c
E
ν ν
ν ν ν ν ν ν
ν ν
−=
− −
= =− =−
−
=
Prof. Henrique Mariano C. AmaralProf. Henrique Mariano C. Amaral 3131
F
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Fundamentos da Teoria das EstruturasFundamentos da Teoria das Estruturas
 A descriA descriçção do estado plano de ão do estado plano de 
tensões tensões éé baseado na redubaseado na reduçção da ão da 
matriz matriz CC, ap, apóós o que as equas o que as equaçções ões 
constitutivas são:constitutivas são:
1 0
1 0
0 0 1
x x xy y x
y yx x y y
xy xy xy
E E
E E
G
ε ν σ
ε ν σ
γ τ
⎧ ⎫ ⎡ ⎤⎧ ⎫⎪ ⎪ ⎪ ⎪−⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎢ ⎥⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎢ ⎥= −⎨ ⎬ ⎨ ⎬⎢ ⎥⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎢ ⎥⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎢ ⎥⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎩ ⎭ ⎣ ⎦⎩ ⎭
Prof. Henrique Mariano C. AmaralProf. Henrique Mariano C. Amaral 3232
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Fundamentos da Teoria das EstruturasFundamentos da Teoria das Estruturas
 Suas relaSuas relaçções inversa têm a seguinte ões inversa têm a seguinte 
forma:forma:
 ondeonde
0
0
0 0
x xx xy x
y yx yy y
xy xy xy
d d
d d
G
σ ε
σ ε
τ γ
⎧ ⎫ ⎡ ⎤⎧ ⎫⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎢ ⎥⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎢ ⎥=⎨ ⎬ ⎨ ⎬⎢ ⎥⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎢ ⎥⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎢ ⎥⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎩ ⎭ ⎣ ⎦⎩ ⎭
1
1 1
1
x
xx
xy yx
xy x yx y
xy yx
xy yx xy yx
y
yy
xy yx
Ed
E E
d d
E
d
ν ν
ν ν
ν ν ν ν
ν ν
= −
= = =− −
= −
Prof. Henrique Mariano C. AmaralProf. Henrique Mariano C. Amaral 3333
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Fundamentos da Teoria das EstruturasFundamentos da Teoria das Estruturas
 Introduzindo o conceito de coeficiente Introduzindo o conceito de coeficiente 
de Poisson equivalente, dado porde Poisson equivalente, dado por
 As As úúltimas relaltimas relaçções constitutivas ões constitutivas 
passam a ter a forma:passam a ter a forma:
xy yxν ν ν=
( )
2
1
4
0
1 0
1
0 0 2
x y x
x x
y x y y y
xy xy
x y y x
E E E
E E E
E E E E
νσ ε
σ ν εντ γν
⎡ ⎤⎧ ⎫ ⎧ ⎫⎢ ⎥⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎢ ⎥⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎢ ⎥=⎨ ⎬ ⎨ ⎬⎢ ⎥⎪ ⎪ ⎪ ⎪−⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎢ ⎥⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎢ ⎥⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎩ ⎭ ⎩ ⎭+ −⎢ ⎥⎣ ⎦
Prof. Henrique Mariano C. AmaralProf. Henrique Mariano C. Amaral 3434
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Fundamentos da Teoria das EstruturasFundamentos da Teoria das Estruturas
 Em um Em um meio isotrmeio isotróópicopico, todas as , todas as 
constantes do material são constantes do material são 
independentes da orientaindependentes da orientaçção dos eixos ão dos eixos 
coordenados; dessa forma se pode coordenados; dessa forma se pode 
suprimir os suprimir os ííndices ndices xx e e yy, e as matrizes , e as matrizes 
CC e e DD nos estados planos de tensão e nos estados planos de tensão e 
deformadeformaçção são dadas a seguir. ão são dadas a seguir. 
Observamos que:Observamos que:
( )2 1
EG ν= +
Prof. Henrique Mariano C. AmaralProf. Henrique Mariano C. Amaral 3535
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Fundamentos da Teoria das EstruturasFundamentos da Teoria das Estruturas
EPTEPT-- Estado Plano de TensãoEstado Plano de Tensão EPDEPD-- Estado Plano de DeformaEstado Plano de Deformaççãoão
CC
DD
( ) ( )
( ) ( )
1 0
2 1 2 1
1 1 0
2 1 2 1
0 0 1
G
ν
ν ν
ν
ν ν
⎛ ⎞− ⎟⎜ ⎟⎜ ⎟⎜ + + ⎟⎜ ⎟⎜ ⎟⎟⎜ ⎟⎜ − ⎟⎜ ⎟⎜ ⎟⎜ ⎟+ +⎜ ⎟⎟⎜ ⎟⎜ ⎟⎜ ⎟⎜ ⎟⎜ ⎟⎟⎜⎝ ⎠
1 0
2 2
1 1 0
2 2
0 0 1
G
ν ν
ν ν
⎛ ⎞− − ⎟⎜ ⎟⎜ ⎟⎜ ⎟⎜ ⎟⎜ ⎟⎟⎜ − − ⎟⎜ ⎟⎜ ⎟⎜ ⎟⎜ ⎟⎜ ⎟⎟⎜ ⎟⎜ ⎟⎜ ⎟⎜ ⎟⎜⎝ ⎠
( ) ( )
( ) ( )
2 2 0
1 1
2 2 0
1 1
0 0 1
G
ν
ν ν
ν
ν ν
⎛ ⎞⎟⎜ ⎟⎜ ⎟⎜ − − ⎟⎜ ⎟⎜ ⎟⎟⎜ ⎟⎜ ⎟⎜ ⎟⎜ ⎟⎜ ⎟− −⎜ ⎟⎟⎜ ⎟⎜ ⎟⎜ ⎟⎜ ⎟⎜ ⎟⎟⎜⎝ ⎠
( )
( )
2 1 2 0
1 2 1 2
2 12 0
1 2 1 2
0 0 1
G
ν ν
ν ν
νν
ν ν
⎛ ⎞− ⎟⎜ ⎟⎜ ⎟⎜ ⎟− −⎜ ⎟⎜ ⎟⎟⎜ ⎟−⎜ ⎟⎜ ⎟⎜ ⎟⎜ ⎟− −⎜ ⎟⎟⎜ ⎟⎜ ⎟⎜ ⎟⎜ ⎟⎜ ⎟⎟⎜⎝ ⎠
Prof. Henrique Mariano C. AmaralProf. Henrique Mariano C. Amaral 3636
Materiais ElMateriais Eláásticos sticos 
LinearesLineares
TransformaTransformaçção de Equaão de Equaçções ões 
Constitutivas para Materiais Constitutivas para Materiais 
OrtotrOrtotróópicospicos
Prof. Henrique Mariano C. AmaralProf. Henrique Mariano C. Amaral 3737
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Fundamentos da Teoria das EstruturasFundamentos da Teoria das Estruturas
 Em geral, os planos de simetria elEm geral, os planos de simetria eláástica não stica não 
coincidem com os planos coordenados coincidem com os planos coordenados 
globais, os quais servem como referencia globais, os quais servem como referencia 
para uma estrutura por inteira. para uma estrutura por inteira. 
 Assim, Assim, éé necessnecessáário transformar a matriz de rio transformar a matriz de 
rigidez do material rigidez do material DD (ou a matriz de (ou a matriz de 
compatibilidade compatibilidade CC) do sistema de ) do sistema de 
coordenadas local, no qual as constantes coordenadas local, no qual as constantes 
eleláásticas foram determinadas, no sistema sticas foram determinadas, no sistema 
de coordenadas global.de coordenadas global.
Prof. Henrique Mariano C. AmaralProf. Henrique Mariano C. Amaral 3838
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Fundamentos da Teoria das EstruturasFundamentos da Teoria das Estruturas
 Essa transformaEssa transformaçção ão éé baseada na baseada na 
expressão da densidade de energia de expressão da densidade de energia de 
deformadeformaçção ão WW (ou na densidade de (ou na densidade de 
energia complementar energia complementar WW**), a qual, ), a qual, 
sendo um escalar, independe do sendo um escalar, independe do 
sistema de coordenadas:sistema de coordenadas:
( )2 T T
T T
W ε = = =
= =
ε σ ε Dε
ε σ ε Dε
Prof. Henrique Mariano C. AmaralProf. Henrique Mariano C. Amaral 3939
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Fundamentos da Teoria das EstruturasFundamentos da Teoria das Estruturas
 Supondo conhecida a matriz definida Supondo conhecida a matriz definida 
com relacom relaçção ao sistema de ão ao sistema de 
coordenadas local, se quer achar a coordenadas local, se quer achar a 
matriz relacionada ao sistema de matriz relacionada ao sistema de 
coordenadas global.coordenadas global.
 Restringindo o foco Restringindo o foco àà descridescriçção planar ão planar 
de um material de um material ortotrortotróópicopico se tem que se tem que 
o tensor deformao tensor deformaçção ão éé transformado de transformado de 
acordo com a conhecida facordo com a conhecida fóórmula:rmula:
D
D
Prof. Henrique Mariano C. AmaralProf. Henrique Mariano C. Amaral 4040
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Fundamentos da Teoria das EstruturasFundamentos da Teoria das Estruturas
 Onde Onde s = s = sensen αα e e c = c = coscos αα
2 2
1
2 2
2
2 2
12 2 2
x x
y y
xy xy
c s cs
s c cs
cs cs c s
ε ε ε
ε ε ε
γ γ γ
⎡ ⎤⎧ ⎫ ⎧ ⎫⎧ ⎫⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎪ ⎪⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎢ ⎥⎪ ⎪⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎪ ⎪⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎢ ⎥= = −⎨ ⎬ ⎨ ⎬ ⎨ ⎬⎢ ⎥⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎢ ⎥− −⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎢ ⎥⎪ ⎪⎩ ⎭⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎩ ⎭ ⎩ ⎭⎣ ⎦
Prof. Henrique Mariano C. AmaralProf. Henrique Mariano C. Amaral 4141
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Fundamentos da Teoria das EstruturasFundamentos da Teoria das Estruturas
 De forma compacta se tem:De forma compacta se tem:
 Ou aindaOu ainda
 Realizando as multiplicaRealizando as multiplicaçções matriciais ões matriciais 
vêvê--se que:se que:
=ε Tε
T T T
T
=
⇒ =
ε Dε ε T DTε
D T DT
1 2= +D D D
Prof. Henrique Mariano C. AmaralProf. Henrique Mariano C. Amaral 4242
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Fundamentos da Teoria das EstruturasFundamentos da Teoria das Estruturas
 Ou aindaOu ainda
 onde onde 
[ ] [ ]1 2 11 12 13 21 22 23D D D D D D= + = +D D D
( )
( )
( )
( )
2 2 2 2
22 12
4 2 2
12 22 12
4 2 2
22 12
2 2 2 2
11 22 12
3 2 2
22 12
3
3 2 2
22
2 2
22 12
3 2 2
13 22 12
12
4
4
2
2
4
2
2
4
d s G s c
D d s c G s c
d s c G sc c s
d s c G sc c s
D d sc G sc c s
d s c G s c
D d c G s c
d sc G sc c s
⎧ ⎫⎪ ⎪+⎪ ⎪⎪ ⎪⎪ ⎪⎪
⎧ ⎫⎪ ⎪+⎪ ⎪⎪ ⎪⎪ ⎪⎪ ⎪= −⎨ ⎬⎪ ⎪⎪ ⎪⎪ ⎪− − −⎪ ⎪⎪ ⎪⎩
⎪= −⎨ ⎬⎪ ⎪
⎭
− − −
=
⎪ ⎪⎪ ⎪− +
− +
− ⎪⎪ ⎪⎩
−
⎪ ⎭
( )22 2 2 222 12d s c G c s
⎧ ⎫⎪ ⎪⎪ ⎪⎪ ⎪⎪ ⎪⎪ ⎪⎪ ⎪⎨ ⎬⎪ ⎪⎪ ⎪⎪ ⎪⎪ ⎪+ −⎪ ⎪⎪ ⎪⎩ ⎭
( )
( )
( )
( )
( )
( )
( )
4 2 2
11 12
2 2 4 4
21 11 12
3
2 2 4 4
11 12
4 2 2
22 11 12
3 2 2
11 12
2 2
11 12
3 2 2
11 12
3 2 2
23 11 12
11 12
2
2
2
d s c d s c
D d s
d c d s c
D d s c d s c
d sc d sc c s
d s c
d s c d sc c
d sc d sc c s
D d s c c s
d d
s
d s c
⎧ ⎫⎪ ⎪+ +⎪ ⎪⎪ ⎪⎪ ⎪⎪ ⎪= +⎨ ⎬⎪ ⎪⎪ ⎪⎪ ⎪+ −⎪ ⎪⎪
⎧ ⎫⎪ ⎪+⎪ ⎪⎪ ⎪⎪ ⎪⎪ ⎪= + +⎨ ⎬⎪ ⎪⎪ ⎪⎪
⎪− −⎪ ⎪⎪ ⎪⎩ ⎭
− −
= + −
−
⎪⎩ ⎭
2 2s c
⎧ ⎫⎪ ⎪⎪ ⎪⎪ ⎪⎪ ⎪⎪ ⎪⎨ ⎬⎪ ⎪⎪ ⎪⎪ ⎪⎪ ⎪⎪ ⎪⎩ ⎭
Prof. Henrique Mariano C. AmaralProf. Henrique Mariano C. Amaral 4343
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Fundamentos da Teoria das EstruturasFundamentos da Teoria das Estruturas
 Como mostrado na figura abaixo, se Como mostrado na figura abaixo, se 
tem tem dd1111 = d= d1212 = 0= 0, logo os elementos de , logo os elementos de 
DD22 se anulam e, assim, se anulam e, assim, DD11 corresponde corresponde 
a rigidez do material danificado por a rigidez do material danificado por 
fendas na fendas na diredireçção 2 (dão 2 (d2222≠≠0)0) devido ao devido ao 
cisalhamento.cisalhamento.
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Materiais ElMateriais Eláásticos sticos 
LinearesLineares
Forma Tensorial das Forma Tensorial das 
EquaEquaçções da Elasticidadeões da Elasticidade
Prof. Henrique Mariano C. AmaralProf. Henrique Mariano C. Amaral 4545
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Fundamentos da Teoria das EstruturasFundamentos da Teoria das Estruturas
 A notaA notaçção tensorial ão tensorial éé preferpreferíível nos vel nos 
problemas em que a notaproblemas em que a notaçção matricial ão matricial 
se torna complicada.se torna complicada.
 A notaA notaçção tensorial, ão tensorial, éé particularmente particularmente 
úútil no mtil no méétodo dos elementos finitos todo dos elementos finitos 
onde produz expressões simples para onde produz expressões simples para 
as matrizes de rigidez de certos as matrizes de rigidez de certos 
elementos importantes. elementos importantes. 
Prof. Henrique Mariano C. AmaralProf. Henrique Mariano C. Amaral 4646
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Fundamentos da Teoria das EstruturasFundamentos da Teoria das Estruturas
 Para o estado geral de tensões, a Para o estado geral de tensões, a 
equaequaçção tensorial ão tensorial éé::
 onde onde Dijkl éé o o tensor de rigidez do tensor de rigidez do 
materialmaterial, que para o caso de materiais , que para o caso de materiais 
isotrisotróópicos picos éé dado por: dado por: 
( )
3 3
0
1 1
klij ijkl kl
k l
Dσ ε ε
= =
= −∑∑
2
1 2ijkl ij kl ik jl
D G ν δ δ δ δν
⎛ ⎞⎟⎜= + ⎟⎜ ⎟⎜⎝ ⎠−
Prof. Henrique Mariano C. AmaralProf. Henrique Mariano C. Amaral 4747
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Fundamentos da Teoria das EstruturasFundamentos da Teoria das Estruturas
 Onde Onde δδijij éé um um tensor chamado tensor chamado tensor tensor 
isotrisotróópicopico (que tamb(que tambéém chamado de m chamado de 
delta de delta de KroneckerKronecker) assume valores ) assume valores 11
(para (para i=ji=j) e ) e 00 (para (para j j ≠≠ ii). ). 
 Similarmente, o tensor de Similarmente, o tensor de 
compatibilidade de um material compatibilidade de um material 
isotrisotróópico pico éé dado pordado por
1
2 1ijkl ik jl ij kl
C
G
νδ δ δ δν
⎛ ⎞⎟⎜= − ⎟⎜ ⎟⎜⎝ ⎠+
Prof. Henrique Mariano C. AmaralProf. Henrique Mariano C. Amaral 4848
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Fundamentos da Teoria das EstruturasFundamentos da Teoria das Estruturas
 Agora se pode escrever a relaAgora se pode escrever a relaçção ão 
inversa da equainversa da equaçção de estado geral de ão de estado geral de 
tensão:tensão:
 da seguinte maneirada seguinte maneira
( )
3 3
0
1 1
klij ijkl kl
k l
Dσ ε ε
= =
= −∑∑
3 3
0
1 1
klij ijkl kl
k l
Cε σ ε
= =
= −∑∑
Prof. Henrique Mariano C. AmaralProf. Henrique Mariano C. Amaral 4949
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Fundamentos da Teoria das EstruturasFundamentos da Teoria das Estruturas
 Essas duas equaEssas duas equaçções podem ser ões podem ser 
escritas omitindo o sescritas omitindo o síímbolo de mbolo de 
somatsomatóória, assumindo a regra de ria, assumindo a regra de 
somasomaçção sobre os subscritos ão sobre os subscritos 
repetidos, da seguinte formarepetidos, da seguinte forma
( ) ( )
3 3
0 0
1 1
3 3
0 0
1 1
kl
kl
k
k
l
l
ij ijkl kl ij
i
l l
l
l lj ijkl kl i
k k
k
k k
lk
j
D D
C C
σ ε ε ε ε
ε σ ε σ ε
= =
= =
= − = −
= − = −
∑∑
∑∑
Prof. Henrique Mariano C. AmaralProf. Henrique Mariano C. Amaral 5050
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Fundamentos da Teoria das EstruturasFundamentos da Teoria das Estruturas
 A partir dessas equaA partir dessas equaçções a relaões a relaçção de ão de 
deformadeformaççãoão--deslocamento, , deslocamento, , 
na notana notaçção tensorial, ão tensorial, éé dada por:dada por:
1
2
k l
kl
l k
u u
x x
ε ⎛ ⎞∂ ∂ ⎟⎜ ⎟= +⎜ ⎟⎜ ⎟⎜ ∂ ∂⎝ ⎠
0T−∂ =ε u
Prof. Henrique Mariano C. AmaralProf. Henrique Mariano C. Amaral 5151
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Fundamentos da Teoria das EstruturasFundamentos da Teoria das Estruturas
 ÉÉ sempre sempre úútil combinar as equatil combinar as equaçções ões 
constitutivas com a equaconstitutivas com a equaçção deformaão deformaççãoão--
deslocamento. Fazendo deslocamento. Fazendo εε0kl0kl = 0= 0, se tem:, se tem:
 Esta equaEsta equaçção ão éé vváálida para o lida para o estado plano estado plano 
de deformade deformaççãoão, com os , com os ííndices de somandices de somaçção ão 
variando de 1 atvariando de 1 atéé 2.2.
12
1 2 2
jl i
ij ij
l j i
uu uG
x x x
νσ δν
⎛ ⎞⎛ ⎞∂∂ ∂ ⎟⎟⎜ ⎜ ⎟⎟⎜ ⎜= + + ⎟⎟⎜ ⎜ ⎟⎟⎜ ⎟⎜− ∂ ∂ ∂ ⎟⎜ ⎝ ⎠⎝ ⎠
Prof. Henrique Mariano C. AmaralProf. Henrique Mariano C. Amaral 5252
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Fundamentos da Teoria das EstruturasFundamentos da Teoria das Estruturas
 A equaA equaçção tensorial para o ão tensorial para o estado estado 
plano de tensãoplano de tensão éé obtida da relaobtida da relaçção ão 
anterior trocando anterior trocando νν por . A por . A 
simples manipulasimples manipulaçção, leva a:ão, leva a:
( )1
ν
ν+
12
1 2
jl i
ij ij
l j i
uu uG
x x x
νσ δν
⎛ ⎞⎛ ⎞∂∂ ∂ ⎟⎟⎜ ⎜ ⎟⎟⎜ ⎜= + + ⎟⎟⎜ ⎜ ⎟⎟⎜ ⎟⎜− ∂ ∂ ∂ ⎟⎜ ⎝ ⎠⎝ ⎠
Prof. Henrique Mariano C. AmaralProf. Henrique Mariano C. Amaral 5353
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Fundamentos da Teoria das EstruturasFundamentos da Teoria das Estruturas
 Para retornar da Para retornar da equaequaçção do estado ão do estado 
plano de tensãoplano de tensão para a para a equaequaçção do ão do 
estado plano de deformaestado plano de deformaççãoão, deve, deve--se se 
trocar trocar
νν por por 
( )1
ν
ν−
Prof. Henrique Mariano C. AmaralProf. Henrique Mariano C. Amaral 5454
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Fundamentos da Teoria das EstruturasFundamentos da Teoria das Estruturas
 Para completar a formulaPara completar a formulaçção, precisaão, precisa--
se das equase das equaçções de Cauchy:ões de Cauchy:
 na forma tensorial na forma tensorial 
∂ + =σ B 0
0ij i
j
B
x
σ∂
+ =∂
Prof. Henrique Mariano C. AmaralProf. Henrique Mariano C. Amaral 5555
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Fundamentos da Teoria das EstruturasFundamentos da Teoria das Estruturas
 Com suas respectivas condiCom suas respectivas condiçções de ões de 
contorno:contorno:
 onde os coonde os co--senos diretores senos diretores nnjj são as são as 
componentes do componentes do versorversor normal ao normal ao 
contorno.contorno.
0
0
ij j i
i i
n p
e
u u
σ − =
− =
Prof. Henrique Mariano C. AmaralProf. Henrique Mariano C. Amaral 5656
PrincPrincíípios Variacionaispios Variacionais
PrincPrincíípio do Trabalho pio do Trabalho 
VirtualVirtual
Prof. Henrique Mariano C. AmaralProf. Henrique Mariano C. Amaral 5757
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Fundamentos da Teoria das EstruturasFundamentos da Teoria das Estruturas
 O O PrincPrincíípio dos Trabalhos Virtuaispio dos Trabalhos Virtuais
(PTV) e os (PTV) e os princprincíípios variacionais da pios variacionais da 
mecânicamecânica, provêem a base de muitos , provêem a base de muitos 
dos mdos méétodos de aproximatodos de aproximaçção usados ão usados 
na mecânica, como o na mecânica, como o MMéétodo dos todo dos 
Elementos Finitos (MEF)Elementos Finitos (MEF), o , o MMéétodo todo 
dos Elementos de Contorno (MEC)dos Elementos de Contorno (MEC), , 
etc.etc.
Prof. Henrique Mariano C. AmaralProf. Henrique Mariano C. Amaral 5858
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Fundamentos da Teoria das EstruturasFundamentos da Teoria das Estruturas
 O O PrincPrincíípio do Trabalho Virtual pio do Trabalho Virtual ––
PTVPTV tem duas versões btem duas versões báásicas:sicas:
 O O PrincPrincíípio dos Deslocamentos pio dos Deslocamentos 
Virtuais Virtuais –– PDVPDV; e; e
 O O PrincPrincíípio das Forpio das Forçças Virtuais as Virtuais –– PFVPFV
 A palavra A palavra virtualvirtual aqui significa hipotaqui significa hipotéético, que poderia tico, que poderia 
ocorrer, embora, de fato, não ocorra. ocorrer, embora, de fato, não ocorra. ÉÉ um deslocamento um deslocamento 
infinitesimal que se impõe a um ponto ou a um sistema infinitesimal que se impõe a um ponto ou a um sistema 
rríígido de modo a não alterar a configuragido de modo a não alterar a configuraçção estão estáática ou tica ou 
geomgeoméétrica do corpo e das fortrica do corpo e das forçças que nele atuam, as que nele atuam, 
preservando as condipreservando as condiçções de equilões de equilííbrio a que essas forbrio a que essas forçças as 
estão sujeitas.estão sujeitas.
Prof. Henrique Mariano C. AmaralProf. Henrique Mariano C. Amaral 5959
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Fundamentos da Teoria das EstruturasFundamentos da Teoria das Estruturas
 PodePode--se dizer que o trabalho virtual se dizer que o trabalho virtual 
realizado pelas forrealizado pelas forçças externas, quando se as externas, quando se 
ddáá a uma estrutura deforma uma estrutura deformáável em equilvel em equilííbrio brio 
um um deslocamento virtualdeslocamento virtual, , éé igual ao trabalho igual ao trabalho 
realizado pelas forrealizado pelas forçças internas.as internas.
 Um Um deslocamento virtualdeslocamento virtual consiste em uma consiste em uma 
translatranslaçção em qualquer direão em qualquer direçção, uma ão, uma 
rotarotaçção em torno de qualquer eixo ou ão em torno de qualquer eixo ou 
ambasambas
Prof. Henrique Mariano C. AmaralProf. Henrique Mariano C. Amaral 6060
PrincPrincíípios Variacionaispios Variacionais
PrincPrincíípio dos Deslocamentos pio dos Deslocamentos 
Virtuais Virtuais –– PDVPDV
Prof. Henrique Mariano C. AmaralProf. Henrique Mariano C. Amaral 6161
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Fundamentos da Teoria das EstruturasFundamentos da Teoria das Estruturas
 Seja um corpo sSeja um corpo sóólido solicitado por lido solicitado por 
forforçças de superfas de superfíície e de volume, as cie e de volume, as 
quais induzem um estado de tensões quais induzem um estado de tensões σσ
em equilem equilííbrio com as mesmas.brio com as mesmas.
 Em correspondência a este estado de Em correspondência a este estado de 
tensões existirtensões existiráá um estado de um estado de 
deformadeformaçções ões εε e um campo de e um campo de 
deslocamentos u, que definem a deslocamentos u, que definem a 
configuraconfiguraçção deformada do são deformada do sóólido.lido.
Prof. Henrique Mariano C. AmaralProf. Henrique Mariano C. Amaral 6262
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Fundamentos da Teoria das EstruturasFundamentos da Teoria das Estruturas
 Se si agrega Se si agrega àà configuraconfiguraçção deformada ão deformada 
de equilde equilííbrio um estado de brio um estado de 
deslocamentos virtuais deslocamentos virtuais δδuu, fict, fictíícios, cios, 
com a com a úúnica limitanica limitaçção de que o campo ão de que o campo 
de deslocamentos finais, de deslocamentos finais, uu++ δδuu
continue satisfazendo as condicontinue satisfazendo as condiçções de ões de 
contorno, então, sobre a superfcontorno, então, sobre a superfíície cie ΓΓuu
se deve ter:se deve ter: δ =u 0
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Fundamentos da Teoria das EstruturasFundamentos da Teoria das Estruturas
 Como jComo jáá dito, para se manter o dito, para se manter o 
equilequilííbrio, o brio, o trabalho virtual realizado trabalho virtual realizado 
pelas forpelas forçças externasas externas, quando se d, quando se dáá a a 
uma estrutura deformuma estrutura deformáável em equilvel em equilííbrio brio 
um um deslocamento virtual deslocamento virtual δδuu,, éé igual ao igual ao 
trabalho realizado pelas fortrabalho realizado pelas forçças as 
internasinternas..
 Assim, o Assim, o PDV PDV éé uma exigência de uma exigência de 
equilequilííbriobrio, podendo ser aplicado tanto a , podendo ser aplicado tanto a 
problemas lineares como não lineares.problemas lineares como não lineares.
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Fundamentos da Teoria das EstruturasFundamentos da Teoria
das Estruturas
 O princO princíípio dos deslocamentos virtuais pio dos deslocamentos virtuais 
–– PDV PDV éé usualmente escrito como:usualmente escrito como:
 O lado esquerdo representa o trabalho O lado esquerdo representa o trabalho 
virtual das forvirtual das forçças internas (tensões x as internas (tensões x 
deformadeformaçções) enquanto o lado direito ões) enquanto o lado direito 
corresponde ao trabalho virtual das corresponde ao trabalho virtual das 
forforçças externas (foras externas (forçças x deslocamenas x deslocamen--
tos).tos).
p
T T Td d dδ δ δ
Ω Ω Γ
Ω= Ω+ Γ∫ ∫ ∫ε σ u B u p
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Fundamentos da Teoria das EstruturasFundamentos da Teoria das Estruturas
 Os deslocamentos virtuais Os deslocamentos virtuais δδεε e e δδuu
precisam ser cinematicamente admissprecisam ser cinematicamente admissííveisveis. . 
Isto significa o seguinte:Isto significa o seguinte:
 O deslocamento virtual O deslocamento virtual δδuu precisa satisfazer precisa satisfazer 
as condias condiçções de contorno cinemões de contorno cinemááticas:ticas:
 As deformaAs deformaçções virtuais ões virtuais δδεε precisam ser precisam ser 
ligadas aos deslocamentos virtuais pela ligadas aos deslocamentos virtuais pela 
relarelaçção:ão:
usobreδ = Γu 0
Tδ δ=∂ε u
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Fundamentos da Teoria das EstruturasFundamentos da Teoria das Estruturas
 Trocando u por Trocando u por δδuu na equana equaçção de ão de 
ClapeyronClapeyron (teorema da divergência): (teorema da divergência): 
 podepode--se transformar a equase transformar a equaçção do ão do 
PDV em:PDV em:
T T T Td d d
Ω Γ Ω
∂ Ω= Γ− ∂ Ω∫ ∫ ∫σ u u nσ u σ
( ) ( ) 0
u
T Td dδ δ
Ω Γ
∂ + Ω+ − + Γ=∫ ∫u σ B u nσ p
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Fundamentos da Teoria das EstruturasFundamentos da Teoria das Estruturas
 A equaA equaçção anterior ão anterior éé satisfeita para satisfeita para 
deslocamentos virtuais arbitrdeslocamentos virtuais arbitráários rios δδu u 
apenas se as condiapenas se as condiçções de equilões de equilííbrio brio 
tambtambéém forem satisfeitas, isto m forem satisfeitas, isto éé::
 as equaas equaçções de Cauchy são ões de Cauchy são 
satisfeitas sobre satisfeitas sobre ΩΩ;;
 as condias condiçções de contorno são ões de contorno são 
satisfeitas sobre satisfeitas sobre ΓΓ..
∂ + =σ B 0
− =nσ p 0
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Fundamentos da Teoria das EstruturasFundamentos da Teoria das Estruturas
 Assim, as equaAssim, as equaççõesões
 representam o representam o PrincPrincíípio Geral de pio Geral de 
EquilEquilííbriobrio..
( ) ( ) 0
u
T Td d
sobre
sobre
δ δ
Ω Γ
∂ + Ω+ − + Γ=
∂ + = Ω
− = Γ
∫ ∫u σ B u nσ p
σ B 0
nσ p 0
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Fundamentos da Teoria das EstruturasFundamentos da Teoria das Estruturas
 O O PDVPDV pode ser facilmente estendido pode ser facilmente estendido 
para problemas dinâmicos. De acordo para problemas dinâmicos. De acordo 
com o com o PrincPrincíípio de Dpio de D’’AlembertAlembert, pode, pode--
se tratar as forse tratar as forçças de inas de inéércia, , como rcia, , como 
forforçças de corpo aplicadas as de corpo aplicadas 
externamente ( denota a segunda externamente ( denota a segunda 
derivada parcial com reladerivada parcial com relaçção ao tempo; ão ao tempo; 
ρρ éé a massa especa massa especíífica).fica).
uρ ��
u��
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Fundamentos da Teoria das EstruturasFundamentos da Teoria das Estruturas
 Se esse procedimento for realizado, a Se esse procedimento for realizado, a 
equaequaçção:ão:
 se transforma em:se transforma em:
( ) ( ) 0
u
T Td dδ δ
Ω Γ
∂ + Ω+ − + Γ=∫ ∫u σ B u nσ p
( ) ( ) 0
u
T Tu d dδ ρ δ
Ω Γ
∂ + − Ω+ − + Γ=∫ ∫u σ B u nσ p��
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PrincPrincíípios Variacionaispios Variacionais
PrincPrincíípio das Forpio das Forçças as 
Virtuais Virtuais –– PFVPFV
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Fundamentos da Teoria das EstruturasFundamentos da Teoria das Estruturas
 Seja agora um campo de deslocamenSeja agora um campo de deslocamen--
tos tos uu e um estado de deformae um estado de deformaçções ões 
compatcompatííveis no qual se introduz uma veis no qual se introduz uma 
variavariaçção ão δδσσ do estado de tensões. do estado de tensões. 
Esta variaEsta variaçção ão δδσσ serseráá arbitrarbitráária ria devendeven--
dodo o estado de tensões total o estado de tensões total σσ++δδσσ
satisfazer as condisatisfazer as condiçções de equilões de equilííbrio e brio e 
as condias condiçções de contorno sobre a ões de contorno sobre a 
superfsuperfíície cie ΓΓuu..
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Fundamentos da Teoria das EstruturasFundamentos da Teoria das Estruturas
 O O PrincPrincíípio das Forpio das Forçças Virtuais as Virtuais ––
PFVPFV éé usualmente escrito como:usualmente escrito como:
 O lado esquerdo da expressão acima representa o O lado esquerdo da expressão acima representa o 
trabalho virtual complementar das fortrabalho virtual complementar das forçças internas, as internas, 
enquanto o lado direito representa o trabalho enquanto o lado direito representa o trabalho 
virtual complementar das forvirtual complementar das forçças externas.as externas.
u
u
T T T
T T T
d d d
d d
δ δ δ
δ δ
Ω Γ Ω
Γ Ω
Ω= Γ+ Ω=
= Γ+ Ω
∫ ∫ ∫
∫ ∫
σ ε p u B u
σ n u B u
Prof. Henrique Mariano C. AmaralProf. Henrique Mariano C. Amaral 7474
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Fundamentos da Teoria das EstruturasFundamentos da Teoria das Estruturas
 Os campos virtuais Os campos virtuais δσδσ, , δδBB e e δδpp
precisam ser estaticamente precisam ser estaticamente 
admissadmissííveis, isto veis, isto éé, para , para δδBB = 0 em = 0 em ΩΩ e e 
para para δδpp = 0 em =
0 em ΓΓpp, as condi, as condiçções de ões de 
equilequilííbrio incluem:brio incluem:
 As equaAs equaçções homogêneas de Cauchyões homogêneas de Cauchy
 CondiCondiçções de contorno estões de contorno estááticas ticas 
homogêneas:homogêneas:
sobre∂ + = Ωσ B 0
psobre− = Γnσ p 0
Prof. Henrique Mariano C. AmaralProf. Henrique Mariano C. Amaral 7575
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Fundamentos da Teoria das EstruturasFundamentos da Teoria das Estruturas
 Usando a equaUsando a equaçção de ão de ClapeyronClapeyron ou ou 
teorema da divergência teorema da divergência 
 podepode--se transformar a se transformar a equaequaçção do ão do 
PFVPFV em:em:
T T T Td d d
Ω Γ Ω
∂ Ω= Γ− ∂ Ω∫ ∫ ∫σ u u nσ u σ
( ) ( ) 0
u
T Td dδ δ
Ω Γ
−∂ Ω+ − Γ=∫ ∫σ ε u p u u
Prof. Henrique Mariano C. AmaralProf. Henrique Mariano C. Amaral 7676
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Fundamentos da Teoria das EstruturasFundamentos da Teoria das Estruturas
 Esta equaEsta equaçção ão éé satisfeita tensões satisfeita tensões 
arbitrarbitráárias virtuais rias virtuais δδσσ ((δδp p = = n.n.δδσσ ≠≠ 00
sobre sobre ΓΓuu) apenas se as equa) apenas se as equaçções ões 
cinemcinemááticas tambticas tambéém forem satisfeitas, m forem satisfeitas, 
isto isto éé,,
 RelaRelaçção cinemão cinemáática tica εε--∂∂TTuu==00 em em ΩΩ;;
 CondiCondiçções cinemões cinemááticas ticas uu--ūū = 0= 0 em em ΓΓuu..
 Dessa forma, vêDessa forma, vê--se que se que PFVPFV éé um um 
princprincíípio da continuidadepio da continuidade..
Prof. Henrique Mariano C. AmaralProf. Henrique Mariano C. Amaral 7777
PrincPrincíípios Variacionaispios Variacionais
PrincPrincíípios Variacionaispios Variacionais
Prof. Henrique Mariano C. AmaralProf. Henrique Mariano C. Amaral 7878
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Fundamentos da Teoria das EstruturasFundamentos da Teoria das Estruturas
 Os princOs princíípios variacionais se seguem pios variacionais se seguem 
diretamente do Princdiretamente do Princíípio do Trabalho pio do Trabalho 
Virtual Virtual -- PTV:PTV:
 O O PrincPrincíípio dos Deslocamentos Virtuais pio dos Deslocamentos Virtuais ––
PDVPDV –– leva ao leva ao PrincPrincíípio Variacional de pio Variacional de 
LagrangeLagrange ou ou PrincPrincíípio de Energia pio de Energia 
Potencial MPotencial Míínimanima;;
 O O PrincPrincíípio das Forpio das Forçças Virtuais as Virtuais –– PFVPFV ––
leva ao leva ao PrincPrincíípio Variacional de pio Variacional de 
CastiglianoCastigliano ou ou PrincPrincíípio da Energia pio da Energia 
Complementar MComplementar Míínimanima..
Prof. Henrique Mariano C. AmaralProf. Henrique Mariano C. Amaral 7979
PrincPrincíípios Variacionaispios Variacionais
PrincPrincíípio da Lagrangepio da Lagrange
PrincPrincíípio da Energia pio da Energia 
Potencial MPotencial Míínimanima
Prof. Henrique Mariano C. AmaralProf. Henrique Mariano C. Amaral 8080
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Fundamentos da Teoria das EstruturasFundamentos da Teoria das Estruturas
 Em um sEm um sóólido ellido eláástico o trabalho stico o trabalho 
desenvolvido em correspondência com desenvolvido em correspondência com 
o processo de deformao processo de deformaçção, quando ão, quando 
esse processo esse processo éé adiabadiabáático, resulta tico, resulta 
igual igual àà mudanmudançça produzida na a produzida na energia energia 
interna de deformainterna de deformaççãoão, que , que éé, por , por 
definidefiniççãoão
( )
( )
1 1
2 2
2
T T
i
T T
W d d d
W
Ω Ω Ω
∏ = Ω= Ω= Ω
∴ = =
∫ ∫ ∫ε ε σ ε Dε
ε ε σ ε Dε
Prof. Henrique Mariano C. AmaralProf. Henrique Mariano C. Amaral 8181
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Fundamentos da Teoria das EstruturasFundamentos da Teoria das Estruturas
 A variaA variaçção dessa energia de ão dessa energia de 
deformadeformaçção ão éé::
T T
i d dδ δ δ
Ω Ω
∏ = Ω= Ω∫ ∫ε σ ε Dε
Prof. Henrique Mariano C. AmaralProf. Henrique Mariano C. Amaral 8282
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Fundamentos da Teoria das EstruturasFundamentos da Teoria das Estruturas
 Por outro lado, quando as forPor outro lado, quando as forçças de as de 
corpo corpo BB e de superfe de superfíície cie pp são são 
independentes dos deslocamentos, independentes dos deslocamentos, 
podepode--se definir o se definir o potencial das forpotencial das forçças as 
externasexternas como:como:
T T
e d d
Ω Γ
∏ =− Ω− Γ∫ ∫u B u p
Prof. Henrique Mariano C. AmaralProf. Henrique Mariano C. Amaral 8383
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T
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Fundamentos da Teoria das EstruturasFundamentos da Teoria das Estruturas
 Similarmente, sua variaSimilarmente, sua variaçção ão éé::
T T
e d dδ δ δ
Ω Γ
∏ =− Ω− Γ∫ ∫u B u p
Prof. Henrique Mariano C. AmaralProf. Henrique Mariano C. Amaral 8484
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Fundamentos da Teoria das EstruturasFundamentos da Teoria das Estruturas
 O princO princíípio de Lagrange nos afirma:pio de Lagrange nos afirma:
 ““Dentre todos os estados Dentre todos os estados 
cinematicamente admisscinematicamente admissííveis de um veis de um 
corpo elcorpo eláástico, o estado real stico, o estado real éé aquele que aquele que 
minimiza a energia potencial total que minimiza a energia potencial total que éé
igual a soma da energia interna de igual a soma da energia interna de 
deformadeformaçção mais a energia potencial das ão mais a energia potencial das 
cargas externas.cargas externas.””
mínimap i eΠ =Π +Π =
Prof. Henrique Mariano C. AmaralProf. Henrique Mariano C. Amaral 8585
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Fundamentos da Teoria das EstruturasFundamentos da Teoria das Estruturas
 Os Os estados cinematicamente estados cinematicamente 
admissadmissííveisveis são especificados por:são especificados por:
 Deslocamentos que são contDeslocamentos que são contíínuos e têm nuos e têm 
derivadas contderivadas contíínuas por partes no nuas por partes no 
domdomíínio de solunio de soluçção e satisfazem as ão e satisfazem as 
condicondiçções de contorno cinemões de contorno cinemááticas sobreticas sobre
ΓΓuu, e, e
 DeformaDeformaçções que são derivadas dos ões que são derivadas dos 
deslocamentos usando as equadeslocamentos usando as equaçções ões 
cinemcinemááticas de deformaticas de deformaççãoão--
deslocamento.deslocamento.
Prof. Henrique Mariano C. AmaralProf. Henrique Mariano C. Amaral 8686
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Fundamentos da Teoria das EstruturasFundamentos da Teoria das Estruturas
 Como a energia potencial deve ser Como a energia potencial deve ser 
mmíínima, então sua varianima, então sua variaçção deve ser ão deve ser 
nula, logonula, logo
 ouou
( ) 0p i e i eδ δ δ δΠ = Π +Π = Π + Π
0T T Tp d d dδ δ δ δ
Ω Ω Γ
Π = Ω− Ω− Γ=∫ ∫ ∫ε Dε u B u p
Prof. Henrique Mariano C. AmaralProf. Henrique Mariano C. Amaral 8787
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Fundamentos da Teoria das EstruturasFundamentos da Teoria das Estruturas
 NotaNota--se que a energia potencial se que a energia potencial ΠΠpp
depende somente dos deslocamentos depende somente dos deslocamentos 
uu. Assim a expressão de . Assim a expressão de δΠδΠpp implica implica 
uma condiuma condiçção a ser aplicada sobre os ão a ser aplicada sobre os 
deslocamentos.deslocamentos.
 Por outro lado esse princPor outro lado esse princíípio foi pio foi 
deduzido a partir do PDVdeduzido a partir do PDV-- princprincíípio dos pio dos 
deslocamentos virtuais, que representa deslocamentos virtuais, que representa 
um requerimento de equilum requerimento de equilííbriobrio
Prof. Henrique Mariano C. AmaralProf. Henrique Mariano C. Amaral 8888
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Fundamentos da Teoria das EstruturasFundamentos da Teoria das Estruturas
 Disso se conclui o princDisso se conclui o princíípio de pio de 
Lagrange.Lagrange.
 Para se certificar da natureza do ponto Para se certificar da natureza do ponto 
estacionestacionáário rio éé necessnecessáário estudar o rio estudar o 
sinal da segunda variasinal da segunda variaçção da energia ão da energia 
potencial:potencial:
 que que éé a expressão que define uma a expressão que define uma 
forma quforma quáádrica.drica.
2 T
p dδ δ δ
Ω
Π = Ω∫ ε D ε
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Fundamentos da Teoria das EstruturasFundamentos da Teoria das Estruturas
 Na expressão da forma quNa expressão da forma quáádricadrica
 A matriz A matriz DD éé positiva definida para positiva definida para 
materiais estmateriais estááveis, logo veis, logo δδ22ΠΠpp serseráá
sempre positivasempre positiva; portanto o princ; portanto o princíípio da pio da 
energia potencia menergia potencia míínima indica que o nima indica que o 
campo de deslocamentos produzidos campo de deslocamentos produzidos 
por tensões em equilpor tensões em equilííbrio corresponde brio corresponde 
a um ma um míínimo da energia potencial.nimo da energia potencial.
p
Ω
2 T dδ δ δΠ = Ω∫ ε D ε
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O
Exemplo
• Considere o caso de uma viga 
prismática como a indicada abaixo:
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O
Exemplo
• Desprezando as deformações por 
efeito de corte, se tem:
( )
0xy
v u
x y
v dvv v x
x dx
γ
θ
∂ ∂= + =∂ ∂
∂∴ = ⇒ =+ =∂
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O
Exemplo
• onde θ é a inclinação da linha neutra 
deformada, e
• e mais, como:
dvu y u y
dx
θ=− ⇒ =−
2
2x x
du d vy
dx dx
ε ε= ⇒ =−
Prof. Henrique Mariano C. Amaral 93
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Exemplo
• Por outro lado se tem:
• Com o que a energia de deformação 
da viga resulta ser:
• Donde, o momento de inércia da seção 
x xEσ ε=
2 2
2 2
22
2
0 h b
1 1
2 2
h bL
transversal da viga é:
i x x
d vd E y
⎛ ⎞
dxdydz
dx
ε σ ⎟⎜
Ω − −
∫ ⎟Π = Ω= −⎜ ⎟⎜ ⎟⎜⎝ ⎠∫ ∫ ∫
2 2
2 2
2
h b
h b
y dydz I
− −
=∫ ∫
Prof. Henrique Mariano C. Amaral 94
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M
 
 
 
P
 
 
 
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O
Exemplo
• Dessa forma, se tem:
• Assim, a energia potencial da viga 
prismática será:
22
2
0
1
2
L
i
d vEI dx
dx
⎛ ⎞⎟⎜ ⎟Π = ⎜ ⎟⎜ ⎟⎜⎝ ⎠∫
22
2
0 0
1
2
L L
p i e
d vEI dx pvdx
dx
⎛ ⎞⎟⎜ ⎟Π =Π +Π = −⎜ ⎟⎜ ⎟⎜⎝ ⎠∫ ∫
Prof. Henrique Mariano C. Amaral 95
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P
 
 
 
L
 
 
 
O
Exemplo
• A primeira variação δΠp resulta:
• A
2 2
2 2
0 0
L L
p
d v d vEI dx p vdx
dx dx
δ δ δ⎛ ⎞ ⎛ ⎞⎟ ⎟⎜ ⎜⎟ ⎟Π = −⎜ ⎜⎟ ⎟⎜ ⎜⎟ ⎟⎜ ⎜⎝ ⎠ ⎝ ⎠
 segunda variação δ2Πp resulta:
∫ ∫
22
2
2
0
0
L
p
d vEI dx
dx
δ δ⎛ ⎞⎟⎜ ⎟Π = >⎜ ⎟⎜ ⎟⎜⎝ ⎠∫
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PrincPrincíípios Variacionaispios Variacionais
PrincPrincíípio de pio de CastiglianoCastigliano
PrincPrincíípio da Energia pio da Energia 
Complementar MComplementar Míínimanima
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Fundamentos da Teoria das EstruturasFundamentos da Teoria das Estruturas
 O PrincO Princíípio de pio de CastiglianoCastigliano pode ser pode ser 
formulado como o princformulado como o princíípio da energia pio da energia 
complementar mcomplementar míínima:nima:
 ““Dentre todos os estados estaticamente Dentre todos os estados estaticamente 
admissadmissííveis, o estado real veis, o estado real éé aquele que aquele que 
minimiza a energia complementar:minimiza a energia complementar:
 Onde Onde ΠΠ**ii por definipor definiçção ão éé a variaa variaçção da energia ão da energia 
complementar de tensõescomplementar de tensões ΠΠ**ee éé igual ao igual ao 
incremento do potencial complementar das incremento do potencial complementar das 
forforçças externasas externas””
* * * mínimoi eΠ =Π +Π =
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Fundamentos da Teoria das EstruturasFundamentos da Teoria das Estruturas
 Isto Isto éé::
( )* *i
*
u uΓ Γ
T T T
e
W d
d d
Ω
Π = Ω
Π =− Γ=− Γ
∫ σ
∫ ∫p u σ n u
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Fundamentos da Teoria das EstruturasFundamentos da Teoria das Estruturas
 Se as condiSe as condiçções de contorno ões de contorno 
cinemcinemááticas prescritas sobre ticas prescritas sobre ΓΓuu forem forem 
homogêneas, isto homogêneas, isto éé, , ūū = 0= 0, então a , então a 
energia potencial complementar das energia potencial complementar das 
forforçças externas (trabalho as externas (trabalho 
complementar) complementar) éé nulo e então:nulo e então:
* * mínimoiΠ =Π =
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Fundamentos da Teoria das EstruturasFundamentos da Teoria das Estruturas
 Os estados estaticamente admissOs estados estaticamente admissííveis veis 
precisam satisfazer precisam satisfazer 
 as condias condiçções de equilões de equilííbrio internas ao brio internas ao 
corpo (equacorpo (equaçções não homogêneas de ões não homogêneas de 
Cauchy) e sobre parte de seu contorno Cauchy) e sobre parte de seu contorno 
(condi(condiçções de contorno estões de contorno estááticas sobre ticas sobre 
ΓΓpp). ). 
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Fundamentos da Teoria das EstruturasFundamentos da Teoria das Estruturas
 Então para que o funcional Então para que o funcional ΠΠ** seja seja 
mmíínimo nimo éé necessnecessáário que sua primeira rio que sua primeira 
variavariaçção seja nula, isto ão seja nula, isto éé::
( )
( )
* *
*
0
u
u
T
T T
W d d
W
d d
δ δ
δ δ
Ω Γ
Ω Γ
⎛ ⎞⎟⎜ ⎟⎜Π = Ω− Γ =⎟⎜ ⎟⎜ ⎟⎟⎜⎝ ⎠
∂
= Ω− Γ=∂
∫ ∫
∫ ∫
σ p u
σ
σ p u
σ
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Fundamentos da Teoria das EstruturasFundamentos da Teoria das Estruturas
 Substituindo a derivada parcial do Substituindo a derivada parcial do 
potencial complementar pela equapotencial complementar pela equaçção ão 
constitutiva correspondente, se tem:constitutiva correspondente, se tem:
( )*
0
*
*
0
0
u
u
T Td d
T T
W
d d
δ δ δ
= = +∂
Π = Ω− Γ=
δ δ δ
Ω Γ
Ω Γ
∂
Π = Ω− Γ=
∫ ∫
ε Cσ ε
σ
σ ε p u
∫ ∫
σ
σ Cσ p u
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Fundamentos da Teoria das EstruturasFundamentos da Teoria das Estruturas
 Assim, tanto o PFV quanto o principio Assim, tanto o PFV quanto o principio 
da energia complementar mda energia complementar míínima nima 
levam levam ààs mesmas equas mesmas equaçções:ões:
 EquaEquaçções deformaões deformaççãoão--deslocamento (ou deslocamento (ou 
apapóós a eliminas a eliminaçção dos deslocamentos, ão dos deslocamentos, ààs s 
equaequaçções de compatibilidade), eões de compatibilidade), e
 CondiCondiçções de contorno cinemões de contorno cinemááticas.ticas.
Prof. Henrique Mariano C. AmaralProf. Henrique Mariano C. Amaral 104104
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Fundamentos da Teoria das EstruturasFundamentos da Teoria das Estruturas
 AssimAssim
O PDV e o princO PDV e o princíípio variacional de pio variacional de 
Lagrange estabelecem a base para o Lagrange estabelecem a base para o 
mméétodo dos deslocamentostodo dos deslocamentos na na 
analise estrutural, pois o principio da analise estrutural, pois o principio da 
energia potencial menergia potencial míínima que o nima que o 
envolve envolve éé um requisito de equilum requisito de equilííbrio;brio;
Prof. Henrique Mariano C. AmaralProf. Henrique Mariano C. Amaral 105105
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Fundamentos da Teoria das EstruturasFundamentos da Teoria das Estruturas
 Similarmente, o PFV e o principio Similarmente, o PFV e o principio 
variacional de variacional de CastiglianoCastigliano estabelece estabelece 
a base do a base do mméétodo das fortodo das forççasas na na 
analise estrutural, pois o principio da analise estrutural, pois o principio da 
energia complementar menergia complementar míínima nima éé uma uma 
exigência de compatibilidade do exigência de compatibilidade do 
estado de deformaestado de deformaçções.ões.
Prof. Henrique Mariano C. AmaralProf. Henrique Mariano C. Amaral 106106
PrincPrincíípios Variacionaispios Variacionais
PrincPrincíípio de pio de 
HellingerHellinger--ReissnerReissner
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Fundamentos da Teoria das EstruturasFundamentos da Teoria das Estruturas
 O funcional correspondente ao O funcional correspondente ao 
princprincíípio variacional de pio variacional de HellingerHellinger--
ReissnerReissner, ou princ, ou princíípio geral, envolve pio geral, envolve 
tanto equiltanto equilííbrio como compatibilidade, brio como compatibilidade, 
e nele se pode variar tanto as tensões e nele se pode variar tanto as tensões 
e fore forçças como os deslocamentos.as como os deslocamentos.
Prof. Henrique Mariano C. AmaralProf. Henrique Mariano C. Amaral 108108
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Fundamentos da Teoria das EstruturasFundamentos da Teoria das Estruturas
 A expressão matemA expressão matemáática do princtica do princíípio pio 
variacional de variacional de HellingerHellinger--ReissnerReissner éé::
( )
( )
*
0R
T T Td W d d
p u
R
T T Td d
δ
Ω Ω Ω
Γ Γ
Π =
∴Π = ∂ Ω− Ω− Ω
− Γ− − Γ
∫ ∫ ∫σ u σ u B
∫ ∫u p σ n u u
Prof. Henrique Mariano C. AmaralProf. Henrique Mariano C. Amaral 109109
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Fundamentos da Teoria das EstruturasFundamentos da Teoria das Estruturas
 No No princprincíípio variacional de pio variacional de 
HellingerHellinger--ReissnerReissner os campos os campos uu e e σσ
são independentes e requer que as são independentes e requer que as 
equaequaçções constitutivas sejam ões constitutivas sejam 
satisfeitas a priori e levam satisfeitas a priori e levam ààs seguintes s seguintes 
condicondiçções de estacionariedade:ões de estacionariedade:
 EquaEquaçções de Cauchy;ões de Cauchy;
 RelaRelaçções tensãoões tensão--deslocamento;deslocamento;
 CondiCondiçções de contorno
estões de contorno estááticas sobre ticas sobre ΓΓpp;;
 CondiCondiçções de contorno cinemões de contorno cinemááticas sobre ticas sobre 
ΓΓuu..
Prof. Henrique Mariano C. Amaral 110
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Fundamentos da Teoria das Estruturas
• Exemplo
• Seja a viga prismática abaixo com 
inércia constante::
Prof. Henrique Mariano C. Amaral 111
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Fundamentos da Teoria das Estruturas
• A energia potencial, neste caso é
• Para aplicar o método de Rayleigh-Ritz 
escolhe-se como primeira aproximação 
a família de funções
• Que cumpre as condições de contorno 
essenciais do problema.
22
2
0 0
1
2
L L
p
d vEI dx pvdx
dx
⎛ ⎞⎟⎜ ⎟Π = −⎜ ⎟⎜ ⎟⎜⎝ ⎠∫ ∫
2v xα=
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O
Fundamentos da Teoria das Estruturas
• O funcional aproximado será, então
• Aplicando a condição de ponto 
estacionário se tem:
2 3
0 0
1 14 2
2 3
L L
p EI dx pvdx EIL pLπ α α α= − = −∫ ∫
3 2
4 0
3 12p
pL pLEIL a
EI
δπ α δ α⎛ ⎞⎟⎜ ⎟= − = ⇒ =⎜ ⎟⎜ ⎟⎜⎝ ⎠
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Fundamentos da Teoria das Estruturas
• Levando esse resultado à função de 
aproximação, se tem:
• Essa solução aproximada não é muito 
boa, pois produz um momento fletor 
constante. Assim é necessário uma 
aproximação com um número maior de 
termos.
2 2
2 2
212
pL d vv x M EI pL
EI dx
= ⇒ = =
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Fundamentos da Teoria das Estruturas
• Seja agora a aproximação:
• que substituindo em 
fica:
2 3
1 2v x xα α= +
( ) ( )( )
( ) ( )
2 2 31
1 2 1 22
0
2 2 2 3 3 41 1 1
1 1 2 2 1 22 3 4
2 6
4 6 6
L
p
p
EI x p x x dx
EI L L L p L L
α α α α
α α α α α α
Π = + − +
Π = + + − +
∫
22
2
0 0
1
2
L L
p
d vEI dx pvdx
dx
⎛ ⎞⎟⎜ ⎟Π = −⎜ ⎟⎜ ⎟⎜⎝ ⎠∫ ∫
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Fundamentos da Teoria das Estruturas
• Aplicando a condição de estacionariedade, 
se tem
• Que equivale a zerar cada parcela do 
funcional Πp:
1 2
1 2
p p
pδ δα δαα α
∂Π ∂ΠΠ = +∂ ∂
( )
( )
2 31
1 2 3
1
2 3 1
1 2 4
2
4 6 0
6 12 0
p
p
EI L L pL
EI L L p
α αα
α αα
∂Π
= + − =∂
∂Π
= + − =∂
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Fundamentos da Teoria das Estruturas
• Resolvendo as duas equações lineares, 
se obtém:
25
• Que produz no ponto x = L o valor exato 
do deslocamento, mas não o valor do 
momento:
1
2
2
524
12 2
oL ⎫⎪⎪
12
pLxEI v Lx x
EIpL
EI
α
α
= ⎪ ⎛ ⎞⎪⎪ ⎟⎜⇒ = − ⎟⎬ ⎜ ⎟⎜⎪ ⎝ ⎠⎪=− ⎪⎪⎪⎭
4
8x L
pLv
EI=
=
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Fundamentos da Teoria das Estruturas
• Seja agora uma terceira aproximação:
• Fazendo os mesmos procedimentos 
realizados anteriormente, se encontra:
2 3 4
1 2 3v x x xα α α= + +
2 2 2
4 6 24
px L Lx xv
EI
⎛ ⎞⎟⎜ ⎟= − +⎜ ⎟⎜ ⎟⎜⎝ ⎠
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Fundamentos da Teoria das Estruturas
• Esta solução
• Corresponde à uma solução exata 
(dentro de um intervalo de erro 
admissível) para o problema dado.
• Usando o MathCad mostra-se a seguir 
uma tabela comparativa dos valores do 
deslocamento e momento, para as tres
aproximações consideradas.
2 2 2
4 6 24
px L Lx xv
EI
⎛ ⎞⎟⎜ ⎟= − +⎜ ⎟⎜ ⎟⎜⎝ ⎠
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1ª aproximação: 2ª aproximação: 3ª aproximação:
v1 x( )
p L2⋅
12 E⋅ I⋅ x
2⋅:= v2 x( ) p L⋅ x⋅
12 E⋅ I⋅
5
2
⎛⎜⎝
⎞
⎠ L⋅ x⋅ x
2−⎡⎢⎣
⎤⎥⎦⋅:= v3 x( ) p x
2⋅
E I⋅
L2
4
L x⋅
6
− x
2
24
+⎛⎜⎝
⎞
⎠⋅:=
0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 10
0.01
0.02
0.03
0.04
0.05
0.06
0.07
0.08
0.09
0.1
0.11
0.12
0.13
0.14
Deslocamentos v
v1 x( )
v2 x( )
v3 x( )
x
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Fundamentos da Teoria das Estruturas
Mometos Fletores
m1 x( ) 2x
v1 x( )d
d
2:= m1 x( ) 1
6
→
m2 x( ) 2x
v2 x( )d
d
2:= m2 x( ) 5
12
1
2
x⋅−→
m3 x( ) 2x
v3 x( )d
d
2:= m3 x( ) 1
2
1
3
x⋅− 1
6
x2⋅+ 4 x⋅ 1−
6
1
12
x⋅+⎛⎜⎝
⎞
⎠⋅+→
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0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 1
0.1
0.04
0.02
0.08
0.14
0.2
0.26
0.32
0.38
0.44
0.5
Momentos Fletores
0.5
0.083−
m1 x( )
m2 x( )
m3 x( )
L0 x
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Fundamentos da Teoria das
Estruturas
Funcional 
J1 x( )
1
2
E⋅ I⋅
L
x2x
0
v1 x( )d
d
2⎛⎜⎜⎝
⎞
⎠
2⌠⎮
⎮ d⋅⎮ 0⌡
L
xp v1 x( )⋅⌠⎮⌡ d−:= J1 x( )
1−
72
→
J2 x( )
1
2
E⋅ I⋅
0
L
x2x
v2 x( )d
d
2⎛⎜⎜⎝
⎞
⎠
2⌠⎮
⎮
⎮⌡
d⋅
0
L
xp v2 x( )⋅⌠⎮⌡ d−:= J2 x( )
7−
288
→
J3 x( )
1
2
E⋅ I⋅
0
L
x2x
v3 x( )d
d
2⎛⎜⎜⎝
⎞
⎠
2⌠⎮
⎮
⎮⌡
d⋅
0
L
xp v3 x( )⋅⌠⎮⌡ d−:= J3 x( )
1−
40
→
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Fundamentos da Teoria das Estruturas
• Seja agora a viga prismática indicada 
abaixo (L=10 e p=10):
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Fundamentos da Teoria das Estruturas
• Neste exemplo, se sabe que o valor 
exato da fecha no ponto onde se aplica 
a carga concentrada é 1875.
• Para essa viga a expressão da energia 
potencial é:
22
2
0
1
2
L
p x L
d vEI dx Pv
dx =
⎛ ⎞⎟⎜ ⎟Π = −⎜ ⎟⎜ ⎟⎜⎝ ⎠∫
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Fundamentos da Teoria das Estruturas
• Se vê na expressão da energia 
potencial que a integral que define o 
potencial das forças externas se 
transformou em um termo simples, 
uma vez que a carga é concentrada e 
não distribuída.
22
2
0
1
2
L
p x L
d vEI dx Pv
dx =
⎛ ⎞⎟⎜ ⎟Π = −⎜ ⎟⎜ ⎟⎜⎝ ⎠∫
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O
Fundamentos da Teoria das Estruturas
• Como a viga tem dois trechos com 
inércia diferente, o potencial 
anterior pode ser reescrito como:
( ) ( )
2 22 2 2
1 2
22 21 2
0 2
1 1
2 2 x L
L L
p
L
d v d vEI dx EI dx Pv
dx dx =
⎛ ⎞ ⎛ ⎞⎟ ⎟⎜ ⎜⎟ ⎟Π = − −⎜ ⎜⎟ ⎟⎜ ⎜⎟ ⎟⎜ ⎜⎝ ⎠ ⎝ ⎠∫ ∫
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Fundamentos da Teoria das Estruturas
• Pelo fato da existência de uma 
descontinuidade em L/2 é necessário 
que a derivada segunda de v também 
a represente; 
• Logo é necessário que se trabalhe 
com duas funções de aproximação, 
uma no intervalo de 0 a L/2 e outra no 
intervalo L/2 a L, ambas porem 
satisfazendo as condições de 
continuidade em x=L/2.
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Fundamentos da Teoria das Estruturas
• Assim, seja as seguintes funções de 
aproximação:
( )
( )
2
1 1
2
2 2 3 4
0,
2
,
2
Lv x x x
Lv x x x x L
α
α α α
⎡ ⎞⎟⎢= ∀ ∈ ⎟⎟⎢ ⎠⎣
⎛ ⎤⎜ ⎥= + + ∀ ∈⎜⎜ ⎥⎝ ⎦
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P
 
 
 
L
 
 
 
O
Fundamentos da Teoria das Estruturas
• Essas funções precisam cumprir, como 
citado, as seguintes condições de 
continuidade:
( )
( )
2 2
1 2 1 2 3 4
1 2
1 2 3
2 2
3 1 2
21
4 1 22
2 2 4 4 2
L Lx x
L L L L Lv x v x
dv dv L L
dx dx
L
L
α α α α
α α α
α α α
α α α
= =
⎛ ⎞ ⎛ ⎞⎟ ⎟⎜ ⎜= = = ⇒ = + +⎟ ⎟⎜ ⎜⎟ ⎟⎜ ⎜⎝ ⎠ ⎝ ⎠
⎛ ⎞ ⎛ ⎞⎟ ⎟⎜ ⎜= ⇒ = +⎟ ⎟⎜ ⎜⎟ ⎟⎜ ⎜⎝ ⎠ ⎝ ⎠
⎧ = −⎪⎪∴⎨⎪ =− −⎪⎩
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O
Fundamentos da Teoria das Estruturas
• Assim, eliminando α3 e α4, se obtém 
as seguintes expressões para v1 e v2
respectivamente:
( )
( )
2
1 1
2 2
2
2 1 2
0,
2
,
2 2 2
Lv x x x
L L Lv x Lx Lx x x L
α
α α
⎡ ⎞⎟⎢= ∀ ∈ ⎟⎟⎢ ⎠⎣
⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎤⎟ ⎟⎜ ⎜ ⎜⎟ ⎟ ⎥= − + − + ∀ ∈⎜ ⎜ ⎜⎟ ⎟ ⎜⎜ ⎜⎟ ⎟⎜ ⎜ ⎥⎝⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎦
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Fundamentos da Teoria das Estruturas
• Fazendo todo o procedimento:
– Substitui no funcional Π;
– Acha a condição de estacionariedade: ;
– Acha os valores dos coeficientes αi;
0
iα
∂Π =∂
– Substitui αi nas equações das funções de aproximação
• Se obtém a seguinte solução:
( )
( )
2
1
2
2
2
3
16
3
16 2 8 2
PLv x x
PL L PL Lv x Lx Lx x
=
⎛ ⎞⎛ ⎞ ⎟⎜⎟⎜ ⎟= − + − +⎟ ⎜⎜ ⎟⎟⎜ ⎜ ⎟⎜⎝ ⎠ ⎝ ⎠
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P
 
 
 
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O
Fundamentos da Teoria das Estruturas
• Se adotarmos polinômios de terceiro 
grau, e procedendo de forma similar, 
se obtém a seguinte solução:
( ) 2
( )
1
2 3
2
2
2 3
2 2 3
4 12
3PL L P
PL Pv x x x= −
L
4 4 12 4 4
4
2 4 6 4 3
v x Lx L x
⎛ ⎞ ⎛ ⎞⎟ ⎟⎜ ⎜⎟ ⎟= − − −
PL L P LLx x L x x
+⎜ ⎜⎟ ⎟⎜ ⎜⎟ ⎟⎜ ⎜⎝ ⎠ ⎝ ⎠
⎛ ⎞ ⎛ ⎞⎟ ⎟⎜ ⎜⎟ ⎟+ − − + − −⎜ ⎜⎟ ⎟⎜ ⎜⎟ ⎟⎜ ⎜⎝ ⎠ ⎝ ⎠
Prof. Henrique Mariano C. AmaralProf. Henrique Mariano C. Amaral 133133
Fundamentos da Teoria Fundamentos da Teoria 
das Estruturasdas Estruturas
Resumo do ProcessoResumo do Processo
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Fundamentos da Teoria das EstruturasFundamentos da Teoria das Estruturas
 Pelo que foi visto atPelo que foi visto atéé aqui podeaqui pode--se se 
afirmar que o processo de soluafirmar que o processo de soluçção ão éé o o 
seguinte:seguinte:
 1 1 –– DeterminaDetermina--se o princse o princíípio variacional pio variacional 
que rege o problema, atravque rege o problema, atravéés de um s de um 
funcional funcional ΠΠ;;
 2 2 –– DesenvolveDesenvolve--se a funse a funçção bão báásica sica uu em em 
sséérie aproximandorie aproximando--a por a por 
0
n
i i
i
u αϕ
=
≈∑
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Fundamentos da Teoria das EstruturasFundamentos da Teoria das Estruturas
 3 3 –– Substitui a funSubstitui a funçção ão uu e suas derivadas e suas derivadas 
no funcional pela funno funcional pela funçção aproximada, a ão aproximada, a 
qual deve satisfazer as condiqual deve satisfazer as condiçções de ões de 
admissibilidade e de contorno;admissibilidade e de contorno;
 4 4 –– AchaAcha--se a condise a condiçção de ão de 
estacionariedade do funcional estacionariedade do funcional ΠΠ::
1 2
1 2
0i
i
δ δα δα δα δα α α
∂Π ∂Π ∂Π ∂ΠΠ= + + + + = =∂ ∂ ∂ ∂ αα" "
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Fundamentos da Teoria das EstruturasFundamentos da Teoria das Estruturas
 5 5 –– DaDaíí se obtse obtéém um sistema de m um sistema de 
equaequaçções algões algéébricas, das quais se pode bricas, das quais se pode 
determinar os parâmetros determinar os parâmetros ααii..
1
0
n
α
α
⎧ ⎫⎪ ⎪∂Π⎪ ⎪⎪ ⎪⎪ ⎪∂⎪ ⎪⎪ ⎪⎪ ⎪∂Π ⎪ ⎪⎪ ⎪= =⎨ ⎬⎪ ⎪∂ ⎪ ⎪⎪ ⎪⎪ ⎪∂Π⎪ ⎪⎪ ⎪⎪ ⎪∂⎪ ⎪⎪ ⎪⎩ ⎭
α
#
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Fundamentos da Teoria das EstruturasFundamentos da Teoria das Estruturas
 6 6 –– Se o funcional Se o funcional ΠΠ éé de segunda grau, de segunda grau, 
isto isto éé, as fun, as funçções ões uu e suas derivadas e suas derivadas 
aparecem com expoentes menores ou aparecem com expoentes menores ou 
iguais a dois, se diz que o funcional iguais a dois, se diz que o funcional ΠΠ éé
linear, e podelinear, e pode--se reescrever sua variase reescrever sua variaçção ão 
da seguinte forma:da seguinte forma:
∂Π = + =∂ Kα f 0α
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Fundamentos da Teoria das EstruturasFundamentos da Teoria das Estruturas
 Vale observar, antes de concluir esta Vale observar, antes de concluir esta 
aula, que as equaaula, que as equaçções que se obtões que se obtéém m 
por meios variacionais são simpor meios variacionais são siméétricas tricas 
mas tambmas tambéém têm outras vantagens, m têm outras vantagens, 
como a de se poder escrever o como a de se poder escrever o 
funcional funcional ΠΠ de forma aproximada, da de forma aproximada, da 
seguinte forma:seguinte forma:
1
2Π= +T Tα Kα α f
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