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Prof. Henrique Mariano C. AmaralProf. Henrique Mariano C. Amaral 11
Teoria das Estruturas de Teoria das Estruturas de
Comportamento LinearComportamento Linear
FundamentosFundamentos
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Fundamentos da Teoria das EstruturasFundamentos da Teoria das Estruturas
O objeto da O objeto da Teoria das EstruturasTeoria das Estruturas éé a a
ananáálise estrutural, isto lise estrutural, isto éé, a , a
determinadeterminaçção dos estados de tensão e ão dos estados de tensão e
deformadeformaçção que se instalam numa ão que se instalam numa
estrutura como resposta a uma dada estrutura como resposta a uma dada
solicitasolicitaçção.ão.
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Fundamentos da Teoria das EstruturasFundamentos da Teoria das Estruturas
A linearidade do comportamento A linearidade do comportamento
mecânico mecânico éé uma hipuma hipóótese tese
perfeitamente vperfeitamente váálida para a maioria das lida para a maioria das
estruturas em funcionamento normal.estruturas em funcionamento normal.
Dessa forma a Dessa forma a Teoria da Elasticidade Teoria da Elasticidade
LinearLinear constitui o instrumento mais constitui o instrumento mais
importante da animportante da anáálise estruturallise estrutural
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Fundamentos da Teoria das EstruturasFundamentos da Teoria das Estruturas
A Teoria da Elasticidade Linear A Teoria da Elasticidade Linear éé pois, pois,
de toda a de toda a Mecânica dos SMecânica dos Sóólidos lidos
DeformDeformááveisveis, o ponto de partida , o ponto de partida
conveniente e o conjunto de sconveniente e o conjunto de sóólidos lidos
conceitos cuja aplicaconceitos cuja aplicaçção ão àà ananáálise lise
estrutural se destrutural se dáá pela discretizapela discretizaçção do ão do
problema contproblema contíínuo, mediante a nuo, mediante a
utilizautilizaçção do conceito lagrangiano de ão do conceito lagrangiano de
varivariáável generalizada.vel generalizada.
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Fundamentos da Teoria das EstruturasFundamentos da Teoria das Estruturas
As duas contribuiAs duas contribuiçções mais relevantes ões mais relevantes
àà Teoria das Estruturas nos Teoria das Estruturas nos úúltimos ltimos
anos, foram:anos, foram:
Teoremas Variacionais da Teoria da Teoremas Variacionais da Teoria da
ElasticidadeElasticidade, que se considera a base , que se considera a base
para se introduzir as teoria mais para se introduzir as teoria mais
modernas de aproximamodernas de aproximaçções, base para a ões, base para a
resoluresoluçção de problemas atravão de problemas atravéés de s de
computadores.computadores.
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Fundamentos da Teoria das EstruturasFundamentos da Teoria das Estruturas
Desenvolvimento do MDesenvolvimento do Méétodo dos todo dos
Elementos FinitosElementos Finitos, cuja importância , cuja importância éé
fundamental e imprescindfundamental e imprescindíível para o vel para o
estudo dos comportamento das estruturas estudo dos comportamento das estruturas
lineares e nãolineares e não--lineares; isso foi posslineares; isso foi possíível vel
com o desenvolvimento da matemcom o desenvolvimento da matemáática tica
computacional, ponto que permite computacional, ponto que permite
processos de discretizaprocessos de discretizaçção robustos e ão robustos e
representarepresentaçção grão grááficas dinâmicas dos ficas dinâmicas dos
campos de esforcampos de esforçços e solicitaos e solicitaçções.ões.
H
Slide 6
HMCdA1 Henrique Mariano Costa do Amaral; 29/6/2005
Prof. Henrique Mariano C. AmaralProf. Henrique Mariano C. Amaral 77
Teoria da ElasticidadeTeoria da Elasticidade
Fundamentos da Teoria Fundamentos da Teoria
das Estruturasdas Estruturas
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Fundamentos da Teoria das EstruturasFundamentos da Teoria das Estruturas
As incAs incóógnitas fundamentais na teoria gnitas fundamentais na teoria
da elasticidade são representadas por:da elasticidade são representadas por:
O vetor campo de deslocamento:O vetor campo de deslocamento:
O tensor campo de deformaO tensor campo de deformaçções:ões:
O tensor campo de tensões:O tensor campo de tensões:
{ }, , Tu v w=u
{ }, , , , , Tx y z yz zx xyε ε ε γ γ γ=ε
{ }, , , , , Tx y z yz zx xyσ σ σ τ τ τ=σ
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Fundamentos da Teoria das EstruturasFundamentos da Teoria das Estruturas
As 15 incAs 15 incóógnitas anteriores, definidas em gnitas anteriores, definidas em
um um domdomíínio nio ΩΩ com com contorno contorno ΓΓ, podem ser , podem ser
resolvidas pelas 15 equaresolvidas pelas 15 equaçções bões báásicas:sicas:
3 equa3 equaçções de equilões de equilííbrio (brio (EqEq. de Cauchy):. de Cauchy):
6 equa6 equaçções deformaões deformaççãoão--deslocamento:deslocamento:
6 equa6 equaçções constitutivas:ões constitutivas:
; 0como não há movimentoρ ρ∂ + = → =
∂ + =
σ B u u
σ B 0
�� ��
T−∂ =ε u 0
*W Wou∂ ∂= =∂ ∂σ εε σ
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Fundamentos da Teoria das EstruturasFundamentos da Teoria das Estruturas
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Fundamentos da Teoria das EstruturasFundamentos da Teoria das Estruturas
onde:onde:
WW e e WW** são potenciais acoplados pelo são potenciais acoplados pelo
que se chama de que se chama de transformada de transformada de
LegendreLegendre::
O vetor O vetor BB éé o vetor das o vetor das forforçças de corpoas de corpo::
( ) ( )* TW W+ =ε σ σ ε
{ }, , Tx y zB B B=B
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Fundamentos da Teoria das EstruturasFundamentos da Teoria das Estruturas
Nas equaNas equaçções constitutivas e
de ões constitutivas e de
deformadeformaççãoão--deslocamento, aparece um deslocamento, aparece um
operador matricial operador matricial ∂∂ definido por:definido por:
0 0 0
x x y
0 0 0
y z x
0 0 0
z y x
⎡ ⎤∂ ∂ ∂⎢ ⎥⎢ ⎥∂ ∂ ∂⎢ ⎥⎢ ⎥∂ ∂ ∂⎢ ⎥∂= ⎢ ⎥∂ ∂ ∂⎢ ⎥⎢ ⎥∂ ∂ ∂⎢ ⎥⎢ ⎥∂ ∂ ∂⎣ ⎦
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Fundamentos da Teoria das EstruturasFundamentos da Teoria das Estruturas
Como parte fundamental da Como parte fundamental da
formulaformulaçção baseada sobre equaão baseada sobre equaçções ões
diferenciais, são as condidiferenciais, são as condiçções de ões de
contorno prescritas sobre o contorno contorno prescritas sobre o contorno
ΓΓ = = ΓΓu u ∪∪ ΓΓpp; onde; onde
ΓΓu u denota o contorno onde denota o contorno onde
deslocamentos são prescritos e deslocamentos são prescritos e
ΓΓpp denota o contorno onde tradenota o contorno onde traçções são ões são
prescritas;prescritas;
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Fundamentos da Teoria das EstruturasFundamentos da Teoria das Estruturas
Assim, se tem as seguintes condiAssim, se tem as seguintes condiçções ões
de contorno:de contorno:
3 condi3 condiçções de contorno estões de contorno estááticas sobre ticas sobre
ΓΓpp ::
3 condi3 condiçções de contorno cinemões de contorno cinemááticas ticas
sobre sobre ΓΓuu ::
são valores prescritos− = ∴nσ p 0 p
são valores prescritos− = ∴u u 0 u
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Fundamentos da Teoria das EstruturasFundamentos da Teoria das Estruturas
Nas equaNas equaçções de contorno aparece ões de contorno aparece
uma matriz denotada por uma matriz denotada por nn que que éé a a
matriz dos comatriz dos co--senos diretores, que tem senos diretores, que tem
estrutura similar a matriz estrutura similar a matriz ∂∂::
0 0 0
0 0 0
0 0 0
x z y
y z x
z y x
n n n
n n n
n n n
⎡ ⎤⎢ ⎥⎢ ⎥= ⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥⎣ ⎦
n
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Fundamentos da Teoria das EstruturasFundamentos da Teoria das Estruturas
O campo de tensão O campo de tensão σσ e o campo de e o campo de
deslocamentos deslocamentos uu são acoplados por uma são acoplados por uma
relarelaçção integral chamada de ão integral chamada de teorema da teorema da
divergênciadivergência ou ou teorema da teorema da ClapeyronClapeyron::
Que pode ser interpretado como uma igualdade Que pode ser interpretado como uma igualdade
entre o trabalho interno (lado esquerdo) e o entre o trabalho interno (lado esquerdo) e o
externo realizado por forexterno realizado por forçças de superfas de superfíície e de cie e de
corpo.corpo.
T T T Td d d
Ω Γ Ω
∂ Ω= Γ− ∂ Ω∫ ∫ ∫σ u u nσ u σ
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Teoria da ElasticidadeTeoria da Elasticidade
EquaEquaçções Constitutivas para ões Constitutivas para
Materiais AnisotrMateriais Anisotróópicospicos
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Fundamentos da Teoria das EstruturasFundamentos da Teoria das Estruturas
Um material linear elUm material linear eláástico stico éé
caracterizado pela caracterizado pela densidade de densidade de
energia de deformaenergia de deformaççãoão::
onde onde DD éé uma matriz simuma matriz siméétrica de trica de
ordem 6, representando a matriz de ordem 6, representando a matriz de
rigidez do material.rigidez do material.
( ) ( ) ( )0 0
1
2
TW D= − −ε ε ε ε ε
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Fundamentos da Teoria das EstruturasFundamentos da Teoria das Estruturas
Para materiais anisotrPara materiais anisotróópicos, a matriz picos, a matriz DD
tem tem 2121 elementos independentes ou elementos independentes ou
constantes elconstantes eláásticas.sticas.
O vetor de deformaO vetor de deformaçção inicial ão inicial εε00
representa os efeitos devido a mudanrepresenta os efeitos devido a mudançças as
de temperaturas, contrade temperaturas, contraçções, etc.ões, etc.
Por exemplo, para dilataPor exemplo, para dilataçção devido a ão devido a
temperatura se tem:temperatura se tem:
{ }0 0 0 0, , ,0,0,0
T
x y zε ε ε ε=
0 0 0; ; ;x x y y z zsT T Tε α ε α ε α= = =
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Fundamentos da Teoria das EstruturasFundamentos da Teoria das Estruturas
Onde Onde TT éé a variaa variaçção de temperatura ão de temperatura
em Kelvin e em Kelvin e ααxx, , ααyy, , ααzz são os são os
coeficientes de expansão tcoeficientes de expansão téérmica em rmica em
[K[K--11];];
Para materiais construtivos comuns Para materiais construtivos comuns
(a(açço, concreto) podeo, concreto) pode--se fazer:se fazer:
ααxx = = ααyy = = ααz z = 0,000012=12x10= 0,000012=12x10--66
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Fundamentos da Teoria das EstruturasFundamentos da Teoria das Estruturas
Combinando a funCombinando a funçção densidade de ão densidade de
energia de deformaenergia de deformaççãoão
com as equacom as equaçções constitutivas , obtões constitutivas , obtéémm--
sese
( )0
0
W∂= = −∂
⇒ = +-1
σ D ε ε
ε
ε D σ ε
( ) ( ) ( )0 0
1
2
TW D= − −ε ε ε ε ε
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Fundamentos da Teoria das EstruturasFundamentos da Teoria das Estruturas
Usando a densidade de energia Usando a densidade de energia
complementar de uma material elcomplementar de uma material eláástico stico
linear, se tem:linear, se tem:
( )
*
*
0
* 1
0
1
2
T T
W d d
W −
∂= ⇒ + =∂
⇒ = + ∴ =
-1ε D σ ε σ W
σ
σ Cσ σ ε C D
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Fundamentos da Teoria das EstruturasFundamentos da Teoria das Estruturas
AnisotropiaAnisotropia total ocorre apenas para total ocorre apenas para
materiais especiais arranjados em um materiais
especiais arranjados em um
sistema triclsistema triclíínico.nico.
Um caso menos geral porUm caso menos geral poréém muito m muito
importante para a engenharia importante para a engenharia éé a a
anisotropia rômbicaanisotropia rômbica com três planos com três planos
ortogonais de simetria elortogonais de simetria eláástica, stica,
referenciado como referenciado como ortotropiaortotropia..
Prof. Henrique Mariano C. AmaralProf. Henrique Mariano C. Amaral 2424
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Fundamentos da Teoria das EstruturasFundamentos da Teoria das Estruturas
Usando as constantes tUsando as constantes téécnicas cnicas EE
(modulo de elasticidade), (modulo de elasticidade), νν (coeficiente (coeficiente
de Poisson) e de Poisson) e GG (modulo de (modulo de elasticielastici--
dadedade transversal), a matriz de transversal), a matriz de conforconfor--
midademidade do material, do material, CC, , éé expressa por:expressa por:
yz
zx
xy
1 0 0 0
1 0 0 0
1 0 0 0
0 0 0 1 G 0 0
0 0 0 0 1 G 0
0 0 0 0 0 1 G
x xy y xz z
yx x y yz z
zx x zy y z
E E E
E E E
E E E
ν ν
ν ν
ν ν
⎡ ⎤− −⎢ ⎥⎢ ⎥− −⎢ ⎥⎢ ⎥− −⎢ ⎥= ⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥⎣ ⎦
C
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Fundamentos da Teoria das EstruturasFundamentos da Teoria das Estruturas
Devido a simetria, a matriz C contDevido a simetria, a matriz C contéém m
apenas 9 constantes independentes, apenas 9 constantes independentes,
pois o bloco superior esquerdo de pois o bloco superior esquerdo de
elementos apresentam a seguinte elementos apresentam a seguinte
condicondiçção:ão:
xy x yx y
yz y zy z
zx z xz x
E E
E E
E E
ν ν
ν ν
ν ν
=
=
=
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Fundamentos da Teoria das EstruturasFundamentos da Teoria das Estruturas
Por inversão da matriz de Por inversão da matriz de
compatibilidade compatibilidade CC, se acha a matriz de , se acha a matriz de
rigidez do material rigidez do material DD::
yz
zx
xy
0 0 0
0 0 0
0 0 0
0 0 0 G 0 0
0 0 0 0 G 0
0 0 0 0 0 G
xx xy xz
yx yy yz
zx zy zz
d d d
d d d
d d d
⎡ ⎤⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥= ⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥⎣ ⎦
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Fundamentos da Teoria das EstruturasFundamentos da Teoria das Estruturas
DenotandoDenotando
Se pode escrever o seguinte:Se pode escrever o seguinte:
Os demais elementos podem ser Os demais elementos podem ser
obtidos por uma permutaobtidos por uma permuta
( ) ( )1 xy yx yz zy zx xz xy yz zx yx zy xzξ ν ν ν ν ν ν ν ν ν ν ν ν= − + + − +
( )1x zy yz
çção cão cííclica clica
dos dos ííndices.ndices.
( ) ( )
xx
xy x xy xz zy y yxd E E zx yz yz
d E
d
ξ ν ν
ξ ν ν ν ν ν= − = − ν ξ
= −
=
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Fundamentos da Teoria das EstruturasFundamentos da Teoria das Estruturas
Duas formulaDuas formulaçções especiais podem ser ões especiais podem ser
feitas para problemas bidimensionais:feitas para problemas bidimensionais:
Estado plano de deformaEstado plano de deformaççãoão, onde, onde
Estado plano de tensãoEstado plano de tensão, onde, onde
0z xz xzε γ γ= = =
0z xz xzσ τ τ= = =
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Fundamentos da Teoria das EstruturasFundamentos da Teoria das Estruturas
A descriA descriçção de ão de estado plano de estado plano de
deformadeformaççãoão éé baseado na redubaseado na reduçção da ão da
matriz matriz DD, ap, apóós o que as equas o que as equaçções ões
constitutivas ficam:constitutivas ficam:
0
0
0 0
x xx xy x
y yx yy y
xy xy xy
d d
d d
G
σ ε
σ ε
τ γ
⎧ ⎫ ⎡ ⎤⎧ ⎫⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎢ ⎥⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎢ ⎥=⎨ ⎬ ⎨ ⎬⎢ ⎥⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎢ ⎥⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎢ ⎥⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎩ ⎭ ⎣ ⎦⎩ ⎭
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Fundamentos da Teoria das EstruturasFundamentos da Teoria das Estruturas
As relaAs relaçções inversas têm a seguinte ões inversas têm a seguinte
forma:forma:
onde onde
0
0
0 0 1
x xx xy x
y yx yy y
xy xy xy
c c
c c
G
ε σ
ε σ
γ τ
⎧ ⎫ ⎡ ⎤⎧ ⎫⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎢ ⎥⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎢ ⎥=⎨ ⎬ ⎨ ⎬⎢ ⎥⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎢ ⎥⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎢ ⎥⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎩ ⎭ ⎣ ⎦⎩ ⎭
1
1
xz zx
xx
x
xy xz zy yx zx yz
xy yx
x y
yz zy
yy
y
c
E
c c
E E
c
E
ν ν
ν ν ν ν ν ν
ν ν
−=
− −
= =− =−
−
=
Prof. Henrique Mariano C. AmaralProf. Henrique Mariano C. Amaral 3131
F
u
n
d
a
m
e
n
t
o
s
d
a
T
e
o
r
i
a
d
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s
E
s
t
r
u
t
u
r
a
s
Fundamentos da Teoria das EstruturasFundamentos da Teoria das Estruturas
A descriA descriçção do estado plano de ão do estado plano de
tensões tensões éé baseado na redubaseado na reduçção da ão da
matriz matriz CC, ap, apóós o que as equas o que as equaçções ões
constitutivas são:constitutivas são:
1 0
1 0
0 0 1
x x xy y x
y yx x y y
xy xy xy
E E
E E
G
ε ν σ
ε ν σ
γ τ
⎧ ⎫ ⎡ ⎤⎧ ⎫⎪ ⎪ ⎪ ⎪−⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎢ ⎥⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎢ ⎥= −⎨ ⎬ ⎨ ⎬⎢ ⎥⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎢ ⎥⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎢ ⎥⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎩ ⎭ ⎣ ⎦⎩ ⎭
Prof. Henrique Mariano C. AmaralProf. Henrique Mariano C. Amaral 3232
F
u
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E
s
t
r
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s
Fundamentos da Teoria das EstruturasFundamentos da Teoria das Estruturas
Suas relaSuas relaçções inversa têm a seguinte ões inversa têm a seguinte
forma:forma:
ondeonde
0
0
0 0
x xx xy x
y yx yy y
xy xy xy
d d
d d
G
σ ε
σ ε
τ γ
⎧ ⎫ ⎡ ⎤⎧ ⎫⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎢ ⎥⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎢ ⎥=⎨ ⎬ ⎨ ⎬⎢ ⎥⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎢ ⎥⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎢ ⎥⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎩ ⎭ ⎣ ⎦⎩ ⎭
1
1 1
1
x
xx
xy yx
xy x yx y
xy yx
xy yx xy yx
y
yy
xy yx
Ed
E E
d d
E
d
ν ν
ν ν
ν ν ν ν
ν ν
= −
= = =− −
= −
Prof. Henrique Mariano C. AmaralProf. Henrique Mariano C. Amaral 3333
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Fundamentos da Teoria das EstruturasFundamentos da Teoria das Estruturas
Introduzindo o conceito de coeficiente Introduzindo o conceito de coeficiente
de Poisson equivalente, dado porde Poisson equivalente, dado por
As As úúltimas relaltimas relaçções constitutivas ões constitutivas
passam a ter a forma:passam a ter a forma:
xy yxν ν ν=
( )
2
1
4
0
1 0
1
0 0 2
x y x
x x
y x y y y
xy xy
x y y x
E E E
E E E
E E E E
νσ ε
σ ν εντ γν
⎡ ⎤⎧ ⎫ ⎧ ⎫⎢ ⎥⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎢ ⎥⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎢ ⎥=⎨ ⎬ ⎨ ⎬⎢ ⎥⎪ ⎪ ⎪ ⎪−⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎢ ⎥⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎢ ⎥⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎩ ⎭ ⎩ ⎭+ −⎢ ⎥⎣ ⎦
Prof. Henrique Mariano C. AmaralProf. Henrique Mariano C. Amaral 3434
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Fundamentos da Teoria das EstruturasFundamentos da Teoria das Estruturas
Em um Em um meio isotrmeio isotróópicopico, todas as , todas as
constantes do material são constantes do material são
independentes da orientaindependentes da orientaçção dos eixos ão dos eixos
coordenados; dessa forma se pode coordenados; dessa forma se pode
suprimir os suprimir os ííndices ndices xx e e yy, e as matrizes , e as matrizes
CC e e DD nos estados planos de tensão e nos estados planos de tensão e
deformadeformaçção são dadas a seguir. ão são dadas a seguir.
Observamos que:Observamos que:
( )2 1
EG ν= +
Prof. Henrique Mariano C. AmaralProf. Henrique Mariano C. Amaral 3535
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Fundamentos da Teoria das EstruturasFundamentos da Teoria das Estruturas
EPTEPT-- Estado Plano de TensãoEstado Plano de Tensão EPDEPD-- Estado Plano de DeformaEstado Plano de Deformaççãoão
CC
DD
( ) ( )
( ) ( )
1 0
2 1 2 1
1 1 0
2 1 2 1
0 0 1
G
ν
ν ν
ν
ν ν
⎛ ⎞− ⎟⎜ ⎟⎜ ⎟⎜ + + ⎟⎜ ⎟⎜ ⎟⎟⎜ ⎟⎜ − ⎟⎜ ⎟⎜ ⎟⎜ ⎟+ +⎜ ⎟⎟⎜ ⎟⎜ ⎟⎜ ⎟⎜ ⎟⎜ ⎟⎟⎜⎝ ⎠
1 0
2 2
1 1 0
2 2
0 0 1
G
ν ν
ν ν
⎛ ⎞− − ⎟⎜ ⎟⎜ ⎟⎜ ⎟⎜ ⎟⎜ ⎟⎟⎜ − − ⎟⎜ ⎟⎜ ⎟⎜ ⎟⎜ ⎟⎜ ⎟⎟⎜ ⎟⎜ ⎟⎜ ⎟⎜ ⎟⎜⎝ ⎠
( ) ( )
( ) ( )
2 2 0
1 1
2 2 0
1 1
0 0 1
G
ν
ν ν
ν
ν ν
⎛ ⎞⎟⎜ ⎟⎜ ⎟⎜ − − ⎟⎜ ⎟⎜ ⎟⎟⎜ ⎟⎜ ⎟⎜ ⎟⎜ ⎟⎜ ⎟− −⎜ ⎟⎟⎜ ⎟⎜ ⎟⎜ ⎟⎜ ⎟⎜ ⎟⎟⎜⎝ ⎠
( )
( )
2 1 2 0
1 2 1 2
2 12 0
1 2 1 2
0 0 1
G
ν ν
ν ν
νν
ν ν
⎛ ⎞− ⎟⎜ ⎟⎜ ⎟⎜ ⎟− −⎜ ⎟⎜ ⎟⎟⎜ ⎟−⎜ ⎟⎜ ⎟⎜ ⎟⎜ ⎟− −⎜ ⎟⎟⎜ ⎟⎜ ⎟⎜ ⎟⎜ ⎟⎜ ⎟⎟⎜⎝ ⎠
Prof. Henrique Mariano C. AmaralProf. Henrique Mariano C. Amaral 3636
Materiais ElMateriais Eláásticos sticos
LinearesLineares
TransformaTransformaçção de Equaão de Equaçções ões
Constitutivas para Materiais Constitutivas para Materiais
OrtotrOrtotróópicospicos
Prof. Henrique Mariano C. AmaralProf. Henrique Mariano C. Amaral 3737
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Fundamentos da Teoria das EstruturasFundamentos da Teoria das Estruturas
Em geral, os planos de simetria elEm geral, os planos de simetria eláástica não stica não
coincidem com os planos coordenados coincidem com os planos coordenados
globais, os quais servem como referencia globais, os quais servem como referencia
para uma estrutura por inteira. para uma estrutura por inteira.
Assim, Assim, éé necessnecessáário transformar a matriz de rio transformar a matriz de
rigidez do material rigidez do material DD (ou a matriz de (ou a matriz de
compatibilidade compatibilidade CC) do sistema de ) do sistema de
coordenadas local, no qual as constantes coordenadas local, no qual as constantes
eleláásticas foram determinadas, no sistema sticas foram determinadas, no sistema
de coordenadas global.de coordenadas global.
Prof. Henrique Mariano C. AmaralProf. Henrique Mariano C. Amaral 3838
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Fundamentos da Teoria das EstruturasFundamentos da Teoria das Estruturas
Essa transformaEssa transformaçção ão éé baseada na baseada na
expressão da densidade de energia de expressão da densidade de energia de
deformadeformaçção ão WW (ou na densidade de (ou na densidade de
energia complementar energia complementar WW**), a qual, ), a qual,
sendo um escalar, independe do sendo um escalar, independe do
sistema de coordenadas:sistema de coordenadas:
( )2 T T
T T
W ε = = =
= =
ε σ ε Dε
ε σ ε Dε
Prof. Henrique Mariano C. AmaralProf. Henrique Mariano C. Amaral 3939
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Fundamentos da Teoria das EstruturasFundamentos da Teoria das Estruturas
Supondo conhecida a matriz definida Supondo conhecida a matriz definida
com relacom relaçção ao sistema de ão ao sistema de
coordenadas local, se quer achar a coordenadas local, se quer achar a
matriz relacionada ao sistema de matriz relacionada ao sistema de
coordenadas global.coordenadas global.
Restringindo o foco Restringindo o foco àà descridescriçção planar ão planar
de um material de um material ortotrortotróópicopico se tem que se tem que
o tensor deformao tensor deformaçção ão éé transformado de transformado de
acordo com a conhecida facordo com a conhecida fóórmula:rmula:
D
D
Prof. Henrique Mariano C. AmaralProf. Henrique Mariano C. Amaral 4040
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Fundamentos da Teoria das EstruturasFundamentos da Teoria das Estruturas
Onde Onde s = s = sensen αα e e c = c = coscos αα
2 2
1
2 2
2
2 2
12 2 2
x x
y y
xy xy
c s cs
s c cs
cs cs c s
ε ε ε
ε ε ε
γ γ γ
⎡ ⎤⎧ ⎫ ⎧ ⎫⎧ ⎫⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎪ ⎪⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎢ ⎥⎪ ⎪⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎪ ⎪⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎢ ⎥= = −⎨ ⎬ ⎨ ⎬ ⎨ ⎬⎢ ⎥⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎢ ⎥− −⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎢ ⎥⎪ ⎪⎩ ⎭⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎩ ⎭ ⎩ ⎭⎣ ⎦
Prof. Henrique Mariano C. AmaralProf. Henrique Mariano C. Amaral 4141
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Fundamentos da Teoria das EstruturasFundamentos da Teoria das Estruturas
De forma compacta se tem:De forma compacta se tem:
Ou aindaOu ainda
Realizando as multiplicaRealizando as multiplicaçções matriciais ões matriciais
vêvê--se que:se que:
=ε Tε
T T T
T
=
⇒ =
ε Dε ε T DTε
D T DT
1 2= +D D D
Prof. Henrique Mariano C. AmaralProf. Henrique Mariano C. Amaral 4242
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Fundamentos da Teoria das EstruturasFundamentos da Teoria das Estruturas
Ou aindaOu ainda
onde onde
[ ] [ ]1 2 11 12 13 21 22 23D D D D D D= + = +D D D
( )
( )
( )
( )
2 2 2 2
22 12
4 2 2
12 22 12
4 2 2
22 12
2 2 2 2
11 22 12
3 2 2
22 12
3
3 2 2
22
2 2
22 12
3 2 2
13 22 12
12
4
4
2
2
4
2
2
4
d s G s c
D d s c G s c
d s c G sc c s
d s c G sc c s
D d sc G sc c s
d s c G s c
D d c G s c
d sc G sc c s
⎧ ⎫⎪ ⎪+⎪ ⎪⎪ ⎪⎪ ⎪⎪
⎧ ⎫⎪ ⎪+⎪ ⎪⎪ ⎪⎪ ⎪⎪ ⎪= −⎨ ⎬⎪ ⎪⎪ ⎪⎪ ⎪− − −⎪ ⎪⎪ ⎪⎩
⎪= −⎨ ⎬⎪ ⎪
⎭
− − −
=
⎪ ⎪⎪ ⎪− +
− +
− ⎪⎪ ⎪⎩
−
⎪ ⎭
( )22 2 2 222 12d s c G c s
⎧ ⎫⎪ ⎪⎪ ⎪⎪ ⎪⎪ ⎪⎪ ⎪⎪ ⎪⎨ ⎬⎪ ⎪⎪ ⎪⎪ ⎪⎪ ⎪+ −⎪ ⎪⎪ ⎪⎩ ⎭
( )
( )
( )
( )
( )
( )
( )
4 2 2
11 12
2 2 4 4
21 11 12
3
2 2 4 4
11 12
4 2 2
22 11 12
3 2 2
11 12
2 2
11 12
3 2 2
11 12
3 2 2
23 11 12
11 12
2
2
2
d s c d s c
D d s
d c d s c
D d s c d s c
d sc d sc c s
d s c
d s c d sc c
d sc d sc c s
D d s c c s
d d
s
d s c
⎧ ⎫⎪ ⎪+ +⎪ ⎪⎪ ⎪⎪ ⎪⎪ ⎪= +⎨ ⎬⎪ ⎪⎪ ⎪⎪ ⎪+ −⎪ ⎪⎪
⎧ ⎫⎪ ⎪+⎪ ⎪⎪ ⎪⎪ ⎪⎪ ⎪= + +⎨ ⎬⎪ ⎪⎪ ⎪⎪
⎪− −⎪ ⎪⎪ ⎪⎩ ⎭
− −
= + −
−
⎪⎩ ⎭
2 2s c
⎧ ⎫⎪ ⎪⎪ ⎪⎪ ⎪⎪ ⎪⎪ ⎪⎨ ⎬⎪ ⎪⎪ ⎪⎪ ⎪⎪ ⎪⎪ ⎪⎩ ⎭
Prof. Henrique Mariano C. AmaralProf. Henrique Mariano C. Amaral 4343
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Fundamentos da Teoria das EstruturasFundamentos da Teoria das Estruturas
Como mostrado na figura abaixo, se Como mostrado na figura abaixo, se
tem tem dd1111 = d= d1212 = 0= 0, logo os elementos de , logo os elementos de
DD22 se anulam e, assim, se anulam e, assim, DD11 corresponde corresponde
a rigidez do material danificado por a rigidez do material danificado por
fendas na fendas na diredireçção 2 (dão 2 (d2222≠≠0)0) devido ao devido ao
cisalhamento.cisalhamento.
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Materiais ElMateriais Eláásticos sticos
LinearesLineares
Forma Tensorial das Forma Tensorial das
EquaEquaçções da Elasticidadeões da Elasticidade
Prof. Henrique Mariano C. AmaralProf. Henrique Mariano C. Amaral 4545
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Fundamentos da Teoria das EstruturasFundamentos da Teoria das Estruturas
A notaA notaçção tensorial ão tensorial éé preferpreferíível nos vel nos
problemas em que a notaproblemas em que a notaçção matricial ão matricial
se torna complicada.se torna complicada.
A notaA notaçção tensorial, ão tensorial, éé particularmente particularmente
úútil no mtil no méétodo dos elementos finitos todo dos elementos finitos
onde produz expressões simples para onde produz expressões simples para
as matrizes de rigidez de certos as matrizes de rigidez de certos
elementos importantes. elementos importantes.
Prof. Henrique Mariano C. AmaralProf. Henrique Mariano C. Amaral 4646
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Fundamentos da Teoria das EstruturasFundamentos da Teoria das Estruturas
Para o estado geral de tensões, a Para o estado geral de tensões, a
equaequaçção tensorial ão tensorial éé::
onde onde Dijkl éé o o tensor de rigidez do tensor de rigidez do
materialmaterial, que para o caso de materiais , que para o caso de materiais
isotrisotróópicos picos éé dado por: dado por:
( )
3 3
0
1 1
klij ijkl kl
k l
Dσ ε ε
= =
= −∑∑
2
1 2ijkl ij kl ik jl
D G ν δ δ δ δν
⎛ ⎞⎟⎜= + ⎟⎜ ⎟⎜⎝ ⎠−
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Fundamentos da Teoria das EstruturasFundamentos da Teoria das Estruturas
Onde Onde δδijij éé um um tensor chamado tensor chamado tensor tensor
isotrisotróópicopico (que tamb(que tambéém chamado de m chamado de
delta de delta de KroneckerKronecker) assume valores ) assume valores 11
(para (para i=ji=j) e ) e 00 (para (para j j ≠≠ ii). ).
Similarmente, o tensor de Similarmente, o tensor de
compatibilidade de um material compatibilidade de um material
isotrisotróópico pico éé dado pordado por
1
2 1ijkl ik jl ij kl
C
G
νδ δ δ δν
⎛ ⎞⎟⎜= − ⎟⎜ ⎟⎜⎝ ⎠+
Prof. Henrique Mariano C. AmaralProf. Henrique Mariano C. Amaral 4848
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Fundamentos da Teoria das EstruturasFundamentos da Teoria das Estruturas
Agora se pode escrever a relaAgora se pode escrever a relaçção ão
inversa da equainversa da equaçção de estado geral de ão de estado geral de
tensão:tensão:
da seguinte maneirada seguinte maneira
( )
3 3
0
1 1
klij ijkl kl
k l
Dσ ε ε
= =
= −∑∑
3 3
0
1 1
klij ijkl kl
k l
Cε σ ε
= =
= −∑∑
Prof. Henrique Mariano C. AmaralProf. Henrique Mariano C. Amaral 4949
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Fundamentos da Teoria das EstruturasFundamentos da Teoria das Estruturas
Essas duas equaEssas duas equaçções podem ser ões podem ser
escritas omitindo o sescritas omitindo o síímbolo de mbolo de
somatsomatóória, assumindo a regra de ria, assumindo a regra de
somasomaçção sobre os subscritos ão sobre os subscritos
repetidos, da seguinte formarepetidos, da seguinte forma
( ) ( )
3 3
0 0
1 1
3 3
0 0
1 1
kl
kl
k
k
l
l
ij ijkl kl ij
i
l l
l
l lj ijkl kl i
k k
k
k k
lk
j
D D
C C
σ ε ε ε ε
ε σ ε σ ε
= =
= =
= − = −
= − = −
∑∑
∑∑
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Fundamentos da Teoria das EstruturasFundamentos da Teoria das Estruturas
A partir dessas equaA partir dessas equaçções a relaões a relaçção de ão de
deformadeformaççãoão--deslocamento, , deslocamento, ,
na notana notaçção tensorial, ão tensorial, éé dada por:dada por:
1
2
k l
kl
l k
u u
x x
ε ⎛ ⎞∂ ∂ ⎟⎜ ⎟= +⎜ ⎟⎜ ⎟⎜ ∂ ∂⎝ ⎠
0T−∂ =ε u
Prof. Henrique Mariano C. AmaralProf. Henrique Mariano C. Amaral 5151
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Fundamentos da Teoria das EstruturasFundamentos da Teoria das Estruturas
ÉÉ sempre sempre úútil combinar as equatil combinar as equaçções ões
constitutivas com a equaconstitutivas com a equaçção deformaão deformaççãoão--
deslocamento. Fazendo deslocamento. Fazendo εε0kl0kl = 0= 0, se tem:, se tem:
Esta equaEsta equaçção ão éé vváálida para o lida para o estado plano estado plano
de deformade deformaççãoão, com os , com os ííndices de somandices de somaçção ão
variando de 1 atvariando de 1 atéé 2.2.
12
1 2 2
jl i
ij ij
l j i
uu uG
x x x
νσ δν
⎛ ⎞⎛ ⎞∂∂ ∂ ⎟⎟⎜ ⎜ ⎟⎟⎜ ⎜= + + ⎟⎟⎜ ⎜ ⎟⎟⎜ ⎟⎜− ∂ ∂ ∂ ⎟⎜ ⎝ ⎠⎝ ⎠
Prof. Henrique Mariano C. AmaralProf. Henrique Mariano C. Amaral 5252
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Fundamentos da Teoria das EstruturasFundamentos da Teoria das Estruturas
A equaA equaçção tensorial para o ão tensorial para o estado estado
plano de tensãoplano de tensão éé obtida da relaobtida da relaçção ão
anterior trocando anterior trocando νν por . A por . A
simples manipulasimples manipulaçção, leva a:ão, leva a:
( )1
ν
ν+
12
1 2
jl i
ij ij
l j i
uu uG
x x x
νσ δν
⎛ ⎞⎛ ⎞∂∂ ∂ ⎟⎟⎜ ⎜ ⎟⎟⎜ ⎜= + + ⎟⎟⎜ ⎜ ⎟⎟⎜ ⎟⎜− ∂ ∂ ∂ ⎟⎜ ⎝ ⎠⎝ ⎠
Prof. Henrique Mariano C. AmaralProf. Henrique Mariano C. Amaral 5353
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Fundamentos da Teoria das EstruturasFundamentos da Teoria das Estruturas
Para retornar da Para retornar da equaequaçção do estado ão do estado
plano de tensãoplano de tensão para a para a equaequaçção do ão do
estado plano de deformaestado plano de deformaççãoão, deve, deve--se se
trocar trocar
νν por por
( )1
ν
ν−
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u
t
u
r
a
s
Fundamentos da Teoria das EstruturasFundamentos da Teoria das Estruturas
Para completar a formulaPara completar a formulaçção, precisaão, precisa--
se das equase das equaçções de Cauchy:ões de Cauchy:
na forma tensorial na forma tensorial
∂ + =σ B 0
0ij i
j
B
x
σ∂
+ =∂
Prof. Henrique Mariano C. AmaralProf. Henrique Mariano C. Amaral 5555
F
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E
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s
Fundamentos da Teoria das EstruturasFundamentos da Teoria das Estruturas
Com suas respectivas condiCom suas respectivas condiçções de ões de
contorno:contorno:
onde os coonde os co--senos diretores senos diretores nnjj são as são as
componentes do componentes do versorversor normal ao normal ao
contorno.contorno.
0
0
ij j i
i i
n p
e
u u
σ − =
− =
Prof. Henrique Mariano C. AmaralProf. Henrique Mariano C. Amaral 5656
PrincPrincíípios Variacionaispios Variacionais
PrincPrincíípio do Trabalho pio do Trabalho
VirtualVirtual
Prof. Henrique Mariano C. AmaralProf. Henrique Mariano C. Amaral 5757
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Fundamentos da Teoria das EstruturasFundamentos da Teoria das Estruturas
O O PrincPrincíípio dos Trabalhos Virtuaispio dos Trabalhos Virtuais
(PTV) e os (PTV) e os princprincíípios variacionais da pios variacionais da
mecânicamecânica, provêem a base de muitos , provêem a base de muitos
dos mdos méétodos de aproximatodos de aproximaçção usados ão usados
na mecânica, como o na mecânica, como o MMéétodo dos todo dos
Elementos Finitos (MEF)Elementos Finitos (MEF), o , o MMéétodo todo
dos Elementos de Contorno (MEC)dos Elementos de Contorno (MEC), ,
etc.etc.
Prof. Henrique Mariano C. AmaralProf. Henrique Mariano C. Amaral 5858
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Fundamentos da Teoria das EstruturasFundamentos da Teoria das Estruturas
O O PrincPrincíípio do Trabalho Virtual pio do Trabalho Virtual ––
PTVPTV tem duas versões btem duas versões báásicas:sicas:
O O PrincPrincíípio dos Deslocamentos pio dos Deslocamentos
Virtuais Virtuais –– PDVPDV; e; e
O O PrincPrincíípio das Forpio das Forçças Virtuais as Virtuais –– PFVPFV
A palavra A palavra virtualvirtual aqui significa hipotaqui significa hipotéético, que poderia tico, que poderia
ocorrer, embora, de fato, não ocorra. ocorrer, embora, de fato, não ocorra. ÉÉ um deslocamento um deslocamento
infinitesimal que se impõe a um ponto ou a um sistema infinitesimal que se impõe a um ponto ou a um sistema
rríígido de modo a não alterar a configuragido de modo a não alterar a configuraçção estão estáática ou tica ou
geomgeoméétrica do corpo e das fortrica do corpo e das forçças que nele atuam, as que nele atuam,
preservando as condipreservando as condiçções de equilões de equilííbrio a que essas forbrio a que essas forçças as
estão sujeitas.estão sujeitas.
Prof. Henrique Mariano C. AmaralProf. Henrique Mariano C. Amaral 5959
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Fundamentos da Teoria das EstruturasFundamentos da Teoria das Estruturas
PodePode--se dizer que o trabalho virtual se dizer que o trabalho virtual
realizado pelas forrealizado pelas forçças externas, quando se as externas, quando se
ddáá a uma estrutura deforma uma estrutura deformáável em equilvel em equilííbrio brio
um um deslocamento virtualdeslocamento virtual, , éé igual ao trabalho igual ao trabalho
realizado pelas forrealizado pelas forçças internas.as internas.
Um Um deslocamento virtualdeslocamento virtual consiste em uma consiste em uma
translatranslaçção em qualquer direão em qualquer direçção, uma ão, uma
rotarotaçção em torno de qualquer eixo ou ão em torno de qualquer eixo ou
ambasambas
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PrincPrincíípios Variacionaispios Variacionais
PrincPrincíípio dos Deslocamentos pio dos Deslocamentos
Virtuais Virtuais –– PDVPDV
Prof. Henrique Mariano C. AmaralProf. Henrique Mariano C. Amaral 6161
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Fundamentos da Teoria das EstruturasFundamentos da Teoria das Estruturas
Seja um corpo sSeja um corpo sóólido solicitado por lido solicitado por
forforçças de superfas de superfíície e de volume, as cie e de volume, as
quais induzem um estado de tensões quais induzem um estado de tensões σσ
em equilem equilííbrio com as mesmas.brio com as mesmas.
Em correspondência a este estado de Em correspondência a este estado de
tensões existirtensões existiráá um estado de um estado de
deformadeformaçções ões εε e um campo de e um campo de
deslocamentos u, que definem a deslocamentos u, que definem a
configuraconfiguraçção deformada do são deformada do sóólido.lido.
Prof. Henrique Mariano C. AmaralProf. Henrique Mariano C. Amaral 6262
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Fundamentos da Teoria das EstruturasFundamentos da Teoria das Estruturas
Se si agrega Se si agrega àà configuraconfiguraçção deformada ão deformada
de equilde equilííbrio um estado de brio um estado de
deslocamentos virtuais deslocamentos virtuais δδuu, fict, fictíícios, cios,
com a com a úúnica limitanica limitaçção de que o campo ão de que o campo
de deslocamentos finais, de deslocamentos finais, uu++ δδuu
continue satisfazendo as condicontinue satisfazendo as condiçções de ões de
contorno, então, sobre a superfcontorno, então, sobre a superfíície cie ΓΓuu
se deve ter:se deve ter: δ =u 0
Prof. Henrique Mariano C. AmaralProf. Henrique Mariano C. Amaral 6363
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Fundamentos da Teoria das EstruturasFundamentos da Teoria das Estruturas
Como jComo jáá dito, para se manter o dito, para se manter o
equilequilííbrio, o brio, o trabalho virtual realizado trabalho virtual realizado
pelas forpelas forçças externasas externas, quando se d, quando se dáá a a
uma estrutura deformuma estrutura deformáável em equilvel em equilííbrio brio
um um deslocamento virtual deslocamento virtual δδuu,, éé igual ao igual ao
trabalho realizado pelas fortrabalho realizado pelas forçças as
internasinternas..
Assim, o Assim, o PDV PDV éé uma exigência de uma exigência de
equilequilííbriobrio, podendo ser aplicado tanto a , podendo ser aplicado tanto a
problemas lineares como não lineares.problemas lineares como não lineares.
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Fundamentos da Teoria das EstruturasFundamentos da Teoria
das Estruturas
O princO princíípio dos deslocamentos virtuais pio dos deslocamentos virtuais
–– PDV PDV éé usualmente escrito como:usualmente escrito como:
O lado esquerdo representa o trabalho O lado esquerdo representa o trabalho
virtual das forvirtual das forçças internas (tensões x as internas (tensões x
deformadeformaçções) enquanto o lado direito ões) enquanto o lado direito
corresponde ao trabalho virtual das corresponde ao trabalho virtual das
forforçças externas (foras externas (forçças x deslocamenas x deslocamen--
tos).tos).
p
T T Td d dδ δ δ
Ω Ω Γ
Ω= Ω+ Γ∫ ∫ ∫ε σ u B u p
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Fundamentos da Teoria das EstruturasFundamentos da Teoria das Estruturas
Os deslocamentos virtuais Os deslocamentos virtuais δδεε e e δδuu
precisam ser cinematicamente admissprecisam ser cinematicamente admissííveisveis. .
Isto significa o seguinte:Isto significa o seguinte:
O deslocamento virtual O deslocamento virtual δδuu precisa satisfazer precisa satisfazer
as condias condiçções de contorno cinemões de contorno cinemááticas:ticas:
As deformaAs deformaçções virtuais ões virtuais δδεε precisam ser precisam ser
ligadas aos deslocamentos virtuais pela ligadas aos deslocamentos virtuais pela
relarelaçção:ão:
usobreδ = Γu 0
Tδ δ=∂ε u
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Fundamentos da Teoria das EstruturasFundamentos da Teoria das Estruturas
Trocando u por Trocando u por δδuu na equana equaçção de ão de
ClapeyronClapeyron (teorema da divergência): (teorema da divergência):
podepode--se transformar a equase transformar a equaçção do ão do
PDV em:PDV em:
T T T Td d d
Ω Γ Ω
∂ Ω= Γ− ∂ Ω∫ ∫ ∫σ u u nσ u σ
( ) ( ) 0
u
T Td dδ δ
Ω Γ
∂ + Ω+ − + Γ=∫ ∫u σ B u nσ p
Prof. Henrique Mariano C. AmaralProf. Henrique Mariano C. Amaral 6767
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Fundamentos da Teoria das EstruturasFundamentos da Teoria das Estruturas
A equaA equaçção anterior ão anterior éé satisfeita para satisfeita para
deslocamentos virtuais arbitrdeslocamentos virtuais arbitráários rios δδu u
apenas se as condiapenas se as condiçções de equilões de equilííbrio brio
tambtambéém forem satisfeitas, isto m forem satisfeitas, isto éé::
as equaas equaçções de Cauchy são ões de Cauchy são
satisfeitas sobre satisfeitas sobre ΩΩ;;
as condias condiçções de contorno são ões de contorno são
satisfeitas sobre satisfeitas sobre ΓΓ..
∂ + =σ B 0
− =nσ p 0
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Fundamentos da Teoria das EstruturasFundamentos da Teoria das Estruturas
Assim, as equaAssim, as equaççõesões
representam o representam o PrincPrincíípio Geral de pio Geral de
EquilEquilííbriobrio..
( ) ( ) 0
u
T Td d
sobre
sobre
δ δ
Ω Γ
∂ + Ω+ − + Γ=
∂ + = Ω
− = Γ
∫ ∫u σ B u nσ p
σ B 0
nσ p 0
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Fundamentos da Teoria das EstruturasFundamentos da Teoria das Estruturas
O O PDVPDV pode ser facilmente estendido pode ser facilmente estendido
para problemas dinâmicos. De acordo para problemas dinâmicos. De acordo
com o com o PrincPrincíípio de Dpio de D’’AlembertAlembert, pode, pode--
se tratar as forse tratar as forçças de inas de inéércia, , como rcia, , como
forforçças de corpo aplicadas as de corpo aplicadas
externamente ( denota a segunda externamente ( denota a segunda
derivada parcial com reladerivada parcial com relaçção ao tempo; ão ao tempo;
ρρ éé a massa especa massa especíífica).fica).
uρ ��
u��
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Fundamentos da Teoria das EstruturasFundamentos da Teoria das Estruturas
Se esse procedimento for realizado, a Se esse procedimento for realizado, a
equaequaçção:ão:
se transforma em:se transforma em:
( ) ( ) 0
u
T Td dδ δ
Ω Γ
∂ + Ω+ − + Γ=∫ ∫u σ B u nσ p
( ) ( ) 0
u
T Tu d dδ ρ δ
Ω Γ
∂ + − Ω+ − + Γ=∫ ∫u σ B u nσ p��
Prof. Henrique Mariano C. AmaralProf. Henrique Mariano C. Amaral 7171
PrincPrincíípios Variacionaispios Variacionais
PrincPrincíípio das Forpio das Forçças as
Virtuais Virtuais –– PFVPFV
Prof. Henrique Mariano C. AmaralProf. Henrique Mariano C. Amaral 7272
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Fundamentos da Teoria das EstruturasFundamentos da Teoria das Estruturas
Seja agora um campo de deslocamenSeja agora um campo de deslocamen--
tos tos uu e um estado de deformae um estado de deformaçções ões
compatcompatííveis no qual se introduz uma veis no qual se introduz uma
variavariaçção ão δδσσ do estado de tensões. do estado de tensões.
Esta variaEsta variaçção ão δδσσ serseráá arbitrarbitráária ria devendeven--
dodo o estado de tensões total o estado de tensões total σσ++δδσσ
satisfazer as condisatisfazer as condiçções de equilões de equilííbrio e brio e
as condias condiçções de contorno sobre a ões de contorno sobre a
superfsuperfíície cie ΓΓuu..
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Fundamentos da Teoria das EstruturasFundamentos da Teoria das Estruturas
O O PrincPrincíípio das Forpio das Forçças Virtuais as Virtuais ––
PFVPFV éé usualmente escrito como:usualmente escrito como:
O lado esquerdo da expressão acima representa o O lado esquerdo da expressão acima representa o
trabalho virtual complementar das fortrabalho virtual complementar das forçças internas, as internas,
enquanto o lado direito representa o trabalho enquanto o lado direito representa o trabalho
virtual complementar das forvirtual complementar das forçças externas.as externas.
u
u
T T T
T T T
d d d
d d
δ δ δ
δ δ
Ω Γ Ω
Γ Ω
Ω= Γ+ Ω=
= Γ+ Ω
∫ ∫ ∫
∫ ∫
σ ε p u B u
σ n u B u
Prof. Henrique Mariano C. AmaralProf. Henrique Mariano C. Amaral 7474
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Fundamentos da Teoria das EstruturasFundamentos da Teoria das Estruturas
Os campos virtuais Os campos virtuais δσδσ, , δδBB e e δδpp
precisam ser estaticamente precisam ser estaticamente
admissadmissííveis, isto veis, isto éé, para , para δδBB = 0 em = 0 em ΩΩ e e
para para δδpp = 0 em =
0 em ΓΓpp, as condi, as condiçções de ões de
equilequilííbrio incluem:brio incluem:
As equaAs equaçções homogêneas de Cauchyões homogêneas de Cauchy
CondiCondiçções de contorno estões de contorno estááticas ticas
homogêneas:homogêneas:
sobre∂ + = Ωσ B 0
psobre− = Γnσ p 0
Prof. Henrique Mariano C. AmaralProf. Henrique Mariano C. Amaral 7575
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Fundamentos da Teoria das EstruturasFundamentos da Teoria das Estruturas
Usando a equaUsando a equaçção de ão de ClapeyronClapeyron ou ou
teorema da divergência teorema da divergência
podepode--se transformar a se transformar a equaequaçção do ão do
PFVPFV em:em:
T T T Td d d
Ω Γ Ω
∂ Ω= Γ− ∂ Ω∫ ∫ ∫σ u u nσ u σ
( ) ( ) 0
u
T Td dδ δ
Ω Γ
−∂ Ω+ − Γ=∫ ∫σ ε u p u u
Prof. Henrique Mariano C. AmaralProf. Henrique Mariano C. Amaral 7676
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Fundamentos da Teoria das EstruturasFundamentos da Teoria das Estruturas
Esta equaEsta equaçção ão éé satisfeita tensões satisfeita tensões
arbitrarbitráárias virtuais rias virtuais δδσσ ((δδp p = = n.n.δδσσ ≠≠ 00
sobre sobre ΓΓuu) apenas se as equa) apenas se as equaçções ões
cinemcinemááticas tambticas tambéém forem satisfeitas, m forem satisfeitas,
isto isto éé,,
RelaRelaçção cinemão cinemáática tica εε--∂∂TTuu==00 em em ΩΩ;;
CondiCondiçções cinemões cinemááticas ticas uu--ūū = 0= 0 em em ΓΓuu..
Dessa forma, vêDessa forma, vê--se que se que PFVPFV éé um um
princprincíípio da continuidadepio da continuidade..
Prof. Henrique Mariano C. AmaralProf. Henrique Mariano C. Amaral 7777
PrincPrincíípios Variacionaispios Variacionais
PrincPrincíípios Variacionaispios Variacionais
Prof. Henrique Mariano C. AmaralProf. Henrique Mariano C. Amaral 7878
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Fundamentos da Teoria das EstruturasFundamentos da Teoria das Estruturas
Os princOs princíípios variacionais se seguem pios variacionais se seguem
diretamente do Princdiretamente do Princíípio do Trabalho pio do Trabalho
Virtual Virtual -- PTV:PTV:
O O PrincPrincíípio dos Deslocamentos Virtuais pio dos Deslocamentos Virtuais ––
PDVPDV –– leva ao leva ao PrincPrincíípio Variacional de pio Variacional de
LagrangeLagrange ou ou PrincPrincíípio de Energia pio de Energia
Potencial MPotencial Míínimanima;;
O O PrincPrincíípio das Forpio das Forçças Virtuais as Virtuais –– PFVPFV ––
leva ao leva ao PrincPrincíípio Variacional de pio Variacional de
CastiglianoCastigliano ou ou PrincPrincíípio da Energia pio da Energia
Complementar MComplementar Míínimanima..
Prof. Henrique Mariano C. AmaralProf. Henrique Mariano C. Amaral 7979
PrincPrincíípios Variacionaispios Variacionais
PrincPrincíípio da Lagrangepio da Lagrange
PrincPrincíípio da Energia pio da Energia
Potencial MPotencial Míínimanima
Prof. Henrique Mariano C. AmaralProf. Henrique Mariano C. Amaral 8080
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Fundamentos da Teoria das EstruturasFundamentos da Teoria das Estruturas
Em um sEm um sóólido ellido eláástico o trabalho stico o trabalho
desenvolvido em correspondência com desenvolvido em correspondência com
o processo de deformao processo de deformaçção, quando ão, quando
esse processo esse processo éé adiabadiabáático, resulta tico, resulta
igual igual àà mudanmudançça produzida na a produzida na energia energia
interna de deformainterna de deformaççãoão, que , que éé, por , por
definidefiniççãoão
( )
( )
1 1
2 2
2
T T
i
T T
W d d d
W
Ω Ω Ω
∏ = Ω= Ω= Ω
∴ = =
∫ ∫ ∫ε ε σ ε Dε
ε ε σ ε Dε
Prof. Henrique Mariano C. AmaralProf. Henrique Mariano C. Amaral 8181
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Fundamentos da Teoria das EstruturasFundamentos da Teoria das Estruturas
A variaA variaçção dessa energia de ão dessa energia de
deformadeformaçção ão éé::
T T
i d dδ δ δ
Ω Ω
∏ = Ω= Ω∫ ∫ε σ ε Dε
Prof. Henrique Mariano C. AmaralProf. Henrique Mariano C. Amaral 8282
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Fundamentos da Teoria das EstruturasFundamentos da Teoria das Estruturas
Por outro lado, quando as forPor outro lado, quando as forçças de as de
corpo corpo BB e de superfe de superfíície cie pp são são
independentes dos deslocamentos, independentes dos deslocamentos,
podepode--se definir o se definir o potencial das forpotencial das forçças as
externasexternas como:como:
T T
e d d
Ω Γ
∏ =− Ω− Γ∫ ∫u B u p
Prof. Henrique Mariano C. AmaralProf. Henrique Mariano C. Amaral 8383
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Fundamentos da Teoria das EstruturasFundamentos da Teoria das Estruturas
Similarmente, sua variaSimilarmente, sua variaçção ão éé::
T T
e d dδ δ δ
Ω Γ
∏ =− Ω− Γ∫ ∫u B u p
Prof. Henrique Mariano C. AmaralProf. Henrique Mariano C. Amaral 8484
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Fundamentos da Teoria das EstruturasFundamentos da Teoria das Estruturas
O princO princíípio de Lagrange nos afirma:pio de Lagrange nos afirma:
““Dentre todos os estados Dentre todos os estados
cinematicamente admisscinematicamente admissííveis de um veis de um
corpo elcorpo eláástico, o estado real stico, o estado real éé aquele que aquele que
minimiza a energia potencial total que minimiza a energia potencial total que éé
igual a soma da energia interna de igual a soma da energia interna de
deformadeformaçção mais a energia potencial das ão mais a energia potencial das
cargas externas.cargas externas.””
mínimap i eΠ =Π +Π =
Prof. Henrique Mariano C. AmaralProf. Henrique Mariano C. Amaral 8585
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Fundamentos da Teoria das EstruturasFundamentos da Teoria das Estruturas
Os Os estados cinematicamente estados cinematicamente
admissadmissííveisveis são especificados por:são especificados por:
Deslocamentos que são contDeslocamentos que são contíínuos e têm nuos e têm
derivadas contderivadas contíínuas por partes no nuas por partes no
domdomíínio de solunio de soluçção e satisfazem as ão e satisfazem as
condicondiçções de contorno cinemões de contorno cinemááticas sobreticas sobre
ΓΓuu, e, e
DeformaDeformaçções que são derivadas dos ões que são derivadas dos
deslocamentos usando as equadeslocamentos usando as equaçções ões
cinemcinemááticas de deformaticas de deformaççãoão--
deslocamento.deslocamento.
Prof. Henrique Mariano C. AmaralProf. Henrique Mariano C. Amaral 8686
F
u
n
d
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m
e
n
t
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s
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e
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i
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s
E
s
t
r
u
t
u
r
a
s
Fundamentos da Teoria das EstruturasFundamentos da Teoria das Estruturas
Como a energia potencial deve ser Como a energia potencial deve ser
mmíínima, então sua varianima, então sua variaçção deve ser ão deve ser
nula, logonula, logo
ouou
( ) 0p i e i eδ δ δ δΠ = Π +Π = Π + Π
0T T Tp d d dδ δ δ δ
Ω Ω Γ
Π = Ω− Ω− Γ=∫ ∫ ∫ε Dε u B u p
Prof. Henrique Mariano C. AmaralProf. Henrique Mariano C. Amaral 8787
F
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Fundamentos da Teoria das EstruturasFundamentos da Teoria das Estruturas
NotaNota--se que a energia potencial se que a energia potencial ΠΠpp
depende somente dos deslocamentos depende somente dos deslocamentos
uu. Assim a expressão de . Assim a expressão de δΠδΠpp implica implica
uma condiuma condiçção a ser aplicada sobre os ão a ser aplicada sobre os
deslocamentos.deslocamentos.
Por outro lado esse princPor outro lado esse princíípio foi pio foi
deduzido a partir do PDVdeduzido a partir do PDV-- princprincíípio dos pio dos
deslocamentos virtuais, que representa deslocamentos virtuais, que representa
um requerimento de equilum requerimento de equilííbriobrio
Prof. Henrique Mariano C. AmaralProf. Henrique Mariano C. Amaral 8888
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s
Fundamentos da Teoria das EstruturasFundamentos da Teoria das Estruturas
Disso se conclui o princDisso se conclui o princíípio de pio de
Lagrange.Lagrange.
Para se certificar da natureza do ponto Para se certificar da natureza do ponto
estacionestacionáário rio éé necessnecessáário estudar o rio estudar o
sinal da segunda variasinal da segunda variaçção da energia ão da energia
potencial:potencial:
que que éé a expressão que define uma a expressão que define uma
forma quforma quáádrica.drica.
2 T
p dδ δ δ
Ω
Π = Ω∫ ε D ε
Prof. Henrique Mariano C. AmaralProf. Henrique Mariano C. Amaral 8989
F
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s
Fundamentos da Teoria das EstruturasFundamentos da Teoria das Estruturas
Na expressão da forma quNa expressão da forma quáádricadrica
A matriz A matriz DD éé positiva definida para positiva definida para
materiais estmateriais estááveis, logo veis, logo δδ22ΠΠpp serseráá
sempre positivasempre positiva; portanto o princ; portanto o princíípio da pio da
energia potencia menergia potencia míínima indica que o nima indica que o
campo de deslocamentos produzidos campo de deslocamentos produzidos
por tensões em equilpor tensões em equilííbrio corresponde brio corresponde
a um ma um míínimo da energia potencial.nimo da energia potencial.
p
Ω
2 T dδ δ δΠ = Ω∫ ε D ε
Prof. Henrique Mariano C. Amaral 90
E
X
E
M
P
L
O
E
X
E
M
P
L
O
Exemplo
• Considere o caso de uma viga
prismática como a indicada abaixo:
Prof. Henrique Mariano C. Amaral 91
E
X
E
M
P
L
O
E
X
E
M
P
L
O
Exemplo
• Desprezando as deformações por
efeito de corte, se tem:
( )
0xy
v u
x y
v dvv v x
x dx
γ
θ
∂ ∂= + =∂ ∂
∂∴ = ⇒ =+ =∂
Prof. Henrique Mariano C. Amaral 92
E
X
E
M
P
L
O
E
X
E
M
P
L
O
Exemplo
• onde θ é a inclinação da linha neutra
deformada, e
• e mais, como:
dvu y u y
dx
θ=− ⇒ =−
2
2x x
du d vy
dx dx
ε ε= ⇒ =−
Prof. Henrique Mariano C. Amaral 93
E
X
E
M
P
L
O
E
X
E
M
P
L
O
Exemplo
• Por outro lado se tem:
• Com o que a energia de deformação
da viga resulta ser:
• Donde, o momento de inércia da seção
x xEσ ε=
2 2
2 2
22
2
0 h b
1 1
2 2
h bL
transversal da viga é:
i x x
d vd E y
⎛ ⎞
dxdydz
dx
ε σ ⎟⎜
Ω − −
∫ ⎟Π = Ω= −⎜ ⎟⎜ ⎟⎜⎝ ⎠∫ ∫ ∫
2 2
2 2
2
h b
h b
y dydz I
− −
=∫ ∫
Prof. Henrique Mariano C. Amaral 94
E
X
E
M
P
L
O
E
X
E
M
P
L
O
Exemplo
• Dessa forma, se tem:
• Assim, a energia potencial da viga
prismática será:
22
2
0
1
2
L
i
d vEI dx
dx
⎛ ⎞⎟⎜ ⎟Π = ⎜ ⎟⎜ ⎟⎜⎝ ⎠∫
22
2
0 0
1
2
L L
p i e
d vEI dx pvdx
dx
⎛ ⎞⎟⎜ ⎟Π =Π +Π = −⎜ ⎟⎜ ⎟⎜⎝ ⎠∫ ∫
Prof. Henrique Mariano C. Amaral 95
E
X
E
M
P
L
O
E
X
E
M
P
L
O
Exemplo
• A primeira variação δΠp resulta:
• A
2 2
2 2
0 0
L L
p
d v d vEI dx p vdx
dx dx
δ δ δ⎛ ⎞ ⎛ ⎞⎟ ⎟⎜ ⎜⎟ ⎟Π = −⎜ ⎜⎟ ⎟⎜ ⎜⎟ ⎟⎜ ⎜⎝ ⎠ ⎝ ⎠
segunda variação δ2Πp resulta:
∫ ∫
22
2
2
0
0
L
p
d vEI dx
dx
δ δ⎛ ⎞⎟⎜ ⎟Π = >⎜ ⎟⎜ ⎟⎜⎝ ⎠∫
Prof. Henrique Mariano C. AmaralProf. Henrique Mariano C. Amaral 9696
PrincPrincíípios Variacionaispios Variacionais
PrincPrincíípio de pio de CastiglianoCastigliano
PrincPrincíípio da Energia pio da Energia
Complementar MComplementar Míínimanima
Prof. Henrique Mariano C. AmaralProf. Henrique Mariano C. Amaral 9797
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Fundamentos da Teoria das EstruturasFundamentos da Teoria das Estruturas
O PrincO Princíípio de pio de CastiglianoCastigliano pode ser pode ser
formulado como o princformulado como o princíípio da energia pio da energia
complementar mcomplementar míínima:nima:
““Dentre todos os estados estaticamente Dentre todos os estados estaticamente
admissadmissííveis, o estado real veis, o estado real éé aquele que aquele que
minimiza a energia complementar:minimiza a energia complementar:
Onde Onde ΠΠ**ii por definipor definiçção ão éé a variaa variaçção da energia ão da energia
complementar de tensõescomplementar de tensões ΠΠ**ee éé igual ao igual ao
incremento do potencial complementar das incremento do potencial complementar das
forforçças externasas externas””
* * * mínimoi eΠ =Π +Π =
Prof. Henrique Mariano C. AmaralProf. Henrique Mariano C. Amaral 9898
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Fundamentos da Teoria das EstruturasFundamentos da Teoria das Estruturas
Isto Isto éé::
( )* *i
*
u uΓ Γ
T T T
e
W d
d d
Ω
Π = Ω
Π =− Γ=− Γ
∫ σ
∫ ∫p u σ n u
Prof. Henrique Mariano C. AmaralProf. Henrique Mariano C. Amaral 9999
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Fundamentos da Teoria das EstruturasFundamentos da Teoria das Estruturas
Se as condiSe as condiçções de contorno ões de contorno
cinemcinemááticas prescritas sobre ticas prescritas sobre ΓΓuu forem forem
homogêneas, isto homogêneas, isto éé, , ūū = 0= 0, então a , então a
energia potencial complementar das energia potencial complementar das
forforçças externas (trabalho as externas (trabalho
complementar) complementar) éé nulo e então:nulo e então:
* * mínimoiΠ =Π =
Prof. Henrique Mariano C. AmaralProf. Henrique Mariano C. Amaral 100100
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Fundamentos da Teoria das EstruturasFundamentos da Teoria das Estruturas
Os estados estaticamente admissOs estados estaticamente admissííveis veis
precisam satisfazer precisam satisfazer
as condias condiçções de equilões de equilííbrio internas ao brio internas ao
corpo (equacorpo (equaçções não homogêneas de ões não homogêneas de
Cauchy) e sobre parte de seu contorno Cauchy) e sobre parte de seu contorno
(condi(condiçções de contorno estões de contorno estááticas sobre ticas sobre
ΓΓpp). ).
Prof. Henrique Mariano C. AmaralProf. Henrique Mariano C. Amaral 101101
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s
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t
u
r
a
s
Fundamentos da Teoria das EstruturasFundamentos da Teoria das Estruturas
Então para que o funcional Então para que o funcional ΠΠ** seja seja
mmíínimo nimo éé necessnecessáário que sua primeira rio que sua primeira
variavariaçção seja nula, isto ão seja nula, isto éé::
( )
( )
* *
*
0
u
u
T
T T
W d d
W
d d
δ δ
δ δ
Ω Γ
Ω Γ
⎛ ⎞⎟⎜ ⎟⎜Π = Ω− Γ =⎟⎜ ⎟⎜ ⎟⎟⎜⎝ ⎠
∂
= Ω− Γ=∂
∫ ∫
∫ ∫
σ p u
σ
σ p u
σ
Prof. Henrique Mariano C. AmaralProf. Henrique Mariano C. Amaral 102102
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u
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s
Fundamentos da Teoria das EstruturasFundamentos da Teoria das Estruturas
Substituindo a derivada parcial do Substituindo a derivada parcial do
potencial complementar pela equapotencial complementar pela equaçção ão
constitutiva correspondente, se tem:constitutiva correspondente, se tem:
( )*
0
*
*
0
0
u
u
T Td d
T T
W
d d
δ δ δ
= = +∂
Π = Ω− Γ=
δ δ δ
Ω Γ
Ω Γ
∂
Π = Ω− Γ=
∫ ∫
ε Cσ ε
σ
σ ε p u
∫ ∫
σ
σ Cσ p u
Prof. Henrique Mariano C. AmaralProf. Henrique Mariano C. Amaral 103103
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s
Fundamentos da Teoria das EstruturasFundamentos da Teoria das Estruturas
Assim, tanto o PFV quanto o principio Assim, tanto o PFV quanto o principio
da energia complementar mda energia complementar míínima nima
levam levam ààs mesmas equas mesmas equaçções:ões:
EquaEquaçções deformaões deformaççãoão--deslocamento (ou deslocamento (ou
apapóós a eliminas a eliminaçção dos deslocamentos, ão dos deslocamentos, ààs s
equaequaçções de compatibilidade), eões de compatibilidade), e
CondiCondiçções de contorno cinemões de contorno cinemááticas.ticas.
Prof. Henrique Mariano C. AmaralProf. Henrique Mariano C. Amaral 104104
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Fundamentos da Teoria das EstruturasFundamentos da Teoria das Estruturas
AssimAssim
O PDV e o princO PDV e o princíípio variacional de pio variacional de
Lagrange estabelecem a base para o Lagrange estabelecem a base para o
mméétodo dos deslocamentostodo dos deslocamentos na na
analise estrutural, pois o principio da analise estrutural, pois o principio da
energia potencial menergia potencial míínima que o nima que o
envolve envolve éé um requisito de equilum requisito de equilííbrio;brio;
Prof. Henrique Mariano C. AmaralProf. Henrique Mariano C. Amaral 105105
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Fundamentos da Teoria das EstruturasFundamentos da Teoria das Estruturas
Similarmente, o PFV e o principio Similarmente, o PFV e o principio
variacional de variacional de CastiglianoCastigliano estabelece estabelece
a base do a base do mméétodo das fortodo das forççasas na na
analise estrutural, pois o principio da analise estrutural, pois o principio da
energia complementar menergia complementar míínima nima éé uma uma
exigência de compatibilidade do exigência de compatibilidade do
estado de deformaestado de deformaçções.ões.
Prof. Henrique Mariano C. AmaralProf. Henrique Mariano C. Amaral 106106
PrincPrincíípios Variacionaispios Variacionais
PrincPrincíípio de pio de
HellingerHellinger--ReissnerReissner
Prof. Henrique Mariano C. AmaralProf. Henrique Mariano C. Amaral 107107
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Fundamentos da Teoria das EstruturasFundamentos da Teoria das Estruturas
O funcional correspondente ao O funcional correspondente ao
princprincíípio variacional de pio variacional de HellingerHellinger--
ReissnerReissner, ou princ, ou princíípio geral, envolve pio geral, envolve
tanto equiltanto equilííbrio como compatibilidade, brio como compatibilidade,
e nele se pode variar tanto as tensões e nele se pode variar tanto as tensões
e fore forçças como os deslocamentos.as como os deslocamentos.
Prof. Henrique Mariano C. AmaralProf. Henrique Mariano C. Amaral 108108
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Fundamentos da Teoria das EstruturasFundamentos da Teoria das Estruturas
A expressão matemA expressão matemáática do princtica do princíípio pio
variacional de variacional de HellingerHellinger--ReissnerReissner éé::
( )
( )
*
0R
T T Td W d d
p u
R
T T Td d
δ
Ω Ω Ω
Γ Γ
Π =
∴Π = ∂ Ω− Ω− Ω
− Γ− − Γ
∫ ∫ ∫σ u σ u B
∫ ∫u p σ n u u
Prof. Henrique Mariano C. AmaralProf. Henrique Mariano C. Amaral 109109
F
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Fundamentos da Teoria das EstruturasFundamentos da Teoria das Estruturas
No No princprincíípio variacional de pio variacional de
HellingerHellinger--ReissnerReissner os campos os campos uu e e σσ
são independentes e requer que as são independentes e requer que as
equaequaçções constitutivas sejam ões constitutivas sejam
satisfeitas a priori e levam satisfeitas a priori e levam ààs seguintes s seguintes
condicondiçções de estacionariedade:ões de estacionariedade:
EquaEquaçções de Cauchy;ões de Cauchy;
RelaRelaçções tensãoões tensão--deslocamento;deslocamento;
CondiCondiçções de contorno
estões de contorno estááticas sobre ticas sobre ΓΓpp;;
CondiCondiçções de contorno cinemões de contorno cinemááticas sobre ticas sobre
ΓΓuu..
Prof. Henrique Mariano C. Amaral 110
E
X
E
M
P
L
O
E
X
E
M
P
L
O
Fundamentos da Teoria das Estruturas
• Exemplo
• Seja a viga prismática abaixo com
inércia constante::
Prof. Henrique Mariano C. Amaral 111
E
X
E
M
P
L
O
E
X
E
M
P
L
O
Fundamentos da Teoria das Estruturas
• A energia potencial, neste caso é
• Para aplicar o método de Rayleigh-Ritz
escolhe-se como primeira aproximação
a família de funções
• Que cumpre as condições de contorno
essenciais do problema.
22
2
0 0
1
2
L L
p
d vEI dx pvdx
dx
⎛ ⎞⎟⎜ ⎟Π = −⎜ ⎟⎜ ⎟⎜⎝ ⎠∫ ∫
2v xα=
Prof. Henrique Mariano C. Amaral 112
E
X
E
M
P
L
O
E
X
E
M
P
L
O
Fundamentos da Teoria das Estruturas
• O funcional aproximado será, então
• Aplicando a condição de ponto
estacionário se tem:
2 3
0 0
1 14 2
2 3
L L
p EI dx pvdx EIL pLπ α α α= − = −∫ ∫
3 2
4 0
3 12p
pL pLEIL a
EI
δπ α δ α⎛ ⎞⎟⎜ ⎟= − = ⇒ =⎜ ⎟⎜ ⎟⎜⎝ ⎠
Prof. Henrique Mariano C. Amaral 113
E
X
E
M
P
L
O
E
X
E
M
P
L
O
Fundamentos da Teoria das Estruturas
• Levando esse resultado à função de
aproximação, se tem:
• Essa solução aproximada não é muito
boa, pois produz um momento fletor
constante. Assim é necessário uma
aproximação com um número maior de
termos.
2 2
2 2
212
pL d vv x M EI pL
EI dx
= ⇒ = =
Prof. Henrique Mariano C. Amaral 114
E
X
E
M
P
L
O
E
X
E
M
P
L
O
Fundamentos da Teoria das Estruturas
• Seja agora a aproximação:
• que substituindo em
fica:
2 3
1 2v x xα α= +
( ) ( )( )
( ) ( )
2 2 31
1 2 1 22
0
2 2 2 3 3 41 1 1
1 1 2 2 1 22 3 4
2 6
4 6 6
L
p
p
EI x p x x dx
EI L L L p L L
α α α α
α α α α α α
Π = + − +
Π = + + − +
∫
22
2
0 0
1
2
L L
p
d vEI dx pvdx
dx
⎛ ⎞⎟⎜ ⎟Π = −⎜ ⎟⎜ ⎟⎜⎝ ⎠∫ ∫
Prof. Henrique Mariano C. Amaral 115
E
X
E
M
P
L
O
E
X
E
M
P
L
O
Fundamentos da Teoria das Estruturas
• Aplicando a condição de estacionariedade,
se tem
• Que equivale a zerar cada parcela do
funcional Πp:
1 2
1 2
p p
pδ δα δαα α
∂Π ∂ΠΠ = +∂ ∂
( )
( )
2 31
1 2 3
1
2 3 1
1 2 4
2
4 6 0
6 12 0
p
p
EI L L pL
EI L L p
α αα
α αα
∂Π
= + − =∂
∂Π
= + − =∂
Prof. Henrique Mariano C. Amaral 116
E
X
E
M
P
L
O
E
X
E
M
P
L
O
Fundamentos da Teoria das Estruturas
• Resolvendo as duas equações lineares,
se obtém:
25
• Que produz no ponto x = L o valor exato
do deslocamento, mas não o valor do
momento:
1
2
2
524
12 2
oL ⎫⎪⎪
12
pLxEI v Lx x
EIpL
EI
α
α
= ⎪ ⎛ ⎞⎪⎪ ⎟⎜⇒ = − ⎟⎬ ⎜ ⎟⎜⎪ ⎝ ⎠⎪=− ⎪⎪⎪⎭
4
8x L
pLv
EI=
=
Prof. Henrique Mariano C. Amaral 117
E
X
E
M
P
L
O
E
X
E
M
P
L
O
Fundamentos da Teoria das Estruturas
• Seja agora uma terceira aproximação:
• Fazendo os mesmos procedimentos
realizados anteriormente, se encontra:
2 3 4
1 2 3v x x xα α α= + +
2 2 2
4 6 24
px L Lx xv
EI
⎛ ⎞⎟⎜ ⎟= − +⎜ ⎟⎜ ⎟⎜⎝ ⎠
Prof. Henrique Mariano C. Amaral 118
E
X
E
M
P
L
O
E
X
E
M
P
L
O
Fundamentos da Teoria das Estruturas
• Esta solução
• Corresponde à uma solução exata
(dentro de um intervalo de erro
admissível) para o problema dado.
• Usando o MathCad mostra-se a seguir
uma tabela comparativa dos valores do
deslocamento e momento, para as tres
aproximações consideradas.
2 2 2
4 6 24
px L Lx xv
EI
⎛ ⎞⎟⎜ ⎟= − +⎜ ⎟⎜ ⎟⎜⎝ ⎠
Prof. Henrique Mariano C. Amaral 119
E
X
E
M
P
L
O
E
X
E
M
P
L
O
1ª aproximação: 2ª aproximação: 3ª aproximação:
v1 x( )
p L2⋅
12 E⋅ I⋅ x
2⋅:= v2 x( ) p L⋅ x⋅
12 E⋅ I⋅
5
2
⎛⎜⎝
⎞
⎠ L⋅ x⋅ x
2−⎡⎢⎣
⎤⎥⎦⋅:= v3 x( ) p x
2⋅
E I⋅
L2
4
L x⋅
6
− x
2
24
+⎛⎜⎝
⎞
⎠⋅:=
0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 10
0.01
0.02
0.03
0.04
0.05
0.06
0.07
0.08
0.09
0.1
0.11
0.12
0.13
0.14
Deslocamentos v
v1 x( )
v2 x( )
v3 x( )
x
Prof. Henrique Mariano C. Amaral 120
E
X
E
M
P
L
O
E
X
E
M
P
L
O
Fundamentos da Teoria das Estruturas
Mometos Fletores
m1 x( ) 2x
v1 x( )d
d
2:= m1 x( ) 1
6
→
m2 x( ) 2x
v2 x( )d
d
2:= m2 x( ) 5
12
1
2
x⋅−→
m3 x( ) 2x
v3 x( )d
d
2:= m3 x( ) 1
2
1
3
x⋅− 1
6
x2⋅+ 4 x⋅ 1−
6
1
12
x⋅+⎛⎜⎝
⎞
⎠⋅+→
Prof. Henrique Mariano C. Amaral 121
E
X
E
M
P
L
O
E
X
E
M
P
L
O
0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 1
0.1
0.04
0.02
0.08
0.14
0.2
0.26
0.32
0.38
0.44
0.5
Momentos Fletores
0.5
0.083−
m1 x( )
m2 x( )
m3 x( )
L0 x
Prof. Henrique Mariano C. Amaral 122
E
X
E
M
P
L
O
E
X
E
M
P
L
O
Fundamentos da Teoria das
Estruturas
Funcional
J1 x( )
1
2
E⋅ I⋅
L
x2x
0
v1 x( )d
d
2⎛⎜⎜⎝
⎞
⎠
2⌠⎮
⎮ d⋅⎮ 0⌡
L
xp v1 x( )⋅⌠⎮⌡ d−:= J1 x( )
1−
72
→
J2 x( )
1
2
E⋅ I⋅
0
L
x2x
v2 x( )d
d
2⎛⎜⎜⎝
⎞
⎠
2⌠⎮
⎮
⎮⌡
d⋅
0
L
xp v2 x( )⋅⌠⎮⌡ d−:= J2 x( )
7−
288
→
J3 x( )
1
2
E⋅ I⋅
0
L
x2x
v3 x( )d
d
2⎛⎜⎜⎝
⎞
⎠
2⌠⎮
⎮
⎮⌡
d⋅
0
L
xp v3 x( )⋅⌠⎮⌡ d−:= J3 x( )
1−
40
→
Prof. Henrique Mariano C. Amaral 123
E
X
E
M
P
L
O
E
X
E
M
P
L
O
Fundamentos da Teoria das Estruturas
• Seja agora a viga prismática indicada
abaixo (L=10 e p=10):
Prof. Henrique Mariano C. Amaral 124
E
X
E
M
P
L
O
E
X
E
M
P
L
O
Fundamentos da Teoria das Estruturas
• Neste exemplo, se sabe que o valor
exato da fecha no ponto onde se aplica
a carga concentrada é 1875.
• Para essa viga a expressão da energia
potencial é:
22
2
0
1
2
L
p x L
d vEI dx Pv
dx =
⎛ ⎞⎟⎜ ⎟Π = −⎜ ⎟⎜ ⎟⎜⎝ ⎠∫
Prof. Henrique Mariano C. Amaral 125
E
X
E
M
P
L
O
E
X
E
M
P
L
O
Fundamentos da Teoria das Estruturas
• Se vê na expressão da energia
potencial que a integral que define o
potencial das forças externas se
transformou em um termo simples,
uma vez que a carga é concentrada e
não distribuída.
22
2
0
1
2
L
p x L
d vEI dx Pv
dx =
⎛ ⎞⎟⎜ ⎟Π = −⎜ ⎟⎜ ⎟⎜⎝ ⎠∫
Prof. Henrique Mariano C. Amaral 126
E
X
E
M
P
L
O
E
X
E
M
P
L
O
Fundamentos da Teoria das Estruturas
• Como a viga tem dois trechos com
inércia diferente, o potencial
anterior pode ser reescrito como:
( ) ( )
2 22 2 2
1 2
22 21 2
0 2
1 1
2 2 x L
L L
p
L
d v d vEI dx EI dx Pv
dx dx =
⎛ ⎞ ⎛ ⎞⎟ ⎟⎜ ⎜⎟ ⎟Π = − −⎜ ⎜⎟ ⎟⎜ ⎜⎟ ⎟⎜ ⎜⎝ ⎠ ⎝ ⎠∫ ∫
Prof. Henrique Mariano C. Amaral 127
E
X
E
M
P
L
O
E
X
E
M
P
L
O
Fundamentos da Teoria das Estruturas
• Pelo fato da existência de uma
descontinuidade em L/2 é necessário
que a derivada segunda de v também
a represente;
• Logo é necessário que se trabalhe
com duas funções de aproximação,
uma no intervalo de 0 a L/2 e outra no
intervalo L/2 a L, ambas porem
satisfazendo as condições de
continuidade em x=L/2.
Prof. Henrique Mariano C. Amaral 128
E
X
E
M
P
L
O
E
X
E
M
P
L
O
Fundamentos da Teoria das Estruturas
• Assim, seja as seguintes funções de
aproximação:
( )
( )
2
1 1
2
2 2 3 4
0,
2
,
2
Lv x x x
Lv x x x x L
α
α α α
⎡ ⎞⎟⎢= ∀ ∈ ⎟⎟⎢ ⎠⎣
⎛ ⎤⎜ ⎥= + + ∀ ∈⎜⎜ ⎥⎝ ⎦
Prof. Henrique Mariano C. Amaral 129
E
X
E
M
P
L
O
E
X
E
M
P
L
O
Fundamentos da Teoria das Estruturas
• Essas funções precisam cumprir, como
citado, as seguintes condições de
continuidade:
( )
( )
2 2
1 2 1 2 3 4
1 2
1 2 3
2 2
3 1 2
21
4 1 22
2 2 4 4 2
L Lx x
L L L L Lv x v x
dv dv L L
dx dx
L
L
α α α α
α α α
α α α
α α α
= =
⎛ ⎞ ⎛ ⎞⎟ ⎟⎜ ⎜= = = ⇒ = + +⎟ ⎟⎜ ⎜⎟ ⎟⎜ ⎜⎝ ⎠ ⎝ ⎠
⎛ ⎞ ⎛ ⎞⎟ ⎟⎜ ⎜= ⇒ = +⎟ ⎟⎜ ⎜⎟ ⎟⎜ ⎜⎝ ⎠ ⎝ ⎠
⎧ = −⎪⎪∴⎨⎪ =− −⎪⎩
Prof. Henrique Mariano C. Amaral 130
E
X
E
M
P
L
O
E
X
E
M
P
L
O
Fundamentos da Teoria das Estruturas
• Assim, eliminando α3 e α4, se obtém
as seguintes expressões para v1 e v2
respectivamente:
( )
( )
2
1 1
2 2
2
2 1 2
0,
2
,
2 2 2
Lv x x x
L L Lv x Lx Lx x x L
α
α α
⎡ ⎞⎟⎢= ∀ ∈ ⎟⎟⎢ ⎠⎣
⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎤⎟ ⎟⎜ ⎜ ⎜⎟ ⎟ ⎥= − + − + ∀ ∈⎜ ⎜ ⎜⎟ ⎟ ⎜⎜ ⎜⎟ ⎟⎜ ⎜ ⎥⎝⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎦
Prof. Henrique Mariano C. Amaral 131
E
X
E
M
P
L
O
E
X
E
M
P
L
O
Fundamentos da Teoria das Estruturas
• Fazendo todo o procedimento:
– Substitui no funcional Π;
– Acha a condição de estacionariedade: ;
– Acha os valores dos coeficientes αi;
0
iα
∂Π =∂
– Substitui αi nas equações das funções de aproximação
• Se obtém a seguinte solução:
( )
( )
2
1
2
2
2
3
16
3
16 2 8 2
PLv x x
PL L PL Lv x Lx Lx x
=
⎛ ⎞⎛ ⎞ ⎟⎜⎟⎜ ⎟= − + − +⎟ ⎜⎜ ⎟⎟⎜ ⎜ ⎟⎜⎝ ⎠ ⎝ ⎠
Prof. Henrique Mariano C. Amaral 132
E
X
E
M
P
L
O
E
X
E
M
P
L
O
Fundamentos da Teoria das Estruturas
• Se adotarmos polinômios de terceiro
grau, e procedendo de forma similar,
se obtém a seguinte solução:
( ) 2
( )
1
2 3
2
2
2 3
2 2 3
4 12
3PL L P
PL Pv x x x= −
L
4 4 12 4 4
4
2 4 6 4 3
v x Lx L x
⎛ ⎞ ⎛ ⎞⎟ ⎟⎜ ⎜⎟ ⎟= − − −
PL L P LLx x L x x
+⎜ ⎜⎟ ⎟⎜ ⎜⎟ ⎟⎜ ⎜⎝ ⎠ ⎝ ⎠
⎛ ⎞ ⎛ ⎞⎟ ⎟⎜ ⎜⎟ ⎟+ − − + − −⎜ ⎜⎟ ⎟⎜ ⎜⎟ ⎟⎜ ⎜⎝ ⎠ ⎝ ⎠
Prof. Henrique Mariano C. AmaralProf. Henrique Mariano C. Amaral 133133
Fundamentos da Teoria Fundamentos da Teoria
das Estruturasdas Estruturas
Resumo do ProcessoResumo do Processo
Prof. Henrique Mariano C. AmaralProf. Henrique Mariano C. Amaral 134134
F
u
n
d
a
m
e
n
t
o
s
d
a
T
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o
r
i
a
d
a
s
E
s
t
r
u
t
u
r
a
s
Fundamentos da Teoria das EstruturasFundamentos da Teoria das Estruturas
Pelo que foi visto atPelo que foi visto atéé aqui podeaqui pode--se se
afirmar que o processo de soluafirmar que o processo de soluçção ão éé o o
seguinte:seguinte:
1 1 –– DeterminaDetermina--se o princse o princíípio variacional pio variacional
que rege o problema, atravque rege o problema, atravéés de um s de um
funcional funcional ΠΠ;;
2 2 –– DesenvolveDesenvolve--se a funse a funçção bão báásica sica uu em em
sséérie aproximandorie aproximando--a por a por
0
n
i i
i
u αϕ
=
≈∑
Prof. Henrique Mariano C. AmaralProf. Henrique Mariano C. Amaral 135135
F
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t
o
s
d
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T
e
o
r
i
a
d
a
s
E
s
t
r
u
t
u
r
a
s
Fundamentos da Teoria das EstruturasFundamentos da Teoria das Estruturas
3 3 –– Substitui a funSubstitui a funçção ão uu e suas derivadas e suas derivadas
no funcional pela funno funcional pela funçção aproximada, a ão aproximada, a
qual deve satisfazer as condiqual deve satisfazer as condiçções de ões de
admissibilidade e de contorno;admissibilidade e de contorno;
4 4 –– AchaAcha--se a condise a condiçção de ão de
estacionariedade do funcional estacionariedade do funcional ΠΠ::
1 2
1 2
0i
i
δ δα δα δα δα α α
∂Π ∂Π ∂Π ∂ΠΠ= + + + + = =∂ ∂ ∂ ∂ αα" "
Prof. Henrique Mariano C. AmaralProf. Henrique Mariano C. Amaral 136136
F
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o
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a
d
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s
E
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r
u
t
u
r
a
s
Fundamentos da Teoria das EstruturasFundamentos da Teoria das Estruturas
5 5 –– DaDaíí se obtse obtéém um sistema de m um sistema de
equaequaçções algões algéébricas, das quais se pode bricas, das quais se pode
determinar os parâmetros determinar os parâmetros ααii..
1
0
n
α
α
⎧ ⎫⎪ ⎪∂Π⎪ ⎪⎪ ⎪⎪ ⎪∂⎪ ⎪⎪ ⎪⎪ ⎪∂Π ⎪ ⎪⎪ ⎪= =⎨ ⎬⎪ ⎪∂ ⎪ ⎪⎪ ⎪⎪ ⎪∂Π⎪ ⎪⎪ ⎪⎪ ⎪∂⎪ ⎪⎪ ⎪⎩ ⎭
α
#
Prof. Henrique Mariano C. AmaralProf. Henrique Mariano C. Amaral 137137
F
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d
a
m
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t
o
s
d
a
T
e
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r
i
a
d
a
s
E
s
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r
u
t
u
r
a
s
Fundamentos da Teoria das EstruturasFundamentos da Teoria das Estruturas
6 6 –– Se o funcional Se o funcional ΠΠ éé de segunda grau, de segunda grau,
isto isto éé, as fun, as funçções ões uu e suas derivadas e suas derivadas
aparecem com expoentes menores ou aparecem com expoentes menores ou
iguais a dois, se diz que o funcional iguais a dois, se diz que o funcional ΠΠ éé
linear, e podelinear, e pode--se reescrever sua variase reescrever sua variaçção ão
da seguinte forma:da seguinte forma:
∂Π = + =∂ Kα f 0α
Prof. Henrique Mariano C. AmaralProf. Henrique Mariano C. Amaral 138138
F
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n
d
a
m
e
n
t
o
s
d
a
T
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r
i
a
d
a
s
E
s
t
r
u
t
u
r
a
s
Fundamentos da Teoria das EstruturasFundamentos da Teoria das Estruturas
Vale observar, antes de concluir esta Vale observar, antes de concluir esta
aula, que as equaaula, que as equaçções que se obtões que se obtéém m
por meios variacionais são simpor meios variacionais são siméétricas tricas
mas tambmas tambéém têm outras vantagens, m têm outras vantagens,
como a de se poder escrever o como a de se poder escrever o
funcional funcional ΠΠ de forma aproximada, da de forma aproximada, da
seguinte forma:seguinte forma:
1
2Π= +T Tα Kα α f
Prof. Henrique Mariano C. AmaralProf. Henrique Mariano C. Amaral 139139
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Fundamentos da Teoria das EstruturasFundamentos da Teoria das Estruturas
Prof. Henrique Mariano C. AmaralProf. Henrique Mariano C. Amaral 140140
F
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n
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a
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Teoria das Estruturas de Comportamento Linear
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Exemplo
Exemplo
Exemplo
Exemplo
Exemplo
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